Đa chập Hartley-Fourier và ứng dụng: Luận án Tiến sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Phí Thị Vân Anh

ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62460102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

2. TS. NGUYỄN MINH KHOA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác.

Tác giả

Phí Thị Vân Anh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo TS. Nguyễn Minh Khoa

−1−

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các Thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo và TS. Nguyễn Minh Khoa. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua được nhiều khó khăn để có được những kết quả như hôm nay. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với các Thầy.

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy và các bạn trong xemina Toán Giải tích thuộc Viện Toán Ứng dụng và Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, do PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, do GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu chủ trì. Các Thầy và các bạn đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, những góp ý quý báu cũng như một môi trường nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả được học tập, công tác và hoàn thành luận án.

Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn, người đã luôn có những trao đổi, những định hướng về chuyên môn cho tác giả cũng như cho cả nhóm xemina. Thầy luôn là biểu tượng của sự nhiệt tình, nghiêm túc và chính xác trong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Thanh Hồng, người đã luôn sẵn sàng, tận tình giúp đỡ về mặt chuyên môn cũng như cung cấp cho tác giả những kinh nghiệm, những tài liệu quý báu ngay từ những ngày đầu bước vào nghiên cứu và trong suốt thời gian nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ, các anh chị em, cùng chồng, con và bạn bè. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã gặp sự cố về sức khỏe, nhưng tất cả các Thầy, các bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong gia đình, đã luôn sát cánh, động viên và ủng hộ tác giả. Đó là nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án của mình. Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

−2−

MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 6 11

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.5 Một số định lý và bổ đề được sử dụng

1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier . . . . . . . . 1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier . . . . . . . 1.1.4 Định lý Young và bất đẳng thức Young . . . . . . . . . 1.1.5 Định lý Saitoh và bất đẳng thức Saitoh . . . . . . . . . 1.2 Biến đổi Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine . . . . . . . . 1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine . . . . 1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine . . . . 1.3 Phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine . . . . . . . . . . 1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine . . 1.4 Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley . . . . . . . . . . 1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley . . . . . . . 1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Bất đẳng thức H¨older 1.5.2 Định lý nội suy Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 30 31 31 34 35 36 36 37

LEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE

Chương 2. ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HART-

2.1 Đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier

sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc-Fs . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc-Fs . . . . . . . . . 2.1.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình tích phân . . . . . 2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân . . . . . . 38 38 39 49 51

2.2 Đa chập đối với các phép biến đổi

55 Hartley, Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc . . . . . . . . . . . . . . . . 56 . . . . . . . . . . . 2.2.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc 59 . 2.2.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.4 Ứng dụng giải một lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 63 66 2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP

70 71 71 75 79 80 81 85 87

3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc-Fs . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Tính unita trong không gian L2(R) . . . . . . . . . . . 3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Tính bị chặn của toán tử Tp1,p2 3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Tính unita trong không gian L2(R) . . . . . . . . . . . 3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2(R) . . . . . . . 3.2.3 Tính bị chặn của toán tử Tq1,q2 . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . 90 91 94

Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP

99 99 4.1 Bất đẳng thức trong L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Bất đẳng thức trong Lα,β,γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5.1 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5.2 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

−4−

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 128

−5−

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a. Các không gian hàm và chuẩn

S là không gian Schwartz gồm tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên R

Lp(R), 1 (cid:54) p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R sao

∞ (cid:90)

• R là tập tất cả các số thực. • R+ = {x ∈ R, x > 0}. • C là tập tất cả các số phức. • C0(R) là không gian Banach gồm các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng với chuẩn sup. • và các đạo hàm của nó giảm nhanh ở vô cùng. • L∞(R) là không gian gồm các hàm bị chặn trên R. • cho

−∞

|f (x)|pdx < ∞.

∞ (cid:90)

Nếu thay R bởi R+ và tích phân trên thay cận từ 0 đến ∞ thì ta có không gian Lp(R+). • Lp(R, ρ), 1 (cid:54) p < ∞ là không gian các hàm số f (x) trên R sao cho

−∞

p (R+), α ∈ R, 0 < β ≤ 1, p ≥ 1 là không gian các hàm số f (x) xác Lα,β

|f (x)|pρ(x)dx < ∞,

∞ (cid:90)

trong đó ρ(x) là một hàm trọng dương. • định trên R+, sao cho

xαK0(βx)|f (x)|pdx < ∞,

(R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > 1 là không gian các hàm số f (x)

∞ (cid:90)

trong đó K0(x) là hàm Bessel loại hai. • Lα,β,γ p trên R sao cho

−∞

|x|αe−β|x|γ |f (x)|pdx < ∞.

•

−∞

(cid:107)f (cid:107)Lp(R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp(R), xác định bởi ∞ (cid:90) (cid:16) (cid:17) 1 p . |f (x)|pdx (cid:107)f (cid:107)Lp(R) =

∞ (cid:90)

• (cid:107)f (cid:107)Lp(R,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp(R, ρ), xác định bởi

(cid:16) (cid:17) 1 p . |f (x)|pρ(x)dx (cid:107)f (cid:107)Lp(R,ρ) =

−∞ (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lα,β,γ

1/p

• (R), xác định bởi (cid:107)f (cid:107)Lα,β,γ

∞ (cid:90)

 

(R) =

−∞

|x|αe−β|x|γ |f (x)|pdx .   (cid:107)f (cid:107)Lα,β,γ

∞ (cid:90)

b. Kí hiệu các phép biến đổi tích phân F là phép biến đổi Fourier •

−∞

(F f )(y) := f (x)e−ixydx, ∀y ∈ R. 1 √ 2π

∞ (cid:90)

• Fc là phép biến đổi Fourier cosine

f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+. (Fcf )(y) := (cid:114) 2 π

•

Fs là phép biến đổi Fourier sine ∞ (cid:90)

(Fsf )(y) := f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+. (cid:114) 2 π

∞ (cid:90)

• H1, H2 là các phép biến đổi Hartley

−∞ ∞ (cid:90)

f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, (H1f )(y) := 1 √ 2π

−∞

f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R. (H2f )(y) := 1 √ 2π

−7−

∞ (cid:90)

• L là phép biến đổi Laplace

(Lf )(s) := f (t)e−tsdt, ∀s ∈ C.

∞ (cid:90)

• Hν là phép biến đổi Hankel được xác định bởi công thức

(HνΦ)(t) := τ Jν(tτ )Φ(τ )dτ,

∞ (cid:90)

với Jν là hàm Bessel loại một. • Mi là phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i được xác định bởi

(cid:17) i = 0, 1, 2. , f (t) (Mif )(y) := ki (cid:16)y t dt t

∞ (cid:90)

• Kiy[f ] là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev

Kiy[f ] = Kiy(t)f (t)dt,

và Kiy(t) là hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba).

∞ (cid:90)

c. Ký hiệu các hàm đặc biệt Γ(z) là hàm Gamma •

Γ(z) := tz−1e−tdt, Re z > 0.

• Jn(x) là hàm Bessel loại một, nó là nghiệm của phương trình vi phân

+ (x2 − n2)y(x) = 0, x2 d2y dx2 + x dy dx

nghiệm đó có biểu thức được xác định như sau

∞ (cid:88)

k=0

(cid:17)n+2k . Jn(x) = (−1)k k!Γ(n + k + 1) (cid:16)x 2

−8−

• Kn(x) là hàm Bessel loại hai, nó là nghiệm của phương trình vi phân

x2 d2y − (x2 + n2)y(x) = 0. dx2 + x dy dx

Nghiệm này liên hệ với hàm Bessel loại một bởi công thức

. Kn(x) = Jn(x) cos (nπ) − J−n(x) sin(nπ)

∞ (cid:90)

Trường hợp cụ thể

e−wy cosh ydy. K0(w) :=

Erfc(x) là hàm lỗi bổ sung (complementary error function), được xác

∞ (cid:90)

• định là phần bù của hàm lỗi Erf(x) (error function), qua biểu thức sau

Erfc(x) := 1 − Erf(x) = e−t2 dt, 2 √ π

x (cid:90)

trong đó hàm lỗi Erf(x) hay còn gọi là hàm lỗi Gauss được xác định bởi

Erf(x) := e−t2 dt. 2 √ π

·) (xem trang 12) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier. •

• ·) (xem trang 28) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.

F sF c

d. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập (· ∗ F (· ∗ Fc (· ∗ ·) (xem trang 14) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi •

F cF s

·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine. • (· ∗

γ ∗ F F cF s

Fourier cosine và Fourier sine. • (· ·) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y

·) (xem trang 35) là tích chập đối với phép biến đổi Hartley. đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. •

• ·) (xem trang 35) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley. (· ∗ H (· ∗ H12

−9−

·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley • (· ∗ HF

·) (xem trang 36) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley và biến đổi Fourier. • (· ∗ HF c

(·, ·, ·) (xem trang 38) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier và Fourier cosine. • ∗ 1

(·, ·, ·) (xem trang 55) là đa chập đối với phép biến đổi Hartley và Fourier ∗ 2

cosine và Fourier sine. • cosine. • (·, ·, ·) (xem trang 67) là đa chập suy biến đối với phép biến đổi Hartley ∗ 3

và Fourier cosine.

−10−

MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài

Lý thuyết biến đổi tích phân đã ra đời rất sớm, được phát triển và giữ một vị trí quan trọng trong lịch sử Giải tích toán học. Nó được dùng làm công cụ để giải nhiều lớp phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân. Cụ thể, nó được áp dụng cho những bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý, Cơ học, Y học, Địa lý, Hải dương học,... (xem [2, 7, 11, 21, 47]). Một số phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng như phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... hầu hết chúng đều xuất phát từ việc nghiên cứu các bài toán thực tế và được đặt tên theo các tác giả tìm ra chúng. Chẳng hạn phép biến đổi tích phân Fourier xuất hiện từ bài toán thực tế khi J. Fourier nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt (xem [2]).

Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu Thế kỉ 20. "Tích chập" là một từ nói chung để chỉ phép nhân chập của hai hàm, đó là cách nhân không theo nghĩa thông thường, mà phép nhân được xác định bên ngoài không gian, thông qua một biểu thức tích phân. Do đó, ta nói "tích chập" là một dạng của biến đổi tích phân. Ta biết, trong một không gian hàm tuyến tính U (X) thì không tồn tại phép nhân hai hàm f g, có nghĩa là nếu nhân thông thường thì kết quả f g nói chung không thuộc U (X). Tuy nhiên, nếu ta thay tích thông thường bằng tích chập f ∗ g thì điều này sẽ được cải thiện. Một số tích chập được xây dựng, chúng còn có tính giao hoán, tính phân phối và tính kết hợp nên khi nó được trang bị cho không gian hàm U (X) sẽ làm cho không gian đó trở thành một vành và khi có thêm chuẩn được xác định thì U (X) trở thành vành định chuẩn.

Tích chập lần đầu tiên xuất hiện là tích chập đối với phép biến đổi Fourier (xuất hiện đầu Thế kỷ 20). Tích chập được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như Xác suất, Thống kê, Xử lý ảnh và Xử lý tín hiệu, Kỹ thuật điện,... Cũng giống như biến đổi tích phân, tích chập được dùng như là công cụ trong việc giải một số lớp các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [8, 11, 12, 19]). Ta thấy

tích chập được chia thành nhiều loại: tích chập, tích chập có hàm trọng, tích chập suy rộng, tích chập suy rộng có hàm trọng, đa chập. Sự phân chia này dựa trên sự xuất hiện của hàm trọng và số lượng các phép biến đổi tích phân trong đẳng thức nhân tử hóa của nó.

a) Tích chập

Những tích chập xuất hiện đầu tiên chỉ liên quan đến một phép biến đổi

tích phân và phép nhân chập đó có đẳng thức nhân tử hóa dạng

g)(y) = (Kf )(y) · (Kg)(y), K(f ∗ K

trong đó K là phép biến đổi tích phân nào đó. Chẳng hạn như K là phép biến đổi Fourier hoặc Fourier cosine hoặc Mellin hoặc Laplace,... Từ đẳng thức nhân tử hóa, ta thấy vai trò của các hàm f và g là như nhau. Do đó, những tích chập thuộc nhóm này có tính giao hoán, kết hợp, tính phân phối với phép cộng. Vậy nên khi không gian hàm được trang bị thêm phép nhân chập loại này sẽ trở thành đại số.

Một vài tích chập thuộc nhóm này như:

1. Tích chập Fourier: Đây là tích chập xuất hiện sớm nhất, từ đầu thế kỷ

∞ (cid:90)

XX (xem [8]). Tích chập đó được xác định như sau:

−∞

g)(x) := f (y)g(x − y)dy, x ∈ R. (0.1) (f ∗ F 1 √ 2π

Tích chập này đóng kín trong không gian L1(R) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

g)(y) = (F f )(y) · (F g)(y), y ∈ R. (0.2) F (f ∗ F

2. Tích chập Laplace: Ngay sau sự xuất hiện của tích chập Fourier là tích

x (cid:90)

chập đối với phép biến đổi Laplace (xem [8]):

g)(x) := f (x − y)g(y)dy, x > 0. (0.3) (f ∗ L

−12−

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian các hàm bậc mũ:

g)(y) = (Lf )(y) · (Lg)(y), ∀Re y > 0. (0.4) L(f ∗ L

γ ∗ K

Đó là những ví dụ về tích chập không có trọng. Năm 1958, Y.Y. Vilenkin là người đầu tiên thiết lập được công thức tích chập có hàm trọng, đó là tích chập đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [60]). Gần một thập kỷ sau, năm 1967, V.A. Kakichev đã đưa ra định nghĩa và phương pháp xây dựng tích chập có hàm trọng γ đối với một phép biến đổi tích phân K bất kỳ (xem g, nó được xác định sao cho thỏa mãn đẳng [54]), tích chập đó ký hiệu là f

thức nhân tử hóa dạng:

γ ∗ K

K(f g)(y) = γ(y) · (Kf )(y) · (Kg)(y). (0.5)

Định nghĩa này là tổng quát cho tích chập đối với một phép biến đổi tích phân vì khi hàm trọng bằng 1 thì tích chập có hàm trọng trở về với tích chập thông thường. Các đẳng thức nhân tử hóa (0.2), (0.4) đều có trọng γ(y) = 1. Việc đưa vào hàm trọng có một ý nghĩa nhất định, cho phép điều chỉnh hàm nhân khi xây dựng tích chập, từ đó thay đổi không gian hàm đang xem xét. Các tích chập có trọng hoặc không có trọng đối với một phép biến đổi tích phân đều có tính giao hoán, tính phân phối.

Nhờ phương pháp của mình, V.A. Kakichev sau đó đã xây dựng thêm được một số tích chập có trọng và không có trọng. Đó là tích chập với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, phép biến đổi Hankel, phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,... Chẳng hạn hai tích chập trong số đó như sau:

1. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine có hàm trọng γ(y) = sin y,

∞ (cid:90)

(1967, Kakichev, [54]):

γ ∗ Fs

(f g)(x) := f (y) [sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)+ 1 √ 2π 2

+sign(x−y−1)g(|x−y−1|)−sign(x−y+1)g(|x−y+1|)−g(x+y+1)]dy,

(0.6)

với x > 0, đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R+)

γ ∗ Fs

Fs(f g)(y) = sin y · (Fsf )(y) · (Fsg)(y), y ∈ R+.

−13−

2. Tích chập đối với phép biến đổi Hankel Hν với hàm trọng γ = y−ν:

γ ∗ Hν

(f g)(x) :=

π (cid:90)

∞ (cid:90)

√ uν+1f (u)g( xν x2 + u2 − 2xu cos t) sin2ν tdt du. √ (x2 + u2 − 2xu cos t) ν 2ν πΓ(ν + 1 2)

Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

γ ∗ Hν

. Hν(f g)(y) = y−ν(Hνf )(y)(Hνg)(y), ∀y > 0, ν > 1 2

b) Tích chập suy rộng

∞ (cid:90)

Tích chập suy rộng được hiểu là phép nhân chập của hai hàm bất kỳ mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện nhiều hơn một phép biến đổi tích phân. Tích chập dạng này đã xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1951, trong cuốn sách của I.N. Sneddon, đó là tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine (xem [7])

g)(x) := f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, ∀x > 0. (0.7) (f ∗ FsFc 1 √ 2π

Đẳng thức nhân tử hóa của nó có dạng

(0.8) g)(y) = (Fsf )(y) · (Fcg)(y), ∀f, g ∈ L1(R+). Fs(f ∗ FsFc

Lúc đó tích chập này được coi là tích chập "lạ" vì đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện hai phép biến đổi tích phân, trong khi các tích chập trước đó chỉ xuất hiện một.

Sau đó hơn nửa thế kỷ, vào những năm đầu của thập kỷ 90, S.B. Yakubovich giới thiệu thêm một số các tích chập suy rộng không có trọng đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ số như biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich- Lebedev [44, 45, 46]. Trên cơ sở những tích chập suy rộng đã xuất hiện, đến năm 1998, trong [56], hai tác giả V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã cho định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng của hai hàm đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ và cho điều kiện cần để xác định tích chập

−14−

γ ∗ K3K1K2 nó có dạng

suy rộng. Theo đó, tích chập suy rộng của hai hàm f, g đối với ba phép biến đổi tích phân K3, K1, K2 bất kỳ, với hàm trọng γ(y), ta ký hiệu hình thức g), là một biến đổi tích phân sao cho đẳng thức nhân tử hóa của (f

γ ∗ K3K1K2

K3(f g)(y) = γ(y) · (K1f )(y) · (K2g)(y).

Ta thấy rằng, khi các phép biến đổi K3, K1, K2 là như nhau thì tích chập suy rộng trở thành tích chập đối với một phép biến đổi tích phân. Vậy có thể nói tích chập đối với một phép biến đổi tích phân là trường hợp riêng của tích chập suy rộng. Do các biến đổi tích phân K3, K1, K2 nói chung là khác nhau, nên tích chập suy rộng không có tính giao hoán.

Công trình (1998, [56]) của V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã mở ra một hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết biến đổi tích phân. Từ đó đến nay, đã có nhiều tích chập suy rộng đối với nhiều kiểu biến đổi tích phân khác nhau ra đời, như tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Hankel, Kontorovich – Lebedev,... (xem [18, 27, 31, 23, 24, 28, 30, 33, 35, 57, 58]).

3 , và ta có (f ∗ g)(x) = K −1

c) Đa chập

Từ ý tưởng xây dựng tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phân bất kỳ [56], chính tác giả Kakichev đã xây dựng nên định nghĩa đa chập, năm 1997. Ông thấy rằng không dừng lại ở tích chập của 2 hàm mà có thể xây dựng phép nhân chập cho n (n ≥ 3) hàm cùng một lúc đối với n+1 phép biến đổi tích phân bất kỳ. Điều này có ý nghĩa nhất định. Có thể hình dung một minh họa của tích chập suy rộng với đẳng thức nhân tử hóa là K3(f ∗ g)(y) = (K1f )(y) · (K2g)(y). Vế phải của đẳng thức là tích thông thường của hai tín hiệu (K1f )(y) và (K2g)(y). Tích này là ảnh của một thông tin nguồn, phát dưới dạng f ∗ g. Để tìm thông tin nguồn này ta chỉ cần dựa vào biến đổi ngược K −1 3 [(K1f )(y) · (K2g)(y)](x). Khi K1 (cid:54)= K2 thì cũng giống như ta thu được tín hiệu từ nhiều nguồn khác nhau. Vậy khả năng ứng dụng của tích chập suy rộng sẽ đa dạng và phong phú hơn. Bây giờ nếu ta mở rộng được số lượng tín hiệu thu được đến n tín hiệu, n ≥ 3, bằng cách lấy tích thông thường của các hàm ảnh (K1f1)(y).(K2f2)(y)...(Knfn)(y), rồi dùng biến đổi ngược K −1 n+1 để tìm thông tin ban đầu đã phát, thì việc làm này giống như chúng ta xử lý đồng thời nhiều tín hiệu cùng lúc thay cho

−15−

việc xử lý lần lượt hai tín hiệu một, như vậy sẽ giảm bớt sai số trong quá trình tính toán trung gian. Việc nhân chập nhiều hàm cùng lúc đối với các phép biến đổi tích phân nhất định, ta gọi là đa chập, và được ký hiệu dạng ∗(f1, f2, .., fn), (n ≥ 3). Khi n = 2 thì đa chập là tích chập suy rộng của hai hàm.

Khái niệm đa chập theo nghĩa nhân chập nhiều hàm đối với một biến đổi tích phân dạng f1 ∗ f2 ∗ ... ∗ fn đã được đề cập và nghiên cứu với biến đổi Fourier, tức là khi đó K1 = K2 = ... = Kn+1. Một cách tổng quát, K1, K2, ..., Kn+1 có thể khác nhau, thì đa chập ∗(f1, f2, .., fn) không thể viết thành tích chập của hai hàm một, hoặc nếu viết được thì rất phức tạp và phải chịu nhiều sai số tính toán. Năm 1997, trong [55], V.A. Kakichev đã đưa ra định nghĩa tổng quát về đa chập và cho điều kiện cần để xác định đa chập. Tương tự như tích chập thì đa chập cũng có hai loại là đa chập có trọng và đa chập không có trọng. Định nghĩa về đa chập như sau:

Định nghĩa(1997, [55]): Đa chập của n (n ≥ 3) hàm f1, f2, ..., fn đối với n + 1 phép biến đổi tích phân Kn+1, K1, K2, ..., Kn bất kỳ, có hàm trọng γ(x), γ được ký hiệu bởi ∗(f1, f2, ..., fn)(x), sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa dạng

γ ∗(f1, f2, .., fn)](x) = γ(x) · (K1f1)(x) · (K2f2)(x) · · · (Knfn)(x).

(0.9) Kn+1[

Để tìm điều kiện cần xác định đa chập, V.A. Kakichev đã giả thiết như sau: Gọi các toán tử tích phân tuyến tính song ánh là Kj, (j = 1, n) đi từ không gian hàm tuyến tính Uj(Xj) vào đại số U (X), được xác định bởi:

(cid:90) j = 1, 2, ..., n + 1. (0.10) (Kjfj)(x) := kj(x, xj)fj(xj)dxj,

n+1, đi từ đại số U (X) vào không gian Un+1(Xn+1), xác định bởi

Đặt ˜fj(x) = (Kjfj)(x), j = 1, 2, ..., n + 1. Giả sử Kn+1 có toán tử ngược là K −1

(cid:90)

n+1(xn+1, x) ˜fn+1(xn+1)dx, xn+1 ∈ Xn+1. k−1

˜fn+1)(xn+1) := (K −1 n+1

Cho γ(x) là một hàm cố định thuộc U (X), đóng vai trò là hàm trọng.

γ ∗(f1, f2, .., fn) của n hàm f1, f2, .., fn đối với n + 1 phép biến đổi tích phân Kn+1, K1, K2, ..., Kn bất kỳ, với hàm trọng γ(x), là hàm fn+1(xn+1)

Đa chập

−16−

đi từ Xn+1 vào Un+1(Xn+1), sẽ được xác định bởi:

γ ∗(f1, f2, .., fn)](xn+1) = [

n+1(xn+1, x) · ˜f1(x) · · · ˜fn(x)dx,

(cid:90) γ(x) · k−1 (0.11)

hay

γ ∗(f1, f2, .., fn)](xn+1) = [

(cid:17)(cid:105) (cid:16) γ · ˜f1 · · · ˜fn (xn+1)

n+1 [γ · (K1f1) · · · (Knfn)](cid:9) (xn+1).

(cid:104) K −1 n+1 = (cid:8)K −1 (0.12)

Điều kiện cần để xác định đa chập: Sự hội tụ của tích phân sau

n+1(xn+1, x)k1(x, x1) · · · kn(x, xn)dx (0.13)

(cid:90) γ(x)k−1 Θ(xn+1, x1, x2, ..., xn) =

γ ∗(f1, f2, .., fn) có dạng sau

γ [ ∗(f1, f2, .., fn)](xn+1) = (cid:90)

là điều kiện cần để xác định đa chập

(cid:90) (cid:90) · · · (0.14) Θ(xn+1, x1, x2, ..., xn)f1(x1) · · · fn(xn)dx1dx2 · · · dxn.

Khi đó đa chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (0.9).

Tùy thuộc vào γ(x) = 1 hay γ(x) (cid:54)= 1, ta sẽ nói đa chập không có trọng hoặc có trọng tương ứng. Khi n = 2, thì khái niệm đa chập trùng với khái niệm tích chập suy rộng của 2 hàm. Khi n ≥ 3 và các Ki (i = 1, ..., n) không đồng nhất bằng nhau, thì chưa có công trình nào về đa chập được công bố trước công trình của Kakichev (1997, [55]). Sau đó, có một số công trình về xây dựng đa chập:

∞ (cid:90)

• Công trình đầu tiên liên quan đến đa chập, với n = 3 trong tài liệu [26], 2008, bởi Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Đức Hậu. Đó là đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine,

∗ (f, g, h)(x) := f (u)g(v) [h(|x + u − v|)+ 1 2π

+h(|x − u + v|) − h(|x − u − v|) − h(x + u + v)] dudv, x > 0,

với đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R+) có dạng

Fc[∗(f, g, h)](y) = (Fsf )(y) · (Fsg)(y) · (Fch)(y), y > 0.

−17−

∞ (cid:90)

• Tiếp theo, năm 2010, [25], các tác giả Nguyễn Xuân Thảo và N.A. Virchenko đã xây dựng đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev:

∗(f, g, h)(x) := θ(x, u, v, w)f (u)g(v)h(w)dudvdw, x > 0,

trong đó

(cid:104) e−w cosh(x+u−v) + e−w cosh(x−u+v)− θ(x, u, v, w) =

1 (R+) thì đa chập này thuộc L1(R+) và có

1 √ 2π 2 −e−w cosh(x+u+v) − e−w cosh(x−u−v)(cid:105) .

Khi f, g ∈ L1(R+), h ∈ L0,β đẳng thức nhân tử hóa:

Fc[∗(f, g, h)](y) = (Fsf )(y) · (Fsg)(y) · (Kiyh)(y), y > 0.

• Gần đây nhất, công trình năm 2011, [53], của Trịnh Tuân và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng đa chập đối với các phép biến đổi Fourier sine và Kontorovich-Lebedev. Đây là đa chập có hàm trọng γ(y) = sin y. Nó được xác định bởi công thức sau, với mỗi x > 0

γ ∗ (f, g, h)(x) :=

i=1

R3 +

(cid:32) 4 (cid:33) (cid:90) (cid:88) f (u)g(v)h(w)dudvdw, θi(x, u, v, w) 1 √ 2π 4

trong đó

1 (R+) thì đa chập này thuộc L1(R+) và có

θ1(x, u, v, w) = e−w cosh(x+u+v+1) − e−w cosh(x+u+v−1), θ2(x, u, v, w) = e−w cosh(x−u+v−1) − e−w cosh(x−u+v+1), θ3(x, u, v, w) = e−w cosh(x+u−v−1) − e−w cosh(x+u−v+1), θ4(x, u, v, w) = e−w cosh(x−u−v+1) − e−w cosh(x−u−v−1).

γ ∗(f, g, h)](y) = sin y · (Fsf )(y) · (Fsg)(y) · (Kiyh)(y), y > 0.

Khi f, g ∈ L1(R+), h ∈ L0,β đẳng thức nhân tử hóa:

Fs[

−18−

Như vậy có không nhiều các đa chập đã xuất hiện, chúng liên quan đến các biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev. Các công trình đã công bố mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng đa chập mới và nghiên cứu đẳng thức nhân tử hóa của nó.

∞ (cid:90)

Mặt khác, khi nghiên cứu về các bài toán vật lý liên quan đến lĩnh vực Động lực học chất lỏng, Lý thuyết lọc tuyến tính, Sóng nhiễu xạ [13, 52, 12] người ta thấy xuất hiện phương trình có dạng sau đây

f (x) + x > 0, (0.15) f (y)[k1(x − y) + k2(x + y)]dy = g(x),

trong đó k1, k2, g là các hàm cho trước, còn f là hàm phải tìm. Phương trình này được gọi là phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, với k1(x − y) là nhân Toeplitz và k2(x + y) là nhân Hankel. Đến nay thì phương trình (0.15) vẫn chưa có lời giải đúng trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài toán mở. Gần đây, có một số công trình công bố về việc giải phương trình Toeplitz-Hankel, những công trình đó đã xem xét một số trường hợp riêng của nhân k1, k2. Chẳng hạn như trong công trình [33], năm 2008, nhóm tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn, và Nguyễn Thanh Hồng đã tìm được nghiệm hiển của phương trình Toeplitz-Hankel (0.15) trong trường hợp nhân Toeplitz là hàm chẵn và nhân k1, k2 có dạng:

k1(t) = sign(t − 1)h1(|t − 1|) − h1(t + 1) − h2(t), 2

k2(t) = sign(t + 1)h1(|t + 1|) − h1(t + 1) + h2(|t|), 1 √ 2π 2 1 √ 2π 2 1 √ 2π 1 √ 2π 1 √ 2π 1 √ 2π 2

F sF c

trong đó h1(x) = (ϕ1 ∗ ϕ2)(x), ϕ1, ϕ2, h2 ∈ L1(R+).

2π (cid:90)

Tiếp theo, năm 2011, nhóm tác giả trên tiếp tục xem xét một số trường hợp riêng của nhân k1, k2, mà k1 vẫn là hàm chẵn hoặc xét trường hợp nhân bất kỳ thì vế phải lại có dạng đặc biệt, công trình này được giới thiệu trong [34]. Năm 2013, trong tài liệu [36], các tác giả Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Minh Tuấn, và Phan Đức Tuấn đã xem xét việc giải phương trình Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân k1, k2 là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, phương trình có dạng

f (x) + f (y)[k1(|x − y|) + k2(x + y)]dy = g(x), x ∈ [0; 2π].

−19−

∞ (cid:90)

Thêm nữa, gần đây nhất, năm 2014, các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và Hoàng Thị Vân Anh, trong tài liệu [30], đã nhận được nghiệm của phương trình Toeplitz-Hankel trong trường hợp k1 = k2, xét trên cả trục thực, phương trình có dạng

f (|x|) + f (y)[k(x − y) + k(x + y)]dy = g(x), x ∈ R. 1 2π

Từ đó, chúng tôi có những nhận xét sau đây: - Có một phép biến đổi tích phân rất hữu ích nhưng chưa xuất hiện trong nghiên cứu đa chập, đó là phép biến đổi Hartley. Phép biến đổi Hartley đóng vai trò quan trọng trong Xử lý tín hiệu, Xử lý ảnh, Xử lý âm thanh (xem [10, 40, 41, 42, 43]. Phép biến đổi tích phân Hartley có ưu điểm nhanh hơn phép biến đổi tích phân Fourier khi tính toán số học vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức. Do đó, có thể xây dựng các đa chập có liên quan đến các phép biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Đồng thời theo xu hướng chung nghiên cứu về phương trình Toeplitz-Hankel, có thể tiếp tục nghiên cứu một lớp phương trình Toeplitz-Hankel với các điều kiện nào đó của nhân k1, k2 hoặc của vế phải g(x) mà dùng công cụ giải là đa chập vừa xây dựng.

∞ (cid:90)

- Do đa chập của ba hàm f, g, h là một toán tử biến ba hàm thành hàm ∗(f, g, h)(x) qua biểu thức tích phân, nên có thể thấy rằng, nếu ta cố định một hàm hoặc hai hàm và cho hàm còn lại thay đổi thì ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất được xây dựng theo cách trên là phép biến đổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [2])

f (x) (cid:55)→ g(x) = k(xy)f (y)dy.

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập cho những tích chập Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin,...(xem [4, 5, 17, 32]). Nhưng chưa có một công trình nào nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu về vấn đề này cho những đa chập mới được xây dựng trong luận án.

- Dùng tích chập như một công cụ để giải nhiều lớp các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong

−20−

các bài toán Toán-lý và nghiệm nhận được thường biểu diễn dưới dạng tích chập. Vì vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu đã được rất nhiều nhà khoa học quan tâm trong thời gian gần đây. Bất đẳng thức điển hình là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem [37]). Theo hướng này, nhiều tác giả đã nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Young cho các tích chập, tích chập suy rộng khác (xem [48, 51]). Bất đẳng thức Young, mặc dù rất đẹp nhưng nó không đúng trong không gian hàm L2(R). Trong các công trình [20, 48, 49, 50, 51], S. Saitoh và các cộng sự đã xây dựng một lớp bất đẳng thức đối với các tích chập Fourier và tích chập Laplace trong không gian hàm có trọng Lp(R, ρ) và đưa ra một số ứng dụng thú vị. Bất đẳng thức này đã đúng cả trong trường hợp p = 2. Từ đó đã có nhiều tác giả nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Saitoh cho các tích chập, tích chập suy rộng khác. Như vậy nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập đã trở thành một hướng nghiên cứu sâu về tính chất của tích chập. Cho đến nay, chưa có một công trình nào nghiên cứu về bất đẳng thức đối với đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu những bất đẳng thức này cho đa chập.

Với những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là Đa chập

Hartley-Fourier và ứng dụng.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là xây dựng các đa chập mới có liên quan đến các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Sau đó dùng các đa chập mới để tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập và tìm ra các bất đẳng thức có liên quan đến đa chập trong các không gian hàm khác nhau. Mỗi vấn đề lý thuyết đều có nghiên cứu những ứng dụng liên quan đến bài toán vật lý cho những khái niệm này.

Đối tượng nghiên cứu là đa chập của ba hàm đối với các phép biến đổi

Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine.

Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu đa chập và các bất đẳng thức có liên quan.

−21−

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp phép biến đổi tích phân, phương pháp toán tử, phương pháp giải tích hàm, để đánh giá tích phân trong các không gian hàm, sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức tích phân. Bên cạnh đó, chắc chắn phải sử dụng các tính chất của các phép biến đổi liên quan là biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Cách thức nghiên cứu là dựa trên những ý tưởng, những kết quả đã được công bố của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến vấn đề nghiên cứu của luận án.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia

thành bốn chương như sau:

Chương 1, trình bày các kiến thức đã biết liên quan các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và những định lý, mệnh đề có liên quan đến luận án.

(., ., .) đối với phép biến Chương 2, xây dựng hai đa chập mới là đa chập ∗ 1

đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, gọi tắt là đa chập H-Fc-Fs và đa (., ., .) đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, gọi tắt là đa chập chập ∗ 2

H-Fc. Với mỗi đa chập, đều chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, các tính chất có liên quan, định lý kiểu Titchmarch và xem xét ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân. Riêng với đa chập thứ hai, trong phần ứng dụng, đã chỉ ra việc dùng đa chập để giải một lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel. Ngoài ra, khi (., ., .) sẽ nhận được đa chập thứ ba điều chỉnh nhân của đa chập thứ hai ∗ 2 (., ., .) cũng là đa chập đối với biến đổi Hartley và Fourier cosine, nhưng ∗ 3 đẳng thức nhân tử hóa của nó khác với đẳng thức nhân tử hóa của đa chập (., ., .) là đa chập H-Fc suy biến. Việc điều chỉnh này (., ., .). Gọi đa chập ∗ ∗ 2 3 đã giúp chúng tôi có thể giải được một lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng phương trình truyền nhiệt.

Chương 3, xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho hai đa chập (., ., .). Nghiên cứu các tính chất toán tử của chúng. Chúng tôi

(., ., .) và ∗ ∗ 2 1 nhận được điều kiện cần và đủ để hai phép biến đổi mới xây dựng được là

−22−

unita trong không gian L2(R), đó là nội dung của định lý kiểu Watson. Định lý kiểu Plancherel cho biết có thể xấp xỉ các phép biến đổi kiểu đa chập này bởi những dãy hàm trong L2(R). Đồng thời, tính bị chặn trong không gian Lr(R), (1 ≤ r ≤ 2) của hai phép biến đổi kiểu đa chập cũng được chứng minh. Phần ứng dụng của chương cho thấy khả năng áp dụng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine vào việc giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân.

Chương 4, nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn cho hai đa chập mới xây dựng trong các không gian hàm khác nhau. Đó là bất đẳng thức về chuẩn trong không gian L1, không gian Lα,β,γ , bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh. Phần ứng dụng, chỉ ra việc ứng dụng bất đẳng thức để đánh giá nghiệm của một lớp phương trình tích phân, phương trình vi phân cấp cao, bậc chẵn.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Đây là hướng nghiên cứu mới. Phạm vi các phép biến đổi tích phân có liên quan đến luận án là biến đổi Hartley, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier cosine, biến đổi Fourier sine. Mặc dù cùng liên quan đến một số biến đổi tích phân quen biết, nhưng việc sắp xếp các phép biến đổi đó theo một trật tự nhất định, lại cho ta những đa chập mới, với những tính chất, ứng dụng mới. Như vậy, luận án không hề trùng lặp với một kết quả nào trước đó.

Những kết quả của luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết các phép biến đổi tích phân nói chung và lý thuyết đa chập nói riêng; phong phú thêm về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập; phong phú thêm về bất đẳng thức đa chập; phong phú thêm về lý thuyết phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân và cả phương trình đạo hàm riêng. Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các đa chập khác, các phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, các bất đẳng thức đa chập khác.

Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án", trong đó có 4 công trình được đăng trên tạp chí thuộc nhóm ISI (SCIE) và 1 công trình đăng trên tạp chí chuyên ngành trong nước. Các kết quả này đã được báo cáo tại:

- Hội nghị Quốc tế lần thứ 20 về giải tích phức hữu hạn hoặc vô hạn chiều và ứng dụng, tổ chức tại Hà Nội, tháng 8 năm 2012; Hội nghị Toán học phối

−23−

hợp Việt Pháp, tại Huế, tháng 8 năm 2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, tại Nha Trang, tháng 8 năm 2013; Hội nghị Toán ứng dụng Quốc tế tại Việt Nam, tổ chức ở Sài Gòn, tháng 12, năm 2013 (VIAMC).

- Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG

Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

−24−

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những biến đổi tích phân có liên quan trực tiếp tới luận án, đó là các biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và Hartley. Ngoài định nghĩa các biến đổi tích phân, những kiến thức cơ bản có liên quan đều được trình bày. Luận án có sử dụng một số tích chập, tích chập suy rộng đã biết, để phân biệt chúng và thống nhất cách ký hiệu, chúng tôi ký hiệu lại theo tên gọi các phép biến đổi tích phân xuất hiện trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng.

1.1 Biến đổi Fourier

Biến đổi tích phân Fourier là phép biến đổi ra đời sớm nhất, từ cuối thế kỷ 19, bởi nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) (xem [2, 8, 38]). Phép biến đổi Fourier được phát triển từ chuỗi Fourier, xuất phát từ việc biểu diễn một hàm thành chuỗi các hàm lượng giác trong quá trình truyền nhiệt. Từ đó đến nay, biến đổi Fourier đã được nghiên cứu thành một lý thuyết toán học "Giải tích Fourier" và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Vật lý, Số học, Xử lý tín hiệu, Xác suất, Thống kê, Mật mã, Hải dương học, Quang học, Hình học và rất nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan, biến đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số.

1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier:

Biến đổi Fourier của hàm f , ký hiệu F , được định nghĩa bởi công thức

∞ (cid:90)

sau (xem [2, 8, 38])

−∞

(F f )(y) := f (x)e−ixydx, ∀y ∈ R. 1 √ 2π

∞ (cid:90)

Phép biến đổi ngược của nó có dạng

−∞

(F −1 ˜f )(x) := ˜f (y)eixydy, ∀x ∈ R, 1 √ 2π

trong đó ˜f (y) ≡ (F f )(y).

1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier

Sau sự nghiên cứu về phép biến đổi Fourier, thì tích chập đối với phép g), thuộc dạng tích chập đối với biến đổi Fourier ra đời. Đó là tích chập (f ∗ F

một phép biến đổi tích phân, được xác định bởi công thức (0.1) và đẳng thức nhân tử hóa của nó có dạng (0.2), đã nêu ở phần mở đầu.

1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier

Đây là định lý có tầm quan trọng trong luận án, nó là công cụ giúp chúng tôi tìm được nghiệm dưới dạng đóng của các bài toán trong phần ứng dụng.

Định lý 1.1.1 (Định lý Wiener-Levy,[38]) Giả sử ˜f là biến đổi Fourier của hàm f nào đó trong không gian L1(R), và φ là một hàm giải tích trong lân cận điểm gốc mà chứa miền giá trị f (y), ∀y ∈ R và φ(0) = 0. Khi đó φ( ˜f ) cũng là biến đổi Fourier của một hàm nào đó trong không gian L1(R).

1.1.4 Định lý Young và bất đẳng thức Young

q = 1

p + 1

Năm 1912, trong [59], lần đầu tiên W. H. Young đưa ra bất đẳng thức cho tích chập Fourier, mà sau này ta gọi là bất đẳng thức Young cho tích chập. Bất đẳng thức này cho phép ước lượng chuẩn của tích chập Fourier trong không gian Ls(R), s > 1. Khi đó, với f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R), 1 s +1, p, q, s ≥ 1, thì

(1.1) g(cid:107)Ls(R) ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R)(cid:107)g(cid:107)Lq(R). (cid:107)f ∗ F

Trong cuốn Sobolev Spaces của R.A. Adams và J.J.F. Fourier, tái bản năm 2003, có phát biểu định lý Young cho tích chập Fourier (Định lý 2.24, trang 33, [37]). Từ đó thấy rằng bất đẳng thức Young (1.1) là hệ quả của định lý này. Chúng tôi trích lại định lý đó dưới đây.

−26−

s = 2. Khi đó, ta có

p + 1

q + 1

(cid:90) (1.2) g)(x) · w(x)dx ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(Rn)(cid:107)g(cid:107)Lq(Rn)(cid:107)w(cid:107)Ls(Rn), (f ∗ F (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Định lý 1.1.2 (Định lý Young cho tích chập Fourier) Giả sử p, q, s > 1, thỏa mãn 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

với mọi f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lq(Rn), w ∈ Ls(Rn).

1.1.5 Định lý Saitoh và bất đẳng thức Saitoh

Mặc dù bất đẳng thức Young cho tích chập Fourier rất đẹp, nhưng nó vẫn không đúng trong trường hợp điển hình là p = q = s = 2. Năm 2000, trong bài báo [48], S. Saitoh giới thiệu một bất đẳng thức mới đối với tích chập g) trong không gian Fourier, ở đó ông đánh giá được chuẩn của tích chập (f ∗ F

Lp, p > 1. Bất đẳng thức đó có dạng

(1.3) g(cid:107)Lp(R) ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R,|ρ1|)(cid:107)g(cid:107)Lp(R,|ρ2|), (cid:107)f ∗ F

với mọi f ∈ Lp(R, |ρ1|) và g ∈ Lp(R, |ρ2|).

Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức này đúng với mọi p > 1, nên cũng đúng với p = 2. Những năm sau đó, trong các tài liệu [49, 50, 51], S. Saitoh và các đồng nghiệp của ông tiếp tục nghiên cứu về các bất đẳng thức theo hướng này và bất đẳng thức (1.3) được gọi là bất đẳng thức Saitoh. Bất đẳng thức (1.3) là hệ quả của định lý Saitoh. Định lý này có thể tìm thấy ở các tài liệu [48, 49, 50, 51].

Định lý 1.1.3 (Định lý Saitoh cho tích chập Fourier) Giả sử cho hai hàm không triệt tiêu ρj ∈ L1(R), j = 1, 2, khi đó với mọi Fj ∈ Lp(R, |ρj|), j = 1, 2 ta có bất đẳng thức trong không gian Lp(R), (p > 1)

p −1(cid:107)Lp(R) ≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R,|ρ1|)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R,|ρ2|).

(1.4) ρ2) (cid:107)(F1ρ1) ∗ F (F2ρ2)(ρ1 ∗ F

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Fj(x) = Cjeαx, trong đó α là hằng số sao cho eαx ∈ Lp(R, |ρj|), j = 1, 2 (nếu không thì C1 hoặc C2 bằng 0).

1.2 Biến đổi Fourier cosine

Phép biến đổi Fourier cosine là một trường hợp riêng của phép biến đổi

Fourier, đó chính là biến đổi Fourier của một hàm chẵn.

−27−

1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine

Biến đổi tích phân Fourier cosine (xem [8, 38]), ký hiệu Fc, của hàm

∞ (cid:90)

f ∈ L1(R+) được xác định bởi

(1.5) (Fcf )(y) := f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+. (cid:114) 2 π

∞ (cid:90)

Phép biến đổi ngược của nó có dạng đối xứng

˜f )(x) := ˜f (y) cos(xy) dy, ∀y ∈ R+, (F −1 c (cid:114) 2 π

trong đó ký hiệu ˜f (y) ≡ (Fcf )(y). Phép biến đổi Fourier cosine cũng là một trong số ít các biến đổi tích phân mà biến đổi ngược của nó có dạng đối xứng.

1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine

Năm 1951, (xem [2, 8]), I.N. Sneddon xây dựng tích chập của hai hàm f

∞ (cid:90)

và g trong L1(R+) đối với phép biến đổi Fourier cosine

g)(x) := f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > 0, (1.6) (f ∗ Fc 1 √ 2π

trong đó đẳng thức nhân tử hóa của nó trong L1(R+) có dạng

∀y > 0. (1.7) g)(y) = (Fcf )(y) · (Fcg)(y), Fc(f ∗ Fc

1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine

Trong [38], tác giả đã chứng minh định lý Wiener-Levy (Định lý 1.1.1) vẫn đúng cho biến đổi Fourier cosine. Tức là: Giả sử ˜f là biến đổi Fourier cosine của một hàm f nào đó trong không gian L1(R+), và φ là một hàm giải tích trong lân cận điểm gốc mà chứa miền giá trị f (y), ∀y ∈ R và φ(0) = 0. Khi đó φ( ˜f ) cũng là biến đổi Fourier cosine của một hàm nào đó trong không gian L1(R+).

−28−

1.3 Phép biến đổi Fourier sine

Tương tự như trên, phép biến đổi Fourier sine cũng là một trường hợp riêng của phép biến đổi Fourier, đó chính là biến đổi Fourier của một hàm lẻ.

1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine

Biến đổi tích phân Fourier sine (xem [8]), ký hiệu Fs, của hàm f được

∞ (cid:90)

định nghĩa

f (x) sin(yx) dx, y > 0. (1.8) (Fsf )(y) := (cid:114) 2 π

∞ (cid:90)

Phép biến đổi ngược của nó có dạng đối xứng

˜f (y) sin(xy) dy, ˜f )(x) := ∀x ∈ R+, (F −1 s (cid:114) 2 π

trong đó ký hiệu ˜f (y) ≡ (Fsf )(y).

1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier

sine

.). Khác với biến đổi Fourier và Fourier cosine, ở đây không có tích chập đối với một phép biến đổi Fourier sine, thay vào đó người ta tìm ra hai tích chập suy rộng (. ∗ FsFc .) và (. ∗ FcFs

.) của hai hàm f và g là tích chập đối với hai 1. Tích chập suy rộng (. ∗ FsFc

g). phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine, ký hiệu (f ∗ FsFc

Đây là tích chập được đề xướng bởi Churchill, năm 1941, nhưng để viết lại được như bây giờ thì do công của I.N. Sneddon, viết năm 1951 trong cuốn sách về biến đổi Fourier của mình [7]. Tích chập này được xác định theo công thức (0.7), với đẳng thức nhân tử hóa (0.8) như đã giới thiệu ở phần mở đầu.

.) của hai hàm f và g là tích chập đối 2. Còn tích chập suy rộng (. ∗ FcFs

với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine, ký hiệu

−29−

g). Đây là tích chập được V.A. Kakichev và các cộng sự công (f ∗ FcFs

∞ (cid:90)

bố năm 1998, trong tài liệu [57]. Tích chập này được xác định bởi công thức sau

g)(x) := f (y)[sign(y −x)g(|y −x|)+g(y +x)]dy, x > 0. (f ∗ FcFs 1 √ 2π

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R+) có dạng

∀y > 0. (1.9) g)(y) = (Fsf )(y).(Fsg)(y), Fc(f ∗ FcFs

γ ∗ F FcFs

∞ (cid:90)

3. Ngoài ra, còn có tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine ([27], 2005, bởi Nguyễn Minh Khoa và Nguyễn Xuân Thảo), được ký hiệu (f g) và xác định như sau

γ ∗ F FcFs

[f (|x − u|) − f (|x + u|)]g(u)du, (1.10) (f g)(x) := i √ 2π

trong đó đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R) có dạng

γ ∗ F FcFs

F (f (1.11) g)(y) = sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|), ∀y ∈ R.

Nhận xét 1.3.1 Đối với biến đổi Fourier sine thì định lý Wiener-Levy không đúng.

1.4 Phép biến đổi Hartley

Phép biến đổi Hartley được tìm ra từ năm 1942 bởi Ralph Lyon Hartley, một kỹ sư vô tuyến điện. Xuất phát từ những nghiên cứu trong ứng dụng về việc truyền sóng điện thoại, Hartley thấy rằng có thể cải tiến biến đổi Fourier cho tiện dụng hơn, cụ thể là ảnh của một hàm thực qua biến đổi cũng là hàm thực, mà điều này thì không có ở biến đổi Fourier. Do đó, mặc dù ra đời sau biến đổi kinh điển Fourier đến nửa thế kỷ, nhưng biến đổi Hartley vẫn được nghiên cứu và phát triển vì tính ứng dụng của nó (xem [10, 39, 40, 41, 42, 43]).

−30−

1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley

∞ (cid:90)

Biến đổi Hartley [40] là một biến đổi tích phân có nhân là hàm cas u = cos u + sin u. Có thể hiểu chữ cas được viết tắt từ chữ "cos and sin". Do hàm sin u là hàm lẻ, nên nhân cas u hay cas(−u) có sự khác biệt. Vì vậy, biến đổi Hartley của hàm f được chia thành hai chỉ số H1 và H2, tương ứng, chúng được định nghĩa như sau trong không gian L1(R)

−∞ ∞ (cid:90)

f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, (1.12) (H1f )(y) := 1 √ 2π

−∞

f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R. (1.13) (H2f )(y) := 1 √ 2π

Các công thức ngược của nó trong không gian L2(R) có dạng đối xứng

∞ (cid:90)

như sau:

−∞

f (x) = (H1f )(y) cas(yx)dy, ∀x ∈ R, 1 √ 2π

∞ (cid:90)

hoặc

−∞

f (x) = (H2f )(y) cas(−yx)dy, ∀x ∈ R. 1 √ 2π

1.4.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley

1. [H1f (−x)](y) = [H2f (x)](y), (H1f )(y) = (H2f )(−y), ∀y ∈ R.

2. Trong không gian L2(R) thì biến đổi Hartley là toán tử unita, thỏa mãn

1 = I, H 2

2 = I.

H 2

3. Nếu f ∈ L1(R), thì H1f, H2f ∈ C0(R), và

(cid:107)Hkf (cid:107)∞ ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R), k = 1, 2. 1 √ π

−31−

4. Biến đổi đạo hàm: Nếu f và các đạo hàm f (cid:48), f (cid:48)(cid:48), ..., f (n) ∈ L1(R), thì

(cid:40) nếu n = 2k; k = 1, 2, ... (Hif (n)(x))(y) =

(−1)ky2k(Hif )(y) (−1)k+1y2k+1(Hif )(−y) nếu n = 2k + 1; k = 0, 1, ... (1.14)

m −→ f (cid:48) khi m → ∞.

với i = 1, 2.

∞ (cid:90)

Chứng minh. Để chứng minh công thức trên, trước hết ta xét trường hợp n = 1 và i = 1. Tức là, ta cần chứng minh (H1f (cid:48)(x))(y) = −y(H1f )(−y). Thật vậy, xét S là không gian Schwartz gồm những hàm khả vi vô hạn lần trên R và các đạo hàm của nó đều là những hàm giảm nhanh ở vô cùng. Khi đó, bao đóng của S là không gian L1(R), nên S là trù mật trong L1(R). Vậy với mỗi f ∈ L1(R), sẽ tồn tại một dãy hàm {fm} ∈ S sao cho fm −→ f, f (cid:48) Vì Hfm ∈ S ⊂ C0(R) và (cid:107)H1fm(cid:107)∞ ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R), ∀m = 1, 2, ..., nên suy m −→ H1f (cid:48) là hội tụ đều trên R. Do ra sự hội tụ H1fm −→ H1f, H1f (cid:48) đó, ta dùng tích phân từng phần và nhận được:

m(x))(y) =

m(x)dx +

m(x)dx

−∞

−∞ ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

cos(yx)f (cid:48) sin(yx)f (cid:48) (H1f (cid:48) 1 √ 2π 1 √ 2π

−∞

= − fm(x) cos(yx)dx + fm(x) sin(yx)dx y √ 2π y √ 2π

= −y(H1fm)(−y).

Lấy giới hạn cả hai vế khi m → ∞, ta có:

m(x))(y) = lim m→∞

(H1f (cid:48) [−y(H1fm)(−y)], lim m→∞

suy ra

(1.15) (H1f (cid:48)(x))(y) = −y(H1f )(−y).

Với trường hợp n = 2, ta sử dụng công thức (1.15) hai lần và viết được

(H1f (cid:48)(cid:48)(x))(y) = −y(H1f (cid:48))(−y) = −y[y(H1f )(y)] = −y2(H1f )(y).

(cid:50) Tương tự cho các trường hợp còn lại.

−32−

5. Đạo hàm của biến đổi Hartley: Giả sử f (y), yf (y), y2f (y), ..., ynf (y) ∈

L1(R), khi đó

(cid:40) nếu n = 2k, k = 1, 2, ...

dn dxn (H1f )(x) =

H1[(−1)ky2kf (y)](x) H2[(−1)ky2k+1f (y)](x) nếu n = 2k + 1, k = 0, 1, ... (1.16)

(cid:40) nếu n = 2k, k = 1, 2, ...

dn dxn (H2f )(x) = H2[(−1)ky2kf (y)](x) H1[(−1)k+1y2k+1f (y)](x) nếu n = 2k + 1, k = 0, 1, ...

(1.17)

Chứng minh. Ta chứng minh (1.16), với n = 1. Tức là cần chứng minh dx(H1f )(x) = H2[yf (y)](x). Thật vậy, ta xét lớp S gồm những hàm d khả vi vô hạn lần trên R và các đạo hàm của nó đều là những hàm giảm nhanh ở vô cùng. Khi đó, mỗi f ∈ L1(R), sẽ tồn tại một dãy hàm {fm} ∈ S sao cho fm −→ f, f (cid:48) m −→ f (cid:48) khi m → ∞. Do trong lớp hàm S, ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân và đạo hàm, nên ta viết được:

∞ (cid:90)

 

−∞

(H1fm)(x) = fm(y). cas(xy)dy   d dx d dx

−∞ ∞ (cid:90)

(cid:19) 1 √ 2π ∞ (cid:90) cas(xy) dy = fm(y). (cid:18) d dx 1 √ 2π

−∞

= fm(y).y. cas(−xy)dy = H2[yfm(y)](x). 1 √ 2π

Chuyển qua giới hạn cả hai vế, khi m → ∞, ta có

H2[yfm(y)](x) lim m→∞

dx cas(−xy) = −y cas(xy), nên = H1[−yf (y)](x). Hay trường hợp

⇐⇒ (H1f )(x) = H2[yf (y)](x). d (H1fm)(x) = lim dx m→∞ d dx

Như vậy, trường hợp n = 1 và xét cho H1 đã đúng. Tương tự, do hàm cas(xy) có tính chất d ta nhận được công thức d(H2f )(x) n = 2 cho H2 cũng đã đúng.

−33−

Đối với n = 2 và xét cho H1, ta có

(cid:19) = (H1f )(x) (H2[yf (y)](x)) d2 dx2 (H1f )(x) = d dx d dx

(cid:18) d dx = H1[−y2f (y)](x).

(cid:50) Tương tự cho các trường hợp còn lại.

6. Liên hệ giữa biến đổi Hartley và biến đổi Fourier, ta có công thức

(F f )(−y) + (F f )(y), (H1f )(y) =

(F f )(−y) + (F f )(y), ∀y ∈ R. (1.18) (H2f )(y) = 1 − i 2 1 + i 2 1 + i 2 1 − i 2

và

(F f )(y) = (1.19) (H1f )(y) + (H2f )(y). 1 − i 2 1 + i 2

7. Đẳng thức Parseval cho biến đổi Hartley: Trong [1], 2009, các tác giả đã chứng minh được định lý kiểu Plancherel cho biến đổi Hartley và có đẳng thức Parseval

(1.20) (cid:107)Hkf (cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R), ∀f ∈ L2(R), k = 1, 2.

1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley

Trong [30], các tác giả đã chứng minh định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley, chứng minh này dựa trên định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier và mối liên hệ giữa biến đổi Hartley và biến đổi Fourier.

Định lý 1.4.1 (Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley) Cho hàm f ∈ L1(R). Khi đó 1 + (Hkf )(y) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R, (k = 1, 2) là điều kiện cần và đủ để tồn tại hàm l ∈ L1(R), sao cho thỏa mãn

, k = 1, 2. (Hkl)(y) = (Hkf )(y) 1 + (Hkf )(y)

−34−

1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hart-

ley

1. Năm 2009, trong tài liệu [1], các tác giả đã xây dựng tích chập của hai

∞ (cid:90)

hàm f và g đối với phép biến đổi Hartley,

−∞ − g(x − u) + g(−x + u)]du, x ∈ R.

g)(x) := f (u)[g(x + u) + g(−x − u)− (f ∗ H 1 √ 2π 2

(1.21)

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R)

(1.22) g)(y) = (Hkf )(y)(Hkg)(y), ∀y ∈ R, k = 1, 2. Hk(f ∗ H

Đây là tích chập đối với một phép biến đổi tích phân.

∞ (cid:90)

2. Gần đây, năm 2013, trong tài liệu [24], nhóm tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Hoàng Thị Vân Anh, đã xây dựng thêm một tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley. Tích chập này so với tích chập (1.21) ở trên có thay đổi dấu của một số số hạng trong hàm nhân và đẳng thức nhân tử hóa của nó xuất hiện cả hai loại biến đổi H1, H2. Biểu thức xác định tích chập đó có dạng:

−∞ − g(−x + u) + g(x − u)]du, x ∈ R.

f (u)[g(x + u) + g(−x − u)− g)(x) = (f ∗ H12 1 √ 2π 2

(1.23)

Tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R)

g)(y) = (H2f )(y)(H1g)(y), ∀y ∈ R,

(1.24) g)(y) = (H1f )(y)(H2g)(y), ∀y ∈ R. H1(f ∗ H12 H2(f ∗ H12

3. Cũng trong tài liệu [24], các tác giả đã xây dựng tích chập suy rộng đối với biến đổi Hartley và Fourier của hai hàm f và g, tích chập đó có dạng

−35−

∞ (cid:90)

−∞ + ig(−x − u) − ig(x + u)]du, x ∈ R,

g)(x) = f (u)[g(x − u) + g(x + u)+ (f ∗ HF 1 √ 2π 2

(1.25)

với đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R)

(1.26) g)(y) = (F f )(y)(Hkg)(y), ∀y ∈ R, k = 1, 2. Hk(f ∗ HF

∞ (cid:90)

4. Trong [30], năm 2013, Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và Hoàng Thị Vân Anh đã giới thiệu một tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley và Fourier cosine của hai hàm f và g. Tích chập đó được xác định bởi công thức,

f (u)[g(x − u) + g(x + u)]du, x ∈ R, (1.27) g)(x) = (f ∗ HFc 1 √ 2π

trong đó đẳng thức nhân tử hóa của nó trong không gian L1(R) có dạng

(1.28) g)(y) = (Fcf )(y)(Hkg)(y), ∀y ∈ R, k = 1, 2. Hk(f ∗ HFc

1.5 Một số định lý và bổ đề được sử dụng

1.5.1 Bất đẳng thức H¨older

Đối với tích phân

Trong không gian của các hàm giá trị phức, khả tích trên S và p, q là các

p + 1

q = 1, ta có bất đẳng thức H¨older như sau

1/q

số dương, thỏa mãn 1

1/p 

   (cid:90) (cid:90) (cid:90) ≤ . (1.29) |f (x)|pdx |g(x)|qdx    

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f (x)g(x)dx (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−36−

Đối với dãy hữu hạn

q = 1, thì

Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là 1,...,n với độ đo kiểu đếm, ta có: Nếu với mọi x, y trong Rn (Cn) và p, q là các số dương, thỏa mãn p + 1 1

n (cid:88)

k=1

(cid:33)1/q (cid:33)1/p (cid:32) n (cid:32) n (cid:88) (cid:88) . |yk|q |xk|p |xkyk| ≤

1.5.2 Định lý nội suy Riesz

Trong phần chứng minh về tính bị chặn của các toán tử tích phân kiểu

đa chập, ở chương 3, chúng tôi dựa vào định lý nội suy Riesz.

= 1 r1 + 1 s1 + 1 s0

, 0 < α < 1. Hơn nữa, nếu Định lý 1.5.1 (Định lý nội suy Riesz [3]) Giả sử r0 ≥ 1, r1 ≥ 1 và s0, s1 tương ứng là các số mũ liên hợp của r0, r1, tức là 1 = 1. r0 Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn đồng thời từ Lr0(R) vào Ls0(R) và từ Lr1(R) vào Ls1(R). Khi đó T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), trong đó r, s là hai số mũ liên hợp và r xác định bởi 1 r = 1−α r0 + α r1

(cid:107)T f (cid:107)Ls0(R) ≤ M0(cid:107)f (cid:107)Lr0 (R); (cid:107)T f (cid:107)Ls1 (R) ≤ M1(cid:107)f (cid:107)Lr1 (R)

thì ta có

1 .(cid:107)f (cid:107)Lr(R).

.M α (cid:107)T f (cid:107)Ls(R) ≤ M 1−α

Kết luận chương 1

Chương này chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều tài liệu tham khảo khác nhau, đó là những kiến thức được sử dụng cho các chương sau của luận án. Từ chương 2 trở đi, những kết quả nhận được đều là những kết quả mới của tác giả trong quá trình làm nghiên cứu sinh.

−37−

Chương 2

ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE

Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng và nghiên cứu hai đa chập mới liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier (., ., .)(x). Các đẳng thức nhân tử sine, ký hiệu tương ứng là ∗ 1 (., ., .)(x) và ∗ 2

hóa, đẳng thức Parseval là những tính chất quan trọng đối với mỗi đa chập sẽ được trình bày.

2.1 Đa chập đối với phép biến đổi Hartley,

Fourier cosine, Fourier sine

Ở đây chúng tôi xây dựng một đa chập mới của ba hàm liên quan đến ba phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine. Đa chập đó (·, ·, ·) và viết tắt là đa chập H-Fc-Fs. Điểm đặc biệt của đa được ký hiệu là ∗ 1

chập này là đẳng thức nhân tử hóa của nó lần đầu tiên xuất hiện bốn phép biến đổi tích phân khác nhau.

2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc-Fs

∞ (cid:90)

Định nghĩa 2.1.1 Đa chập của ba hàm f, g và h đối với phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine được xác định như sau

(2.1) f (u) g(v) θh(x, u, v) dudv, x ∈ R, (f, g, h)(x) := ∗ 1 1 2π

trong đó

θh(x, u, v) = h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v).

2.1.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc-Fs

Điều quan trọng trong mỗi đa chập khi được xây dựng là đẳng thức nhân tử hóa của nó. Đó là tính chất khi tác động một phép biến đổi tích phân nào đó lên đa chập ở vế trái, ta sẽ nhận được tích thông thường của các biến đổi tích phân ở bên vế phải. Từ đó cho thấy khả năng ứng dụng của đa chập, bằng cách lấy tích thông thường các hàm ảnh qua các phép biến đổi tích phân sẽ cho ta kết quả là ảnh của đa chập tương ứng qua phép biến đổi tích phân, sau đó dùng biến đổi ngược, ta có thể tìm được đa chập ban đầu. Việc tìm ảnh ngược chính là nội dung của đẳng thức Parseval.

2.1.2.1 Đa chập trong L1(R)

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng f, g ∈ L1(R+) và h ∈ L1(R). Khi đó, đa chập (f, g, h)(x) là một hàm bị chặn và thuộc không gian L1(R) và có hai đẳng ∗ 1 thức nhân tử hóa sau đây

(2.2) (f, g, h)](y) = sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y),

(2.3) (f, g, h)](y) = − sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H1h)(y), H1[ ∗ 1 H2[ ∗ 1

∞ (cid:90)

với ∀y ∈ R. Hơn nữa, trong trường hợp f, g ∈ L1(R+)∩L2(R+), h ∈ L2(R), ta có hai đẳng thức Parseval tương ứng

−∞

sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y). cas(xy)dy, (f, g, h)(x) = ∗ 1 1 √ 2π

∞ (cid:90)

(2.4)

−∞

sign y.(Fcf )(y).(Fsg)(|y|).(H1h)(y). cas(−xy)dy. (f, g, h)(x) = − ∗ 1 1 √ 2π

(2.5)

∞ (cid:90)

(f, g, h)(x) ∈ L1(R). Thật vậy, Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh ∗ 1

−∞

|f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|dxdudv | ∗ (f, g, h)(x)|dx ≤ 1 2π

−39−

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u + v)|dxdudv 1 2π

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u − v)|dxdudv 1 2π

−∞

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u + v)|dxdudv. 1 2π

∞ (cid:90)

Bằng cách đổi biến, tương ứng cho mỗi tích phân trên, t = x + u − v, t = x + u + v, t = x − u − v, t = x − u + v, viết dx theo dt, ta nhận được

−∞

|f (u)|.|g(v)|.|h(t)|dtdudv (f, g, h)(x)|dx ≤ | ∗ 1 2 π

0 

∞ (cid:90)

    

−∞

(2.6) |h(t)|dt |g(v)|dv |f (u)|du =   < ∞.   .   . 2 π

(f, g, h)(x) là hàm thuộc không gian L1(R). Do đó đa chập ∗ 1

Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.2). Thật vậy, từ biểu thức xác định các biến đổi tích phân Fourier cosine (1.5), biến đổi tích phân Fourier sine (1.8) và biến đổi Hartley (1.13), ta viết được

∞ (cid:90)

sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) =

−∞

= f (u).g(v).h(t). cos(uy). sin(vy). cas(−ty)dtdudv, ∀y ∈ R. 2 √ 2π π

Sử dụng biến đổi lượng giác cho các hàm cos(uy) · sin(vy) · cas(−ty), ta

có

{cas[(t + u + v)y] − cas[(t − u − v)y]− = cos(uy). sin(vy). cas(−ty) = 1 4

− cas[(t + u − v)y] + cas[(t − u + v)y]} .

−40−

Vì thế,

∞ (cid:90)

−∞ 0 0 ∞ ∞ ∞ (cid:90) (cid:90) (cid:90)

sign y(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) = ∞ (cid:90) 1 √ f (u).g(v).h(t). cas[(t + u + v)y]dtdudv = 2π 2π

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

1 √ − f (u).g(v).h(t). cas[(t − u − v)y]dtdudv 2π 2π

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

1 √ − f (u).g(v).h(t). cas[(t + u − v)y]dtdudv 2π 2π

−∞

1 √ + f (u).g(v).h(t). cas[(t − u + v)y]dtdudv. 2π 2π

∞ (cid:90)

Đối với mỗi số hạng tích phân trong biểu thức tổng ở trên, ta dùng phép đổi biến tương ứng, t + u + v = x, t − u − v = x, t + u − v = x và t − u + v = x, chuyển vi phân dt theo dx, khi đó ta nhận được

−∞

sign y(Fcf )(y).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) = ∞ ∞ (cid:90) (cid:90) 1 √ = f (u).g(v). [h(x − u − v) − h(x + u + v)− 2π 2π

∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

  −h(x − u + v) + h(x + u − v)] . cas(xy)dxdvdu ∞ (cid:90) f (u).g(v).θ(x, u, v)dudv =   . cas(xy)dx 1 2π 1 √ 2π

−∞

= (f, g, h)](y), ∀y ∈ R. (∗ 1 (f, g, h)(x)). cas(xy)dx = H1[∗ 1 1 √ 2π

Biểu thức này suy ra đẳng thức nhân tử hóa (2.2).

Từ đẳng thức (2.2), ta thay (y) bởi (−y), sẽ nhận được đẳng thức nhân

tử hóa (2.3).

Bây giờ chúng ta chứng minh các đẳng thức Parseval (2.4) và (2.5). Do sự tương đương nên ta chỉ cần chứng tỏ một trong hai đẳng thức, đẳng thức còn lại sẽ được dẫn ra tương tự. Xét đẳng thức (2.4). Thật vậy, theo giả thiết f, g ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), h ∈ L2(R), nên các hàm ảnh (Fcf )(|y|) ∈ L∞(R),

−41−

(Fsg)(|y|) ∈ L∞(R), (H2h)(y) ∈ L2(R). Vì tích của hai hàm thuộc không gian L∞ sẽ thuộc không gian L∞, tức là (Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|) là hàm bị chặn. Do đó, tích của ba hàm (Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) là hàm thuộc không gian L2. Vì vậy các tích phân sau đây là tồn tại và ta có thể áp dụng định lý Fubini để đổi thứ tự lấy tích phân, ta viết được:

∞ (cid:90)

H1[sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y)](x) =

−∞ ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

= sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y). cas(xy)dy 1 √ 2π

−∞ ∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

= sign y.f (u).g(v).(H2h)(y) cos(uy). sin(v|y|). cas(xy)dvdudy 2 √ 2π π

−∞ ∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

= f (u).g(v).(H2h)(y) cos(uy). sin(vy). cas(xy)dvdudy 2 √ 2π π

−∞

= [cas(−x + u + v)y− f (u).g(v).(H2h)(y) (cid:26)1 4 2 √ 2π π

∞ (cid:90)

− cas(−x − u − v)y + cas(−x + u + v)y − cas(−x + u − v)y]} dvdudy

= f (u)g(v) [H2(H2h)(x − u − v) − H2(H2h)(x − u + v)+ 1 2π

∞ (cid:90)

+H2(H2h)(x − u − v) − H2(H2h)(x − u + v)] dudv

= f (u)g(v) [h(x − u − v) − h(x − u + v)+ 1 2π

+h(x − u − v) − h(x − u + v)] dudv

(f, g, h)](x), ∀x ∈ R. = [∗ 1

Từ đây suy ra đẳng thức Parseval (2.5). Vậy định lý được chứng minh. (cid:50)

Ta có thể thấy rằng biến đổi Hartley H2 là biến đổi đối xứng của biến đổi H1 và tính chất toán tử T f (x) = f (−x) : H2 = T H1. Do T 2 = I, nên dễ dàng hiểu được tại sao đa chập lại có hai đẳng thức nhân tử hóa.

−42−

(R) 2.1.2.2 Đa chập trong không gian Lα,β,γ

p + 1

(R) trở thành không gian hàm có trọng Ls(R, e−β|x|γ). Định lý dưới đây cho biết, khi f, g, h thuộc các không gian hàm khác nhau (f, g, h) là bị chặn và nhưng nếu thỏa mãn điều kiện nhất định thì đa chập ∗ 1 (R), s > 1, không gian này đã được định thuộc không gian đa chỉ số Lα,β,γ nghĩa trong phần các ký hiệu của luận án. Ta thấy, khi α = 0, không gian Lα,β,γ s

Định lý 2.1.2 Giả sử f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R+), h ∈ Lr(R), trong đó q + 1 p, q, r > 1 và thỏa mãn 1 (f, g, h) là một hàm r = 2. Khi đó đa chập ∗ 1 (R), trong đó s > 1, α > −1, β > 0, γ > 0. bị chặn và thuộc không gian Lα,β,γ Nếu có thêm điều kiện f ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+), g ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+) và h ∈ L1(R)∩Lr(R), thì đa chập (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2), (2.3). Hơn nữa, nếu thêm điều kiện f ∈ L2(R) ∩ Lp(R+), g ∈ L2(R) ∩ Lq(R+), h ∈ L2(R) ∩ Lr(R), thì đẳng thức Parseval (2.4), (2.5) vẫn đúng.

(f, g, h)(x)|. Thật Chứng minh. Đầu tiên ta xét tính bị chặn của đa chập | ∗ 1

∞ (cid:90)

vậy, từ định nghĩa đa chập (2.1), ta có đánh giá sau:

∞ (cid:90)

(f, g, h)(x)| ≤ |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|dudv+ | ∗ 1 1 2π

0 ∞ (cid:90)

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u + v)|dudv+ 1 2π

0 ∞ (cid:90)

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u − v)|dudv+ 1 2π

+ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u + v)|dudv. (2.7) 1 2π

∞ (cid:90)

Gọi I1, I2, I3 và I4 là các số hạng tích phân lần lượt xuất hiện trong tổng trên. Không mất tính tổng quát, ta xét I1,

|f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|dudv, x ∈ R. I1(x) = 1 2π

−43−

p1 ∈ Lp1(R2 q1 ∈ Lq1(R2

+), +),

Gọi p1, q1, r1 là các số mũ liên hợp của p, q, r và

p1 .|h(x + u − v)| q1 .|f (u)| r1 ∈ Lr1(R2

+).

U (u, v) = |g(v)| V (u, v) = |h(x + u − v)| W (u, v) = |f (u)| r1 .|g(v)|

Khi đó, ta thấy rằng U.V.W = |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|.

+) và định lý Fubini,

Sử dụng định nghĩa về chuẩn trong không gian Lp1(R2

∞ (cid:90)

ta có thể viết:

r p1

p1 .|h(x + u − v)|

+) =

Lp1 (R2

(cid:110) (cid:111)p1 |g(v)| (cid:107)U (cid:107)p1 dudv

∞ (cid:90)

 

|h(x + u − v)|rdu |g(v)|q. =  dv 

0 ∞ (cid:90)

 

−∞

0 ∞ (cid:90)

|g(v)|q. |h(x + u − v)|rdu ≤  dv 

Lr(R).

Lr(R)dv = (cid:107)g(cid:107)q

Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)r

|g(v)|q.(cid:107)h(cid:107)r =

Tương tự, ta có

Lr(R); (cid:107)W (cid:107)r1

Lp(R+).(cid:107)h(cid:107)r

Lq(R+).

Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)q

Lq1(R2

Lr1(R2

(2.8) (cid:107)V (cid:107)q1

+) = (cid:107)f (cid:107)p + 1 r1

+) = (cid:107)f (cid:107)p Từ giả thiết 1 r = 2, suy ra được 1 q + 1 p + 1 p1 H¨older và (2.8), ta có được đánh giá sau:

∞ (cid:90)

= 1. Dùng bất đẳng thức + 1 q1

1/p1

1/q1

1/r1

0 

U.V.W dudv I1 = 1 2π

∞ (cid:90)

    

. . ≤ U p1dudv V q1dudv W r1dudv       1 2π

+).(cid:107)W (cid:107)Lr1 (R2 +).(cid:107)V (cid:107)Lq1 (R2 +) (cid:17)

q p1

p q1

p r1

Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)

r p1 Lr(R)

Lp(R+).(cid:107)h(cid:107)

r q1 Lr(R)

Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)

q r1 Lq(R)

(cid:107)U (cid:107)Lp1(R2 (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ≤ (cid:107)g(cid:107) . (cid:107)f (cid:107) . (cid:107)f (cid:107) 1 2π 1 2π

−44−

(2.9) = (cid:107)f (cid:107)Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)Lr(R). 1 2π

Bằng cách tương tự, ta nhận được các đánh giá cho I2, I3, I4

(2.10) Ik ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)Lr(R), for k = 2, 3, 4. 1 2π

Từ các công thức (2.7)-(2.10), dẫn đến

(f, g, h)(x)| ≤ (2.11) (cid:107)f (cid:107)Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)Lr(R). | ∗ 1 2 π

(f, g, h)(x) bị chặn. Để chứng minh ∗ 1

(f, g, h)(x) (R), ta sử dụng công thức 3.381.10 trong tài liệu [9],

Điều đó chứng tỏ đa chập ∗ 1 thuộc không gian Lα,β,γ công thức đó là

∞ (cid:90)

−∞

(cid:19) · β− α+1 · Γ , (2.12) |x|αe−β|x|γ dx = 2 γ (cid:18)α + 1 γ

∞ (cid:90)

trong đó Γ(x) là hàm Gamma. Từ công thức (2.11) và (2.12), ta có

−∞

|x|αe−β|x|γ (f, g, h)(x)|sdx · | ∗ 1

∞ (cid:90)

Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)s

Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)s

Lr(R)dx

(cid:19)s |x|αe−β|x|γ . ≤ (cid:107)f (cid:107)s (cid:18) 2 π

γ .Γ

Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)s

Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)s

Lr(R) < ∞.

−∞ 2s+1 πsγ

(cid:19) .β− α+1 .(cid:107)f (cid:107)s (2.13) = (cid:18)α + 1 γ

(R), s > 1. Từ đó suy ra đa chập ∗ 1

(f, g, h)(x) thuộc không gian Lα,β,γ Tiếp theo, từ giả thiết f ∈ L2(R) ∩ Lp(R+), g ∈ L2(R) ∩ Lq(R+), h ∈ L2(R) ∩ Lr(R), thì ba hàm f, g và h đều thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1.1, nên suy ra có các đẳng thức nhân tử hóa và đẳng thức Parseval (2.4) (cid:50) và (2.5). Vậy định lý được chứng minh.

2.1.2.3 Mối liên hệ với các tích chập đã biết

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử f, g ∈ L1(R+) và h ∈ L1(R). Khi đó đa chập (2.1) có mối liên hệ sau

γ ∗ F FcFs

h, (f, g, h) = −i(f ∗ 1 g) ∗ F

−45−

γ ∗ F FcFs

trong đó: (. .) là tích chập suy rộng có hàm trọng γ(y) = sign y đối với

phép biến đổi Fourier, Fourier cosine và Fourier sine, trong [27], được nhắc .) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, lại bởi công thức (1.10); còn (. ∗ F

trong [8], được nhắc lại bởi công thức (0.1).

Chứng minh. Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) và (2.3) ta nhận được

(f, g, h)](y) + H1[∗ 1 H2[∗ 1 1 − i 2 1 + i 2

= sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|). (H2h)(y) − (cid:21) (H1h)(y) 1 + i 2

. = −i sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|). (H1h)(y) + (cid:21) (H2h)(y) (f, g, h)](y) = (cid:20)1 − i 2 (cid:20)1 − i 2 1 + i 2

Sử dụng mối liên hệ giữa phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Hartley, công thức (1.19) và đẳng thức nhân tử hóa (1.11), ta có

F [∗ 1

= −iF (f g)(y).(F h)(y)

= F [−i(f h](y), ∀y ∈ R. g) ∗ F (f, g, h)](y) = −i sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(F h)(y) γ ∗ F FcFs γ ∗ F FcFs

Do biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, nên suy ra

γ ∗ F FcFs

h](x), ∀x ∈ R. (f, g, h)(x) = [−i(f ∗ 1 g) ∗ F

(cid:50) Vậy mệnh đề đã được chứng minh.

Hệ quả 2.1.1 Giả sử f, g, k, l là các hàm thuộc không gian L1(R+) và h là hàm thuộc không gian L1(R). Khi đó, đa chập (2.1) thỏa mãn một số đẳng thức sau:

(k, g, h)) a) ∗ 1 (k, l, ∗ 1 (f, g, h)) = ∗ 1 (f, g, ∗ 1

(f, l, h)). (k, l, h)) = ∗ 1 = ∗ 1 (f, l, ∗ 1 (k, g, ∗ 1

f, h). b) ∗ 1 k, g, h) = ∗ 1 k, h) = ∗ 1 (f ∗ Fc (f, g ∗ FsFc (k, g ∗ FsFc

−46−

Chứng minh. (a) Ta sẽ chứng minh dấu bằng thứ nhất trong a), các trường hợp còn lại được suy ra tương tự. Thật vậy, từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) và (2.3) ta có

(f, g, h))(y) H1[∗ 1 (k, l, ∗ 1 (f, g, h))](y) = sign y(Fck)(|y|).(Fsl)(|y|).H2(∗ 1

(k, l, h))(y)

(k, l, h))](y), ∀y ∈ R. = sign y(Fck)(|y|).(Fsl)(|y|). [(− sign y).(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H1h)(y)] = sign y(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).H2(∗ 1 = H1[∗ 1 (f, g, ∗ 1

(k, l, h)) thuộc L1(R). Vậy (k, l, ∗ 1 (f, g, h)) = ∗ 1 (f, g, ∗ 1

Điều này chứng tỏ rằng ∗ 1 dấu "=" thứ nhất trong a) đã được chứng minh. b) Dùng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine (1.7) và đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine (0.8), ta viết được

k))(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) H1(∗ 1 (f ∗ Fc k, g, h))(y) = sign y.(Fc(f ∗ Fc

k))(|y|).(H2h)(y)

= sign y.(Fcf )(|y|).(Fck)(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) = sign y.(Fcf )(|y|).(Fs(g ∗ FsFc k, h))(y), ∀y ∈ R. = H1(∗ 1 (f, g ∗ FsFc

k, h). Các đẳng thức còn lại trong Do đó nhận được ∗ 1 k, g, h) = ∗ 1 (f ∗ Fc (f, g ∗ FsFc (cid:50) b) được chứng minh tương tự.

2.1.2.4 Tính không có ước của không

Định lý kiểu Titchmarch sau đây cho thấy tính chất không có ước của (f, g, h)(x) là hàm có không đối với đa chập H-Fc-Fs. Tức là nếu đa chập ∗ 1

giá trị bằng 0, với mọi x trong miền xác định thì điều ấy chỉ xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong các hàm f hoặc g hoặc h phải có giá trị bằng 0, với mọi x trong miền xác định của nó.

Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch) Giả sử f, g ∈ L1(R+, ex) và h ∈ L1(R, e|x|). Khi đó, nếu có ∗ (f, g, h)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R, thì điều đó chỉ xảy 1 ra khi f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+, hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R+, hoặc h(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.

−47−

(f, g, h)](y) = (f, g, h)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R dẫn đến H1[∗ 1

Chứng minh. Giả thiết ∗ 1 0, ∀y ∈ R. Theo đẳng thức nhân tử hóa (2.2) ta có

(2.14) sign y.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y) = 0, ∀y ∈ R.

∞ (cid:90)

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng các hàm (H2h)(y), (Fcf )(|y|), (Fsg)(|y|) là những hàm giải tích. Không mất tính tổng quát, ta chứng minh rằng (H2h)(y) có thể khai triển thành chuỗi Taylor hội tụ trong R. Thật vậy, bằng cách đổi thứ tự của tích phân và đạo hàm, ta có:

−∞

∞ (cid:90)

≤ dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dn (cid:12) dyn (H2h)(y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dn (cid:12) dyn [h(x). cas(−xy)] (cid:12) (cid:12) 1 √ 2π

∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

(cid:104) (cid:16) (cid:17) (cid:16) cos xy + n − sin xy + n = (cid:12) (cid:12)h(x) · xn · (cid:12) (cid:17)(cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx π 2 π 2 1 √ 2π

−∞

−∞ ∞ (cid:90)

≤ |2h(x) · xn| dx ≤ e−|x| · · n! · |h(x)| · e|x|dx |x|n n! (cid:114) 2 π 1 √ 2π

−∞

n! · |h(x)| · e|x|dx = ≤ · n! · (cid:107)h(cid:107)L1(R,e|x|) = n!M, (cid:114) 2 π (cid:114) 2 π

π ·(cid:107)h(cid:107)L1(R,e|x|) là một số xác định vì h cho trước thuộc L1(R, e|x|). Vì vậy, phần còn lại của khai triển Taylor cho (H2h)(y) tại lân cận của

(cid:113) 2 ở đây, M =

một điểm bất kỳ y0 ∈ R là

≤ (y − y0)n · n! · M · |y − y0|n = M |y − y0|n, 1 n! dn(H2h)(c) dyn 1 n! (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

với c là điểm nào đó giữa y và y0. Vậy (H2h)(y) có khai triển Taylor hội tụ trong R, nên nó là hàm giải tích. Tương tự, (Fcf )(|y|), (Fsg)(|y|) cũng là những hàm giải tích, ∀y ∈ R. Từ tính giải tích của các hàm và (2.14), suy ra

(Fcf )(y) ≡ 0, ∀y ∈ R, hoặc (Fsg)(y) ≡ 0, ∀y ∈ R+,

hoặc (H2h)(y) ≡ 0, ∀y ∈ R.

Do tính duy nhất của biến đổi Hartley, biến đổi Fourier cosine và biến đổi Fourier sine trong không gian L1(R), ta suy ra

f (x) ≡ 0, ∀y ∈ R, hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R+, hoặc h(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.

−48−

(cid:50) Vậy định lý được chứng minh.

Trong mục tiếp theo, chúng tôi xem xét việc ứng dụng đa chập H-Fc-Fs vào việc giải một lớp các phương trình tích phân và hệ hai phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai.

2.1.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình tích phân

∞ (cid:90)

Xét phương trình tích phân sau đây

f (x) + λ (2.15) ϕ(u) ψ(v) θ1(x, u, v)dudv = h(x), x ∈ R,

với

[f (−x − u + v) − f (−x − u − v) + f (−x + u + v) θ1(x, u, v) = 1 2π

−f (−x + u − v)] ,

trong đó λ là hằng số phức; ϕ(x), ψ(x) là các hàm trong không gian L1(R+); h(x) là hàm thuộc không gian L1(R); f (x) là hàm cần tìm trong không gian L1(R).

Bằng phương pháp đổi biến, ta thấy rằng phương trình (2.15) ở trên là

phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng

(cid:90) f (x) + λ K(x, τ )f (τ )dτ = h(x), (2.16)

trong đó nhân K(x, τ ) được xác định đặc biệt và có chứa tích phân. Định lý dưới đây chỉ ra điều kiện đủ để phương trình (2.15) có nghiệm duy nhất, và chỉ ra công thức nghiệm dưới dạng đóng trong không gian L1(R).

Định lý 2.1.4 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn

(2.17) 1 + λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R.

Khi đó phương trình tích phân (2.15) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R) và nghiệm có dạng

h)(x), f (x) = h(x) − (l ∗ HF

−49−

trong đó hàm l ∈ L1(R) và được xác định bởi công thức sau

(F l)(y) = . λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) 1 + λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|)

Chứng minh. Theo định nghĩa đa chập H-Fc-Fs, công thức (2.1), ta có phương trình tích phân (2.15) có thể viết lại dưới dạng

(ϕ, ψ, f (−t))](x) = h(x). f (x) + λ[∗ 1

[∗ 1

γ ∗ F F cF s

Do các hàm f (x), (ϕ, ψ, f (−t))](x) và h(x) là các hàm trong không gian L1(R), nên tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình trên, và sử dụng tính chất nhân tử hóa (2.2) cho đa chập. Đồng thời sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.11) cho tích chập suy rộng (· ·) ta có

(H1f )(y) + λ. sign y(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H2f (−t))(y) = (H1h)(y)

⇐⇒ (H1f )(y) + λ. sign y(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H1f )(y) = (H1h)(y) ⇐⇒ (H1f )(y).[1 + λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|)] = (H1h)(y)

γ ∗ F F cF s

⇐⇒ (2.18) (H1f )(y)[1 + λ.F (ϕ ψ)(y)] = (H1h)(y).

γ ∗ F F cF s

Do giả thiết (2.17), suy ra 1 + λ.F (ϕ ψ)(y) (cid:54)= 0, nên phương trình đại

số (2.18) có nghiệm duy nhất:

γ ∗ F F cF s

1 (H1f )(y) =(H1h)(y). ψ)(y)]

[1 + λ.F (ϕ   λ.F (ϕ ψ)(y)

γ ∗ F F cF s γ ∗ F F cF s

(2.19) =(H1h)(y).   .  1 − 1 + λ.F (ϕ ψ)(y)

Tiếp theo ta sử dụng định lý Wiener-Levy [38] cho biến đổi Fourier, do hàm Φ(z) = z 1+z là hàm giải tích trong lân cận điểm gốc, nên sẽ tồn tại một hàm l ∈ L1(R) thỏa mãn

λ.F (ϕ ψ)(y)

γ ∗ F F cF s γ ∗ F F cF s

(F l)(y) = . (2.20) 1 + λ.F (ϕ ψ)(y)

−50−

Hay viết lại dưới dạng

. (F l)(y) = λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|) 1 + λ sign y.(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|)

Trở lại với hàm phải tìm f (x), ta viết được

(H1f )(y) = (H1h)(y).[1 − (F l)(y)].

·) , và từ biểu Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.26) đối với tích chập (· ∗ HF

thức (2.19), ta nhận được

h)](y), ∀y ∈ R. (H1f )(y) = H1[h − (l ∗ HF

Biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, từ đó suy ra

h)(x) ∈ L1(R). f (x) = h(x) − (l ∗ HF

(cid:50) Vậy định lý đã được chứng minh.

2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân

Trên cơ sở giải được phương trình tích phân dạng (2.15) nhờ công cụ đa

chập, chúng tôi tiếp tục xét hệ hai phương trình tích phân sau đây:

∞ (cid:90)



f (x) + λ1 ϕ1(u)ψ1(v)θ2(x, u, v)dudv = p(x)

∞ (cid:90)

(2.21)

λ2 ϕ2(u)ψ2(v)θ3(x, u, v)dudv + h(x) = q(x)

 

trong đó λ1, λ2 là các hằng số phức; ϕ1, ϕ2, ψ1, ψ2 là các hàm trong không gian L1(R+); p(x), q(x) là các hàm trong không gian L1(R); f, h là các hàm phải tìm và

[h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v)], θ2(x, u, v) =

[f (x + u − v) − f (x + u + v) + f (x − u − v) − f (x − u + v)]. θ3(x, u, v) = 1 2π 1 2π

Định lý sau chỉ ra điều kiện đủ để hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm được biểu diễn dưới dạng đóng nhờ sử dụng định lý Wiener-Levy.

−51−

Định lý 2.1.5 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn

1 − λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|) (cid:54)= 0, ∀y > 0.

Khi đó hệ (2.21) sẽ có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R) × L1(R) và nghiệm được biểu diễn dưới dạng

(ϕ1, ψ1, q)](x)+ p)(x) − λ1[∗ 1 f (x) = p(x) − (l ∗ HFc

(ϕ1, ψ1, q)])(x), [∗ 1

+ λ1(l ∗ HFc (ϕ2, ψ2, p)](x)+ q)(x) − λ2[∗ 1 h(x) = q(x) − (l ∗ HFc

(ϕ2, ψ2, p)])(x). [∗ 1 + λ2(l ∗ HFc

Ở đây, hàm l ∈ L1(R) được xác định bởi

, (Fcl)(|y|) = λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|) 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|)

với mọi y ∈ R.

Chứng minh. Theo công thức định nghĩa đa chập (2.1), hệ phương trình tích phân (2.21) được viết lại dưới dạng:

  f (x) + λ1[∗ 1 (2.22) (ϕ1, ψ1, h)](x) = p(x), (ϕ2, ψ2, f )](x) + h(x) = q(x), x ∈ R.  λ2[∗ 1

Tác động biến đổi H1 vào hai vế của phương trình thứ nhất và tác động biến đổi H2 vào hai vế của phương trình thứ hai, sau đó sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa của đa chập (2.1), ta nhận được hệ phương trình đại số tuyến tính theo ẩn hàm (H1f )(y) và (H2h)(y) trên R:

(cid:40)

(H1f )(y) + λ1 sign y(Fcϕ1)(|y|)(Fsψ1)(|y|)(H2h)(y) = (H1p)(y), −λ2 sign y(Fcϕ2)(|y|)(Fsψ2)(|y|)(H1f )(y) + (H2h)(y) = (H2q)(y).

(2.23)

Ký hiệu ∆ là định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình trên. Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.8) của tích chập suy rộng đối với phép biến

−52−

đổi Fourier sine, Fourier cosine và đẳng thức nhân tử hóa (1.9) của tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine, ta nhận được

∆ = 1 −λ2 sign y(Fcϕ2)(|y|)(Fsψ2)(|y|) (cid:12) λ1 sign y(Fcϕ1)(|y|)(Fsψ1)(|y|) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

F sF c

F cF s

F sF c

= 1 + λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|) = 1 + λ1λ2Fc[(ψ1 ∗ ϕ2)](|y|). ϕ1) ∗ (ψ2 ∗

Do giả thiết của định lý, ∆ (cid:54)= 0, nên hệ phương trình đại số (2.23) có nghiệm duy nhất. Để tìm được biểu diễn nghiệm, trước hết chúng ta biểu diễn biểu thức 1/∆ dạng

F sF c λ1λ2Fc[(ψ1 ∗

F cF s ϕ1) ∗

F sF c (ψ2 ∗

= 1 ∆ 1 ϕ1) ∗ 1 + λ1λ2Fc[(ψ1 ∗ (ψ2 ∗ ϕ2)](|y|)

F sF c 1 + λ1λ2Fc[(ψ1 ∗

F cF s ϕ1) ∗

F sF c (ψ2 ∗

F sF c

F cF s

F sF c

ϕ2)](|y|) . = 1 − ϕ2)](|y|)

Hơn nữa, theo định lý Wiener-Levy [38] cho biến đổi Fourier cosine, sẽ tồn tại một hàm l ∈ L1(R+) sao cho

F cF s ϕ1) ∗

F sF c (ψ2 ∗

F sF c

F cF s

F sF c

ϕ1) ∗ (ψ2 ∗ ϕ2)](|y|) λ1λ2Fc[(ψ1 ∗ 1 . (Fcl)(|y|) = 1 + λ1λ2Fc[(ψ1 ∗ ϕ2)](|y|)

Hay viết cách khác

, ∀y ∈ R. (Fcl)(|y|) = λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|) 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(Fcϕ2)(|y|).(Fsψ2)(|y|)

Vì vậy, ta viết được = 1 − (Fcl)(y). 1 ∆ Để tiến tới nghiệm của hệ (2.23), ta cần xác định các định thức thành phần

∆1 = (H1p)(y) (H2q)(y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) λ1 sign y(Fcϕ1)(|y|)(Fsψ1)(|y|) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12)

= (H1p)(y) − λ1.(Fcϕ1)(|y|).(Fsψ1)(|y|).(H2q)(y) = (ϕ1, ψ1, q)](y), y ∈ R. (H1p)(y) − λ1H1[∗ 1

−53−

Dựa vào đẳng thức nhân tử hóa (1.28) của tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Hartley và Fourier cosine, ta có:

(cid:110) (cid:111) = (H1f )(y) = (ϕ1, ψ1, q)](y) [1 − (Fcl)(|y|)] ∆1 ∆

(ϕ1, ψ1, q)](y)+ (H1p)(y) − λ1H1[∗ 1 p)(y) − λ1H1[∗ 1 = (H1p)(y) − H1(l ∗ HFc (cid:26) (cid:27) (y) + λ1H1 (ϕ1, ψ1, q)] [∗ 1 l ∗ HFc (cid:26) (cid:27) (y), = H1 (ϕ1, ψ1, q)]) p) − λ1[∗ 1 [∗ 1 p − (l ∗ HFc (ϕ1, ψ1, q)] + λ1(l ∗ HFc

với ∀y ∈ R. Do biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, nên suy ra

(ϕ1, ψ1, q)](x)+ p)(x) − λ1[∗ 1 f (x) = p(x) − (l ∗ HFc

(ϕ1, ψ1, q)])(x) ∈ L1(R). [∗ 1 + λ1(l ∗ HFc

Tương tự, ta tính định thức thành phần thứ hai của hệ (2.23)

∆2 = 1 −λ2 sign y(Fcϕ2)(|y|)(Fsψ2)(|y|) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (H1p)(y) (cid:12) (cid:12) (H2q)(y) (cid:12)

= (H2q)(y) + λ2 sign y(Fcϕ2)(|y|)(Fsψ2)(|y|)(H1p)(y) = (ϕ2, ψ2, p)](y), y ∈ R. (H2q)(y) − λ2H2[∗ 1

Dựa vào đẳng thức nhân tử hóa (1.28) ta nhận được

(cid:110) (cid:111) = (ϕ2, ψ2, p)](y) [1 − (Fcl)(|y|)] (H2h)(y) = (H2q)(y) − λ2H2[∗ 1 ∆2 ∆

= (H2q)(y) − H2(l ∗ HFc (cid:26) (ϕ2, ψ2, p)](y)+ q)(y) − λ2H2[∗ 1 (cid:27) (y) + λ2H2 (ϕ2, ψ2, p)] [∗ 1 l ∗ HFc (cid:26) (cid:27) (y). = H2 (ϕ2, ψ2, p)]) q) − λ2[∗ 1 [∗ 1 q − (l ∗ HFc (ϕ2, ψ2, p)] + λ2(l ∗ HFc

Biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, từ đó suy ra

(ϕ2, ψ2, p)](x)+ q)(x) − λ2[∗ 1 h(x) = q(x) − (l ∗ HFc

(ϕ2, ψ2, p)])(x) ∈ L1(R). [∗ 1 + λ2(l ∗ HFc

(cid:50) Vậy định lý đã được chứng minh.

−54−

2.2 Đa chập đối với các phép biến đổi

Hartley, Fourier cosine

Trong mục này chúng tôi xây dựng một đa chập mới đối với phép biến (·, ·, ·) và gọi là đa chập đổi Hartley và Fourier cosine, được ký hiệu là ∗ 2

Hartley-Fourier cosine, viết tắt là H-Fc.

2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc

∞ (cid:90)

Định nghĩa 2.2.1 Đa chập Hartley-Fourier cosine của các hàm f, g, h được định nghĩa như sau

−∞

(f, g, h)](x) := (2.24) f (u)[k1(x − u) + k2(x + u)]du, x ∈ R, [∗ 2 1 4π

∞ (cid:90)

trong đó k1(t), k2(t) (t ∈ R) là hai hàm được xác định bởi

0 ∞ (cid:90)

g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, (2.25) k1(t) :=

g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv. (2.26) k2(t) :=

Cách biểu diễn của đa chập H-Fc như (2.24) có hình thức rất gần với vế trái của phương trình Toeplitz-Hankel, đó là một phương trình mà cho đến nay lời giải của nó vẫn là bài toán mở, và điều này sẽ được trình bày trong phần ứng dụng của đa chập.

Khi thay k1(t), k2(t) vào biểu thức xác định của đa chập (2.24), ta sẽ nhận

∞ (cid:90)

được cách biểu diễn có hình thức khác của đa chập H-Fc như sau:

−∞

(f, g, h)](x) := (2.27) f (u)g(v)θh(x, u, v)dvdu, [∗ 2 1 4π

trong đó

θh(x, u, v) = h(−x + u + v) + h(x − u − v) + h(−x + u − v) + h(x − u + v)+ + h(−x − u + v) − h(x + u − v) + h(−x − u − v) − h(x + u + v). (2.28)

Cách biểu diễn này thuận lợi cho một số chứng minh ở chương sau.

−55−

2.2.2 Một số tính chất của đa chập H-Fc

Định lý sau đây cho biết về đẳng thức nhân tử hóa và đẳng thức Parseval

của đa chập.

Định lý 2.2.1 Giả sử rằng các hàm f, h ∈ L1(R) và g ∈ L1(R+). Khi đó, (f, g, h)(x) là một hàm bị chặn và thuộc không gian L1(R) và thỏa đa chập ∗ 2

mãn hai đẳng thức nhân tử hóa sau:

(2.29)

(2.30) (f, g, h)](y) = (H1f )(y).(Fcg)(y).(H2h)(y), ∀y ∈ R, (f, g, h)](y) = (H2f )(y).(Fcg)(y).(H1h)(y), ∀y ∈ R. H1[∗ 2 H2[∗ 2

∞ (cid:90)

Trong trường hợp hàm f ∈ L2(R), g ∈ L1(R+)∩L2(R+) và h ∈ L1(R)∩L2(R), ta có hai đẳng thức kiểu Parseval sau đây,

−∞ ∞ (cid:90)

(f, g, h)(x) = (2.31) (H1f )(y).(Fcg)(y).(H2h)(y). cas(xy)dy, ∗ 2 1 √ 2π

−∞

(f, g, h)(x) = (2.32) (H2f )(y).(Fcg)(y).(H1h)(y). cas(−xy)dy. ∗ 2 1 √ 2π

Kỹ thuật chứng minh định lý này cũng tương tự kỹ thuật chứng minh Định lý 2.1.1 ở mục trên, do đó trong phần chứng minh có nhiều chi tiết sẽ được lược bớt.

(f, g, h)(x) ∈ L1(R). Thật Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng ∗ 2

∞ (cid:90)

vậy, từ công thức xác định k1, ta có

−∞

∞ (cid:90)

|k1(t)|dt ≤

−∞

0 

≤ |g(v)|. [|h(−t + v)| + |h(t − v)| + |h(−t − v)| + |h(t + v)|] dvdt

∞ (cid:90)

  

−∞

≤ 4 |h(t)|dt |g(v)|dv  .   . 

−56−

Tương tự với k2. Từ đó và sử dụng định lý Fubini để thay đổi thứ tự lấy tích phân, ta có được đánh giá

∞ (cid:90)

 

−∞

−∞  

−∞ 

|f (u)|du |k1(t)|dt + |k2(t)|dt   (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx ≤ (f, g, h)(x) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∗ 1 4π

−∞ 

∞ (cid:90)

 

−∞

|g(v)|dv |h(t)|dt |f (u)|du ≤    < ∞.    2 π

(f, g, h)(x) là hàm thuộc không gian L1(R). Vì thế đa chập ∗ 2

Bây giờ ta chứng minh tính chất nhân tử hóa (2.29). Ta có,

∞ (cid:90)

(H1f )(y).(Fcg)(y).(H2h)(y) =

−∞

= f (u).g(v).h(t). cas(uy). cos(vy). cas(−ty)dtdvdu, 1 √ 2π π

∞ (cid:90)

với ∀y ∈ R. Dùng biến đổi lượng giác, biến đổi nhân cas(uy). cos(vy). cas(−ty) trong tích phân trên, ta nhận được:

−∞

1 √ f (u).g(v).h(t)· (H1f )(y).(Fcg)(y).(H2h)(y) = 4π 2π

· {cas[(u + v − t)y] + cas[(u + v + t)y] − cas[(−u − v + t)y]+ + cas[(−u − v − t)y] + cas[(u − v − t)y] + cas[(u − v + t)y]− − cas[(−u + v + t)y] + cas[(−u + v − t)y]} dtdvdu.

Tách biểu thức tích phân trên thành tổng của 8 tích phân, rồi thực hiện việc đổi biến tương ứng, ta nhận được:

∞ (cid:90)

−∞

(H1f )(y) · (Fcg)(y) · (H2h)(y) = ∞ (cid:90) 1 √ = f (u).g(v). [h(−x + u + v) + h(x − u − v)− 4π 2π

−h(x + u + v) + h(−x − u − v) + h(−x + u − v) + h(x − u + v)− −h(x + u − v) + h(−x − u + v)] cas(xy)dxdvdu.

−57−

Đến đây, ta lại dùng định lý Fubini, đổi thứ tự lấy tích phân và sử dụng

ký hiệu k1, k2, ta có

∞ (cid:90)

(H1f )(y) · (Fcg)(y) · (H2h)(y) =

−∞

−∞ ∞ (cid:90)

    = cas(xy)dx f (u). [k1(x − u) + k2(x + u)] du 1 4π 1 √ 2π  

−∞

(f, g, h)](y), ∀y ∈ R. = [∗ 2 (f, g, h)(x)]. cas(xy)dx = H1[∗ 2 1 √ 2π

Biểu thức này chứng tỏ đẳng thức nhân tử hóa (2.29) đã được chứng minh. Để khẳng định đẳng thức thứ hai (2.30), ta dùng tính chất của biến đổi Hartley, (H1f )(y) = (H2f )(−y), ta thay (y) bởi (−y) sẽ nhận được (2.30). Đẳng thức Parseval (2.31) có được vì f, h ∈ L2(R), g ∈ L2(R+) nên có tính chất H2[(H2h)(y)](x) = h(x), việc chứng minh tương tự như chứng minh đẳng thức Parseval cho đa chập H-Fc-Fs. Định lý đã được chứng minh. (cid:50)

q + 1

p + 1

(R), s > 1, ta có định lý sau. Bây giờ, trong không gian đa chỉ số Lα,β,γ

Định lý 2.2.2 Giả sử f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R+) và h ∈ Lr(R), trong đó p, q, r > 1 và thỏa mãn 1 (f, g, h) là một r = 2. Khi đó đa chập ∗ 2 (R). Nếu có thêm điều kiện f ∈ hàm bị chặn và thuộc không gian Lα,β,γ s L1(R)∩Lp(R), g ∈ L1(R+)∩Lq(R+) và h ∈ L1(R)∩Lr(R), thì đa chập (2.24) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.29), (2.30). Hơn nữa, nếu thêm điều kiện f ∈ L2(R) ∩ Lp(R), g ∈ L1(R) ∩ L2(R) ∩ Lq(R), h ∈ L1(R) ∩ L2(R) ∩ Lr(R), thì đẳng thức Parseval (2.31), (2.32) vẫn đúng.

Do kỹ thuật chứng minh có phần tương tự với chứng minh Định lý 2.1.2, nên chúng tôi bỏ qua phần chứng minh của định lý này. Điểm khác nhau giữa việc chứng minh hai định lý là nhân của đa chập H-Fc-Fs có 4 số hạng, còn nhân của đa chập H-Fc gồm 8 số hạng, do đó trong các biểu thức đánh giá, ước lượng ta phải viết nhiều hơn.

Đối với đa chập H-Fc, khi có nhiều hơn 3 hàm, thì trong một số trường hợp ta có thể thay đổi vị trí của một số hàm trong phép nhân đa chập như dưới đây.

Hệ quả 2.2.1 Giả sử g, l ∈ L1(R+) và f, k, h ∈ L1(R). Khi đó đa chập H-Fc (2.24) có tính chất sau:

−58−

(f, g, k), l, h) a) ∗ 2 (∗ 2 (f, g, h), l, k) = ∗ 2 (∗ 2 (f, l, h), g, k) = ∗ 2 (∗ 2

(f, l, k), g, h). = ∗ 2 (∗ 2

(f, l, h)) b) ∗ 2 (k, l, ∗ 2 (f, g, h)) = ∗ 2 (h, l, ∗ 2 (f, g, k)) = ∗ 2 (k, g, ∗ 2

(f, l, k)). = ∗ 2 (h, g, ∗ 2

Chứng minh hệ quả này dựa trực tiếp vào đẳng thức nhân tử hóa (2.29),

(f, g, h). (2.30) của đa chập. Tiếp theo là định lý kiểu Titchmarch cho đa chập ∗ 2

Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Titchmarch) Giả sử f, h ∈ L1(R, e|x|) và g ∈ L1(R+, ex). Nếu ∗ (f, g, h)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R, khi đó hoặc f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R, 2 hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ hoặc h(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.

Kỹ thuật chứng minh có dùng đến đẳng thức nhân tử hóa của đa chập H- Fc và tính giải tích của các hàm (H1f )(y), (Fcg)(y), (H2h)(y). Các lập luận tương tự chứng minh định lý kiểu Titchmarch cho đa chập H-Fc-Fs.

2.2.3 Ứng dụng giải một lớp phương trình Toeplitz-

Hankel

∞ (cid:90)

Chúng tôi thấy rằng, dùng đa chập H-Fc có thể giải được một lớp các phương trình Toeplitz-Hankel trên miền thực với trường hợp riêng của nhân k1, k2. Đó là phương trình có dạng

−∞

f (x) + λ (2.33) f (y)[k1(x − y) + k2(x + y)]dy = p(x), x ∈ R,

∞ (cid:90)

trong đó k1, k2 được xác định bởi

0 ∞ (cid:90)

g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, t ∈ R, k1(t) :=

g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv, t ∈ R, k2(t) :=

−59−

còn g, h, p là các hàm cho trước, f là hàm cần tìm.

Với cách xác định này, ta thấy rằng nhân Toeplitz k1 vẫn là một hàm chẵn và không có điều kiện của vế phải. Nghiệm của phương trình (2.33) được cho bởi định lý dưới đây

Định lý 2.2.4 Giả sử g ∈ L1(R+) và h, p ∈ L1(R) là các hàm cho trước, λ là một hằng số. Điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân (2.33) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R) là

(2.34) 1 + λ(Fcg)(y)(H2h)(y) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R,

và nghiệm có dạng

p)(x), ∀x ∈ R, (2.35) f (x) = p(x) − (l ∗ H12

trong đó l ∈ L1(R) được xác định bởi

, ∀y ∈ R. (2.36) (H2l)(y) = λ.(Fcg)(y)(H2h)(y) 1 + λ.(Fcg)(y)(H2h)(y)

Chứng minh. Sử dụng Định nghĩa 2.2.1 cho đa chập, ta thấy phương trình (2.33) có thể viết lại ở dạng

(f, g, h)](x) = p(x). f (x) + λ[∗ 2

Tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình, sau đó dùng tính chất nhân tử hóa của đa chập (2.29) và công thức (1.28), ta nhận được

(H1f )(y) + λ.(H1f (y).(Fcg)(y).(H2h)(y) = (H1p)(y)

(2.37) ⇐⇒ (H1f )(y)[1 + λ.(Fcg)(y).(H2h)(y)] = (H1p)(y).

Điều kiện (2.34) được thỏa mãn cũng là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình (2.37) có nghiệm duy nhất:

(H1f )(y) =(H1p)(y).

1 [1 + λ.(Fcg)(y).(H2h)(y)] (cid:20) (cid:21) 1 − =(H1p)(y). λ.(Fcg)(y).(H2h)(y) 1 + λ.(Fcg)(y).(H2h)(y)   h)(y)

(2.38) =(H1p)(y).  . 1 − h)(y) λ.H2(g ∗ HFc 1 + λ.H2(g ∗ HFc

−60−

Theo định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley (Định lý 1.4.1), sẽ tồn tại một hàm l ∈ L1(R) sao cho

h)(y)

. (2.39) (H2l)(y) = h)(y) λ.H2(g ∗ HFc 1 + λ.H2(g ∗ HFc

Vì vậy, từ công thức (2.38), (2.39) và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.26), ta nhận được

(H1f )(y) = (H1p)(y).[1 − (H2l)(y)] = (H1p)(y) − (H2l)(y)(H1p)(y) p)](y), ∀y ∈ R. = (H1p)(y) − H1(l ∗ H12 p)(y) = H1[p − (l ∗ H12

Từ đó suy ra f (x) = p(x) − (l ∗ H12 p)(x) ∈ L1(R). Đó là điều phải chứng (cid:50) minh.

So với các kết quả đã biết liên quan đến việc giải phương trình Toeplitz- Hankel, kết quả của chúng tôi tuy cũng xét trường hợp k1(t) có tính chất chẵn (giống các công trình [33, 34]) nhưng lại không cần k1 = k2 (như [30]), không cần chúng là hàm tuần hoàn (như [36]) và không cần điều kiện áp lên vế phải g(x) (như [34]).

Nhận xét 2.2.1 Do vai trò của H1 và H2 trong định lý trên là như nhau nên điều kiện (2.34) có thể đổi thành

1 + λ(Fcg)(y)(H1h)(y) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R,

nghiệm nhận được vẫn có dạng (2.35), trong đó hàm l(x) ∈ L1(R) được xác định theo định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley, thỏa mãn

, ∀y ∈ R. (H1l)(y) = λ.(Fcg)(y)(H1h)(y) 1 + λ.(Fcg)(y)(H1h)(y)

Việc xác định l(x) từ biểu thức (2.36) phụ thuộc vào các hàm g, h cho trước. Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra một ví dụ minh họa để tìm hàm l(x) và viết nghiệm của phương trình (2.33) với g, h, p là các hàm chọn trước.

π K0(x) và h(x) =

π K0(|x|), trong đó hàm K0(x) là hàm Bessel loại hai. Theo tính chất của hàm Bessel loại hai K0(x)

(cid:113) 2 (cid:113) 2 Ví dụ 2.2.1 Chọn g(x) =

−61−

∞ (cid:82)

(xem công thức 6.511.12 trong [9]), chúng ta thấy rằng

|K0(x)| dx = π 2 . Điều này chứng tỏ K0(x) là một hàm trong không gian L1(R+). Vì vậy, các hàm g(x) ∈ L1(R+), h(x) ∈ L1(R) và từ công thức 1.2.17 trong [40] (hoặc công thức 3.754.2 trong [9]) ta có

. (Fcg)(y) = (H2h)(y) = 1 (cid:112)1 + y2

Tiếp theo ta chọn hằng số λ = 1, khi đó

= (H2l)(y) = ∈ L1(R). 1 y2 + 2 (Fcg)(y)(H2h)(y) 1 + (Fcg)(y)(H2h)(y)

Từ mối quan hệ giữa biến đổi Hartley và biến đổi Fourier, ta có

(F l)(y) = (H1l)(y) + (H2l)(y)

= (H2l)(−y) +

= · · + = = (H2l)(y). 1 − i 2 1 − i 2 1 − i 2 1 + i 2 1 + i 2 1 + i 2 1 y2 + 2 (H2l)(y) 1 y2 + 2 1 y2 + 2

√

2|x|

Dựa vào công thức 17.23.14 trong [9] hoặc dùng phần mềm Mathematica 5.1, ta tính được

−1

(cid:19) (cid:19) √ (cid:18) 1 (cid:18) 1 e− l(x) = F −1 (x) = π. (x) = H2 ∈ L1(R). y2 + 2 y2 + 2 2

∞ (cid:90)

Bây giờ chọn hàm p(x) = e−x2, suy ra p(x) ∈ L1(R), và sử dụng (1.25), ta có

√

−∞ ∞ (cid:90)

2|u| (cid:104)

p)(x) = l(u)[p(x + u) + p(−x − u) − p(−x + u) + p(x − u)]du (l ∗ H12 1 √ 2π 2

−∞

√

e− e−(x−u)2 + e−(x+u)2(cid:105) du = 1 √ 4 2

2x√

1 2 −

√ + e2

2x Erfc

(cid:18) (cid:21) (cid:21)(cid:19) .e π Erfc − x + x , = 1 √ 4 2 (cid:20) 1 √ 2 (cid:20) 1 √ 2

−62−

√

trong đó Erfc(x) là hàm lỗi bổ sung. Bằng cách sử dụng phần mềm hỗ trợ Mathematica 5.0, ta có

∞ (cid:90)

2x√

1 2 −

2x Erfc

−∞

(cid:18) (cid:21) 1 √ .e π Erfc − x + e2 + x dx = . π 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:21)(cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:20) 1 √ 2 (cid:20) 1 √ 2 4 2

∞ (cid:90)

Hay

−∞

dx = < ∞. (l ∗ H12 π 2 (cid:12) (cid:12) p)(x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

p)(x) ∈ L1(R). Vì vậy, nghiệm của phương trình Như thế chứng tỏ (l ∗ H12

(2.33) là:

√

2x√

1 2 −

2x Erfc

p)(x) = f (x) = p(x) − (l ∗ H12 (cid:18) (cid:21) (cid:21)(cid:19) 1 √ = e−x2 − .e π Erfc − x + e2 + x , 4 2 (cid:20) 1 √ 2 (cid:20) 1 √ 2

và với cách xác định như vậy chứng tỏ f (x) ∈ L1(R).

2.2.4 Ứng dụng giải một lớp hệ phương trình Toeplitz-

Hankel

Từ việc giải một phương trình Toeplitz-Hankel ở mục trên, ta mở rộng

để xét hệ hai phương trình dạng đó. Hệ có dạng như sau:

∞ (cid:90)



−∞

∞ (cid:90)

f (x) + λ1 g(u)[k1(x − u) + k2(x + u)]du = p(x),

f (u)[k3(x − u) + k4(x + u)]du + g(x) = q(x), ∀x ∈ R, λ2

−∞

 

(2.40)

∞ (cid:90)

trong đó

k1(t) := ϕ1(v)[ψ1(−t + v) + ψ1(t − v) + ψ1(−t − v) + ψ1(t + v)]dv,

−63−

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

k2(t) := ϕ1(v)(v)[−ψ1(t + v) + ψ1(−t − v) − ψ1(t − v) + ψ1(−t + v)]dv,

0 ∞ (cid:90)

k3(t) := ϕ2(v)[ψ2(−t + v) + ψ2(t − v) + ψ2(−t − v) + ψ2(t + v)]dv,

k4(t) := ϕ2(v)(v)[−ψ2(t + v) + ψ2(−t − v) − ψ2(t − v) + ψ2(−t + v)]dv,

với t ∈ R, và λ1, λ2 là các hằng số; các hàm cho trước ϕ1, ϕ2 trong không gian L1(R+); ψ1, ψ2, p(x), q(x) trong không gian L1(R); còn f, g là các hàm phải tìm.

Để giải hệ phương trình trên, ta có định lý sau.

Định lý 2.2.5 Nếu điều kiện

1 − λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R. được thỏa mãn, thì hệ (2.40) sẽ có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R)× L1(R) và nghiệm được xác định bởi công thức

(cid:26) (cid:27) (x), (q, ϕ1, ψ1))(x) + (q, ϕ1, ψ1))] f (x) = p(x) − λ1(∗ 2 [p − λ1(∗ 2 l ∗ H12 (cid:26) (cid:27) (x), (p, ϕ2, ψ2))(x) + (p, ϕ2, ψ2))] g(x) = q(x) − λ2(∗ 2 [q − λ2(∗ 2 l ∗ H12

trong đó hàm l ∈ L1(R) được xác định từ biểu thức

, ∀y ∈ R. (H2l)(y) = λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y) 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y)

Chứng minh. Ta viết lại hệ dưới dạng xuất hiện đa chập H-Fc

  f (x) + λ1[∗ 2 (2.41) (g, ϕ1, ψ1)](x) = p(x), (f, ϕ2, ψ2)](x) + g(x) = q(x), x ∈ R.  λ2[∗ 2

Tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của mỗi phương trình trong hệ, sử dụng đẳng thức nhân tử hóa của đa chập H-Fc, (2.29), ta nhận được một hệ phương trình đại số với ẩn hàm là (H1f )(y) và (H1g)(y) trên R như sau

(cid:40)

(2.42) (H1f )(y) + λ1(H1g)(y)(Fcϕ1)(y)(H2ψ1)(y) = (H1p)(y), λ2(H1f )(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ2)(y) + (H1g)(y) = (H1q)(y).

−64−

Gọi ∆ là định thức của ma trận hệ số của hệ trên,

∆ = 1 λ2(Fcϕ2)(y)(H2ψ2)(y) (cid:12) λ1(Fcϕ1)(y)(H2ψ1)(y) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y).

Do giả thiết của định lý ∆ (cid:54)= 0, nên hệ phương trình (2.41) có nghiệm duy ·) nhất. Bằng cách sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.28) của tích chập (· ∗ HF c

·), ta viết được 1/∆ như

và đẳng thức nhân tử hóa (1.22) của tích chập (· ∗ H sau:

= 1 ∆ 1 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y)

= 1 + λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y) 1 − λ1λ2(Fcϕ1)(y)(Fcϕ2)(y)(H2ψ1)(y)(H2ψ2)(y)

ψ2)](y)

= 1 + . ψ2)](y) ψ1) ∗ H ψ1) ∗ H λ1λ2H2[(ϕ1 ∗ HFc 1 − λ1λ2H2[(ϕ1 ∗ HFc (ϕ2 ∗ HFc (ϕ2 ∗ HFc

Hơn nữa, theo định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley (Định lý 1.4.1), sẽ tồn tại một hàm l ∈ L1(R) sao cho

ψ2)](y)

, ∀y ∈ R. (H2l)(y) = ψ2)](y) ψ1) ∗ H ψ1) ∗ H λ1λ2H2[(ϕ1 ∗ HFc 1 − λ1λ2H2[(ϕ1 ∗ HFc (ϕ2 ∗ HFc (ϕ2 ∗ HFc

Vì vậy, ta viết được = 1 + (H2l)(y). Để tính nghiệm của hệ, ta cần tính 1 ∆ hai định thức thành phần tương ứng:

∆1 = (H1p)(y) (H1q)(y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) λ1(Fcϕ1)(y)(H2ψ1)(y) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12)

(q, ϕ1, ψ1)](y)

(q, ϕ1, ψ1))](y), y ∈ R. = (H1p)(y) − λ1H1[∗ 2 = H1[p − λ1(∗ 2

Dựa vào tích chập đối với phép biến đổi Hartley (1.23) và đẳng thức nhân tử

−65−

hóa của nó (1.24), ta có:

(H1f )(y) = (q, ϕ1, ψ1))](y).[1 + (H2l)(y)] = H1[p − λ1(∗ 2 (cid:26) (cid:27) (y) (q, ϕ1, ψ1))](y) + H1 [p − λ1(∗ 2 l ∗ H12 ∆1 ∆ = H1[p − λ1(∗ 2 (cid:26) (q, ϕ1, ψ1))] (cid:27) (y), ∀y ∈ R. (q, ϕ1, ψ1))] = H1 p − λ1(∗ 2 [p − λ1(∗ 2 (q, ϕ1, ψ1)) + l ∗ H12

Từ đó suy ra

(cid:26) (cid:27)

(q, ϕ1, ψ1))(x) + (q, ϕ1, ψ1))] (x) ∈ L1(R). f (x) = p(x) − λ1(∗ 2 [p − λ1(∗ 2 l ∗ H12

Một cách tương tự, ta tính định thức thứ hai:

∆2 = 1 λ2(Fcϕ2)(y)(H2ψ2)(y) (cid:12) (H1p)(y) (cid:12) (cid:12) (H1q)(y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(p, ϕ2, ψ2)](y)

(p, ϕ2, ψ2))](y), y ∈ R. = (H1q)(y) − λ2H1[∗ 2 = H1[q − λ2(∗ 2

Dựa vào tích chập đối với phép biến đổi Hartley (1.23) và đẳng thức nhân tử hóa của nó (1.24), ta nhận được:

(H1g)(y) = (p, ϕ2, ψ2))](y).[1 + (H2l)(y)] = H1[q − λ2(∗ 2 ∆2 ∆ (cid:26) (cid:27) (y) (p, ϕ2, ψ2))](y) + H1 [q − λ2(∗ 2 l ∗ H12 = H1[q − λ2(∗ 2 (cid:26) (p, ϕ2, ψ2))] (cid:27) (y), ∀y ∈ R. = H1 (p, ϕ2, ψ2))] q − λ2(∗ 2 [q − λ2(∗ 2 (p, ϕ2, ψ2)) + l ∗ H12

Từ đó suy ra

(cid:26) (cid:27)

(p, ϕ2, ψ2))(x) + (p, ϕ2, ψ2))] (x) ∈ L1(R). g(x) = q(x) − λ2(∗ 2 [q − λ2(∗ 2 l ∗ H12

(cid:50) Như vậy, định lý đã được chứng minh.

2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến

2.2.5.1 Đa chập H-Fc suy biến

Trong biểu thức xác định đa chập H-Fc, công thức (2.24), nếu ta đổi nhân từ tổng [k1(x − u) + k2(x + u)] thành hiệu [k1(x − u) − k2(x + u)], thì ta nhận

−66−

∞ (cid:90)

được một đa chập mới đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, có dạng

−∞

(f, g, h)](x) := (2.43) f (u)[k1(x − u) − k2(x + u)]du, x ∈ R, [∗ 3 1 4π

∞ (cid:90)

với k1, k2 vẫn giữ nguyên như công thức (2.25), (2.25), tức là

0 ∞ (cid:90)

g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, t ∈ R, k1(t) :=

g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv, t ∈ R. k2(t) :=

(f, g, h)](x) có mọi tính chất tương tự như đa chập Khi đó, đa chập [∗ 3

(f, g, h)](x), trừ đẳng thức nhân tử hóa của nó chỉ xuất hiện một loại phép

[∗ 2 biến đổi Hartley. Đó là, với f, g, h ∈ L1(R), ta có

(2.44) (f, g, h)](y) = (Hif )(y).(Fcg)(|y|).(Hih)(y), y ∈ R, i = 1, 2. Hi[∗ 3

Việc chứng minh đẳng thức này tương tự như chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.29) ở phần trên, do đó chúng tôi không trình bày chứng minh. Trong (f, g, h)](x) trong việc mục này chúng tôi xét một ứng dụng của đa chập [∗ 3

giải phương trình đạo hàm riêng.

2.2.5.2 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng

Trong kỹ thuật, nhiều bài toán dẫn đến việc giải phương trình đạo hàm

riêng có dạng tổng quát như sau

(2.45) ut(x, t) = uxx(x, t) + f (x, t).

Đây có thể hiểu là một phương trình truyền nhiệt, với hàm nhiệt độ tại vị trí x và thời điểm t có giá trị là u(x, t). Hàm f (x, t) là một hàm cho trước, tương ứng là nguồn nhiệt bên ngoài phụ thuộc vào vị trí x và thời điểm t.

(u, g, u)](x, t), Bây giờ, giả sử nguồn nhiệt ngoài f (x, t) có dạng đa chập [∗ 3

ta sẽ thấy một ứng dụng của đa chập vào việc giải một lớp phương trình đạo hàm riêng dạng này.

−67−

Xét phương trình đạo hàm riêng sau đây:

(u, g, u)](x, t), t > 0, x ∈ R, (2.46) ut(x, t) = kuxx(x, t) + [∗ 3

u(x, t) = 0, ∀t > 0, lim |x|→∞

trong đó u(x, t) là hàm cần tìm, g(x, t) là hàm cho trước và k là một hằng số nào đó.

Để giải phương trình (2.46), ta tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình theo biến x, sau đó sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.44) (u, g, u)](x, t), đồng thời sử dụng tính chất của biến đổi Hartley cho đa chập [∗ 3 (cid:17) khi tác động vào đạo hàm H1 (y) = −y2(H1f )(y), ta có (cid:16) d2f dx2

(2.47) (H1ut)(y, t) = −ky2(H1u)(y, t) + (H1u)(y, t)(Fcg)(|y|, t)(H1u)(y, t).

∞ (cid:90)

Đặt U (y, t) := (H1u)(y, t) và G(y, t) := (Fcg)(y, t). Do

−∞

u(x, t) cas(xy)dx, (H1u)(y, t) = 1 √ 2π

∞ (cid:90)

còn đạo hàm ut(x, t) lấy theo biến t. Với các giả thiết tích phân tồn tại, ta có thể đổi thứ tự đạo hàm và tích phân, ta có:

−∞

(H1ut)(y, t) = ut(x, t) cas(xy)dx 1 √ 2π

∞ (cid:90)

 

−∞

= u(x, t) cas(xy)dx U (x, t) = Ut(x, t).   = d dt d dt 1 √ 2π

Khi đó phương trình (2.47) được biểu diễn thành phương trình vi phân bậc nhất đối với biến t như sau

(2.48) Ut(y, t) = −ky2U (y, t) + G(y, t)U 2(y, t).

Đây là phương trình Becnulli, một trường hợp riêng của phương trình Riccati. Đổi biến Z(y, t) = 1 U (y,t), khi đó phương trình Becnulli (2.48) được đưa về phương trình tuyến tính sau

(2.49) Zt(y, t) − ky2Z(y, t) = −G(y, t).

−68−

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính này có dạng

(cid:82) ky2

(cid:19) (cid:18)(cid:90) Z(y, t) = e dt e− (cid:82) ky2dt(−G(y, t))dt + C

(cid:19) (cid:18)(cid:90) = eky2t e−ky2t(−G(y, t))dt + C . (2.50)

Như vậy, với hàm G(y, t) cho trước, chúng ta tính tích phân (2.50) để tìm Z(y, t), khi đó nghiệm của phương trình vi phân (2.48) là U (y, t) = 1 Z(y,t). Tiếp theo, ta tìm nghiệm u(x, t) cho phương trình (2.46) từ biểu thức (H1u)(y, t) = U (y, t).

Kết luận chương 2

(·, ·, ·) Trong chương này, đã xây dựng được hai đa chập mới ∗ 1 (·, ·, ·) và ∗ 2

và tìm ra đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, các tính chất khác như tính định lý kiểu Titchmarch và mối liên hệ giữa đa chập với tích chập suy rộng đã biết cho mỗi đa chập. Ứng dụng đa chập như một công cụ để giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân. Đặc biệt đa chập (·, ·, ·), chúng tôi dùng nó để giải một lớp các phương trình tích phân dạng ∗ 2 Toeplitz-Hankel và hệ hai phương trình dạng Toeplitz-Hankel. Đây là một bài toán có ý nghĩa trong lĩnh vực kỹ thuật mà hiện nay lời giải của nó trong trường hợp tổng quát vẫn chưa được xác định. Một ứng dụng khác của đa chập là giải phương trình đạo hàm riêng. Nếu điều chỉnh hàm nhân của đa (·, ·, ·) từ dấu cộng (+) thành dấu trừ (-) thì ta nhận được một đa chập chập ∗ 2 (·, ·, ·), có đẳng thức nhân tử hóa thuận tiện hơn cho việc giải một lớp mới ∗ 3

các phương trình đạo hàm riêng dạng phương trình truyền nhiệt.

Theo hướng nghiên cứu về biến đổi tích phân nói chung, đa chập là một nhánh mà cho đến nay chưa có nhiều công trình được công bố. Những đa chập được xây dựng trong chương 2 là những kết quả còn rất ít về hướng nghiên cứu này, nó góp phần làm phong phú cho hướng nghiên cứu, đồng thời khẳng định một hướng đi mới hoàn toàn có thể được phát triển. Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1, 2], mục Danh mục công trình đã công bố của Luận án.

−69−

Chương 3

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Như chúng ta đã biết, một cách tổng quát, đa chập của ba hàm là một toán tử đi từ tích Đề các của các không gian hàm tuyến tính U1 ×U2 ×U3 vào đại số U , có dạng

U1 × U2 × U3 −→ U

(f (t), g(u), h(v)) (cid:55)→ [∗(f, g, h)](x).

Như vậy, bản thân đa chập là một phép biến đổi tích phân. Bây giờ, nếu ta cố định 2 hàm, chẳng hạn cố định g = p1, h = p2, và cho hàm còn lại thay đổi, thì toán tử K biến mỗi hàm f thành Kf ≡ ∗(f, p1, p2) cũng là một dạng biến đổi tích phân và ta gọi đó là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Như vậy, với một đa chập cho trước, có thể có nhiều cách xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập bằng cách chọn đâu là hàm cố định, đâu là hàm thay đổi.

Biến đổi tích phân nổi tiếng nhất, được xây dựng theo cách này là biến

∞ (cid:90)

đổi Watson, liên quan đến biến đổi Mellin và tích chập Mellin [2]:

f (x) (cid:55)→ (T f )(x) = k(xy)f (y)dy.

(cid:16) (cid:17) Trong thập kỷ đầu của thế kỷ 21, có thêm một số công trình nghiên cứu theo hướng này [4, 5, 17, 33]. Các công trình này đều là những công trình liên quan đến tích chập hoặc tích chập suy rộng. Một cách tổng quát, người ta thường nghiên cứu toán tử T dạng T f = D(Kf ), với D là toán tử vi phân nào đó. Trường hợp đơn giản nhất của D thường lấy là toán tử vi phân cấp hai D ≡ . Cho đến nay, chưa có công trình nào đề cập đến phép

1 − d2 dx2 biến đổi tích phân kiểu đa chập.

Nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, có hai định lý quan trọng, đó là định lý kiểu Watson và định lý kiểu Plancherel. Định lý kiểu Watson cho biết điều kiện cần và đủ để toán tử T là toán tử unita trong

(., ., .) tương ứng. không gian L2. Còn định lý kiểu Plancherel cho biết cách xây dựng dãy hàm xấp xỉ cho hàm f và T f trong không gian L2, xấp xỉ theo nghĩa dãy hàm đó hội tụ theo chuẩn về hàm cần xét. Ngoài ra còn chứng minh tính bị chặn của toán tử T trên không gian Lr với 1 ≤ r ≤ 2. Với mỗi đa chập, cách xác định phép biến đổi tích phân kiểu đa chập có khác nhau. Do đó, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả theo từng đa chập ∗ 1 (, ., .) và ∗ 2

3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc-Fs

(cid:17) (p1, p2, f )](x). Đối với đa chập H-Fc-Fs, ta cố định hai hàm đầu là p1, p2 và cho hàm thứ ba thay đổi trên L2(R). Để xét phép biến đổi tích phân kiểu đa chập này, ta xét toán tử Tp1,p2 được xác định bởi f (x) (cid:55)→ (cid:16) 1 − d2 dx2 [∗ 1

Tp1,p2 : L2(R) −→ L2(R) (cid:18) (cid:19) f 1 − (p1, p2, f )](x). (cid:55)→ (Tp1,p2f )(x) := [∗ 1 d2 dx2

Đặt w(x) := (Tp1,p2f )(x), đó là hàm thuộc không gian L2(R), và w(x) có biểu thức xác định ở dạng tường minh là:

(cid:19) (cid:18) w(x) := 1 − (p1, p2, f )](x) d2 dx2

∞ (cid:90)

0 +f (x − u − v) − f (x − u + v)] dvdu.

(cid:18) [∗ 1 (cid:19) ∞ (cid:90) = 1 − p1(u) p2(v) [f (x + u − v) − f (x + u + v)+ 1 2π d2 dx2

(3.1)

Các tính chất toán tử của Tp1,p2 được thể hiện ở các định lý dưới đây.

3.1.1 Tính unita trong không gian L2(R)

Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần và đủ để toán tử Tp1,p2 là toán tử unita trong không gian L2(R) và xây dựng công thức toán tử ngược T −1 p1,p2 của nó.

−71−

Định lý 3.1.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+) là những hàm cho trước. Khi đó, điều kiện

1 (3.2) |(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)| = 1 + y2 , y ∈ R,

của nó được xác định như sau là điều kiện cần và đủ để toán tử Tp1,p2 là toán tử unita trong không gian L2(R). Hơn nữa, toán tử ngược T −1 p1,p2

(cid:18) (cid:19) (3.3) w)(x) = − 1 − (p1, p2, w)](x), x ∈ R, f (x) = (T −1 p1,p2 [∗ 1 d2 dx2

trong đó w(x) ≡ (Tp1,p2f )(x), còn p1, p2 là các hàm liên hợp phức của p1, p2, tương ứng.

Như vậy, theo định lý trên, ta nhận được

w(cid:1) (x) = −(Tp1,p2w)(x), x ∈ R. (cid:0)T −1 p1,p2

(Hkf )(x) và d2 dx2 (Hkf )(x), d dx

Chứng minh. Điều kiện cần: Ta biết rằng các hàm f (y), yf (y), y2f (y) thuộc không gian L2(R) khi và chỉ khi các hàm (Hkf )(x), tương ứng, thuộc không gian L2(R), k = 1, 2. Từ tính chất đạo hàm của biến đổi Hartley, công thức (1.16), (1.17), với n = 2, ta có

d2 dx2 (Hkf )(x) = Hk[−y2f (y)](x), k = 1, 2.

Điều đó có nghĩa là, nếu f (y), y2f (y) thuộc không gian L2(R) thì ta có

(cid:19) (cid:18) 1 − (Hkf )(x) = (Hkf )(x) − Hk[−y2f (y)](x) d2 dx2

(3.4) = Hk[(1 + y2)f (y)](x) ∈ L2(R), k = 1, 2.

Giả thiết có p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), nên các đẳng thức Parseval (2.4), (2.5) được thỏa mãn. Sử dụng đẳng thức (2.4), ta có:

(cid:18) (cid:19) w(x) = 1 − (p1, p2, f )](x) = [∗ 1

(cid:19) (cid:18) = 1 − H1 [sign y(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)] (x) d2 dx2 d2 dx2

−72−

(3.5) = H1 (cid:2)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:3) (x).

Điều kiện (3.2) suy ra rằng (1 + y2).(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|) là bị chặn, và có f ∈ L2(R) tương đương có (H2f )(y) ∈ L2(R). Vì thế,

(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y) ∈ L2(R).

Hay nói cách khác hàm w(x) ∈ L2(R). Bên cạnh đó, các đẳng thức Parseval cho biến đổi Hartley (1.20) nói rằng (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Hkf (cid:107)L2(R). Vì vậy, với điều kiện (3.2), ta có:

(cid:107)w(cid:107)L2(R) = (cid:107)H1 (cid:2)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:3) (cid:107)L2(R)

1 = (cid:107)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:107) = (1 + y2).|(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)|.(cid:107)(H2f )(cid:107)L2(R) = (1 + y2). 1 + y2 .(cid:107)(H2f )(cid:107)L2(R) = (cid:107)(H2f )(cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R).

hay (cid:107)Tp1,p2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R). Điều này có nghĩa là Tp1,p2 là một biến đổi đẳng cự, hay toán tử Tp1,p2 là unita trong không gian L2(R).

Do H 2 = I trên L2(R), nên từ (3.5), ta có

(3.6) (H1w)(y) = (1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)

và vì vậy (H1w)(y) cũng thuộc không gian L2(R).

Nhân hai vế của phương trình (3.6) với

(1 + y2) · sign y · (Fcp1)(|y|) · (Fsp2)(|y|),

trong đó (Fcp1)(|y|), (Fsp2)(|y|) là các hàm liên hợp phức của (Fcp1)(|y|), (Fsp2)(|y|), tương ứng. Do các biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có tính tuyến tính, nên

(Fcp1)(|y|) = (Fcp1)(|y|), (Fsp2)(|y|) = Fs(p2)(|y|),

trong đó p1, p2 là các hàm liên hợp phức của p1, p2, tương ứng. Sử dụng điều kiện (3.2), ta nhận được

(3.7) (1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) = (H2f )(y), ⇐⇒ (1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) = (H2f )(y).

−73−

Cũng từ điều kiện (3.2), dẫn đến |(1 + y2).(Fcp1)(y).(H2p2)(y)| = 1. Vì vậy (1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|) là một hàm bị chặn. Trong khi đó, ta lại có (H1w)(y) ∈ L2(R), nên dẫn đến

(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y) ∈ L2(R).

Hơn nữa, f ∈ L2(R), nên (3.7) suy ra

f (x) = H2 (cid:8)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y)(cid:9) (x).

Sử dụng (3.4) và (2.5), ta viết được công thức ngược của Tp1,p2 có dạng:

(cid:18) (cid:19) f (x) = 1 − d2 dx2 H2 [sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H1w)(y)] (cid:19) (cid:18) 1 − = − (p1, p2, w)](x) [∗ 1

d2 dx2 = −(Tp1,p2w)(x), ∀x ∈ R.

Điều kiện đủ: Giả sử rằng toán tử Tp1,p2: f (x) (cid:55)→ (Tp1,p2f )(x) ≡ w(x) được xác định bởi (3.1) là toán tử unita trên không gian L2(R) với biến đổi ngược của nó có dạng (3.3). Ta cần chứng tỏ rằng p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2). Thật vậy, từ giả thiết toán tử Tp1,p2 là unita và w(x) được viết ở dạng

(3.5), ta nhận được:

(cid:2)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:3) (cid:107)L2(R)

(cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Tp1,p2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)H1 = (cid:107)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:107)L2(R).

mà (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)(H2f )(cid:107)L2(R), nên suy ra

(cid:107)(H2f )(cid:107)L2(R) = (cid:107)(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|).(H2f )(y)(cid:107)L2(R).

Xét toán tử nhân Mθ[.] mà xác định bởi Mθ[f ](y) = θ(y).f (y), trong đó θ(y) = (1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|). Khi đó, biểu thức trên được viết lại

(cid:107)H2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Mθ[H2f ](cid:107)L2(R), với mọi f ∈ L2(R). Điều này tương đương với Mθ[.] là toán tử unita trong L2(R), và điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi

|θ(y)| ≡ |(1 + y2). sign y.(Fcp1)(|y|).(Fsp2)(|y|)| = 1.

(cid:50) Vì vậy p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2). Định lý đã được chứng minh.

−74−

3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2(R)

Mục này sẽ trình bày định lý kiểu Plancherel, đó là định lý cho biết hàm ảnh w(x) = (Tp1,p2f )(x) và hàm ban đầu f (x) đều có thể được xấp xỉ bởi các dãy hàm trong không gian L2(R), tương ứng. Sự xấp xỉ ở đây được hiểu theo nghĩa giới hạn của chuẩn.

(cid:19) 1 − Định lý 3.1.2 (Định lý kiểu Plancherel) Giả sử rằng p1(x), p2(x) ∈ L1(R+) ∩ L2(R+) là các hàm thỏa mãn điều kiện (3.2) sao cho P2(x) = (cid:18) p2(x) bị chặn địa phương trên R+. Với f ∈ L2(R) và với mỗi số d2 dx2

∞ (cid:90)

nguyên dương N , đặt

wN (x) := p1(u)P2(v) (cid:2)f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ 1 2π

+f N (x − u − v) − f N (x − u + v)(cid:3) dvdu, (3.8)

trong đó f N (x) := f (x).χ[−N,N ] là hàm đặc trưng của f trên đoạn [−N, N ], với x ∈ R. Khi đó các khẳng định sau đây là đúng:

1. Với mỗi số nguyên dương N, hàm wN (x) thuộc không gian L2(R).

2. Dãy hàm {wN (x)} hội tụ tới một hàm w(x) nào đó trong L2(R) khi

N → ∞ và thỏa mãn (cid:107)w(cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R).

3. Đặt wN := w.χ[−N,N ], khi đó

(cid:18) (cid:19) (3.9) 1 − fN (x) = − (p1, p2, wN )](x), [∗ 1 d2 dx2

thuộc không gian L2(R) và hội tụ trong L2(R) theo chuẩn đến hàm f (x) khi N → ∞.

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ công thức xác định wN (x), (3.8), bằng cách đổi biến thích hợp, ta có

  wN (x) = p1(u)P2(v)f N (x + u − v)dvdu− 1 2π 

−75−

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

− p1(u)P2(v)f N (x + u + v)dvdu+

0 ∞ (cid:90)

+ p1(u)P2(v)f N (x − u − v)dvdu−

∞ (cid:90)

x+u (cid:90)

  − p1(u)P2(v)f N (x − u + v)dvdu 

−∞

∞ (cid:90)

  = p1(u)P2(x + u − t)f N (t)dtdu− 1 2π 

x+u

0 ∞ (cid:90)

x−u (cid:90)

− p1(u)P2(−x − u + t)f N (t)dtdu+

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

+ p1(u)P2(x − u − t)f N (t)dtdu−

x−u

∞ (cid:90)

  − p1(u)P2(−x + u + t)f N (t)dtdu 

−∞

= p1(u) [sign(x + u − t)P2(|x + u − t|)+ 1 2π

+ sign(x − u − t)P2(|x − u − t|)] f N (t)dtdu.

Vì p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), còn P2(x) bị chặn trên R+ và f N (t) là trên đoạn hữu hạn, cho nên tích phân trên hội tụ. Vì thế, ta có thể đổi thứ tự đạo hàm và tích phân.

∞ (cid:90)

−∞

(cid:19) (cid:20) (cid:18) sign(x + u − t) 1 − p2(|x + u − t|)+ p1(u) wN (x) = 1 2π d2 dx2

(cid:19) (cid:18) + sign(x − u − t) 1 − f N (t)dtdu. (cid:21) p2(|x − u − t|) d2 dx2

−76−

∞ (cid:90)

(cid:18) = 1 − p1(u) [sign(x + u − t)p2(|x + u − t|) d2 dx2 (cid:19) 1 2π

x+u (cid:90)

∞ (cid:90)

−∞ 0 + sign(x − u − t)p2(|x − u − t|)] f N (t)dtdu  

−∞

(cid:18) = 1 − p1(u)p2(x + u − t)f N (t)dtdu− d2 dx2 (cid:19) 1 2π

0 ∞ (cid:90)

x+u

0 ∞ (cid:90)

x−u (cid:90)

 ∞ (cid:90) − p1(u)p2(−x − u + t)f N (t)dtdu+

0 ∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

+ p1(u)p2(x − u − t)f N (t)dtdu−

  − p1(u)p2(−x + u + t)f N (t)dtdu 

∞ (cid:90)

x−u  ∞ (cid:90) 

(cid:18) = 1 − p1(u)p2(v)f N (x + u − v)dvdu− d2 dx2 (cid:19) 1 2π

0 ∞ (cid:90)

 ∞ (cid:90) − p1(u)p2(v)f N (x + u + v)dvdu+

0 ∞ (cid:90)

+ p1(u)p2(v)f N (x − u − v)dvdu−

  − p1(u)p2(v)f N (x − u + v)dvdu 

∞ (cid:90)

0  

(cid:18) = 1 − p1(u)p2(v) (cid:2)f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ d2 dx2 (cid:19) 1 2π 

+f N (x − u − v) − f N (x − u + v)(cid:3) dvdu(cid:9)

(cid:19) (cid:18) (3.10) = 1 − (p1, p2, f N )](x), x ∈ R. [∗ 1 d2 dx2

1. Vì p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), f ∈ L2(R) và với mỗi số nguyên dương N , f N = f.χ[−N,N ] ∈ L2(R), nên theo định lý kiểu Watson (Định lý 3.1.1),

−77−

ta có wN (x) ∈ L2(R).

2. Vì cách định nghĩa f N = f.χ[−N,N ] ∈ L2(R), nên ta có (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R) →

0 khi N → ∞. Đặt

(cid:18) (cid:19) w(x) = 1 − (3.11) (p1, p2, f )](x) = (Tp1,p2f ) (x). [∗ 1 d2 dx2

Theo định lý kiểu Watson, w(x) ∈ L2(R). Khi đó, trừ vế với vế của phương trình (3.10) và (3.11), ta nhận được

(cid:19) (cid:18) 1 − (wN − w)(x) = (cid:2)∗(p1, p2, f N − f )(cid:3) (x) = (cid:2)Tp1,p2(f N − f )(cid:3) (x). d2 dx2

Do hàm (f N − f ) ∈ L2(R) và điều kiện (3.2) được thỏa mãn, nên theo định lý kiểu Watson, ta có được (wN − w) ∈ L2(R) và

(cid:107)wN − w(cid:107)L2(R) = (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R).

Mặt khác, giới hạn (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R) → 0 khi N → ∞. Điều này dẫn đến dãy hàm wN → w khi N → ∞ trong không gian L2(R). Hơn nữa, w là ảnh của f qua toán tử (Tp1,p2) trong không gian L2(R), khi đó theo định lý kiểu Watson 3.1.1 ta có (Tp1,p2) là unita, nên (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Tp1,p2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)w(cid:107)L2(R). Khẳng định thứ hai đã được chứng minh.

(cid:18) 3. Vì w ∈ L2(R), nên suy ra cũng có wN ∈ L2(R). Bên cạnh đó, p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2). Từ đó, theo định lý kiểu Watson, ta có fN ∈ L2(R). Nói cách khác, vẫn dựa theo định lý kiểu Watson, ta có w(x) = (Tp1,p2f )(x) là unita trong không gian L2(R) và vì thế nó có ảnh ngược (cid:19) (cid:104) (x). 1 − w(cid:1) (x) = − (cid:0)Tp1,p2w(cid:1) (x) = − f (x) = (cid:0)T −1 p1,p2 (cid:105) (p1, p2, w) ∗ 1 d2 dx2

(3.12)

Từ (3.9) và (3.12), ta nhận được

(cid:18) (x) 1 − (fN − f )(x) = − (cid:19) (cid:104) (cid:105) (p1, p2, wN − w) ∗ 1

d2 dx2 = − (cid:2)Tp1,p2(wN − w)(cid:3) (x). Sử dụng kết luận wN − w ∈ L2(R) và giả thiết hai hàm p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2), suy ra (fN − f ) ∈ L2(R) và (cid:107)fN − f (cid:107)L2(R) = (cid:107)wN − w(cid:107)L2(R). Do ta lại có wN → w khi N → ∞, nên suy ra dãy hàm fN → f khi N → ∞. Vì (cid:50) vậy, khẳng định thứ ba đã được chứng minh.

−78−

3.1.3 Tính bị chặn của toán tử Tp1,p2

Mục này, chúng tôi xét tính bị chặn của toán tử Tp1,p2 trong không gian Lr(R), với 1 ≤ r ≤ 2. Trong phần chứng minh, có sử dụng định lý nội suy Riesz [3], đã nhắc lại ở chương 1.

(cid:19) (cid:18) 1 − d2 dx2

∞ (cid:90)

Định lý 3.1.3 (Tính bị chặn của toán tử Tp1,p2) Giả sử rằng p1, p2 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+) sao cho P2(x) = p2(x) là bị chặn địa phương trên R+ và p1, p2 thỏa mãn điều kiện (3.2). Khi đó, toán tử Tp1,p2 : f (cid:55)→ (Tp1,p2f ) = w, mà w(x) được xác định bởi

  p1(u)P2(v) (cid:2)f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ w(x) = lim N →∞ 1 2π 

+f N (x − u − v) − f N (x − u + v)(cid:3) dvdu(cid:9) (3.13)

là toán tử bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), với 1 ≤ r ≤ 2 và s là liên hợp mũ của r. Ở đây, giới hạn được hiểu theo chuẩn trong không gian Ls(R) và f N = f.χ[−N,N ].

Chứng minh. Từ các giả thiết p1(x), p2(x) ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), và P2(x) là bị chặn địa phương trên R+, còn f N (x) trên đoạn hữu hạn, ta thấy hiển nhiên rằng toán tử Tp1,p2 được xác định bởi (3.13) là toán tử bị chặn từ L1(R) vào l∞(R).

Mặt khác, theo chứng minh của định lý Plancherel (Định lý 3.1.2), biểu

thức (3.13) được viết lại dưới dạng

r = 1−α

1 + α

(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27) 1 − . (p1, p2, f N )](x) [∗ 1 w(x) = lim N →∞ d2 dx2

định lý Plancherel cho biết rằng toán tử Tp1,p2 là bị chặn từ L2(R) vào L2(R). Vì thế, sử dụng định lý nội suy Riesz (Định lý 1.5.1), ta nhận được toán tử Tp1,p2 là bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), trong đó r, s là các số mũ liên hợp, 2 = 2−α và r được xác định bởi 1 2 . Bởi vì 0 < α < 1, nên 1 < r < 2. Bổ sung thêm trường hợp đã đúng với r = 1, r = 2, ta kết luận được toán tử Tp1,p2 là bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), với 1 ≤ r ≤ 2. Vậy định lý đã được (cid:50) chứng minh.

−79−

(cid:18) (cid:19) Nhận xét 3.1.1 Nếu ta đổi toán tử vi phân D = 1 − trong các d2 dx2

k=0

định lý trên sang trường hợp toán tử vi phân tổng quát hơn, dạng D = n (cid:88) (−1)kak d2k dx2k , n ∈ N, thì điều kiện (3.2) trở thành

1 , y ∈ R. (3.14) |(Fck1)(|y|).(Fsk2)(|y|)| =

n (cid:80) k=0

aky2k

n (cid:80) k=0

trong đó P (y) = aky2k là một đa thức với hệ số thực và không có nghiệm

(cid:19) (cid:18) chỉ là một trường hợp thực. Khi đó toán tử vi phân đã xét D = 1 − d2 dx2

riêng của toán tử tổng quát này, với n = 1, a0 = a1 = 1.

3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc

Đối với đa chập Hartley-Fourier cosine, chúng tôi cũng nhận được những kết quả tương tự. Gọi Tq1,q2 là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc. Điểm khác biệt của phép biến đổi tích phân kiểu đa chập này nằm ở chỗ (f, g, h) thì hàm f ở vị trí thứ nhất sẽ trong ba hàm f, g, h của đa chập ∗ 2

được thay đổi, còn hai hàm còn lại g, h sẽ được cố định, g ≡ q1, h ≡ q2. Trong khi đó, ở phép biến đổi kiểu đa chập trước thì hàm h ở vị trí thứ ba được thay đổi, hai hàm còn lại cố định. Do đó, về kỹ thuật chứng minh các định lý kiểu Watson, định lý Plancherel và tính bị chặn của toán tử Tq1,q2 trong phép biến đổi tích phân này tương tự như phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc-Fs ở mục trước, nhưng về hình thức vẫn có sự khác biệt. Trước hết, chúng tôi xây dựng toán tử Tq1,q2.

Giả sử q1, q2 là hai hàm cho trước, q1 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩

(cid:18) (cid:19) 1 − (f, q1, q2)](x), x ∈ R. (Tq1,q2f )(x) := [∗ 2 L2(R). Xét toán tử Tq1,q2 trong không gian L2(R), được xác định bởi d2 dx2

Viết cụ thể sẽ là

−∞

(cid:18) (cid:19) ∞ (cid:90) 1 − f (u)[k1(x−u)+k2(x+u)]du, x ∈ R, (3.15) (Tq1,q2f )(x) := 1 4π d2 dx2

−80−

∞ (cid:90)

trong đó

0 ∞ (cid:90)

(3.16) k1(t) := q1(v)[q2(−t + v) + q2(t − v) + q2(−t − v) + q2(t + v)]dv,

t ∈ R. k2(t) := q1(v)[q2(−t + v) − q2(t − v) + q2(−t − v) − q2(t + v)]dv,

(3.17)

3.2.1 Tính unita trong không gian L2(R) Định lý 3.2.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử rằng q1 ∈ L1(R+)∩L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩ L2(R) là những hàm cho trước. Khi đó, điều kiện

i = 1 hoặc i = 2, (3.18) |(Fcq1)(y).(Hiq2)(y)| = 1 1 + y2 ,

là điều kiện cần và đủ để toán tử Tq1,q2 trở thành toán tử unita trong không gian L2(R). Hơn nữa, nếu đặt w(x) := (Tq1,q2f )(x), thì toán tử ngược của Tq1,q2 sẽ có dạng

(cid:18) (cid:19) w)(x) = 1 − (3.19) (w, q1, q2)](x), x ∈ R, f (x) = (T −1 q1,q2 [∗ 2 d2 dx2

trong đó q1, q2 là các hàm liên hợp phức của q1, q2, tương ứng.

w(cid:1) (x) = (Tq1,q2w)(x), x ∈ R. Do đó ta viết được (cid:0)T −1 q1,q2

Chứng minh. Ta xét một trường hợp của điều kiện (3.18) với i = 2, trường hợp còn lại tương tự.

Điều kiện cần: Ta có d2 dx2 (H1f )(x) = H1[−y2f (y)](x), nên nếu có f (y), y2f (y) thuộc không gian L2(R), thì có:

(cid:19) (cid:18) 1 − (H1f )(x) = (H1f )(x) − H1[−y2f (y)](x) d2 dx2

(3.20) = H1[(1 + y2)f (y)](x) ∈ L2(R).

−81−

Do các hàm f ∈ L2(R) và q1 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩ L2(R), nên

ta có đẳng thức Parseval (2.31)

(f, q1, q2)](x) = H1 {(H1f )(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)} (x). [∗ 2

Vì thế, cùng với (3.20), ta có:

(cid:19) (cid:18) 1 − (f, q1, q2)](x) w(x) = (Tq1,q2f )(x) = [∗ 2 d2 dx2 (cid:18) (cid:19) = 1 − H1 {(H1f )(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)} (x) d2 dx2

(3.21) = H1[(1 + y2)(H1f )(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)](x) = H1 (cid:2)(H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)}(cid:3) (x).

Lại do có điều kiện (3.18), nên ta có (1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y) là hàm bị chặn và f ∈ L2(R) suy ra (H1f )(y) ∈ L2(R). Vì vậy,

(H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)} ∈ L2(R),

hay nói khác đi w(x) thuộc không gian L2(R). Bên cạnh đó, trong không gian L2(R), ta có (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)H1f (cid:107)L2(R). Mà có điều kiện (3.18) nên ta nhận được (cid:107)w(cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R).

Điều này có nghĩa là Tq1,q2 là một biến đổi đẳng cự hay là biến đổi unita

trong không gian L2(R).

Nói cách khác, vì (H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)} thuộc không

gian L2(R), ta có

(3.22) (H1w)(y) = (H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)}

cũng thuộc không gian L2(R).

Nhân hai vế của biểu thức (3.22) với (Fcq1)(y) · (H2q2)(y) và sử dụng điều

kiện (3.18), ta nhận được:

. (H1w)(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y) = (H1f )(y) · 1 (1 + y2)

Vì (Fcq1)(y) = (Fcq1)(y) và (H2q2)(y) = (H2q2)(y), ta có

(3.23) (H1f )(y) = (1 + y2) · (H1w)(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y).

−82−

Từ điều kiện (3.18), suy ra |(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)| = 1. Do đó (1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y) là một hàm bị chặn. Điều này, kết hợp với ta có (H1w)(y) thuộc L2(R), dẫn đến (1 + y2) · (H1w)(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y) thuộc không gian L2(R). Hơn nữa, f ∈ L2(R), và có (3.23), nên

f (x) = H1 (cid:8)(1 + y2) · (H1w)(y) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)(cid:9) (x).

Sử dụng (3.20) and (2.31), ta có công thức ngược của toán tử Tq1,q2 có dạng (3.19).

Điều kiện đủ: Giả sử rằng toán tử Tq1,q2 biến f (x) thành (Tq1,q2f )(x) ≡ w(x) được xác định bởi (3.15), đó là toán tử unita trên không gian L2(R) và có biến đổi ngược (3.19). Ta cần chứng tỏ rằng q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18). Ở đây, ta giả sử chứng minh cho trường hợp i = 2, trường hợp còn lại là tương tự.

Thật vậy, vì (Tq1,q2f )(x) ≡ w(x) là toán tử unita và w(x) được viết ở dạng

(3.21), ta nhận được:

(cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Tq1,q2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)w(cid:107)L2(R)

(cid:2)(H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)}(cid:3) (cid:107)L2(R)

=(cid:107)H1 =(cid:107)(H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)}(cid:107)L2(R).

Mặt khác, (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)(H1f )(y)(cid:107)L2(R), nên suy ra

(cid:107)(H1f )(y)(cid:107)L2(R) = (cid:107)(H1f )(y) · {(1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y)}(cid:107)L2(R).

Xét toán tử tích Mθ[·] xác định bởi Mθ[f ](y) = θ(y) · f (y), trong đó θ(y) = (1 + y2) · (Fcq1)(y) · (H2q2)(y). Biểu thức trên có thể được viết lại dưới dạng

. |(Fcq1)(y) · (H2q2)(y)| = (cid:107)H1f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Mθ[H1f ](cid:107)L2(R), với mọi f ∈ L2(R). Điều này có nghĩa là toán tử tích Mθ[·] là toán tử unita trong L2(R), và điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 1 (1 + y2)

Vì vậy q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18), với i = 2. Định lý đã được chứng (cid:50) minh.

Để thấy điều kiện (3.18) là có thể đạt được, trong phần dưới đây, chúng tôi chỉ ra một ví dụ minh họa cho việc chọn các hàm q1, q2 sao cho thỏa mãn điều kiện đó.

−83−

∞ (cid:90)

Ví dụ 3.2.1 Theo công thức 1.2.17 trong tài liệu [6] (hoặc công thức 3.754.2, trong [9]) là

√ cos(xy). dx = K0(y), 1 1 + x2

trong đó K0(y) là hàm Bessel loại hai, ta chọn q1(x) = K0(x). Khi đó, ta (cid:114) 2 π

∞ (cid:90)

có

; , |q1(x)|dx = |q1(x)|2dx = (cid:114)π 2 π 2

vì thế q1(x) thuộc không gian L1(R+) ∩ L2(R+). Hơn nữa, q1(x) thỏa mãn

(cid:35)

(|y|) = . (Fcq1)(|y|) = Fc K0(x) (cid:34)(cid:114) 2 π 1 (cid:112)1 + y2

∞ (cid:90)

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng, nếu q2(x) là một hàm chẵn, thì

−∞ ∞ (cid:90)

q2(x)[cos(xy) − sin xy]dx (H2q2)(y) = 1 √ 2π

= q2(x) cos(xy)dx = (Fcq2)(|y|). 2 √ 2π

Vì vậy, ta chọn q2(x) là thác triển chẵn của hàm q1(x), x ≥ 0. Có nghĩa là

với x ≥ 0 K0(x),   q2(x) =

K0(−x), với x < 0.  (cid:114) 2 π (cid:114) 2 π

∞ (cid:90)

Khi đó,

. (H2q2)(y) = (Fcq2)(|y|) = K0(x) cos(x|y|)dx = (cid:114)π 2 (cid:114) 2 π 1 (cid:112)1 + y2

Do đó, điều kiện (3.18) được thỏa mãn.

−84−

3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2(R)

Mục này tiếp tục chỉ ra rằng, có thể xấp xỉ hàm w(x) = (Tq1,q2f )(x) và w)(x) bởi dãy các hàm trong không gian L2(R), tương

hàm f (x) = (T −1 q1,q2 ứng. Đó là nội dung của định lý dưới đây.

(cid:19) (cid:18) 1 − d2 dx2

N (cid:90)

Định lý 3.2.2 (Định lý kiểu Plancherel) Giả sử rằng q1(x) ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2(x) ∈ L1(R) ∩ L2(R) sao cho Q2(x) = q2(x) là hàm bị chặn địa phương, và q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18). Giả sử f ∈ L2(R), và với mỗi số nguyên dương N , đặt

−N

(3.24) wN (x) := f (u) [θ1(x − u) + θ2(x + u)] du, 1 4π

∞ (cid:90)

trong đó x ∈ R và

0 ∞ (cid:90)

θ1(t) := q1(v)[Q2(−t + v) + Q2(t − v) + Q2(−t − v) + Q2(t + v)]dv,

θ2(t) := q1(v)[Q2(−t + v) − Q2(t − v) + Q2(−t − v) − Q2(t + v)]dv, t ∈ R.

Khi đó các khẳng định sau đây là đúng:

1. Với mỗi số nguyên dương N , hàm wN (x) là thuộc không gian L2(R).

2. Khi N → ∞, dãy hàm {wN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm w(x) nào

đó trong không gian L2(R) và thỏa mãn (cid:107)w(cid:107)L2(R) = (cid:107)f (cid:107)L2(R).

3. Đặt wN := w.χ[−N,N ] và đặt

(cid:19) (cid:18) (3.25) 1 − fN (x) = (wN , q1, q2)](x), [∗ 2 d2 dx2

thì dãy hàm {fN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm f (x) trong không gian L2(R).

−85−

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ q1 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩ L2(R), và Q2(x) là bị chặn trên R, nên tích phân xác định θ1(x) hiển nhiên là hội tụ, vì thế ta có thể đổi thứ tự lấy đạo hàm và tích phân,

θ1(x) = q1(v)[Q2(−x + v) + Q2(x − v) + Q2(−x − v) + Q2(x + v)]dv

∞ (cid:90)

0 (cid:18)

(cid:19) (cid:18) = 1 − [q2(−x + v) + q2(x − v) + q2(−x − v) + q2(x + v)]dv q1(v) d2 dx2

(cid:19) = 1 − k1(x), x ∈ R. d2 dx2

Tương tự, ta có (cid:19) (cid:18) 1 − θ2(x) = k2(x), ∀x ∈ R, d2 dx2

với k1, k2 được xác định theo công thức (3.16) và (3.17).

Vì vậy, (3.24) có thể được viết lại như sau

N (cid:90)

−N

(cid:18) (cid:19) f (u) 1 − (3.26) wN (x) = [k1(x − u) + k2(x + u)] du. 1 4π d2 dx2

1. Vì q1 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩ L2(R), f ∈ L2(R) và k1(x), k2(x) bị chặn trên R, do đó tích phân (3.26) hội tụ. Ta tiếp tục đổi thứ tự lấy đạo hàm và tích phân. Đặt f N := f.χ[−N,N ], suy ra f N (x) ∈ L2(R), và ta có thể mở rộng tích phân lên toàn trục như sau:

−∞

(cid:18) (cid:19) ∞ (cid:90) 1 − wN (x) = f N (u) [k1(x − u) + k2(x + u)] du d2 dx2

(cid:18) (cid:19) = 1 − (3.27) (f N , q1, q2)](x) = (cid:0)Tq1,q2f N (cid:1) (x). [∗ 2 d2 dx2

Theo định lý Watson (Định lý 3.2.1), ta có wN (x) ∈ L2(R). Vậy khẳng định thứ nhất được chứng minh.

2. Do cách đặt f N = f.χ[−N,N ] nên (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R) → 0 khi N → ∞. Đặt

(cid:18) (cid:19) w(x) := 1 − (3.28) (f, q1, q2)](x) = (Tq1,q2f ) (x). [∗ 2 d2 dx2

−86−

Theo định lý Watson, suy ra w(x) ∈ L2(R). Bây giờ, trừ vế với vế của các biểu thức (3.27) và (3.28), ta nhận được

(cid:18) (cid:19) (cid:104) 1 − (wN − w)(x) = (x) = (cid:2)Tq1,q2(f N − f )(cid:3) (x). (cid:105) (f N − f, q1, q2) ∗ 2 d2 dx2

Vì (f N − f ) ∈ L2(R) và điều kiện (3.18) được thỏa mãn, nên theo Định lý 3.2.1, ta có (wN − w) ∈ L2(R) và

(cid:107)wN − w(cid:107)L2(R) = (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R).

Mặt khác, (cid:107)f N − f (cid:107)L2(R) → 0 khi N → ∞, từ đó suy ra wN → w khi N → ∞ trong L2(R). Hơn nữa, w là ảnh của f qua toán tử (Tq1,q2) trong L2(R), khi đó theo Định lý 3.2.1, (cid:107)f (cid:107)L2(R) = (cid:107)Tq1,q2f (cid:107)L2(R) = (cid:107)w(cid:107)L2(R) là unita. Vậy khẳng định thứ hai đã được chứng minh.

3. Đặt wN (x) := w(x).χ[−N,N ], và

(cid:18) (3.29) 1 − fN (x) := (x) = (cid:2)Tq1,q2wN (cid:3) (x). (cid:19) (cid:104) (cid:105) (wN , q1, q2) ∗ 2 d2 dx2

Do w ∈ L2(R), nên wN ∈ L2(R). Bên cạnh đó, q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18). Vì thế, theo Định lý 3.2.1, ta có fN ∈ L2(R). Nói cách khác, vẫn theo định lý kiểu Watson, ta nhận được Tq1,q2 là toán tử unita trong L2(R), nên với w(x) = (Tq1,q2f )(x) ta có toán tử ngược của nó có dạng

(cid:18) 1 − (x). (3.30) w(cid:1) (x) = (cid:0)Tq1,q2w(cid:1) (x) = f (x) = (cid:0)T −1 q1,q2 (cid:19) (cid:104) (cid:105) (w, q1, q2) ∗ 2 d2 dx2

Từ (3.29) và (3.30), ta nhận được

(cid:18) 1 − (fN − f )(x) = (cid:105) (wN − w, q1, q2) (x) = (cid:2)Tq1,q2(wN − w)(cid:3) (x). (cid:19) (cid:104) ∗ 2 d2 dx2

Từ wN −w ∈ L2(R) và q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18), ta có (fN −f ) ∈ L2(R) và (cid:107)fN − f (cid:107)L2(R) = (cid:107)wN − w(cid:107)L2(R). Do wN → w khi N → ∞, nên suy ra rằng fN → f khi N → ∞. Vì vậy, khẳng định cuối cùng là đúng.

(cid:50) Định lý được chứng minh.

3.2.3 Tính bị chặn của toán tử Tq1,q2

Tiếp theo, ta chứng minh rằng toán tử Tq1,q2 là bị chặn trong không gian

Lr(R) với 1 ≤ r ≤ 2.

−87−

(cid:19) (cid:18) 1 − d2 dx2

Định lý 3.2.3 (Tính bị chặn của toán tử Tq1,q2) Giả sử rằng q1 ∈ L1(R+) ∩ L2(R+), q2 ∈ L1(R) ∩ L2(R) sao cho Q2(x) = q2(x) bị chặn trên R và q1, q2 thỏa mãn điều kiện (3.18). Khi đó, toán tử Tq1,q2 là toán tử bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), với 1 ≤ r ≤ 2, và s là liên hợp mũ của r. Hơn nữa, các biến đổi

(cid:19) (cid:27) (cid:26)(cid:18) , (3.31) 1 − (f N , q1, q2)] [∗ 2 w(x) = lim N →∞ d2 dx2

và (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27) 1 − (3.32) , (wN , q1, q2)] [∗ 2 f (x) = lim N →∞

d2 dx2 là các toán tử bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), trong đó các giới hạn được hiểu theo nghĩa chuẩn trong không gian Ls(R) và wN = w.χ[−N,N ], f N = f.χ[−N,N ].

Chứng minh. Từ công thức xác định w(x) = (Tq1,q2f )(x) tính hội tụ của các tích phân có liên quan, ta có thể đổi thứ tự lấy đạo hàm và tích phân, và nhận được:

−∞

∞ (cid:90)

(cid:18) (cid:19) ∞ (cid:90) 1 − w(x) = f (u) [k1(x − u) + k2(x + u)] du d2 dx2 1 4π

−∞

= f (u) [θ1(x − u) + θ2(x + u)] du, 1 4π

∞ (cid:90)

với

0 ∞ (cid:90)

θ1(t) := q1(v)[Q2(−t + v) + Q2(t − v) + Q2(−t − v) + Q2(t + v)]dv,

θ2(t) := q1(v)[Q2(−t + v) − Q2(t − v) + Q2(−t − v) − Q2(t + v)]dv,

∞ (cid:82)

t ∈ R.

|q1(v)|dv. Từ Q2(x) là một hàm bị chặn trong Đặt M1 ≡ (cid:107)q1(cid:107)L1(R+) =

R, sẽ tồn tại một số dương M2 sao cho |Q2(x)| ≤ M2. Vì thế, từ công thức

−88−

∞ (cid:90)

xác định θ1, ta có ước lượng

|θ1(x)| ≤ |q1(v)| [|Q2(−x + v)| + |Q2(x − v)|+

(3.33) +|Q2(−x − v)| + |Q2(x + v)|] dv ≤ 4M1M2.

Tương tự, ta có

|θ2(x)| ≤ 4M1M2.

∞ (cid:90)

Do vậy,

−∞

|f (u)|du = |w(x)| = | (Tq1,q2f ) (x)| ≤ 8M1M2. M1M2.(cid:107)f (cid:107)L1(R). 1 4π 2 π

Vậy Tq1,q2 là toán tử bị chặn từ L1(R) vào l∞(R).

Mặt khác, theo định lý kiểu Plancherel (Định lý 3.2.2), toán tử Tq1,q2 là

2 = 2−α

r = 1−α

1 + α

bị chặn trong L2(R).

Vì vậy, sử dụng định lý nội suy Riesz [3], ta suy ra được Tq1,q2 là toán tử bị chặn từ Lr(R) vào Ls(R), trong đó r, s là cặp số mũ liên hợp và r được xác định bởi 1 2 . Điều kiện 0 < α < 1 dẫn đến 1 < r < 2. Bổ sung thêm trường hợp r = 1, r = 2 đã đúng, ta kết luận được toán tử Tq1,q2 là toán tử bị chặn từ không gian Lr(R) vào không gian Ls(R), với mọi 1 ≤ r ≤ 2.

Các biểu thức (3.31) và (3.32) có thể được viết lại dưới dạng

(cid:0)Tq1,q2f N (cid:1) (x); (cid:0)Tq1,q2wN (cid:1) (x). w(x) = lim N →∞ f (x) = lim N →∞

Bởi vì Tq1,q2 là toán tử bị chặn và q1, q2 là các hàm liên hợp phức của q1, q2, nên các toán tử được xác định theo các công thức (3.31) và (3.32) là bị chặn (cid:50) từ không gian Lr(R) vào Ls(R). Vậy định lý được chứng minh.

n (cid:88)

(cid:18) (cid:19) Nhận xét 3.2.1 Nếu ta đổi toán tử vi phân D = 1 − trong các định d2 dx2

k=0

lý trên bằng toán tử vi phân tổng quát hơn có dạng D = (−1)kak d2k dx2k ,

n ∈ N, thì điều kiện (3.18) trở thành

1 , i = 1, 2, (3.34) |(Fcq1)(y).(Hiq2)(y)| =

n (cid:80) k=0

aky2k

−89−

n (cid:80) k=0

trong đó P (y) = aky2k là một đa thức với hệ số thực và không có nghiệm

(cid:18) (cid:19) thực. Khi đó, toán tử D = 1 − trở thành một trường hợp riêng của d2 dx2

toán tử vi phân tổng quát, với n = 1, a0 = a1 = 1.

3.3 Ứng dụng

Ở mục trên, chúng tôi đã xây dựng và nghiên cứu tính chất toán tử của hai phép biến đổi tích phân kiểu đa chập là Tp1,p2 và Tq1,q2 trên không gian L2. Trong mục này, chúng tôi xét ứng dụng của phép biến đổi kiểu đa chập Tq1,q2 vào việc giải một lớp các phương trình và hệ phương trình vi-tích phân trong không gian L1.

Trước hết, chúng tôi chứng minh một bổ đề về tính chất khi tác động (., ., .)(x).

biến đổi Hartley vào đạo hàm của đa chập Hartley-Fourier cosine ∗ 2 Đây là bổ đề có tính quan trọng cho hai định lý chính ở phần sau.

Bổ đề 3.3.1 Nếu f ∈ L1(R), ϕ ∈ L1(R+) và ψ, ψ(cid:48), ψ(cid:48)(cid:48) ∈ L1(R), thì

(cid:19) (f, ϕ, ψ)](x) (f, ϕ, ψ)(x)](y). (3.35) H1 (y) = −y2H1[∗ 2 (cid:18) d2 dx2 [∗

Chứng minh. Ta có

∞ (cid:90)

 

−∞

(f, ϕ, ψ)](x) = f (u)ϕ(v)θψ(x, u, v)dvdu   , [∗ 2 d dx 1 4π d dx

trong đó

θψ(x, u, v) = ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v) + ψ(−x + u − v) + ψ(x − u + v)+

ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v) + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v).

Vì ψ, ψ(cid:48) ∈ L1(R), nên tồn tại dãy hàm {ψm} ∈ S sao cho ψm → ψ và ψ(cid:48) m → ψ(cid:48). Trong lớp hàm này và với các giả thiết đã cho, ta có thể đổi chỗ đạo hàm và tích phân, ta có:

∞ (cid:90)

 

−∞

f (u)ϕ(v)θψm(x, u, v)dvdu   1 4π d dx

−90−

∞ (cid:90)

−∞ ∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

= dvdu f (u)ϕ(v) 1 4π dθψm(x, u, v) dx

m(x, u, v)dvdu.

−∞

= f (u)ϕ(v)θψ(cid:48) 1 4π

Hay nói khác đi, ta có

m)](x).

(f, ϕ, ψ(cid:48) [∗ 2 (f, ϕ, ψm)](x) = [∗ 2 d dx

Chuyển qua giới hạn hai vế của biểu thức trên, khi m → ∞, ta nhận được

m)](x)

(f, ϕ, ψ(cid:48) lim m→∞ (f, ϕ, ψm)](x) = lim m→∞ [∗ 2

⇐⇒ (f, ϕ, ψ(cid:48))](x). [∗ 2 (f, ϕ, ψ)](x) = [∗ 2 d [∗ dx 2 d dx

Tương tự, thêm điều kiện ψ(cid:48)(cid:48) ∈ L1(R), ta có

(f, ϕ, ψ(cid:48)(cid:48))](x). (f, ϕ, ψ)](x) = [∗ 2 d2 dx2 [∗

(f, ϕ, ψ)](x), (f, ϕ, ψ(cid:48)(cid:48))](x) là những hàm thuộc không gian L1(R). Từ (f, ϕ, ψ(cid:48))](x), [∗ 2

dx[∗ 2

dx2 [∗ 2 (f, ϕ, ψ)](x) thỏa mãn điều kiện để có công thức dạng (1.14). (cid:50)

(f, ϕ, ψ)](x) thuộc không gian (f, ϕ, ψ)](x), d2 (f, ϕ, ψ)](x), d

Tiếp theo, do các giả thiết f, ψ, ψ(cid:48), ψ(cid:48)(cid:48) ∈ L1(R), ϕ ∈ L1(R+), nên [∗ 2 [∗ 2 đó suy ra [∗ 2 L1(R). Vậy [∗ 2 Bổ đề được chứng minh.

3.3.1 Phương trình vi-tích phân

Xét phương trình vi-tích phân có dạng sau

∞ (cid:90)

−∞

(cid:18) (cid:19) ∞ (cid:90) f (x) + f (u)ϕ(v)[ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v)+ 1 − 1 4π d2 dx2

+ ψ(−x + u − v) + ψ(−x + u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+

+ ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v)]dvdu = g(x), (3.36)

−91−

trong đó f (x) là hàm cần tìm và các hàm ϕ(x) ∈ L1(R+), ψ(x) ∈ L1(R), g(x) ∈ L1(R) là các hàm cho trước, sao cho

sech t)(x), ϕ1(t) ∈ L1(R+) and ψ(cid:48)(x), ψ(cid:48)(cid:48)(x) ∈ L1(R). ϕ(x) = (ϕ1(t) ∗ Fc

Dùng biểu diễn của đa chập Hartley-Fourier cosine, ta viết lại phương trình (3.36) trên dưới dạng:

(cid:19) (cid:18) f (x) + 1 − (f, ϕ, ψ)](x) = g(x), x ∈ R. (3.37) [∗ 2 d2 dx2

.) và tích Để giải phương trình (3.37), chúng tôi cần đến các tích chập (. ∗ Fc

.) mà chúng đã được nhắc đến ở chương 1. chập suy rộng (. ∗ HF .), (. ∗ HFc

Định lý 3.3.1 Nếu điều kiện sau thỏa mãn

(cid:17) (1 + y2) · sech (3.38) 1 + · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) (cid:54)= 0, ∀y ∈ R, (cid:114)π 2 (cid:16)πy 2

thì phương trình (3.37) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R):

g)(x), ∀x ∈ R, (3.39) f (x) = g(x) − (l ∗ HF

trong đó l là hàm thuộc không gian L1(R) và được xác định bởi biểu thức sau đây:

2 (1 + y2) · sech (cid:0) πy

(cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) (F l)(y) = , ∀y ∈ R. (cid:112) π 1 + (cid:112) π (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y)

Chứng minh. Tác động phép biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình (3.37), sau đó dùng Bổ đề 3.3.1, ta có:

(cid:20)(cid:18) (cid:19) (cid:21) 1 − (f, ϕ, ψ)](x) (y) = (H1g)(y) d2 dx2

(H1f )(y) + H1 [∗ 2 ⇐⇒ (H1f )(y) + (cid:0)1 + y2(cid:1) H1[∗ (f, ϕ, ψ)(x)](y) = (H1g)(y), y ∈ R.

(f, ϕ, ψ)](x) và đẳng thức nhân

Dùng đẳng thức nhân tử hóa cho đa chập [∗ 2 .), ta có:

tử hóa cho tích chập Fourier cosine (. ∗ Fc (H1f )(y) + (cid:0)1 + y2(cid:1) (H1f )(y)(Fcϕ)(y)(H2ψ)(y) = (H1g)(y)

−92−

(cid:18) (cid:19) sech t (cid:20) 1 + (1 + y2)Fc (cid:21) (y)(H2ψ)(y)

ϕ1 ∗ ⇐⇒ (H1f )(y) = (H1g)(y) Fc ⇐⇒ (H1f )(y) (cid:2)1 + (1 + y2)Fc(sech t)(y)(Fcϕ1)(y)(H2ψ)(y)(cid:3) = (H1g)(y)

(cid:17) (cid:20) 1 + (1 + y2) sech ⇐⇒ (H1f )(y) (cid:21) (Fcϕ1)(y)(H2ψ)(y) = (H1g)(y). (cid:114)π 2 (cid:16)πy 2

Với điều kiện (3.38), phương trình đại số trên có nghiệm duy nhất được xác định bởi

(H1g)(y) (H1f )(y) =

2 sech (cid:0) πy 2 (1 + y2)(cid:112) π 1 + (1 + y2)(cid:112) π

2 sech (cid:0) πy

1 + (1 + y2)(cid:112) π (cid:40) (cid:41) (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) 2 sech (cid:0) πy 1 − . = (H1g)(y) · (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y)

(3.40)

Bây giờ, xét phân số

2 sech (cid:0) πy

(cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) . (3.41) (1 + y2)(cid:112) π 1 + (1 + y2)(cid:112) π (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y)

Dựa vào công thức 1.9.4. trong [6] và đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập Fourier cosine (1.7), đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng Hartley- Fourier cosine (1.28), ta viết được

(cid:17) (1 + y2) sech (cid:16)πy 2

· (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) = (cid:0)sech3 t(cid:1) (y) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y)

ψ](y). (cid:114)π 2 = 2Fc = H2[(ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc

Hơn nữa, biến đổi Hartley của một hàm p(x) có thể được biểu diễn qua biến đổi Fourier

(F p)(−y) + (H2p)(y) = (F p)(y) (cid:21) = F p(−t) + p(t) (y), ∀y ∈ R. 1 + i 2 (cid:20)1 + i 2 1 − i 2 1 − i 2

Do đó, biểu thức (3.41) có dạng . F (·) 1 + F (·)

−93−

Mặt khác, theo định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier (Định lý 1.1.1), trong không gian L1(R), sẽ tồn tại một hàm l(x) trong không gian L1(R) sao cho

2 sech (cid:0) πy

(cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) (F l)(y) = . (1 + y2)(cid:112) π 1 + (1 + y2)(cid:112) π (cid:1) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y)

Vì vậy, ta viết lại nghiệm (3.40) dưới dạng

(H1f )(y) = (H1g)(y) · [1 − (F l)(y)].

.), ta Tiếp theo sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng (. ∗ HF

có

g)(y), ∀y ∈ R. (H1f )(y) = H1(g − l ∗ HF

Điều này chứng tỏ nghiệm f (x) = g − (l ∗ HF g)(x) ∈ L1(R). Đó là điều phải (cid:50) chứng minh.

3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân

Mở rộng tự nhiên từ việc giải một phương trình vi-tích phân ở mục trên, trong mục này chúng tôi mở rộng để xét một hệ gồm hai phương trình vi-tích phân. Xét hệ viết dưới dạng đa chập như sau:

(cid:16) (cid:17) (g, ϕ, ψ)](x) = p(x),   [∗ 2 (3.42) 1 − d2 dx2 (cid:17) f (x) + (cid:16) (f, ξ, η)](x) + g(x) = q(x), x ∈ R.  1 − d2 dx2 [∗ 2

trong đó f (x), g(x) là những hàm cần tìm; p(x), q(x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x), η(x) là những hàm cho trước trong không gian L1(R) sao cho:

sech t)(x) ∈ L1(R+),

sech t)(x), ϕ1(x), ξ1(x) ∈ L1(R+), ϕ(x) = (ϕ1(t) ∗ Fc ξ(x) = (ξ1(t) ∗ Fc

và ψ(cid:48)(x), ψ(cid:48)(cid:48)(x), η(cid:48)(x), η(cid:48)(cid:48)(x) là hàm trong không gian L1(R).

Trong quá trình giải hệ phương trình (3.42), ngoài việc sử dụng Bổ đề .), tích chập 3.3.1, chúng tôi còn cần đến sự giúp đỡ của tích chập Hartley (. ∗ H

−94−

này đã được nhắc đến ở chương 1, với công thức xác định (1.21) và đẳng thức nhân tử hóa (1.22). Định lý dưới đây cho biết điều kiện để hệ (3.42) có nghiệm và biểu thức xác định nghiệm trong không gian L1(R).

Định lý 3.3.2 Nếu điều kiện sau được thỏa mãn

c (sech3 t)(y) · (Fcϕ1)(y) · (Fcξ1)(y) · (H2ψ)(y) · (H2η)(y) (cid:54)= 0, y ∈ R, (3.43)

1 − 4.F 2

thì hệ (3.42) có nghiệm duy nhất trong L1(R) × L1(R) và nghiệm có dạng

(cid:19) (cid:18) f (x) = p(x) − 2 (x)+ (q, ϕ1, ψ)] sech3 t ∗ HFc [∗ 2 (cid:26) (cid:27)(cid:19) (cid:18) (x), + (q, ϕ1, ψ)] [∗ 2 l ∗ HF p − 2 sech3 t ∗ HFc (cid:19) (cid:18) g(x) = q(x) − 2 (x)+ (p, ξ1, η)] sech3 t ∗ HFc (cid:18) [∗ 2 (cid:26) (cid:27)(cid:19) + (x). (3.44) (p, ξ1, η)] [∗ 2 l ∗ HF q − 2 sech3 t ∗ HFc

c (sech3 t)(y) · (Fcϕ1)(y).(Fcξ1)(y).(H2ψ)(y).(H2η)(y)

trong đó hàm l(x) ∈ L1(R), được xác định bởi công thức

c (sech3 t)(y).(Fcϕ1)(y).(Fcξ1)(y).(H2ψ)(y).(H2η)(y)

(F l)(y) = . 4F 2 1 − 4.F 2

(3.45)

. sech .(Fcϕ1)(y).(H2ψ)(y).(H1g)(y) = (H1p)(y), (cid:114)π 2 πy 2

(1 + y2) . sech .(Fcξ1)(y).(H2η)(y).(H1f )(y) + (H1g)(y) = (H1q)(y). Chứng minh. Tác động phép biến đổi Hartley H1 vào hai vế của mỗi phương trình trong hệ (3.42), sau đó sử dụng Bổ đề 3.3.1, và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.29) đồng thời sử dụng các giả thiết về các hàm ϕ, ξ, ta có    (H1f )(y) + (cid:0)1 + y2(cid:1) (cid:114)π πy 2 2

Theo công thức 1.9.4 trong [6], ta có

(cid:40)

(H1f )(y) + 2Fc 2Fc (cid:0)sech3 t(cid:1) (y) · (Fcϕ1)(y) · (H2ψ)(y) · (H1g)(y) = (H1p)(y), (cid:0)sech3 t(cid:1) (y) · (Fcξ1)(y) · (H2η)(y) · (H1f )(y) + (H1g)(y) = (H1q)(y).

Tiếp theo, sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập Fourier (0.2) và tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (1.28), ta viết được hệ trên ở dạng ngắn gọn

−95−

ψ](y) · (H1g)(y) = (H1p)(y),   (H1f )(y) + 2H2[(ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (3.46) η](y) · (H1f )(y) + (H1g)(y) = (H1q)(y).  2H2[(ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc

Đây là hệ phương trình đại số hai phương trình hai ẩn, với các ẩn là (H1f )(y), (H1g)(y). Để giải hệ này, ta xét định thức của ma trận hệ số, và sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.22) của tích chập Hartley (1.21), ta có:

1 2.H2[(ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc ∆ = η](y) 1 sech3 t) ∗ HFc (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18) (cid:12) ψ](y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19)(cid:27) 2.H2[(ξ1 ∗ Fc (cid:26)(cid:18) (cid:19) η (y). ψ = 1 − 4.H2 ∗ H (ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc

∀y ∈ R.

Vì điều kiện (3.43), nên hệ phương trình đại số (3.46) có nghiệm duy

nhất. Ta có (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:27) ψ η (y) 4.H2 (ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc = 1 + . (cid:26)(cid:18) ∗ H (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:27) 1 ∆ ψ η (y) 1 − 4.H2 ∗ H (ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc

Do biến đổi Hartley có thể biểu diễn qua biến đổi Fourier, và hàm số có dạng z 1−z là hàm giải tích, nên thỏa mãn điều kiện của định lý Wiener-Levy. Theo định lý đó, sẽ tồn tại một hàm l ∈ L1(R) sao cho

(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:27) ψ η (y) 4.H2 (ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (F l)(y) = . ∗ H (cid:19) (cid:19)(cid:27) (cid:26)(cid:18) (cid:18) ψ η (y) 1 − 4.H2 ∗ H sech3 t) ∗ HFc sech3 t) ∗ HFc (ϕ1 ∗ Fc (ξ1 ∗ Fc

Biểu thức xác định (F l)(y) ở trên còn có thể viết dưới dạng

c (sech3 t)(y) · (Fcϕ1)(y).(Fcξ1)(y) · (H2ψ)(y) · (H2η)(y) c (sech3 t)(y) · (Fcϕ1)(y) · (Fcξ1)(y) · (H2ψ)(y) · (H2η)(y)

(F l)(y) = , 4F 2 1 − 4F 2

với mọi y ∈ R. Bây giờ, ta có = 1 + (F l)(y). 1 ∆

−96−

Tiếp theo, ta tính các định thức thành phần của hệ (3.46), sử dụng đẳng

(., ., .), đẳng thức (2.29), ta có thức nhân tử hóa cho đa chập ∗ 2

(H1p)(y) 2.H2[(ϕ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc ∆1 = 1 (cid:12) ψ](y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (H1q)(y) (cid:26) (cid:27) (y), y ∈ R. = H1 (q, ϕ1, ψ)] [∗ 2 p − 2. sech3 t ∗ HFc

Tương tự, ta nhận được

1 ∆2 = η](y) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2.H2[(ξ1 ∗ Fc sech3 t) ∗ HFc (cid:12) (H1p)(y) (cid:12) (cid:12) (H1q)(y) (cid:12) (cid:12) (cid:27) (cid:26) (y), y ∈ R. = H1 (p, ξ1, η)] [∗ 2 q − 2. sech3 t ∗ HFc

(cid:26)

(cid:27)

(y) · [1 + (F l)(y)]

(H1f )(y) =

= H1

(q, ϕ1, ψ)]

[∗ 2

p − 2. sech3 t ∗ HFc

∆1 ∆

(cid:20)

(cid:26)

(cid:27)(cid:21)

(y).

= H1

(q, ϕ1, ψ)]

[∗ 2

(q, ϕ1, ψ)] + l ∗ HF

p − 2. sech3 t ∗ HFc

p − 2. sech3 t ∗ HFc (cid:26)

(cid:27)

(y) · [1 + (F l)(y)]

= H1

(p, ξ1, η)]

(H1g)(y) =

[∗ 2

q − 2. sech3 t ∗ HFc

∆2 ∆

(cid:20)

(cid:26)

(cid:27)(cid:21)

(y).

= H1

(p, ξ1, η)]

[∗ 2

(p, ξ1, η)] + l ∗ HF

q − 2. sech3 t ∗ HFc

Vì vậy, nghiệm của hệ (3.46) như sau

Do biểu thức cuối cùng đúng với mọi y ∈ R, nên điều đó suy ra nghiệm của hệ (3.42) có dạng (3.44). Các giả thiết về p(x) và q(x) dẫn đến kết luận các hàm f (x) và g(x) thuộc không gian L1(R) và chúng thỏa mãn điều kiện (cid:50) (3.43). Đó là điều phải chứng minh.

Kết luận chương 3

Xây dựng được hai phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, đó là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, ký hiệu Tp1,p2 và phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine, ký hiệu Tq1,q2. Với mỗi phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, chúng tôi nghiên cứu tính chất toán tử của chúng trên không gian L2. Kết quả đã chứng minh được ba định lý quan trọng. Định lý thứ nhất là định lý kiểu Watson, cho biết trong điều kiện nào thì phép biến đổi kiểu đa chập sẽ là biến đổi unita, và chỉ ra biến

−97−

đổi ngược của nó. Định lý thứ hai là định lý kiểu Plancherel, định lý này xây dựng các dãy các hàm trong L2 để xấp xỉ cho hàm ảnh và hàm ban đầu trong L2. Định lý thứ ba đã chứng minh tính bị chặn của toán tử T trong không gian Lr, với 1 ≤ r ≤ 2. Phần ứng dụng, chúng tôi xét một ứng dụng của phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Tq1,q2 vào việc giải phương trình và hệ hai phương trình vi-tích phân trong không gian L1. Các kết quả chính của chương này dựa vào hai bài báo [3, 4], mục Danh mục công trình đã công bố của Luận án.

−98−

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP

(·, ·, ·) và ∗ 2

Nghiên cứu về các loại bất đẳng thức đối với tích chập nói chung và đa chập nói riêng, giúp ta có được những đánh giá theo chuẩn của các tích chập, đa chập đó trên các không gian hàm khác nhau. Chương này sẽ trình bày các bất đẳng thức đối với đa chập cho các đa chập ∗ (·, ·, ·) trên 1 (R), bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng không gian L1(R), không gian Lα,β,γ thức kiểu Saitoh cho hai đa chập đã được xây dựng ở chương trước. Dùng bất đẳng thức, chúng tôi ứng dụng vào việc đánh giá nghiệm của một số lớp phương trình tích phân, phương trình vi phân.

Để thuận tiện cho việc trình bày, trong chương này chúng tôi tập trung

vào chứng minh các kết quả đối với đa chập 1.

4.1 Bất đẳng thức trong L1

Bất đẳng thức này cho phép đánh giá chuẩn của đa chập trong không gian L1(R). Đây là bất đẳng thức dễ thấy nhất khi nghiên cứu về đa chập.

(f, g, h)(x) có

Định lý 4.1.1 Nếu f, g ∈ L1(R+) và h ∈ L1(R) thì đa chập ∗ 1 chuẩn được đánh giá theo bất đẳng thức sau đây trong không gian L1(R)

(4.1) (f, g, h)(cid:107)L1(R) ≤ (cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)g(cid:107)L1(R+)(cid:107)h(cid:107)L1(R). (cid:107) ∗ 1 2 π

(f, g, h) là

Chứng minh. Từ chứng minh của Định lý 2.1.1, khi chứng tỏ ∗ 1 hàm thuộc không gian L1(R), công thức (2.6), ta có

∞ (cid:90)

     

−∞

|f (u)|du |g(v)|dv |h(t)|dt       . (cid:12) (cid:12) (cid:12)∗ (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx ≤ (f, g, h)(x) 2 π

Điều này tương đương với

(cid:107)f (cid:107)L1(R+)(cid:107)g(cid:107)L1(R+)(cid:107)h(cid:107)L1(R). (f, g, h)(cid:107)L1(R) ≤ (cid:107) ∗ 1 2 π

(cid:50) Đó là điều phải chứng minh.

Tương tự, đối với đa chập H-Fc, ta có định lý sau

(f, g, h)(x) có

Định lý 4.1.2 Nếu f, h ∈ L1(R) và g ∈ L1(R+) thì đa chập ∗ 2 chuẩn được đánh giá theo bất đẳng thức sau đây trong không gian L1(R)

(4.2) (cid:107)f (cid:107)L1(R)(cid:107)g(cid:107)L1(R+)(cid:107)h(cid:107)L1(R). (f, g, h)(cid:107)L1(R) ≤ (cid:107) ∗ 2 2 π

4.2 Bất đẳng thức trong Lα,β,γ

p + 1

q + 1

r = 2. Khi đó, đa chập ∗ 1

Định lý sau đây chỉ ra rằng, khi các hàm f, g, h thuộc các không gian hàm khác nhau, nhưng nếu các chỉ số của không gian thỏa mãn ràng buộc nào đó (R) và chuẩn của nó thì đa chập của các hàm đó sẽ thuộc không gian Lα,β,γ được đánh giá thông qua chuẩn của các hàm f, g, h đã cho.

(R) và có bất đẳng thức Định lý 4.2.1 Giả sử f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R+) và h ∈ Lr(R), trong đó p, q, r > 1 và thỏa mãn 1 (f, g, h) thuộc không gian Lα,β,γ

(R) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)g(cid:107)Lq(R+)(cid:107)h(cid:107)Lr(R),

(4.3) (f, g, h)(cid:107)Lα,β,γ (cid:107) ∗ 1

trong đó hằng số C được xác định bởi công thức

γs Γ

s (

C = β− α+1 ), α + 1 γ 21+ 1 πγ 1

trong đó Γ(x) là hàm Gamma.

∞ (cid:90)

Chứng minh. Các giả thiết về p, q, r ở đây đã thỏa mãn Định lý 2.1.2. Theo chứng minh Định lý 2.1.2, ta có được đa chập ∗ (f, g, h)(x) là bị chặn trong 1 (R), và có công thức (2.13) sau không gian Lα,β,γ

−∞

(f, g, h)(x)|sdx |x|αe−β|x|γ · | ∗ 1

γ .Γ

Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)s

Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)s

Lr(R).

(cid:19) ≤ .(cid:107)f (cid:107)s .β− α+1 2s+1 πsγ (cid:18)α + 1 γ

−100−

(R), ta nhận được vế trái của

s . Từ đó suy ra

(R)

Lα,β,γ s

(f, g, h)(cid:107)s Theo định nghĩa chuẩn trong không gian Lα,β,γ biểu thức trên chính là (cid:107) ∗ 1

1 s

γ.s .Γ

(R) ≤

(cid:19) .β− α+1 (cid:107)f (cid:107)Lp(R+)(cid:107)g(cid:107)Lq(R+)(cid:107)h(cid:107)Lr(R). (f, g, h)(cid:107)Lα,β,γ (cid:107) ∗ 1 (cid:18)α + 1 γ 21+ 1 πγ 1

(cid:50) Hay bất đẳng thức (4.4) được chứng minh.

Tương tự, đối với đa chập H-Fc, chúng tôi cũng nhận được biểu thức

p + 1

(R) cho bởi đinh lý sau. đánh giá chuẩn trong không gian Lα,β,γ

(R) và có bất đẳng thức Định lý 4.2.2 Giả sử f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R+) và h ∈ Lr(R), trong đó p, q, r > 1 và thỏa mãn 1 q + 1 r = 2. Khi đó đa chập Hartley-Fourier cosine (f, g, h) thuộc không gian Lα,β,γ ∗ 2

(R) ≤ C(cid:107)f (cid:107)Lp(R)(cid:107)g(cid:107)Lq(R+)(cid:107)h(cid:107)Lr(R),

(4.4) (f, g, h)(cid:107)Lα,β,γ (cid:107) ∗ 2

trong đó

γs Γ

s (

C = β− α+1 ). α + 1 γ 21+ 1 πγ 1

4.3 Bất đẳng thức kiểu Young

s = 3 và f ∈ Lp(R+),

q + 1

r + 1

∞ (cid:90)

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu định lý kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Young cho các đa chập H-Fc-Fs và đa chập H-Fc. Bất đẳng thức Young được nghiên cứu đầu tiên cho tích chập Fourier, công thức (1.1), nó là hệ quả của định lý Young, được nhắc lại ở Định lý 1.1.2 (xem [37, 59]). Những năm gần đây, một số tác giả nghiên cứu bất đẳng thức Young cho nhiều tích chập và tích chập suy rộng khác (xem [20, 48, 51]), nhưng chưa có công trình nào về bất đẳng thức Young cho đa chập. Định lý dưới đây là một kết quả về vấn đề này.

(f, g, h)](x) · k(x)dx ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)Ls(R). (4.5) [∗ 1 2 π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Định lý 4.3.1 (Định lý kiểu Young cho đa chập H-Fc-Fs) Giả sử p + 1 rằng p, q, r, s > 1, sao cho thỏa mãn 1 g ∈ Lq(R+), h ∈ Lr(R), k ∈ Ls(R). Khi đó, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

−101−

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ định nghĩa của đa chập (2.1), ta viết được

∞ (cid:90)

= (f, g, h)](x) · k(x)dx [∗ 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞  

∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

= f (u) · g(v) · θh(x, u, v)dvdu   · k(x)dx 1 2π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−∞

4 (cid:88)

= 1 2π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f (u) · g(v) · θh(x, u, v) · k(x)dvdudx (cid:12) (cid:12) (cid:12)

k=1

(4.6) ≤ Ik,

∞ (cid:90)

trong đó Ik là tích phân nhận được bằng cách thay thế hàm nhân θh(x, u, v) bởi các hàm h(x + u − v), h(x + u + v), h(x − u − v), h(x − u + v), tương ứng, với k = 1, 4. Không mất tính tổng quát, ta xem xét tích phân I1, còn các tích phân còn lại Ik, k = 2, 4 được thực hiện tương tự. Ta có

. (4.7) I1 = 1 2π (cid:12) (cid:12) (cid:12) f (u) · g(v) · h(x + u − v) · k(x)dvdudx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

Gọi p1, q1, r1, s1, tương ứng, là các số mũ liên hợp của p, q, r, s, có nghĩa là

+ = + = + = + = 1. 1 p 1 q 1 r 1 s 1 p1 1 q1 1 r1 1 s1

Để thuận tiện, ta ký hiệu Ω = R × R+ × R+ và ký hiệu các hàm ba biến mới

U (x, u, v) = |g(v)|q/p1 · |h(x + u − v)|r/p1 · |k(x)|s/p1 ∈ Lp1(Ω), V (x, u, v) = |h(x + u − v)|r/q1 · |k(x)|s/q1 · |f (u)|p/q1 ∈ Lq1(Ω), P (x, u, v) = |k(x)|s/r1 · |f (u)|p/r1 · |g(v)|q/r1 ∈ Lr1(Ω), Q(x, u, v) = |f (u)|p/s1 · |g(v)|q/s1 · |h(−x + u + v)|r/s1 ∈ Ls1(Ω).

Khi đó, ta thấy

U · V · P · Q = |f (u)| · |g(v)| · |h(x + u − v)| · |k(x)|. (4.8)

−102−

∞ (cid:90)

Trong không gian hàm Lp1(Ω), ta có

Lp1 (Ω) =

−∞ ∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

(cid:107)U (cid:107)p1 |U (x, u, v)|p1dvdudx

−∞ 

= |g(v)|q · |h(x + u − v)|r · |k(x)|sdvdudx

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

    

−∞

≤ |g(v)|qdv |h(t)|rdt |k(x)|sdx      

0 = (cid:107)g(cid:107)q

Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)s

Ls(R)·

Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)r

(4.9)

Tương tự, ta nhận được

(4.10)

(4.11)

Ls(R), Ls(R), Lr(R).

Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)s Lq(R+) · (cid:107)k(cid:107)s Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)r

Lp(R+) · (cid:107)h(cid:107)r Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)q Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)q

Lq1(Ω) ≤ (cid:107)f (cid:107)p Lr1(Ω) ≤ (cid:107)f (cid:107)p Ls1 (Ω) ≤ (cid:107)f (cid:107)p

(cid:107)V (cid:107)q1 (cid:107)P (cid:107)r1 (cid:107)Q(cid:107)s1 (4.12)

∞ (cid:90)

Từ (4.7)-(4.8), suy ra

−∞ ∞ (cid:90)

0 ∞ (cid:90)

|f (u)| · |g(v)| · |h(x + u − v)| · |k(x)|dvdudx I1 ≤ 1 2π

−∞

p + 1

q + 1

r + 1

U.V.P.Qdvdudx. = 1 2π

+ 1 s1 + 1 r1 + 1 q1

1/q1

1/p1

Do giả thiết 1 s = 3, nên ta có 1 = 1. Sử dụng p1 bất đẳng thức H¨older cho bốn hàm U, V, P, Q trên các không gian hàm tương ứng, ta nhận được:

∞ (cid:90)

   

1/r1

1/s1

−∞ 

|U |p1dvdudx · · |V |q1dvdudx I1 ≤     1 2π

−∞ 

∞ (cid:90)

 

−∞

· |P |r1dvdudx · |Q|s1dvdudx    

−103−

(4.13) = · (cid:107)U (cid:107)Lp1(Ω) · (cid:107)V (cid:107)Lq1 (Ω) · (cid:107)P (cid:107)Lr1(Ω) · (cid:107)Q(cid:107)Ls1 (Ω). 1 2π

Do các điều kiện đã cho, ta có:

(cid:19) (cid:19) p + + = q + + =

(cid:19) (cid:19) + + = s + + = r = 1. (4.14) (cid:18) 1 q1 (cid:18) 1 p1 1 r1 1 q1 1 s1 1 s1 (cid:18) 1 p1 (cid:18) 1 p1 1 r1 1 q1 1 s1 1 r1

Từ các đánh giá (4.9)-(4.12) và (4.14), ta tiếp tục nhận được:

Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)r/p1

(cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:107)g(cid:107)q/p1 (cid:107)f (cid:107)p/q1 I1 ≤

(cid:17)

+ 1 s1

+ 1 r1

+ 1 q1

+ 1 s1

· (cid:16) (cid:17) · 1 · 2π (cid:16) ·

Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)s/p1 Ls(R) (cid:17) Lq(R+) · (cid:107)k(cid:107)s/r1 Ls(R) (cid:16) 1 + 1 q r1 p1 · (cid:107)g(cid:107) Lq(R+)

Lp(R+) · (cid:107)h(cid:107)r/q1 Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)q/s1 (cid:107)f (cid:107)p/s1 (cid:16) 1 r p1 · (cid:107)h(cid:107) Lr(R)

Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)s/q1 Ls(R) Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)r/s1 Lr(R) (cid:17) (cid:16) 1 s p1 · (cid:107)k(cid:107) Ls(R)

Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)q/r1 (cid:107)f (cid:107)p/r1 (cid:16) 1 + 1 p r1 q1 · (cid:107)f (cid:107) Lp(R+)

(4.15) = · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)Ls(R). 1 2π 1 2π

Một cách tương tự, ta có

(4.16) Ik ≤ · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)Ls(R), k = 2, 3, 4. 1 2π

∞ (cid:90)

Từ (4.6) và (4.16), suy ra

≤ · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)Ls(R). [∗ 1 2 π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (f, g, h)](x) · k(x)dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

(cid:50) Vậy định lý được chứng minh.

Tiếp theo ta xét một trường hợp riêng của các tham số p, q, r, s và nhận được bất đẳng thức kiểu Young cho đa chập H-Fc-Fs. Quan sát bất đẳng thức này ta thấy nó là mở rộng của bất đẳng thức (4.2) trong L1(R), hay nói khác đi, bất đẳng thức (4.1) là một trường hợp riêng của bất đẳng thức kiểu Young khi p = q = r = 1.

r = 2 + 1

q + 1

Hệ quả 4.3.1 (Bất đẳng thức kiểu Young cho đa chập H-Fc-Fs) Giả sử rằng p, q, r, s > 1 và thỏa mãn 1 p + 1 s. Khi đó, với mọi hàm

−104−

(f, g, h)](x) thuộc không

f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R+) và h ∈ Lr(R), thì đa chập [∗ 1 gian Ls(R) và có bất đẳng thức kiểu Young như sau

s + 1 s1

s dẫn đến 1

r = 2 + 1

q + 1

r + 1 s1

(4.17) (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R). (f, g, h)(cid:107)Ls(R) ≤ (cid:107) ∗ 1 2 π

1/s1

Chứng minh. Từ các giả thiết f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R+), h ∈ Lr(R) và định nghĩa đa chập H-Fc-Fs, suy ra đa chập [∗ (f, g, h)](x) được xác định với mọi 1 x ∈ R. Gọi s1 là số mũ liên hợp của s, nghĩa là 1 = 1. Điều kiện 1 p + 1 p + 1 = 3, vì vậy các số p, q, r, s1 thỏa (f, g, h)]α(x), mãn giả thiết của Định lý 4.3.1. Bây giờ ta chọn hàm k(x) = [∗ 1 trong đó α là một hằng số nào đó sao cho k(x) ∈ Ls1(R). Khi đó đa chập (f, g, h)(x) sẽ thuộc không gian hàm Lαs1 và ta có ∗ 1

∞ (cid:90)

   

−∞

·α

|k(x)|s1dx = (f, g, h)]α(x)|s1dx     (cid:107)k(cid:107)Ls1(R) = |[∗ 1

−∞ 

1 αs1

∞ (cid:90)



Lαs1 (R).

−∞

(f, g, h)(cid:107)α (f, g, h)](x)|α·s1dx =   = (cid:107) ∗ 1 |[∗ 1

∞ (cid:90)

Thay k(x) và (cid:107)k(cid:107)Ls1(R) trong biểu thức (4.5), ta nhận được

≤ (f, g, h)]α+1(x)dx .(cid:107)f (cid:107)Lp(R+).(cid:107)g(cid:107)Lq(R+).(cid:107)h(cid:107)Lr(R).(cid:107)k(cid:107)Ls1(R) [∗ 1 2 π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

αs1 (x)dx

⇐⇒ (f, g, h)](αs1)· α+1 ≤ [∗ 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞ (cid:12) ∞ (cid:12) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

Lαs1(R).

≤ (f, g, h)(cid:107)α (4.18) · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107) ∗ 1 2 π

= 1, thì vế trái của biểu thức trên có thể viết lại

∞ (cid:90)

Nếu ta chọn α sao cho α+1 α.s1 dưới dạng

α·s1 (x)dx

Lαs1(R).

(f, g, h)](α.s1)· α+1 (f, g, h)(cid:107)αs1 = [∗ 1 [∗ 1 = (cid:107)∗ 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (f, g, h)](α·s1)(x)dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

−105−

Vì vậy, công thức (4.18) tương đương với

Lαs1 (R)

(f, g, h)(cid:107)αs1 (f, g, h)(cid:107)α (cid:107) ∗ 1 · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107) ∗ 1

(4.19) · (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R). 2 Lαs1(R) ≤ π (f, g, h)(cid:107)αs1−α Lαs1(R) ≤ ⇐⇒ (cid:107) ∗ 1 2 π

s1−1. Từ mối liên hệ 1

s + 1 s1

s−1 −1 = s − 1. Từ đó, suy ra αs1 = (s − 1). s

= 1 dẫn đến α = 1

(f, g, h)] ∈ Ls(R) và Điều kiện α+1 = 1, suy ra α.s1 s1 = s s−1. Vậy α = 1 s−1 = s. Vậy αs1 − α = 1. Vì thế, không gian hàm Lαs1(R) chính là không gian hàm Ls(R). Điều đó có nghĩa là ta nhận được kết luận đa chập [∗ 1

· (cid:107)f (cid:107)Lp(R+) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R). (f, g, h)(cid:107)Ls(R) ≤ (cid:107) ∗ 1 2 π

q + 1

p + 1

(cid:50) Suy ra, điều phải chứng minh.

Ta thấy rằng, trong bất đẳng thức (4.3), tham số s chỉ thỏa mãn s > 1, nhưng trong bất đẳng thức (4.17) tham số s lại phụ thuộc vào các chỉ số p, q, r bởi ràng buộc 1 r = 2 + 1 s. Đó là sự khác biệt giữa Định lý 4.2.1 cho đa chập trong không gian Lα,β,γ và định lý kiểu Young, Định lý 4.3.1. Một sự khác biệt nữa giữa hai bất đẳng thức này là hệ số C. Trong bất đẳng thức (4.3), hệ số C phụ thuộc vào α, β, γ, s, chính vì vậy mà ta có thể điều chỉnh các tham số phù hợp để nhận được hệ số C tốt nhất theo một nghĩa nào đó. Trong khi đó, ở bất đẳng thức (4.17), hệ số C là cố định và bằng 2 π . Lập luận tương tự như định lý trên, chúng tôi nhận được định lý kiểu

p + 1

r + 1

∞ (cid:90)

Young cho đa chập H-Fc như sau.

(f, g, h)](x) · k(x)dx ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R) · (cid:107)k(cid:107)Ls(R). (4.20) [∗ 2 2 π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Định lý 4.3.2 (Định lý kiểu Young cho đa chập H-Fc) Giả sử rằng p, s = 3 và f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R+), q, r, s > 1, sao cho thỏa mãn 1 q + 1 h ∈ Lr(R), k ∈ Ls(R). Khi đó, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −∞

p + 1

q + 1

r = 2+ 1

s. Khi đó, (f, g, h)](x)

Và hệ quả của nó là bất đẳng thức kiểu Young cho đa chập H-Fc.

Hệ quả 4.3.2 Giả sử rằng p, q, r, s > 1 và thỏa mãn 1 với mọi hàm f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R+) and h ∈ Lr(R), đa chập [∗ 2

−106−

thuộc không gian Ls(R) và có bất đẳng thức kiểu Young

(4.21) (f, g, h)(cid:107)Ls(R) ≤ (cid:107)f (cid:107)Lp(R) · (cid:107)g(cid:107)Lq(R+) · (cid:107)h(cid:107)Lr(R). (cid:107) ∗ 2 2 π

4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh

(f, g, h)(x). Ta có định lý sau đây. Bất đẳng thức kiểu Saitoh được S. Saitoh nghiên cứu và giới thiệu năm 2000, trong [48], cho tích chập Fourier. Sở dĩ ông đưa ra bất đẳng thức này vì xét thấy bất đẳng thức Young, mặc dù rất đẹp nhưng lại không đúng trong trường hợp điển hình là không gian L2. Bất đẳng thức mà Saitoh đưa ra, công thức (1.3), đúng cho không gian Lp với p > 1, nên cũng đúng với p = 2. Sau công trình này của ông, có nhiều tác giả nghiên cứu bất đẳng thức kiểu Saitoh cho tích chập và tích chập suy rộng khác. Tuy nhiên chưa có công trình nào nghiên cứu về bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập. Dựa trên những hiểu biết về bất đẳng thức kiểu Saitoh cho tích chập, chúng tôi mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức này cho đa chập. Kết quả rất khả quan, chúng tôi cũng nhận được bất đẳng thức kiểu Saitoh cho cả hai đa chập này. Trước hết, ta xét với đa chập ∗ 1

Định lý 4.4.1 (Bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập H-Fc-Fs) Giả sử rằng ρi, i = 1, 2, 3 là các hàm không triệt tiêu. Khi đó, với mọi hàm F1 ∈ Lp(R+, |ρ1|), F2 ∈ Lp(R+, |ρ2|) và F3 ∈ Lp(R, |ρ3|) (p > 1), ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập H-Fc-Fs

p −1(cid:107)Lp(R)

(ρ1, ρ2, ρ3)] (cid:107)[∗ 1 (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)] · [∗ 1

≤ (4.22) · (cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,|ρ1|) · (cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,|ρ2|) · (cid:107)F3(cid:107)Lp(R,|ρ3|). 2 π

p −1(cid:107)p

(., ., .), ta có: Chứng minh. Theo định nghĩa về chuẩn trong không gian Lp(R) và định nghĩa đa chập ∗ 1

Lp(R) =

∞ (cid:90)

1−p

(ρ1, ρ2, ρ3)] (cid:107)[∗ 1 (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)].[∗ 1

−∞

∞ (cid:90)

= . dx (cid:12) (cid:12) (cid:12)∗ (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)(x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)∗ (cid:12) (cid:12) (ρ1, ρ2, ρ3)(x) (cid:12)

−∞

× = 1 2π (cid:12) (cid:12) (cid:12) (F1ρ1)(u).(F2ρ2)(v).θF3ρ3(x, u, v)dvdu (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−107−

1−p

∞ (cid:90)

dx. (4.23) ×

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ρ1(u).ρ2(v).θρ3(x, u, v)dvdu (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chú ý rằng, ở đây θF3ρ3(x, u, v) được xác định bởi biểu thức:

θF3ρ3(x, u, v) = (F3ρ3)(x + u − v) − (F3ρ3)(x + u + v)+ +(F3ρ3)(x − u − v) − (F3ρ3)(x − u + v).

∞ (cid:90)

Để thuận tiện cho việc trình bày, ta ký hiệu

, A :=

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (F1ρ1)(u).(F2ρ2)(v).θF3ρ3(x, u, v)dvdu (cid:12) (cid:12) (cid:12)

và ký hiệu các biến mới:

t1 := x + u − v, t2 := x + u + v, t3 := x − u − v, t4 := x − u + v,

∞ (cid:90)

đồng thời ký hiệu

i = 1, 4. Ai := |(F1ρ1)(u)| . |(F2ρ2)(v)| . |(F3ρ3)(ti)| dvdu,

4 (cid:80) i=1

Khi đó, ta viết được A ≤ Ai.

∞ (cid:90)

Không mất tính tổng quát, ta đánh giá chuẩn đối với A1. Thật vậy, dùng bất đẳng thức H¨older, ta có:

1 p

A1 := |(F1ρ1)(u)| . |(F2ρ2)(v)| . |(F3ρ3)(x + u − v)| dvdu

∞ (cid:90)

 

1 q

≤ |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(x + u − v)|p|ρ3(x + u − v)|dvdu  

∞ (cid:90)

 

1 p

× |ρ1(u)ρ2(v)ρ3(x + u − v)|dvdu  

∞ (cid:90)

 

= |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(t1)|p|ρ3(t1)|dvdu  

−108−

1 q

∞ (cid:90)

 

× . (4.24) |ρ1(u)ρ2(v)ρ3(t1)|dvdu  

1 p

Tương tự, ta nhận được các biểu thức tương ứng cho Ai, i = 2, 4:

∞ (cid:90)

 

1 q

Ai ≤ |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(ti)|p|ρ3(ti)|dvdu  

∞ (cid:90)

 

× . (4.25) |ρ1(u)ρ2(v)ρ3(ti)|dvdu  

1 p

Từ (4.24), (4.25), ta có đánh giá sau đây cho A:

∞ (cid:90)

4 (cid:88)

 

i=1

1 q

0 

A ≤ |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(ti)|p|ρ3(ti)|dvdu  

∞ (cid:90)



× . |ρ1(u)ρ2(v)ρ3(ti)|dvdu  

1 p

Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức H¨older, biểu thức này có thể viết lại dạng:

∞ (cid:90)

4 (cid:88)

 

i=1

1 q

× A ≤ |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(ti)|p|ρ3(ti)|dvdu  

∞ (cid:90)

4 (cid:88)

 

i=1

1 p

× |ρ1(u)ρ2(v)ρ3(ti)|dvdu  

∞ (cid:90)

i=1

1 q

  (cid:34) 4 (cid:88) dvdu × = (cid:35) |F3(ti)|p|ρ3(ti)| |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.  

∞ (cid:90)

i=1

  (cid:35) (cid:34) 4 (cid:88) × dvdu . (4.26) |ρ3(ti)| |ρ1(u)ρ2(v)|  

−109−

4 (cid:80) i=1

p −1(cid:107)p

Thay (4.26) vào (4.23), và chú ý rằng |ρ3(ti)| = θ|ρ3|(x, u, v), ta được:

Lp(R) ≤

∞ (cid:90)

i=1

−∞

p q

(ρ1, ρ2, ρ3)] (cid:107)[∗ 1 (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)] · [∗ 1   (cid:34) 4 (cid:88) ≤ dvdu |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|. (cid:35) |F3(ti)|p|ρ3(ti)|  ×  1 2π

∞ (cid:90)

i=1

1−p

  (cid:34) 4 (cid:35) (cid:88) dvdu × × |ρ1(u)ρ2(v)| |ρ3(ti)|  

∞ (cid:90)

 

0 

× dx |ρ1(u)|.|ρ2(v)|.θ|ρ3|(x, u, v)dvdu  

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

i=1

−∞

q + 1 − p = 0, vì 1

p + 1

 (cid:34) 4 (cid:88) dvdu = |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|. (cid:35) |F3(ti)|p|ρ3(ti)|   dx. 1 2π

p −1(cid:107)p

Ở đây, ta có p q = 1. Bằng cách tách tích phân thành tổng của 4 tích phân nhỏ theo biểu thức tổng dưới dấu tích phân, rồi sử dụng định lý Fubini để đổi thứ tự lấy tích phân, đồng thời đổi biến t := ti, i = 1, 4 để tính dx theo dt, ta nhận được:

Lp(R) ≤

∞ (cid:90)

(ρ1, ρ2, ρ3)] (cid:107)[∗ 1 (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)].[∗ 1

−∞

≤ .4 |F1(u)|p|ρ1(u)|.|F2(v)|p|ρ2(v)|.|F3(t)|p|ρ3(t)|dtdvdu 1 2π

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

     

−∞

= |F1(u)|p|ρ1(u)|du |F2(v)|p|ρ2(v)|dv |F3(t)|p|ρ3(t)|dt       2 π

0 .(cid:107)F1(cid:107)p

Lp(R+,|ρ1|).(cid:107)F2(cid:107)p

Lp(R+,|ρ2|).(cid:107)F3(cid:107)p

Lp(R,|ρ3|).

(4.27) = 2 π

(cid:50) Vậy định lý được chứng minh.

Dưới đây, ta xét một vài trường hợp riêng của các hàm ρ1, ρ2, ρ3 và mô

tả bất đẳng thức kiểu Saitoh trong trường hợp đó.

−110−

Hệ quả 4.4.1 Giả sử ρ1, ρ2 ∈ L1(R+) là các hàm dương, và ρ3 = 1, khi đó công thức (4.22) trở thành

(F1ρ1, F2ρ2, F3)](cid:107)Lp(R) (cid:107)[∗ 1

1− 1 p L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)

1− 1 p L1(R+).(cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,ρ2).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R). (4.28)

≤ .(cid:107)ρ1(cid:107) 2 π2− 1

∞ (cid:90)

Chứng minh. Do ρ3 = 1, nên θρ3(x, u, v) = 2 và ρ1, ρ2 thuộc L1(R+), nên ta có

(ρ1, ρ2, ρ3)](x) = ρ1(u).ρ2(v).2dvdu = (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+). [∗ 1 1 π 1 2π

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (4.22) trở thành:

p −1(cid:107)Lp(R) =

1 p

(ρ1, ρ2, ρ3)] (F1ρ1, F2ρ2, F3)].[∗ 1

∞ (cid:90)

1−p

 (cid:107)[∗ 1 

−∞

1 p

. dx =   (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:12) (cid:12) (ρ1, ρ2, ρ3)](x) (cid:12)

∞ (cid:90)

−∞

1 p

  (cid:19)1−p . dx = (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+)   (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](x) (cid:12) (cid:18) 1 π

p −1

∞ (cid:90)

−∞

p −1

  (cid:19) 1 = . .dx (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+)   (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](x) (cid:12) (cid:18) 1 π

(cid:19) 1 = (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](cid:107)Lp(R). .(cid:107)[∗ 1 (cid:18) 1 π

p −1

Trở lại với bất đẳng thức (4.22), ta nhận được:

(cid:19) 1

(cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](cid:107)Lp(R) (cid:107)[∗ 1 (cid:18) 1 π

≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,ρ2)(cid:107)F3(cid:107)Lp(R), 2 π

hay suy ra

(F1ρ1, F2ρ2, F3)](cid:107)Lp(R) |[∗ 1

−111−

1− 1 p L1(R+).(cid:107)ρ2(cid:107)

1− 1 p L1(R+).(cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,ρ2).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R),

≤ C.(cid:107)ρ1(cid:107)

(cid:50) trong đó hằng số C = = < 1. 2 π2− 1 2 π1+ 1

Tiếp theo ta xét trường hợp hàm trọng ρ2 = 1, còn các trọng khác thuộc không gian L1.

Hệ quả 4.4.2 Nếu ρ2 = 1 và các hàm ρ1 ∈ L1(R+), ρ3 ∈ L1(R) là các hàm dương, thì bất đẳng thức (4.22) trở thành

(cid:107)[∗ 1

1− 1 p L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)

1− 1 p L1(R).(cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R,ρ3).

(cid:19)2− 1 ≤ (4.29) .(cid:107)ρ1(cid:107) (F1ρ1, F2, F3ρ3)](cid:107)Lp(R) (cid:18) 2 π

∞ (cid:90)

Chứng minh. Từ các giả thiết về các hàm trọng ρi, i = 1, 2, 3, ta tính được đa chập

0 +ρ3(x − u − v) − ρ3(x − u + v)] dvdu|

(ρ1, ρ2, ρ3)](x)| = | ρ1(u). [ρ3(x + u − v) − ρ3(x + u + v)+ |[∗ 1 1 2π

∞ (cid:90)

   

≤ |ρ1(u)|du |ρ3(v)|dv     2 π

0 

∞ (cid:90)

  

−∞

≤ |ρ1(u)|du |ρ3(v)|dv     2 π

= (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)L1(R). 2 π

Khi đó vế trái của biểu thức (4.22) trở thành:

p −1(cid:107)Lp(R) =

1 p

(ρ1, ρ2, ρ3)] (F1ρ1, F2, F3ρ3)].[∗ 1

∞ (cid:90)

1−p

 (cid:107)[∗ 1 

−∞

. dx =   (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2, F3ρ3)](x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:12) (cid:12) (ρ1, ρ2, ρ3)](x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗

−112−

1 p

∞ (cid:90)

−∞

1 p

  (cid:19)1−p . dx ≤ (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)L1(R)   (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2ρ2, F3)](x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:18) 2 π

p −1

∞ (cid:90)

−∞

p −1

  (cid:19) 1 .dx . = (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)L1(R)   (cid:12) (cid:12) (F1ρ1, F2, F3ρ3)](x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)[∗ (cid:18) 2 π

(cid:19) 1 = (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)L1(R) (F1ρ1, F2, F3ρ3)](cid:107)Lp(R). .(cid:107)[∗ 1 (cid:18) 2 π

p −1

Thay kết quả này vào biểu thức (4.22), ta nhận được:

(cid:19) 1

(cid:107)ρ1(cid:107)L1(R+).(cid:107)ρ3(cid:107)L1(R) (F1ρ1, F2, F3ρ3)](cid:107)Lp(R) .(cid:107)[∗ 1 (cid:18) 2 π

≤ (cid:107)F1(cid:107)Lp(R+,ρ1)(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+)(cid:107)F3(cid:107)Lp(R,ρ3). 2 π

(cid:50) Từ đó suy ra bất đẳng thức (4.29).

Đối với đa chập H-Fc, ta cũng nhận được kết luận tương tự như đối với

đa chập H-Fc-Fs.

Định lý 4.4.2 (Bất đẳng thức kiểu Saitoh cho đa chập H-Fc) Giả sử rằng ρi, i = 1, 2, 3 là các hàm không triệt tiêu. Khi đó, với mọi hàm F1 ∈ Lp(R, |ρ1|), F2 ∈ Lp(R+, |ρ2|) và F3 ∈ Lp(R, |ρ3|) (p > 1), ta có bất đẳng thức sau đây cho đa chập Hartley-Fourier cosine.

p −1(cid:107)Lp(R)

(ρ1, ρ2, ρ3)] (F1ρ1, F2ρ2, F3ρ3)].[∗ 2 (cid:107)[∗ 2

≤ (4.30) .(cid:107)F1(cid:107)Lp(R,|ρ1|).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,|ρ2|).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R,|ρ3|). 2 π

Hai hệ quả tương ứng cho đa chập Hartley-Fourier cosine như sau.

Hệ quả 4.4.3 Giả sử ρ1 ∈ L1(R), ρ2 ∈ L1(R+) là các hàm dương, và ρ3 = 1, khi đó công thức (4.30) trở thành

(F1ρ1, F2ρ2, F3)](cid:107)Lp(R) (cid:107)[∗ 2

1− 1 p L1(R).(cid:107)ρ2(cid:107)

1− 1 p L1(R+).(cid:107)F1(cid:107)Lp(R,ρ1).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R+,ρ2).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R).

(4.31) ≤ .(cid:107)ρ1(cid:107) 2 π2− 1

−113−

Hệ quả 4.4.4 Giả sử các hàm dương ρ1, ρ3 ∈ L1(R) và ρ2 = 1 khi đó bất đẳng thức (4.30) trở thành

(F1ρ1, F2, F3ρ3)](cid:107)Lp(R) (cid:107)[∗ 2

1− 1 p L1(R).(cid:107)ρ3(cid:107)

1− 1 p L1(R).(cid:107)F1(cid:107)Lp(R,ρ1).(cid:107)F2(cid:107)Lp(R).(cid:107)F3(cid:107)Lp(R,ρ3). (4.32)

(cid:19)2− 1 ≤ .(cid:107)ρ1(cid:107) (cid:18) 2 π

Dưới đây chúng tôi trình bày hai ví dụ minh họa cho hai Hệ quả 4.4.3 và

4.4.4 đối với đa chập Hartley-Fourier cosine.

∞ (cid:90)

−∞

Ví dụ 4.4.1 Chọn ρ1 = e−|x|, ρ2 = e−2|x|, ρ3 = 1, khi đó: ∞ (cid:90) |e−|u||du = 2, e−2vdv = . (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R) = (cid:107)ρ2(cid:107)L1(R+) = 1 2

∞ (cid:90)

(ρ1, ρ2, ρ3)(x) được tính: Còn đa chập ∗ 2

−∞ 

e−|u|e−2|v|dvdu (ρ1, ρ2, ρ3)](x) = [∗ 2 1 π

0 ∞ (cid:90)

∞ (cid:90)

  

−∞

e−|u|du e−2|v|dv · 2 · = . =     = 1 π 1 π 1 2 1 π

Nếu ta chọn p = 2, thì biểu thức (4.31) được viết ở dạng

(F1e−|u|, F2e−2|v|, F3)](cid:107)L2(R) ≤ (cid:107)[∗ 2 2 π 3 (cid:107)F1(cid:107)L2(R,e−|x|).(cid:107)F2(cid:107)L2(R+,e−2|x|).(cid:107)F3(cid:107)L2(R). (4.33)

∞ (cid:90)

Ví dụ 4.4.2 Bằng cách chọn ρ1 = e−x2, ρ2 = 1, ρ3 = e−|x|. Khi đó, chuẩn của chúng trong các không gian hàm tương ứng là:

−∞

√ |du = |e−u2 π, e−|v|dv = 2. (cid:107)ρ1(cid:107)L1(R) = (cid:107)ρ3(cid:107)L1(R) =

Nếu p = 2, thì biểu thức (4.32) trở thành

(F1e−u2 , F2, F3e−|t|)](cid:107)L2(R) ≤ (cid:107)F1(cid:107)L2(R,e−x2).(cid:107)F2(cid:107)L2(R+).(cid:107)F3(cid:107)L2(R,e−|x|). (cid:107)[∗ 2 2 π 3 (4.34)

−114−

Nếu p = 3 thì biểu thức (4.32) trở thành

(F1e−u2 , F2, F3e−|t|)](cid:107)L3(R) ≤ (cid:107)F1(cid:107)L3(R,e−x2).(cid:107)F2(cid:107)L3(R+).(cid:107)F3(cid:107)L3(R,e−|x|). (cid:107)[∗ 2 2 π 5 (4.35)

4.5 Ứng dụng

Một trong những ứng dụng của các bất đẳng thức đa chập là đánh giá nghiệm của của các bài toán mà nghiệm đó có biểu diễn dưới dạng đa chập. Trong một số lĩnh vực kỹ thuật, việc đánh giá này còn được hiểu như đánh giá thông tin đầu ra khi biết thông tin đầu vào. Ta dẫn ra hai ứng dụng của bất đẳng thức (4.2) và (4.31) đối với đa chập Hartley-Fourier cosine, (f, g, h)(x), trong việc giải một lớp phương trình tích phân Fredholm loại ∗ 2 hai và phương trình vi phân có dạng đa chập.

4.5.1 Phương trình tích phân

∞ (cid:90)

Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng

−∞

f (x) + (4.36) f (u)ϕ(v)θψ(x, u, v)dvdu = g(x), x ∈ R, 1 4π

trong đó

θψ(x, u, v) :=ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v) + ψ(−x + u − v)+ + ψ(x − u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+

+ ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v),

∞ (cid:90)

còn vế phải g(x) có dạng

p(t)[q(x − t) + q(x + t)]dt, g(x) := 1 √ 2π

ở đây f (x) là hàm phải tìm, còn lại ψ, q ∈ L1(R), ϕ, p ∈ L1(R+) là các hàm đã biết.

−115−

(., ., .) và định nghĩa Dựa vào định nghĩa đa chập Hartley-Fourier cosine ∗ 2

.), ta thấy phương trình tích tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (. ∗ HFc

phân (4.36) ở trên có thể viết lại dưới dạng:

q)(x), x ∈ R. (4.37) f (x) + [∗ 2 (f, ϕ, ψ)](x) = (p ∗ HFc

Định lý 4.5.1 Điều kiện 1 + (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y) (cid:54)= 0 là điều kiện đủ để phương trình (4.36) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R), và nghiệm có dạng

(q, p, l)](x), (4.38) q)(x) − [∗ 2 f (x) = (p ∗ HFc

trong đó l(x) là hàm được xác định theo công thức Wiener-Levy cho biến đổi Hartley thỏa mãn

. (H2l)(y) = (Fcϕ)(y)(H2ψ)(y) 1 + (Fcϕ)(y)(H2ψ)(y)

Từ đó ta có công thức ước lượng nghiệm

(cid:19) (cid:18) . (4.39) 1 + (cid:107)l(cid:107)L1(R) (cid:107)f (cid:107)L1(R) ≤ (cid:107)p(cid:107)L1(R+)(cid:107)q(cid:107)L1(R) 2 π

Chứng minh. Phương trình (4.36) và (4.37) là tương đương. Tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình đã cho (4.37), sau đó sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập Hartley-Fourier cosine (p ∗ q), công HFc (f, ϕ, ψ), công thức thức (1.28), và đẳng thức nhân tử hóa cho đa chập ∗ 2

(2.29), ta nhận được

⇒ (H1f )(y) + (H1f )(y)(Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y) = (Fcp)(|y|)(H1q)(y) (H1f )(y) [1 + (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y)] = (Fcp)(|y|)(H1q)(y).

ψ)(y) (cid:54)= 0, nên ta có: Vì 1 + (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y) = 1 + H2(ϕ ∗ HFc

(H1f )(y) = (Fcp)(|y|)(H1q)(y) 1 + (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y) (cid:21) (cid:20) 1 − = (Fcp)(|y|)(H1q)(y) (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y) 1 + (Fcϕ)(|y|)(H2ψ)(y)

−116−

  ψ)(y) H2(ϕ ∗ HFc = (Fcp)(|y|)(H1q)(y)  1 −   . )(y) 1 + H2(ϕ ψ HFc

Vì có giả thiết các hàm ϕ, ψ thuộc không gian L1 nên suy ra (ϕ ∗ ψ)(x) ∈ HFc L1(R). Bây giờ, dùng định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley (Định lý 1.4.1), thì điều kiện 1 + H2(ϕ ∗ ψ)(y) (cid:54)= 0 là điều kiện cần và đủ để tồn tại HFc một hàm l(x) trong không gian L1(R) sao cho

ψ)(y)

. (H2l)(y) = ψ)(y) H2(ϕ ∗ HFc 1 + H2(ϕ ∗ HFc

Vì thế, ta có:

(H1f )(y) = (Fcp)(|y|)(H1q)(y)[1 − (H2l)(y)]

(q, p, l)](y) q)(y) − H1[∗ 2 = (Fcp)(|y|)(H1q)(y) − (H1q)(y)(Fcp)(|y|)(H2l)(y) = H1(p ∗ HFc (cid:26) (cid:27) (q, p, l)](x) (y), ∀y ∈ R. = H1 q)(x) − [∗ 2 (p ∗ HFc

Do biểu thức trên đúng với mọi y ∈ R, nên từ đó suy ra

(q, p, l)](x), ∀x ∈ R. f (x) = (p ∗ HFc

q)(x) − [∗ 2 Dùng bất đẳng thức đánh giá chuẩn trong không gian L1(R), công thức (4.2), ta có:

(q, p, l)(cid:107)L1(R) (cid:107)f (cid:107)L1(R) ≤ (cid:107)(p ∗ HFc

q)(cid:107)L1(R) + (cid:107) ∗ 2 2 π ≤ (cid:107)p(cid:107)L1(R+)(cid:107)q(cid:107)L1(R) + (cid:18) (cid:107)q(cid:107)L1(R)(cid:107)p(cid:107)L1(R+)(cid:107)l(cid:107)L1(R) (cid:19) 1 + . ≤ (cid:107)p(cid:107)L1(R+)(cid:107)q(cid:107)L1(R) (cid:107)l(cid:107)L1(R) 2 π

(cid:50) Đó là điều phải chứng minh.

4.5.2 Phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân cấp cao có dạng

a0f (x) + a1f (cid:48)(x) + ... + anf (n)(x) = g(x), ak ∈ R, k = 0, 1, ..., n.

−117−

Ta đã biết, với trường hợp phương trình vi phân cấp một, cấp hai, thì cũng tùy từng trường hợp cụ thể để tìm ra lời giải tương ứng. Trong mục này, chúng tôi xét lớp các phương trình vi phân bậc chẵn, có dạng sau đây:

k=0

(cid:32) n (cid:33) (cid:88) (4.40) (−1)kak (hρ2)](x), f (x) = [(gρ1) ∗ HFc d2k dx2k

trong đó g, h, ρ1, ρ2 là các hàm cho trước sao cho g ∈ L1(R, ρ1)∩Lp(R, ρ1), h ∈ L1(R, ρ2) ∩ Lp(R, ρ2), p > 1 và ρ1, ρ2 ∈ L1(R+), còn f là hàm cần tìm. Đồng thời các hệ số ak ∈ R+ (k = 1, n) sao cho tồn tại một hàm Q ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) được xác định bởi

1 , y > 0. (4.41) (H2Q)(y) =

n (cid:80) k=0

aky2k

Ta cần tìm nghiệm của phương trình (4.40) với các điều kiện biên

k=0

n (cid:88)

(cid:34)(cid:32) n (cid:33) (cid:35) (cid:88) f (x) (−1)kak H1 (hρ2)](y), (y) = H1[(gρ1) ∗ HFc dk dxk f (x) → 0 khi x → ∞, k = 0, 1, ..., 2n − 1. Để giải bài toán này với các giả thiết đã cho, ta tác động biến đổi Hartley H1 vào hai vế của phương trình (4.40), sau đó sử dụng tính chất của biến đổi Hartley tác động vào đạo hàm, công thức (1.14), ta có d2k dx2k

k=0

aky2k(H1f )(y) = (Fcgρ1)(y)(H1hρ2)(y).

Từ (4.41), ta có

(Fcgρ1)(y)(H1hρ2)(y) (H1f )(y) =

n (cid:80) k=0

aky2k

= (Fcgρ1)(y)(H1hρ2)(y)(H2Q)(y) (hρ2, gρ1, Q)](y). = H1[∗ 2

Do biểu thức này đúng với mọi y ∈ R, nên ta nhận được nghiệm f ∈ L1(R) có dạng như sau

(hρ2, gρ1, Q)](x), x ∈ R. f (x) = [∗ 2

−118−

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức (4.31), ta đánh giá được chuẩn cho nghiệm vừa tìm được trong không gian Lp, p > 1.

(hρ2, gρ1, Q)](cid:107)Lp(R)

1− 1 p L1(R).(cid:107)ρ2(cid:107)

1− 1 p L1(R+)(cid:107)h(cid:107)Lp(R,ρ1).(cid:107)g(cid:107)Lp(R+,ρ2).(cid:107)Q(cid:107)Lp(R).

≤ .(cid:107)ρ1(cid:107) (cid:107)f (cid:107)Lp(R) = (cid:107)[∗ 2 2 π2− 1

Kết luận chương 4

Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu bất đẳng thức về chuẩn cho (f, g, h) trên không gian L1, không gian Ls (s > 1). Phần đa chập ∗ 1 (f, g, h), ∗ 2

chính của chương trình bày về bất đẳng thức kiểu Young và bất đẳng thức kiểu Saitoh cho các đa chập. Việc mở rộng bất đẳng thức này cho đa chập là hướng nghiên cứu còn rất mới. Thật thú vị khi chúng tôi thấy được rằng hai đa chập mới xây dựng ở chương I vẫn có được các bất đẳng thức tương tự như những kết quả kinh điển đã được nghiên cứu cho tích chập Fourier. Việc tìm ra các bất đẳng thức này có ý nghĩa làm hoàn thiện, phong phú hơn về hướng nghiên cứu bất đẳng thức cho đa chập. Phần ứng dụng đã xét phần tìm nghiệm và đánh giá nghiệm cho một lớp phương trình tích phân và một lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn. Các kết quả chính của chương này được trình bày trong bài báo [5], mục Danh mục công trình đã công bố của Luận án.

−119−

KẾT LUẬN

Chúng tôi nghiên cứu các đa chập liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với đa chập và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Các kết quả chính của luận án là:

(., ., .) liên quan đến • Xây dựng các đa chập mới là đa chập ∗ 1 (., ., .), ∗ 2

các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa trong không gian L1(R), các đẳng thức Parseval trong không gian L2(R) cho mỗi đa chập. Ứng dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình và hệ phương trình dạng Toeplitz-Hankel. Từ đa chập (., ., .), ứng dụng vào (., ., .), thay đổi nhân và nhận được đa chập ∗ ∗ 2 3 việc giải một lớp phương trình đạo hàm riêng.

• Xây dựng toán tử Tp1,p2 là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley- Fourier cosine-Fourier sine; toán tử Tq1,q2 là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine. Tìm điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi đó là unita trong không gian L2(R), thiết lập công thức phép biến đổi ngược. Chứng minh định lí kiểu Plancherel về việc xây dựng dãy hàm xấp xỉ và xét tính bị chặn của toán tử T . Ứng dụng vào việc giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân.

• Chứng minh các bất đẳng thức đối với hai đa chập đã xây dựng. Đó là bất đẳng thức trong không gian L1, không gian Lα,β,γ , bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh. Đây là những bất đẳng thức đã đúng cho một số tích chập, nhưng không phải nó luôn đúng cho mọi tích chập và đa chập. Việc xây dựng các đa chập mới hiện nay vẫn còn hạn chế, do đó việc nghiên cứu các bất đẳng thức liên quan đến đa chập lại càng hạn chế hơn. Luận án đã đưa ra ứng dụng của bất đẳng thức vào việc đánh giá nghiệm của một lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai và một lớp phương trình vi phân thường bậc chẵn.

120

Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo

Tiếp theo các kết quả của luận án tác giả nhận thấy có một số vấn đề có

thể nghiên cứu tiếp là

• Xây dựng các đa chập mới đối với các phép biến đổi tích phân khác.

Số lượng các hàm có thể nhiều hơn 3.

• Tiếp tục nghiên cứu các bất đẳng thức đối với các đa chập, như các bất đẳng thức kiểu Young ngược, bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược,... Hiện nay chưa có công trình nào nghiên cứu về các bất đẳng thức ngược đối với đa chập. Nghiên cứu xem khi nào thì hệ số đánh giá trong các bất đẳng thức là tối ưu nhất, hay khả năng đạt được dấu bằng trong các bất đẳng thức đã chỉ ra.

• Nghiên cứu các ứng dụng của đa chập vào việc giải các bài toán có tính

lý thuyết, cũng như thực tế.

• Xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu đa chập bằng cách cho một hàm thay đổi, hai hàm còn lại cố định hoặc cho hai hàm thay đổi, một hàm cố định. Dù là hướng nào thì cũng có thêm nhiều sự lựa chọn đâu là hàm thay đổi, đâu là hàm cố định. Khi đó về mặt lý thuyết cũng như thực hành đã có sự khác nhau.

• Xây dựng và nghiên cứu đa chập rời rạc Hartley-Fourier.

−121−

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] B.T. Giang, N.V. Mau and N.M. Tuan (2009) Operational properties of two itegral transforms of Fourier type and their convolutions. Integral Equations and Operator Theory 65, pp. 363-386.

[2] E.C. Titchmarch (1986) Introduction to the Theory of Fourier integrals.

Third Edition, Chelsea Publ. Comp., NewYork.

[3] E.M. Stein and G. Weiss (1971) Introduction to Fourier Analysis on

Euclidean Space. Princeton Univ. Press.

[4] F. Al-Musallam and V.K. Tuan (2000) Integral transforms related to a generalized convolution. Results in Mathematics 38(3-4), pp. 197-208.

[5] F. Al-Musallam and V.K. Tuan (2000) A class of convolution transfor- mations. Frational Calculus and Applied Analysis 3(3), pp. 303-314.

[6] H. Bateman and A. Erdelyi (1954) Tables of integral transforms. New

York-Toronto-London, McGRaw-Hill Book company, Inc, Vol. 1.

[7] I.N. Sneddon (1972) Fourier Transforms. McGraw - Hill, New York.

[8] I.N. Sneddon (1972) The Use of Integral Transforms. McGraw-Hill.

[9] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik (2007) Table of Integrals. Series and Products 7th edn, ed A Jeffrey and D Zwillinger (New York: Academic).

[10] J.D. Villasenor (1994) Optical Hartley transform, Proc. IEEE 82, No. 3,

pp. 391-399.

[11] J.M.II. Robert, I.A. Gravagne, J.M. Davis (2008) A generalized Fourier transform and convolution on time scales. Math. Anal. Appl. Vol. 340, pp. 901-919.

[12] J.N. Tsitsiklis and B.C. Levy (1981) Integral equations and resovents of Toeplitz plus Hankel. Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology, Series/Report No.: LIDS-P 1170.

122

[13] K. Chadan and P.C. Sabatier (1989) Inverse Proplems in Quantum Scat-

tering Theory. Springer Verlag.

[14] K.J. Olejniczak (2000) The Hartley transform. The Transforms and Ap- plications Handbook (Poularikas A.D., ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp. 341–401.

[15] L.E. Britvina (2002) Polyconvolutions for the Hankel transform and dif-

ferential operators. Doklady Mathematics 65, No. 1, pp. 32-34.

[16] L.E. Britvina (2004) On polyconvolutions generated by Hankel trans-

forms. Mathematical Notes 76, No. 1, pp. 18-24.

[17] L.E. Britvina (2005) A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution. Integral Transforms and Special Functions, 16(5-6), pp. 379-389.

[18] L.X. Huy and N.X Thao (2014) On the Laplace generalized convolution transforms. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp., No. 43, pp. 303 – 316.

[19] M. Bohner and G.S. Guseinov (2007) The convolution on time scales.

Abs. Appl. Anal. Article ID 58373, 24 pages.

[20] N.T. Hong (2010) Fourier cosine convolution inequalities and applica- tions. Integral Transforms and Special Functions, Vol. 21(10), pp. 755- 763.

[21] N. Wiener (1963) The Fourier integral and certain of its applications.

Dover publications, Inc. New York.

[22] N.X. Thao (1999) On the polyconvolution for integral transforms. Vest-

nic. NovGU. Ser. Estestv.i Tehn. Nauki, 10, pp.104-110 (in Russian).

[23] N.X. Thao (2001) On the generalized convolutions for the Stieltjes, Hilbert and Fourier sine, cosine transforms. Ukr. Math. Jour. , Vol. 53, No. 4, pp. 560 - 567 (in Russian).

[24] N.X. Thao and H.T. Van Anh (2014) On the Hartley-Fourier sine gen- eralized convolution. Mathematical Method in the Applied Sciences, No. 37, pp. 2308 – 2319.

−123−

[25] N.X. Thao and N.A. Virchenko (2010) On the Polyconvolution for the Fourier Cosine, Fourier Sine, and the Kontorovich-Lebedev Integral Transforms. Ukr. Math. Jour. Vol. 62, N. 10, 1388-1399.

[26] N.X. Thao and N.D. Hau (2008) On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms. Acta Mathematica Vietnamica Vol. 33(2), pp. 107-122.

[27] N.X. Thao and N.M. Khoa (2005) On the convolution with weight- function for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms. Vietnam Jour. Math. 33, pp. 421-436.

[28] N.X. Thao and T. Tuan (2005) On the generalized convolutions of the integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms. Anna. Univ. Sci. Bud., Sect. Comp. Vol. 25, pp.37-51.

[29] N.X. Thao, T. Tuan and L.X. Huy (2013) The Fourier – Laplace Gen- eralized Convolutions and Applications to Integral Equations. Vietnam Jour. Math., Vol. 41, No. 4, pp. 451-464.

[30] N.X. Thao, V.K. Tuan and H.T. Van Anh (2014) On the Toeplitz plus Hankel integral equation II. Integral Transforms and Special Functions., Vol. 25, No. 1, pp. 75 – 84.

[31] N.X. Thao, V.K. Tuan, N.M. Khoa (2004) On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms. Frac. Cal. and Appl. Anal., Vol.7(3), pp.323-337.

[32] N.X. Thao, V.K. Tuan and N.T. Hong (2007) Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type. Int. Jour. Math. Sci. Art., ID97250, 11pp.

[33] N.X. Thao, V.K. Tuan and N.T. Hong (2008) Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations. Frac. Cal. and Appl. Anal., Vol. 11, No. 2, pp. 153-174.

[34] N.X. Thao, V.K. Tuan and N.T. Hong (2011) Toeplitz plus Hankel in- tegral equation. Integral Transforms and Special Functions, Vol. 22, No. 10, pp. 723-737.

−124−

[35] N.X. Thao, V.K. Tuan and N.T. Hong (2012) A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations. Frac. Cal. App., Vol. 15, No. 3, pp. 493-508.

[36] P.K. Anh, N.M. Tuan, and P.D. Tuan (2013) The Finite Hartley new convolution and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels. Jour. Math. Anal. and App., 397, pp. 537-549.

[37] R.A. Adams and J.J.F. Fourier (2003) Sobolev Spaces. 2nd ed, Academic

Press, 300p.

[38] R.E.A.C. Paley and N. Wiener (1934) Fourier transforms in the complex

domain. American Mathematical Society 19.

[39] R.N. Bracewell (1986) The Fourier transform and its applications.

McGraw-Hill.

[40] R.N. Bracewell (1986) The Hartley transform. New York: Oxford Uni-

versity Press, Clarendon Press.

[41] R.N. Bracewell (1994) Aspects of Hartley transform. Proc. IEEE 82, No.

3, 381-387.

[42] R.P. Milance (1994) Analytic properties of the Hartley transform. Proc.

IEEE 82, No. 3, 413-428.

[43] R.V.L. Harley (1942) A more symmetrical Fourier analysis applied to

transmission problems. Proc. I. R. E 30, No. 30, 144-150.

[44] S.B. Yakubovich (1990) On the construction method for construction of

integral convolution. DAN BSSSR, 34 (7), pp. 588-591.

[45] S.B. Yakubovich and A.I. Mosinski (1993) Integral equation and convo- lutions for transform of Kontorovich-Lebedev type. Diff. Uravnenia, 29 (7), pp. 1272-1284 (in Russian).

[46] S.B. Yakubovich and Y. Luchko (1994) The hypergeometric approach to integral transforms and convolutions. Ser. Math. and its App., Klumer Acad. Publ. Dordrecht etc., Vol. 287.

[47] S. Bochner and K. Chandrasekharan (1949) Fourier Transforms. Prince-

ton Univ. Press.

−125−

[48] S. Saitoh (2000) Weighted Lp-norm inequalities in convolutions. Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherland, pp. 225–234.

[49] S. Saitoh, V.K. Tuan and M. Yamamoto (2000) Reverse weighted Lp- norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems. Jour. of Ineq. in Pure & App. Math., Vol. 1 (1), pp. 1-7.

[50] S. Saitoh, V.K. Tuan and M. Yamamoto (2002) Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems. Jour. of Ineq. in Pure & App. Math., Vol. 3 (5), pp. 1-11.

[51] S. Saitoh, V.K. Tuan and M. Yamamoto (2003) Convolution inequalities and applications. Jour. of Ineq. in Pure & App. Math., Vol. 4 (3), pp. 1-8.

[52] T. Kailath (1966) Some integral equations with nonrational kernels.

IEEE Transactions on Information Theory 12 (4), pp. 442-447.

[53] T. Tuan and N.X. Thao (2011) A new polyconvolution and its application to solving a class of Toeplitz plus Hankel integral equations and systems of integral equations. Vietnam Jour. Math. Vol. 39 (2), pp. 217-235.

[54] V.A. Kakichev (1967) On the convolution for integral transforms. Izv.

Vyssh. Uchebn. Zaved. Math. (2), pp. 48-57 (in Russian).

[55] V.A. Kakichev (1997) Polyconvolution. Taganrog, Taganskii Radio-

Technicheskii University, 54p (in Russian).

[56] V.A. Kakichev and N.X. Thao (1998) On a method for the construction of generalized integral convolutions. Izv. Vyssh. Uchebn. Zeved. Math. 1, pp. 85-90.

[57] V.A. Kakichev, N.X. Thao and V.K. Tuan (1998) On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms. East- West Jour. of Math. Vol. 1 (1), pp. 85-90.

[58] V.A. Kakichev and N.X. Thao (2000) On the generalized convolution for H-transforms. Izv. Vuzov. Math., No. 10, pp. 79 - 84 (in Russian).

−126−

[59] W.H. Young (1912) On the multiplication of successions of Fourier constants. Proceedings of the Royal Society A 87 (596), pp. 331–339, doi:10.1098/rspa.1912.0086, JSTOR 93120, Zbl 44.0298.02.

[60] Y.Ya. Vilenkin (1958) Matrix elements of midecomsale unitary repre- sentations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms. Dokl. Akad. Nauk. USSR, Vol. 118(2), pp. 219- 222 (In Russian).

−127−

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

1. N.X. Thao, N.M. Khoa and P.T. Van Anh (2013) On the polyconvolu- tion for Hartley, Fourier cosine and Fourier sine transforms. Integral Transforms and Special Functions, Vol. 24, No. 7, pp. 517-531

2. N.X. Thao, N.M. Khoa and P.T. Van Anh (2014) Polyconvolution and the Toeplitz plus Hankel integral equation. Electronic Journal of Differ- ential Equations, Vol. 2014, No. 110, pp. 1-14

3. Nguyen Xuan Thao, Phi Thi Van Anh and Nguyen Minh Khoa (2014) Integral transforms of Hartley, Fourier cosine and Fourier sine polycon- volution type. Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol.12, N.2, pp. 93- 104

4. Thi Van Anh, Phi and Xuan Thao, Nguyen (2015) Integral transforms of Hartley–Fourier cosine polyconvolution type. Applicable Analysis, Vol. 94, No. 9, pp. 1749-1765

5. Phi Thi Van Anh and Nguyen Xuan Thao (2016) Inequalities for the Hartley–Fourier cosine polyconvolution. Mathematical Inequalities and Applications, (MIA-5000, accepted)

128