Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt: Luận án Tiến sĩ Toán học

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

PHAÏM HOAØNG QUAÂN

BAØI TOAÙN NGÖÔÏC

TRONG LYÙ THUYEÁT NHIEÄT

Chuyeân ngaønh : TOAÙN GIAÛI TÍCH

Maõ soá : 62 46 01 01

LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC

Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc :

GS. TS. ÑAËNG ÑÌNH AÙNG

TS. NGUYEÃN CAM

Thaønh Phoá Hoà Chí Minh –2005–

LÔØI CAM ÑOAN

Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa rieâng toâi. Caùc soá lieäu vaø

caùc keát quaû neâu trong luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong

Taùc giaû luaän aùn.

baát kyø moät coâng trình naøo khaùc.

LÔØI CAÛM ÔN

Tröôùc tieân, taùc giaû xin tri aân voâ haïn Thaày, GS.TS. Ñaëng Ñình AÙng, Giaùo Sö

höôùng daãn, ngöôøi Thaày khaû kính ñaõ taän tình chæ baûo, daïy doã, daãn daét taùc giaû töøng

böôùc treân con ñöôøng hoïc taäp vaø khaûo cöùu. Luoân theo göông Thaày, taùc giaû ñaõ,

ñang vaø seõ maõi maõi hoïc taäp.

Toâi xin voâ cuøng bieát ôn Thaày höôùng daãn phuï, TS. Nguyeãn Cam, ñaõ taän tình

chæ baûo vaø cho yù kieán trong quaù trình thöïc hieän luaän aùn.

Toâi xin voâ cuøng bieát ôn hai Thaày, PGS.TS. Ñinh Ngoïc Thanh vaø PGS.TS.

Ñaëng Ñöùc Troïng ñaõ taän tình heát loøng dìu daét vaø chæ daïy cho toâi trong suoát thôøi

gian laøm luaän aùn.

Toâi xin voâ cuøng bieát ôn Thaày, PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoùa, ñaõ taän tình chæ daïy

cho toâi trong suoát thôøi gian hoïc Ñaïi hoïc vaø Cao hoïc.

Toâi xin voâ cuøng bieát ôn Thaày, GS. TS. Alain Pham Ngoc Dinh ñaõ chæ baûo

nhöõng keát quaû tính soá voâ cuøng quyù baùu ñoái vôùi toâi.

Toâi xin chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày giôùi thieäu luaän aùn ñaõ ñoïc vaø cho nhieàu

yù kieán saâu saéc.

Toâi xin chaân thaønh caûm ôn nhöõng yù kieán ñoùng goùp cuûa caùc chuyeân gia,

ngöôøi nhaän xeùt. Nhöõng yù kieán naøy ñaõ giuùp chuùng toâi caûi thieän luaän aùn toát hôn.

Toâi xin chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu, Khoa Toaùn, Phoøng Khoa Hoïc

Coâng ngheä vaø Sau Ñaïi Hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm vaø Ñaïi hoïc Khoa Hoïc

Töï Nhieân, ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän

ñeà taøi nghieân cöùu.

Traân troïng caûm ôn quyù Thaày Coâ vaø caùc baïn ñoàng nghieäp ñaõ ñoäng vieân,

giuùp ñôõ toâi raát nhieàu.

Traân troïng bieát ôn quyù Thaày Coâ ñaõ töøng daïy doã vaø chæ baûo cho toâi, xin tri

Phaïm Hoaøng Quaân

aân gia ñình cuûa toâi.

Lôøi noùi ñaàu

LÔØI NOÙI ÑAÀU

Cuøng vôùi baøi toaùn cho phöông trình soùng vaø phöông trình theá vò, caùc baøi

toaùn nhieät laø moät trong nhöõng baøi toaùn coå ñieån coù nhieàu öùng duïng trong khoa

hoïc kyõ thuaät. Baøi toaùn lieân quan tôùi vaán ñeà truyeàn nhieät ñaõ ñöôïc khaûo saùt töø thôøi

Fourier trong theá kyû 19. Trong cô sôû döõ lieäu cuûa AMS hieän nay, soá löôïng baøi baùo

coù töø khoùa “heat equation” leân tôùi treân naêm ngaøn baøi. Trong soá ñoù, khaù nhieàu

baøi toaùn nhieät ngöôïc ñöôïc khaûo saùt (xem [16, 1, 50, 51] vaø caùc taøi lieäu tham

khaûo trong ñoù). Theo söï toång keát cuûa O. M. Alifanov (xem [1], trang 13), coù boán

loaïi baøi toaùn nhieät ngöôïc

1. Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian (retrospective heat conduction problem

hay backward problem): xaùc ñònh nhieät ñoä cuûa thôøi ñieåm ban ñaàu töø phaân boá

nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm cuoái,

2. Baøi toaùn bieân ngöôïc (boundary inverse problem): xaùc ñònh söï phaân boá

nhieät ñoä hay thoâng löôïng nhieät treân bieân cuûa vaät daãn nhieät,

3. Baøi toaùn xaùc ñònh heä soá (coefficient inverse problem): xaùc ñònh caùc heä soá

nhö heä soá daãn nhieät, nguoàn nhieät …,

4. Baøi toaùn hình hoïc: xaùc ñònh caùc ñaëc tröng hình hoïc nhö hình daïng caùc loã

hoång hay caùc veát nöùt trong vaät daãn nhieät, …

Luaän aùn naøy chæ taäp trung khaûo saùt moät soá vaán ñeà trong caùc baøi toaùn 1, 2, 3.

Caùc baøi toaùn nhieät ngöôïc coøn ñöôïc chia ra thaønh hai loaïi: chænh (well-posed) vaø

khoâng chænh (ill-posed). Theo Hadamard, baøi toaùn tìm x thoûa Ax =y goïi laø chænh

neáu

a. nghieäm, neáu coù, laø duy nhaát,

b. nghieäm toàn taïi,

c. nghieäm coù tính oån ñònh.

Lôøi noùi ñaàu

Töông öùng vôùi ba tính chaát treân, ta coù theå khaûo saùt ba loaïi baøi toaùn veà tính

duy nhaát (uniqueness), tính toàn taïi (solvability) vaø tính oån ñònh (stability). Caùc

baøi toaùn khoâng thoûa moät trong ba ñieàu a, b, c goïi laø baøi toaùn khoâng chænh (theo

nghóa Hadamard). Ñoái vôùi caùc baøi toaùn coù nghieäm khoâng oån ñònh, ngöôøi ta caàn

xaây döïng caùc nghieäm xaáp xæ oån ñònh nghieäm caàn tìm. Baøi toaùn naøy goïi laø

d. baøi toaùn chænh hoùa (regularization).

Tính chænh hay khoâng chænh phuï thuoäc vaøo nhieàu ñieàu kieän. Ví duï coù nhieàu

baøi toaùn laø khoâng chænh khi döõ lieäu cho ñöôïc xeùt treân caùc khoâng gian thoâng duïng

nhöng laïi chænh neáu döõ lieäu xeùt treân khoâng gian thu heïp hôn. Ñieàu naøy ñöôïc

minh hoïa, chaúng haïn, nhö moät daáu hieäu phoå quaùt ñeå nhaän dieän phöông phaùp

pL (R)

ϕ ∈

εϕ ∈

mollification. Trong [41], taùc giaû ñaõ vieát nhö sau: “The idea of our method is as

εϕ by

follows: if is given inexactly by then we mollify

convolution with the Dirichlet kernel and the de la Valleù Poussin kernel... The

mollified data belong to the spaces of entire functions of exponent type… in

which our (mollified) problem is well-posed” . Tính chænh cuûa baøi toaùn coøn coù theå

(x, t)f (x)

phuï thuoäc vaøo tính chaát cuûa caùc heä soá trong baøi toaùn. Chaúng haïn trong baøi toaùn

(x, t)

xaùc ñònh nguoàn nhieät (xem [51] trang 222) daïng , Isakov ñaõ phaùt bieåu

≤ ϕ ≤ ∂ ϕ …

thoûa moät keát quaû ñaùnh giaù oån ñònh cho tröôøng hôïp

(9.1.1)

vaø vieát: “… Without the conditions (9.1.1), nonuniqueness is possible”, nghóa laø

baøi toaùn coù theå khoâng chænh. Chuùng toâi seõ noùi theâm veà vaán ñeà naøy sau.

Nhö vaäy, phoái hôïp caùc loaïi baøi toaùn a, b, c, d vaø 1, 2, 3, 4, chuùng ta coù theå

coù ñeán 16 loaïi baøi toaùn nhieät ngöôïc maø söï khaùc nhau coù theå raát xa. Vì lyù do naøy,

khi so saùnh keát quaû cuûa caùc coâng trình, chuùng ta phaûi xem xeùt xem caùc baøi toaùn

Lôøi noùi ñaàu

ñaët ra trong ñoù laø loaïi naøo trong caùc loaïi 1, 2, 3, 4 vaø vaán ñeà xeùt tôùi laø a, b, c hay

d, chöa keå ñeán söï khaùc nhau veà vieäc söû duïng caùc khoâng gian haøm, veà caùc ñieàu

kieän treân döõ lieäu hay treân caùc heä soá. Trong luaän aùn naøy chuùng toâi taäp trung khaûo

saùt vaán ñeà chænh hoùa (töùc laø vaán ñeà d) cho moät soá baøi toaùn loaïi 1, 2, 3. Tuy

nhieân, chuùng toâi khoâng khaûo saùt vaán ñeà tính toaùn baèng soá nghieäm chænh hoùa.

Trong moät soá tröôøng hôïp, caùc ví duï soá ñöa ra nhaèm muïc ñích minh hoïa cho caùc

phöông phaùp.

Thöù töï trình baøy cuûa caùc baøi toaùn ñöôïc saép xeáp thaønh hai nhoùm: tuyeán tính

(caùc chöông 1, 2, 3) vaø phi tuyeán (caùc chöông 4, 5, 6, 7). Cuï theå luaän aùn seõ khaûo

saùt söï chænh hoùa nghieäm cuûa caùc baøi toaùn naèm trong boán daïng ñaõ lieät keâ nhö sau

1. Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian

- tuyeán tính hai chieàu khoâng gian vôùi caùc döõ kieän nhieät ñoä cuoái laø rôøi raïc

(chöông 1)

- phi tuyeán moät chieàu khoâng gian treân moät taäp hôïp bò chaän (chöông 6)

- phi tuyeán moät chieàu khoâng gian treân toaøn boä truïc soá thöïc (chöông 7),

2. Baøi toaùn xaùc ñònh nhieät ñoä bieân

- tuyeán tính cuûa moâ hình chaát daãn nhieät moät chieàu coù hai lôùp töø döõ kieän

nhieät ñoä ño taïi ba vò trí beân trong cuûa vaät (chöông 3),

- phi tuyeán hai chieàu khoâng gian xaùc ñònh nhieät ñoä beà maët khi bieát nhieät ñoä

taïi moät vò trí beân trong (chöông 5),

(t)f (x)

3. Baøi toaùn hai chieàu khoâng gian xaùc ñònh nguoàn nhieät daïng taùch bieán

(t)ϕ

khoâng gian vaø thôøi gian trong ñoù haøm phuï thuoäc bieán thôøi gian

ñöôïc cho döôùi daïng döõ lieäu nhieãu khoâng chính xaùc (chöông 4).

Lôøi noùi ñaàu

Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian ñöôïc khaûo saùt qua raát nhieàu coâng trình, cho

ñeán gaàn ñaây, baøi toaùn treân khoâng gian Banach tröøu töôïng vaãn coøn ñöôïc coâng boá

(xem [49]). Baét ñaàu töø coâng trình tieân phong cuûa Fritz John [54] vaøo thaäp nieân

50, caùc baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian tuyeán tính ñaõ ñöôïc khaûo saùt raát nhieàu baèng

caùc phöông phaùp nöûa nhoùm qua caùc coâng trình cuûa Krein [56], phöông phaùp

quasi-reversibility cuûa Latteøs-Lions [58], Miller [66], phöông phaùp pseudo-

parabolic cuûa Gajewski and Zacharias [34], phöông phaùp chænh hoùa hyperbolic

[5]. Tuy nhieân, baøi toaùn khoâi phuïc phaân boá nhieät ñoä ban ñaàu töø caùc döõ lieäu nhieät

ñoä cuoái rôøi raïc chuùng toâi chæ môùi tìm thaáy trong [13] vaø baøi baùo [70] (laø noäi dung

chính cuûa Chöông 1 cuûa luaän aùn). Beân caïnh ñoù, baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian

vôùi nguoàn nhieät phi tuyeán cuõng chæ môùi ñöôïc nhoùm chuùng toâi khaûo saùt gaàn ñaây

trong caùc baøi baùo [69, 73] ñaõ coâng boá (noäi dung chính cuûa chöông 6 vaø 7) vaø

trong coâng trình [80] (göûi ñaêng ôû taïp chí ZAA). Trong khuoân khoå caùc taøi lieäu tìm

ñöôïc, chuùng toâi chöa tìm ñöôïc caùc coâng trình khaùc veà baøi toaùn phi tuyeán naøy.

Baøi toaùn xaùc ñònh nhieät ñoä beà maët töø caùc döõ lieäu ño beân trong (borehole

measurements) laø baøi toaùn ñaõ ñöôïc khaûo saùt raát nhieàu trong tröôøng hôïp vaät theå

daãn nhieät chæ coù moät lôùp (one layer). Baøi toaùn naøy ñaõ ñöôïc phaùt bieåu trong [1,

16, 19, …]. Tröôøng hôïp bieán khoâng gian x thuoäc veà nöûa truïc thöïc baøi toaùn (vôùi heä

soá haèng) ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi Carasso [22], Talenti vaø Vessella [76]. Ñinh Nho

Haøo,H.J. Reinhardt vaø A. Schneider [45, 46, …] söû duïng phöông phaùp

mollification ñaõ khaûo saùt baøi toaùn trong tröôøng hôïp heä soá phuï thuoäc vaøo bieán x

(vôùi giaû thieát truï coät laø nhieät ñoä ban ñaàu trieät tieâu) vaø cho caùc ñaùnh giaù oån ñònh

loaïi Holder. Gaàn ñaây, Chu-Li Fu [33] cuõng söû duïng phöông phaùp chænh hoùa

Fourier (chaët cuït caùc taàn soá cao) ñeå khaûo saùt baøi toaùn. Tuy nhieân baøi toaùn

sideways cho tröôøng hôïp vaät theå coù nhieàu lôùp (multi-layer) vaãn chöa ñöôïc khaûo

Lôøi noùi ñaàu

saùt nhieàu maëc duø ñaõ ñöôïc ñeà caäp raát roõ raøng trong cuoán saùch kinh ñieån cuûa [16].

Coù leõ moät trong nhöõng lyù do laø quan ñieåm cho raèng baøi toaùn ñoù ñaõ ñöôïc giaûi

quyeát veà maët nguyeân taéc vì coù theå phaân thaønh nhieàu baøi toaùn moät lôùp vaø ta coù

theå laàn löôït giaûi theo töøng lôùp töø trong ra ngoaøi. Tuy nhieân, phöông phaùp naøy coù

caùc tính toaùn nhieàu vaø khoù ruùt ra caùc ñaùnh giaù veà sai soá. Chuùng toâi ñaõ khaûo saùt

baøi toaùn treân quan ñieåm tính toaùn ñoàng thôøi phaân boá nhieät ñoä trong taát caû caùc lôùp

nhö laø heä thoáng cuûa caùc phöông trình tích chaäp, nhôø ñoù coù theå tính tröïc tieáp nhieät

ñoä beà maët maø khoâng phaûi tính theo loái quy naïp. Trong Chöông 3, caùc keát quaû

cho moät vaät theå daãn nhieät hai lôùp ñaõ ñöôïc trình baøy nhö moät minh hoïa cho yù

töôûng cuûa phöông phaùp. Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong baøi [71] treân taïp

chí Applicable Analysis.

Tröôøng hôïp xaùc ñònh nhieät ñoä beà maët cuûa vaät theå thoûa phöông trình elliptic

phi tuyeán ñöôïc khaûo saùt trong chöông 5. Cuõng nhö caùc baøi toaùn phi tuyeán nhieät

ngöôïc thôøi gian, chuùng toâi cuõng chöa tìm ra ñöôïc caùc coâng trình khaûo saùt baøi

toaùn phi tuyeán töông töï. Baøi toaùn ñaët ra ôû ñaây laø xaùc ñònh phaân boá nhieät ñoä treân

bieân (truïc Ox) töø nhieät ñoä ño ôû nhöõng ñieåm coù phöông trình y=1 cuûa nöûa maët

phaúng treân. Vieäc khaûo saùt naøy söû duïng yù töôûng thoâng duïng ñöôïc noùi tôùi trong

[16, 46, ...]: khaûo saùt baøi toaùn trong phaàn maët phaúng y>1 (baøi toaùn chænh) roài laáy

keát quaû laøm döõ lieäu ñeå khaûo saùt trong daûi 0

quaû naøy chæ laø caùc keát quaû böôùc ñaàu cho vieäc nghieân cöùu baøi toaùn phi tuyeán naøy.

Noäi dung cuûa baøi toaùn ñöôïc trình baøy trong baøi baùo [72] ñaõ coâng boá treân taïp chí

Vietnam Journal of Mathematics vaø laø noäi dung cuûa Chöông 5.

Trong caùc baøi toaùn xaùc ñònh veà heä soá, luaän aùn chæ khaûo saùt baøi toaùn tìm

nguoàn nhieät. Ñaây laø moät loaïi baøi toaùn phi tuyeán (xem [51, trang 222]). Moät soá

Lôøi noùi ñaàu

F(x, t)

g (x, t)

f (x)g(t) 1

f (t)g (x) 2

daïng ñaëc bieät cuûa nguoàn nhieät F thöôøng ñöôïc xem xeùt. Trong [64], daïng

ñöôïc khaûo saùt. Caùc taùc giaû Isakov [51], D. N. Hao [42] khaûo saùt daïng nguoàn

F(x, t)

(x, t)f (x)

= ϕ

(x, t)

nhieät

laø haøm troïng löôïng (weight function) ñaõ cho chính vôùi f(x) laø aån haøm vaø

xaùc. Cannon-Esteva, Ñinh Nho Haøo, Saitoh-Vuõ Kim Tuaán-Yamamoto,

F(x, t)

(x)f (t)

= ϕ

Yamamoto [20, 21, 40, 75, 82] ñaõ khaûo saùt daïng taùch bieán

u ϕ≡

laø haøm phuï thuoäc trong ñoù moät trong hai haøm laø aån haøm. Haøm u vaø F Fϕ≡

phi tuyeán vaøo ϕ . Neáu haøm ϕ ñaõ bieát chính xaùc (exactly given function) thì baøi

toaùn trôû thaønh tuyeán tính. Ñeå giaûi ñöôïc baøi toaùn naøy moät soá ñieàu kieän ñöôïc boå

sung theâm (overdetermination conditions). Tröôøng hôïp boå sung theâm giaù trò nhieät

ñoä ño ôû phaàn trong cuûa vaät theå, baøi toaùn khaûo saùt söï oån ñònh cuûa nguoàn nhieät

ñöôïc trình baøy trong [20, 21, 75, 82]. Baøi toaùn toàn taïi vaø duy nhaát cho baøi toaùn

heä soá treân mieàn khoâng gian laø ñoaïn (0,1) ñaõ ñöôïc khaûo saùt trong [40] söû duïng

ñieàu kieän Cauchy ôû moät phaàn cuûa bieân.

(t)f (x, y)

Trong luaän aùn naøy, chuùng toâi xeùt baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät coù daïng

(t)ϕ laø haøm cho bieát khoâng chính

hai chieàu khoâng gian coù daïng vôùi

xaùc (inexactly given function) vaø ñieàu kieän boå sung cuûa chuùng toâi cuõng laø ñieàu

kieän cuoái (final overdetermination) nhö trong [51]. Coâng trình cuûa chuùng toâi

khaùc caùc keát quaû ñöôïc phaùt bieåu bôûi Isakov ôû nhöõng ñieåm sau:

Thöù nhaát, baøi toaùn trong [50, 51] ñöôïc khaûo saùt ôû khía caïnh oån ñònh vaø duy

nhaát, coøn coâng trình cuûa chuùng toâi khaûo saùt vieäc chænh hoùa baøi toaùn. Nhö chuùng

toâi ñaõ phaân tích ôû phaàn ñaàu, ñoù laø hai baøi toaùn khaùc nhau.

(x, t)

Lôøi noùi ñaàu

Thöù hai, trong [51], haøm xem nhö bieát chính xaùc, do ñoù, nhö ñaõ löu

yù, keát quaû phaùt bieåu trong [51] (Ñònh lyù 9.1.1, trang 222) ñöôïc söû duïng cho baøi

(t)ϕ

(t)

toaùn tuyeán tính. Trong khi ñoù, trong baøi toaùn chuùng toâi nghieân cöùu, haøm

(t)ϕ ,

εϕ

≡

cuûa ñöôïc xem laø döõ kieän bieát khoâng chính xaùc, chæ bieát haøm xaáp xæ

(u , F ) ϕ ϕ

do ñoù baøi toaùn tìm (u, F) laø phi tuyeán.

Thöù ba, daïng nguoàn nhieät chuùng toâi khaûo saùt coù veû ñôn giaûn hôn daïng khaûo

saùt trong [51]. Tuy nhieân ñi keøm vôùi daïng nguoàn nhieät laø caùc ñieàu kieän treân ñoù.

Vôùi ñaëc ñieåm phöùc taïp cuûa loaïi toaùn naøy, vôùi caùc ñieàu kieän khaùc nhau, phöông

phaùp giaûi quyeát coù theå khaùc nhau hoaøn toaøn. Do ñoù daïng toång quaùt cuûa nguoàn

nhieät nhö trong [51] neáu chöa xeùt ñeán caùc ñieàu kieän thì chöa theå so saùnh thoûa

ñaùng ñöôïc. Thöïc teá, Isakov ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng neáu coù ñieàu kieän

≤ ϕ ≤ ϕ treân Q vaø t

(T) Ω × (9.1.1) 0 ϕ > ε > treân

thì baøi toaùn oån ñònh nghieäm trong khoâng gian caùc haøm coù ñaïo haøm lieân tuïc vôùi

)C +λ ([51]

caáp thích hôïp. Vaäy vôùi ñieàu kieän naøy, baøi toaùn trôû thaønh chænh trong

2L vôùi ñieàu kieän ñaàu

khoâng xeùt baøi toaùn treân trong khoâng gian caùc haøm khaû tích

2L ). Tuy nhieân, neáu ñieàu kieän (9.1.1) noùi treân khoâng thoûa thì

vaø cuoái cuõng thuoäc

nhö chuùng toâi ñaõ trích daãn, baøi toaùn coù theå khoâng duy nhaát nghieäm (xem [51],

trang 222), nghóa laø baøi toaùn trôû thaønh khoâng chænh. Trong coâng trình [79], caùc

ñieàu kieän treân haøm ϕ ñöôïc giaûm nheï raát nhieàu (xem Chöông 4 cuûa luaän aùn) vaø

do ñoù naèm ngoaøi phaïm vi cuûa caùc keát quaû trình baøy trong [50, 51].

Thöù tö, ñeå thöïc hieän chænh hoùa moät caùch töôøng minh, chuùng toâi söû duïng caùc

ñieàu kieän daïng Dirichlet treân moät phaàn bieân do caùc yù nghóa vaät lyù cuûa baøi toaùn.

Vieäc chænh hoùa maø khoâng söû duïng theâm caùc ñieàu kieän Dirichlet ñang ñöôïc

nghieân cöùu tieáp tuïc, chuùng toâi hy voïng raèng seõ coù tieán trieån trong töông lai gaàn.

Lôøi noùi ñaàu

Caùc keát quaû cuûa chuùng toâi ñaõ ñöôïc coâng boá trong baøi baùo [79] vaø laø noäi dung cuûa

chöông 4.

Cuoái cuøng, chuùng toâi xin thaûo luaän veà caùc phöông phaùp chænh hoùa ñöôïc söû

duïng trong luaän aùn naøy ñoàng thôøi cuõng thaûo luaän veà noäi dung cuûa Chöông 2 cuûa

luaän aùn. Ñeå tieän lôïi trong caùc thaûo luaän veà sau, chuùng toâi neâu leân ñònh nghóa cuûa

söï chænh hoùa. Vì trong luaän aùn coù söï chænh hoaù caùc baøi toaùn phi tuyeán neân chuùng

toâi ñònh nghóa laáy yù töôûng trong [78, trang 43]

Xeùt phöông trình

Au = ⊂ ∈ f , u D(A) X,f Y ∈

trong ñoù X vaø Y laø caùc khoâng gian meâtric vôùi meâtric d vaø ρ , A laø toaùn töû

exu (goïi laø nghieäm chính xaùc, exact solution) vaø

exf

töø X vaøo Y. Giaû söû

Au f= (goïi laø döõ lieäu chính xaùc, exact data) thoûa . Toaùn töû R α (f) (phuï

thuoäc vaøo tham soá α vaø coù theå khoâng tuyeán tính) goïi laø toaùn töû chænh

neáu hoùa cho phöông trình Au=f trong moät laân caän môû W cuûa exf

0α > vaø vôùi

,f )

0 A. toàn taïi moät soá δ > sao cho R α xaùc ñònh vôùi moïi

≤ δ ≤ δ 1

(0,

)

moïi f W∈ treân sao cho

ε ∈ δ ta tìm ñöôïc

( )α ε vaø

( )ω ε thoûa

( )

α ε → khi

0 ε →

( )

ω ε → khi

0 ε →

≤ ε

B. vôùi moïi

ex(f

,f )ε

vaø neáu

( ) ≤ ω ε

d(u , u ) ex ε

thì

R (f ) ( ) ε α ε

vôùi .

Lôøi noùi ñaàu

Tröôøng hôïp tham soá α laø soá töï nhieân thì trong ñònh nghóa treân ta

( )α ε bôûi ñieàu kieän

( )α ε → ∞ khi

ε → .

thay ñieàu kieän tieán veà 0 cuûa

Soá α goïi laø tham soá chænh hoùa. Haøm u ε goïi laø nghieäm chænh hoaù

cuûa baøi toaùn, Döõ lieäu fε goïi laø döõ lieäu khoâng chính xaùc (inexact data).

Thoâng thöôøng döõ lieäu do ño ñaïc (measured data) hay döõ lieäu ñöôïc cho

(given data) cuûa baøi toaùn khoâng phaûi laø fε . Haøm fε laø keát quaû phoái hôïp

cuûa caùc döõ lieäu ñöôïc cho thoâng qua nhieàu pheùp toaùn khaùc nhau neân chæ coù

theå goïi laø döõ lieäu coù ñöôïc do tính toaùn (calculated data) töø caùc döõ lieäu

ñöôïc cho hay goïi laø caùc döõ lieäu thöù caáp (taïm goïi laø processed data). Sai soá

so vôùi döõ lieäu chính xaùc thöôøng ñöôïc ngaàm ñònh cho döõ lieäu ñöôïc cho vaø

coù theå goïi laø sai soá ban ñaàu. Sai soá treân caùc döõ lieäu thöù caáp phaûi ñöôïc

ñaùnh giaù töø sai soá ban ñaàu treân döõ lieäu ñöôïc cho.

Nhö vaäy qua ñònh nghóa cuûa nghieäm chænh hoùa ta thaáy coù hai baøi toaùn rieâng.

Thöù nhaát laø tìm toaùn töû chænh hoùa R α . Thöù hai laø tìm moät phöông phaùp choïn

( )α ε . Nhieàu coâng trình veà chænh hoùa chæ giaûi quyeát vaán ñeà thöù

tham soá chænh hoùa

nhaát, coøn vaán ñeà thöù hai ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng “toàn taïi”. Nhö ñaõ ñöôïc phaân

tích trong [1], caùc phöông phaùp giaûi coù theå ñöôïc chia thaønh hai loaïi: phöông phaùp

phoå quaùt (universal) vaø phöông phaùp ñöôïc ñònh höôùng vaøo baøi toaùn (problem-

oriented) hay coøn goïi laø phöông phaùp tröïc tieáp (direct methods). Chaúng haïn

phöông phaùp chænh hoùa Tikhonov laø moät phöông phaùp phoå quaùt coù theå aùp duïng

cho caùc lôùp baøi toaùn raát roäng. Trong phöông phaùp tröïc tieáp, ta xem xeùt caùc yeâu

caàu cuï theå treân caùc döõ lieäu vaø do ñoù, phaïm vi aùp duïng cuûa noù heïp hôn. Buø laïi,

caùc phöông phaùp chænh hoùa tröïc tieáp ñôn giaûn hôn vaø coù theå mang laïi söï xaáp xæ

toát trong töøng tröôøng hôïp. Khi söû duïng phöông phaùp phoå quaùt nhö chænh hoùa

( )α ε

Tikhonov, chuùng toâi thöôøng gaëp khoù khaên khi phaûi choïn tham soá chænh hoùa

Lôøi noùi ñaàu

f Range A

∈

neáu khoâng söû duïng moät vaøi ñieàu kieän (raát khoù kieåm tra) chaúng haïn nhö

(xem [38]). Theo chuùng toâi, moät trong nhöõng daáu hieäu ñeå phaân bieät

moät phöông phaùp laø tröïc tieáp hay khoâng coù theå döïa treân vieäc choïn toaùn töû chænh

hoùa vaø tham soá chænh hoùa coù cuï theå hay khoâng. Coøn ñònh nghóa theá naøo laø cuï theå

thì xin trích moät ñoaïn vaên hoùm hænh cuûa giaùo sö Groesch: “… we find ourselves in

a position akin to that experienced by Justice Potter Stewart who, in referring to

pornography, said he couldn’t define it, but he knew it when he saw it”. Theo

caùch thao taùc xöû lyù treân caùc yeáu toá cuûa baøi toaùn, chuùng ta coù theå phaân thaønh ba

loaïi chænh hoùa. Thöù nhaát, ta xaáp xæ döõ kieän hay thu heïp khoâng gian ñeå baøi toaùn trôû

thaønh chænh vaø giaûi baøi toaùn, phöông phaùp mollification ñöôïc söû duïng trong [41,

47, …] coù theå xeáp vaøo loaïi naøy. Thöù hai, ta xaáp xæ phöông trình ñeå ñöôïc baøi toaùn

chænh vaø giaûi, caùc phöông phaùp quasi-reversibility, quasi-boundary value, … coù

theå xeáp vaøo loaïi naøy. Thöù ba, chænh hoùa baèng caùch xaáp xæ tröïc tieáp caùc nghieäm,

phöông phaùp chænh hoùa Fourier (xem [33]), phöông phaùp chaët cuït giaù trò kyø dò

(truncated singular value decomposition), phöông phaùp chaët cuït taàn soá xaáu trong

caùc aûnh Fourier ñeàu thuoäc loaïi naøy.

Luaän aùn naøy theo quan ñieåm söû duïng caùc phöông phaùp tröïc tieáp. Vì vaäy,

chuùng toâi chuù yù nhieàu vaøo caùc phöông phaùp cho pheùp bieåu dieãn nghieäm töôøng

minh vaø choïn tham soá chænh hoùa cuï theå. Phöông phaùp ñöôïc söû duïng nhieàu nhaát laø

phöông phaùp chaët cuït (truncation). Phöông phaùp chaët cuït bao goàm raát nhieàu loaïi

khaùc nhau, chaúng haïn chaët cuït chuoãi, chaët cuït ña thöùc, chaët cuït tích phaân … Chaët

cuït coù yù nghóa laø khöû caùc yeáu toá “xaáu” trong bieåu dieãn cuûa moät haøm soá. Trong

lónh vöïc baøi toaùn khoâng chænh, caùc yeáu toá “xaáu” laø caùc yeáu toá laøm nghieäm baøi

toaùn maát oån ñònh.

Lôøi noùi ñaàu

Ta coù theå minh hoïa baèng phöông phaùp chænh hoùa chaët cuït giaù trò kyø dò. Nhaéc

Y→ laø toaùn töû compaêc

...

laïi raèng neáu X, Y laø hai khoâng gian Hilbert vaø A : X

λ → khi j → ∞ ) laø caùc giaù trò rieâng

λ ≥ λ ≥ ( 2

tuyeán tính lieân tuïc, giaû söû

*A A töông öùng vôùi caùc heä caùc veùctô rieâng tröïc giao ( je ) trong X. Ñaët

σ = λ ;

1/ 2 j

1 −= σ j

cuûa

jσ goïi laø giaù trò kyø dò vaø ta coù khai trieån sau vôùi moïi x X∈

∞

x,e

, x Ker A

∈

σ < j

∑

j 1 =

∞

x,e

thì

σ < j

∑

j 1 =

Caùc khai trieån naøy goïi laø söï phaân tích giaù trò kyø dò cuûa A (singular value

∞

decomposition of A). Neáu vaø A ñôn aùnh thì

σ < j

y ,e 0

∑

j 1 =

Baây giôø, ñeå xaây döïng pheùp chænh hoùa, ta coù theå söû duïng toång

σ < j

y ,e 0

∑

σ >ε j

Sô ñoà chænh hoùa naøy ñöôïc goïi laø chaët cuït caùc giaù trò kyø dò (truncated

singular value decomposition hay TSVD, xem [15], trang 79-80, [38], trang 100).

Trong luaän aùn, chuùng toâi coù xeùt tôùi hai loaïi chaët cuït: chaët cuït chuoãi vaø chaët

cuït taàn soá xaáu trong caùc aûnh Fourier. Phöông phaùp chaët cuït chuoãi döïa treân caùc

khai trieån tröïc giao trong khoâng gian Hilbert vaø khöû caùc soá haïng sau cuûa chuoãi.

Phöông phaùp naøy coå ñieån nhöng aùp duïng ñeå choïn tham soá chænh hoùa töôøng minh

raát toát. Trong Chöông 1 chuùng toâi söû duïng khai trieån tröïc giao theo caùc ña thöùc

2L (0,1) vaø chaët cuït chuoãi ñeå ñöôïc moät xaáp xæ oån ñònh.

shifted-Legendre trong

Lôøi noùi ñaàu

Phöông phaùp chaët cuït taàn soá xaáu trong caùc aûnh Fourier laø teân goïi chính xaùc hôn

cuûa phöông phaùp chaët cuït tích phaân söû duïng trong luaän aùn naøy. Tröôùc heát, ta caàn

moät giaûi thích ngaén veà töø “taàn soá xaáu”. Veà ñaïi theå, moät soá phöông trình vi phaân,

ˆK( )u ξ

ˆ f ( ) = ξ

tích phaân coù theå vieát ñöôïc döôùi daïng baøi toaùn tìm haøm u thoûa

vôùi ˆf laø bieán ñoåi Fourier cuûa haøm f (thöôøng laø döõ lieäu thöù caáp tính töø döõ lieäu

D { : K( )

= ξ

ξ =

ˆu( )

ˆ 1 − f ( )K ( ) ξ = ξ

ñöôïc cho hay töø caùc döõ lieäu do ño ñaïc). Vôùi moïi ξ khoâng naèm trong taäp hôïp

ξ . Ñeå coù theå oån ñònh hoùa coâng thöùc treân ta phaûi

thì ta coù theå vieát

ξ lôùn (taïm goïi laø taàn soá cao, hight frequency). Hai loaïi taàn soá naøy coù theå goïi

loaïi boû caùc ξ thuoäc D (taïm goïi laø taàn soá kyø dò, singular frequency) vaø caùc ξ coù

chung laø caùc taàn soá xaáu (bad frequency). Caùc phöông phaùp chaët cuït tích phaân

Fourier maø chuùng toâi bieát ñöôïc ñeàu ôû daïng chaët cuït caùc taàn soá cao. Trong cuoán

saùch kinh ñieån cuûa Tikhonov Arsenin [78] (Chöông 4, trang 97) ta thaáy phöông

phaùp chaët cuït ñaõ ñöôïc phaùt bieåu. Hieän taïi chuùng toâi bieát ñöôïc coù hai loaïi chaët

cuït. Loaïi chaët cuït taàn soá cao cuûa aûnh Fourier cuûa döõ lieäu trình baøy trong phöông

phaùp mollification vaø loaïi chaët cuït taàn soá cao cuûa nhaân K trình baøy trong phöông

phaùp coù teân Fourier regularization hay coù teân chaët cuït tích phaân (ñöôïc nhoùm

chuùng toâi söû duïng). Thaät ra phöông phaùp chaët cuït tích phaân maø chuùng toâi trình

baøy laø phöông phaùp chaët cuït caùc taàn soá xaáu cuûa nhaân K.

Phöông phaùp mollification do Ñinh Nho Haøo phaùt trieån trong caùc coâng trình

[41, 44, 47, ...] döïa treân söï chaët cuït caùc taàn soá cao cuûa aûnh Fourier cuûa döõ lieäu

εϕ in such a way that its mollification does not have

(xem [41], “… we mollify

,−ν ν (aûnh ngöôïc chaäp vôùi

high frequencies …”). Trong phöông phaùp mollification, aûnh Fourier ñöôïc cuûa döõ

]

lieäu ñöôïc nhaân vôùi moät haøm ñaëc tröng cuûa khoaûng [

Lôøi noùi ñaàu

haøm daïng nhaân Dirichlet) hay nhaân vôùi aûnh Fourier cuûa nhaân de la Valleù Poussin

cuõng coù giaù compaêc (xem [47]). Ñaùnh giaù raát cao the mollification method

proposed by Dinh Nho Hao, giaùo sö G. Anger moâ taû nhö sau: “If the data are

given inexactly then one tries to find a sequence of “mollification operators”

which maps the improper data into well-posedness classes of the problem” vaø

“In classical topology the following (Tikhonov) is well known: If A is compact

one-to-one mapping defined on a compact space onto its image A(K), then the

1A− is continuous…” khi bình luaän veà coâng trình [40, 41]. D. N. Haøo ñaõ

inverse

môû roäng moät caùch khoâng taàm thöôøng caùc keát quaû cuûa mình sang tröôøng hôïp

pL nghóa laø cho khoâng gian Banach, treân ñoù ñònh lyù Plancherel khoâng

khoâng gian

coøn ñuùng nöõa.

Phöông phaùp chænh hoùa Fourier (Fourier regularization) hieän ñang ñöôïc aùp

duïng bôûi nhoùm cuûa Chu Li Fu ôû ñaïi hoïc Lanzhou (Trung Quoác) thuoäc loaïi chaët

cuït taàn soá cao (xem [33]) . Vieäc khaûo saùt cuûa nhoùm nghieân cöùu ôû Thaønh phoá Hoà

Chí Minh do giaùo sö Ñaëng Ñình AÙng höôùng daãn ñaõ ñoùng goùp nhieàu baøi cho

höôùng chaët cuït caùc taàn soá cao (xem caùc baøi[18, 77, ...]).

Nhö vaäy chuùng ta coù theå hình dung ñöôïc phaàn naøo veà söï phong phuù cuûa caùc

danh töø duøng ñeå chæ cho phöông phaùp naøy. Do phöông phaùp naøy coù tính töø chaët

cuït (truncated) vôùi noäi haøm quaù roäng nhö vaäy neân ñaõ coù ngöôøi nhaàm laãn, xem

phöông phaùp naøy laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa phöông phaùp chaët cuït giaù trò kyø dò

(TSVD). Nhö ñaõ baøn tôùi trong phaàn chaët cuït chuoãi, ta coù theå thaáy ngay hai

phöông phaùp hoaøn toaøn khaùc nhau.

Lôøi noùi ñaàu

Trong luaän aùn naøy chuùng toâi ñeà caäp ñeán phöông phaùp chaët cuït caùc taàn soá

xaáu cuûa nhaân, trong ñoù coù caùc taàn soá kyø dò. Trong [78], caùc taùc giaû ñaõ ñöa ra boán

loaïi nhaân K( )ξ trong ñoù caùc nhaân loaïi 2, 3, 4 coù theå coù taàn soá kyø dò (xem [78],

Chöông 3, trang 105). Söû duïng phöông phaùp chænh hoùa Tikhonov vaø pheùp tính

thaëng dö, caùc taùc giaû ñaõ ñöa ra moät soá ñaùnh giaù cho phöông phaùp chænh hoùa

Tikhonov. Trong [15], chöông 10, trang 183-184, taùc giaû ñaõ khaûo saùt baøi toaùn

phöông trình tích chaäp vôùi hai loaïi nhaân, trong ñoù, loaïi nhaân K( )ξ thöù nhaát coù

theå coù voâ haïn ñeám ñöôïc caùc taàn soá kyø dò. Vôùi moät soá ñieàu kieän phöùc taïp,

Baumeister cuõng söû duïng phöông phaùp Tikhonov ñeå chænh hoùa baøi toaùn vôùi caùc

ñaùnh giaù sai soá. Trong chöông hai cuûa luaän aùn, chuùng toâi söû duïng phöông phaùp

chaët cuït tích phaân ñeå chænh hoùa heä n phöông trình tích chaäp. Chuùng toâi chöa tìm

ñöôïc coâng trình naøo nghieân cöùu veà loaïi heä naøy. Caùc ñaùnh giaù trong tröôøng hôïp

n=1 cuûa luaän aùn cuõng ñaït keát quaû veà sai soá nhö Baumeister.

Khi nghieân cöùu ñeà taøi naøy, chuùng toâi môùi thaáy ñöôïc nhieàu caùi khoù cuûa vaán

ñeà. Vì soá löôïng caùc nghieân cöùu veà lónh vöïc naøy quaù nhieàu, caùc phöông phaùp

cuõng ñaõ ñöôïc söû duïng raát nhieàu neân deã coù caûm giaùc taát caû ñeàu ñaõ ñöôïc nghieân

cöùu. Tuy nhieân, nhö chuùng toâi ñaõ phaân tích, soá löôïng caùc loaïi baøi toaùn truyeàn

nhieät ngöôïc khaùc nhau laø raát nhieàu. Ngay caû vôùi cuøng moät loaïi baøi toaùn, do caùch

ñaët vaán ñeà, do caùc ñieàu kieän treân döõ kieän cho tröôùc vaø do phöông phaùp söû duïng

maø caùc keát quaû thu ñöôïc cuõng khaùc nhau. Ngoaøi ra, do ñònh höôùng cuûa chuùng toâi

laø nghieân cöùu theo phöông phaùp tröïc tieáp chöù khoâng phaûi phöông phaùp phoå quaùt

neân chuùng toâi khoâng ñaët ra vaán ñeà toång quaùt hoùa caùc keát quaû vaø cuõng khoâng so

saùnh tính toång quaùt cuûa noù vôùi caùc keát quaû ñaõ bieát. Caùc baøi toaùn chuùng toâi xeùt tôùi

luoân coù nhöõng ñaëc ñieåm khoâng truøng vôùi caùc baøi toaùn nhieät trong caùc coâng trình

maø chuùng toâi bieát neân cuõng khoù xem xeùt vaán ñeà keát quaû maïnh hay yeáu neáu so

Lôøi noùi ñaàu

saùnh vôùi caùc keát quaû maø chuùng toâi bieát vì chuùng ta chæ coù theå so saùnh keát quaû

cuûa cuøng moät baøi toaùn vôùi cuøng moät giaû thieát nhö nhau. Do ñoù, chuùng toâi cho

raèng nhöõng keát quaû cuûa luaän aùn naøy laø nhöõng keát quaû môùi, laø böôùc ñaàu trong

nghieân cöùu cuûa chuùng toâi. Chuùng toâi cuõng khoâng coù yù ñònh vieát toång quan veà baøi

toaùn nhieät ngöôïc vì söï haïn cheá veà taøi lieäu vaø trình ñoä cuûa chuùng toâi. Do yeâu caàu

cuûa caùc phaûn bieän, chuùng toâi ñaõ thöïc hieän moät soá so saùnh vôùi caùc coâng trình lieân

quan. Chuùng toâi xin caûm ôn nhöõng yù kieán ñoùng goùp xaùc ñaùng cuûa caùc chuyeân

gia, nhôø vaäy chuùng toâi ñaõ tìm hieåu ñöôïc theâm nhieàu ñieàu veà baøi toaùn nhieät ngöôïc

boå sung cho caùc hieåu bieát ít oûi cuûa mình.

Moät soá keát quaû söû duïng trong luaän aùn

MOÄT SOÁ KEÁT QUAÛ SÖÛ DUÏNG TRONG LUAÄN AÙN

1. Ñònh lyù aùnh xaï co

Cho X laø moät khoâng gian Banach vôùi chuaån . , M laø moät taäp hôïp ñoùng trong

k x

khoâng gian X, aùnh xaï f : M M→ thoûa

−

≤

−

x , x trong M (vôùi 0 < k < 1). 1

f (x ) 1

f (x ) 2

vôùi moïi

Thì toàn taïi duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng cuûa f, nghóa laø coù duy nhaát phaàn töû

0x M∈ sao cho

f (x ) 0

2. Coâng thöùc Green

2 R , u, v C (

) C(

∈

) Ω ∩ Ω thì ta coù

2.1 Coâng thöùc Green

u vdx

Cho Ω laø moät mieàn bò chaën trong

v udx ∆

d σ

∫ + ∇ ∇

∫

u ∂ n ∂

Ω

∂Ω

Ω

nR vôùi bieân ∂Ω trôn, vôùi

2 u H ( ∈

) Ω ,

2.2 Coâng thöùc Green môû roäng

)

1 v H ( ∈

Ω thì ta coù

u vdx

v udx ∆

d σ

Cho Ω laø moät mieàn bò chaën trong

∫ + ∇ ∇

∫

u ∂ n ∂

Ω

∂Ω

Ω

3. Tích chaäp vaø bieán ñoåi Fourier moät chieàu

1 f L (R)

2 g L (R)

3.1 Ñònh nghóa tích chaäp vaø bieán ñoåi Fourier

+∞

(f g)(x)

f (x y)g(y)dy

∈ ∈ Cho vaø , ñònh nghóa

∗

−

(x R) ∈

1 2

π ∫

−∞

+∞

ixt

−

ˆf (t)

f (x)e

(t R) ∈

1 2

π ∫

−∞

vaø

Moät soá keát quaû söû duïng trong luaän aùn

ixt

−

(cid:3) g(t)

(t R) ∈

1 2

N ∫ lim g(x)e N →+∞ N

−

1 f L (R)

1 g L (R)

3.2 Caùc tính chaát cô baûn

ˆ f (t)g(t)

∈ ∈ 3.2.1 Neáu vaø thì

1 f L (R)

1 f ' L (R)

. (cid:110) ˆ f g(t) = ∗

vaø ñaïo haøm cuûa f laø thì 3.2.2 Neáu ∈ ∈

it f (t)

. (cid:110) ˆ f '(t)

2 f L (R)

ˆf

3.2.3 Ñònh lyù Plancherel

∈

L (R )

1 f L (R)

p g L (R)

thì . Neáu

∈

f g ∗

≤

f g L (R)

vaø . Ta coù : 3.2.4 Cho 1 p≤ ≤ ∞ ,

∗ ∈

L (R )

1 L (R )

L (R )

vaø .

2,3, 4,...

4. Tích chaäp vaø bieán ñoåi Fourier nhieàu chieàu

(f g)(x)

f (x y)g(y)dy

∗

−

k (x R ) ∈

∫

1 )

(

... x t )

−

+ +

i(x t 1 1

x t 2 2

k k

ˆf (t)

f (x)e

ta ñònh nghóa töông töï nhö treân Cho k

dx dx ...dx 2

∫

1 )

(

(x , x ,..., x ) R

(t , t ,..., t ) R

k ∈ vaø

k ∈ .

vaø

trong ñoù

Caùc tính chaát trong phaàn naøy töông töï nhö tính chaát cuûa tích chaäp vaø bieán

ñoåi Fourier moät chieàu.

1L (0,T)

5. Baát ñaúng thöùc Gronwall

0λ ≥ haàu khaép nôi vaø

λ ∈

0≥ . Giaû söû

C , C 1

1L (0,T)

, Cho T 0> ,

ϕ∈

0ϕ ≥ haàu khaép nôi sao cho

λϕ∈

Moät soá keát quaû söû duïng trong luaän aùn

(t) C C

(s) (s)ds

≤

λ ϕ

∫

(s)ds

1) Neáu , haàu khaép nôi trong (0,T) , thì ta coù

≤

(t) C exp C 1

∫

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(t) C C

(s) (s)ds

haàu khaép nôi trong (0,T) .

≤

λ ϕ

∫

(s)ds

2) Neáu , haàu khaép nôi trong (0,T) , thì ta coù

≤

(t) C exp C 1

∫

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

haàu khaép nôi trong (0,T) .

6. Ñònh lyù Hadamard [63, trang 18]

6.1 Ñònh nghóa baäc cuûa haøm nguyeân f

limsup →∞

ln ln M (r) ln r

Baäc cuûa haøm nguyeân f laø

trong ñoù

M (r) max f (z)

z r =

= ∞ , chaän döôùi lôùn nhaát cuûa λ sao

6.2 Soá muõ hoäi tuï (convergence exponent)

lim a →∞ n

∞

Cho moät daõy soá a1, a2, ..., an ≠ 0,

∑ hoäi tuï goïi laø soá muõ hoäi tuï.

n 1 =

cho

6.3 Ñònh lyù Hamadard

Soá muõ hoäi tuï cuûa caùc khoâng ñieåm (caùc zero) cuûa moät haøm nguyeân khoâng

vöôït quaù baäc cuûa haøm nguyeân ñoù.

Ghi chuù :

f ∂ x ∂

. Ñaïo haøm rieâng cuûa f(x,y) theo bieán x coù theå kyù hieäu laø fx hoaëc

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

Chöông 1

DAÏNG RÔØI RAÏC CUÛA BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

TREÂN MAËT PHAÚNG

Chöông naøy ñaõ coâng boá trong [6] (cuûa danh muïc coâng trình coâng boá cuûa taùc giaû).

u(x, y, t),(x, y) R , t

∈

1.1 MÔÛ ÑAÀU

> laø nhieät ñoä cuûa moät baûn khoâng bò chaën

Goïi

0,(x, y) R , t

u − ∆ =

∈

0 > .

moâ hình bôûi

Chuùng ta xeùt baøi toaùn tìm nhieät ñoä ñaàu u(x,y,0) töø taäp hôïp ñeám ñöôïc nhöõng

giaù trò cuûa nhieät ñoä cuoái u(xm,yn,1). Ñaây laø baøi toaùn cuûa moät daïng rôøi raïc cuûa baøi

toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian coå ñieån. Nhö ñaõ bieát baøi toaùn coå ñieån naøy laø khoâng

chænh vaø taøi lieäu töông öùng gaàn ñaây, trong hai khía caïnh lyù thuyeát vaø tính toaùn

(chaúng haïn [4, 17, 67]), raát gaây aán töôïng. Maëc duø vaäy, trong nhieàu tröôøng hôïp

thöïc teá, ta chæ coù theå ño nhieät ñoä taïi moät taäp ñieåm rôøi raïc cuûa maët phaúng. Do ñoù,

vieäc xaùc ñònh nhieät ñoä ñaàu u(x,y,0) töø döõ lieäu cuoái rôøi raïc laø caàn thieát. Trong

[13] Chöông 7, baøi toaùn ñöôïc xem xeùt vôùi giaû thieát supp u(x,y,0) naèm trong goùc

phaàn tö thöù nhaát cuûa maët phaúng. Trong chöông naøy, chuùng toâi xeùt baøi toaùn trong

tröôøng hôïp supp u(x,y,0) coù theå laø toaøn boä maët phaúng. Tröôùc tieân chuùng toâi söû

duïng tính chaát cuûa haøm nguyeân ñeå chöùng minh moät keát quaû veà tính duy nhaát

(x , y ) ñuû truø maät treân maët phaúng. Sau ñoù

trong tröôøng hôïp taäp cuûa nhöõng ñieåm

söû duïng ña thöùc Legendre vaø nghieäm baøi toaùn moment Hausdorff [12] chuùng toâi

seõ xaây döïng nghieäm chænh hoùa cho baøi toaùn töông öùng vôùi taäp cuï theå cuûa nhöõng

ñieåm. Vieäc ñaùnh giaù sai soá töôøng minh seõ ñöôïc thöïc hieän.

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

u(x, y,0)

1.2 TÍNH DUY NHAÁT NGHIEÄM

0v (x, y)

Cuï theå, chuùng ta xeùt baøi toaùn xaùc ñònh moät haøm , trong

0 mn

u(x , y ,1) m

2 (x, y, t) R R , ∈ × + 1 4 π

⎧∆ = u ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

ñoù u thoûa

2R R +×

. trong ñoù u, ux, uy bò chaën trong

) − η

G(x, y, t,

exp

, , ) ξ η τ =

)

2 ) − ξ + 4(t

1 4 (t π − τ

(y ) − τ

⎧ −⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Söû duïng haøm Green

+∞ +∞

) − η

) exp

ξ η

−

d d ξ η =

, n, m 1, 2,... =

ta coù theå bieán ñoåi baøi toaùn veà phöông trình tích phaân

v ( , 0

0 mn

∫ ∫

2 ) − ξ + 4

−∞ −∞

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(1.2.1)

Baây giôø chuùng ta phaùt bieåu (vaø chöùng minh) keát quaû veà tính duy nhaát

nghieäm.

0 δ > vaø

(x ),(y ) laø hai daõy cuûa nhöõng soá thöïc phaân bieät ñoâi moät

Ñònh lyù 1.2.1

Cho

∞

trong R \ {0} . Giaû söû raèng

= ∞

1 2

+δ

∑

m 1 =

n 1 =

2 L (R )

∈

Khi ñoù baøi toaùn (1.2.1) coù nhieàu nhaát moät nghieäm .

ny ) coù ñieåm tuï thì ñieàu kieän treân ñöôïc

Ghi chuù: Ta chuù yù raèng neáu ( mx ) vaø (

thoûa.

Chöùng minh

Ñeå chöùng minh ñònh lyù tröôùc tieân ta caàn boå ñeà sau

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

2 f L (R)

∈

∞

−

k (z t ) −

W(z)

f (t)e

ñaët Boå ñeà 1.2.1 Vôùi k>0,

= ∫

−∞

δ > vaø ( mα ) laø daõy caùc soá thöïc phaân bieät trong R \ {0} thoûa maõn

∞

Goïi

= ∞

+δ

∑

m 1 =

)

α = , m=1,2, … thì f

0≡ haàu khaép nôi.

mW(

Neáu

Chöùng minh Boå ñeà 1.2.1

∞

i θ

k (re

t )

−

θ W(re )

f (t)e

0,0

≤ θ < π

∫

−∞

Ta chæ ra raèng W laø haøm nguyeân coù baäc 2≤ . Ta coù

∞

i θ

k Re(re

t )

−

θ W(re )

f (t)e

≤ ∫

−∞

∞

k (r cos

t )

2 kr sin

−

θ−

f (t)e

vaø

= ∫

−∞

∞

θ W(re )

2 kr cos

k (r cos

t )

−

θ−

f (t) e

∫

−∞

∞

1 2

2 kr cos

k (r cos

t )

k (r cos

t )

−

θ−

−

θ−

Ñieàu naøy daãn ñeán

∫

−∞

C f

≤

2L (R )

e f (t) e dt dt . e ≤ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦

0> .

vôùi r

Do ñoù, W(z) laø haøm nguyeân coù baäc 2≤ . Chuùng ta khaúng ñònh raèng W 0≡ .

Giaû söû W 0≠ , chuù yù raèng mα laø khoâng ñieåm cuûa W. Söû duïng ñònh lyù Hadamard

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

(xem phaàn moät soá keát quaû söû duïng trong luaän aùn hay [63], trang 18), chaën döôùi

∞

< ∞

lôùn nhaát cuûa λ thoûa maõn

∑

m 1 =

nghóa laø, soá muõ hoäi tuï cuûa ( mα ) laø 2≤ . Ñieàu naøy maâu thuaãn giaû thieát cuûa ( mα ).

∞

2kt

2kzt

−

f (t)e

∫

−∞

Vì theá ta coù W 0≡ . Ñieàu naøy daãn ñeán

cho moïi z C∈ .

0= haàu khaép nôi.

Söû duïng bieán ñoåi Fourier ngöôïc ta coù f

Boå ñeà 1.2.1 ñaõ ñöôïc chöùng minh. Baây giôø ta chöùng minh ñònh lyù 1.2.1.

z , z ∈ (cid:94) , ñaët

Chöùng minh ñònh lyù 1.2.1

∞ ∞

) − η

(z 1

) exp

ξ η

−

(z , z ) 1 2

v ( , 0

∫ ∫

2 ) − ξ + 4

−∞ −∞

⎡ ⎢ ⎣

⎤ d d ξ η ⎥ ⎦

∞

)

1(z

−

−ξ 4

) exp

ξ η

−

d ξ

Vôùi 1

v ( , 0

∫

) − η 4

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎛ ⎜ ⎝ −∞ −∞

⎞ d e η ⎟ ⎠

∞

f ( )

) exp

ξ =

ξ η

−

v ( , 0

∫

) − η 4

−∞

⎡ ⎢ ⎣

⎤ d , η ⎥ ⎦

x , W(z)

= Φ

α = m

(z, y ) n

Söû duïng boå ñeà 1.2.1 cho

∞

ta nhaän ñöôïc

∫

−∞

(y ) exp 0 ξ η − η = v ( , 0 ) − η 4 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ d ⎥ ⎦

Rξ ∈ . cho n = 1, 2, … vaø cho haàu heát

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

Söû duïng boå ñeà 1.2.1 moät laàn nöõa, ta nhaän ñöôïc 0= haàu khaép nôi.

■ Ñònh lyù 1.2.1 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

1.3 NGHIEÄM CHÆNH HOÙA

ny = -2(1+n). Ta

Trong nhöõng keát quaû sau, ta giaû söû raèng mx = -2(1+m) vaø

∞

< ∞

∑

m 1 =

n 1 =

1 2 x m

1 2 y n

chuù yù raèng, trong tröôøng hôïp naøy

ny )} laø khoâng ñuû truø maät. Do ñoù, theâm moät vaøi giaû thieát treân

0v laø hôïp lyù.

nghóa laø daõy {( mx ,

Ñaët

aD [ = −

ln a, [ ln a, ), a 0 ) +∞ × − +∞ (1.3.1) >

h(a)

) | d d

ξ η

vaø

| v ( , 0

∫

2 R \D

(1.3.2) .

Ta chuù yù raèng h(a) laø haøm giaûm.

Söû duïng nhöõng kyù hieäu treân, ta coù ñònh lyù sau trong ñoù nghieäm chænh hoùa

ñöôïc xaây döïng.

Ñònh lyù 1.3.1

0ε > vaø döõ lieäu do ño ñaïc laø mn

f−

≤ ε ,

f thoûa Giaû söû ≡ π 4 u(x , y ,1) m

0 mn

sup f m,n

(1.3.3)

= −

2(1 m) +

= −

2(1 n) +

∞

vaø . trong ñoù mx

∩

∈

0v W (R ) L (R )

töông öùng döõ Giaû söû phöông trình (1.2.1) coù nghieäm

= ∞ trong ñoù h(a) xaùc ñònh trong (1.3.2).

)0 mnf

1 lim ln a a →+∞

1 h(a)

0v thoûa

vaø lieäu chính xaùc (

)mnf

ta coù theå xaây döïng nghieäm chænh hoùa vε cuûa Khi ñoù töø (

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

2 2 v g L (R ) ε ∈

g(v

( ) ≤ ϕ ε

v ) 0

ε −

L (R )

−

2 ξ +η 4

ξ+η 2

( )

g( ,

vaø

ϕ ε → khi

ε → ,

) ξ η =

1 a

1 h(a)

e−

trong ñoù .

< ε <

k =

lim a →+∞

ln a

vaø toàn taïi k > 0 sao cho Hôn nöõa, giaû söû theâm

g(v

−

≤

2 −

v ) 0

D exp 1

L (R )

1 − 2k

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ε + ⎟ ⎠

−

1 2

1 −⎛ ⎜ 2k ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ D k ln ⎜ ⎝

−

D exp 3

1 32

⎞ ⎟ ⎠ 1 −⎛ ⎜ 2k ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

thì

3D laø caùc haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

trong ñoù

1D , 2D vaø Chöùng minh

Chöùng minh cuûa ñònh lyù ñöôïc chia thaønh ba böôùc. Trong böôùc 1, chuùng ta seõ bieán ñoåi baøi toaùn veà baøi toaùn Hausdorff hai chieàu. Trong böôùc 2, chuùng ta seõ xaây döïng moät nghieäm chænh hoùa cuûa baøi toaùn. Cuoái cuøng, trong böôùc 3, chuùng ta ñaùnh giaù sai soá .

Böôùc 1: Bieán ñoåi baøi toaùn veà baøi toaùn Hausdorff hai chieàu

+∞ +∞

) − η

) exp

ξ η

−

d d ξ η =

Chuùng ta nhaéc laïi raèng

v ( , 0

0 mn

∫ ∫

2 ) − ξ + 4

−∞ −∞

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

+∞ +∞

) − η

) exp

d d

ξ η

−

ξ η =

v ( , 0

∫

2 ) − ξ + 4

−

ln N ln N −

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Goïi N > e vaø ñaët DN = [-lnN, +∞ )x[-lnN, +∞ ) nhö trong (1.3.1), ta coù

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

) − η

) exp

−

ξ η

−

d d ξ η

0 mn

v ( , 0

∫

2 ) − ξ + 4

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2 R \D

. (1.3.4)

Töø phöông trình (1.3.4), ta seõ xaáp xæ (1.3.4) bôûi baøi toaùn tìm haøm v(x,y) thoûa

+∞ +∞

) − η

) exp

ξ η

−

d d ξ η =

maõn phöông trình

v ( , 0

∫

2 ) − ξ + 4

−

ln N ln N −

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(1.3.5)

)mnf

ln(Ns)

ln(Nt)

ξ = −

η = −

xaùc ñònh trong (1.3.3). trong ñoù(

1 1

2 m

2 n

−

x m 2

y n 2

+ 4

+ 2

w(s, t)s

1 − − t

1 − dsdt

vaø , (1.3.5) trôû thaønh Ñaët

f e mn

∫ ∫

0 0

(1.3.6)

−

ln ( Ns) ln ( Nt ) + 4

w(s, t)

ln(Ns),

ln(Nt)).e

−

trong ñoù

2 m

2 n

+ 4

+ 2

µ = mn

mnf e

Ñaët

1 1

m n w(s, t)s t dsdt = µ

ta coù baøi toaùn Hausdorff hai chieàu:

∫ ∫

0 0

, vôùi m, n = 0, 1, 2,... (1.3.7)

−

ln ( Ns) ln ( Nt ) + 4

w (s, t)

ln(Ns),

ln(Nt)).e

−

Chuù yù raèng neáu ñaët

v ( 0

(1.3.8)

0w laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình

1 1

m n w (s, t)s t dsdt = Ψ

thì

∫ ∫

0 0

trong ñoù

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

2 m

2 n

) − η

+ 4

+ 2

) exp

Ψ = µ −

ξ η

−

d d ξ η

v ( , 0

∫

2 ) − ξ + 4

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2 R \D

2 m

2 n

+ 4

+ 2

0 µ = mn

mnf e

. (1.3.9) vaø

(0,1)

Böôùc 2: Xaây döïng nghieäm chænh hoùa

, baèng caùch söû Ta xaây döïng cô sôû tröïc chuaån trong L2(I), I = (0,1)

duïng ña thöùc Legendre trong [12] ñöôïc xaùc ñònh bôûi

* L (x) : n

C x nk

= ∑

k 0 =

(1.3.10) ,

n k −

1 2n ( 1)

−

vôùi

(n k)! + (n k)!(k!) −

(1.3.11) .

* L (s, t) L (s)L (t) mn

* m

* n

. Baây giôø ñaët

mnL

)* mL laø moät cô sôû tröïc chuaån trong

2L (0,1) , daõy (

)

2L (I) . Ta coù

laø hoï tröïc chuaån Vì (

m n

l k C C s t

ñaày ñuû trong

* L (s, t) mn

= ∑∑

l 0 k 0 =

(

)

µ = µ

(

)

0,1,...

( ) λ = λ µ = λ

laø daõy soá thöïc xaùc ñònh trong(1.3.7), ta ñònh nghóa Neáu

m, n

m n

= λ

( ) µ =

nhö sau

C C ml

∑∑

l 0 k 0 =

r p ( )

µ =

Baây giôø, ñaët

* ( )L µ mn

∑

m,n 0

r=1,2,... (1.3.12)

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

≤

mnL 1 m, n ≤

} r

. ta nhaän ñöôïc chieáu tröïc chuaån cuûa w (trong (1.3.7)) treân khoâng gian {

−η

−ξ

2 ξ +η 4

r q ( ,

)

r p (

) ξ η =

Ñaët

e e , N N

r=1,2,... (1.3.13)

Ta seõ chöùng minh raèng qr laø nghieäm xaáp xæ cuûa v0.

Böôùc 3: Ñaùnh giaù sai soá

Ñeå chöùng minh ñònh lyù 1.3.1 ta caàn hai boå ñeà sau ñaây :

Boå ñeà 1.3.1 (xem chöùng minh trong [12])

Ψ = Ψ ñöôïc xaùc ñònh trong(1.3.8), (1.3.9). Neáu

(

0w H (I) ∈

0w ,

)mn

r p (

) w

(F(w ))

Ψ −

≤

(r N) ∈

2 L (I)

1 r 1 +

thì Vôùi

dsdt

trong ñoù

s(1 s) −

t(1 t) −

F(w ) 0

∫

w ∂ s ∂

w ∂ t ∂

Boå ñeà 1.3.2 (xem chöùng minh trong [12])

3 2 2

(3 2 2)

≤

Vôùi Cmk xaùc ñònh trong (1.3.11). Ta coù

∑

+ π

k 0 =

Baây giôø , ta tieáp tuïc chöùng minh ñònh lyù 1.3.1.

r p ( ) p (

)

r p (

) w

p ( ) w µ −

≤

µ − Ψ

Ψ −

Ta coù

2 L (I)

. (1.3.14)

m n

)

r p ( ) p ( µ − Ψ =

µ − Ψ

Töø (1.3.12), ta nhaän ñöôïc

C C ( nk

m,n 0

l 0 k 0 =

⎛ ∑ ∑∑ ⎜ ⎝

⎞ * ) L ⎟ mn ⎠

ln N

> γ ≥

(1.3.15) .

Vôùi N 1, ta coù

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

−

− γ

γ e N

≤

max e N 0 x ≤ ≤γ

ln N 1,0 l, k

−

≤

r, ≤

(r 1)

− +

x l 2

2 x l e N 4

(r 1) N+

≤

Vì theá ,ta coù, vôùi r

(r 1)

− +

y k 2

2 y k e N 4

(r 1) N+

≤

vaø

trong ñoù nhaéc laïi raèng xl = -2(1+l), yk =-2(1+k).

2 l

2 k

2(r 1) +

−

2(r 1) +

+ 4

+ 2

≤

Ñieàu naøy daãn ñeán

)

−η

2 l

2 k

−

2 ( y ) −ξ + 4

+ 4

+ 2

) e

µ − ψ ≤ µ − µ +

ξ η

d d ξ η

0 lk

v ( , 0

∫

2 R \D

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2(r 1) +

Söû duïng baát ñaúng thöùc treân, (1.3.2) vaø (1.3.9) ta coù

[ ≤ ε +

] h(N) e

1 2(r 1) +

m n

r p ( ) p (

)

µ − Ψ

C C ( nk

2 L (I)

m,n 0

l 0 k 0 =

⎛ ∑ ∑∑ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

4(r 1) +

(

h(N))

≤

ε +

Suy ra

1 4(r 1) +

∑

m,n 0

l 0 =

k 0 =

⎛ ∑ ∑ ⎜ ⎝

2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

∑

m 0 =

l 0 =

m,n 0

l 0 =

k 0 =

⎛ ∑ ∑ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ∑ ∑ ⎜ ⎝

2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ≤ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3 2 2

(3 2 2)

≤

∑

+ π

m 0 =

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎛ ⎟⎜ ⎝ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Do boå ñeà 1.3.2, ta coù :

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

4(r 1) +

(3 2 2)

≤

1 4 π

4(r 1) +

r p ( ) p (

)

(3 2 2)

(

h(N))

µ − Ψ

ε +

≤

Suy ra

1 4(r 1) +

2 L (I)

1 4 π

(1.3.16)

vôùi r > lnN-1.

Vieäc xaây döïng nghieäm chænh hoùa ñöôïc chia thaønh hai tröôøng hôïp

Tröôøng hôïp 1: h(a) > 0 vôùi moïi a > 0.

= ∞ , toàn taïi

≥ vôùi moïi

0N 4≥ sao cho

1 lim ln a a →+∞

1 h(a)

1 N h(N)

N N≥

Bôûi vì

< ε <

h (N ) 0

Khi , goïi Nε laø nghieäm döông cuûa phöông trình h(N)= ε .

4 ≥ .

1 2N

1 h(N ) ε

ε =

−

≡

Töø ñònh nghóa cuûa Nε ta coù

P(N ) ε

N .P(N ) ε

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 2N

1 h(N ) ε

≤

, r( ) , Ñaët

N .P(N ) ε

⎡ trong ñoù N .P(N ) ⎣ ε

⎤ ⎦ laø soá nguyeân lôùn nhaát

r( ) 1

4,ln N

≥

≤

ε + ≥

N .P(N ) ε

1 2

r( )

ε >

− . Vì theá (1.3.16) thoûa.

ln N 1ε

vaø , ta nhaän ñöôïc Bôûi vì P(N ) ε

r ( ) ε

(

)

( ) p µ −

≤ α

(N ) ε

2 L (I)

2 N P( N )

2 N P( N ) ε

(3 2 2)

≡

ε +

Ñieàu naøy daãn ñeán

)

(N ) ε

h(N ) ε

1 ( 2 N P( N ) 1 −

) (

1 2 π

. trong ñoù

Ñoàng thôøi do boå ñeà 1.3.1, ta coù

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

) w

(

r ( ) ε Ψ −

≤

0 L (I)

(F(w )) 0 r( ) 1 ε +

r ( ) ε

( ) w µ −

≤

+ α

Söû duïng hai baát ñaúng thöùc treân, ta coù :

(N ) ε

0 L (I)

(F(w )) 0 r( ) 1 ε +

. (1.3.17)

−

ln ( N s) ln ( N t ) + 4

= −

Ta coù

1 s

ln(N s) 2s

w ∂ s ∂

v ∂ 0 ∂ξ

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

ln ( N s) ln ( N t ) + 2

dsdt

s(1 s) −

≤

s(1 s) −

0 W (R ) 1, 2 ∞

∫

1 s

ln(N s) 2s

w ∂ s ∂

−

ln(N s) ) ε

ln ( N t ) 2

ln ( N s) 2

≤

1, 2 ∞ 0 W (R )

∫

1 2

ln N

−

u 2

2 u ) e

≤

1, 2 ∞ 0 W (R )

∫

1 N

1 2

ε −∞

−∞

2 C v

≤

1, 2 ∞ 0 W (R )

1 1 2 N

suy ra

+∞

−

u 2

2 u ) e

trong ñoù

∫

−∞

+∞ ∫ du (2 −∞

(F(w ))

C v

≤

0 W (R ) 1, 2 ∞

1 N

. Do ñoù

r ( ) ε

( ) w µ −

≤ α

Keát hôïp vôùi (1.3.17), ta coù

(N ) ε

0 L (I) 2

1, 2 ∞ 0 W (R ) r( ) 1 ε +

vC N

Töø (1.3.8) vaø (1.3.13), ta coù

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

1 1

r ( ) ε

( ) w µ −

−

(s, t) w (s, t) dsdt 0

2 L (I)

∫ ∫

0 0

+∞

−η

−ξ

−η

−ξ

(

)

r ( ) ε

− ξ+η

(

)

−

d d ξ η

) w ( 0

∫

1 2 N ε

e e , N N ε

−

ln N ln N −

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

+∞

(

)

−

− ξ+η

r ( ) ε

2 2 ξ +η 2

d d

( , ξ η −

) ξ η

ξ η

) v ( , 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

∫

1 2 N ε −

ln N ln N −

+∞

r( ) ε

( , ξ η −

ξ η

) v ( , 0

(

) ) g( ,

∫

⎡ ⎣

2 ⎤ ) d d ⎦

1 2 N ε −

ln N ln N −

r( ) ε

Ñaët

q ) D , ( , ),( , ξ η ξ η ∈ v ( , ε 0, ) D . ( , ξ η ∉ ⎧ ⎪ ) ξ η = ⎨ ⎪⎩

≤

v )g 0

ε −

(N ) ε

L (R )

0 W (R ) 1, 2 ∞ r( ) 1 ε +

vC N

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

2 )g ( ,

Töø ñoù

2 v ( , 0

∫

2 R \D

) R

) ξ η ≤

+ ξ η )d d ξ η ξ η . (1. 3.18)

2 ( , ξ η ∈ , neân

v ( , 0

0 W (R ) 1, 2 ∞

(

)

−

− ξ+η

2 ξ +η 2

2 )g ( ,

ξ η

)d d ξ η ξ η

≤

d d ξ η

2 v ( , 0

0 W (R ) 1, 2 ∞

∫

2 R \D

(

ξ+

−

( + η+ 2

≤

d d ξ η

0 W (R ) 1, 2 ∞

∫

2 R \D

(

ξ+

−

( + η+ 2

≤

d d ξ η

1, 2 ∞ 0 W (R )

∫

2 R \B

vôùi moïi Vì

trong ñoù B laø quaû caàu taâm (-1,-1) baùn kính R= ln N 1ε − .

Vaäy

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

+∞

−

r 2

2 )g ( ,

)d d

2 e v

rdr

ξ η

ξ η ξ η ≤ π

2 v ( , 0

0 W (R ) 1, 2 ∞

∫

2 R \D

ln N 1 − ε

−

(ln N 1) ε 2

2 e v

= π

0 W (R ) 1, 2 ∞

. (1.3.19)

Töø (1.3.18), (1.3.19) ta coù :

ε −

L (R )

(v ( ) ≤ ϕ ε v )g 0

−

(ln N 1) ε 4

( ) N

ϕ ε ≡

2 e v π

trong ñoù

(N ) ε

1, 2 ∞ 0 W (R )

0 W (R ) 1, 2 ∞ r( ) 1 ε +

vC N

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2 N P( N ) 3 ε −

Keát hôïp ñònh nghóa cuûa caùc haøm P(N) vaø h(N), ta coù

(

−

C N v

−

(ln N 1) ε 4

2 e v π

0 W (R ) 1, 2 ∞

0 W (R ) 1, 2 ∞ N P(N ) 1 − ε

3 2 2

C v

−

(

)

( 2 1 N P( N ) ε

≤

) (

) 1 ε + +

−

P(N ) ε

1, 2 ∞ 0 W (R ) 1 N

−

(ln N 1) ε 4

2 e v π

3 2 2 + ( ( ) ϕ ε ≤ ε + + h(N )) ε 2 3 2 2 + N π 1 h(N ) ε ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

0 W (R ) 1, 2 ∞

ε → thì Nε → ∞ vaø

( )

ϕ ε → khi

ε → .

P(N )ε → ∞ , ta nhaän ñöôïc

Söû duïng baát ñaúng thöùc treân vaø chuù yù raèng khi

1 a

1 h(a)

k =

lim a →+∞

ln a

Cuoái cuøng, neáu

thì

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

2k ln a

1 a

1 h(a)

khi a ñuû lôùn

−

2kN ln N ε

h(N )

vaø

ε >

ε .

ε > −

1 2k

C v

2 e v π

Töø h(N )ε = ε , suy ra

0 w (R ) 1, 2 ∞

ϕ vaø hai baát ñaúng thöùc treân cho ta

2 −

−

(

)4 3 2 2 e

1 2k

)

( )ϕ ε

≤

+ ε +

2 ln (

)

−

1 32

1 2k

C e 3

2 P(N ) ε

2 −

−

(

)4 3 2 2 e

1 2k

≤

2 ln (

)

−

1 32

1 2k

C e 3

4 k ln N

2 −

−

(

)4 3 2 2 e

1 2k

≤

2 ln (

)

−

1 32

1 2k

vaø , ñoàng thôøi töø ñònh nghóa cuûa Ñaët

C e 3

k ln(

)

−

4 2 1 2k

0= .

1h(a )

)

Tröôøng hôïp 2: Toàn taïi soá döông 1a sao cho

0= vôùi moïi

a≥ . Vì theá

0 ξ η = treân

0v ( ,

R \ D vôùi moïi

a≥ . Choïn r( )ε laø nghieäm döông cuûa

Trong tröôøng hôïp naøy h(a)

Chöông 1: Daïng rôøi raïc cuûa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian …

2(r 1) +

3 2 2

(

)

1 ε

N r( ) 1 ε = ε +

2(r ( ) 1)

ε +

2(r ( ) 1)

ε +

3 2 2

C v

( ) ϕ ε =

ε +

vaø

1 2r( ) 1 ε +

∞ w (R )

(

)

1 2 π

N ε r( ) 1 ε +

Söû duïng phöông phaùp töông töï nhö cuoái tröôøng hôïp 1, ta nhaän ñöôïc ñieàu

phaûi chöùng minh. ■

Töø ñònh lyù 1.3.1 ta deã daøng nhaän ñöôïc hai heä quaû

∞

Heä quaû 1.3.1

∩

∈

0v W (R ) L (R )

laø moät nghieäm cuûa (1.2.1) töông öùng döõ lieäu Goïi

R \ D vaø döõ lieäu ño ñaïc

0≡ treân

). Giaû söû toàn taïi N>0 sao cho chính xaùc ( 0 mnf

f−

≤ ε .

0 mn

sup f m,n

) thoûa ( mnf

0v sao cho

Khi ñoù töø ( mnf ) ta coù theå xaây döïng moät nghieäm chænh hoùa vε cuûa

2 2 v g L (R ) ε ∈

g(v

≤ ϕ ε ( )

v ) 0

ε −

L (R )

−

2 ξ +η 4

ξ+η 2

( )

g( ,

vaø

ε → vaø 0

ϕ ε → khi

) ξ η =

trong ñoù .

∞

Heä quaû 1.3.2

∩

∈

0v W (R ) L (R )

= ∞ .

1 lim ln a a →∞

1 h(a)

thoûa maõn Baøi toaùn (1.2.1) coù nhieàu nhaát moät nghieäm

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Chöông 2

CHÆNH HOÙA HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP NHIEÀU CHIEÀU

KHOÂNG GIAN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP CHAËT CUÏT TÍCH PHAÂN

VAØ MOÄT SOÁ AÙP DUÏNG

Muïc 2.3 phaàn B vaø phaàn C ñaõ coâng boá trong [9] vaø [5] (cuûa danh muïc coâng trình

coâng boá cuûa taùc giaû).

2.1 MÔÛ ÑAÀU

f= ñaõ ñöôïc khaûo saùt töø

Vieäc chænh hoùa phöông trình daïng tích chaäp k * u

caùch ñaây vaøi thaäp kyû (xem [78], ñaëc bieät xem [15], trang183-190) baèng phöông

0 p > ∀

phaùp Tikhonov. Baumeister coù ñöa ra hai tröôøng hôïp: tröôøng hôïp ˆk(p)

0 p

> ∀ ñaõ ñöôïc phaùt trieån trong moät loaït caùc baøi baùo [9,

vaø tröôøng hôïp ˆk coù khoâng ñieåm.

Tröôøng hôïp ˆk(p)

10, 11, 35, 59]. Trong moät loaït caùc baøi baùo [41, 44, 47, ...], taùc giaû Ñinh Nho Haøo

ñaõ duøng phöông phaùp chaët cuït taàn soá cao cuûa döõ lieäu ñeå khaûo saùt caùc baøi toaùn

nhieät. Trong [13], phöông phaùp chaët cuït taàn soá cao cuûa caùc nhaân trong khoâng

gian “taàn soá” cuûa caùc aûnh Fourier ñöôïc söû duïng ñeå giaûi baøi toaùn nhieät. Sau ñoù noù

ñaõ ñöôïc trình baøy toång quaùt hôn trong [60]. Phöông phaùp naøy coù ñaëc ñieåm laø

vieäc tính toaùn tích phaân Fourier chuyeån thaønh baøi toaùn tính tích phaân treân

khoaûng höõu haïn vaø nghieäm chænh hoùa tìm ñöôïc trong lôùp haøm giaûi tích coù theå

ˆk coù khoâng ñieåm (taàn soá kyø dò) chæ ñöôïc noùi tôùi trong [78, 15].

xaáp xæ bôûi chuoãi Cardinal. Trong khi ñoù, theo hieåu bieát cuûa chuùng toâi, tröôøng hôïp

Chöông 2 khaûo saùt söï chænh hoùa cuûa moät heä caùc phöông trình tích chaäp.

Chænh hoùa loaïi heä naøy, ta chuû yeáu gaëp loaïi “taàn soá kyø dò” (xem lôøi noùi ñaàu).

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Ngoaøi ra chuùng toâi cuõng chöa tìm ñöôïc caùc taøi lieäu noùi veà vieäc khaûo saùt baøi toaùn

chænh hoùa cho moät heä phöông trình tích chaäp.

Trong muïc 2.2 cuûa chöông naøy ta seõ xem xeùt vieäc giaûi heä phöông trình tích

chaäp, keát quaû naøy bao goàm caû tröôøng hôïp ˆk coù khoâng ñieåm ñaõ ñeà caäp ôû treân.

Phöông phaùp chaët cuït caùc taàn soá xaáu cuûa tích phaân ñöôïc söû duïng trieät ñeå vaø caùc

ñaùnh giaù sai soá ñöôïc thöïc hieän chi tieát. So vôùi phöông phaùp Tikhonov thì ñeå ñaït

ñöôïc cuøng möùc sai soá, caùc ñieàu kieän caàn thieát nheï hôn vaø caùc tính toaùn cuõng ñôn

giaûn hôn. Trong muïc 2.3 ta aùp duïng caùc keát quaû cuûa muïc 2.2 ñeå khaûo saùt moät soá

tröôøng hôïp cuï theå. Muïc naøy chia laøm 3 phaàn.

* Phaàn A khaûo saùt baøi toaùn tích chaäp moät chieàu xem nhö moät môû roäng keát

0 p

quaû cuûa Baumeister [15], (chöông 10, trang 183-190) trong ñoù ta thoáng nhaát hai

> ∀ vaø ˆk coù khoâng ñieåm vaøo trong moät keát quaû.

tröôøng hôïp ˆk(p)

* Phaàn B aùp duïng keát quaû cuûa muïc 2.2 cho baøi toaùn thoâng löôïng nhieät,

phaàn naøy cho moät ví duï thöïc teá veà tröôøng hôïp ˆk coù khoâng ñieåm, vaø moät ví duï veà

tính toaùn soá.

* Phaàn C aùp duïng vaøo baøi toaùn tìm nhieät ñoä beà maët cuûa moät vaät theå hai lôùp,

phaàn naøy ví duï cho moät heä phöông trình tích chaäp.

2.2 CHÆNH HOÙA HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP NHIEÀU CHIEÀU

KHOÂNG GIAN

Chuùng toâi chia 2.2 thaønh 2 böôùc

Böôùc 1: Giôùi thieäu baøi toaùn

Böôùc 2: Xaây döïng nghieäm chænh hoùa

Böôùc 1: Giôùi thieäu baøi toaùn

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Nhieàu baøi toaùn ngöôïc quan troïng cho phöông trình nhieät nhö baøi toaùn nhieät

ngöôïc thôøi gian, baøi toaùn xaùc ñònh phaân boá nhieät hay thoâng löôïng nhieät beà maët loã

* v F

= ,

khoan thaêm doø töø ño ñaïc beân trong ñöôïc quy veà vieäc giaûi phöông trình tích chaäp

... a

∗

+ +

∗

12 a

2 v

1n ... a

n v

f 1,0 f

∗

+ +

∗

v 1 v 1

2,0

hoaëc heä phöông trình tích chaäp (xem [71])

... a

∗

+ +

∗

v 1

n 2

n,0

⎧ ⎪ ⎪ 21 ⎨ ... ⎪ ⎪ ⎩

(

v)(x)

)v( )d , x R

α ∗

(x α − ξ

ξ ξ

∈

L (R ), s 1, n

∈

(2.2.1)

∫

vôùi , trong ñoù laø

L (R ), s 1, n

∈

laø caùc haøm ñaõ bieát vôùi caùc aån haøm caàn tìm, fs,0 vaø asj, s, j 1, n=

s,0f

. Baøi toaùn laø khoâng chænh, xem [60].

Böôùc 2: Xaây döïng nghieäm chænh hoùa

Trôû laïi vôùi baøi toaùn (2.2.1), do ñaúng thöùc (2.2.1), nghieäm v cuûa baøi toaùn,

(cid:108) (cid:3) (cid:108) f= Av 0

neáu toàn taïi, thoûa ñaúng thöùc

trong ñoù

)sj (cid:108)A laø ma traän (cid:108)( a

s, j 1,n =

i(x

... x

)

−

ξ + ξ + + ξ 1 1 k k

2 2

,...,

(cid:108) a (x) sj

a ( sj

, ξ ξ 1

d d ...d ξ ξ ξ 1 2

∫

(x , x ,..., x ) 2 k

(cid:108) v 1 (cid:108) v 2 ... (cid:108) v n

(cid:109) f 1,0 (cid:109) f 2,0 ... (cid:109) f n,0

⎛ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

, (cid:3) v , (cid:108) f .

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

s,0

)sj (cid:108)( D det a

(cid:109) ... f 1,0 (cid:109) ... f 2,0

(cid:109) ... a 1n (cid:109) ... a 2n

F s,0

Töø ñoù nhaän ñöôïc (cid:108) Dv trong ñoù

... f

(cid:109) n,0

(cid:109) ... a nn

(cid:109) (cid:109) ⎛ a a 12 11 ⎜ (cid:109) (cid:109) ⎜ a a 22 21 = ⎜ det ... ⎜ ⎜ (cid:109) (cid:109) a a ⎝ n2 n1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:78) coät s

1e − > ε > α > . 0,

k x R / D(x)

Ñònh lyù 2.2.1 Cho

{ α = ∈

} < α

Ñaët .

k L (R )

Cho nghieäm chính xaùc (v1,0 ,v2,0 ,...,vn,0) cuûa (2.2.1) töông öùng vôùi

α⊃D L vaø

(x)dx

0 khi

. Vôùi moãi α giaû söû toàn taïi (F1,0 ,F2,0 ,...,Fn,0) ôû veá phaûi naèm trong (

→

α →

(cid:109) v (x) s,0

D α

∫

, s=1, 2,..., n. (2.2.2)

< ε , vôùi

F F− s

s,0 2

chæ Goïi (F1,...,Fn) laø döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño ñaïc,

L (R ) vaø s=1, 2,..., n.

(0, 2)

chuaån trong

∈

s,u ε cuûa (2.2.1) sao

Vôùi moãi a ,s = 1,2,...,n toàn taïi nghieäm chænh hoùa

2 a −

< ε

s,0

( ) + η ε a,s

ε −

cho

ε → .

η ε → khi

a,s ( )

trong ñoù

Hôn nöõa

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

i/ Neáu toàn taïi m, M, P> 0 sao cho nghieäm chính xaùc vs,0, s =1,2,...,n thoûa

−

maõn

(x)dx M ln <

(cid:109) v (x) s,0

D α

∫

P ⎛ ⎜ α⎝

⎞ ⎟ ⎠

4 −

−

min{e ,e

}

(2.2.3) vôùi moïi α > 0, s = 1,2,...,n

> ε > ,

vaø

s,u ε (s = 1,2,...,n) cuûa (2.2.1) sao cho

m / 2

−

thì toàn taïi nghieäm chænh hoùa

−

s,0

1 2 P

1/ ε m ln (1/ ) ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(x)dx

ii/ Neáu toàn taïi M, β > 0 sao cho nghieäm chính xaùc vs,0, s =1,2,...,n thoûa maõn

< α

(cid:109) v (x) s,0

D α

∫

(2.2.4) vôùi moïi α > 0 , s = 1,2,...,n

s,u ε cuûa (2.2.1) sao cho

β +β

1 M +

thì toàn taïi nghieäm chænh hoùa

ε −

s,0 2

vôùi s = 1,2,...,n.

Ghi chuù:Caùc ñieàu kieän (2.2.3) vaø (2.2.4) chæ caàn ñuùng vôùi moïi α > 0 ñuû nhoû.

Ñieàu kieän (2.2.2), (2.2.3), (2.2.4) laø caùc ñieàu kieän toång quaùt. Trong phaàn öùng

duïng ta seõ so saùnh noù vôùi caùc ñieàu kieän ñaët ra bôûi Baumeister. Trong nhieàu

α=D L . Khi ñoù ta coù theå thay kyù hieäu

αD bôûi αL .

tröôøng hôïp

,...,

( ξ = ξ ξ

Chöùng minh

(y , y ,..., y ) 2 k

) ξ , k

1 −

+ξ

... + +ξ

i( y ξ 1 1

y 2 2

y ) k k

, Ñaët

( ) ξ

d d ...d 2

ξ ξ 1

v (y) α

( F ( ) D ξ s

)

k R \

D α

∫

1 −

(x)

Suy ra

)

(x , x ,..., x ) 2 k

( v (x) F (x) D x s

(

)

k R \

D α

, vôùi . (2.2.5) (cid:109)

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

F (x) F (x) − s

(x)dx

−

s,0

(cid:109) (cid:109) v − s,0 s,

(cid:109) v (x) s,0

D α

k R \

D α

∫

s,0 D(x) 2

(x)dx

≤

Ta coù

(cid:109) v (x) s,0

( ) + η ε a ,s

D α

∫

ε α

(2.2.6)

a / 2

(x)dx

( ) η ε =

α = ε

trong ñoù

a,s

(cid:109) v (x) s,0

D α

∫

, vaø .

α = 1

α 1

ln (1/ ) ε 1/ ε

vaø . (2.2.7) Tröôøng hôïp (2.2.3) thoûa: Choïn

−

≤ ε

s,0

1/ ε 2m P ln (1/ ) ε

⎛ P ln ⎜ α⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

1 2m P ln (1/ ) ε

⎛ P ln ⎜ α⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

≤

Töø (2.2.6), (2.2.7) ta nhaän ñöôïc

1 2 P

1/ ε m ln (1/ ) ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ) ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ P ln ⎜ α⎝

1 2 P ⎞ ⎟ ⎠

2 +β

α = ε 2

vaø . (2.2.8) Tröôøng hôïp (2.2.4) thoûa: Choïn

2 β 2 +β

(1 M) +

−

+ α

≤

Ta coù

s,0

(cid:110) (cid:109) v − s,0 s,

ε α

2 2

= .

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

2.3 AÙP DUÏNG

Phaàn A: Khaûo saùt baøi toaùn tích chaäp moät chieàu vôùi caùc ñieàu kieän cuûa

f= (cid:3) chính laø (cid:108) Dv

s,0

Baumeister [15], (chöông 10, trang 183-190).

, C

δ >

Trong [15], trang 183-190, taùc giaû Baumeister ñaõ xeùt phöông trình tích chaäp f= (cid:3) . Taùc giaû coù ∗ = vôùi aån haøm u, sau ñoù phöông trình ñöôïc chuyeån veà (cid:3) (cid:3)k.u k u neâu hai tröôøng hôïp ñeå nhaän ñöôïc caùc ñaùnh giaù sai soá. Tröôùc khi ñi vaøo hai tröôøng hôïp cuï theå, chuù yù raèng (cid:3) (cid:3)k.u , trong muïc 2.2, nghóa laø (cid:3)k chính laø D.

> sao cho

0, C 0, a > 1

1 2

(cid:3) k(p)

a p

≥

−

Tröôøng hôïp 1: Taùc giaû yeâu caàu toàn taïi

C exp 0

(

)

(2.3.1)

−

δ 2

2 u (p) C (1 p )

≤

vaø

vôùi moïi p. (2.3.2) (cid:108)

≤ ε , taùc giaû tìm ñöôïc nghieäm chænh hoùa

Baèng caùch duøng phöông phaùp Tikhonov, öùng vôùi döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño

ε −

0 2

1/ 2

−δ+

∞

ˆk(w)

iwx e dw

ñaïc fε thoûa

u (x) ε

∫

1 2 ε

1 2

ˆ f (w) ˆ k(w)

⎛ α = ε ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−∞

ˆ k(w)

2 (1 w )

+ α +

, vôùi

−δ+

1 2

−

thoûa maõn

0 2

1 ε

⎛ C ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, C laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε . (2.3.3)

Trong phöông phaùp chaët cuït tích phaân cuûa chuùng toâi, töø tính chaát (2.3.1) vaø

−δ+

1 2

thoûa tính chaát (2.2.3) vaø nhaän ñöôïc sai soá töông töï (2.3.2) seõ daãn tôùi (cid:3)k D=

0 2

)

u u − , C laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .(2.3.4) ε 1/ ε ( ln 1/ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ C ln < ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Cuï theå laø

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

D(p)

(cid:3) k(p)

> −

≡

< α daãn ñeán

1 α ln a C

(cid:3) {p / k(p)

{p / p

} < α ⊂

, nghóa laø

L α

p } α

1 2 − δ

+∞

2 − δ

(p)dp

≤

(cid:108) u (p) 0

2 1

L α

∫

∫ 2C p dp

1 ln a C

2 2C 1 2 δ −

C α

2 ⎛ 2C 1 −⎜ 1 2 δ − ⎝

2 ⎞α ⎟ ⎠

⎛ 2 ⎜ ⎜ 1 a ⎝

1 2 − δ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

khi ñoù

nghóa laø tính chaát (2.2.3) ñöôïc thoûa vaø nhaän ñöôïc ñaùnh giaù sai soá (2.3.4) theo

ñònh lyù 2.2.1.

0> ,

0, C 0, δ > , C 0, C > ≥ > Tröôøng hôïp 2: Taùc giaû yeâu caàu toàn taïi 1 2

0> sao cho

1 > , a 4

−

δ 2

2 u (p) C (1 p )

≤

0 γ ≥ ,

(cid:108) vôùi moïi p

vaø

J∈ , khoâng coù

(2.3.5) * ˆk(0)

jp , j

* (cid:3)k coù nhieàu nhaát moät soá ñeám ñöôïc caùc khoâng ñieåm

n(M) C M γ ≤

ñieåm tuï neáu J voâ haïn. Neáu n(M) kyù hieäu soá khoâng ñieåm cuûa (cid:3)k trong (0,M) thì

(0,

. (2.3.6)

) ⊂ ∞ vôùi

p D∈ , j

J∈

k(p)

C p p

≥

−

*Toàn taïi nhöõng khoaûng môû rôøi nhau

p D∈ , j

J∈

k(p)

≥

C (1 p )− +

vôùi (2.3.7) (cid:3)

∉∪ . D

j J ∈

neáu (2.3.8) * (cid:3)

≤ ε , taùc giaû tìm ñöôïc nghieäm chænh hoùa

Baèng caùch duøng phöông phaùp Tikhonov, öùng vôùi döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño

ε −

0 2

ñaïc fε thoûa

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

∞

ˆk(w)

iwx e dw

u (x) ε

∫

1 2

ˆ f (w) ˆ k(w)

−∞

ˆ k(w)

2 (1 w )

+ α +

2 1 τ+

α = ε

τ =

8a)

2 δ − 4r(4 2 + δ + γ +

vôùi

2 τ 1 2 τ+

C < ε

thoûa maõn

ε −

0 2

Trong phöông phaùp chaët cuït tích phaân cuûa chuùng toâi, töø tính chaát (2.3.2) vaø

β +β

C < ε

(2.3.5)- (2.3.8) nhaän ñöôïc sai soá toát hôn

ε −

0 2

(2.3.9)

min

β =

trong ñoù

> neân

δ − 2a

2 1 δ − 2 γ + δ −

τ 2 τ +

β β +

1 4

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

( löu yù raèng vì ).

−

r (

1 2 γ+ δ−

= α

min

< α <

Cuï theå nhö sau:

C a 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ,1 ⎬ ⎪ ⎭

, xeùt . Vôùi moãi

p D∈ vaø (cid:3)k(p) < α ta coù

C p p−

< α

1 r

−

p < <

Khi

α C

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

< α , neân

. neân

4C (1 p )− +

∉∪ vaø (cid:3)k(p) < α thì

j J ∈

1 − <

Ñoàng thôøi khi

1 2

C α

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1/ a ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1/ a ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

(p)dp

(cid:108) 2 u (p) 0

L α

∫

Töø caùc ñieàu treân ta coù

L α

∫

p M >

( M,M) −

∫ ∪ R \ D j J ∈

j J ∈

∫ ⎞ ∪ ∩ ⎟ D ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

+∞

2 − δ

(p)dp (p)dp ≤ χ + + χ (cid:108) u (p) 0 (cid:108) u (p) dp 0 (cid:108) u (p) 0

2 C 1

2 (p)dp C 1

2 dp 2C + 1

L α

∑ ∫

∫

p M >

j J ∈ D ( M,M) ∩ −

≠∅

{

1 2

1/ a ⎞ ⎛ C ⎟ ⎜ ⎟α⎝ ⎜ ⎠

1 2 − δ

1 r

1 2 − δ

2(n(M) 1)

≤

+ +

2 2C 1

1 1 2

2 2C 1 2 δ −

α C

⎛ C ⎜ ⎜ α⎝

1/ a ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 2 − δ

1 r

1 2 − δ

≤

2 8C 1

C M 2

1 1 2

2 2C 1 2 δ −

α C

⎛ C ⎜ ⎜ α⎝

1/ a ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

≤

3C β α

1/ 4a 4

C max

p p dp ≤ χ +

, 1 2

2 2 8C C 2C 2 1 1 1/ 2r C δ − 3

2 ⎛ 2C 1 ⎜ 1 δ − ⎝

1 2 − δ ⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

min

β =

trong ñoù

δ − 2a

1 2 δ − 2 γ + δ −

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

vaø .

0> khoâng duøng tôùi.

Vaäy tính chaát (2.2.4) ñöôïc thoûa vaø chuùng ta nhaän ñöôïc ñaùnh giaù sai soá

(2.3.9). Löu yù, trong laäp luaän cuûa chuùng toâi, ñieàu kieän (cid:3)k(0)

Phaàn B: AÙp duïng vaøo baøi toaùn tìm thoâng löôïng nhieät

Xeùt baøi toaùn tìm thoâng löôïng nhieät

yu (x,1, t) w(x, t) ≡

(2.3.10)

sao cho u thoûa phöông trình

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

a, t

0, (a

u ∆ −

< <

u ∂ t ∂

trong x R, 1 y ∈ , (2.3.11)

u(x, 2, t)

g(x, t), x R, t

∈

vôùi caùc ñieàu kieän bieân

u(x,1, t)

f (x, t), x R, t

∈

(2.3.12)

∈

(2.3.13)

yu (x,1, t) w(x, t), x R, t

(2.3.14)

u(x, y,0)

∈

0, x R, 1 y a < <

vaø ñieàu kieän ñaàu

(2.3.15)

+∞ . )

(0, trong ñoù f, g cho tröôùc. Giaû söû u, ux, uy bò chaën treân R (1,a)

) − η

(x, y, t,

exp

, , ) ξ η τ =

2 ) − ξ + 4(t

1 ) 4 (t π − τ

(y ) − τ

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

G(x, y, t,

(x, y, t,

, , ) ξ η τ = Γ

, ) , ξ η τ − Γ

(x, 4 y, t, −

Ñaët

, , ) ξ η τ .

vaø (2.3.16)

(1, 2)

(0, t

div(G u u G)

(uG)

−

∇ − ∇ −

Laáy tích phaân ñaúng thöùc

) − ε

∂ ∂τ

0, n

ε →

treân mieàn ( n, n)

→ +∞ , ta coù

+∞

G(x, y, t,

ξ τ

, 2, )d d ξ

τ ξ τ +

,1, )w( , )d d ξ

ξ τ ξ τ −

g( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

+∞

u(x, y, t)

−

ξ τ

,1, )d d ξ

τ ξ τ +

vaø cho

f ( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

+∞

G(x, y, t,

u(x, y, t)

,1, )w( , )d d ξ

ξ τ ξ τ = −

∫ ∫

−∞

+∞

G (x, y, t,

,1, )f ( , )d d ξ

ξ τ ξ τ −

ξ τ

, 2, )d d τ ξ τ ξ

Vaäy

g( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

.(2.3.17)

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

1+→ trong (2.3.17), ta coù :

+∞

exp

−

w( , )d d ξ τ ξ τ

∫ ∫

)

(x 4(t

)

1 2 (t π − τ

) − ξ − τ

1 ) 2 (t π − τ

2 ) − ξ + 4(t ) − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

+∞

f (x, t)

exp

= −

−

f ( , )d d ξ τ ξ τ

∫ ∫

1 2 π

1 ) − τ

2 ) − ξ + 4(t ) − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

exp

g( , ) ξ τ

−

d d ξ τ

Cho y

∫ ∫

)

1 2 π

1 − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+ . (2.3.18)

f (x, t) R f (x, t) R g(x, t)

(P Q) w(x, t) ∗

−

= −

∗

Töø ñoù ta coù :

f (x, t)

g(x, t)

,0)

(2.3.19)

= neáu (x, t) R (

∈ × −∞ ,

exp

)

−

(x, t) R (0, ∈ ×

+∞

P(x, t)

trong ñoù w(x, t)

1 t

x 4t

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

(x, t) R (

,0]

∈ × −∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

)

−

(x, t) R (0, ∈ ×

+∞

Q(x, t)

1 t

⎞+ 4 ⎟ 4t ⎠

(x, t) R (

,0]

⎛ ⎜ ⎝ 0

∈ × −∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

)

−

(x, t) R (0, ∈ ×

+∞

R (x, t)

1 2 t

⎞+ 4 ⎟ 4t ⎠

(x, t) R (

,0]

⎛ ⎜ ⎝ 0

∈ × −∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

)

−

(x, t) R (0, ∈ ×

+∞

R (x, t)

1 2 t

⎞+ 1 ⎟ 4t ⎠

⎛ ⎜ ⎝ 0

(x, t) R (

,0]

∈ × −∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

vaø . (2.3.20)

+∞ +∞

−

i(xz tr ) +

ˆP(z, r)

P(x, t)e

dxdt

1 π ∫ ∫ 2

−∞ −∞

i sgn(r)

−

1 4

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2 z

Ta coù (xem [31], trang 14, 15, 16, 72, 75)

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

+∞ +∞

−

i(xz tr ) +

ˆQ(z, r)

Q(x, t)e

dxdt

1 π ∫ ∫ 2

−∞ −∞

−

u cos 2v vsin 2v isgn(r)(u sin 2v v cos 2v)

−

[

]

1 4

vaø

−

trong ñoù

1 2

, . (2.3.21)

F(x, t)

f (x, t) R f (x, t) R g(x, t)

= −

∗

Ñaët

−

(

Laáy Fourier hai veá cuûa (2.3.19), ta coù ) ˆ ˆ P(z, r) Q(z, r) w(z, r) F(z, r).

(0, 2)

∈

Heä quaû 2.3.1

< ε < .

, cho 0 Cho a

f ,g ôû 0

Giaû söû nghieäm chính xaùc w0 cuûa (2.3.19) töông öùng döõ lieäu chính xaùc 0

2 L (R ) .

veá phaûi naèm trong

f−

≤ ε vaø

g g−

≤ ε ,

0 2

Giaû söû döõ lieäu do ño ñaïc laø f ,g thoûa

2 L (R ) .

laø chuaån trong trong ñoù

2 a −

≤

+ η ε ( ) a

w w ε −

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa w ε cuûa (2.3.19) sao cho

η ε → khi

ε ↓ vaø C laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

a ( )

3 − 2

0, 2

trong ñoù

∩

∈

0w L (R ) H (R )

⎛ ε ∈ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1 D < ε 3

w w ε −

0 2

Giaû söû theâm, neáu vaø thì

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

trong ñoù D laø moät haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

+∞

2 3

w (x, t)

(x)T n,

(t)

πε

∑ ∑

m n

=−∞ ≤

⎛ ( )T m, ε ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Khi ñoù w ε ñöôïc bieåu dieãn thaønh

2 / 3

πε

(mz nr) +

dzdr

vôùi

( ) ε =

∫

(cid:3) F(z, r) (cid:108)

1 2 π

(cid:3) P(z, r) Q(z, r) −

2 R \

)

( α ε

(z pd) / d

sin

]

T(p,d)(z)

, p Z, d ∈

trong ñoù

( )α εD xaùc ñònh trong chöùng minh vaø [ π − (z pd) / d π −

(2.3.22)

Chöùng minh

ˆF F ˆ −

F F −

0 2

−

g g −

≤

⎤ 1 f ⎦

≤

⎡ ⎣ (

) 1 + ε .

Ta coù

−

(cid:108)

cos 2v e

(cid:3) P(z, r) Q(z, r) −

1 2e −

Töø (2.3.21), suy ra

1 2

< α <

−

2 α

−− 1 e 2 ( 1 e −

≤

−

( 1 e −

)

Chuù yù raèng neáu vaø

−

cos 2v e

ˆP(z, r) Q(z, r) −

1 2e −

1 2

thì

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

−

2 r + +

≥

1 4

⎛ 1 e −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

1 e −

≥

1 e −

≥ α

−

1 e −

⎛ α ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:3)

(cid:108)

(z, r) / P(z, r) Q(z, r)

−

< α

α =

{

}

−

2 α

( 1 e −

(z, r) 0 z

hay z

⊂

≤

−

( 1 e −

)

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

−

(z, r) / z

⊂

Vì theá

2 −

1 e − 2 α

1 e −

⎫ α ∪ ⎬ ⎭

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

≡

∪

D 1,

D α

(z, r) / z

D 1,

2 −

1 e −

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

−

(z, r) / z

trong ñoù Ñaët

1 e − 2 α

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

α⊂ DL

. thì α

(z, r)dzdr

≤

Suy ra

(cid:109) w (z, r) 0

D α

∫

(z, r)dzdr

→

Vì theá

α → .

(cid:109) w (z, r) 0

D α

∫

3 − 2

0, 2

∩

∈

khi

0w L (R ) H (R )

⎛ ε ∈ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Giaû söû theâm, neáu vaø , ta coù

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

(z, r)dzdr

(cid:109) w (z, r) 0

D α

∫

2 2 r )

∫

2 2 r )

≤

(cid:109) w (z, r) 0

πα −

−

1 e −

( 1 e −

)

C≤ α

(z + (cid:109) w (z, r) 0 2 (z, r)dzdr ≤ + χ (cid:109) w (z, r) 0 πα − (z + 1 e −

(cid:109) C w (z, r) 0

(cid:109) 2 r )w (z, r) 0

π −

−

1 e −

( 1 e −

)

, . trong ñoù

w wε −

0 2

trong heä quaû AÙp duïng Ñònh lyù 2.2.1, ta coù caùc ñaùnh giaù sai soá

2 / 3

∩

∈

α = ε

2.3.1.

0w L (R) H (R)

i(xz tr ) +

w (x, t)

dzdr

∫

1 2 π

ˆ F(z, r) ˆ ˆ P(z, r) Q(z, r) −

2 R \

)

( α ε

Khi theo chöùng minh ñònh lyù 2.2.1, ta coù vaø

ta coù

2 R \

( ) α ε

ˆ supp w , , ⊂ . 1 2 / 3 1 2 / 3 1 2 / 3 1 2 / 3 ε ε ε ε ⎡ ⊂ − ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ × − ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦

+∞

2 3

w (x, t)

(x)T n,

(t)

πε

∑ ∑

m n

=−∞ ≤

⎛ ( )T m, ε ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Khi ñoù theo [13], trang 121, ta coù

2 / 3

πε

(mz nr ) +

, n

dzdr

( ) w m ε =

πε

vôùi

(

)

∫

(cid:3) F(z, r) (cid:108)

1 2 π

(cid:3) P(z, r) Q(z, r) −

2 R \

)

( α ε

Heä quaû ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

*Baây giôø ta ñöa ra ví duï veà tính toaùn soá

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Ta giôùi thieäu hai keát quaû baèng soá so saùnh giöõa nghieäm chænh hoùa cho bôûi

Keát quaû 1 (hình 1 vaø hình 2)

coâng thöùc (2.3.22) vaø nghieäm chính xaùc.

Xeùt baøi toaùn

1 −

−

2x 4t

u(x,1, t)

;

1 t

−

2x − 4t

u(x, 2, t)

;

1 t

u(x, y,0)

0, (x, y) R (1,3), t 0 u ∆ − = ∈ × > u ∂ t ∂

w(x, t)

u (x,1, t)

trong ñoù haøm soá caàn tìm laø

1 −

−

2x 4t

w(x, t)

Nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn laø

1 − 2 2t

−

ˆF

[( u

i( u

v)]

α − β − α + β

e 2 +

1 z

2ue −

Nghieäm chænh hoùa cho bôûi coâng thöùc (2.3.22) trong ñoù

2ue −

α =

cos3v cos v −

(cid:3) (cid:108) P Q a −

ib 1

β = sin 3v sin v − ;

−

u e

sgn(r)[ v e

= −

(u cos 2v vsinv) −

− +

(v cos 2v u sin 2v)] +

trong ñoù

; .

= ε .

(cid:3) (cid:108) F F− 0

Khi ñoù ta coù

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

ε =

1 50

(x, t)

[0, 2]

w (x, t)

∈

Vôùi , N 50= (kích thöôùc cuûa chuoãi ch bôûi coâng thöùc (2.3.22)) vaø vôùi

ε(cid:54)

(cid:54)

w(x, t)

ta coù ñoà thò (x, t) trong hình 1.

Ta coù ñoà thò (x, t) trong hình 2.

Keát quaû 2 (hình 3 vaø hình 4)

(x, t)

[0, 4]

[0, 4] w (x, t)

∈

→

Söû duïng phöông phaùp töông töï nhö treân ta coù ñoà thò

0, (x, y) R (1,3), t

u ∆ −

∈ ×

u ∂ t ∂

−

2x − 4t

1 − t

u(x,1, t)

u(x, 2, t)

0= ;

trong hình 3, laø nghieäm chænh hoùa cuûa baøi toaùn

1 t

⎛ 1 e −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

; u(x, y,0)

w(x, t)

u (x,1, t)

trong ñoù haøm soá caàn tìm laø

1 −

−

2x 4t

w(x, t)

1 2 t

Ñoà thò nghieäm chính xaùc

ñöôïc veõ trong hình 4.

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Hình 1

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Hình 2

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Hình 3

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Hình 4

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

Phaàn C: AÙp duïng vaøo baøi toaùn tìm nhieät ñoä beà maët cuûa moät vaät theå hai

lôùp

Baøi naøy seõ ñöôïc trình baøy chi tieát trong Chöông 3, muïc 3.2, coøn taïi ñaây chæ

trình baøy yù chính ñeå aùp duïng chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp vaøo baøi toaùn

tìm nhieät ñoä beà maët cuûa moät vaät theå hai lôùp .

Chuùng ta xeùt baøi toaùn tìm haøm u0(0,t) =v0(t) trong ñoù uo thoûa heä phöông

2, t

−

x < <

trình

b, t

−

x < <

u ∂ 0 2 x ∂ 2 u ∂ 0 2 x ∂

u ∂ 0 t ∂ u ∂ 0 t ∂

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(2.3.23)

u (x,0)

u (1, t)

u (3, t)

f (t), t 0 g (t), t

vaø caùc ñieàu kieän

u (4, t)

0 h (t), t

−

0 0 lim u (x, t) 0 x →

lim u (x, t), t 0 x →

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

(0,

+∞ . )

(2.3.24)

Giaû söû u0, u0x bò chaën trong (0, b)

nhöõng haøm f0, g0, h0 coù döõ lieäu ño ñaïc bò nhieãu töông öùng laø f, g, h.

Söû duïng coâng cuï haøm Green, ta nhaän ñöôïc heä phöông trình tích chaäp

−

∗

2k g (t) 2F g (t) F u (2,.)(t) F h (t) 2

(2.3.25)

−

∗

2k f (t) 2F f (t) F v (t) F u (2,.)(t) 4

1 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

trong ñoù

exp

−

1 3 / 2

F (t) 1

1 k t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

Heä soá truyeàn nhieät trong töøng lôùp laø k1, k2 laø nhöõng haèng soá döông vaø

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

exp

−

1 3 / 2

F (t) 2

1 4k t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

−

1 3 / 2

F (t) 3

1 k t 1

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

−

1 3 / 2

F (t) 4

1 4k t 1

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

Caùc haøm naøy coù bieán ñoåi Fourier töông öùng laø (xem [31], trang 16, 75)

(2|p|) / k

−

cos

isgn(p)sin

−

(cid:108)

F (p) 1

k 2 2

2 | p | k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

|p|/(2k )

−

cos

isgn(p)sin

−

(cid:108)

F (p) 2

2k e 2

| p | 2k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

(2|p|) / k 1

cos

isgn(p)sin

−

(cid:108)

F (p) 3

k 1 2

2 | p | k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

|p|/(2k ) 1

cos

isgn(p)sin

−

(2.3.26)

(cid:108) F (p) 4

2k e 1

| p | 2k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Laáy Fourier ñaúng thöùc (2.3.25), ta nhaän ñöôïc

−

(cid:108) (cid:108) 2k g (p) 2F (p)g (p) F (p)u (2,.)(p) F (p)h (p) 2 0

−

(cid:108) 0 (cid:108) 1 0

(cid:108) (cid:108) 2k f (p) 2F (p)f (p) F (p)v (p) F (p)u (2,.)(p) 4 0

(cid:108) 0

(cid:108) (cid:108) 0 2 (cid:108) (cid:108) 0 4

(cid:108) (cid:108) 0 1 (cid:108) 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Ñieàu naøy daãn ñeán

2k f (p)F (p) 2F (p)F (p)f (p)

(cid:108) D(p).v (p) 0

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 0 2 3

(cid:108) (cid:108) 2

1 0

−

≡

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 2k g (p)F (p) 2F (p)F (p)g (p) F (p)F (p)h (p) G (p) 0 4 1

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 0 4 2

(cid:108) (cid:108) 4 0

trong ñoù

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

(cid:108) (cid:108) D(p) F (p)F (p) 2 4

H (0, b)

L R ; L (0, b)

Heä quaû 2.3.2 Giaû söû u0 laø nghieäm duy nhaát cuûa (2.3.23)-( 2.3.24) thoûa

∈

) t ∂ ∈

0u / ∂

)

(

)

{ } 2 L R ; H (0, b) \ 2 ⎡ ⎣

⎦ ∩ ⎤

(0, 2)

(0,1)

γ ∈

ε ∈

u (0, t)

.Ñaët ,(

f ,g, h L (R )+ ∈

v (t) 0

f−

< ε ,

g g−

< ε ,

h h−

< ε

. Cho , vaø laø nhöõng döõ lieäu nhaän

0 2

ñöôïc do ño ñaïc töông öùng f0, g0, h0. Neáu

2L (R )+ . Khi ñoù töø f, g, h chuùng ta coù theå xaây döïng

2 L (R )+

laø chuaån trong trong ñoù

ε ∈

−γ

−

+ η ε ( ) γ

0 2

1 4k k 1 2

( )

sao cho moät haøm

0 ε ↓ .

γη ε → khi

∩

∈

trong ñoù

0v H (R) L (R)

−

Neáu giaû söû theâm , m>0 vaø

< ε <

−

(

)

ε −

0 2

1/ ε 4m ln (1/ ) ε

1 4k k 1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

2k k 1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

thì chuùng { max e ta }

(cid:108) v (p)p 0

trong ñoù .

Ñaët

(cid:3)

G(p)

2k f (p)F (p) 2F (p)F (p)f (p)

(cid:108) (cid:108) 2 3

(cid:108) 2

−

(cid:108) (cid:108) (cid:3) 2k g(p)F (p) 2F (p)F (p)g(p) F (p)F (p)h(p) 4 1

(cid:108) (cid:108) (cid:3) 4 2

(cid:3) (cid:108) 4

Töø (2.3.26), ta coù

≤

, (cid:108)

(2.3.27)

(cid:108)

F (p) 1

F (p) 3

F (p) 2

F (p) 4

k 2 2

k 1 2

ñieàu naøy cho ta

Chöùng minh

Chöông 2: Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp nhieàu chieàu khoâng gian

(cid:3)

G G −

≤

−

(cid:108) F (p) 2

(cid:108) f (p) 0

(cid:108) 3

(cid:108) f (p) 0

( (cid:3) 2k f (p)

)

( 2F (p) f (p)

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

(cid:3)

2k (g(p) g (p)) 2F (p)(g(p) g (p)) F (p)(h(p) h (p))

−

(cid:108) +

F (p) 4

(cid:108) 1

(cid:108) 0

(cid:108) 2

(cid:108) 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

≤

ε +

k 1 2

k 2 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ε + ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

≤

ε .

10 k k 1 2

Ta coù

2k k 1 2

thì

vì

theá

neáu

ñaët

D(p) < α

2 k k 1 2 α

(

)

p / D(p)

, ta coù

α =

{

} < α

+∞

(p)dp

→

khi

α → .

(cid:108) 0v (p)

L α

∫

−∞

−

∩

∈

< ε <

Giaû söû theâm

, m>0 vaø

,ta coù

0v H (R) L (R)

{ max e

}

−

+∞

(

)

(p)dp E

(cid:108) v (p) 0

L α

∫

2 k k 1 2 α

−∞

(

)

2k k 1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

AÙp duïng Ñònh lyù 2.2.1, ta coù Heä quaû 2.3.2.

■

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Chöông 3

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC TRONG LOÃ KHOAN

THAÊM DOØ

Muïc 3.2 vaø muïc 3.3 ñaõ coâng boá trong [5] vaø [8] (cuûa danh muïc coâng trình

coâng boá cuûa taùc giaû).

3.1 MÔÛ ÑAÀU

Moät trong nhöõng baøi toaùn nhieät ngöôïc quan troïng trong öùng duïng laø baøi

toaùn xaùc ñònh phaân boá hay thoâng löôïng nhieät beà maët trong loã khoan thaêm doø töø

nhöõng ño ñaïc thöïc hieän beân trong loã khoan.

Trong [22, 30, 59, 76], caùc taùc giaû khaûo saùt baøi toaùn moät chieàu trong ñoù traùi

0> vaøo

u(1, t)

0> . Khi ñoù vôùi döõ lieäu f (t)

ñaát ñöôïc moâ hình laø nöûa truïc Ox vôùi phaân boá nhieät u(x, t) , taïi ñieåm x

(0, t)

vaø daùng ñieäu cuûa u taïi +∞ , phaân thôøi ñieåm t

u ∂ x ∂

beà maët ñöôïc xaùc ñònh. boá nhieät u(0, t) hay thoâng löôïng nhieät

Tröôøng hôïp heä soá daãn nhieät phuï thuoäc vaøo bieán khoâng gian moät chieàu ñaõ

ñöôïc khaûo saùt trong [45, 46, ...] baèng phöông phaùp mollification söû duïng bieán ñoåi

Fourier theo bieán thôøi gian.

Trong caùc moâ hình khaùc [16, 61] (coù veû saùt thöïc teá hôn) caùc taùc giaû coi traùi

ñaát caáu taïo bôûi nhieàu lôùp, moãi lôùp coù heä soá daãn nhieät haèng vaø do ñoù, caùc taùc giaû

)+∞ . Khi ñoù, caùc taùc giaû

khaûo saùt baøi toaùn nhieät ngöôïc treân (0,a) thay vì treân (0,

2> . Ñeå coù theå xaùc

chöùng toû ñöôïc raèng phaân boá nhieät u(0, t) ñöôïc xaùc ñònh baèng döõ lieäu ño taïi hai

w(t)

(1, t)

ñieåm beân trong loã khoan, chaúng haïn taïi (1, t) vaø (2, t) , vôùi a

u ∂ x ∂

vaø döõ lieäu naøy ñònh u(0, t) , caùc taùc giaû [16, 61] khaûo saùt döõ lieäu

ñöôïc chæ ra laø nghieäm cuûa moät phöông trình Volterra loaïi 2 theo caùc döõ lieäu

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

u(1, t) vaø u(2, t) . Chuù yù raèng, phöông trình tích phaân loaïi 2 vôùi caùc ñieàu kieän

toång quaùt laø baøi toaùn chænh theo chuaån sup tính treân khoaûng thôøi gian höõu haïn.

(1, t)

2L (0,

Tuy nhieân, do aån haøm u(0, t) ñöôïc quy veà moät phöông trình tích chaäp vôùi döõ lieäu

)+∞ . Baøi toaùn trôû

u ∂ x ∂

vaø ñöôïc khaûo saùt trong khoâng gian laø u(1, t) vaø

thaønh khoâng chænh. Phöông phaùp naøy coù caùc tính toaùn nhieàu vaø khoù ruùt ra caùc

ñaùnh giaù veà sai soá cuûa nghieäm töø sai soá do ño ñaïc. Do ñoù, trong muïc 3.3 cuûa

(x,1, t)

chöông naøy, chuùng toâi xaây döïng nghieäm xaáp xæ oån ñònh tröïc tieáp cho u(x,0, t)

u ∂ x ∂

))

2L (R (0, ×

+∞ vôùi döõ lieäu laø u(x,1, t) vaø u(x, 2, t) .

, theo chuaån maø khoâng thoâng qua phaàn ñaùnh giaù sai soá cho

Tuy nhieân, moâ hình noùi treân khoâng thích hôïp cho tröôøng hôïp cuûa moät vaät

composite ñöôïc xem nhö moät vaät theå nhieàu lôùp, moãi lôùp vôùi moät heä soá daãn nhieät

laø haèng. Trong muïc 3.2 chuùng toâi seõ xem baøi toaùn töông öùng vôùi vaät composite,

< <

b < < (0 a

ñöôïc moâ hình bôûi moät khoaûng (0,b), coù moät maët ngoaøi vaø hai lôùp bieåu dieãn bôûi x

a < < vaø a

= 0 vaø hai khoaûng 0 . Trong muïc naøy, ño nhieät ñoä

taïi ba ñieåm ôû trong vaät theå laø caàn thieát ñeå baûo ñaûm tính duy nhaát nghieäm. Maëc

daàu vaäy baøi toaùn cuûa chuùng ta vaãn khoâng chænh (xem [16]). Chuùng toâi seõ bieán

ñoåi baøi toaùn veà heä phöông trình tích chaäp vaø söû duïng bieán ñoåi Fourier vaø phöông

phaùp chaët cuït tích phaân ñeå chænh hoùa baøi toaùn. Sai soá trong tröôøng hôïp döõ lieäu bò

nhieãu seõ ñöôïc ñöa ra.

3.2 TÌM NHIEÄT ÑOÄ BEÀ MAËT CUÛA MOÄT VAÄT THEÅ HAI LÔÙP

Khoâng maát toång quaùt, chuùng ta giaû söû raèng a=2, b>4 vaø nhieät ñoä ñöôïc cho

(coù theå vôùi sai soá nhoû) taïi x=1, x=3, x=4. Goïi u0(x,t) laø nhieät ñoä cuûa vaät

composite vôùi 00. Chuùng ta xeùt baøi toaùn tìm haøm u0(0,t) =v0(t) trong ñoù

uo thoûa heä phöông trình

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

2, t

−

x < <

b, t

−

x < <

u ∂ 0 2 x ∂ 2 u ∂ 0 2 x ∂

u ∂ 0 t ∂ u ∂ 0 t ∂

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(3.2.1)

u (x,0)

u (1, t)

u (3, t)

f (t), t 0 g (t), t

vaø caùc ñieàu kieän

u (4, t)

0 h (t), t

−

0 0 lim u (x, t) 0 x →

lim u (x, t), t 0 x →

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

(3.2.2)

× (0, +∞ . ) Giaû söû u0, u0x bò chaën trong (0, b)

Ñieàu kieän sau cuøng laø nhieät ñoä lieân tuïc trong vaät theå composite. ÔÛ ñaây chuù

yù raèng thoâng löôïng nhieät coù theå khoâng lieân tuïc taïi beàø maët tieáp xuùc x=2. Heä soá

truyeàn nhieät trong töøng lôùp laø k1, k2 laø nhöõng haèng soá döông vaø nhöõng haøm f0, g0,

h0 coù döõ lieäu ño ñaïc bò nhieãu töông öùng laø f, g, h. Töø ñaây chuùng ta kí hieäu R + laø

taäp nhöõng soá thöïc döông, moãi haøm ϕ xaùc ñònh treân R + coù theå xem nhö moät haøm

xaùc ñònh treân R baèng caùch ñaët ϕ (t)=0 cho t ≤ 0. Trong (3.2.2), ñeå tính toaùn ñôn

0u (x,0) trieät tieâu. Tuy nhieân, ñieàu kieän naøy khoâng

giaûn, ñieàu kieän ñaàu tieân laø

phaûi laø ñieàu kieän truï coät. Trong thöïc teá, phöông phaùp cuûa baøi naøy coù theå ñöôïc aùp

duïng cho baøi toaùn vôùi u0(x,0) laø khoâng taàm thöôøng.

Tröôùc khi phaùt bieåu keát quaû chính, chuùng ta caàn ñeà caäp veà phöông phaùp

chænh hoùa. Trong phöông phaùp ñeà nghò bôûi [16], taùc giaû tröôùc tieân söû duïng döõ

lieäu u(3,t), u(4,t) trong lôùp thöù hai ñeå tính nhieät ñoä u(2,t) taïi beà maët tieáp xuùc.

Tieáp theo, töø u(2,t) vaø u(1,t), caùc taùc giaû coù theå tìm aån haøm u(0,t). Do ñoù, trong

phöông phaùp, Baøi toaùn (3.2.1)-(3.2.2) ñöôïc chia thaønh hai baøi toaùn moät lôùp. Baây

giôø, trong phöông phaùp cuûa chuùng ta, aån haøm u(0,t) ñöôïc tìm tröïc tieáp töø caùc döõ

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

kieâïn maø khoâng caàn tính u(2,t). Ñieàu naøy coù nghóa seõ coù moät xaáp xæ toát hôn cho

u(0,t). Hôn nöõa, chuùng ta cuõng chuù yù phöông phaùp naøy coù theå aùp duïng cho baøi

toaùn cuûa vaät theå composite n-lôùp (n ≥ 3).

2 L R ;L (0,b)

Ta coù keát quaû sau ñaây

H (0,b)

∈

) t ∂ ∈

0u / ∂

(

)

{ } 2 2 L R ;H (0,b) \ 2 ⎡ ⎣

⎦ ∩ ⎤

(0, 2)

(0,1)

γ ∈

ε ∈

u (0, t) .Ñaët . = ,( v (t) 0 Ñònh lyù 3.2.1 Giaû söû u0 laø nghieäm duy nhaát cuûa (3.2.1)-(3.2.2) thoûa (

Cho , vaø laø nhöõng döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño ñaïc f ,g, h L (R )+ ∈

0 2

2L (R )+ . Khi ñoù töø f, g, h chuùng ta coù theå xaây döïng moät haøm

f . laø f− < ε , g g− < ε , h h− < ε trong ñoù töông öùng f0, g0, h0. Neáu

2 L (R )+

chuaån trong

ε ∈

−γ

−

( ) + η ε γ

0 2

1 4k k 1 2

( )

sao cho

0 ε ↓ .

γη ε → khi

trong ñoù

−

∩

Neáu chuùng ta giaû söû theâm

∈

< ε <

0v H (R) L (R)

{ max e

}

, m > 0 vaø

−

0 2

⎛ D ln ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

thì

trong ñoù D laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

+∞

Hôn nöõa, trong hai tröôøng hôïp treân, chuùng ta coù bieåu dieãn

C ( ) ε n

v (t) ε

∑

sin(ta ta

n ) − π ε n − π

=−∞

nC ( )ε xaùc ñònh trong

(3.2.3)

trong ñoù a ε ñöôïc xaùc ñònh trong (3.2.13) hoaëc (3.2.14) vaø

(3.2.15).

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Chöùng minh

Chöùng minh ñöôïc chia thaønh 2 böôùc. Trong böôùc 1, söû duïng haøm Green vaø

bieán ñoåi Fourier chuùng ta seõ bieán ñoåi heä (3.2.1)-(3.2.2) thaønh heä 2 phöông trình

tích chaäp. Trong böôùc 2, chuùng ta seõ xaây döïng haøm vε xaáp xæ cuûa v0.

Böôùc 1: Bieán ñoåi heä (3.2.1)-( 3.2.2) thaønh heä phöông trình tích chaäp

− ξ

(x, t,

exp

, ) ξ τ =

)

) − τ

)

1 (t π − τ

(x 4k (t 2

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Ñaët

(x, t,

(x, t,8

, ) ξ τ = Γ

, ) ξ τ − Γ

vaø

, ) − ξ τ .

G(x, t,

(u G u G) −

u G 0

1 k

∂ ∂ξ

⎛ ∂ ⎜ ∂τ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Tích phaân ñaúng thöùc

−ε

[u (3, )G (x, t,3, ) u (3, )G(x, t,3, )]d

−

τ −

τ +

u (4, )G (x, t, 4, )d τ τ ξ

∫

u ( , t

)G(x, t,

ξ − ε

, t ξ − ε ξ =

treân mieàn (3,4)x(0, t − ε ), chuùng ta nhaän ñöôïc

∫

1 k

2 3

ε → , ta coù

[u (3, )G (x, t,3, ) u (3, )G(x, t,3, )]d

−

τ −

τ +

u (4, )G (x, t, 4, )d τ τ ξ

∫

u (x, t)

0 = .

1 k

3+→ vaø chuù yù raèng

Cho

exp

u (3, t)

−

d τ =

Cho x

3 / 2

∫ lim u (3, ) τ 0 +→ x 3

) − τ

1 2 k

x 3 − ) − τ

(x 3) − 4k (t 2

4k (t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

u (3, t)

τ τ = −

∫

+ 3

lim G(x, t,3, )u (3, )d x →

1 2 k

exp

−

3 / 2

∫

)

u (3, ) τ ) − τ

0 k (t 2

1 k (t − τ 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

exp

−

3 / 2

∫

)

u (4, ) τ ) − τ

− τ

0 k (t 2

1 4k (t 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

= −

g (t) 0

1 2 k

exp

−

3 / 2

∫

)

g ( ) τ 0 ) − τ

k (t 2

1 k (t − τ 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

exp

−

chuùng ta coù

3 / 2

∫

)

h ( ) τ 0 ) − τ

− τ

k (t 2

1 4k (t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

.(3.2.4)

(x, t,

(x, t, 4

, ) ξ τ = Γ

, ) ξ τ − Γ

, ) − ξ τ ,

Tieáp theo, ñaët :

N(x, t,

(u N u N) −

u N 0

1 k

∂ ∂ξ

⎛ ∂ ⎜ ∂τ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(0, t

)

− ε vaø cho

ε → , ta coù

tích phaân ñaúng thöùc

u (3, )N(x, t,3, )d

τ τ = −

u (2, )N (x, t, 2, )d τ τ ξ

∫

u (x, t)

τ τ +

treân mieàn (2,3)

u (3, )N (x, t,3, )d ξ

∫

1 k

3−→ vaø chuù yù raèng

exp

u (3, t)

−

τ = −

Cho x

3 / 2

∫ lim u (3, ) τ 0 −→ x 3

)

− τ

1 2 k

x 3 − ) − τ

(x 3) − 4k (t 2

4k (t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

u (3, t)

τ τ =

∫

− 3

lim u (3, )N(x, t,3, )d τ x →

1 2 k

exp

−

d τ

3 / 2

∫

)

u (3, ) τ ) − τ

0 k (t 2

1 k (t − τ 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

exp

−

d τ

−

3 / 2

∫

)

u (2, ) τ ) − τ

− τ

0 k (t 2

1 4k (t 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

g (t) 0

1 2 k

exp

−

d τ

3 / 2

∫

)

g ( ) τ 0 ) − τ

1 k (t − τ 2

k (t 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

exp

−

d τ

−

ta coù

3 / 2

∫

)

u (2, ) τ ) − τ

− τ

0 k (t 2

1 4k (t 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

. (3.2.5)

τ τ =

Söû duïng ñaúng thöùc

∫

− 3

lim G(x, t,3, )u (3, )d + x 3 →

lim N(x, t,3, )u (3, )d τ τ x →

exp

−

d τ

g (t) 0

3 / 2

∫

)

g ( ) τ 0 ) − τ

1 k

1 π

k (t 2

1 k (t − τ 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

exp

−

d τ

3 / 2

∫

)

u (2, ) τ ) − τ

− τ

0 k (t 2

1 4k (t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

exp

−

d τ =

vaø töø (3.2.4), (3.2.5) ta coù

3 / 2

∫

)

h (t) 0 ) − τ

− τ

1 4k (t 2

k (t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. (3.2.6)

exp

−

d τ

f (t) 0

3 / 2

∫

)

f (t) 0 ) − τ

1 k

1 π

k (t 1

1 k (t − τ 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Töông töï, ta coù

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

exp

−

d τ

−

3 / 2

∫

)

v ( ) τ 0 ) − τ

− τ

k (t 1

1 4k (t 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

exp

−

d τ =

∫

u (2, ) τ 3 / 2 ) − τ

) − τ

0 k (t 1

1 4k (t 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. (3.2.7)

exp

−

1 3 / 2

F (t) 1

1 k t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

−

1 3 / 2

F (t) 2

1 4k t 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

−

1 3 / 2

F (t) 3

1 k t 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

exp

−

1 3 / 2

F (t) 4

1 4k t 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

≤

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

Ñaët

+∞

ipt

−

(t)e

(p) Φ =

Nhaéc laïi raèng bieán ñoåi Fourier cuûa moät haøm Φ laø

1 2

π ∫

−∞

. (cid:108)

(2|p|) / k

−

cos

isgn(p)sin

−

Chuùng ta coù ([31], trang 16, 75)

F (p) 1

k 2 2

2 | p | k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

|p|/(2k )

−

cos

isgn(p)sin

−

(cid:108)

F (p) 2

2k e 2

| p | 2k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

(2|p|) / k 1

cos

isgn(p)sin

−

(cid:108)

F (p) 3

k 1 2

2 | p | k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:108)

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

−

|p|/(2k ) 1

cos

isgn(p)sin

−

F (p) 4

2k e 1

| p | 2k

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:108) (3.2.8)

−

∗

2k g (t) 2F g (t) F u (2,.)(t) F h (t) 2

Töø (3.2.6), (3.2.7) ta nhaän ñöôïc heä phöông trình tích chaäp

−

∗

2k f (t) 2F f (t) F v (t) F u (2,.)(t) 4

1 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

(3.2.9)

Böôùc 2: Xaây döïng vε

Laáy Fourier ñaúng thöùc (3.2.9), ta nhaän ñöôïc

0, + − = − (cid:108) (cid:108) 2k g (p) 2F (p)g (p) F (p)u (2,.)(p) F (p)h (p) 2 0

0. + − − = (cid:108) (cid:108) 2k f (p) 2F (p)f (p) F (p)v (p) F (p)u (2,.)(p) 4 0 (cid:108) (cid:108) 0 2 (cid:108) (cid:108) 0 4 (cid:108) (cid:108) 0 1 (cid:108) 3 (cid:108) 0 (cid:108) 0 (cid:108) 1 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

2k f (p)F (p) 2F (p)F (p)f (p)

Ñieàu naøy daãn ñeán

F (p)F (p)v (p) 2 4

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 0 2 3

(cid:108) (cid:108) 2

1 0

−

≡

(cid:108) (cid:108) (cid:108)

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 2k g (p)F (p) 2F (p)F (p)g (p) F (p)F (p)h (p) G (p) 0 4 1

(cid:108) (cid:108) (cid:108) 0 4 2

(cid:108) (cid:108) 4 0

. (3.2.10)

(cid:3)

G(p)

2k f (p)F (p) 2F (p)F (p)f (p)

(cid:108) (cid:108) 2 3

(cid:108) 2

−

Ñaët

(cid:108) (cid:108) (cid:3) 2k g(p)F (p) 2F (p)F (p)g(p) F (p)F (p)h(p) 4 1

(cid:108) (cid:108) (cid:3) 4 2

(cid:3) (cid:108) 4

. (3.2.11)

≤

Töø (3.2.8), ta coù

F (p) 1

F (p) 3

F (p) 2

F (p) 4

k 2 2

k 1 2

, (cid:108) , (cid:108) , (cid:108) (3.2.12) (cid:108)

(cid:3)

G G −

≤

−

(cid:108) F (p) 2

(cid:108) f (p) 0

(cid:108) 3

(cid:108) f (p) 0

( (cid:3) 2k f (p)

)

( 2F (p) f (p)

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

(cid:3)

2k (g(p) g (p)) 2F (p)(g(p) g (p)) F (p)(h(p) h (p))

−

ñieàu naøy cho ta

F (p) 4

(cid:108) 1

(cid:108) 0

(cid:108) 2

(cid:108) 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

≤

ε +

k 1 2

k 2 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ε + ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(cid:108) +

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

≤

ε .

10 k k 1 2

∞

ipt e dp

Ta coù :

v (t) 0

1 2

π ∫

−∞

G (p) 0 (cid:108) (cid:108) F (p)F (p) 2 4

ipt e dp

v (t) ε

1 2

π ∫

−

G(p) (cid:108) (cid:108) F (p)F (p) 4 2

Ñaët

k k 1 2

trong ñoù

1 ⎛ ⎜ ε⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

. (3.2.13)

−

≤

(cid:108) v (p) dp 0

(cid:108) (cid:108) v v − 0 ε

G(p) G (p) − 2

∫

−

|p| a ≥

(cid:108) (cid:108) F (p)F (p) 4 2

k ) 2a

1 +

k 1

(cid:108) v (p) dp 0

+ ∫

ε 4k k 1 2

|p| a ≥

−γ

( ) + η ε γ

1 4k k 1 2

Ta coù

(cid:108) 2 v (p) dp

( ) η ε =

→

trong ñoù

0 ε ↓ .

∫

|p| a ≥

∈

khi

> , ta ñaët

0v H (R), m 0

Baây giôø, neáu

(cid:108) v (p).p 0

2k k 1 2

1 ε m ln (1 ) ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

(3.2.14)

vaø

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

ipt e dp

v (t) ε

1 2

π ∫

−

G(p) (cid:108) (cid:108) F (p)F (p) 4 2

Ta ñaët

(

)2m

m m m 2 k k 1 2

k k + , E C max = 1 2 k k 1 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

vaø

D C 1 = + . 1 4m m

{ u max e , 4m

}

k ) 2a

1 +

k 1

−

ε 4k k 1 2

1 2m ε

m 2m 2m

k ) 2a

1 +

k 1

4 k k 1

2 C 1

1 2m ε

(

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

m ) / ln (1/

))

2 2 ln((1/ e

2 C 1

1 ln ((1 ) / ln (1 ))

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2 C 1

1 ln ((1 ) / ln (1 ))

1 2m ln (1 ) ε

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2m ln u > > vôùi moïi , ta coù Töø baát ñaúng thöùc u

2 C 1

1 2m

ln (1 ) m ln (1 ) ε

1 2m ln (1 ) ε

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Cuoái cuøng ñeå nhaän ñöôïc bieåu dieãn sinc cuûa vε , chuù yù raèng

]

a ,a ε

+∞

−

(i n s) / a π

C ( )e

. Ta coù supp (cid:108) [ v ⊂ −

v (s) ε

ε∑

1 π 2 a

=−∞

(cid:108)

trong ñoù

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

(i n s) / a π

ε =

C ( ) n

(cid:108) v (s)e ε

∫

1 2

−

G(s) (cid:108) (cid:108) F (s)F (s) 4 2

. (3.2.15)

its

v (t) ε

(cid:108) v (s)e ds ε

1 2

π ∫

−

+∞

is(t

(n ) / a )

− π

ε∑ C ( ) n

∫

1 2a

=−∞

−

+∞

Vaäy

C ( ) ε n

∑

sin(ta ta

n ) − π ε n − π

=−∞

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

3.3 TÌM PHAÂN BOÁ NHIEÄT BEÀ MAËT CUÛA BAØI TOAÙN HAI CHIEÀU

v(x, t)

Xeùt baøi toaùn tìm phaân boá nhieät

u(x,0, t) (3.3.1)

2, t

u ∆ −

y < <

trong ñoù u thoûa

u ∂ t ∂

x R,0 ∈ (3.3.2)

g(x, t), x R, t

∈

vaø caùc ñieàu kieän

f (x, t), x R, t

∈

u(x, 2, t) (3.3.3)

0, x R,0 ∈

u(x,1, t) (3.3.4)

< <

(3.3.5) u(x, y,0)

+∞ . )

(0, Giaû söû u, ux, uy bò chaën treân R (0,2)

Trong baøi toaùn f, g cho tröôùc. Chuùng ta bieán ñoåi (3.3.1)-(3.3.5) veà phöông

trình tích chaäp.

) − η

(x, y, t,

exp

, , ) ξ η τ =

Ñaët

2 ) − ξ + 4(t

1 ) 4 (t π − τ

(y ) − τ

⎛ −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(3.3.6)

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

(x, y, t,

, , ) ξ η τ = Γ

, , ) ξ η τ − Γ

(x, 4 y, t, −

vaø

, , ). ξ η τ

G(x, y, t, (3.3.7)

Chuùng ta coù

= .

ξξ

ηη

G 0 τ

(uG)

∇ − ∇ −

Tích phaân ñaúng thöùc

∂ ∂τ

div(G u u G)

ε → , ta coù

+∞

G(x, y, t,

ξ τ

, 2, )d d ξ

τ ξ τ +

,1, )u ( ,1, )d d τ ξ τ ξ ξ

g( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

+∞

u(x, y, t)

ξ τ

,1, )d d ξ

τ ξ τ +

−

f ( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

treân mieàn R x (1,2) x (0, t - ε ) vaø cho

+∞

G(x, y, t,

u(x, y, t)

,1, )u ( ,1, )d d ξ ξ

τ ξ τ = −

∫ ∫

−∞

Do ñoù

+∞

G (x, y, t,

,1, )f ( , )d d ξ

ξ τ ξ τ −

ξ τ

, 2, )d d . τ ξ τ ξ

g( , )G (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

(3.3.8)

1+→ trong (3.3.8), ta coù

+∞

exp

−

∫ ∫

)

(x 4(t

)

1 2 (t π − τ

) − ξ − τ

1 ) 2 (t π − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣

⎤ u ( ,1, )d d τ ξ τ ⎥ ⎦

+∞

f (x, t)

exp

f ( , )d d

= −

−

ξ τ ξ τ −

∫ ∫

1 2 π

1 ) − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

exp

g( , ) ξ τ

−

d d ξ τ

Cho y

∫ ∫

1 2 π

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

− τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

(x, y, t,

, , ) ξ η τ = Γ

, , ) ξ η τ − Γ

(x, y, t, −

. (3.3.9)

, , ) ξ η τ .

Ta ñaët N(x, y, t,

Tích phaân ñaúng thöùc

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

(uN)

∇ − ∇ −

∂ ∂τ

div(N u u N)

→ ∞ ε → , ta nhaän ñöôïc

+∞

N(x, y, t,

,1, )u ( ,1, )d d ξ ξ

τ ξ τ −

ξ τ

,1, )d d τ ξ τ ξ

f ( , )N (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

+∞

u(x, y, t)

ξ τ

,0, )d d ξ

τ ξ τ −

treân mieàn (-n, n) x (0,1) x (0, t - ε ) vaø cho n

v( , )N (x, y, t, η

∫ ∫

−∞

1−→ , ñaúng thöùc (3.3.10) trôû thaønh

. (3.3.10)

+∞

exp

−

u ( ,1, )d d τ ξ τ

∫ ∫

(x 4(t

)

1 2 π

1 − τ

) − ξ − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

+∞

exp

−

f ( , ) ξ τ

−

d d ξ τ

∫ ∫

)

1 2 π

1 − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

exp

v( , )d d

3f (x, t)

−

ξ τ ξ τ −

Cho y

∫ ∫

1 2 π

2 ) − ξ + 4(t ) − τ

− τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

. (3.3.11)

+∞

exp

−

f ( , )d d ξ τ ξ τ

∫ ∫

)

1 π

1 − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

exp

g( , ) ξ τ

−

d d ξ τ

∫ ∫

1 2 π

1 ) − τ

2 ) − ξ + 4(t ) − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

exp

v( , )d d

4f (x, t)

−

ξ τ ξ τ −

∫ ∫

1 2 π

1 ) − τ

2 ) − ξ + ) 4(t − τ

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Töø (3.3.9) vaø (3.3.11), chuùng ta nhaän ñöôïc phöông trình tích chaäp

2R f (x, t) S g(x, t) 4f (x, t)

∗

− ∗

∗

coù theå vieát laïi laø

f (x, t)

g(x, t)

= khi t<0,

S v(x, t) (3.3.12)

exp

−

R(x, t)

1 2 t

⎛ ⎜ ⎝

⎞+ 4 ⎟ 4t ⎠

) +∞ ,0]

(x, t) R x (0, ∈ (x, t) R x ( ∈

−∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

trong ñoù chuùng ta ñònh nghóa raèng v(x, t)

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

exp

−

S(x, t)

vaø

1 2 t

⎛ ⎜ ⎝

⎞+ 1 ⎟ 4t ⎠

) +∞ ,0]

(x, t) R x (0, ∈ (x, t) R x ( ∈

−∞

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩

2R f (x, t) S g(x, t) 4f (x, t)

− ∗

∗

Ñaët

F(x, t) .

(cid:3)

(cid:3) S(z, r)v(z, r) F(z, r)

Laáy bieán ñoåi Fourier cuûa (3.3.12), ta ñöôïc

+∞ +∞

−

i(xz tr ) +

(cid:3) S(z, r)

S(z, r)e

dxdt

1 π ∫ ∫ 2

−∞ −∞

−

2 r + +

1 2

cos

i sgn(r)sin

−

1 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

trong ñoù

−

2 r + +

1 2

(cid:3) S(z, r)

vaø

Ta coù keát quaû sau:

3 / − γ

(0, 2)

γ ∈

(0,e

)

Ñònh lyù 3.3.1

ε ∈

2 L (R )

vaø . Cho

∈

2 L (R )

2 2 f ,g L (R )

laø nghieäm duy nhaát cuûa (3.3.12) töông öùng döõ lieäu chính Giaû söû

∈

f−

≤ ε vaø

∈

f ,g 0

0 2

xaùc vaø laø döõ lieäu ño ñaïc thoûa maõn

2 L (R ) .

g g−

≤ ε trong ñoù

0 2

2 L (R )

laø chuaån trong

ε ∈

−α

−

≤

+ η ε ( ) α

0 2

( )

sao cho Khi ñoù chuùng ta coù theå xaây döïng töø g, f moät haøm

ε ↓ . 0

αη ε → khi

trong ñoù C laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε vaø

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

> vaø

∈

0v H (R ) L (R ), m 0 ∩

−

Hôn nöõa neáu ta giaû söû theâm

< ε <

{ min e

}

−

0 2

⎛ D ln ⎜ ⎝

⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

thì

trong ñoù D laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

+∞

v (x, t)

Trong caû hai tröôøng hôïp treân, vε ñöôïc bieåu dieãn thaønh

C ( )T(m, a )(x)T(n, a )(t) ε

∑ ∑

m n

=−∞ ≤

(3.3.13)

trong ñoù a ε ñöôïc xaùc ñònh trong (3.3.14) vaø (3.3.16), mnC ( )ε ñöôïc xaùc ñònh trong

sin

(z pd) / d

]

T(p,d)(z)

, p Z,d ∈

(3.3.15).

[ π − (z pd) / d π −

Chöùng minh

2R f (x, t) S g(x, t) 4f (x, t)

− ∗

∗

Ta ñaët

F(x, t)

2R f (x, t) S g (x, t) 4f (x, t)

− ∗

∗

F (x, t) 0

vaø

F F −

(cid:3) (cid:108) F F − 0

0 2

(4 2 R ) f

S g g

≤

−

≤

(4 2 R +

ε .

S ) 1

thì

i(xz tr ) +

v (x, t)

dzdr

(cid:3) 1 F(z, r) π ∫ (cid:3) 2

S(z, r)

Ñaët

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

(z, r) / z

≤

{D =

}2 bε≤

4 α ε

2 1 +

trong ñoù vaø vôùi .

Ta coù

∫

2 R \D

−α

(cid:3) v (z, r) dzdr

≤ ε

(4 2 R +

(cid:3) (cid:3) F(z, r) F (z, r) − v v dzdr (cid:3) v (z, r) dzdr − = = + (cid:108) (cid:108) v v − 0 ε (cid:3) S(z, r)

S ) 1

+ ∫

2 R \D

(cid:3) v (z, r) dzdr

( )

0 ε ↓ .

αη ε → khi

αη ε = ∫ ( )

2 R \D

Neáu ñaët thì

2 ε

4 ⎛ ⎜ α ε⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

) 2 1 +

Neáu ñaët (3.3.14)

⊂

thì

[ ⊂ −

]

[ × −

]

(cid:108) supp v ε

a ,a ε

+∞

v (x, t)

C ( )T(m, a )(x)T(n, a )(t) ε

∑ ∑

m n

=−∞ ≤

+ (mz nr)

π a

ε =

C ( ) v

dzdr

Vì theá, theo [13], trang 121, ta coù

∫

π π m n , a a

1 π 2

(cid:3) F(z, r) (cid:3) S(z, r)

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

∈

. (3.3.15) trong ñoù

> , ñaët

0v H (R ), m 0

Baây giôø, ta giaû söû

1/ ε m ln (1/ ) ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2 1 +

× −

, (3.3.16)

[ a ,a ] ε ε

Q [ a ,a ] = − ε

i(xz tr ) +

v (x, t)

dzdr

vaø

(cid:3) 1 F(z, r) π ∫ (cid:3) 2

S(z, r)

Ta coù

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

(cid:3) F(z, r) F (z, r) −

(cid:108) 0

dzdr

−

(cid:108) v (z, r) dzdr 0

∫

2 R \Q

(cid:3) S(z, r)

(

2 1a +

4 2 R

dzdr

(

)

∫

1 ≤ ε 4

2 R \Q

+ (

) (cid:108) v (z, r) ) r +

2 1a ε+

≤

C 1

1 m2 ) ε

(

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

m / 2

4 2 R

, 2

v (z, r)

C max =

trong ñoù

)

(

) (cid:108)

1 4

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

−

≤

C 1

1/ ε ( m 1/

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ε ) ⎠

1/ ε ( m 1/

)

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

≤

C 1

1 ( 1/

)

1/ ε ( m 1/

)

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

≤

C 1

2 2m

1 ( 1/

)

( 1/

)

1 ( 1/

)

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

2m C (1 2 ) +

Ñieàu naøy daãn ñeán

trong ñoù .

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

*Baây giôø chuùng ta cho moät ví duï veà tính toaùn soá

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Ta giôùi thieäu moät vaøi keát quaû so saùnh giöõa nghieäm chænh hoùa cho bôûi

coâng thöùc (3.3.13)-(3.3.16) vaø nghieäm chính xaùc.

Tröôøng hôïp 1: (hình 1 vaø hình 2)

u ∆ −

Xeùt baøi toaùn

u ∂ t ∂

1 −

−

2x 4t

u(x,1, t)

, (x, y) R (0, 2) ∈ × , t

1 t

−

2x − 4t

u(x, 2, t)

;

1 t

u(x, y, 0) 0=

;

v(x, t)

u(x, 0, t)

trong ñoù haøm soá caàn tìm laø

2x − 4t

v(x, t)

Nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn laø

1 t

−

(cid:3) F 4 =

Nghieäm chænh hoùa cho bôûi coâng thöùc (3.3.13) trong ñoù

=(cid:3) S 2e−

vaø

(cid:3) (cid:3) F F−

= ε .

ε =

Khi ñoù ta coù

1 50

v (x, t)

[0.25,1.3] [0, 4]

∈

, N 50= ( kích thöôùc cuûa chuoãi cho bôûi coâng thöùc (3.3.13)- Vôùi

ε(cid:54)

(cid:54)

v(x, t)

ta coù ñoà thò (x, t) trong hình 1. (3.3.16)) vaø vôùi (x, t)

Ta coù ñoà thò (x, t) trong hình 2.

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Tröôøng hôïp 2: (hình 3 vaø hình 4)

(cid:54)

(x, t)

v (x, t)

∈

[0,1] [0, 4] ×

Söû duïng phöông phaùp töông töï nhö treân ta coù ñoà thò

u ∆ −

trong hình 3, laø nghieäm chænh hoùa cuûa baøi toaùn

u ∂ t ∂

u(x,1, t) 0= ,

−

2x − 4t

u(x, 2, t)

, (x, y) R (0, 2) ∈ × , t

1 t

u(x, 0, t)

u(x, y, 0) 0=

. trong ñoù haøm soá caàn tìm laø v(x, t)

−

2x − 4t

v(x, t)

= −

1 t

Ñoà thò nghieäm chính xaùc

ñöôïc veõ trong hình 4.

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Hình 1

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Hình 2

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Hình 3

Chöông 3: Moät soá baøi toaùn nhieät ngöôïc trong loã khoan thaêm doø

Hình 4

approximate solution

100

−20 4

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

approximate solution

0.6

0.4

0.2

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1 4

0.8

0.6

0.4

0.2

exact solution

0 5

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

exact solution

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2

−0.25

−0.3

−0.35

−0.4 5

0.8

0.6

0.4

0.2

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

Chöông 4

BAØI TOAÙN XAÙC ÑÒNH NGUOÀN NHIEÄT :

TÍNH DUY NHAÁT, CHÆNH HOÙA VAØ ÑAÙNH GIAÙ SAI SOÁ

Chöông 4 ñaõ coâng boá trong [4] (cuûa danh muïc coâng trình coâng boá cuûa taùc giaû).

4.1 MÔÛ ÑAÀU

Goïi M laø moät vaät daãn nhieät coù heä soá daãn nhieät laø haèng, giaû söû baèng 1, vaø coù

bieân coâ laäp. Trong chöông naøy, chuùng ta xeùt baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät phía

trong cuûa M töø nhieät ñoä cho tröôùc treân M∂ vaø phaân boá nhieät ñoä trong M ôû thôøi

ñieåm t = 0 vaø t = 1. Noùi caùch khaùc baøi toaùn coù döõ lieäu Cauchy treân moät phaàn cuûa

bieân. Baøi toaùn ñöôïc nghieân cöùu gaàn ñaây trong ba thaäp kyû (chaúng haïn [28, 52, 53,

64, 75, 81]). Vôùi u laø nhieät ñoä trong M vaø F F(x, t, u) laø nguoàn nhieät, ta coù

u F(x, t, u)

−

+ ∆ =

phöông trình

u ∂ t ∂

Baøi toaùn laø khoâng chænh. Thöïc teá, vì nhöõng sai soá do ño ñaïc, baøi toaùn xaùc ñònh

nguoàn nhieät thöôøng khoù khaên (xem [16]). Döõ lieäu ño ñaïc thöôøng laø keát quaû cuûa

ño ñaïc thöïc nghieäm rôøi raïc vaø dó nhieân laø coù sai soá. Do ñoù moät nghieäm töông öùng

vôùi döõ lieäu ñoù khoâng luoân toàn taïi vaø hôn nöõa neáu toàn taïi thì khoâng phuï thuoäc lieân

tuïc theo döõ lieäu. Vì theá ta phaûi söû duïng moät pheùp chænh hoùa.

Ñeå ñôn giaûn baøi toaùn, nhieàu giaû thieát tröôùc ñaây cho daïng cuûa nguoàn nhieät.

(u)

Noùi chung, ta coù theå xaáp xæ haøm F(x, t, u) bôûi moät haøm coù daïng

(t)f (x) n

∑

n 0 =

(cid:17)

(u)

(t)

...

+ ϕ

Soá haïng thöù nhaát cuûa daïng treân coù theå vieát laø

f (x) 0

+ ϕ 1

(t)f (x) 1

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

F(x, t, u)

g (x, t)

Trong [52, 53], taùc giaû xeùt haøm F coù daïng

f (x)g (t) 1

f (x)g (t) 2

f ,f chöa bieát. Trong [64],

F(x, t, u)

f (u)

r(x, t)

trong ñoù 1

trong ñoù f chöa bieát (xem [55]) vôùi daïng töông töï cuûa nguoàn nhieät. Trong [50,51]

F(x, t, u)

(t, x)f (x)

= σ

coù toång quan moät soá keát quaû oån ñònh vôùi

trong ñoù σ laø haøm bieát chính xaùc. Moät soá phaân tích söï khaùc bieät cuûa chöông naøy

vôùi taøi lieäu [50, 51] ñaõ ñöôïc thöïc hieän ôû lôøi noùi ñaàu cuûa luaän aùn.

F(x, t, u)

(t)f (x)

= σ

,fσ chöa bieát, haøm coøn laïi bieát chính xaùc (khoâng coù

Trong [20, 21, 40, 75, 82], ta coù daïng tích

trong ñoù moät trong hai haøm

nhieãu).

(t)f (x, y)

Ñeå ñôn giaûn chuùng ta xeùt moâ hình trong ñoù nguoàn nhieät coù daïng

trong ñoù f laø haøm chöa bieát. Nhö chuùng ta seõ thaáy, vôùi giaû thieát trôn

(0,1)

khaù ít, baøi toaùn coù duy nhaát nghieäm, maëc duø vaäy baøi toaùn vaãn khoâng chænh.

Chuùng ta giaû söû raèng M (0,1) .

(t)f (x, y), (x, y, t) M (0,1)

u + ∆ = ϕ

∈ ×

−

Tìm u vaø f thoûa phöông trình sau

u ∂ t ∂

(4.1.1)

u (0, y, t)

u (1, y, t)

0 = ,

vaø caùc ñieàu kieän caùch nhieät

u (x,0, t)

u (x,1, t)

0 = ,

(4.1.2)

(4.1.3)

u(1, y, t)

ñieàu kieän nhieät ñoä bieân theo thôøi gian

(4.1.4)

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

u(x,1, t)

0= ,

(4.1.5)

u(x, y,0)

0= ,

ñieàu kieän ban ñaàu

(4.1.6)

u(x, y,1)

g(x, y)

vaø ñieàu kieän theâm

∈ ×

, (4.1.7)

,gϕ laø hai haøm cho tröôùc.

, trong ñoù vôùi moïi (x, y, t) M (0,1)

Trong (4.1.4)-(4.1.6), ñeå ñôn giaûn ta giaû söû u(1, y, t), u(x,1, t), u(x, y,0) baèng

khoâng. Trong thöïc teá, phöông phaùp trong chöông naøy coù theå aùp duïng cho baøi

toaùn vôùi nhöõng döõ lieäu khaùc khoâng. Tuy nhieân, ñeå tính toaùn ñôn giaûn vaø laøm roõ

raøng yù chính cuûa phöông phaùp, ta chæ xem ñieàu kieän ñôn giaûn nhö treân.

Baøi toaùn vôùi moät soá ñieàu kieän thích hôïp töông ñöông vieäc tìm haøm f thoûa

K f (x, y)

g(x, y)

= −

phöông trình tích phaân Voltera loaïi 1(xem [32])

1 1 1

K f (x, y)

N(x, y,1,

, ) ( )f ( ,

, ξ η τ ϕ τ

)d d d ξ η ξ η τ

∫ ∫ ∫

0 0 0

) − η

N(x, y, t,

exp

, , ) ξ η τ =

−

2 ) − ξ + 4(t

2 ) + ξ + 4(t

(y ) − τ

)

1 (t π − τ

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

trong ñoù

Ta chuù yù raèng söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn khoâng ñöôïc xem xeùt trong

g(x, y)

= −

L (0,1) L (M) ×

chöông naøy. Taäp hôïp cuûa caëp ( ,g)ϕ sao cho (4.1.1)-(4.1.7) voâ nghieäm thì truø maät

2 f L (M)

2L (0,1)

∈

ϕ ∈

. Thaät vaäy, töø phöông trình K f (x, y) ta coù theå chæ trong

ϕ laø nhöõng döõ lieäu ño ñaïc vaø do ñoù g thöôøng khoâng trôn. Vôùi nhöõng döõ lieäu ño

vaø ø. Maëc duø vaäy, trong thöïc teá, g vaø ra raèng g laø trôn neáu

ñaïc, (4.1.1)-(4.1.7) thöôøng khoâng coù nghieäm vaø do ñoù chuùng ta seõ phaûi söû duïng

)ϕ (coù theå chöa bieát) laø döõ lieäu chính

(g , 0

moät pheùp chænh hoùa. Neáu ta kyù hieäu

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

(u ,f ) cuûa (4.1.1)-(4.1.7) thì töø döõ lieäu ño ñaïc

(g,

)ϕ xaáp xæ vôùi

)ϕ , ta seõ xaây döïng nghieäm chænh hoùa cuûa (4.1.1)-(4.1.7).

(g , 0

xaùc töông öùng nghieäm chính xaùc

ϕ = − ôû treân, toaùn töû tích phaân K ϕ phuï thuoäc

Nhö ñaõ noùi trong phöông trình K f

vaøo döõ lieäu ño ñaïc ϕ , ñieàu naøy daãn tôùi K ϕ cuõng khoâng chính xaùc. Do ñoù, baøi

toaùn phi tuyeán vaø noù taïo ra khoù khaên trong vieäc nhaän ñöôïc ñaùnh giaù sai soá cuûa

phöông phaùp chænh hoùa. Trong tröôøng hôïp cuûa baøi toaùn moät chieàu, phöông trình

tích phaân tuyeán tính ñöôïc chænh hoùa khaù nhieàu trong vaøi thaäp kyû gaàn ñaây (xem

[9, 15, 40, 78, 28]), tuy nhieân tröôøng hôïp hai chieàu ít ñöôïc xem xeùt. Trong

chöông naøy, chuùng ta seõ bieán ñoåi (4.1.1)-(4.1.7) veà baøi toaùn tìm f töø bieán ñoåi

)ϕ (xem boå ñeà 4.2.1). Giaû söû sai soá

)ϕ vaø döõ lieäu ño ñaïc (g,

)ϕ coù baäc

ε > , ta seõ söû

Fourier cuûa noù tính töø döõ lieäu cho tröôùc (g,

(g , 0

giöõa döõ lieäu chính xaùc

duïng phöông phaùp chaët cuït caùc taàn soá kyø dò cuûa tích phaân ñeå xaây döïng (töø döõ

)ϕ ) moät nghieäm chænh hoùa fε . Hôn nöõa, sai soá giöõa fε vaø nghieäm

lieäu ño ñaïc (g,

0ϕ vaø tính trôn cuûa 0f ) seõ ñöôïc ñöa ra

chính xaùc 0f phuï thuoäc vaøo tính chaát cuûa

moät caùch töôøng minh. Phaàn coøn laïi cuûa chöông naøy seõ ñöôïc chia thaønh hai muïc

4.2 vaø 4.3. Trong muïc 4.2, chuùng toâi trình baøy tính duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn

(4.1.1)-(4.1.7). Trong muïc 4.3, chuùng toâi tìm nghieäm chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai

soá.

(0,1)

2 g L (M)

∈

4.2 TÍNH DUY NHAÁT NGHIEÄM

2L (0,1)

ϕ ∈

Chuùng ta nhaéc laïi raèng M (0,1) . Töø ñaây, chuùng ta giaû söû

1 H (M)

< ψ > − <

ψ > − <

f , ψ >= ϕ < ψ >∀ψ ∈

−

. Töø (4.1.1)-(4.1.7) ta coù (u,f ) thoûa vaø

u , x

u , y

d dt

(4.2.1)

(4.1.2)-(4.1.7) (4.2.2) vaø

,< > laø tích voâ höôùng trong

2L (M) .

trong ñoù

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

Töø (4.2.1)-(4.2.2), ñaàu tieân ta coù boå ñeà sau

u C ([0,1];L (M)) C([0,1];H (M)),f L (M)

Boå ñeà 4.2.1

∩

∈

1 1

2 α +β

g(x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

0 0

1 1

(

2 α +β

(t)dt

−

f (x, y) cos x cos ydxdy α

, ∀α β ∈

Neáu thoûa (4.2.1), (4.2.2) thì

∫

∫ ∫

0 0

, (4.2.3)

trong ñoù C laø tröôøng soá phöùc.

(x, y)

cos x cos y

Chöùng minh

β , ta coù

1 1

u(x, y, t) cos x cos ydxdy α

+ α

u (x, y, t)sin x cos ydxdy α

−

∫ ∫

d dt

0 0

1 1

(t)

+β

u (x, y, t) cos x sin ydxdy α

= ϕ

f (x, y) cos x cos ydxdy α

Choïn

∫ ∫

0 0

0= , ta nhaän ñöôïc

. (4.2.4)

1 1

u (x, y, t)sin x cos ydxdy α

= −α

u(x, y, t) cos x cos ydxdy α

Töø u(1, y, t)

∫ ∫

0 0

. (4.2.5)

1 1

u (x, y, t) cos x sin ydxdy α

= −β

u(x, y, t) cos x cos ydxdy α

Töông töï

∫ ∫

0 0

. (4.2.6)

1 1

u(x, y, t)cos x cos ydxdy (

)

2 − α + β

u(x, y, t) cos x cos ydxdy α

−

∫ ∫

d dt

0 0

1 1

(t)

= ϕ

f (x, y) cos x cos ydxdy α

Töø (4.2.4)-(4.2.6), ta coù

∫ ∫

0 0

. (4.2.7)

Xeùt

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

1 1

(

2 α +β

u(x, y, t) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

d dt

0 0

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1 1

(

2 α +β

(t)e

= −ϕ

f (x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

0 0

. (4.2.8)

1 1

(

2 α +β

(t)e

g(x, y) cos x cos ydxdy α

f (x, y) cos x cos ydxdy α

Laáy tích phaân hai veá (4.2.8) treân [0,1], ta suy ra

∫ ∫

1 ∫ = − ϕ 0

0 0

Boå ñeà 4.2.1 ñaõ ñöôïc chöùng minh. (cid:132)

Baây giôø, chuùng ta coù keát quaû veà duy nhaát

L (M)

∈

C ([0,1]; L (M)) C([0,1]; H (M)) ∩

∈

Ñònh lyù 4.2.1

u , u 1

f ,f 1

u ,f thoûa (4.2.1), (4.2.2) (i = 1, 2) vaø

vaø . Cho

0ϕ ≠ , thì

Neáu

(u ,f ) 1 1

(u ,f ) 2 2

−

Chöùng minh

= − , thì v vaø f thoûa (4.2.1) vaø (4.2.2) ñaëc bieät laø

f 1

v(x, y,1)

0= .

Ñaët vaø

(4.2.9)

(x, y)

(0,1)

∈

× ( 1,0)

(x, y)

( 1,0)

∈ −

× −

(cid:4) f (x, y)

1 4

(x, y) (x, y)

( 1,0) (0,1)

∈ − ∈

(0,1) × ( 1,0) × −

(x, y)

( 1,1)

∉ −

× −

f (x, y) ⎧ ⎪ − − f ( x, y) ⎪⎪ f ( x, y) − ⎨ ⎪ f (x, y) − ⎪ ⎪⎩

Ñaët

i(x

−

y ) α+ β

(cid:3)(cid:4) f ( , )

(cid:4) f (x, y)e

dxdy

α β =

1 π ∫ 2

Khi ñoù

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

1 1

f (x, y) cos x cos ydxdy α

1 π ∫ ∫ 2

0 0

. (4.2.10)

(

2 α +β

α β =

Töø (4.2.3), (4.2.9) vaø (4.2.10) ta coù

∫

⎡ ⎢ ⎣

⎤ (cid:3)(cid:4) (t)dt f ( , ) ⎥ ⎦

. (4.2.11)

∞

2 n )

(

) t

2 α +β

h( , )

(t)dt

n (t)t dt

α β ≡

Ñaët

∑

∫

2 α + β n!

n 0 =

0≡ , duøng ñònh lyù Weierstrass, ta coù

Neáu h 0ϕ ≡ (voâ lyù), do ñoù h 0≠ , cho

α β > vôùi moïi ( , )α β thuoäc quaû caàu

, ∃ α β ∈ × vaø r ) C C ( 0> sao cho h( , ) neân

), r) ( ) , B B(( ≡ taâm α β baùn kính r. môû , α β 0

(cid:3)(cid:4) f ( , )

Suy ra

(cid:3)(cid:4) laø haøm giaûi tích, neân

0 ( , ) B. α β = ∀ α β ∈

(cid:3)(cid:4) f ( , )

Ñoàng thôøi f

0 ( , ) C C α β = ∀ α β ∈ × .

0=(cid:4) haàu khaép nôi treân R R× . Suy ra f

Ñieàu naøy daãn tôùi f 0= haàu khaép nôi treân M.

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. (cid:132)

4.3 TÌM NGHIEÄM CHÆNH HOÙA VAØ ÑAÙNH GIAÙ SAI SOÁ

Trong phaàn naøy, ta xeùt baøi toaùn chænh hoùa trong hai tröôøng hôïp. Tröôøng hôïp

2C +λ cuûa tröôøng

ϕ ≥ (t) C thöù nhaát laø > . Baøi toaùn oån ñònh trong khoâng gian

hôïp toång quaùt hôn tröôøng hôïp naøy ñaõ ñöôïc khaûo saùt trong [50, 51]. Tröôøng hôïp

0ϕ coù theå baèng khoâng taïi moät soá voâ haïn ñieåm, do ñoù khoâng naèm trong

thöù hai,

khuoân khoå ñaõ ñöôïc toång keát bôûi Isakov.

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

Tröôùc khi phaùt bieåu vaø chöùng minh hai ñònh lyù veà chænh hoùa, chuùng ta phaùt

bieåu vaø chöùng minh hai boå ñeà

Boå ñeà 4.3.1 :

{ ( , ) / = α β α + β ≤

}

r Ñaët vôùi r . 2>

∈

2 0f H (M)

512 2 f

1 r −

Neáu thì

α β ≤

f (x, y) cos x cos ydxdy d d 0

0 H (M) 2

∫

2 R \D

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

∞

trong

Töø tính truø maät cuûa C (M)

2H (M) , chuùng ta chæ xeùt tröôøng hôïp

C (M)

∞∈

Ta coù

1 1

f (x, y) cos x cos ydydx α 0

∫ ∫

0 0

x 1 =

1 1

(x, y)

cos ydxdy

cos ydy β

−

f (x, y) 0

∫

∫ ∫

f ∂ 0 x ∂

sin x α α

⎡ ⎢ ⎣

sin x α ⎤ ⎥α ⎦

x 0 =

0 0

1 1

(x, y)

cos ydxdy

= −

cos ydy β

f (1, y) 0

∫ ∫

∫

f ∂ 0 x ∂

sin x α α

sin α

0 0

y 1 =

1 1

sin y sin x

(x, y)

dxdy

(x, y)

∫ ∫

f ∂ 0 x y ∂ ∂

β β

α α

f ∂ 0 x ∂

sin y β β

sin x α α

0 0

⎡ ∫ − ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

y 0 =

y 1 =

(1, y)

−

f (1, y) 0

∫

f ∂ 0 y ∂

sin y sin β α β

sin y β β

sin α

⎡ + ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

y 0 =

1 1

sin y sin x

sin sin x

(x, y)

dxdy

(x,1)

−

∫ ∫

∫

f ∂ 0 x y ∂ ∂

β β

α α

f ∂ 0 x ∂

α α

0 0

(1, y)

−

dy f (1,1) 0

∫

f ∂ 0 y ∂

sin y sin β α β

sin sin β α

Chöùng minh

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

Ta coù

1 1

sin y sin x

(x, y)

dxdy

≤

k( )k( ) β α

∫ ∫

β β

α α

f ∂ 0 x y ∂ ∂

0 0

L (M)

θ ≤

trong ñoù

k( )

θ >

⎧ 1 ⎪ θ = ⎨ 1 ⎪ θ⎩

Ta coù

1 1

∫ ∫

0 0

1 1

(x, y) x

(x, y) xy

f (x, y) y 0

∫ ∫

f ∂ 0 y ∂

f ∂ 0 x ∂

f ∂ 0 x y ∂ ∂

0 0

⎛ ⎜ ⎝

⎞ (x, y) dxdy ⎟ ⎠

Suy ra

≤

k( )k( ) α β

f (1,1) 0

0 L (M) 2

sin sin β α

f ∂ 0 y ∂

f ∂ 0 x ∂

f ∂ 0 x y ∂ ∂

L (M)

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Ñoàng thôøi, ta coù

sin sin x

(x,1)

≤

∫

f ∂ 0 x ∂

α α

1 1

)k( ) ≤ α β

∫ ∫

∂ y ∂

f ∂⎛ 0 y ⎜ x ∂⎝

⎞ (x, y) dy dx ⎟ ⎠

0 0

)k( ) ≤ α β

f ∂ 0 x ∂

f ∂ 0 x y ∂ ∂

L (M)

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Töông töï

(1, y)

)k( ) ≤ α β

∫

f ∂ 0 y ∂

sin y sin β α β

f ∂ 0 y ∂

f ∂ 0 x y ∂ ∂

L (M)

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Vaäy

≤

4k( )k( ) f α β

f (x, y) cos x cos ydxdy α 0

0 H (M) 2

∫

Vì theá

∂ dxdy = f (1,1) 0 (xyf ) 0 x y ∂ ∂

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

α β ≤

f (x, y) cos x cos ydxdy d d 0

∫

2 R \D

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(k(

16 f

)) (k( )) d d β

α β +

)) (k( )) d d β

α β

≤

0 H (M) 2

∫

α ≥

β ≥

α ≤

β ≥

r 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

32 f

≤

(cid:92)

H (M)

2 L (

)

1 β∫ 2

β ≥

r 2

512 2 f

≤

0 H (M) 2

1 r

(cid:132) Boå ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh.

L (0,1),g

L (M)

(0,1)

∈

Ñònh lyù 4.3.1

(u ,f ) laø nghieäm chính

ε ∈

ϕ ∈ 0

(

Cho , vaø goïi

,g ) 0

. xaùc cuûa (4.1.1)-(4.1.7) töông öùng döõ lieäu chính xaùc

,gϕ laø döõ lieäu do ño ñaïc,

Goïi

ϕ − ϕ

< ε ,

g g−

< ε

0 L (0,1) 2

0 L (M) 2

(4.3.1)

(t) C >

, haàu khaép nôi treân (0,1) . vaø

2 / 9

)

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa fε sao cho

≤

( ) + η ε

ε −

L (M)

e 4 C π

4 0

( )

η ε → khi 0

ε → .

(4.3.2)

∈

trong ñoù

2 0f H (M)

1D haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε sao

thì toàn taïi Neáu giaû söû theâm

1/ 9

2 ) D f

cho

2 ≤ ε

ε −

L (M)

2H ( M )

e 4 C π

4 0

Chöùng minh

Choïn

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

ε = α β α + β ≤

{ ( , ) /

}

vaø .

1 1

g (x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

2 α +β

0 0

α β = −

Töø (4.2.3) vaø (4.2.10), ta coù

(cid:108) (cid:4) f ( , ) 0

(

2 α +β

(t)dt

∫

. (4.3.3)

)

αξ+βζ

ξ ζ =

d d α β

(cid:4) f ( , ) 0

(cid:108) (cid:4) f ( , ).e α β 0

1 π ∫ 2

1 1

g (x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

)

2 α +β

αξ+βζ

0 0

= −

d d α β

Suy ra

∫

1 4 π

(

2 α +β

(t)dt

∫

. (4.3.4)

1 1

g(x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

)

2 α +β

αξ+βζ

0 0

ξ ζ ≡ −

d d α β

Ñaët

(cid:4) f ( , ) ε

∫

1 4 π

(

2 α +β

(t)dt

∫

(4.3.5)

1 1

g(x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

2 α +β

0 0

,( , ) D α β ∈

(

2 α +β

ˆ (cid:4) f ( , ) ε

(t)dt

∫

0 0

,( , ) D α β ∉

⎧ ⎪ ⎪− ⎪ α β = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

suy ra

2 L (R ) .

laø chuaån trong Ta kyù hieäu

α β −

α β

α β +

α β

−

Ta coù

(cid:108) (cid:4) f ( , ) d d 0

(cid:4) f 0

(cid:108) (cid:4) f ( , ) ε

(cid:4) f ε

(cid:108) (cid:108) (cid:4) (cid:4) f f − 0 ε

∫

2 R \D

α β ∈ , ta coù

. (4.3.6)

Vôùi ( , ) Dε

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

α β =

(cid:108) (cid:4) f ( , ) 0

(cid:108) (cid:4) f ( , ) ε α β −

1 1

g(x, y) cos x cos ydxdy α

g (x, y) cos x cos ydxdy α

2 α +β

∫ ∫

0 0

−

(

2 α +β

(t)dt

∫

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 1

−

[

] g (x, y) g(x, y) cos x cos ydxdy

2 α +β

∫ ∫

0 0

(

2 α +β

(t)dt

∫

⎡ ⎢ ⎢ ⎢π ⎢ ⎢⎣

1 1

−

g(x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

(

2 α +β

0 0

(t)dt

∫

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎟ ⎥ ⎠⎦

(

) t

2 α +β

(t))dt

( (t) ϕ − ϕ

2 α +β

∫

g g −

(

)

≤

α + β +

L (M)

0 L (M) 2 2 2 α +β 1) −

(

2 α +β

C (e 0

(t)dt

∫

∫ (t)dt e

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

)

2 α +β

⎡ ⎣

⎤− ε 1 ⎦

)

1 2 α + β

(

)

≤

α + β +

L (M)

ε 2 α +β

2 α +β

−

C (e 0

−

2 C (e 0

(

2 2 )

1 2 α + β

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

)

2 − α +β

(

2 3 )

2 ( ε α + β

≤

L (M)

(

)

) 2 − α +β

1 e − 2 ( − α +β

)

) 2 )

−

2 α + β 2 2C (1 e 0

⎡ 1 ⎢ 2 C (1 e π ⎢ ⎣ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

≡ α + β ≤

≤

, u 1 ∀ ≥

−

, söû duïng caùc baát ñaúng thöùc Vì r > 1, vôùi

e ≤ ≤

, u [0,1) ∀ ∈

−

u ⎧ ⎪⎪ − 1 e ⎨ u ⎪ ⎪ −⎩ 1 e

ta coù

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

2 ( ε α + β

≤

(

)

) 2 − α +β

er ε C

3 32 e r C

C (1 e

)

−

)

2 − α +β

3 32 e r

(

2 α + β

1 e −

ε ≤

vaø

L (M)

L (M) C

(

)

2 − α +β

2 0

2 C 2 0

2 3 ) ( 1 e −

)

α β −

α β

α β ≤

d d α β

(cid:108) (cid:4) f ( , ) d d 0

(cid:108) (cid:4) f ( , ) ε

L (M)

∫

⎡ ⎣

⎤ ⎦

2 3 6 e r ε 2 4 C π

4 0

≤

Neân

L (M)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

2 3 8 e r ε 4 4 C π 0

. (4.3.7)

( )

α β

( ) η ε ≡

Ñaët

η ε → khi

ε → .

(cid:108) (cid:4) f ( , ) d d 0

∫

2 R \D

, thì (4.3.8)

2 / 9

−

≤

( ) + η ε

Töø (4.3.6)-(4.3.8), ta nhaän ñöôïc

(cid:4) f 0

(cid:4) f ε

L (M)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

e 4 C π

4 0

2 / 9

−

≤

( ) + η ε

nghóa laø

(cid:4) 4f ε

L (M)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

e 4 C π

4 0

= (cid:4) , ta nhaän ñöôïc baát ñaúng thöùc (4.3.2).

. (4.3.9)

Ñaët f

1 1

α β =

Ta coù

(cid:108) (cid:4) f ( , ) 0

f (x, y) cos x cos ydxdy α 0

1 π ∫ ∫ 2

0 0

2 / 9

∈

( ) η ε ≤

2 0f H (M)

H (M)

128 2 2 π

Söû duïng boå ñeà 4.3.1, neáu , ta coù , suy ra

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

1/ 9

−

2 ≤ ε

L (M)

H (M)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

e 4 C π

128 2 2 π

4 0

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. (cid:132)

(s)ds

Ñònh lyù 4.3.2

v (t) 0

= ϕ∫

(0,1)

,1)

Ñaët .

∃δ ∈

0≠ treân (1

− δ

0v khoâng ñoåi daáu vaø

0, a

L (0,1), g

L (M)

sao cho . Giaû söû

(u ,f ) laø nghieäm

ε >

∈

ϕ ∈ 0

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Cho vaø goïi

chính xaùc.

,gϕ thoûa

g g−

< ε vaø

ϕ − ϕ

< ε .

0 L (M) 2

0 L (0,1) 2

1/ 2b

e−

0, min a,

< ε <

Giaû söû döõ lieäu do ño ñaïc laø

∈

1 2a − 2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

0> ,

γ > ñoäc laäp vôùi ε vaø moät haøm b

η ε , b ( )

Ta coù vôùi moãi vaø neáu , thì toàn taïi nghieäm

η ε = sao cho 0

lim ( ) b ε↓

( )

≤

γ ε + η ε . b

ε −

L (M)

chænh hoùa fε , caùc haèng soá

∈

0f H (M)

2D laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε

Neáu giaû söû theâm , thì toàn taïi

1/ 2

−

sao cho

b ln

−

≤

γ ε +

D f 2

L (M)

H (M)

1 ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

0ϕ thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñònh lyù khaù roäng

(1 t) (a

(t))

2L (0,1)

= −

(1 t) + − ψ

ψ ∈

Löu yù : Taäp hôïp nhöõng haøm

0≠ vaø

0 (t)

(0,1)

(s)ds

∃δ ∈

vôùi a vaø chaúng haïn nhö

v (t) 0

= ϕ∫

,1)

− δ

thì v0 thoûa maõn ñieàu kieän sao cho v0 khoâng ñoåi daáu

0≠ treân (1

vaø .

Ñeå chöùng minh ñònh lyù 4.3.2, ta chöùng minh boå ñeà sau ñaây

(s)ds

Boå ñeà 4.3.2

v (t) 0

≡ ϕ∫

(t)dt

( ) Φ µ ≡

Ñaët ,

∫

( , ) :

(

≡ α β Φ α + β

) R <

vaø vôùi R > 0.

{

}

(0,1)

,1)

δ ∈

− δ

0≠ treân (1

0v khoâng ñoåi daáu vaø

, R

(0,1)

∈

R R≤

Giaû söû toàn taïi sao cho ,

0> sao cho khi

m(B ) C R γ ≤

vaø ta coù thì toàn taïi

RB .

trong ñoù m(BR) laø ñoä ño Lebesgue cuûa

Chöùng minh

0 ( )Φ µ → +∞ khi µ → ±∞ .

Ta chöùng minh

Ta coù

t e v ' (t)dt 0

∫

e (t)dt v (t)e dt ( ) Φ µ = ϕ = − . v (0) 0 = ∫ − µ ∫

0t vaø

0 ε > 1

Do caùc giaû thieát treân v0, khoâng maát toång quaùt, giaû söû toàn taïi

sao cho

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

100

− δ <

− ε < 1

+ ε < , 1

v (t) 0

, t

t < ∀ ∈ − ε 1

] + ε . 1

vaø

≡

Ñaët

C 1

min ( v (t)) − [0,t

]

−ε 1

min ( v (t)) − −ε 1

+ε 1

, ,

+ε 1

−ε 1

v (t)e dt

( ) Φ µ = −

−

v (0) 0

∫

+ε 1

−ε 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ + − ⎢ ⎢ ⎣

+ε 1

−ε 1

t e dt C

t µ e dt

≥ −

v (0) 0

C 1

∫

−ε 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

) −ε µ 1

) +ε µ 1

) −ε µ 1

≥ −

−

v (0) 0

( C e 1

( ) 1 C e − +

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

−

) +ε µ 1

2 − ε µ 1

≥ −

−

ta coù

v (0) 0

( C 1 e

)

( C e 1

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

0 ( )Φ µ → +∞ khi µ → ±∞ .

Vaäy

0 ( )Φ µ coù höõu haïn khoâng ñieåm treân truïc thöïc, do ñoù ta coù theå vieát

( )

( ) Φ µ = Φ µ

) j

( µ − µ∏

j 1 =

j 1, p

∀ =

Suy ra

Φ µ ≠ vôùi moïi µ .

jm 1, 2,... =

1( )

1( )Φ µ → +∞ khi µ → ±∞ vaø

Φ µ ≠ vôùi moïi µ , toàn taïi

0> sao

, trong ñoù

1( )

1( )Φ µ → +∞ khi µ → ±∞ vaø

( ) C

Φ µ ≥

Töø

(

Φ α + β

) C ≥

2 α + β − µ

vôùi moïi µ . cho

∏

j 1 =

. Vaäy

...

≤ µ < µ <

< µ (vì neáu

0 µ < thì

α + β − µ ≥ µ ).

Khoâng maát toång quaùt, giaû söû

µ = töông töï ).

0 ... Ta xeùt < µ < µ < < µ (tröôøng hôïp

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

101

)

≡

µ − µ ,

s 1 +

≡ ∑ , m

d min ( 1 s p 1 ≤ ≤ −

s 1 =

2m 1

1/ 2m

M 2m − 1

M R min{C d ,

}

≡

Ñaët

δ ≡ s

1 2

µ⎛ 1 ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎠

R 1/ 2m (M 2m ) / 2m d − 3

1 s

≤ ≤ (chuù yù raèng

0 < µ − δ ). 1

vaø ,

µ + δ ≤ α + β ≤ µ − δ ,s=1, p 1− , ta coù s 1 +

s 1 +

(

Φ α + β

) C ≥

2 α + β − µ

≥

Neáu

m m δ δ s 1 + s 1 3 s +

∏

j 1 =

−

s 1

M M m m + −

(

)

Φ α + β

≥

R R ≥

2 µ + δ < α + β , ta coù

trong ñoù .

C d 3

) R

Φ α + β

2 µ − δ > α + β , ta coù

≥ .

. Neáu

0 (

Neáu

{( , ) /

}

α β µ − δ < α + β < µ + δ

Ñieàu naøy coù nghóa laø

RB ⊂

∪

s 1 =

1/ 2m

≤

δ = π

Do ñoù

m(B ) R

πµ δ ≤ π s

∑

4 max s 1,p =

4 d max s 1,p =

s 1 =

1/ 2m M / 2m d 3

γ = Choïn , ta ñaõ chöùng minh ñöôïc boå ñeà. (cid:132) min 1 s p ≤ ≤ 1 2m ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

Baây giôø chuùng ta chöùng minh ñònh lyù 4.3.2.

Chöùng minh

r( )

b ln

(t)dt

ε ≡

( ) Φ µ ≡

Chuùng ta ñaët

∫

1 ε

, ,

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

102

( , ) /

≥ ε

α + β <

ε ≡ α β Φ α + β

( )} ε

)

(

vaø ,

{

1 1

2 α +β

−

g(x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

0 0

,( , )

α β ∈

D ε

α β ≡

F ( , ) ε

Φ α + β

)

(

,( , )

α β ∉

D ε

⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎨ 2 π ⎪ ⎪ ⎩

i( x

α +β

≡

d d α β

≡(cid:4) f

f (x, y) ε

F ( , )e α β ε

1 4

2 π ∫

( , ) /

< ε

, ,

1,D

ε ≡ α β α + β <

2,D

ε ≡ α β Φ α + β

{ ( , ) /

} 2 r ( ) ε

)

(

, . vaø

{

}

(cid:3) (cid:4) f

−

(cid:4) f 0

ˆ (cid:4) f 0

(cid:4) f ε −

α β −

α β

α β +

α β

α β +

α β

(cid:108) (cid:4) f ( , ) d d 0

F ( , ) ε

∫

∩

2 R \D

D ε

I ≡ + 1

I + . 3

(

2 α +β

(t)

(t) dt

Φ α + β − Φ

2 α + β

≤

− ϕ

∫

Ta coù

Ñaàu tieân ta öôùc löôïng I2 , ta coù )

)

(

2 α +β

≤ ϕ − ϕ

0 L (0,1) 2

∫

≤ ε

e 2(

1 )

) α +β − 2 2 α + β

1 b−

a < ε + ε

2 α + β

a < ε + ε

)

(

e 2(

1 )

) α +β − 2 2 α + β

Neáu , ta coù ( , ) D α β ∈ 1, Dε ∩

suy ra

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

103

1 b −

∩

⊂

( , ) / = α β Φ

2 α + β

a < ε + ε

1 b −

D 1,

(

)

a ε +ε

)

(

. (4.3.16)

{

}

1 1

α β =

≤

Ta coù

(cid:108) (cid:4) f ( , ) 0

f (x, y) cos x cos ydxdy α 0

0 L (M) 2

1 π ∫ ∫ 2

1 2 π

0 0

0> ,

0 γ >

. (4.3.17)

Töø (4.3.16), (4.3.17) vaø boå ñeà 4.3.2, vôùi ε khaù nhoû thì toàn taïi

1 b −

m(B

)

≤

a ε + ε

1 b −

sao cho

C ( 0

(

)

a ε +ε

L (M)

1 4 π

. (4.3.18)

2 r ( )

Tieáp theo, ta öôùc löôïng I1 , vì ( , )α β ∈ εD , ta coù

Φ α + β

a ≥ ε vaø

b ln α + β < ε =

)

(

1 ε

)

2 α +β

1 b −

2 α + β

a ≥ ε − ε

suy ra

)

(

e 2(

1 )

− 2 2 α + β

α β =

(cid:108) (cid:4) f ( , ) 0

F ( , ) ε α β −

1 1

g(x, y) cos x cos ydxdy α

1 1

∫ ∫

2 α +β

0 0

−

f (x, y) cos x cos ydxdy α 0

∫ ∫

1 2 π

0 0

Φ α + β

)

(

1 1

g(x, y) cos x cos ydxdy α

g (x, y) cos x cos ydxdy α

∫ ∫

2 α +β

0 0

−

1 2 π

Φ α + β

2 α + β

)

(

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Khi ( , )α β ∈ εD , ta coù

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

104

α + β − Φ α + β

L (M)

)

(

2 α +β

≤

1 2 π

2 Φ α + β Φ

2 α + β

)

) (

(

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1 1

)

2 α +β

−

[

] g(x, y) g (x, y) cos x cos ydxdy

L (0,1)

∫ ∫

e 2(

1 )

− 2 2 α + β

0 0

2 Φ α + β Φ

2 α + β

)

(

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

)

2 α +β

)

( g

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

e 2(

1 )

2 α +β

≤

)

2 α +β

1 2 π

a ε − ε

e 2(

2 α + β

− 2 2 α + β ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞− 1 ⎟ ⎟ ) ⎠

)

2 α +β

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

2 α +β

≤

1 2a − ε

)

2 α +β

e 2(

1 )

1 2 π

− 2 2 α + β

1 a −

− ε

e 2(

1 )

− 2 2 α + β

2(r ( ))

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

(r ( )) ε

≤

1 2a − ε

2(r( ))

1 2 π

e − 2 2(r( )) ε

1 a −

− ε

e − 2 2(r( )) ε

2(r ( ))

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

(

)

2(r ( ))

2 4a −

≤

I 1

1 a −

(r( )) ε

1 4 π

− ε

( 1

)

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

(

)

2 4a 4b

−

≤

Suy ra

1 a b − −

1 8 π

− ε

( 1

)

+ ϕ

L (M)

L (0,1)

(

)

2 4a 4b

−

1 b −

−

≤

ε + ε

(cid:4) f 0

( ) + η ε b

(cid:4) f ε

(

)

L (M)

1 a b − −

1 8 π

1 4 π

− ε

( 1

)

Vaäy

Chöông 4:Baøi toaùn xaùc ñònh nguoàn nhieät:Tính duy nhaát, chænh hoùa vaø ñaùnh giaù sai soá

105

( )

= η ε → khi

ε → .

I trong ñoù 3

Suy ra

L (Q)

L (0,1)

(

)

2 4a 4b

−

1 b −

(

)

L (M)

1 a b − −

( 1

)

g + ϕ f f 4 f C ( ). − ≤ ε + ε + ε + η ε b 1 8 π 1 4 π − ε

2 0f H (M)

1/ 2

−

∈ thì ta coù Söû duïng boå ñeà 4.3.1, neáu

γ ε +

L (M)

H (M)

f f C f b ln − ≤ . 2048 2 2 π 1 ε ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. (cid:132)

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

106

Chöông 5

XAÙC ÑÒNH NHIEÄT ÑOÄ TÖØ LOÃ KHOAN THAÊM DOØ:

TRÖÔØNG HÔÏP CUÛA NHIEÄT PHUÏ THUOÄC

PHI TUYEÁN VAØO NGUOÀN NHIEÄT

Noäi dung chính cuûa chöông naøy ñaõ coâng boá trong [2] (cuûa danh muïc coâng

trình coâng boá cuûa taùc giaû). Ngoaøi ra chuùng toâi coù caûi tieán vaø ñöa theâm moät keát

quaû môùi veà nghieäm chænh hoùa (ñònh lyù 5.3.2).

5.1 MÔÛ ÑAÀU

Trong chöông naøy chuùng toâi xeùt baøi toaùn xaùc ñònh phaân boá nhieät ñoä u(x,y)

trong moät vaät bieåu dieãn bôûi nöûa maët phaúng R×R+ töø nhieät ñoä ño ñöôïc treân moät

f (x, y, u(x, y))

u ∆ =

, x R, y ∈

0 >

ñöôøng thaúng beân trong vaät theå. Ta caàn tìm haøm nhieät ñoä u(x,y) thoûa phöông trình

u(x,1)

= ϕ

(x), x R, ∈

vôùi ñieàu kieän

f ( ,

,0)

ξ η

0 = ,

trong ñoù f laø haøm phi tuyeán cho tröôùc thoûa

(5.1.1)

f ( ,

)

p( ,

)

, ) R R R+

ξ η ζ − ξ η ζ

≤

ξ η ζ ∈ ×

× . (5.1.2)

ξ η ζ − ζ vôùi moïi ( , 2

vaø

yu (x,1) L (R) ∈

0→ khi x , y → ∞ .

Ngoaøi ra, haøm u(x,y) laø haøm coù caùc ñaïo haøm rieâng bò chaën,

vaø u(x, y)

Nhö ñaõ noùi trong lôøi noùi ñaàu, baøi toaùn ñöôïc chia thaønh hai baøi toaùn nhoû

y 1 ≤ < (xem [16, 47]). töông öùng vôùi phaàn y 1≥ vaø phaàn 0

∈

Trong muïc 5.2, chuùng toâi söû duïng nguyeân lyù aùnh xaï co ñeå xaùc ñònh u(x,y)

≥ vaø tính xaáp xæ

yu (x,1) . Baøi toaùn naøy laø baøi toaùn

trong nöûa maët phaúng x R, y 1

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

107

chænh trong khoâng gian caùc haøm bò chaën theo chuaån sup, tuy nhieân vieäc tính xaáp

yu (x,1) töø haøm ϕ ñoøi hoûi moät soá ñieàu kieän chi tieát. Trong muïc 5.3, chuùng toâi

y 1

u(x,1)

∈

ϕ =

≤ < töø caùc döõ lieäu

xæ

ψ =

vaø döõ lieäu xaùc ñònh u(x,y) trong daûi x R,0

yu (x,1)

ñöôïc tính gaàn ñuùng töø trong muïc 5.2. Baøi toaùn naøy laø baøi toaùn khoâng

chænh. Caùc keát quaû chænh hoùa baøi toaùn naøy ñöôïc phaùt bieåu vaø chöùng minh trong

Ñònh lyù 5.3.1 vaø Ñònh lyù 5.3.2.

5.2 XAÙC ÑÒNH PHAÂN BOÁ NHIEÄT TRONG R (1, ) +∞ .

f (x, y, u(x, y))

u ∆ =

∈

, x R, y 1 >

Ta xeùt baøi toaùn sau

(5.2.1)

u(x,1)

= ϕ

(x), x R, ∈

vôùi caùc ñieàu kieän

(5.2.2)

u(x, y)

0→

vaø

x → ∞ hay y → ∞ .

khi

(5.2.3)

(x, y;

, ) ξ η = −

2 ) − ξ +

) − η

⎡ ln (x ⎣

⎤ ⎦

1 4 π

N(x, y;

(x, y;

(x, 2 y;

)

) , ξ η = Γ

, ) ξ η − Γ

Ñaët

, − ξ η .

∈ . Cho y 1, x R

∈ , tích phaân ñaúng

vaø (5.2.4)

Ñaàu tieân chuùng toâi xeùt mieàn y 1, x R

= −

thöùc

(uN Nu ) − ξ

(uN Nu ) − η

∂ ∂ξ

∂ ∂η

(1, n) \ B((x, y), )

−

ε (trong ñoù B((x, y), )ε laø quaû caàu taâm (x,y)

(5.2.5)

, m

→ ∞ → ∞ ε → chuùng ta nhaän ñöôïc

treân mieàn ( m, m)

baùn kính ε ) vaø cho n

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

108

+∞

+∞ +∞

u(x, y)

N (x, y;

N(x, y;

, u( ,

,1) ( )d ξ ϕ ξ ξ −

, )f ( , ξ η ξ η

))d d ξ η ξ η

∫

∫ ∫

−∞

. (5.2.6)

)) u(x, y)

0 khi x

hay y

+∞

→

→ ∞

→ +∞ , trong ñoù

{ u B(R (1, = ∈

}

))

B(R (1, ×

+∞ laø khoâng gian nhöõng haøm bò chaën treân R (1,

) +∞ .

Ñaët

u(x, y) .

∞

)

sup (x,y) R (1, ∈ × +∞

Deã daøng nhaän thaáy J laø khoâng gian Banach vôùi chuaån sup, vôùi

Phöông trình (5.2.6) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng toaùn töû nhö sau

u = Au (5.2.7)

J→ xaùc ñònh bôûi

+∞ +∞

Au(x, y)

h(x, y,

N(x, y;

, u( ,

) ϕ −

, )f ( , ξ η ξ η

))d d ξ η ξ η

trong ñoù A : J

∫ ∫

−∞

(5.2.8)

+∞

h(x, y,

N (x, y;

) ϕ =

,1) ( )d ξ ϕ ξ ξ

vôùi

∫

−∞

. (5.2.9)

∞

Ñònh lyù 5.2.1

ϕ ∈

1L (R) L (R) ∩

1 p L (R (1,

∈

)) +∞ coù

Cho .

Giaû söû haøm f thoûa ñieàu kieän (5.1.1) vaø (5.1.2), vôùi haøm

+∞ +∞

N(x, y;

) p( ,

≡

, ξ η

) d d ξ η ξ η <

)

∫ ∫ sup (x,y) R (1, ∈ × +∞ −∞

+∞ +∞

N(x, y,

) p( ,

tính chaát

, ξ η

) d d ξ η ξ η →

∫ ∫

−∞

J→ laø aùnh xaï co.

vaø khi x → ∞ hay y → +∞ .

Khi ñoù A : J

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

109

q( )r( )sin

, )

ξ η ζ = α ξ η

, ) R R R+

[

ξ η ζ ∈ ×

Löu yù : Ñieàu kieän treân ñöôïc thoûa, chaúng haïn, vôùi f ( ,

× trong ñoù

0α > ñuû nhoû, supp q

, ] ⊂ −β β vôùi

0β > ,

[0,1)

, ]

[ , ] ⊂ γ δ ∪

vôùi ( ,

−β β , r lieân tuïc treân [ , ] γ δ

vôùi 1 < γ < δ vaø q lieân tuïc treân [ supp r

vaø [0,1) .

Chöùng minh

+∞ +∞

N(x, y;

) p( ,

) u( ,

) v( ,

) d d

Au(x, y) Av(x, y) −

≤

, ξ η

ξ η

ξ η − ξ η ξ η

∫ ∫

−∞

Ta coù

vôùi moïi u, v J∈ .

K u v

Au Av −

≤

−

Vì theá

∞

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

J∈ sao cho

Bôûi nguyeân lyù aùnh xaï co, toàn taïi duy nhaát u

Au = u

+∞ +∞

u(x, y)

h(x, y,

N(x, y;

, u( ,

) ϕ −

, )f ( , ξ η ξ η

))d d ξ η ξ η

nghóa laø

∫ ∫

−∞

(5.2.10)

> .

(x)

u (x,1)

vôùi moïi x R, y 1 ∈

(x)

u(x,1)

Ñaët vôùi u laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.2.1)- (5.2.2). Töø döõ

εϕ cuûa

εψ xaáp xæ ψ vaø ñaùnh giaù sai soá

, ta xaây döïng lieäu ño ñaïc

εψ − ψ

2L (R )

baèng boå ñeà sau

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

110

∞

ϕ ∈

1L (R) L (R) ∩

Boå ñeà 5.2.1

1 p L (R (1,

∈

)) +∞ coù

Cho . Cho u laø nghieäm (5.2.6).

Giaû söû haøm f thoûa ñieàu kieän (5.1.1) vaø (5.1.2), vôùi haøm

+∞ +∞

N(x, y;

) p( ,

≡

, ξ η

) d d ξ η ξ η <

)

∫ ∫ sup (x,y) R (1, ∈ × +∞ −∞

p( ,

) d d ξ η ξ η

< +∞

tính chaát

∫ ∫

∫

1 (1

η − 2 ) ) − ξ + − η

−∞

+∞ +∞ +∞ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

( )e

L (R)

vaø .

ϕ ζ

∈

2L (R)

Giaû söû theâm (cid:3) .

< ε < , goïi 1

εϕ ∈

< ε .

εϕ − ϕ

2L (R )

laø döõ lieäu ño ñaïc sao cho Vôùi moãi 0

εψ sao cho

1/ 2

C < ε

εψ − ψ

L (R )

Ta coù theå xaây döïng

trong ñoù C laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

+∞ +∞

k(x, y, u)

N(x, y;

, u( ,

Ñaët

= −

, )f ( , ξ η ξ η

))d d ξ η ξ η

Chöùng minh

∫ ∫

−∞

h(x, y,

) k(x, y, u)

ϕ +

. (5.2.11)

εϕ ñöôïc xaùc ñònh nhö sau

ζ <

(cid:108) ( ) ϕ ζ ε

1 1/ 2 ε

ζ ≥

1 1/ 2 ε

⎧ ⎪⎪ (cid:106)(cid:108) ( ) ϕ ζ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Töø (5.2.9), (5.2.10) ta coù u(x, y) Ñaët (cid:106)

(x)

i x ζ ( )e d ζ

vaø

(cid:106) ϕ ε

(cid:108) ϕ ζ ε

1 2

π ∫

ζ <

1 1/ 2 ε

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

111

εϕ , nghóa laø

h(x, y,

Goïi u ε laø nghieäm cuûa (5.2.6) vôùi ϕ thay baèng (cid:106)

(cid:106) ϕ + ε

) k(x, y, u ) ε

h(x, y)

k(x, y)

) ϕ =

h (x, y)

. (5.2.12)

) ϕ = ε

k (x, y)

Ta kyù hieäu h(x, y, , h(x, y, , k(x, y, u) vaø

k(x, y, u ) ε

ε=

(x)

h (x,1) k (x,1) +

(5.2.13) .

εψ laø haøm caàn tìm.

y ε

Ñaët , ta chöùng minh (5.2.14)

+∞

N (x, y;

,1) ( )d ξ ϕ ξ ξ

( )d ϕ ξ ξ

Ta coù

∫

1 π

y 1 − 2 ) − ξ +

(y 1) −

−∞

, y

≡

(5.2.15) h(x, y)

F (x) ( y)

y +

+∞

y − ζ

ix − ζ

ˆF ( )

ζ =

, ta coù Neáu ñaët

( y)

F (x)e ( y)

π 2

1 2

π ∫

−∞

( y 1)

* ( )

( )e− − ζ

ϕ ζ = ϕ ζ

(cid:3) (cid:110) (cid:3) h( , y) F ζ ( y 1) −

2 π

Laáy bieán ñoåi Fourier theo bieán x ñaúng thöùc (5.2.15), ta coù

( y 1)

(cid:3)

( )e− − ζ

(cid:3) yh ( , y) ζ

= − ζ ϕ ζ

vaø

( y 1)

( )e− − ζ

(cid:4)(cid:3) = ϕ ζ

Töông töï

(cid:108) h ( , y) ε ζ

h (.,1) h (.,1) −

y ε

L (R )

u 1

. Ta tìm ñaùnh giaù

∀ > , ta coù

+∞

(cid:3)

(cid:106)(cid:108)

2 ( ) d

h (.,1) h (.,1) −

( ) ζ ϕ ζ − ϕ ζ

y ε

L (R )

∫

−∞

(cid:3)

2 ( ) d

≤

( ) ζ ϕ ζ − ϕ ζ

ζ +

(cid:3) ϕ ζ

2 ( ) d ζ

Söû duïng baát ñaúng thöùc

(cid:108) ε

∫

ζ <

ζ >

1 1/ 2 ε

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

112

h (.,1) h (.,1) −

< ε + ε

(cid:3) ( ) ϕ ζ

1C=

y ε

L (R )

(cid:3) ( ) ϕ ζ

Vaäy

C 1

L (R )

h (.,1) h (.,1) −

ε .

. vôùi

C 1

y ε

L (R )

(5.2.16) Vaäy

+∞ +∞

k(x, y)

N(x, y;

, u( ,

= −

, )f ( , ξ η ξ η

))d d ξ η ξ η

∫ ∫

−∞

Ta coù

+∞ +∞

k (x,1)

f ( ,

, u( ,

ξ η

))d d ξ η ξ η

suy ra

∫ ∫

1 2 )

1 π

− η (1 ) − ξ + − η

−∞

+∞ +∞

k (x,1)

f ( ,

ξ η

))d d ξ η ξ η

y ε

, u ( , ε

∫ ∫

1 2 )

1 π

− η (1 ) − ξ + − η

−∞

Töông töï

k (.,1) k (.,1) −

y ε

L (R )

(f ( ,

, u( ,

f ( ,

))

ξ η

ξ η − ξ η

))d d ξ η ξ η

, u ( , ε

∫ ∫

∫

1 2 )

− η (1 ) − ξ + − η

1 π

−∞

+∞ +∞ +∞ ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

p( ,

≤

ξ η

−

) u u d d ε

∫ ∫

∫

1 (1

η − 2 ) ) − ξ + − η

1 π

−∞

+∞ +∞ +∞ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

u u −

≤

Ta coù

Lε ∞

1 π

(5.2.17)

p( ,

) d d ξ η ξ η

< +∞

vôùi

∫ ∫

∫

1 (1

η − 2 ) ) − ξ + − η

−∞

+∞ +∞ +∞ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Ñoàng thôøi, ta coù

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

113

+∞

N (x, y,

( )

u u −

≤

,1) ξ

ϕ ξ − ϕ ξ

(cid:106) ε

∞

⎤ ( ) d ⎦

⎡ ⎣

)

∫ sup (x,y) R (1, ∈ × +∞ −∞

+∞ +∞

N(x, y,

, u( ,

f ( ,

))

, ξ η

ξ η

ξ η − ξ η

ξ η

−

( ) f ( ,

) )) d d

, u ( , ε

∫ ∫

−∞

+∞

( )

( ) d

≤

ϕ ξ − ϕ ξ

(cid:106) ε

∫

)

sup (x,y) R (1 ∈ × +∞

1 π

y 1 − 2 ) − ξ +

(y 1) −

−∞

⎡ ⎢ ⎣

+∞ +∞

N(x, y,

) p( ,

) u( ,

, ξ η

ξ η

ξ η −

) u ( , ε

∫ ∫

−∞

⎤ ) d d ξ η ξ η⎥ ⎦

K u u

−

(cid:106) ≤ ϕ − ϕ ε

∞

ε ∞

L (R )

+∞ +∞

N(x, y,

) p( ,

(0,1)

, ξ η

) d d ξ η ξ η∈

∫ ∫

)

sup (x,y) R (1 ∈ × +∞

−∞

u u −

≤

vôùi K = . (5.2.18)

(cid:106) ϕ − ϕ ε

∞

L (R )

1 1 K −

. (5.2.19) Vaäy

(cid:3)

(x)

i x ζ ( )e d

− ϕ

Ta coù

(cid:106) ϕ ε

(cid:108) ϕ ζ ε

(cid:106) ϕ − ϕ ε

∞

∫

L (R )

sup x R ∈

1 2

+∞ ∫ ζ − ϕ ζ −∞

ζ <

1 1/ 2 ε

(cid:3)

( )

( ) d

≤

ζ +

(cid:3) ϕ ζ

( ) d ζ

(cid:108) ϕ ζ − ϕ ζ ε

∫

1 2

ζ >

ζ <

1 1/ 2 ε

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ π ⎢ ⎣

1 1/ 2 ε

(cid:3)

( )

2 ( ) d

ζ +

≤

(cid:108) ϕ ζ − ϕ ζ ε

∫

1 2

−

1 1/ 2 ε

⎡ ⎢ ⎢ π ⎢ ⎢⎣

2 − ζ

2 ( ) d . ζ

∫

ζ >

1 1/ 2 ε

⎤ ⎥ d ζ ⎥ ⎥ ⎦

(cid:3) ϕ ζ

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

114

3 / 4

≤

ϕ − ϕ

(cid:3) ( ) ϕ ζ

2 1/ 4

L (R )

2 3

1 2

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ επ ⎣

3 / 4

2C<

(5.2.20)

(cid:3) ( ) ϕ ζ

trong ñoù

L (R )

2 3

1 2

⎡ ⎢ π ⎣

⎤ ⎥ ⎦

3 4

k (.,1) k (.,1) −

≤

(cid:4) ϕ − ϕ

Töø (5.2.17)-(5.2.20), ta coù

y ε

L (R )

∞

L (1 K) π −

LC 2 (1 K) π −

. (5.2.21)

u (.,1) u (.,1) −

εψ − ψ

y ε

2L (R )

L (R )

h (.,1) k (.,1) h (.,1) k (.,1) −

−

Keát hôïp (5.2.11)- (5.2.14), (5.2.16) vaø (5.2.21), suy ra

ε+

y ε

L (R )

≤

h (.,1) h (.,1) −

k (.,1) k (.,1) −

y ε

L (R )

1 2

1 2 ε

3 4 C ε + ε ≤ 1

C 1

LC 2 (1 K) π −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

■ Boå ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh.

(x)

u (x,1)

. 5.3 XAÙC ÑÒNH PHAÂN BOÁ NHIEÄT TRONG R [0,1)

Nhaéc laïi raèng vôùi u laø nghieäm chính xaùc trong muïc 5.2. Chuù

yù raèng ta chæ xem ϕ laø döõ lieäu, coøn ψ laø döõ lieäu thöù caáp. Trong boå ñeà 5.2.1 ta ñaõ

εψ cuûa ψ .

tính xaáp xæ

f (x, y, u(x, y)), x R, y (0,1)

u ∆ =

∈

Xem phöông trình

u(x,1)

= ϕ

(x), x R, ∈

vôùi caùc ñieàu kieän bieân

(5.3.1)

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

115

(x,1)

(x), x R.

= ψ

∈

u ∂ y ∂

( )e

L (R)

(cid:3)( )e ζ ϕ ζ

∈

Ñeå tìm nghieäm chænh hoùa cuûa (5.3.1), giaû söû theâm nghieäm chính xaùc u thoûa

, (cid:108) ψ ζ , ta chia baøi toaùn thaønh 2 böôùc

0, x R, y (0,1)

v ∆ =

∈

Böôùc 1 : Xeùt baøi toaùn

v(x,1)

= ϕ

(x), x R, ∈

, (5.3.2)

(x,1)

(x), x R.

= ψ

∈

(5.3.3)

v ∂ y ∂

(5.3.4)

0v , tìm nghieäm chænh hoùa vε .

−

Ta chöùng minh baøi toaùn coù nghieäm duy nhaát

0u laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.1). Ñaët

Böôùc 2 : Goïi thì

w g(x, y, w), x R, y (0,1)

∆ =

∈

laø nghieäm cuûa baøi toaùn

w(x,1)

0, x R, ∈

(5.3.5)

(x,1)

0, x R

∈

(5.3.6)

w ∂ y ∂

(5.3.7)

trong ñoù g(x,y,w) = f(x,y,w+v0) vôùi v0 laø nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn

w wε −

0 2

2L (R (0,1)) ×

, trong ñoù (5.3.2)-(5.3.4). Ta tìm wε xaáp xæ cuûa w0 vaø ñaùnh giaù sai soá

ε −

0 2

laø chuaån trong . . Ñaët uε = vε + wε , ta ñaùnh giaù sai soá

Böôùc 1: Chöùng minh baøi toaùn (5.3.2)-(5.3.4) coù nghieäm duy nhaát v0 vaø

tìm nghieäm chænh hoùa vε cuûa baøi toaùn (5.3.2)-(5.3.4)

(x, y,

, ) ξ η = −

2 ) − ξ +

) − η

Xeùt baøi toaùn (5.3.2)-(5.3.4).

⎡ ln (x ⎣

⎤ ⎦

1 4 π

G(x, y,

(x, y,

) , ξ η =

, ) ξ η −

) − ξ η

Ñaët

vaø .

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

116

−

vG Gv + ξ

vG Gv + η

(

)

(

)

∂ ∂ξ

∂ ∂η

(0,1) \ B((x, y), )

−

ε vaø cho n → ∞, ε → 0, sau khi hoaùn chuyeån,

Vôùi x ∈ R, 0 < y < 1, tích phaân ñaúng thöùc

treân mieàn ( n, n)

+∞

v(x, y)

= −

ϕ ξ

,1) G(x, y, ξ

−

,1) ξ ψ ξ

ta coù:

( )G (x, y, η

⎡ ⎣

⎤ ( ) d ⎦

∫

−∞

+∞

G (x, y,

,0)v( ,0)d ξ ξ ξ

∫

−∞

. (5.3.8)

+∞

v( ,0)d ξ

∫

1 π

1 2 ) − ξ +

−∞

+∞

(x)

−ϕ ξ

,1) G(x,1, ξ

,1) ξ ψ ξ

ξ = ϕ

Cho y → 1 trong ñaúng thöùc (5.3.8), ta coù :

( )G (x,1, η

⎡ ⎣

⎤ ( ) d ⎦

∫

−∞

(5.3.9)

(x)

∗

= π

neân phöông trình naøy coù theå vieát döôùi daïng sau :

F (1)

v (x) (0)

K (x) (1)

π 2

(5.3.10)

+∞

= −

−ϕ ξ

,1) G(x, y, ξ

,1) ξ ψ ξ

trong ñoù

K (x) ( y)

( )G (x, y, η

⎤ ( ) d ξ ⎦

⎡ ⎣

1 2

π ∫

−∞

v(x, y)

≡

F (x) ( y)

( y)v (x)

y +

, . (5.3.11)

−

M (x) ( y,1)

1 y − (y 1) − +

1 y + (y 1) + +

(x)

≡

y, < η <

1, x R) ∈

Neáu ñaët

(

,y)

x x

(y (y

+ +

) − η ) + η

vaø

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

117

+∞

y − ζ

ix − ζ

ˆF ( )

ζ =

thì ta coù bieán ñoåi Fourier theo bieán x cuûa M, L, F laø

( y)

F (x)e ( y)

π 2

1 2

π ∫

−∞

( y

)

− +η ζ

− −η ζ

ˆL

( ) ζ =

−

(

,y)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 ζ

( y 1)

− ζ

( y 1) − + ζ

−

ˆM ( )ζ

( y,1)

⎤ ⎦ .

π ⎡ ⎣ 2

(5.3.12)

2 M (x)

(x)

= −

ϕ ∗

− ψ ∗

Töø (5.3.11), (5.3.12), ta coù :

K (x) ( y)

( y,1)

(1,y)

⎤ ⎦

⎡ ⎣

1 4 π

. (5.3.13)

( )

ζ =

Töø (5.3.10), (5.3.11), ta coù :

ˆv ( ) (0)

ˆ 2 K ( ) (1)

(

) ˆ ζ + ϕ ζ .

(5.3.14)

Laáy Fourier theo bieán x trong ñaúng thöùc (5.3.8) vaø töø (5.3.14), ta nhaän

ζ =

ζ +

ˆ ( ) ϕ ζ −

ˆv ( ) ( y)

( y)

(1)

2 K ( ) ζ ( y)

2 π

⎛ e F ( ) 2K ( ) ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

( y 1)

(1 y) −

− ζ

(1 y) −

− ζ

( , y)

−

(cid:108) ψ ζ

−

≡ ℵ ζ

ñöôïc:

⎡ ˆ ( ) e ⎣

⎤ ⎦

⎡ ( ) e ⎣

⎤ ⎦

1 = ϕ ζ 2

1 2 ζ

. (5.3.15)

Chuùng ta nhaän ñöôïc keát quaû sau :

∞

Meänh ñeà 5.3.1

ϕ ∈

1L (R) L (R) ∩

( )e

L (R)

( )e

L (R)

Cho .

ϕ ζ

∈

Giaû söû (cid:3) thì baøi toaùn (5.3.2)-(5.3.4) coù nghieäm , (cid:108) ψ ζ

∈

L (R (0,1)) ×

1 p L (R (1,

. duy nhaát

∈

+∞ coù ))

Giaû söû haøm f thoûa ñieàu kieän (5.1.1) vaø (5.1.2), vôùi haøm

tính chaát

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

118

+∞ +∞

N(x, y;

) p( ,

≡

, ξ η

) d d ξ η ξ η <

)

∫ ∫ sup (x,y) R (1, ∈ × +∞ −∞

p( ,

) d d ξ η ξ η

< +∞

∫ ∫

∫

1 (1

η − 2 ) ) − ξ + − η

−∞

+∞ +∞ +∞ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

( )e

L (R)

( )e

L (R)

(cid:3) ζ ϕ ζ

∈

(cid:108) ζ ψ ζ

∈

vaø .

e−

2L (R)

, . Giaû söû theâm

< ε <

εϕ ∈

< ε .

εϕ − ϕ

2L (R )

, goïi laø döõ lieäu ño ñaïc sao cho Vôùi moãi

1 −

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa vε sao cho

2L (R (0,1)) ×

−

1 ε

⎛ D ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

laø chuaån trong , trong ñoù vaø D

laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

≤

Chöùng minh

y 1 ≤ ≤

− x

( , y)

( ) L (R)

ℵ ζ

≤

(cid:3) ( ) ϕ ζ +

(cid:108) ψ ζ ∈

∈

L (R (0,1)) ×

Töø (5.3.15) söû duïng baát ñaúng thöùc ta coù, vôùi moïi 0

Suy ra baøi toaùn (5.3.2)-(5.3.4) coù nghieäm duy nhaát .

εϕ trong boå ñeà 5.2.1, ta coù

(cid:3)

( )

2 ( ) d

ζ +

(cid:3) ϕ ζ

2 ( ) d ζ

(cid:106) ϕ − ϕ ε

(cid:108) ϕ ζ − ϕ ζ ε

∫

L (R )

1/ 2

−

ζ <ε

ζ >ε

2 ( ) e

(cid:3) ϕ ζ

2 < ε +

d ζ

∫

1/ 2

−

ζ >ε

(cid:3)

( )e ζ

< ε + ε ϕ ζ

3C= ε

L (R )

( )e ζ

(cid:3) + ϕ ζ

Ñaët (cid:106)

L (R )

. trong ñoù

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

119

ε .

εϕ − ϕ

L (R )

Suy ra (cid:106)

εφ xaùc ñònh nhö sau

ζ <

(cid:106)(cid:108) ( ) ϕ ζ ε

ζ ≥

1 6 1 6

1 ε 1 ε

⎧ ⎪⎪ (cid:108) ( ) φ ζ = ⎨ ε ⎪ ⎪ ⎩

1 6

1 ε

(x)

(cid:4)(cid:3) ϕ ζ

i x ζ ( )e d ζ

Ñaët

1 2

π ∫

−

1 6

1 ε

vaø .

1 6

1 ε

(cid:3)

( )

2 ( ) e d

(cid:106)(cid:108) ϕ ζ − ϕ ζ

ζ +

(cid:3) ϕ ζ

(cid:108) φ ζ − ϕ ζ ε

(

) ( ) e

∫

L (R )

ζ >

−

1 6

1 ε

1 3

1 ε

( )e

≤

(cid:3) ζϕ ζ

(cid:106) ϕ − ϕ ε

L (R )

1 6

1 ε

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Ta coù

1 3

1 ε

2 ε +

2 C e 3

L (R )

1 ( )e < (cid:3) ζϕ ζ

( )e

(cid:3) ζϕ ζ

ln 1 6 1 ε ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝

2 5 / 3 ε 3

L (R )

36 1 ε

5 / 3

3e−

ε <

1 ε

(cid:3)

( )

khi , ta coù Söû duïng baát ñaúng thöùc

2 4

(cid:108) εφ ζ − ϕ ζ

(

) ( ) e

L (R )

1 ε

( )e ζ

C 36 +

(cid:3) ζϕ ζ

2 3

L (R )

trong ñoù . (5.3.16)

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

120

2L (R)

εψ ∈

1/ 2

C < ε

Theo boå ñeà 5.2.1, toàn taïi sao cho

εψ − ψ

L (R )

εΨ nhö sau

ζ <

(cid:109) ( ) ψ ζ ε

Baây giôø ta ñaët

ζ ≥

1 6 1 6

1 ε 1 ε

⎧ ⎪⎪ ( ) Ψ ζ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

1 6

1 ε

(x)

i x ζ ( )e d

(cid:109)

(cid:109) Ψ ζ ε

1 2

π ∫

−

1 6

1 ε

2 / 3

. vaø

1 ε

3e−

ε <

khi Töông töï nhö caùch laøm phía treân, söû duïng baát ñaúng thöùc

(cid:108)

( )

, ta cuõng coù

2 5

(cid:109) εΨ ζ − ψ ζ

(

) ( ) e

L (R )

1 ε

( )e ζ

C 36 +

(cid:108) ζψ ζ

L (R )

( y 1)

(1 y) −

− ζ

(1 y) −

− ζ

( , y)

−

trong ñoù . (5.3.17)

ℵ ζ ε

(cid:108) = φ ζ ε

(cid:109) Ψ ζ ε

⎡ ( ) e ⎣

⎤ ⎦

⎡ ( ) e ⎣

⎤ ⎦

1 2

1 2 ζ

Ñaët

+∞

i x ζ

v (x, y)

( , y)e d

vaø

ℵ ζ ε

1 2

π ∫

−∞

−

0 2

= ℵ −ℵ ε 2

( )

(cid:108) ( ) ψ ζ − Ψ ζ

(cid:109) ε

( y 1)

(1 y) −

− ζ

(1 y) −

− ζ

(

)

( )

≤

(cid:3) ( ) ϕ ζ − φ ζ

−

(cid:108) ε

(

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Töø (5.3.15)_(5.3.17), ta coù

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

121

(cid:108)

(cid:3) ( ( )

( ))e

(

≤ ϕ ζ − φ ζ

( ) + ψ ζ − Ψ ζ

(cid:108) ε

(cid:109) ε

1 −

(C C ) ln

1 ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1 −

−

1 ε

⎛ D ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. Suy ra

■ Meänh ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh.

w wε −

0 2

. Ñaët uε = vε + wε , ta ñaùnh Böôùc 2 : Tìm w ε vaø ñaùnh giaù sai soá

ε −

0 2

giaù sai soá .

0w laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.5)-(5.3.7).

∈

L (R (0,1)) ×

Nhaéc laïi

L (R (0,1)) ×

Goïi laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.2)-(5.3.4) vaø

ε ∈

laø nghieäm chænh hoùa.

f ( ,

( ) ξ = ξ η

ξ η +

Ta vieát

)) ξ η .

(

, v ( , 0

) w ( , 0

( y)w (x) w(x, y) =

,w ,v ) 0

vaø

( ) ξ

Vôùi x ∈ R, 0 < y < 1, vôùi G xaùc ñònh trong (5.3.8), tích phaân ñaúng thöùc

(

( w G Gw ) + − ξ ξ

( w G Gw ) + − η η

,w ,v ) 0

∂ ∂ξ

∂ ∂η

(0,1) \ B((x, y), )

−

ε ( B((x, y), )ε laø quaû caàu taâm (x,y) baùn kính ε)

(5.3.18)

treân mieàn ( n, n)

+∞

w (x, y)

w ( ,0)G (x, y,

G(x, y,

,0)d ξ

ξ −

, ξ η

( )d d ξ ξ η

vaø cho n → ∞, ε → 0, sau khi hoaùn chuyeån, ta coù :

(

,w ,v ) 0 0

∫ ∫

∫

−∞

(5.3.19)

f ( ,

,0)

ξ η

0 = ,

Giaû söû raèng f thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau

f ( ,

)

p( ,

)

ξ η ζ − ξ η ζ

≤

(5.3.20)

ξ η ζ − ζ 1

, ) R [0,1) R

(5.3.21)

ξ η ζ ∈ ×

∈

× , trong ñoù

p L (R (0,1)) . vôùi moïi ( ,

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

122

Döôùi nhöõng ñieàu kieän phía treân cuûa f, ta khaúng ñònh (vaø chöùng minh) boå ñeà

5.3.1, ñöôïc söû duïng trong chöùng minh ñònh lyù 5.3.1.

Boå ñeà 5.3.1

Giaû söû raèng f thoûa nhöõng ñieàu kieän (5.3.20)-(5.3.21) vaø moät haøm soá

L (R (0,1)) ×

ε ∈

→

L (R (0,1)) ×

(v )T : L (R (0,1))

Goïi

b 1

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

T w(x, y)

−

( )e ξ

i x ζ e d d d ξ η ζ

xaùc ñònh bôûi

(

,w,v )

(v ) ε

∫ ∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 4 π

1 ζ

b 0

−

−∞

(5.3.22)

f ( ,

) w( ,

( ) ξ ≡ ξ η

ξ η +

)) ξ η

(

,w,v )

, v ( , ε

trong ñoù

vaø b laø soá döông coá ñònh sao cho

α ≡

4 π

(v )T

laø moät aùnh xaï co. Khi ñoù

Chöùng minh

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

Q ( ) Q(y, )

ζ =

−

( )e ξ

d d , ξ η

( y)

(

,w,v )

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 ζ

1 2 2

π ∫ ∫

−∞

[ b, b], y [0,1)

ζ ∈ −

∈

Ñaët

[ b, b], y [0,1)

ζ =

ζ ∉ −

∈

vaø

( y)Q ( )

(

η−

− −η ζ

, y [0,1),

[ b, b]

−

≤

∀η ∈

ζ ∈ −

1 ζ

Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc

vaø

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

123

p( ,

) w( ,

) R [0,1), w L (R [0,1))

) )

( ) ξ ≤

ξ η

ξ η +

( , ξ η ∀ ξ η ∈ ×

∈

(

,w,v )

) ( v ( , ε

ζ ∈

T w ( ) Q ( ) ζ =

ta nhaän ñöôïc

ζ .

( y)

( y)Q ( ) L (R (0,1))

(v ) ε

( y)

vaø (cid:110)

∈

Ñieàu naøy daãn ñeán

(v )T w L (R (0,1))

(cid:110) (cid:110) 2 T w (.) T w (.) −

≤

T w T w − 1

(v ) ε

2(.)

1(.)

b 1 1

+∞

(

η−

− −η ζ

2 p ( ,

≤

−

ξ η ξ η

)d d dyd w w ζ

−

1 2

∫ ∫ ∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 8 π

b 0 0

−

−∞

≤

−

= α

Hôn nöõa

w w − 1

p w w 1

2 2 2

4 π

(v )T

Do ñoù laø moät aùnh xaï co.

Boå ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

Ñònh lyù 5.3.1

Döôùi nhöõng giaû thieát trong meänh ñeà 5.3.1.

∈

L (R (0,1)) ×

laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.2)-(5.3.4) vaø goïi Goïi

ε ∈

laø nghieäm chænh hoùa cuûa (5.3.2)-(5.3.4) ñaõ xaùc ñònh trong meänh

ñeà 5.3.1.

Giaû söû raèng f thoûa maõn caùc ñieàu kieän (5.3.20)-(5.3.21).

∈

0w L (R (0,1))

Giaû söû theâm nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.5)-(5.3.7) thoûa

maõn

ζ ∈

L (R (0,1)) ×

(cid:109) )w ( )e η ζ 0 (

. (5.3.23)

v w +

sao cho Khi ñoù toàn taïi moät haøm w ε vaø u

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

124

2 36E p

2 v

≤

−

w w − ε

1 −

−

2 36E p

−

0 2

1 ε

⎛ D ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ 2 2D ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

vaø

trong ñoù

(cid:109) E w ( )e ζ 0 (

)

(5.3.24)

vaø D laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε xaùc ñònh trong meänh ñeà 5.3.1.

Chöùng minh

Goïi b laø nghieäm döông cuûa phöông trình

1 3

4 π

→

L (R (0,1)) ×

. (5.3.25)

(v )T : L (R (0,1))

b 1

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

T w(x, y)

−

( )e ξ

i x ζ e d d d . ξ η ζ

Goïi ñöôïc xaùc ñònh bôûi

(

,w,v )

(v ) ε

∫ ∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 4 π

1 ζ

b 0

−

−∞

w L (R (0,1))

(5.3.26)

ε ∈

(v )T

(v )T w

w ε=

laø aùnh xaï co, toàn taïi duy nhaát sao cho Töø

vaø w ε coù theå nhaän ñöôïc bôûi pheùp xaáp xæ.

+∞

w (x, y)

w ( ,0) ξ

Töø (5.3.19), ta coù

∫

1 π

y 2 ) − ξ +

−∞

+∞

( )d d ξ ξ η .

(

,w ,v ) 0

∫ ∫

(x (x

(y (y

1 4 π

2 ) − ξ + 2 ) − ξ +

) − η ) + η

−∞

(5.3.27)

+∞

( )d d ξ ξ η +

(

,w ,v ) 0

∫ ∫

1 4

(x (x

(1 (1

) )

) − ξ + − η ) − ξ + + η

−∞

Cho y → 1, ta coù :

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

125

+∞

w ( ,0) ξ

d ξ =

∫

1 2 ) − ξ +

−∞

. (5.3.28)

(x)

≡

y, < η <

1, x R) ∈

Nhaéc laïi raèng trong (5.3.12), ta coù

F (x) ( y)

(

,y)

x x

(y (y

y +

+ +

) − η ) + η

( y

)

− +η ζ

− −η ζ

y − ζ

ˆL

ˆF ( )

ζ =

( ) ζ =

−

, ,

(

,y)

( y)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 ζ

π 2

, . (5.3.29)

w (x) w (x, y). ≡

0( y)

Ta vieát

w * F (x)

* f

(x)d

η =

Töø (5.3.28), (5.3.29) ta coù theå vieát thaønh :

0(0)

(1)

(

,1)

(

,w ,v ) 0

∫

1 4

ˆ L

ζ +

( )d ζ η =

(cid:109) w ( ).F ( ) ζ 0

(1)

(

,1)

ˆ ( )f ζ (

(0)

,w ,v ) 0

∫

1 4

Laáy Fourier hai veá cuûa ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc

−η ζ

η ζ

ζ = −

−

( )d ζ η

vaø do (5.3.29) neân

ˆ f (

(cid:109) w ( ) 0 (0)

,w ,v ) 0 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 2

1 ζ∫

. (5.3.30)

w * F (x)

(x)d

∗

η =

Töø (5.3.27), ta coù :

w (x) 0( y)

0(0)

( y)

(

,y)

(

,w ,v ) 0

1 2 2

2 π

π ∫

. (5.3.31)

ˆ L

ζ =

ζ +

( )d . ζ η

Bieán ñoåi Fourier theo bieán x cuûa ñaúng thöùc (5.3.31), ta coù

(cid:109) w ( ).F ( ) ζ 0

( y)

(

,y)

ˆ ( ).f ζ (

(0)

,w ,v ) 0

1 2 2

2 π

π ∫

(5.3.32) (cid:109) w ( ) ( y)

(

η−

− −η ζ

ζ =

−

( )d ζ η

Töø (5.3.29) vaø (5.3.30), phöông trình (5.3.32) trôû thaønh :

ˆ f (

(cid:109) w ( ) 0 ( y)

,w ,v ) 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 1 1 ζ∫ 2

(5.3.33)

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

126

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

ζ =

−

( )e ξ

d d ξ η

vôùi moïi ζ . Ta coù

(

(cid:109) w ( ) 0 ( y)

,w ,v ) 0 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 ζ

1 2 2

π ∫ ∫

−∞

. (5.3.34)

+∞

(cid:109) (cid:109) 2 w w −

w w − 0

0 (.)

(.)

( y)

(cid:109) (cid:110) w ( ) T w ( ) dyd ζ ζ − ( v ) ε

( y)

∫ ∫

−∞

(cid:109) w ( ) dyd ζ ζ

0 ( y)

∫ ∫

b 0

ζ >

b 1 1

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

−

( ) ξ −

d d ξ η

dyd ζ

(

,w ,v ) 0

,w ,v ) ε

⎤ ( ) e ξ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ⎡ ⎣ ⎦

1 8 π

1 ζ

b 0 0

−

−∞

(cid:109) w ( ) ζ 0 ( y)

dyd

≤

∫ ∫

b 0

ζ >

b 1 1

+∞

(

η−

− −η ζ

i − ξζ

−

( ) ξ −

d d ξ η

dyd ζ

(

,w ,v ) 0

,w ,v ) ε

⎤ ( ) e ξ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ⎡ ⎣ ⎦

1 8 π

1 ζ

b 0 0

−

−∞

w w v

≤

−

Ta coù

E be

1 3

2 36E p

2 v

≤

−

w w − 0

−

≤

−

Vì theá

w w − 0

vaø

1 −

−

2 36E p

−

cho neân

0 2

1 ε

⎛ D ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ 2 2D ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. ■

Töø ø ñònh lyù 5.3.1 ta deã daøng nhaän ñöôïc heä quaû sau

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

127

Heä quaû 5.3.1

p( ,

)

Döôùi nhöõng giaû thieát cuûa ñònh lyù 5.3.1 vaø giaû söû theâm

ξ η = trong R (0,1)

v w +

1 −

−

≤

0 2

( D 2 1 ln

1 ε

⎛ ) + ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa u cuûa (5.3.1) sao cho

Nhö vaäy trong tröôøng hôïp haøm p xaùc ñònh treân R R +×

trong ñoù D laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε xaùc ñònh trong meänh ñeà 5.3.1.

p( ,

)

ξ η = trong R (0,1)

ta ñaõ tìm ñöôïc nghieäm chænh hoùa u ε , coøn trong tröôøng

coù tính chaát

hôïp toång quaùt ta coù keát quaû sau ñaây

Ñònh lyù 5.3.2

Döôùi nhöõng giaû thieát cuûa meänh ñeàù 5.3.1.

∈

L (R (0,1)) ×

laø nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.2)- (5.3.4) vaø goïi Goïi

ε ∈

laø nghieäm chænh hoùa cuûa (5.3.2)- (5.3.4).

Giaû söû raèng f thoûa maõn caùc ñieàu kieän (5.3.20)-(5.3.21) vaø toàn taïi haèng soá k

p( ,

) R (0,1)

( ,

)

ξ η ≤ ∀ ξ η ∈ ×

sao cho

2 v w L (R (0,1))

∈

Giaû söû theâm nghieäm chính xaùc cuûa (5.3.1) thoûa

(

,v ,w )

(cid:3) f

maõn

( ) L (R (0,1)) ζ ∈

v w +

1/ 2

−

w w − ε

0 2

1 ε

⎛ C ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

cuûa (5.3.1) sao cho Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa w ε vaø u

vaø

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

128

1/ 2

−

0 2

1 ε

⎛ E ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

trong ñoù C vaø E laø haèng soá döông ñoäc laäp vôùi ε .

Chöùng minh

(

η−

− −η ζ

(

(cid:3) f

ζ =

−

( )d ζ η

Töø (5.3.33) , ta coù

,w ,v ) 0 0

w ( ) 0 ( y)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 2

1 ζ∫

(

( y

η−

) −η ζ

(

(cid:3) f

−

( )d ζ η

(cid:109)

,w ,v ) 0

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 1 1 ζ∫ 2

(

( y

η−

) −η ζ

(

) α ,w ,v )

(cid:3) f

−

i x ζ ( )e d d ζ

ζ η

( ( ) α T w (x, y)

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 ζ

1 2 2

π ∫ ∫

−α

∈

0α > , y (0,1)

Ñaët .

(

) α w , w

C([0,1]; L (R))

) α ∈

, m 1≥ vaø Ta khaúng ñònh vôùi moãi

)

(

)

(

)

2 2 k e

T (w (., y)) T (w (., y)) −

≤

−

, ta coù

(

)

L (R )

(1 y) − m!

(5.3.35)

C([0,1];L (R)) .

trong ñoù laø chuaån sup trong

Ta chöùng minh baát ñaúng thöùc (5.3.35) baèng quy naïp.

(

( y

η−

) −η ζ

(

) α ,w ,v )

(cid:110) ) ( α Tw ( , y)

(cid:3) f

( ) ζ

−

( )d ζ η

Khi m 1= , chuù yù raèng

]

, −α α

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 = χ [ 2

1 ζ∫

(

)

Tw (., y) Tw (., y) −

L (R )

)

(

(cid:110) (cid:110) ) α Tw (., y) Tw (., y) −

L (R )

(

( y

η−

) −η ζ

(

)

(

) α ,w ,v )

(

(cid:3) f

( ) ζ

( ) ζ −

,v ) ε

χ [

]

, −α α

(

) ( ) d ζ

∫

1 4

− ζ

L (R )

ta coù

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

129

+∞

(

η−

(

)

(

) α ,w ,v )

(

(cid:3) f

( )e ζ

( ) ζ −

( ) d d ζ η ζ

≤

,v ) ε

χ [

]

, −α α

∫ ∫

−∞

+∞

(

y) η− α

(

)

(

) α ,w ,v )

(

(cid:3) f

( ) ζ −

( ) d d ζ η ζ

≤

,v ) ε

∫ ∫

−∞

+∞

(

)

(

) α ,w ,v )

(

2 e (1 y)

(cid:3) f

≤

−

( ) ζ −

2 ( ) d d η ζ ζ

,v ) ε

∫ ∫ (cid:3) f

−∞

+∞

2 2

(

)

α k e (1 y)

) α w (x,

1( α ) w (x,

) dxd

≤

−

η −

∫ ∫

−∞

(

)

2 2 e (1 y)k w (.,

1( ) w (.,

≤

−

η −

) η

d η

L (R )

∫

(

)

2 e (1 y)k w

≤

−

= + .

Giaû söû (5.3.35) thoûa vôùi m j= . Ta chöùng minh (5.3.35) ñuùng khi m j 1

)

j 1 +

( α T w (., y)

1( T w (., y)

−

)

(

) 2

L (R )

)

−

)

(

)

( (cid:108) ( ( T T w (., y)

)

( (cid:108) 1( T T w (., y)

) 2

L (R )

2 2

(

)

1( T w (.,

≤

−

) η

d η

(

) ) η −

(

) 2

L (R )

1 ∫ k e (1 y) T w (., y

2 2

(

)

≤

2 2 k e (1 y) k e −

−

d η

(

)

∫

) − η j!

j 1 +

(

)

2 2 k e

≤

−

Ta coù

(

)

(1 y) − ( j 1)! +

(

)

(

)

2 2 k e

−

≤

−

Vaäy ta coù (5.3.35), suy ra

( m T w

)

( m T w

) 2

(

)

1 m!

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

130

= , toàn taïi soá nguyeân döông

0m sao cho

( 2 2 lim k e m →∞

1 m!

2 2 k e

1 < .

(

) 0m

1 m ! 0

0mT laø aùnh xaï co töø

Töø

( 2 C [0,1]; L (R) vaøo

)

) ( C [0,1]; L (R) . Suy ra phöông

)

(

)

(

( α T (w ) w

) α ∈

Vaäy

( C [0,1]; L (R)

)

(

)

(

) α T(w ) w

) ) T(T (w )) T(w )

coù nghieäm duy nhaát . trình

(

) ) T (T(w )) T(w )

. Thaät vaäy, ta coù . Do Ta chöùng minh

0mT , ta coù

(

)

(

)

) α T(w ) w

. Do tính duy nhaát cuûa ñieåm baát ñoäng cuûa ñoù

(

) α ∈

, nghóa laø, phöông trình coù nghieäm duy nhaát

( C [0,1]; L (R)

)

(

4 w

) w (., y)

−

0( y)

L (R )

(

( y

η−

) −η ζ

]

(

) α ,w ,v )

(cid:3) f

( ) ζ −

d η ζ

,w ,v ) 0

∫ ∫

⎡ ⎣

⎤ ( ) d ζ ⎦

− ζ

−α

(

( y

η−

) −η ζ

]

(

(cid:3) f

( )d d ζ η ζ

,w ,v ) 0

∫ ∫

− ζ

ζ >α

(

η−

(

) α ,w ,v )

(cid:3) f

≤

( ) ζ −

( ) d d ζ η ζ

,w ,v ) 0 0

∫ ∫

−α

(

η−

(

(cid:3) f

( )d d ζ η ζ

,w ,v ) 0

∫ ∫

ζ >α

(

y) η− α

(

) α ,w ,v )

(cid:3) f

≤

( ) ζ −

( ) d d ζ η ζ

,w ,v ) 0 0

∫ ∫

−α

(

η−

y ζ + α

2y − α

(

(cid:3) f

( )d d ζ η ζ

,w ,v ) 0

∫ ∫

ζ >α

Ta coù

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

131

2y − α

ηα

(

) α ,w ,v )

(cid:3) f

≤

( ) ζ −

2 ( ) d d η ζ ζ

,w ,v ) 0

∫ ∫

−α

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

(

η−

y ζ + α

(

(cid:3) f

,w ,v ) 0 0

∫ ∫

ζ >α

⎫ ⎪ ( )d ζ η ζ⎬ ⎪⎭

+∞

2y − α

ηα

≤

( ) ξ −

2 ( ) d ξ

(

,w ,v ) 0

(

) α ,w ,v )

∫

−∞

⎞ d ξ η ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

ζ +α

(

(cid:3) f

,w ,v ) 0

∫ ∫

ζ >α

⎫ ⎪ ( )d ζ η ζ⎬ ⎪⎭

+∞

)

2y − α

ηα

( α ) w ( ,

) d d

≤

ξ η −

ξ η +

ξ η −

ξ η

k v ( , 0

) w ( , 0

) v ( , ε

∫

−∞

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

)

ζ +α

(

2 ( ) d d ζ

,w ,v ) 0

∫

∫ (cid:3) f

ζ >α

⎫⎪ η ζ⎬ ⎪⎭

)

2 y − α

ηα

( ) w (.,

≤

η −

) η

d η

w (., 0

L (R )

∫

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

+∞

2 2 e k v ( ,

) d d

2 +

ξ η −

ξ η

) v ( , ε

∫ ∫

−∞

)

ζ +α

(

2 ( ) d d ζ

,w ,v ) 0

∫

∫ (cid:3) f

ζ >α

⎫⎪ η ζ⎬ ⎪⎭

)

2 y − α

ηα

( ) w (.,

≤

η −

) η

d η

w (., 0

L (R )

∫

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

2 2 2k e

−

)

ζ +α

(

2 ( ) d d ζ

,w ,v ) 0

∫

∫ (cid:3) f

ζ >α

⎫⎪ η ζ⎬ ⎪⎭

Ñaët

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

132

2 2 M 2k e =

−

)

ζ +α

(

2 ( ) d d η ζ ζ

vaø

,w ,v ) 0 0

∫

∫ (cid:3) f

ζ >α

2 y

(

)

ηα

) w (., y)

( ) w (.,

d M M

−

≤

η −

) η

η +

Suy ra

o( y)

w (., o

L (R )

∫

2 y

(

)

2k (1 y)

−

w (., y) w (., y) −

≤

Söû duïng baát ñaúng thöùc Gronwall, ta coù

(

) M M e

L (R )

(

)

2 y

2k (1 y)

− α

−

w (., y) w (., y) −

≤

(M M )e +

suy ra

L (R )

. (5.3.36)

2 y

2(1 y)

− α

2 k v

−

− α e M 2e 1

−

2 2(1 y)

− α

2D e

Ñoàng thôøi söû duïng meänh ñeà 5.3.1, ta coù

1 ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. (5.3.37)

)

ζ +α

2 y

− α

(

,v ,w )

− α e M e

2 ( ) d d η ζ ζ

∫

∫ (cid:3) f

ζ >α

2 y

− α

(

,v ,w )

(cid:3) f

≤

2 ( ) d d η ζ ζ

∫ ∫

e e

ζ >α

2 ( y 1)

− α +

(

(cid:3) f

≤

( ) ζ

Ngoaøi ra, ta coù

,v ,w ) 0

α =

. (5.3.38)

1 2(1 y) −

1 ε

⎛ ln ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, ta nhaän ñöôïc Keát hôïp (5.3.36)-( 5.3.38) vaø choïn

Chöông 5 : Xaùc ñònh nhieät ñoä töø loã khoan thaêm doø …

133

1 −

(

)

(

2 2k D ln

(cid:3) f

w (., y) w (., y) −

( ) ζ

,v ,w ) 0

L (R )

1 ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

−

1 ε

⎛ 2 C ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1/ 2

−

(

)

Cho neân

w w − o

1 ε

⎛ C ln < ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

)

( w α

v w +

ε =

−

v w −

w v + 0

(

)

≤

−

w w − 0

1/ 2

−

≤

1 ε

⎛ C ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ D ln ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1/ 2

−

(C D) ln

≤

vaø u , ta coù Ñaët

1 ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

■ Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

134

Chöông 6

BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN PHI TUYEÁN TREÂN

MIEÀN BÒ CHAËN

Chöông naøy ñaõ coâng boá trong [3] (cuûa danh muïc coâng trình coâng boá cuûa taùc giaû).

6.1 MÔÛ ÑAÀU

Nhö ñaõ bieát, neáu cho phaân boá nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm ñaàu trong moät vaät theå

daãn nhieät ñöôïc cho thì phaân boá nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm sau coù theå ñöôïc xaùc ñònh

vaø ñaây laø baøi toaùn chænh. Trong Ñòa Vaät Lyù, chuùng ta thöôøng gaëp phaûi baøi toaùn

t> . Ñaây laø baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi

t 0> töø nhieät ñoä ño ñöôïc taïi thôøi ñieåm 1

xaùc ñònh phaân boá nhieät ñoä trong traùi ñaát hoaëc moät phaàn traùi ñaát taïi thôøi ñieåm

gian. Baøi toaùn naøy laø khoâng chænh theo nghóa khoâng luoân coù nghieäm hoaëc ngay

caû khi baøi toaùn coù nghieäm thì nghieäm cuõng khoâng phuï thuoäc lieân tuïc theo nhieät

t= ). Nhö ñaõ noùi ôû treân, baøi toaùn ñöôïc phaùt trieån trong Ñòa Vaät Lyù.

ñoä cuoái (taïi

Ñoàng thôøi baøi toaùn cuõng phaùt trieån trong caùc tình huoáng khaùc nhö: phun nuùi löûa,

noå haït nhaân, …, trong ñoù nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm ñaàu 0t (nghóa laø nhieät ñoä taïi thôøi

t> . Chuùng ta xem moät thí duï veà baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian, baøi

t sau ñoù 1

ñieåm phun hoaëc noå) quaù cao cho neân chæ thuaän lôïi khi ño nhieät ñoä taïi thôøi ñieåm

1u cuûa moät phoøng taïi thôøi

0> ñeå coù nhieät ñoä

toaùn ñieàu khieån nhieät ñoä, baøi toaùn xaùc ñònh nhieät ñoä

t 0u taïi thôøi ñieåm 0

t< . 1

ñieåm 1t

Trong phaàn tieáp theo, chuùng ta xeùt baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian vôùi nguoàn

nhieät phuï thuoäc phi tuyeán vaøo nhieät ñoä. Cuï theå chuùng ta xeùt baøi toaùn ngöôïc thôøi

gian cho phöông trình phi tuyeán sau

(6.1.1) ut(x,t) – uxx(x,t) + λf(x,u(x,t)) = 0, 0 < x < 1, 0 < t < 1

vôùi ñieàu kieän bieân

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

135

u(0,t) = u(1,t) = 0 (6.1.2)

Rλ ∈ , f ∈ C1(R×R) vôùi f(0,0) = 0.

trong ñoù

Cho

u(x,1) = g(x) (6.1.3)

ta xeùt baøi toaùn tìm

u(x,0) = ζ(x). (6.1.4)

Trong (6.1.1), haøm f laø haøm phi tuyeán. Tröôøng hôïp f ≡ 0 ñaõ ñöôïc xöû lyù moät

caùch toång quaùt (trong [8, 58, 78]). Lattes – Lions [58] ñaõ aùp duïng phöông phaùp

töïa khaû nghòch ñeå giaûi baøi toaùn ngöôïc thôøi gian cho phöông trình parabolic phi

tuyeán, nhöng khoâng khaûo saùt veà sai soá cuûa söï hoäi tuï, caùc phöông phaùp khaùc ñaõ

ñöôïc ñeà caäp trong phaàn lôøi noùi ñaàu cuûa luaän aùn. Trong chöông naøy, ta seõ xeùt baøi

toaùn vôùi λ (trong (6.1.1)) tuøy yù. Vôùi λ nhoû, nghieäm töông öùng vaãn giöõ laïi nhöõng

ñaëc ñieåm cuûa tröôøng hôïp tuyeán tính, do ñoù sai soá cuûa söï hoäi tuï seõ ñöôïc khaûo saùt

trong tröôøng hôïp naøy.

Trong phaàn coøn laïi, chuùng toâi seõ trình baøy nhö sau :

Muïc 6.2 - 6.3, xöû lyù toång quaùt veà tính duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn ngöôïc

thôøi gian, söï hoäi tuï veà nghieäm chính xaùc cuûa daõy nghieäm chænh hoùa.

Muïc 6.4 - 6.5, cho xaáp xæ höõu haïn chieàu vaø ñaùnh giaù sai soá trong tröôøng

hôïp ñaëc bieät.

6.2 TÍNH DUY NHAÁT NGHIEÄM

Cho E laø moät soá döông coá ñònh.

H (0,1) :

≤

Chuùng ta tìm nghieäm cuûa (6.1.1)-(6.1.3) trong taäp

1 0

2 ζ + ζ 2

{ = ζ ∈

}

(6.2.1)

trong ñoù laø kyù hieäu chuaån trong L2(0,1). Ta coù

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

136

Ñònh lyù 6.2.1

f ∂ y ∂

Neáu f coù tính chaát bò chaën treân [0,1] R× thì baøi toaùn (6.1.1)-(6.1.3) coù

nhieàu nhaát moät nghieäm trong B.

Chöùng minh

B , Goïi ζ ζ ∈ laø 2 nghieäm cuûa (6.1.1)-(6.1.3). 1

Ñaët

w(x, t) u(x, t; ) u(x, t; = ζ − 1 ) ζ . 2

Khi ñoù w thoûa

[

]

f (x, u(x, t; )) f (x, u(x, t; )) w (x, t) w (x, t) − = −λ − ζ ζ 1

neân theo ñònh lyù Lagrange, ta coù

(x, u(x, t))w(x, t) w (x, t) w (x, t) − = −λ . (6.2.2) f ∂ y ∂

bò chaën treân [0,1] R× , neân toàn taïi M > 0 sao cho Vì f ∂ y ∂

(

) x, y M

[

] 0,1 R

2 M w

≤ λ

(x, y) ∈ ≤ vôùi moïi × . (6.2.3) f ∂ y ∂

w w − t

= vaø w(x,1)

0= , neân theo ñònh lyù Lees-Protter

. (6.2.4) Vaäy (

Maët khaùc w(0, t) w(1, t)

w(x, t)

0= vôùi moïi

[62], ta coù

[ ] 0,1∈

vaø .

u(x, t,

)

ζ vôùi moïi

Suy ra

) ζ = 1

[ ] 0,1∈

] [ 0,1∈

vaø .

ζ = ζ . 1

■

Vaäy

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

137

Löu yù, ta coù theå duøng laäp luaän nhö ôû trong chöông 7 ñeå coù keát quaû nhö vöøa

chöùng minh.

6.3 PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN VÔÙI DÖÕ LIEÄU XAÁP XÆ

Döõ lieäu g toång quaùt laø keát quaû cuûa ño thöïc nghieäm vaø vì theá thöôøng coù sai

soá. Vôùi döõ lieäu ño naøy baøi toaùn töông öùng coù theå khoâng coù nghieäm vaø vôùi sai soá

nhoû theo g daãn tôùi sai soá lôùn theo nghieäm. Tính khoâng oån ñònh ñöôïc chæ ra ngay

trong tröôøng hôïp phöông trình tuyeán tính( xem [7, 38]). Vì theá baøi toaùn laø khoâng

chænh. Ñaëc ñieåm cuûa tính khoâng chænh naøy ñöôïc xem laø khaéc nghieät trong tröôøng

hôïp phi tuyeán.

+∞

)

2 2 n − π

−τ

G(x, t,

, ) ξ τ =

sin n x sin n π

πξ

Ñaët

∑

n 1 =

div(uG Gu , uG) −

= −λ

Gf ( , u( , )) ξ τ

(0, t

)

− ε vaø cho

ε → , ta coù

Tích phaân ñaúng thöùc

t 1

u(x, t)

G(x, t,

,0) ( )d ξ

ζ ξ ξ − λ

, )f ( , u( , ))d d ξ τ ξ τ

ξ τ

∫ ∫

∫

0 0

2 S(t) : L (0,1)

L (0,1)

→

treân mieàn (0,1)

G(x, t,

S(t) (x) ζ

≡

,0) ( )d ζ ξ ξ ξ

laø hoï toaùn töû tuyeán tính phuï thuoäc t xaùc ñònh bôûi Ñaët

∫

∞

2 2 n − π

( )sin n

S(t) (x) ζ

sin n x π

ζ ξ

d πξ ξ

∑

∫

n 1 =

∞

2 2 n − π

sin n x

,sin n

π < ζ

πξ >

∑

n 1 =

2L (0,1) .

ta coù

trong ñoù <,> laø tích voâ höôùng trong

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

138

∞

−

2 2 π

,sin n

S(t)

,sin n

< ζ

πξ >

≤

< ζ

πξ >

2 ζ = 2

∑

1 2

n 1 =

≤ ζ .

Vaäy

[0,1]

2L (0,1)

∈

ζ ∈

Cho neân

S(t)ζ ≤ ζ vôùi moïi t 2

vaø .

S(t

)f (., u(., ))d

u(., t) S(t) (.) =

− λ

− τ

Vaäy nghieäm cuûa baøi toaùn (6.1.1)-(6.1.3) laø

∫

. (6.3.1)

Ghi chuù : Chuù yù raèng neáu ta goïi S(t) laø nöûa nhoùm sinh bôûi Laplacian, xem

S(t)ζ ≤ ζ . 2

[7, 23, 48, 57], ta cuõng coù coâng thöùc (6.3.1) vôùi tính chaát

f ∂ y ∂

bò chaën trong [0,1] R× , söû duïng phöông phaùp laëp Chuù yù raèng neáu giaû söû

C([0,1] R)

∈

ζ ∈

cuûa phöông trình tích phaân Volterra vaø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co thì phöông

trình (6.3.1) coù nghieäm u C([0,1] R) vôùi moïi .

Ñònh lyù 6.3.1

f ∂ y ∂

Giaû söû f coù tính chaát bò chaën trong [0,1] R× .

Goïi g laø döõ lieäu chính xaùc cuûa baøi toaùn (6.1.1)-(6.1.3) vaø gε laø döõ lieäu do ño

2L (0,1) khi

ε → .

g ε → trong

ñaïc, sao cho g

exζ laø nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn (6.1.1)-(6.1.3).

Goïi

εζ cuûa (6.1.1)-(6.1.3) töông öùng vôùi gε vaø

2L (0,1) .

εζ → ζ trong

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

139

Chöùng minh

2L (0,1) , xaùc ñònh bôûi

u(.,1; )

K( )(.) ζ

≡

ζ .

Ñaët K laø aùnh xaï töø B vaøo

(6.3.2)

Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta chia thaønh hai böôùc. Trong böôùc 1, ta chöùng minh

2L (0,1) . Trong böôùc 2, ta chöùng minh

εζ → ζ

K laø ñôn aùnh vaø lieân tuïc töø B vaøo

2L (0,1) .

trong

2L (0,1) .

Böôùc 1 : Ta chöùng minh K laø ñôn aùnh vaø lieân tuïc töø B vaøo (6.3.3)

(t)

u(., t;

) u(., t;

)

Ñaët

ζ − 1

[0,1]

∈

(6.3.4)

(t)

S(t)(

)(.)

S(t

))

f (., u(., ;

− λ

− τ

−

τ ζ

ζ − ζ 1

τ ζ 1

[ ) f (., u(., ;

] )) d

∫

f (., u(., ;

))

f (., u(., ;

+ λ

−

τ ζ

≤ ζ − ζ 1

τ ζ 1

2 )) d 2

∫

) u(., ;

+ λ

(., u(., ))(u(., ; τ

τ ζ

≤ ζ − ζ 1

τ ζ − 1

f ∂ ∂∫ y

2 )) d τ 2

+ λ

ϕ τ

thì vôùi moïi t , ta coù :

(

2 ) ( ) d τ

≤ ζ − ζ 1

2 2

∫

. (6.3.5)

(t)

2 2 M

≤

+ λ

ϕ τ

Suy ra

(

)

(

2 ) ( ) d

ζ − ζ 1

2 2 2

∫

2M t

[0,1]

∈

(t)

e λ

≤

Töø baát ñaúng thöùc Gronwall, suy ra

ζ − ζ 1

2 2

vôùi moïi t . (6.3.6)

) K(

)

2eλ

≤

Thay t =1, ta nhaän ñöôïc

ζ − 1

ζ − ζ 1

. (6.3.7)

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

140

2L (0,1) .

Vaäy K laø ñôn aùnh vaø lieân tuïc töø B vaøo

2L (0,1) .

εζ → ζ trong

0, +∞ xaùc ñònh bôûi

)

Böôùc 2 : ta chöùng minh

Φ ζ ≡

ζ −

Goïi Φ laø aùnh xaï töø B vaøo [

( ) K gε

. (6.3.8)

Bεζ ∈ sao cho

( Φ = Φ ζ .

Do K lieân tuïc neân Φ lieân tuïc treân B, ñoàng thôøi B compact, suy ra toàn taïi

)ε

min B

(6.3.9)

≤

g g −

Vaäy

ζ − ex

ζ − ε

. (6.3.10)

K ζ − ζ

≤

g K − ζ

≤

2 g g −

Vì theá

ζ − ε

. (6.3.11)

2L (0,1) khi

0 ε → , thì

g ε → trong

Vaäy neáu g

K εζ → ζ .

(6.3.12)

2L (0,1) .

Ñoàng thôøi K-1 lieân tuïc treân K(B), ta coù

εζ → ζ trong

(6.3.13)

■

Vaäy ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

6.4 XAÁP XÆ HÖÕU HAÏN CHIEÀU

Trong phaàn naøy chuùng toâi tìm nghieäm trong taäp B ñònh nghóa nhö trong

(6.2.1), chuùng toâi xaây döïng moät daõy xaáp xæ höõu haïn chieàu hoäi tuï veà nghieäm

ε → . Baøi toaùn ñaùnh giaù toác ñoä hoäi tuï ñöôïc thaûo luaän trong phaàn

chính xaùc khi g

sau.

Coù theå xem taäp hôïp B ñònh nghóa trong (6.2.1) döôùi daïng

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

141

∞

1)C

C sin n x π

2 π +

≤

2 n

∑

n 1 =

⎧ = ζ = ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Ta seõ tìm nghieäm trong B.

Ñònh lyù 6.4.1

ζ = öùng vôùi döõ lieäu

ζ ∈ laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình K ex B

Goïi

chính xaùc g.

≤ ε .

gε −

[0,1] R

(x, y) M

∈

Goïi gε laø döõ lieäu do ño ñaïc thoûa

× .

≤

f ∂ y ∂

k( )

ε laø moät soá nguyeân döông sao cho

Giaû söû f coù tính chaát vôùi moïi (x, y)

+∞

Ñaët k

1 <∑ 2 n

n k 1 = +

ε 2 2 M 2 λ E

Goïi Fk laø khoâng gian tuyeán tính sinh bôûi

{ } sin n x n 1,..., k

B F = ∩ . k

vaø

ζ −

kBεζ ∈ sao cho

ζ − ε

min K g B

Goïi .

3 ≤ ε .

K εζ − ζ

ex 2

Khi ñoù

Chöùng minh

ex B ζ ∈ , ñaët

∞

C sin n x π

Töø

ζ = ex

∑

n 1 =

C sin n x B

π ∈

ζ = k

∑

n 1 =

. Choïn

Ta coù

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

142

+∞

2 C sin (n x)dx

C sin n x π

ζ − ζ ex

2 n

∑

∑ ∫

n k 1 = +

k 1 +

+∞

≤

1)C

≤

2 π +

2 n

∑

1 2

1 2 n

k 1 +

ε 2 2 M 2e λ

⎛ ⎜ ⎝

⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝

⎞ ⎟ ⎠

ζ ∈ sao cho

≤

Do ñoù toàn taïi

ζ − ζ ex

k 2

ε 2eλ

K ζ − ζ

≤

g K − ζ

≤ ε +

g Kε − ζ

ζ − ex

k 2

≤ ε +

g K − ζ

K ζ − ζ

2 ≤ ε +

K ζ − ζ

Vaäy

k 2

K ζ − ζ

3 ≤ ε .

Töø (6.3.7), ta coù

■

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Vì K-1 lieân tuïc treân K(B), ta coù heä quaû sau :

Heä quaû 6.4.1

2L (0,1) khi

ε → .

g ε → trong

Vôùi caùc giaû thieát trong ñònh lyù 6.4.1, trong ñoù

2L (0,1) khi

ε → .

εζ → ζ trong

Ta coù

6.5 ÖÔÙC LÖÔÏNG SAI SOÁ

exζ vaø λ ñuû nhoû, chuùng toâi öôùc löôïng

Vôùi ñieàu kieän treân nghieäm chính xaùc

εζ vaø nghieäm chính xaùc

exζ döïa treân sai soá giöõa gε

sai soá giöõa nghieäm chænh hoùa

vaø g.

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

143

Ñònh lyù 6.5.1

ζ = öùng vôùi döõ lieäu chính

exζ laø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình K

Goïi

xaùc g.

0H (0,1) .

ex B V ζ ∈ ∩ trong ñoù V laø khoâng gian höõu haïn chieàu cuûa

Giaû söû

V ,

Ñaët

β =

ζ ∈

0β > .

{ min S(1)

} 1

ζ = 2

, hieån nhieân (6.5.1)

(x, y) M

Giaû söû

≤

∈

(0,1), y R ∈

f ∂ y ∂

vôùi moïi x (6.5.2)

2 Meλ

< β .

vaø (6.5.3)

≤ ε .

Goïi gε laø döõ lieäu do ño ñaïc sao cho

gε −

(6.5.4)

εζ sao cho

1 −

Khi ñoù toàn taïi nghieäm chænh hoùa

2 Me λ

εζ − ζ

ex 2

( ≤ ε β −

)

. (6.5.5)

Chöùng minh

εζ laø ñieåm sao cho

ζ −

Goïi

ζ − ε

min K g V B ∩

. (6.5.6)

K ζ − ζ

≤

−

2 ≤ ε .

Ta coù

ζ − ε

ex 2

(6.5.7)

S(1)(

)

S(1

))

f (., u(., ;

K ζ − ζ

≥

− λ

− τ

τ ζ

−

τ ζ

ζ − ζ ε

[ ) f (., u(., ;

] )) d τ

∫

S(1)(

)

S(1

))

f (., u(., ;

))

≥

− λ

− τ

τ ζ

−

τ ζ

d τ

ζ − ζ ε

[ ) f (., u(., ;

]

∫

Ñoàng thôøi

Chöông 6 : Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën

144

f (., u(., ;

))

f (., u(., ;

− λ

τ ζ

−

τ ζ

≥ β ζ − ζ ε

2 )) d 2

∫

) u(., ;

− λ

τ ζ

≥ β ζ − ζ ε

τ ζ − ε

2 ) d τ 2

1 ∫ M u(., ; 0

M 2eλ

− λ

≥ β ζ − ζ ε

ζ − ζ ε

(6.5.8)

(

M 2e

)

K ζ − ζ

≥ β − λ

Töø (6.5.8) ta coù

ζ − ζ ε

. (6.5.9)

1 −

2 (

M 2e

)

≤ ε β − λ

Töø (6.5.3), (6.5.7), (6.5.9) ta coù

εζ − ζ

ex 2

■

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

145

Chöông 7

BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

PHI TUYEÁN TREÂN MIEÀN KHOÂNG BÒ CHAËN

Chöông naøy ñaõ coâng boá trong [11](cuûa danh muïc coâng trình coâng boá cuûa taùc giaû).

∈ ×

7.1 MÔÛ ÑAÀU

f (x, t, u(x, t)),

(x, t) R (0,T), ∈ ×

−

Cho T 0> , ta xeùt baøi toaùn tìm nhieät ñoä u(x, t), (x, t) R [0,T] sao cho

xx u(x,T)

(x),

= ϕ

⎧ ⎨ ⎩

(x),f (x, t, z)

(7.1.1)

cho tröôùc. Baøi toaùn ñöôïc goïi laø baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi trong ñoù

( t s)p

−

− −

(cid:3) u(p, t)

(p)

(cid:3) f (p,s, u)ds

(cid:3) ϕ

gian phi tuyeán. Söû duïng bieán ñoåi Fourier ta coù theå vieát heä treân döôùi daïng sau

− ∫

+∞

i p − ξ

g(p, t)

g( , t)e ξ

d ξ

(7.1.2)

1 2

π ∫

−∞

. trong ñoù (cid:3)

Nhö ñaõ bieát, baøi toaùn laø khoâng chænh, nghóa laø nghieäm thì khoâng luoân toàn

taïi vaø trong tröôøng hôïp toàn taïi, thì nghieäm khoâng phuï thuoäc lieân tuïc theo döõ lieäu.

Do ñoù, caàn ñöa ra moät pheùp chænh hoùa. Trong boán thaäp kyû qua, nhieàu taùc giaû

nghieân cöùu tröôøng hôïp tuyeán tính cuûa baøi toaùn. Lattes Lions [58], Miller [66] ñaõ

cho phöông phaùp chænh hoùa goïi laø phöông phaùp töïa khaû nghòch baèng caùch nhieãu

phöông trình chính. Clark vaø Oppenheimer [24] ñaõ cho moät pheùp chænh hoùa khaùc

baèng caùch nhieãu giaù trò cuoái goïi laø phöông phaùp töïa bieân. Ngoaøi ra, nhieàu baøi

baùo taäp trung vaøo söï oån ñònh cuûa baøi toaùn tuyeán tính [3].

Maëc duø coù raát nhieàu söï nghieân cöùu trong tröôøng hôïp tuyeán tính cuûa baøi toaùn

ngöôïc thôøi gian, nhöng veà baøi toaùn phi tuyeán thì khoâng nhieàu. Moät keát quaû cho

söï oån ñònh ñoái vôùi phöông trình Ginzburg-Landau ñöôïc cho trong Ames [2].

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

146

Trong chöông 6, chuùng toâi ñaõ khaûo saùt baøi toaùn treân mieàn khoâng gian laø khoaûng

môû (0,1).

−

(cid:108) ε u (p, t)

(p)

(cid:3) f (p,s, u )ds

(cid:3) ϕ

−

Trong chöông naøy, chuùng toâi xaáp xæ Baøi toaùn (7.1.2) bôûi baøi toaùn sau

e s / T

−

∫

ε +

(7.1.3)

+∞

−

ipx

u (x, t)

ipx (p)e dp

(cid:3) ε f (p,s, u )e dsdp

(cid:3) ϕ

−

hoaëc

e s / T

−

∫

∫ ∫

1 2

ε +

−∞

. (7.1.4)

Phaàn coøn laïi cuûa chöông ñöôïc chia thaønh 3 muïc. Trong muïc 7.2, chuùng toâi

trình baøy tính chænh cuûa baøi toaùn (7.1.3). Trong muïc 7.3, chuùng toâi trình baøy söï

duy nhaát nghieäm vaø chænh hoùa cuûa baøi toaùn (7.1.1). Trong muïc 7.4, chuùng toâi ñöa

ra moät ví duï veà tính toaùn soá.

7.2 TÍNH CHÆNH CUÛA BAØI TOAÙN (7.1.3)

Trong phaàn naøy, chuùng toâi seõ trình baøy söï toàn taïi, söï duy nhaát, söï oån ñònh

cuûa baøi toaùn (7.1.3). Ta coù

2L (R)

Ñònh lyù 7.2.1

0= vaø

ϕ ∈

∞∈

f (x, y, w)

f (x, y, v)

k w v

−

≤

−

Cho vaø cho f L (R [0,T] R) thoûa maõn f (x, y,0)

0> ñoäc laäp vôùi x, y, v, w .

C([0,T]; L (R))

vôùi k

ε ∈

. Nghieäm Khi ñoù baøi toaùn (7.1.3) coù nghieäm duy nhaát

C([0,T]; L (R)) .

naøy phuï thuoäc lieân tuïc theo ϕ trong

Chöùng minh

Chöùng minh ñöôïc chia thaønh hai böôùc. Trong böôùc 1, ta chöùng minh söï toàn

taïi vaø söï duy nhaát cuûa baøi toaùn (7.1.3). Cuoái cuøng trong böôùc 2, ta ñöa ra tính oån

ñònh cuûa nghieäm.

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

147

Böôùc 1. Söï toàn taïi vaø söï duy nhaát nghieäm cuûa (7.1.3)

+∞

−

ipx

G(w)(x, t)

(x, t)

(cid:3) f (p,s, w)e dsdp

−

e s / T

−

∫ ∫

1 2

−∞

+∞

−

(x, t)

ipx (p)e dp

w C([0,T]; L (R))

∈

(cid:3) ϕ

Ñaët

−

e ε +∫

−∞

vôùi , vaø .

0= vaø tính Lipschit cuûa f (x, y, w) töông öùng vôùi w,

G(w) C([0,T]; L (R))

w C([0,T]; L (R))

∈

Töø ñieàu kieän f (x, y,0)

w, v C([0,T]; L (R)), m 1

∈

≥ , ta coù

ñieàu naøy daãn tôùi vôùi moïi .

G (w)(., t) G (v)(., t) −

2 ||| w v ||| −

≤

Ta khaúng ñònh, vôùi moïi

m m (T t) C − m!

k ⎛ ⎜ ε⎝

⎞ ⎟ ⎠

(7.2.1)

2L (R) vaø ||| . ||| laø chuaån sup trong

} C max T,1

{

, || . || laø chuaån trong trong ñoù

C([0,T];L (R)) .

Ta chöùng minh baát ñaúng thöùc (7.2.1) baèng quy naïp

(cid:108)

G(w)(., t) G(v)(., t) −

(cid:108) G(w)(., t) G(v)(., t) −

+∞

−

(cid:3) f (p,s, w)

−

e s / T

−

(

) (cid:3) f (p,s, v) ds dp

∫ ∫

−∞

+∞

−

ds f (p,s, w)

2 (cid:3) f (p,s, v) ds dp

≤

−

e s / T

−

∫ (cid:3)

−∞

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ∫ ∫ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:3) f (.,s, v(.,s)) ds

≤

Khi m 1= , ta coù

−

∫ (cid:3) f (.,s, w(.,s))

f (.,s, w(.,s))

f (.,s, v(.,s)) ds

(T t) −

−

∫

1 2 ε

(T t) − 1 2 ε

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

148

(T t) k w(.,s) v(.,s) ds

≤

−

∫

1 2 ε

2 (T t) ||| w v |||

−

k ε

Vì theá (7.2.1) thoûa.

= + . Ta

Giaû söû (7.2.1) thoûa khi m j= . Ta chöùng minh (7.2.1) ñuùng khi m j 1

j 1 +

(cid:108)

G (w)(., t) G (v)(., t) −

(cid:108) G(G (w))(., t) G(G (v))(., t) −

+∞

−

(cid:3) f (p,s,G (w))

(cid:3) f (p,s,G (v)) ds dp

−

e s T

−

(

)

∫ ∫

−∞

+∞

coù

(cid:3) j f (p,s,G (v)) dsdp

≤

−

∫ ∫ (cid:3)

−∞

j f (.,s,G (w)(.,s))

f (.,s,G (v)(.,s)) ds

(T t) −

−

∫

1 2 ε

(T t)k G (w)(.,s)) G (v)(.,s)) ds

≤

−

∫

1 2 ε

2 j T

||| w v ||| ds

≤

(T t)k −

−

(T s) C − j!

1 2 ε

k ⎛ ⎜ ε⎝

⎞ ⎠ ∫ ⎟

2( j 1) +

j 1 +

2 C ||| w v |||

≤

−

f (p,s,G (w)) (T t) − 1 2 ε

k ε

(T t) − ( j 1)! +

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

m 2

C ||| w v |||

||| G (w) G (v) ||| −

≤

−

⎞ ⎟ ⎠

∈

Vì theá, bôûi nguyeân lyù quy naïp, vôùi moïi m ta coù

[ w, v C 0,T ; L (R)

]

k ⎛ ⎜ ε⎝ )

(

G : C 0,T ; L (R)

→

vôùi moïi .

]

[

(

)

( ] C 0,T ; L (R)

)

Xeùt .

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

149

m / 2

0mG laø aùnh

0m sao cho

lim m →∞

C m!

k ⎛ ⎜ ε⎝

⎞ ⎟ ⎠

, toàn taïi soá nguyeân döông Töø

0mG (w) w=

C([0,T]; L (R))

xaï co. Suy ra phöông trình

ε ∈

0mG(G (u )) G(u ) ε ε

. coù nghieäm duy nhaát

u ε=

0mG (G(u )) G(u ) ε ε

. Thaät vaäy, ta coù . Do ñoù Ta chöùng minh G(u ) ε

0mG , ta coù

ε G(u )

ε= u

. Do tính duy nhaát cuûa ñieåm baát ñoäng cuûa

C([0,T]; L (R))

ε ∈

, nghóa laø, phöông trình G(w) w= coù nghieäm duy nhaát

2L (R)

ϕ ∈

. Ta ñaõ chöùng minh ñöôïc böôùc 1.

Bước 2: Nghieäm cuûa baøi toaùn (7.1.4) phuï thuoäc lieân tuïc theo

Goïi u vaø v laø hai nghieäm cuûa (7.1.4) töông öùng caùc giaù trò cuoái ϕ vaø Φ .

+∞

−

(p)

u(., t) v(., t) −

≤

(cid:3) ϕ

(cid:108) − Φ

−

(

)

∫

ε +

−∞

+∞

−

(cid:3) f (p,s, u)

2 +

−

Töø (7.1.3)-(7.1.4) ta coù

e s / T

−

(

) (cid:3) f (p,s, v) ds dp

∫ ∫

−∞

. (7.2.2)

t> vaø

0α >

−

e t / s

1 t / s −

−

α +

)

(

)

t / s

1 t / s −

−

α +

1 (

(

) 1

)

t / s 1−

≤ α

Ta coù s

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

150

−

t / T 1 −

≤ ε

,s T Choïn α = ε = , ta nhaän ñöôïc

−

ε +

s / T

α = ε

. (7.2.3)

−

t / T s / T −

≤ ε

Ñaët , ta coù

e s / T

−

. (7.2.4)

u(., t) v(., t) −

+∞

2(t / T 1)

2t / T

2s / T

−

(cid:3) f (x,s, u)

(cid:3) f (x,s, v) ds

Do ñoù, töø (7.2.2) daãn ñeán

(cid:3) (cid:108) ϕ − Φ +

∫ ∫

−∞

2(t / T 1)

2s / T

−

2t / T 2 k

2 ≤ ε 2(T t) − ε ε −

(cid:3) (cid:108) ϕ − Φ +

∫

u(.,s) v(.,s) ds 2 ≤ ε 2(T t) − ε ε − .

2(t / T)

2(s / T)

−

2 −

−

2k (T t)

u(.,s) v(.,s) ds

u(., t) v(., t) −

≤ ε ϕ − Φ +

−

Vì theá, ta coù

∫

t / T 1 −

2 exp k T(T t)

u(., t) v(., t) −

≤

2 ε

−

ϕ − Φ .

(

)

Söû duïng baát ñaúng thöùc Gronwall ta coù

■

Ñònh lyù 7.2.1 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

7.3 SÖÏ DUY NHAÁT VAØ CHÆNH HOÙA CUÛA BAØI TOAÙN (7.1.1)

Trong phaàn naøy chuùng toâi trình baøy tính duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn

(7.1.1) (ñònh lyù 7.3.1) vaø ñöa hai keát quaû chænh hoùa (ñònh lyù 7.3.2 vaø 7.3.3) cho

tröôøng hôïp döõ lieäu chính xaùc, cuoái cuøng laø ñöa keát quaû chænh hoùa (ñònh lyù 7.3.4)

cho tröôøng hôïp döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño ñaïc.

Tröôùc tieân ta coù moät keát quaû veà tính duy nhaát

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

151

Định lyù 7.3.1

,fϕ nhö trong ñònh lyù 7.2.1 vaø f (x, t, z) coù ñaïo haøm rieâng theo bieán z bò

Cho

× thì baøi toaùn (7.1.1) coù nhieàu nhaát moät nghieäm

u C([0,T]; H (R)) L (0,T; H (R)) C ((0,T); H (R))

chaën treân R (0,T) R

∩

∈

Chứng minh

Chöùng minh ñöôïc ñöa ra vôùi kyõ thuaät töông töï trong [32], trang 173-176.

(x, t, z) M

f ∂ z ∂

∈ ×

× .

Goïi M 0> thoûa

vôùi moïi (x, t, z) R (0,T) R

1u vaø

2u laø hai nghieäm cuûa baøi toaùn (7.1.1) sao cho

C([0,T]; H (R)) L (0,T; H (R)) C ((0,T); H (R))

∈

∩

Goïi

u , u 1

w(x, t)

u (x, t) u (x, t) −

w (x, t) w (x, t) −

−

Ñaët . Thì w thoûa phöông trình

f (x, t, u (x, t)) 1

f (x, t, u (x, t)) 2

(x, t, u(x, t))w(x, t)

w (x, t) w (x, t) −

Vaäy

f ∂ z ∂

vôùi u(x, t) naøo ñoù.

2 M w

≤

Töø ñoù suy ra

(

w w − t

C([0,T]; H (R)) L (0,T; H (R)) C ([0,T]; H (R))

∩

Ta kyù hieäu TP laø taäp taát caû caùc haøm trong

{ } R t T

,trieät tieâu treân ,

{ R t ×

} 0

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

152

(t)

t T

= − − η . Vôùi moãi

v P∈ vaø soá nguyeân döông m, ta ñaët

v−= λ

Ñaët

(.,.) laø tích voâ höôùng trong

2L (I) , I R (0,T) = ×

Neáu ta kyù hieäu laø chuaån vaø

−

1 − m z

−

− λ

−

v ) t

≥ −

2(z , z ) 2m z , + t

z λ

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

dxdt m

1 − z

x tx

∫∫ 2 z z dxdt m

∫∫

∂ t ∂

⎛ z ⎜ λ⎝

⎞ ⎟ ⎠

m 1 − −

≥

, ta nhaän ñöôïc

(t) T

. (7.3.1)

≤ + η vaø (7.3.1), ta coù

−

v, v

( − λ

−

( = λ

( − λ

v ) t

v, v ) t

v, v ) xx

2m 2

−

dxdt

(

v )dxdt

(

∫∫

1 2

∂ t ∂

−

2m 1 2 −

v )dxdt

λ∫∫ m ( I

−

m 1 − −

m(T

≥ λ

−

) + η λ

2 x 2

−

≥ λ

−

) + η λ

−

Töø

v ) t

−

) + η λ

−

+ λ

v ) t

m 1 − −

m 1 − +

≤

−

v ) t

1 2

−

≤

−

Vì theá

(

2 ) + η λ

v ) t

1 2m

1 2

Do ñoù

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

153

−

2 ) + η +

−

≥ λ

v ) t

1 1 + 2m 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ) + η λ ⎟ ⎠

(7.3.2) .

−

m 1 − −

2 ) + η +

−

≥ λ

+ λ

Keát hôïp (7.3.1), (7.3.2), cho ta

v ) t

1 3 + 2m 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ) + η λ ⎟ ⎠

2 ) KM

≤ trong ñoù

0η sao cho

η ≤ η vaø 0

( µ + η 0

1 2

)

+ µ + η .

( µ + η 0

1 3 + 2m 2

Ta choïn µ vaø

Ta chia baøi toaùn thaønh hai tröôøng hôïp.

2C (R)

ζ ∈

(t)

Tröôøng hôïp 1: T ≤ µ

< vaø

= khi

≤ < , (t) 1 ζ

= khi

t T < ≤ .

Goïi thoûa

w= ζ thuoäc vaøo TP vaø vì theá, bôûi (7.3.2)

+∞

−

(

v )) dxdt K

(

2 w )) dxdt

−

∫ ∫

−∞

t 1

−

v ) t

−

m 1 − −

≥ λ

+ λ

2 x 2

+∞

m 1 − −

−

(

2 w) dxdt

dxdt

≥

Haøm v

(

)

∫ ∫

−∞

≤

−

(w w ) M w xx

+∞

−

(

2 w )) dxdt

−

∫ ∫

−∞

+∞

−

(

2 w) dxdt

≤

∫ ∫

−∞

, ta coù Keát hôïp vôùi

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

154

+∞

m 1 − −

(t T

2 ) (

2 w) dxdt

≤

− − η λ

∫ ∫

−∞

+∞

m 1 − −

2 KM (

(

2 w) dxdt

≤

) µ + η

∫ ∫

−∞

+∞

m 1 − −

(

2 w) dxdt

≤

∫ ∫

1 2

−∞

+∞

−

m 1 − −

(

2 v )) dxdt

(

2 w) dxdt

−

≥

Ta coù

∫ ∫

1 2

−∞

t 1

T <

t Baát ñaúng thöùc naøy daãn ñeán vôùi moãi 2

+∞

−

2m 2 −

2 v ) dxdt

2 w dxdt

+ η −

−

≥

+ η −

t ) 2

t ) 3

∫ ∫

1 2

−∞

t 1

−

→

x R, t ∈

t T < < .

T T

t t

+ η − + η −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

khi m → ∞ , vì theá w 0≡ khi Do

. Ta coù theå choïn 3t nhoû tuøy yù neân w 0≡ trong R [0,T]

Tµ <

,T]

− µ

Tröôøng hôïp 2:

R [T 2 ,T

]

− µ

− µ , v.v. … Ñònh lyù 7.3.1 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

■

Ta coù theå chöùng minh w 0≡ trong R [T , roài tieáp tuïc trong

Baây giôø chuùng toâi seõkhaúng ñònh moät vaøi keát quaû chænh hoùa döïa treân caùc giaû

thieát treân nghieäm chính xaùc cuûa baøi toaùn (7.1.1).

(cid:3)2Tp

(p) L (R)

,fϕ nhö trong ñònh lyù 7.2.1 vaø

Ñònh lyù 7.3.2

ϕ ∈

. Giaû söû raèng baøi toaùn Vôùi

u C([0,T];L (R))

∈

(7.1.2) coù moät nghieäm

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

155

+∞

(cid:3) tp e u(p, t)

dpdt

thoûa maõn

< ∞

(

)

∫ ∫

∂ t ∂

−∞

−

t T

M exp(

)

u(., t) u (., t) −

≤

3k T(T t) 2

+∞

(p) dp 3T

(cid:3) sp e u(p,s)

dpds

M 3 e =

(cid:3) ϕ

[0,T]

Khi ñoù

∈

(

)

∫

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

trong ñoù vaø u ε vôùi moïi t

laø nghieäm duy nhaát cuûa baøi toaùn (7.1.4).

Chöùng minh

+∞

(cid:108) (cid:3) ε u(p, t) u (p, t) dp

u(., t) u (., t) −

−

∫

−∞

+∞

−

(t s)p

−

− −

(p)

(cid:3) f (p,s, u)ds

−

(cid:3) ϕ

−

∫

ε +

−∞

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

(cid:3) ε f (p,s, u )ds dp

e s T

−

∫

+∞

−

(p)

(cid:3) ε f (p,s, u )

(cid:3) f (p,s, u) ds

(cid:3) ϕ

−

e s T

−

(

)

∫

(

)

ε +

−∞

s T

−

(cid:3) f (p,s, u)ds dp

−

s T

−

∫

(

)

−

(p) dp

≤

(cid:3) ϕ

−

∫

(

)

ε +

+∞ 3 −∞

−

(cid:3) ε f (p,s, u )

(cid:3) f (p,s, u) ds dp

−

e s T

−

∫ ∫

+∞ 3 −∞

Ta coù

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

156

s T

−

(cid:3) f (p,s, u)ds dp

s T

−

∫ ∫

(

)

+∞ 3 −∞

+∞

2t T

2 (p) dp

3 ≤ ε

(cid:3)2 ϕ

∫

−∞

t T s T −

(cid:3) ε f (p,s, u )

(cid:3) f (p,s, u) ds

−

+∞ 3 + −∞

⎛ ∫ ∫ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

t T

(cid:3) f (p,s, u) ds

+∞ 3 + −∞

⎛ ∫ ∫ ε⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

+∞

2t T

2 (p) dp

3 ≤ ε

(cid:3)2 ϕ

∫

−∞

+∞

2t T

2s T

−

(cid:3) ε f (p,s, u )

(cid:3) f (p,s, u) dsdp

3 + ε

(T t) −

−

∫ ∫

−∞

+∞

2t T

(cid:3)

3 + ε

(T t) −

(

) sp e u(p,s) dsdp

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

+∞

2t T

2s T

−

ε f (.,s, u (.,s))

f (.,s, u(.,s)) ds

3 ≤ ε

(cid:3)2 ϕ

(p) dp 3 + ε

(T t) −

−

∫

−∞

+∞

2t T

(cid:3)

3 + ε

(

) sp e u(p,s) dpds

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

+∞

2t T

2s T

−

(p) dp 3k

u (.,s) u(.,s) ds

3 ≤ ε

(cid:3)2 ϕ

2 2t T ε

−

∫

−∞

+∞

2t T

(cid:3)

3 + ε

(

) sp e u(p,s) dpds

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

2t T

2s T

−

u (., t) u(., t) M 3k T

u (.,s) u(.,s) ds

≤

−

∫

Vì theá

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

157

+∞

(cid:3)

(p) dp 3T

M 3 =

(cid:3) ϕ

(

) sp e u(p,s) dpds

∫

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

trong ñoù .

2t T

3k T(T t )

−

u(., t) u (., t) Me

≤

−

Söû duïng baát ñaúng thöùc Gronwall, ta ñöôïc

t T

3k T(T t ) 2

−

u(., t) u (., t) −

≤ ε

Suy ra

■

Ñònh lyù 7.3.2 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

(cid:3)2Tp

(p) L (R)

Ñònh lyù 7.3.3

,fϕ nhö trong ñònh lyù 7.2.1 vaø

ϕ ∈

. Giaû söû raèng Baøi toaùn Vôùi

u C([0,T];L (R))

∈

(7.1.2) coù moät nghieäm

+∞

(cid:3)

< ∞

(

) tp e u(p, t) dpdt

∫ ∫

∂ t ∂

−∞

L ((0,T); L (R))

∈

(0,1)

thoûa maõn

ε ∈

ε > sao cho

1 4

−

8C T ln

≤

u(.,0) u (., t ) − ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

vaø . Khi ñoù vôùi moïi toàn taïi t

u (.,s) ds

trong ñoù

= ∫

(7.3.3)

+∞

(cid:3)

C max exp

(p) dp 3T

(cid:3) ϕ

vaø

(

) sp e u(p,s) dpds, N

∫

∫ ∫

2 3k T 2

∂ s ∂

+∞ 3 −∞

−∞

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

. (7.3.4)

Chöùng minh

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

158

u (x,s)ds

u(x, t) u(x,0) −

Ta coù

= ∫

u(.,0) u(., t) −

≤

Ñieàu naøy daãn ñeán

t 2 2 ∫ t u (.,s) ds N t 0

u(.,0) u (., t) −

≤

u(.,0) u(., t) −

u(., t) u (., t) −

t T

)

≤

+ ε

Söû duïng ñònh lyù 7.3.2 vaø (7.3.3)-(7.3.4), ta coù

t T ε

(0,1)

ε ∈

ε > sao cho

ε = ε

Vôùi moãi , toàn taïi duy nhaát t , nghóa laø

ln t t

2ln T

ln t

> − vôùi moïi t

0> , ta nhaän ñöôïc

1 t

1 4

−

8C T ln

≤

Söû duïng baát ñaúng thöùc

u(.,0) u (., t ) − ε

⎛ ⎜ ⎝

⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

■

Ñònh lyù 7.3.3 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Trong tröôøng hôïp döõ lieäu khoâng chính xaùc, ta coù

(cid:3)2Tp

(p) L (R)

,fϕ nhö trong ñònh lyù 7.2.1 vaø

Ñònh lyù 7.3.4

ϕ ∈

. Giaû söû raèng Baøi toaùn Vôùi

u C([0,T]; L (R))

∈

(7.1.2) coù moät nghieäm

+∞

(cid:3)

< ∞

(

) tp e u(p, t) dpdt

∫ ∫

∂ t ∂

−∞

thoûa maõn

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

159

L ((0,T); L (R))

∈

2L (R)

(0,1)

vaø .

ε ∈

εϕ ∈

εϕ − ϕ ≤ ε .

Vôùi vaø laø döõ lieäu nhaän ñöôïc do ño ñaïc sao cho

εϕ ta coù theå xaây döïng moät haøm u ε thoûa maõn

−

t T

(2 M ) exp(

)

Khi ñoù töø

u (., t) u(., t) −

≤

3k T(T t) 2

(0,T)

∈

1 4

−

8 T ln

2 (exp(k T ) C)

u (.,0) u(.,0) −

≤

⎛ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

vaø vôùi moïi t

+∞

(cid:3)

(p) dp 3T

M 3 =

(cid:3) ϕ

trong ñoù C ñöôïc ñònh nghóa trong (7.3.3) vaø (7.3.4) vaø

(

) sp e u(p,s) dpds

∫

∫ ∫

∂ s ∂

−∞

Chöùng minh

εϕ vôùi ϕ ,

εϕ trong veá phaûi cuûa (7.1.4). Goïi t

ε > laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình

t T ε

Goïi vε vaø w ε laø nghieäm cuûa baøi toaùn (7.1.4) töông öùng vôùi ϕ vaø

ε = ε

(7.3.5) .

1 4

−

8C T ln

v (., t ) u(.,0) −

≤

Söû duïng ñònh lyù 7.3.3, ta coù

⎛ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

(7.3.6) .

w (., t),

t T,

< <

u (., t)

Ñaët

w (., t ),

⎧ ⎪ = ⎨ ⎪⎩

u (., t) u(., t) −

≤

w (., t) v (., t) −

v (., t) u(., t) −

Töø ñònh lyù 7.3.2 vaø Böôùc 2 cuûa ñònh lyù 7.2.1, ta ñöôïc

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

160

−

t T

( 2 M ) exp(

)

≤

3k T(T t) 2

(0,T)

∈

vôùi moïi t .

u (.,0) u(.,0) −

≤

v (., t ) u(.,0) −

w (., t ) v (., t ) − ε

1 4

−

t T ε

2 2 exp(k T )

8C T ln

≤

⎛ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

1 4

−

8 T ln

2 exp(k T ) C

≤

(

)

⎛ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ε⎝ ⎠ ⎠

Töø (7.3.5)-(7.3.6) vaø böôùc 2 trong ñònh lyù 7.2.1, ta coù

trong ñoù C xaùc ñònh trong (7.3.3)-(7.3.4).

■

Ñònh lyù 7.3.4 ñaõ ñöôïc chöùng minh.

7.4 VÍ DUÏ VEÀ TÍNH TOAÙN SOÁ

f (x, t, u(x, t))

−

Xeùt phöông trình

−

2x 4

f (x, t, u(x, t))

u e +

1 2

tx 4

⎛ 1 −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

trong ñoù

−

2x 4

u(x,1)

(x)

= ϕ

vaø

−

2x 4

u(x, t)

Nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình laø

−

2x 4

≡

Ñaët

u (x) 0

99 100

⎛ u x, ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

161

−

2x 4

(x)

1)e

( = ε +

0 ε > ,

εϕ

+∞

−

2x 2

= ε

Vôùi . Ta coù

ϕ − ϕ ε

0 2

∫

−∞

−

0u (x) laø (cid:108)

εϕ , ta

u (p) 0

99 2 100

(p)

Bieán ñoåi Fourier cuûa . Töø döõ lieäu ño ñaïc

0u (p) bôûi haøm (cid:110)

,4000

(p)

1) 2e−

( = ε +

ñöôïc tính bôûi coâng thöùc sau xaáp xæ (cid:108)

(cid:109) (cid:108) ,0u (p) ε= ϕ ε

1 40000

1 a.m

= −

−

p m 1 +

(cid:3) .f (p,s, u

)ds

−

, m 1, 2,..., 4000

(cid:110) u ,m 1 + ε

(cid:110) u ,m ε

e s t

−

t p m

∫

ε +

m 1 +

−

(cid:3) f (p,s, u

)

2 2p e

−

(cid:110) u ,m ε

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

5 10−

1 10− ε =

ε = 2

3 10− ε =

,1,

, 2,3,..., 20

−

Vôùi ε laàn löôït laø , , .

(cid:108) 0

(cid:109) ε

max v (p) u (p) p P ∈

1 1 , 3 2

3 2

⎧ = ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Ñaët , , i 1, 2,3 , ta nhaän

ñöôïc caùc baûng sau

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

162

1 10− ε =

(cid:108) 0

(cid:108) 0u (p)

(cid:109) v (p) u (p) − ε 1

(cid:109) v (p) ε 1

7 0.92 10−×

0.146 10−×

1.252838959 1.252838867

8 2.2 10−×

1.090376724 1.090376578

0.566 10−×

0.5150574940 0.5150574720

119

142

167

111

194

112

125

222

126

140

252

141

156

284

157

173

57311

174

8 2.138 10−× 10 3.753 10−× 6.569 10−× 16 1.3454 10−× 3.4515 10−× 26 1.08968 10−× 2.491646946 10−× 36 9.296022612 10−× 5.208372078 10−× 3.949279601 10−× 4.052703190 10−× 74 5.628371441 10−× 1.057868631 10−× 2.690864097 10−× 9.263238056 10−× 4.315637144 10−× 2.721059608 10−× 2.321893123 10−× 2.681374230 10−×

1 3 1 2 1 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

6 0.146 10− ×

0.1475664428 0.1475664994

1 0.2564320266 10−× 3 0.1727825404 10−× 6 0.1575572826 10−× 10 0.1944411337 10−× 0.3247497638 10−× 0.7340414409 10−× 0.2245449802 10−× 0.9296022329 10−× 0.5208372078 10−× 0.3949279601 10−× 0.4052703190 10−× 0.5628371441 10−× 0.1057868631 10−× 0.2690864097 10−× 0.9263238056 10−× 0.4315637144 10−× 0.2721059608 10−× 0.2321893123 10−× 0.2681374230 10−× ε =

0.02564322404 0.0001727829157 7 1.575579395 10−× 11 1.944424791 10−× 3.247532153 10−× 7.340523377 10−× -2.461971438 10−× -2.830540629 10−× -1.325560604 10−× -1.137270718 10−× -1.793663436 10−× -5.213859057 10−× -2.798976259 10−× -2.779461384 10−× -5.112214920 10−× -1.743444057 10−× -1.103422553 10−× -1.296979439 10−× 2.274940969 10−× . Trong tröôøng hôïp naøy

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

163

5 10−

ε = 2

(cid:108) 0

(cid:109) v (p) u (p) − ε

(cid:109) v (p) ε

(cid:108) 0u (p)

2 0.5589530 10−×

0.5589221 10−×

1.252838959 1.247249429

2 0.55788455 10−×

1.090376724 1.084787503

2 0.55084388 10−×

0.5150574940 0.5094786485

121

143

166

191

111

218

111

125

246

125

140

276

140

156

173

67310

173

2 0.504970333 10−× 3 0.1733373743 10−× 6 0.1575581416 10−× 10 0.1944411339 10−× 0.3247497638 10−× 0.7340414409 10−× 27 0.2245449802 10−× 0.9296022329 10−× 0.5208372078 10−× 52 0.3949279601 10−× 0.4052703190 10−× 73 0.5628371441 10−× 0.1057868631 10−× 0.2690864097 10−× 09263238056 10−× 0.4315637144 10−× 0.2721059608 10−× 0.2321893123 10−× 0.2681374230 10−×

1 3 1 2 1 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1475664428 0.1420580040

2 0.5589530 10−

1 0.2059349933 10−× 6 -0.5548338928 10−× 12 -0.8590309729 10−× -0.2212355644 10−× -0.9862089868 10−× -0.7783816564 10−× -0.1103059786 10−× 67 -0.2832598336 10−× -0.1326524239 10−× -0.1138097472 10−× -0.1794967365 10−× -0.5217649344 10−× -0.2801011014 10−× -0.2781481952 10−× -0.5115931316 10−× -0.1744711478 10−× -0.1104224701 10−× 0.1443261738 10−× 0.2274963720 10−× ×

101 60552

. Trong tröôøng hôïp naøy

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

164

3 10− ε =

(cid:108) 0

(cid:109) v (p) u (p) − ε

(cid:109) v (p) ε

(cid:108) 0u (p)

1 0.54784242 10−×

1 0.54619332 10−×

1.252838959 1.198054717

0.531531840 10−×

1.090376724 1.035757392

1 0.467464491 10−×

0.5150574940 0.4619043100

122

144

167

192

111

219

111

125

247

125

140

277

140

156

60952

156

173

67710

173

1 0.2295750334 10−× 3 0.1728380171 10−× 6 0.1575573685 10−× 10 0.1944411337 10−× 0.3247497638 10−× 0.7340414409 10−× 27 0.2245449802 10−× 0.9296022329 10−× 0.5208372078 10−× 52 0.3949279601 10−× 0.4052703190 10−× 73 0.5628371441 10−× 0.1057868631 10−× 0.2690864097 10−× 09263238056 10−× 0.4315637144 10−× 0.2721059608 10−× 0.2321893123 10−× 0.2681374230 10−×

1 3 1 2 1 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.1475664428 0.1008199937

1 0.54784242 10−

2 0.2685699321 10−× 7 -0.5547666205 10−× 13 -0.8590563491 10−× -0.2212419963 10−× -0.9862376579 10−× -0.7784042855 10−× -0.1103091854 10−× -0.2832680685 10−× -0.1326562804 10−× -0.1138130559 10−× -0.1795019548 10−× -0.5217801032 10−× -0.2801092445 10−× -0.2781562816 10−× -0.5116080047 10−× -0.1744762201 10−× -0.1104256804 10−× 0.1443391628 10−× 0.2275168467 10−× ×

102

. Trong tröôøng hôïp naøy

0u (p) vaø cuûa nhöõng ñieåm ñaõ tính

(cid:109) (cid:109) (cid:109) u (p), u (p), u (p), p P. ∈ ε ε ε 1

Ta coù ñoà thò cuûa (cid:108)

Chöông 7: Baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò chaën

165

Keát luaän

166

KEÁT LUAÄN

Trong luaän aùn chuùng toâi ñaõ ñaït ñöôïc caùc keát quaû sau ñaây:

1/ Chænh hoùa baøi toaùn ngöôïc thôøi gian (töø caùc döõ lieäu rôøi raïc) cho phöông

trình nhieät daïng tuyeán tính baèng caùch duøng ña thöùc Legendre vaø baøi toaùn

moment khi döõ lieäu ño nhaän ñöôïc taïi moät daõy ñeám ñöôïc phaân boá nhieät u taïi thôøi

ñieåm t = 1, sau ñoù xaùc ñònh phaân boá nhieät u taïi thôøi ñieåm t = 0.

2/ Chænh hoùa heä phöông trình tích chaäp xuaát phaùt töø phöông trình nhieät baèng

phöông phaùp chaët cuït caùc taàn soá xaáu cuûa tích phaân trong khoâng gian taàn soá vaø töø

ñoù ñöa ra ba aùp duïng:

Thöù nhaát: Khaûo saùt baøi toaùn tích chaäp moät chieàu xem nhö moät môû roäng keát

quaû cuûa Baumeister [15], (chöông 10, trang 183-190) trong ñoù ta thoáng nhaát hai

0> vôùi moïi p vaø (cid:3)k coù khoâng ñieåm (taàn soá kyø dò) vaøo trong moät

tröôøng hôïp (cid:3)k(p)

keát quaû.

Thöù hai: baøi toaùn tìm thoâng löôïng nhieät töø loã khoan thaêm doø, phaàn naøy cho

moät ví duï thöïc teá veà tröôøng hôïp (cid:3)k coù khoâng ñieåm.

Thöù ba: Baøi toaùn tìm nhieät ñoä beà maët cuûa moät vaät theå hai lôùp, phaàn naøy ví duï

cho moät heä phöông trình tích chaäp.

3/ Chænh hoùa baøi toaùn tìm nhieät ñoä beà maët cuûa moät vaät theå hai lôùp (moät chieàu

khoâng gian) vaø cuûa moät vaät theå moät lôùp (hai chieàu khoâng gian) töø vieäc ño nhieät

ñoä phía trong cuûa vaät theå.

4/ Chænh hoùa baøi toaùn phi tuyeán xaùc ñònh nguoàn nhieät töø giaù trò bieân vaø giaù trò

cuûa nhieät ñoä taïi caùc thôøi ñieåm t = 0 vaø t = 1.

5/ Chuùng toâi ñaõ chænh hoùa baøi toaùn loã khoan thaêm doø phi tuyeán (chöông 5).

Keát luaän

167

6/ Chænh hoùa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn bò chaën baèng

caùch duøng haøm Green, phöông phaùp chaët cuït chuoãi. Nghieäm xaáp xæ oån ñònh ñöôïc

xaây döïng trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät.

7/ Chænh hoùa baøi toaùn nhieät ngöôïc thôøi gian phi tuyeán treân mieàn khoâng bò

chaën baèng caùch xaáp xæ phöông trình ban ñaàu baèng phöông trình coù nghieäm oån

ñònh. Nghieäm xaáp xæ oån ñònh ñöôïc xaây döïng.

KIEÁN NGHÒ NHÖÕNG NGHIEÂN CÖÙU TIEÁP THEO

Trong thôøi gian tôùi chuùng toâi seõ giaûi baøi toaùn loã khoan thaêm doø (ñöôïc trình

baøy trong chöông 3) vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp vaø seõ coá gaéng tìm nghieäm chænh

hoùa toát hôn cho baøi toaùn loã khoan thaêm doø phi tuyeán (ñöôïc trình baøy trong

chöông 5). Kính mong söï giuùp ñôõ cuûa quyù thaày coâ, quyù ñoàng nghieäp.

Taøi lieäu tham khaûo

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

[1] O.M.Alifanov, Inverse heat transfer problem, Springer-Verlag, 1998.

[2] K.A.Ames, Continuous dependence on modelling and non-existence results

for a Ginzburg-Landau equation, Math. Meth. Appl. Sci., Vol. 23, 1537-1550,

2000.

[3] K.A.Ames and R.J.Hughes, Structural stability for ill-posed problems in

Banach space, Semigroup Forum, Vol. 70, 127-145, 2005.

[4] K.A.Ames, L.E.Payne, Stabilizing the backward heat equation against errors

in the initial time geometry. Inequalities and applications, World Sci. Ser. Appl.

Anal., 3, World Sci. Publishing, River Edge, NJ., 47-52, 1994.

[5] K.A.Ames and L.E.Payne, Asymptotic behavior for two regularizations of the

Cauchy problem for the backward heat equation, Math. Models Methods Appl.

Sci. 8, no 1, 187-202, 1998.

[6] K.A.Ames and B.Straughan: Non-standard and Improperly Posed Problems,

Academic Press, San Diego, 1997.

[7] D.D.Ang, On the backward parabolic equation: a critical survey of some

current methods in numerical analysis and mathematical modelling, Banach

Center Publications, 24, Warsaw, 1990.

[8] D.D.Ang, Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a

parabolic evolution equation, J. Math. Anal. and Appl., Vol. 111, 148-155, 1985.

[9] D.D.Ang, A.P.N.Dinh and D.N.Thanh, An inverse Stefan problem:

identification of boundary value, J. of Comp. and Appl. Math. 66, pp 75-84, 1996.

Taøi lieäu tham khaûo

[10] D.D.Ang, A.P.N.Dinh and D.N.Thanh, Regularization of an inverse Stefan

problem, J. of Diff. and Integ. Eqs., 9, 371-380, 1996.

[11] D.D.Ang, A.P.N.Dinh and D.N.Thanh, A bidimensional inverse Stefan

problem: identification of boundary value, J. of Comp. and Appl. Math., 80, 227-

240, 1997.

[12] D.D.Ang, R.Gorenflo and D.D.Trong, A multidimensional Hausdorff

moment problem: regularization by finite moments, Zeitschrift für Anal. und ihre

Anwendungen 18, N0 1, 13-25, 1999.

[13] D.D.Ang, R.Gorenflo, L.K.Vy and D.D.Trong, 2002. Moment theory and

some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lecture Notes

in Mathematics 1792, Springer, 2002.

[14] D.D.Ang and D.D.Hai, On the backward heat equation, Annales Polonici

Mathematici LII, 1990.

[15] J. Baumeister, Stable solutions of Inverse Problems, Vieweg, 1987.

[16] J.V.Beck, B.Blackwell and C.R.St.Clair, Inverse Heat Conduction, Ill-posed

Problem, Wiley, New York, 1985.

[17] G.Bluman, V.Shtelen, Nonlocal transformations of Kolmogorov equations

into the backward heat equation, J. Math. Anal. Appl. 291, No. 2, 419-437, 2004.

[18] N.Cam, N.V.Nhan, A.P.N.Dinh, The backward heat equation: regularization

by cardinal series, Arch. Inequal. Appl. 2, 355-363, 2004.

[19] J.R.Cannon, The one-dimensional heat equation, Encyclopedia of

Mathematics and its applications, 23, Addision-Wesley, 1984.

Taøi lieäu tham khaûo

[20] J.R.Cannon, S.Peùrez Esteva, Uniqueness and stability of 3D heat sources,

Inverse problems 7, No. 1, 57-62, 1991.

[21] J.R.Cannon, S.Peùrez Esteva, Some stability estimates for a heat source in

terms of over specified data in the 3-D heat equation, J. Math. Anal. Appl., 147,

No. 2, 363-371, 1990.

[22] A.Carasso, Determining surface temperatures from interior observations,

SIAM J. Appl. Math. 42, pp. 558-547, 1981.

[23] T.Cazenave and A.Haraux, An Introduction to Semilinear Evolution

Equations, Clarendon Press, Oxford, 1998.

[24] G.Clark and C.Oppenheimer, Quasireversibility Methods for Non-Well-

Posed Problem, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 8, pp. 1-9,

1994.

[25] D.Colton, The inverse Stefan problem, Ber. Gesellsch. Math. Datenverarb.,

77, 29-41, 1973.

[26] D.Colton, The inverse Stefan problem for the heat equation in two space

variables. Mathematika, 21, 282-286, 1974.

[27] D.Colton, Partial differential equations, Random House, New York, 1988.

[28] P.N.Dinh, D.D.Trong and N.T.Long, Non homogeneous Heat Equation:

Identification and Regularization for the Inhomogeneous Term, J. Math. Anal.

Appl. 312, No 1, 93-104, 2005.

[29] H.Engl, K.Kunisch and A.Neubauer, Convergence rates for Tikhonov

regularisation of non-linear ill-posed problems, Inverse Problem, 5, 523-540,

1989.

Taøi lieäu tham khaûo

[30] H.Engl and P.Manselli, Stability estimates and regularization for an inverse

heat conduction problem, Numer. Funct. Anal. and Optim., 10, pp. 517-540, 1989.

[31] A.Erdelyi et al. Tables of Integral Transforms, Vol. 1, Mc Graw-Hill, New

York, 1954.

[32] A.Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Englewood Cliff., N.

J., 1964.

[33] C.L.Fu, Simplified Tikhonov and Fourier regularization methods on a

general sideways parabolic equation, J. Comput. Appl. Math. 167, no 4, 449-463,

2004.

[34] H.Gajewski and K.Zacharias, Zur Regularizierung einer

Klassenichtkorrecter Probleme bei Evolutionsgleichungen, J. Math. Anal. Appl.

38, 784-789, 1972.

[35] R.Gorenflo, D.D.Ang and D.N.Thanh, Regularization of a two dimensional

inverse Stefan problem, Proceedings, International Workshop on Inverse

Problems, HoChiMinh City, Jan. 17-19, 45-54, 1995.

[36] R.Gorenflo and S.Vessella, Abel Integral Equations, Lecture Notes in

Mathematics 1461, Springer Verlag, Berlin, 1991.

[37] C.W.Groetsch, The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm

Equations of the First Kind, Pitman, London, 1984.

[38] C.W.Groetsch, Inverse Problems in the Mathematical Sciences, Vieweg,

1993.

[39] C.W.Groetsch, On the Asymptotic Order of Accuracy of Tikhonov

Regularization, J. Optim. in the Appl. 41, 293-298, 1983.

Taøi lieäu tham khaûo

[40] D.N.Hao, A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic

equations and related inverse problems: I. Solvability, Inverse Problems 10, 295-

315, 1994.

[41] D.N.Hao, A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem

for a parabolic, J. Math. Anal. Appl. 199, 873-909, 1996.

[42] D.N.Hao, Methods for inverse heat conduction problems,

Habilitationsschrift, University of Siegen, Siegen, 1996.

[43] D.N.Hao, A mollification method for ill-posed problems, Numer. Math. 68,

469-506, 1994.

[44] D.N.Hao and P.M.Hien, Stability results for the Cauchy problem for the

Laplace equation in a strip, Inverse Problems, 19, 833-844, 2003.

[45] D.N.Hao, H.-J.Reinhardt, On a sideways parabolic equation, Inverse

Problem 13, no.2, 297-309,1997.

[46] D.N.Hao, H.J.Reinhardt and A.Schneider, Numerical solution to a side ways

parabolic equation, Int. J. Numer. Meth. Engng, 50, 1253-1267, 2001.

[47] D.N.Hao and H.Sahli, On a class of Severely Ill-Posed Problems, Vietnam

Journal of Mathematics Vol.32, 143-152, 2004.

[48] D.Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer -

Verlag, 1981.

[49] Y.Huang, Q.Zheng, Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems,

Proc. Amer. Math. Soc. 133, 3005-3012, 2005.

[50] V.Isakov, Inverse source problems, AMS, 1990.

[51] V.Isakov, Inverse problems for partial differential equations, Springer, 1998.

Taøi lieäu tham khaûo

[52] M.I.Ivanchov, The inverse problem of determining the heat source power

for a parabolic equation under arbitrary boundary conditions, J. Math. Sci

(New York), 88, No. 3, pp. 432-436, 1998.

[53] M.I.Ivanchov, Inverse problem for a multidimensional heat equation with

an unknown source function, Mat. Stud., 16, No. 1, 93-98, 2001.

[54] F.John, Numerical of the heat equation for the preceding time, Ann. Math.

Pura Appl. 40, 129-142, 1955.

[55] D.U.Kim, Construction of the solution of a certain system of heat equations

with heat sources that depend on the temperature, Izv. Akad. Nauk. Kazak. SSR

Ser. Fiz-Mat, 1, 49-53, 1971.

[56] S.G.Krein, Linear differential equations in Banach space. Trans. Math.

Monogr. 29, AMS, 1971.

[57] S.G.Krein and O.I.Prozorovskaja, Analytic semi-groups and incorrect

problems for evolutionary equations, Soviet Math. Dokl. Vol. 1, pp. 841-844,

1960.

[58] R.Latteøs et J.L.Lions, Meùthode de Quasi-reversibiliteù et Applications,

Dunod, Paris, 1968.

[59] T.T.Le and M.P.Navarro, More on surface temperature determination from

borehole measurements: Regularization and error estimates, Int. J. of Math. and

Math. Sci., 1995.

[60] T.T.Le, P.H.Quan, D.N.Thanh, P.H.Uyen, Regularization of a class of

convolutional equations by the method of truncated integration, Journal Science

and Technology Development, Vol. 6, 19-26, 2003.

Taøi lieäu tham khaûo

[61] T.T.Le, D.N.Thanh and P.H.Tri, Surface temperature determination from

borehole measurements: a finite slab model, Acta Mathematica Vietnamica, Vol.

20, No 2, pp 193-206, 1995.

[62] M.Lees and M.H.Protter, Unique continuation for parabolic differential

equations and inequalities. Duke Math. J., 28, 369-382, 1961.

[63] B.Ya.Levin, Lectures on Entire Functions, AMS, Providence, Rhode Island,

1996.

[64] G.S.Li, L.Z.Zhang, Existence of a nonlinear heat source in inverse heat

conduction problems, Hunan Ann. Math., 17, No. 2, 19-24, 1997.

[65] T.Matsuura, S.Saitoh, D.D.Trong, Approximate and analytical inversion

formulas in heat conduction on multidimensional spaces , accepted for

publication in J. Inverse and Ill-posed Problems, 2005.

[66] K.Miller, Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible

methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems

and Logarithmic Convexity (Heriot- Watt Univ., Edinburgh, 1972), pp. 161-176.

Lecture Notes in Math., Vol. 316, Springer, Berlin, 1973.

[67] W.B.Muniz, F.M.Ramos, de Campos Velho, Entropy- and Tikhonov-based

regularization techniques applied to the backwards heat equation. Comput. Math.

Appl. 40, No. 8-9, 1071-1084, 000.

[68] L.E.Payne: Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations,

SIAM, 1975.

[69] P.H.Quan and N.Dung, A backward nonlinear heat equation: regularization

with error estimates, Applicable Analysis, Vol. 4, No.4, 343-355, 2005.

Taøi lieäu tham khaûo

[70] P.H.Quan, T.N.Lien and D.D.Trong, A discrete form of the backward heat

problem on the plane, accepted for Publication in International Journal of

Evolution Equations, 2005.

[71] P.H.Quan, D.N.Thanh and D.D.Trong, Recovering the surface temperature

history of a two layer composite body, Applicable Analysis, Vol. 84, No. 8, 833-

842, 2005.

[72] P.H.Quan and D.D.Trong, Temperature determination from interior

measurements: the case of temperature nonlinearly dependent heat source,

Vietnam Journal of Mathematics, Vol.32, 131-142, 2004.

[73] P.H.Quan, D.D.Trong, A nonlinearly backward heat problem: Uniqueness,

Regularization and Error estimate, accepted for Publication in Applicable

Analysis.

[74] L.Rubinstein, The Stefan problem: Comments on its present state, J. Inst.

Math. Appl., Vol. 24, 259-277, 1979.

[75] S.Saitoh, V.K.Tuan, M.Yamamoto, Reverse convolution inequalities and

applications to inverse heat source problems, JIPAM J.Inequal. Pure Appl. Math.,

3, No. 5, Article 80, 11pp, (electronic) 2002.

[76] G.Talenti and S.Vessella, Note on an ill-posed problem for the heat

equation, J. Austral. Math. Soc. ,32, pp. 358-368, 1981.

[77] D.N.Thanh, N.V.Nhan, P.N.Dinh, T.T.Le, Surface temperature

determination from borehole measurements: regularization by cardinal series,

Nonlinear Analysis 50, 1055-1063, 2002.

Taøi lieäu tham khaûo

[78] A.Tikhonov and V.Arseùnine, Meùthodes de reùsolution de probleømes mal

poseùs, Editions Mir-Moscou, 1976.

[79] D.D.Trong, P.H.Quan, P.N.Dinh Alain, Determination of a two-dimensional

heat source: Uniqueness, regularization and error estimate, accepted for

Publication in Journal of Computational and Applied Mathematics, 2005.

[80] D.D.Trong, P.H.Quan, T.V.Khanh, and N.H.Tuan, A nonlinear case of the

1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, submitted to

ZAA, 2005.

[81] P.Wang, K.Zheng, Reconstruction of heat sources in heat conduction

equations, Comput. Appl. Math. ,19, No. 2, 231-238, 2000.

[82] M.Yamamoto, Conditional stability in determination of densities of heat

sources in a bounded domain in control and estimation of distributed parameter

systems: nonlinear phenomena (Vorau, 1993), International Series of Numerical

Mathematics, 118, Birkhauser, Basel, 359-370, 1994.

Danh muïc coâng trình taùc giaû

DANH MUÏC COÂNG TRÌNH COÂNG BOÁ CUÛA TAÙC GIAÛ

[1] Tran Thi Le, Pham Hoang Quan, Dinh Ngoc Thanh, Pham Hoang Uyen,

Regularization of a class of convolutional equations by the method of

truncated integration, Journal Science and Technology Development, Vol. 6,

19-26, 2003.

[2] Pham Hoang Quan and Dang Duc Trong, Temperature determination from

interior measurements:the case of temperature nonlinearly dependent heat

source, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 32, 131-142, 2004.

[3] P. H. Quan and N. Dung, A backward nonlinear heat equation:

regularization with error estimates, Applicable Analysis, Vol. 84, No. 4, 343-

355, 2005.

[4] D. D. Trong, P. H. Quan, P. N. Dinh Alain, Determination of a two-

dimensional heat source: Uniqueness, regularization and error estimate,

accepted for Publication in Journal of Computational and Applied

Mathematics.

[5] P. H. Quan, D. N. Thanh and D. D. Trong, Recovering the surface

temperature history of a two layer composite body, Applicable Analysis,

Vol. 84,No. 8, 833-842, 2005.

[6] P. H. Quan, T. N. Lien and D. D. Trong, A discrete form of the backward

heat problem on the plane, accepted for Publication in International Journal

of Evolution Equations.

[7] N. Dung, N.V. Huy, P. H. Quan, D. D. Trong, A Hausdorff-like moment

problem and the inversion of the Laplace transform, accepted for

Publication in Mathematische Nachrichten.

Danh muïc coâng trình taùc giaû

[8] P. N. Dinh Alain, P. H. Quan and D. D. Trong, Sinc approximation of the

heat distribution on the boundary of a two-dimensional finite slab, online,

https://hal.ccsd.cnrs.fr/ccsd-00012311.

[9] P. H. Quan, D. D. Trong and P. N. Dinh Alain, Sinc approximation of the

heat flux on the boundary of a two-dimensional finite slab, online,

https://hal.ccsd.cnrs.fr/ccsd-00008986.

[10] D.D.Trong, P.H.Quan, T.V.Khanh, and N.H.Tuan, A nonlinear case of the

1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, submitted

to ZAA, 2005.

[11] P. H. Quan, D. D. Trong, A nonlinearly backward heat problem:

Uniqueness, Regularization and Error estimate, accepted for Publication in

Applicable Analysis.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

PHAÏM HOAØNG QUAÂN

BAØI TOAÙN NGÖÔÏC

TRONG LYÙ THUYEÁT NHIEÄT

LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC

Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc :

GS. TS. ÑAËNG ÑÌNH AÙNG

TS. NGUYEÃN CAM

MOÄT SOÁ KEÁT QUAÛ SÖÛ DUÏNG TRONG LUAÄN AÙN

Chöông 1

DAÏNG RÔØI RAÏC CUÛA BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

TREÂN MAËT PHAÚNG

1D , 2D vaø Chöùng minh

Chöông 2

CHÆNH HOÙA HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP NHIEÀU CHIEÀU

KHOÂNG GIAN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP CHAËT CUÏT TÍCH PHAÂN

VAØ MOÄT SOÁ AÙP DUÏNG

Chöùng minh

Chöông 3

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC TRONG LOÃ KHOAN

THAÊM DOØ

Chöông 4

BAØI TOAÙN XAÙC ÑÒNH NGUOÀN NHIEÄT :

TÍNH DUY NHAÁT, CHÆNH HOÙA VAØ ÑAÙNH GIAÙ SAI SOÁ

{

}

{

{

}

)

(

(

{

}

)

(

Chöông 5

XAÙC ÑÒNH NHIEÄT ÑOÄ TÖØ LOÃ KHOAN THAÊM DOØ:

TRÖÔØNG HÔÏP CUÛA NHIEÄT PHUÏ THUOÄC

PHI TUYEÁN VAØO NGUOÀN NHIEÄT

Chöông 6

BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN PHI TUYEÁN TREÂN

MIEÀN BÒ CHAËN

Ñònh lyù 6.5.1

Chöông 7

BAØI TOAÙN NHIEÄT NGÖÔÏC THÔØI GIAN

PHI TUYEÁN TREÂN MIEÀN KHOÂNG BÒ CHAËN

Keát luaän

166

Keát luaän

167

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

[32] A.Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Englewood Cliff., N.

DANH MUÏC COÂNG TRÌNH COÂNG BOÁ CUÛA TAÙC GIAÛ

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi