Luận án Tiến sĩ: Lý thuyết Nevanlinna trên đa tạp Kahler và ứng dụng

Lý thuyết Nevanlinna, một trong những trụ cột của giải tích phức, đóng vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu sự phân bố giá trị của các hàm và ánh xạ phân hình. Bắt nguồn từ các công trình kinh điển của Sokhotskii-Casorati, Weierstrass và Picard, lý thuyết này đã được R. Nevanlinna hoàn thiện vào những năm 1920, cung cấp công cụ mạnh mẽ để phân tích hành vi của các ánh xạ này. Từ đó, nó liên tục được mở rộng sang nhiều không gian phức khác, đặc biệt là trên đa tạp Kähler. Luận án này nhằm mục đích đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết phân bố giá trị trên các đa tạp này, tập trung vào việc thiết lập và cải thiện các quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng và siêu mặt, đồng thời ứng dụng chúng để giải quyết các bài toán về tính duy nhất và sự phụ thuộc đại số.

Sinh viên, nghiên cứu sinh, học viên cao học và các nhà khoa học chuyên ngành Toán giải tích, Hình học phức và Lý thuyết Nevanlinna.

Luận án này tập trung sâu rộng vào việc phát triển Lý thuyết Nevanlinna trên đa tạp Kähler và các ứng dụng của nó trong giải tích phức. Mục đích chính là thiết lập các quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler đầy vào đa tạp xạ ảnh, đặc biệt khi các ánh xạ này giao với họ siêu phẳng hoặc siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Nghiên cứu này không chỉ mở rộng các kết quả hiện có của Fujimoto và các tác giả khác mà còn đưa ra những cải tiến đáng kể thông qua việc sử dụng các khái niệm và kỹ thuật mới, bao gồm việc đánh giá chặn dưới cho trọng Chow và các phương pháp kiểm soát hạng tử nhiễu.

Luận án nghiên cứu ba vấn đề trọng tâm: thứ nhất, quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát, cải thiện các đánh giá tối ưu; thứ hai, quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt tùy ý, đưa ra cải tiến tổng quát và tốt hơn so với các kết quả trước; và thứ ba, các ánh xạ phân hình trên đa tạp Kähler có chung ảnh ngược của một số siêu phẳng. Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu dựa trên lý thuyết phân bố giá trị, hình học phức và giải tích phức, kết hợp với các kỹ thuật mới để đạt được mục tiêu tối ưu hóa.

Giá trị ứng dụng của nghiên cứu này nằm ở việc làm sâu sắc hơn sự hiểu biết về tính duy nhất và sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình, cũng như cung cấp một tài liệu tham khảo quan trọng cho sinh viên, học viên cao học và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này, góp phần làm phong phú kiến thức trong toán học.