Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:108

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án nhằm xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) khi toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t và thuộc không gian hàm chấp nhận được. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ------  ------ Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ------  ------ Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS. Vũ Thị Ngọc Hà 2. TS. Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2021
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong Luận án Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của tập thể TS. Vũ Thị Ngọc Hà và TS. Lê Huy Tiễn. Các kết quả trong Luận án hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào. Hà Nội, ngày 26 tháng 01 năm 2021 Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS. Vũ Thị Ngọc Hà TS. Lê Huy Tiễn Nguyễn Thị Loan 1
LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của tập thể TS. Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) và TS. Lê Huy Tiễn (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội). Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai giáo viên hướng dẫn của mình, những người đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Đặc biệt là TS. Vũ Thị Ngọc Hà, những sự động viên, khích lệ của cô đã giúp tôi vượt qua nhiều trở ngại để vững tâm học tập. Trong quá trình học tập, nghiên cứu tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và tham gia seminar ”Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” do PGS.TSKH.Nguyễn Thiệu Huy điều hành, tôi đã được Thầy chỉ bảo tận tình, Thầy luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và vô cùng kính trọng đến Thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và những thành viên trong nhóm seminar đã có những đóng góp, chia sẻ giúp tôi thuận lợi nghiên cứu. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, ban lãnh đạo cùng các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học, các thầy cô trong bộ môn Toán cơ bản Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện trong quá trình nghiên cứu của tôi. Tôi cũng xin bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Sau cùng, tôi xin dành lời cảm ơn cho gia đình, bạn bè, những người đã luôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống để tôi yên tâm học tập và hoàn thành luận án. 2
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN 1 LỜI CẢM ƠN 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 5 MỞ ĐẦU 6 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . 10 3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . . . . 17 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Không gian giảm nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Nhị phân mũ của họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . 27 1.7 Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 37 3
Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH CÓ TRỄ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 49 3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn trong không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . 51 3.2 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 4. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH CÓ TRỄ VÔ HẠN TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 72 4.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ vô hạn trong không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . 75 4.2 Nghiệm tuần hoàn trong trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 78 4.3 Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn . . . 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 98 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 CHỈ MỤC 106 4
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R : Tập các số thực R+ : Tập các số thực không âm R− : Tập các số thực không dương C : Tập các số phức   1/p    Z   p Lp (R) := R → R : kukp =  |u(x)| dx  < +∞ , 1 ≤ p < ∞     R L1,loc (R+ ) := {u : R → R+ | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R+ } trong đó ω ⊂⊂ R+ nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R+ X : Không gian Banach E : Không gian hàm Banach chấp nhận được C := C([−r, 0], X)- không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0, nhận giá trị trong X được trang bị chuẩn kukC = sup ku(t)k t∈[−r,0] Cγ : Không gian các hàm liên tục trên (−∞, 0], nhận giá trị trong X kφ(θ)k kφ(θ)k và lim −γθ = 0, được trang bị chuẩn kφkγ = sup −γθ , γ > 0 θ→−∞ e θ≤0 e Cb (I, X) : Không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định trên I được trang bị chuẩn kuk∞ = sup ku(t)k, t∈I với I có thể là R, R+ , R− , [−r, ∞)    Zt+1  M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞ ,  t≥0  t Zt+1 với chuẩn kf kM := sup |f (τ )|dτ t≥0 t M := {f : R+ → X | kf (·)k ∈ M} với chuẩn kf kM := kkf (·)kkM . 5
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Phương trình vi phân là một công cụ quan trọng để mô tả các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng- khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, . . . Trong đó lớp phương trình vi phân mô tả sự phụ thuộc vào cả hệ trạng thái trong quá khứ lẫn hệ trạng thái trong tương lai, tức là phương trình vi phân vừa có “trễ” (“delay”) vừa có “sớm” (“advanced”), được gọi là phương trình vi phân “trung tính” (“neutral”) (xem [1, 2]). Với các phương trình vi phân trung tính, việc nghiên cứu sự tồn tại và ổn định nghiệm của chúng khá phức tạp. Khi đó, bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp, lớp phương trình này có thể được viết lại dưới dạng phương trình trung tính trừu tượng trong không gian Banach thường được gọi là phương trình tiến hóa trung tính. Trong luận án này chúng tôi sẽ xét các lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), t ≥ 0, u0 = φ, (1) dt với φ có thể thuộc không gian hàm C hoặc không gian giảm nhớ Cγ , toán tử tuyến tính t 7→ A(t) có thể không bị chặn trên không gian Banach X và T - tuần hoàn theo biến t, toán tử sai phân F : C → X tuyến tính bị chặn, toán tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X là T -tuần hoàn và liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz. Hàm ut gọi là hàm lịch sử ("history function") được định nghĩa bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] hoặc θ ∈ (−∞, 0]. Phương trình tiến hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng như hệ sinh thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, ...Ta có thể tham khảo trong Wu [3], Wu & Xia [4], với nhiều ví dụ và ứng dụng của dạng phương trình này cho mạng lưới đường dây truyền tải. Chẳng hạn, tác giả đã xét một mạng lưới và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình ∂ ∂2 F ut = a 2 F ut + Φut , ∂t ∂x 6
trong đó hàm u thuộc C := C([−r, 0], X) với r > 0 và không gian Banach X của các hàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là X = H 1 (S 1 ) hoặc X = C(S 1 ), hàm lịch sử ut được xác đinh bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Các toán tử tuyến tính F và Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi là toán tử sai phân và toán tử trễ. Lý thuyết về phương trình tiến hóa trung tính sau đó đã được phát triển bởi nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H. Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong Hale [9, 10] đã nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ô-tô-nôm, mang lại các kết quả quan trọng về tính ổn định, tính hút và sự rẽ nhánh của nghiệm xung quanh một trạng thái dừng. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trung tính (1), không thể không nghiên cứu đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình cũng như chứng minh tính ổn định (có điều kiện) của nghiệm tuần hoàn đó trong trường hợp toán tử A(t), hàm phi tuyến g(t, ψ) là T -tuần hoàn theo t. Điểm qua lại lịch sử về bài toán nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân. Năm 1950 Massera (xem [11]) đã nghiên cứu chứng minh được mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường. Sau đó được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]). Với phương trình vi phân hàm, nhìn chung có một số phương pháp thường được sử dụng, như phương pháp Massera (xem trong [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn như trong Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] hoặc Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18]. Cách tiếp cận phổ biến nhất được sử dụng theo hướng này là tính bị chặn của các nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua một số phép nhúng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pr¨ uss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]). Tuy nhiên, trong một số tình huống thực tế, chẳng hạn như trong trường hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng với miền không bị chặn (theo tất cả các hướng) hoặc phương trình có nghiệm không bị chặn thì phép nhúng compact không áp dụng được và việc lựa chọn véc tơ ban đầu thích hợp (hoặc có điều kiện) để đảm bảo tính bị chặn của nghiệm xuất phát từ véc tơ đó là không dễ dàng. Để vượt qua những khó khăn này, chúng tôi sử dụng định lý dạng Massera, tức là định lý chứng minh nếu phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì sẽ có một nghiệm 7
tuần hoàn. Huy [25] đã sử dụng phương pháp Massera kết hợp với các hàm tử nội suy để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của dòng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay, trong đó, không gian nội suy được sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic. Sau đó, Geissert, Hieber & Huy [26] kết hợp giữa các hàm tử nội suy với tính trơn của nửa nhóm và lập luận tô pô thu được nghiệm tuần hoàn của bài toán dòng chất lỏng. Gần đây, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] đã sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình; sau đó kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hoàn, cũng như đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của một số lớp các phương trình tiến hóa không ô-tô-nôm có trễ hữu hạn hoặc vô hạn. Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, bài toán về nghiệm tuần hoàn đến nay vẫn có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, ... Mặt khác, trong lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân, sự tồn tại của các đa tạp tích phân cũng là một vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu. Các kết quả về đa tạp tích phân góp phần mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định. Vì vậy mà nó đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Khởi đầu là các kết quả của Hadamard [29], Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky [32, 33], ... đã nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phân trong Rn . Năm 2009, Huy [34] đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình tiến hóa không ô-tô-nôm nửa tuyến tính trong không gian Banach. Tiếp sau đó, Huy [35] đã chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới, đó là đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được. Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy & Duoc [36] đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến và đa tạp tâm ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ. Gần đây, các nghiên cứu của Huy & Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận được tác giả đã chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm đối với nghiệm đủ tốt (xem [41]) (“mild solution") của phương trình tiến hóa trung tính trong trường hợp trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến. Và một 8
Luận án vừa được công bố mới đây trên cổng thông tin Đào tạo của trường Đại học Bách khoa Hà Nội (xem [42]) đã chứng minh sự tồn tại đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm của phương trình tiến hóa trung tính xung quanh nghiệm không của phương trình. Tuy nhiên, sự tồn tại đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu. Những phân tích trên đây là lý do để chúng tôi chọn đề tài “Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính”. Bằng cách sử dụng phương pháp Masera cùng lý thuyết nửa nhóm, chuỗi Neumann, nguyên lý điểm bất động cùng điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính. Mặt khác, với việc sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón cho các đánh giá về tính ổn định và sự tồn tại đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn. Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa trung tính trên không gian Banach X có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), t ∈ [0, +∞), (2) dt với các điều kiện: • Toán tử t 7→ A(t) là tuyến tính (có thể không bị chặn) trên không gian Banach X và T -tuần hoàn theo biến t. • Toán tử F : H → X tuyến tính bị chặn gọi là toán tử sai phân ("dif- ference operator"), ở đây H có thể là không gian hàm C hoặc Cγ với C := C([−r, 0], X), Cγ là không gian giảm nhớ (”fading memory spaces”) được định nghĩa trong chương I, mục 1.4. • Hàm ut được gọi là hàm lịch sử và được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] nếu phương trình có trễ hữu hạn hoặc θ ∈ (−∞, 0] nếu phương trình có trễ vô hạn. • Toán tử phi tuyến g : R+ × H → X được gọi là toán tử trễ, T -tuần hoàn và được xét trong các trường hợp sau: 9
– Trường hợp 1. Toán tử g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian H là không gian hàm C. – Trường hợp 2. Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được M (xem trong mục 1.3, Ví dụ 1.1), H là không gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn. – Trường hợp 3. Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được M, H là không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vô hạn. Khi nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), d chúng tôi đã gặp phải khó khăn chung là: Các toán tử dt và A(t) không tác động trực tiếp vào trạng thái u(t) mà vào F ut , khi đó, công thức biến thiên hằng số chỉ có giá trị đối với F ut (xem công thức (2.18)). Để khắc phục khó khăn này, xuyên suốt luận án, chúng tôi giả thiết toán tử sai phân F được biểu diễn dưới dạng F = δ0 − (δ0 − F ), với δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0 (xem [1, Chương 3]). Khi đó, với một số điều kiện của toán tử Ψ := δ0 − F, và sử dụng phương pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumann chúng tôi nhận được một số đánh giá và kết quả về tính tuần hoàn cho trạng thái u. Như đã biết, có thể sử dụng thủ tục đổi chuẩn để tính nhỏ của Ψ có thể được thay bởi điều kiện Ψ không có trọng tại 0. Trong trường hợp đó, Ψ được biểu diễn như là một tích phân với hạch η có biến phân bị chặn. Tính chất “không có trọng tại 0” tương đương với điều kiện “phi nguyên tử tại 0” của η (xem trong Wu [3], Huy & Bang [37]). 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: (i) Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các trường hợp toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộc vào thời gian t và thuộc không gian hàm chấp nhận được, giá trị ban đầu có thể thuộc không gian hàm C nếu phương trình có trễ hữu hạn hoặc không gian giảm nhớ Cγ nếu phương trình có trễ vô hạn. 10
(ii) Nghiên cứu tính ổn định đối với các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2). (iii) Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) khi toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t và thuộc không gian hàm chấp nhận được. • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) với một số điều kiện thay đổi của toán tử trễ phi tuyến g. • Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tôi nghiên cứu một số lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (2) với một số trường hợp của toán tử trễ phi tuyến g. Cụ thể: – Nội dung 1. Xét trường hợp toán tử g liên tục Lipschitz, phương trình có trễ hữu hạn. Trường hợp này chúng tôi sử dụng không gian các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị trong không gian Bannach X để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Growall để chứng minh tính ổn định (có điều kiện) của các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn đó. – Nội dung 2. Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn. Khi đó, ngoài việc chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định, chúng tôi còn chứng minh sự tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn đó nhờ bất đẳng thức nón và định lý ánh xạ co. – Nội dung 3. Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz và ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được nhưng phương trình có trễ vô hạn. Bằng việc sử dụng không gian giảm nhớ, sự tồn tại, duy nhất, tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn cũng như sự tồn tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình được chứng minh. 11
3. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp Massera cùng với chuỗi Neumann, kết hợp lý thuyết nửa nhóm và dạng của toán tử sai phân F để chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính. • Sử dụng nguyên lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕ- Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính. • Dựa vào phương trình Lyapunov-Perron kết hợp với tính chấp nhận được của không gian hàm để chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trung tính khi họ tiến hóa có nhị phân mũ. • Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón cùng nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co cho các đánh giá xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính. • Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để chứng minh sự tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính. 4. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây: • Chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định có điều kiện của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trong các trường hợp: (i) Toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz và phương trình có trễ hữu hạn. (ii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ là hàm phụ thuộc t và thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ hữu hạn. 12
(iii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ vô hạn. • Chứng minh sự tồn tại đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình dạng (2) khi toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn hoặc vô hạn. Các kết quả trong luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết phương trình vi phân hàm, phương trình tiến hóa trung tính, các kết quả này có thể được sử dụng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm. Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong 03 bài báo (02 bài thuộc danh mục SCIE, trong đó 01 bài thuộc Q1, 01 bài thuộc Q2, 01 bài thuộc danh mục ESCI/Scopus) được liệt kê ở “Danh mục các công trình đã công bố của luận án”. Một phần hoặc tất cả các kết quả này đã được báo cáo tại: • Seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. • Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Buôn Mê Thuột, 2-4/8/2019. 5. Cấu trúc luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở để phục vụ cho các chương tiếp theo. Nội dung của nó bao gồm các kiến thức về nửa nhóm, không gian hàm chấp nhận được, không gian giảm nhớ, tính nhị phân mũ của họ tiến hóa, bất đẳng thức nón. Ngoài ra, chương này còn trình bày các kiến thức và kết quả cơ sở của nghiệm tuần hoàn các phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương. 13
Chương 2. Sự tồn tại và tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiến hóa trung tính. Chương này chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định có điều kiện của lớp phương trình (2) khi hàm phi tuyến g liên tục Lipschitz và phương trình có trễ hữu hạn. Chương 3. Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn trong không gian hàm chấp nhận được. Bài toán được nghiên cứu ở chương này là chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định có điều kiện của lớp phương trình có trễ hữu hạn dạng (2) nhưng xét với trường hợp toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t và thuộc không gian hàm chấp nhận được. Ngoài ra, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn đó. Chương 4. Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ vô hạn trong không gian hàm chấp nhận được. Với điều kiện hàm ban đầu thuộc không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vô hạn, toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hoàn của lớp phương trình dạng (2) và chứng minh sự tồn tại một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn đó của phương trình. 14
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Trước tiên là những khái niệm cơ sở và các tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh cùng toán tử sinh của chúng. Tiếp đến, chúng tôi trình bày về tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm, không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, không gian giảm nhớ và tính nhị phân mũ của họ tiến hóa. Cuối cùng chúng tôi trình bày các kết quả về nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa và định nghĩa đa tạp ổn định địa phương của nó. 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh Những kiến thức được trình bày trong mục này là những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh của chúng. Tài liệu tham khảo chính của chúng tôi là Engel & Nagel [43]. Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach X. Một họ các toán tử tuyến tính bị chặn T(t) t>0 trên X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 -nửa nhóm) nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) T(0) = I (với I là toán tử đồng nhất); (ii) T(t + s) = T(t)T(s) với mọi t, s > 0; (iii) lim+ T(t)x = T(0)x với mọi x ∈ X. t→0 Định nghĩa 1.2. Giả sử T(t) t>0 là một nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X được xác định bởi T(t)x − x Ax := lim+ , t→0 t 15
trên miền T(t)x − x D(A) := x ∈ X : lim+ tồn tại trong X , t→0 t được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T(t) t>0 trên không gian Banach X. Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm T(t) t>0 thì ta nói T(t) t>0 là nửa nhóm sinh ra bởi A, và còn được viết cách khác là etA t>0 . Định lý 1.1. Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 trên không gian Banach X. Khi đó, (i) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính; (ii) nếu x ∈ D(A) thì T(t) x ∈ D(A) và d T(t)x = T(t)Ax = AT(t)x với mọi t ≥ 0; dt Rt (iii) với mọi t ≥ 0, x ∈ X ta có T(s)xds ∈ D(A); 0 (iv) với mọi t ≥ 0 ta có  t R A T(s)xds   nếu x ∈ X, T(t)x − x = 0 Rt  T(s)Axds nếu x ∈ D(A).   0 Định nghĩa 1.3. Cho A, D(A) là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A, ký hiệu là ρ(A), với ρ(A) := λ ∈ C|(λI − A) là một song ánh . Khi đó R(λ, A) := (λI − A)−1 , với λ ∈ ρ(A) được gọi là giải thức của A, σ(A) := C \ ρ(A) được gọi là tập phổ của A. Định lý 1.2. Trên không gian Banach X, nếu (T(t))t>0 là một nửa nhóm liên tục mạnh, thì tồn tại các hằng số M > 1 và ω ∈ R sao cho kT(t)k 6 M eωt với mọi t > 0. Khi đó, với toán tử sinh A, D(A) của nửa nhóm T(t) t>0 , ta có các tính chất sau: 16
R∞ (i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x := e−λs T(s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì 0 λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). (ii) Nếu Re λ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). M (iii) Ta có kR(λ, A)k 6 Re λ−ω với mọi Re λ > ω. Chú ý 1.1. Công thức Z∞ R(λ, A)x = e−λs T(s)xds 0 được gọi là biểu diễn tích phân của giải thức. Tích phân ở đây được hiểu theo nghĩa tích phân Riemann suy rộng, Z∞ Zt e−λs T(s)xds = lim e−λs T(s)xds. t→∞ 0 0 Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của nửa nhóm (xem Engel & Nagel [43], Engel [44]). 1.2 Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm Định nghĩa 1.4. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 với toán tử sinh A, D(A) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại ε > 0 sao cho lim eεt kT(t)k = 0. t→∞ Định nghĩa 1.5. Trên không gian Banach X, nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp X = Xs ⊕ Xu của hai không gian con đóng, T(t) t>0 -bất biến Xs và Xu sao cho các nửa nhóm hạn chế Ts (t) t>0 trên Xs , và Tu (t) t>0 trên Xu thỏa mãn: (i) Nửa nhóm Ts (t) t>0 ổn định mũ đều trên Xs . (ii) Toán tử Tu (t) khả nghịch trên Xu và nửa nhóm Tu (t)−1 t>0 ổn định mũ đều trên Xu . 17
Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và hyperbolic của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng trưởng của nửa nhóm. Định nghĩa 1.6. Cho A : D(A) → X là một toán tử đóng trên một không gian Banach X. Khi đó, s(A) := sup Re λ : λ ∈ σ(A) được gọi là cận phổ của toán tử tuyến tính A. Định nghĩa 1.7. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 với toán tử sinh A, D(A) trên một không gian Banach. Khi đó, số thực ω0 = ω0 (A) := inf ω ∈ R | ∃M ≥ 1 : kT(t)k 6 Meωt , t > 0 được gọi là cận tăng trưởng của nửa nhóm T(t) t>0 . Nửa nhóm T(t) t>0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0. Tuy nhiên, trong thực tế, nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác định cụ thể. Do đó, để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều, ta cần đến "Định lí Ánh xạ phổ " sau đây. Định nghĩa 1.8. Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0 với toán tử sinh A được gọi là thỏa mãn Định lí Ánh xạ phổ nếu σ T(t) \ {0} = etσ(A) với mọi t > 0. Lưu ý: Trong trường hợp tổng quát, điều kiện s(A) < 0 không kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 sinh bởi toán tử A (chẳng hạn, xem Neerven [45, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu T(t) t>0 thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ thì ta có đặc trưng: T(t) t>0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0. Tiếp theo, giả sử Γ := {z ∈ C : |z| = 1} là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Khi đó, để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm ta có định lý sau (xem Nagel [43]). Định lý 1.3. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 , các mệnh đề sau là tương đương: 18