Giáo trình Toán cao cấp và xác suất thống kê

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:174

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp và xác suất thống kê cung cấp những kiến thức như phép tính tích phân hàm một biến; Phương trình vi phân; Đại cương về xác suất; Đại lượng ngẫu nhiên; Thống kê;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp và xác suất thống kê

LỜI NÓI ĐẦU Nâng cao chất lƣợng, đổi mới trong giáo dục đào tạo là tiêu chí sống còn đối với một trƣờng đại học trong thời đại khoa học công nghệ nhƣ hiện nay. Một trong những nội dung đổi mới quan trọng ở Trƣờng Đại học Lạc Hồng đƣợc thực hiện trong thời gian qua là xây dựng và ban hành chuẩn đầu ra chất lƣợng cao bao gồm các yêu cầu về  Kiến thức;  Kĩ năng;  Thái độ;  Vị trí và khả năng công tác sau khi tốt nghiệp;  Khả năng học tập và nâng cao trình độ sau khi tốt nghiệp. Nhƣ vậy, việc trang bị và rèn luyện các kĩ năng nghề nghiệp cho sinh viên đƣợc xác định là nhiệm vụ vô cùng quan trọng và phải thực hiện lâu dài, xuyên suốt trong cả quá trình đào tạo. Tuy nhiên, một câu hỏi lớn nảy sinh đó là “các kĩ năng nghề nghiệp của sinh viên đƣợc trang bị và rèn luyện nhƣ thế nào thông qua quá trình học tập các môn thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản và kiến thức đại cƣơng?” Môn học Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê là một môn thuộc khối kiến thức cơ bản và đây là một trong những học phần quan trọng đƣợc Bộ Giáo Dục và Đào Tạo quy định là môn học bắt buộc đối với sinh viên ngành Dƣợc. Giáo trình Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê theo định hƣớng phát triển kĩ năng này ra đời nhằm mục đích trả lời câu hỏi ở trên với nội dung nhƣ sau: Chƣơng 1. Phép tính tích phân hàm một biến Chƣơng 2. Phƣơng trình vi phân Chƣơng 3. Đại cƣơng về xác suất Chƣơng 4. Đại lƣợng ngẫu nhiên Chƣơng 5. Thống kê Trong giáo trình, bên cạnh việc trang bị các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân hàm một biến, phƣơng trình vi phân, xác suất và công thức tính xác suất, các phân phối xác suất thông dụng, các bài toán về thống kê toán học, giáo trình còn hƣớng đến việc áp dụng các kiến thức vào bài toán ứng dụng thực tiễn của chuyên ngành Dƣợc và rèn luyện các kĩ năng cần có của sinh viên để thích ứng với nền giáo dục trong bối cảnh của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại nhƣ hiện nay.  Kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề gắn với thực tiễn nghề nghiệp thông qua các tình huống, câu hỏi có vấn đề và bài tập ứng dụng ở mỗi chƣơng. 1
 Kĩ năng làm việc nhóm thông qua hệ thống bài tập ứng dụng.  Kĩ năng tự học, tự nghiên cứu thông qua việc trả lời các câu hỏi và giải hệ thống bài tập.  Kĩ năng tƣ duy tựa thuật giải thông qua các thuật toán đối với từng bài toán cụ thể. Nhƣ vậy, giáo trình trên đã bƣớc đầu đáp ứng đƣợc các yêu cầu đặt ra trong chuẩn đầu ra chất lƣợng cao của nhà trƣờng. Tuy nhiên, đây là giáo trình đầu tiên đƣợc biên soạn theo định hƣớng phát triển kĩ năng nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Đình Ánh đã cho nhiều góp ý rất quý báu trong suốt quá trình biên soạn giáo trình này. Tác giả cũng rất mong nhận đƣợc những góp ý từ các bạn sinh viên và các đồng nghiệp gần xa để giáo trình đƣợc hoàn thiện hơn khi tái bản. Xin trân trọng cảm ơn. Biên Hòa, ngày 20 tháng 8 năm 2014 Tác giả 2
MỤC LỤC Chƣơng 1. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN.............................................................................6 1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định........................................................................6 1.1.1. Nguyên hàm ....................................................................................................6 1.1.2. Tích phân bất định .......................................................................................... 7 1.1.3. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các biến đổi sơ cấp....................11 1.1.4. Tích phân hàm hữu tỷ ...................................................................................13 1.1.5. Các phƣơng pháp tính tích phân ...................................................................24 1.2. Tích phân xác định .............................................................................................. 37 1.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong ............................................................... 37 1.2.2. Định nghĩa.....................................................................................................38 1.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định ....................................................40 1.3. Ứng dụng của tích phân xác định........................................................................43 1.3.1. Tính diện tích hình phẳng .............................................................................43 1.3.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay ............................................................... 45 CÂU HỎI ÔN TẬP ....................................................................................................46 BÀI TẬP ....................................................................................................................47 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ .....................................................................................50 Chƣơng 2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ......................................................................54 2.1. Khái niệm cơ bản ................................................................................................ 54 2.2. Phƣơng trình vi phân cấp 1 .................................................................................55 2.2.2. Phƣơng trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến đƣợc) ....................56 2.2.3. Phƣơng trình đẳng cấp ..................................................................................57 2.2.4. Phƣơng trình vi phân toàn phần ....................................................................58 2.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai ..............................................................................62 2.3.1. Khái niệm cơ bản .......................................................................................... 62 2.3.2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 giảm cấp đƣợc ..................................................62 2.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng.....................................63 CÂU HỎI ÔN TẬP ....................................................................................................70 BÀI TẬP ....................................................................................................................71 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ .....................................................................................73 Chƣơng 3. ĐẠI CƢƠNG VỀ XÁC SUẤT ...................................................................75 3.1. Giải tích tổ hợp ....................................................................................................75 3
3.1.1. Quy tắc cộng ................................................................................................. 75 3.1.2. Quy tắc nhân ................................................................................................. 75 3.1.3. Hoán vị ......................................................................................................... 77 3.1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp ...................................................................................... 78 3.2. Phép thử và biến cố ............................................................................................. 79 3.2.1. Khái niệm ..................................................................................................... 79 3.2.2. Phân loại biến cố .......................................................................................... 80 3.2.3. Quan hệ giữa các biến cố .............................................................................. 81 3.2.4. Phép toán của các biến cố ............................................................................. 82 3.3. Xác suất của biến cố ........................................................................................... 85 3.3.1. Định nghĩa xác suất ...................................................................................... 85 3.3.2. Xác suất có điều kiện .................................................................................... 88 3.3.3. Biến cố độc lập ............................................................................................. 89 3.4. Các công thức tính xác suất ................................................................................ 90 3.4.1. Công thức cộng xác suất............................................................................... 90 3.4.2. Công thức nhân xác suất............................................................................... 92 3.4.3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes ........................................... 96 3.4.4. Công thức Bernoulli ..................................................................................... 99 CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................. 101 BÀI TẬP .................................................................................................................. 102 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ................................................................................... 108 Chƣơng 4. ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN................................................................... 110 4.1. Khái niệm về đại lƣợng ngẫu nhiên .................................................................. 110 4.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 110 4.1.2. Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên .................................................................. 110 4.1.3. Luật phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên .................................... 111 4.2. Các tham số đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu nhiên ............................................. 114 4.2.1. Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) ................................................................. 114 4.2.2. Phƣơng sai và độ lệch chuẩn ...................................................................... 116 4.2.3. Mode ........................................................................................................... 120 4.3. Đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đặc biệt ...................................... 121 4.3.1. Phân phối nhị thức (Bernoulli) ................................................................... 121 4.3.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 121 4
4.3.2. Phân phối Poisson .......................................................................................122 4.3.3. Phân phối chuẩn ..........................................................................................124 4.3.4. Phân phối “Chi – bình phƣơng” .................................................................126 CÂU HỎI ÔN TẬP ..................................................................................................128 BÀI TẬP ..................................................................................................................129 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ...................................................................................132 Chƣơng 5. THỐNG KÊ ...............................................................................................134 5.1. Lý thuyết mẫu ...................................................................................................134 5.1.1. Khái niệm cơ bản ........................................................................................134 5.1.2. Phân loại mẫu .............................................................................................134 5.1.3. Các tham số đặc trƣng của mẫu ..................................................................136 5.1.4. Phƣơng pháp tính các số đặc trƣng của mẫu bằng bảng .............................137 5.1.5. Phƣơng pháp tính các tham số đặc trƣng của mẫu bằng máy tính .............141 5.2. Ƣớc lƣợng các tham số đặc trƣng của tổng thể .................................................143 5.2.1. Bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ tổng thể ...............................................................144 5.2.3. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng tỷ lệ ....................................147 5.2.4. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng trung bình ...........................148 5.2.5. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng tỷ lệ ...........................150 5.2.6. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng trung bình ..................151 5.3. Kiểm định giả thiết thống kê .............................................................................152 5.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể .............................................153 CÂU HỎI ÔN TẬP ..................................................................................................157 BÀI TẬP ..................................................................................................................158 HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ...................................................................................161 CÁC BẢNG PHỤ LỤC...............................................................................................162 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................173 5
Chƣơng 1. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục đích yêu cầu Chƣơng này trình bày các kiến thức về định nghĩa, tính chất, phƣơng pháp cơ bản tính tích phân bất định và tích phân xác định và một số ứng dụng hình học của tích phân xác định. Ngƣời học cần nắm vững các khái niệm, các phƣơng pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phƣơng pháp đó trong tính tích phân và biết cách sử dụng tích phân để xác định một số tính toán trong hình học. 1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định Mở đầu Ở phổ thông trung học, ta đã đƣợc tìm hiểu bài toán đạo hàm: Cho hàm số F ( x)  cos x . Tìm hàm số f ( x)  F ( x) . Ở đây f ( x)  F ( x)  (cos x)   sin x . Phát biểu bài toán ngƣợc lại của bài toán trên? Cho hàm số f ( x)  cos x . Tìm hàm số F ( x) sao cho F ( x)  f ( x) . Ta có (sin x)  cos x nên F ( x)  sin x . Ngoài kết quả trên có thể tìm đƣợc các F ( x) khác thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không? Ta thấy F ( x)  sin x  C thì vẫn thỏa yêu cầu bài toán. Có bao nhiêu nguyên hàm của một hàm số cho trƣớc? Từ bài toán trên dẫn đến khái niệm nguyên hàm sau 1.1.1. Nguyên hàm 1.1.1.1. Định nghĩa Hàm số F ( x) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  nếu F ( x) liên tục, có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  a; b và F ( x)  f ( x) . 1.1.1.2. Định lý 1 Mọi hàm số f ( x) liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên khoảng đó. 6
x3 Ví dụ 1.1. Cho f ( x)  x 2 , dễ thấy F ( x)  là một nguyên hàm của f ( x) trên . 3 x3 Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng  C , với C là hằng số tùy ý. 3 1.1.1.3. Định lý 2  Nếu F ( x) là nguyên hàm của f ( x) trên (a,b) thì F ( x)  C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f ( x) .  Mọi nguyên hàm của f ( x) trên  a; b  đều có dạng F ( x)  C . 1.1.2. Tích phân bất định 1.1.2.1. Định nghĩa Dạng tổng quát của nguyên hàm của f ( x) trên khoảng  a; b  , kí hiệu là  f ( x)dx , đƣợc gọi là tích phân bất định của hàm f (x) trên khoảng đó.  f ( x)dx  F ( x)  C 1.1.2.2. Tính chất cơ bản 1)   f ( x)dx   f ( x) . 2) d   f ( x)dx   f ( x)dx . 3) Nếu f ( x) khả vi thì  f ( x)dx  f ( x)  C . 4) Nếu f ( x) khả vi thì  df ( x)  f ( x)  C . 5)   f ( x)dx    f ( x)dx . 6)   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx . 1.1.2.3. Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Từ đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản và các tính chất của tích phân bất định, ta có các tích phân bất định sau: 1)  a dx  ax  C , đặc biệt:  dx  x  C . 7
x 1 dx 1  x dx  x  2)  C (  1), đặc biệt:   C.  1 2 x eax b 3)  eax b dx  C . a ax Các trƣờng hợp đặc biệt:  e dx  e  C và  a dx  x x C. x ln a sin(ax  b) 4)  cos(ax  b)dx   C , đặc biệt:  cos x dx  sin x  C . a cos(ax  b) 5)  sin(ax  b)dx    C , đặc biệt:  sin x dx   cos x  C . a dx tan(ax  b) dx 6)  cos (ax  b)  2 a  C , đặc biệt:  cos 2 x  tan x  C . dx cot(ax  b) dx 7)  sin 2 (ax  b)  a  C , đặc biệt:  sin 2 x   cot x  C . u '( x) 8)  u( x) dx  ln u( x) C . Các trƣờng hợp đặc biệt: dx dx 1   x  ln x  C hay  ax  b  a ln a x  b C . cos x   cot x dx   sin x dx  ln | sin x | C .  sin x   tan x dx   cos x dx   ln | cos x | C . dx 1 x dx 9) x 2 a 2  arctan  C , đặc biệt: a a x 2 1  arctan x  C . dx 1 xa 10) x 2 a 2  2a ln xa C. dx 1 ax Chú ý. a 2 x 2  2a ln ax C. dx 11)  x2  a  ln x  x 2  a  C . 8
dx x dx 12)  a2  x2  arcsin  C , đặc biệt: a  1  x2  arcsin x  C . Các tích phân bất định trên đƣợc coi là các tích phân cơ bản. Để tính đƣợc tích phân bất định của một hàm số, trƣớc hết ta phải nhớ và biết vận dụng những tích phân cơ bản đó. Sau đây là một số ví dụ về cách vận dụng trực tiếp các tích phân cơ bản trên. x  Ví dụ 1.2. Vận dụng công thức tính tích phân dx , ta có: x19751 x1976  x dx  C  C . 1975 a) 1975  1 1976 1 1 1 2 x 2 b)  x dx   x dx  2 1 C  x x C. 3 1 2 1 2 1  1 dx x  x 3 3 3 c)  3 x   x dx  1 C  3 2  C  3 x2  C . 2  1 3 3 dx dx d ( x  2) 1 d) x 2  4x  4  ( x  2) 2  ( x  2) 2  x2 C. Ví dụ 1.3. Vận dụng công thức tính tích phân  eax b dx , ta có: dx e x 1 a)  x   e dx  x C   x C. e 1 e e(3 4 x ) ln 2 234 x  2 dx   e dx   e(34 x ) ln 2 dx  3 4 x 3 4 x b) ln 2 C  C . 4ln 2 4ln 2 Ví dụ 1.4. Vận dụng các công thức tính tích phân hàm lƣợng giác, ta có: sin(4 x  5) a)  cos(4 x  5)dx  4 C. cos(2  x) b)  sin(2  x)dx   1  C  cos(2  x)  C . dx c)  cos (2  x)   tan(2  x)  C . 2 dx 1 d)  sin 2 (4x  5)   co t(4x  5)  C . 4 9
x tan dx dx 1 dx 1 2  C  tan x  C . e)      1  cos x 2cos 2 x 2 cos 2 x 2 1 2 2 2 2 u '( x) Ví dụ 1.5. Vận dụng công thức tính tích phân  dx , ta có: u ( x) dx 1 2 1 a)  2 x  3  2  2 x  3 dx  2 ln | 2 x  3 | C . cos(2 x  3) 1 2cos(2 x  3) 1 b)  co t(2 x  3)dx   sin(2 x  3) dx   2 sin(2 x  3) dx  ln | sin(2 x  3) | C . 2 xdx 1 2x 1 c) x 2   2 4 2 x 4 dx  ln( x 2  4)  C . 2 1 dx d)  x ln x  ln x  x dx  ln | ln x | C . dx dx Ví dụ 1.6. Vận dụng công thức tính tích phân x 2 a 2 và  2 x  a2 , ta có: dx dx 1 x a) x 2 4  2 x 2 2  arctan  C . 2 2 dx 1 dx 1 x 1 x b)  2x 2   2  4 2 x 2 2 2 arctan 2 C  2 2 arctan 2 C. dx dx d ( x  1) 1  x 1  c)  x2  2 x  10 ( x  1)2  9 ( x  1)2  9 3    arctan   3    C. dx dx 1 x2 1 x2 d) x 2 4  2 x 2 2  ln 2.2 x  2  C  ln 4 x2  C. dx 1 dx 1 1 x 2 1 x 2 e)  2x 2   2  . ln 4 2 x 2 2 2 2 x 2 C  ln 4 2 x 2  C. 1 x dx 1 dx 1 1 f)     . ln 2 C 1  4x 2 4 x2  1 4 2. 1 x  1 4 2 2 1 2x 1 1 2x  1   ln  C  ln  C. 4 2x  1 4 2x 1 10
dx dx d ( x  1) 1 x 1 3 1 x2 g) x 2  2x  8  ( x  1)  9 2  2  ln ( x  1)  9 2.3 x  1  3  C  ln 6 x4  C. dx dx Ví dụ 1.7. Vận dụng công thức tính  và  , ta có: x2  a a2  x2 dx a)  x2  4  ln x  x 2  4  C dx d ( x  1) b)  x2  2 x  3  ( x  1) 2  2  ln x  1  x 2  2 x  3  C dx 1 dx 1    x2  2  2 ln x  x  2  C. 2 c) 2x  4 2 2 dx dx x d)  16  x 2  4 x 2  arcsin  C. 2 4 dx 1 dx 1 x e)  16  4 x 2  2  4  x2  2 arcsin 2  C. dx dx d ( x  1)  x 1  f)  3  2x  x2  3  ( x 2  2 x)  4  ( x  1) 2  arcsin   2  C . 1.1.3. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các biến đổi sơ cấp 1.1.3.1. Tính tuyến tính của tích phân bất định Kết hợp tính chất 3 và 4 của tích phân bất định, ta có:   f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx . Tính chất trên của tích phân bất định đƣợc gọi là tính tuyến tính. Vận dụng tính chất này, ta có thể tính đƣợc tích phân bất định của một lớp hàm có dạng tổng và hiệu của những hàm có trong các tích phân cơ bản, đặc biệc là tích phân của hàm đa thức  P ( x)dx , trong đó P  x  là một đa thức bậc n . n n Ví dụ 1.8. Vận dụng tính tuyến tính của tích phân bất định, ta có: x3 a)  ( x  2 x  3)dx   x dx  2 x dx  3 dx   x 2  3x  C . 2 2 3 1 dx  (2e )dx  2 e2 x3dx  3 sin 3x dx   2 2 x 3 b)  3sin 3x  . x 2 2 x 2 11
1 x 2  e2 x 3  cos3x  ln C. 2 2 x 2 1.1.3.2. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các phép biến đổi sơ cấp Khi ta gặp một tích phân mà hàm số dƣới dấu tích phân có dạng tích, thƣơng hay lũy thừa của các biểu thức. Nếu ta có thể sử dụng đƣợc các phép biến đổi sơ cấp thích hợp để biến đổi hàm số dƣới dấu tích phân về dạng tổng và hiệu của các hàm có trong các tích phân cơ bản. Khi đó, ta có thể sử dụng tính tuyến tính của tích phân và các tích phân cơ bản để tính các tích phân đó. Các phép biến đổi sơ cấp thƣờng đƣợc sử dụng trong trƣờng này là: phép nhân và chia các biểu thức, phép khai triển hằng đẳng thức, các phép tính đối với các căn thức, các hệ thức và công thức trong lƣợng giác nhƣ hệ thức cơ bản, công thức nhân, công thức biến đổi. Ví dụ 1.9. Sử dụng các phép biến đổi thích hợp, ta có: x6  x(2  x ) dx   x(4  4 x  x )dx   (4 x  4 x  x )dx  2x  x  C . 2 2 2 4 3 5 2 4 a) 6 2 x3  7 x 2  12 x  11  2  b)  dx    x 2  2 x  3   dx 2x  3  2x  3  x3   x 2  3x  ln 2 x  3  C . 3  1  2  1  x c)   x  3  dx    x  2 3   dx  x  x 3 x2  1 2  x 2 12 x 6 x   xdx  2 x dx   x dx   6 3  33 x  C . 2 7 1 sin 4 x sin 2 x d)  cos x cos3xdx   (cos 4 x  cos 2 x)dx  8  4  C . 2 1  cos 2 x 1 sin 2 x  x sin 2 x e)  cos 2 xdx   dx   x  C   C . 2 2 2  2 4  1  dx  tan x dx     1 dx   cos 2 x   dx  tan x  x  C . 2 f)  cos x  2  1  cos 2 x  2 g)  sin xdx   (sin x) dx    4 2 2  dx  2  12
1   (1  2cos 2 x  cos 2 x)dx 2 4 1  1  cos 4 x    1  2cos 2 x  2  dx 4   1 3x sin 2 x sin 4 x  8  (3  4cos 2 x  cos 4 x)dx  8  4  32  C . Ghi chú. Ta có các công thức biến đổi trong lƣợng giác thƣờng đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp này nhƣ sau: 1  cos 2a 1  cos 2a cos 2 a  , sin 2 a  ; 2 2 1 cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b) ; 2 1 sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b) ; 2 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) . 2 1.1.4. Tích phân hàm hữu tỷ Pn ( x) Tích phân hàm hữu tỉ là tích phân dạng  Qm ( x) dx , trong đó Pn  x  và Qm  x  là Pn ( x) các đa thức bậc n và m . Với tích phân  ax  b dx , ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức Pn  x  cho ax  b rồi sử dụng tính tuyến tính của tích phân thì sẽ tính đƣợc tích Pn ( x)    dx phân này dễ dàng:  ax  b dx    P  n 1 ( x)   dx   Pn1 ( x)dx    ax  b . ax  b  Trong phần sau, ta sẽ nghiên cứu cách tính tích phân các hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc hai và ba. Trong trƣờng hợp đa thức mẫu Qm  x  có bậc m  3 , ta chỉ xét các trƣờng hợp có thể dễ dàng đƣa đƣợc về dạng tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai vô nghiệm. 1.1.4.1. Tích phân hàm hữu tỉ với mẫu là đa thức bậc hai Với tích phân hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc hai, ta có ba dạng sau: dx  Tích phân dạng I   . ax  bx  c 2 Để tính tích phân dạng này, ta xét ba trƣờng hợp sau: 13
1) Tam thức ax2  bx  c có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 . Trong trƣờng hợp này, ta có 1 dx 1 1  1 1  a  ( x  x1 )( x  x2 ) a x1  x2   x  x1 x  x2  I  .    dx xx  1 a( x1  x2 )  ln x  x1  ln x  x2   C  a( x 1 x ) ln x  x1  C . 1 2 2 dx 1 1 x 3 1 x 3 Ví dụ 1.10. Ta có:  2x 2  . ln  4 x  6 2 3  (1) x  (1)  C  ln 8 x 1 C. 2) Tam thức ax2  bx  c có nghiệm kép là x0 . Trong trƣờng hợp này, ta có: 1 dx 1 d ( x  x0 ) 1  1  1 a  ( x  x0 )2 a ( x  x0 ) 2 a  x  x0  I     C   C. a( x  x0 ) dx 1 dx 1 1 Ví dụ 1.11. Ta có:  2x 2    8 x  8 2 ( x  2) 2  2( x  2) C  4  2x C. 3) Tam thức ax2  bx  c vô nghiệm. Trong trƣờng hợp này, đầu tiên ta đặt a là thừa số chung rồi đƣa ra ngoài dấu tích dx 1 dx phân và đặt lại nhƣ sau: I   2   2 . ax  bx  c a x  px  q Sau đó ta biến đổi và tính tích phân nhƣ sau:  p dx  1 dx 1  2 a I 2   2 p  4q  p 2  p   4q  p 2  2 a 2   x    x     2  2    2   2    p  1 1  x    arctan  2 C a 4q  p 2  4q  p 2    2  2  2  2x  p   arctan  C . a 4q  p 2  4q  p 2    14
 1 dx  Ví dụ 1.12. Ta có:  2 dx 1   2 dx 1    2 2x  2x  2 2 x  x  1 2  1  3 2 2 x     2  2   1  x  1 1  . arctan  2   C  1 arctan  2 x  1   C .   2 3  3  3  3    2  2  x    Tích phân dạng I   dx   0  . ax 2  bx  c Để tính tích phân dạng này, ta xét ba trƣờng hợp sau: 1) Tam thức ax2  bx  c có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 . Với trƣờng hợp này, ta có thể tính tích phân bằng cách biến đổi nhƣ sau: 1 x   1  A B  a  ( x  x1 )( x  x2 ) I dx      dx a  x  x1 x  x2    A ln x  x1  B x  x2   C . 1 a Trong đó, A và B là các hằng số đƣợc xác định theo  và  bằng phƣơng pháp hệ số bất định. 2 x  10 Ví dụ 1.13. Tính tích phân sau: I   dx . x2  2 x  3 Giải 2 x  10 2 x  10  A B  Ta có:  x  2x  3 2 dx   ( x  1)( x  3) dx      dx .  x 1 x  3  A B A( x  3)  B( x  1) ( A  B) x  3 A  B 2 x  10 Do:     . x 1 x  3 ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) A  B  2 A  3 Nên:   . 3 A  B  10  B  1  3 1  ( x  1)3 Vậy, I      dx  3ln x  1  ln x  3  C  ln C .  x 1 x  3  x 3 Ta cũng có thể tính tích phân này nhƣ sau: 2x  2 dx 1 x 3 I  dx  8 2  ln x 2  2 x  3  8  ln C x  2x  3 2 x  2x  3 4 x 1 15
x 3 ( x  1)3  ln ( x  1)( x  3)  2ln  C  ln C. x 1 x 3 2) Tam thức ax2  bx  c có nghiệm kép là x0 . Với trƣờng hợp này, ta có thể tính tích phân bằng cách biến đổi nhƣ sau: 1 x   1  A B  I a  ( x  x0 )2 dx  a   x  x0  ( x  x0 )2  dx   1 B  A B   A ln x  x0    C  ln x  x0  C. a x  x0  a a( x  x0 ) Trong đó, A và B là các hằng số đƣợc xác định theo  và  bằng phƣơng pháp hệ số bất định. 2x  3 Ví dụ 1.14. Tính tích phân sau: I   dx . x  4x  4 2 Giải 2x  3 2x  3  A B  Ta có: x 2  4x  4 dx   ( x  2) 2 dx     2   x  2 ( x  2)  dx . A B A( x  2)  B Ax  2 A  B 2 x  3 Do     . x  2 ( x  2) 2 ( x  2)2 ( x  2)2 ( x  2) 2 A  2 A  2 Nên:   .  2 A  B  3  B  7 Vậy,  2 7   1  7 I    2  dx  2ln x  2  7     C  ln( x  2)  2  C.  x  2 ( x  2)   x 2 x 2 Ta cũng có thể tính tích phân này nhƣ sau: 2x  4 dx 7 I  dx  7  2  ln x 2  4 x  4  C x  4x  4 2 x  4x  4 x2 7  ln( x  2)2  C. x2 3) Tam thức ax2  bx  c vô nghiệm. Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi để tính tích phân nhƣ sau: 16
 b (2ax  b)    x    ax 2  bx  c dx   2a ax  bx  c 2 2a dx  2ax  b  b  dx 2a  ax  dx      2 2  bx  c  2a  ax  bx  c  1 b  dx  ln ax 2  bx  c      2 . 2a a 2a  x  px  q dx 2  2x  p  Trong đó,  2  arctan  C. x  px  q 4q  p 2  4q  p 2    3x  5 Ví dụ 1.15. Tính tích phân sau: I   dx . x  4 x  13 2 Giải 3 3.4  2x  4  5  2x  4 Ta có: I   2 2 2 dx  3 dx x  4 x  13 2  x2  4 x  13 dx   x2  4 x  13  ln  x 2  4 x  13   3 dx 2 ( x  2)2  32  ln   1  x2 ( x 2  4 x  13)3  arctan  3  3  C. Chú ý. Cách biến đổi để tính tích phân trong trƣờng hợp này có thể sử dụng cho các trƣờng hợp 1 và 2. dx  n  2  . Pn ( x)  Tích phân dạng I   ax  bx  c 2 Để tính tích phân dạng này, trƣớc hết ta chia đa thức Pn  x  cho tam thức bậc hai ax2  bx  c để đƣa tích phân này về dạng: Pn ( x) x    ax 2  bx  c dx   Pn2 ( x)dx   2 ax  bx  c dx . Trong đó, tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân hàm đa thức và tích phân thứ hai sẽ rơi vào một trong hai dạng trên. 3x 4  18 x3  18 x 2  6 x  36 Ví dụ 1.16. Tính tích phân sau: I   dx . 3x 2  12 x  15 Giải 17
Thực hiện phép chia hai đa thức rồi tính tích phân, ta có:  2 9  x3 dx I    x  2x  3  2 dx   x  3x  3 2 2  3x  12 x  15  3 x  4x  5 x3 3 x 5   x 2  3x  ln C 3 5  (1) x  (1) x3 1 x  5)   x 2  3x  C . 3 2 x 1 2 x3  12 x 2  43x  51 Ví dụ 1.17. Tính tích phân sau: I   dx . 2 x 2  8 x  26 Giải Thực hiện phép chia hai đa thức rồi tính tích phân, ta có:  x 1  x2 x 1 I   x  2  2 dx   2 x   2 dx  2 x  8 x  26  2 2 x  8 x  26 1 2 (4 x  8)  3 x   2x   2 4 dx 2 2 x  8 x  26 x2 1 4x  8 3 dx   2x   2 dx   2 2 4 2 x  8 x  26 2 x  4 x  13 x2 1 3 dx   2 x  ln 2 x 2  8 x  26   2 4 2 ( x  2) 2  32 x2 1 1  x2   2 x  ln 2 x 2  8 x  26  arctan  C. 2 4 2  3  1.1.4.2. Tích phân hàm hữu tỉ với mẫu là đa thức bậc ba Với tích phân này, ta chỉ xét dạng tích phân sau (trong trƣờng hợp tử là đa thức bậc  x2   x   n  3 thì với phép chia đa thức ta sẽ đƣa về dạng này): I   dx . ax3  bx 2  cx  d Để tính tích phân dạng này, ta xét bốn trƣờng hợp sau: 1) Đa thức mẫu có ba nghiệm phân biệt là x1 , x2 , x3 . Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau: 1  x2   x   1  A B C  I a  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) dx  a   x  x1  x  x2  x  x3  dx   18
 1 a  A ln x  x1  B x  x2  C x  x3   C . Trong đó, A, B, C là các hằng số đƣợc xác định theo  ,  ,  bằng phƣơng pháp hệ số bất định. x2  2x  6 Ví dụ 1.18. Tính tích phân sau: I   3 dx . x  7 x 2  14 x  8 Giải Ta thấy đa thức bậc ba dƣới mẫu có ba nghiệm là 1, 2, 4 nên: x2  2x  6  A B C  I  dx       dx . ( x  1)( x  2)( x  4)  x 1 x  2 x  4  A B C A( x  2)( x  4)  B( x  1)( x  4)  C ( x  1)( x  2) Do    x 1 x  2 x  4 ( x  1)( x  2)( x  4) ( A  B  C ) x 2  (6 A  5B  3C ) x  8 A  4 B  2C  ( x  1)( x  2)( x  4) x2  2 x  6  . ( x  1)( x  2)( x  4) A  B  C 1 A  3   Nên: 6 A  5B  3C  2   B  7 . 8 A  4 B  2C  6 C  5    3 7 5  Vậy, I       dx  x 1 x  2 x  4  ( x  1)3 ( x  4)5  3ln x  1  7ln x  2  5ln x  4  C  ln C. ( x  2)7 2) Đa thức mẫu có nghiệm kép là x0 và nghiệm đơn là x1 . Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau: 1  x2   x   1  A B C  I  dx       dx a ( x  x0 ) ( x  x1 ) 2 a  x  x0 ( x  x0 ) 2 x  x1  1 B    A ln x  x0   C x  x1   C a x  x0  2 x3  4 x 2  3x  1 Ví dụ 1.19. Tính tích phân sau: I   dx . 2 x3  6 x  4 Giải 19
Thực hiện phép chia tử cho mẫu rồi biến đổi nhƣ sau:  4 x 2  3x  5  1 4 x 2  3x  5 I   1  3  dx   dx   3 dx  2x  6x  4  2 x  3x  2 1 4 x 2  3x  5 1  A B C   x  dx  x       dx . 2 ( x  1) 2 ( x  2) 2  x  1 ( x  1) 2 x  2  A B C A( x  1)( x  2)  B( x  2)  C ( x  1) 2 Ta có:    x  1 ( x  1) 2 x  2 ( x  1) 2 ( x  2) ( A  C ) x 2  ( A  B  2C ) x  2 A  2 B  C  ( x  1)2 ( x  2) 4 x 2  3x  5  ( x  1) 2 ( x  2) A  C  4 A  1   Nên:  A  B  2C  3   B  2 . 2 A  2 B  C  5 C  3   1  1 2 3  Vậy, I  x    x  1  ( x  1)2  x  2  dx 2   1 1  x  ln ( x  1)( x  3)3  C. 2 x 1 3) Đa thức mẫu có nghiệm bội ba là x0 . Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau: 1  x2   x   1  A B C  I  dx      3  dx a ( x  x0 ) 3 a  x  x0 ( x  x0 ) ( x  x0 )  2 1 B C    A ln x  x0   C . a x  x0 2( x  x0 )2  2 x 4  9 x3  17 x 2  18 x  4 Ví dụ 1.20. Tính tích phân sau: I   dx . x3  3x 2  3x  1 Giải Thực hiện phép chia tử cho mẫu rồi biến đổi nhƣ sau:  2x2  7 x  1  2x2  7 x  1 I    2x  3  3  dx  x 2  3x   dx  x  3x 2  3x  1  ( x  1)3 20