Luận án Tiến sĩ: Tính chính quy và tính ổn định nghiệm của lớp phương trình dưới khuếch tán chứa trễ trên thang Hilbert

Trong những thập kỷ gần đây, các phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử đạo hàm có nhớ, như đạo hàm phân số Riemann-Liouville hoặc Caputo, đã thu hút sự quan tâm lớn. Những phương trình này đặc biệt quan trọng vì khả năng mô tả chính xác các hiện tượng có “trí nhớ”, chẳng hạn như quá trình khuếch tán dị thường hoặc cơ học vật liệu phức tạp, nơi trạng thái hiện tại phụ thuộc vào thông tin lịch sử. Luận án này tập trung vào tính chính quy và tính ổn định nghiệm của lớp phương trình dưới khuếch tán chứa trễ trên thang Hilbert, một lĩnh vực nghiên cứu thiết yếu, mang lại cả giá trị lý thuyết sâu sắc và tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong vật lý vật liệu, sinh học và khoa học dữ liệu.

Các nhà nghiên cứu và nghiên cứu sinh trong lĩnh vực toán học ứng dụng, chuyên ngành phương trình vi phân, giải tích hàm và giải tích phân số, cùng với các kỹ sư và nhà khoa học mô hình hóa các hệ thống phức tạp có yếu tố trí nhớ và trễ.

Luận án này tập trung giải quyết các khoảng trống lý thuyết trong nghiên cứu tính chính quy và tính ổn định của nghiệm đối với lớp phương trình dưới khuếch tán chứa trễ với các số hạng phi tuyến không chính quy trên thang Hilbert. Mục tiêu chính là xây dựng một khung phân tích hệ thống để làm sáng tỏ các vấn đề về tính giải được, tính chính quy (cụ thể là tính chính quy Hölder) và tính ổn định (ổn định Lyapunov) của nghiệm. Nghiên cứu bao gồm cả bài toán thuận và bài toán ngược, cũng như các bài toán giá trị ban đầu và giá trị cuối cho các phương trình khuếch tán có nhớ. Phương pháp tiếp cận sử dụng các công cụ mạnh mẽ từ giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết giải thức, cùng với việc thiết lập các bất đẳng thức dạng Halanay mới và các ước lượng chính quy cho toán tử giải thức. Các kết quả của luận án không chỉ làm sâu sắc thêm lý thuyết định tính của phương trình đạo hàm riêng không địa phương có trễ mà còn cung cấp cơ sở kỹ thuật quan trọng, mở ra hướng nghiên cứu mới và thúc đẩy khả năng ứng dụng trong việc mô hình hóa các hệ động lực phức tạp trong khoa học và công nghệ, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hiện tượng có bộ nhớ và trễ.