ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ THANH HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
VÀ MŨ - LÔGARIT
Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG
Hà Nội, 2014
MỞ ĐẦU .............................................................................................................................................. 3
Chương I: Hệ phương trình đại số ........................................................................................................ 4
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .................................................................................................... 4
II. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc cao ............................................... 9
III. Hệ phương trình đối xứng loại I ............................................................................................... 13
IV. Hệ phương trình đối xứng loại II .............................................................................................. 22
V. Hệ đẳng cấp ................................................................................................................................ 29
VI. Hệ ba phương trình ba ẩn bậc cao ............................................................................................ 37
VII. Các dạng khác: ........................................................................................................................ 46
Chương II: Hệ phương trình mũ - lôgarít ........................................................................................... 55
I. Công thức biến đổi cơ bản ........................................................................................................... 55
II. Bài tập ........................................................................................................................................ 56
1. Phương pháp biến đổi tương đuơng ........................................................................................ 56
2. Phương pháp đặt ẩn phụ .......................................................................................................... 61
3. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ......................................................................... 68
Chương III: Các bài toán thi học sinh giỏi về hệ phương trình .......................................................... 76
I. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: ......................................................................................... 76
II. Phương pháp khảo sát hàm số .................................................................................................... 86
III. Một số phương pháp khác ......................................................................................................... 95
Mục lục LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................................... 2
KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................ 105
1
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ
Long, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc Gia Hà Nội và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt
tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu
đề tài.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng các thầy cô giáo tổ Toán và
các em học sinh trường THPT Trần Phú - Thành phố Vĩnh Yên - Tỉnh Vĩnh Phúc đã
tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này
Xin cảm ơn gia đình, người thân đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành
luận văn này
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong nghiên cứu đề tài và trình bày luận văn, song
chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của hội đồng phản biện
khoa học, các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện
hơn.
2
Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh
MỞ ĐẦU
Trong chương trình giảng dạy môn Toán bậc phổ thông các bài toán về hệ
phương trình đại số và mũ - lôgarít được đề cập trong SGK các lớp 9 - 10 - 11. Do
tính đa dạng nên trong các đề thi tuyển sinh cấp 3 THPT, tuyển sinh Đại học ta luôn
gặp các bài toán hệ phương trình. Việc giải các bài toán hệ phương trình không mẫu
mực cũng đòi hỏi các kỹ năng tính toán nhất định của học sinh. Vì vậy trong hầu hết
các đề thi tuyển sinh THPT Chuyên, thi HSG các cấp THCS, THPT đều có các bài
toán về hệ phương trình.
Luận văn sẽ trình bày một số phương pháp giải các hệ phương trình đại số và
mũ - lôgarít cũng như tìm hiểu các kỹ thuật hay giải các bài toán hệ phương trình
3
trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành, cấp Quốc gia hệ THPT.
Chƣơng I: Hệ phƣơng trình đại số
I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 1. Dạng tổng quát và cách giải
Dạng tổng quát:
Cách giải: Thông thường ta có 3 cách để giải hệ phương trình dạng (1)
Cách 1: Phương pháp thế
Cách 2: Phương pháp cộng đại số
Cách 3: Phương pháp dùng định thức
Kí hiệu:
TH1: : Hệ có nghiệm duy nhất
TH2: , và : Hệ có vô số nghiệm thỏa mãn
TH3: , hoặc hoặc : Hệ vô nghiệm.
2. Một số ví dụ
4
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
Lời giải:
a. Điều kiện:
Đặt: Hệ trở thành
Ta có:
Thay vào cách đặt ta được :
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y)=(0;0).
b. Điều kiện:
Tương tự ta đặt: ,từ đó tính được
nên hệ ban đầu vô nghiệm.
c. Điều kiện
Vì nên hệ đã cho tương đương với
Tương tự, ta giải được .
Bài 2 (Dự bị B-2008):
Tìm giá trị của m để hệ phương trình: (*) có nghiệm (x,y) thỏa mãn
5
.
Lời giải
Ta có:
nên hệ phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất Vì
Như vậy,
Kết luận: Với hệ có nghiệm thỏa mãn .
Bài 3 (Dự bị A – 2004):
Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình (**) (m là tham số)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi.
Lời giải:
Ta có nên hệ (**) luôn có nghiệm duy nhất.
Mặt khác -1
6
Cộng hai vế của hệ trên ta được :
Ta thấy:
Giả sử là một giá trị của B, ta có:
Nếu
Do sự tồn tại của nên (1) có nghiệm hay
Suy ra
. Vậy
3. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
HD – ĐS:
, hệ trở thành bậc nhất hai ẩn a. Đặt
ĐS: .
b. ĐS:
7
c. ĐS: .
d. Đặt: , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn.
ĐS: .
e. Đặt: , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn.
ĐS: .
f. Hệ .
Đặt: , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn.
8
ĐS: .
II. Hệ gồm một phƣơng trình bậc nhất và một phƣơng trình bậc cao 1. Dạng tổng quát và cách giải
Dạng tổng quát: trong đó f(x,y) là hàm số hai ẩn bậc cao
Cách giải: Từ phương trình bậc nhất,rút một ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phương
trình bậc cao.
2. Một số ví dụ
Bài 1(Dự bị A-2005):
Giải hệ phương trình
Lời giải:
ĐKXĐ:
Từ (2), rút y theo x ta được . Thế vào (1) ta được phương trình
Kết hợp với điều kiện suy ra ,thay vào cách đặt suy ra
9
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 2( Thi thử đại học trƣờng Chu Văn An – HN - 2011)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Từ (3) suy ra y = 8 – x. Thế vào (4) ta được phương trình
. Thử lại thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;4).
Bài 3(Dự bị D – 2007):
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Lời giải: ĐKXĐ:
Từ (5) suy ra . Thay vào (6) ta được phương trình:
. Để hệ có nghiệm duy nhất thì (*) phải có 1 nghiệm
Vì PT (*) có nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
Như vậy để hệ có nghiệm thì (*) có 2 nghiệm thỏa mãn
10
Vậy với hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3. Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau
HD- ĐS:
a. ĐS:
b. ĐS: .
c. ĐS: .
d. ĐS: .
e. Đặt :
11
ĐS:
f. Đặt :
ĐS:
g. ĐS: .
h. ĐS: .
i. Đặt thì phương trình thứ nhất trở thành phương trình bậc 2 ẩn t.
ĐS: .
12
k. ĐS:
III. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 1. Dạng tổng quát và cách giải
Dạng tổng quát: trong đó hoán vị giữa x, y thì biểu thức f(x,y) và g(x,y)
không thay đổi.
Cách giải:
Đặt thay vào hệ tìm S, P
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình
Nhận xét: Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm hay . Do vậy điều kiện để hệ có
nghiệm là: .
2. Một số ví dụ
Bài 1( TSĐH A – 2006):
Giải hệ phương trình sau :
Lời giải
ĐKXĐ:
13
Đặt hệ trở thành
(vì )
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = (3;3).
Bài 2(TSĐH D – 2004):
Tìm m để hệ có nghiệm:
Lời giải:
ĐKXĐ: . Đặt .
Khi đó hệ (II) trở thành:
Như vậy là nghiệm của phương trình:
Để hệ có nghiệm, PT (*) phải có 2 nghiệm không âm
Vậy với thì hệ (II) có nghiệm.
14
Bài 3( TSĐH D – 2007):Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực:
Lời giải:
ĐKXĐ:
Đặt . Khi đó:
Hệ (III) trở thành
Khi đó u, v là nghiệm của phương trình:
Để hệ phương trình (III) có nghiệm (*) phải có 2 nghiệm thỏa mãn
Xét
Ta có nên
Bảng biến thiên:
t -∞ -2 2 +∞
f’(t) - - - 0 +
22
2
f(t) +∞ +∞
Từ bảng biến thiên:
15
Để hệ (III) có nghiệm thì .
Bài 4( Dự bị B – 2005)
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
TH1: , x,y là nghiệm của phương trình
Hay hệ có 2 nghiệm
TH2: , x,y là nghiệm của phương trình
Hay hệ có 2 nghiệm
Kết luận:Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : , .
Bài 5 (TSĐH A+A1 – 2012)
16
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải:
Nhận xét: Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng giữa x và (-y) nên ta đặt
hệ trở thành
Từ . Thay vào (1) ta được PT
Như vậy ta có
Vậy hệ (V) có hai nghiệm .
Bài 6( Dự bị D – 2006):
17
Giải hệ phương trình sau :
Lời giải: Đặt , hệ trở thành
TH1:
TH2:
TH3:
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm .
3. Bài tập : Giải các hệ phƣơng trình sau
1.(ĐH Mở HN – 2001)
2.(ĐH GTVT – 2000)
3.(ĐH Ngoại Thương – 2001)
18
4. (HV QHQT – 2001)
5.(TS Sỹ quan QĐ – 2000)
6.(ĐHSP HN – 2001)
7.(ĐH TCKT – 2001)
8.(ĐH Ngoại Thương – 1997)
9.(ĐHQG HN – 1997) Giải và biện luận hệ phương trình:
10.(ĐH Y Dược – 1998) . Tìm a để hệ có đúng 2 nghiệm:
HD - ĐS
Bài 1: ĐS:
Bài 2: ĐS:
19
Bài 3: HD: Từ phương trình thứ nhất suy ra
ĐS: .
Bài 4: ĐS:
Bài 5: ĐS:
Bài 6: ĐS: .
Bài 7: ĐS:
Bài 8: Đặt
ĐS: .
Bài 9: Đặt
Hệ có nghiệm nếu
ĐS:
hệ vô nghiệm.
hệ có nghiệm duy nhất: .
20
hệ có 2 nghiệm.
Bài 10: Đặt
Để hệ có đúng 2 nghiệm xảy ra 3 trường hợp sau:
(1) có 2 nghiệm, (2) vô nghiệm
(2) có 2 nghiệm, (1) vô nghiệm
(1) và (2) có 1 nghiệm khác nhau.
21
ĐS: .
IV. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II
1. Dạng tổng quát và cách giải
Dạng tổng quát:
( Khi thay x bởi y, y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi)
Cách giải: Nếu f(x,y) là đa thức thì ta trừ hai vế của hệ thu được phương trình dạng
2. Một số ví dụ
Bài 1(TSĐH B – 2003) :
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐKXĐ:
Nhận xét . Từ (1) và (2) suy ra . Khi đó hệ đã cho trở thành
22
(Vì nên )
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1).
Bài 2(Dự bị B – 2007):
Giải hệ phương trình sau:
Nhận xét: Hệ trên là hệ đối xứng loại 2 nhưng chứa căn thức, nếu ta lấy hai vế của hệ
trừ cho nhau sẽ thu được một phương trình rất cồng kềnh.
Lời giải
Lấy (3) cộng (4) ta được:
Ta có:
Tương tự ta có:
23
Như vậy:
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm .
Bài 3( Tạp chí THTT số 407 - 2011) :
Giải hệ phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ
Lấy (5) trừ (6) ta được
Vì nên
Do vậy
Thay x = y vào (5) ta được phương trình
24
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 4 (Tạp chí THTT số 404 – 2011)
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Lời giải:ĐKXĐ
Lấy (7) trừ (8) ta được
Vì nên
Thay vào (7) ta được PT:
Để hệ có nghiệm thì (**) có nghiệm . Ta có
Xét
Ta có: , từ đó ta có bảng biến thiên
x -1 1 3
f’(x) + 0 -
4
f(x)
25
0 2
Từ bảng biến thiên để phương trình (**) có nghiệm thì
kết hợp điều kiện
Kết luận: Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
Bài 5( ĐHQG B – 2000) :
Giải hệ phương trình:
Lời giải: Lấy (9) – (10) ta được phương trình
TH1: thay vào (10) ta được:
Hệ có 2 nghiệm .
TH2: thay vào (10) ta được:
Từ đó suy ra hệ vô nghiệm.
26
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
3. Bài tập: Giải các hệ phương trình sau
1.(ĐH Thủy Lợi 2002) :
2.(ĐH Thái nguyên 2001)
3.(HVCTQG HCM – 2001)
4.(ĐH Hàng Hải – 1997): Cho hệ phương trình:
a. Giải hệ khi
b. Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất.
5.(ĐH Nông nghiệp I – 2000):
HD – ĐS
Bài 1: ĐS: .
27
Bài 2: ĐS: .
Bài 3:HD: Từ hệ suy ra nên chỉ xảy ra trường hợp .
ĐS: .
Bài 4:
a. Với , hệ có nghiệm: , .
b. Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được 2 trường hợp:
Như vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì: (1) có nghiệm duy nhất, (2) vô nghiệm.
ĐS: .
Bài 5: HD: Trừ hai vế cho nhau rồi dùng phương pháp nhân liên hợp, từ đó suy ra
28
. ĐS: .
V. Hệ đẳng cấp 1. Dạng tổng quát và cách giải
Dạng tổng quát:
Cách giải:
Giải hệ khi
Khi , đặt thế vào hệ, khử ẩn x ta được phương trình theo t.
Giải t rồi tìm x,y.
2. Một số ví dụ
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Lời giải
TH1: , hệ có dạng . Hệ vô nghiệm
TH2: . Đặt hệ trở thành
Lập tỷ số (1) chia (2) ta được phương trình:
29
Với ,thay vào (1) ta được
Với , thay vào (1) ta được
Vậy hệ có 4 nghiệm:
Nhận xét: Ta thấy rằng, bản chất của phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp là
sau khi đặt thì ta được hệ mới mà khi chia hai phương trình cho nhau ta triệt
tiêu được x chỉ còn lại ẩn t. Vì thế hai hệ dạng sau đều có thể giải theo phương pháp
của hệ đẳng cấp.
Dạng 1: Hệ gồm có các phương trình mà các vế trái cùng bậc, các vế phải cùng bậc.
Bài 2( Dự bị B – 2006):
Giải hệ phương trình:
Lời giải
TH1: , hệ trở thành . Hệ vô nghiệm.
TH2: . Đặt , ta được hệ :
30
Lấy (3) chia (4) ta được phương trình
Với ,thay vào (3) ta được: (VN) nên hệ vô nghiệm
Với , thay vào (3) ta được: suy ra
Với , thay vào (3) ta được: x suy ra
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm .
Bài 3( ĐH Nông nghiệp I – 2001):
Giải hệ phương trình:
Lời giải
TH1: , hệ trở thành: . Hệ vô nghiệm.
TH2: . Đặt , hệ trở thành:
Lấy (5) chia (6) ta được phương trình:
Với , thay vào (5) ta được : (VN) nên hệ vô nghiệm.
Với , thay vào (6) ta được
suy ra
Với , thay vào (6) ta được suy ra
31
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Dạng 2: Hệ gồm các phương trình mà các vế của (1) hơn kém các vế của (2) cùng
một đơn vị.
Bài 4(Thi thử ĐH THPT Phan Châu Trinh Đà Nẵng– 2011):
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
TH1: , hệ trở thành: . Hệ vô nghiệm.
TH2: . Đặt , hệ trở thành
Lấy (7) chia (8) ta được:
Với thay vào (7) ta được :
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm .
Bài 5( Thi thử ĐH Sở GD – ĐT Vĩnh Phúc 2013):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
32
Hệ đã cho tương đương với
Đặt , hệ trở thành
TH1: , hệ trở thành . Hệ vô nghiệm.
TH2: , Đặt , hệ trở thành:
Lấy (9) chia (10) ta được
thay vào (9) suy ra kết hợp điều kiện suy ra
Vì nên
Với suy ra
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .
3. Bài tập :
Bài 1:Giải các hệ phương trình sau
Bài 2(Thi thử ĐH THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2011):
33
Giải hệ phương trình:
Bài 3( Thi thử ĐH THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2010)
Giải hệ phương trình:
Bài 4(Thi thử ĐH THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2011)
Giải hệ phương trình:
Bài 5(Thi thử ĐH THPT Chuyên Lƣơng Văn Chánh – 2010)
Giải hệ phương trình:
Bài 6(Thi thử ĐH THPT Chuyên Lam Sơn – 2011)
Giải hệ phương trình:
Bài 7: Cho hệ phương trình:
j. Giải hệ với
k. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k.
HD – ĐS:
Bài 1
a. ĐS: .
b. ĐS: .
c. ĐS: .
34
d. ĐS: .
e. ĐS: .
f. ĐS: .
Bài 2:
HD: Hệ đã cho tương đương với :
,hệ có nghiệm: TH1:
, đặt , ta được hệ đẳng cấp. TH2:
ĐS:
Bài 3: HD
TH1: hệ vô nghiệm
TH2: , cũng không là nghiệm của hệ, do vậy từ ĐKXĐ:
( vì nếu PT thứ nhất vô nghiệm).
Đặt . Khi đó PT thứ nhất có dạng:
(*)
Đặt , (*) trở thành:
. Giải PT suy ra .
ĐS:
Bài 4: ĐS:
Bài 5: ĐS: .
35
Bài 6: HD: Hệ đã cho tương đương với :
hệ vô nghiệm nên đặt , ta được hệ đẳng cấp.
ĐS:
Bài 7:
a. ĐS:
hệ vô nghiệm nên đặt , ta được:
Lấy (1) chia (2) ta được: (*)
Vì (*) có nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Hơn nữa: PT (*) có nên
thì (*) có 1 nghiệm (2) có nghiệm hệ có nghiệm. Nếu
khi đó (*) có nghiệm (2) có nghiệm hệ Nếu
có nghiệm.
36
Vậy hệ có nghiệm .
VI. Hệ ba phƣơng trình ba ẩn bậc cao
trong đó là các hàm 3 ẩn bậc cao.
1. Dạng tổng quát:
2. Một số ví dụ
Bài 1(Dự bị D -2008):
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
TH1: , thay vào (1) suy ra , thay vào (3) suy ra .
Như vậy là nghiệm của hệ.
TH2:
Từ (1) suy ra và
Hay: ( )
Tương tự ta có:
Từ (4), (5) và (6) suy ra
Từ đó suy ra:
Thay vào (1) ta được:
37
Vì nên
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: .
Bài 2(ĐH Thƣơng Mại – 1997):
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Từ (1) suy ra
Từ (3) suy ra
Từ đó suy ra
(*).
Thế (*) vào (2) ta được:
38
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm .
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Ta nhận thấy hệ phương trình trên là đối xứng loại I với hai ẩn x và y nên ta đặt:
Hệ trở thành:
Từ (1) suy ra , thay vào (2) ta có : . Thay z và v vào (3) ta được :
Với , x và y là nghiệm của phương trình:
hay
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : .
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Từ (1),(2) và (3) suy ra điều kiện để hệ có nghiệm là . Từ đó với điều kiện
39
suy ra hay . Tương tự suy ra .
Từ đó hệ đã cho tương đương với:
Xét hàm số .
Ta có: nên đồng biến trên .
Không mất tính tổng quát, giả sử
suy ra .
Thế vào (1) ta có:
Kết hợp với điều kiện , ta được .
Bài 5: Giải hệ phương trình:
Lời giải: điều kiện . Khi đó hệ đã cho tương đương với:
Mà ta có:
Đặt
40
. Như vậy
Kết hợp điều kiện
Với
Do vậy ta chỉ cần điều kiện:
Vậy hệ có một họ nghiệm: với .
3. Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
41
Bài 2: Cho , giải hệ phương trình:
Bài 3: Tìm để hệ sau có nghiệm duy nhất:
Bài 4: Trong các nghiệm thực của hệ phương trình:
Hãy tìm nghiệm sao cho tổng nhỏ nhất
Bài 5: Giải hệ:
Trong đó:
HD – ĐS:
Bài 1:
a. HD: giả sử , từ đó suy ra .
b. HD: từ PT thứ 3 suy ra
ĐS:
c. HD: Từ hệ tính được:
Suy ra là các nghiệm của phương trình:
42
. PT này có các nghiệm:
. ĐS:
d. ĐS: .
e. HD: Đặt
Ta tính toán được:
Suy ra là nghiệm của phương trình:
PT này có các nghiệm :
ĐS: .
f. HD: Từ hệ suy ra:
Hay .
ĐS:
Bài 2: HD: Lần lượt nhân các PT với rồi cộng các phương trình ta được:
Mặt khác quy đồng mẫu các vế của hệ rồi cộng các phương trình ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
. ĐS: Hệ có 2 nghiệm:
Bài 3: HD: Từ hệ, nếu thay bởi , bởi thì hệ không đổi nên nếu: là
một nghiệm thì cũng là một nghiệm. Do đó, hệ có nghiệm duy nhất nếu
43
.
Thế vào hệ suy ra
ĐS: Hệ có nghiệm duy nhất khi .
Bài 4: Từ 2 PT đầu suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
Thay vào hệ suy ra: hay
ĐS: .
Bài 5:
HD: giả sử hệ có nghiệm với . Do vậy ta dựng được hai tam
giác vuông có chung cạnh góc vuông độ dài (AH), các cạnh huyền có độ dài là
(AB, AC). Khi đó .
Như vậy tam giác ABC có độ dài ba cạnh là .
Tương tự như vậy, ta dựng được tam giác ABC: và
Do vậy, tam giác ABC có các đường cao độ dài , các cạnh có độ dài là .
Giả sử tam giác ABC có diện tích là S thì .
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ có độ dài các cạnh là . Vì
cho trước và thỏa mãn BĐT tam giác nên tam giác A’B’C’ xác định suy ra
tam giác ABC tồn tại duy nhất hay hệ có nghiệm duy nhất.
44
Tính S theo công thức Hê – rông, với các cạnh ta được:
45
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ( S được xác định bởi (*)).
VII. Các dạng khác: Bài 1(Thi tuyến sinh ĐH khối A và A1 – 2013 )Giải hệ phương trình:
Lời giải:
ĐKXĐ .
Từ (2) ta được:
Đặt . Khi đó, phương trình (1) có dạng:
Xét hàm
Ta có
Do đó hay
Thay vào (2) ta được:
Xét hàm
Mà nên (**) có nghiệm duy nhất .
Với
Với
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 2(Thi tuyến sinh ĐH khối B – 2013 )
46
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
ĐKXĐ:
Coi (1) như phương trình bậc 2 ẩn y:
Ta có
Do vậy (1) có 2 nghiệm và
, thay vào (2) ta được:
Khi đó ta được nghiệm: .
,thay vào (2) ta được:
Khi đó ta được nghiệm:
Kết hợp với ĐKXĐ, hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 3(Thi tuyến sinh ĐH khối A– 2011 )
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
47
Ta có:
TH1: , thay vào (1) ta được:
Khi đó hệ có 2 nghiệm:
TH2:
Hệ trở thành:
, hệ trở thành: (VN)
, đặt hệ trở thành:
Lấy (3) chia (4) ta được:
, thay vào (4) ta được: . Hệ có 2 nghiệm:
, thay vào (4) ta được: . Hệ có 2 nghiệm:
. Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: ,
Bài 4(Thi tuyến sinh ĐH khối D – 2011 )
48
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Lời giải:
Đặt , hệ trở thành:
Suy ra là nghiệm của phương trình (*)
Để hệ (I) có nghiệm thì (*) có nghiệm
Giải BPT trên ta được
Vậy với hệ (I) có nghiệm.
Bài 5(Thi tuyến sinh ĐH khối A – 2010)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Ta có:
Đặt
Khi đó (1) trở thành:
Xét
49
Vậy đồng biến trên R, nên từ (1) suy ra hay
Thế vào (2) ta được:
(*)
Nhận thấy và không là nghiệm của (*).
Xét hàm
Ta có:
Do vậy nghịch biến trên . Mà nên là nghiệm duy nhất của
(*), suy ra .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 6(Thi tuyến sinh ĐH khối B – 2009)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Dễ thấy, không là nghiệm của hệ, chia hai vế của (1) cho và (2) cho ta
50
được: (I)
Đặt: , hệ (1) trở thành:
TH1:
TH2:
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
Bài 7(Thi tuyến sinh ĐH khối B – 2008)
Giải hệ phương trình: (I)
Lời giải:Ta có:
Với thay vào hệ không thỏa mãn.
Với thay vào hệ suy ra .
51
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Bài 8(Thi tuyến sinh ĐH khối A – 2008)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Ta có:
Đặt , hệ (I) trở thành:
TH1:
TH2: , thay vào (*) ta được:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 9(Đề dự bị khối A – 2006)
52
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Dễ thấy không là nghiệm của hệ, từ đó suy ra . Do vậy:
Đặt: , hệ (I) trở thành:
Khi đó là nghiệm của phương trình: .
Từ đó suy ra , hay
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 10(Đề dự bị khối A – 2007)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: Ta có:
Đặt ,hệ (I) trở thành:
53
TH1:
TH2:
54
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
Chƣơng II: Hệ phƣơng trình mũ - lôgarít
I. Công thức biến đổi cơ bản 1. Công thức biến đổi hàm mũ
Xét hàm . Ta có:
đồng biến nếu , nghịch biến nếu Hàm số:
2. Công thức biến đổi hàm logarit
. ĐKXĐ: Xét hàm số
55
Ta có:
đồng biến nếu , nghịch biến nếu Hàm số:
II. Bài tập
1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đuơng Bài 1(TSĐH D – 2002):
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải:
Vậy hệ (I) có 2 nghiệm: .
Bài 2(TSĐH A – 2004):
56
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó
Thay vào (2) ta có: (vì ).
( TM ĐKXĐ).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (3;4).
Bài 3(TSĐH B – 2005):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó
Thay vào (1) ta được phương trình:
Vậy hệ có 2 nghiệm .
57
Bài 4(TSĐH A – 2009)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó:
Vậy hệ (II) có hai nghiệm: .
Bài 5( TSĐH D – 2010)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó:
.
Thay vào (5) ta được:
Kết hợp với điều kiện suy ra .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : .
Bài 6(TSĐH B – 2010)
58
Giải hệ phương trình: (III)
Lời giải: ĐKXĐ: .
Khi đó
Vì nên . Thay vào (*) suy ra .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .
Bài 7(Đề dự bị B – 2002)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
ĐKXĐ .
Khi đó .
Thay vào (6) ta được:
Vậy hệ có 2 nghiệm : .
59
Bài 8( Đề dự bị D – 2002) :
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó
Lấy (*) trừ (**) ta được:
Do nên (***) .
Thay vào (*) ta được:
Kết hợp điều kiện suy ra .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: .
Bài 9( ĐH Thủy Lợi – 2000)
Giải hệ phương trình:
60
Lời giải: ĐKXĐ:
Vì nên .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Bài 10( Đề thi thử ĐH Chuyên Vĩnh Phúc – 2010)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó
Từ suy ra
Thay vào (8) ta được :
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .
2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Bài 1(Đề dự bị A – 2003)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
61
ĐKXĐ:
Khi đó
, (*) trở thành: Đặt
, thay vào (2) ta được :
, thay vào (2) ta được : (**)
Đặt ta được hệ:
(loại)
Suy ra phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 2(Thi thử ĐH – Chuyên Lƣơng Văn Chánh – Phú Yên)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ: .
Đặt:
62
Hệ (I) trở thành:
Từ
vào (*) ta được: (**). Thay
Đặt
Khi đó (**) trở thành:
Kết hợp điều kiện:
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Bài 3(Thi thử ĐH Trƣờng THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ – 2010)
Giải hệ phương trình:
63
Lời giải: Đặt: , hệ (II) trở thành:
Kết hợp điều kiện suy ra
TH1:
TH2:
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.
Bài 4(Tuyển sinh ĐH TCKT – 2000):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Đặt
Khi đó, hệ (III) trở thành:
64
Từ đó hệ có 2 nghiệm:
Bài 5: Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó:
Đặt , rồi thế vào (3) ta được:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
Bài 6: Giải hệ phương trình:
Lời giải
ĐKXĐ:
65
Nhận xét: nên ta đặt:
Do đó,
Vậy:
Đặt
(6) trở thành:
TH1: , hệ trở thành:
TH2: , hệ trở thành:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 7: Giải hệ phương trình: (IV)
Lời giải: ĐKXĐ:
Đặt:
66
Vậy hệ có 2 nghiệm:
Bài 8: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Đặt: . Khi đó (7) có dạng:
. Vì (*)
Mặt khác:
Từ (*) và (**) suy ra và (Vì ). Mà
, từ (**) suy ra , thay vào (*) không thỏa mãn.
, suy ra , thay vào (*) suy ra
, suy ra , thay vào (*) suy ra
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:
Bài 9: Cho ,hãy giải hệ phương trình sau:
Lời giải: Đặt: . Khi đó (V) trở thành:
67
Vì nên .
Do vậy hệ . Từ đó suy ra :
Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất: .
3. Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu của hàm số Bài 1(TSĐH D – 2006). Chứng minh rằng:
, hệ có nghiệm duy nhất:
Lời giải:
ĐKXĐ:
Từ (2) suy ra . Thay vào (1) ta được:
Xét hàm :
Ta có:
Vì nên
Do vậy đồng biến phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2(Đề dự bị D – 2004)
68
Giải hệ phương trình:
Lời giải: Từ (3) suy ra
TH1: , thay vào (4) ta được:
(*) TH2: , thay vào (4) ta được:
Ta thấy: là 1 nghiệm của (*).
Hơn nữa, xét hàm số
Ta có: nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 3(Đề dự bị khối A – 2007)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Đặt: . Hệ (I) trở thành:
Lấy (*) trừ (**) ta được:
Xét hàm số: . Phương trình (1) có dạng: .
Ta có: và nên hàm số
đồng biến.
Từ .
69
Thay vào (*) ta được: .
Thay u bởi (-u) ta được:
Từ đó suy ra: (2)
Ta thấy là một nghiệm của (2).
Hơn nữa, xét hàm
Ta có: nên phương trình có nghiệm duy
nhất, hay PT (2) có nghiệm duy nhất
.
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất .
Bài 4( Thi thử ĐH Trƣờng THPT Chu Văn An – Hà Nội – 2011)
Giải hệ phương trình: với
Lời giải:
(*) Ta có:
. Khi đó PT (*) có dạng: Xét hàm:
đồng biến. Ta có:
. Thay vào (6) ta được: Mà
70
.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: .
Bài 5(Thi thử ĐH Khoa Toán – Tin ĐHSP Hà Nội – 2011 )
Tìm m để hệ có nghiệm:
Lời giải: ĐKXĐ
Ta có .
Thay vào (8) ta được: (vì ).
Đặt : , (*) trở thành:
Để hệ có nghiệm thì (**) phải có nghiệm .
Xét hàm .
Bảng biến thiên:
t -∞ 0 +∞
f’(t)
+∞
0
f(t)
Từ bảng biến thiên ta có: để (**) có nghiệm thì
71
Kết luân: Để hệ có nghiệm thì .
Bài 6(Đề dự bị B – 2007). Chứng minh rằng hệ phương trình:
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn .
Lời giải: ĐKXĐ:
Đặt:
Ta có:
Do vậy f tăng ngặt, g giảm ngặt trên từng khoảng xác định.
Khi đó: hệ (II) có dạng: (*)
Nếu thì: (*) vô nghiệm.
Tương tự nếu cũng dẫn đến vô nghiệm.
Vậy . Ta được phương trình: (**)
Xét
Ta có:
suy ra (**) vô nghiệm hay hệ vô nghiệm.
72
và:
Vậy h(x) liên tục và có đồ thị là đường cong lõm trên . Do đó: để chứng minh
(**) có hai nghiệm ta cần chứng minh tồn tại mà , chẳng hạn:
.
Vậy PT: có đúng 2 nghiệm >1, hay hệ đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn
(ĐPCM).
Bài 7: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
Lời giải: ĐKXĐ:
(*) Khi đó:
Vì
Xét hàm số:
Khi đó, PT (*) có dạng:
Ta có:
Do vậy nghịch biến trên nên từ
(**) Thay vào (2) ta được:
Đặt . Khi đó:
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên:
u -∞ -1 0 1 +∞
g’(u) - 0 + + +
2
-1
73
g(u)
Từ bảng biến thiên ta có: hệ có nghiệm khi và chỉ khi
Bài 8: Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó:
. (1) có dạng . Xét hàm:
Mặt khác:
Vậy hàm đồng biến trên , từ
Thế vào (2) ta được: (vì )
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 9: Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Đặt:
Khi đó (1) trở thành: (*)
Hàm số giảm trên R nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất
.
74
Thay vào (2) ta được: . Xét hàm số:
Nên tăng trên R và nên (2) có nghiệm duy nhất
Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 10: Giải hệ phương trình:
Lời giải: Từ hệ suy ra
Xét hàm số:
Vậy nghịch biến trên
Không mất tính tổng quát: giả sử:
Khi đó: nếu mâu thuẫn với
. Vậy
Tương tự suy ra . Vậy .
Thay vào (1) ta được: (*)
Xét hàm số:
Vậy hàm nghịch biến và nên PT (*) có nghiệm duy nhất
75
Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Chƣơng III: Các bài toán thi học sinh giỏi về hệ phƣơng trình
I. Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức: Bài 1(Thi HSG quốc gia lớp 12 năm 2009).
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Từ đó suy ra .
Ta đi chứng minh: (*).
Thật vậy:
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
Hơn nữa: (ĐPCM).
Vì: nên áp dụng (*) cho ta được:
. Dấu bằng xẩy ra .
76
Thay vào (2) ta được:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
Bài 2 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2009 – TrƣờngTHPT Chuyên Trần Hƣng Đạo
– Bình Thuận):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
Hay: (*)
Mặt khác:
Hay : (**)
Từ (*) và (**) suy ra và hệ đã cho tương đương với:
Bài 3(Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2009 – TrƣờngTHPT Chuyên Bến Tre):
77
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
,ta có: Đặt:
Khi đó:
Tương tự ta có:
Do đó ta có:
Dấu bằng xảy ra
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:
Bài 4: (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2010 – TrƣờngTHPT Quốc Học Huế): Giải hệ
phương trình:
Lời giải:
thì hệ có nghiệm .
để hệ có nghiệm thì
78
Giả sử là nghiệm của hệ. Áp dụng BĐT AM – GM, ta có:
Như vậy ta có:
Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: .
Bài 5(Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2010 – TrƣờngTHPT Mạc Đĩnh Chi –TP Hồ
Chí Minh)
Giải hệ phương trình (n là số tự nhiên, cho trước) :
Lời giải:
Bằng phép hoán vị vòng quanh ta có thể giả sử rằng: (*)
Khi đó:
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: và từ
Thay vào hệ ta tính được:
TH2: Nếu , ta đi CM . Thật vậy:
Nếu mà nên
79
Điều này vô lý vì khi đó
Vậy và do (*) nên
Từ (**) suy ra
Vì
Vậy
Từ
Cứ tiếp tục như vậy ta có:
n lẻ ta có ngay nên hệ thu về phương trình:
Nên hệ có nghiệm là ( vì )
n chẵn thì:
Vậy hệ có 4 nghiệm:
hoặc
Bài 6(Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2012 – Trƣờng THPT Chuyên Lý Tự Trọng –
Cần Thơ):
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
80
ĐKXĐ:
Áp dụng BĐT B.C.S ta có: (*)
Mặt khác: xét BĐT: (**)
Ta có:
Suy ra (**) được chứng minh.
Từ (*) và (**) suy ra . Dấu bằng xảy ra
Thay vào (1) ta được: (3)
Đặt , phương trình (3) trở thành:
(vì )
Ta có :
81
Vì nên chỉ nhận
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: .
Bài 7 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2012 – TrƣờngTHPT Chuyên Lƣơng Văn
Chánh – Phú Yên):
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Từ hệ suy ra: điều kiện để hệ có nghiệm là:
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
Cộng các vế của BĐT trên và đơn giản 2 vế ta được:
(*)
Theo (1) thì (*) phải xảy ra dấu bằng, khi đó:
Thay vào (2) ta được:
Vì nên ta chỉ lấy
82
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : .
Bài 8( Thi HSG quốc gia lớp 12 năm 2013):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Cộng hai vế (1) và (2) ta được:
Áp dụng BĐT Minkowsky cho vế trái ta được:
Tương tự suy ra
Dấu bằng xảy ra
Mặt khác: (BĐT B.C.S)
Dấu bằng xảy ra .
83
Như vậy ta có:
Bài 9 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2012 – Trƣờng THPT Chuyên Lý Tự Trọng –
Cần Thơ)
Giải hệ phương trình sau:
Lời giải:
Cộng hai vế của hệ ta được:
Từ (1) suy ra
Ta đi CM bất đẳng thức:
Thật vậy
Xét hàm số:
Ta có: ,
Từ đó suy ra hay (đpcm).
84
TH1: , hệ có nghiệm
TH2: , từ (1) và áp dụng (2) ta suy ra:
Như vậy và bất đẳng thức (2) xảy ra dấu bằng. Từ đó suy ra .
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
Bài 10 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2012 – Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn-
Bình Định)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Như vậy
Từ đó kết hợp với ĐK:
Xét hàm số:
85
Ta có:
Như vậy: hàm số nghịch biến trên nên
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
II. Phƣơng pháp khảo sát hàm số Bài 1( Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – khối THPT Chuyên – 2013):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Xét các hàm số .
Ta có:
Mà liên tục trên nên đồng biến, nghịch biến trên .
Khi đó hệ (I) có dạng:
Không mất tổng quát, giả sử: .
86
Từ đó suy ra ,tương tự suy ra . Vậy .
Thay vào hệ ta được phương trình:
.
Đặt
Ta có:
Suy ra đồng biến và là nghiệm duy nhất
Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 2(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa – 2012)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ: .
Khi đó:
Xét
Khi đó (1) trở thành: (*)
Ta có: nên đồng biến, suy ra
.
Thế vào (2) ta được:
Đặt , ta được hệ:
87
Lấy (3) trừ (4) ta được:
Vì nên suy ra
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 3(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2011):
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Ta có
nên . Vì
. Xét hàm
Ta có : suy ra đồng biến và .
Thế vào (2) ta được:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An – 2008)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
88
Ta có:
Xét hàm số:
Do vậy, đồng biến và liên tục trên , suy ra .
Thay vào (2) ta được:
Nhân liên hợp vế trái ta được:
Xét phương trình (*). Ta có:
Do vậy vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .
Bài 5(Đề thi HSG Tỉnh Bắc Ninh – 2013)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Khi đó:
89
Thế vào (2) ta được:
Xét phương trình (*):
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
x -∞ +∞
f’(x) - 0 +
+∞
+∞
a
f(x)
Như vậy (*) có nhiều nhất hai nghiệm
Mà nên (*) có 2 nghiệm
Vậy hệ có 3 nghiệm:
Bài 6 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1994 – Bảng A)
Giải hệ phương trình:
Lời giải
. Xét hàm số:
90
Ta có:
Nên hàm đồng biến trên .
Không mất tổng quát ta giả sử
( Mâu thuẫn với Nếu
).
Vậy
Tương tự ta suy ra . Khi đó ta được phương trình
.
Xét (*)
Ta có:
Suy ra hàm đồng biến và nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 7 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1994 – Bảng B)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ:
Xét hàm số
Ta có
Do vậy hàm đồng biến trên .
Từ hệ ta có:
Nếu ( Mâu thuẫn)
91
Nếu ( Mâu thuẫn)
. Khi đó ta được phương trình: Vậy
(*) Xét
Ta có
Hàm đồng biến và nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 8 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1999 – Bảng A)
Giải hệ phương trình:
Lời giải
Đặt , PT (1) trở thành:
(*)
Xét
Ta có:
Suy ra hàm nghịch biến trên R và nên (*) có nghiệm duy nhất
.
Thay vào (2) ta được:
Xét hàm số .
92
Ta có:
Suy ra hàm đồng biến và nên PT (3) có nghiệm duy nhất
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 9( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2006 – Bảng A)
Giải hệ phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ: .
Ta có
Xét các hàm số
Ta có:
Suy ra hàm nghịch biến, hàm đồng biến trên .
Không mất tính tổng quát, giả sử:
Nếu
93
(mâu thuẫn với )
Vậy .
. Tương tự ta chứng minh được:
(*) Từ đó ta được PT:
Xét hàm số
Ta có:
Suy ra hàm nghịch biến và nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 10( Đề thi HSG Đồng Tháp – 2011)
Giải hệ phương trình :
Lời giải : ĐKXĐ:
Ta có
Xét hàm số . Khi đó (1) trở thành:
Ta có: suy ra hàm đồng biến
Từ (1) suy ra
TH1: , thay vào (2) ta được:
(3)(ĐK: )
Ta có
94
Xét hàm với
Ta có:
Hàm đồng biến trên mà nên PT (3) vô nghiệm.
TH2: , thay vào (2) ta được:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .
III. Một số phƣơng pháp khác Bài 1( Thi chọn đội tuyển HSG TP Hồ Chí Minh – 2013)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Đặt , hệ trở thành:
TH1: (Hệ vô nghiệm)
TH2:
95
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Bài 2 ( Đề thi HSG Quốc Gia – 2007)
Giải hệ phương trình: (I)
Lời giải: ĐKXĐ:
Dễ thấy . Khi đó:
Lấy (1) nhân (2) ta được:
Do nên ta chỉ xét .
Thay vào (2) ta có:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 3(Đề thi HSG Cần Thơ – 2012)
Giải hệ phương trình:
96
Lời giải: ĐKXĐ:
Dễ thấy . Khi đó:
Lấy (1) nhân (2) ta được: (*)
Đặt , (*) trở thành:
Vì nên ta chỉ xét trường hợp
Thay vào (1) ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 4 ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1996 – Bảng A)
Giải hệ phương trình:
Lời giải :ĐKXĐ:
Ta có không là nghiệm của phương trình nên từ ĐKXĐ suy ra
97
Khi đó:
Lấy (1) nhân (2) ta được:
(Vì )
Thay vào phương trình (*) ta được:
(3)(Vì )
Đặt , (3) trở thành:
Từ đó suy ra
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 5( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2001 – Bảng B)
Giải hệ phương trình: (I)
Lời giải: ĐKXĐ: .
Ta có: .
98
Đặt , hệ (I) trở thành:
Thay vào cách đặt ta được:
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
Bài 6 ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2004 – Bảng A)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Ta có :
Lấy (2) trừ (1), (2) trừ (3) ta được:
Lấy (4) chia (5) ta được:
Thay vào PT (1) và (3) ta được:
99
(II)
Dễ thấy không là nghiệm của (II) suy ra
Đặt hệ (II) trở thành:
Lấy (6) chia (7) ta được:
Thay vào (6) ta được:
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: .
Bài 7( Đề thi HSG Quốc Gia – 2010)
Giải hệ phương trình:
Lời giải
Nhân 2 vế của (2) với rồi cộng với (1) ta được:
TH1: , thay vào (1) ta được:
100
TH2: , thay vào (1) ta được:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 8 (Đề thi HSG Tỉnh Yên Bái – 2011)
Giải hệ phương trình:
Lời giải
Lấy (2) nhân với rồi cộng với (1) ta được:
Thay vào (2) ta được:
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: .
Bài 9 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2011 trƣờng Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định)
Giải hệ phương trình:
101
Lời giải: Ta có:
Đặt . Khi đó: .
Thay vào hệ (I), ta được:
Lấy (1) nhân (2) ta được: .
Do nên , thay vào (1) và (2) ta được:
Thay vào cách đặt ta suy ra .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 10 (Đề thi Olympic 30 – 4 năm 2012 trƣờng Chuyên Phan Ngọc Hiển – Cà
Mau)
Giải hệ phương trình:
102
Lời giải: Ta có:
Đặt:
Khi đó hệ (I) trở thành:
TH1: , thế vào hệ ta được . Hệ có nghiệm:
TH2: , từ (1) và (2) suy ra cùng phương
Do đó, từ (3) suy ra
Với
. Hệ có nghiệm: . Mà
Với
Thế vào (*) ta được: (VN).
103
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: , .
KẾT LUẬN
Qua quá trình thực hiện đề tài, luận văn thu được những kết quả chính sau:
1. Thống kê lại các dạng hệ phương trình đại số cơ bản, cách giaỉ và một số ví dụ cụ
thể cho từng dạng.Sau mỗi dạng có các bài tập tương tự kèm hướng dẫn và đáp án.
2. Đối với hệ phương mũ - lôgarít luận văn giải quyết các bài toán trong các đề thi đại
học theo các dạng đã chia.
3. Luận văn trình bày cụ thể các bài toán về hệ phương trình trong các đề thi học sinh
giỏi cấp tỉnh thành và cấp Quốc gia.
104
4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh THPT .
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hà Văn Chƣơng (2012), Tuyển chọn và giaỉ hệ phương trình, hệ bất phương trình,
phương trình, bất phương trình không mẫu mực. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Nguyễn Tài Chung (2013), Sáng tạo & Giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình. NXB Tổng hợp TP. Hồ Chí Minh.
3. Ban tổ chức kì thi(2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng 4 (Toán học 11, năm
2010,2011). NXB Đại học Sư phạm.
4.Ban tổ chức kì thi(2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng 4 lần thứ XVIII - 2012.
NXB Đại học Sư phạm.
5. PGS.TS Đàm Văn Nhỉ (2013), Bất đẳng thức cực trị - hệ phương trình. NXB
105
Thông Tin và Truyền Thông.
