Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số trong không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với hàm số, các phương pháp tuyến tính và phi tuyến. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------------- Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG KHÔNG GIAN BESOV LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------------- Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG KHÔNG GIAN BESOV Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. GS.TSKH. Đinh Dũng 2. TS. Mai Xuân Thảo HÀ NỘI - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của tập thể cán bộ hướng dẫn. Các số liệu và kết quả là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác. Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2020 Tác giả luận án Nguyễn Mạnh Cường
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đinh Dũng và TS. Mai Xuân Thảo. Trước tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Dũng và TS. Mai Xuân Thảo, các thầy đã đặt bài toán, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học và tập thể các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tại bộ môn Giải tích đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hồng Đức, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Bộ môn Giải tích-Khoa Khoa học Tự nhiên đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu. Xin chân thành cám ơn PGS.TS. Ninh Văn Thu, TS. Lê Huy Chuẩn, TS. Vũ Nhật Huy, PGS.TS. Đỗ Đức Thuận ..., các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina tại bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Xin cảm ơn tập thể cán bộ Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán đã tạo điều kiện để tác giả làm việc cùng GS.TSKH Đinh Dũng trong thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc tại đây. Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
MỤC LỤC Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn Mục lục 1 Các ký hiệu 3 Mở đầu 5 Chương 1. CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU 13 1.1 Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu . . . . . . . . . . 16 1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG 37 2.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính . . . . . . . . . . . 40 2.3 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp thích nghi 45 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi . 46 2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chương 3. KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP 59 3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian B ap,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 A . . . . . . . . . . 69 Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian B p,θ 3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Kết luận và kiến nghị 83 1
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 84 Tài liệu tham khảo 85 2
CÁC KÝ HIỆU F:X→Y ánh xạ từ X vào Y R tập số thực Rd không gian Euclide d−chiều Id [0, 1]d Td := [0, 2π ]d hình xuyến d chiều Z tập số nguyên kxk chuẩn của véc tơ x kxkX chuẩn của véc tơ x trong không gian X ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A là con của tập B A∩B giao của hai tập A và B A∪B hợp của hai tập A và B A\B hiệu của tập A và tập B A×B tích Descartes của hai tập A và B | A| lực lượng của tập hữu hạn A SX mặt cầu đơn vị trong không gian X span( A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A { xn } dãy số xn supp( ϕ) giá của hàm ϕ α := (α1 , α2 , ..., α N ) một đa chỉ số đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi α α x α := x1 1 x2α2 ...x NN L p ( D ), 0 < p < ∞ không gian các hàm p−khả tích trên tập D L∞ ( D ) không gian các hàm f với chuẩn sup| f ( x )| x∈D C ( A) không gian các hàm liên tục trên tập A A := B A được định nghĩa bằng B ∃x tồn tại x 3
∀x với mọi x | x |1 := ∑id=1 xi chuẩn l1 của véc tơ x = ( x1 , x2 , ..., xd ) S( A, x ) := sup( a, x ) hàm giá của A a∈ A Ao+ tập hợp { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈ A} α := α( A) 1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ } s := s( A) số chiều của tập hợp { x ∈ Ao+ : | x |1 = 1/α} ( x, y) tích vô hướng của hai véc tơ x và y An ( f ) Bn ( f ) ∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) ∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≥ C.Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) và An ( f ) Bn ( f ) tr. 5 trang 5 2 kết thúc chứng minh 4
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu (hàm số) là một bài toán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu. Bài toán khôi phục tín hiệu từ giá trị lấy mẫu có nguồn gốc từ Định lý Shannon- Kotelnikov nổi tiếng, về khôi phục tín hiệu có giải tần hữu hạn từ giá trị lấy mẫu. Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để khôi phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết sóng nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là một trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là trong bài toán khôi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số một biến hoặc nhiều biến. Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiều chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa là các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhau cho mọi tín hiệu. Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu trong các công trình [9–11,27,28,32,36] do các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức,. . . Các tác giả của các công trình này đã tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều 5
trường hợp các phương pháp khôi phục không thích nghi không mềm dẻo linh hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác nhau. Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính không thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do Giáo sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng trong nén và lưu trữ tín hiệu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu. Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung lượng hữu hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) của chúng, hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ một từ điển. Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng một vai trò quan trọng trong Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy và Lý thuyết học máy [15, 30]. Luận án nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tối ưu có liên quan đến e-entropy [24], độ dày phi tuyến [36] và xấp xỉ bằng n số hạng [6]. Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ và khôi phục không thích nghi tốt nhất, đó là phương pháp tuyến tính. Để xây dựng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu, chúng tôi xây dựng các biểu diễn B-spline giả nội suy và biểu diễn lượng giác của hàm số qua giá trị lấy mẫu. Một biểu diễn hàm số như vậy sẽ được xây dựng dựa trên cơ sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] bằng B-spline và nhân lượng giác de la Vallée Poussin. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôi phục không thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán của phương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặc biệt là các phương pháp tuyến tính. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số trong không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với hàm số, các phương pháp tuyến tính và phi tuyến. 6
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài Luận án tập trung nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các phương pháp thích nghi và không thích nghi, cụ thể: - Nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi tốt nhất với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu. - Nghiên cứu các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi và không thích nghi với hàm số thuộc không gian Besov từ giá trị lấy mẫu tối ưu, nghiên cứu tốc độ hội tụ của thuật toán và tính ưu việt của chúng so với các phương pháp khôi phục không thich nghi truyền thống. - Nghiên cứu các biểu diễn lượng giác và B-spline giả nội suy và biểu diễn lượng giác của hàm số một biến và nhiều biến thuộc không gian Besov và ứng dụng trong việc xây dựng các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi và không thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu. - Nghiên cứu biểu diễn thuật toán tham lam của hàm số một biến và nhiều biến và các bài toán xấp xỉ phi tuyến và tuyến tính có liên quan. 3.2. Phạm vi nghiên cứu. Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề sau: Khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc các không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi, phương pháp phi tuyến, phương pháp tuyến tính. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các vấn đề nghiên cứu của Luận án về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu bằng phương pháp không thích nghi và thích nghi là các hướng nghiên cứu mới, sử dụng phương pháp mới trong lý thuyết xấp xỉ và ứng dụng. Kết quả của Luận án là một đóng góp mới cho hướng nghiên cứu này. Vì thế đề tài Luận án có ý nghĩa khoa học, được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm. Đề tài Luận án có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng các vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác máy tính. 5. Tổng quan Như phần đặt vấn đề đã nêu, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học được ứng dụng rất nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu và loại nhiễu là một bài toán hết sức quan trọng 7
trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu, cũng như nhiễu luôn xuất hiện trong quá trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất hiện do điều kiện tự nhiên. Sự phụ thuộc của chất lượng tín hiệu và ảnh vào công nghệ xử lý thông tin đòi hỏi phải phát triển rất mạnh và có hiệu quả các thuật toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và ứng dụng của chúng. Biểu diễn một cách hiệu quả tín hiệu là vấn đề trọng tâm của nhiều bài toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh như khôi phục, nén, khử nhiễu. Việc tìm kiếm các công cụ toán học cho các vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác máy tính đóng vai trò nền tảng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu, dựa trên các tính chất của tín hiệu thì tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số thuộc các không gian hàm Sobolev, Besov, Holder-Nikol’skii..., ¨ khi đó việc khôi phục tín hiệu được đưa về khôi phục và xấp xỉ hàm số trong các không gian hàm. Một trong những không gian thuận tiện cho việc khôi phục và xấp xỉ hàm số là không gian Besov. Độ trơn Besov của hàm số là một trong những độ trơn quan trọng phổ biến và được sử dụng rất nhiều trong các bài toán khôi phục và xấp xỉ, khi hàm số có độ trơn càng cao thì tốc độ xấp xỉ cũng càng cao. Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết xấp xỉ, được nhiều nhà toán học quan tâm vì ý nghĩa lý thuyết cũng như ứng dụng của nó. Bài toán tổng quát được phát biểu như sau: Giả sử f là một hàm xác định trên miền D trong không gian Rd và chúng ta biết được giá trị của hàm số này tại n điểm thuộc D. Các vấn đề được đặt ra là xây dựng phương pháp khôi phục f dựa trên thông tin n giá trị này của hàm số, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp theo n, nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp. Đề tài Luận án nghiên cứu các vấn đề này của bài toán khôi phục hàm số, cụ thể là nghiên cứu các phương pháp không thích nghi (tuyến tính) và các phương pháp thích nghi để khôi phục hàm số thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng và hỗn hợp, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp và nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp theo các đại lượng đặc trưng. Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu bằng phương pháp tuyến tính là cách tiếp cận truyền thống được nhiều nhà toán học nghiên cứu, tuy nhiên cho đến nay nó vẫn không mất tính thời sự vì có nhiều ứng dụng. Trong một số trường hợp, phương pháp này không mềm dẻo do các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục được chọn giống nhau cho mọi 8
hàm số, dẫn đến sai số xấp xỉ của phương pháp không tốt. Khi đó các phương pháp thích nghi phi tuyến được xây dựng cho từng hàm số có ưu thế hơn, đặc biệt trong các bài toán nén và lưu trữ tín hiệu. Chính vì thế mà nội dung nghiên cứu cũng như các kết quả dự kiến của Luận án có khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực thực tế nêu trên. Những điều nêu trên dẫn đến bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc các không gian khác nhau, điển hình là các không gian Sobolev, Besov, Holder- ¨ Nikol’skii...Cần chú ý rằng bài toán khôi phục và xấp xỉ là bài toán gồm các bước liên tiếp nhau, trước hết là khôi phục một hàm số dựa trên các giá trị lấy mẫu, sau đó là xấp xỉ hàm số đó từ phương pháp khôi phục. Các nhà toán học Vladimir N. Temlyakov, Tino Ullrich nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Sobolev Wpr bằng phương pháp khôi phục không thích nghi, đánh giá tiệm cận sai số của phương pháp trong các trường hợp đặc biệt (xem [20, Chương 5]). Trong [33,35], nhà toán học Vladimir N. Temlyakov nghiên cứu khôi phục hàm số trong không gian Sobolev cho lớp hàm số tuần hoàn. Ngoài ra trong [21, 22], nhà toán học E. M. Galeev đã nghiên cứu khôi phục hàm số cho lớp hàm thuộc không gian Holder-Nikol’skii ¨ H pr . GS. Đinh Dũng nghiên cứu bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn với độ trơn không đẳng hướng thuộc không gian Sobolev Wpr bằng phương pháp tuyến tính trên lưới Smolyak (xem [19]). Cụ thể, Giáo sư đã xây dựng phương pháp tuyến tính và ước lượng được sai số của phương pháp qua đại lượng đặc trưng cho lớp hàm số nêu trên. So với các không gian khác thì không gian Besov thuận tiện cho biểu diễn qua giá trị thử và thích hợp cho xấp xỉ và khôi phục thích nghi. Vì vậy trong Luận án này chúng ta nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov. Khi đó dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu, một tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số thỏa mãn một số tính chất thuộc không gian Besov. Luận án nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng các phương pháp không thích nghi và thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai số xấp xỉ là tốt hơn phương pháp không thích nghi nhưng độ phức tạp trong tính toán thì lớn hơn. Chẳng hạn, từ các Định lý 2.1, 2.5 và 2.6 của Chương 2 chúng ta nhận thấy khi p < q thì phương pháp thích nghi cho sai số tốt hơn phương pháp không thích nghi (phương pháp tuyến tính). Ngược lại với p ≥ q thì sai số 9
của phương pháp thích nghi và phương pháp không thích nghi là như nhau và do đó trong trường hợp này phương pháp không thích nghi lại có ưu điểm hơn phương pháp thích nghi vì độ phức tạp trong tính toán đơn giản hơn. Đầu tiên, Luận án nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ lớp hàm số không tuần hoàn thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi (phương pháp tuyến tính). Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đã có nhiều công trình được công bố. Trong [14] các tác giả đã nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số tuần hoàn thuộc không gian Besov Bω p,θ với modul trơn đẳng hướng, các tác giả đã xây dựng được phương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó. Trong [17, 18] GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số cho lớp hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong các không α,β gian Besov Bαp,θ và B p,θ với modul trơn không đẳng hướng, Giáo sư đã xây dựng các phương pháp tuyến tính và đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ của phương pháp. Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong không gian Besov BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng, chúng tôi xây dựng được phương pháp tuyến tính qua các B-spline và đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp. Chúng ta nhận thấy rằng kết quả này là mở rộng các kết quả trong [17, 18], đây là kết quả mới của luận án đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (xem [CT2]). Trong [15, 16], GS.TSKH Đinh Dũng đã xây dựng và đánh giá sự hội tụ của phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số thuộc không gian Besov Bαp,θ bằng lực lượng hoặc giả chiều của một tập hợp hữu hạn. Một trong những kết quả của luận án là tổng quát và mở rộng kết quả này cho lớp hàm số một biến thuộc không gian Besov-type BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng. Ở đây, chúng tôi xây dựng các phương pháp khôi phục thích nghi dựa trên thuật toán lấy trội n phần tử lớn nhất gọi là thuật toán tham lam. Vấn đề đặt ra tiếp theo đối với hàm số nhiều biến, để giải quyết vấn đề này chúng tôi mở rộng và chứng minh định lý biểu diễn trong [18] cho lớp hàm nhiều biến không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng xác định trên Id := [0, 1]d thuộc không gian Besov 10
BΩ p,θ , 0 < p, θ ≤ ∞, qua đó chúng tôi tổng quát và mở rộng kết quả trên cho trường hợp nhiều biến. Mặt khác, nhờ định lý biểu diễn B-spline giả nội suy chúng tôi xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp tuyến tính để khôi phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov BΩ p,θ với modul trơn đẳng hướng, đây cũng là một trong những kết quả chính của luận án. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp bằng phương pháp phi tuyến. Phương pháp phi tuyến có thể không thích nghi, nhưng trong luận án này chúng ta chỉ nghiên cứu phương pháp phi tuyến thích nghi. Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp phi tuyến được nhiều nhà toán học nghiên cứu, chúng ta sẽ nghiên cứu sai số của phương pháp phi tuyến qua các đại lượng đặc trưng entropy en và độ dày phi tuyến ρn . Nhà toán học V. N. Temlyakov đã có những công trình nghiên cứu về đại lượng entropy en (xem [34,37]). Trong [15], GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu phương pháp phi tuyến cho bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn bằng B-spline trong không gian Besov Bαp,θ với modul trơn đẳng hướng. Trong [13], Giáo sư nghiên cứu cho lớp hàm số tuần hoàn trong không gian Besov Brp,θ với modul trơn hỗn hợp không đẳng hướng. Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn bằng phương pháp phi tuyến cho lớp hàm số xác định trên Td := [0, 2π ]d thuộc không gian Besov B p,θ A với modul trơn hỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn của Rd+ . Chúng tôi đạt được các kết quả mới cho trường hợp A = { a} và A là tập con hữu hạn bất kỳ của Rd+ , cụ thể đó là xây dựng được phương pháp phi tuyến để khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn A , 0 < p, θ ≤ ∞ bởi lực lượng hoặc giả chiều của một trong không gian Besov B p,θ tập hợp hữu hạn, đánh giá được sai số, tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng đặc trưng. Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác. Chương 2: Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng. 11
Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp. Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. - Xêmina tại Bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức. Các kết quả chính của luận án đã được đăng trong 04 bài báo trên các tạp chí Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 12
Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU Chương này trình bày những kết quả mới của luận án, đó là các định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi bởi các B-spline và đa thức lượng giác và chứng minh các tương đương chuẩn. Đây là cơ sở để chúng ta xây dựng được phương pháp khôi phục và xấp xỉ hàm số, đánh giá tiệm cận sai số của phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng ở các chương tiếp theo. Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm về không gian Besov của lớp các hàm số có độ trơn đẳng hướng và độ trơn hỗn hợp. Trong Mục 1.2, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn giả nội suy bởi các B-spline cho lớp các hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng, đây là một phần của bài báo [CT2] được công bố trên tạp chí Acta Math. Vietnamica. Trong Mục 1.3 chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn tương đương chuẩn bởi các đa thức lượng giác cho lớp các hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp, trình bày trên cơ sở bài báo [CT4] được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 1.1 Không gian Besov Cho 0 < p ≤ ∞ và D là một miền nào đó trong Rd . Để đơn giản ta ký hiệu chuẩn trong L p ( D ) là k.k p,D . Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L p (Id ) và l ∈ N. Toán tử sai phân cấp l được định nghĩa bởi l l ∆lh f ( x ) := ∑ (−1) l−j j f ( x + jh). j =0 13
Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ L p (Id ) thì ωl ( f , t) p := sup ∆lh f p,Id (lh) |h| 0, ∀t > 0, (ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t0 ), ∀t, t0 ∈ R+ , t ≤ t0 , (iii) ∀γ ≥ 1, ∃C 0 = C 0 (γ) sao cho Ω(γt) ≤ C 0 .Ω(t), t ∈ R+ . Chú ý rằng điều kiện (iii) chỉ cần thỏa mãn với một số γ > 1 cố định (chẳng hạn γ = 2). Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞. Không gian Besov BΩ p,θ được định nghĩa là tập hợp các hàm f ∈ L p (Id ) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn f BΩ : = k f k p + | f | BΩ , p,θ p,θ ở đây | f | BΩ là nửa chuẩn Besov, xác định bởi p,θ  !1   θ ωl ( f , t ) p Ω ( t ) θ
Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hoàn thuộc không gian Lq (Td ), e là tập con bất kỳ của [d] := {1, 2, . . . , d}, toán tử sai phân bậc (l, e) của hàm số nhiều biến xác định trên Td kí hiệu là ∆l,e h và được xác định bởi ∆l,e h := ∏ ∆lhi , ∆l,Ø h = I, i ∈e ở đây toán tử ∆lh là toán tử sai phân tương ứng với hàm số khi xem f là hàm số i một biến của biến xi với các biến còn lại cố định. Đặt l,e ωle ( f , t) p := sup ∆ f , t ∈ Td , h p |hi | max ai . p,θ 1≤ i ≤ d Định nghĩa nửa chuẩn này không phụ thuộc vào l, hay nói cách khác các giá trị khác nhau của l xác định các nửa chuẩn tương đương. Không gian B ap,θ là tập hợp tất cả các hàm số f ∈ L p (Td ) sao cho chuẩn Besov sau đây là hữu hạn k f k Bap,θ := ∑ | f | Ba,e . p,θ e⊂[d] Trong suốt luận án này ta luôn giả thiết A là một tập con hữu hạn của Rd+ . Kí A là không gian Besov của tất cả các hàm trên Td , với chuẩn Besov sau hiệu B p,θ đây hữu hạn k f k B A := p,θ ∑ k f kBap,θ . a∈ A Trong Định ngĩa này vì modul trơn hỗn hợp bậc (l, e) là hàm nhiều biến theo A gọi là không gian các hàm có độ trơn hỗn t1 , t2 , ..., td nên không gian Besov B p,θ A là hình cầu đơn vị của B A . hợp (không đẳng hướng). Kí hiệu U p,θ p,θ Định nghĩa trên có thể xem trong [18]. 15
Ví dụ 1.1. Chúng ta có thể lấy các ví dụ về hàm số thuộc không gian Besov như sau: f ( x ) = 0, ∀ x ∈ I; g( x ) = x, ∀ x ∈ I; h( x ) = sin x, ∀ x ∈ T. 1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline chuẩn tắc bậc r với các nút tại các điểm 0, 1, . . . , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với r ≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập Z∞ Nr ( x ) := Nr−1 ( x − y) N1 (y)dy. −∞ Mr ( x ) := Nr ( x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r. Định nghĩa 1.6 có thể xem trong các tài liệu [3, 5]. Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá [−r, r ] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . , r. Định nghĩa d-biến B-spline như sau d M( x ) := ∏ M ( x i ), x = ( x1 , x2 , . . . , x d ), (1.1) i =0 và định nghĩa B - spline sóng nhỏ Mk,s ( x ) := M (2k x − s), cho một số không âm k và s ∈ Zd . Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt tiêu trên Id . Cho λ = {λ( j)} j∈ Pd (µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ( j) = λ(− j), ở n o đây Pd (µ) := j = ( j1 , . . . , jd ) ∈ Zd : | ji | ≤ µ, i = 1, . . . , d và µ ≥ r − 1. Toán tử tuyến tính Q tác động lên hàm f xác định trên Rd được định nghĩa bởi Q( f , x ) := ∑ Λ ( f , s ) M ( x − s ), (1.2) s ∈Zd ở đây Λ( f , s) := ∑ λ ( j ) f ( s − j ). (1.3) j∈ Pd (µ) Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C (Rd ) và ≤ kΛkk f kC(Rd ) , Q( f ) C (Rd ) 16