Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thùy Trang

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG

ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn Hữu Hải, người đã dành

nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi thực hiện luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn những ý kiến quý báu của bà Claude Comiti, bà Annie Bessot và cô Vũ

Như Thư Hương cho đề cương luận văn được hoàn chỉnh.

Xin gửi lời tri ân đến Cô Lê Thị Hoài Châu và các Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công

Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm và nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ

cho chúng tôi những kiến thức về Didactic trong những năm đại học cũng như cao học sau này.

Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị chuyên viên phòng Khoa học và công nghệ sau đại học đã

tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn. Cảm ơn các bạn, các

anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong

thời gian học ở trường.

Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy

trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các

em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn.

Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia

đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập ở thành phố.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HHKG : Hình học không gian

: Hình học phẳng HHP

: Học sinh HS

: Sách giáo khoa SGK

: Sách giáo viên SGV

: Sách bài tập SBT

VTTĐ : Vị trí tương đối

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học

sinh khi học HHKG lớp 11:

- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung

- Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau

- Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại

- Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng

phẳng

- Hai m ặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song…

Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học

phẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học

không gian. Hình học không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh

không dễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10,

tr.115]

Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở

lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất

nhiều khó khăn” [17, tr. 42]

Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau:

- Nguồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói

đến là gì?

- Liệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không?

- Và nếu có thì giải quyết bằng công cụ nào?

Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên

cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương

pháp tổng hợp. Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do

sau:

- Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được ti ếp xúc nhiều trong thực tế.

Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều.

- Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm

vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng

song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng,…

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu

chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể hơn những câu hỏi đó là:

1. VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng

như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS?

2. Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất

hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm?

3. Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và

giải thích sai lầm được không?

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ

thông Việt nam. Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan

hệ cá nhân) để tham chiếu. Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với

khái niệ m sai lầm và chướng ngại. Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một

dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic. Cụ thể:

3.1. Thuyết nhân học

Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào

trong chương trình. Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp

thu kiến thức của HS.

Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song

song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp. Hơn

nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không

gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể

,

,

,

T τθ Θ đã hình thành một hệ

chế.

]

Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức [

thống các kiểu nhiệm vụ xác định. Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên

quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp,…

3.2. Sai lầm và chướng ngại

Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến

chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến

thức và là biểu hiện của kiến thức.

Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai

lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng

ngại tránh được và không tránh được.

3.3. Hợp đồng didactic

Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK. Ứng với một tình huống

mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng

của các em như thế nào?

'

1Q : Khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được xây dựng như thế nào trong các tài

Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là:

'

2Q : Trong chương tr ình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm trên được đề cập

liệu trước đây?

'

3Q : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng đã ảnh hưởng

ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học có liên quan?

như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ

cách trình bày này?

4. Phương pháp nghiên cứu

'

Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau:

1Q , chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường

Để trả lời cho

thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui t ắc vẽ hình trong dạy học HHKG.

'

Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng

2Q . Việc nghiên cứu này thực hiện

dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho

trên khung l ý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước. Trên cơ sở đó

hình thành gi ả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng

ở chương 3.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai

đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu. Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách

sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh

nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau.

6. Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm những phần sau:

Mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu,

mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài.

Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan

Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian

ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể:

VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống

ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,…Phân tích các tổ chức toán học được xây

dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng

Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải. Những

sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic. Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu.

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS. P hân tích tiên nghiệm các tình

huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết.

Kết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra

Tài liệu tham khảo.

Chương 1:

NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ

HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN

1.1. Mục đích của chương

Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai

đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình. Từ đó tạo cơ

sở lý luận cho việc phân tích chương 2.

Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là:

- Giáo trình hình học họa hình (1988), V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI,

NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch)

- Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir

publishers Moscow

- Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004),

Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh.

- Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở,

Hamid CHAACHOUA

- Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục

1.2. Một nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong cuốn Elementary mathematics thì:

Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương

đối khác nhau. Chúng có thể có một điểm chung. Vì thế chúng

hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành một

mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai

đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng trên hai

đường thẳng n, m. Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng

vì nó có hai điểm chung với mỗi đường.

Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào. Điều này không có nghĩa là

chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm

trên một mặt phẳng.

Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳngλqua một

trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại. Hai trường hợp

có thể xảy ra:

(1) Mặt phẳngλ tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324). Khi ấy, các đường

thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song

(2) Mặt phẳngλcắt đường thẳng tại điểm A. Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt

phẳng. Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325)

Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng:

1. Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau

2. Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song

3. Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng

Như vậy, khái niệm được trình bày thô ng qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường

thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng. Liệu

chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách

chỉ ra đặc trưng của khái niệm.

1.3. Phép chiếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988)

Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu. Nếu các đường thẳng chiếu là những đường

thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song. Có thể vẽ hình chiếu của một

đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó. Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm

này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu. Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình

chiếu cần vẽ. Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu.

Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với

hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu. Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta

vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường.

1.3.1. Những tính chất của phép chiếu song song

1. Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng

2. Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất

3. Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi

qua nó

4. Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó

5. Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó

6. Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng

đó

7. Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm

8. Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành

một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của

các mặt và các vật thể

1.3.2. VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song

Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song. Nếu các

,

đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và

a b c d song song nhau.

p p

p

p

//

giao của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu

a b p p

c d (hình 78) thì những đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể p

p

Nhưng, giả sử

1C D ” [26, tr. 46]

1

là không song song nhau: ví dụ đường thẳng AB không song song với

Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của

chúng cắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy. Thực vậy (hình

82), nếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của

hình chiếu của AB và CD”.

HÌNH 78

Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu

cùng tên cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên

đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng”. [26, tr. 47]

Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau.

Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau

nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và

m’m tức là những đường thẳng ấy không cắt nhau”. [26, tr. 48]

1.4. Những vấn đề đặt ra về hình vẽ

Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học

sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA

1.4.1. Vấn đề biểu thị đối tượng không gian

Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG. Mô hình này gồm tập hợp các tính chất

hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập

hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính

chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích).

Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy

hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu. Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông

tin sẽ bị thất thoát. Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện

đó, như Bkouche đã nói:

“Một tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó

thành một hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọc…Trong điều

kiện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa

vào sự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng... Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp

suy luận phức tạp hơn”.

Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa

chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian. Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian

thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các

đoạn thẳng song song) nhiều nhất.

Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự

can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối

tượng hình học không gian. Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập

trong việc mô hình hóa

Không gian vật lý

Hình vẽ Đối tượng vật chất

Mô hình hình học

Hình không gian Các hình phẳng

Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và

hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này.

Hình vẽ

Đối tượng hình học không gian Đối tượng hình học phẳng

Mô hình đối tượng hình học

1.4.2. Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ

Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông

qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình

vẽ. Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện

bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học.

Tính chất hình học của hình không gian

Phép chiếu

Tính chất hình học của hình phẳng

Tính chất không gian của hình vẽ

Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai

đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng

song song hoặc cắt nhau. Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình

vẽ sẽ rất hạn chế.

1.4.3. Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học

Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống. Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ

như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các

tính chất hình học sẽ được đặt ra.

Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic

khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng. Thật vậy, khi xem xét các qui

tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận:

- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song

song

- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể

không song song.

- Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì

các điểm A, B và C không thẳng hàng

1.5. Một số khái niệm liên quan

Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình

chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H . Khi đó, các

'a và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường gióng của điểm A

hình chiếu

Hình: Theo nghĩa toán học: hình là “một tập hợp điểm”.

“Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan

đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H”, …[13, tr. 5-

6]

Hình hình học

- Là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất

- Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối

tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người [18, tr. 8]

Hình vẽ

- Là biểu diễn phẳng của các hình hình học

- Là mô hình của một đối tượn g hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất

hình học vốn có đối với mọi bài toán

- Là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, số đo giữ vai trò trung tâm

[22, tr. 8]

Theo [4, tr. 189] thì: “Với tư cách là phương tiện biểu diễn, hình vẽ là hình biểu diễn cho một

đối tượng có thể dựng được của thực tế và là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng”

Bước chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề của hình vẽ trong dạy học

được thực hiện như sau:

“Khi chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề trong trình bày hình học,

người ta đã mặc nhiên yêu cầu học sinh phải chuyển cách nhìn các hình vẽ từ cơ chế thứ nhất sang

cơ chế thứ hai. Bước chuyển này không dễ dàng nhưng nó lại thường không được dự kiến trong các

chương trình và sách giáo khoa” [4, tr. 189]

Kiến thức hình học và kiến thức không gian

Trong giảng dạy hình học, kiến thức hình học là kiến thức thuộc về toán học, nó gắn liền với các

tiên đề, định nghĩa, định lí và các phép suy luận. Còn kiến thức không gian theo Berthelot và Salin, đó

là: “những kiến thức mà hình học có thể mô tả, và chúng cho phép mỗi cá nhân cảm nhận và kiểm soát

được hệ quả của những tác động của mình lên không gian, cũng như có được trao đổi các thông tin”

[3, tr. 8]

1.6. Kết luận chương 1

Việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian qua trung gian là HHP không còn d ựa

vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trước nữa. Cần có một phương pháp suy luận để đọc, hiểu và

thể hiện nó. Nếu chọn phép chiếu song song thì:

Hai đường thẳng song song song trong không gian được thể hiện bằng hai đoạn thẳng song song

trong HHP. Tuy nhiên, trong hình vẽ, hai đoạn thẳng song song thì trong không gia n, chúng có thể

không song song.

Ngược lại nếu hai đoạn thẳng cắt nhau trên hình vẽ thì các đường thẳng trong không gian không

song song. Như v ậy, tùy phương chiếu sẽ cho mô hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau:

Điều này có thể giải thích tại sao khi vẽ hình biểu diễn của tứ diện có thể có một hoặc hai cặp cạnh

đối diện song song.

Việc dùng phép chiếu song song để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng có thể mang lại

những sai lầm do trực giác. Yêu cầu hình biểu diễn đúng theo các tính chất của phép chiếu song song

kết hợp với yêu cầu chọn hình biểu diễn trực quan.

Chương 2:

NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG VỊ VỊ TRÍ

TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1. Mục đích của chương

Mục đích chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng

trong không gian ở trường phổ t hông. Chúng tôi chọn thể chế là chương trình, các sách hướng dẫn

giảng dạy, SGK toán hiện hành. Cụ thể việc dạy học HHKG trong SGK Toán 8 và Hình học 11

nâng cao. Chúng tôi chia thành hai giai đoạn. Mỗi giai đoạn ứng với một thờ i điểm đưa đối tượng

'

2Q : Trong chương trình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm VTTĐ giữa

trên vào HHKG ở trường phổ thông. Trả lời những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi.

hai đường thẳng được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học

'

3Q : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng ảnh hưởng như

liên quan?

thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Các qui tắc hợp đồng nào được hình thành?

2.2. Giai đoạn 1: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 8

Trong SGK 8, VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào Chương IV: Hình lăng trụ đứng –

Hình chóp đều. Theo [7, tr. 108]: “Ở chương này các tác giả chỉ giới thiệu cho HS một số vật thể

trong không gian thông qua các mô hình. Trên cơ sở quan sát HHCN, HS nhận biết được một số

khái niệm cơ bản của HHKG:

- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng

- Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo

- Hai đường thẳng song song với nhau

- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song…”

Yêu cầu của SGV: “Khi dạy HHKG, cần phải luôn liên hệ với HHP, từ đó: so sánh, mở rộng

những khái niệm, tính chất đã học trong HHP vào HHKG” [7, tr. 110]

2.2.1. Mặt phẳng và đường thẳng trong giai đoạn 1

Trên cơ sở quan sát HHCN, SGK cho HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG:

B

- Điểm như là các đỉnh của hình hộp

C

A

- Các cạnh như là đoạn thẳng

D

B'

- Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD là một phần của mặt phẳng (ta hình

C'

A'

D'

dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía)

- Đường thẳng qua hai điểm của mặt thì nằm trọn trong mặt phẳng đó

Như vậy, theo cách trình bày của SGK thì mặt phẳng như là mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ

nhật nên mặt có dạng hình bình hành hay hình chữ nhật. Không xét trường hợp mặt phẳng có mô

hình biểu diễn là tam giác. Các đường thẳng chủ yếu nằm trên các mặt bên của hình hộp là các đường

quan sát được trên hình, không thấy xuất hiện các đường thẳng của mặt chéo.

2.2.2. Hình thành khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1

Qua việc quan sát hình, SGK phân biệt ba vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a, b

'

'DD và '

A D cắt nhau ở 'D , chúng cùng nằm trong mặt phẳng

như sau:

'

(

) ADD A '

a) Cắt nhau (H.a). Chẳng hạn

AA '

' DD

b) Song song (H.b). Chẳng hạn AA ' song song với DD ', ký hiệu AA '/ /DD ' , chúng cùng nằm

)

'

'D C

trong mặt phẳng (

c) Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào (H.c), chẳng hạn các đường thẳng AD và

B

A

B

C

B

C

D

D

C

A

D

A

C'

C

A'

B'

B'

B'

A'

D'

D'

A'

D'

C'

[6, tr. 98]

H. a H. b H. c

Như vậy, có ba VTTĐ giữa hai đường thẳng phân biệt trong không gian được xét là cắt nhau,

song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Khi nói đến hai đường thẳng cắt nhau hay

song song, SGK đã nói rõ mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.

Theo cách xác định mặt phẳng ở trên, liệu HS có cho rằng: “không cùng nằm trong một mặt

phẳng nào” tức là không cùng nằm tro ng một mặt bên của hình hộp hay không? Chúng tôi không

thấy có thêm câu hỏi khác để cũng cố ba vị trí tương đối trên. SGV cũng công nhận rằng hai đường

thẳng chéo nhau là “một khái niệm khó, vì vậy chỉ có thể đưa ra một mô hình để học sinh quan sát”

[7, tr. 113].

Không đề cập các tiên đề của HHKG, không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau, hai đường

thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà chỉ đưa ra định nghĩa hai đường thẳng song song qua

hai đặc trưng đồng phẳng và không có điểm chung.

“Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong

cùng một mặt phẳng và không có điểm chung”

Một tính chất của nó: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba

thì chúng song song với nhau” [6, tr. 98]

Đây là một tính chất đúng trong HHP cũng như trong HHKG. Khi đưa tính chất này vào

chương trình, SGK không chú ý gì thêm, liệu HS có nhầm lẫn khi cho rằng có thể áp dụng những

tính chất trong HHP vào HHKG?

Về hai đường thẳng song song trong không gian, SGV có những lưu ý như sau:

“Trong HHP, học sinh đã được làm quen với hai đường thẳng song song với hai điều kiện. Thực

tiễn ở trường học cho thấy học sinh chỉ còn nhớ hoặc chú ý đến điều kiện thứ hai vì điều kiện thứ nhất

được xem là hiển nhiên (cùng nằm trong mặt phẳng)

…Khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian hoàn toàn giống như khái niệm hai

đường thẳng song song trong hình phẳng (thực chất là hình phẳng), tuy nhiên trong không gian, khi

đề cập đến hai đường thẳng song song phải căn cứ vào hai tính chất đặt thù của nó: bỏ sót tính chất

thứ nhất (cùng nằm trong một mặt phẳng) sẽ dẫn đến khái niệm hai đường thẳng chéo nhau…” [7, tr.

113]

Liệu có thể giải thích chướng ngại HS mắc phải trên là do sự trình bày kiến thức của thể chế

được không?

Khi đưa ra một khái niệm mới hay một tính chất, SGK đều có ví dụ và giải thích cụ thể. Trình

tự kiến thức mà HS được học là:

Quan sát hình  nhận xét tính chất hình  khái niệm mới  củng cố

2.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Các bài tập SGK, SBT đưa ra đều sử dụng mô hình là hình hộp chữ nhật, hình lập phương,

hình lăng trụ. Không có bài tập yêu cầu chứng minh tính chất, yêu cầu vẽ hình. “Chương trình

không yêu cầu HS biểu diễn hình không gian nhưng việc qua sát hình, việc “đọc” hình là cần thiết”

[7, tr. 109]

1T : Tìm hai đường thẳng song song

2T : Tìm hai đường thẳng cắt nhau

3T : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

4T : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng

5T : Tìm hai mặt phẳng song song

6T : Vẽ thêm các c ạnh để được một hình hoàn chỉnh

Chúng tôi đ ã thống kê những kiểu nhiệm vụ có trong SGK và SBT như sau

1T

2T

3T

4T

5T

6T

Thống kê số lượng nhiệm vụ của ba kiểu nhiệm vụ được nêu trong Bảng 2.1

KNV

9 0 0 8 2 3 SGK

1 5 5 3 2 0 SBT

20 15 3 TC

Bảng 2.1

Như vậy, nhiệm vụ tìm hai đường thẳng song song và hai mặt phẳng song song chiếm số lượng

lớn trong SGK. Kỹ thuật chung đối với hai dạng bài tập này là quan sát hình vẽ để nhận ra quan hệ

giữa các đối tượng. HS chưa được học các “dấu hiệu nhận biết” để áp dụng vào chứng minh như trong

HHP. Các dạng bài tập trên có thể quy về loại bài tập nhận dạng hình và đọc hình.

Hai nhiệm vụ tìm đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng không được

nói đến trong SGK nhưng lại được đề cập nhiều trong SBT. Liệu những kiến thức SGK cung cấp có

đủ cho HS giải được những bài tập này không?

PHÂN TÍCH CHI TIẾT

Kiểu nhiệm vụ 1T : Tìm hai đường thẳng song song

Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để xác định cặp cạnh cùng nằm trong một mặt phẳng và không

có điểm chung

Công nghệ: Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian và tính chất: hai đường

.

thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

ABCD A B C D là một hình lập phương (h.81).

1 1

1

1

Bài 6/SGK/Tr.100:

B1

C1

Quan sát hình và cho biết

A1

1C C

D1

C

B

a. Những cạnh nào song song với cạnh

1A D

1

D

A

;

b. Những cạnh nào song song với cạnh

BC B C A ; D 1 1

AA ; 1

BB 1

; DD 1

Lời giải mong đợi: a. b.

1T : Đây là dạng bài tập nhận dạng và đọc hình đơn giản, kỹ thuật không được nêu

Nhận xét

trong SGK. HS không được đối diện với kiểu bài tập nhận dạng hai đường thẳng song song trong

không gian thực. Như vậy việc vận dụng kiến thức đã học vào việc nhận dạng hai đường thẳng song

song trong không gian không thuộc về trách nhiệm của HS.

2T : Tìm hai đường thẳng cắt nhau

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật: Quan sát hai đường có cùng nằm trên một mặt phẳng và có điểm chung hay không

.

Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng cắt nhau

ABCD A B C D là một hình lập phương

1 1

1

1

Bài 10/SBT/Tr.107:

1C và B với

1D thì hai đường thẳng

1AC và

1BD có cắt nhau hay không? D C

a. Khi nối A với

1AC và

1A C có cắt nhau hay không?

B

A

b.

1BD và

1A A

D1

C1

B1

A1

c. Câu hỏi tương tự như câu b) với

Nhận xét: Bài tập không yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau mà dưới dạng câu hỏi

mở: “có, không”. Không yêu cầu giải thích câu trả lời.

,

,

,

Lời giải mong đợi

A B C D thuộc một mặt phẳng. Dễ thấy

ABC D là một hình bình hành

1

1

1

1

a. Bốn điểm

,AC BD là hai đường chéo nên chúng cắt nhau.

1

1

có

,AC A C là hai đường chéo của hình chữ nhật

AC C A nên chúng cắt nhau

1

1

1 1

b. Tương tự câu a)

c. Không cắt nhau

2T : Kỹ thuật và nhiệm vụ không được xây dựng trong SGK. Tình huống đưa ra có sự

Nhận xét

xuất hiện mặt phẳng như là mặt chéo, đường thẳng là đường chéo của hình hộp, điều này không được

nói đến trong SGK. Các đường thẳng cắt nhau được giải thích là đường chéo của hình bình hành, hình

chữ nhật. Lý do hai đường thẳng không cắt nhau (ở đây là chéo nhau) lại không được giải thích. Như

vậy, HS không có trách nhiệm giải thích về sự không cắt nhau của hai đường thẳng.

Kiểu nhiệm vụ 3T : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng

Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để nhận ra các đường không cùng nằm trong một mặt phẳng và

thỏa yêu cầu bài toán

.

Công ngh ệ: Khái niệm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng

ABCD A B C D một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh

1 1

1

1

Bài 21/SBT/Tr.109: Tìm trên hình hộp chữ nhật

D1

C1

đề sau là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường

A1

B1

C

D

B

A

thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Nhận xét: Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc trong không gian. Nắm

được tính chất hình hộp chữ nhật để suy ra bất kỳ hai cạnh nào của hình hộp hoặc là song song hoặc

vuông góc. Có thể tìm một đường thẳng bất kỳ, sau đó tìm hai đường thẳng còn lại vuông góc với

đường thẳng đó và không song song với nhau.

1A A AB⊥

1A A AD⊥

Lời giải mong đợi: và nhưng AB và AD không song song với nhau.

Mệnh đề sai.

D1

C1

A1

B1

C

D

B

A

Bài 7/ SBT /Tr.106: Tìm trên hình hộp chữ nhật

.

ABCD A B C D một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau đây là sai:

1 1

1

1

a. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng

kia.

b. Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung.

Nhận xét: Đây là hai tính chất trong HHP mà không đúng trong HHKG. Bài tập xét mối quan

hệ giữa tính song song và có điểm chung của hai đường thẳng.

Lời giải mong đợi

1BB cắt AB nhưng nó không cắt CD. Mệnh đề a) sai

a. Chẳng hạn AB//CD và

1BB không có điểm chung nhưng chúng không song

b. Chẳng hạn hai đường thẳng DC và

song với nhau. Mệnh đề b) sai.

3T : Kiểu nhiệm vụ tìm hai đường thẳng không đồng phẳng không được nêu trong SGK.

Nhận xét

SBT thể hiện qua yêu cầu tìm phản ví dụ để minh họa cho những tính chất đúng trong HHP mà không

đúng trong HHKG. Lý do đ ưa nhiệm vụ 3t là thỏa đáng vì nó đáp ứng yêu cầu của SGV cũng như kiến

thức của HS sau này. Nhiệm vụ cho thấy có sự so sánh mở rộng khi học HHKG liên hệ với HHP.

Tên của nhiệm vụ không được nêu một cách tường minh và kỹ thuật cũng không được trình

bày. Các mệnh đề SBT đưa ra đều rất quen thuộc đối với HS, là ba mệnh đề đúng trong HHP. Đó là:

- Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì chúng cũng cắt đường

thẳng còn lại.

- Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song

Bài tập này minh họa cho một lưu ý của SGV: “Cần tránh xu hướng sai lệch: tất cả các định

lý đã học về đường thẳng song song trong hình phẳng đều đúng trong không gian” [6, tr. 113].

Nhận xét ba kiểu nhiệm vụ đầu: Qua việc phân tích bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T, chúng tôi

thấy các bài tập trong SBT có sự đa dạng trong cách xác định đường và mặt, yêu cầu cao về mức độ

vận dụng. Chúng bước đầu tạo ra sự khác biệt về kiến thức giữa HHKG và HHP.

Kiểu nhiệm vụ T đã thể hiện đầy đủ ba VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian. Việc

tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng không được đề cập trong SGK nhưng có

trong SBT qua việc yêu cầu HS chỉ ra một số quan hệ trên hình vẽ mà mà các đường thẳn g không

đồng phẳng phản ánh.

4T : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật: Tìm một đường thẳng nằm trong mặt p hẳng và song song với đường thẳng đề bài

cho

Công nghệ: Khái niệm đường thẳng song song với mặt phẳng

D

C

B

Bài 17/SGK/Tr.105: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH

A

H

G

a. Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH).

E

F

b. Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?

c. Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào

Lời giải mong đợi

a. AB; CD; AD; BC

b. (EFGH); (CDHG)

c. (BCGH); (EFGH)

p

Chúng tôi còn thấy bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này dưới dạng quan sát mô hình

b

P

a

Bài 8/SGK/Tr.100: Hình 82 vẽ một phòng ở.

q

Quan sát hình và giải thích vì sao:

a) Đường thẳng b song song với mp(P)?

b) Đường thẳng p song song với sàn nhà?

Nhận xét: Bài tập xuất hiện mô hình thực tế có dạng hình hộp, kèm theo yêu cầu giải thích sự

song song.

Lời giải mong đợi

a. b//a, b không thuộc (P) nên b//(P)

b. p//q, p không thuộc sàn nhà nên p song song sàn nhà

4T : Nhiệm vụ được nêu rõ, còn dưới tên gọi tìm đường thẳng và mặt phẳng không có

Nhận xét

'

điểm chung. Kỹ thuật không được xây dựng trong SGK. HS trả lời dựa vào cảm nhận trực giác. Tình

1t có thêm tính thực tiễn, không gian tiếp xúc là mô hình sàn nhà trên mặt phẳng trang

huống trong

giấy nên thể hiện tính chất hình học và tính chất không gian của hình vẽ. Trong khi SBT có đề cập

đến mặt chéo của hình lập phương. Hơn nữa, SBT thừa nhận mặt phẳng qua ba điểm.

5T : Tìm hai mặt phẳng song song

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật: Tìm hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng và song song với mặt phẳng

còn lại hoặc tìm hai mặt phẳng không có điểm chung.

Công nghệ: Khái niệm hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 8/SBT/Tr.106: Quan sát hình hộp chữ nhật

H

G

F

E

C

D

A

B

a) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau?

b) Các điểm D, H, G và C có cùng thuộc một

mặt phẳng hay không?

c) Các điểm D, H, G và F có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

d) Câu hỏi tương tự như câu b), c) đối với các điểm A, B, G và H.

Lời giải mong đợi

a. mp(ABCD) và mp(EFGH), mp(FGCB) và mp(EHDA), mp(HGCD) và mp(EFBA)

b. Có cùng thuộc mp(DHGC)

c. Không

d. Có cùng thuộc mp(ABGH)

5T : Tình huống đưa ra đơn giản, HS quan sát hình và trả lời bằ ng sự quan sát được

Nhận xét

mà không giải thích lý do có sự song song này. Không xuất hiện tình huống thực tế. Bài tập còn yêu

cầu xét tính đồng phẳng của bốn điểm

5,T T : Đây là kiểu nhiệm vụ chiếm số lượng lớn trong ba kiểu nhiệm

4

Nhận xét kiểu nhiệm vụ

vụ. Nhấn mạnh việc tìm được thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song mà

không yêu cầu giải thích cho sự song song này.

6T : Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh.

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật: quan sát hình mẫu, dùng thước thẳng và bút kẻ thêm các đường thẳng song song

qua các điểm cho trước để tạo một hình hoàn chỉnh như ban đầu.

Công nghệ: khái niệm hai đường thẳng song song, tính chất mô hình mẫu của hình cho sẵn.

Bài 20/SGK/Tr.108: Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình

E

H

D

F

C

G

F

A

G

B

b)

97b, c, d, e để có một hình hộp hoàn chỉnh.

B

D

E

D

C

B

e)

H

c)

d)

F

a)

Nhận xét: Quan sát kỹ hình vẽ ta sẽ nhận thấy mức độ khó tăng dần theo thứ tự ở các hình b),

c), d), e). Thông thường HS có thói quen vẽ các đường thẳng song song ở dạng nằm ngang (hình.b),

sau đó thẳng đứng (hình.c), các đường thẳng song song nằm “xiên” (hình.d, e) thường khó hơn. Theo

như SGV, các hình này dành cho HS khá giỏi. Kỹ thuật giải quyết dựa vào kiến thức hình học và kiến

thức không gian.

6T : Cho trước một hình hoàn chỉnh (hình hộp, hình lăng trụ,…) kèm theo các mô

Nhận xét

hình của nó (thiếu các cạnh, đỉnh) và được đặt dưới các góc nhìn khác nhau. HS có trách nhiệm vẽ

thêm các cạnh để được hình vẽ ban đầu. Các đường vẽ thêm phải đảm bảo nét liền, nét đứt theo góc

''T nhằm kiểm tra khả năng vẽ đường thẳng qua một điểm và song song với

nhìn. Kiểu nhiệm vụ

đường thẳng cho trước. Toàn bộ hình mẫu không được vẽ trên giấy kẻ ô vuông.

2.2.4. Nhận xét về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1

Tóm lại, mục tiêu của chương là lấy mô hình hình hộp chữ nhật để bước đầu hình thành khái

niệm cho HS (con đường mô tả). Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau chưa thấy xuất hiện trong

SGK (nhưng có xuất hiện ở SGV) mà ẩn dưới tên gọi hai đường thẳng “không cùng nằm trong một

mặt phẳng nào”.

SGK không trình bày các tiên đề, chỉ đưa định nghĩa hai đường thẳng song song mà không định

nghĩa hai đường thẳng cắt nhau hay không cùng nằm trong một mặt phẳng. Liệu “hai đường thẳng

không cùng n ằm trong một mặt phẳng nào” có thể dẫn đến cách hiểu hai đường thẳng không cùng nằm

trong một mặt phẳng nhìn thấy trên hình không?

Yêu cầu kiến thức chỉ dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ giữa các đối tượng trên hình vẽ cho

sẵn. Trình bày lý thuyết bằng con đường mô tả, chú trọng quan sát. HS ghi nhận những kiến thức có

được qua việc quan sát hình vẽ. Không xuất hiện bài tập tìm hai đường thẳng không nằm trên một

mặt phẳng trong SGK, khái niệm này được trình bày một cách mờ nhạt.

Mặt phẳng được cho sẵn như là mặt bên hoặc mặt đáy của hình hộp, tức có dạng hình bình hành

hoặc hình chữ nhật, không thấy xuất hiện mặt chéo (chỉ có trong SBT). Không trình bày cách xác định

mặt phẳng. SGK không đưa ra bài tập để phát hiện sai lầm của học sinh khi áp dụng quan hệ song

song trong HHP vào HHKG.

HS không có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng không đồng phẳng , chứng minh sự

song song của đường và mặt. SBT đã liên hệ với HHP qua việc nêu những tính chất đúng trong HHP

mà không đúng trong HHKG. Không yêu cầu chứng minh nhưng qua các ví dụ cho HS phát hiện cũng

đã góp ph ần cũng cố kiến thức và thấy được sự khác nhau giữa hai mảng hình học..

2.3. Giai đoạn 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 11 NC

2.3.1. Yêu cầu của chương trình

- Về kiến thức

+ Biết được khái niệm hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

+ Biết (có chứng minh) định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng

song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng sẽ song song (hoặc trùng với một trong hai đường

thẳng đó)

- Về kỹ năng

+ Xác định được VTTĐ của hai đường thẳng

+ Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song

+ Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn

giản.

Thay thế việc tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dự a vào trực giác bằng việc chứng

minh VTTĐ giữa chúng. “…tư duy trực quan sẽ không đóng vai trò quan trọng như trước thay vào

đó là tư duy logic kết hợp với trí tưởng tượng không gian” [8, tr. 94].

- Vị trí

VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày ở bài 2: Hai đường thẳng song song, của chương

II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Theo phân phối chương trình, chương này gồm 16

tiết.

2.3.2. Phương pháp

Về cơ bản thì chương trình HHKG 11 “bước đầu cho học sinh làm quen với phương pháp tiên

đề” [10, tr. 40]. Năm tính chất thừa nhận và ba cách xác định mặt phẳng làm cơ sở cho các su y

luận, chứng minh các định lý hay xét VTTĐ giữa các đường thẳng…Tính chất 1 và 4 liên quan trực

tiếp đến đường thẳng. Cụ thể:

Tính chất thừa nhận Ý nghĩa

1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước Đã có trong HHP, ở đây nhấn mạnh đối với việc xác định một đường thẳng trong không gian

2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

3. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng Giới thiệu đối tượng mới: mặt phẳng và sự xác định duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Khẳng định số chiều của không gian phải lớn hơn 2 (chứng minh sự tồn tại của hình tứ diện - bốn điểm không đồng phẳng)

Sự xác định tính duy nhất của giao tuyến hai mặt phẳng

4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. 5. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng Trong mỗi mặt phẳng được sử dụng kiến thức đã biết của hình học phẳng

Bảng 2.2

Ba cách xác định tính duy nhất của mặt phẳng là:

- Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

- Mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó

- Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau.

Liệu HS có chú ý đến tính duy nhất của mặt phẳng xác định bởi các điều kiện trên khi xem xét

những bài toán liên quan đến sự đồng phẳng của đường và điểm sau này không? HS có biết vận

dụng các tiên đề này trong các lời giải khi cần thiết?

2.3.3. Hình thành khái niệm về hai đường thẳng chéo nhau, song song và cắt nhau trong

SGK Hình học 11 nâng cao

SGK hình thành khái niệm các VTTĐ giữ a hai đường thẳng phân biệt bằng con đường quy

nạp. Xuất phát từ một hình ảnh thực tế: mô hình của chiếc bàn bốn chân, từ đó trừu tượng hóa, khái

quát hóa đưa ra dấu hiệu đặc trưng và đi đến định nghĩa khái niệm. Cụ thể:

Bước 1: Hình thành biểu tượng bằng cách cho HS quan sát hình vẽ, sau đó phát hiện một số thuộc

tính bản chất của khái niệm rồi phát thảo định nghĩa khái niệm:

a. Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo

nhau (hình 49)

b. Có mặt phẳng chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng chúng đồng phẳng. Trong trường hợp này,

theo kết quả của HHP, có hai khả năng xảy ra:

i. a và b không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau (hoặc chúng song

song). Ký hiệu a//b (hình 50)

ii. a và b có m ột điểm chung duy nhất. Khi đó ta nói rằng chúng cắt nhau

iii.

(hình 51)” [18, tr. 52].

a

a

a

b

b

I

b

Hình 49

Hình 50

Hình 51

Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức

Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng n ằm trong một mặt phẳng

Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

Hai đư ờng thẳng gọi là song song nếu chúng đồng ph ẳng và không có điểm chung

Như vậy, SGK không đi theo cách xây dựng khái niệm như ở chương một. Từ mô hình thực tế

để khái quát định nghĩa, liệu HS có nắm hết nghĩa của các khái niệm khô ng? Hai đường thẳng

“đồng phẳng” được định nghĩa qua khái niệm “cùng nằm trong một mặt phẳng”. Theo cách phát

biểu này thì “không đồng phẳng” = “không cùng nằm trong một mặt phẳng” tuy nhiên trong định

nghĩa phải hiểu chúng là “không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào”. Như vậy, chúng có gây sự

nhọc nhằn trong cách hiểu các khái niệm của HS hay không?

So sánh với cách trình bày trước về VTTĐ giữa hai đường thẳng:

- Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau

- Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song

- Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng

Trong cách trình bày này, ta th ấy chỉ xuất hiện thêm khái niệm “chéo nhau”. Khái niệm song song

và cắt nhau luôn đi kèm với đặc trưng “nằm trên một mặt phẳng”

Với hình vẽ 49 và định nghĩa của SGK, HS có hiểu hai đường thẳng không đồng phẳng có là

hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng không? Mặt phẳng này có phải chỉ là các

mặt phẳng nhìn thấy trên hình như hình bình hành, tam giác, tứ giác? Liệu HS có tính đến cách xác

định tính duy nhất của mặt phẳng đã học trước? Định nghĩa cho ta thêm một cách xác định mặt

phẳng. Đó là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song.

Từ cách trình bày, ta thấy đặc trưng đầu tiên khi xét VTTĐ giữa hai đường thẳng là xét yếu tố

đồng phẳng của chúng. Sau đó tính đến đặc trưng có điểm chung hay không. Không có câu hỏi yêu cầu

học sinh phân biệt ba VTTĐ trên, trách nhiệm này thuộc về GV “GV cần làm rõ những tính chất giống

nhau và tính chất khác nhau của hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau”. [12, tr.

48].

SGK không đưa ra d ấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau. Từ hình vẽ ta có thể rút ra cách

chứng minh hai đường thẳng chéo nhau như đã nói ở phần đầu chương. Rõ ràng, nếu dùng định nghĩa

làm công cụ để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau là điều không thể vì ta không kiểm tra được tất

cả mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Bước 3: Hoạt động củng cố

SGK đã tiến hành hai hoạt động nhận dạng và cũng cố khái niệm như sau:

Hoạt động 1: nhận dạng khái niệm Hoạt động 2: củng cố khái niệm

Cho tứ diện ABCD. Hãy xét VTTĐ của hai Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có

đường thẳng AB và CD. hay không hai đư ờng thẳng p, q song song với

nhau, m ỗi đường đều cắt cả a và b.

a

q

p

D

A

B

D

B

b

C

C

Lời giải của SGV Lời giải của SGV A

AB, CD chéo nhau. Giả sử AB, CD không Giả sử tồn tại hai đường p, q song song với

chéo nhau, khi đó tồn tại mặt phẳng chứa cả nhau và đều cắt a, b tương ứng tại A, B, C,

AB, CD. Suy ra, A, B, C, D thuộc một mặt D như hình vẽ.

phẳng, mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ Vì p//q nên tồn tai mặt phẳng (p, q) chứa

diện. Vậy AB, CD chéo nhau. hai đường thẳng này . Suy ra A, B, C, D

thuộc mp(p, q).

Mặt khác A, D thuộc a nên a thuộc mp

(p, q); B, C thu ộc b nên b thuộc mp(p, q).

Từ đó suy ra a, b đồng phẳng, mâu thuẫn

với giả thiết a, b chéo nhau.

Nhận xét: Hoạt động 1 yêu cầu xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng hai điểm là AB,

CD. Hoạt động 2 cho đường thẳng dưới dạng chữ cái a, b,…Kiến thức sử dụng là tính chất thừa nhận

1 và định nghĩa hai đường thẳng song song.

Điểm chung của hai chứng minh là sử dụng phương pháp phản chứng. Điều này không được

giải thích bởi SGK, SGV. Một qui tắc hợp đồng ngầm ẩn được hình thành: phương pháp phản

chứng có thể được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh của HHKG.

Thực tế, HS có thể vẽ tứ diện với AB không có điểm chung với CD nên xem chúng song song

nhau. Hoạt động này còn đánh vào một sai lầm của HS là: xem bất kỳ bốn điểm phân biệt nào cũng

xác định được một mặt phẳng (nó giống như bốn đỉnh của một tứ giác mà các em đã học trước đây).

Như vậy là: khi xét VTTĐ của hai đường thẳng, nên quan tâm đến việc hai đường thẳng có đồng

phẳng hay không chứ không nên dựa vào điểm chung nhìn thấy trên hình vẽ mà kết luận. Bởi vì

những quan hệ nhìn thấy trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó.

Thêm nữa, hoạt động 2 cho biết không phải lúc nào cũng có thể tìm được hai đường thẳng

song song với nhau trong không gian mặc dù ta c ũng vẽ được chúng trên mặt phẳng nhưng thực tế

không tồn tại hình như vậy.

Tài liệu [10, tr. 74] đưa ra dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau bởi định lý: “Nếu

đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A thì mọi đường thẳng nằm trên (P) nhưng không qua

A thì chéo với a” hay [1, tr. 34, 35]: “a và b chéo nhau ⇔ b cắt mp (P) chứa a tại một điểm không

thuộc a”

Ta có thể dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau trên để chứng minh cho hoạt động

1. Đó là: đường thẳng AB không chứa trong mp(BCD) và cắt mặt phẳng này tại một điểm B không

thuộc CD nên AB, CD chéo nhau. Khi đó, chúng tôi ngh ĩ rằng hình vẽ có được sẽ không là chướng ngại

cho việc chứng minh. Cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng định nghĩa: ABCD là tứ diện nên bốn

điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Suy ra AB, CD không đồng phẳng nên chúng chéo nhau.

SGK đã cung cấp các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song và dựng giao tuyến

của hai mặt phẳng trong trường hợp đơn giản. SGK đưa thêm các câu hỏi để cũng c ố khái niệm

VTTĐ giữa hai đường thẳng xoay quanh các mối quan hệ song song, cắt nhau, chéo nhau với tính

có điểm chung của chúng. Cụ thể:

Bài 17/55. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

a. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

b. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

c. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau

d. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau

Bài 23/ 59. Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mp(P). Mệnh đề nào đúng trong

các mệnh đề sau đây:

a. a và b song song với nhau

b. a và b chéo nhau

c. a và b có thể cắt nhau

d. a và b trùng nhau

e. Các mệnh đề a), b), c), d) đều sai

2.3.4. Vấn đề biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng và việc đọc hình biểu diễn trong SGK

[12, tr. 62] đưa ra bốn hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau nhưng không có giải thích

a

a

b

b

a

a

b

b

gì thêm:

Trong bốn hình vẽ thì có ba hình cho hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau hoặc

song song quan sát được trên hình. Một hình vẽ cho đường thẳng không nằm trong mặt phẳng chứa

đường còn lại. Như vậy, liệu HS có thể hiểu hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không

cùng nằm trên một mặt phẳng hay nằm trong hai mặt phẳng phân biệt không?

[12] cũng phân biệt các bài toán trên hình biểu diễn và các bài toán dựng hình (xác định giao

điểm, giao tuyến, thiết diện,…). Dựng hình cần phải dựa vào các tính chất hình học của nó, phải

đúng và chính xác. Còn khi biểu diễn hình nên chọn thế nào cho thuận tiện và tốt nhất, tức mang

tính trực quan cao bằng cách lựa chọn những phương chiếu thích hợp. Qui tắc vẽ hai đường thẳng

song song và cắt nhau :“hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường

thẳng song song (hoặc cắt nhau)” [18, tr. 42].

[18] đưa ra tính chất “hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường

thẳng song song hoặc trùng nhau” và qui tắc biểu diễn:

“Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì

chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng

nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H”.

Chúng tôi không th ấy chương tr ình đề cập cách đọc hình vẽ từ hình biểu diễn của nó.

2.3.5. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

Chúng tôi thống kê được các tổ chức toán học có trong SGK lẫn SBT qua bảng 2.3

1T Xét VTTĐ của hai đường thẳng

KNV SGK SBT Nhóm T gồm các kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

2T Chứng minh hai đường thẳng song song

4 0

3T Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

7 6

0 8

4T Chứng minh đường (hoặc điểm) đồng phẳng

4 6

TỔNG CỘNG 15 20

'

KNV Nhóm T’ gồm các kiểu nhiệm vụ sử dụng kiến thức VTTĐ giữa hai đường thẳng để giải quyết

1T Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

'

10 6

2T Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

'

7 5

3T Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

'

6 9

4T Chứng minh hai mặt phẳng song song

'

3 5

5T Chứng minh ba hay nhiều đường thẳng đồng qui

'

3 5

6T

'

9 25 Dựng thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng

7T Chứng minh ba điểm thẳng hàng

2 5

TỔNG CỘNG 40 60

Bảng 2.3

T

'T

Bảng 2.4 thống kê số lượng bài tập của hai nhóm kiểu nhiệm vụ

) 27,3%

) 25%

15 ( 20 ( SGK

) 72, 7 %

) 75%

40 ( 60 ( SBT

) 100 %

) 100 %

55 ( 80 ( TỔNG CỘNG

Bảng 2.4

'

,

,

'T thì

Như vậy, các bài tập liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng chiếm số lượng lớn. Ở nhóm

' T 1

' ' T T và 3 2

6T chiếm số lượng cao và có thể xem như dạng bài tập dựng điểm

kiểu nhiệm vụ

và đường trong không gian. Nhấn mạnh việc chứng minh hai đường thẳng song song vì nó liên quan

đến các kiểu nhiệm vụ chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song và

dựng thiết diện của một hình.

1T : Xét VTTĐ giữa hai đường thẳng a và b

PHÂN TÍCH CHI TIẾT

Kỹ thuật τ Công nghệ θ

- Nếu hai đường thẳng không

2,τ τ

1

đồng phẳng, dùng kỹ thuật

- Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, - Nếu hai đường thẳng đồng

định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau phẳng, dùng các kỹ thuật còn

- Định lý: “Nếu một đường thẳng đi qua hai lại

1τ : Chứng minh phản chứng

điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi

điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng

phẳng đó” nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra

B B

A

B

B

2τ : Chứng minh b cắt mặt phẳng

mâu thuẫn

( ⇒ A

)

B

;

;

B

∧ ⇒ A B ⇒ B A

- Các quy tắc phản chứng ) ( ⇒∧ ⇒ A chứa a tại một điểm I không thuộc a.

4,τ τ : Áp dụng cho hai đường

3

- Định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau

- Quy tắc phản chứng ở trên thẳng a, b cắt nhau

3τ : Chứng minh hai đường thẳng

-

cùng nằm t rong một mặt phẳng và

có điểm chung duy nhất

4τ : Chứng minh phản chứng. Giả

-

sử a và b không cắt nhau, suy ra

a//b. Lập luận rồi suy ra điều mâu

thuẫn.

Áp dụng ch o chứng minh hai

5τ : Chứng minh a, b đồng phẳng và

3θ : Định lý Talet đảo, tính chất đường trung

đường thẳng a, b song song

sử dụng các phương pháp đã biết bình của tam giác, hình thang

trong HHP như - Tính chất hình bình hành

- Chứng minh a (hoặc b) chia hai

cạnh tam giác những đoạn thẳng tỉ lệ

- Chứng minh a, b là hai cạnh một

hình bình hành, hình thang,…

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt - Chứng minh a là đường trung bình

cùng song song với một đường thẳng thứ ba của tam giác, hình thang

6τ :Chứng minh hai đường thẳng cùng

/ /

thì song song

⇒

/ /

a

b

c c

/ /

 a  b 

song song v ới đường thẳng thứ ba

Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song

7τ : Chứng minh b là giao tuyến của

với mp(Q) thì mọi mp(P) chứa a mà cắt(P)

mp(P) chứa a với mp(Q) song song thì cắt theo giao tuyến song song với a.

a

/ /

Q

⇒

a

/ /

b

8τ : Chứng minh b là giao tuyến của

( ( ∩

P

⊂ )

) ) P ) ( = Q b

  a   ( 

với a

hai mặt phẳng song song với a

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường

thẳng song song thì giao tuyến của chúng

song song với hai đường thẳng đó (hoặc

∩

P

) = Q b

⇒

a

b

( a

P

/ /

/ /

9τ : Chứng minh a, b là giao tuyến

) ) ) Q a / /

(   (   ( 

trùng với một trong hai đường thẳng đó)

của mp(R) với hai mặt phẳng song

Tính chất 2: Nếu hai mp(P), (Q) song song song (P), (Q)

thì mọi (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các

10τ : Giả sử a cắt b tại một điểm A

P

/ /

giao tuyến của chúng song song

∩

R

P

= ⇒ a

a

/ /

b

rồi suy ra điều mâu thuẫn (phương

∩

Q

) ) )

( ( (

) Q ) ) = Q b

(   (   ( 

pháp phản chứng)

Ví dụ: Bài 18/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt

cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng

CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của

hai đường thẳng MP, NQ

A

Nhận xét: SGK không yêu cầu dùng phản chứng để chứng minh hai

M

đường thẳng chéo nhau. Dựa vào cách chứng minh ở hoạt động 1 và sử

N

dụng quan hệ giữa đường và mặt, điểm và đường. Từ đường thẳng đồng

D

B

phẳng suy ra điểm đồng phẳng.

Q

Lời giải mong đợi: Hai đường thẳng MP, NQ chéo nhau. Thật vậy,

)α nào đó.

P

C

giả sử chúng không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mp (

)α và do đó A, B, C, D cũng thuộc

Vậy M, N, P, Q cùng thuộc mp (

)α . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện.

mp (

Chứng minh tương tự hai đường thẳng MP và NQ cũng chéo nhau.

R là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo

) ( P Q ,

) ( ,

)

=

∩

=

∩

=

∩

a

P

R b Q

,

P

Q

Câu hỏi 2/Tr.53/SGK: Giả sử (

(

)

(

)

(

)

(

) R c ,

(

)

(

)

ba giao tuyến phân biệt a, b, c trong đó:

R

c

b

b

R

c

a

Q

P

P

Có những vị trí tương đối nào giữa hai giao tuyến a và b.

Nhận xét: Câu hỏi cho dưới dạng mở. Với kiểu nhiệm vụ xét VTTĐ giữa hai đường thẳng này,

phải khái quát các khả năng có thể dựa vào giả thiết của bài toán như có điểm chung hay không có

điểm chung, có đồng phẳng hay không đồng phẳng.

Lời giải mong đợi: a và b cắt nhau hoặc song song với nhau (vì a, b phân biệt đồng thời cùng

nằm trên mp(R)).

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ 1T : Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ trong đề bài. Kỹ thuật không được

xây dựng. SGK đưa ra 4 trường hợp xét VTTĐ của hai đường thẳng thì có đến ba trường hợp hai

đường thẳng chéo nhau, một trường hợp hai đường thẳng có thể song song hoặc cắt nhau. Trong ba

trường hợp chéo nhau, các đường thẳng đều được cho dưới dạng hai chữ cái như AB, MN,…Hình vẽ

đều là hình tứ diện, chóp tứ giác, đường thẳng là cạnh hay đường nối hai điểm trên cạnh. Cả hai sách

đều sử dụng phương pháp phản chứng, chuyển đường thẳng đồng phẳng về bốn điểm đồng phẳng rồi

suy ra điều mâu thuẫn. Với các trường hợp chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ở trên, ta đều có

1T có thể hình thành cho HS một quy t ắc hợp đồng: “sử dụng

thể chứng minh dễ dàng bằng 2τ . Từ

phương pháp phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau”.

Có trường hợp học sinh phải xét VTTĐ của hai đường thẳng cho dưới dạng a, b,…(một trường

hợp trong ba trường hợp trên). Trường hợp này cần dựa vào định nghĩa khái niệm VTTĐ giữa hai

2T : Chứng minh hai đường thẳng song song

đường thẳng để xét các trường hợp có thể của chúng.

5,τ τ và công nghệ của 1T ở trên

Kỹ thuật và công nghệ: Kỹ thuật như 4

Bài 4 Tr.78/SGK: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

=

=

MC

2

AM NF ;

2

BN

Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao

cho . Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt

,M N .Chứng minh rằng:

/ /MN DE

1

1

các cạnh AD, AF lần lượt tại

E

F

Nhận xét: Với giả thiết có các đường thẳng song song và tỉ

lệ nên có thể đưa về trường hợp chứng minh hai đường thẳng

N1

N

A

B

=

AM

AO

song song như trong HHP.

= nên

M

M1

AM MC

1 2

2 3

O

Lời giải mong đợi: Vì (O là giao

C

D

điểm của AC và BD). Vậy M là trọng tâm tam giác ABD hay M

thuộc trung tuyến DI của tam giác ABD. Bằng cách chứng minh

MN DE / /

tương tự như trên thì N thuộc đường trung tuyến EI của tam giác ABE. Xét tam giác EID, ta

IN IM = ID IE

1 = ⇒ 3

có:

2T : Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ. Kỹ thuật được thể hiện ngầm ẩn

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

qua các ví dụ. Công nghệ giải thích cho kỹ thuật là hệ thống các định nghĩa, định lý. Kiểu nhiệm vụ

chứng minh hai đường thẳng song song chiếm số lượng lớn nhất trong SGK cũng như SBT. Việc

chứng minh hai đường thẳng song song liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ là: chứng minh đường

thẳng song song với măt phẳng, hai mặt phẳng song song…

Thống kê số lần sử dụng kỹ thuật chứng minh hai đường thẳng song song trong SGK

5τ

6τ

7τ

8τ

9τ

10τ

Kỹ thuật

Số lượng 10 1 1 0 2 1

Bảng trên cho thấy kỹ thuật 5τ (kỹ thuật chứng minh hai đường thẳng song song trong HHP)

được sử dụng nhiều nhất (10 trong tổng số 15 lần xuất hiện). Với:

- Bốn lần sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác

- Ba lần sử dụng định lý Talet đảo

- Ba lần dùng tính chất hai cạnh hình bình hành

Như vậy, những kiến thức song song của hai đường tiếp tục được phát huy trong HHKG.

Trong kiểu quan hệ song song, HS có trách nhiệm chứng minh hai đường song song và dựng một

đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước ( sẽ nói rõ ở phần trình bày về

3 :T Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ trong SBT nhưng không

kiểu nhiệm vụ dựng thiết diện của một hình cắt bởi một mặt phẳng).

có trong SGK mà nằm trong kiểu nhiệm vụ xét VTTĐ giữa hai đường thẳng. Kỹ thuật và công nghệ

2,τ τ của 1T

4T : Chứng minh bốn điểm đồng phẳng hoặc không đồng phẳng

như 1

Nhiệm vụ và kỹ thuật Công nghệ

Chứng minh bốn điểm Nhiệm vụ 1 :t

t

không đồng phẳng - Định nghĩa 4 điểm đồng phẳng Kỹ thuật 1τ : Giả sử A, B, C, D đồng - Các quy tắc phản chứng phẳng rồi suy ra mâu thuẫn

Chứng minh bốn điểm Nhiệm vụ 2 :

21τ : Giả sử A, B, C, D không đồng

đồng phẳng. Sử dụng các kỹ thuật:

phẳng rồi suy ra mâu thuẫn - Định nghĩa tứ giác phẳng

22τ : Chứng minh chúng là bốn đỉnh

- Các quy tắc phản chứng

23τ : Chứng minh chúng thuộc hai

- Định nghĩa 4 điểm đồng phẳng của một tứ giác phẳng đã học

đường thẳng song song hoặc cắt

nhau (các đường thẳng chứa chúng

đồng phẳng)

Bài 19/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên

AB, BC, CD, DA không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng:

a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC

hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD

hoặc đôi một song song hoặc đồng qui

Nhận xét: Bài tập có sự liên hệ giữa điểm, đường đồng phẳng và tính chất giao tuyến của ba mặt

A

phẳng

S

P

Lời giải mong đợi

) mp α nào

(

mp

,

a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc một

( ) α

) mp ABC mp ACD ,

(

(

)

B

D

=

∩

=

∩

PQ

,

ABD

đó. Xét ba mặt phẳng

( ) α

(

) ABC RS

( ) α

(

)

Q

R

C

=

∩

AC

ABC

ABD

(

)

(

)

Ta có:

Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta suy ra PQ, AC, RS hoặc đôi một song song

hoặc đồng quy.

Ngược lại nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai

đường thẳng PQ và RS hoặc song song hoặc cắt nhau. Vậy hai đường thẳng PQ và RS hoặc song

song hoặc cắt nhau. Vậy hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P,

Q, R, S đồng phẳng.

b. Chứng minh tương tự câu a

4T : SGK sử dụng kỹ thuật là qui về chứng minh đường thẳng

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

không đồng phẳng để chứng minh bốn điểm không đồng phẳng. SBT mở rộng hai nhiệm vụ không

có trong SGK:

- Chứng minh sự đồng phẳng của n điểm (kỹ thuật là dùng phản chứng)

- Chứng minh ba đường thẳng đồng phẳng (chứng minh trực tiếp: chúng cùng thuộc một mặt

'

phẳng)

1T :Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật Công nghệ

1τ : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai

- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt

phẳng mặt phẳng. Giao tuyến d là đường thẳng

-Tính chất thừa nhận 1: qua hai điểm chung đó.

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua

hai điểm phân biệt cho trước

- Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa

trong mặt phẳng

Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm

phân biệt của một mặt phẳng thì mọi

điểm của đường thẳng đều nằm trong

mặt phẳng đó

2τ : Tìm điểm chung S và hai đường

- Định lý: Nếu đường thẳng a song

song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a thẳng song song chứa trong 2 mặt phẳng.

mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song Giao tuyến là đường thẳng qua S và song

song với a song với hai đường thẳng trên

- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng

1τ

2τ

Bảng tổng kết số lần sử dụng kỹ thuật trong SGK và SBT

TỔNG CỘNG Nhiệm vụ

7 1 8 SGK

6 4 10 SBT

Bảng 2.5

Bài 16/ Tr.51/SGK: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong

tam giác SCD. Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)

Nhận xét: Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung S, cần tìm điểm chung thứ hai. Ta tìm hai

đường thẳng cắt nhau chứa trong hai mặt phẳng, tức chúng cùng nằm trong một mặt phẳng khác. Bài

tập cho thấy sự tồn tại của hai đường thẳng đồng phẳng nhưng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt trên

hình.

∩

∩

∩

=

=

SBM

N SM CD O AC BN ,

Lời giải mong đợi

( = SO SAC

)

(

)

'

'

'

Gọi . Ta thấy

ABC A B C . Gọi H là trung điểm

'

'

'

Bài 36/Tr.68/SGK: Cho hình lăng trụ tam giác

. AB C và ( 'A B . Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( )

) 'A BC .

'

của cạnh

) ' mp BB C C

(

Chứng minh rằng d song song với

'

Nhận xét: Đối với việc tìm giao tuyến trong bài tập này có thể sử dụng được cả hai kỹ thuật

' ,BC B C .

trên. Hai mặt phẳng vừa có điểm chung J, vừa chứa hai đường thẳng song song.

Đây là ví dụ về hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nhưng đồng phẳng

C

(trường hợp hai đường thẳng song song)

d

'

'

'

'

Lời giải mong đợi: Gọi I, J là tâm của hình bình

,

AA C C AA B B . Rõ ràng I, J là hai điểm chung của

B

'

'

I

hai mặt

AB C và( )

) 'A BC .

J

hành phẳng(

' ' / /d B C

'

A'

C'

/ /d

Vậy giao tuyến d của chúng là đường thẳng IJ. Rõ ràng

(

) ' BB C C

'

nên

1T : Đây là kiểu

B'

nhiệm vụ Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

chiếm số lượng nhiều nhất trong nhóm kiểu nhiệm vụ thứ hai . Như vậy , chương trình dạy học

HHKG chú trọng rèn luyện việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Quan sát các bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng tôi thấy có các trường hợp

sau:

- Hai mặt phẳng có sẵn hai điểm chung trên hình vẽ

- Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung trên hình, điểm chung thứ hai là giao điểm hai đoạn

thẳng chứa trong hai mặt phẳng

- Hai mặt phẳng có một điểm chung và chứa hai đường thẳng song song nhau

Kiểu nhiệm vụ xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thường đi kèm với nhiệm vụ chứng

minh giao tuyến song song với mặt phẳng, xác định giao điểm của đ ường thẳng và mặt phẳng, xác

định thiết diện của mp(P) và hình H.

Kỹ thuật giải quyết có thể đưa về kỹ thuật xác định giao điểm của hai đường thẳng. Như vậy,

kiểu nhiệm vụ đã cho thấy sự tồn tại trường hợp hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt

hoặc không cùng nằm trong một mặt phẳng quan sát được trên hình nhưng đồng phẳng.

Tình huống bài tập không gắn với không gian thực mà trên hình vẽ của mặt phẳng trang giấy.

Kỹ thuật xác định giao tuyến hai mặt phẳng không được nêu tường minh trong SGK mà chỉ dẫn:

“để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta cần tìm bao nhiêu điểm chung của

chúng?”.

Kiểu nhiệm vụ xác định giao tuyến hai mặt phẳng thuộc kiểu nhiệm vụ dựng hình (dựng

đường thẳng). Học sinh phải chỉ ra tên đường thẳng và dựng nó trên hình. Hai kiểu nhiệm vụ dựng

'

2T : Xác định giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P)

đường thẳng là: đường thẳng qua hai điểm; qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước.

1τ : Tìm đường thẳng b chứa trong (P)

Kỹ thuật τ Công nghệ θ

= ∩

A d

P

Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa

(

)

)β chứa d và cắt(

)P theo

2τ : Chọn mp (

trong mặt phẳng sao cho d cắt b tại A. Suy ra

- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng

'd

'

- Điều kiện xác định đường thẳng chứa giao tuyến

I

= ∩ d

P

I

d

d

= ∩ . Khi đó

(

)

trong mặt phẳng - Gọi

1τ

2τ

Bảng 2.6 thống kê số lần sử dụng kỹ thuật trong SGK và SBT

Sách TỔNG CỘNG

7 8 1 SGK

6 10 4 SBT

Bảng 2.6

Bài 20/Tr.55/SGK: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q. R lần lượt nằm trên ba

cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD nếu:

PR AC / /

a. b. PR cắt AC

A

S

Nhận xét: Bài tập yêu cầu tìm giao điểm của đường và mặt trong

P

trường hợp mặt phẳng phụ chứa đường thẳng song song, cắt đường thẳng

D

B

chứa trong (PQR). Như vậy ta có thêm một trường hợp hai đường thẳng nằm

R

trong hai mặt phẳng phân biệt nhưng đồng phẳng.

Q

Lời giải mong đợi

PR AC / /

C

a. Trường hợp

A

Từ Q vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại S.

/ /QS PR nên bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng. Vậy

S

=

∩

S

PQR

AD

(

)

P

D

B

=

∩

ACD

Khi đó

( IQ PQR

)

(

)

R

C

=

∩

S

PQR

AD

b. Trường hợp PR cắt AC tại I. Khi đó . Đường

(

)

Q

'

thẳng IQ cắt AD tại S. Vậy

2T : Chiếm số lượng lớn trong SGK, đi

I

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

kèm với kiểu nhiệm vụ xác định thiết diện của mp(P) và hình H, chứng minh các giao điểm thẳng

hàng. Phương pháp được trình bày rõ trong SGK: “Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt

phẳng (P), ta tìm một đường nào đó trên (P) mà cắt d. Khi đó, giao điểm của hai đường thẳng này

là giao điểm cần tìm”.

Trong trường hợp không có sẵn đường thẳng đường thẳng trong (P) , SGV sử dụng phương

pháp chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng d và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Đây thêm

một trường hợp hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng quan sát trên hình mà đồng

'

) ( mp α

3T : Chứng minh đường thẳng a song song với

phẳng.

Kỹ thuật Công nghệ

1τ : Chứng minh a song song với một

Định lý 1: Nếu đường thẳng a không

)α

nằm trên (P) và song song với một đường thẳng b nằm trong (

đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a

⇒

a

/ /

( ) α

( ) α ⊂ b

( ) α

⊄ a  / / a 

song song với (P)

- Định nghĩa hai đường thẳng song song

2τ : Chứng minh đường thẳng và mặt

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi phẳng không có điểm chung. Sử dụng

là song song nếu chúng không có điểm phương pháp phản chứng:

)α có điểm chung rồi suy

chung Giả sử a và (

ra điều mâu thuẫn - Các quy tắc phản chứng

)β và

3τ : Chứng minh a nằm trong (

Định nghĩa hai mặt phẳng song song

)α

'

'

'

.

mặt phẳng này song song với (

ABC A B C . Gọi H là trung điểm

'

'A B . Chứng minh

'CB song song với

Bài 36/Tr.68/SGK: Cho hình lăng trụ tam giác

)' mp AHC

(

của của cạnh

mp AHC song song v ới

'CB chưa có trên h ình vẽ buộc học

(

)'

Nhận xét: Vì đường thẳng chứa trong

'CB

'

'

AA C C . Xét

sinh phải kẻ thêm. Đường thẳng cần tìm phải đồng phẳng và không có điểm chung với

A

C

'A B C thì HI là một đường trung bình của nó, nên

' / / CB HI .

B

'

'

⇒

CB

/ /

AHC

AHC

Lời giải mong đợi: Gọi I là tâm của hình bình hành

)'

(

)

I

'

. tam giác ' Mặt khác HI nằm trong mặt phẳng (

3T : Thường không dùng định nghĩa

A'

C'

Nhận xét kiểu nhiệm vụ

H

đường thẳng song song với mặt phẳng để chứng minh quan hệ giữa

B'

chúng. Thông thường trên hình vẽ đã có hai đường thẳng song song

hoặc HS tìm bằng cách nối hai điểm trên mặt để xuất hiện đường song song với đường thẳng đã

cho. Kiểu nhiệm vụ này sử dụng kỹ thuật chứng minh hai đường song song đã học trước đó. Đường

thẳng d được cho dưới dạng đường thẳng qua hai điểm, hoặc đường thẳng là giao tuyến của hai mặt

'

4T : Chứng minh hai mặt phẳng song song

phẳng.

Kỹ thuật Công nghệ

1τ : Chứng minh a, b chứa trong (P) cắt

Định lý: Nếu (P) chứa hai đường

thẳng a, b cắt nhau và cùng song song nhau và cùng song song với (Q)

⊂

P

a b ,

⇒

/ /

P

Q

(

)

(

)

/ /

, a b

Q

( (

) )

  

với (Q) thì (P) song song với (Q)

2τ : Chứng minh hai mặt phẳng này cùng

Hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt

cùng song song với mặt phẳng thứ ba song song với mặt phẳng thứ ba

thì song song

3τ : Chứng minh phản chứng: Giả sử hai

Định nghĩa hai mặt phẳng song song

mặt phẳng có điểm chung rồi suy ra mâu

thuẫn

Bài 4/Tr.78/SGK: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt

=

=

MC

2

AM NF ;

2

BN

phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho

mp MNN M

/ /

,M N . Chứng minh rằng:

. Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần

(

)

) mp DEF

(

1

1

1

1

E

lượt tại

F

Nhận xét: Ta tìm hai đường thẳng chứa trong hai mặt phẳng

N1

N

và tương ứng song song với nhau

A

B

M

M1

/ /

,

/ /

EF , ta suy ra

( mp DEF

)

(

) mp MM N N 1

1

M N DF NN / / 1

1

1

O

'

Lời giải mong đợi: Theo giả thiết và chứng minh được

4T : Để nhận biết hai mặt phẳng

C

D

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

song song có thể dùng định nghĩa trong p hương phápchứng minh

phản chứng. Thông thường, khi thực hành ta sử dụng các định lý về dấu hiệu nhận biết. Đưa ra mô

hình thực của hai mặt phẳng song song trong đời sống nhưng không có bài tập thực tế. Như vậy, việc

vận dụng kiến thức đã học vào không gian thực không thuộc về trách nhiệm của HS.

Mặt phẳng được cho dưới dạng qua ba hay bốn điểm. Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, HS

phải nắm vững kỹ thuật chứng minh hai đường thẳng song song. Cần tránh các quan điểm sai lầm:

- Chỉ chứng minh một cặp đường thẳng song song

'

- Chứng minh hai cặp đường thẳng không cắt nhau và song song

5T : Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy

Kiểu nhiệm vụ

Kỹ thuật Công nghệ

1τ : Chứng minh giao điểm của a, b

Khái niệm ba đường thẳng đồng quy

thuộc c hoặc chứng minh giao điểm của

a, b thẳng hàng với hai điểm thuộc c

2τ : Chứng minh a, b, c không đồng

Tính chất: Ba đường thẳng a, b, c

không đồng phẳng và đôi một cắt nhau phẳng và đôi một cắt nhau

thì đồng quy

3τ : Chứng minh a, b, c là giao tuyến của

Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt

nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba mặt phẳng phân biệt trong đó không ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc có hai đường thẳng nào song song đôi một song song.

Bảng 2.7 thống kê số lần sử dụng kỹ thuật trong SGK và SBT

3τ

1τ

2τ

Sách TỔNG CỘNG

2 0 0 2 SGK

2 1 1 4 SBT

Bảng 2.7

Ví dụ 1/Tr.54/SGK: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tai

trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G

đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.

Nhận xét: Dễ dàng thấy ba đường thẳng là ba đường chéo của hình bình hành nên đồng quy

A

tại trung điểm mỗi đoạn.

Lời giải mong đợi: Vì MP là đường trung bình của tam giác

M

Q

=

=

MP

AC NQ ,

AC

MP AC NQ AC ,

/ /

/ /

1 2

1 2

R

ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên

/ /MP NQ và MP NQ=

G

D

S

B

Vậy do đó tứ giác MPNQ là hình bình

N

P

hành. Từ đó suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm

C

của mỗi đoạn.

Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau

tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tai trung điểm G của mỗi

'

đoạn.

5T : Trong chương tr ình, kiểu nhiệm vụ được nêu rõ nhưng kỹ thuật

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

không được trình bày. Quan sát ví dụ 1, chúng ta thấy cách chứng minh đơn thuần như trong HHP,

'

6T : Xác định thiết diện của một hình đa diện H khi cắt bởi mặt phẳng (P)

không sử dụng kiến thức của HHKG. Còn hoạt động 6 SGK sử dụng kiến thức của HHKG là chủ yếu.

Chúng tôi chia nhiệm vụ dựng thiết diện theo cách cho mặt phẳng (P).

Nhiệm vụ Kỹ thuật Công nghệ

1t : (P) qua ba điểm

Tìm giao điểm của (P) với các Định nghĩa thiết diện

cạnh của hình H (nếu có). Tập không thẳng hàng

hợp các giao điểm tạo thành (ABC)

thiết diện

2t : (P) qua điểm M

Trong mặt phẳng chứa điểm M Hệ quả: “Nếu hai mặt

dựng đường thẳng song song phẳng cắt nhau lần và song song với hai

với a, b. Đường này cắt các lượt đi qua hai đường đường thẳng chéo

thẳng song song thì cạnh của H tại N, P chẳng hạn. nhau a, b

giao tuyến của chúng Tiếp tục vẽ các đường thẳng

song song với hai qua N, P và song song v ới a, b

đường thẳng đó”

3t : (P) là mặt phẳng

Tìm giao điểm A, B củ a ∆ Như của 1t

với hai cạnh của hình H . Bài qua điểm M và chứa

toán đưa về trường hợp 1t đường thẳng ∆

4t : (P) qua đường

Qua A, B k ẻ các đường thẳng Như của 2t

song song v ới CD, cắt các cạnh thẳng AB (hoặc qua

của H tại M, N. Tiếp tục dựng hai điểm A, B) và

qua M, N các đư ờng thẳng song song song với CD

H (nếu có). Hình phẳng qua

song v ới CD cắt các cạnh của

các giao đi ểm trên là thiết diện.

5t : (P) qua một điểm

Tìm hai đường thẳng cắt nhau Như của 2t

trong (P). Bài toán đưa về A và song song với

dựng thiết diện khi cắt bởi mặt (MNP)

phẳng qua một điểm và song

6t : (P) qua đường

song với hai đường thẳng

Tương tự như 5t . Xem (P) qua Như của 2t

thẳng AB (qua hai hai điểm A, B và song song

điểm A, B) và song với (MNP)

song với (MNP)

Bảng 2.8 thống kê số lượng các nhiệm vụ trong chương trình

1t

2t

4t

6t

3t

5t

Tổng Sách cộng

4 4 0 0 0 9 1 SGK

12 3 3 2 2 26 4 SBT

Bảng 2.8

Bài 28/Tr.60/SGK: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định

thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB

S

song song với BD và SA.

Q

Nhận xét: Bài tập thuộc nhiệm vụ 2t . Trong mặt phẳng chứa M

P

R

và BD, SA dựng các đường thẳng song song với chúng.

C

D

Lời giải mong đợi: Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt

N

AD tại N và cắt AC tại I. Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song

I

A

B

M

với SA lần lượt cắt SB, SD, SD tại R, Q, P. Thiết diện là ngũ giác

'

MNPQR.

6T : SGK định nghĩa: “Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt

Nhận xét kiểu nhiệm vụ

bởi mp(P) là phần chung của mp(P) và hình H”. Kiểu nhiệm vụ được nêu và xuất hiện khá nhiều

trong chương trình nhưng kỹ thuật xác định thiết diện lại không được nói đến.

Để giải các bài toán thiết diện, phải biết vận dụng các tiên đề về mặt phẳng, các tính chất của

quan hệ liên thuộc, quan hệ song song giữa các yếu tố của đường thẳng, mặt phẳng trong không

gian. Như vậy cần nắm vững kiến thức và kỹ năng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Khi xác định xong thiết diện, SGV xác định luôn hình tính của nó. Thêm một qui tắc hợp đồng

có thể được hình thành: HS phải có trách nhiệm xác định hình tính của thiết diện khi đã dựng

xong. Chúng tôi không thấy các bài tập tính toán liên quan đến thiết diện như tính chu vi, diện

tích,…trong SGK.

Một khó khăn là không biết phải tìm điểm chung (P) với các mặt nào của hình (H), khi nào thì

dựng xong thiết diện. Sử dụng tính chất thừa nhận 4: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung

thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó” để

'

7T : Chứng minh ba điểm thẳng hàng

tìm các điểm chung cần thiết

Kỹ thuật Công nghệ

Ta chứng minh chúng thuộc hai mặt Định nghĩa giao tuyến của hai mặt

phẳng phân biệt hay chứng minh chúng phẳng

thuộc giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận 1 và 4

Bài 5/Tr.30/SGK: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C

nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt

phẳng (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.

Nhận xét: Dễ thấy các giao điểm là điểm chung của hai mặt phẳng nên thuộc giao tuyến của

A

chúng.

B

Lời giải mong đợi: Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của các

C

∈

∈

∈ I AB J CA K BC

,

,

đường thẳng AB, AC và BC với mp(P). Vì A, B, C không thẳng hàng

K

J

nên ta có mp(ABC). Do nên I, J, K đều thuộc

I

mp(ABC). Mặt khác, rõ ràng I, J, K đều thuộc mp(P). Vậy I, J, K

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (P), do đó I, J, K thẳng

'

hàng.

7T : Kỹ thuật chứng minh ba điểm thẳng hàng được trình bày

Nhận xét về kiểu nhiệm vụ

trong SGK. Kiểu nhiệm vụ này thường đi kèm với kiểu nhiệm vụ xác định giao tuyến của đường

thẳng và mặt phẳng.

2.3.6. Phương pháp phản chứng trong chứng minh các bài toán liên quan đến VTTĐ giữa

hai đường thẳng

Thống kê các trường hợp sử dụng phương pháp phản chứng trong SGK và SBT, chúng tôi

được bảng 2.9:

SGK Bài tập minh họa

1. Chứng minh hai HĐ 1/Tr. 52: Cho tứ diện ABCD. Hãy xét VTTĐ giữa hai

đường thẳng chéo nhau đường thẳng AB và CD.

Bài 19/Tr. 55: Cho tứ diện ABCD. G ọi M, N là hai điểm

phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm

phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét VTTĐ của MQ

và NP; MP và NQ.

Hoạt động và bài tập trên đã được phân tích trong phần

lý thuyết và các tổ chức toán học ở chương 2.

2. Chứn g minh hai HĐ 1/Tr. 57: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng

đường thẳng song song (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo

giao tuyến b song song với a.

Phân tích: Hoạt động liên quan đến chứng minh hai đường

song song dựa vào tính chất đường thẳng song song với mặt

b

I

phẳng. Chỉ sử dụng phương pháp phản chứng

b∈ và

( P∈

)

( P⊂

)

Lời giải: Giả sử a cắt b tại I. Khi đó vì I .

a∈ nên a cắt (P) tại I (vô lý). Vậy a//b.

Mặc khác I

3. Chứng minh không HĐ 2/Tr. 52: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có

tồn tại hai đường thẳng hay không hai đường thẳng p, q song song với nhau, mỗi

song song đường thẳng đều cắt cả a và b.

Hoạt động đã được phân tích ở phần lý thuyết

4. Chứng minh hai Câu hỏi 5/Tr. 63: Cho mp(R) cắt hai mặt phẳng song song

đường thẳng không có (P) và (Q) lần lượt theo giao tuyến a và b. Hỏi a và b có

điểm chung điểm chung hay không? Vì sao?

Nhận xét: Vì (P)//(Q) nên hai mặt phẳng không có bất kỳ

điểm chung nào.

Lời giải: a và b không có điểm chung vì nếu chúng có điểm

chung A thì (P) và (Q) cũng có điểm chung A (mâu thuẫn

với giả thiết).

5. Chứng minh đường Câu hỏi 3/Tr. 61: Khẳng định sau đây có đúng không? Vì

thẳng song song với mặt sao? Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì

phẳng mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với (Q).

Phân tích: Câu hỏi liên quan đến sự song song của đường,

mặt. Vận dụng định nghĩa để chứng minh.

Lời giải: Mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với

(Q) vì nếu có đường thẳng nằm trên (P) mà cắt (Q) tại một

điểm thì điểm ấy là điểm chung của (P) và (Q).

6. Chứng minh hai mặt Câu hỏi 4/Tr. 61: Khẳng định sau đây có đúng không? Vì

phẳng song song sao? Nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đ ều

song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

Phân tích: Đường thẳng song song với (Q) nên không có

điểm chung với (Q). Phủ định mệnh đề hai mặt phẳng song

song là hai mặt phẳng cắt nhau.

Lời giải: Khẳng định đã cho là đúng, vì nếu (P) và (Q) có

điểm chung A thì mọi đường thẳng nằm trên (P), qua điểm A

đều cắt (Q) tại điểm A (mâu thuẫn với giả thiết).

Định lý 1/Tr. 61: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

a , b cắt nhau và cùng song song với mp(Q) thì (P) song

song với (Q).

Lời giải: (P) và (Q) không trùng nhau vì nếu chúng trùng

nhau thì đường thẳng a nằm trên (P) cũng nằm trên (Q),

mâu thuẫn với giả thiết a//(Q).

Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Do a//(Q) và a

nằm trên (P) nên (P) cắt (Q) theo giao tuyến c//a. Lý luận

tương tự, c//b. Từ đó suy ra a//b hoặc a trùng với b (mâu

thuẫn với giả thiết).

Tổng cộng 8

SBT Bài tập minh họa

1. Chứng minh 4 điểm Bài 5/Tr. 51: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hai

không đồng phẳng điểm phân biệt M, N nằm trên đoạn thẳng AB và hai điểm

phân biệt I, J nằm trên đoạn thẳng CD. Chứng minh bốn điểm

M, N, I, J không đ ồng phẳng.

∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

∈

,

MN

P

P

A

P

Lời giải: Giả sử có mp(P) chứa bốn điểm M, N, I, J. Khi

( M P N

)

(

)

)

(

(

) P B ,

(

)

∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

∈

I

IJ

C

P

P

P D P

,

(

) P J ,

(

)

(

)

(

)

(

)

đó

Nên A, B, C, D đều thuộc (P) (trái giả thiết).Suy ra điều phải

chứng minh.

2. Chứng minh hai Bài 3/Tr. 54: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là một tứ giác

đường thẳng chéo nhau lồi. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo

nhau: SA và BC, SA và CD, SB và CD, SB và DA, SC và AD,

SC và AB, SD và AB, SD và BC

Lời giải: Chứng minh SA và BC chéo nhau

Giả sử SA và BC không chéo nhau, tức là chúng đồng

phẳng. Khi đó S thuộc mp(ABCD), điều đó mâu thuẫn với

giả thiết S.ABCD là hình chóp. Vậy SA và BC chéo nhau.

Các cặp đường thẳng còn lại chứng minh tương tự.

Tổng cộng 2

Bảng 2.9

Như vậy, SGK dùng phương pháp phản chứng cho các chứng minh ở phần lý thuyết xuyên suốt

cả chương 2. Nó không chỉ là công cụ để chứng minh các tính chất, giải quyết các hoạt động liên quan

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng mà còn liên quan đến quan hệ giữa đường và mặt, tính chất đồng

phẳng hay tính thẳng hàng của các điểm,…Yêu cầu của SGV : “cần cho học sinh làm quen với

phương pháp phản chứng, một phương pháp thường gặp trong chứng minh hình học” [13, tr. 51].

Phương pháp phản chứng đã được học ở phần đại số đầu năm lớp 10 và không được nhắc lại

trong chương trình 11. Có trường hợp SGK hướng dẫn học sinh dùng phản chứng. SGK 10 đưa ra

sáu bài tập yêu cầu chứng minh phản chứng, trong đó có một bài về hình học. Như vậy, chươ ng

trình cũng đã chuẩn bị kiến thức làm tiền đề cho các chứng minh phản chứng trong chương trình

hình không gian 11.

Luận cứ cho chứng minh là các tính chất thừa nhận, định nghĩa, tính duy nhất của các đối

tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng cũng như mối quan hệ giữa chúng. Muốn chứng minh phủ

định một mệnh đề nào đó, cần xét đầy đủ các trường hợp có thể. Đây có thể xem như là những khó

khăn của HS. Với phương pháp phản chứng thì sai lầm có thể thấy là:

- Sai lầm về luận đề: Do thay mệnh đề cần chứng minh bằng một mệnh đề không tương đương

với nó, không biết cách phủ định mệnh đề.

- Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng sai định lí, tính chất, định nghĩa,…

2.4. Kết luận chương 2

Việc phân tích chương trình, SGK và SBT đã cho phép chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế

với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng. Việc giảng dạy HHKG mà cụ thể là VTTĐ giữa hai

đường thẳng được giới thiệu qua hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Lớp 8. Đối tượng được giới thiệu một cách tổng quát dựa vào sự mô tả trực quan

trên hình hộp chữ nhật. Yêu cầu chỉ dừng lại ở việc “tìm” hai đường thẳng song song với nhau, cắt nhau

hay không cùng nằm trên một măt phẳng. Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau chưa thấy xuất hiện

trong SGK nhưng với tên gọi “hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào”. Liệu cách

nói này có d ẫn đến việc hiểu hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt không?

Giai đoạn 2: Lớp 11. Chuyển từ việc mô tả lên khái quát đi kèm với định nghĩa VTTĐ giữa

hai đường thẳng. Xuất hiện các khái niệm: đường thẳng đồng phẳng, không đồng phẳng, đường

thẳng chéo nhau với các quan hệ phức tạp trong lý thuyết lẫn bài tập. Đi kèm với các khái niệm này

là các tên gọi như: hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng, không có mặt phẳng nào chứa cả

hai đường thẳng, có mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng,…Tuy các cách nói khác nhau nhưng có

thể phản ánh cùng một đối tượng, một quan hệ. Liệu chúng có gây ra sự nhọc nhằn trong cách gọi

tên và cách hiểu không?

Không giải thích khái niệm hai đường thẳng không đồng phẳng. Liệu HS có thể hiểu chúng

theo nghĩa “hai đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng” hay “hai đường thẳng nằm trên hai

mặt phẳng phân biệt”. Thực tế, SGK đã đưa ra các bài tập liên quan đến sự song song và cắt nhau,

tức là có sự đồng phẳng của hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên

hình. Như vậy, liệu HS còn hiểu chúng theo hai cách trên khô ng? Đây là điều mà c húng tôi định

hướng sẽ kiểm tra ở phần thực nghiệm.

Nhiều định lý, tính chất được nêu ra trong chương trình nhất là các dấu hiệu nhận biết hai đường

thẳng song song, định nghĩa với các mối quan hệ điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Trong suốt chương,

chúng tôi th ấy kiểu bài tập dựng hình hay gặp là:

- Dựng một điểm, dựng đường thẳng qua hai điểm, dựng đường thẳng qua một điểm và song

song với một đường thẳng cho trước

- Dựng thiết diện của mp(P) và hình H

Không đưa ra dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau. SGK sử dụng phương pháp phản

chứng trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Đường thẳng được cho dưới dạng AB, CD và

đều thuộc hình tứ diện, chóp tứ giác, chóp tam giác. Không có bài tập yêu cầu dựng hai đường

thẳng chéo nhau.

Học sinh chỉ có trách nhiệm: chứng minh hai đường thẳng song song, chéo nhau, đường thẳng

song song với mặt phẳng,…Nhiệm vụ dựng đường thẳng qua một điểm và song song với một đường

thẳng cho trước xuất hiện thường xuyên trong các bài tập xác định giao tuyến hai mặt phẳng, dựng

thiết diện của một hình. Số đo (góc, cạnh) không xuất hiện trong SGK cho nên không có bài tập tính

toán. Trong khi đó nhiệm vụ này được thấy trong SBT như tính độ dài đoạn thẳng, t ính diện tích

thiết diện.

Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các chứng minh của SGK. Nó được sử

dụng xuyên suốt từ những bài đầu đến cuối chương. Vai trò không chỉ giới hạn ở việc chứng minh

hai đường thẳng chéo nhau mà còn mở rộng cho việc chứng minh những tính chất, định lý khác

Từ những phân tích ở chương hai, chúng tôi hình thành giả thuyết:

H1: Vẫn còn nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc nhận biết thuộc tính đặc trưng “không

đồng phẳng” trong định nghĩa khái niệm hai đường thẳng chéo nhau. Cụ thể, học sinh thường

hiểu thuộc tính này theo nghĩa: hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt hoặc không

cùng nằm trong một mặt phẳng.

H2: Phương pháp phản chứng được xem như là một công cụ chủ yếu trong việc chứng

minh hai đường thẳng chéo nhau.

Chương 3:

THỰC NGHIỆM

3.1. Mục đích của chương

Mục đích của chương là nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng VTTĐ giữa hai

đường thẳng trong dạy học hình học không gian lớp 11. Thực nghiêm hướng tới việc kiểm chứng giả

thuyết mà chúng tôi đã nêu ở cuối chương hai:

H1: Vẫn còn nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc nhận biết thuộc tính đặc trưng “không

đồng phẳng” trong định nghĩa khái niệm hai đường thẳng chéo nhau. Cụ thể: học sinh thường

hiểu thuộc tính này theo nghĩa: hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt hoặc không

cùng nằm trong một mặt phẳng.

H2: Phương pháp phản chứng được xem như là một công cụ chủ yếu trong việc chứng

minh hai đường thẳng chéo nhau.

Chúng tôi xây dựng thực nghiệm bằng cách cho học sinh giải bài toá n và lựa chọn các lời giải

giả định cho sẵn. Đối tượng thực nghiệm của chúng tôi là học sinh lớp 11 khi vừa mới tiếp xúc

VTTĐ giữa hai đường thẳng.

3.2. Nội dung thực nghiệm

A

Câu I: Xét bài toán sau:

“Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, K, N trên các cạnh (không

N

trùng với các đỉnh của tứ diện) như hình vẽ. Xét vị trí tương đối giữa

B

D

BK và MN”

K

Em hãy cho biết ý kiến của mình (đồng ý, không đồng ý) về cách

M

làm của ba bạn HS An, Bình, Cường bằng cách đánh dấu X vào các ô

C

tương ứng và trình bày một lời giải của em.

⊂

⊄

BK

BCD

Đồng Không HS Lời giải ý đồng ý

(

) BCD MN ;

(

)

⇒ BK và MN không đồng phẳng (vì theo định nghĩa

Ta có:

hai đường thẳng đồng phẳng là hai đường thẳng cùng

An nằm trong một mặt phẳng)

⇒ BK và MN chéo nhau

BK và MN chéo nhau. Thật vậy, giả sử BK và MN

không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mặt

⇒

∈

∈

,

B M K

,

,

BCD

phẳng nào đó

) B M K α ,

(

(

)

. Mà

Theo tính chất thừa nhận 2: có một và chỉ một mặt

BCD

Bình phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

( α⇒ ≡

)

(

)

) ( N α∈

⇒ ∈ N

BCD

mà

(

)

(vô lí vì N thuộc cạnh AD của tứ diện

ABCD).

⊂

BK

BCD

Vậy BK và MN chéo nhau

(

)

Ta có:

MN cắt (BCD) tại một điểm M không thuộc BK

⇒ BK và MN chéo nhau

Cường

Lời giải của em:

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

Câu II: Cho các bài toán sau kèm theo lời giải của hai bạn An, Bình. Em hãy cho biết ý kiến của

mình (đồng ý hoặc không đồng ý) vào chổ… về cách làm của hai bạn và cho một lời giải của em

vào các ô tương ứng

P Q

B

A

b

a

C

D

R

Bài 1 Hình vẽ minh họa

Cho 3 mp(P), (Q), (R) đôi một phân biệt

và không song song với nhau; đường

thẳng a chứa trong (R) cắt (P), (Q) lần

lượt tại C, D; đường thẳng b nằm ngoài

(R) cắt (P), (Q) lầ n lượt tại A, B. Hỏi

hai đường thẳng a, b có đồng phẳng

không?

An:…………………… Bình:…………………… Lời giải của em

∈

,

,

∈ A B b C D a ;

⊂

⊄

a

R

(

) R b ,

(

)

Ta có: Ta có:

⇒ a, b không đồng phẳng

Mà bốn điểm A, B, C, D

không cùng nằm trên một

⇒ a, b không đồng

mặt phẳng

phẳng

d

Bài 2 Hình vẽ minh họa

Trong (P) cho hai điểm A, B. Đường

thẳng d cắt (P) tại một điểm M nằm

M

B

ngoài đoạn thẳng AB. Hỏi đường thẳng

A

P

qua hai điểm A, B và d có nằm trên cùng

một mặt phẳng nào không?

An:…………………… Bình:…………………… Lời giải của em

Ta có: Ta có:

Đường thẳng qua hai điểm d không chứa trong (P)

A, B chứa trong (P) mà d d cắt (P) tại một điểm M

không nằm trong mặt phẳng nằm ngoài đoạn AB

⇒ AB và d chéo nhau

⇒ AB và d không đồng

⇒ AB và d không cùng

này

⇒ AB và d không cùng

phẳng nằm trên một mặt phẳng

nằm trên một mặt phẳng

Bài 3 Hình vẽ minh họa

Cho tứ diện ABCD có K là điểm

nằm trong tam giác ACD. Hai điểm

M, N tương ứng trên cạnh AC, AD

/ /MN CD . Hỏi MN và BK

sao cho

có đồng phẳng không?

An:………………… Bình:………………… Lời giải của em

⊂

⊄

∈

∉

,

,

ACD

;

(

(

(

(

) ) MN ACD ACD BK ; ⇒ MN và BK không đồng

) ) M N K ACD B ⇒ bốn điểm M, N, B, K

Ta có: Ta có:

phẳng không cùng nằm trên một

⇒ MN, BK không đồng

mặt phẳng

phẳng

B

Câu III: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Trên a lấy hai điểm

A

a

phân biệt A, B. Trên b lấy hai điểm phân biệt C, D (hình vẽ). Chứng

b

minh AD và BC chéo nhau.

D

C

Bài làm:

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

3.3. Phân tích a priori các bài toán

Câu I: Kiểm tra cả hai giả thuyết H1, H2

Kiến thức liên quan:

- Hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và điểm không đồng phẳng

- Mối quan hệ giữa điểm, đường, mặt

- Phương pháp phản chứng trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

Tri thức nhắm đến:

- Phương pháp phản chứng trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

- Ảnh hưởng của quan hệ thể chế với khái niệm hai đường thẳng không

đồng phẳng trong định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau đối với quan hệ cá nhân HS. Chúng được

thể hiện qua các lời giải giả định của ba bạn:

An: Quan niệm hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình là

hai đường thẳng không đồng phẳng. Do đó, chúng chéo nhau

Các khái niệm được sử dụng trong chương trình là: hai đường thẳng song song, hai đường

thẳng chéo nhau và hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng. SGK thường sử dụng khái niệm hai

đường thẳng chéo nhau. Nó được đ ịnh nghĩa qua hai đường thẳng không đồng phẳng mà khái niệm

này lại không được giải thích trong SGK. Điều này có thể dẫn đến những cách hiểu sai như:

- Hai đường thẳng không đồng phẳng là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt

phẳng

- Hai đường thẳng không đồng phẳng là hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt

- Nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì nếu có mặt phẳng chứa đường này cũng sẽ chứa đường

còn lại.

Những sai lầm trên có thể được giải thích do các nguyên nhân như: không nắm vững định nghĩa

khái niệm, phủ định sai mệnh đề, không nắm vững tính duy nhất của mặt phẳng tạo bởi hai đường

song song, hai đư ờng cắt nhau.

Bình: Dùng phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Cách này thường gặp

trong các chứng minh của SGK, SBT.

Cường: Dùng dấu dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau trong các sách giảng dạy trước:

“a và b chéo nhau khi và chỉ khi b cắt mp(P) chứa a tại một điểm không thuộc a”. Chúng tôi dự đoán

HS sẽ chọn lời giả của An, Bình vì hai cách này h ọ thường gặp hơn.

Chọn đường thẳng BK nằm trong mặt phẳng (BCD) nhìn thấy trên hình. MN được lấy trên hai

cạnh của tứ diện nên không nằm trong mặt phẳng nhìn thấy nào. Lời giải đúng là lời giải của Bình,

Cường.

Câu II: Kiểm tra H1

Đặt HS vào tình huống nhận dạng VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể chúng tôi muốn tìm

hiểu quan hệ cá nhân HS với khái niệm hai đường thẳng đồng phẳng hoặc không đồng phẳng.

Khi yêu cầu xét sự đồng phẳng hay không của hai đường, chúng tôi luôn chọn một đường nằm

trong mặt phẳng nhìn thấy và mặt phẳng này không chứa đường còn lại. Với ba tình huống trong

câu II chúng tôi muốn biết liệu có tồn tại quan niệm cho rằng: hai đường thẳng không cùng nằm

trong một mặt phẳng cho trước trên hình có là hai đường thẳng không đồng phẳng không. Thuộc

tính “không đồng phẳng” ở đây phải được hiểu là không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào, chứ

không phải là không cùng nằm trong một mặt phẳng cho trước trên hình hay nằm trong hai mặt

phẳng phân biệt. Như vậy, việc hiểu hai đường thẳng không đồng phẳng cần phải dựa trên các cách

xác định mặt phẳng mà chúng tôi đã nêu ở chương hai. Có sự phân chia thành hai dạng hình biểu

diễn đường thẳng:

Dạng 1: Đường thẳng được biểu diễn dưới dạng đoạn thẳng qua hai điểm

Dạng 2: Đường thẳng là đoạn thẳng không qua hai điểm cho trước.

Ở dạng 1 ta có thể sử dụng yếu tố đồng phẳng của điểm để chứng minh sự đồng phẳng của

đường

Bài 1: Yêu cầu xét xem a và b có đồng phẳng không. Đường thẳng được cho dưới dạng qua

hai điểm thuộc hai mặt phẳng cắt nhau. Với cách cho đường thẳng dạng này, ta xác định được thêm

hai đường thẳng AC và BD có thể đồng qui hoặc song song với giao tuyến của (P) và (Q).

Như vậy, a và b không nằm trên hai mặt phẳng nhìn thấy trên hình mà có thể nằm trong mặt

phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song nên chúng có thể đồng phẳng (thuộc

mặt phẳng không nhìn thấy trên hình).

Bài 2: Cho một đường qua hai điểm của mặt phẳng (P), đường còn lại cắt (P) tại một điểm M.

Khi xét tính đồng phẳng của AB và d không dựa vào việc chúng có cùng nằm trên mặt phẳng

(P) hay không mà phải dựa vị trí của M trên đường thẳng AB. Nếu M thuộc đường thẳng AB mà

nằm ngoài đoạn AB thì hai đường thẳng nằm trên một mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt

nhau. Trường hợp còn lại hai đường thẳng không đồng phẳng.

⊂

MN

ACD

Bài 3: Chúng tôi xây dựng tình huống như bài 2. Mặt phẳng (ACD) chứa đường MN và không

(

)

chứa đường BK. Vì K thuộc (ACD) nên BK có thể qua K thuộc . Khi đó BK và MN

đồng phẳng (thuộc mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau). Trường hợp MN không qua K thì

chúng không đồng phẳng.

Câu III: Kiểm tra H2

Tri thức nhắm đến: Phương pháp phản chứng trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Chúng tôi dựa vào bài 18 trang 55/SGK: “Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt

cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí

tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của MP, NQ”.

Chuyển hai cạnh bên của tứ diện thành hai đường thẳng chéo nhau a, b để lúc đầu không xuất

hiện mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Các đường thẳng xét VTTĐ có “điểm chung” trên hình.

3.3.1. Các biến didactic

V1: Cho trước hay không cho trước hình vẽ

Mỗi bài toán chúng tôi đều cho các hình vẽ minh họa. Nó chỉ là một trong các trường hợp xảy

ra của bài toán để làm điểm tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải. Nếu chỉ căn cứ vào hình vẽ mà

không chú ý đến giả thiết của đề bài sẽ dẫn đến hiện tượng bỏ sót các trường hợp khác. Do đó, biến

này có các giá trị:

V1.1: Cho trước hình vẽ

V1.2: Không cho trước hình vẽ

V2: Có điểm chung hay không có điểm chung trên hình

Chúng tôi muốn nói đến yếu tố trực quan của hình vẽ. Nếu chỉ căn cứ vào yếu tố điểm chung

“thấy được” trên hình vẽ để kết luận hai đường thẳng cắt nhau là không đúng với tư duy của

HHKG. Biến này ảnh hưởng đến chiến lược quan sát hình vẽ nên câu trả lời do trực giác mang lại.

Biến có hai giá trị:

V2.1: Hai đường thẳng có điểm chung trên hình

V2.2: Hai đường thẳng không có điểm chung trên hình

V3: Hình thức biểu diễn của hai đường thẳng

Hình thức biểu diễn hai đường thẳng cũng ảnh hưởng đến chiến lược của HS. Biến này

có các giá trị:

V3.1: Đường thẳng là đoạn thẳng qua hai điểm

V3.2: Đường thẳng là đoạn thẳng không cho qua hai điểm

Chúng tôi tạo sự đang xen hai cách biểu diễn của đường thẳng. Cách cho đường t hẳng xác

định bởi hai điểm có thể đưa về chứng minh điểm đồng phẳng (hoặc không đồng phẳng) nhờ sử

dụng tương quan giữa điểm và đường.

V4: Đặc trưng của đường thẳng được xem xét

Khi xét VTTĐ giữa hai đường thẳng phải chú ý đến đặc trưng đồng phẳng hay khôn g đồng

phẳng của chúng. Đây là một đặc trưng mà HS dễ bỏ qua. Chúng tôi gọi mặt phẳng được biểu diễn

bằng hình bình hành hoặc tam giác là những mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Mặt phẳng được xác

định bởi hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau là mặt phẳng không nhìn thấy trên hình. Để

chứng minh sự tồn tại mặt phẳng này phải sử dụng các công cụ như định lý, tính chất, tiên đề, các

qui tắc của phép chiếu song song,…

Biến này có các giá trị:

V4.1: Hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng cho trước

V4.2: Một đường thẳng nằm trên mặt phẳng cho trước không chứa đường thẳng còn lại

V4.3: Hai đường thẳng không nằm trên mặt phẳng cho trước nào

V5: Bản chất của lời giải giả định

Để kiểm tra mức độ ảnh hưởng của khái niệm hai đường thẳng không đồng phẳng và việc sử

dụng phương pháp phản chứng trong việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, chúng tôi đã

hình thành lời giải giả định dựa trên các giá trị của biến như sau:

V5.1: Lời giải dùng phản chứng

V5.2: Lời giải dùng khái niệm: đường thẳng, điểm đồng phẳng hoặc không đồng phẳng;

đường thẳng chéo nhau

V5.3: Lời giải dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau

Những lời giải này cũng ảnh hưởng đến việc sử dụng chiến lược ở các câu sau.

V6: Hình thức đặt câu hỏi

Có những chiến lược mang lại khẳng định đúng nhưng lời giải thích lại sai hoặc mập mờ. Vì thế

cần đặt những câu hỏi cho phép hiểu được lập luận của HS để thấy được những quan niệm của họ với

đối tượng cần xem xét. Ba giá trị của biến là:

V6.1: Cho sẵn các câu trả lời, yêu cầu HS chọn câu trả lời hợp lý và giải thích về sự lựa chọn

đó

V6.2: Không cho sẵn câu trả lời, yêu cầu HS phải trình bày lời giải của mình

V6.3: Cho sẵn câu trả lời, HS lựa chọn nhưng không giải thích, sau đó trình bày một lời giải

của mình

Thống kê giá trị của biến được sử dụng trong các tình hu ống qua bảng 3.1

Câu II

Biến Câu I Câu III Bài 3 Bài 1 Bài 2

V1.1 V1.1 V1.1 V1.1 V1.1 V1

V2.1 V2.1 V2.1 V2.1 V2.1 V2

V3.1, V3.2 V3.1 V3.1 V3.1 V3.1 V3

V4.2 V4.2 V4.2 V4.2 V4.3 V4

V5.1, V5.2 V5.2 V5.2 V5.2 V5 V5.3

V6.3 V6.3 V6.3 V6.3 V6.3 V6

Bảng 3.1

3.3.2. Chiến lược và những cái quan sát được

S1: Chiến lược “quan sát điểm chung” của hai đường thẳng

Dựa trên các qui tắc hành động đã có ở HHP: hai đường thẳng có điểm chung trên hình thì cắt

nhau, không có điểm chung thì song song. Do đó, câu trả lời ảnh hưởng phần lớn vào hình vẽ. Chiến

lược này chỉ cho câu trả lời đúng khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu Những cái quan sát được

Đường thẳng BK và MN có điểm chung nên chúng cắt nhau Câu I

a, b có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai đường thẳng Bài 1 đồng phẳng

AB và d có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai đường Câu II Bài 2 thẳng đồng phẳng

BK và MN có điểm chung nên chúng cắt nhau. Suy ra hai Bài 3 đường thẳng đồng phẳng

Chiến lược không xuất hiện ở câu hỏi này Câu III

S2: Chiến lược “dùng khái niệm hai đường thẳng không đồng phẳng”

Trong chiến lược này hai đường thẳng chéo nhau chỉ dựa trên tiêu chuẩn hai đường thẳng

không cùng nằm tr ong một mặt phẳng có trên hình. Xuất phát từ định nghĩa hai đường thẳng đồng

phẳng, HS có thể hiểu không đúng về hai đường thẳng không đồng phẳng.

Câu Những cái quan sát được

.1IS 2.

- : BK chứa trong (BCD) mà mặt phẳng này không chứa MN

nên hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng. Suy

.2IS 2.

ra chúng chéo nhau. Câu I - : MN chứa trong (BMN) mà BK không chứa trong mặt

phẳng này nên MN, BK không cùng nằm trong một mặt phẳng.

⊂

⊄

a

R

,

b

R

Suy ra chúng chéo nhau.

(

)

(

)

nên hai đường thẳng a, b không đồng phẳng Bài 1

⊂

⊄

MN

ACD

Đường thẳng qua hai điểm A, B chứa trong (P) mà d không nằm Bài 2 trong mặt phẳng này nên hai đường thẳng không đồng phẳng Câu II

(

) ACD BK ;

(

)

⇒ MN và BK không đồng phẳng

⊂

⊄

AD

,

ACD

Ta có: Bài 3

(

) ACD BC

(

)

IIIS 2.

.1

: Ta có: Câu III

⇒ AD và BC không cùng nằm trên (ACD) nên chúng không

đồng phẳng (vì theo định nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng là

⇒

,AD BC

hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng)

⊂

⊄

BC

ABC

chéo nhau

(

) ABC AD ,

(

)

IIIS 2.

.2

⇒ AD và BC không cùng nằm trên (ABC) nên chúng không

: Ta có:

đồng phẳng (vì theo định nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng là

⇒

,AD BC

hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng)

,α β tương ứng là hai mặt phẳng chứa a và b

chéo nhau

)

(

)

IIIS 2.

.3

,α β phân biệt

: Gọi (

) (

)

∈

∈

A B ,

;

C D ,

Vì a, b chéo nhau nên (

( ) α

(

) β

⇒ AD và BC không cùng thuộc một mặt phẳng nào nên AD, BC

Ta có:

không đồng phẳng

S3: Chiến lược “dùng khái niệm điểm không đồng phẳng”

Tương tự như trên S2. Xem bốn điểm không đồng phẳng là “bốn điểm không cùng nằm trên

một mặt phẳng”.Chiến lược này dựa trên mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng (một đường thẳng

hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua hai điểm phân biệt). Do vậy, nếu bốn điểm không đồng phẳng

thì hai đường thẳng qua bốn điểm đó chéo nhau.

Câu Những cái quan sát được

Ta có: B, M, K thuộc mặt đáy BCD còn N không thuộc mặt

⇒ BK và MN không đồng phẳng

⇒ BK và MN chéo nhau

∈

∉

;

,

,

R

phẳng này nên bốn điểm không đồng phẳng. Câu I

( C D R A B

)

(

)

3.1.1S

: Ta có: nên AB, CD chéo nhau

3.1.2S

: A, B, C, D nằm trong mặt phẳng tạo bởi AC và BD (vì Bài 1 hai đường này đồng qui với giao tuyến của (P) và (Q) nên AB,

Câu II CD cắt nhau

Lấy một điểm C khác M nằm trên đường thẳng d

Ta có A, B, M cùng thuộc (P), C không thuộc (P) nên bốn Bài 2

điểm A, B, M, C không đồng phẳng. Suy ra AB và MC không

∈

∉

M N K

,

,

;

ACD

đồng phẳng hay AB và d không đồng phẳng

(

) ACD B

(

)

Ta có:

⇒ bốn điểm M, N, B, K không cùng nằm trên một mặt phẳng

⇒ MN, BK không đồng phẳng

Bài 3

IIIS 3.

.1

: Bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt

phẳng nào trên hình nên AD, BC không đồng phẳng

IIIS 3.

.2

: Gọi (P), (Q) tương ứng là hai mặt phẳng chứa a, b

∈ ⊂

∈ ⊂

A B a

,

P C D b ,

;

Q

Vì a, b chéo nhau nên (P), (Q) phân biệt

(

)

(

)

⇒ Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (không cùng nằm

Ta có:

⇒ AD và BC chéo nhau

trên một mặt phẳng)

∈ ⇒ ⊂

⊄

C D b

b

,

AC

a

AC

D

(

) D ,

(

)

IIIS 3.

.3

B

Câu III : Ta có .Mà B thuộc a

( AC⊄

)D

nên . Suy ra bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm

⇒ AD và BC chéo nhau

⊂

b

ACD

trên một mặt phẳng

(

)

IIIS 3.

.4

∉

B

ACD

: C, D thuộc b nên . Lại có A, B thuộc a mà

(

)

⇒ 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng

⇒ AD và BC chéo nhau

a chéo b và a cắt ( ACD) tại điểm A nên

S4: Chiến lược “chứng minh phản chứng”

Câu Những cái quan sát được

.1IS 4.

: Giả sử hai đường thẳng BK và MN đồng phẳng, suy ra

mp α nào đó

(

)

⇒

∈

,

) B M K α ,

(

∈

B M K

,

,

BCD

chúng thuộc

(

)

Mặt khác Câu I

BCD

Theo tính chất thừa nhận 2 thì có một và chỉ một mặt phẳng qua

) α ≡

(

)

⇒ ∈ N

BCD

ba điểm không thẳng hàng nên (

(

)

⇒ BK và MN không đồng phẳng nên chúng chéo nhau

(vô lý)

( ) mp α

.2IS 4.

: Giả sử BK và MN đồng phẳng, suy ra chúng thuộc

∈ C BM

C

∈ D CK

D

∈ A DN

A

) ( ( ) ⊂ ⇒ ∈ α α ) ( ( ) ⊂ ⇒ ∈ α α ) ( ( ) ⊂ ⇒ ∈ α α

nào đó. Ta có:

)α (mâu thuẫn với giả thiết ABCD

Suy ra A, B, C, D cùng thuộc (

là tứ diện)

Vậy BK, MN không đồng phẳng nên chúng chéo nhau.

a

R

b

R

Giả sử a và b đồng phẳng suy ra chúng cùng thuộc một mặt

) ⊂ ⇒ ⊂

(

(

)

phẳng. Mà (vô lý với giả thiết b nằm ngoài Bài 1 (R)). Vậy a, b không đồng phẳng.

AB

P

d

P

Giả sử AB và d đồng phẳng

) ⊂ ⇒ ⊂

(

(

)

Ta có: (vô lý vì giả thiết cho d cắt (P)) Bài 2 Câu II Vậy AB và d không đồng phẳng

⇒ chúng cùng nằm trong một mặt phẳng

Giả sử MN và BK đồng phẳng

⇒ ∈ B

ACD

Mà M, N, K thuộc (ACD) Bài 3

(

)

(vô lý vì ABCD là tứ diện)

Vậy MN và BK không đồng phẳng

Ta có AD và BC chéo nhau. Thật vậy, giả sử AD và BC không

) mp α nào đó

(

⇒

∈

,

,

) A B C D α ,

(

chéo nhau, tức chúng cùng thuộc

∈

A B a C D b ;

,

Câu III

∈ nên a, b cũng chứa trong

mp α (vô lý với

(

)

Mà ,

giả thiết a, b chéo nhau)

S5: Chiến lược “dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau”

⊂

BK

BCD

Câu Những cái quan sát được

(

)

Ta có:

Câu I MN cắt mp(BCD) tại một điểm M không thuộc BK nên MN và

BK chéo nhau.

Nếu b cắt (R) tại một điểm M thuộc a thì a và b đồng phẳng Bài 1 Nếu M không thuộc A thì a và b không đồng phẳng Câu II

Bài 2 Nếu d cắt (P) tại điểm M nằm trên đường thẳng AB mà không

thuộc đoạn AB thì đường thẳng qua hai điểm A, B với d đồng

phẳng

Trường hợp còn lại AB và d không đồng phẳng

Nếu MN đi qua điểm K thì BK cắt (ACD) tại K thuộc MN nên

MN và BK đồng phẳng Bài 3

⊂

AD

ACD

Trường hợp còn lại MN, BK không đồng phẳng

(

)

IIIS 5.

.1

: Ta có:

BC cắt (ACD) tại một điểm C không thuộc AD nên AD và BC

⊂

BC

ABC

chéo nhau. Câu III

(

)

IIIS 5.

.2

: Ta có: . AD cắt (ACD) tại một điểm C không

thuộc BC nên AD và BC chéo nhau.

Các câu trả lời của An, Bình, Cường được xếp vào các chiến lược trên theo bảng 3.2

Lời giải An Bình Cường

Câu I S2 S4 S5

Bài 1 S2 S3

Bài 2 S2 S5

Câu II Bài 3 S2 S3

Bảng 3.2

∈

A B a C D b ;

,

,

∈ . Mà a, b chéo nhau nên a, b không đồng phẳng

S6: Chiến lược “chứng minh trực tiếp”: Chiến lược này chỉ sử dụng ở câu 3

⇒

A B C D ,

,

,

Ta có:

⇒

,AD BC

không đồng phẳng

chéo nhau

S7: Chiến lược “biện luận các trường hợp của hai đường thẳng”

Chiến lược chỉ sử dụng ở câu 2. Thật vậy, khi xét sự đồng phẳng hay không của hai đường, ta

xem chúng có song song hoặc có điểm chung hay không. Do đó, ta phải biện luận các trường hợp có

thể có của hai đường, chứ không phải căn cứ vào hình vẽ hay chỉ xét một trường hợp nào đó mà

thôi.

Bài Lời giải

7.1.1S

: Nếu a, b song song hoặc cắt nhau thì a và b đồng phẳng.

7.1.2S

Trường hợp còn lại chúng không đồng phẳng. Bài 1 : Nếu AC, BD song song hoặc đồng qui với giao tuyến của (P)

và (Q) thì a và b đồng phẳng

Nếu M nằm trên đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB thì AB Bài 2

và d cùng nằm trên một mặt phẳng

Nếu M không nằm trên đường thẳng AB thì AB và d không đồng

phẳng

Nếu MN qua K thì MN và BK đồng phẳng. Trường hợp còn lại Bài 3 chúng không đồng phẳng.

S8: Chiến lược cho câu trả lời sai hoặc không trả lời

3.4. Phân tích a posteriori

Câu I: Bảng 3.3 thống kê câu trả lời của 103 HS

Bạn An Bình Cường

36 (34,95%) 93 (90,29%) 16 (15,53%) Đồng ý

66 (64,07%) 10 (9,7%) 84 (81,55%) Không đồng ý

Không trả lời 1 (0,98%) 0 3

Đồng ý đổi thành không đồng ý 34 (33%) 0 0

Không đồng ý đổi thành đồng ý 10(9,7%) 0 0

Bảng 3.3

Qua bảng thống kê chúng tôi rút ra những nhận xét sau:

Đối với lời giải của An (dùng chiến lược S2: định nghĩa hai đường thẳng không đồng phẳng)

có 36 HS trên tổng số 103 HS đồng ý. Tuy nhiên, ban đầu chúng tôi thấy có rất nhiều sự lựa chọn

đồng ý sau đó thay đổi. Chứng tỏ đã có sự lưỡng lự trong việc lựa chọn của họ. Bằng chứng là đã

tìm thấy vết của hiện tượng này trê n bài làm của 34 HS. Tìm hiểu hiện tượng này, chúng tôi đã

phỏng vấn một số HS và nhận được câu trả lời của họ là:

- Do em chưa đọc kỹ

- Có thể không cùng thuộc (BCD) nhưng cùng thuộc mặt phẳng khác

- Do thấy lời giải phản chứng đúng hơn, em thường gặp

- Thấy cũng đúng nhưng em chưa thấy thầy làm như vậy bao giờ

Đối với lời giải của Bình (dùng chiến lược phản chứng S4) có tới 93 HS (90,29%) đồng ý. Một

con số khá lớn so với 103 HS làm thực nghiệm.

Hầu hết HS không đồng ý với lời giải của Cường (84 HS: 81,55%). Điều ấy cho thấy dấu hiệu

nhận biết hai đường thẳng chéo nhau không được chú ý nhiều trong HS. Như vậy, qua thực nghiệm

ở câu I bước đầu cho phép chúng tôi củng cố được sự tồn tại của hai giả thuyết H1, H2 nêu ở đầu

chương.

Tìm hiểu lời giải của HS (chỉ xét lời giải nằm ngoài các lời giải được cho của ba bạn, chúng

tôi thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng S2, S3 và phản chứng S4

trong các lời giải của HS như sau:

Chiến lược S2 S3 S4

10 13 4 Số lượng

Minh họa một số lời giải của HS

H5/S3: Cho rằng bốn điểm không nằm tr ong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì

∈

∉

B M K

,

,

;

BCD

không đồng phẳng.

(

) BCD N

(

)

⇒

B M N K ,

,

,

Ta có:

⇒ BK và MN không đồng phẳng

⇒ BK và MN chéo nhau

không thuộc một mặt phẳng

H67/S2: Cho rằng hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình

⊂

BK

thì không đồng phẳng

⊂

MN

) AMD

( ABK (

)

  

Ta có :

⇒ BK và MN không cùng nằm trong một mặt phẳng

⇒ BK và MN chéo nhau

Và (ABK) cắt (AMD) (vì trong (BCD) BK và MN cắt nhau)

H79/S4: Cho rằng nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì chúng cùng nằm trong một mặt

⇔

⊂

,BK MN

BCD

phẳng nhìn thấy trên hình.

(

)

⇔

⊂

B K M N ,

,

,

BCD

(

)

⊂

∈ N AD

ABD

Giả sử BK và MN đồng phẳng

(

)

⇒ BK và MN không thể đồng phẳng

⇒ BK, MN chéo nhau

Mà (giả thiết)

Câu II: Bảng 3.4 thống kê kết quả ở câu 2

Bình An

Bài Chiến Không Không Chiến Không Không Đồng ý Đồng ý lược đồng ý trả lời lược đồng ý trả lời

S2 19 82 48 52 2 3 S3 Bài 1 18,45% 79,61% 1,94% 46,6% 50,49% 2,91%

S2 35 65 41 61 3 S5 1 Bài 2 33,98% 63,12% 2,9% 39,81% 59,22% 0,97%

S2 17 79 S3 69 23 11 7 Bài 3 16,5% 76,75% 6,8% 67% 22,33% 10,67%

Bảng 3.4

Qua bảng thống kê, chúng tôi ghi nhận những điểm sau:

Số HS đồng ý với ý kiến của An, Bình khá cao. 71/309 lần đồng ý với An, 158/309 đồng ý với ý

kiến của Bình. Do đó, câu 2 cũng khẳng định sự tồn tại của H1. Tuy nhiên, con số này cũng có sự

chênh lệch giữa các hình. Cụ thể như ở chiến lược S2 trong lời giải của An ở ba bài là 19:35:17. Hơn

nữa số HS đồng ý với chiến lược điểm không đồng phẳng của Bình. Đối với yêu cầu cho thêm lời giải

của mình, phần lớn HS không trình bày, hoặc ghi lại câu lời giải của An, Bình mà họ đã chọn ở trên.

Bảng 3.5 thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng và phản chứng

trong các lời giải của HS

Chiến lược Bài 1 Bài 2 Bài 3

10 27 12 S2

17 2 17 S3

5 16 18 S4

Cụ thể, một số bài làm của HS như sau:

H44/Bài 1: Dùng mối quan hệ giữa đường, điểm và tính đồng phẳng của chúng

∈ ⊂

∈ ⊂

A b

Giả sử a và b đồng phẳng

∈ ⊂

∈ ⊂

D a

B b

( ) α ( ) α

( ) α ( ) α

 C a  

  

∈

∈

∈

A

;

,

Có: ( ) 1 ( ) 2

⇒ A, B, C, D cùng thuộc (

)α vô lý vì

(

) P B Q C D R ;

(

(

)

)

⇒ a, b không đồng phẳng

theo giả thiết.

H2/ Bài 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì cùng thuộc mặt phẳng nhìn thấy trên hình.

Đã vận dụng được tính duy nhất của mặt phẳng qua ba điểm

⇒ A, B, M cùng thuộc

( mp α

)

Trên d lấy một điểm C bất kỳ. Giả sử AB, d đồng phẳng.

( ⇒ ≡

) ( P α

)

∩

=

⇒ ∈ C

P

d

P M M C ,

mà A, B, M cùng thuộc (P)

≠ )

(

)

(

)

(vô lý vì

Vậy AB, d không đồng phẳng.

H3/Bài 2: Cho rằng các điểm đồng phẳng thì chỉ thuộc mặt phẳng nhìn thấy trên hình. Biết

vận dụng quan hệ giữa điểm, đường và mặt.

) ( mp α

⇔

∈

,

,A B M P∈

,

Giả sử A, B, M cùng nằm trên

) ,A B M α

(

(

)

d

d

P

mà

)Pα⇔ ≡ )

(

(

) α∈ ⇒ ∈

(

(

)

⇒ A, B và d không cùng nằm trên một mặt phẳng.

mà (vô lý vì d cắt (P) tại M)

H45/ Bài 3: Vận dụng được tính duy nhất của mặt phẳng qua ba điểm

⇒ cùng nằm trong một mặt phẳng

⇒ ∈ B

ACD

Giả sử MN và BK đồng phẳng

(

)

∉

B

ACD

Mà M, N, K thuộc (ACD)

(

)

⇒ MN và BK không đồng phẳng

Mà theo giả thiết (mâu thuẫn)

Hiển nhiên những lời giải phản chứng ở câu này đều sai. Giả thiết của chúng tôi chưa xác định

cụ thể một VTTĐ nào giữa hai đường thẳng nên không thể đi đến mâu thuẫn. Thêm nữa, họ hiểu sai

định nghĩa điểm, đường thẳng đồng phẳng.

Điểm chung của những chứng minh phản chứng trên là cho rằng nếu hai đường thẳng

đồng phẳng thì nếu có một mặt phẳng chứa đường thẳng này thì sẽ chứa đường còn lại. Cũng

như vậy đối với điểm đồng phẳng. Điều này có thể giải thích được là do các em hiểu rằng: hai

đường thẳng đồng phẳng là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng nên nếu biết mặt phẳng

chứa đường này thì suy ra nó cũng chứa đường còn lại.

Chúng tôi thống kê có 8 HS cho lời giải đúng. Các em đã biết xác định đúng VTTĐ giữa hai

đường thẳng cho trước dựa vào các tính chất đặc trưng của nó. Khó khăn này có thể giải thích do

cho giả thiết mở hay HS chỉ nhìn hình vẽ mà kết luận. Thêm nữa, thể chế không có nhiều bài tập

yêu cầu HS biện luận các VTTĐ có thể có của hai đường thẳng.

Chiến lược S7 Bài 1 Bài 2 Bài 3

7 6 5 Số lượng

Cụ thể một số lời giải của các em HS như sau:

Bài Lời giải

Có hai trường hợp Bài 1/H56 Trường hợp 1: A, B, C, D đồng phẳng

∈

,

,

∈ A B a C D b ;

,a b⇒ đồng phẳng

Mà

∈

,

,

Trường hợp 2: A, B, C, D không đồng phẳng

∈ A B a C D b ;

,a b⇒ không đồng phẳng

Mà

⇒ ∈

M AB

Trường hợp 1: A, B, M thẳng hàng (M nằm ngoài đoạn AB)

⇒ ∩ =

AB d M

,AB d⇒

mà M d∈

đồng phẳng

Bài 2/H56 Trường hợp 2: A, B, M không thẳng hàng (M nằm ngoài đoạn

AB). Ta có:

⇒ AB và d chéo nhau

⇒ AB và d không đồng phẳng

d cắt (P) tại M nằm ngoại đoạn AB

Trường hợp 1: Giống bạn Bình

Trường hợp 2: Nếu M nằm ngoài đoạn AB nhưng M thuộc d’ đi

M d M d

d

' ∈ ⇒ = ∩

qua AB ⇔ A, B, M thẳng hàng. Bài 2/H67

d⇒ và d’ vẫn có thể đồng phẳng

Mà

∈

,M N B ,

BMN

Có hai trường hợp

(

)

⇒ ∈ K

BMN

(

)

⇒ Bốn điểm M, N, B, K đồng phẳng (thuộc (BMN))

Trường hợp 1: K MN∈ . Mà ba điểm

⇒

,BK MN

∉ ⇒ ⊄

K MN

BK

BMN

H56/Bài 3 đồng phẳng

(

)

⊂

MN

BMN

BK⇒ cắt (BMN) tại B mà

(

)

⇒ BK và MN không đồng phẳng.

Trường hợp 2:

Câu III: Không cho HS lựa chọn các lời giải cho sẵn, chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS chứng minh

hai đường thẳng chéo nhau theo những cách nào.

Bảng 3.6 thống kê kết quả thực nghiệm câu III

Chiến lược Số lượng

S2: Dùng “khái niện đường thẳng không đồng phẳng” 8

S3: Dùng “khái niệm điểm không đồng phẳng” 8

S4: Chứng minh phản chứng 55

S5: Dùng dấu hiệu nhận biết 0

S6: Chứng minh trực tiếp 14

S8: Chiến lược sai hoặc không trả lời 18

Bảng 3.6

Qua bảng thống kê, chúng tôi thấy họ đã sử dụng năm chiến lược S2, S3, S4, S6 và S8. Mặc dù

có sự phân hóa giữa các chiến lược, nhưng chiến lược phản chứng vẫn chiếm ưu thế với hơn nữa số

HS (53,4%). Minh họa một số bài làm của HS

⊂

⊂

AD

,

BCD

Chiến lược Lời giải

(

) ACD BC

(

)

H46: Ta có:

S2: Đường thẳng Mà (ACD) và (BCD) không trùng nhau

⇒ AD và BC không đồng phẳng

⇒ AD và BC chéo nhau

không đồng phẳng

∈ ⊂

∈ ⊂

A B a

,

P C D b ,

;

Q

H92: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, (Q) là mặt phẳng chứa b

(

)

(

)

Mà S3: Điểm không

⇒ A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng

⇒ AD và BC chéo nhau

đồng phẳng

⇒ AD và BC nằm trên

( ) mp α

A B ,

;

A B a

,

H2: Giả sử AD và BC không chéo nhau

∈ ⇒ a nằm trên

( ) α∈

) mp α (1)

(

Có

C D ,

;

C D b

,

∈ ⇒ b nằm trên

) ( α∈

) mp α (2)

(

S4: Phản chứng Có

mp α (mâu thuẫn với đề

(

)

Từ (1) và (2) ⇒ a, b nằm trên

bài). Vậy AD; BC chéo nhau.

∈

,

,

∈ A B a C D b ;

H34: Ta có: a và b là hai đư ờng thẳng chéo nhau

⇒ A, B, C, D không đ ồng phẳng. Vậy AD và BC chéo nhau

S6: Trực tiếp

Chiến lược dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau không được xuất hiện. Một lần

nữa, khái niệm không đồng phẳng của điểm và đường theo quan niệm của HS lại xuất hiện ở câu III

trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Chúng tôi tìm thấy nghĩa của khái niệm “hai đường

thẳng không đồng phẳng, điểm không đồng phẳng” ở các giải thích như:

- Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng không trùng nhau (H46, 99, 98, 103,…)

- Mỗi đường thẳng đi qua hai điểm của hai mặt phẳng phân biệt (H51, 66,…)

- Hai cặp điểm nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (H72, 91, 92,…)

- Một điểm không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm còn lại (H51, 60,…)

Như vậy, câu III đã khẳng định sự tồn tại của H2 và khẳng định thêm H1. Học sinh đã có ý

thức sử dụng phản chứng trong các chứng minh của mình nhưng không vì thế mà bỏ qua những

cách suy luận khác. Có điều, do phủ định sai mệnh đề cần chứng minh, không xét hết các trường

hợp có thể hoặc không nắm vững định nghĩa, khái niệm nên các chứng minh đều sai.

3.5. Kết luận thực nghiệm

Việc phân tích kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại của giả thuyết

nêu ở cuối chương hai. Qua thực nghiệm, chúng tôi rút thêm một số kết quả như sau:

Song song với việc xem hai đường thẳng không đồng phẳn g là hai đường thẳng không nằm

trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì họ cũng ứng xử như vậy đối với bốn điểm không

đồng phẳng. Cụ thể:

- Nếu bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng hay thuộc các mặt phẳng khác nhau trên hình

thì bốn điểm đó không đồng phẳng

- Hai đường thẳng thuộc các mặt phẳng khác nhau hay một đường thẳng không thuộ c mặt

phẳng chứa đường còn lại thì chúng không đồng phẳng

- Nếu hai đường thẳng đồng phẳng mà một đường nằm trong mặt phẳng nhìn thấy thì mặt này

cũng chứa đường còn lại. Tương tự như vậy đối với các điểm đồng phẳng.

Sai lầm trên có thể được giải thích do cách hiểu hai đường thẳng đồng phẳng phải nằm trên

mặt phẳng nhìn thấy mà không nghĩ tới việc chúng thuộc mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng song

song hoặc cắt nhau.

Hình vẽ cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến chiến lược và câu trả lời của HS. Thường thì họ chỉ

nhìn một trường hợp cụ thể của hình vẽ để suy ra các VTTĐ giữa hai đường thẳng hoặc các điểm.

Một biểu hiện là rất ít HS biết biện luận các VTTĐ có thể có của hai đường thẳng. Tức là họ chỉ có

trách nhiệm chứng minh một VTTĐ nào đó chứ không có trách nhiệm kiểm tra các vị trí còn lại của

chúng. Do vậy, họ gặp khó khăn trong các bài toán mở giả thiết. Mặc dù dạng bài này cũng được

nói đến trong phần trình bày lý thuyết của SGK.

Không nắm vững tính chất như xem bất kỳ ba điểm phân biệt nào cũng xác định một mặt phẳng

mà không xét tính thẳng hàng của chúng, không phân biệt được tính duy nhất của mặt phẳng tạo bởi

hai đường song song và cắt nhau. Vẫn còn trường hợp cho hai đường thẳng không đồng phẳng thì cắt

nhau. Như vậy thì: có những kiến thức mà HS thu được từ HHP được sử dụng một cách tùy tiện trong

HHKG và việc tiếp thu kiến thức mới lại không được vận dụng một cách chính xác.

Phương pháp phản chứng được sử dụng rất nhiều trong chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Hay đối với trường hợp xét sự đồng phẳng của câu II, họ vẫn sử dụng chiến lược này. Vì các tiền đề

chưa rõ ràng nên không dẫn đến mâu thuẫn.

KẾT LUẬN

Việc tổng hợp các tài liệu, phân tích chương trình, SGK, SGV toán p hổ thông cũng như kết

quả thu được của thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời những câu hỏi trong phần mở đầu của

luận văn và khẳng định được sự tồn tại của hai giả thuyết. Điểm lại một số kết quả chính mà luận

văn đã đạt được.

Chương một: Trình bày một cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian.

Sau đó, tổng hợp các tài liệu liên quan đến phép chiếu song song và hình biểu diễn VTTĐ giữa hai

đường thẳng. Vai trò của hình vẽ trong dạy học HHKG gian nói chung và VTTĐ giữa hai đường

thẳng nói riêng.

Chương hai: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữ a hai đường thẳng

trong dạy học HHKG ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể trong các giáo trình giảng dạy và

chương trình dạy học phổ thông qua hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Lớp 8. Đây là giai đoạn chính thức đưa HHKG vào giảng dạy ở trường phổ thông.

Cho HS làm quen với các đối tượng cơ bản, các kiến thức ban đầu và dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ

trên các hình vẽ cho sẵn như hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Nhận dạng VTTĐ giữa hai đường

thẳng dựa vào trực giác bằng việc quan sát hình vẽ. Chương trình đi sâu vào quan hệ song song giữa

đường và mặt.

Bước chuyển từ HHP sang HHKG được thể hiện rõ ở SBT khi có sự liên hệ những tính chất

đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG bằng việc yêu cầu HS chỉ ra các phản ví dụ. Tức là

đã chú ý đến sự khác biệt giữa HHP và HHKG mà SGK không đề cập. Thêm nữa, sự phức tạp trong

cách nhìn hình, đọc hình vẽ và số lượng bài tập của SBT cũng nhiều hơn SGK.

Giai đoạn 2: Lớp 11. Chuyển từ việc mô tả lên khái quát đi kèm với định nghĩa các VTTĐ

giữa hai đường thẳng. Mối quan hệ điểm, đường, mặt phức tạp hơn với nhiều khái niệm, định lí,

tính chất trong lý thuyết cũng như số lượng bài tập có trong SGK.

Học sinh có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song, đường thẳng

song song với mặt phẳng theo các định lý, tính chất cho sẵn mà không có trách nhiệm dựng hai

đường thẳng chéo nhau. Kiểu bài tập dựng đường thẳng qua một điểm và song song với đường

thẳng cho trước xuất hiện thường xuyên, nhất là kiểu bài tập xác định thiết diện, dựng giao tuyến.

Khái niệm hai đườ ng thẳng chéo nhau được định nghĩa dựa trên đặc trưng không đồng phẳng.

Không đưa ra dấu hiệu nhận bi ết hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp phản chứng được sử

dụng nhiều trong các chứng minh hình học.

Chương ba: Kết quả nghiên cứu thực nghiệm đã làm rõ mối quan hệ các nhân HS với đối

tượng qua việc khẳng định sự tồn tại của hai giả thuyết. Thực nghiệm còn mang lại cho chúng tôi

nhiều vấn đề có giá trị.

HẠN CHẾ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ RA CỦA LUẬN VĂN

Hạn chế của luận văn là chưa xây dựng được những tình huống dạy học để giúp học sinh vượt

qua khó khăn trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng , cũng như chưa làm rõ khái niệm “không

đồng phẳng” của đường và điểm. Đây cũng là hướng nghiên cứu mở ra cho luận văn. Thêm nữa,

cần làm rõ vai trò của hình vẽ trong việc xét VTTĐ giữa hai đường, làm thế nào để HS vượt qua

khó khăn, hạn chế sai lầm trong việc nhìn hình và đọc hình. Nếu có điều kiện, chún g tôi tiến hành

thực nghiệm với giáo viên để tìm hiểu những khó khăn cũng như chia sẽ kinh nghiệm dạy học

HHKG của họ.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình (1997), Kinh nghiệm dạy toán và học toán bậc Trung học cơ sở, Nxb Giáo dục.

2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải

toán, Nxb Giáo dục.

3. Huỳnh Bảo Châu (2006), Nghiên cứu didactic về kiến thức không gian và kiến thức hình học

trong dạy học hình học ở trường tiểu học – trường hợp hình chữ nhật, Đại học Sư phạm Tp

Hồ Chí Minh.

4. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,

Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh.

5. Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến (dịch), Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, Nxb Đại

học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh.

6. Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Toán 8, tập 2, Nxb Giáo dục.

7. Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Sách giáo viên Toán 8, Nxb Giáo d ục.

8. Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Bài tập Toán 11 Nâng cao, tập 1, Nxb Giáo dục.

9. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2002), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán

11, Nxb Giáo dục.

10. Phạm Gia Đức (1998), Hình học SP, Tài liệu đào tạo giáo viên tiểu học hệ trung học sư

phạm 9+3 và 9+4, Nxb Giáo dục.

11. Phạm Gia Đức (1998), Phương pháp dạy học môn toán tập 2, Nxb Giáo dục.

12. Nguyễn Mộng Hy (1991), Sách giáo viên hình học 11, Nxb Giáo dục

13. Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép bi ến hình trong mặt phẳng, Nxb Giáo d ục

14. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương (1994), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục.

15. Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều (2001), Hình học 9, Nxb Giáo dục.

16. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn toán, Nxb Đại học

sư phạm.

17. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.

18. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Hình học 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục.

19. Đào Tam (2007), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT, Nxb Đại học Sư phạm.

20. Tôn Thân (chủ biên) (2007), Bài tập Toán 8, Nxb Giáo dục.

21. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng môn

toán 11, Nxb Giáo dục.

22. Hồ Lộc Thuận (2006), Bài toán d ựng hình và thuật toán ở trường trung học cơ sở, trường hợp bài

toán ti ếp tuyến với đường tròn, Đại học Sư phạm Tp HCM.

23. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học quốc

gia Tp Hồ Chí Minh.

24. V. V ZAITSEV, V. V. RYZHKOV (1978), Elementary mathematics, Translated from

Russian by George Yan koisky, Mir publishers Moscow.

25. Hamid CHAACHOUA, Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh

cuối cấp trung học cơ sở.

26. V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI (1988), Giáo trình hình học họa hình,

NXB Mir Maxcova, Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch.