Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn
Võ Giang Giai
Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
CHÖÔNG I:
PHÖÔNG PHAÙP TRÖÔØNG GIAÛ GRADIENT
X
1C
R
I. CAÙC ÑÒNH NGHÓA VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ SÔÛ:
Trong suoát chöông naøy, neáu khoâng noùi gì theâm thì ta luoân hieåu raèng Xf →: laø khoâng gian Banach vaø phieám haøm thuoäc lôùp .
)C , neáu :
X
:
⊂
∀
{ } v
n
0
Ñònh nghóa 1:
} ) n ( vdf
)
n
bò chaën = Phieám haøm f goïi laø thoaû ñieàu kieän ( ( { vf ⎧ ⎪ ⎨ lim ⎪⎩ n +∞→
}knv∃
≥αf
hoäi tuï .(cid:137) thì {
f
0<−≤ αf
Ñaëc bieät: Neáu ñieàu kieän treân nghieäm ñuùng treân
0> )+C (töông öùng ( (
:0
,0
(
v
df
) thì ta noùi raèng thoaû maõn ñieàu kieän (töông öùng )−C ) .(cid:137)
)−C thì: kXv , <−∈∀>
, α
k ∀
δ
>
−<
, α
r ⇒>
( ) vf
( ) δv ) >
Ñònh lyù 2: (a) Neáu f thoaû ñieàu kieän ( 0 , r ≥∃ (1)
r
,0
0
, >
>
∀ αk
,0 ≥ δ
,
v
vdf
kXv <−∈∀
−<
, α
r ⇒>
(b) Giaû söû f thoaû ñoàng thôøi 2 ñieàu kieän sau:
( ) vf
( ) δ >
*
Nn
X
:
⊂
(i). ∃ :
0
=
) ,0 ∈∀< ( ) vdf
n
( vf n lim n +∞→
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
bò chaën (ii). Neáu { }nv∀
}knv∃
hoäi tuï. thì {
)−C .
Khi ñoù f nghieäm ñuùng ñieàu kieän (
)−C nhöng khoâng thoaû (1)
Chöùng minh: (a) Giaû söû f thoaû ñieàu kieän (
Trang 3
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
,
0
vn ⊂ sao cho:
>αk 0
0
Vì vaäy ∃ vaø { } X
−
<
α−<
k
( vf
)
0
n
0
)
*Nn ∈∀ (
>
v
n
(2)
n
(3)
<
( vdf
)
n
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
1 n
f
(4)
)−C ) (
}knv
*
v
n
Nk
k
≥
, ∈∀≥
hoäi tuï (Vì thoaû ñieàu kieän Töø (2) vaø (4) suy ra ∃ {
k
nk
v
+∞=
Cuøng vôùi (3) ta coù
kn
lim k +∞→
Do ñoù
}knv
v
,⊂
hoäi tuï. Ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaãn vôùi {
( { vfX
n
}n )
*
Nn
,0 ∈∀<−≤ α
0
=
bò chaën döôùi, (b) Xeùt daõy { }
( vf
)
( vdf
)
n
n
lim n +∞→
vaø (5)
}knv∃ Quaû vaäy, giaû söû { } khoâng bò chaën, töùc laø:
nv
*
v
Nk
k
, ∈∀≥
hoäi tuï. ta caàn chöùng minh {
kn
}knv∃ {
0<
sao cho
− β laø moät chaën döôùi cuûa
{
}nvf ( )
*
v
Nk
k
−
β
≤
−≤
, α
, ∈∀≥
( vf
)
n
n
k
k
0>∃δ
Goïi thì:
*
Nk
, ∈∀> δ
(khoâng phuï thuoäc vaøo k) sao cho:
)
kn
Theo ñieàu kieän (i) ( vdf
{ }nv
Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi ñieàu kieän (5)
}knv
hoäi tuï .(cid:137) Töùc laø bò chaën Do ñoù theo ñieàu kieän (ii) ∃ {
)−C
Heä quaû 3: Neáu X laø khoâng gian ñònh chuaån höõu haïn chieàu thì ñieàu kieän (
≥∃
>δ
<−∈∀
α−<
δ>
>α∀ ,k
r,0
,0
k,Xv:0
v,
⇒> r
( ) vf
( ) vdf
töông ñöông vôùi ñieàu kieän:
Trang 4
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
Chöùng minh:
Ta ñaõ bieát raèng trong khoâng gian höõu haïn chieàu: “Moïi daõy bò chaën ñeàu
toàn taïi ít nhaát moät daõy con hoäi tuï”.
laø höõu haïn chieàu thì keát hôïp vôùi ñònh lyù 2 ôû treân ta coù
ngay heä quaû 3 Vì vaäy, neáu X .(cid:137)
1−
f
f
∀ K laø taäp compact trong R thì
Ñònh nghóa 4:
(
)K
Phieám haøm goïi laø rieâng, neáu
f
laø taäp compact trong X .(cid:137)
)C thì söï thu heïp cuûa
treân taäp caùc ñieåm tôùi Ñònh lyù 5: Neáu f thoaû ñieàu kieän (
haïn cuûa noù laø rieâng.
/
=
Chöùng minh:
{ Xv ∈=W
( ) vdf
}0
fW
1−∩
Goïi vaø K laø taäp c ompact trong R
(
)K
1−∩⊂ fW
(
)K
laø taäp compact trong X Ta caàn chöùng minh
K
⊂
⇔
W
) n ⊂
n
⇒
Quaû vaäy: Xeùt daõy { } vn
0
=
} ) n ( vdf
)
n
( vf ⎧ ⎨ { } v ⎩ ( { vf ⎧ ⎪ ⎨ lim ⎪⎩ n +∞→
bò chaën trong R
)C , neân {
}knv
1
→
n
k
hoäi tuï veà Xv ∈ Hôn nöõa f thoaû ñieàu kieän (
f
⇒
0
) =
=
( vf ( ) vdf
( ) vf ( vdf
)
n
k
lim k +∞→
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⇒
(Vì thuoäc lôùp C )
K 0
=
( ) vf ∈ ( ) vdf
⎧ ⎨ ⎩
1
−
K
(
)
1−∩∈⇔ fWv
⇔
(
)K
fWv
1−∩∈
(Vì K laø taäp Compact)
(
)K
⎧ v f ∈ ⎨ Wv ∈ ⎩ }knv∃ {
Vaäy hoäi tuï veà .(cid:137)
Trang 5
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
/
=
Heä quaû 6:
)C vaø
{ XvW ∈=
( ) vdf
}0
)Wf (
thì laø taäp ñoùng Neáu f thoaû ñieàu kieän (
trong R.
Chöùng minh:
)Wf (
yn ⊂
yn →
, y Xeùt daõy { }
( vf
{ } W vn ⊂
y =⇒ n
vôùi
n
)n } ) bò c haën n ( ) vdf 0 =
( { vf ⎧ ⎪ ⎨ lim ⎪⎩ n +∞→
hoäi tuï) Nhö vaäy
)C , neân ∃ {
→
n
k
f
1C
⇒
hoäi tuï veà Xv ∈ (Vì { }ny (Vì { } W ) vn ⊂ }knv
0
=
( vf ( ) vdf
( ) vf ( vdf
)
n
k
lim k +∞→
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
y
⇒
( ) vf 0
=
→ kn ( ) vdf
⎧ ⎨ ⎩
⇒
( ) vf 0 =
y = ( ) vdf
⎧ ⎨ ⎩
y ∈⇒
)Wf (
(Vì thuoäc lôùp ) Maët khaùc f thoaû ñieàu kieän ( ) =
)Wf (
laø taäp ñoùng trong R .(cid:137) Vaäy
R
2C
X
Xf →:
Ñònh lyù 7:
Xv ∈∀
∇
∇=
∃ !
Cho laø khoâng gian Hilbert, thuoäc lôùp .
( ) X vf ∈
( )( wvdf
)
( ) wvf ,
: , Khi ñoù theo ñònh lyù Riesz
Xw ∈∀
f −∇=
( ) ϕ
Xeùt baøi toaùn Cauchy:
v
=
)
)R
(6)
d ϕ ⎧ ⎪ dt ⎨ ( ⎪⎩ t 0ϕ
+∞≤ω<ω≤∞−
( t ∈0
0t
)+
+
−
( ) chöùa ñeå
− ωω ,
Khi ñoù toàn taïi khoaûng lôùn nhaát ( (6) coù duy nhaát nghieäm treân (xem ôû [4]) .(cid:137)
Trang 6
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
R
2C
Xf →:
Ñònh lyù 8:
Cho X laø khoâng gian Hilbert, thuoäc lôùp thoaû ñieàu kieän
ϕ laø nghieäm cuûa (6). Khi ñoù:
f
f
, goïi )C (
( ϕ
( ) t
) −∞=
( ϕ
( ) t
) +∞=
lim t ω −→
lim t ω +→
(i). Hoaëc (töông öùng )
Xq ∈ ,
+∞=+ω
−∞=−ω
q
=
)
(töông öùng ) vaø toàn taïi (ii). Hoaëc
+∞→nt
−∞→nt
0
=
( t n lim ϕ n +∞→ ( ) qdf
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
daõy (töông öùng ) sao cho:
f
=
Chöùng minh:
( ) tg
( ϕ
( ) ) ,t t
( )+ , ωω −∈
2
0
∇−= f
≤
Ñaët
( ) , tg
( ϕ
( ) ) t
c
,
g⇒
⇒
Ta coù
( ) tg
[ )+∞∞−∈=
( )+ − ωω ,
lim t ω +→
f
−∞=c
. giaûm treân
( ϕ
( ) t
) −∞=
lim t ω +→
f −∇=
−∞>c
thì ∗ Neáu
( )ϕ
d ϕ t d
t
f
dr
⇒
( ) t ϕϕ −
( ) s
( ( ) ) t .ϕ
∫ ∇=
ta coù ∗ Neáu
)+ −∈ ωω ,
s
s +ωt a <≤≤ ⎧ ,vôùi ⎨ ⎩ a coá ñònh
t
dr
( f ϕ
( ) ) r
∫ ∇≤
s
1
1
t
t
2
2
2
2 1
dr
f
dr
∇
≤
(
( ϕ
( ) ) r
∫
∫
s
s
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ . ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1
2
+ω
1
2
2
s
f
dr
∇
( −≤ t
)
( ϕ
( ) ) r
∫
a
⎛ ⎜ . ⎜ ⎝
(Do baát ñaúng thöùc Holder)
{ ϕ
( ) t
+∞<ω+
∈ ω ,at
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ } [
)+
Xv
∈→ϕ
Vì vaäy neáu thì laø daõy Cauchy trong X
( ) t
+→ωt
(khi ) Do ñoù
Ñieàu naøy chöùng toû nghieäm phöông trình (6) coù theå keùo daøi veà
+ω (Do ñònh lyù veà keùo daøi nghieäm)
beân phaûi cuûa
+ω
Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi ñònh nghóa cuûa
Trang 7
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
+∞=+ω
+∞
2
2
dr
f
dr
∇
f ϕ
∈
+∞
Do ñoù
( ) r
( ϕ
( ) ) r
)
[ ,0
∫
a
ω + ∫ ∇= a
t
:
f
0
+∞→
∇
→
Khi ñoù
( ( t ϕ
) )
n
n
(7) Ta caàn chöùng minh luoân tìm ñöôïc daõy
a
2
+
2
2
2
n
+
f
f
dr
∇
=
n ∇
Thaät vaäy, theo ñònh lyù trung bình:
( ( t ϕ
) )
( ϕ
( ) ) r
[] ana ,+∈
)*Nn ∈ (
t n ∃
n
∫
1 n
na +
+∞
2
2
+∞→n
0
f
f
dr
0
∇≤
≤
∇
→
sao cho
( ( t ϕ
) )
( ϕ
( ) ) n
n
∫
1 n
a
0
∇
2 →
⇒
) )
( ( f ϕ nt
∇
0→
⇒
) )
( ( f ϕ nt
⇒ (khi )
Töùc laø (7) ñuùng.
{
( }nt ) ) ( f ϕ
0→
) )
⎧Daõy ⎪ ⎨ ( ( f ϕ nt ∇ ⎪ ⎩
Xq
hoäi tuï Nhö vaäy ta coù
)C (
) ∈→ϕ
kn
f
2C
∇⇒ qf
(Vì f thoaû ñieàu kieän ) Vì vaäy ∃ ( t
( ) 0=
(Vì thuoäc lôùp )
−→ωt
pheùp chöùng minh töông töï .(cid:137) Trong tröôøng hôïp
R
2C
Heä quaû 9:
f
X
thuoäc lôùp bò chaën döôùi vaø
Xf →: ñaït giaù nhoû nhaát treân
)C (
thoaû ñieàu kieän Cho X laø khoâng gian Hilbert, . Khi ñoù .
Rc
inf
∈/ Xv
∈=
Chöùng minh:
{
( ) vf
}
*
p
cX :
c
Nn
⊂
≤
Do f bò chaën döôùi neân ∃
}
( pf
)
n
n
1 , ∈∀+< n
⇒ ∃ {
( ) np=0ϕ
Goïi ϕ laø nghieäm cuûa (6) thoaû
Trang 8
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
0
=
( qdf
)
n
q
X
:
⊂
)*Nn ∈∀
n
≤
≤
c +<
( qf
)
( pf
)
n
n
1 n
⎧ ⎪ ⎨ c ⎪⎩
q
q
Khi ñoù theo ñònh lyù 8 ∃ { } (
)C (
*
c
c
Nk
c +<
≤
c
⇒
=
Do ñoù ∃
( ) qf
( qf
)
nk
kn → (vì f thoaû ñieàu kieän 1 n
k
f
(vì ) ) 1 , ∈∀+≤ k
Xq ∈ .(cid:137)
Vaäy ñaït giaù trò nhoû nhaát taïi
II. ÑÒNH LYÙ MINIMAX:
f
w
Ñònh nghóa 10:
Xv ∈ , neáu
goïi laø vectô giaû gradient cuûa taïi thoaû ñoàng thôøi
w 2≤
Xw ∈ hai ñieàu kieän sau:
( )vdf
≥
(i).
( )( wvdf
)
( ) 2vdf
(ii).
.(cid:137)
X
S
:
f
S
Ñònh nghóa 11:
f
v
S
v ∈∀
Cho treân ,
φ thì
S X , →Φ⊂≠ ( )vΦ laø vectô giaû gradient cuûa
neáu goïi laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa taïi .(cid:137)
/
\ WX
=
Ñònh lyù 12:
{ XvW ∈=
}0
~ X ~ X
:
( ) vaø vdf Lipschitz ñòa phöông treân
Cho
f
~ X
~ X →Φ X giaû gradient cuûa
thì ta luoân tìm ñöôïc haøm = , ñoàng thôøi cuõng laø moät tröôøng vectô
treân .
~ Xv
∈∀
inf
,
=
∈
=
Chöùng minh:
( ) vdf
( )(
)
{ wXwwvdf /
}1
∃
~ ~: wXw
1
∈
=
, tacoù neân:
( )( wvdf
~ > )
( )vdf
2 3
w
≤
( ) vdf
w
=
vaø
~ ( ) wvdf
2
3 2
≥
3 2 ( )( wvdf
)
( ) vdf
3 2
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
,ta ñöôïc (8) Khi ñoù choïn
Trang 9
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
df
( ) 0>vdf
vB
,
≤
≤
∈∀
Hôn nöõa lieân tuïc taïi v vaø , neân toàn taïi quaû caàu môû taâm v:
( ) vdf
( ) udf
( ) vf
vBu
5 6
7 6
w
w
−=
(9)
~ >wudf ( )(
) 0
wv =
wv
2
w v
hoaëc ñeå Ta laïi choïn tieáp
vBu ∈∀
2
≥
( ) udf )
( ) udf
≤ ( )( wudf v
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
~ X
, (10) Töø (8) vaø (9) ta coù
= ∪ vB ~ Xv ∈
~ X
I
i ∈
laø paracompact, neân cuøng vôùi (10) suy ra Maø
~ ∈ , X
}ivB cuûa
w iv
2
w v i
vaø sao cho: toàn taïi phuû laøm mòn höõu haïn {
ivBu ∈∀
2
≥
( ) udf
( ) udf )
≤ ( )( wudf v i
=
−
~ Χ∈
inf
w/wv
B\
i
v
i
⎫ ⎬ ⎭
, (11)
~ ∈ Xv
v
i
i
∑
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎧ ( ) ξ v ⎪ ⎨ ( ) =Φ v ⎪ ⎩
( ) v ( ) v
i
j
⎧ ⎨ ⎩ ξ w ∑ ξ
j
~ X
∀
∈
0>∀ε
Ñaët ,
, vv 1
2
w ∈∃ ε
~ ivBX \
v
w
−
vaø , ta luoân :
) ε +
( v
2
2
< ξε i
v
v
v
⇒
≤
≤
−
+
−
<
++ ε
−
)
( v
)
ξ i
( v 1
v 1
2
2
ξ i
2
v 1
2
wv − 1 ε
w ε
v
0
⇒
−
+< ε
−
>∀ ε
)
( v
)
ξ i
( v 1
ξ i
2
v 1
,2
v
⇒
−
≤
−
Khi ñoù
)
( v
)
ξ i
( v 1
ξ i
2
v 1
2
v
≤
−
(12)
( v
)
)
ξ i
2
−ξ i
( v 1
2
v 1
v
≤
−
Chöùng minh töông töï (13)
)
( v
)
ξ i
( v 1
−ξ i
2
v 1
2
Φ
Töø (12) vaø (13) ta coù (14)
thoaû maõn vaán ñeà ñaët
Töø (11) vaø (14) ta deã daøng kieåm tra ñöôïc raèng ra.
Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn .(cid:137)
Trang 10
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
c
f
1 −
} c
0>δ
Ñònh nghóa 13:
Rc ∈ vaø
1 −
∩
=
=
( ) c
c
δ
{ } ( ) ⎧ vfXv c / ∈= ≤ ⎪ ( ) { ( ) f c vfXv / ∈= = ⎪ ⎪ ( ) } { XvW vdf / 0 ∈= = ⎨ ⎪ ( ) { } vfWv W fWc / ∈= ⎪ c } { ) ( ⎪ WvdXv U / , δ ∈= < ⎩
Cho , ta ñaët
. (cid:137)
XA ⊂≠φ
Boå ñeà 14:
R
d →: X
Cho . Ta coù
(cid:54)
v
=
(i).
( ) vd
)Avd ( ,
Av
∈⇔= 0
lieân tuïc ñeàu.
( ) vd
(ii). Neáu A ñoùng thì
,
∀
, AwXvu ∈∀∈
Chöùng minh:
≤
+
=
vu −
(i). .Ta coù:
( , wud
)
( , vud
)
)wvd ( ,
( , vud
)
⇒
≤
≤
+
( , Aud
)
( , wud
)
( , vud
)
)wvd ( ,
⇒
−
≤
( , Aud
)
( , vud
)
)wvd ( ,
⇒
−
≤
,vôùi
( , Aud
)
( , vud
)
)Avd ( ,
⇔
−
≤
( , Aud
)
( , Avd
)
)vud ( ,
−
≤
(Do tính chaát caän döôùi)
( , Avd
)
( , Aud
)
)uvd ( ,
∀ ,
Xvu ∈
−
≤
Chöùng minh töông töï
( , Aud
)
( , Avd
)
)vud ( ,
0
≤
≤
Vaäy ,
Av ∈ thì
( , Avd
)
( , vvd
) 0 =
⇒
( , Avd
) 0 =
∃
(ii). Neáu
( , =Avd
) 0
vn ⊂
0
≤
<
( , vvd
)
n
⇒
sao cho: Ngöôïc laïi neáu thì { } A
1 n ) 0 =
( vvd ,
n
vn →⇒
lim +∞→ n
Av ∈
v
.(cid:137) Maø A ñoùng neân
Trang 11
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
f
0
Boå ñeà 15:
0>∀δ , ∃
)C thì (
c
c
+ ε
− ε
\
f
\
U
D
f
v ∈∀
=
≥ , b
( ) vdf
)
, >εb (
δ
2
Cho thoaû ñieàu kieän :
b
0
>
\∈ WDv
Chöùng minh:
2 = w 3
≥ b
thì choïn (Do (8), phaàn chöùng ∗ Neáu
( ) vdf
WDv ∩∈
minh cuûa ñònh lyù 12), ta coù ngay
c
c
+
−
1 n
1 n
v
f
\
f
\
∈
0>∃δ
. Giaû söû boå ñeà treân sai, töùc laø: ∗ Neáu
n
δU
2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−
<
+< c
c
( vf
)
n
1 n
1 n
≥
vaø ,( ) *Nn ∈∀
≤ Töùc laø
( vdf
)
)
n
1 n
δ 2
≤
( vdf
)
n
1 n
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ( W,vd ⎨ n c ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
~→∃ v v
thoaû (15)
)C )
kn
+∞→k
Do ñoù (vì f thoaû ñieàu kieän (
≤
≤
c
≥
Töø ñoù cuøng vôùi (15), cho ta ñöôïc:
)
c
v~f ( ) ⎧ ⎪ ⎨ W,v~d ( ⎪⎩
c δ 2
=
c
⇒
≥
)
c
δ 2
c
⇒
≥
)
c
=
)
(Do boå ñeà 14)
c
⇒
≥
)
c
v~f ( ) ⎧ ⎪ ⎨ W,v~d ( ⎪⎩ Wv~ ∈ ⎧ ⎪ ⎨ δ W,v~d ( ⎪⎩ 2 0W,v~d ( ⎧ ⎪ ⎨ δ W,v~d ( ⎪⎩ 2
(Do boå ñeà 14)
Daãn ñeán maâu thuaãn
Vaäy boå ñeà ñöôïc chöùng minh .(cid:137)
Trang 12
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
Nhaän xeùt:
)+C (töông öùng ( )c−,0
2
0
min
,
,
<<
<
)”. (i). Qua vieäc chöùng minh naøy, suy ra ñöôïc raèng: “Neáu c>0 (töông )C bôûi öùng c<0) thì boå ñeà 15 vaãn coøn ñuùng khi thay ñieàu kieän ( ñieàu kieän ( )−C ) vaø ε coù theå choïn )c,0∈ ( (töông öùng (
εε 1
δb 2
δ 8
⎧ b δ ⎨ 32 ⎩
⎫ ⎬ ⎭
c
c
+
ε 1
ε − 1
A
\ fX
f
=
∪
)
(ii). Xeùt
c
c
ε +
ε −
( f
B
\
f
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
=
Ñaët
X∈
( ) vg
( , Avd ) +
) )Bvd ( ,
( , Avd
, v vaø
A
φ=∩ B
Ta kieåm tra ñöôïc:
0 ,
+
>
Xv ∈∀
∗
( , Avd
)
( , Bvd
)
∗ ) g xaùc ñònh treân X (vì
0
≤
Xv ∈∀
∗ g thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân X (Do boå ñeà 14)
( ) 1 vg ≤
=
∗ ,
( ) vg
, Bv 1 ⎧ ∈ ⎨ ∈ Av,0 ⎩
X
∗
Xaây döïng töông töï, ta coù theâm haøm
\
∈
δ 8
Xv
0
,1
=
≤
∈∀≤
Lipschitz ñòa phöông treân UXv
( ) vh
( ) vh
Uv ∈
δ
4
h ,1 ⎧ ⎪ ⎨ ,0 ⎪⎩
vaø . thoaû:
Löu yù: Caùc keát quaû naøy seõ ñöôïc söû duïng cho caùc boå ñeà vaø ñònh lyù veà sau trong chöông naøy .(cid:137)
Φ
Boå ñeà 16:
Xv ∈
~ ( ) v =Φ
( ) v
( )v
( ( ) ( ) . . vhvg ξ
) . Φ
Φ laø haøm soá tìm ñöôïc ôû ñònh lyù 12
t
,
1
≥
Ñaët ,
=
( ) t
1
t <≤
1 ⎧ ⎪ t ⎨ ⎪⎩ 0,1
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ξ ⎪ ⎪ ⎩
X
Xv
,1
∈∀≤
~ Φ
vôùi
~ ñoù Φ
( ) v
. Khi laø haøm Lipschitz ñòa phöông treân vaø
Trang 13
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
,
t
1
≥
=
0
Xv ∈∀
≤
Chöùng minh:
( ) tξ
( ) , vhvg
( ) 1 ≤
0,
1
t <≤
1 ⎧ ⎪ t ⎨ ⎪⎩ 1
vaø , ta coù
1<
Do ñoù:
( ) Φ v
=
Φ
Φ
~ ()vΦ
( ) ( ) . vhvg
( ) v
( )v
( . ξ
∗ Neáu
.1.1.1
≤
thì: ) .
( )vΦ
1>
1<
( ) Φ v
=
Φ
Φ
∗
( ) ( ) . vhvg
( )v
( ) v
( . ξ
.1.1
.
1
≤
Φ
=
( ) v
1 ( ) v Φ
Xv
,1
~ Φ
∈∀≤
áu Ne ~ ()vΦ thì: ) .
( ) v
X
Nhö vaäy
Maët khaùc ñeàu laø caùc haøm Lipschitz ñòa phöông treân vaø
Φ, )+∞,0
, hg
Φ,
v
,
BX ∃∈∀
. , hg ξ laø haøm Lipschitz treân [
v
Khi ñoù ( quaû caàu môû taâm v) sao cho laø caùc haøm
2
. Φ
−
Φ
)
)
( v
)
( v
( ) . ξ
) . Φ
=
( v 1
( v 1
) ( ( vhvg . 2
2
2
)2
Φ−
Lipschitz treân vB , vì vaäy: ~ ~ ) ) ( ( v vΦ− Φ 1 () ) ) ( ( . vhvg . Φξ 1 1
)
)
( v
( ) . Φξ
) [ . Φ
) ( ( vhvg . 1 1
( v 1
( v 1
Φ
−
Φ
≤ +
)
( v
( ) . ξ
)
) .
]2 ) ( ξ
) ( ( vhvg . 1 1
( v 1
)2
−
Φ
Φ
+ +
)
( vh
)
)
( v
( v
() 2vΦ ( . ξ
) ( ( vhvg . 1 1
2
2
)2
−
Φ
+
)
( vg
)
( v
)
( vΦ
) . ( ) . ξ
( vg 1
2
( vh . 1
2
)2
.
.
.
.
Φ
Φ−
+
−
−
≤
)
)
( v 1
( v KMv 2
v 1
v
vLMv + 2 1 v
v
. Mv 2
v
, gh
Φ,
,
,
+ + ) .
NLK v
v
v
(v ùi ô
0> laø chaën treân cuûa
vM
K
−
+
Φ−
≤
) .
(
)
vaø )
. vuML v
v
v
( v Φ 1
K
−
+
+
−
laàn löôït laø caùc haèng soá Lipschitz cuûa )2vΦ ( ( ) . Mv 2
v + (
) .
. vN 1 v
. Mv 2
v
. vuML v
v
v
∀
∈
L
v
+
+
−
≤
≤
1, vv
2
vB
( KM . v
v
v
) vN . v 1
2
,
Trang 14
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
⇒
vB
X
~ Φ ~ Φ
Lipschitz treân
⇒
Lipschitz ñòa phöông treân .(cid:137)
Xv ∈∀
Boå ñeà 17:
)⋅,(vϕ laø nghieäm cuûa baøi
ôû oå ñe Xeùt b à 16. Khi ñoù , goïi ~ haøm Φ
~ Φ−=
( ) ϕ
ω≤∞−
+∞≤
toaùn Cauchy:
)
− ωω ,
+
ω< +
−
0,
v
=
)
d ϕ ⎧ ⎪ dt ⎨ ( ⎪⎩ v ϕ
):khoaûng lôùn nhaát chöùa 0 ( ,vôùi (
Khi ñoù:
)⋅,vϕ xaùc ñònh treân R
(
1
−
, vRt
v
,
f
∉∀∈∀=
−
(i).
( , tv ϕ
)
[ ( c
] )εε , c +
Xv
t
≤
(ii).
≥ 0∀∈∀ ,
( ( , f ϕ tv
) )
( ) , vf
(iii).
, ts
ω
Chöùng minh:
, ∈∀+∞<+
( ω −
)+ ω,
t
t
dr
−
t
s −≤
( , sv ϕ
)
( , tv ϕ
)
( ( , rv ϕ
) ) dr
( ( rv, ϕ
) )
~ ∫ Φ=
~ ∫ Φ≤
s
s
⇒
Neáu , ta coù:
( { tv , ϕ
, ωω
} ( )
t −∈
)+
X
⇒
~ v ∈→
laø daõy Cauchy trong X
( ,ϕ tv
)
+→ωt
(khi )
å keùo daøi veà beân phaûi cuûa
oaùn Cauchy treân coù the iaû thi ãn vôùi g eát Vì vaäy nghieäm baøi t +ω .Daãn ñeán maâu thua
.+∞=+ω
Do ñoù
. −∞=−ω
~ Hôn nöõa Φ
Ch öùng minh töông töï
)⋅,vϕ (
Lipschitz ñòa phöông treân X neân laø nghieäm duy nhaát
Av
∈∀= ,0
xaùc ñònh treân R
( ) vg ~
Av
,0
∈∀=Φ⇒
( ) v
1
−
f
,
Rt
⇒
= , v
v ∉∀
−
∈∀
( , tv ϕ
)
[ ( c
] ) c , εε +
df
=
∗ Ta coù
( ( , tv ϕ
( , tv ϕ
( )tv ( ) ,ϕ
d dt
df dt
⎛ ) ) . ⎜ ⎝
⎞ )⎟ ⎠
∗
Trang 15
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
df
−=
( ( ,ϕ tv
~ ( ( ) ( ) ,ϕΦ . tv
df
−=
) ) ) ( ( , tv ϕ
( ) ( ) , gtv . ϕ
( ) ) ( , htv . ϕ
) )
)tv ( ,
( ) ( ( ) . , tv Φ ϕξ
) . Φ
g
−=
( ) ) ( , htv . ϕ
( ( , tv ϕ
) )
( ( , tv ϕ
) ) . Φ
(( ϕ
( ) ( ( ) . , tv Φ ϕξ
) . df
g
df
−≤
Φ
( ) ) ( htv , . ϕ
( tv ,
(
) )
( ( tv , ϕ
) 2 )
( ( ( ) ) tv . , ϕξϕ
) .
, RtXv
,0
∈∀∈∀≤
f
~ Χ
Φ
) )tv ,
2
df
df
,
df
≥
∀
( Vì laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa treân neân
( ( tv , ϕ
( ) ) . Φ
( ( tv , ϕ
) ) )
( ( tv , ϕ
) )
( ( tv , ϕ
) 0 ) ≠
f
, RtXv
,0
∈∀∈∀≤
)
( ( ,ϕ tv
) )
f
Xv
t
⇒ f
≤
0∀∈∀ ,
≥
d dt ( ( , tv ϕ
) )
( ( v ϕ
) ) ,0,
Xv
t
,
0
⇒
≤
≥∀∈∀
Nhö va äy
( ( , f ϕ tv
) )
( ) , vf
.(cid:137)
f
Ñònh lyù 18:
)C , (
c
c
− ε
− ε
∪
\
f
\
⊂ c f
0>∃ε
Cho thoaû ñieàu kieän
( ( εϕ + f
∪⊂cW )
Khi ñoù : . laø taäp môû vaø giaû thieát cuûa boå ñeà 17. ) 1,
Chöùng minh:
∗ Tröôøng hôïp 1:
φ≠cW
fWc
/∈=
=
1−∩=
uNeá , ta coù:
{} ( ) vfWv
( )c
Wc
∪
δ :0 >∃
laø taäp compact (Do ñònh lyù 5)
∪ ⊂ δ
∪
*Nn ∈∀
Ta seõ chöùng minh
,
(Giaû söû ngöôïc laïi thì ∃
nv ∈
∪ \ 1 n
⇒
<
)
( , Wvd n c
1 n
w
⊂
−
<
+
<
}
)
{ w ∃⇒ n
: vW c
n
n
( , Wvd n c
1 n
2 n
v −⇒
<
n
w n
2 n
∈→∃
∪⊂
w
(16)
cW
Ww c
n
k
ct neân (17) Maø laø taäp compa
Trang 16
Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient
−
<
v
w
n
n
k
k
2 k
w
→ w
n
k
⎧ ⎪ Nhö vaäy ⎨ ⎪ ⎩
w
v
w
≤
−
+
−
v −⇒ n
n
w n
w n
k
k
k
k
0
<
+
w →−
w kn
2 k
w
v kn →⇒
∪
∉
n
k
⇒
(18)
∪
w ∈→
n
k
v ⎧ ⎪ ⎨ v ⎪⎩
∪
(Do (17) vaø (18))
Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi laø taäp môû)
c
c
− ε
− ε
∪
\
f
\
( ( εϕ + f
)
δ
c
c
c
+ ε
+ ε
− ε
∪
∪
f
−cf
f
\
f
\
⊂
Do ñoù ñeå ch a h: öùng minh ñònh lyù naøy, ta c àn chöùng min
) ⊂ c 1, f (( ϕ
(( ϕ
)
)1,
∪ ⊂δ
δ
c
c
− ε
+ ε
f
\
f
∪\
−≤ c
, ε
v ∈∀
f
() ) 1,vϕ⇔
(
\ (
) 1, )
δ
⇔
(Do neân ) laø ñuû ) \ε ∪
( )1α
f
α
=
Rt ∈
ε−≤ c (19)
( ) t
( ( ,ϕ tv
) ) ,
) ( vô ùi
c
c
c
c
+
− ε
ε
+ ε
− ε
∪
∪
f
\
\
f
f
\
f
\
,
t
∀
∈v
∈
s ∈∀
<∀0
m nh (19), quaû v i aäy :
( , sv ϕ
)
[ ,0
]t
(
(
)
δ
δ 8
2
vaø ñuû beù, thì Ta caàn chöùng )
( )∉ −εcf ⎧ tv, ϕ ⎪ ⎨ cf ∈ +ε ⎪⎩ v
ε
⇒
c −> ε
( ) ) ( , f tv ϕ ( ) vf c +≤
⎧ ⎨ ⎩
⇒
ε ε
c −> c +≤
( ) t ( ) 0
α ⎧ ⎨ α ⎩
−
Luùc naøy ta coù
( ) 0 αα
( ) ε
2
t t df −= ⇒ (20) ε2 ,α )ds
(
s (
(
,
sv
ϕ (
,
sv
ϕ ) ∫ ∫−> d
⎛
)
)
.
⎜
⎝ dt ⎞
.
ds
⎟
⎠ 0 0 t = )
) (
(
,
sv
ϕ )
(
)
.
Φ (
(
,
sv
ϕ )
)
)
ds (
(
(
,
sv
ϕξ
Φ )
.
df ∫ 0 ⇒ Trang 17 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient c c + ε −
ε ∪ \ f \ g h s , = (
(
,
sv
ϕ )
) (
(
v
ϕ ) 1
)
= (
(
)
sv
,ϕ ∈ f ) δ
8 t 2 ≥ ds (
sv )
) )) )
(
(
. ϕ
df
,
sv (
(
∫ Φ
,ϕξ 0 (Vì neân ) ~
Χ t b df .
ds ≥ t (Vì Φ laø tröô øng vectô giaû gradient cuûa f reân ) )
) (
(
,
sv
ϕ )
) )
. (
(
(
∫ Φ
,
sv
ϕξ 0 t .
ds Φ ≥ (Do boå ñeà 15) )
) (
(
,
sv
ϕ )
) (
(
(
,
sv
ϕξ
Φ )
. ∫ b
2 0 ~
Χ ) t ≥ )
) (
(
,
sv
ϕ )
)
.
ds (
(
(
,
sv
Φ
ϕξ )
.
Φ b
∫
02 t = g h , = øng vectô giaû gradient cuûa f treân ) (Vì Φ laø tröô (
(
,
sv
ϕ )
)
.
ds (
(
sϕ
v )
) (
(
,
sv
ϕ ) 1
)
= ~
∫ Φ b
2 0 t = (
,
sv
ϕ )
ds ∫ b
2 d
dt 0 = (
,
tv
ϕ ) v
− b
2 , t v − < ()
ϕ⇒ v 4
δε
<
b
8 v ⇒ − < (
tv
,
ϕ ) δ
8 ⇒ ∪∉ ) (Vì (
tv
,
ϕ ) δ 2 d (21) ) (
(
)
δ
2 ∪∉v (Vì ngö ôïc laïi thì ) δ≥cWvd ,
( δ v ≤ − < , < (Vì ) Cuøng vôùi (
tv
,
ϕ ) ) ) (
dWvd
c (
)
(
,
Wtv
,
− ϕ
c δ
⇒
2 δ
8 (Do boå ñeà 14) ñi ñeán maâu thuaãn) Trang 18 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient α −> c ε ( )
1 c <−⇒ <
αααε < c
+≤ ε ( )
t ( )
1 ( )
0 c <−⇒ c
+≤ ε (
,
tv
f
ϕε ( )
) c −
ε \ f ⇒ c
+∈
ε
f Neáu (19) sai thì (
,
tv
ϕ ) c c + ε −
ε ∪ f \ f \ ∈ (22) (
tv
,
ϕ ) ( ) δ 2 0 ⇒ b
>≥ Töø (21) vaø (22) ta coù (
(
df ϕ
tv
, )
) 2 df α ⇒ ( )
t )
) (
()
tv
,
ϕ ) (
(
(
tv
,
Φ−≤
ϕξ )
. d
dt (Do boå ñeà 15) , t 1 ≥ = (Do keát quaû chöùng minh cuûa boå ñeà 17) ( )
tξ 1 t
<≤ 1
⎧
⎪
t
⎨
⎪⎩
0,1 Vì 2 2 df α −≤ b
−≤ 1 Φ < Neân: ( )
t (
(
tv
,
ϕ )
) (
(
tvϕ
, )
) d
dt 2 df −≤ −≤ α 1 Φ ≥ thì ∗ Neáu ( )
t (
(
tvϕ
, )
) 1
4 d
dt (
(
)
)
tv
,
ϕ
(
)
)
(
tv
,
Φ
ϕ thì ∗ Neáu ~
) Χ 2 2 max , min , b ≤ − − −= α (Vì Φ laø tröôøng vectô giaû gradient cuûa f treân ( )
t 1
4 d
dt 1
4 ⎧
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ ⎧
b
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ t<0 Nhö vaäy 2 min , α −≤ t
∈∀ ( )
t (
,0 ]δ d
dt 1
4 ⎧
b
⎨
⎩ ⎫
,
⎬
⎭ δ δ 2 dt min , dt α ⇒ −≤ ( )
t ∫ ∫ d
dt 1
4 ⎧
b
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ 0 0 min ⇒ − −≤ ( )
αδα ( )
0 2 δ
,
4 ⎛
b
δ
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ min ⇒ ≥ ( )
−
δαα ( )
0 2 δ
,
4 ⎧
b
δ
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ ñuû beù, neân ta coù theå xem: Baát ñaúng thöùc cuoái ñuùng vôùi Trang 19 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient min > − ≥ ( )
( )
2
0
δααε 2 δ
,
4 ⎧
b
δ
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ ⇒ min ε > b
2 2 δδ
⎧
,
⎨
8
⎩ ⎫
⎬
⎭ Cuøng vôùi (20) ta coù Daãn ñeán maâu thuaãn Töùc laø (19) ñuùng. φ=cW ∗ Tröôøng hôïp 2: c c c c ε
− + ε + ε ε
− ∪ f f \ \ f \ f B ⊂ = :
φδ =∪ −⊂ cf
ε Neáu
Ta coù ( thì
) (
ϕ )
B 1, f ⇔ ε laø ñuû Do ñoù ta chæ caàn chöùng minh (
)
(
)
1,
v
ϕ
, ∈∀∈∀
tBv ( )
1
≤
ααα ≤ c
+≤ ε α
⇔
( )
1 c
−≤
( )
t (23) ,
Bv
c
∈∀−≤
ε
]δ,0
[
, ta coù c
+≤ α −> c ε ( )
0 ε ( )
1 ( )
t
αε
<−
( )
0
c
ε
+≤ c
⎧
⎨
α
⎩ ε c
+≤ ⇒ ,neân Neáu (23) sai thì )
)
(
(
c
f
tv
,
ϕε
<−
⎧
⎨
( )
( )
t
2
0
ε
αα
<
−
⎩ (
⇒ ,ϕ
tv ∈ ) B 0 ⇒ b
>≥ (
(
df ϕ
tv
, )
) (24) φ≠cW min ≥ ( )
−
δαα ( )
0 2 δ
,
4 ⎧
b
δ
⎨
⎩ ⎫
⎬
⎭ min ε > Chöùng minh töông töï nhö tröôøng hôïp , ta ñöôïc: b
2 ⎫
⎬
⎭ 2 δδ
⎧
,
⎨
4
⎩ Cuøng vôùi (24) ta coù Daãn ñeán maâu thuaãn Töùc laø (23) ñuùng Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn .(cid:137) Trang 20 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient −
ε \ ∪ ⊂ c
f Ñònh lyù 19 (ñònh lyù Deformation): (
c
εϕ
+
f )
1, Vôùi giaû thieát nhö ñònh lyù 18, ta coù keát quaû maïnh hôn v cf
∪\ε+∈∀ Chöùng minh: v ε−∈ cf ta coù 2 tröôøng hôïp sau: (
)1,v
(
)
f ϕ )0,v
(
(
)
f ϕ≤ = c
ε−≤ ( )
vf ⇒ cf
−∈
ε c c −
ε ε + v v \ f f ε−∉ cf ∈ thì (Do boå ñeà 17) ∗ Neáu (
)
v 1,
ϕ
( ⇒ cf
−∈
ε thì ∗ Neáu ) ∪\ (
)
v 1,
ϕ c c + ε + ε f , f ∪\ ∈ v
∈∀ (Do ñònh lyù 18) )
1, −
ε \ ∪ ⊂ c
f Toùm laïi, ta luoân coù )
1, (
v
ϕ
(
c
εϕ
+
f .(cid:137) Hay 0 0 >t −
ε \ ∪ Nhaän xeùt: ε∃ : (
c
εϕ
+
f ) 0,
t raèng: “Vôùi giaû thieát nhö ñònh lyù 19 vaø
⊂ c
f (khoâng nhaát thieát laø ∗ Qua vieäc chöùng minh ñònh lyù 18 vaø ñònh lyù 19 ta keát luaän ñöôïc
cho tröôùc thì luoân
0t phaûi baèng 1)”. (25) )+C (töông öùng (
)c−,0 )” ∗ Keát hôïp vôùi phaàn nhaän xeùt cuûa boå ñeà 15, ta cuõng keát luaän
ñöôïc raèng: “Neáu c>0 (töông öùng c<0) thì (25) vaãn coøn ñuùng
)−C ).
)C bôûi ñieàu kieän (
khi thay ñieàu kieän (
)c,0∈
(
.(cid:137)
Ngoaøi ra ε cuõng coù theå choïn (töông öùng ( Ñònh nghóa 20: ℑ∈F φ≠ℑ
thì Cho taäp hôïp vaø φ≠Χ
) , neáu
Cp .(cid:137) thoaû tính chaát ( laø hoï caùc taäp con cuûa X. Ta noùi raèng ℑ
) ℑ∈1,Fϕ
( φ≠ℑ Ñònh lyù 21 (Ñònh lyù Minimax): c f X = c ∈∈/
Fv thoaû tính X
treân {
sup ( )
vf )C . Goïi
} R vaø , thì laø hoï caùc taäp con cuûa
laø giaù trò tôùi haïn cuûa . chaát ( Cho f thoaû ñieàu kieän (
)cp
inf
F
ℑ∈ Trang 21 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient c = ∈ Chöùng minh: {
sup }Fvvf
( )
/ inf
F
ℑ∈ inf / : F = ℑ∈∃∈ ⊂ +∞ Ta coù {
FRb }bf : cf
+⊂ 0>∀ε (vì ) (26) F
ℑ∈∃
ε F
ε φ=cW ε− −
ε ⊂ c
f cf Vì vaäy thì ε )
1, (
)
ϕ
ε ⊂
1,F Theo ñònh lyù 19, ta coù neân Do ñoù , neáu c khoâng phaûi laø giaù trò tôùi haïn cuûa f thì
(
c
εϕ
+
f ( ) ℑ∈1,εϕ F Maø Daãn ñeán maâu thuaãn vôùi (26) .(cid:137) )+C (töông öùng ( )−C ) .(cid:137) )C bôûi ( Nhaän xeùt: Qua vieäc chöùng minh naøy vaø phaàn nhaän xeùt cuûa ñònh lyù 19,
ta keát luaän ñöôïc raèng: “Neáu c>0 (töông öùng c<0) thì nguyeân lyù Minimax vaãn
coøn ñuùng khi ta thay ñieàu kieän ( f Heä quaû 22: )C . Neáu Χ Χ bò chaën (töông öùng bò chaën döôùi) treân Cho f thoaû ñieàu kieän (
f thì ñaït giaù trò lôùn nhaát (töông öùng nhoû nhaát) treân . Chöùng minh: ∗ Giaû söû f bò chaën treân: { }X=ℑ c / = AÙp duïng ñònh lyù Minimax vôùi , ta coù: {
sup ( )
vf }Xv
∈ c : ∈∃⇒ = ) (
vfWv
1
1 f⇒ laø giaù trò tôùi haïn cuûa f 1v ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi v =ℑ ∗ Giaû söû f bò chaën döôùi: { }{
v / }Χ∈ c inf / = , ta coù: AÙp duïng ñònh lyù Minimax vôùi { ( )
vf }Xv
∈ c : ∈∃⇒ = ) (
vfWv
2 2 f⇒ laø giaù trò tôùi haïn cuûa f 2v ñaït giaù trò nhoû nhaát taïi .(cid:137) Trang 22 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient III. ÑÒNH LYÙ 23 (ÑÒNH LYÙ MOUTAIN PASS): Cho f thoaû ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau: )+C 0 ∃ βα , > , v ,
β α v
Χ∈∀≥ = (i). Ñieàu kieän ( ( )
vf 0, ,0 v v <Χ∈∀> (ii). : ( )
vf ∃e α< { }0\Χ∈
: ( ) 0=ef f (iii). ( ) 0
0 = f (iv). )+∞ [
∈ ,βc . Khi ñoù coù moät giaù trò tôùi haïn /γγ Chöùng minh: [
]
X→1,0: =Γ { }, ta coù φ≠Γ 0
e =
= ( )
0
( )
1 γ
⎧
⎨
γ
⎩ Ñaët: lieân tuïc vaø ] Χ→1,0:γ [ t .(cid:54) (vì xeùt aùnh xaï Γ∈γ et 0
e =
= ( )
0
( )
1 γ
⎧
⎨
γ
⎩ Γ∈γ Ta thaáy ngay γ lieân tuïc vaø , do ñoù ) [
]
)1,0γγ =F
( γF Ñaët vôùi (vì γ lieân tuïc neân laø taäp =ℑ ≠Γ∈ compact) } φ c / f = = vaø (vì φ≠Γ ) ( )
vf (
γ ( )
t ) +∞< } {
/F
γγ
{
sup Fv
∈
γ inf
.max
[
]
γ
∈Γ∈
t
1,0 inf
γF
ℑ∈ α>e Suy ra t Töø (ii) vaø (iii) ta coù ( ) αγ − ]1,0∈t
[ ( )
Γ∈∀γ
tg
g lieân tuïc treân [ Vì vaäy , ñaët , g 0 − −= < ( )
( )
g
1.0 =
]1,0
)
αα e ( ⎧
⎨
⎩ thì )1,0
( ) α
= 0 ∈t ) α=0tg
( (
⇔ 0t
γ f ⇒ ) β
)
≥ (
(
0t
γ f ⇒ ( )
(
t
γ ≥ ) β max
[
]
t
1,0
∈ ∈⇒ )+∞ [
,βc Cho neân ∃ : Trang 23 Phöông Phaùp Tröôøng Giaû Gradient )c,0∈ε
( ℑ thoaû tính chaát ( )cp Luùc naøy choïn thì theo (iii),(iv) vaø boå ñeà 17 ta coù: Do ñoù theo phaàn nhaän xeùt cuûa nguyeân lyù Minimax c laø giaù trò tôùi
haïn cuûa f .(cid:137) 0, ,0 v v <Χ∈∀> α< Nhaän xeùt: ( )
vf Qua chöùng minh treân ta luoân keát luaän ñöôïc raèng: “Ñònh lyù Moutain
(caùc ñieàu Pass vaãn coøn ñuùng khi ta thay ñieàu kieän: 0, ,0 v v
<Χ∈∀≠ kieän khaùc vaãn giöõ laïi) bôûi ñieàu kieän nheï hôn: ( )
vf α>e α< ∗ Hoaëc ∗ Hoaëc “ .(cid:137) Trang 24 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland CHÖÔNG II: X Trong suoát chöông II vaø chöông III, neáu khoâng noùi gì theâm thì ta luoân hieåu raèng laø khoâng gian Banach. XF : >~ Xu ∈∀≠ , φ Ñònh nghóa 1: ( )
,
uFX Cho aùnh xaï ña trò , }Nn (
uC / u = = /
n ∈
{
(
)
∪
uC }u ) {
u
=+
( )
uC
0 0 + u ,..., u ,... : u Nn = ∈ ∈∀ Ta ñaët: (
uF )
, ,
uu
0
1 n n n + 1
+ Trong ñoù: Luùc ñoù: F goïi laø moät heä ñoäng hoïc ∗ 0u +u goïi laø moät chuyeån ñoäng vôùi ñieåm xuaát phaùt ∗ )+uC
( +u . ∗ goïi laø quyõ ñaïo cuûa chuyeån ñoäng .(cid:137) u Ñònh lyù 2: ( )uC 0∈ ∗ (tính phaûn xaï) ( )uCw [
( )
uCv
0∈ ( )]vCw
0∈ 0∈⇒ ∗ vaø (tính baét caàu) ∈∀ ∈∀ ( )
,
uCv ( )vCw 0 0 v uu
, = = 0 n Chöùng minh: )Nmn ∈,
( w vv
, = = 0 m u
⎧
⎨
v
⎩ uwu , p n 0, = = ≤ ≤ Ta coù , w
0
w 0
v , p 1 = p
n
+≥ p np 1
−− ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ w Np ,
wu w ∈∀ = = Choïn (
wF )
, w
0 nm +w p p ++
1 ∈+
1 Khi ñoù daõy chöùa vaø laø moät chuyeån ñoäng (vôùi ñieåm xuaát phaùt laø u) chöùa w vaø +w
.(cid:137) ( )uCw
0∈ Vaäy Trang 25 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland :
XF X : Xf >~ Ñònh lyù 3: , : ∈∃∈∀ + ≤ ( )
uFvXu ( )
vf (
,
vud ]+∞→ ,0
[
( )uf
) thoaû maõn: Cho heä ñoäng hoïc vaø Khi ñoù: +u vôùi ñieåm xuaát ( ) +∞ (i). Neáu thì toàn taïi moät chuyeån ñoäng ( )uFu ∈ (ii). Neáu theâm ñieàu kieän ñoà thò cuûa F laø ñoùng thì u :
ufXu ∈= Chöùng minh: ( ) +∞< 0 1
+
≤ Xeùt ∈∀n N − ≤ ≤ )
n
+∞<
) (
uf (
uf ) ) , (1) n n n 1
+ 1
+ u
⎧
n
⎪
(
0
⎨
⎪
(
0
⎩ M 1
− , MN
, ≤ − ∀ ∈ ⇒ Duøng qui naïp ta xaây döïng ñöôïc daõy { }nu :
(
uF
∈
) (
)
uf
n
) (
uud
,
n ) (
uf ) (
uf )
, ( )MN < (
uud
n n N M 1
+ ∑ Nn
= , u ∀ MN, ∈ ≤ − N (
ud ) (
uf ) (
uf ( )MN < M N N )M ⇒ , N (2) { }
) (
nuf X Töø (1) suy ra laø daõy giaûm khoâng aâm neân hoäi tuï Xu ∈→ ñaày ñuû, do ñoù: u n ,..., u u Keát hôïp vôùi (2) ta coù { }nu laø daõy Cauchy trong ,
uu
0
1 n →,... Graph ∋ Nhö vaäy )uu
(
, (
,
uu
n n )
1 →
+ Graph ∈, Luùc naøy (
uu ) Graph ( )uF hay u ∈ .(cid:137) Do ñoù, neáu ñoùng thì X Xg →: : Xf Xu + ≤ ∈∀ Ñònh lyù 4: ( )
)
(
ugf ( )
)
(
,
ugud ( )
,
uf ]+∞→ ,0
[ Cho vaø thoaû: u uu
, = = = Khi ñoù: (
ug ) (
n
ug ( ) +∞ n n 0 )0 1
+ (i). Neáu vaø daõy { }nu thoaû u n →
u u = thì ( )ug (ii). Neáu thoaû theâm ñieàu kieän ñoà thò cuûa g ñoùng thì Trang 26 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland = Chöùng minh: Xu ∈ ( )
uF }ug
( )
{ AÙp duïng ñònh lyù 3 vôùi , ta coù ngay keát luaän cuûa ñònh lyù 4 .(cid:137) :
XF X : Xf >~ Ñònh nghóa 5: ]+∞→ ,0
[ f Cho heä ñoäng hoïc vaø khoâng ñoàng nhaát vôùi ∞+ , ∈∀∈∀ + ≤ (goïi taét laø taùn xaï) neáu Luùc ñoù F goïi laø taùn xaï lieân keát vôùi haøm ( )uFvXu ( )
vf (
,
vud ) ( )uf , ta coù: .(cid:137) Ñònh lyù 6: +u u X vaø u =0 ( ) +∞ u ∈ sao cho Cho F laø taùn xaï,
vaø . thì toàn taïi moät ñoäng chuyeån ñoäng
)n
(
uC
0 :
ufXu ∈ Chöùng minh: ( )uCv ( ) +∞< 0∈∀ u Xeùt vaø u =0 u k =
v +u ,...,1,0 k 1 , i
=∀ − + ≤ ⇒ Khi ñoù ∃ moät chuyeån ñoäng chöùa , (
uf ) ) (
uf (
uud
i i )i i 1
+ 1
+ k k k 1
− 1
− 1
− , + ≤ ⇒ (
uf ) ) ) i (
xxd
i i i 1
+ 1
+ ∑ ∑ (∑
uf i 0 i 0 i 0 = = = + ≤ ⇒ (
uf ) ) (
uf k (
uud
0 , k )0 + ≤ ⇒ ( )
vf (
,
vud ) ( )uf ≤ − ≤ − ⇒ (
,
vud ) ( )
uf ( )
vf ( )
uf ( )ug inf / = ∈ , . ( )
ug { ( )
(
uCwwf ) } −∞> 0 diameterC − ⇒ vôùi ( )
u ( )
uf [
≤ 2 ]ug
( ) 0 inf / = (3) ( )
ug { }uCwwf
(
( )
∈ ) 0 n − 2 u v ≤ + ⇒ Cuõng töø (
vf ) (
vg ) v =
∃ 0 n (
vC
0 )n 1 ∈+ n n 1
+ ⇒ : , (
vC
0 n (
vC
0 )n )
⊂+
1 ⇒ (Do ñònh lyù 2) (
vg (
vg n )
≥+1 n n − − 2 2 ≤ + ≤ + (4) )n
) (
vf ) (
vg (
vg ) n n n 1
+ 1
+ ⇒ Trang 27 n − 2 − ≤ Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland (
vf ) (
vg ) n n 1
+ 1
+ n − ⇒ diameterC
0 (
nv 1 )
+ ≤ 1
2 ≠ ⊂ ) ⇒ (Do (3)) n 1
− n
2 )
(
v (
vC
0
)
≤ (
vC
0
1
n
+
diameterC
0 n 1
+ φ
⎧
⎨
⎩ ) n 1
+ Nhö vaäy (Do (4)) n − ,0 khi : n ≤ → +∞→ (
vC
0
n
)
2 2 )
⊂
(
vC
0 n (
⎧
vC
0φ
≠
⎪
⎨
⎪⎩
diameter ⇒ ) { }u
= 0∩ (
vC n Nn
∈ v Nn ∈∀ (Vì X ñaày ñuû) (5) ⇒ n (
vC
0 )n 1 ∈+ + = = = u v u u v , , neân: Hôn nöõa cuõng töø ∃ chuyeån ñoäng 0u chöùa v ∈
1 0
0 0 1 0
k 0 v ∈
2 (
vC
0 = = u v ∗ ⇒ , )0
(
vC
0
)1 ∃⇒ chuyeån ñoäng 2 +
1u chöùa 1
0 u,v
1 1
k 1 = = u v ∗ ∃⇒ chuyeån ñoäng + v ∈
3 (
vC
0 )2 2u chöùa 2
0 u,v
2 2
k 2 ∗ 3 + = u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∃⇒ chuyeån ñoäng +=
v v ∈+
1i (
vC
0 )i iu chöùa i
0 u,v
i i
k i +u ∗ 1i 1 1 ,..., u Luùc naøy ta xaây döïng chuyeån ñoäng nhö sau: + phaàn k 0 0
u,u
0 0
1 0
k 0 + k 0 + phaàn töû ñaàu tieân:
töû ñaàu tieân cuûa chuyeån ñoäng 0u ) 1 1 ,..., u ∗ (trích töø + phaàn k 1 1
1 1
k 1
u,u
0 1 + k 1 + phaàn töû (keá laàn 1):
töû ñaàu tieân cuûa chuyeån ñoäng 1u ) 1 1 ,..., u ∗ (trích töø + phaàn k 2 2
1 2
k 2
u,u
0 2 + k 2 + phaàn töû (keá laàn 2):
töû ñaàu tieân cuûa chuyeån ñoäng 2u ) ∗ (trích töø 1 1 ,..., u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + phaàn töû k i i
1 i
k i
u,u
0 i + k i + phaàn töû (keá laàn i):
ñaàu tieân cuûa chuyeån ñoäng iu ) ∗ (trích töø v Nk ∈∀ Nm ∈∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (
uC m 0∈ )k ∈ ⊂ ⇒ Khi ñoù , suy ra : (
vCu ) 0 m (
uC
0 )k u (Do (3) vaø (5)) ( (
uC
0 )k )kuCu
0∈ ∈ ∩
Nk
∈ ⇒ ⇒ Trang 28 diameter 0 +∞→k Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland ( ) →kuC 0 Vì (khi ) ) { }u
= 0∩ (
uC k Nk
∈ Neân .(cid:137) X Heä quaû 7: u ∈ laø ñieåm baát bieán cuûa Cho F laø taùn xaï vaø nöûa lieân tuïc döôùi thì ∃ uF ( ) { }u
= F , töùc laø . u Chöùng minh: u n → +u Xeùt u vaø chuyeån ñoäng trong ñònh lyù 6 (thì ) (
uF ( )uFw ∈∀ w ∈∃
n )n Hôn nöõa F nöûa lieân tuïc döôùi taïi u , neân ta luoân w n k ≥∀ hoäi tuï tôùi w ∈nk, N (
uC k 0∈ )n +∞→k ∈ n
∈∀ Khi ñoù , , (
uCw 0 )
n , () nuC0 w ∈ N (Vì ñoùng) Cho , ta ñöôïc ⇒ (
uC ) { }u
= 0∩ n Nn
∈ (Do ñònh lyù 6) uw = uF ⇒ ⇒ ( ) { }u
= .(cid:137) : ∈∃ : Xu
∈ Heä quaû 8: ( )
uFuCu ( ) { }u
= 0 +∞<
ñoùng thì Neáu Cho F laø taùn xaï lieân keát vôùi haøm f. Khi ñoù:
( )
uf
⎧
⎨
( )
uC
⎩
0 Chöùng minh: +u Nn ∈∀ Xeùt u vaø chuyeån ñoäng trong ñònh lyù 6 )nuC0
( (
uC
0 )n = ∩
Nn
∈ Nn ∈ ∈∀ Ta coù ñoùng, neân { }
u (
uCu )
, 0 n Nn ⊂ ∈∀ ⇒ ( )
uF )
, (
uC
0 n ⊂ ⇒ ( )
uF (
uC ) { }u
= 0∩ n Nn
∈ uF ⇒ ⇒ ( ) { }u
= .(cid:137) Trang 29 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland : Xf f + ≤ Ñònh lyù 9: (
,
vud ) = ∈∀ . Khi ñoù heä thoáng ñoäng hoïc [ +∞→ ,0
]
khoâng ñoàng nhaát vôùi
∞+
{
}
( )
( )
( )
laø moät taùn xaï lieân keát vôùi
/
vfXv
uG
uf
∈=
.
Xu ( )
uG ( )
,
uC
0 Cho
G ñöôïc ñònh bôûi
vaø φ≠G u ∈∀ Chöùng minh: X : , ( )uGu ∈
∈∀∈∀ + ≤ Ta coù: vaø G laø moät heä thoáng ñoäng hoïc vaø ( )
vf (
,
vud ) (uf ) Xu = ∈∀ cuõng laø moät taùn xaï (Vì , ta coù ). neân
( )uGvXu ( )
uG ( )
,
uC
0 Vaán ñeà coøn laïi ta phaûi chöùng minh ⇒ = Quaû vaäy: ( )
uG ( ) X
= ( ) +∞=uf uC
0 ∈∀ ∈∀ ∗ Neáu ( )
,
uGv ( )vGw ∗ Neáu ⇒ ( ) +∞ ( )
) +∞ , ≤ ( ) +∞ (
,
vud
( ≤
) ( )
uf
( )
vf ⎧
⎨
⎩ , + ≤ ⇒ (
vudwf
+ ( ) ) (
,
wvd ) ( )uf , ≤ ⇒ (
wudwf
+ ) ( ) ( )uf ⇒ ( )uGw ∈ ⊂ ∈∀ ⇒ ( )uGv ⊂ ⇒ ( )
,
uG
( )uG ( )
vG
( )
uC
0 (Vì neân ) ( )
uG ( )uC 0⊂ (Do ñònh nghóa) Hôn nöõa ( )
uG ( )uC 0= .(cid:137) Vaäy f F Heä quaû 10: u laø ñieåm baát
laø moät heä ñoäng f . Vaø neáu
(vôùi Ta coù G laø heä ñoäng hoïc lôùn nhaát lieân keát vôùi
bieán cuûa G thì u cuõng chính laø ñieåm baát bieán cuûa
F
).
hoïc baát kyø lieân keát vôùi , ∈∀∈∀ + ≤ Chöùng minh: ( )uFvXu ( )
vf (
,
vud ) (uf ) ⇒ ( )uGv ∈ ⊂ ⇒ ( )
uF ( )uG ∗ , ta coù Trang 30 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland uF ⇒ ( ) { }u
= ≠φ
uG ( )
uF
⊂
( ) { }
u
= ( )
uG
⎫
⎬
⎭ ∗ Neáu u laø ñieåm baát bieán cuûa G, khi ñoù: .(cid:137) ∞+ : Xf Ñònh lyù 11: [ +∞→ ,0 ] Cho khoâng ñoàng nhaát vôùi vaø nöûa lieân tuïc döôùi, khi f Dom Dom ∃ v ∈ ñoù: f sao cho: u ∈
0 + ≤ Neáu thì ( )
vf ) (
uf (
vud
0 , )0 v < + u
≠∀ (i). ( )
vf ( )
uf (
,
vud )
, (ii). + ≤ Chöùng minh: ( )
uG {
( )
/
vfXv
∈= (
,
vud ) }uf
( ) Ñaët (nhö trong ñònh lyù 9) ( )uG ñoùng (6) Vì u nöûa lieân tuïc döôùi neân (7) Theo ñònh lyù 9 thì G laø taùn xaï : , + ≤ ⇒ v + )
> ) ( )
vf
( )
uf (
vud
0
(
)
,
vud (
)
uf
0
( )
,
vf
u
≠∀ ) +∞<0uf
(
(
)
vGuCv
∈∃
0
0
(
(
uC
uG
=
0 0 0 ⎧
⎨
⎩ ( ) { }
v
=
⎫
⎬
)
⎭ Hôn nöõa , neân keát hôïp (6),(7) vaø heä quaû 8 ta suy ra: f .(cid:137) f Nhaän xeùt: Qua vieäc chöùng minh treân ta nhaän thaáy raèng caùc ñònh lyù vaø
bò heä quaû (lieân quan ñeán taùn xaï ôû treân) vaãn coøn ñuùng khi ta thay ñieàu kieän
chaën döôùi bôûi 0 bôûi ñieàu kieän bò chaën döôùi .(cid:137) 0 , >hε Ñònh lyù 12 (nguyeân lyù bieán phaân Ekeland): f X inf inf f ∈ = vaø { {} ∞+∪→ R
)
(
inf+≤ εε
uf u ∈ε X thoaû: Cho
Xf :
sao cho ,vôùi nöûa lieân tuïc vaø bò chaën döôùi. Laáy
}Xuuf
( )
/ v ∈∃ ε ≤ Khi ñoù ) (
uf (
vf
ε (i). (
vud )
,
≤εε , > u
≠∀ (ii). ( )
uf (
vf )
, )ε
1
h
)
−
ε ε (
..
vudh
ε v
ε (iii). Trang 31 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland Chöùng minh: d ' ε dh =
.. f f g − inf = ⎧ d thay bôûi
⎪
⎪
f thay bôûi
⎨
⎪
0u thay bôûi εu
⎪
⎩ + AÙp duïng ñònh lyù 11 trong tröôøng hôïp: v ∈∃ ε , < )
) (
vud
'
,
εε
( )
ug
+ (
)
ug
ε
)
u
,
≠∀ (
vg
ε
(
vg
ε )
≤
(
vud
'
ε y
ε ⎧
⎨
⎩ inf f f − + ≤ − ε thì : X inf , f − < + u
≠∀ ε (
)
vudh
..
,
εε
( )
uf
f
inf
− inf
)
, )
) (
)
uf
ε
(
vudh
..
ε v
ε (
vf
ε
(
vf
ε ⎧
⎨
⎩ + ε inf f ∈ ⇒ , < (
)
uf
ε
)
u
,
≠∀ v
ε ⎧
⎨
⎩ ≤ inf f + ε +≤
ε +≤
ε ⇒ ) (
vf
ε , ≤ )
)
)
)
) (
)
uf
ε
)
,
u
≠∀ (
)
vudh
..
,
≤
εε
( )
(
uf
vudh
ε
..
+
ε
(
)
uf
ε
(
)
..
,
vudh
≤
εε
( )
(
..
uf
vudh
+
ε
ε (
vf
ε
(
vf
ε
(
vf
ε
(
vf
ε
(
vf
ε v
ε ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ ≤ ) ) (
vf
ε ≤ ⇒ ) (
,
vud
εε , ε > − u
≠∀ ( )
uf (
uf
ε
1
h
) )
, (
vf
ε (
..
vudh
ε v
ε ⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ ⇒ (Vì ) R .(cid:137) R Xf →: Heä quaû 13: Cho nöûa lieân tuïc döôùi vaø bò chaën döôùi. Khi ñoù: inf inf Neáu f khaû vi Gateaux thì toàn taïi { } X vn ⊂ thoaû:
}Xuuf
( )
/
=
∈ { inf f 0 → (
vf
n
(
vf
' )
→
) n ⎧
⎨
⎩ vôùi f infα
= −∞> Chöùng minh: u ∃ ⊂ +≤ Ñaët (
ufX
: ) n n 1
α ,
n *Nn ∈∀ Khi ñoù { } Trang 32 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland ≤ (
vf ) (
uf ) n n = Theo ñònh lyù 12 thì: { } X
vn ∈
∃ Xu , ≥ − vu
− ∈∀ ( )
uf (
vf ) n n h 1
n
1 = 1
n ⎧
ε
⎪
⎨
⎪⎩ ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ ≤ (
vf )
n α
+≤ ⇒ tu tu v , , 0 + − −≥ + − tXu
>∀∈∀ (
vf ) (
vf (
v ) 1
n
) n n n n 1
n ⎧
α
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ = α (
vf ) n lim
n
+∞→ ⇒ u + − (
vf (
vf ) ) n n , , 0 −≥ tXu
>∀∈∀ n tu
t ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ t +→ 0 : ,vôùi = α (
vf ) n lim
n
+∞→ u , Xu −≥ ∈∀ (
vf
' )( )
u n n ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ n Cho ,ta ñöôïc: Xu ,0 ∈∀≥ (
vf
(
'
vf )
=
α
)( )
u n lim
n
+∞→
lim
n
+∞→ ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ α n ⇒ 0 = (
vf
(
vf
' )
=
) n lim
n
+∞→
lim
n
+∞→ ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ ⇒ .(cid:137) Ñònh nghóa 14: Χ⊂Ω≠φ khaû vi Gateaux, khi ñoù phieám haøm f ñöôïc goïi laø thoaû Xf →:
R
)C treân
( n : ∀ Ω⊂ { }
v n 0 )
}
)
→ n (
{
vf
⎧
⎨
(
'
vf
⎩ ' / v
∈∃ ∈ Cho
ñieàu kieän , neáu: {
v }
vfNn
: ( ) 0
= n thì .(cid:137) Trang 33 ò ë Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland R Xf →: Ñònh nghóa 15: X∈Ω≠φ Cho khaû vi Gateaux. Khi ñoù phieám haøm f ñöôïc goïi laø thoaû ñieàu kieän (C yeáu) treân , neáu: n ,0 Nn bò chaën { } Ω⊂ ∀ nv n 0 → }
)
)
∈∀≠
) n (
{
vf
⎧
⎪
(
'
vf
⎨
⎪
(
'
vf
⎩ inf sup ≤ ≤ (
vf ) ( )
vf (
vf ) n n lim
n
+∞→ Xv ∈∃ : 0 = lim
n
+∞→
( )
vf
' ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ : thì .(cid:137) Xf →: +∞→v Ñònh lyù 16: ( )
+∞→vf Gateaux, loài, nöûa lieân tuïc döôùi yeáu treân X vaø Cho X laø khoâng gian Banach phaûn xaï, phieám haøm
khi khaû vi
R
thì f thoaû ñieàu kieän (C yeáu) treân X. Chöùng minh: n : ,0 X Nn ⊂ bò chaën { }
v n n 0 → }
)
)
∈∀≠
) n {
(
vf
⎧
⎪
(
'
vf
⎨
⎪
(
'
vf
⎩ sup Goïi { }
v (
vf ) ) n n ( n
vf { }n
v lim:
n
+∞→ = lim
n
+∞→ +∞→ Xeùt laø daõy con cuûa , ,
v
khi
+∞→
}
)
bò chaën ( )
⎧
vf
⎪
⎨
(
{
⎪⎩
nvf Vì ∞+ ⇒ ⇒ ) bò chaën X⊂ Xv ∈ ,
nv
{ },,
nv∃
{ },,,
nv∃ sup ≥ = ⇒ ) hoäi tuï yeáu tôùi (daõy con cuûa { },
nv
(daõy con cuûa { },,
nv ( )vf (
vf )
) ( ) ,,,
n n lim
n
+∞→ lim
n
+∞→ ⇒ (Vì X laø khoâng gian Banach phaûn xaï)
(
vf v Xv − + ≤ ∈∀ (Vì f nöûa lieân tuïc döôùi yeáu treân X) ( )
,
vf )(
v ) (
vf ) ,,,
n ,,,
n ,,,
n (Vì f loài vaø khaû vi Gateaux) Hôn nöõa:
(
vf Trang 34 Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland Xv ≤ ≤ ∈∀ , ta ñöôïc: +∞→n ( )
vf ( )
,
vf (
vf ,,,
n lim
n
+∞→ sup Xv ≤ ≤ ∈∀ Cho ( )
vf )
(
vf ) ( )
,
vf n lim
n
+∞→ sup = = ⇒ ⇒ (
vf ) ( )
vf ( )vf n lim
n
+∞→ inf
Xv
∈ inf (8) (
vf ) ( )vf n lim
n
+∞→ = inf
Xv
∈ ' =vf Chöùng minh töông töï (9) (
vf ) ( )vf ( ) 0 n lim
n
+∞→ = inf
Xv
∈ vaø Töø (8) vaø (9) ta coù ( )
vf ( )vf = inf
Xv∈ (Vì vaø f khaû vi Gateaux) .(cid:137) Xf →: Ñònh lyù 17: f f R
' lieân tuïc treân moïi ñöôøng thaúng vaø Cho f
trò nhoû nhaát. khaû vi Gateaux, nöûa lieân tuïc döôùi vaø bò chaën döôùi. Neáu
ñaït giaù thoaû ñieàu kieän (C yeáu) thì f inf X : ⊂ Chöùng minh: { }
v
∃ n 0 → (
vf
n
(
vf
' )
→
) n ⎧
⎨
⎩ Theo heä quaû 13 ∈∀≠ v Nn,0 Ta xeùt 2 tröôøng hôïp: (
u'f: ) n n v : ANn ,0 \ ∈∀= daõy con cuûa { } (
'
uf ) n n A≠φ laø taäp höõu haïn ⊂ N) daõy con cuûa { } (i). Hoaëc { }nu∃
(ii). Hoaëc { }nu∃ (vôùi f ∗ Xeùt tröôøng hôïp (i): Xu sup ∈∃ ≥ Vì ( )uf (
uf n lim:
n
+∞→ inf f ≥ ⇒ inf f = ⇒ ( )uf
( )uf thoaû ñieàu kieän (C yeáu), neân:
) Ñieàu naøy chöùng toû ñònh lyù 17 luoân ñuùng S ' = ∗ Xeùt tröôøng hôïp (ii): {
( )
ufXu
/
∈= } φ≠
0 const f = X S = Ñaët thì vaø ñònh lyù 17 hieån nhieân o Neáu X SXw ' f 0 S ≠ \∈∃ ñuùng. ( )
≠w thì , do ñoù o Neáu Trang 35 ϕ = Phöông Phaùp Söû Duïng Nguyeân Lyù Bieân Phaân Ekeland ( )
t (
'
twf (
1
−+ [ 1,0 ] )nut
) ,0 , t t t ∈ − < [
]
:1,0 δ
∈∃
n 2 1 1 2 n 1 1
+ ⎞
:
t
∀⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ δ
n
2
α
n − < ⇒ ) ( )
(
t
t
ϕϕ
1 2 + )1 1
(
n max , 1, uw
− Ta laïi coù lieân tuïc ñeàu treân neân: 2
nα
(
twf (
1
−+ )
ut ) n n α<
n ) (Vôùi max
[
]
1,0
t
∈ t inf tS
, = ∉ ∈ {
twt
/ (
1
−+ )
ut [
]
}1,0 n n S ∈ = 1
n 0 t t t 1 ≤ ≤ ≤ ≤ S ∃ ∉ = Ñaët )
1
ut
n
n
)
2
ut
n n 2
n 1
wt
n
2
wt
n 1
n n 2
n t t − < 1
n 2
n (
1
−+
(
1
−+
δ
n
2
α
n ⎧
⎪
u
⎪⎪
u
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩ − ≤ < : ⇒ (
'
uf ) (
'
uf ) 1
n 2
n n 1 1
+ + 1
(
n )
1 2
α
n < ⇒ (
'
uf ) 2
n n 1 1
+ t 2
n − = − ⇒ (
twf
' (
1
−+ )(
)
uwut )
dt (
uf ) (
uf ) 1
n 2
n n n ∫ t 1
n t 2
n . dt uw
− ≤ (
twf
' (
1
−+ )
ut ) n n ∫ t 1
n t t 2
n 2
n 2 ≤ α
.
dt (
twf
' (
1
−+ )
ut ) n n n dtα ∫≤ ∫ max
[
]
1,0
t
∈ t t 1
n 1
n t ≤ − < < (
t ) 2
α
n 2
n 1
n δ
n n 1 1
+ − < ⇒ (
uf ) (
uf ) 1
n 2
n n 1 1
+ − < ⇒ (
uf ) (
uf (
uf ) (
uf 2
n n )
=1
n )n n 1 1
+ f inf → 2
n Nn ,0 Hôn nöõa neân 0 → (
uf
(
2
uf
n
(
uf
' )
)
∈∀≠
) 2
n ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ Nhö vaäy Keát quaû naøy ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû tröôøng hôïp (i). Vaäy ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh .(cid:137) Trang 36 Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò CHÖÔNG III: Ñònh nghóa 1: u ∈ laø moät taäp hôïp ñöôïc xaùc /* − ≥ Cho Xf →:
( )
uf
∂ ( )
uf f
(
uup R
{
Xp
∈= X
}Xu ñònh bôûi: .(cid:137) , vi phaân döôùi cuûa
( )
uf taïi
)
,
∈∀− R Xf →: Ñònh lyù 2: Xx ∈ thì ( )xf∂≠φ + ( )
xf (
xf / p Xd = ∂∈ ∈∀ Neáu laø {
max ( )
dp }
( )
,
xf lim
+→
0
λ .(cid:137) taäp loài, compact *yeáu vaø laø phieám haøm loài vaø lieân tuïc taïi
)
d
λ
−
λ M≠φ N≠φ Y⊂ Ñònh lyù 3 (ñònh lyù Minimax): NMf : × R→ Cho X,Y laø caùc khoâng gian Banach, loài , X⊂ loài vaø Phieám haøm )vu,
( )vuf
(
,(cid:54) uNv , (cid:54) ∈∀ thoaû ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau: )vuf
(
, (cid:54) uN
: ∈ ≤ loài vaø nöûa lieân tuïc döôùi. (i). (
vuf
, ( ) }r v
∈∃
0 {
/
vufMu
0, Rr ∈∀ )0
töông ñoái compact, vMu , (cid:54) ∈∀ inf compact, töùc laø (ii). )vuf
(
, (cid:54) : vMu , ∈ ≥ (iii). loõm vaø nöûa lieân tuïc treân. {
/
vufNv ( ) }r ∈∃
0 0 0 Rr ∈∀ )vuf
(
,
töông ñoái compact sup inf = sup compact, töùc laø (iv). (
,
vuf ) )vuf
(
, inf
NvMu
,
∈
∈ sup
MuNv
,
∈
∈ Khi ñoù .(cid:137) Nhaän xeùt: ∗ Ñònh lyù 2 ñaõ ñöôïc trình baøy ôû [6]. ∗ Vaø ñònh lyù 3 cuõng ñaõ ñöôïc trình baøy ôû [1], vì vaäy luaän vaên chæ söû duïng keát quaû maø khoâng chöùng minh laïi. .(cid:137) Trang 37 Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò * R :' Xf →: Ñònh lyù 4 (ñònh lyù Ambrosetti - Rabinowitz): Cho lieân tuïc vaø khaû vi Gateaux, lieân tuïc töø toâpoâ m inf / u f = > = 0>∃α : Xf →
X
maïnh vaøo toâpoâ *yeáu vaø ñoàng thôøi thoaû caùc ñieàu kieän sau: (
)
α ( )
uf ( )0 { }
α Xw ∈∃ w > > (i). ( )
αα:
m )wf
( ∈ / ≥ (ii). : f thoaû ñieàu kieän (C yeáu) treân }αmufXu
{
( )
( ) Xu : ∈∃ (iii). (
)
α
0 = ( )
muf
≥
( )
uf
' ⎧
⎨
⎩ c = ∈ ) Khi ñoù = ∈ ( )
0,
c
( )
0,
c ( )
1
=
( )
1,0
c }
0
}w
= ] C 0
⎧
⎨
=
C
⎩ Ñaët Chöùng minh:
]
[
{
(
=
X,1,0Cc/c
[
{
)
(
X,1,0Cc/c CC ,0 , max / t = − ∈ ) { }1,0
[
] (
ccd
1 2 ( )
tc
1 ( )
tc
2 :I C → Khi ñoù laø caùc khoâng gian meâtric ñaày ñuû vôùi: max / c (cid:54) t = ∈ R
( )
cI { ( )
)
(
tcf [
]
}1,0 Ñaët tieáp ∈ tCc , ∈ ϕ = Thì I nöûa lieân tuïc döôùi. ( )
t ( ) α
,
−
tc ]1,0
[ 0 α
<−= Hôn nöõa xeùt w 0 = α
>− ( )
0
( )
1 ϕ
⎧
⎨
ϕ
⎩ Ta coù (
ϕ
t ) 0
= ( )
1.0
<ϕϕ ( ) 0 [
]
:1,0 ∈∃
t
α α ) α= m max / t ≥ ≥ = ∈ Do ñoù neân (
(
tcf )
) )α
( ( )
cI { ( )
)
(
tcf (
⇔ αtc
[
]
}1,0 α ⇒ ⇒ ( )αm :C ,0>∀ε I bò chaën döôùi bôûi inf ( )
{
Cc/cI } ε+∈ c ∈∃ ε
(
)
≤ε
cI ≥ ε− ∈∀ ⇒ ta luoân Vì ( )
cI (
cI ) )
Cc,c,cd. ( ε ε h ⇒ + − −≥ + ∀ )
h
γ ) )
, (
cI
ε (
cI
ε (
cd
.
ε
ε ch
,
γ
ε 0
C >
∈ 0 ⎧
⎨
γ
⎩ (Do ñònh lyù 12 cuûa chöông II) Trang 38 h > + − ) (
cI
ε (
cI
ε 0
C , γε ∀−≥ ∈ Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò )
h
γ
h 0
1 γ = ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ + − ⇒ )
h
γ (
cI (
cI
ε )ε / t = + ∈ − {
max )
( )
th
γ (
cI ( )
(
tcf
ε hu ' 0 = + + − {
max [
]
}
1,0
( )
)
t )ε
( )
}
h ) t ( )
)
(
tcf
ε ( )
(
)
(
tc
γ
ε ( ε
cI t ,0 t ∈∀= Maët khaùc ]1,0
[ ( )
h
h h / t ≤ + ∈ + − {
( )
max
tu ( )
thv ( )
0
h lim 0
+→
0
[
]
}
1,0 )εcI
( hv (
u
+Φ≤ ) ( )
u
0+Φ− ( )h = ]1,0Cu ∈
[
)
]1,0Cv ∈
[
) ) (Vôùi t / t ∈ ( )
{
tθ
max [
]
}1,0 ]1,0
treân [
)
(
u
cf
⎧
ε
⎪
]1,0
treân [
)( )
(
'
cf
v
γε
=
⎪⎪
[
]
}
{
( )
( )
1,0
/
0
sup
0
th
h
∈
=
⎨
⎪
[
]
:
1,0
R
C
Φ
→
⎪
( )
θ
θ(cid:54)
=Φ
⎪
⎩ Vôùi (thì
(thì ]1,0C
[ Φ− (
u
+Φ ( )
u ≤−ε + vaø: ( )
0
h
h (1) Suy ra Φ laø haøm loài vaø lieân tuïc treân
)
hv
h 1 ≥ = Luùc naøy vi phaân döôùi cuûa Φ taïi u laø: ( )}uM⊂μsup ( ) {
u
=Φ∂
μ ∫
d
/0 μ vaø φ ≠ {
t
∈= ( )
}
u ( )
tu [
]
/1,0 vôùi laø soá ño Radon döông treân [0,1]
μ
⎧
⎨
( )
uM
Φ=
⎩ 1 = ≥ μ Thaät vaäy: ( )uM⊂μsup vd ud μ μ = Neáu vaø (
)
duv
− ∫
d
,0 μ
]1,0Cv ∈∀ [ ∫ ∫− , ta coù μ thì ∫
( )
dv ∫
Φ≤ ( )
v Φ−Φ= ∫−
μ ud
( )u ≥Φ−Φ − μ ( )
u ( )
v (
)
μduv ∫ ⇒ ( )uΦ∂∈μ ⇒ Trang 39 Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò ( )uf∂∈μ ud − μ Ngöôïc laïi, neáu thì: ( )
0
≥Φ−Φ=Φ− ( )
u ( )
u (
0 )
du ∫−= ∫ ⇒ μ .
μud 0>∀λ , ta coù: ( )
∫≤Φ
u
[ ]1,0Cw ∈∀ Φ uw
+ , (
λ ) ( )
u
≥Φ− (
λ )
duuw
−+ ∫ Φ uw
+ ⇒ μ (
λ ) Φ wd wd
μλ ⇒ ∫≥ ( )
∫≥Φ−
u
( )
u
λ ⎛
w
+Φ
⎜
⎝ u
⎞
−⎟
λ
⎠ μwd +∞→λ μ (vôùi w = u) ud μ ∫
d
μ ≥ Cho , ta ñöôïc (vôùi w = 1) ∫
1
−≥− d
μ ∫ (vôùi w = -1) (
)
∫≥Φ
w
( )
⎧
u
≥Φ
⎪
⎪
1
⎨
⎪
⎪
⎩ ud ⇒ μ ∫
d
1μ
= ∫ ( )
⎧
u
=Φ
⎪
⎨
⎪⎩ 0 μ = [
( )
u
−Φ ]
du ⇒ 1 d
μ = ∫
∫ ⎧
⎪
⎨
⎪⎩ ⊂ μ ( )
uM ⇒ 1 = d
μ sup
⎧
⎪
⎨
∫
⎪⎩ ≤θ0 ⇒ ( )
t ( )
u
−Φ= ( )tu vaø lieân tuïc treân [0,1]) (Vì Φ− ( )
u (
u
+Φ vd μμ/ = Φ∂∈ ≤ ε− }
( )
u {
∫
max lim
+→
0
h / ≤ Φ∂∈ ε− Quay laïi vieäc chöùng minh ñònh lyù, keát hôïp (1) vaø ñònh lyù 2 ta ñöôïc: )
hv
h
)( )
d
μμγε ⇒ / C ≤ Φ∂∈ ∈ = ε− ⇒ (
cf
' ,
0 γ )( )
d
μμγε }
1 inf
γ (
'
cf
{
∫
max
μ max / C = Φ∂∈ ∈ = (
cf
' ( )
u
,
γ ,
0 γ )( )
d
μμγε }
1 {
∫ inf
γμ )
, (cid:54)
μγ )( )
d
μγ (
cf '
ε ∫ thoaû caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù Minimax) (Vì ( Trang 40 , = Φ∂∈ (
'
cf {
max
− }
( )
u ∫ min ' / −= (
(
cfMt
∈ { ( )
)
(
tcf
ε / ' min ≥ Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò (
(
cfMt
∈ { )
d
μμε
}ε
)
)
(
)
( )
tcf
ε }ε
)
) ≥ ⇒ ε ( ( (
cfMt ∈
ε ).ε
) )εε tcf '
(
) =ε ( *Nn ∈ ⇒ ε ,vôùi u n = εεtc 1
n ≤ (
uf
' ) n 1
n Baây giôø ta laáy vaø ) m Cc inf / ≤ ≤ (
)
α (
uf ) ( )
{
cI }
+∈ n 1
n ⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ thì Vaø f laïi thoaû ñieàu kieän (C yeáu) inf ≥ ≥ ufXu
: ∈ Do ñoù chöùng minh töông töï nhö ñònh lyù 17 cuûa chöông II ta tìm ñöôïc: ( )
uf (
uf ) ( )αm ( ) 0
= n lim
n
+∞→ vaø .(cid:137) l = Nhaän xeùt: )
( )
(
tcf max
[
]
1,0
∈ f l inf
tCc
∈
tuïc döôùi thì Ñaët , theo ñònh lyù Moutain Pass vôùi ñieàu kieän nöûa lieân laø giaù trò tôùi haïn cuûa (Ñaõ chöùng minh ôû [5]) .(cid:137) R X X dim X Xf →: = Ñònh lyù 5: 0 +∞<0 * :' Cho , lieân tuïc vaø khaû vi Gateaux, , ∞⊕
X Xf →
X
kieän sau: + Xu R , u R :0
∈∀>∃ = lieân tuïc töø toâpoâ maïnh vaøo toâpoâ *yeáu vaø ñoàng thôøi thoaû caùc ñieàu (
⇒ uf ) 0
0 < 0 X u
∀ (i). (
f
0
+⇒ ) 0
≥ ∞ ∈ ∞ ∞u ∈ ≥ f thoaû ñieàu kieän (C yeáu) treân (ii). {
( )
ufXu
/ }0 ' X u ∈∃ =uf (iii). ( ) 0 ( ) 0≥uf Khi ñoù : vaø B u ≤ Chöùng minh: /0 S u B = ∂= {
Xu
∈=
{
Xu
∈= } (thì B laø taäp compact)
R
}
R /0 C /
θ = {
∈=
θ (
XBC
, ) ( )
S }0 ∞ Ñaët: Trang 41 :I C → max / I θ (cid:54) θ = + Phöông Phaùp Söû Duïng AÙnh Xaï Ña Trò { (
uf ( )
)
u }Bu
∈ R
( )
θ 0>∀ε Thì I nöûa lieân tuïc döôùi vaø bò chaën döôùi bôûi 0 inf I ≤ C
+∈ C∈∃ εθ
{
( )
/
I
θθ ) } ε (
θε C∈∀θ I ≥ I − − Vì vaäy thì : ( )
θ ) (
θθεθ
ε ε , (Do ñònh lyù 12 cuûa chöông ⇒ 0 hCγ
,
>∀∈∀ I h h
γε Φ− −≥ II) (
)
+
γθ ) ε (
θ
ε ⇒ , )BC
( / + = + ]
[ 1,0C
( )
)
u }
Bu
∈ {
max (
uf θ
ε int B : Tieáp tuïc chöùng minh töông töï nhö trong ñònh lyù 4 (thay bôûi ) u ∈ε )
)
≤ (
uf
ε
+
θ ε ≤
(
'
uf
ε (
u
θ
εε
)
)
(
u
εε 0
⎧
⎨
⎩ Thì ta luoân luoân ∃ Hôn nöõa f laïi thoaû ñieàu kieän (C yeáu) Töø ñoù ñònh lyù ñöôïc chöùng minh .(cid:137) Trang 42PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG
NGUYEÂN LYÙ BIEÁN PHAÂN EKELAND
{
}
PHÖÔNG PHAÙP
SÖÛ DUÏNG AÙNH XAÏ ÑA TRÒ
{
∫
max
}
( )
u
( )
u
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γ
![Ô nhiễm môi trường không khí: Bài tiểu luận [Nổi bật/Chi tiết/Phân tích]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251011/kimphuong1001/135x160/76241760173495.jpg)
