GIÁO TRÌNH MATLAB CĂN BẢN - CHƯƠNG 8

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG §1. MỞ ĐẦU 1. Khái niệm chung: Partial Differential Equation (PDE) Toolbox cung cấp một môi trường mạnh và mềm mại để nghiên và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong mặt phẳng. Dạng phương trình cơ bản của PDE Toolbox là:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIÁO TRÌNH MATLAB CĂN BẢN - CHƯƠNG 8

CHƯƠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG §1. MỞ ĐẦU 1. Khái niệm chung: Partial Differential Equation (PDE) Toolbox cung cấp một môi trường mạnh và mềm mại để nghiên và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong mặt phẳng. Dạng phương trình cơ bản của PDE Toolbox là: ‐∇.(c∇u) + au = f trong miền Ω Các phương trình được rời rạc hoá bằng phương pháp phần tử hữu hạn(FEM). Các đối tượng trong PDE cung cấp công cụ để: • xác định bài toán PDE, nghĩa là xác định vùng 2D, các điều kiện biên và các hệ số PDE. • giải bằng phương pháp số các bài toán, nghĩa là tạo ra lưới không có cấu trúc, rời rạc hoá phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ. • hiển thị kết quả 2. Sử dụng GUI: a. GUI: PDE Toolbox có một bộ giao diện đồ hoạ người dùng (graphical user interface GUI) bao gồm các khiá cạnh của quá trình tìm nghiệm của PDE. Để kích hoạt nó ta nhập lệnh pdetool tại cửa sổ lệnh của MATLAB. Trên cửa sổ GUI có các menu và các icon. Ta dùng các menu hay icon này để thực hiện các nhiệm vụ nhất định. b. Các menu: Có một số menu sau đây trên cửa sổ GUI: • File: Từ menu này ta có thể Open và Save mô hình dưới dạng M‐file. Ta có thể in đồ thị và thoát khỏi GUI. • Edit:Từ menu này ta có thể cắt, dán, xoá, copy các đối tượng và chọn tất cả các đối tượng. • Options: Menu này chứa các tuỳ chọn cũng như các thay đổi trên trục x. • Draw: Từ menu này ta có thể chọn các đối tương cơ bản để vẽ. • Boundary: Menu này dùng để nhập các điều kiện biên cho các vùng. • PDE: Menu này cung cấp các hộp thoại để mô tả PDE và xuất các hệ số của nó vào vùng làm việc. • Mesh: Ta dùng menu này để tạo ra lưới và thay đổi các tam giác. • Solve: Ta chọn menu này để giải các phương trình PDE. • Plot: Từ menu này ta vẽ nghiệm. 154
• Window: Chọn cửa sổ làm việc • Help: Hiển thị cửa sổ trợ giúp. c. Thanh công cụ: Thanh công cụ có dạng như hình vẽ: d. Các GUI mode: Quá trình giải PDE gồm các bước sau: • xác định vùng 2‐D • xác định điều kiện biên • xác định PDE • tạo lưới tam giác • giải PDE • vẽ nghiệm và các thuộc tính vật lí pdetool GUI được thiết kế theo cách tương tự. Ta làm việc trong 6 kiểu khác nhau, mỗi kiểu tương ứng với một bước trong quá trình giải PDE. • Trong Draw mode ta tạo vùng 2‐D. • Trong Boundary mode ta có thể mô tả điều kiện biên • Trong PDE mode ta nhập các hệ số của phương trình vi phân. • Trong Mesh mode ta khởi tạo lưới. • Trong Solve mode ta giải phương trình. • Trong Plot mode ta ve nghiệm và các thuộc tính vật lí khác e. Mô hình CGS và Set Formular: PDE Toolbox dùng mẫu mô hình CSG để mô hình hoá.Ta có thể vẽ các đối tượng chồng nhau. Có 4 loại đối tượng: • Circle • Polygon • Rectangle • Ellipse Mỗi đối tượng có một tên duy nhất trong GUI. Tên mặc định của đối tượng circle là C, đối tượng đa giác là P, đối tượng hình chữ nhật là R, đối tượng hình vuông SQ và đối tượng ellip là E. Tên được hiển thị trên đối tượng. Trong Draw mode ta có thể thay đổi tên và hình dạng đối tượng bằng cách nhấp đúp lên nó. Khi đó một hộp thoại được mở ra và ta thay đổi thông số. Các toán tử + , =, * được dùng để kết hợp các vùng. Toán tử + được dùng để tạo tổ hợp, toán tử ‐ dùng tạo vùng có phần rỗng và toán tử * dùng để tạo ra vùng có giao nhau 155
menu con Select All trong menu Edit và chọn điều kiện biên Neumann cho tất cả các biên. Sau đó sửa lại điều kiện biên cho hai phía của thanh. Phía trái chọn điều kiện biên Dirichlet với r = 100. Phía bên phải chọn điều kiện biên Neumann với g = ‐10. Bước tiếp theo là mở hộp thoại PDE Specification và nhập vào các hệ số của PDE. PDE parabolic tổng quát mà PDE Toolbox xử lí có dạng: ∂u − ∇.(∇u) + au = f d ∂t với điều kiện đầu u0 = u(t0) và thời gian tính nghiệm mô tả trong mảng tlist. Như vậy trong trường hợp này ta có d = 1, c = 1, a = 0 và f = 0. Khởi gán các lưới và làm tinh lại. Điều kiện đầu u0 = 0 và khoảng thời gian được nhập vào là [0:0.5:5]. Ta nhập chúng vào hộp thoại Solve Parameters từ menu Solve. Bây giờ ta có thể giải bài toán. Để thấy được quá trình truyền nhiệt ta đánh dấu vào ô Animation trong hộp thoại Plot selection. Nên chọn màu là colormap hot. Chú ý là nhiệt độ của khối tăng rất nhanh. Bài toán này được lưu trong ct8_9.m. b. Phân bố nhiệt trong thanh phóng xạ: Bài toán phân bố nhiệt này là một ví dụ về bài toán 3‐D PDE parabolic được biến đổi thành bài toán 2‐D nhờ dùng toạ độ trụ. Ta khảo sát một thanh phóng xạ hình trụ. Tại cuối bên trái của thanh nhiệt được gia tăng liên tục. Đầu cuối bên phải có nhiệt độ không đổi. Tại biên bên ngoài, nhiệt được trao đổi với mô trường bằng truyền nhiệt. Tại một thời điểm,nhiệt độ được tạo ra không đồng đều trong toàn bộ thanh do quá trình phóng xạ. Giả sử ban đầu nhiệt độ bằng 0. Điều này đưa tới bài toán sau: ∂u ρC − ∇.( k∇u) = f ∂t Trong đó ρ là mật độ, C là nhiệt dung riêng của thanh, k là hệ số dẫn nhiệt và f là nguồn nhiệt phóng xạ. Mật độ của kim loại là 7800kg/m3, nhiệt dung riêng là 500Ws/kg0C, độ dẫn nhiệt là 40W/m0C. Nguồn nhiệt là 20000W/m3. Nhiệt độ ở một đầu thanh là 1000C. Nhiệt độ môi trường bên ngoài là 1000C và hệ số truyền nhiệt là 50W/m20C. Dòng nhiệt ở cuối bên trái là 5000 W/m2. Nhưng đây là bài toán hình trụ, như vậy ta cần biến đổi phương trình, dùng các toạ độ trụ r , z và θ. Do tính đối xứng, nghiệm không phụ thuộc θ. Như vậy phương trình đã biến đổi là: ∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ rρC − ⎜ kr ⎟ − ⎜ kr ⎟ = fr ∂t ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ Điều kiện biên là: 168
r • n.( k∇u ) = 5000 ở đầu cuối bên trái của thanh(điều kiện biên Neumann). r Do điều kiện Neumann tổng quát hoá trong PDE Toolbox là n .(c∇u)+qu = g và c phụ thuộc vào r trong bài toán này( c= kr),điều kiện biên này được biểu diễn r bằng biểu thức n.(c∇u) = 5000r. • u = 100 tại đầu cuối bên phải của thanh(điều kiện biên Dirichlet) r • n.(k∇u)= 50(100‐u) tại biên bên ngoài(điều kiện biên Neumann tổng quát hoá). Trong PDE Toolbox nó được biểu diễn bằng: r n.(c∇u)+ 50r.u = 50r.100. • trục của hình trụ r = 0 không phải là biên trong bài toán gốc nhưng khi r biến đổi thành 2‐D thì lại là biên.Ta phải cho một điều kiện biên n.(c∇u) = 0 tại đây. Giá trị đầu là u(t0) = 0 Mô hình thanh là hình chữ nhật dọc theo trục x và trục y hướng r. Ta vẽ hình chữ nhật với các góc (‐1.5,0), (1.5,0), (1.5,0.2), (‐1.5,0.2), nghĩa là cần nhập các số [‐1.5 0.0 3 0.2] vào Object Dialog của phần tử R1. Nhập điều kiện biên Neumann cho đầu cuối bên trái với q = 0 và g = 5000*y. Nhập điều kiện biên Dirichlet cho đầu cuối bên phải với h = 1và r = 100. Đối với biên ngoài dùng điều kiện biên Neumann với q = 50*y và g = 50*y*100. Trên trục ta dùng điều kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Các hệ số của phương trình c = 40*y, a = 0, d = 7800*500*y và f =20000*y. 3. Các ví dụ về bài toán hyperbolic: a. Phương trình sóng: Ta khảo sát sóng tạo ra từ dao động của một màng hình vuông có các góc (‐1,‐1),(‐1,1),(1,‐1) và (1,1). Phương trình dao động có dạng: ∂2u − ∆u = 0 ∂t 2 ∂u Màng được cố định(u = 0) tại cạnh phải và cạnh trái và tự do ⎛ = 0 ⎞ ở ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ ∂u( t 0 ) ⎞ cạnh trên và cạnh dưới. Ngoài ra, ta cần giá trị đầu u(t0) và ⎛ ⎜ ⎟ . Giá trị ⎝ ∂t ⎠ đầu phải khớp với điều kiện biên. Nếu ta bắt đầu tại t = ⎛π ⎞ ⎛ cos π x ⎞ và ∂u(0) = 3 sin( πx)e sin ⎜ 2 y ⎟ là các giá trị đầu thoả mãn 0,thì u(0) = arctan⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ∂t ⎝ 2⎠ điều kiện biên. Ta dùng PDE Toolbox với mode Generic Scalar. Vẽ hình chữ nhật với các góc như trên, nghĩa là ta phải điền vào Object Dialog các số: [ ‐1 ‐1 2 2]. Sau đó ta xác định điều kiện biên và khởi gán lưới. Mở hộp thoại PDE 169