ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
---------------------------------------
L Ê T H
Ị
N G U Y Ễ N T H
Ị
N G Ọ C H Â N
LÊ THỊ NGỌC HÂN
N G Ọ C H U Y Ề N
NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H I Ệ P – S Ư P H Ạ M T O Á N
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
2 0 1 6
TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016
1
ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
LÊ THỊ NGỌC HÂN
NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. TRẦN SƠN LÂM
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kì một công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Lê Thị Ngọc Hân
Nguyễn Thị Ngọc Huyền
Lời cảm ơn
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Sơn Lâm – thầy là người tận tình hướng dẫn cho chúng tôi để hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất. Đồng thời, chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn ThS. Phan Trung Hiếu – cố vấn học tập của chúng tôi. Chúng tôi học hỏi được ở thầy cách làm việc khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học.
Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khóa luận để chúng tôi rút ra kinh nghiệm cho quá trình nghiên cứu sau này.
Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và khích lệ
tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của Quý Thầy, Cô cũng như sự góp ý chân
thành của các bạn.
Xin chân thành cảm ơn.
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................ i
Lời cam đoan ............................................................................................................ ii
Lời cảm ơn ..............................................................................................................iii
Mục lục ..................................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 3
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Khái niệm phương trình … .................................................................................. 4
1.1. Phương trình một ẩn … ................................................................................ 4
1.2. Điều kiện của một phương trình … .............................................................. 4
2. Phương trình vô tỷ ................................................................................................ 4
3. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả ............................................. 4
3.1. Phương trình tương đương … ....................................................................... 4
3.2. Phép biến đổi tương đương … ...................................................................... 4
3.3. Phương trình hệ quả … ................................................................................. 5
4. Định lý giá trị trung gian ...................................................................................... 5
5. Định lý về tính đơn điệu của hàm số .................................................................... 5
Chƣơng 2
MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Chức năng CALC … ............................................................................................ 6
1.1. Tính giá trị biểu thức … ............................................................................... 6
1.2. Khai triển biểu thức thành đa thức ................................................................ 7
2. Chức năng STO .................................................................................................. 15
3. Chức năng SOLVE............................................................................................. 16
1
4. Chức năng TABLE............................................................................................. 19
4.1. Các bước sử dụng chức năng TABLE ....................................................... 19
4.2. Cách nhìn bảng TABLE ............................................................................ 20
5. Giải phương trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS ................ 23
6. Nhận biết nghiệm đơn, nghiệm kép ................................................................... 26
6.1. Nghiệm đơn ............................................................................................... 26
6.2. Nghiệm kép ................................................................................................ 26
6.3. Các bước nhận biết nghiệm kép bằng máy tính ........................................ 27
Chƣơng 3
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỶ
1. Phương pháp lũy thừa hai vế .............................................................................. 29
1.1. Phương trình có dạng quen thuộc ............................................................... 29
1.2. Phương trình không có dạng quen thuộc .................................................... 31
2. Phương pháp nhân lượng liên hợp ..................................................................... 40
2.1. Phương pháp chung .................................................................................... 40
2.2. Phương pháp tìm lượng liên hợp ................................................................ 41
3. Phương pháp đặt ẩn phụ ..................................................................................... 56
3.1. Đặt một ẩn phụ hoàn toàn ........................................................................... 56
3.2. Đặt hai ẩn phụ hoàn toàn ............................................................................ 63
3.3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn ....................................................................... 67
3.3.1. là số chính phương .......................................................................... 67
3.3.2. không là số chính phương ............................................................... 70
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ............................................... 72
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 84
2
Mở đầu
Phương trình vô tỷ là dạng toán khó thường gặp ở trong chương trình toán học bậc phổ thông. Nhưng trong chương trình phổ thông, phương trình vô tỷ được giảng dạy chỉ dừng lại ở các phương trình vô tỷ đơn giản. Tuy nhiên, dạng toán này xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng. Để giải các bài toán về phương trình vô tỷ đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được cách giải nhanh chóng và chính xác. Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực trong việc giải phương trình vô tỷ là máy tính bỏ túi. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn chưa sử dụng được chức năng này của máy tính bỏ túi. Một trong những loại máy tính bỏ túi thông dụng nhất hiện nay là VINACAL 570ES PLUS và loại máy này được cho phép sử dụng trong các kì thi. Máy tính VINACAL 570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy tính khác là - Giải phương trình bậc hai, bậc ba cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức. - Tích phân, căn thức, lũy thừa có cách ghi giống như sách giáo khoa. - Tốc độ xử lý nhanh hơn, cho kết quả đầy đủ hơn. Với mong muốn của bản thân về một đề tài mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình ở trường phổ thông, chúng tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vô tỷ”. Với mục đích, đưa ra các phương pháp, cách giải phương trình vô tỷ nhanh chóng, chính xác nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi. Từ đó, giúp học sinh tư duy tốt hơn, có thể hoàn thành tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ. Mặc dù đã cố gắng nhưng khóa luận chắc chắn vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý Thầy, Cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn. Khóa luận bao gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Một số chức năng của máy tính VINACAL 570ES PLUS trong giải phương trình vô tỷ. Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vô tỷ.
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. KHÁI NIỆM PHƢƠNG TRÌNH 1.1. Phƣơng trình một ẩn Định nghĩa 1.1. Phương trình ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng , (1.1)
là những biểu thức của . Ta gọi là vế trái, là vế và
trong đó phải của phương trình (1.1). Nếu có số thực sao cho là “mệnh đề” đúng thì được gọi là một
có nghĩa. và
thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.
nghiệm của phương trình (1.1). Giải phương trình (1.1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 1.2. Điều kiện của một phƣơng trình Định nghĩa 1.2. Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của để phương trình) là điều kiện đối với ẩn số Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của II. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Trong sách giáo khoa không có định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán khác và tài liệu tham khảo khác thì phương trình vô tỷ là phương trình chứa
, ,… là những phương
ẩn dưới dấu căn. Ví dụ như trình vô tỷ.
III. PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 3.1. Phƣơng trình tƣơng đƣơng Định nghĩa 1.3. Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 3.2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng Định nghĩa 1.4. Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. Định lý sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng. Định lý 1.5. Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
4
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. 3.3. Phƣơng trình hệ quả
đều là nghiệm của phương trình
được gọi là phương trình hệ quả của phương
Nếu mọi nghiệm của phương trình thì phương trình . Ta viết trình
(1.2)
IV. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Định lý 1.6. Cho là hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít
nhất một điểm sao cho .
V. ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định lý 1.7. Nếu hàm số liên tục và luôn đơn điệu một chiều trên miền D
(luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm trên D của phương trình
không nhiều hơn một và .
Định lý 1.8. Nếu hai hàm số và đơn điệu ngược chiều trên miền D thì số
nghiệm trên D của phương trình không nhiều hơn một.
5
Chƣơng 2 MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cả nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sử dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên, nếu biết khai thác triệt để các chức năng của máy tính thì ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau.
I. CHỨC NĂNG CALC
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, chức năng CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu thức ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính giá trị một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau của biến chỉ với một lần nhập biểu thức, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.
Chức năng CALC sử dụng được trong tính toán số thực COMP (bấm ) và
trong tính toán số phức CMPLX (bấm ).
1.1. Tính giá trị biểu thức Các bước thực hiện Bƣớc 1: Nhập biểu thức.
Bƣớc 2: Bấm phím .
Bƣớc 3: Nhập giá trị của biến và bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của biểu
thức ứng với giá trị của biến.
Ví dụ 2.1: Cho biểu thức . Tính giá trị của biểu thức
A tại .
Bƣớc 1: Nhập biểu thức
Bƣớc 2: Bấm phím .
6
Bƣớc 3: Nhập và bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của biểu thức A ứng với
là .
Tương tự, ta bấm phím và nhập 3, sau đó bấm phím . Màn hình hiển thị
giá trị của biểu thức A ứng với giá trị là .
1.2. Khai triển biểu thức thành đa thức
Biểu thức được khai triển thành đa thức có dạng
Ta cần tìm các hệ số (gọi là chiều thuận).
Ta có
Khi đó
.
Như vậy, hệ số được tìm bằng cách tính
Ta lại có
Khi đó
7
Như vậy, hệ số được tìm bằng cách tính , với đã tìm được.
Tương tự, ta tìm được các hệ số .
Từ ý tưởng trên, để tìm các hệ số theo chiều thuận bằng máy
tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện theo các bước sau
Bƣớc 1: Xác định bậc của đa thức được khai triển và nhập biểu thức
Bƣớc 2: Bấm phím . Nhập giá trị của biến X là 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số
Bƣớc 4: Quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
Bƣớc 5: Bấm phím . Nhập giá trị của biến X là 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số
Tương tự, ta tìm được các hệ số .
Sau khi tìm được các hệ số , ta có
Ta thử lại kết quả bằng cách Bƣớc 1: Nhập
. Nhập một vài giá trị bất kỳ của X. Nếu các kết quả đều là Bƣớc 2: Bấm phím 0 thì phép khai triển với các hệ số đã tìm được là đúng. Nếu màn hình hiển thị ít nhất một kết quả khác 0 thì phép khai triển với các hệ số đã tìm được là chưa đúng và cần kiểm tra lại.
Lúc này, ta kiểm tra lại hệ số bằng cách tìm các hệ số (gọi là
chiều nghịch) cho đến khi hệ số đầu tiên tìm được theo chiều nghịch trùng với hệ số tìm được theo chiều thuận thì ta dừng lại. Khi đó, ta thay các hệ số tìm được theo chiều thuận bằng hệ số tìm được theo chiều nghịch. Ta có
Từ ý tưởng trên, để tìm các hệ số theo chiều nghịch bằng máy
tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện theo các bước sau
8
Bƣớc 1: Nhập biểu thức
Bƣớc 2: Bấm phím . Nhập giá trị của biến X là 0,001.
Bƣớc 3: Bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số
Bƣớc 4: Quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
Bƣớc 5: Bấm phím . Nhập giá trị của biến X là 0,001.
Bƣớc 6: Bấm phím . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số Ta thực hiện tương tự cho đến khi nhận được hệ số giống với khai triển theo chiều thuận và thu được đa thức khai triển dạng
Ví dụ 2.2: Khai triển biểu thức
Nhận xét: Biểu thức được khai triển thành đa thức bậc bốn có dạng
Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số .
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 4: Nhập
Bƣớc 5: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím . Ta được
9
Làm tương tự,
Bƣớc 7: Nhập
Bƣớc 8: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 9: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 10: Nhập
Bƣớc 11: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 12: Bấm phím Ta được
Bƣớc 13: Nhập
Bƣớc 14: Bấm phím , nhập 1000.
.
Bƣớc 15: Bấm phím . Ta được
10
Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
Bấm phím , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết
Ví dụ 2.3: Khai triển biểu thức
Nhận xét: Biểu thức được khai triển thành đa thức bậc sáu có dạng
Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số
.
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 4: Nhập
Bƣớc 5: Bấm phím , nhập 1000.
11
Bƣớc 6: Bấm phím . Ta được
Làm tương tự,
Bƣớc 7: Nhập
Bƣớc 8: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 9: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 10: Nhập
Bƣớc 11: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 12: Bấm phím Ta được
Bƣớc 13: Nhập
Bƣớc 14: Bấm phím , nhập 1000.
12
Bƣớc 15: Bấm phím Ta được
Bƣớc 16: Nhập
Bƣớc 17: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 18: Bấm phím Ta được
Bƣớc 19: Nhập
Bƣớc 20: Bấm phím , nhập 1000.
.
Bƣớc 21: Bấm phím . Ta được
Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
Bấm phím , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết
13
Ví dụ 2.4: Thực hiện phép chia hết đa thức cho đa thức
.
Nhận xét: Đa thức nhận được của phép chia đa thức chia hết trên là đa thức bậc ba có
dạng:
Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số .
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 4: Nhập
Bƣớc 5: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím . Ta được
Làm tương tự,
Bƣớc 7: Nhập
14
Bƣớc 8: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 9: Bấm phím Ta được
Bƣớc 10: Nhập
Bƣớc 11: Bấm phím , nhập 1000.
.
Bƣớc 12: Bấm phím . Ta được
Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
Bấm phím , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết
II. CHỨC NĂNG STO
Máy tính VINACAL 570ES PLUS có tám biến đặt sẵn có tên là A, B, C, D, E, F, X,
Y. Ta có thể gán giá trị cho các biến và dùng các biến này trong tính toán. Các bước thực hiện Bƣớc 1: Nhập giá trị cần gán.
(chức năng STO).
Bƣớc 2: Bấm phím Bƣớc 3: Nhập biến được gán giá trị.
15
Ví dụ 2.5: Gán giá trị cho biến A.
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm Bƣớc 3: Nhập biến A (bấm phím ).
III. CHỨC NĂNG SOLVE
Chức năng SOLVE dùng để tìm nghiệm của phương trình. Chức năng SOLVE chỉ dùng trong tính toán số thực.
và bấm Khi nhập biểu thức
(chức năng SOLVE), màn hình hiển thị “X=?”, ta nhập một giá trị bất kì thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thoả mãn thì máy tính sẽ dừng lại và hiển thị nghiệm đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập phân với sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai
trở xuống).
bằng chức năng SOLVE
vế (thông thường sai số này rất bé khoảng 3.1. Các bƣớc tìm nghiệm của phƣơng trình Bƣớc 1: Đưa phương trình đã cho về dạng .
Bƣớc 2: Nhập biểu thức f(X). Sau đó, bấm để lưu biểu thức. Nếu bấm mà
với X là một số bất kỳ
máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm thỏa điều kiện của phương trình.
Bƣớc 3: Bấm , cho X nhận giá trị thỏa điều kiện của phương trình,
bấm ra kết quả nghiệm thứ nhất, gán vào A. Nếu máy báo “Can’t solve”, nghĩa là
phương trình vô nghiệm. Bƣớc 4:Tìm nghiệm thứ hai, ta trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành
, bấm , bấm ra kết quả nghiệm thứ hai, gán vào B.
Bƣớc 5: Tìm nghiệm thứ ba, ta trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành
, bấm , bấm ra kết quả nghiệm thứ ba, gán
vào C. Làm tương tự như thế cho đến khi máy báo “Can’t solve”, nghĩa là phương trình không còn nghiệm nào nữa.
Ví dụ 2.6: Tìm nghiệm của phương trình
Điều kiện
16
Bƣớc 1:
Bƣớc 2: Nhập biểu thức bấm để lưu biểu thức. Nếu bấm
mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm với X bằng 1
(thỏa điều kiện).
, cho X bằng 1 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
Bƣớc 3: Bấm thị
Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2.7: Tìm nghiệm của phương trình
Điều kiện
Bƣớc 1:
Bƣớc 2: Nhập biểu thức , bấm để lưu biểu
thức. Nếu bấm mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm
với X bằng 2 (thỏa điều kiện).
, cho X bằng 2 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
Bƣớc 3: Bấm thị
. Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm
Do đó, phương trình có một nghiệm hay không, ta qua bước 4. Bƣớc 4: Trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành
bấm , bấm ra kết quả
Do đó, phương trình có thêm một nghiệm là .
17
Tiếp tục kiểm tra phương trình còn nghiệm hay không, ta qua bước 5. Bƣớc 5: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành
bấm , bấm ra kết quả
Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên. Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là . ;
Ví dụ 2.8: Tìm nghiệm phương trình:
Điều kiện
Bƣớc 1:
Bƣớc 2: Nhập biểu thức , bấm để
lưu biểu thức. Nếu bấm mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm
với X bằng 2 (thỏa điều kiện).
, cho X bằng 2 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
Bƣớc 3: Bấm thị
Do đó, phương trình có một nghiệm vô tỷ . Để kiểm tra xem phương
trình còn nghiệm hay không, ta gán nghiệm tìm được vào A bằng cách bấm
, rồi qua bước 4.
Bƣớc 4: Trở lại biểu thức ban đầu, sửa thành
18
bấm , bấm ra kết quả
. Để kiểm tra xem phương trình còn
Do đó, phương trình có thêm nghiệm hữu tỷ nghiệm hay không, ta qua bước 5. Bƣớc 5: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành
bấm , bấm ra kết quả
Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên. Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm ;
IV. CHỨC NĂNG TABLE
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các giá trị của một biểu thức, trong đó các
giá trị của biến mà ta gán là cấp số cộng.
Chức năng TABLE giúp ta: -Dự đoán khoảng chứa nghiệm của một phương trình. -Dự đoán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. -Dự đoán tính tăng, giảm của hàm số. -Dự đoán dấu của biểu thức.
4.1. Các bƣớc sử dụng chức năng TABLE
Bƣớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Bƣớc 2: Bấm . Nhập biểu thức f(X).
Bƣớc 3: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Start?” Start là giá trị bắt đầu, thường được
, màn hình hiển thị chữ “End?” End là giá trị kết thúc, thường được chọn từ điều kiện xác định. Bƣớc 4: Bấm
chọn từ điều kiện xác định. Bƣớc 5: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Step?” Step được gọi là bước nhảy, là
khoảng cách giữa các giá trị của biến X. Chức năng TABLE của máy tính VINACAL 570ES PLUS hiển thị được tối đa 30 giá trị của biến, ứng với 29 khoảng giá trị. Vì thế, để
tận dụng triệt để 30 giá trị của biến, ta nhập “Step?” là .
19
Bƣớc 6: Bấm , màn hình hiển thị một bảng các giá trị của và từ
.
đến 4.2. Cách nhìn bảng TABLE Bảng gồm có 3 cột
Số thứ tự X F(X)
Nhìn vào bảng TABLE, ta có thể
-Dự đoán khoảng chứa nghiệm: Cần chú ý tới hai giá trị liên tiếp của cột X, giả sử là và và ) mà ứng với hai giá trị của này ta được hai giá trị (giả sử
trái dấu. Khi đó, phương trình có nghiệm trong khoảng .
-Dự đoán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Ta nhìn thấy các giá trị của cột F(X) tăng dần hay giảm dần. Số lớn nhất ở cột F(X) có thể là max, số nhỏ nhất ở cột F(X) có thể là min. xuống thì F(X) tăng ( -Dự đoán tính tăng, giảm của hàm số: Nếu các số ở cột F(X) có thứ tự tăng dần từ trên ), nếu các số ở cột F(X) có thứ tự giảm dần từ trên xuống
).
thì F(X) giảm ( -Dự đoán dấu của biểu thức: Nếu các số ở cột F(X) đều là số dương thì ta dự đoán
. Nếu các số ở cột F(X) đều là số âm thì ta dự đoán .
Ví dụ 2.9: Dự đoán khoảng chứa nghiệm của phương trình
Bƣớc 1: Điều kiện
Bƣớc 2: Bấm . Nhập biểu thức
Bƣớc 3: Bấm , màn hình hiển thị “Start?”, nhập
Bƣớc 4: Bấm , màn hình hiển thị chữ “End?”, nhập .
20
Bƣớc 5: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Step?” , nhập .
Bƣớc 6: Bấm , màn hình hiển thị
Ta nhận thấy nên phương trình có nghiệm trong khoảng
Ví dụ 2.10: Dự đoán giá trị lớn nhất của hàm số
Bƣớc 1: Điều kiện .
Bƣớc 2: Bấm . Nhập biểu thức
Bƣớc 3: Bấm , màn hình hiển thị “Start?”, nhập
Bƣớc 4: Bấm , màn hình hiển thị chữ “End?”, nhập .
21
Bƣớc 5: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Step?” , nhập .
Bƣớc 6: Bấm , màn hình hiển thị
Ta nhận thấy các số ở cột F(X) giảm dần từ xuống , nên dự đoán
Ví dụ 2.11: Dự đoán tính tăng, giảm và dấu của hàm số
Giải
Bƣớc 1: Điều kiện .
Bƣớc 2: Bấm . Nhập biểu thức
Bƣớc 3: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Start?”, nhập
Bƣớc 4: Bấm , màn hình hiển thị chữ “End?”, nhập .
22
Bƣớc 5: Bấm , màn hình hiển thị chữ “Step?” , nhập .
Bƣớc 6: Bấm , màn hình hiển thị
Ta nhận thấy các số ở cột F(X) giảm dần từ , nên dự đoán xuống
là hàm số giảm và tất cả các số ở cột F(X) đều âm nên dự đoán
V. Giải phƣơng trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS
Để giải phương trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện các
bước sau
Bƣớc 1: Chuyển vế đưa phương trình về dạng Nhập biểu thức .
Bƣớc 2: Tìm nghiệm của biểu thức bằng chức năng SOLVE. Xảy ra hai trường
hợp sau:
Nghiệm hữu tỷ: Ta sử dụng phân tích Hoocne đưa biểu thức về dạng nhân tử bậc
hai.
Nghiệm vô tỷ: Ta sử dụng chức năng STO để gán các giá trị nghiệm. Sau đó tìm tổng và tích của các nghiệm vừa gán. Nếu cặp nghiệm nào cho tổng và tích dạng hữu tỷ thì ta tìm được nhân tử bậc hai chứa cặp nghiệm đó. Giả sử, cặp nghiệm đó là A và B. Khi đó
và ta tìm biểu thức bằng cách sử dụng thuật toán khai triển biểu thức thành đa thức.
Bƣớc 3: Khi đó, ta có
23
Ví dụ 2.12: Giải phương trình
Phân tích:
Bƣớc 1: Nhập biểu thức bấm để lưu biểu thức.
Bƣớc 2: Bấm , ta thấy màn hình hiển thị
Do đó, phương trình có một nghiệm . Để kiểm tra xem phương trình
còn nghiệm hay không, ta gán nghiệm tìm được vào A bằng cách bấm
, rồi qua bước 3.
Bƣớc 3: Trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành
bấm , bấm ra kết quả
Do đó, phương trình có thêm một nghiệm là . Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm hay không, ta gán nghiệm tìm được vào B bằng cách bấm
, rồi qua bước 5.
Bƣớc 4: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành
bấm , bấm ra kết quả
24
Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Bƣớc 5: Ta nhập vào máy tính và tìm được Do đó A, B là và
nghiệm của phương trình
trong đó được khai triển thành đa thức bậc hai có dạng
Bƣớc 6: Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số .
Nhập biểu thức =
Ta thử lại bằng cách nhập
25
Vậy, Sau khi phân tích bằng máy tính, ta sẽ viết bài giải như sau
Giải
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm , .
VI. Nhận biết nghiệm đơn, nghiệm kép 6.1. Nghiệm đơn
Theo quan điểm của chúng tôi, nghiệm của phương trình được gọi là
nghiệm đơn nếu được phân tích thành nhân tử có dạng , trong đó
không còn nghiệm nữa.
6.2. Nghiệm kép
26
Theo quan điểm của chúng tôi, nghiệm của phương trình được
gọi là nghiệm kép nếu được phân tích thành nhân tử có dạng ,
trong đó không còn nghiệm nữa.
Nghiệm của phương trình được gọi là nghiệm kép
Chú ý 2.1: Tính bằng cách bấm phím .
6.3. Các bƣớc nhận biết nghiệm kép bằng máy tính Bƣớc 1: Nhập biểu thức
Bƣớc 2: Sử dụng chức năng SOLVE tìm tất cả các nghiệm của phương trình. Nếu
phương trình có nghiệm vô tỷ, ta gán giá trị nghiệm cho biến.
Giả sử ta cần kiểm tra có là nghiệm kép hay không, ta qua bước 3.
Bƣớc 3: Bấm , nhập biểu thức và và bấm
Nếu kết quả bằng 0 thì là nghiệm kép của phương trình . Nếu kết quả
khác 0 thì không là nghiệm kép của phương trình .
Ví dụ 2.13: Dự đoán nghiệm kép của phương trình
Bƣớc 1: Nhập biểu thức
Bƣớc 2: Sử dụng chức năng SOLVE tìm các nghiệm của phương trình.
. Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất
Để kiểm tra xem có là nghiệm kép hay không, ta thực hiện
27
Bƣớc 3: Bấm , nhập biểu thức và A. Bấm , màn hình cho kết
quả bằng 0.
là nghiệm kép của phương trình.
Vậy,
28
Chƣơng 3
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. PHƢƠNG PHÁP LŨY THỪA HAI VẾ 1.1. Phƣơng trình có dạng quen thuộc
Ví dụ 3.1: Giải phương trình
Phân tích: Phương trình trên có dạng . Khi gặp dạng phương trình
này, ta sử dụng phép biến đổi
Ta có thể sử dụng chức năng SOLVE, để dự đoán nghiệm của phương trình
Dự đoán phương trình có nghiệm duy nhất .
29
Giải
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.2: Giải phương trình
Phân tích: Phương trình trên có dạng . Khi gặp phương trình dạng
này, ta sử dụng phép biến đổi .
Ta có thể sử dụng chức năng SOLVE để dự đoán nghiệm của phương trình.
30
Dự đoán phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm là . ;
Giải
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm là ; .
1.2. Phƣơng trình không có dạng quen thuộc Bƣớc 1: Đặt điều kiện để phương trình xác định. Bƣớc 2: Lũy thừa hai vế -Nếu lũy thừa lẻ thì ta dùng biến đổi tương đương và không cần lưu ý đến điều kiện về dấu của hai vế. -Nếu lũy thừa chẵn mà muốn dùng biến đổi tương đương thì ta chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế của phương trình cùng dấu.
Bƣớc 3: So với điều kiện, kết luận nghiệm của phương trình.
Chú ý 3.1. Trong bước 2, nếu chuyển vế không được hoặc điều kiện hai vế cùng dấu phức tạp thì ta cứ lũy thừa hai vế nhưng dùng phép biến đổi là suy ra, sau khi giải ra xong, ta thế nghiệm tìm được vào phương trình để thử lại.
Ví dụ 3.3: Giải phương trình
Phân tích: Phương trình có chứa căn bậc chẵn nên ta phải chuyển vế thích hợp để hai
vế của phương trình cùng dấu, sau đó lũy thừa 2 hai vế. Ta có thể sử dụng chức năng SOLVE để dự đoán nghiệm của phương trình.
31
. Dự đoán phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Giải
Điều kiện
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.4: Giải phương trình
Phân tích:
Phương trình có dạng , nhưng đa số học sinh đều không nắm
rõ được điều kiện hai vế cùng dấu. Vì vậy, trong ví dụ này, ta sẽ giải bằng cách bình
32
phương hai vế mà không cần quan tâm đến điều kiện, nhưng sau khi giải được nghiệm, ta phải thế vào phương trình, nghiệm nào không thỏa phương trình thì loại.
Hơn nữa, trước đây, học sinh rất ngại khi khai triển lũy thừa hai vế vì tính toán phức tạp. Nhưng nay, khi chức năng CALC được khai thác, chúng ta có thể hướng dẫn cho học sinh tự tin sử dụng chức năng CALC để hỗ trợ tính toán một cách nhanh chóng.
Điều kiện
Ta có thể sử dụng chức năng SOLVE để dự đoán nghiệm của phương trình.
.
Dự đoán phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Bình phương hai vế của phương trình ban đầu, ta được
(3.1)
Vế trái của phương trình (3.1) được khai triển thành đa thức bậc bốn có dạng
.
Dùng chức năng CALC để tìm các hệ số .
Nhập biểu thức =
33
Ta thử lại bằng cách nhập
Ta được vế trái của (3.1) Do ta đã dự đoán được phương trình có nghiệm hữu tỷ duy nhất nên ta chia Hoocne để đưa về phương trình có nhân tử ( ).
34
Giải
Điều kiện
thỏa phương trình ban đầu. Thử lại, ta thấy chỉ có Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Chú ý: Để thử lại, ta sử dụng chức năng CALC, thay các nghiệm , ,
vào phương trình.
Suy ra, ta loại nghiệm và .
Ví dụ 3.5: Giải phương trình
Đề thi THPT Quốc gia 2015
Phân tích:
Điều kiện
35
Bình phương hai vế phương trình ta được
Vế trái của phương trình (1) được khai triển thành đa thức bậc 7 có dạng
Ta sẽ dùng chức năng CALC để tìm các hệ số
.
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 4: Nhập
Bƣớc 5: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím . Ta được
Làm tương tự, Ta được
36
Do bộ nhớ máy tính không thể hiện thị đủ nên để tìm được hệ số , ta phải tìm các
hệ số theo chiều nghịch, tức là tìm
Ta có
Vậy, ta được
Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được phương trình (2) chỉ có 3 nghiệm là .
37
Tính tổng và tích của hai nghiệm vô tỷ, ta thấy
từ đó, ta có nhân tử chứa hai nghiệm vô tỷ là .
Do đó,
Ta có được khai triển thành đa
thức bậc bốn có dạng
Dùng chức năng CALC để tìm các hệ số
.
Bƣớc 1: Nhập
Bƣớc 2: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím . Ta được
Bƣớc 4: Nhập
Bƣớc 5: Bấm phím , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím . Ta được
38
Làm tương tự, ta có
ta được
Vì ta đã dự đoán phương trình (2) chỉ có 3 nghiệm nên dự đoán phương trình vô nghiệm.
Giải
Điều kiện Ta có
Vì
nên
39
Thử lại, ta có nghiệm của phương trình đã cho là
Bài tập tƣơng tự
Bài 1:Giải phương trình
ĐS:
Bài 2: Giải phương trình ĐS:
Bài 3: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 4: Giải phương trình ĐS: .
ĐS: .
Bài 5: Giải phương trình II. PHƢƠNG PHÁP NHÂN LƢỢNG LIÊN HỢP 2.1. Phƣơng pháp chung: ta cần tìm lượng liên hợp thích hợp và sử dụng các công thức liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung. Ta thường gặp các dạng sau
Biểu thức Thu đƣợc Biểu thức nhân liên hợp
(Điều kiện: Mẫu số phải khác 0). Chú ý 3.2 (Liên hợp ngƣợc): thường dùng cho phương trình chứa một căn thức, tránh được việc tạo ra mẫu số
40
2.2. Phƣơng pháp tìm lƣợng liên hợp: 2.2.1. Phƣơng trình có một nghiệm
Bƣớc 1: Dùng máy tính dò nghiệm .
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Trường hợp 1: Nếu là nghiệm hữu tỷ đơn thì lượng liên hợp có dạng
hoặc
ta tìm số bằng cách thế vào từng căn.
Trường hợp 2: Nếu là nghiệm hữu tỷ kép thì lượng liên hợp có dạng
hoặc
ta tìm a và b bằng cách giải hệ
.
Trường hợp 3: Nếu là nghiệm vô tỷ đơn thì ta tính giá trị của căn thức tại từ
. Biểu thức liên hệ đó chính là biểu thức ghép
đó tìm biểu thức liên hệ của giá trị đó với với căn thức để tạo ra lượng liên hợp.
Bƣớc 3: Đưa lượng liên hợp vào phương trình và thêm, bớt để được phương trình
tương đương. Bƣớc 4: Nhân liên hợp trong từng nhóm căn, rồi đặt nhân tử chung.
Ví dụ 3.6: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện .
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình
là và là nghiệm đơn.
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Với , . Vậy, các lượng liên hợp là thì
và .
Bƣớc 3: Đưa lượng liên hợp vào phương trình. Ta có
41
Đến đây, vì ở bước 1, ta dự đoán được là nghiệm duy nhất nên ta dự đoán phương trình (*) vô nghiệm. Để chứng minh phương trình (*) vô nghiệm , ta dùng chức năng TABLE để dự đoán dấu của biểu thức
=
và từ kết quả bảng TABLE, ta dự đoán
Tuy nhiên, trong biểu thức h(x) có lượng
gây khó khăn khi chứng minh
Ta sẽ xử lý như sau:
42
Dùng chức năng TABLE, ta dự đoán được
Khi đó ta có
Từ những phân tích trên, ta có bài giải sau.
Giải
Điều kiện .
Vì
nên pt (*) vô nghiệm.
43
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.7: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện .
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình
là và là nghiệm đơn.
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Với thì , . Vậy, các lượng liên hợp là
và .
Bƣớc 3: Đưa lượng liên hợp vào phương trình. Ta có
Đến đây, vì ở bước 1, ta dự đoán được là nghiệm duy nhất nên ta dự đoán phương trình (*) vô nghiệm. Để chứng minh phương trình (*) vô nghiệm , ta dùng chức năng TABLE để dự đoán dấu của biểu thức
44
=
và từ kết quả bảng TABLE, ta dự đoán
Tuy nhiên, trong biểu thức h(x) có lượng
gây khó khăn khi chứng minh
Ta sẽ xử lý như sau:
Dùng chức năng TABLE, ta dự đoán được
Khi đó ta có
Từ những phân tích trên, ta có bài giải sau.
Giải
Điều kiện .
45
Vì
nên pt (*) vô nghiệm. Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.8: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện .
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là và là nghiệm kép.
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Tìm lượng liên hợp cho lượng liên hợp có dạng với a, b thỏa hệ
46
Với được tính bằng cách bấm , nhập biểu thức và .
Vậy, lượng liên hợp cho hay là
lượng liên hợp có dạng với c, d
Tìm lượng liên hợp cho thỏa hệ
Với được tính bằng cách bấm , nhập biểu thức và .
Vậy, lượng liên hợp cho là
Giải
Điều kiện Khi đó và
Ta có
47
Vì nên
(*)
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.9: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện .
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là và là nghiệm đơn.
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp. Với thì
. ,
Vậy, lượng liên hợp là và
Giải
Điều kiện
48
Khi đó và . Ta có
Vì nên
So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
2.2.2. Phƣơng trình có hai nghiệm đơn
Bƣớc 1: Dùng máy tính dò nghiệm và .
Bƣớc 2:
Trường hợp 1: Nếu và là hai nghiệm hữu tỷ đơn thì lượng liên hợp có dạng
hoặc
ta tìm a và b bằng cách giải hệ
Trường hợp 2: Nếu và là hai nghiệm vô tỷ đơn, ta gán giá trị cho biến A, gán
giá trị cho biến B.
Hướng 1: Ta tính giá trị của căn thức tại hoặc , để tìm biểu thức liên hệ
. Biểu thức liên hệ đó chính là biểu thức ghép với căn thức để liên , ta chuyển
của giá trị đó với hợp. Trong trường hợp không tìm được biểu thức liên hệ của giá trị đó với sang hướng 2. Hướng 2: lượng liên hợp có dạng
hoặc
ta tìm a và b bằng cách giải hệ
49
Trường hợp 3: Nếu phương trình có cả nghiệm hữu tỷ và nghiệm vô tỷ, ta lần lượt thực hiện các phép liên hợp tương ứng để xuất hiện nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ và nhân tử chứa nghiệm vô tỷ.
Bƣớc 3: Đưa lượng liên hợp vào phương trình và thêm, bớt để được phương trình
tương đương.
Bƣớc 4: Nhân liên hợp trong từng nhóm căn, rồi đặt nhân tử chung.
Ví dụ 3.10: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện .
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được phương trình chỉ có hai nghiệm là
và là hai nghiệm đơn.
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
với a, b lượng liên hợp có dạng
Tìm lượng liên hợp cho thỏa hệ
Vậy, lượng liên hợp cho là
50
lượng liên hợp có dạng với c, d
Tìm lượng liên hợp cho thỏa hệ
Vậy, lượng liên hợp cho là
Giải
Điều kiện . Khi đó và . Ta có
nên Vì
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm ; .
Ví dụ 3.11: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện
Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được phương trình chỉ có hai nghiệm
và và là các nghiệm đơn.
51
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Với . Vậy, lượng liên hợp là thì
.
Giải
Cách 1 (Liên hợp thƣờng):
Điều kiện:
(Nhận) Trường hợp 1: (Nhận)
Trường hợp 2:
52
(Vô nghiệm)
;
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm Cách 2 (Liên hợp ngƣợc): Nhận xét rằng
nên ta có thể dùng liên hợp ngược như sau.
Điều kiện
(Nhận) Trường hợp 1: (Nhận)
Trường hợp 2:
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm ;
Ví dụ 3.12: Giải phương trình
Đề thi THPT Quốc gia 2015
53
Phân tích:Ví dụ này đã được chúng tôi giải bằng cách lũy thừa hai vế, được trình bày trong ví dụ 3.5. Bây giờ, chúng tôi sẽ giải theo cách thứ 2 bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Điều kiện Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được phương trình đã cho chỉ có hai và là các nghiệm đơn. và nghiệm
Bƣớc 2: Tìm lượng liên hợp thích hợp.
Với thì . Vậy, lượng liên hợp là
Ta có
54
Phương trình (**) vẫn còn chứa nghiệm
Với thì . Khi đó, lượng liên hợp là
Giải
Điều kiện
Ta có
Vì . nên
Do đó
55
(Nhận)
(Loại)
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm là ;
Bài tập tƣơng tự
. . ĐS: Bài 1: Giải phương trình
.
. ĐS: Bài 2: Giải phương trình
. Bài 3: Giải phương trình
. ĐS:
. . ĐS: Bài 4: Giải phương trình
. . ĐS: Bài 5: Giải phương trình
. Bài 6: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 7: Giải phương trình .
ĐS: .
. Bài 8: Giải phương trình
ĐS: .
.
III. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 3.1. Đặt một ẩn phụ hoàn toàn Bƣớc 1: Dùng chức năng SOLVE của máy tính, dự đoán nghiệm của phương trình. Bƣớc 2: Đặt điều kiện xác định. Bƣớc 3: Đặt ẩn phụ t. Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo biến t. Bƣớc 4: Giải phương trình tìm t. Sau đó tìm Bƣớc 5: So với điều kiện và kết luận.
56
Ví dụ 3.13: Giải phương trình
Phân tích:
Điều kiện
Dùng chức năng SOLVE, ta dự đoán được phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm
.
Giải
Đặt . Phương trình trở thành
Vì nên ta nhận .
Với
Với
Vậy, phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm .
Ví dụ 3.14: Giải phương trình
Phân tích: Sử dụng chức năng SOLVE,
57
.
dự đoán được phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Ta có
Đặt
Ta dùng chức năng CALC để khai triển đa thức
Nhập = .
58
Ta thử lại bằng cách nhập
Ta được
Giải
Đặt . Khi đó, phương trình trở thành
59
( vì )
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.15: Giải phương trình
Đề thi THPT Quốc gia 2015
Phân tích: Ví dụ này đã được chúng tôi giải bằng 2 cách, được trình bày trong ví dụ 3.5 và 3.12. Bây giờ, chúng tôi sẽ giải theo cách thứ 3 bằng phương pháp nhân liên hợp phối hợp với đặt 1 ẩn phụ hoàn toàn.
Giải
Điều kiện
Ta có
Đặt , phương trình (*) trở thành
Dùng chức năng CALC, ta được
60
Dùng chức năng SOLVE,
Ta nhập vào máy tính và tìm được và Do đó A, B là nghiệm của
phương trình Khi đó, ta được
trong đó được khai triển thành đa thức bậc bốn có dạng
Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số .
Nhập biểu thức =
61
Ta thử lại bằng cách nhập
Do đó,
(loại)
Ta có
62
Đặt
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có nên
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm ;
, tìm u. Từ đó, suy ra mối
.
3.2. Đặt hai ẩn phụ hoàn toàn Bƣớc 1: Đặt điều kiện xác định. Bƣớc 2: Đặt 2 ẩn phụ u, v. Đưa phương trình về phương trình đẳng cấp của ẩn phụ. Bƣớc 3: Dùng chức năng SOLVE của máy tính, cho liên hệ giữa u và v.
Bƣớc 4: Chia Hoocne, đưa về phương trình tích. Bƣớc 5: Thay u và v, tìm Bƣớc 6: So với điều kiện và kết luận.
Ví dụ 3.16: Giải phương trình
Phân tích: Nhận thấy các biểu thức có mối liên hệ với nhau
, và và
nên ta có thể đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp ,
63
Sử dụng chức năng SOLVE,
Chia Hoocne
Khi đó
Giải
Điều kiện .
Đặt , suy ra , . Khi đó,
phương trình trở thành
Với
Với
. So với điều kiện ta nhận cả hai nghiệm ,
, Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm là .
Ví dụ 3.17: Giải phương trình
Phân tích:
64
Đặt , . Khi đó, phương trình trở thành
Sử dụng chức năng SOLVE
Chia Hoocne:
Khi đó
Giải
Đặt , . Khi đó, phương trình trở thành
65
Với
Với
Thử lại, ta thấy thỏa phương trình ban đầu.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.18: Giải phương trình
Phân tích:
Đặt , phương trình trở thành
Sử dụng chức năng SOLVE,
Chia Hoocne, ta có
Sử dụng chức năng SOLVE
66
Chia Hoocne, ta có
Do đó
Giải
Đặt , phương trình trở thành
Với
Với
Thử lại, ta thấy thỏa phương trình ban đầu.
Vậy, phương trình đã chocó nghiệm duy nhất .
3.3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
thì biến Khi đặt ẩn phụ
vẫn tồn tại và ta xem . Ta sẽ giải bằng cách lập
nếu thích hợp để
là tham số. Thông thường thì đó là là số chính phương, còn phương trình bậc hai theo là số chính phương. của không thì ta sẽ phân tích chọn hệ số cho Khi đặt ẩn phụ không hoàn toàn thì việc tìm điều kiện chưa chặt, nên thế lại vào phương trình để thử lại. 3.3.1. là số chính phƣơng
Ví dụ 3.19: Giải phương trình
Giải
Điều kiện .
67
Đặt , phương trình trở thành
Đến đây, ta có hai cách giải quyết.
sau đó suy ra , tìm
Cách 1: Tính Xem (*) là phương trình bậc hai với là ẩn số, là tham số, có biệt số
.
Do đó .
So với điều kiện , ta nhận , khi đó
Thử lại, ta thấy thỏa phương trình ban đầu.
.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm Cách 2: Sử dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS và phương pháp chia Hoocne để đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Cho , nhập biểu thức
Bấm , nhập 100 và bấm , máy tính hiển thị
Chia Hoocne
68
Khi đó
So với điều kiện , ta nhận , do đó
Thử lại, ta thấy thỏa phương trình ban đầu.
Vậy, phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm .
Ví dụ 3.20: Giải phương trình
Giải
Điều kiện hoặc
, suy ra . Khi đó, phương trình
Đặt đã cho trở thành
Với
Với Thử lại, ta thấy
thỏa phương trình ban đầu.
69
. Vậy, phương trình đã cho chỉ có 3 nghiệm
3.3.2. không là số chính phƣơng
Ví dụ 3.21: Giải phương trình
Phân tích: Biến đổi
và đặt ẩn phụ , thì phương trình trở thành
(*)
Phương trình (*) có biệt số không là số chính
phương. Do đó ta cần điều chỉnh hệ số m của , tức là
Ta có
Để có dạng chính phương thì phương trình phải có nghiệm kép, tức là
hay cần giải phương trình
Do hệ số m này thường là đẹp và , nên ta nhập phương trình
vào máy tính và bấm
thì phương trình cho ta nghiệm nên ta sẽ loại (do ).
70
Để kiểm tra nghiệm còn lại của phương trình, ta thay đổi thành biểu thức
và bấm thì phương trình cho nghiệm .
Giải
Điều kiện hoặc .
Đặt . Khi đó
Do đó
Thử lại, ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm
71
.
Bài tập tƣơng tự
Bài 1: Giải phương trình . ĐS:
Bài 2: Giải phương trình ĐS:
Bài 3: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 4: Giải phương trình
ĐS: .
ĐS:
Bài 5: Giải phương trình IV. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương pháp này chủ yếu vận dụng các định lý 1.7 và 1.8 ở chương 1.
Ví dụ 3.22: Giải phương trình
Phân tích: Dùng chức năng TABLE, ta dự đoán được vế trái là hàm đồng biến,
còn vế phải là hằng số và sử dụng chức năng SOLVE của máy tính ta dự đoán được phương trình có nghiệm duy nhất
72
nên đây là những điều kiện thích hợp cho việc sử dụng phương pháp hàm số để giải.
Giải
Điều kiện .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình .
Khi , xét hàm số
trên
.
Do đó hàm số đồng biến trên
Mặt khác, là nghiệm duy nhất của phương trình . nên Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.23: Giải phương trình
Phân tích:
Sử dụng chức năng SOLVE,
73
là nghiệm duy nhất của phương trình. dự đoán Để ý rằng
và
nên để phương trình có nghiệm thì điều kiện kéo theo là .
Đặt
Sử dụng chức năng TABLE, ta dự đoán được là hàm số tăng.
Giải
Điều kiện
Xét hàm số trên
.
Do nên .
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên .
Mặt khác, nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy, phương trình đã có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.24: Giải phương trình
Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính, ta dự đoán phương trình có nghiệm duy nhất là .
74
ở vế
Dùng chức năng TABLE của máy tính, ta dự đoán hàm số trái là hàm số đồng biến
và hàm số ở vế phải là hàm số nghịch biến
Đồng thời, ta nhận thấy khi thì .
Giải
Điều kiện .
Xét hàm số xác định và liên tục trên , có
(1) nên đồng biến trên
Xét hàm số xác định và liên tục trên , có
(2) nên hàm số nghịch biến trên
Từ (1) và (2), suy ra phương trình có nghiệm duy nhất và
nên
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm duy nhất của phương trình. .
Ví dụ 3.25: Giải phương trình
Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính,
75
, nên dự đoán được phương trình có chỉ có hai nghiệm .
, Dùng chức năng CALC của máy tính, nhận thấy không là nghiệm của
phương trình
nên ta chỉ xét
76
Xét hàm số trên .
Dùng chức năng TABLE của máy tính, ta dự đoán được hàm số đồng biến trong
các khoảng , .
Giải
Điều kiện .
Do , không là nghiệm của phương trình nên ta chỉ xét
Ta có
Xét hàm số trên , có
.
Bảng biến thiên
+ +
77
Ta có phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số Ox có phương trình và trục . Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có tối đa hai
nên
nghiệm và có , Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là hai nghiệm cần tìm. , .
Ví dụ 3.26: Giải phương trình
Phân tích: Nhận thấy nếu lập phương hai vế thì phương trình rất phức tạp, nhưng nếu
quan tâm đến mối liên hệ giữa các biến trong căn thức, ta nhận thấy
. và
Tức là
với vế trái và vế phải đều có dạng mà ta gọi đây là hàm đặc trưng.
Dùng chức năng TABLE của máy tính, ta dự đoán được hàm số đồng biến.
Khi đó, phương trình được viết dưới dạng nên sử dụng phương
pháp hàm số như sau
Giải
Xét hàm số , có .
Do đó hàm số đồng biến trên .
Từ và suy ra
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm .
78
Ví dụ 3.27: Giải phương trình
Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh năm 2011
Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính,
dự đoán được phương trình có nghiệm duy nhất .
Xét hàm số trên . Dùng chức năng TABLE của máy tính,
ta dự đoán là hàm số đồng biến trên .
Giải
Điều kiện .
79
Xét hàm số trên , ta có:
.
Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Từ và suy ra
.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 3.28: Giải phương trình
Đề thi THPT Quốc gia 2015
Phân tích:Ví dụ này đã được chúng tôi giải bằng 3 cách, được trình bày trong ví dụ 3.5, 3.12 và 3.15. Bây giờ, chúng tôi sẽ giải theo cách thứ 4 bằng phương pháp nhân lượng lien hợp phối hợp với phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Điều kiện:
Ta có
80
Xét hàm số . Sử dụng chức năng TABLE của máy tính ta dự
đoán đồng biến trên .
Giải
Điều kiện
Ta có
Xét hàm số
đồng biến trên . (3)
nên Từ (2) và (3) ta có
81
Thử lại, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ;
Bài tập tƣơng tự
Bài 1: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 2: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 3: Giải phương trình
. ĐS:
Bài 4: Giải phương trình
. ĐS:
Bài 5: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 6: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 7: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 8: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 9: Giải phương trình
ĐS: .
Bài 10: Giải phương trình
ĐS: .
82
KẾT LUẬN
Khóa luận đề cập đến một số kiến thức về phương trình vô tỷ, cũng như đưa ra các ứng dụng của máy tính VINACAL 570ES PLUS vào việc định hướng giải phương trình vô tỷ. Việc trình bày một số ứng dụng của máy tính vào các ví dụ phương trình vô tỷ cho thấy ưu điểm của phương pháp này là giúp học sinh tận dụng triệt để máy tính bỏ túi vào việc định hướng giải phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, không phải phương trình vô tỷ nào cũng giải được nhờ sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi.
Nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi, các em học sinh có thể đưa ra các phương pháp, cách giải phương trình vô tỷ nhanh chóng và chính xác. Từ đó, giúp học sinh tư duy tốt hơn, có thể hoàn thành tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 12, với sự hỗ trợ của máy tính VINACAL 570ES PLUS nói riêng và máy tính bỏ túi nói chung sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Mặc dù đã cố gắng nhưng khóa luận chắc chắn vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý Thầy, Cô và các bạn.
83
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Trí Dũng, Bùi Thế Việt, Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải toán phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, NXB. Đại học Sư phạm TPHCM, 2015.
[2] Lê Văn Đoàn, Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình đại số vô tỷ, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[3] Mai Xuân Việt, Sử dụng máy tính cầm tay trong tìm kiếm lời giải, Trung tâm luyện
thi Thủ khoa, 2012.
[4] Nguyễn Anh Huy, Phương trình, hệ phương trình, Diễn đàn MATHCOPE, 2012. [5] Nguyễn Quang Trung, Dạy học phân hóa qua tổ chức ôn tập một số chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, 2007.
[6] Sách hướng dẫn sử dụng máy tính VINACAL 570 ES PLUS. [7] Trịnh Hồng Uyên, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ, Luận văn Thạc sĩ
Toán học, 2011.
[8] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài,
Đại số 10, NXB. Giáo dục, 2014.
[9] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số và
giải tích 11, NXB. Giáo dục, 2014.
84
