Luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy CastelnuovoMumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án là tính chỉ số chính quy CastelnuovoMumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của luận án này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy CastelnuovoMumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Công Minh Hà Nội - 2021
Mục lục Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Danh sách hình vẽ 5 Bảng các ký hiệu 6 Bảng thuật ngữ 8 Mở đầu 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 17 1.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . 17 1.2 Vành level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Nhóm đồng điều rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Công thức Takayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Phức đơn hình Koszul dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8 Ideal Stanley-Reisner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley- Reisner 27 2.1 Một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu . . . . . . 28 1
2 2.2 Trường hợp số mũ t ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Trường hợp số mũ t = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β) 44 3.1 Một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ (n − 2) 45 3.2 Trường hợp (α, β) = (2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Trường hợp (α, β) 6= (2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 4. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β) 68 4.1 Giá trị của a1 (R/I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Giá trị của a2 (R/I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 Ideal có giải tự do tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kết luận 92 Các công trình liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 95
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Công Minh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Phan Thị Thủy 3
Lời cảm ơn Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo vô cùng tận tình và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Công Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Thầy đã dành nhiều công sức, hết lòng dẫn dắt tác giả thực sự bước vào nghiên cứu khoa học, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Làm việc dưới sự hướng dẫn của Thầy là một may mắn lớn trong cuộc đời của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự quan tâm, giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Bộ môn Đại số và các thầy cô trong Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau Đại học của Trường đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này. Sau cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới những người thân trong gia đình. Mẹ, chồng và hai con nhỏ của tác giả đã luôn động viên, chia sẽ khó khăn và là nguồn động lực to lớn để tác giả tiếp tục học tập và nghiên cứu. Tác giả Phan Thị Thủy 4
Danh sách hình vẽ 2.1 Đồ thị ngũ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Đồ thị Petersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Một tam giác phân của không gian xạ ảnh thực P2 . . . . . 42 3.1 Đồ thị hai phần đầy đủ K1,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Đồ thị F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1 Đồ thị F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Đồ thị F3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5
Bảng các kí hiệu N tập các số nguyên không âm Z tập các số nguyên K trường ∆ phức đơn hình dim ∆ chiều của phức đơn hình ∆ F(∆) tập các mặt cực đại của phức đơn hình ∆ √ ∆(I) phức đơn hình liên kết với ideal I ∆a (I) phức bậc của I ứng với bậc a Ka (I) phức đơn hình Koszul dưới của vành thương R/I tại bậc a st∆ (F ) phức đơn hình con sao của F trong ∆ lk∆ (F ) phức đơn hình con link của F trong ∆ e• (∆, K) phức dây chuyền rút gọn của ∆ C e i (∆; K) nhóm đồng điều rút gọn thứ i của ∆ trên K H I∆ ideal Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ K|X|,|Y | đồ thị hai phần đầy đủ trên tập đỉnh X ∪ Y R vành đa thức K[x1 , . . . , xn ] m ideal (x1 , . . . , xn ) trong R G(I) tập sinh tối tiểu của ideal đơn thức I 6
7 Hmi (R/I) module đối đồng điều địa phương thứ i của R/I với giá m ai (R/I) bậc lớn nhất không triệt tiêu của Hmi (R/I) It lũy thừa thông thường thứ t của ideal I I (t) lũy thừa hình thức thứ t của ideal I βi (R/I) số Betti thứ i của R/I βi,j (R/I) số Betti thứ i tại bậc j ∈ N của R/I βi,a (R/I) số Betti thứ i tại bậc a ∈ Nn của R/I reg(R/I) chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I \ Cn (α, β) tập các ideal của R có dạng (xk | 1 ≤ k ≤ n, k 6= i, j)wi,j , 1≤i β > 0 dim(R/I) chiều Krull của R/I Ga tập các vị trí tọa độ âm của một vectơ a ∈ Zn supp(a) tập các vị trí tọa độ khác không của một vectơ a ∈ Nn
Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh cặp cạnh pair of edges cặp cạnh rời nhau pair of disjoint edges cặp cạnh không liên thông disconnected pair of edges chỉ số chính quy regularity chu trình cycle đồ thị đầy đủ complete graph đồ thị hai phần đầy đủ complete bipartite graph giải tự do phân bậc tối tiểu minimal graded free resolution ideal đơn thức monomial ideal liên thông connected mặt cực đại facet nhóm đồng điều rút gọn reduced homology group nón cone phức bậc degree complex phức đơn hình simplicial complex phức dây chuyền rút gọn reduced chain complex phức đơn hình Koszul dưới lower Koszul simplicial complex tính level level property vành level level ring Luận án sử dụng một số thuật ngữ tiếng Anh: ideal, module, level, matroid, circuit. 8
Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K và I là một ideal thuần nhất thực sự của vành R. Theo định lí syzygy của Hilbert [48], R/I có giải tự do phân bậc tối tiểu độ dài hữu hạn dạng: βp (R/I) β1 (R/I) M M F : 0 −→ R(−dp,j ) −→ · · · −→ R(−d1,j ) −→ R j=1 j=1 −→ R/I −→ 0, trong đó p là chiều xạ ảnh của R-module R/I . Số β1 (R/I) là số phần tử sinh tối tiểu của ideal I và các số Betti βi (R/I) là số phần tử sinh tối tiểu của module syzygy thứ i của R/I. Các số di,1 , . . . , di,βi (R/I) là bậc của các phần tử thuần nhất trong một hệ sinh tối tiểu (gọi tắt là bậc sinh) của module syzygy thứ i. Về mặt tổng quát, giải tự do phân bậc tối tiểu F của R/I vẫn chưa được biết. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu F theo cấu trúc tổ hợp của ideal đơn thức I , cụ thể là tính level và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Hướng nghiên cứu thứ nhất trong luận án liên quan đến tính level (level property) của vành thương của vành đa thức cho một ideal đơn thức. Khái niệm tính level được R. Stanley [38] giới thiệu vào năm 1977 để nghiên cứu đặc điểm h-vectơ của một vành Cohen-Macaulay. Tính level là một tính chất mạnh hơn tính Cohen-Macaulay nhưng yếu hơn tính Gorenstein. Vành R/I được gọi là một vành level (level ring) nếu và chỉ nếu R/I là một vành 9
10 Cohen-Macaulay và module tự do cuối cùng trong giải tự do phân bậc tối tiểu F của R/I được sinh bởi một bậc (tức là dp,1 = dp,2 = · · · = dp,βp (R/I) ). Việc nghiên cứu hàm Hilbert hoặc các số Betti của một vành level cũng như các câu hỏi mở liên quan đến chúng được đề cập trong một số công trình như [10], [16], [37]. Tuy nhiên, việc đặc trưng tính level cho R/I theo cấu trúc tổ hợp của I còn rất ít. Trong luận án này, mục tiêu là tìm những điều kiện cần hoặc/và những điều kiện đủ để R/I là một vành level theo tính chất tổ hợp của ideal I . Hướng nghiên cứu thứ hai trong luận án liên quan đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp ideal đơn thức. Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford được bắt nguồn từ những công trình về đường cong xạ ảnh của G. Castelnuovo và được D. Mumford [31] phát biểu định nghĩa cho các đa tạp xạ ảnh. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt:  max{j | H i (R/I)j 6= 0} nếu Hmi (R/I) 6= 0 m ai (R/I) = −∞ nếu Hmi (R/I) = 0, trong đó Hmi (R/I) là module đối đồng điều địa phương thứ i của R/I với giá là ideal thuần nhất cực đại m = (x1 , . . . , xn ). Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được định nghĩa là số reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | 0 ≤ i ≤ dim(R/I)}. Mối liên hệ giữa khái niệm này và bậc sinh của các module syzygy của R/I được thiết lập bởi D. Eisenbud và S. Goto [8]. Cụ thể, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được tính bởi công thức reg(R/I) = max{di,j − i | i = 1, . . . , p và j = 1, . . . , βi (R/I)}. Như vậy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford vừa là một chặn trên của bậc không triệt tiêu của các module đối đồng điều địa phương với giá là ideal thuần nhất cực đại, vừa được sử dụng để chặn trên các bậc sinh của
11 các module syzygy trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I . Đây là các ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Gần đây, việc tính giá trị của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các ideal đơn thức theo cấu trúc tổ hợp tương ứng của ideal đang là một vấn đề thời sự, được nhiều nhà khoa học nghiên cứu (xem [1], [3], [18], [22], [30]). Luận án này tiếp tục tính cụ thể chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các lớp ideal đơn thức đặc biệt. Tóm lại, luận án của chúng tôi, với tiêu đề: “Chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức”, hòa vào dòng chảy nghiên cứu các tính chất đại số của một ideal đơn thức theo các dữ liệu tổ hợp ban đầu. Đây là một hướng nghiên cứu đã và đang phát triển mạnh mẽ trong Đại số giao hoán tổ hợp. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là tính chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal. 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cụ thể của luận án gồm: các ai -bất biến, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, các số Betti, các số Betti phân bậc và tính level của một số lớp ideal đơn thức đặc biệt của vành đa thức R = K[x1 , . . . , xn ] với K là một trường. Lớp ideal đầu tiên mà luận án nghiên cứu là các lũy thừa thường và các lũy thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner: Cho ∆ là một phức đơn hình trên [n] = {1, . . . , n}. Ideal Stanley-Reisner I∆ của ∆ (trên K ) là ideal của R được sinh bởi các đơn thức không chứa mũ xi1 . . . xip sao cho {i1 , . . . , ip } ∈ / ∆. Từ định nghĩa, ta biết rằng I∆ có phân tích nguyên sơ
12 T I∆ = (xi | i 6∈ F ), trong đó F(∆) là tập tất cả các mặt cực đại của F ∈F(∆) ∆. Khi đó với t ≥ 1, lũy thừa hình thức thứ t của I∆ được xác định bởi (t) \ I∆ = (xi | i 6∈ F )t . F ∈F(∆) Cùng với lớp ideal trên, luận án cũng nghiên cứu các ideal trong lớp Cn (α, β), tức là các ideal đơn thức I của vành R có dạng: w \ I= Pi,ji,j , 1≤i β > 0. (t) Phạm vi nghiên cứu của luận án là đặc trưng tính level của R/I∆ và t R/I∆ theo ∆ với một số nguyên t ≥ 3 nào đó; nghiên cứu tính level và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal trong lớp Cn (α, β) theo cấu trúc tổ hợp của đồ thị {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}. 4 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sẽ sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu của lý thuyết tổ hợp, lí thuyết tôpô cũng như các kĩ thuật của Đại số giao hoán và một số phần mềm hỗ trợ tính toán như Macaulay2. Cụ thể hơn, đối với bài toán về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, chúng tôi sử dụng công thức Takayama mô tả cấu trúc phân bậc của các module đối đồng điều địa phương. Đối với bài toán về tính level, chúng tôi sẽ sử dụng phức đơn hình Koszul dưới cho việc tính toán các số Betti phân bậc. 5 Những đóng góp mới của luận án Luận án đóng góp những kết quả mới về chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford, tính level và số Betti của các ideal đơn thức. Kết quả chính đầu
13 tiên là đặc trưng tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ t của ideal Stanley-Reisner với một t ≥ 3 nào đó theo ∆. Định lí 2.4. Cho ∆ là một phức đơn hình chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là ideal Stanley-Reisner của ∆. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. t (1) R/I∆ là một vành level với mọi t ≥ 1. t (2) R/I∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó. (t) (3) R/I∆ là một vành level với mọi t ≥ 1. (t) (4) R/I∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó. (5) ∆ là một phức matroid mà các circuit của nó có cùng số phần tử và đôi một rời nhau. Như vậy khác với tính Cohen-Macaulay, tính level của lũy thừa hình thức và lũy thừa thường của ideal Stanley-Reisner với một số mũ t ≥ 3 là tương đương. Tuy nhiên, đặc trưng tính level của lũy thừa thứ 2 của ideal Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ là phức tạp hơn nhiều, và chúng tôi chỉ xét bài toán trong trường hợp ∆ là một phức matroid chiều 1 (tức là ∆ có thể được coi như là một đồ thị matroid). Kết quả đạt được như sau. Định lí 2.12. Cho ∆ là một đồ thị matroid trên tập đỉnh [n] với n ≥ 2. (2) Khi đó R/I∆ là một vành level nếu và chỉ nếu ∆ là một đồ thị đầy đủ hoặc một đồ thị hai phần đầy đủ. Tính level của lũy thừa hình thức thứ 2 của một phức đơn hình ∆ bất kì vẫn là một câu hỏi mở kể cả trong trường hợp ∆ có chiều một, tức là R/I∆ có chiều hai. Đối với một số ideal đơn thức chiều hai, cụ thể là các ideal thuộc lớp Cn (α, β), chúng tôi đặc trưng được tính level của chúng trong hai định lí dưới đây. Định lí 3.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (2, 1). Khi đó R/I là một vành level nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: (1) n ≥ 4 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ với V (G) = [n];
14 (2) n = 4 và G là một cặp cạnh rời nhau. Định lí 3.18. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β) với (α, β) 6= (2, 1). Khi đó R/I là một vành level nếu và chỉ nếu n = 4, β = 1 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ K2,2 . Chú ý rằng ở đây G = {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n} được xem như là một đồ thị đơn. Các Định lí 3.12, 3.18 được phát biểu với giả thiết G 6= ∅ và G không phải là một đồ thị đầy đủ trên tập đỉnh [n]. Hơn nữa, chúng tôi cũng đã xác định được số Betti cuối cùng của R/I khi nó là một vành level (Định lí 3.19). Cuối cùng, đối với ideal thuộc lớp Cn (α, β), chúng tôi cũng đã đưa ra một công thức cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của nó như sau. Định lí 4.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Khi đó  3α − 1 nếu girth(G) = 3;       2α + β − 1 nếu girth(G) 6= 3 và G chứa ít nhất một đỉnh       có bậc lớn hơn 1;      reg(R/I) = α + 2β − 1 nếu G gồm t (t ≥ 2) cạnh đôi một rời nhau và   α ≤ 2β , hoặc G có duy nhất một cạnh;            2α − 1 nếu G gồm t (t ≥ 2) cạnh đôi một rời nhau và   α > 2β .   Định lí này nhận được bằng cách tính cụ thể a1 (R/I) (các Định lí 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7) và a2 (R/I) (Định lí 4.11). Đồng thời, từ Định lí 4.12, chúng tôi có được điều kiện để I có giải tự do tuyến tính (Định lí 4.18). 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Luận án đã giải quyết được các vấn đề sau: Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình thức của ideal Stanley của một phức
15 đơn hình với số mũ lớn hơn 2 tùy ý; và đưa ra một điều kiện cho tính level của lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner của một phức matroid chiều 1. Đồng thời, với mỗi ideal I thuộc lớp Cn (α, β), tính level của R/I đã được xác định và số Betti cuối cùng của R/I đã được biết khi nó là một vành level. Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra các công thức cho các ai -bất biến và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I . Các kết quả đạt được trong luận án sẽ góp phần làm phong phú thêm các thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu, số Betti, tính level và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các ideal đơn thức. 7 Cấu trúc của luận án Ngoài các phần danh sách hình vẽ, bảng các kí hiệu, bảng thuật ngữ, mở đầu, kết luận, các công trình được công bố và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức đã biết liên quan đến các đối tượng được nghiên cứu trong luận án, bao gồm: chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, vành level, phức đơn hình, đồng điều đơn hình rút gọn, công thức Takayama, phức đơn hình Koszul dưới, matroid và ideal Stanley-Reisner. Chương 2. Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley-Reisner. Chương này được viết dựa theo [26], và được trình bày trong ba mục. Mục 2.1 dành để trình bày một số nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu. Mục 2.2 đặc trưng tính level cho lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với một số t ≥ 3 nào đó (Định lí 2.4). Trong Mục 2.3, chúng tôi nghiên cứu tính level của lũy thừa hình thức thứ 2 của ideal Stanley-Reisner của một phức matroid chiều 1 (Định lí 2.12).
16 Chương 3. Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β). Chương này được viết dựa theo [44], và gồm ba mục. Trong mục đầu tiên, chúng tôi chỉ ra một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ n − 2 của R/I với I ∈ Cn (α, β). Mục thứ hai trình bày đặc trưng tính level của R/I trong trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.12). Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu tính level của R/I trong trường hợp (α, β) 6= (2, 1) (Định lí 3.18) và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là level (Định lí 3.19). Chương 4. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β). Chương này được viết dựa theo [27], và được chia thành 3 mục. Mục 4.1 xác định giá trị của a1 (R/I) với mỗi ideal I ∈ Cn (α, β) (các Định lí 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7). Trong Mục 4.2, chúng tôi thiết lập các công thức cho a2 (R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I) (Định lí 4.12). Mục 4.3 đưa ra một điều kiện để một ideal trong lớp Cn (α, β) có giải tự do tuyến tính (Định lí 4.18).
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm của Đại số giao hoán và Đại số tổ hợp, bao gồm: chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, vành level, phức đơn hình, đồng điều đơn hình rút gọn, matroid và ideal Stanley-Reisner. Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu hai công cụ chủ yếu được sử dụng trong các chương sau, đó là: công thức Takayama để mô tả cấu trúc phân bậc của các module đối đồng điều địa phương, và phức đơn hình Koszul dưới để xác định các số Betti đa phân bậc. Trong luận án này, ta luôn xét R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K và m = (x1 , . . . , xn ) là ideal thuần nhất cực đại của R. 1.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford được D. Mumford [31] phát triển từ ý tưởng của G. Castelnuovo và phát biểu như sau: Định nghĩa 1.1. Cho M là một R-module phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt  max{j | H i (M )j 6= 0} nếu Hmi (M ) 6= 0 m ai (M ) = −∞ nếu Hmi (M ) = 0, ở đây Hmi (M ) là module đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m. 17
18 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số reg(M ) = max{ai (M ) + i | i ≥ 0}. Ta cũng lưu ý rằng Hmi (M ) = 0 với mọi i > dim M bởi định lí triệt tiêu của A. Grothendieck [4]. Do đó reg(M ) = max{ai (M ) + i | i = 0, . . . , dim M }. Mối liên hệ giữa chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và bậc sinh của các module syzygy được thiết lập bởi D. Eisenbud và S. Goto [8] như sau: Định lí 1.2 ([8], Định lí 1.2). Cho M là một R-module phân bậc hữu hạn sinh. Giả sử M có giải tự do phân bậc tối tiểu dạng βp (M ) β1 (M ) β0 (M ) M M M 0 −→ R(−dp,j ) −→ · · · −→ R(−d1,j ) −→ R(−d0,j ) j=1 j=1 j=1 −→ M −→ 0. Khi đó reg(M ) = max{di,j − i | j = 1, . . . , βi (M ) và i = 0, . . . , p}. Như vậy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R-module M có thể được sử dụng để chặn trên bậc lớn nhất của các phần tử sinh tối tiểu thuần nhất của các module syzygy của M . Nếu I là một ideal thuần nhất thực sự và khác không của vành R thì theo Định lí 1.2, ta có reg(I) = reg(R/I) + 1. Một số vấn đề về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và các bất biến liên quan có thể xem trong các tài liệu [17] và [45]. 1.2. Vành level Khái niệm vành level được R. Stanley [38] giới thiệu vào năm 1977 như sau.