Luận án tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:126

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không lãi suất và có lãi suất. Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết; xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- NGUYỄN QUANG CHUNG NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH TRONG TÁI BẢO HIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- NGUYỄN QUANG CHUNG NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH TRONG TÁI BẢO HIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lí thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã ngành: 62460106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. BÙI KHỞI ĐÀM 2. PGS. TS. TỐNG ĐÌNH QUỲ Hà Nội - 2018
MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro . 11 1.1.1 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Martingale với tham số rời rạc . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Một số mô hình rủi ro cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Tái bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Tái bảo hiểm stop\excess of loss . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ HÌNH RỦI RO VỚI TÁI BẢO HIỂM 32 2.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . . . . 46 2.3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 51 i
2.4 Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 3. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE 59 3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . 60 3.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β) . . . 67 3.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . 70 3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share . . . . . . . . 78 3.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss . . . . . . . 86 3.3 Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 4. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI 100 4.1 Trường hợp không có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2 Trường hợp có lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 122 ii
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Bùi Khởi Đàm và PGS. TS. Tống Đình Quỳ. Tất cả các kết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào. Hà Nội, ................. Xác nhận của tập thể hướng dẫn Tác giả luận án Nguyễn Quang Chung 1
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. PSG. TS. Bùi Khởi Đàm 2. PSG. TS. Tống Đình Qùy Đặc biệt PGS. TS. Bùi Khởi Đàm, người đã giao đề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô. Tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Sư phạm- Kỹ thuật Hưng Yên đã tạo điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường nghiên cứu toán học mà mình đã chọn. Hà Nội, ................. NCS. Nguyễn Quang Chung 2
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập các số tự nhiên, N = {0, 1, 2, ...} R Tập các số thực 1A Hàm chỉ tiêu của tập hợp A x∧y min{x, y}với x, y ∈ R x∨y max{x, y}với x, y ∈ R (Ω, F, P) Ω không gian mẫu, F là σ − đại số các tập con của Ω, P độ đo xác suất trên(Ω, F) Z+ max{Z, 0} với Z là biến ngẫu nhiên Z− min{Z, 0} với Z là biến nhẫu nhiên MZ (r) Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên Z α Tỷ lệ chia sẻ phần thu phí bảo hiểm M Mức duy trì ψn (u0 ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi chưa có tái bảo hiểm ψ(u0 ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn khi chưa có tái bảo hiểm ψn(1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share ψ (1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share ψn(2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share 3
ψ (2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share ψbn(1) (u0 , α, β) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β) ψbn(2) (v0 , α, β) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β) φ(1) n (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss φ(1) (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) n (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss ψen(1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất ψe(1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất ψen(2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất ψe(2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất φe(1) n (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất φe(1) (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất 4
φe(2) n (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất φe(2) (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất ψn (u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share ψ(u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share ψn (u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss ψ(u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss ψn (u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất ψ(u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suất ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất ψ(u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suất 5
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Một trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm là luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). Sau đó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày nay chúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển. Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảo hiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Một số tác giả S. Ross [32], H. Yang [46], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1], B. K. Dam và N. T. T. Hong [17] và N. T. T Hong [21] đã xét các mô hình rủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên. Sau đó một số tác giả B. Sundt và J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46], J. Cai ([7], [8]), J. Cai và D. C. M. Dickson [9], X. Wei và Y. Hu [43], B. K. Dam và P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] và P. D. Quang ([30], [31]) đã đề cập tới mô hình có lãi suất. Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trên đã ước lượng hoặc đưa ra biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm. Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũng có thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. Một trong những chiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm là hình thức tái bảo hiểm. Có thể coi K. Borch [5] là một trong những người đầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phương án tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương sai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. Nghiên cứu này mở ra các hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. Kahn [24], S. Vajda [41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai và K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan, 6
C. Weng và Y. Zhang [11], R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene và M. Denuit [23], K. S. Tan, C. Weng và Y. Zhang [40]. Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được chi trả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có thể xảy ra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. Tuy nhiên, hầu hết các công trình nghiên cứu trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án, các nghiên cứu đều được xem xét từ quan điểm một phía (công ty bảo hiểm hoặc công ty tái bảo hiểm). Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả hai công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V. K. Kaishev và D. S. Dimitrova [25], Z. Li [27] và S. Salcedo-Sanz, L. Carro-Calvo, M. Claramunt, A. Casta˜ ner và M. Mármol [34]. Các nghiên cứu về tái bảo hiểm sẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong các công trình nghiên cứu hiện nay. Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không lãi suất và có lãi suất. Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm); xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm. 7
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án: Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss. Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bài toán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất. Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Với phương pháp này các bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểm dừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứng minh. Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. 4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án • Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứng dụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm. • Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cực tiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm) (Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2); • Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết, xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.3.1 và Định lý 2.3.3); • Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì (Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 và Bổ đề 3.2.7); 8
• Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệt của từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truy hồi (Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.10, Định lý 3.1.14, Định lý 3.2.3, Định lý 3.2.8, Định lý 4.1.2 và Định lý 4.2.2); • Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α để cả hai xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơn một ngưỡng bé tùy ý cho trước (Hệ quả 3.1.4, Định lý 3.1.15, Hệ quả 3.2.5, Hệ quả 4.1.3 và Hệ quả 4.2.3). 5. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: • Chương 1 trình bày khái niệm về kỳ vọng có điều kiện, quá trình Markov, quá trình martingale; nhắc lại hai mô hình rủi ro rời rạc sẽ được nghiên cứu trong luận án; giới thiệu hai loại tái bảo hiểm quan trọng, tái bảo hiểm quota share và stop\excess of loss; cuối cùng một số các thuật ngữ và ký hiệu dùng trong luận án. • Chương 2 xác định lời giải tối ưu và công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share. • Chương 3 nghiên cứu ảnh hưởng của tái bảo hiểm lên chặn trên của các xác suất thiệt hại bởi phương pháp martingale. Trước tiên mô hình rủi ro không có lãi suất sẽ được trình bày trong Phần 3.1. Phần 3.2 được dành để giới thiệu các nghiên cứu cho trường trường hợp có lãi suất. Trong mỗi phần đều thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như các hàm của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì, thể hiện trong các Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 và Bổ đề 3.2.7. Tiếp theo, ước lượng trên cho các xác suất thiệt hại. Các Hệ quả 3.1.4 và Hệ quả 3.2.5 như là một phương pháp để dung hòa chặn trên cho xác suất 9
thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. • Chương 4 của luận án trình bày phương pháp truy hồi để thiết lập sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm quota share đối với chặn trên của xác suất thiệt hại. Chúng tôi cũng nghiên cứu mô hình rủi ro trong các trường hợp có lãi suất và không lãi suất tương ứng Phần 4.1 và Phần 4.2. Các chặn trên ở phần này không có dạng mũ như Phần 3 nhưng các chặn trên này bé hơn các chặn trên dạng mũ trong một số trường hợp. Dựa trên các chặn trên này, một phương pháp để dung hòa chặn trên cho các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được giới thiệu. Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1], [2], [4] đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước. Luận án đã được báo cáo tại: – Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặn trên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017. – Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017. 10
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này cung cấp các khái niệm và kiến thức quan trọng được sử dụng trong luận án. Các định lý chỉ phát biểu mà không chứng minh. Các khái niệm về tích phân Lebesgue, hàm khả tích được xem như các khái niệm quen thuộc. Tuy nhiên chi tiết của các chứng minh và các khái niệm đó được giới thiệu trong các tài liệu tham khảo của luận án. Đầu tiên tác giả giới thiệu một số quá trình ngẫu nhiên được sử dụng trong luận án. Ví dụ: quá trình Markov, quá trình martingale,... Một số mô hình rủi ro được nghiên cứu ở các chương tiếp theo sẽ được nhắc lại. Hai loại tái bảo hiểm quan trọng là quota share và stop\excess of loss được trình bày trong phần này. 1.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro Mở đầu mục này là khái niệm kỳ vọng có điều kiện, một công cụ quan trọng trong lý thuyết xác suất. Xét ξ và ζ là hai biến ngẫu nhiên xác định trong không gian xác suất (Ω, F, P). Định nghĩa 1.1.1. ([6]) Cho ξ là biến ngẫu nhiên khả tích và A một σ− trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với A là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(ξ | A) và thỏa mãn các điều kiện sau: - E(ξ | A) là A− đo được; - Với mỗi A ∈ A Z Z E(ξ | A)dP = ξdP. A A 11
Chú ý 1.1.2. Cho η là một biến ngẫu nhiên bất kỳ thì kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với η, ký hiệu E(ξ | η) được định nghĩa bởi E(ξ | η) = E(ξ | σ(η)) trong đó σ(η) là σ− trường sinh bởi η (σ− trường nhỏ nhất mà η đo được). Định nghĩa 1.1.3. Cho ξ là một biến ngẫu nhiên khả tích và một biến cố B ∈ F sao cho P(B) 6= 0. Kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với biến cố B được xác định bởi Z 1 E(ξ | B) = ξdP. P(B) B Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện. Các tính chất này được phát biểu trên σ− trường con A và H của F, các biến ngẫu nhiên ξ và ζ được giả thiết khả tích và a, b ∈ R. 1) E(aξ + bζ | A) = aE(ξ | A) + bE(ζ | A) (tính chất tuyến tính); 2) E(E(ξ | A)) = E(ξ); 3) E(ξζ | A) = ξE(ζ | A) nếu ξ là A− đo được; 4) E(ξ | A) = E(ξ) nếu ξ độc lập với A ( tức σ(ξ) và A độc lập); 5) E(E(ξ | A) | H) = E(E(ξ | H) | A) = E(ξ | H) nếu H ⊂ A; 6) Nếu ξ ≥ 0 thì E(ξ | A) ≥ 0. Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Jensen) ([16]) Cho ϕ : R → R là hàm lồi dưới và ξ là biến ngẫu nhiên khả tích sao cho ϕ(ξ) cũng khả tích. Khi đó ϕ(E(ξ | A)) ≤ E(ϕ(ξ) | A) với mỗi σ− trường con A của F. 12
1.1.1 Quá trình Markov a. Tính Markov ([4]) Cho không gian xác suất (Ω, F, P) và (E, B) là không gian đo được sao cho tất cả các tập gồm một điểm là đo được (tức là {e} ∈ B). Giả sử {ξt }t∈T với T ⊂ R+ với mỗi t ∈ T , ξt : Ω → E là ánh xạ đo được nếu ξt−1 (B) ∈ F, với mọi B ∈ B. Tập E được gọi là không gian trạng thái của {ξt }t∈T . Nói một cách trực giác, quá trình Markov là quá trình có tính Markov, tức là, khi biết hiện tại, thì tương lai và quá khứ của quá trình độc lập với nhau. Về phương diện xác suất, ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov. Cụ thể, nếu s là thời điểm hiện tại thì ξs = x là trạng thái hiện tại; {ξq }qs là tương lai. Khi đó, tính Markov có thể diễn đạt như sau: P (A1 A2 | ξs ) = P (A1 | ξs ) P (A2 | ξs ) , trong đó A1 là biến cố thuộc về tương lai, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường sinh bởi {ξt }t>s , A2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường sinh bởi {ξq }q
Đặt p (s, i, t, j) = P (ξt = j | ξs = i) , s < t và p(s, i, t, j) được gọi là xác suất chuyển trạng thái của xích Markov. Đặc biệt nếu xác suất chuyển trạng thái chỉ chỉ phụ thuộc vào (t − s), tức là, p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j), thì {ξt }t∈T sẽ là một xích Markov thuần nhất theo thời gian. b. Xích Markov rời rạc và thuần nhất ([4]) Cho {ξn }n≥0 là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Khi đó, xác suất chuyển trạng thái sau một bước: pij = P (ξn+1 = j | ξ0 = i0 , ..., ξn−1 = in−1 , ξn = i) = P (ξn+1 = j | ξn = i) và không phụ thuộc vào n. Đặt P = (pij ), P là ma trận xác suất chuyển sau 1 bước và ma trận này có các tính chất sau: X 0 < pij ≤ 1, ∀i, j ∈ E; pij = 1. j∈E Ma trận P xác định trên còn là ma trận ngẫu nhiên. Tương tự, xác suất chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức: (n) pij = P(ξn+m = j | ξm = i) = P(ξn = j | ξ0 = i) Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước chuyển (1) sang trạng thái j. Rõ ràng pij = pij . Ta quy ước  1 nếu i = j (0) pij = 0 nếu i 6= j (n) Đặt P (n) = (pij ) và P (n) là ma trận xác suất chuyển sau n bước. Ta có (n+m) X (n) (m) pij = pik pkj (1.1) k∈E 14
(1.1) được gọi là phương trình Chapman-Kolomogorov. Định nghĩa 1.1.6. Phân phối của hệ tại thời điểm n được cho bởi công thức sau: (n) pj = P(ξn = j); n = 0, 1, 2, ...; j ∈ E. (n) Đặt Π(n) = (pj , j ∈ E) và gọi Π = Π(0) là phân phối ban đầu của hệ. (n) Ta quy ước viết Π(n) = (pj , j ∈ E) là vectơ hàng. Rõ ràng Π(n) =ΠP (n) , Π(n+1) =Π(n) P, Π(n+1) =Π(1) P (n) , Π(n+m) =Π(n) P (m) . Như vậy, mô hình của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba (ξn , Π, P ), trong đó: • {ξn }n≥0 là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, • Π là phân phối ban đầu, • P là ma trận xác suất chuyển. Trong phần tiếp theo, ta sẽ trình bày một số khái niệm, kết quả cơ bản về quá trình Martingale, một công cụ quan trọng được sử dụng trong chứng minh một số kết quả của luận án. 1.1.2 Martingale với tham số rời rạc a. Khái niệm tương thích và dự báo được ([4]) Cho A là σ− trường con của F và ξ là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng ξ tương thích với A nếu ξ là A− đo được. Trong trường hợp đó ta viết ξ ∈ A. 15
Ký hiệu σ(ξ) = ξ −1 (B), trong đó B là σ− trường Borel của R. Rõ ràng, ξ ∈ A khi và chỉ khi σ(ξ) ⊂ A. Cho trước dãy ngẫu nhiên {ξn }n∈N . Ký hiệu σ {ξn }n∈N là σ− trường con bé nhất của F chứa tất cả các σ−trường σ(ξn ), n ∈ N. Ta gọi σ {ξn }n∈N là σ− trường sinh ra từ {ξn }n∈N . Đặt: ξ σ≤n = σ≤n = σ ({ξm })m≤n , m, n ∈ N, ξ σn , m, n ∈ N. Cho dãy σ− trường con {An }n∈N của F. Dãy này được gọi là không giảm, nếu Am ⊂ An , m ≤ n, ∀m, n ∈ N. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta luôn giả thiết dãy σ− trường con {An }n∈N của F là dãy không giảm. Định nghĩa 1.1.7. Với các ký hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên {ξn , An , n ∈ N} là dãy tương thích, nếu ξn ∈ An với mỗi n ∈ N. Ta nói rằng {ζn , An−1 , n ∈ N} là dãy dự báo được, nếu ζn ∈ An−1 với mỗi n ∈ N (A−1 = A0 ). Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích. Tất nhiên, ta luôn có {ξn , σ≤n , n ∈ N} là dãy tương thích. Người ta thường gọi σ≤n là σ− trường tự nhiên của dãy biến ngẫu nhiên {ξn }n∈N . Định nghĩa 1.1.8. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên. Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với {An }n∈N , nếu. {ω : τ (ω) = n} ∈ An , ∀n ∈ N. 16