Hệ phường trình lớp 9 - GV. Trần Thị Thu Ngân

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256 Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm.

MỤC LỤC

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

2

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

4

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

6

IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN

8

V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

9

VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

11

VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

13

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

14

IX. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

15

X. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

16

BÀI TẬP TỔNG HỢP (~ 200 Bài)

18

~ 1 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

I. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Ví dụ 1. Cho hệ phương trình: (a là tham số).

.

để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

a) Giải hệ phương trình với b) Giải và biện luận hệ phương trình. c) Tìm các số nguyên d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.

a) Viết lại hệ phương trình đã cho với và giải hệ phương trình mới:

Vậy với hệ phương trình có nghiệm .

b) Giải và biện luận:

Từ phương trình ta có: thế vào phương trình ta được:

 Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất . Thay vào ta có:

.

. Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

 Nếu , phương trình vô nghiệm.

Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

. Vậy: hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

. c) Với thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

~ 2 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: .

 Điều kiện cần:

 Điều kiện đủ:

(nhận)

(nhận)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

d) Với thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

Ta có: . Đặt ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , khi đó .

Vậy thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: (k là số cho trước).

Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt .

theo k.

Tính tổng Giải.

Trừ vế theo vế của cho ta có: .

Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: .

Từ và suy ra: .

.

Vậy

~ 3 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG I

Bài I.1. Cho hệ phương trình: (m là tham số).

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m. b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Bài I.2. Biết thỏa mãn hệ phương trình: . Trong đó đôi một khác nhau.

Chứng minh rằng: .

Bài I.3. Cho hệ phương trình: .

a) Giải hệ phương trình khi .

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho biểu thức

nhận giá trị nguyên.

Bài I.4. Cho hệ phương trình: ( là tham số). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ của

.

hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất trong hệ, ta biểu diễn ẩn bậc nhất theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: .

Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta dễ dàng thấy được phương trình thứ nhất là phương trình bậc nhất của cả x và y. Tuy nhiên, hệ số của y nhỏ hơn nên ta sẽ rút y theo x để tiện cho việc tính toán. Rồi sau đó thế vào phương trình thứ hai.

~ 4 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Giải.

.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: .

Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy rằng phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất đổi với ẩn y. Theo cách giải của dạng này ta sẽ biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ nhất. Giải.

Ta thấy không thỏa mãn phương trình . Với , từ phương trình ta có: thay

vào phương trình ta được:

(vì ).

 Với thì .

 Với thì .

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

~ 5 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG II

Bài II.1. Giải hệ phương trình: .

Bài II.2. Giải hệ phương trình: .

Bài II.3. Giải hệ phương trình: .

Bài II.4. Giải hệ phương trình: .

III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA ĐƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình tích. Sau đó tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Để nhận ra nhanh phương trình có thể đưa về phương trình tích các bạn nên làm nhiều bài tập “phân tích đa thức thành nhân tử” theo chương trình lớp 8 và thêm các bài “phân tích đa thức thành nhân tử có chứa căn thức” theo chương trình lớp 9. Bên cạnh những hệ ta có thể nhận ra ngay phương trình đưa được về phương trình tích ta còn có những bài cần phải biến đổi một vài bước mới có, thông thường sử dụng phương pháp cộng đại số,…

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: .

Giải.

~ 6 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

.

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm .

. Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:

Giải. ĐKXĐ: .

) (vì

(vì )

(nhận, thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG III

Bài III.1. Giải hệ phương trình: .

Bài III.2. Giải hệ phương trình: .

~ 7 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Bài III.3. Giải hệ phương trình: .

Bài III.4. Giải hệ phương trình: .

Bài III.5. Giải hệ phương trình: .

IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH LÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình bậc hai theo một ẩn bằng cách coi ẩn kia là tham số và biểu diễn ẩn theo tham số rồi sau đó thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 7 (Cách làm khác của Ví dụ 6). Giải hệ phương trình: .

Giải. ĐKXĐ: .

Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn x tham số y sau: .

.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

 Với thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:

) (vì (thỏa mãn )

 Với , không tồn tại điều này vì .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

~ 8 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IV

Bài IV.1. Giải hệ phương trình: .

Bài IV.2. Giải hệ phương trình: .

Bài IV.3. Giải hệ phương trình: .

V. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Với dạng này ta cần tìm được lượng thích hợp để đặt ẩn phụ (phát hiện ẩn phụ), ẩn phụ có thể thấy ngay hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi, thông thường sẽ là biến đổi hằng đẳng thức hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. Sau khi đặt ẩn phụ hệ phương trình sẽ đưa về các dạng đã biết cách giải. Lưu ý có những bài đặt ẩn phụ không hoàn toàn!

Ví dụ 8. Giải hệ phương trình: .

Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy xuất hiện những lượng chung của hai phương trình là

, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ để đơn giản hệ phương trình đã cho. và

Giải.

. Hệ phương trình đã cho trở thành: Đặt

(nhận, thỏa mãn điều kiện).

Với và ta có hệ phương trình:

~ 9 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

(nhận)

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm .

Ví dụ 9. Giải hệ phương trình: .

Giải. Ta thấy không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Với , chia hai vế của hai phương trình của

hệ cho ta được:

. Đặt ta được hệ phương trình mới theo a và b:

.

Với , ta có hệ phương trình:

(nhận)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

~ 10 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG V

Bài V.1. Giải hệ phương trình: .

Bài V.2. Giải hệ phương trình: .

Bài V.3. Giải hệ phương trình: .

Bài V.4. Giải hệ phương trình: .

VI. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu mỗi phương trình không đổi khi ta thay đối vai trò x; y. Cách giải tổng quát: Tìm x + y và xy từ hệ phương trình.

Ví dụ 10. Giải hệ phương trình: .

Giải.

.

Đặt , ta được hệ phương trình mới theo a và b:

~ 11 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

.

 Với , thay vào ta được hệ phương trình:

.

 Với , thay vào ta được hệ phương trình:

(loại, ).

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VI

Bài VI.1. Giải hệ phương trình: .

Bài VI.2. Giải hệ phương trình: .

Bài VI.3. Giải hệ phương trình: .

Bài VI.4. Giải hệ phương trình: .

~ 12 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

VII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu ta đổi vai trò x cho y thì phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại. Cách giải tổng quát: Trừ vế theo vế của hai phương trình để có nhân tử chung là (x – y).

Ví dụ 11. Giải hệ phương trình: .

Nhận xét: Khi đổi vai trò của hai ẩn cho nhau ta thấy phương trình này biến thành phương trình kia. Hệ đã cho là hệ phương trình đối xứng loại II. Giải.

Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ, ta được:

.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VII

Bài VII.1. Giải hệ phương trình: .

Bài VII.2. Cho hệ phương trình: . Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài VII.3. Giải hệ phương trình: .

~ 13 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

VIII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng .

Có hai cách giải tổng quát cho dạng này:

 Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số, sau đó biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương

trình còn lại.  Cách 2: Xét xem có là nghiệm của hệ hay không. Sau đó xét , đặt rồi thay vào

hai phương trình của hệ, khử ẩn x rồi tìm giá trị của k. Từ đó suy ra x và y.

Ví dụ 12. Giải hệ phương trình: .

Giải. + Cách 1:

.

. Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm

+ Cách 2: Ta thấy không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Xét , đặt , thay vào hệ phương trình

đã cho ta được hệ phương trình mới theo x và k là:

.

.  Với , thay vào ta được:

 Với , thay vào ta được: .

~ 14 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VIII

Bài VIII.1. Giải hệ phương trình: .

Bài VIII.2. Giải hệ phương trình: .

Bài VIII.3. Giải hệ phương trình: .

IX. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với dạng này ta cần lưu ý, phát hiện các biểu thức âm hoặc dương trong hệ và cần nắm vững cách vận dụng các bất thức cơ bản như Bất đẳng thức Cauchy, Bất đẳng thức Bunyakovsky.

Ví dụ 13 [ĐH – A – 2014] Giải hệ phương trình: .

Giải. ĐKXĐ: .

+ Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy.

và . Ta có:

Nên: . Do đó: .

+ Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky.

Ta có: . Do đó: .

Thay vào phương trình ta được

). (vì nên

~ 15 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Với (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IX

Bài IX.1. Giải hệ phương trình: .

Bài IX.2. Giải hệ phương trình: .

Bài IX.3. Giải hệ phương trình: .

Bài IX.4. Giải hệ phương trình: .

X. MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

Ví dụ 14. Giải hệ phương trình: .

Giải. Dễ thấy .

Nhân theo từng vế với ba phương trình của hệ, ta được: , suy ra .

Chia từng vế của phương trình cho lần lượt từng phương trình của hệ đã cho được:

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm .

Ví dụ 15. Giải hệ phương trình: .

~ 16 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Giải. Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta có: . Thế vào phương trình thứ hai của hệ

ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho nghiệm duy nhất .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG X

Bài X.1. Giải hệ phương trình: .

Bài X.2. Giải hệ phương trình: .

Bài X.3. Giải hệ phương trình: .

Bài X.4. Giải hệ phương trình: .

Bài X.5. Giải hệ phương trình: .

Bài X.6. Giải hệ phương trình: .

~ 17 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

Bài X.7. Giải hệ phương trình: .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2011] Giải hệ phương trình: .

2. [Chuyên Hƣng Yên, 2012] Giải hệ phương trình: .

3. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2012] Giải hệ phương trình: .

4. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2012] Giải hệ phương trình: .

5. [Chuyên Bắc Ninh, 2012] Giải hệ phương trình: .

6. [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2012] Giải hệ phương trình: .

7. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2013]

Giải hệ phương trình: .

8. [Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2013] Giải hệ phương trình: .

~ 18 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

9. [Chuyên Lý Tự Trọng, Nghệ An, 2013] Giải hệ phương trình: .

10. [Chuyên Quảng Nam, 2013] Giải hệ phương trình: .

11. [Chuyên Bình Phƣớc, 2013] Giải hệ phương trình: .

12. [Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định, 2013] Giải hệ phương trình: .

13. [Chuyên Hùng Vƣơng, Bình Dƣơng, 2013] Giải hệ phương trình: .

14. [Chuyên Quảng Trị, 2013] Giải hệ phương trình: .

15. [Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP.HCM, 2014] Giải hệ phương trình: .

16. [Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình: .

17. [Chuyên Bắc Giang, 2014] Giải hệ phương trình: .

18. [Chuyên Lƣơng Văn Chánh, Phú Yên, 2014] Giải hệ phương trình: .

~ 19 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

19. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2014] Cho hệ phương trình: .

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm sao cho là độ dài cách cạnh góc vuông của một tam giác có

.

độ dài cạnh huyền bằng

20. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2014] Giải hệ phương trình: .

21. [Chuyên Lào Cai, 2014] Giải hệ phương trình: .

22. [Dự bị Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình: .

23. [Chuyên An Giang, 2014] Cho hệ phương trình: .

24. [Chuyên TP.Hà Nội, 2014] Giải hệ phương trình: .

25. [Chuyên Khánh Hòa, 2014] Giải hệ phương trình: .

26. [Chuyên Bắc Ninh, 2014] Giải hệ phương trình:

27. [Chuyên Vĩnh Phúc, 2014] Giải hệ phương trình: .

28. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2014] Giải hệ phương trình: .

~ 20 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

29. [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An] Giải hệ phương trình: .

30. [Chuyên Quảng Nam, 2014] Giải hệ phương trình: .

31. [Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2014] Giải hệ phương trình: .

32. [Chuyên Quốc học Huế, 2010] Giải hệ phương trình: .

33. [Chuyên Đà Nẵng, 2010] Giải hệ phương trình: .

34. [Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP.HCM] Giải hệ phương trình: .

35. [Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2011] Giải hệ phương trình: .

36. [Chuyên Quảng Bình, 2011] Giải hệ phương trình: .

~ 21 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

37. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chung, 1994] Cho hệ phương trình: .

.

a) Giải hệ phương trình với b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số a, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. c) Tìm a để đạt giá trị lớn nhất.

38. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chung, 2002] Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:

.

a) Giải hệ phương trình với b) Trong mặt phẳng xét hai đường thẳng có phương trình là (1) và (2).

 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm B cố định và đường thẳng (2) đi

qua điểm C cố định.

 Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông. Tính diện tích tam

giác ABC ứng với giá trị đó của m.

39. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2005] Cho hệ phương trình: .

.

a) Giải hệ phương trình với b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất.

40. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2008]

Cho hệ phương trình:

.

thì hệ đã cho có không quá một nghiệm.

a) Giải hệ phương trình khi b) Chứng minh rằng khi

41. [Chuyên Thành phố Hà Nội, 2011] Giải hệ phương trình: .

42. [Chuyên Thành phố Hà Nội, 2012] Giải hệ phương trình: .

~ 22 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

43. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Vòng 1, 1991] Cho là các số đôi một khác nhau và khác 0.

Giải hệ phương trình: .

44. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Lý + Hóa, 1992] Giải hệ phương trình: .

45. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Toán + Tin, Vòng 1, 1992] Giải hệ phương trình: .

. 46. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Toán + Tin, 1994] Giải hệ phương trình:

47. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1995] Giải hệ phương trình: .

48. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1995] Giải hệ phương trình: .

49. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1996] Giải hệ phương trình: .

50. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1996] Giải hệ phương trình: .

~ 23 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

51. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1997] Giải hệ phương trình: .

52. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1997] Giải hệ phương trình: .

53. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1998] Giải hệ phương trình: .

54. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1998] Các số thỏa mãn điều kiện .

.

Hãy tính giá trị của biểu thức:

55. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1999] Giải hệ phương trình: .

56. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2000] Giải hệ phương trình: .

57. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2002] Giải hệ phương trình: .

58. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2002] Giải hệ phương trình: .

59. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2003] Giải hệ phương trình: .

60. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2003] Giải hệ phương trình: .

~ 24 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

61. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2004] Giải hệ phương trình: .

62. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2005] Giải hệ phương trình: .

63. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2005] Giải hệ phương trình: .

64. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2006] Giải hệ phương trình: .

65. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2006] Giải hệ phương trình: .

66. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2007] Giải hệ phương trình: .

67. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2007] Giải hệ phương trình: .

68. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2008] Giải hệ phương trình: .

69. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2008] Giải hệ phương trình: .

70. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2009] Giải hệ phương trình: .

71. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2010] Giải hệ phương trình: .

~ 25 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

72. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2010] Giải hệ phương trình: .

73. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2011] Giải hệ phương trình: .

74. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2011] Giải hệ phương trình: .

75. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2012] Giải hệ phương trình: .

76. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2012] Giải hệ phương trình: .

77. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 1991] Giải hệ phương trình: .

78. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 1991]

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm: .

79. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 1993] Giải hệ phương trình: .

80. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 1997] Giải hệ phương trình: .

81. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 1998] Giải hệ phương trình: .

~ 26 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

82. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 2000] Giải hệ phương trình: .

83. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 2001] Giải hệ phương trình: .

84. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 2002] Giải hệ phương trình: .

85. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 2004] Giải hệ phương trình: .

86. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 2004] Giải hệ phương trình: .

87. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 2005] Giải hệ phương trình: .

88. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chung, 2006] Giải hệ phương trình: .

89. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 2010] Giải hệ phương trình: .

90. [Chuyên Đại học Sƣ phạm, Chuyên, 2011] Giải hệ phương trình: .

~ 27 ~

onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

VẪN CÒN RẤT NHIỀU BÀI TẬP ĐANG CHỜ CÁC EM VÀ THÀNH CÔNG CŨNG ĐANG CHỜ CÁC EM CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT!!! Mọi thắc mắc liên hệ Page: Ôn thi cùng học sinh Chuyên Sư phạm www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP Mail: onthicunghocsinhCSP@gmail.com Hotline: 01667872256

~ 28 ~