Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Hiệu ứng liên kết spin quỹ đạo và từ trường trong mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các kết quả trình bày trong luận văn là chính xác, trung thực và chưa được ai

công bố trong bất kì công trình nào khác./.

Học viên

Tạ Văn Bình

1

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo

người hướng dẫn trực tiếp tôi trong quá trình thực hiện luận văn: PGS.TS

Trần Minh Tiến. Từ khi bắt đầu học cao học thầy đã chỉ dạy, hướng dẫn cũng

như giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu khoa học. Với sự giúp đỡ của

thầy tôi đã tiến bộ hơn trong rất nhiều mặt.

Tôi xin được cảm ơn đến các thầy đã giảng dạy tôi trong những năm

cao học. Các thầy đã dạy cho tôi những kiến thức cơ sở, làm nền tảng cho tôi

có thể học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Ngoài ra tôi cũng xin cảm ơn

đến cơ sở đã đào tạo tôi là Học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã

cho tôi có một môi trường thuận lợi để học tập.

Tôi xin được cảm ơn gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi

có thể học tập đến ngày hôm nay. Gia đình không những giúp đỡ tôi về mặt

vật chất mà luôn quan tâm động viên tôi trong cuộc sống và học tập. Tôi cũng

xin cám ơn đến bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian học cao học.

Hà Nội, năm 2019

Học viên

Tạ Văn Bình

2

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương 1. Chất điện môi tôpô

1.1. Khái niệm tôpô trong toán học

1.2. Chất điện môi tôpô

Chương 2: Mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng

2.1. Cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình tổng quát

2.2. Mạng tinh thể Lieb

2.3. Mô hinh liên kết chặt trong mạng tinh thể Lieb

2.4. Liên kết spin-quỹ đạo trong mạng tinh thể Lieb

2.5. Điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb

Chương 3: Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano trong mạng tinh

thể Lieb

3.1. Lí thuyết cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano trong mạng tinh

thể Lieb

3.2. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với hai biên thẳng

3.3. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với một biên thẳng và một

biên răng cưa

3.4. Cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano với hai biên răng cưa

Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo

3

MỞ ĐẦU

Ảnh hưởng lẫn nhau giữa liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng tinh

thể trên mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng đã thu hút được

nhiều nghiên cứu gần đây [1].

Trong các hệ có cấu trúc vùng năng lượng phẳng các electron phi tán

sắc tạo ra một tính chất đặc biệt mà bất kỳ tương tác electron nào giữa chúng

cũng trở nên vượt trội so với động năng. Kết quả dẫn đến nhiều hiện tượng

hấp dẫn về tương quan điện tử [2-11]. Ví dụ nổi bật là hiệu ứng Hall lượng tử

phân số, trong đó sự tương tác giữa tính phẳng của các mức năng lượng

Landau và tương tác Coulomb đóng vai trò chính yếu [4-7]. Các ví dụ khác là

hiệu ứng Kondo phân tử đặc biệt do sự có mặt của vùng năng lượng phẳng [9-

11]. Liên kết spin-quỹ đạo là một hiệu ứng tương đối tính của electron dưới

tác động tương tác Coulomb của các ion [2,13]. Đó là tương tác một hạt so

với tương tác Coulomb hai hạt giữa các điện tử. Liên kết spin-quỹ đạo thường

tạo ra một khe năng lượng trong phổ một hạt và có thể tạo ra trạng thái điện

môi tôpô [1]. Trong các mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng,

chẳng hạn như mạng tinh thể Lieb, liên kết spin-quỹ đạo cũng có thể tạo ra

trạng thái điện môi tôpô [1]. Mặt khác, một sự điều biến của electron chuyển

động trong mạng tinh thể Lieb cũng có thể dẫn đến một khe năng lượng trong

phổ một hạt [14]. Tuy nhiên, ngược lại với liên kết spin-quỹ đạo, trạng thái

điện môi gây ra do điều biến mạng là không có tính chất tôpô [1]. Do vậy khi

có cả liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng chúng có thể ảnh hưởng và

cạnh tranh lẫn nhau. Và kết quả là trạng thái điện môi có thể thay đổi từ trạng

thái tôpô sang trạng thái không tôpô.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng lẫn nhau giữa

liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb. Điều biến

4

mạng được thể hiện qua các bước nhảy nút so le [14]. Tính chất tôpô của

trạng thái cơ bản có thể được xác định bằng các phương pháp khác nhau. Một

cách là trực tiếp tính toán số Chern [15-17]. Cách khác là sử dụng các chỉ số

về các mode biên hay trạng thái biên [18]. Tính chất tôpô của điện môi có thể

dựa trên sự tương ứng khối-biên [18]. Nếu trên giao diện giữa hai chất điện

môi, các bất biến tôpô thay đổi thì trạng thái dẫn không khe (gapless) tồn tại ở

giao diện [18]. Các mode biên như vậy có liên quan sâu sắc đến tính chất tôpô

của khối. Số lượng các mode biên tương ứng với bất biến tôpô trong khối.

Trong luận văn này, chúng tôi xác định tính chất tôpô của các trạng thái điện

môi thông qua số lượng các mode biên. Số lượng các mode biên có thể xác

định bằng số lần các mode biên cắt mức năng lượng Fermi, bởi vì khi các

mode biên cắt các mức năng lượng Fermi nó thể hiện ở lân cận điểm cắt có

mode kích thích không khe và điều này dẫn đến khả năng dẫn ở biên, trong

khi trong khối vẫn là điện môi. Đó chính là đặc tính cơ bản của chất điên môi

tôpô. Các mode biên có thể thu được thông qua việc nghiên cứu cấu trúc vùng

năng lượng của dải băng nano có biên mở [19].

Mục đích nghiên cứu của luân văn là thiết lập hiệu ứng ảnh hưởng qua

lại liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb thông

qua các mode biên. Cấu trúc của luận văn này bao gồm ba chương.

Chương 1: Chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tôpô trong toán học và

chất điện môi tôpô trong vật lí.

Chương 2: Chúng tôi trình bày lí thuyết mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng

lượng phẳng, từ mô hình tổng quát đi tới mô hình liên kết chặt trong mạng

tinh thể Lieb, liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng.

Chương 3: Chúng tôi trình bày kết quả cấu trúc vùng năng lượng mạng tinh

thể Lieb có dạng dải băng nano.

5

Kết quả chính của luân văn này đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lí lí

thuyết toàn quốc lần thứ 43 tại Quy Nhơn năm 2018, và đã được chấp nhận

đăng trên tạp chí Journa of Physics: Conference Series. Trong luận văn này

chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với .

6

CHƯƠNG 1. CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ

1.1 KHÁI NIỆM TÔPÔ TRONG TOÁN HỌC

Tôpô hay tôpô học là một lĩnh vực nghiên cứu toán học liên quan

đến tính chất hình học của các vật thể ở dạng tổng thể toàn cục. Tính chất

tôpô của các vật thể là các đặc tính được bảo toàn qua sự biến dạng, sự

xoắn và sự kéo dãn. Các đặc tính đó gọi là các bất biến tôpô. Ví dụ đơn

giản là cái vòng xuyến và một cái ca có quai. Cả hai đều có thể biến đổi

liên tục qua lại với nhau, do vậy chúng có cùng tính chất tôpô. Về mặt

tôpô chúng có đúng một lỗ hổng.

Hình 1.1: Một cái ca có quai trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn

bất biến tôpô. Cả cái ca và vòng xuyến đều có những tính chất tôpô hoàn toàn giống

nhau [20].

Như vậy, có thể nói một cách nôm na rằng tôpô là một ngành

nghiên cứu về đặc tính của các cấu trúc hình học có tính siêu co dãn, siêu

biến dạng nhưng lại không thể bị cắt rời thành nhiều mảnh, không thể bị

đâm thủng hay bị dán dính vào nhau.

7

Đối với các bề mặt hình học, có thể phân loại tôpô dựa trên định lý

Gauss-Bonnet. Định lý này nói rằng mỗi bề mặt hình học có một bất biến

tôpô thể hiện qua đặc trưng Euler

𝜒 = 1 2𝜋 ∫ 𝐾𝑑𝐴 𝑠

trong đó: K là độ cong Gauss và tích phân lấy theo một bề mặt kín của

một mặt liên quan tới tính chất bất biến. Tích phân của độ cong ở trên

chỉ phụ thuộc vào tính chất toàn cục của bề mặt (tôpô). Nó bất biến khi

bề mặt biến dạng liên tục. Ví dụ đối với mặt xuyến 𝜒 = 0, mặt cầu 𝜒 =

2 [21].

1.2 CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ

Trong vật lý các chất cô đặc việc mô tả đặc điểm các pha của vật

chất đang rất được quan tâm. Đại đa số các pha, ví dụ như sắt từ, có thể

được mô tả theo nguyên lý đối xứng mà trong đó có vỡ đối xứng tự phát.

Khái niệm tôpô trong vật lý đầu tiên được đưa ra để miêu tả hiệu ứng Hall

lượng tử. Hiệu ứng Hall lượng tử là hiệu ứng Hall mà độ dẫn Hall có tính

chất lượng tử. Nó bằng số nguyên lần (hay số phân số lần) đại lượng

. Trạng thái Hall lượng tử không làm phá vỡ tính đối xứng, nó có

tính bất biến đối với thay đổi các tham số trong vật liệu và chỉ thay đổi khi

hệ buộc phải chuyển pha. Tính chất bất biến của hiệu ứng Hall lượng tử

chính là độ dẫn Hall. Tính chất này có thể hiểu như là các kết quả cấu trúc

tôpô của các mức năng lượng Laudau do chất khí electron được đặt trong

từ trường.

Hiệu ứng Hall lượng tử chỉ xuất hiện khi có từ trường ngoài. Tiếp

8

theo hiệu ứng Hall lượng tử người ta đã tìm thấy những trật tự tôpô mới

thông qua việc tìm ra chất điện môi tôpô. Chất điện môi tôpô giống như

các chất điện môi thông thường, nó có khe năng lượng tách cấu trúc vùng

năng lượng của vật liệu thành hai vùng, vùng hóa trị và vùng dẫn. Tuy

nhiên, phần bề mặt (hoặc cạnh biên trong không gian hai chiều) của chất

điện môi tôpô có trạng thái dẫn không có khe năng lượng. Hiệu ứng Hall

lượng tử cho thấy trạng thái biên có tính chất dẫn, và có kích thích không

khe (gapless). Giống như trạng thái Hall lượng tử, trong trường hợp hai

chiều chất điện môi tôpô ứng với mỗi cạnh biên có một trạng thái cạnh

biên duy nhất. Đó là nguyên lý tương ứng khối –cạnh biên. Nguyên lý này

cho rằng tính chất tôpô trong khối luôn tương ứng với số trạng thái biên

hay bề mặt. Do vậy nhiều khi thay vì đi tính bất biến tôpô của chất điện

môi, người ta quan sát số trạng thái biên và từ đó xác định chất điện môi

có tính chất tôpô hay không.

Năm 2006, Bernevig, Hughes và Zhang [18] đề xuất tồn tại trạng thái Hall

spin lượng tử, tên gọi lúc bấy giờ cho trạng thái điện môi tôpô hai chiều, trong

giếng lượng tử HgTe/CdTe, mà ngay sau đó thực nghiệm đã xác định tính

đúng đắn của đề xuất này [18]. Giếng lượng tử HgTe/CdTe là chất điện môi

tôpô hai chiều đầu tiên có tính chất đối xứng nghịch đảo thời gian, khác với

hệ Hall lượng tử, khi từ trường ngoài phá vỡ đối xứng nghịch đảo thời gian.

Trong giếng lượng tử HgTe/CdTe tương tác spin - quỹ đạo đóng vai trò quyết

định tạo ra độ dẫn Hall lượng tử nguyên, không cần đến từ trường ngoài.

Chính vì vậy mà ban đầu tính chất này được gọi là hiệu ứng Hall spin lượng

tử, để phân biệt với hiệu ứng Hall lượng tử thông thường, khi điện tích trong

từ trường đóng vai trò quyết định. Song song với khám phá trạng thái điện

môi tôpô trong giếng lượng tử HgTe/CdTe, các nhóm nghiên cứu khác cũng

đề xuất lý thuyết về chất điện môi Hall spin, một tên gọi khác cho chất điện

9

môi tôpô, có đối xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo [18],

[20,21]. Từ đó hình thành lý thuyết vùng năng lượng cho chất điện môi tôpô

hay chất điện môi tôpô . Xuất phát điểm của lý thuyết này là tính chất đối

xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo. Định lý Kramer khẳng

định rằng tất cả các trạng thái riêng của hệ có Hamiltonian bất biến đối với

đối xứng nghịch đảo thời gian đều suy biến bậc 2. Khi không có liên kết spin

- quỹ đạo, suy biến bậc 2 theo định lý Kramer đơn giản chỉ là suy biến theo

spin lên và spin xuống. Nhưng khi có liên kết spin - quỹ đạo suy biến bậc hai

này dẫn tới một hệ quả thú vị. Do Hamiltionian bất biến theo nghịch đảo thời

gian nên các trạng thái có động lượng , trong đó là vector

mạng đảo, sẽ suy biến bậc 2. Các trạng thái có động lượng khác không còn

suy biến bậc 2 do tương tác spin - quỹ đạo tách chúng ra. Có thể nhận thấy

nằm trên biên của vùng Brillouin thứ nhất, và thường là các điểm có tính chất

đối xứng cao của mạng tinh thể. Trên hình 1.2, hình bên tay trái, các trạng

thái liên kết nối với nhau bằng các đường đi qua mức Fermi số chẵn lần.

Trong trường hợp này, các trạng thái biên có thể loại đi khỏi các trạng thái

liên kết ra khỏi khe năng lượng. Và do vậy các trạng thái điện môi ở biên vẫn

mang tính điện môi. Ngược lại, ở hình bên phải của hình 1.2 khi các đường

liên kết các trạng thái biên đi qua mức năng lượng Fermi số lẻ lần, các trạng

thái biên không làm sao có thể loại bỏ được. Do vậy trạng thái biên mang tính

dẫn, mặc dù trạng thái trong khối vẫn là điện môi. Đây chính là trường hợp

của chất điện môi tôpô. Vậy theo lý thuyết vùng năng lượng này, một chất

điện môi tôpô có tính chất tôpô hay không phụ thuộc vào số lần các trạng thái

biên có mức năng lượng cắt mức Fermi là chẵn hay lẻ, nên có thể ánh xạ nó

vào nhóm . Do vậy chất điện môi tôpô theo lý thuyết vùng năng lượng như

trên còn được gọi là chất điện môi tôpô . Kane và các cộng sự đã xây dựng

một chỉ số theo nhóm để xác định một chất điện môi có phải là chất điện

10

môi tôpô hay không [18]. Chỉ số đó chính là bất biến tôpô. Khi chỉ số đó bằng

0, chất điện môi là chất điện môi thông thường, và khi chỉ số đó bằng 1, chất

điện môi là chất điện môi tôpô. Lưu ý ví dụ được xét ở trên chỉ có một cạnh

biên. Khi hệ có hai cạnh biên số trạng thái biên ứng với tính chất tôpô của

khối được tính cho mỗi cạnh biên. Chi tiết cụ thể về chất điện môi tôpô có thể

xem trong các tài liệu tổng quan [18]. Đặc tính xác định chất điện môi tôpô

này cũng có thể áp dụng cho chất điện môi 3 chiều. Thực nghiệm đã tìm ra

chất điện môi tôpô 3 chiều như Bi2Se3, Bi2Te [ 18].

Hình 1.2: Hệ thức tán sắc điện tử giữa hai suy biến Kramer tại

và

.

Trong hình (a) số trạng thái qua năng lượng Fermi là số chẵn, trong hình (b) là số lẻ.

(Hình lấy từ tài liệu [18]).

11

CHƯƠNG 2. MẠNG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC VÙNG NĂNG

LƯỢNG PHẲNG

Vùng năng lượng phẳng là vùng năng lượng không có tán sắc, có nghĩa

là nó là một hằng số, không phụ thuộc vào động lượng. Vùng năng lương

phẳng xuất hiện trong các mạng tinh thể có cấu trúc khác nhau. Một trog

những mạng tinh thể có cấu trúc đơn giản nhất có cấu trúc vùng năng lượng

phẳng là mạng tinh thể Lieb. Mạng tinh thể Lieb được quan tâm nghiên cứu

khá nhiều, vì ngoài tính chất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng, nó còn có

cấu trúc tương tự như cấu trúc cơ bản của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao chứa

oxit đồng. Khi chất điện môi tôpô được phát hiện, mạng tinh thể Lieb lại được

quan tâm nghiên cứu và khi kết hợp với liên kết spin-quỹ đạo chúng có khả

năng tạo ra trạng thái điện môi tôpô. Do vậy có thể kỳ vọng vùng năng lượng

phẳng , liên kết spin-quỹ đạo và tương quan điện tử có thể dẫn đến hiện tượng

phân số hóa điện tích như trong hiệu ứng Hall lượng tử phân số. Do vậy trong

chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày về cấu trúc vùng năng lượng

trong mô hình tổng quát. Sau đó cấu trúc mạng tinh thể Lieb sẽ được trinh bày

ở mục 2.2. Mô hình liên kết chặt và cấu trúc vung năng lượng sẽ được trình

bày ở mục 2.3. Ở mục 2.4, liên kết spin-quỹ đạo sẽ được đưa vào. Cuối cùng

mục 2.5 trình bày về điều biến mạng và cấu trúc vùng năng lượng khi có điều

biến mạng.

12

2.1. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG PHẲNG TRONG MÔ HÌNH

TỔNG QUÁT

Xét một hệ vật lí nhiều hạt có Hamiltonian có dạng tổng quát như sau

(1)

trong đó và là toán tử sinh, hủy hạt có spin σ tại ô mạng I, viết ở dạng

tổng quát dạng hàng và cột ma trận. Tùy theo số nút mạng trong ô mạng cơ sở

mà và có số chiều tương ứng. Chẳng hạn trong một ô mạng cơ sở có

nút mạng tinh thể thì:

;

với và là các toán tử sinh hủy hạt tại nút mạng a trong ô mạng cơ sở

(a=1,…, ). Trong biểu thức (1) là ma trận thông số về Hamiltonian của

hệ. Do tính chất Hermite của Hamiltonian, có tính chất

Xét hệ trong một khối tinh thể có điều kiện biên tuần hoàn. Do có tính

chất tuần hoàn, chúng ta có thể thực hiện biến đổi Fourier từ không gian mạng

thuận sang không gian mạng đảo

13

,

trong đó N là số ô mạng cơ sở của mạng tinh thể, là vị trí của ô mạng I và k

là động lượng tinh thể. Áp dụng phép biến đổi Fourier này vào Hamiltonian ở

biểu thức (1) chúng ta thu được

trong đó

Hamiltonian được gọi là Hamiltonian Bloch. Chéo hóa

Hamiltonian Bloch chúng ta thu được các phổ năng lương của một hạt, tức là:

với , là trị riêng và trạng thái riêng của Hamiltonian Bloch. Các

hàm số phụ thuộc vào động lượng k được gọi là vùng năng lượng n

của hệ. Tập hợp tất cả các hàm số được gọi là cấu trúc vùng năng

lượng của hệ.

2.2. MẠNG TINH THỂ LIEB

Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có

thêm một nút mạng ở trung điểm như ở hình 1. Mạng tinh thể Lieb là mạng

tinh thể phi Bravais. Có thể chọn ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng

A, B, C như hình 2.1. Tham số mạng có thể chọn a=1. Như vậy mạng Bravais

của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông thuần túy với hằng số mạng a=1.

14

Mạng đảo cũng là mạng hình vuông với hằng số mạng . Vùng Brillouin là

hình vuông với các véc tơ động lượng

;

Hình 2.1: Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có thêm

một nút mạng ở trung điểm. Ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng A, B, C

2.3. MÔ HÌNH LIÊN KẾT CHẶT TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Mô hình liên kết chặt có Hamiltonian như sau:

trong đó và là toán tử sinh hủy electron có spin σ tại nút mạng i. là

thông số nhảy nút giữa nút i và nút j trong mạng tinh thể. Ở đây chúng ta chỉ

xét nhảy nút giữa các nút mạng tinh thể lân cận gần nhất. Ký hiệu chỉ hai

nút i,j là hai nút mạng tinh thể gần nhất. Trong luận văn này chúng tôi sử

dụng t=1 làm đơn vị năng lượng.

15

Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu

được Hamiltonian Bloch như sau:

trong đó

Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên

Hamiltonian Bloch là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể

tìm được từ phương trình đặc trưng

Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được ba nghiệm gốm:

Và hai nghiệm khác 0 là:

Như vậy chúng ta có thể thống nhất cho mô hình liên kết chặt với nhảy

nút lân cận gần nhất cho một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai vùng năng

16

lượng tán sắc. Khi triển năng lượng tán sắc quanh điểm nằm ở góc

vùng Brillouin chúng ta thu được:

trong đó , . Như vậy có thể thấy ở kích cỡ năng lượng thấp,

hai vùng năng lượng tán sắc có tính chất của electron Dirac.

Hình 2.2 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt trong

mạng tinh thể Lieb. Có thể thấy một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai

vùng năng lượng tán sắc.

Hình 2.2: Cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình liên kết chặt của mạng tinh thể Lieb,

2.4. LIÊN KẾT SPIN-QUỸ ĐẠO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

17

Liên kết spin-quỹ đạo là hiệu ứng tương đối của elecron chuyển động

trong một thế tương tác. Trong cơ học lượng tử chung ta biết liên kết spin-quỹ

đạo có dạng [12,13]

trong đó m là khối lượng của electron, V(r) là thế năng, là toán tử động

lượng của electron và là các ma trận Pauli. Lượng tử hóa lân thứ hai liên kết

spin-quỹ đạo chúng ta thu được [13]:

trong đó và Là toán tử sinh hủy electron tại nút mạng tinh thể i có spin

s. là trạng thái spin có spin s. là tensor phản đối xứng toàn phần. là

thông số của liên kết spin-quỹ đạo [13]:

trong đó và là hàm sóng Wannier ở nút mạng tinh thể i.

18

Hình 2.3: Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông, liên kết spin-quý đạo

có thông số liên kết lớn nhất khi i,j là các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút

mạng tinh thể theo đường chéo

Thông thường thông số liên kết spin-quỹ đạo giảm rất nhanh khi khi

khoảng cách giữa các nút mạng tinh thể i,j xa nhau do hàm sáng Wannier gần

như định xứ quanh nút mạng tinh thể. Do tính chất đối xứng điểm của mạng

tinh thể mà thông số liên kết spin-quỹ đạo có thể bị triệt tiêu ở một số chỗ.

Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông. Do tính chất đối

xứng gương qua bất kỳ cạnh nào của hình vuông mà khi i,j là các nút

mạng lân cận gần nhất. Vì vậy liên kết spin-quý đạo có thông số liên kết lớn

nhất khi i,j la các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút mạng tinh

thể theo đường chéo, như ở hình 2.3.

Hamiltonian của liên kết spin-quỹ đạo này có thể viết như sau

với . Trong đó khi nhảy nút từ nút i sang nút j ngược chiều kim

đồng hồ như ở hình 2.4, khi nhảy nút từ i sang nút j thuận chiều kim

đồng hồ. Để Hamiltonian có tính chất Hermite và λ là thông số thực chúng ta

cần hệ số i (số ảo i2 = -1) ở phía trước.

Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu

được Hamiltonian Bloch như sau:

19

trong đó

Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên

Hamiltonian là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm

được từ phương trình đặc trưng

Từ đây chúng ta thu được phương trình:

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm:

Và hai nghiệm khác 0

Hình 2.4 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình đang xét khi

có liên kết spin-quỹ đạo. Chúng ta có thể thấy liên kết spin-quỹ đạo đã tạo ra

khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Khi mật độ số hạt bằng 1/3

(hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Còn khi mật độ số hạt bằng ½ tính

chất cơ bản của trạng thái cơ bản do vùng năng lượng phẳng xác định.

20

Hình 2.4: Cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt khi có liên kết spin-quỹ đạo.

2.5. ĐIỀU BIẾN MẠNG TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Nếu trong mô hình liên kết chỉ xét tới điều biến mạng tinh thể thì

Hamiltonian có dạng như sau:

trong đó , với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể

tại nút (i,j) như thể hiện trên hình 2.5

21

Hình 2.5. Cấu trúc mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng tinh thể trong đó

,

với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể tại nút (i,j)

Mạng Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên Hamiltonian

Bloch là ma trận sau:

Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm được từ phương trình

đặc trưng là

trong đó

Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được nghiệm gồm:

Và hai nghiệm khác 0

22

Như vậy chúng ta có thể thấy điều biến mạng cũng tạo ra khe năng

lượng cô lập vùng năng lượng phẳng giống như liên kết spin-quỹ đạo như ở

hình 2.6

Hình 2.6. Cấu trúc vùng năng lượng trong mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng δ=0.4.

Như vậy chúng ta có thể thấy nếu chỉ khảo sát cấu trúc vùng năng

lượng của khối thì chúng ta chỉ biết hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và

hiệu ứng của điều biến mạng giống như nhau. Chúng đều tạo ra khe năng

lượng và cô lập vùng năng lượng phẳng ở giữa. Chúng ta không thể biết tính

chất tôpô của trạng thái cơ bản từ cấu trúc vùng năng lượng khối. Do vậy ở

chương tiếp theo chúng tôi nghiên cứu tính chất tôpô của hệ thông qua các

mode biên.

23

CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG

NANO MẠNG TINH THỂ LIEB

Ở chương trước chúng ta đã thây hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và

của điều biến mạng lên vùng năng lượng phẳng trong khối. Nhưng với cấu

trúc vùng năng lượng khối chúng ta không thấy được tính chất tôpô của hệ.

Tính chất tôpô của hệ có thể khảo sát thông qua các đặc điểm khác nhau. Một

cách khảo sát tính chất tôpô là tính số Chern. Số Chern chính là bất biến tôpô

của trạng thái cơ bản. Cách khác là khảo sát các chỉ số mode biên của hệ.

Cách làm này trực quan vì nó thể hiện tính chất căn bản của chất điện môi

tôpô: trong khối là chất điện môi nhưng trên bề mặt (hay biên) electron lại có

khả năng truyền dẫn. Đó chính là tính chất được gọi là nguyên lí tương ứng

khối-biên. Tính chất tôpô trong khối phản ánh lên tính chất của các mode biên

và ngược lại. Khi đường mode biên cắt mức năng lượng Fermi nó thể hiện

mode biên đó có tính chất kích thích không khe. Tương ứng với mỗi biên, nếu

số mode biên ở mức năng lượng Fermi là số lẻ thì trạng thái điện môi là tôpô.

Ngược lại, nếu số mode biên là số chẵn thì ta có trạng thái điện môi không có

tính chất tôpô.

Để khảo sát được các mode biên, chúng ta xét một dải băng nano. Dải

băng nano được cắt ra từ mạng tinh thể Lieb theo một chiều nào đó, khiến nó

24

có biên tuần hoàn theo một chiều và không có biên tuần hoàn theo chiều kia.

Biên không tuần hoàn sẽ tạo ra các mode biên.

Trong chương này, trong mục 3.1 chúng tôi sẽ trình bày lí thuyết về cấu

trúc vùng năng lượng cho dải băng nano. Tùy theo tính chất của biên không

tuần hoàn chúng ta có các cấu trúc vùng năng lượng khác nhau. Các mục tiếp

theo chúng tôi tính toán cấu trúc vùng năng lượng cho các dải băng nano có

biên không tuần hoàn khác nhau và khảo sát các mode biên để từ đó rút ra

tính chất tôpô của hệ.

3.1. LÍ THUYẾT CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG

NANO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB

Chúng ta xem xét một mô hình liên kết chặt với liên kết spin-quỹ đạo

trên mạng tinh thể Lieb, Hamiltonian có dạng:

Chỉ số nút mạng i trong mạng tinh thể Lieb được đánh số lại bằng chỉ số

mạng cơ sở là và chỉ số nút mạng a trong ô cơ sở chúng ta quy ước a=1

chỉ nút mạng A, a=2 chỉ nút mạng C, a=3 chỉ nút mạng B

,

Khi đó Hamiltonian được viết lại như sau:

25

Sử dụng phép biến đổi Fourier theo chiều x do điều kiện biên tuần hoàn ta thu

được

trong đó là số ô mạng cơ sở tính theo chiều x

Chúng ta thu được

. Sau đó lấy tổng Lấy tổng theo chỉ số Ix, chúng ta thu được

theo px , Hamiltonian trở thành:

26

Ghép các số hạng có cùng toán tử sinh hủy, chúng ta thu được:

Hay

Và cuối cùng chúng ta thu được:

27

Hamiltonian này có thể viết dưới dạng ma trận như sau

Ở đây chúng ta đưa vào các chỉ số kép cho chỉ số và

Với chỉ số kép có dạng:

Cột ma trận đầu viết với chỉ số Iy và a tách biệt, cột ma trận sau viết với

chỉ số kép chung cho cả Iy và a. Số chiều của cột ma trận này phụ thuộc vào

số ô ma trận cơ sở tính theo chiều y và điều kiên biên không tuần hoàn.

Chúng ta sử dụng chỉ số kép để cho Hamiltonian Bloch có dạng chính tắc của

ma trận vuông, thuận tiện cho tính số tìm các trị riêng của ma trận.

Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano chính là các trị riêng của

Hamiltonian . Sử dụng thư viện LAPACK trong lập trình bằng ngôn

28

ngữ FORTRAN77 chúng ta có thể tính các trị riêng của . Trong mục

sau chúng tôi trình bày các kết quả tính số.

3.2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO VỚI

HAI BIÊN THẲNG

Dải băng nano với hai biên thẳng không tuần hoàn theo trục y có dạng

như hình 3.1.

Hình 3.1: Dải băng nano với hai biên thẳng theo chiều y

Gọi Ny là số ô cơ sở tính theo trục y. Khi đó số chiều ma trận của

Hamiltonian Bloch là Mt x Mt với Mt = 3Ny + 2. Trong tính số chúng tôi tính

cấu trúc vùng năng lượng với Ny = 20.

29

Hình 3.2: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi không có liên

kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng

Hình 3.2 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có

hai biên thẳng khi không có liên kết spin-quỹ đạo lẫn điều biến mạng (λ=0,

δ=0). Cấu trúc vùng năng lượng cho thấy rõ có ba vùng năng lượng, trong đó

có một vùng phẳng. Ở lân cận , hệ thức tán sắc của electron cũng

tuyến tính với động lượng như chúng ta đã phân tích ở cấu trúc vùng năng

lượng của khối. Ở đây chúng ta không thấy có mode biên. Khi mật độ số hạt

bằng 1/2 , mức năng lượng Fermi nằm trên chính vùng năng lượng phẳng.

Nếu thêm các tương tác khác chúng có thể tạo ra hiện tượng như: sắt từ

phẳng, hiệu ứng Kondo phân tử…[8-11]

30

Hình 3.3: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi có liên kết

spin-quỹ đạo và không có điều biến mạng

Hình 3.3 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano khi chỉ

có thêm liên kết spin-quỹ đạo (λ≠0, δ=0). Chúng ta vẫn thấy có ba vùng năng

lượng trong đó có một vùng phẳng. Nhưng khác với trường hợp trước, vùng

năng lượng phẳng bị tách khỏi hai vùng năng lượng còn lại. Giữa chúng là

khe năng lượng. Như vậy hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo là tạo ra khe

năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Tính chất này chúng ta đã thấy

trong cấu trúc vùng năng lượng của khối. Nhưng bên cạnh đó, chúng ta cũng

thấy có hai mode biên. Khi hệ có mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng thái

cơ bản là điện môi do mức năng lượng Fermi nằm trong khe năng lượng do

liên kết spin-quỹ đạo tạo ra. Ở đó có một mode biên tương ứng với mỗi thành

phần spin cắt mức năng lượng Fermi hai lần. Do dải băng nano có hai biên,

nên ứng với mỗi biên chúng ta có một mode biên kích thích không khe. Như

vậy trạng thái điện môi khi mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) là trạng thái điện

môi tôpô. Kết quả nay phù hợp với các kết quả nghiên cứu công bố đã biết

[1].

31

Hình 3.3: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi không có liên

kết spin-quỹ đạo và có điều biến mạng

Hình 3.3 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano khi chỉ

có điều biến mạng (λ=0, δ≠0). Cũng giống như trương hợp trước, điều biến

mạng tạo ra khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Như vậy ở mật độ

số hạt 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Nhưng khác với trường hợp

trước, mode biên bị cô lập trong khe năng lượng chúng không tạo ra kích

thích biên không khe. Do vậy trạng thái điện môi có mật độ số hạt bằng 1/3

(hay 2/3) là trạng thái có tính chất tôpô tầm thường (hay đơn giản gọi là

không tôpô). Kết quả này phù hợp với các kết quả đã công bố trên thế giới

[1].

32

Hình 3.4. Cấu trúc vùng năng lượng với liên kết spin-quỹ đạo ấn định (λ=0.4) và điều biến

mạng thay đổi (δ=0.2, 0.4, 0.6, 0.8). Chúng ta nhận thấy vùng năng lượng phẳng đã biến

mất và vùng năng lượng cho các thành phần spin của electron trở nên khác nhau. Khi điều

biến mạng nhỏ (δ<0.5) mode biên cắt mức năng lượng Fermi hai lần trạng thái điện môi có

tính chất tôpô. Nhưng khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) mode biên lại bị cô lập và trạng thái

cơ bản thành điện môi thường, không có tính chất tôpô

Khi có đồng thời liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng, chúng sẽ

cạnh tranh lẫn nhau và có thể tạo ra chuyển pha tôpô. Trên hình 3.4 thể hiện

cấu trúc vùng năng lượng với liên kết spin-quỹ đạo ấn định (λ=0.4) và điều

biến mạng thay đổi (δ=0.2, 0.4, 0.6, 0.8). Chúng ta nhận thấy khi có mặt cả

liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng vùng năng lượng phẳng đã biến mất

và vùng năng lượng cho các thành phần spin của electron trở nên khác nhau.

Đây là hiệu ứng tác động song song đồng thời của cả liên kết spin-quỹ đạo lẫn

điều biến mạng. Cũng giống như các trường hợp đã xem xét ở trên, khe năng

lượng phân tách thành ba vùng năng lượng khác nhau. Như vậy khi mật độ số

hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Khi điều biến mạng nhỏ

(δ<0.5) mode biên cắt mức năng lượng Fermi hai lần. Do đó trạng thái điện

môi có tính chất tôpô. Nhưng khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) mode biên lại bị

cô lập và trạng thái cơ bản thành điện môi thường, không có tính chất tôpô.

Từ đây có thể kết luận rằng điều biến mạng đã tạo nên chuyển pha tôpô khi có

mặt liên kết spin-quỹ đạo. Khi điều biến mạng tăng lên, trạng thái cơ bản

33

chuyển từ điện môi tôpô sang điện môi thường. Đó là hiệu ứng ảnh hưởng qua

lại giữa liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng.

3.3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO VỚI

MỘT BIÊN THẲNG VÀ MỘT BIÊN RĂNG CƯA

Dải băng nano với một biên thẳng và một biên răng cưa không tuần

hoàn theo trục y có dạng như hình 3.5

Hình 3.5: Dải băng nano với một biên thẳng và một biên răng cưa

Gọi Ny là số ô cơ sở tính theo trục y. Khi đó số chiều ma trận của

Hamiltonian Bloch là Mt x Mt với Mt = 3Ny. Trong tính số chúng tôi tính cấu

trúc vùng năng lượng với Ny = 20.

34

Hình 3.6: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có biên thẳng và một biên răng cưa

khi không có liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng

Hình 3.6 là cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có một biên

thẳng và một biên răng cưa khi không có liên kết spin-quỹ đạo và điều biến

mạng (λ=0, δ=0). Cũng giống như ở mục trước, khi không có liên kết spin-

quỹ đạo và điều biến mạng, các mode biên không xuất hiện. Nhưng khác với

trường hợp hai biên thẳng, chúng ta thấy có khe năng lượng nhỏ ngăn cách

vùng năng lượng phẳng ra khỏi hai vùng tán sắc. Trong trường hợp này

electron Dirac không xuất hiện ở động lượng . Khe năng lượng này tỉ

electron Dirac lại phục hồi ở động lượng . lệ với 1/Ny. Khi

35

Hình 3.7: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có một biên thẳng và một biên răng

cưa khi có liên kết spin-quỹ đạo và không có điều biến mạng (mầu nâu cho spin lên và mầu

xanh cho spin xuống).

Hình 3.7 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano khi chỉ

có thêm liên kết spin-quỹ đạo (λ≠0, δ=0). Chúng ta thấy cấu trúc vùng năng

lượng về cơ bản giống như trường hợp hai biên thẳng. Tuy vậy, khác với

trường hợp hai biên thẳng, các mode biên cho các thành phần spin khác nhau

trở nên khác nhau như trình bày trên hình 3.7. Tuy vậy khi hệ có mật độ số

hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản vẫn là điện môi tôpô, do các mode

biên ứng với mỗi thành phần spin đều cắt mức năng lượng Fermi hai lần.

Hình 3.8: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có có một biên thẳng và một biên

răng cưa khi không có liên kết spin-quỹ đạo và có điều biến mạng.

36

Trái lại khi chỉ có điều biến mạng (λ=0, δ≠0) các mode biên biến mất

và trạng thái điện môi khi mật độ số hạt 1/3 (hay 2/3) trở nên không có tính

chất tôpô như trên hình 3.8.

Hình 3.9: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có có một biên thẳng và một biên

răng cưa khi có cả liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng vẫn thấy có chuyển pha tôpô do

điều biến mạng, nhưng khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) các mode biên biến mất

Khi có đồng thời liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng, chúng ta vẫn

thấy có chuyển pha tôpô do điều biến mạng như trên hình 3.9. Nhưng khác

với trường hợp hai biên thẳng, khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) các mode biên

biến mất.

37

3.4. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO VỚI

HAI BIÊN RĂNG CƯA

Dải băng nano với hai biên răng cưa không tuần hoàn theo trục y có

dạng như hình 3.10

Hình 3.10: Dải băng nano với hai biên răng cưa

Gọi Ny là số ô cơ sở tính theo trục y. Khi đó số chiều ma trận của

Hamiltonian Bloch là Mt x Mt với Mt = 3Ny + 1. Trong tính số chúng tôi tính

cấu trúc vùng năng lượng vẫn với Ny = 20.

Hình 3.11: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên răng cưa khi không có

liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng.

38

Hình 3.11 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai

biên răng cưa khi không có liên kết spin-quỹ đạo lẫn điều biến mạng (λ=0,

δ=0). Cũng giống như hai trường hợp trước, khi không có liên kết spin-quỹ

đạo và điều biến mạng, các mode biên cũng không xuất hiện. Nhưng khác với

trường hợp hai biên thẳng cấu trúc vùng năng lượng giống trường hợp một

biên thẳng và một biên răng cưa hơn khi xuất hiện khe năng lượng ngăn cách

vùng năng lượng phẳng ra khỏi hai vùng tán sắc. Vì vậy trong trường hợp này

electron Dirac cũng không xuất hiện ở động lượng . Độ rộng khe

electron Dirac lại phục hồi năng lượng này cũng tỉ lệ với 1/Ny và khi

ở động lượng .

Hình 3.12: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên răng cưa khi có liên

kết spin-quỹ đạo và không có điều biến mạng.

Hình 3.12 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng khi chỉ có thêm liên kết

spin-quỹ đạo (λ≠0, δ=0). Chúng ta thấy cấu trúc vùng năng lượng về cơ bản

giống như trường hợp hai biên thẳng. Chúng ta vẫn thấy có ba vùng năng

lượng trong đó có một vùng phẳng. Vùng năng lượng phẳng bị tách khỏi hai

vùng năng lượng còn lại. Giữa chúng là khe năng lượng, bên cạnh đó chúng ta

cũng thấy có hai mode biên. Khi hệ có mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng

thái cơ bản là điện môi do mức năng lượng Fermi nằm trong khe năng lượng

do liên kết spin-quỹ đạo tạo ra. Các mode biên có hình dạng khác trường hợp

39

hai biên thẳng tuy nhiên tương ứng với mỗi thành phần spin chúng cũng cắt

mức năng lượng Fermi hai lần. Do dải băng nano có hai biên, nên ứng với

mỗi biên chúng ta có một mode biên kích thích không khe. Như vậy trạng thái

điện môi khi mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) cũng là trạng thái điện môi

tôpô.

Hình 3.13: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên răng cưa khi không có

liên kết spin-quỹ đạo và có điều biến mạng.

Hình 3.13 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng khi chỉ có điều biến mạng

(λ=0, δ≠0). Cũng giống như trương hợp một biên thẳng và một biên răng cưa.

Trạng thái điện môi có mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) cũng là trạng thái có

tính chất tôpô tầm thường (hay đơn giản gọi là không tôpô).

Khi có đồng thời liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng, sự cạnh

tranh lẫn nhau giữa chúng có thể tạo ra chuyển pha tôpô. Trên hình 3.14 thể

hiện cấu trúc vùng năng lượng với liên kết spin-quỹ đạo ấn định (λ=0.4) và

điều biến mạng thay đổi. Cũng giống như các trường hợp ở trên, khi mật độ

số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) và điều biến mạng nhỏ (δ<0.5) mode biên cắt mức

năng lượng Fermi hai lần. Do đó trạng thái điện môi có tính chất tôpô. Nhưng

khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) mode biên lại bị cô lập và trạng thái cơ bản

40

thành điện môi thường, không có tính chất tôpô. Và điều biến mạng vẫn là

nguyên nhân tạo nên chuyển pha tôpô khi có mặt liên kết spin-quỹ đạo. Khi

điều biến mạng tăng lên, trang thái cơ bản chuyển từ điện môi tôpô sang điện

môi thường.

Hình 3.14: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên răng cưa khi có cả liên

kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng, với liên kết spin-quỹ đạo ấn định (λ=0.4) và điều biến

mạng thay đổi. Khi điều biến mạng nhỏ (δ<0.5) mode biên cắt mức năng lượng Fermi hai

lần trạng thái điện môi có tính chất tôpô, nhưng khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) mode biên

lại bị cô lập và trạng thái cơ bản thành điện môi thường

41

CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong luận văn này chúng tôi đã nghiên cứu sự ảnh hưởng qua lại giữa

liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng tinh thể thông qua nghiên cứu cấu

trúc vùng năng lượng của dải băng nano và các mode biên với các biên không

tuần hoàn khác nhau. Các kết quả chính đã thu được trong luận văn này có thể

tóm tắt như sau:

1. Khi chỉ có liên kết spin-quỹ đạo hay điều biến mạng, cấu trúc vùng

năng lượng thu được hoàn toàn phù hợp với các kết quả đã công bố của

các tác giả khác [1].

2. Khi có mặt đồng thời cả liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng,

chúng mở rộng vùng năng lượng phẳng và khiến cho các thành phần spin

khác nhau có cấu trúc vùng năng lượng khác nhau.

3. Liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng cạnh tranh nhau dẫn đến

chuyển pha từ trạng thái điện môi tôpô sang trạng thái điện môi thường

khi mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3). Kết quả chuyển pha này không phụ

thuộc vào kiểu biên của biên không tuần hoàn.

Trong luận văn này chúng tôi chưa nghiên cứu thêm vai trò của từ

trường tác động lên ảnh hưởng qua lại giữa liên kết spin-quỹ đạo và điều biến

mạng. Từ trường và liên kết spin-quỹ đạo cùng với điều biến mạng có thể

sinh ra các trạng thái kỳ lạ. Vấn đề này chúng tôi sẽ nghiên cứu tiếp theo.

42

Tài liệu tham khảo

[1] Weeks C and Franz M 2010 Phys. Rev. B 82 085310

[2] Tasaki H 1998 Prog. Theor. Phys. 99 489

[3] Maksymenko M, Honecker A, Moessner R, Richter J and Derzhko O 2012

Phys. Rev. Lett. 109 096404

[4] Sheng D N , Gu Z C, Sun K and Sheng L 2011 Nat. Commun. 2 389

[5] Tang E, Mei J W and Wen X G 2011 Phys. Rev. Lett. 106 236802

[6] Sun K, Gu Z, Katsura H and Das Sarma S 2011 Phys. Rev. Lett. 106

236803

[7] Neupert T, Santos L, Chamon C and Mudry C 2011 Phys. Rev. Lett. 106

236804

[8] Nguyen H S and Tran M T 2016 Phys. Rev. B 94 125106

[9] Tran M T and Nguyen T T 2018 Phys. Rev. B 97 155125

[10] Duong-Bo Nguyen, Hong-Son Nguyen and Minh-Tien Tran 2018

Comm. in Phys. 28 361

[11] Nguyen D B, Tran T T M, Nguyen T T and Tran M T 2019 Annals of

Physics 400 9

[12] Sakurai J J 1967 Advanced Quantum Mechanics (Addition Wesley)

[13] Trần Minh Tiến, Cơ sở vật lí hệ nhiều hạt, NXB Khoa học tự nhiên và

Công nghệ, 2017

[14] Julku A, Peotta S,Vanhala T I, Kim D H and T(cid:127)orm(cid:127)a P 2016 Phys.

Rev. Lett. 117 045303

43

[15] Thouless D J, Kohmoto M, Nightingale M P and den Nijs M 1982 Phys.

Rev. Lett. 49 405

[16] Nguyen H S and Tran M T 2013 Phys. Rev. B 88 165132

[17] Tran M T, Nguyen H S and Le D A 2016 Phys. Rev. B 93 155160

[18] Hassan M Z and Kane C L 2010 Rev. Mod. Phys. 82 3045

[19] Chen R and Zhou B 2016 Chin. Phys. B 25 067204

[20] Lâm Thị Hòa, Hiệu ứng của từ trường lên tính chất tôpô trong mô hình

Haldane spin, Luận văn thạc sĩ, Viện vật lí, 2016

[21] Nguyễn Thị Thùy, Pha trật tự điện tích tôpô trong mô hình Haldane-

Falicov-Kimball, Luận văn thạc sĩ, Viện vật lí, 2012

44