ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM
--------------------------------
BỘ MÔN TOÁN LÝ
GIÁO TRÌNH NỘI BỘ
TOÁN CAO CẤP
Dành cho sinh viên tất cả các ngành học
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Thái Nguyên, năm 2017
Mục lục
Chương 1. Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Ma trận và các phép toán cơ bản của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Các phép toán cơ bản của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Định thức của ma trận vuông cấp n...................................... 9
1.2.1. Định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n....................... 9
1.2.2. Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Cách tính định thức................................................. 12
1.3. Ma trận nghịch đảo...................................................... 13
1.3.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Cách tính ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Các tính chất của ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận. . . . . . . . . . 16
1.4. Hạng của ma trận........................................................ 17
1.4.1. Định nghĩa và ví dụ về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Cách tìm hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3. Cách giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bài tập Chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2. Đạo hàm và một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1. Hàm một biến........................................................... 30
2.1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2. Giới hạn của hàm số................................................. 32
2.1.3. Sự liên tục của hàm số............................................... 35
2.1.4. Đạo hàm của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2.1.5. Một số bài toán ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 40
2.1.6. Đạo hàm cấp cao của hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.7. Vi phân của hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Hàm số hai biến số....................................................... 47
2.2.1. Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2. Đạo hàm của hàm số hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3. Vi phân toàn phần và ứng dụng để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bài tập Chương 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 3. Tích phân và một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1. Tích phân bất định...................................................... 56
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số............................................. 56
3.1.2. Tích phân bất định.................................................. 56
3.1.3. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.4. Tích phân một số hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.5. Một số bài toán về ứng dụng của tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2. Tích phân xác định...................................................... 63
3.2.1. Diện tích của hình thang cong và tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2. Các phương pháp tính tích phân xác định . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.3. Một số ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. Tích phân suy rộng...................................................... 72
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2. Tích phân suy rộng với hàm không giới nội. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bài tập Chương 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chương 4. Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2. Phương trình vi phân có biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.3. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.4. Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2
4.4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi. . . . . . . . . . 88
Bài tập Chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3
Chương 1
Đại số tuyến tính
1.1. Ma trận và các phép toán cơ bản của ma trận
Ma trận là bảng số hình chữ nhật và được sử dụng để lưu trữ thông tin và làm việc
với chúng. Ma trận có rất nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, trong đời sống, trong kinh
tế, kỹ thuật, vật lý, cơ học, công nghệ thông tin, thuyết mật mã, ... Chẳng hạn, một
công ty kinh doanh 3 mặt hàng gồm áo, quần và kính. Công ty có hai cửa hàng A và
B. Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là: cửa hàng A: 100 áo, 120 quần, 300
kính và cửa hàng B: 125 áo, 100 quần, 250 kính. Sắp xếp dữ liệu này ở dạng bảng:
áo quần kính
A 100 120 300
B 125 100 250
Ta có thể viết lại bảng trên dưới dạng T1= 100 120 300
125 100 250!.
Khi đó T1ở trên chính là một ma trận.
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
Định nghĩa 1.1.1. Một bảng số gồm m×nphần tử được xếp thành mhàng, ncột
được gọi là một ma trận cỡ m×n, ký hiệu
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
..
.
..
.
.
am1am2. . . amn
.
Ký hiệu rút gọn: A= (aij)m×n, trong đó aij biểu thị phần tử ở hàng i, cột jcủa ma
trận A(với i= 1,2,...m;j= 1,2,...n).
4