Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số ở trung học phổ thông

KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM<br /> VỀ HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG<br /> PHẠM XUÂN THẾ<br /> Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Nghiên cứu này nhằm mục đích tìm hiểu hai dạng kiến thức quy<br /> trình và kiến thức khái niệm về hàm số của học sinh trung học phổ thông,<br /> qua đó làm rõ mối quan hệ và đề xuất một phương pháp đo hai dạng kiến<br /> thức này. Nghiên cứu được thực hiện trên đối tượng 113 học sinh lớp 12 trên<br /> địa bàn tỉnh Quảng Trị. Phương pháp mô hình phương trình cấu trúc (SEM)<br /> được sử dụng để kiểm định các mối quan hệ giả thiết nghiên cứu. Kết quả<br /> cho thấy kiến thức quy trình là điều kiện cần để phát triển kiến thức khái<br /> niệm của học sinh, hơn nữa, kiến thức khái niệm cũng ảnh hưởng đến khả<br /> năng áp dụng hàm số vào giải quyết các bài toán của học sinh.<br /> Từ khóa: Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, hàm số, mô hình<br /> phương trình cấu trúc.<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Theo một nghiên cứu của Trung tâm Quốc gia về Đánh giá Tiến triển Giáo dục, Hoa Kỳ<br /> (National Assessment of Educational Progress: NAEP), chín trong số mười học sinh<br /> đồng ý với câu phát biểu “luôn luôn có một quy tắc để làm theo trong việc giải quyết<br /> các bài toán”. Lý do cho suy nghĩ này có thể là do học sinh được tiếp xúc với cách giải<br /> các bài toán theo thuật toán hướng dẫn của giáo viên trong quá trình học.<br /> Trong các kì thi, hầu như các bài toán về hàm số thường tập trung vào các kỹ năng, nên<br /> có thể che dấu sự vắng mặt của kiến thức khái niệm. Thông thường, nếu học sinh nắm<br /> vững các phương pháp thì có thể tìm đúng đáp án. Điều này vô tình tạo ra một lý do để<br /> giáo viên tin rằng học sinh hiểu được khái niệm toán học, nhưng có lẽ điều này không<br /> đúng. Vậy nếu có một sự quan tâm nhiều hơn cho việc giảng dạy kiến thức khái niệm<br /> (KTKN) trong trường học, thì liệu rằng kiến thức quy trình (KTQT) có bị bỏ qua, hay là<br /> ít được quan tâm hơn? Điều này có thể không xảy ra, nhiều lập luận chỉ ra rằng, KTQT<br /> là một điều kiện cần thiết cho KTKN. Hơn nữa, việc đo hai loại kiến thức này như thế<br /> nào cũng rất quan trọng để giải thích bằng chứng về mối liên hệ giữa chúng.<br /> Trong bài báo này, chúng tôi cố gắng tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: Thứ nhất,<br /> chúng ta sẽ đo KTKN và KTQT của học sinh về hàm số ở bậc học THPT như thế nào?<br /> Thứ hai, các kiến thức có tính quy trình và kiến thức có tính khái niệm về hàm số của<br /> học sinh ở bậc học THPT có quan hệ với nhau như thế nào? Thứ ba, khả năng để giáo<br /> viên có thể vận dụng kiến thức khái niệm trong việc định hướng cho học sinh giải quyết<br /> các bài toán về hàm số như thế nào?<br /> <br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 03(35)/2015: tr. 15-21<br /> <br /> 16<br /> <br /> PHẠM XUÂN THẾ<br /> <br /> 2. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KHÁI NIỆM<br /> Thuật ngữ quy trình và khái niệm của toán học xuất hiện và trở nên phổ biến giữa<br /> những năm 1980, đặc biệt sau khi Hiebert (1986, [6]) biên tập cuốn sách “Kiến thức<br /> khái niệm và quy trình: Trường hợp của toán học”, các thuật ngữ này được phổ biến và<br /> nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo dục toán. Sự phân biệt giữa kiến thức<br /> quy trình và khái niệm đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định những kiến thức<br /> mà học sinh thu nhận được. Piaget (1978, [5]) phân biệt giữa sự hiểu biết về khái niệm<br /> và hoạt động thành công; Schefller (1965, [5]) phân biệt giữa "biết tại sao" và "biết làm<br /> thế nào"; Tulving (1983, [5]) phân biệt giữa bộ nhớ ngữ nghĩa và bộ nhớ phân đoạn;<br /> Anderson (1983, [5]) phân biệt giữa kiến thức mô tả và quy trình; Nesher (1986, [5])<br /> phân biệt giữa học thuật toán và học để hiểu; Hiebert (1986, [6]) nhấn mạnh rằng,<br /> KTQT có hầu hết trong các thuật toán, nhưng còn thiếu các mối quan hệ, trong khi<br /> KTKN rất giàu các mối quan hệ nhưng còn thiếu trong các thuật toán; Sfard (1994,<br /> [10]) phân biệt giữa “tư duy hoạt động” và “tư duy cấu trúc”. Haapasalo và Kadijevich<br /> (2000, [4]) đã đưa ra những đặc trưng cho hai loại kiến thức:<br /> - Kiến thức quy trình biểu thị cách thức thực hiện các thuật toán, quy trình cụ thể.<br /> Điều này thường đòi hỏi không chỉ kiến thức của các đối tượng toán học được sử<br /> dụng, mà còn kiến thức về định dạng và cú pháp cần thiết để biểu diễn chúng.<br /> - Kiến thức khái niệm biểu thị kiến thức về khả năng kết nối và vận dụng khéo léo<br /> các yếu tố trong các mạng lưới riêng biệt, các yếu tố trong mạng này có thể là các<br /> khái niệm, quy tắc (thuật toán, quy trình…), và thậm chí cả các vấn đề được đưa<br /> ra với những hình thức biểu diễn khác nhau.<br /> Mối quan hệ giữa KTQT và KTKN hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến khác nhau, xoay<br /> quanh bốn quan điểm. Quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần nhưng chưa<br /> đủ cho KTKN (Kline (1980, [9]), Kitcher (1983, [9]),Vergnaud (1990, [9]), Gray & Tall<br /> (1993, [9]) và Sfard (1994, [10])). Quan điểm tương tác động cho rằng KTKN là điều<br /> kiện cần nhưng chưa đủ cho KTQT (Byrnes & Wasik (1991, [9])). Quan điểm đồng<br /> hoạt hóa ủng hộ việc xem KTQT là điều kiện cần và đủ cho KTKN (Byrnes & Wasik<br /> (1991, [9]) và Haapasalo (1993, [9])). Quan điểm bất hoạt hóa lại cho rằng KTQT và<br /> KTKN không liên quan (Nesher (1986, [9]) và Resnick & Omanson (1987, [9])).<br /> Hiebert và Lefevre (1986, [6]) kết luận rằng, trong mối quan hệ giữa kiến thức quy trình<br /> và khái niệm thì quy trình "giữ chìa khóa" để cải thiện sự hiểu biết toán học:<br /> “... mặc dù có thể xem xét các quy trình mà không có các khái niệm, tuy nhiên không<br /> phải là dễ dàng như vậy để hình dung kiến thức khái niệm mà không được liên kết với<br /> một số quy trình. Điều này một phần là do thực tế rằng các quy trình biến kiến thức khái<br /> niệm thành một cái gì đó quan sát được. Nếu không có các quy trình để tiếp cận và tác<br /> động lên những kiến thức khái niệm, chúng ta sẽ không biết nó đã có”.<br /> Caroline Long (2005, [2]) cho thấy rằng, không phải luôn luôn phân biệt được các khái<br /> niệm từ các quy trình bởi vì việc hiểu và thực hiện được kết nối theo những cách phức<br /> tạp. Nghiên cứu của Isleyen và Işik (2003, [7]) chỉ ra sự khác biệt rất lớn về điểm số của<br /> <br /> KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM...<br /> <br /> 17<br /> <br /> học sinh trong các bài kiểm tra về kiến thức quy trình và khái niệm. Tuy nhiên, nghiên<br /> cứu này cũng như một số khác của Rittle-Johnson và cộng sự (2012, [1]), Tseng (2012,<br /> [3]) đã không đề cập đến một mô hình đo lường cụ thể và có độ tin cậy cao về hai loại<br /> kiến thức này. Lauritzen (2012, [9]) đã khám phá cách đo kiến thức quy trình và khái<br /> niệm, mối quan hệ giữa chúng là gì và khả năng áp dụng hàm số trong phạm vi các bài<br /> toán kinh tế.<br /> 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU<br /> Đồ thị (QT1)<br /> <br /> Đại số (QT2)<br /> <br /> Quy trình<br /> <br /> Giải tích (QT3)<br /> <br /> Mối liên hệ<br /> …(*) (KN1)<br /> Giải thích đồ thị<br /> (KN2)<br /> <br /> Bài toán thực<br /> tế (AD1)<br /> Khái niệm<br /> <br /> Áp dụng<br /> <br /> Giải thích đại số<br /> (KN3)<br /> <br /> Đạo hàm<br /> (AD2)<br /> Đồ thị đạo hàm<br /> (AD3)<br /> <br /> Giải thích giải<br /> tích (KN4)<br /> (*): Mối liên hệ giữa đồ thị và biểu thức đại số<br /> Hình 1. Mô hình nghiên cứu đề xuất<br /> <br /> Đối tượng thực nghiệm: nghiên cứu này được thực hiện trên đối tượng là 113 học sinh<br /> lớp 12 ở trường THPT Thị xã Quảng Trị, THPT Vĩnh Định và THPT Bùi Dục Tài, tỉnh<br /> Quảng Trị. Phân tích tiên nghiệm được thực hiện vào tháng 1và bài kiểm tra chính được<br /> thực hiện từ tháng 2 đến tháng 3 năm 2015, sau khi học sinh đã học xong các phần về<br /> hàm số. Các lớp được lựa chọn một cách ngẫu nhiên, bao gồm cả ban Cơ bản và Nâng<br /> cao.<br /> Bài kiểm tra chính: bao gồm tổng cộng 24 nhiệm vụ, các nhiệm vụ được đánh giá theo<br /> thang điểm 10, đo lường ba biến tiềm ẩn là KTQT, KTKN và khả năng áp dụng hàm số,<br /> số lượng nhiệm vụ để đo các biến được thể hiện trên bảng 1. Bài kiểm tra chính được<br /> chia nhỏ vì lý do nhiều câu hỏi. Học sinh làm bài trong giờ học rãnh, hoặc ở lại làm tại<br /> <br /> 18<br /> <br /> PHẠM XUÂN THẾ<br /> <br /> lớp sau giờ học với sự giúp đỡ của giáo viên đứng lớp. Các bài kiểm tra được thu thập<br /> sau đó loại bỏ các bài không đạt yêu cầu.<br /> Phân tích kết quả: Kiểm định độ tin cậy Cronbach’s Alpha được sử dụng để đánh giá độ<br /> tin cậy của thang đo. Các biến có hệ số tương quan biến - tổng nhỏ hơn 0.3 sẽ bị loại.<br /> Nếu Cronbach’s Alpha tổng lớn hơn hoặc bằng 0,60 là thang đo có thể chấp nhận được<br /> về mặt tin cậy (Nunnally, J. và Berstein, I.H., 1994, [8]). Mô hình phương trình cấu trúc<br /> (Tiếng Anh: SEM) cho phép tích hợp các yếu tố phân tích và phân tích hồi quy thành<br /> một mô hình thống kê để nghiên cứu các mối quan hệ đề xuất trong mô hình. Phần mềm<br /> SPSS 21 và AMOS 22 được sử dụng trong nghiên cứu này như một công cụ cho việc xử<br /> lý và phân tích số liệu.<br /> 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU<br /> Có tất cả 24 nhiệm vụ được sử dụng trong nghiên cứu để đo các mục KTQT, KTKN và<br /> khả năng áp dụng hàm số. Điểm trung bình và độ lệch chuẩn của các mục đo thể hiện<br /> qua bảng sau:<br /> Bảng 1. Kết quả cho các nhiệm vụ đo<br /> Thành<br /> phần<br /> Số<br /> nhiệm<br /> vụ<br /> Trung<br /> bình<br /> Độ<br /> lệch<br /> chuẩn<br /> <br /> QT1<br /> <br /> QT2<br /> <br /> QT3<br /> <br /> KN1<br /> <br /> KN2<br /> <br /> KN3<br /> <br /> KN4<br /> <br /> AD1<br /> <br /> AD2<br /> <br /> AD3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 8.07<br /> <br /> 7.12<br /> <br /> 7.98<br /> <br /> 6.82<br /> <br /> 6.74<br /> <br /> 6.47<br /> <br /> 4.91<br /> <br /> 5.90<br /> <br /> 6.10<br /> <br /> 5.49<br /> <br /> 1.89<br /> <br /> 1.88<br /> <br /> 1.89<br /> <br /> 1.80<br /> <br /> 2.22<br /> <br /> 2.59<br /> <br /> 2.58<br /> <br /> 1.72<br /> <br /> 3.67<br /> <br /> 2.11<br /> <br /> Đánh giá thang đo bằng hệ<br /> số tin cậy Cronbach’s<br /> Alpha: kết quả kiểm định<br /> độ tin cậy thang đo với hệ<br /> số Cronbach’s Alpha, các<br /> thành phần của thang đo<br /> kiến thức quy trình, khái<br /> niệm và khả năng áp dụng<br /> hàm số đều đạt yêu cầu<br /> (lớn hơn mức yêu cầu 0.6),<br /> các hệ số tương quan biến tổng đều đạt yêu cầu lớn<br /> hơn 0.3.<br /> Hình 2. Biểu đồ phân tán tổng điểm khái niệm và quy trình<br /> <br /> KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM...<br /> <br /> 19<br /> <br /> Kết quả phân tích mô hình SEM: Kết quả ước lượng của mô hình đề xuất được thể hiện<br /> trên hình 3. Giá trị Chi-square/df = 1.571 và p=0.024 có ý nghĩa thống kê (nhỏ hơn<br /> 0.05); các chỉ tiêu CFI=0.951, GFI=0.932 đều đạt yêu cầu (lớn hơn 0.9) cho thấy mô<br /> hình xây dựng phù hợp với dữ liệu nghiên cứu. Dựa vào kết quả trọng số hồi quy giữa<br /> các nhân tố ta thấy KTQT có tác động mạnh, cùng chiều đến KTQT về hàm số của học<br /> sinh với trọng số 0.92, đồng thời KTKN cũng tác động mạnh đến khả năng áp dụng hàm<br /> số với trọng số 0.78. Tuy nhiên, trọng số hồi quy giữa KTQT và khả năng áp dụng hàm<br /> số chỉ 0.06, như vậy KTQT không ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng áp dụng hàm số<br /> của học sinh mà tác động gián tiếp thông qua KTKN.<br /> 5. THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN<br /> <br /> Hình 3. Kết quả mô hình SEM đề xuất ban đầu<br /> <br /> Nghiên cứu này được tiến hành để xem xét ba câu hỏi nghiên cứu đề ra ban đầu. Liên<br /> quan đến câu hỏi đầu tiên, chúng tôi có thể nói rằng, kiến thức quy trình và khái niệm<br /> về hàm số trong nhóm đối tượng học sinh thực nghiệm có thể được đo bởi mô hình<br /> nghiên cứu đề xuất. Các thành phần của thang đo đều đạt được giá trị hội tụ với trọng số<br /> hồi quy từ 0.56-0.72, các tham số ước lượng đều có ý nghĩa thống kê (p