TÌM L I GI I CÁC BÀI TOÁN B T Đ NG TH C, GTLN – GTNN NH D ĐOÁNỜ Ả Ấ Ẳ Ứ Ờ Ự
D U B NGẤ Ằ
Các em h/s và các b n thân m n, trong các đ thi TSĐH th ng có m t câu V là câuạ ế ề ườ ộ
khó (đ ch n các cao th võ lâm) câu này nh ng năm g n đây th ng cho d i d ng cácể ọ ủ ữ ầ ườ ướ ạ
bài toán BĐT. Và th ng thì các sĩ t không bi t b t đ u t đâu đ gi i quy t nó. Bàiườ ử ế ắ ầ ừ ể ả ế
vi t này tôi s truy n đ t cho các b n m t “tuy t chiêu” võ công đ c đáo (ch c n m tế ẽ ề ạ ạ ộ ệ ộ ỉ ầ ộ
chiêu thôi). Sau khi h c đ c “tuy t chiêu” này các b n s th y các v n đ tr nên r tọ ượ ệ ạ ẽ ấ ấ ề ở ấ
đ n gi n.ơ ả
Đ lĩnh h i đ c “tuy t chiêu” mà tôi t ng h p t vô s các chiêu th c c a cácể ộ ượ ệ ổ ợ ừ ố ứ ủ
môn phái khác thì tr c tiên các b n ph i n m đ c m t s “chiêu th c” b n đã. ướ ạ ả ắ ượ ộ ố ứ ả
1. B t Đ ng th c Côsiấ ẳ ứ (các chiêu này xem trong “Đ i s 10”)ạ ố
a. B t Đ ng th c Cauchy cho 2 s :ấ ẳ ứ ố
Cho 2 s a, b ố
≥
0 .Khi đó: a + b
≥
2
ab
. D u ‘=’ x y ra khi a = b.ấ ả
b. B t Đ ng th c Cauchy cho 3 s :ấ ẳ ứ ố
Cho 3 s a, b, c ố
≥
0 . Khi đó ta có: a + b + c
≥
3
3abc
. D u ‘=’ x y ra khi a = b = c.ấ ả
Nh n d ng:ậ ạ
+ Tìm nh nh t c a t ng khi bi t tích.ỏ ấ ủ ổ ế
+ Tìm l n nh t c a tích khi bi t t ng, t ng bình ph ng.ớ ấ ủ ế ổ ổ ươ
+ Ch ng minh t ng l n h n tích, tích chia t ng (t ng bình ph ng, . . .)ứ ổ ớ ơ ổ ổ ươ
+ Dùng nh p các t ng, t ng ngh ch đ o, . . . thành m t.ậ ổ ổ ị ả ộ
Các BĐT c b n liên quan hay dùngơ ả :
1. a2 + b2
≥
2ab.
2. a2 + b2 + c2
≥
ab + ac + bc .D u ‘=’ khi a = b = c.ấ
3. a2 + b2 + c2
≥
3
1
(a + b + c)2
≥
ab + ac + bc . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c.ấ ả
4. V i a, b ớ > 0. Ta có : (a + b)(
ba
11 +
)
≥
4 . D u ‘=’ x y ra khi a = b (ấ ả hay :
ba
11 +
≥
ba+
4
)
5. V i a, b, c ớ > 0. Ta có : (a + b + c)(
cba
111 ++
)
≥
9 . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c (ấ ả hay :
cbacba ++
≥++ 9111
) .
Ý nghĩa c a các b t đ ng th c ủ ấ ẳ ứ 4, 5 là cho phép ta nh p các phân s thành m t do đóậ ố ộ
r t thu n l i cho vi c xét hàm v i m t n. ấ ậ ợ ệ ớ ộ ẩ
2. B t Đ ng Th c Bunhiacopxki –BĐT Tr Tuy t Đ i ấ ẳ ứ ị ệ ố :
Trong ch ng trình thi Đ i H c chúng ta ch đ c áp d ng BĐT Cauchy cho 2 và 3 s khôngươ ạ ọ ỉ ượ ụ ố
âm và b t đ ng th c Bunhiacopxki cho 2 c p s .ấ ẳ ứ ặ ố
)bb)(aa( 2
2
2
1
2
2
2
1++
D u ‘=’ x y ra khi ấ ả
2
2
1
1b
a
b
a=
(N u b d u ế ỏ ấ thì c n thêm ầ
≥
0 n a)ữ
b. Nh n d ng:ậ ạ
+ T ng các c p s có tích không đ i.ổ ặ ố ổ
+ T ng bình ph ng b ng m t s không đ i.ổ ươ ằ ộ ố ổ
c. ng d ngỨ ụ
1
+ Nh p các t ng bình ph ng thành m t.ậ ổ ươ ộ
3. Kh o sát hàm s ả ố
Trên đây là các v n đ mà Đ i H i Anh Hùng th ng ra đ ch n cao th . Hi v ng các sĩ tấ ề ạ ộ ườ ể ọ ủ ọ ử
n m đ c các chiêu th c c b n này đ lĩnh h i cho t t.ắ ượ ứ ơ ả ể ộ ố
Khi tìm GTNN, GTLN các em th ng m c ph i sai l m ph bi n trong vi c tìm giáườ ắ ả ầ ổ ế ệ
tr c a bi n t i các đi m đ t max, min đó là : th c hi n liên ti p nhi u b c đánh giáị ủ ế ạ ể ạ ự ệ ế ề ướ
nh ng d u ‘=’ t i m i b c là không nh nhau do đó không có d u ‘=’ đ x y ra đ ngư ấ ạ ỗ ướ ư ấ ể ả ẳ
th c cu i. Xét bài toán:ứ ố
Tìm GTLN c a f(x) = sinủ5x +
3
cosx, có b n đã gi i nh sau:ạ ả ư
Ch c n xét trong xỉ ầ
∈
[0 ;
2
π
].Ta có:sin5x
≤
sinx suy ra : f(x)
≤
sinx +
3
cosx
M t khác : sinx + ặ
3
cosx = 2sin(x +
3
π
)
2≤
.
V y f(x)ậmax = 2.
Nh n xét ậ: bài gi i trên sai (bài gi i đúng xem d i) do đã v ng sai l m trong tìmả ả ở ướ ướ ầ
d u ‘=’. f(x) không th đ t giá tr b ng 2 đ c vì đ t i BĐT cu i chúng ta đã th c hi nấ ể ạ ị ằ ượ ể ớ ố ự ệ
2 phép bi n đ i : ế ổ
+ l n 1:ầ sin5x
≤
sinx ; d u ‘=’ khi x = 0, ấ
π
/2.
+ l n 2: ầ2sin(x +
6/π
)
2≤
; d u ‘=’ khi x=ấ
6/π
Nh v y, khi th c hi n m i b c bi n đ i ta th ng t đ t ra câu h i: ư ậ ự ệ ỗ ướ ế ổ ườ ự ặ ỏ
+ Khi th c hi n các b c bi n đ i nh v y thì li u d u ‘=’ có đ t đ c b cự ệ ướ ế ổ ư ậ ệ ấ ạ ượ ở ướ
cu i cùng không ?ố
+ Đánh giá nh th nào đ có th đ a v v còn l i đ c hay không ?ư ế ể ể ư ề ế ạ ượ
M c dù bài toán có th th c hi n liên ti p nhi u b c bi n đ i nh ng đ d u ‘=’ đ tặ ể ự ệ ế ề ướ ế ổ ư ể ấ ạ
đ c thì m i b c d u ‘=’ cũng ph i gi ng nh d u ‘=’ đ ng th c cu i cùng. ượ ở ỗ ướ ấ ả ố ư ấ ở ẳ ứ ố V yậ
thì t i sao ta không d đoán tr c d u ‘=’ c a BĐT (ho c giá tr mà t i đó bi u th cạ ự ướ ấ ủ ặ ị ạ ể ứ
đ t max, min) r i t đó m i đ nh h ng ph ng pháp đánh giáạ ồ ừ ớ ị ướ ươ ?. Đây là m t cáchộ
phân tích tìm l i gi i mà tôi mu n gi i thi u. Đ có h ng suy nghĩ đúng chúng ta th cờ ả ố ớ ệ ể ướ ự
hi n các b c phân tích sau: ệ ướ
I.Phân tích –tìm l i gi i:ờ ả
1.D đoán d u ‘=’ c a BĐT hay các đi m mà t i đó đ t GTLN, GTNN.ự ấ ủ ể ạ ạ
2.T d đoán d u “=”, k t h p v i các BĐT quen thu c d đoán phép đánh giá. M iừ ự ấ ế ợ ớ ộ ự ỗ
phép đánh giá ph i đ m b o nguyên t c “d u ‘=’ x y ra m i b c này ph i gi ng nhả ả ả ắ ấ ả ở ỗ ướ ả ố ư
d u ‘=’ d đoán ban đ u”.ấ ự ầ
Đ làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm l i gi i trong m t vài ví d sau:ể ờ ả ộ ụ
II. Các thí dụ:
Thí d 1:ụ (ĐH 2003-A)
Cho x, y, z > 0 th a mãn : x + y + z ỏ
≤
1. Cmr:
P =
2
2
2
2
2
2111
z
z
y
y
x
x+++++
82≥
Phân tích:
B1. D đoán d u ‘=’: x = y = z = 1/3ự ấ
2
B2. Đ làm m t d u căn, ta có th suy nghĩ theo 2 h ng: m t d u căn t ng s h ngể ấ ấ ể ướ ấ ấ ở ừ ố ạ
ho c nh p d u căn m i s h ng thành m t.ặ ậ ấ ở ỗ ố ạ ộ
1. N u suy nghĩ theo h ng m t d u căn t ng s h ng ta dùng BĐT Bunhiacopxki:ế ướ ấ ấ ở ừ ố ạ
+
2
21
x
x+
d ng t ng hai bình ph ng ở ạ ổ ươ
→
BĐT BCS
→
ta c n tìm:ầ
[ ] [ ]
≥++ )??)(
x
x( 2
21
. .
D u ‘=’ c a d đoán ban đ u là x = ấ ủ ự ầ
3
1
và d u ‘=’ c a đánh giá BĐT BCS là ấ ủ
?
?
x
x/ =
1
.Như
v y 2 s còn l i c n đi n s có t l 3 : ậ ố ạ ầ ề ẽ ỉ ệ
3
1
= 9 : 1. Ta đ c :ượ
x
x))(
x
x( 9
91
122
2
2+≥++
.
T ng t v i y, z và c ng l i, ta đ c: P.ươ ự ớ ộ ạ ượ
zyx
999
82 ++≥
+ x+ y+ z.
+ V ph i là t ng các phân s quen (BĐT Côsi )ế ả ổ ố
→
zyxzyx ++
≥++ 9111
. (D u ‘=’ v n đ m b oấ ẫ ả ả )
→
82
P
zyx
zyx ++
+++≥ 81
t
t)t(f 81
+==
(v i t = x + y + x (0 < t ớ
1≤
). Kh o sát hàm ta đ c đpcm. (T i đây có em dùng BĐT Côsiả ượ ớ
18
81 ≥+ t
t
không thu đ c k t qu vì đã vi ph m nguyên t c d u ‘=’)ượ ế ả ạ ắ ấ
2. N u suy nghĩ theo h ng nh p các d u căn:ế ướ ậ ấ
+ m i d u căn là d ng bình ph ng Ở ỗ ấ ạ ươ
→
t ng 3 đ dài c a ba vect .ổ ộ ủ ơ
+ D đoán d u ‘=’ khi x = y = z = ự ấ
3
1
. Khi đó 3 vect ơ
u
= (x ;
x
1
),
v
= (y ;
y
1
) và
w
= (z ;
z
1
)
cùng h ng đ c t c đ ng th c sau x y ra đ c : P = ướ ượ ứ ẳ ứ ả ượ
22 111 )
zyx
()xyx(wvuwvu +++++=++≥++
+ T i đây th c hi n các b c phân tích nh 1.ớ ự ệ ướ ư
Khi thay d ki n x + y + z ữ ệ
1≤
b ng d ki n khác, ch ng h n: x + y + z ằ ữ ệ ẳ ạ
2≤
thì v ph i bàiế ả
toán nh th nào ? ư ế
Thí d 2:ụ (DBĐH - 2003)
Tìm GTNN, GTLN c a : P = sinủ5x +
3
cosx.
Phân tích:
Ta th y P ch a m t n x suy nghĩ đ u tiên c a ta th ng là dùng đ o hàm. Th đ oấ ứ ộ ẩ ầ ủ ườ ạ ử ạ
hàm :
f’(x) = 5sin4x.cosx –
3
x
+ Chúng ta th y có m t nghi m là sinx = 0 nh ng các nghi m còn l i ta không th tìmấ ộ ệ ư ệ ạ ể
đ c. Nh v y h ng gi i quy t khi đ o hàm tr c ti p là không kh thi. Nh ng qua đâyượ ư ậ ướ ả ế ạ ự ế ả ư
cho ta có d đoán đ c các đi m mà t i đó đ t NN, LNự ượ ể ạ ạ s là các đi m làm sinx = 0.ẽ ể
(th ng thì các đi m đ t max, min là các đi m t i h n c a hàm s )ườ ể ạ ể ớ ạ ủ ố
+ T đi u này, khi ta bi n đ i và s d ng các b t đ ng th c đ đánh giá ph i luôn luônừ ề ế ổ ử ụ ấ ẳ ứ ể ả
có d u ‘=’ t i các đi m làm sinx = 0. ấ ạ ể
+ Mu n đ a v m t n t, ta đ t t = cosx, nh ng sinố ư ề ộ ẩ ặ ư 5x không chuy n v t đ c ể ề ượ
→
đánh giá
sin5x đ h m t b c (sinể ạ ộ ậ 2x, sin4x, . . . thì đ a v t = cosx đ c). ư ề ượ Ph i đánh giá nh thả ư ế
nào đ d u ‘=’có đ c khi ể ấ ượ sinx = 0
→
sin5x
≤
sin4x
→
Khi đó : sin4x = (1 – t2)2
f(x)
≤
g(t) = (1 – t2)2 +
3
t , t
∈
[-1 ; 1].
3
+ g’(t) =
3
- 4t(1 – t2)
→
hàm b c 3 nh ng ta không nh m nghi m đ c (th b m máyậ ư ẩ ệ ượ ử ấ
xem có nghi m trong [-1 ; 1]ệ
→
không có nghi m ệ
→
g’(t) ch mang d u) đánh giá g’(t) đỉ ấ ể
ch ng minh g’(t) có m t d uứ ộ ấ
→
dùng BĐT ho c đ o hàmặ ạ :
+ g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = 0
21/t ±=⇔
. L p BBT ho c đ ý r ng g’(ậ ặ ể ằ
±
1), g’(
21/±
) > 0
⇒
g’(t) > 0,
];[t 11−∈∀
. Suy ra : max g(t) = g(1) (v n đ m b o d u ‘=’ nh trên).ẫ ả ả ấ ư ở
Thí d 3:ụ (ĐH 2004-A)
Cho tam giác không tù ABC, th a mãn đi u ki n: cos2A + ỏ ề ệ
22
cosB +
22
cosC = 3.
Tính các góc c a tam giác ABC.ủ
Phân tích:
Bài toán yêu c u tính 3 góc trong khi đó ch cho m t đ ng th c ràng bu c nh v y chầ ỉ ộ ẳ ứ ộ ư ậ ỉ
có cách dùng BĐT đ đánh giá m t v l n h n ho c b ng v còn l i.ể ộ ế ớ ơ ặ ằ ế ạ
+ D đoán d u ‘=’: B = C = 45ự ấ 0 và A = 900. (B, C đ i x ng nên d đoán B = C, h số ứ ự ệ ố
cosB là
2
t đây d đoán B = 45ừ ự 0 th vào th y th a.)ử ấ ỏ
+ Ta th c hi n bi n đ i bi u th c quen thu c : cosB + cosC = 2cosự ệ ế ổ ể ứ ộ
2
CB −
.cos
2
CB +
, v i dớ ự
đoán B = C thì cos
2
CB −
= 1, ta có th đánh giá cosB + cosC đ chuy n v m t n : cosB +ể ể ể ề ộ ẩ
cosC = 2cos
2
CB −
.sin
2
A
2
2A
sin≤
+ V y : cos2A + ậ
03
2
24 ≥−
A
sin
.
Đây là bài toán m t n ta có th ộ ẩ ể
H1: Đ t t = sinặ
2
A
(t
];( 2
2
0∈
) chuy n ể
f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + 4
2
t –1= 8t4 –8t2 +4
2
t -1
f’(t)=32t3–16t + 4
2
→
không gi i đ c nghi m. (b m máy tìm nghi m tả ượ ệ ấ ệ
];( 2
2
0∈
th yấ
không có nghi m ệ
→
f’(t) ch có m t d u )ỉ ộ ấ
→
f”(t) l p BBT suy ra đ c f’(t) ậ ượ
≥
0 ,
t∀
⇒
f(t)
3
2
2=≤ )(f
( bài toán th ng g p l p 12)ườ ặ ở ớ
H2: Đánh giá cos2A đ gi m b t b c, có th phân tích theo h ng : cos2A = 2cosể ả ớ ậ ể ướ 2A –
1.V i d đoán d u ‘=’ khi A = 90ớ ự ấ 0 trên, ta có th đánh giá cosở ể 2A nh th nào?Đánhư ế
giá :cos2A
≤
cosA (đ đ m b o d u ‘=’ x y ra khi A = 90ể ả ả ấ ả 0)
+ Thu đ cượ : cosA +
03
2
24 ≥−
A
sin
hay: –2sin2
2
A
+
04
2
sin24 ≥−
A
.
Suy ra:
0)2
2
sin2( 2≥−− A
⇒
sin
2
A
=
2
2
→
Thí d 4:ụ (ĐH M Đ a Ch t - 99)ỏ ị ấ
Gi s A, B, C là 3 góc m t tam giác. Tìm GTNN :ả ử ộ
P =
CcosBcosAcos 22
1
22
1
22
1
−
+
+
+
+
Phân tích:
+ D đoán đi m đ t GTNN: th m t s giá tr đ c bi t và d đoán A = B (A, B đ i x ng)ự ể ạ ử ộ ố ị ặ ệ ự ố ứ
4
A , B 150300450600
P
3
2
34
4+
+
6/5 4/3 26/15
V y d đoán A = B= 30ậ ự 0, C = 1200
+ V i giá tr d đoán ta đ ý :ớ ị ự ể
2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và c n đánh giá ầ
≥
. Đi u này trùng v i cách nh p cácề ớ ậ
phân s trongBĐT Côsi :ố
+ V y : P ậ
CcosBcosAcos 2226
9
−++
≥
= Q
+ M c tiêu bây gi là đi ch ng minh:ụ ờ ứ
R = cos2A + cos2B – cos2C
≤
3/2 (giá tr t i đi m d đoán, chi u ị ạ ể ự ề
≤
đ đ m b o Q ể ả ả
≥
6/5)
+ Bi u th c c a R ch a t ng quen thu c c a tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A –ể ứ ủ ứ ổ ộ ủ
B).cos(A + B) =
- 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos2C – 1. V y :ậ
R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + 1
+ T i đây, có 2 suy nghĩ :ớ
H1 : Khi A = B = 300 x y ra thì cos(A – B) = 1 và cosC = ả
=− 2
1
)BAcos( −− 2
1
. T l nàyỉ ệ
gi ng t l phân tích thành bình ph ng trong bi u th c c a R.ố ỉ ệ ươ ể ứ ủ
Ta th phân tích: R = - 2(cosC + ử
)BAcos( −
2
1
)2 + 1 +
2
1
cos2(A – B)
2
3
≤
. Đây là m c tiêu c nụ ầ
đi t i.ớ
H2 : Đánh giá R đ a v m t n. Theo d đoán thì cos(A – B) = 1 x y ra đ c. V y ta cóư ề ộ ẩ ự ả ượ ậ
đánh giá quen thu c : cos(A – B) ộ
1≤
. N u nhân cosC vào 2 v ta g p sai l m vì ch a bi tế ế ặ ầ ư ế
d u cosC. Ta tránh b ng cách : ấ ằ
- cos(A – B).cosC
≤
Ccos)BAcos( −
Ccos≤
(d u ‘=’ đ t đ c t i các đi m d đoán.). V y : ấ ạ ượ ạ ể ự ậ
R
≤
-2cos2C + 2
Ccos
+ 1= -(
2
1
−Ccos
)2 +
2
3
2
3≤
(ho c xét hàm )ặ
Thí d 5:ụ (ĐHSP Hà N i – 99)ộ
Cho x, y, z
∈
[0 ; 1]. Ch ng minh r ng :ứ ằ
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x)
3≤
Phân tích:
+ D đoán d u ‘=’: hai s b ng 1còn 1 s b ng 0 ho c x = y = z = 1.ự ấ ố ằ ố ằ ặ
+ V i d đoán trên làm th nào đ xu t hi n đ c v trái ? Đ làm xu t hi n xớ ự ế ể ấ ệ ượ ế ể ấ ệ 2y ta thử
xét tích :
( 1- x2)(1 - y)
≥
0 (đ m b o d u ‘=’ nh d đoánả ả ấ ư ự ) hay : x2y + 1 – x2 – y
0≥
. Th c hi nự ệ
t ng t trên ta có :ươ ự
y2z + 1 – y2 – z
0≥
z2x + 1 – z2 – x
0≥
+ N u c ng 3 v ta g n đ c bđt c n ch ng minh, ch thay 2(xế ộ ế ầ ượ ầ ứ ỉ 3 + y3 + z3) b ng t ng : xằ ổ 2 +
y2 + z2 + x + y + z. V i gi thi t x, y, z ớ ả ế
∈
[0 ; 1] thì ta có th so sánh các lũy th a v i b cể ừ ớ ậ
khác nhau, do đó có th so sánh hai t ng trên: xể ổ 3
≤
x2
≤
x ; y3
≤
y2
≤
y và z3
≤
z2
≤
z. C ng cácộ
bđt ta đ c đích c n ph i t i.ượ ầ ả ớ
Thí d 6:ụ (ĐH- A- 2005)
5