Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng: Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Ờ Ả Ơ L I C M N

ự ượ

c th c hi n d ầ ẫ

ệ ệ ướ ự ướ i s h ề ắ

ậ ệ ẩ ủ ờ ứ ế ơ lòng bi

ầ

ạ ứ ạ ọ ề ế ọ

i tr ạ ọ ự gi

ờ ộ ữ ạ

i tích 2008 – 2010 v nh ng l ỡ ể ớ ệ ữ ữ ự ệ ị ạ ậ ng d n c a TS. Ph m Phu. Nhân d p Lu n văn đ ể ể ướ ứ ả ơ ng d n, ki m này em xin c m n th y đã dành nhi u công s c, th i gian đ h ỡ ị ế ắ tra và giúp đ em trong vi c n m b t các ki n th c chuyên ngành và đ nh hình ắ ế ạ ỏ ả hoàn thi n b n lu n văn. Em cũng xin bày t t n sâu s c đ n lãnh đ o và ọ ọ ọ ơ ườ ng Đai h c các th y cô trong Khoa Toán – C – Tin h c, phòng Sau Đ i H c tr ữ ộ ự ề ố ố t Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, v ki n th c và nh ng đi u t ầ ả ơ ọ ậ ạ ườ ờ ạ ẹ đ p mang l i cho em trong th i gian h c t p t ng. Em xin c m n các th y ả ơ ọ ủ ổ ả ạ i tích Đ i h c Khoa h c T nhiên. C m n cô, các b n trong Xemina c a t ề ả ậ các b n trong t p th l p Cao hoc gi i đ ng viên, ử ỉ nh ng c ch khích l , nh ng s giúp đ nhi t tình.

ạ ậ ộ

ả ỉ ả ậ ế ậ ờ ữ ủ ế ấ ỏ

ầ ạ ồ ể ắ ắ Do th i gian và trình đ còn h n ch , ch c ch n b n lu n văn không th ượ ự tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong nh n đ c s ch b o t n tình c a các ả ơ ệ th y cô và b n bè đ ng nghi p, em xin chân thành c m n.

ộ Hà N i, tháng 3 năm 2011

ọ H c viên

ị ả ế Võ Th H i Y n

ụ ụ M c l c

Ờ

Ầ ……………………………………………………………4

L I NÓI Đ U

ệ ả 5 B ng ký hi u ……………………………………………………………

ươ

ủ ệ ươ

ổ ị

ứ

ng 1 . Nghiên c u tính n đ nh c a h ph

ng trình

ằ

ươ

sai phân b ng ph

ng pháp hàm Lyapunov

ơ ượ ề ữ ạ 1.1. S l c v phép tính sai phân h u h n ……………………………………

ươ ấ ng trình sai phân c p cao ....................................................................

1.2. Ph 7

ủ ệ ươ ứ ệ ế ng trình sai phân tuy n tính ……………

1.3. Công th c nghi m c a h ph 9

ệ ươ ế ầ ấ ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t…………………….....

1.3.1. H ph 9

ệ ươ ế ầ ấ 1.3.2. H ph ng trình sai phân tuy n tính không thu n nh t và

ứ ế ằ ố

công th c bi n thiên h ng s Lagrăng ………………………………. 11

ụ ả ệ ươ ế ộ ố ví d gi i h hai ph ầ ng trình sai phân tuy n tính thu n

ấ 1.4. M t s nh t….. 12

ề ổ ị ệ ươ 1.5. Các khái ni m v n đ nh và ph ệ ng pháp hàm Lyapunov cho h

ươ ph ng trình sai phân autonomous ………………………………

ề ổ ệ

ị 1.5.1. Các khái ni m v n đ nh ………………………………………… 16

ươ ệ ươ 1.5.2. Ph ng pháp hàm Lyapunov cho h ph ng trình

sai phân autonomous …………………………………………… 17

ươ ệ ươ 1.6. Ph ng pháp hàm Lyapunov cho h ph ng trình sai phân

không autonomous ……………………………………………………. 20

ươ

ệ ươ

ế

ng 2 : H ph

ng trình sai phân tuy n tính

ứ

ụ

và ng d ng……….............................................

ơ ả ủ ệ ệ ươ ế ng trình sai phân tuy n tính …….

2.1. Các khái ni m c b n c a h ph 24

ệ ươ ế ấ ầ ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t …………………...

2.1.1. H ph 24

ệ ươ ế ầ ấ ng trình sai phân tuy n tính không thu n nh t …………...

2.1.2. H ph 25

ủ ệ ươ ự ổ ị ế ầ 2.2. S n đ nh c a h ph ấ ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t

ớ ệ ố ằ ậ

v i ma tr n h s h ng …………………………………………………. 27

ủ ệ ươ ự ổ ị ầ 2.3. S n đ nh c a h ph ế ng trình sai phân tuy n tính không thu n

ấ ớ ệ ố ằ ậ

nh t v i ma tr n h s h ng …………………………………………….. 31

ủ ệ ươ ự ổ ị ầ 2.4. S n đ nh c a h ph ế ng trình sai phân tuy n tính không thu n

ấ ớ ệ ố ế ậ

nh t v i ma tr n h s bi n thiên ……………………………………… 38

ự ươ ươ ệ ệ ươ ng đ ậ ủ ng ti m c n c a h ph ng trình sai phân …………….

2.5. S t 42

ộ ố ụ ề ứ ủ ệ ươ ụ ng trình sai phân ………………

2.6. M t s ví d v ng d ng c a h ph 46

ả ị ườ ế ộ ng ……………………………….

2.6.1. Mô hình bi n đ ng giá c th tr 46

ệ ượ ạ ế ệ ệ ng “m ng nh n ” trong kinh t nông nghi p ……………

2.6.2. Hi n t 48

ạ ươ ố ng đa qu c gia ……………………………….

2.6.3. Mô hình ngo i th 53

ậ lu n ………………………………………………………………………

ế K t 57

ệ ả

Tài li u tham kh o ………………………………………………………….. 58

Ờ

Ầ

L I NÓI Đ U

ượ ế ị ủ ệ ộ ứ ừ

ầ ế ỷ ự ờ ạ ẫ

ượ ủ ờ ộ ự ứ ứ ế ặ ụ ờ ề

ự ờ ạ ể ủ

ự ể

ự ễ ủ ệ ả ữ Lý thuy t đ nh tính c a h đ ng l c r i r c đã đ nh ng c nghiên c u t ọ ả năm đ u th k XVIII, song ngày nay nó v n đ c đông đ o các nhà khoa h c ượ ứ ữ ả ơ ả quan tâm và nghiên c u. Nh ng k t qu c b n c a nó đ c ng d ng r ng rãi ầ ệ ụ t trong th i gian g n đây nh có s phát trong nhi u mô hình ng d ng. Đ c bi ệ ế ế ệ ộ tri n c a công ngh tin h c, lý thuy t h đ ng l c r i r c nói chung và lý thuy t ượ ậ ệ ủ ị đ nh tính c a các h ph t b c ứ ặ đ c bi ọ ươ ng trình sai phân nói riêng đã có s phát tri n v ụ t là kh năng ng d ng th c ti n c a nó.

ế ể ầ ụ

ng pháp thông d ng đ ệ ạ ươ ể ự ề ng trình vi phân đ u có th xây d ng l

ươ ệ ề ượ ử ụ c s d ng trong lý ấ ứ i cho vi c nghiên c u tính ch t ng trình sai phân. Tuy nhiên v lý thuy t tính toán và các

ứ ơ ả ạ ế ứ ạ ộ ố ứ ể ọ ề ổ V t ng th h u h t các ph ươ ế thuy t ph ủ ệ nghi m c a các h ph bi u th c toán h c trong m t s công th c c b n l i khá ph c t p.

ụ ơ ả ạ ộ

ứ ệ

ươ ụ ươ ủ ụ ế ệ ố ủ ả ậ i m t cách h th ng M c tiêu c b n c a b n lu n văn là trình bày l ủ ị ổ ượ ử ụ ươ c s d ng trong vi c nghiên c u tính n đ nh c a ng pháp hàm Lyapunov đ ph ạ ể ả ỉ ụ ệ các h ph ng trình sai phân. Sau đó trình bày các ví d minh ho đ ch ra kh ứ ứ ng trình sai phân trong các mô hình ng d ng. năng ng d ng c a lý thuy t ph

ươ

ộ

ươ

ầ ng trình sai phân. Ph n ti p theo c a ch ứ ệ ủ ủ ể ổ ị

ươ ề ơ ả ệ ng 1 sau khi đã trình bày các khái ni m c b n v phép tính sai Trong ch ữ ươ ế ắ ắ ạ t lý thuy t ph phân h u h n, chúng tôi đã trình bày m t cách v n t ng trình sai ộ ươ ủ ế ấ ng m t là các phân c p cao và h ph ệ ệ ơ ả ị đ nh lý c b n c a Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh nghi m c a các h ph ng trình sai phân.

ị ổ ươ ủ

ầ ấ ề ộ ố ề

ươ ị ủ ề ố ủ ế ễ

ế ộ

ộ ố ạ ệ

ứ ả ậ ờ

ươ ữ ể ế ế ậ ng 2 chúng tôi đã trình bày các đ nh lý v tính n đ nh c a các ệ ổ ng trình sai phân thu n nh t. Sau đó là m t s đi u ki n đ v tính n ầ ậ ng trình sai phân tuy n tính có nhi u. Ph n cu i c a lu n ả ị ườ ệ ư ng, hi n nh mô hình bi n đ ng giá c th tr ố ươ ạ ế ng đa qu c nông nghi p và mô hình ngo i th ủ ế ị ượ c trong viêc nghiên c u lý thuy t đ nh tính c a ệ ng trình sai phân chúng ta có th đi đ n các k t lu n h u ích trong vi c

ứ Trong ch ươ ệ h ph ệ ủ ị đ nh c a các h ph ế văn là m t s mô hình kinh t ệ ượ ng “m ng nh n” trong kinh t t ế gia. Nh có các k t qu nh n đ ph nghiên c u các mô hình trên.

ệ

ả

B ng ký hi u

ﾥ T p h p các s nguyên không âm.

ậ ố ợ

(cid:0) ( )aﾥ ặ ằ ậ ợ ố ơ ớ T p h p các s nguyên l n h n ho c b ng a (a ﾥ )

ﾥ T p h p các s nguyên m r ng.

ở ộ ậ ố ợ

ﾥ T p h p các s th c. ợ

ố ự ậ

+ﾥ

ố ự ươ ậ ợ T p h p các s th c d ng.

mﾥ

Không gian m chi u.ề

)

ﾥ .

nM ﾥ (

ấ ậ ợ ậ T p h p các ma tr n vuông c p n trên

kC T h p ch p i c a k.

ổ ợ ủ ậ

nuD

nu .

Sai phân c a ủ

nu ) Hàm bi n s nguyên.

ế ố u(n) ( ho c ặ

ƯƠ

NG 1

Ổ Ị

Ệ ƯƠ

Ứ

Ủ

NGHIÊN C U TÍNH N Đ NH C A H PH

NG TRÌNH

Ằ

ƯƠ

SAI PHÂN B NG PH

NG PHÁP HÀM LYAPUNOV

ơ ượ ề

ữ ạ

1.1 S l

c v phép tính sai phân h u h n

ị ộ ủ ữ ấ ọ ﾥ ạ Ta g i sai phân h u h n c p m t c a hàm s u ố (n) = un v i ớ n (cid:0)

+ 1

ệ Đ nh nghĩa 1.1. là hi u D - u u u . = n

ị ủ ữ

ủ ấ ủ ọ ạ ấ n , và nói chung sai phân c p k c a hàm u (n) = un là sai phân c aủ n là sai phân c a sai

Ta g i sai phân h u h n c p 2 c a hàm u ủ ủ ố Đ nh nghĩa 1.2. ấ sai phân c p 1 c a u ấ phân c p k – 1 c a hàm s đó.

ủ ấ Sai phân c p 2 c a hàm un là

+ 1

D D - D - - - - u = D u u u u u u u u ( ) u ( + ) u 2 ; = D n = + n 1 = + 1

ủ ấ Sai phân c p 3 c a hàm un là

3 u

+ 1

D D - D - - = D 2 u u u u ( ) u 3 u 3 … = D n + u + n = + 1

ủ ấ Sai phân c p k c a hàm un là

1 u

i C u k

+ - n k i

+ 1

- - - = D D - D - (cid:0) u = D 1 u ( ) ( 1) , = D n

i k

! = C trong đó . - i k i k !( )!

ấ ủ Các tính ch t c a sai phân:

ề ượ ấ ị ủ ể ễ ố c bi u di n qua các giá tr c a hàm s Tính ch t 1ấ : Sai phân các c p đ u đ

i C u + - k n k i

D - (cid:0) u ( 1) , = n

i k

! = C trong đó . - i k i k !( )!

ọ ấ ề ử Sai phân m i c p đ u là toán t ế tuy n tính Tính ch t 2:ấ

b D a ( = D a ) , + u n v n + D b k u n v n

ố ự ỳ v i ớ α , β là các s th c tu ý.

ứ ậ ủ ằ ấ Tính ch t 3ấ : Sai phân c p k c a đa th c b c m b ng:

ằ ố ế k = m, * H ng s , n u

* 0, n u ế k > m,

* Đa th c b c ( ứ ậ m – k), n u ế k < m.

Tính ch t 4:ấ

D , u v n n = D + D u v n n v u n

1 u

+ 1

= n a

- - D - D (cid:0) u , = D n

ệ ặ đ c bi t khi k = 1, ta có

+ 1

= n a

D - (cid:0) u u u . = n

ươ

ấ

ng trình sai phân c p cao

1.2 .Ph

ươ ộ ệ ứ ữ ấ ng trình sai phân c p k là m t h th c gi a sai phân các Ph

ị Đ nh nghĩa 1.3. c pấ

D D u F u ( , ,..., ) 0 , = u n

ấ ươ ng trình sai phân chính

ấ ủ n, c p c a ph ằ ấ ớ ấ ủ ủ ở trong đó un coi là sai phân c p 0 c a hàm u là c p l n nh t c a các sai phân ( đây là b ng k).

ủ ng trình sai phân tuy n tính c p k c a hàm u ể ộ n là m t bi u

n t

Ph ữ ị ứ ị ủ ấ ể ươ Đ nh nghĩa 1.4. ế th c tuy n tính gi a các giá tr c a hàm u ế ạ i các đi m khác nhau

+ n k

+ - n k

+ = f + + ... , a u k n a u 0 a u 1

(cid:0) (cid:0) ,..., 0 , 0 ố ủ ằ ố a a 1, 0 a 0

n là m t hàm s c a n, đ

ươ a v i ớ k ệ ố ủ ố ủ a k ng trình sai phân; f ặ là các h ng s ho c các hàm s c a n, ượ ộ c

ả ượ ọ ẩ trong đó ọ ượ đ ế ọ g i là v ph i; u c g i là n. c g i là các h s c a ph ị ầ n là giá tr c n tìm đ

ủ ệ ươ ế * Nghi m c a ph ng trình sai phân tuy n tính:

ươ ế ấ Xét ph ng trình sai phân tuy n tính c p k

+ n k

+ - n k

+ = f + + ... . (1.1) a u k a u 0 a u 1

ươ ấ ươ ứ ầ Ph ng trình sai phân thu n nh t t ng ng

+ n k

+ - n k

+ = + + ... 0. (1.2) a u k n a u 0 a u 1

ươ ư Ph ặ ng trình đ c tr ng

- l + = a + + ... 0. (1.3) a 0 l a 1

nu c a ph ủ

= + ệ ổ ươ ế Nghi m t ng quát ng trình sai phân tuy n tính (1.1) là u u ,

ủ ệ ộ ươ ệ ng trình (1.1) và ủ ổ u là nghi m t ng quát c a

ấ ươ ứ ươ v i ớ *u là m t nghi m riêng c a ph ầ ph ng trình thu n nh t t ng ng (1.2).

ủ ệ ạ ổ Nghi m t ng quát c a (1.2) có d ng

n k

n 1

n 2

= + u + + ... , c u k c u 1 c u 2

n k

n 2

,..., ,..., ộ ậ ủ ệ ế trong đó u là k nghi m đ c l p tuy n tính c a (1.2) và c là các k c c 2, 1 u u , n 1

ố ỳ ằ h ng s tu ý.

n k

n 2

l ,..., ế ệ ệ l { l ,..., } N u (1.3) có k nghi m phân bi ệ là h k nghi m l n , 1

ủ ế ổ l l , ệ 1 t ệ thì h ệ ủ ộ ậ đ c l p tuy n tính c a (1.2) và nghi m t ng quát c a (1.2) là

n k

= + u + + l ... . c k l n c 1 1 l n c 2 2

n j

l l ế ự ệ ệ ộ ổ b i s thì ngoài nghi m ta b xung thêm các vect ơ

n j

N u (1.3) có nghi m th c l - s n l 2 n l n ,..., , ộ ậ ủ ệ ế ệ cũng là các nghi m đ c l p tuy n tính c a (1.2) và nghi m

ủ ổ t ng quát c a (1.2) là

n i

n j

= 1

- = u . c i l i c n j +� � l (cid:0)

l = + r i j (cos j sin ) ế ấ ộ ệ b i s thì ta l y thêm các nghi m

n r n

ứ N u (1.3) có nghi m ph c = - ủ ệ ổ j n i s ệ j n sin cos , , 0,..., 1 và nghi m t ng quát c a (1.2) là

n r a n (

n i

= 1

- = + u j n n cos j sin ), c i b n i l + � � (cid:0)

ố ỳ trong đó a ,i b là các h ng s tu ý. ằ i

ươ

ứ

ủ

ệ

ệ ươ

ầ

ế ng trình sai phân tuy n ấ ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t

1.3. Công th c nghi m c a h ph ế tính 1.3.1. H ph

ệ ươ Xét h ph ng trình sai phân (xem [11])

2 n u n ( ) ( ) 2

+ (cid:0) ( ), (cid:0) + (cid:0) a n u n ( ) ( ) 12 a + = 1) + = 1) + + a ... m 1 + + a ... ( ), n u n ( ) m n u n ( ) m u n ( 1 u n ( 2 a n u n ( ) ( ) 11 a n u n ( ) ( ) 21 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) a a + + ... ( ). .......................... + = u n 1) ( m n u n ( ) m a m 1 n u n ( ) ( ) 1 n u n ( ) ( ) 2

Đ t ặ

K n ( )

K a 1 a n ( ) n ( ) = = u n ( ) A n ( ) a n ( ) 12 a m 22 2 K K K

K a n ( ) n ( ) n ( ) a m u n ( ) � � 1 � � u n ( ) � � 2 ; � � M � � u n ( ) � � m a n ( ) � 11 � a n ( ) � 21 � K � � a � m � � � . � � � �

ệ Khi đó h trên có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

(cid:0) A n u n n u n ( + = 1) ( ). ( ) , , (1.4) n 0

m m

= = (cid:0) (cid:0) A n ( ) ( ( )) ﾥ ở ậ u n ( ) ( ), ( ),..., ( ))T đây , là ma tr n không suy a n ij u n m u n u n ( 1

bi n.ế

Bài toán Cauchy:

(cid:0) (cid:0) A n u n n u n ( ( ). ( ) , , n 0 (cid:0) + = 1) = (cid:0) u ) . u n ( 0

ươ ệ ng pháp truy h i ta th y bài toán Cauchy luôn có nghi m và

ằ B ng ph ủ ệ ượ nghi m c a bài toán Cauchy đ ấ ồ ở c cho b i

= - - A n n n> u n ( ) A n ( 1). ( 2)... ( 1). ( ớ ọ v i m i . + A n 0 A n u ). 0

ọ

ử ế

ở

ế

ậ

* H toán t

ti n hoá sinh b i ma tr n không suy bi n

s n(cid:0) ị ớ ỗ V i m i ký hi uệ Đ nh nghĩa 1.5.

= - - (cid:0) (cid:0) A n n s U n s ( , ) A n ( 1). ( + A s 2)... ( A s 1). ( ) , . n 0

U n s { ( , )}n s n

)

(cid:0) (cid:0) ượ ậ ậ ọ ọ ở Khi đó đ ế c g i là h các ma tr n ti n hoá sinh b i ma tr n hàm

( )A n , ặ

ơ ả ậ ọ đ ẩ ắ ệ c g i là ma tr n nghi m c b n chu n t c

U n n ( , không suy bi n ế 0 ậ ( ma tr n Cauchy ) ho c còn đ

ượ ượ ọ c g i là hàm Green.

ừ ị ủ ọ ử ế ấ ậ ậ T đ nh nghĩa c a ma tr n Cauchy và h toán t ớ ti n hoá ta th y v i

)

n(cid:0) Nh n xét: s m i ỗ thì :

I= .

U n n ( 0 0

U n s U n k U k s ( , )

( , ).

( , )

(cid:0) (cid:0) ớ * v i m i . ọ n k s

s .

( , )

( ,

)

U n s U n n U s n ( , 0

- (cid:0) ớ ọ * v i m i

= u n u n n u ( ) : ( , , ) ủ Nghi m ệ c a bài toán Cauchy có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

0 u n U n s u s

0 ( , ). ( ) ,

= (cid:0) (cid:0) n ( , ( ) u n U n n u ). , , (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n 0 s ( ) . n 0

n n 0

- = n n(cid:0) ( )A n ấ ằ ớ ọ A ) Khi A= là ma tr n h ng ta th y ậ v i m i . U n n ( , 0

ệ ươ

ế

ấ

ầ

1.3.2. H ph

ng trình sai phân tuy n tính không thu n nh t

ệ ươ Xét h ph ng trình sai phân: (xem [11])

+ (cid:0) A n u n ( ). ( ) b n ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ﾥ n b n ( ) . (1.5) n 0 , + = 1) = (cid:0) u ) u n ( u n ( 0

= u n u n n u ( ) : ( , , ) ị ủ ệ ứ ở Nghi m ệ ị c a h (1.5) xác đ nh b i công th c Đ nh lý 1.1.

u n U n n u ).

( )

( ,

U n k b k ( , ). ( = + k n 1 0

- (cid:0) . (1.6)

( )u n c a (1.5) d ủ

= u n U n n C n ( ) ( , ( ) ). ứ ướ ạ i d ng Ch ng minh.

Ta tìm nghi m ệ (1.7)

u= ) ằ ươ ế ằ ố sao cho b ng ph ng pháp bi n thiên h ng s Lagrăng . u n ( 0

= = = � u ) ( ) ( ) ) ) . Vì u n ( 0 U n n C n , 0 0 C n ( 0 C n ( 0

= + + � u n U n n C n ( ) ( , ( ) ) u n ( + = 1) U n ( 1, ( 1) T ừ (1.8) n C n ) 0

+ = + u n ( + = 1) A n u n ( ) ( ) b n ( ) A n U n n C n ( ) ( , ( ) ) b n ( ) Mà

= + + b n U n ( 1, ( ). (1.9) n C n ) ( ) 0

ế ợ ượ K t h p (1.8) và (1.9) ta đ c

+ + + U n ( 1, ( + = 1) U n ( 1, b n ( ) n C n ) 0 n C n ) ( ) 0

+ C n U n

= ( )

(

n b n ). ( ) 0

- + D D U n ( 1, ) = C n ( ) b n ( ) suy ra hay . n 0

= C k ( )

+ 1 U k (

n b k ). ( ) 0

�

= k n 0

- - - D Do đó : .

( )

(

= )

( ,

C n C n 0

U k n b k ). ( = + k n 1 0

- - - (cid:0) Ta tìm đ c ượ .

(1.10)

( ,

)

U n k ( , )

U n n U k n ). 0

- ậ ượ Vì nên thay (1.10) vào (1.7) ta nh n đ c (1.6).

( )A n ệ ằ ả N u ế A= là ma tr n h ng thì ậ H qu :

n n 0

n i A b i . (

= + i n 1 0

- - = + - (cid:0) A u n ( ) u . 1) n n> ớ ọ v i m i .

(1.11)

ụ ải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính

ộ ố 1.4. M t s ví d gi thuần nhất

ả ệ

ươ

ấ

ầ

1.4.1. Gi

i h hai ph

ế ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t

+ +

x n ( y n (

+ = 1) + = 1)

px n ( ) rx n ( )

qy n ( ) sy n ( )

a ( ) b ( )

(cid:0) = = (cid:0) b a y , , ệ Xét h x 0 (cid:0)

trong đó p, q, r, s (cid:0) ﾥ .

= + = + � + + 1) qy n ( ) px n ( ) + - 1) qy n ( px n ( x n ( x n ( a ( ) 2) 1) Ta giải hệ này bằng cách đ a vư ề phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp ậ ậ 2. Th t v y : và .

+ � b ( ) + = 1) rqx n ( )

= + = + � px n qy n ( + x n ( 2) + + 1) px n ( + + 1) rqx n ( ) s x n ( ( + - 1) ( ))

= px n ( + - p s x n ps sqy n ( ) rq x n ( ) ( sqy n ( ) rqx n ( ) + - 1) ( ) ( ) .

p q = = - rq D ps Chú ý định thức của hệ (a)(b) là , ta có thể viết hệ (a)(b) r s

dưới d ngạ

+ = + + - 1) Dx n ( ) (c) x n ( = ( = p s x n ) ( + pa qb . x 0 2) a x , 1

Tức là đ a hư ệ (a)(b) về phương trình cấp 2.

Giải hệ ụ Thí d 1.4.1.

1 ,

x 0

+ +

= =

x n ( y n (

1) 1)

y n x n 4 ( ) 2 ( ) + x n ( )

y n ( )

- (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Giải. Hệ đã cho tương đương với

+ + - x n x n x n ( = 2) 5 ( 1) 6 ( ) , 1 , 2, = x 0 = x 1

+ =

Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

l �

l 5

6 0

2 ,

= 1

= 2

- .

x n ( )

n 3 .

= = +

�

= = 2

x n ( )

2 .n

T đó ừ

x 0

A B x 1

+ = n 1

Từ phương trình đầu ta có

y n 2 ( )

x n 4 ( )

x n (

+ = 1)

4.2

2 (4 2)

2.2

=� y n ( )

n 2 .

n 2 ;

y n ( )

n 2 .

- - -

Vậy ( ) x n

ụ Thí d 1.4.2 . Giải hệ

x 0

y 0

x n ( y n (

+ = 1) + = 1)

y n x n ( ) 2 ( ) + y n x n ( ) 4 ( )

- (cid:0) (cid:0) . (cid:0)

ươ ươ ớ ệ Giải. H đã cho t ng đ ng v i

+ + - x n x n x x n ( = 2) 6 ( 1) 9 ( ) , 2 , 3 . = 0 = x 1

ươ ấ Phương trình c p 2 trên có ph ng trình đặc trưng

l + = - =� l l 2 6 9 0 3 .

+ A Bn

x n ( )

)3n

(

ừ T đó : .

ặ M t khác

= -

�

= )3 3

= x n ( )

n )3 ;

= y n ( )

x n 2 ( )

+ = + x n (

n )3 .

x 0

x 12, =

- -

n )3 ;

n )3 .

B = + (1

- n n x n ( ) (2 y n ( ) V y ậ

Giải hệ ụ Thí d 1.4.3.

(cid:0) - x n ( + = 1) x n ( ) y n ( ) (cid:0) (cid:0) 1 2 3 4 = = (cid:0) y 2 , 0 . x 0 (cid:0) + y n ( + = 1) x n ( ) y n ( ) (cid:0) (cid:0) 1 2

ươ ươ ớ ệ Giải : H đã cho t ng đ ng v i

+ = x n ( 2) x n ( + - 1) x n ( ) , 2 , 1. = x 0 = x 1

ươ ấ Phương trình c p 2 trên có ph ng trình đặc trưng

- + = l

3 l

l �

�

1 0

c os

p isin

i 2

(cid:0)

=� B

x n ( )

sin

;

= = 2

= = + 1 1

x 0

A x ; 1

p n 3

Từ đó

3 2 p sin

= = - x n ( ) c 2 os y n ( ) x n ( ) x n ( + = 1) 3 sin =� y n ( ) ; . 1 2 p n 3 n 3 p n 3 3 4 4 3

1.4.2. Giải phương trình phân thức

x n (

+ = 1)

= = x n ( ) c 2 os ; y n ( ) sin . ậ V y p n 3 p n 3 4 3

x 0

+ +

q s

px n ( ) rx n ( )

trong đó p, q, r, s là các hằng số, a cho trước.

Giả sử y n và ( ) ( ) z n là nghiệm của hệ phương trình sai phân

1 .

a z , 0

y n ( z n (

= + 1) + = 1)

+ py n ( ) + ry n ( )

qz n ( ) sz n ( )

x n ( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

y n ( ) z n ( )

Khi đó là nghiệm của phương trình đã cho.

= (đúng)

x 0

y z

a 1

Thậy vậy,

+ p q = = = x n ( + = 1) (đúng). + + + + + + q s y n ( z n ( 1) 1) py n ( ) ry n ( ) qz n ( ) sz n ( ) px n ( ) rx n ( ) + r s y n ( ) z n ( ) y n ( ) z n ( )

Thí dụ 1.4.4. Giải phương trình

x n (

+ = 1)

x 0

x n ( ) 2 + x n ( ) 4

Giải . Xét hệ

0 ,

y n ( z n (

+ = 1) = + 1)

z n y n ( ) 2 ( ) z n y n ( ) 4 ( )

- (cid:0) (cid:0) . (cid:0)

+ + - � y n y n y y n ( = 2) 5 ( 1) 6 ( ) , 0 , 2 . = 0 = - y 1

+ =

ươ ấ Phương trình c p hai trên có ph ng trình đặc trưng

l 5

6 0

2 ,

= 1

l � +

�

+ A

= A

= - B

y n ( )

n .3 ;

= 2 = = 0

;

= - = 2

A B y 1

�

y n = ( )

2.2

n 2.3 .

+ 1

n 2.3 n 2.3

- = - - � � z n 2 ( ) y n ( ) y n ( + = 1) 4.3 2 = x n ( ) . y n ( ) = z n ( ) 2.2 - + n 2

n 2.3 n 2.3

- = ậ V y x n ( ) . 2.2 - + n 2

Thí dụ 1.4.5. Giải phương trình sai phân

x n (

+ = 1)

x 0

x n ( ) 1 + x n ( ) 3

Giải. Xét hệ

1 ,

y n ( z n (

+ = 1) + = 1)

z n y n ( ) ( ) + z n y n ( ) 3 ( )

- (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ = + - � y n y n y n ( 2) 4 ( 1) 4 ( ), 1, 0. = y 0 = y 1

ươ ư ấ Phương trình c p 2 trên có ph ặ ng trình đ c tr ng

=� l

l 4

+ = 4

2 .

= = +

= -

�

0 + A Bn

y n ( )

(

n ).2 ;

= = 1

y 0

A y ; 1

�

y n ( )

n .2

- .

�

z n ( )

x n ( )

n + . n

y n ( ) z n ( )

1 1

- = x n ( ) . V y ậ + n n 1 1

ề ổ

ươ

ệ

ị

ng pháp hàm Lyapunov

ệ ươ

1.5. Các khái ni m v n đ nh và ph cho h ph

ng trình sai phân autonomous

ề ổ ị

ệ

1.5.1. Các khái ni m v n đ nh

ệ ươ ế Xét h ph ng trình sai phân phi tuy n (xem [11])

(cid:0) ( , ( ),..., ( )), (cid:0) (cid:0) + = 1) + = 1) ( , ( ),..., ( )), u n m u n m u n ( 1 u n ( 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + = 1) ( , ( ),..., ( )). f n u n u n ( ), 1 f n u n u n ( ), 2 1 ............................... u n ( m u n m f n u n u n ( ), m 1

Đ t ặ

( ),..., ( )) ( ,

2 M

( ),..., ( )) ( , u n m u n m = = f n u n u n ( ) ( , ( ))

( , ( ),..., ( )) u n m f n u n u n ( ), m 1 u n ( ) � � 1 � � u n ( ) � � 2 ; � � M � � u n ( ) � � m f n u n u n ( ), � 1 � f n u n u n ( ), � 2 � � � � � � � . � � � �

ủ ệ ượ ế ướ ạ Khi đó bài toán Cauchy c a h đ c vi i d ng : t d

= (cid:0) f n u n u n ( + = 1) ( , ( )), ) , , (1.12) u n ( 0 u n n 0

(cid:0) (cid:0) thành ph n ầ ơ (1 sả ử

iu và u n ( ) ng

if , 1 i m = u n n ,0) ( , 0

. Gi = 0. f n ( ,0) 0 ể ệ ệ ầ ườ ọ n (cid:0) trong đó u và f là các vect = v i m i ớ )m(cid:0) ﾥ đ h có nghi m t m th

ị ệ ệ ượ ọ

ầ " > e ng d e ế ớ ừ ấ ẳ ứ u n = c a h (1.12) đ ( ) ủ ( , sao cho t b t đ ng th c 0 )n 0 ổ ị c g i là n đ nh d< ||u || 0

ườ Nghi m t m th $ = d 0, n(cid:0) n u n ( ) || Đ nh nghĩa 1.6. theo Lyapunov, n u v i e< v i m i ọ ớ suy ra || .

0 ị ườ ệ ệ ầ ọ ị ng ổ c g i là n đ nh Nghi m t m th

0 ệ ế ổ u n = c a h (1.12) đ ( ) ủ Đ nh nghĩa 1.7. ị ậ ti m c n theo Lyapunov, n u nó n đ nh theo Lyapunov và sao cho m iọ

ượ h$ > = u n ( ) || 0 || ủ ệ ệ ề ệ ả nghi m u(n) c a h tho mãn đi u ki n h< thì lim || . (cid:0) (cid:0) ||u 0

ệ ệ ầ u n = c a h (1.12) đ ( ) ủ ng

0 ế ị ị ứ ị ổ ọ c g i là n đ nh ố d ươ ng ng, s

ề ộ ậ ụ ọ ượ ườ ị Nghi m t m th Đ nh nghĩa 1.8. ệ ề ổ đ u ( n đ nh ti m c n đ u) theo Lyapunov n u trong đ nh nghĩa t ượ đ c ch n không ph thu c vào a.

0 ị ệ ầ ườ ệ ượ ọ ị ổ c g i là n đ nh

(cid:0) Nghi m t m th u n ( ) ng u n n u ( , ) , ố ớ ế ệ ỗ u n = c a h (1.12) đ ( ) ủ ủ ệ ấ ẳ ứ ả Đ nh nghĩa 1.9. mũ n u đ i v i m i nghi m c a h tho mãn b t đ ng th c:

n a

(

)

- - (cid:0) (cid:0) u n e n a || ( ) || N u || || , ,

ố ươ trong đó N và a ằ là hai h ng s d ng.

ươ

ệ

ng pháp hàm Lyapunov cho h sai phân autonomous

1.5.2. Ph

Xét bài toán Cauchy: (xem [11])

= (cid:0) ﾥ f u n u u n u n ( + = 1) ( ( )) , (0) , , (1.13)

f ả ử (0) ậ ủ gi

0 0

u (cid:0) v i ớ = . Cho ( ,0,0) ướ

mﾥ W� V C [

W 0 u n f u (cid:0) ( ) = u n ( ) s ệ ầ ộ ậ ở nghi m t m th = và 0 ườ ng là m t t p m trong ố trong lân c n c a g c sao cho (1.13) có và ch aứ * W ụ ả ử ộ ị ng xác đ nh trên , và ố g c. Gi s V(u) là m t hàm liên t c vô h R , ]

V (0) = . 0

W ọ ị ươ ế c g i là xác đ nh d ng trên ỉ ế n u và ch n u

u (cid:0)

ị ( ) . V(u) đ Đ nh nghĩa 1.10 V u > v i ớ 0 * 0 , ượ W� . u

W V u (cid:0) ( ) 0 ượ ọ ử ị ươ c g i là n a xác đ nh d ng trên n u ế , v iớ

ỉ ả ạ ữ ị ị Đ nh nghĩa 1.11. ấ m i ọ ể i nh ng đi m xác đ nh) V(u) đ W� , (d u b ng ch x y ra t ằ u

W ị ượ ọ ử ị ị n u vàế

- W ( )V u V(u) đ ị c g i là xác đ nh âm ( n a xác đ nh âm) trên ươ ươ ử ị Đ nh nghĩa 1.12. ỉ ế ch n u ng ( n a xác đ nh d ng) trên . là xác đ nh d

f (cid:0) ị ượ ế ọ ộ ớ đ c g i là thu c vào l p K n u

Đ nh nghĩa 1.13. C Rr ), f+ ] , [[0, (0) Hàm ( )rf = và ( )rf 0 ặ tăng ch t theo r.

(cid:0) ụ ớ Vì ( )V u liên t c, v i r đ nh , ta có r d < (cid:0) ủ ỏ 0 c

(cid:0) (cid:0) V u V v V u V v ( ) , (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1.14) ( ) min d v r || ( ) max ( ), v || ||

||u ả r= . Trong (1.14) bên ph i là hàm đ n đi u c a r và ta có th ể ướ c (cid:0) ủ K ệ f x , ồ ạ ộ ớ trong đó || ượ l ơ i hai hàm sao cho : ng hàm này thu c vào l p K. Do đó t n t

f x (cid:0) (cid:0) u u (|| ||) V u ( ) (|| ||) . (1.15)

ể ị ừ ị ươ ư T đó có th đ nh nghĩa cho hàm xác đ nh d ng V(u) nh sau :

W ị ọ ị ươ c g i là xác đ nh d ng trên V(u) đ

ượ f (cid:0) f W V K � (0) 0 ( )r ộ V u u r ( ) ( ) , || r u , = || Đ nh nghĩa 1.14. = và t n t ồ ạ i m t hàm sao cho ỉ ế ế n u và ch n u * � .

= = r u u n ) u n ( ) ( ,0, S Σ u R { : || } ộ Đ t ặ Sr là t p ậ và

u || r< " (cid:0) u n n ( ) || || , ọ ệ

ấ b t k c a (1.13) sao cho u n ( ,0, ủ ủ ệ là m t nghi m ( )u n = ﾥ . D c theo nghi m ở ị ượ c xác đ nh b i

D - - V f u n V u n V u n ỳ ủ u c a (1.13) xét sai phân c a hàm V(u) đ ) 0 = = V u n ( ( )) ( ( )) ( ( ))) ( ( )) 1)) ( ượ . Hàm V(u) đ ọ c g i là

+ V u n ( ( hàm Lyapunov.

(cid:0) V u C S Rr [ ( ) ] , ị ướ ươ Gi ả ử ồ ạ s t n t i hàm vô h ng xác đ nh d ng sao Đ nh lý 1.2.

D (cid:0) u u n u u n ( ) ( ,0, ) ớ ả

cho u n || ( ) || ( ,0,0) 0 ườ ệ ầ ủ ổ ị ng ị = ủ c a (1.13) tho mãn = c a (1.13) là n đ nh. V u n ( ( ,0, )) 0 ấ ỳ ệ v i nghi m b t k r< . Khi đó nghi m t m th u n

f (cid:0) K ứ ị ộ Do V(u) là xác đ nh d sao cho i m t hàm

(cid:0) r (cid:0) Sr u (|| ớ ướ

d || (0) 0 0 ể ọ ượ ạ ồ ươ ng, t n t < < cho tr . V i ớ 0 e d e= ( ) ộ ố c m t s ||u 0

V f e ( ) ế ầ ườ ủ

= e (cid:0) Ch ng minh. f ọ u V u ( ) ||) v i m i = , ta có th ch n đ ệ . N u nghi m t m th u n u ( ,0, u n ( ) ) ) || || || ủ c a (1.13) sao cho

(cid:0) D (cid:0) u n ( 1 V u ( )) V u n ||u 0 u n ( ) || ( ( )) 0 khi || (1)N . Tuy nhiên do ụ c, vì V(u) liên t c và V u < d< thì > sao cho 0( ) ạ ồ ị ổ i ng c a (1.13) là không n đ nh, khi đó t n t d< tho mãn < v iớ r ả r< , ta có V u n ( ( ) và do 1

nghi m ệ 1n (cid:0) đó

f e < (cid:0) (cid:0) (cid:0) f ( ) (|| ) ||) )) V u ( ( ) , u n ( 1 V u n ( ( 1 f e ) 0

e< " (cid:0) u n n N || ( ) || , ế ẫ ậ ệ d< thì || ầ . Nên nghi m t m ||u 0

ủ ổ ị ẫ ớ d n t ườ th i mâu thu n. V y n u ng c a (1.13) là n đ nh .

(cid:0) V u C S Rr ( ) [ , ] ị ướ ị ươ Gi i hàm vô h ng xác đ nh d ng sao Đ nh lý 1.3.

ả ử ồ ạ s t n t a D (cid:0) - (cid:0) V u n u u n u ( ( ,0, )) ( ( ,0, ) ) ấ trong đó ệ và nghi m b t k ( )u n

cho = u n ( ,0, || ệ ầ ủ ả ỳ r< . Khi đó nghi m t m th ườ ng c a (1.13) tho mãn

u n 0 ( ,0,0) ủ ệ ậ ị u ) u n ( ) || = c a (1.13) là n đ nh ti m c n. ổ

ế ủ ị ượ r ứ ườ ả ử ồ ướ ủ ầ c tho mãn nên nghi m t m ạ i ệ s t n t c, gi

Ch ng minh. th d > ả Do các gi ổ ng c a (1.13) là n đ nh. Do đó v i 0 , ệ u n ( ,0, thi ị l > và m t nghi m ộ ( )u n = 0 ả t c a đ nh lý (1.2) đ < < cho tr ớ 0 e ả ủ u c a (1.13) tho mãn : ) 0

l < e �ﾥ u n n u � || ( ) || , , || < d || . (1.16)

l > (cid:0) " (cid:0) u n n N ( ) || ệ ả ồ ạ ằ Do nghi m này tho mãn

a (cid:0) " (cid:0) D (cid:0) (cid:0) u n d n V u n nên t n t - < d i h ng s n (|| ( ) ||) , ( ( )) 0 , ề || 0 , ﾥ . V y ta có ậ ố d > 0 sao ﾥ . Đi u này kéo

cho theo

- = + D (cid:0) - (cid:0) V u n V u l nd ( ( )) V u ( ) ( ( )) V u ( ) .

ị

ớ ẫ ơ ữ ả ử ề ả ị và v i ớ n đ l n v ph i tr thành âm, mâu thu n v i V(u) xác đ nh d không t n t ươ s trên. H n n a V(u(n)) xác đ nh d ả ở ế tho mãn đi u gi ủ ớ ồ ạ l i ng. Do đó ươ ng và là

= = V u n u n 0 ( ) || 0 ệ ậ ả hàm gi m theo ầ . V y nghi m t m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

n ậ

u n ( ,0,0) 0 ườ ủ ệ ị th ng . Suy ra lim || n nên lim ( ( )) = c a (1.13) là n đ nh ti m c n. ổ

= � V u C S ( ) [ , R V ] , (0) 0 ị ướ ng sao cho Đ nh lý 1.4.

ả ử ồ ạ Gi s t n t a D (cid:0) i hàm vô h a (cid:0) V u n u u n u u n ( ( ,0, ( ,0, )) ( ) ) ( ,0, ) ấ ỳ v i ớ ệ và nghi m b t k u c aủ 0

(cid:0) H Sr u n || ( ) || ủ ế ậ ả (1.13) tho mãn

0 sao cho ị ổ

0 ) 0 ( ,0,0) ườ ệ ầ ộ ể ( )u n = r< và n u trong m i lân c n H c a g c ố ( ọ V u > . Khì đó nghi m t m th u n ng ) t nồ = c aủ i m t đi m u

ạ t (1.13) là không n đ nh.

r > đ nh sao cho t p ỏ

r u Sr = Σ� u R { || } : || ủ ậ L y ấ Ch ng minh.

ứ = M 0 ị ụ (cid:0) r 1 V u max ( ) r u ||

0 ) < 0 || ế ồ ạ ọ ể ộ u thi t t n t i m t đi m ||u 0 r 1

= D , M xác đ nh vì V liên t c. G i R(cid:0) 0 � n N V u n u u n ( ) sao cho > ( ( )) ) , , . Đ tặ < < theo giả r V u > . D c theo 0( V u n là hàm tăng, ( ( )) ọ 1r là s tho mãn ố ả < và và do đó

nghi m ệ = V u ( (0)) V u ( ) 0 ề ệ ố

+ (cid:0) (cid:0) D nd n N V u n u n ( ,0, 0 > .Do đó nghi m u(n) này không đi v g c. Nên , ( ( )) V u ( ) V u n = > d ( ( )) 0 ả ủ ư ế , suy ra

0 ủ ớ

ậ ứ ể ớ ơ t ra ngoài t p inf n N(cid:0) ấ . Nh ng v ph i c a b t rS

u n ẳ n đ l n, khi đó đ ng th c này có th l n h n M khi 0 ( ,0,0) ( )u n s v ị ổ ườ ủ ầ ẽ ượ = c a (1.13) là không n đ nh. ệ nên nghi m t m th ng

ệ ươ ng trình sai phân Ví dụ : Xét h ph

2 1

2 u n 2

2 1

2 u n 2

(cid:0) - (cid:0) + cu n u n ( ) ( )( ( )) u n ( 1 u n ( ) 2 (cid:0) (1.17) + + (cid:0) (cid:0) + = 1) + = 1) cu n u n ( ) ( )( ( )) . u n ( 2 u n ( ) 1

2 u 1

2 2

= + W = * ằ ọ ị ươ u , ) ố trong đó c là h ng s , ch n hàm xác đ nh d ng trên . V u u ( 1

2 u n 2

D V u n u n ( ), ( = ( )) ( )) Khi đó . + 2 2 c u n ( ) ( 1

D V u n u n ( ), ( = ( )) 0 ủ ệ ầ c = thì 0

ế ầ ệ nên nghi m t m th ườ ườ ệ ủ c (cid:0) 0 ệ thì nghi m t m th ng c a h (1.17) là ổ ng c a h (1.17) là không n

Do đó n u ế ị ổ n đ nh. Tuy nhiên n u ị đ nh.

ệ

ươ

ng pháp hàm Lyapunov cho h sai phân không

1.6. Ph autonomous

Xét bài toán Cauchy: (xem [11])

= (cid:0) f n u n u n N a u n ( + = 1) ( , ( )); u a ( ) , ( ), (1.18)

(cid:0) (cid:0) i m )m(cid:0) ơ (1 . Gi sả ử

iu và ầ

(cid:0) ( ,0) 0 thành ph n ầ ệ , 1if ườ ấ ng. Ta th y hàm

ệ đ h (1.18) có nghi m t m th ộ trong đó u và f là các véct = v i m i n N a f n ( ) ể ệ ọ ớ ụ Lyapunov cho h này ph thu c vào n và u.

(cid:0) Sr ( )N a ị ị ướ ượ ọ Hàm vô h đ c g i là xác

(cid:0) V n ( ,0) 0 n N a ( ) ươ ế ọ ồ ạ ộ , và t n t i m t hàm

f Đ nh nghĩa 1.15. ị đ nh d f (cid:0) ỉ ế = δ� u Sr ng n u và ch n u V n u r ( ) ng V(n,u) xác đ nh trên = v i m i ớ n u r , ( , ) N a ( ) || ( , ), || K ( )r ế ị , và là xác đ nh âm n u

(cid:0) - sao cho rf ( ). V n u ( , )

(cid:0) Sr ( )N a ( , ) ị ướ ị ượ ng V n u xác đ nh trên đ ọ c g i là Hàm vô h Đ nh nghĩa 1.16.

(cid:0) V n ( ,0) 0 n N a ( ) ầ ả ế , và t n t ồ ạ i

x (cid:0) u Sr ỉ ế gi m d n (decrescent) n u và ch n u x= δ� r ( ), || V n u ( , ) || = v i m i ọ ớ N a n u r ( ) , ( , ) K ( )r ộ m t hàm sao cho .

= r (cid:0) u n ( ) u n a u ( , , ) ( )u n ấ ỳ ủ ệ Đ t ặ là nghi m b t k c a (1.18) sao cho v iớ

(cid:0) n N a ( ) ủ ệ ọ ố m i ọ . D c theo nghi m này ta xét s gia c a hàm V n u : ( , )

= + + - - D u n V n u n f n u n V n u n V n ( 1, ( 1)) = ( , ( )) + V n ( 1, ( , ( ))) ( , ( )) . V n u n ( , ( ))

ự ư ị

T ổ nh các k t qu trong tr ổ ả ậ ủ ng t ị ủ ệ ợ ầ ế ệ ườ ị ươ n đ nh và n đ nh ti m c n c a nghi m t m th ườ ng h p autonomous, hai đ nh lý sau xét tính ệ ng c a h (1.18).

ướ ị ươ ị δ V n u C N a ( ) [ ả ử ồ ạ s t n t i hàm vô h ng xác đ nh d ng Gi Đ nh lý 1.5. + ( , ) = D (cid:0) V n u n a u ( , ( , , )) 0 u n ( ) , S Rr , ] ớ sao cho ấ ỳ ệ v i nghi m b t k c aủ

u n || ( ) || u n a ( , 0 ,0) ệ ầ ườ r< . Khi đó nghi m t m th ng u n a u ) ( , = c a hủ ệ

ị ả (1.18) tho mãn ổ (1.18) là n đ nh.

f (cid:0) K ( , ) ồ ạ ộ ị ứ Do V n u là xác đ nh d i m t hàm sao cho

(cid:0) r Ch ng minh. f (cid:0) u V n u ( , ) (|| ||) ọ u c, vì

d || 0 ể ọ ượ ươ ng nên t n t < < cho tr . V i ớ 0 e d e= ( ) ộ ố c m t s ||u 0

f e ( , Sr ớ v i m i = , nên ta có th ch n đ ) ầ ế ườ ủ ị ng c a (1.18) là không n đ nh, thì t n t

( ) = ệ . N u nghi m t m th u n a u ( , ) , ) || || || ủ c a (1.18) sao cho

(cid:0) D (cid:0) ﾥ (1) u n V n u n ( , ( )) 0 ||u 0 khi || . Tuy nhiên do V n u liên t c và ( , ) ụ ướ d< thì > sao cho khi ồ ạ ổ i r< , d< tho mãn e (cid:0) u n ( ả 1 r< , ta có V n = ) 1( ( ) ||

(cid:0) , ( )) V a u ( , ) và do đó V n 0 ( ,0) V a u < u n ( ) nghi m ệ n$ 1 V n u n ( 1 1

f e < (cid:0) (cid:0) (cid:0) f ( ) (|| ) ||) ) V a u ( , ( ) , u n ( 1 V n ( 1 f e ) 0

e< " (cid:0) u n || ( ) || , n N a ( ) ẫ ệ d< thì || ầ . Nên nghi m t m ||u 0

ế ị ậ ổ ủ ẫ ớ d n t ườ th i mâu thu n. V y n u ng c a (1.18) là n đ nh.

ồ ạ ướ ị ươ ị δ V n u C N a ( ) ( , ) [ i hàm vô h ng xác đ nh d Gi sả ử t n t Đ nh lý 1.6. + a D (cid:0) - ng a (cid:0) V n u n a u ( , ( , , )) ( u n a u ( , , S Rr , ] sao cho

, u n a u ( , ) u n ( ) || ủ ả ệ ầ c a (1.18) tho mãn ) ) ấ ệ trong đó và nghi m b t r< . Khi đó nghi m t m th ườ ng

k ỳ ( )u n u n a ,0) ( , 0 ủ ệ ậ ị = || = c a (1.18) là n đ nh ti m c n. ổ

ế ủ ượ Do các gi r d > ứ ườ ệ ầ c tho mãn nên nghi m t m 0, ả ử ồ ạ i s t n t ả ướ c, gi

, ị t c a đ nh lý (1.5) đ ớ 0 e ) ủ < < cho tr ả ệ Ch ng minh. ổ ủ th ng c a (1.18) là n đ nh. Do đó v i l > và m t nghi m ộ ả thi ị ( )u n = u n a u c a (1.18) tho mãn: ( ,

l < e u n � n N a u � || ( ) || , ( ), || < d || .

l > (cid:0) " (cid:0) u n || ( ) || 0, n N a ( ) ệ ả Do nghi m này tho mãn

a (cid:0) " (cid:0) D (cid:0) (cid:0) d V n u n ồ ạ ằ nên t n t - < d u n , n N a ( ) ( , ( )) ố d > 0 sao i h ng s n N a ( ) 0, ( ) ||) (|| . Nên ta có . Đi uề

cho này kéo theo

- = + D (cid:0) - (cid:0) V n u n V l u l nd ( , ( )) V a u ( , ) ( , ( )) V a u ( , ) ,

ế

( , ( )) ề ươ i ị V n u n xác đ nh d ng. Do đó ng và

= V n u n u n ( ) || 0 0 ậ ệ ẫ ớ ơ ữ s trên. H n n a . Suy ra lim || ả là hàm gi m theo ầ . V y nghi m t m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

n ậ

u n a ( , ,0) 0 ườ ủ ệ ị v i ớ n đ l n v ph i tr thành âm, mâu thu n v i V(n,u) xác đ nh d ả ở ủ ớ ươ ồ ạ l tho mãn đi u gi ả ử ị ả không t n t = n nên lim ( , ( )) = c a (1.18) là n đ nh ti m c n. ổ ng th

ị ả ử ượ ệ ị ả Gi

ố ớ u n a ( , ,0) ệ ủ s các đi u ki n c a đ nh lý (1.5) đ ệ ầ ườ c tho mãn đ i v i hàm = 0 ầ ng

ờ ổ ề ị Đ nh lý 1.7. ả ồ V(n,u) , đ ng th i V(n,u) là gi m d n. Khi đó nghi m t m th ủ ệ c a h (1.18) là n đ nh đ u.

ị ươ i hàm

(cid:0) Do V(n,u) là hàm xác đ nh d f x (cid:0) (cid:0) ồ ạ Sr ầ ( )N a (|| ||) ớ ớ sao cho . V i m i

r V n u ( , ) d e= d ả ng và gi m d n, t n t ọ ( , )n u (cid:0) v i m i f e< x d ( ) 0 ượ ọ ứ

,0) ườ u (|| > sao cho ệ ủ ậ ậ ề ổ ị

n(cid:0) n ) || || u n ( ) || ả ử ề u ||) < < , ta ch n đ c u n a ( , ầ ng d< thì || và f , x ỗ e , ( ) ( ) ằ . Ta ch ng minh r ng = c a h (1.18) là n đ nh đ u. Th t v y n u ế ế . Vì n u gi s đi u này không 0 e< v i m i ọ ớ ứ Ch ng minh. K(cid:0) 0 e ệ nghi m t m th a(cid:0) u n 1n ( 1

e (cid:0) ) || || ) || || ồ ạ đúng thì t n t i và

d< mà ọ ớ v i m i

(cid:0) D (cid:0) , ( ( )) ) n 2 1 V n u n ( , ( )) 0 a(cid:0) V n u n (cid:0) ( , ( )) n> sao cho 1n nên < . Tuy r , do đó ta u n ( 1 V n u n 1 1 u n ( 2 n N n 1(

nhiên do có

f e f e (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f ( ) (|| ) ||) , ( ( )) , ( ( x )) (|| x d ) ||) ( ) ( ) . u n ( 2 V n u n 2 2 V n u n 1 1 u n ( 1

ẫ ớ ẫ ứ ề ả Mâu thu n này d n t i đi u ph i ch ng minh.

ủ ể ề ệ ệ ầ ị ườ ủ ệ Đ nh lý sau đây đ a ra đi u ki n đ đ nghi m t m th ng c a h sai

ổ ư ị phân (1.18) là không n đ nh.

δ V n u C N a ( ) ( , ) [ S Rr , ] ị ướ ả ử ồ ạ s t n t i hàm vô h ng sao cho: Gi Đ nh lý 1.8.

(cid:0) x (cid:0) x (cid:0) Sr ( )N a K V n u u ( , ) || (|| ||) ớ ọ ( , )n u (cid:0) i, || v i m i , trong đó ;

d > , t n t 0

|| ( , ọ ớ ii, V i m i d< sao cho V a u < ; ) 0 ồ ạ 0u v i ớ i ||u 0

f f (cid:0) D (cid:0) - K , )) (|| u n a u ( , , ) ||) ấ iii, ệ và nghi m b t k ỳ

0 ủ

V n u n a u ( , ( , = u n ( ) u n a u ( , ) , u n ( ) || || ả trong đó r< , c a (1.18) tho mãn

u n a ( , ,0) 0 ệ ầ ườ ủ ệ ổ ị Khi đó nghi m t m th ng = c a h (1.18) là không n đ nh.

ứ ầ ủ ệ ổ Gi ượ ạ c l e d e= || a ( , ) 0 ộ ố i m t s ườ ng c a h (1.18) là n đ nh. Khi d< , > sao cho d ị ||u 0

Ch ng minh. ọ ớ đó v i m i u n ( ) || ta có || ả ử s ng e > tho mãn ả 0 e< . T gi ế ừ ả thi ệ i nghi m t m th r< , t n t ồ ạ t (i) ta có

x < x e (cid:0) " (cid:0) V n u n u || ( , ( )) || (|| ||) ( ) n N a ( ) , ( )*

( , ( )) ừ ả ế T gi thi t (i) ta có V n u n là hàm gi mả

(cid:0) (cid:0) V a u ( , V n u n n N a ( ) ( , ( )) ọ ề ớ Do đó v i m i ta có < . Đi u này kéo theo ) 0

(cid:0) . | V a u ( , ) | V n u n | ( , ( )) |

x - (cid:0) ừ ả ế u n || ( ) || (| V a u ( , ) |) T gi thi t (i) ta có .

f D (cid:0) - V n u n u n ( , ( )) (|| ( ) ||) ạ ả ế L i theo gi thi t (iii) ta có

ấ ẳ ứ ượ ấ ổ L y t ng t ừ a đ n (ế k – 1) theo b t đ ng th c này ta đ c

= l a

- f (cid:0) - (cid:0) V n u n u l ( , ( )) V n u ( , ) (|| ( ) ||)

- f x - f x (cid:0) (cid:0) u n u n || ( ) || (| V a u ( , ) |) (|| ( ) ||) ( (| V a u ( , ) |)) . Tuy nhiên t ừ suy ra

Do đó ta có

- (cid:0) - - V n u n k a ( , ( )) V n u ( , ) ( f x ) ( (| V a u ( , ) |)) .

= - (cid:0) V n u n ề ẫ ớ lim ( , ( )) ẫ ớ ( )* ệ ậ Đi u này d n t i , mâu thu n v i ầ . V y nghi m t m (cid:0) (cid:0)

n ng c a h (1.18) là không n đ nh.

ủ ệ ổ ị ườ th

ƯƠ

NG 2

Ệ ƯƠ

Ế

H PH

NG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH

Ứ

Ụ

VÀ NG D NG

ơ ả

ủ

ệ

ươ

2.1. Các khái ni m c b n c a h ph

ng trình sai phân

ế

tuy n tính

ệ ươ

ế

ầ

2.1.1. H ph

ấ ng trình sai phân tuy n tính thu n nh t

ệ ươ Xét h ph ng trình sai phân: (xem [11])

1 n u n ( ) ( ) 1

2 n u n ( ) ( ) 2

m 1

+ (cid:0) ( ), (cid:0) + (cid:0) a n u n ( ) ( ) 11 a + = 1) + = 1) + + a ... m 1 + + a ... ( ), n u n ( ) m n u n ( ) m u n ( 1 u n ( 2 a n u n ( ) ( ) 12 a 22 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) a a a + + ... ( ). .......................... + = u n 1) ( m n u n ( ) m n u n ( ) ( ) 1 n u n ( ) ( ) 2

Đ t ặ

K n ( )

K a 1 a n ( ) n ( ) = = u n ( ) A n ( ) a n ( ) 11 a n ( ) 21 K a n ( ) 12 a m 22 2 K K K

K a a n ( ) n ( ) n ( ) u n ( ) � � 1 � � u n ( ) � � 2 ; � � M � � u n ( ) � � m � � � � � � a � m 1 � � � . � � � �

ệ Khi đó h trên có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

(cid:0) A n u n n u n ( + = 1) ( ). ( ) , , (2.1) n 0

A n ( )

(

( ))

a n ij

m m

u n ( )

( ),

( ),...,

( ))T

u n m

u n u n ( 1

(cid:0) (cid:0) ở ả ế đây và ta luôn gi thi t là

2 ế

ậ ma tr n không suy bi n.

u n (

A n u n n ( ). ( ),

n 0

+ = 1) =

)

u n ( 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Xét bài toán Cauchy : (cid:0)

ằ ồ B ng ph ng pháp truy h i chúng ta th y r ng bài toán Cauchy luôn có

ệ ượ ươ ệ ủ nghi m và nghi m c a bài toán Cauchy đ ằ ấ ở c cho b i

= - - A n n n> u n ( ) A n ( 1). ( 2)... ( 1). ( ọ ớ v i m i . + A n 0 A n u ). 0

ọ

ử ế

ở

ế

ậ

* H toán t

ti n hoá sinh b i ma tr n không suy bi n

s n(cid:0) ị ớ ỗ V i m i ký hi uệ Đ nh nghĩa 1.5.

= - - (cid:0) A n n U n s ( , ) A n ( 1). ( + A s 2)... ( A s 1). ( ) , s .

U n s { ( , )}n s n

)

(cid:0) (cid:0) ượ ế ậ ọ ọ ở Khi đó đ ậ c g i là h các ma tr n ti n hoá sinh b i ma tr n

( )A n , ặ

U n n ( , đ 0 ượ ọ

ượ ọ ơ ả ậ ẩ ắ ệ c g i là ma tr n nghi m c b n chu n t c

ậ hàm không suy bi n ế ( ma tr n Cauchy ) ho c còn đ c g i là hàm Green

ừ ị ủ ế ậ ậ ấ ọ ậ ớ T đ nh nghĩa c a ma tr n Cauchy và h các tr n ti n hoá ta th y v i

)

n(cid:0) Nh n xét: s m i ỗ thì:

U n n ( 0 0

U n s U n k U k s ( , )

( , ).

( , )

(cid:0) (cid:0) ớ * v i m i . ọ n k s

s .

( , )

( ,

)

U n s U n n U s n ( , 0

- (cid:0) ớ ọ * v i m i .

= u n u n n u ( ) : ( , , ) ủ Nghi m ệ c a bài toán Cauchy có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

0 u n U n s u s

0 ( , ). ( ) ,

= (cid:0) (cid:0) n ( , ( ) u n U n n u ). , (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n 0 s ( ) . n 0

n n 0

- = n n(cid:0) ( )A n ấ ằ ớ ọ A ) Khi A= là ma tr n h ng ta th y ậ v i m i . U n n ( , 0

ệ ươ

ế

ầ

2.1.2. H ph

ấ ng trình sai phân tuy n tính không thu n nh t

Xét bài toán Cauchy (xem [11])

b n

A n u n ( ). ( )

( ) ,

n(cid:0)

0 ,

+ = 1) =

)

u n ( u n ( 0

(cid:0) (cid:0) (2.2) (cid:0)

ﾥ

A n ( )

(

( ))

u n ( )

( ),

( ),...,

( ))T

b n (cid:0) , ( )

a n ij

m m

u n m

u n u n ( 1

(cid:0) (cid:0) trong đó và

= u n u n n u ( ) : ( , , ) ị ủ ệ ứ ở Nghi m ệ ị c a h (2.2) xác đ nh b i công th c Đ nh lý 2.1.

u n U n n u ).

( )

( ,

U n k b k ( , ). ( = + k n 1 0

- (cid:0) (2.3)

( )u n c a (2.2) d ủ

= u n U n n C n ( ) ( , ( ) ). ứ ướ ạ Ta tìm nghi m ệ i d ng (*) Ch ng minh.

u= ) ằ ươ ế ằ ố sao cho b ng ph ng pháp bi n thiên h ng s Lagrăng. u n ( 0

= = = � u ) ( ) ( ) ) ) . Vì u n ( 0 U n n C n , 0 0 C n ( 0 C n ( 0

ừ T đó ta có

= + + � u n U n n C n ( ) ( , ( ) ) u n ( + = 1) U n ( 1, ( 1) (2.4) n C n ) 0

+ = + u n ( + = 1) A n u n ( ) ( ) b n ( ) A n U n n C n ( ) ( , ( ) ) b n ( ) Mà

= + + b n U n ( 1, ( ) . (2.5) n C n ) ( ) 0

+ + + U n ( 1, ( + = 1) U n ( 1, b n ( ) ế ợ ượ K t h p (2.4) và (2.5) ta đ c n C n ) 0 n C n ) ( ) 0

+ C n U n

= ( )

(

n b n ). ( ) 0

- + D D U n ( 1, ) = C n ( ) b n ( ) suy ra hay . n 0

= C k ( )

+ 1 U k (

n b k ). ( ) 0

- - - D Do đó : .

�

= k n 0

( )

(

= )

( ,

C n C n 0

U k n b k ). ( = + k n 1 0

- - - (cid:0) Ta tìm đ c ượ .

(2.6)

( ,

)

U n k ( , )

U n n U k n ). 0

- ậ ượ Vì nên thay (2.6) vào (*) ta nh n đ c (2.3).

( )A n

A= là ma tr n h ng ta đ ậ

ệ ằ ượ c ả 1. N u ế H qu 2.

n n 0

u n ( )

u .

n i A b i . (

= + i n 1 0

- - - (cid:0) n ớ ọ v i m i n> 0.

(2.7)

ự ổ

ủ

ệ

ị

ươ

ế

ng trình sai phân tuy n tính

S n đ nh c a h ph

2.2. ầ

ệ ố ằ

ấ ớ

ậ

thu n nh t v i ma tr n h s h ng

ệ ươ ng trình sai phân: Xét h ph

n n(cid:0) u n ( + = 1) Au n ( ) , . (2.8)

Xét bài toán Cauchy:

(cid:0) (cid:0) u n ( Au n n ( ), , n 0 (cid:0) (2.9) + = 1) = (cid:0) u ) . u n ( 0

ằ ươ ủ ệ ấ ạ ồ B ng ph ng pháp truy h i ta th y nghi m c a bài toán Cauchy có d ng:

n n 0

u n ( )

- n n(cid:0) ,

n A n ,

= = ệ T n ( ) 0,1, 2,... Ký hi u

(cid:0) ﾥ là h n a nhóm các ma tr n sinh b i ma tr n A. N a nhóm

) ( ) n

T n ọ ử ử ậ ậ ở

(cid:0) ﾥ có các tính ch t sau:

ấ Khi đó ( ) ( T n ( ) n

= (cid:0) T E (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (0) + T n s T n T s n s ( ) ( ). ( ) , .

0 ế ọ ệ N u ch n n = . H .(2.8) có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng

= + = 1) Au n n ( ), 0,1, 2,... u n ( (2.10)

ẽ ươ ứ ớ Bài toán Cauchy (2.9) s t ng ng v i bài toán Cauchy

= (cid:0) Au n n ( ), 0,1, 2,.. u n ( (cid:0) (2.11) (cid:0) u + = 1) = u (0) .

= (cid:0) n u n ( ) T n u ( ) , 0. ủ ệ Nghi m c a (2.11) là:

ắ ạ ị ề ự ổ ủ ệ ầ ườ Chúng ta nh c l ị i đ nh nghĩa v s n đ nh c a nghi m t m th ủ ệ ng c a h (2.1) .

ị ườ ủ ượ ọ ị ng c a (2.10) đ

ệ Nghi m t m th $ = d ầ d e Đ nh nghĩa 2.2. e " ( ) ừ ấ ẳ ứ Lyapunov n u ế , sao cho t b t đ ng th c ổ c g i là n đ nh theo d< suy ra

( )u n

e< v i m i ọ ớ

> 0 , n (cid:0) 0 .

ự ổ ủ ệ ầ ị ườ ủ ề ổ ị Chú ý : S n đ nh c a nghi m t m th ng c a (2.10) là n đ nh đ u

ề ự ổ ủ ứ ệ ầ ị ị ườ c tiên ta ch ng minh đ nh lý v s n đ nh c a nghi m t m th ủ ng c a

ướ Tr (2.10).

ầ ệ ổ ị ỉ ồ ạ i

( )T n M(cid:0)

ườ Nghi m t m th ớ ươ ng c a h (2.10) là n đ nh khi và ch khi t n t ọ ủ n (cid:0) 0 ng sao cho v i m i ệ ta có ị Đ nh lý 2.2. ố M d ằ h ng s

. (2.12)

d =

ứ ề ệ ủ : Đi u ki n đ : Ch ng minh

e > b t k ta ch n ấ ỳ

> . Khi đó n u ế

d< ta có:

e =

ọ V i ớ

T n

u n ( )

T n u ( )

( ) .

M u .

(cid:0) (cid:0)

ầ ườ ủ ệ ổ ị ị ệ Do đó nghi m t m th ng c a h (2.10) là n đ nh theo đ nh nghĩa.

ề ầ ườ ủ ẽ ị ứ ổ ng c a (2.10) là n đ nh ta s ch ng

ầ Gi ệ ệ s nghi m t m th ỏ ượ ả ử ệ Đi u ki n c n: ề minh đi u ki n (2.12) đ c th a mãn.

e = t n t 1,

ậ ậ ườ ớ ị ồ ạ i

n =

0,1, 2,...

ầ d< 0 ệ Th t v y do nghi m t m th d > sao cho n u ế thì Do đó ổ ủ ng c a (2.10) là n đ nh nên v i nu < , 1

sup T n u ( ) u

(cid:0) . (cid:0)

1 1

d (cid:0) ẩ ủ ậ ị N u ế theo đ nh nghĩa chu n c a ma tr n suy ra (2.12).

N u ế ồ ạ ố i s 0M > sao cho: d < ta ch ng minh t n t 1 1 ứ

T n u ( )

sup d < u 1

(cid:0) . (cid:0)

ﾥ

u (cid:0) ả ử 0 s

ud= 0.

* 0

(cid:0) (cid:0) ệ ề ỏ ậ ậ Th t v y gi th a mãn đi u ki n , xét ph n t . ầ ử * u 0

u d

* 0

T n

T n u ( )

( ).

T n u ( )

* 0

u d

= d

Suy ra Khi đó:

* 0

T n u (cid:0) ( ) 1 Do nên:

( )T n u

n =

0,1, 2,...

1 d

(cid:0) ,

= M m M ax(1, ) Ch n ọ ta có:

T n u ( )

sup u 1

(cid:0) (cid:0)

n =

0,1, 2,...

( )T n M(cid:0)

ủ ậ ẩ ị Theo đ nh nghĩa c a chu n ma tr n ta có:

ừ ị ườ ủ ổ ị ng c a (2.10) là n đ nh

ế ớ ộ ủ ệ ậ Nh n xét ấ ả thì t ấ : T đ nh lý (2.2) ta th y n u nghi m t m th ệ t c các nghi m c a h là gi ầ ệ ượ ạ c l i n i và ng i

ủ ệ ượ ệ ổ ọ ậ ị c g i là n đ nh ti m c n

Nghi m t m th ượ ề ầ ị Đ nh nghĩa 2.3. ệ ế n u các đi u ki n sau đây đ ệ ườ ng c a h (2.10) đ ỏ c th a mãn.

ầ ườ ủ ổ ị ệ a. Nghi m t m th ng c a (2.10) là n đ nh.

ệ ỏ ủ ề ệ ọ ớ

= . 0

b. T n t h(cid:0) h > sao cho v i m i nghi m u(n) c a h th a mãn đi u ki n ồ ạ ệ i 0 u n thì lim ( ) (cid:0) (cid:0)

ị ệ ầ ườ ệ ủ ươ ổ ị ng trình sai phân (2.10) n đ nh Nghi m t m th

ng c a h ph q (cid:0) (0,1) ệ ỉ ồ ạ ố ự Đ nh lý 2.3. ậ ti m c n khi và ch khi t n t i s th c và 0M > sao cho:

n =

0,1, 2,...

q (cid:0)

(0,1)

(cid:0) Mq T n ( ) , (2.13)

M(cid:0)

T n ( )

ứ ề ừ Đi u ki n đ : ệ ủ Do nên t (2.13) ta có Ch ng minh :

ệ ầ ị ườ ủ ổ ị Theo đ nh lý 2.2 ta suy ra nghi m t m th ng c a (2.10) là n đ nh.

ặ ừ ấ ẳ ứ M t khác t b t đ ng th c

(cid:0) (cid:0) T n u M u q u n ( ) ( ) . ,n

h(cid:0)

u n lim ( )

= . 0

(cid:0) +(cid:0)

n u ế thì

ậ ầ ườ ủ ệ ậ ị ệ V y nghi m t m th ổ ng c a (2.10) là n đ nh ti m c n.

ủ ệ ườ ầ : Do nghi m t m th

M(cid:0)

( )T n

ệ Đi u ki n c n ổ ệ ệ ứ ề ị ề ổ ầ ồ ạ n đ nh và do đó đi u ki n (2.12) là th a mãn, t c là t n t ng c a h (2.10) là n đ nh ti m c n nên nó ỏ i ị ệ ậ 0M > sao cho

ặ ừ ề ủ ị ệ M t khác t đi u ki n (b) c a đ nh nghĩa 2.3 ta suy ra:

n n(cid:0) ớ ﾥ sao cho v i m i ọ ta có: ồ ạ 1n (cid:0) T n t i

T n u ( )

sup h u

(cid:0) . (cid:0)

ằ ứ ự ư ở ị ẽ ề ầ nh ứ ệ đ nh lý 2.1 (đi u ki n c n ) ta s ch ng

ươ n ng t n(cid:0) B ng cách ch ng minh t ọ ượ ằ ớ c r ng v i m i minh đ thì

( )T n

1 h

(cid:0) ,

< ). 1

e ế 1 t h

ấ ổ ể ả ( không m t t ng quát ta có th gi thi

= n s ộ ố ự Gi ả ử n là m t s t s ấ ỳ nhiên b t k , ta có ộ ố ự + trong đó k là m t s t kn 1

( )T n ta có:

(cid:0) (cid:0) 0 ấ ủ ử nhiên và . Theo tính ch t c a n a nhóm s m 1

+ = s ) ( T kn ( 1 T kn T s ). ( ) 1

T n ( )

) .

T s ( )

)

T s ( )

T kn ( 1

T n ( 1

e =

1 nn

(cid:0) (cid:0) ừ T đó .

< và đ t ặ

1 h

Ký hi u ệ < Ta có: q e= 1

n k 1

+ n k s 1.

- = = (cid:0) M T n ( ) . e 0 M q 0 M q q 0

= M M q

- Ký hi u ệ ta có:

(cid:0) n n(cid:0) T n Mq ( ) v i ớ .

ị ượ ứ Đ nh lý đ c ch ng minh .

ươ

ế

ệ

ng trình sai phân tuy n tính ệ ố ằ

ủ ấ ớ

ự ổ ầ

ị 2.3. S n đ nh c a h ph ậ không thu n nh t v i ma tr n h s h ng

ệ ươ Xét h ph ng trình sai phân:

+ (cid:0) f n u n n u n ( + = 1) Au n ( ) ( , ( )), , (2.14) n 0

ﾥ

A M

u n ( )

( ),

( ),...,

( ))

u n m

δ� ﾥ ( m

u n u n ( 1

(cid:0) trong đó

ﾥ

f n

( ,0)

0 ,

(cid:0) ệ ề ỏ th a mãn đi u ki n

ươ ủ ệ ế ấ ằ ố ằ ng pháp bi n thiên h ng s Lagrăng ta th y nghi m c a bài toán

B ng ph Cauchy

f n u n

Au n ( )

( , ( )) ,

+ = 1) =

)

u n ( u n ( 0

(cid:0) (cid:0) (2.15) (cid:0)

u n ( )

T n n u )

(

T n k f k (

(

)

u k 1, (

1)).

+ 0

= + k n 1 0

- - - - (cid:0) ạ có d ng:

f n u th a mãn đi u ki n:

ề ệ ỏ ả ử ( , ) Gi s

f n u ( , )

n u ( )

(cid:0) , (2.16)

( )na

ệ ề ỏ trong đó th a mãn đi u ki n

< +(cid:0)

[

]

(cid:0)

ka ( )

(cid:0)

(Gronwall Bellman) ổ ề B đ 1.

k k(cid:0) ả ử ớ ọ ấ ẳ ứ ỏ Gi s v i m i b t đ ng th c sau th a mãn

+ (cid:0) p q

u k ( )

l u l ( ) ( )

= l k

- (cid:0) . (2.17)

k k(cid:0) ớ ọ Khi đó v i m i ta có:

+ p q

u k ( )

l ( )).

= l k 0

- (cid:0) (cid:0) (2.18)

ứ ệ Ký hi u Ch ng minh :

= (cid:0)

v k ( )

l u l ( ) ( )

= l k

k k(cid:0) , + 0 1.

ố ớ Đ i v i hàm này ta có:

v k ( )

f k u k ( ) ( )

) 0 , v k = . (2.19) 0(

ừ T (2.17) ta có:

u k ( )

p qv k ( )

(cid:0) .

ừ T (2.18) và (2.19) ta suy ra

[

]

v k (

+ - 1)

= v k ( )

f k u k ( ) ( )

+ f k p qv k ( )

( )

(cid:0) ,

hay

v k (

[ + - + 1

] qf k v k ( ) ( )

pf k ( )

(cid:0) .

qf k ( )

> nên nhân c hai v c a b t đ ng th c trên v i ớ

= l k

+ (cid:0) qf (1 l ( )) ế ủ ấ ẳ ứ ả Do 1 ta

có :

)

v k (

l ( )

v k ( )

l ( )

pf k ( )

+ 1

l ( )

( �

= l k

- - - - - (cid:0) .

ấ ẳ ứ B t đ ng th c trên có th vi ể ế ạ ướ ạ i d i d ng t l

)

+ 1

l ( )

pf k ( )

l ( )

+ 1

( �

= l k

� v k ( ) � �

� � �

- - - D (cid:0) .

) ấ ổ ấ ẳ ủ ứ L y t ng c a các b t đ ng th c trên t và chú ý r ng ằ 1k - ừ 0k đ n ế v k = ta có: 0( 0

)

v k ( )

l ( )

( �

= l k

= l k 0

- - - - (cid:0) (cid:0) .

T đó ừ

(

)

v k ( )

p q .

t ( )

l ( ) t

= l k

= + l 1

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

Do (2.18) ta suy ra

(

)

u k ( )

p q .

t ( )

l ( ) t

= + l 1

= l k 0

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

ử ụ ứ S d ng công th c (xem [11] )

)

1 w( )

l 1 w( )

- - -

( �

(cid:0) � ( w(l) t

= l k

= + l 1

= l k 0

ậ ượ ta nh n đ c :

[

]

= l k

- + (cid:0) (cid:0) p qf u k ( ) 1 l ( ) .

ổ ề ượ ứ B đ đ c ch ng minh.

ở ộ (xem [11]) ổ ề : (Gronwall Bellman m r ng ) B đ 2

k(cid:0)

ả ử ớ ọ ấ ẳ ứ ỏ Gi s v i m i b t đ ng th c sau th a mãn

= l a

k(cid:0)

- + (cid:0) (cid:0) f u k ( ) p k ( ) q k ( ) l u l ( ) ( ) .

ớ ọ Khi đó v i m i ta có:

(

)

= + r l 1

- - + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) f u k ( ) p k ( ) q k ( ) p l ( ) l ( ) 1 q r f r ( ) ( ) .

( )aﾥ

v k xác đ nh trên

ứ ị ư nh sau: Ch ng minh: Xét hàm ( )

= l a

= (cid:0) f v k ( ) l u l ( ) ( ) .

= v k ( )

f k u k ( ) ( )

v k ta có: ( )

v k = . 0( 0 )

D ớ V i hàm ,

ừ ả ế ủ ổ ề T gi thi t c a b đ 2 ta có:

= l a

- + = + (cid:0) (cid:0) f u k ( ) p k ( ) q k ( ) l u l ( ) ( ) p k ( ) q k v k ( ) ( )

q k v k ( ) ( )

p k ( )

v k (do đó ( )

- (cid:0) ).

= v k ( )

f k u k ( ) ( )

�

+ - 1)

= v k ( )

f k u k ( ) ( )

D ừ ẳ ứ Do đó t đ ng th c

- - � v k ( v k ( ) ( ) ( )

v k ( q k f k v k ( ) ( ) ]

�

q k f k ( )

( )

[ + v k ( ) 1

q k v k ( ) ( )

v k (

f k p k ( ) ( )

- = q k f k v k ( ) ( ) ] = f k u k ( ) ( ) [ f k u k ( ) + - 1) + - 1) .

(

) 1

q l ( )

l ( )

= l a

- (cid:0) ế ớ ả Nhân c hai v v i ta đ cượ

]

v k (

q l ( )

l ( )

v k ( )

+ 1

q k f k ( ) ( )

f k p k ( ) ( )

q l ( )

l ( )

+ 1

[ � 1)

[ �

= l a

- - - - (cid:0) ,

hay

)

q l ( )

l ( )

v k ( )

p k f k ( )

( )

q l ( )

l ( )

+ 1

( �

= l a

k � ( � � � = a l

� � �

- - - D (cid:0) .

ứ ẳ ả ừ a đ n ế ử ụ và s d ng gi thi ế t 1k -

ấ ủ ổ ấ L y t ng c a các b t đ ng th c trên t v a = ta có: ( ) 0

)

q l ( )

l ( )

v k ( )

p l ( )

l ( )

t ( )

( �

= l a

- - - - (cid:0) (cid:0) .

ừ T đó ta có:

(

)

v k ( )

p l ( )

t ( )

l ( ) t

= l a

= + l 1

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

ử ụ ứ ấ ẳ S d ng b t đ ng th c

p k ( )

q k v k ( ) ( )

u k ( )

(cid:0) ,

ta có:

(

)

u k ( )

p k ( )

q k ( )

p l ( )

t ( )

l ( ) t

= l a

= + l 1

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

ậ ạ ể ứ ả c k t qu sau đây: (Xem trang Nh n xét:

} ( )u k

a a ,

1 , ...,

,...

ượ ế = ộ ớ ị 36 [11] ). Gi ằ B ng quy n p ta có th ch ng minh đ ả ử { s là m t dãy xác đ nh v i

Khi đó:

)

u k ( )

u l ( )

- - -

( �

(cid:0) � ( u l ( ) t

= l a

= + l 1

ả ử ề ệ s đi u ki n (2.17) đ Gi

ủ ệ ệ ổ ượ ầ ỏ ườ ủ ệ ệ ổ ị ị Đ nh lý 2.4. ườ th ị ng c a h (2.11) n đ nh thì nghi m t m th ầ ế c th a mãn, khi đó n u nghi m t m ng c a h (2.14) cũng n đ nh.

ứ ệ ả ử ( )u n là nghi m b t k c a bài toán Cauchy (2.15) ấ ỳ ủ s Ch ng minh: Gi

Khi đó:

u n ( )

T n n u )

(

T n k f k (

)

(

u k 1, (

1))

+ 0

= + k n 1 0

- - - - (cid:0) .

Do đó

T n k

u n ( )

(

) .

(

) .

f k (

u k 1, (

1))

T n n 0

= + k n 1 0

M(cid:0)

( )T n

(cid:0) - - - - (cid:0) .

ề Do ệ và do đi u ki n (2.17) ta có:

u n M u M

( )

(

u k (

= + k n 1 0

(cid:0) - - (cid:0) .

ổ ề ụ Áp d ng b đ Gronwall Bellman ta có:

(

)

u n M u

( )

ka (

= + k n 1 0

(cid:0) - (cid:0) .

< +(cid:0)

(cid:0)

( ))

n(cid:0)

= k n 0

(cid:0) ọ ớ nên v i m i ta có Do

(cid:0) u n ( ) . M u . 1

ầ ườ ủ ệ ề ổ ỏ ị ị ệ Do đó nghi m t m th ng c a h (2.14) th a mãn đ nh nghĩa v tính n đ nh.

ượ ỏ ệ Gi

ả ử ề ổ ầ ậ ị ế ủ ệ ườ ệ ầ c th a mãn. Khi đó n u nghi m t m ng c a h (2.14) cũng

Đ nh lý 2.5. th ổ ị ệ s đi u ki n (2.17) đ ủ ệ ườ ệ ng c a h (2.10) n đ nh ti m c n thì nghi m t m th ậ ệ ị n đ nh ti m c n.

ứ ừ ả ế ổ ậ ệ ầ ườ thi t n đ nh ti m c n c a nghi m t m th ủ ng c a h ệ

ủ q (cid:0) (0,1) ị ồ ạ T gi Ch ng minh: ị (2.2), theo đ nh lý 2.3 ta suy ra t n t i ệ 0M > và , sao cho:

n =

0,1, 2,...

(cid:0) Mq T n ( ) ,

ủ ệ Gi ả ử ( )u n là nghi m c a bài toán Cauchy (2.15). Khi đó s

= k n 0

= - - - - (cid:0) u n ( ) T n n u ) ( T n k f k ) ( ( u k 1, ( 1)) + 0 .

ề ệ Do đi u ki n (2.16) ta có:

= + k n 1 0

+ (cid:0) - - - - (cid:0) u T n k k u n ( ) ( ) . ( a ) . ( 1) u k ( 1) T n n 0 .

Do đó

n k

n n 0

= + k n 1 0

- - a (cid:0) - - (cid:0) Mq + u M q k u n ( ) ( 1) u k ( 1) .

- ế ớ ả Nhân c hai v v i ta có

n k

(

n 0

n q q

= + k n 1 0

- - - - + a ) (cid:0) - - (cid:0) M k u n q ( ) . ( 1) u k ( 1) M u q 0 .

ấ ẳ ứ B t đ ng th c này có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

n 0

- + k ( q

= + k n 1 0

- - + a 1) (cid:0) (cid:0) M u n q ( ) . k u k ( ) ( ) M u q 0 .

ừ ả ế ủ ị T gi thi t c a đ nh lý ta suy ra

n 0 1

- - - + (cid:0) Mq u u n q ( ) . .

Ký hi u:ệ

- = M Mq u .

Ta có :

n n 0

- (cid:0) u n M q ( ) .

n = và th c hi n quá trình l p lu n t

ế ọ ậ ươ ự ệ ậ ự N u ch n ng t ta có :

n =

0,1, 2,3,...

(cid:0) u n M q ( ) ,

ề ự ổ ủ ệ ầ ị ườ ng đ ượ c

ệ ủ ị ượ ừ ỏ ề ị ứ T đó các đi u ki n c a đ nh nghĩa v s n đ nh c a nghi m t m th th a mãn và đ nh lý đ c ch ng minh.

ủ ệ

ự ổ

ươ

ế

ị 2.4. S n đ nh c a h ph

ớ ng trình sai phân tuy n tính v i

ậ ệ ố ế ma tr n h s bi n thiên

ệ ươ Xét h ph ng trình sai phân:

u n

A n u n ( ) ( )

n n(cid:0) ( , , (2.20)

Xét bài toán Cauchy:

A n u n

u n (

( ) ( ),

n 0

+ = 1) =

)

u n ( 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (2.21) (cid:0)

ươ ủ ệ ạ ấ ồ ằ B ng ph ng pháp truy h i ta th y nghi m c a bài toán Cauchy có d ng:

= - - A n n n> u n ( ) A n ( 1). ( 2)... ( 1). ( ọ ớ v i m i . + A n 0 A n u ). 0

ủ ệ Nghi m c a bài toán Cauchy (2.21) có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

= n n(cid:0) u n U n n u ). ( ) ( , , .

ị ườ ủ ượ ọ ị ng c a (2.20) đ Đ nh nghĩa 2.4. :

ầ Nghi m t m th d e ệ $ = d " ( , ừ ấ ẳ ứ Lyapunov n u ế sao cho t b t đ ng th c ổ c g i là n đ nh theo d< suy ra )on

( )u n

e< v i m i ọ ớ

> 0 , n(cid:0) n .

ề ự ổ ủ ứ ệ ầ ị ị ườ c tiên ta ch ng minh đ nh lý v s n đ nh c a nghi m t m th ủ ng c a

ướ Tr (2.20)

ị ệ ầ ườ ệ ổ ị ỉ Nghi m t m th ng c a h (2.20) là n đ nh khi và ch khi t n t ồ ạ i

M(cid:0)

)

(cid:0) ủ n(cid:0) n 0 ươ ớ ọ ng sao cho v i m i ta có: Đ nh lý 2.6. ố M d ằ h ng s

U n n ( , 0

. (2.22)

d =

ứ ề Ch ng minh: ệ ủ Đi u ki n đ :

e > b t k ch n

> Khi đó n u ế

d< ta có:

ấ ỳ ọ V i ớ

M u

u n ( )

U n n u ( ,

)

) .

U n n ( , 0

e = . 2

(cid:0) (cid:0)

ầ ườ ủ ệ ổ ị ị ệ Do đó nghi m t m th ng c a h (2.20) là n đ nh theo đ nh nghĩa

ườ ủ ặ ổ ị ng c a (2.20) ho c (2.21) là n đ nh ta

ề ứ ỏ ả ử ệ ầ Gi ệ Đi u ki n c n: s nghi m t m th ượ ệ ề ch ng minh đi u ki n (2.22) đ ầ c th a mãn.

e = , t n t

ậ ậ ườ ớ ị ồ ạ i

n =

0,1, 2,...

ầ d< 0 ệ Th t v y do nghi m t m th d > sao cho n u ế thì ; ổ ủ ng c a (2.20) là n đ nh nên v i nu <

Do đó

sup U n u u ) ( , u

(cid:0) . (cid:0)

1 1

d (cid:0) ẩ ủ ậ ị N u ế theo đ nh nghĩa chu n c a ma tr n suy ra (2.22)

N u ế ồ ạ ố i s 0M > sao cho: d < ta ch ng minh t n t 1 1 ứ

U n n u ( , )

sup u

(cid:0) . (cid:0) (cid:0)

ﾥ

u (cid:0) ả ử 0 s

ud= 0.

* 0

(cid:0) (cid:0) ề ệ ỏ ậ ậ Th t v y gi th a mãn đi u ki n , xét ph n t , ầ ử * u 0

u d

* 0

U n n u ) ( ,

U n n u ( , )

ta có . Khi đó:

U n n ( , 0

* 0

u d

= d

* 0

U n n u (cid:0) ( , ) 1 Do nên:

U n n u ( , )

n =

0,1, 2,...

1 d

(cid:0) ,

= M m M ax(1, ) Ch n ọ ta có:

)

U n n u ( , 0

sup u 1

(cid:0) (cid:0)

ủ ậ ị ẩ Theo đ nh nghĩa chu n c a ma tr n ta có:

M(cid:0)

)

U n n ( , 0

n , n(cid:0) 0.

ị ượ ứ Đ nh lý đ c ch ng minh.

ộ ố ườ

0n = s, trong đó s là m t s nguyên tùy ý thì ổ ng c a h (2.11) là n đ nh ti m c n đ u. Ta có đ nh lý sau đây

Trong tr ườ ợ ng h p thay ủ ệ ề ệ ậ ị ị ậ Nh n xét: ầ ệ nghi m t m th

ầ ề ệ ổ ỉ

(cid:0) (cid:0) ệ ươ ồ ị ng c a h (2.20) là n đ nh đ u khi và ch khi t n ọ ủ n ị Đ nh lý 2.7. ạ ằ t i h ng s ườ Nghi m t m th ớ ng sao v i m i ta có ố M d

M(cid:0) U n s ( , ) .

ệ ươ ế ầ ấ Xét h ph ng trình sai phân tuy n tính không thu n nh t :

+ (cid:0) f n u n n u n ( + = 1) A n u n ( ) ( ) ( , ( )) ; , (2.24) n 0

Xét bài toán Cauchy :

f n u n

A n u n ( ) ( )

( , ( )) ,

+ = 1) =

)

u n ( u n ( 0

(cid:0) (cid:0) (2.25) (cid:0)

ươ ủ ệ ế ấ ằ ố ằ ạ ng pháp bi n thiên h ng s Lagrăng ta th y nghi m c a (2.25) có d ng

B ng ph :

u n U n n u

( )

( ,

)

u k 1, (

1))

U n k f k ( , ) ( = + k n 1 0

- - (cid:0) .

f n u th a mãn đi u ki n:

ệ ề ỏ ả ử ( , ) Gi s

f n u ( , )

n u ( )

(cid:0) , (2.26)

( )na

ề ệ ỏ trong đó th a mãn đi u ki n

< +(cid:0)

[

]

(cid:0)

ka ( )

(cid:0)

ả ử ề ệ s đi u ki n (2.26) đ Gi

ượ ầ ủ ệ ệ ổ ệ ổ ị ị Đ nh lý 2.8. ủ ệ ườ th ỏ ườ ị ng c a h (2.20) n đ nh thì nghi m t m th ầ ế c th a mãn, khi đó n u nghi m t m ng c a h (2.24) cũng n đ nh.

ứ ấ ỳ ủ ệ ả ử ( )u n là nghi m b t k c a bài toán Cauchy (2.25), khi đó s Ch ng minh : Gi

u n U n n u )

( )

( ,

1 ,

u k (

1))

U n k f k ( , ) ( = + k n 1 0

- - (cid:0) .

Do đó

U n k

u n ( )

) .

( , ) .

f k (

u k 1, (

1))

U n n ( , 0

= + k n 1 0

M(cid:0)

U n s ( , )

(cid:0) - - (cid:0) .

ề Do ệ và do đi u ki n (2.26) ta có:

u n M u M

( )

(

u k (

= + k n 1 0

(cid:0) - - (cid:0) .

ổ ề ụ Áp d ng b đ Gronwall Bellman, ta có:

[

]

u n M u

( )

ka (

= + k n 1 0

(cid:0) - (cid:0) .

< +(cid:0)

[

]

ka ( )

n(cid:0)

= k n 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) u n ( ) ọ Do ớ nên v i m i ta có . M u . 1

ệ ầ ườ ủ ệ ề ỏ ổ ị ị Do đó nghi m t m th ng c a h (2.24) th a mãn đ nh nghĩa v tính n đ nh.

ự ươ

ươ

ệ

ươ

ng đ

ậ ủ ng ti m c n c a các h ph

ng trình sai

2.5. S t phân

x n (

Ax n ( )

ươ Trong không gian Rn xét hai ph ng trình sai phân

y n (

Ay n ( )

B n y n ( ) ( )

(2.27)

, (2.28)

(cid:0)

L < +Σ � (cid:0) ﾥ A M ( ), B n ( ) trong đó .

ọ ử ậ ở ậ A. Khi đó T n (cid:0) ﾥ là h n a nhóm các ma tr n sinh b i ma tr n

T n ( )

ﾥ là ma tr n nghi m c b n chu n t c c a ph

(cid:0) ẩ ắ ủ ơ ả ệ ậ ươ Ký hi u ệ ( ( ))n ,n A n ng trình sai phân

(2.27).

( )nf

ẩ ắ ủ ơ ả ệ ử ụ là các ma tr n nghi m c b n chu n t c c a (2.28), s d ng

ươ ậ ố Ký hi u ệ ph ằ ng pháp biên thiên h ng s Lagrăng ta có

- f = + - (cid:0) n ( ) T n ( ) T n s B s ( ) ( ) .

U n s ( , )

f n ( ).

s ( )

} ( , ) n s n

- U n s (cid:0) (cid:0) ử ế Ký hi u ệ . Ta có { ọ là h toán t ti n hoá sinh

ậ ế ể ậ ị ( )A n . Đ xác l p đ nh lý ( ki u Levinson )

ổ ề ể ở b i ma tr n hàm không suy bi n ị chúng tôi xin trình bày đ nh nghĩa và b đ sau

ị ươ ượ ọ c g i là t

ươ ươ ng ồ ạ i ng trình (2.27) luôn t n t

ng ti m c n n u v i m i nghi m ươ ệ ậ ủ ng trình sai phân (2. 27) và (2.28) đ Hai ph Đ nh nghĩa 2.5. x n c a ph ( ) ớ ủ ọ ệ ế ệ ươ đ ả ng trình (2.28) tho mãn: nghi m y(n) c a ph

x n ( )

= y n ( ) || 0

(cid:0) +(cid:0)

- lim || (2.29)

ượ ạ ớ ươ ồ ạ ủ ọ c l i v i m i nghi m c a ph ệ i nghi m x(n)

ng trình (2.28) luôn t n t ấ ươ và ng ủ c a ph ệ ả ng trình (2.27) tho mãn tính ch t trên.

P R :

(cid:0) ế ệ Gi ả ử ồ ạ s t n t i phép chi u ề sao cho các đi u ki n sau tho ả

ổ ề B đ 3. mãn

< , n

T n P ( )

(cid:0) v i ớ 0 i. ||

T n P I

( )(

) ||

ﾥ ,

(cid:0) - (cid:0) ii. || v i ớ

T n P I )(

(

) ||

ﾥ , trong đó

T n (

- = )

T n [ ( )]

- (cid:0) - - (cid:0) iii. || v i ớ ,

< luôn t n t

ớ Khi đó v i b t k ﾥ sao cho ấ ỳ 0 ồ ạ 0n (cid:0) i

( ) ||

(

)

T s n B s 0

= s n 0

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) .

(0,1)

(cid:0) ị ả ử ồ ạ ố ươ Gi t n t s i các s d ng a, c, và phép chi uế Đ nh lý 2.9.

P R :

(cid:0) ề ệ ả sao cho các đi u ki n sau tho mãn:

ﾥ

a a

T n P ( )

(cid:0) " (cid:0) i. ||

T n I P

( )(

) ||

T n P I )(

(

) ||

ﾥ .

(cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) ii. || và || v i ớ

ươ ươ ươ ậ Khi đó các ph ng trình (2.27) và (2.28) là t ng đ ệ ng ti m c n.

T n I P

U n ( )

T n P ( )

V n ( )

( )(

)

- ứ Đ t ặ , . Ch ng minh.

T n ( )

T n P T n I P U n V n ( )

( )(

( )

= )

+ ( )

- Ta đ c ượ .

ﾥ

n k p ,

" (cid:0) Do đó

- - - - - - p T n k V k ( ) ( = p ) T n k T k ) ( ( = p I P )( ) V n ( ) . (2.30)

0n đ l n ta ủ ớ

ủ ươ ươ ứ Gi ng trình sai phân (2.28) , t ng ng

y n là nghi m c a ph ả ử ( ) ệ s y n (cid:0) 0( )

có ﾥ . Đ tặ

)

s B s y s ) ( ) ( )

x n ( 0

y n ( 0

V n ( 0 = + s n 1 0

(cid:0) - (cid:0) .

ệ ặ ươ M t khác nghi m các ph ng trình (2.27) và (2.28) có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng

= - x n ( ) ) ( ( ) T n n x n 0

) (

(

)

+ )

s B s y s ( ) ( ) )

T n n y n 0

T n n 0

V n ( 0 = + s n 1 0

(cid:0) - - - (cid:0)

) (

(

+ )

(

T n n y n 0

V n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0

(cid:0) - - (cid:0)

y n ( )

) (

(

+ )

T n s B s y s )

( ) ( ) ,

(

T n n y n 0

n 0

= + s n 1 0

- - (cid:0) (cid:0) và .

Nên

�

= + s n 1 0

�

� U n s V n s B s y s [ )] ( ) ( ) (

= + s n 1 0

�

U n s B s y s ( ) ( ) )

(

V n s B s y s ) ( ) ( )

(

(cid:0) - - - y n ( ) = - x n ( ) ( T n s B s y s ( ) ( ) ) ( + V n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0 (cid:0) = - + - - - ( ) ( + V n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0 (cid:0) = - - - - ( ( ( + V n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0 + V n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0 U n s B s y s ( ) ( ) ) = + s n 1 0 (cid:0) - - - .

�

= + s n 0 1

Suy ra

�

= + s n 0 1

(cid:0) - - - - || y n ( ) = x n ( ) || U n s B s y s ) ( ) ( ) ( V n s B s y s ( ) ( ) ) (

B s

V n s

B s

U n s (

) || ||

( ) || ||

+ y s ( ) ||

(

) || ||

( ) || ||

y s ( ) ||

(cid:0) (cid:0) - - .

� ||

= + s n 0 1

(cid:0) " (cid:0) K n || y n ( ) || , 0 ả ử i K sao cho ấ ổ , không m t t ng quát gi s n là s ố

ả ử ồ ạ Gi s t n t ẵ ch n, khi đó ta có

n s

(

)

B s

y n ( )

x x ( ) ||

+ ( ) ||

( ) ||

(cid:0) - - - (cid:0)

� ||

� e

= + s n 1 0

+ 1

n 2

B s

( ) ||

� ||

� e

= + s n 1 0

= + n 1 2

(cid:0) - + (cid:0) (cid:0) cK B s || ( ) || .

n- + . 1

ườ ố ẻ ợ ọ ố ổ Trong tr ng h p n là s l ta ch n s chia t ng là

e > bé tu ý, v i ớ

T > đ l n ta có ủ ớ

(cid:0) < +(cid:0) (cid:0) B s || ( ) || ỳ Vì , cho

n 2

+ 1

n 2

" >

n T

B s

aK 3

( ) ||

= + s n 1 0

v i ớ (cid:0)

" >

n T

= + n 2 1

e < (cid:0) B s || ( ) || v i ớ . aK 3

" >

n T

" >

n T

(cid:0) e < (cid:0) B s || ( ) || v i ớ . cK 3

ậ ớ V y v i ta có :

e e - (cid:0) y n ( ) x n ( ) . e e + + 3 3 = 3

y n ( )

= x n ( ) || 0

lim || (cid:0) +(cid:0) n

- ừ ị ượ ứ T đó suy ra . Đ nh lý đ c ch ng minh.

ế ấ ả ề ằ

ơ ị

ơ ấ ả ươ ơ ươ ủ ệ ệ ề ệ t c các giá tri riêng c a ma trân A đ u n m trong hình tròn đ n vi , t c các ệ ng ti m ằ ớ ộ i n i và các h (2.27) và (2.28 ) là t ị ề ng tròn đ n v đ u là đ n, thì t ng đ

ủ Hê quả: N u t ườ ờ ồ đ ng th i các giá tr riêng n m trên đ nghi m c a h (2.9 ) đ u gi c nậ

ộ ố

ụ

ủ

ươ

ụ ề ứ 2.6. M t s ví d v ng d ng c a ph

ng trình sai phân

ả ị ườ

ế ộ 2.6.1. Mô hình bi n đ ng giá c th tr

ổ a. Mô hình t ng quát

ộ i ta th

ị ườ ượ ườ ổ ầ

ế ố sau: l ể ườ ự ế ố ố ng quan tâm ng hàng hoá ng ả ủ ng hàm c u và s thay đ i giá c c a ộ ự ế ệ ữ này và s bi n đ ng

ủ ự ế Khi phân tích s bi n đ ng c a th tr ượ ế đ n các y u t ng hàm cung, l ể ấ hàng hoá đó. Đ có th th y rõ m i quan h gi a các y u t ự ủ c a chúng, chúng ta xây d ng mô hình sau đây

isQ ,

= i m 1, 2,..., ượ ủ ạ Ký hi u: ệ là l ng hàng cung c a lo i hàng hóa th ứ i ,

idQ ,

= i m 1, 2,..., ượ ầ ủ ứ ạ là l ng hàng c u c a lo i hàng hóa th i,

= = i m 1, 2,..., ả ủ ạ ﾥ là giá c c a hàng hóa th ứ i t ờ i th i

ể ả ờ ạ , ế ế đi m quan sát p i t (gi p t ( ) i thi , t (cid:0) ờ t t là bi n th i gian r i r c )

Gi ả ử s :

= p g t p p ( , ,..., ) , Q s i

= f p ,..., ) , Q d t p p ( , 1,

= i m 1, 2,..., , t (cid:0) ﾥ .

ươ ể ế ạ ễ ể ậ ứ ể ng pháp bi u di n ma tr n ta có th vi t l i các bi u th c trên ở

ử ụ S d ng ph d ng:ạ

= Q g t p ( , ),

s Q d

= f t p ( , ),

)

,..., , Q s Q s m Q Q , s s 1 trong đó: =

( (

)

,..., , Q d Q d Q Q , d d 1

= f f f , ,..., , f 1

( (

) )

= g g ,..., . g g , 1

ằ ự ế ủ ộ ị ườ ướ ằ ng có xu h ầ ữ ng cân b ng gi a cung và c u,

Chú ý r ng s bi n đ ng c a th tr ứ t c là:

Q Q= ,

Q Q- 0 hay , = d

ủ ượ ấ ứ ị ng đ

giá c a hàm c u th ươ ướ ế ự ế ể th i đi m tr ầ ừ ph c đó, nên t ườ ủ c n đ nh theo m c giá c a ộ ng trình trên ta có mô hình bi n đ ng

Tuy nhiên trong th c t hàm cung ị ườ th tr ở ờ ng sau:

(

)

(

) =

+ - f g t p t , ( 1) t p t , ( ) 0 .

ệ ươ ặ ạ Ho c ta có h ph

(

)

) =

+ - (cid:0) n ng trình sai phân d ng ( f n p n , ( ) g n p n , 1) ( 0, ﾥ ,

(cid:0) (cid:0) ﾥﾥﾥ ố ượ ế ự g f , : trong đó là các hàm s đ c các nhà kinh t xây d ng tùy theo

ị ườ ạ lo i hàng hóa và th tr ng mà chúng ta đang quan sát .

ị ườ ộ ạ b. Mô hình th tr ng m t lo i hàng hóa

ủ ạ ộ

ộ ủ ượ

ị ườ ạ ự ụ ế ố ng hàng hoá, các nhà kinh t ng cung và l ổ ạ ả ế ọ ử ụ h c s d ng ầ ượ ng c u vào ủ ế khác không thay đ i ). D ng tuy n tính c a t các y u t

Khi phân tích ho t đ ng c a th tr ể ể ầ hàm cung và hàm c u đ bi u đ t s ph thu c c a l ế ớ thi giá hàng hoá ( v i gi ư ầ hàm cung và hàm c u nh sau:

, Hàm cung: = - + a 0 a p 1

- , ầ Hàm c u: = dQ b 0 b p 1

sQ là l

ượ ứ ượ ườ ằ trong đó ng cung, t c là l ng hàng hoá mà ng i bán b ng lòng bán;

dQ là l

ượ ứ ầ ượ ườ ằ ng c u, t c là l ng hàng hoá mà ng i mua b ng lòng mua;

0a , 1a , 0b , 1b là các h ng s d

ố ươ ằ p là giá hàng hoá; ng.

ị ườ ằ ạ Mô hình cân b ng th tr ng có d ng:

(cid:0) (cid:0) , , = - + a 0 = - + a 0 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) , (cid:0) a p 1 b p 1 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) a p 1 b p 1 . . Q s = Q b d 0 = Q Q d Q s = Q b d 0 = a p 1 - + a 0 , b p 1 b 0

ả ươ ượ Gi i ph ng trình này ta tìm đ c

= p ; ằ Giá cân b ng: + + a 0 a 1 b 0 b 1

- = . ượ L ằ ng cân b ng: = Q Q d + a b 1 0 a 1 a b 0 1 b 1

= p p t ( ) ộ ạ ượ ằ ả ụ ờ ộ Chú ý r ng giá c hàng hoá là m t đ i l ng ph thu c vào th i gian t, ,

ủ ượ ấ ứ

ườ ươ ự ế ể th i đi m tr ầ giá c a hàm c u th ừ ướ ph c đó, nên t ị c n đ nh theo m c giá ng đ ế ng trình trên ta có mô hình bi n

ị ườ Tuy nhiên trong th c t ủ c a hàm cung ộ đ ng th tr ở ờ ng sau:

, t = 0 ,1,2… (2.31)

- - + a 0 + = a p t ( 1) 1 b 0 b p t ( ) 1

ệ ươ Hay ta có h ph ng trình sai phân:

ﾥ , (2.32)

a p t ( + = 1) p t ( ) + , t (cid:0) b

trong đó :

+ b 0 a 0 a = - b = , . b 1 a 1 a 1

ử ụ ụ ệ ế ươ S d ng ký hi u thông d ng ta vi t ph ng trình sai phân nh n đ ậ ượ ướ ạ c d i d ng

a + b (cid:0) ﾥ n p n ( + = 1) p n ( ) , . (2.33)

0, khi đó ta có:

ả ử ằ ả ạ ể ầ ờ ượ Gi s r ng giá c t i th i đi m ban đ u t = 0 đã đ ị c xác đ nh là p

= a p(1) + b p 0

= a p(2) )

= a (1 ) + b + a p (1 0 + b + a + a p 0

n 1

p(3) KKKKKKKKKKKK - = a p(n) (1 ... ). + b + a + a + + a 2 p 0

n 1

(cid:0) - a a (cid:0) (cid:0) - khi 1, = - a (cid:0) + a + a + + a ... 1 Vì (cid:0) a = (cid:0) 1 1 n khi 1.

Nên

- a = a a (cid:0) p(n) khi = 1 , n 0,1, 2,... + b p 0 - a 1 1

ậ Nh n xét:

b a < ộ ụ ế ằ - < 1 0 * N u ế thì ( )p n h i t ị đ n giá tr cân b ng . a - 1

(

) 1

( = -

) 1

- - 1 a = - b 1 * N u ế thì p n ( ) + p 0 2

ẵ ớ . V i n ch n thì ( )p n = 0p

= - b ( )p n ớ ẻ . V i n l thì + p 0

a < - 1 * N u ế thì ( )p n tăng vô h n. ạ

- ừ ả ị ườ ổ ủ ế ị ự T đó ta th y t ấ ỷ ố s quy t đ nh s thay đ i c a giá c th tr ng theo các kh ả b 1 a 1

năng sau:

ả ế ế ầ ằ ộ ộ ờ ộ ị . Giá c bi n đ ng và sau m t th i gian thì d n đ n m t giá tr cân b ng;

ả ộ ở ứ . Giá c luôn dao đ ng hai m c khác nhau;

ả ế ụ ạ ộ ờ . Giá c bi n đ ng liên t c và tăng vô h n theo th i gian.

ệ ượ

ạ

ế

ệ (xem [2])

2.6.2. Hi n t

ệ ng “m ng nh n” trong kinh t

nông nghi p

ấ ự ế ả ườ i nông dân m t s n

ệ i th

ế ị ự ệ ủ s n xu t nông nghi p c a ng ố ệ ả ườ i nông dân th

ộ ạ Trong th c t ế ớ ườ trên th gi ả ạ m t lo i nông s n nào đó c a ng ả lo i hàng nông s n này đ ở ộ ố ướ c ồ ng x y ra tình hu ng sau. Vi c quy t đ nh di n tích gieo tr ng ả ủ ơ ở ườ ủ ng d a trên c s giá c c a ả ọ ự ế ằ ượ c bán ra trong năm. Vì h d ki n r ng giá nông s n

ả ạ ế

ồ ạ ề ở ứ ổ ẽ ả

ị ế ị ạ

ả ầ c thu ho ch và đem nông s n ra ngoài th tr ng c u, giá gi m nên ng

ụ ả

ườ ạ

i tăng, do đó ng ể ặ i nông dân l ặ ạ ủ ẽ nào s duy trì m c n đ nh nên n u giá bán c a lo i hàng nông s n nào đó cao, ơ ế ườ i nông dân s quy t đ nh tr ng nhi u lo i nông s n đó h n. Năm ti p theo ng ượ ị ườ ả ụ ượ ng bán, l ng cung khi v mùa đ ớ ắ ệ ườ ả ượ ẽ ượ i nông dân bèn c t gi m b t di n tích t quá l s v ượ ứ ủ ạ ồ ạ ượ c thu ho ch, l gieo tr ng lo i nông s n này. Khi v mùa c a năm th ba đ ng ẫ ớ ầ ơ ượ ể ấ ả ạ ủ cung c a lo i hàng nông s n nói trên có th th p h n l i giá nông ng c u d n t ạ ế ụ ả ệ ỉ ề ạ s n lo i này l i ti p t c đi u ch nh di n tích gieo ờ ộ ồ i trong m t th i gian dài. tr ng và quá trình này có th l p đi l p l

ọ ể

ề ặ i d ng các ph ễ ự ộ ng t

ả ị ườ ứ ầ ự ng ng v i l các đ

ứ ậ ượ ừ c t ệ ổ ổ ủ ệ ượ ng này ườ ng cong ng hàng hoá cung ễ ể ng cong bi u di n ọ ườ ườ ng g i i ta th

ệ ượ ệ ạ ặ V m t phân tích toán h c, chúng ta có th mô hình hoá hi n t ồ ị ươ ướ ạ ấ d ng trình sai phân c p m t và xây d ng đ th các đ ớ ượ ươ ủ ộ ể bi u di n s dao đ ng c a giá c th tr ườ ừ và c u thay đ i theo t ng năm. B c tranh nh n đ ả ồ ạ ố ự s thay đ i c a giá c tr ng gi ng nh m t m ng nh n, nên ng ệ là hi n t ư ộ ạ ng m ng nh n ho c chu trình m ng nh n (Cobweb cycles).

ứ ụ ẽ ố ộ ờ Sau đây chúng ta s song song nghiên c u ba hàm s ph thu c vào th i

ạ ờ ạ ể gian t, t i các đi m r i r c t = 0, 1, 2, …

ố ơ ấ ở ờ ể ả ị St là s đ n v hàng hoá có kh năng cung c p ọ th i đi m t, g i là hàng hoá

cung.

ố ơ ị ườ ị ỏ ở ờ Dt là s đ n v hàng hoá mà th tr ầ ng có yêu c u đòi h i ọ ể th i đi m t, g i

là hàng hoá c u.ầ

ộ ơ ị ạ ể ờ p(t) là giá hàng hoá trên m t đ n v hàng hoá nói trên t i th i đi m t.

ộ ố ả ị ẽ ư ự ự ư ệ D a vào quan sát th c nghi m chúng ta s đ a ra m t s gi đ nh nh sau:

(a) S l ể

ụ ộ ng hàng c u luôn luôn ph thu c vào giá bán hàng hoá này t ạ i

ố ượ ứ ồ ạ ờ th i đi m đó, t c là t n t ầ i hàm f sao cho:

Dt = f(p(t)).

ả ủ ụ ạ ộ ng hàng cung ph thu c vào giá c c a lo i hàng hoá này ở ờ th i

ồ ạ ộ ố ượ (b) S l ứ c đó, t c là t n t ỳ ướ k tr i m t hàm g sao cho:

St + 1 = g(p(t)).

ả ị ườ ộ

ễ ở ng hàng ng cung

ủ ị ậ ệ ầ ượ ủ ằ ạ ở ượ ị ượ ng c a m t lo i hàng hoá đ c xác đ nh b i l ượ ứ ạ i m c giá mà hoá cung hi n có và các giao d ch mua bán di n ra t đó l ươ ệ t là nghi m c a ph ng trình và l ng c u b ng nhau, vì v y p

St = Dt.

ướ ế ế Gi

ầ i th i đi m đ u tiên t = 0) thì ta có th tính đ ị ứ t giá tr p 0 (t c là giá ượ ượ ng hàng c l

ể ằ ạ ể ả ị ự ờ ữ ả ử s f và g là nh ng hàm cho tr ờ ặ ả ủ c c a m t hàng t ạ cung S1 t o th i đi m t = 1 b ng cách d a vào gi c, n u chúng ta bi ể đ nh (b):

S1 = g(p0).

ể

ư ậ ị ả ị ả ị đ nh (c) ta có th tính đ 1 = S1 , nh v y ta xác đ nh đ ượ ượ c l ượ c p ng hàng c u t 1 theo gi ờ ầ ạ ứ đ nh (a) t c là tính p ể i th i đi m t = 1 là 1 từ

Theo gi D1 (vì r ng Dằ ệ ứ h th c:

D1 = f(p1).

ẽ ượ ộ Quá trình này có th ti p t c và chúng ta s tính đ c m t dãy các giá tr ị

0, p1, p2, …, pn, …

ể ờ ả ạ ể ế ụ i các th i đi m khác nhau p giá c t

ộ ề ữ ượ ấ M t trong nh ng v n đ quan tr ng đ

ả ệ ộ

ế c các nhà kinh t ổ ủ ộ ố ộ ườ ể ộ ể ẽ ợ

ạ ụ ể ườ ễ ụ ỉ ạ ế ợ

ấ ặ ự ế ọ và các doanh ả ệ nghi p quan tâm là kh năng dao đ ng và dáng đi u thay đ i c a giá c và các ấ ố ả ậ ủ ườ ng cong bi u di n quy lu t c a giá c hàng hoá trong m t s tình hu ng nh t đ ả ơ ị đ nh. Đ có m t ví d minh ho c th chúng ta s xét m t tr ng h p đ n gi n ế ng h p các hàm f và g là các hàm tuy n tính nh t. Trong đó ch h n ch xét tr ho c t a tuy n tính.

ừ ả ị ậ ượ ươ ấ T các gi đ nh (a), (b), (c) ta nh n đ c các ph ộ ng trình sai phân c p m t

sau đây:

Dt = – md.p(t) + bd , (2.34)

St + 1 = ms.p(t) + bs , (2.35)

St + 1 = Dt + 1, (2.36)

(md > 0, bd > 0, ms > 0, bs > 0).

ộ ố ủ ườ ổ ủ ượ ị ự ng cong bi u th s thay đ i c a l

ể ổ ủ ượ

ể ị ự ộ ố ủ ườ ng cong bi u th s thay đ i c a l ầ ộ ố ủ ườ ng hàng hoá ng hàng hoá cung. ấ ươ t ng, t ng cong cung là d

ố ươ ề ằ Trong đó – md là đ d c c a đ c u, mầ s là đ d c c a đ ộ ố ủ ườ Đ d c c a đ ạ ượ ả c các đ i l ng cong c u là âm và đ d c c a đ d, bd, ms, bs đ u là các h ng s d ng m ng.

ứ ậ ộ

ể ế ụ ươ ủ ề ộ ươ ấ ộ ả ị ườ ng chúng ta ấ ng trình sai phân c p

Đ ti p t c nghiên c u quy lu t dao đ ng c a giá c th tr ư ệ đ a h 3 ph ng trình sai phân c p m t trên v m t ph ộ m t . Thay (2.34) và (2.35) vào (2.36) ta có:

msp(t)+ bs = – mdp(t+1) + bd ,

ho c ặ p(t+1) = Ap(t) + B,

s m

- b b = - A = , B . trong đó m m

ử ụ ụ ệ ế ươ ậ S d ng ký hi u thông d ng ta vi t ph ng trình sai phân nh n đ ượ ướ i c d

d ngạ

p(n+1) = Ap(n) +B, n = 0, 1, 2, … (2.37)

ấ ằ ủ ễ ệ ươ ạ D dàng th y r ng nghi m c a ph ng trình có d ng:

- + = (cid:0) = p(n) A p B khi A 1, n 0,1, 2,... - 1 A 1 A

* là m t nghi m riêng c a ph ệ

= ầ ủ ộ ươ ta th y p(n)= p ng trình Ký hi u ệ p -

0 có th vi

ệ ằ ầ ả ệ B 1 A ề ủ c a (2.37) tho mãn đi u ki n ban đ u b ng p ể ế t

(2.37). Nghi m p(n) ướ ạ d i d ng

n A p ( 0

* * = - (cid:0) p p khi A = n p n ( ) + ) 1, 0,1, 2...

ậ Nh n xét:

ự ủ ể ộ t A < 0 nên s dao đ ng c a dãy {p(n)} có th phân chia theo

ườ ế ả Theo gi thi ợ ng h p sau: các tr

ế ả ẽ ướ * N u –1 < A < 0 thì giá c p(n) ổ s thay đ i theo xu h ả ộ ng dao đ ng, gi m

= ộ ụ ế ằ p ầ d n và h i t ị đ n giá tr cân b ng ; - B 1 A

ữ ạ ế ộ ả * N u A = –1 thì giá c dao đ ng là h u h n;

ế ẽ ạ ộ * N u A < –1 thì dao đ ng s là vô h n.

ầ

ệ ủ ế ị ng cong cung và đ ườ ng cong c u nên t ộ ủ ể ỷ ố ườ s ả ị ự ế ng cong bi u th s bi n đ ng c a giá c

Vì A là t ẽ ị ườ ỷ ố ữ ộ ố ủ ườ s gi a đ d c c a đ này s quy t đ nh dáng đi u c a các đ th tr ng.

ụ ể ạ

ợ ươ ứ ườ Trong các hình v sau đây chúng ta có th quan sát các ví d minh ho trong 3 ng h p t ẽ ng ng là tr

–1 < A < 0 (hình a), A = –1 (hình b), A < –1 (hình c)

St+1

p1 p3 p*p4p2 p0

(a)

p1 p* p0

St+1

(b)

p3 p1 p* p0 p2 p4 pt

St+1

(c)

ư ứ ự Đ xây d ng các đ

ể ắ ầ ừ ng cong t ượ ể ế ề ứ ằ ẳ ị B t đ u t ườ ẽ 0 ta s tìm đ ươ c S ng ng chúng ta có th ti n hành nh sau: ớ ể 1 b ng cách di chuy n chi u th ng đ ng t i giá tr p

t+1), sau đó di chuy n theo chi u ngang (do D

ể ị ể

ng cung (S ể

t. Khi đó p1 ta l ng cung S

1 = S1) đ tìm giá tr D ể i có th xác đinh S ầ ng c u D

2 t cho

ủ ườ ườ ề ụ 1 trên tr c giá p ể ượ 2… Giao đi m c a đ ị c p ạ t+1 và đ

* là m c giá cân b ng.

ứ ằ ườ đ và đi m này giúp ta xác đ nh p sau đó là D2 và tìm đ ta giá tr pị

ạ ươ

ố

2.6.3. Mô hình ngo i th

ng đa qu c gia

(xem [2])

ế ị ộ ứ ụ ẽ

ỏ ủ ấ ươ

ế ị ế ả ề ặ ộ Trong ph n này chúng tôi s trình bày m t ng d ng nh c a lý thuy t đ nh ụ ng trình sai phân. Qua ví d này chúng ta th y lý thuy t đ nh tính ứ ọ ng trình sai phân có m t vai trò quan tr ng c v m t lý thuy t và ng

ầ ủ ệ tính c a h ph ươ ủ c a ph ờ ố ụ d ng trong đ i s ng hàng ngày.

ổ a . Mô hình t ng quát:

ậ ổ ổ ủ ộ T ng thu nh p c a c ng đ ng bao g m:

ị ấ ổ ồ ẩ ồ T ng tiêu dùng (C) + T ng chi phí ẩ ổ ậ ổ ầ ư đ u t (I) + T ng giá tr xu t kh u (X) T ng chi phí nh p kh u (N).

Ký hi u: ệ

ậ ổ ố Y = T ng thu nh p qu c dân;

ấ ẩ ổ ị X = T ng giá tr xu t kh u;

ổ C = T ng tiêu dùng;

ầ ư ổ I = T ng chi phí đ u t ;

ẩ ậ ổ N = T ng chi phí nh p kh u.

Ta có: Y = C + I + X – N. (a)

ể ể ế ậ ế ươ ứ ộ ố ả ổ ế Đ có th thi t l p mô hình kinh t ng ng ta b sung thêm m t s gi t thi t:

ờ ạ ể ờ ờ Th i gian th i đi m quan sát r i r c: n = 0, 1, 2,… ch ỉ

ể ờ (a) Th i đi m quan sát: ớ ướ ứ c th i. ố ứ s i ng v i n

ỉ ệ ầ ậ ớ (b) Nhu c u tiêu dùng (C) luôn t l thu n v i thu nh p ậ ở ờ ỳ ướ th i k tr c đó

theo quy lu t:ậ

* a + , C n ( + = 1) Y n C . ( )

ụ ầ ổ ị ị ố ể ộ i thi u cho cu c

0(cid:0)

ọ trong đó C* = t ng các giá tr hàng hoá và d ch v c n dùng t ố s ng; ệ ố g i là h s tiêu dùng.

ầ ư ổ ậ ớ ậ (c) T ng đ u t (I) t ỷ ệ l thu n v i thu nh p ậ ở ờ ỳ ướ th i k tr c đó theo quy lu t:

* b + , I I n ( + = 1) Y n . ( )

* = kinh phí t ở đây I ấ ả s n xu t và kinh doanh;

ố ể ế ụ i thi u ph i đ u t ạ ộ đ có th ti p t c duy trì các ho t đ ng b ể 0(cid:0) ả ầ ư ể ọ ệ ố ầ ư g i là h s đ u t .

ẩ ỷ ệ ậ ổ ớ ổ ậ (d) T ng chi phí cho nh p kh u t l thu n v i t ng thu nh p ậ ở ờ ỳ ướ c th i k tr

đó theo quy lu t:ậ

* g + , N n ( + = 1) Y n N . ( )

* = chi phí t

ở ố ể ữ ạ

ể 0(cid:0)g ẩ ấ ượ ậ ọ ệ ố ậ i thi u cho nh p kh u (chi phí đ nh p nh ng lo i hàng hóa ẩ g i là h s nh p kh u; c); ậ ự ả s n xu t đ b < + a g ố ự ế ể đây N ế ế thi ợ ể Đ phù h p th c t t y u mà qu c gia đó không t ta có th coi .

ủ ướ ẩ ứ ằ ậ ổ ấ (e) T ng giá tr xu t kh u (X) c a n ẩ ố c th i b ng t ng s chi phí nh p kh u

ổ ướ ị c khác nên ta có: ừ t các n

= 1

= (cid:0) X b . ( ) a N i

ế ả ế ứ ể ậ ượ ươ t trên và bi u th c (a) và (b) ta nh n đ ệ c h ph ng trình

ế ợ K t h p các gi thi sai phân tuy n tính:

+ = B n n Y n ( + = 1) A n Y n ( ) ( ) ( ), 1, 2,3...

A n ( ) A= , ( ) = B n ườ ặ ợ ệ ệ ươ ạ Trong tr ng h p đ c bi t B ta có h ph ng trình có d ng:

Y n ( + = 1) AY n ( ) + . B

ế ươ ượ ệ ủ ệ Theo lý thuy t ph ng trình sai phân ta tìm đ c nghi m ( )Y n c a h là

n j

n n 0

= + i n 1 0

- - = + (cid:0) n Y n ( ) ( ) A Y n 0 A B .

ệ ế

Khi nghiên c u h ph ậ ế ề ộ ể ươ ng trình sai phân trên chúng ta có th đi đ n m t ế ế ượ ể chung và đ ra các chi n l c kinh t

ứ ế k t lu n cho quá trình phát tri n kinh t thích h p. ợ

ạ ươ ữ ố b. Mô hình ngo i th ng gi a hai qu c gia

ạ ươ ữ ạ ố ươ ng gi a hai qu c gia là mô hình ngo i th ả ơ ng đ n gi n

Mô hình ngo i th nh t.ấ

ế ậ ướ ế ộ ố ả ế ể Đ thi t l p mô hình này tr ầ c h t chúng ta c n có m t s gi thi t sau:

ẽ ử ụ ệ Ta s s d ng các ký hi u:

ố ằ ớ ầ ư ộ ậ (a) Thu nh p qu c dân )C c ng v i đ u t ( ròng ( )I ,

ấ ớ ừ ậ ẩ ( ộ c ng v i xu t kh u ( )Y b ng t ng tiêu dùng ổ )X , tr đi nh p kh u ( ẩ M ).

Ta có : Y = C + I + X – M.

(b) Kinh phí cho tiêu dùng n i đ a

( ộ ị ằ ổ ừ )D b ng t ng tiêu dùng )C , tr ( ậ đi nh p

kh u ẩ ( )M .

Ta có : D = C – M.

Do đó Y = D + X + I.

ờ ố ỳ ị

ượ ấ ả ấ ừ ờ ỳ ề ờ T t c các đ i l

ờ ỳ ả ị ượ c chia thành các th i k gi ng nhau và l y giá tr là ổ th i k này ng đ u thay đ i theo th i gian t ữ ứ m c ròng đ ạ ượ ừ ầ ư đ u t đ nh là luôn luôn gi c gi

ờ t = 0,1, 2,... qua th i k khác. Tr không đ i.ổ

ề ế ậ ể t l p đ

ượ ầ ộ ẫ ữ ng trình ướ c

ể ứ ấ ướ ừ ươ c các ph T các đi u ki n (a) và (b) chúng ta có th thi ế ị ố bi u th m i quan h ràng bu c l n nhau gi a các thành ph n kinh t cho n th nh t và n ệ ệ ứ c th hai là:

= + + (cid:0) (cid:0) (2.38) = + (cid:0) Y (t) D (t) X (t) 1 Y (t) D (t) X (t) 2 I (t) 1 + I (t). 2

ủ ấ ẩ ố ướ ủ ậ ẩ ướ c này là nh p kh u c a n c kia

ỉ Vì ch xét hai qu c gia, nên xu t kh u c a n t c làứ

= = . M t ( ) 1 X t ( ) 2 M t ( ) 2 X t ( ) 1

ượ ả ị ữ ứ ệ c gi đ nh là luôn luôn gi ổ m c không đ i nên h (2.38)

ầ ư Do đ u t ể ế ướ ạ t d có th vi ròng đ i d ng:

( )

I 1 I

( )

Y t D t M t ( ) ( ) 1 1 Y t D t M t ( ) 2

(cid:0) (cid:0) (2.39) (cid:0)

( ị ộ ạ ờ ỳ ộ ị ậ

( ỗ ướ ậ ớ c là t c đó

thu n v i thu nh p qu c dân ố ủ ( )Y c a n ủ ướ ổ ố ộ ằ ỷ ệ l ơ ậ ằ

(d) . T i m t th i k xác đ nh, tiêu dùng n i đ a )M c a m i n ủ ỳ ướ k tr ậ ế ướ ạ ể ọ )D và chi phí nh p kh u ẩ ở ờ th i ớ c đó (chính xác h n là b ng tích c a m t h ng s không đ i nhân v i thu ố nh p qu c dân ứ i d ng bi u th c toán h c ta có: ở ờ ỳ ướ th i k tr c đó). Vi ( )Y t d

11 1

21 1

- - = D t m Y t ( ( ) 1) = M t m Y t ( ( ) 1)

22 2

12 2

- - = D t m Y t ( ( ) 1) = M t m Y t ( ( ) 1) ,

, , , ằ trong đó m m m m là các h ng s . ố 12

ậ ượ ệ ươ ừ ứ ẽ ẳ T (2.39) và các đ ng th c trên ta s nh n đ c h ph ng trình sai phân

11 1

= (cid:0) (cid:0) - + = (cid:0) - + - + Y (t) m Y (t 1) m Y (t 1) - + Y (t) m Y (t 1) m Y (t 1) I 1 I , 2

hay

11 1

= (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - + - + Y (t) m Y (t 1) m Y (t 1) - + - + Y (t) m Y (t 1) m Y (t 1) I 1 I . 2

ệ ậ H này có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng ma tr n:

- 1) m 12 + - m 1) m � 11 � m � � . � � Y t ( ) � � = 1 � � Y t ( ) � � 2 Y t ( � 1 � Y t ( � 2 I � � � , � � � I � � �

( t = 1,2,…) .

ặ ướ ạ Ho c d i d ng

* , t =1,2,… I = Y t M Y t ( ( ) - + 1)

m M I Y t ( ) trong đó m m * � = � 11 m � � ; � � Y t ( ) � � = � � 1 ; Y t ( ) � � 2 I � �= � � 1 . I � � 2

ử ụ ể ế ệ ươ ụ ệ ướ ạ S d ng ký hi u thông d ng ta có th vi t h ph ng trình sai phân d i d ng

* + . I Y n ( + = 1) M Y n ( )

ể ứ ằ ạ ượ ằ B ng quy n p ta có th ch ng minh đ c r ng:

(

* * - * - * = + + Y n M Y M M ( ) ( + + ... + M E I ) . (2.40)

Vì

(

* - * - * * * + + - - . M M E M ( + + ... M E E M )( = )

* - ế ậ là ma tr n không suy bi n thì E M Nên n u ế ( )

(

* - * - * * * - + = - - . M M + M E E M E M ( + + ... ) ( ).( )

Do đó (2.40) có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng:

n E M E M )(

1 I ) .

* * * - + - - ( ) ( . = Y n M Y 0

ấ ừ ề ệ ậ ậ ầ ệ ớ i Y ti m cân t * (cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ ậ ậ ộ ằ m t ma tr n h ng, đ c l p v i là , ủ ể ố T đó ta th y đi u ki n c n và đ đ ma tr n thu nh p qu c dân , khi n (cid:0) ớ 0Y , khi n (cid:0) 0

ầ ử ủ ứ ế ầ ậ ỗ (t c là m i ph n t ề c a ma tr n này đ u d n đ n không).

Khi đó

1 E M I

* - (cid:0) (cid:0) - Y n ( ) ) ( , n (cid:0) .

* (cid:0) (cid:0) ư ậ ệ ề ể ế Nh v y ta có bài toán ti p theo là tìm đi u ki n đ khi n (cid:0) . 0

Ậ

Ế

K T LU N

ứ ổ

ượ ứ ủ ệ ề c nhi u ng ươ ộ ng trình sai phân là m t ề ứ i quan tâm vì có nhi u ng

ị Bài toán nghiên c u tính n đ nh c a các h ph ườ ướ ữ ng nghiên c u đang đ trong nh ng h ự ế ụ d ng trong th c t .

ậ ộ

ệ ố ứ ệ

ươ ươ ươ ng ủ ị ổ c s d ng trong vi c nghiên c u tính n đ nh c a ng pháp ng pháp hàm Lyapuno và ph ượ ử ụ ng trình sai phân, đó là ph

ả Trong b n lu n văn này chúng tôi đã trình bày m t cách h th ng hai ph ơ ả ủ pháp c b n c a Lyapunov đ ệ ươ các h ph ỉ ứ ấ ấ x p x th nh t.

ệ ươ ụ ng pháp này đang đ

ượ ứ ứ ộ ủ ệ ộ ở ộ ệ ổ ị

c ng d ng r ng rãi trong các mô Hi n nay các ph ự ụ ứ hình ng d ng và m r ng cho vi c nghiên c u tính n đ nh c a các h đ ng l c ờ ạ r i r c.

ố ủ ủ ậ

ầ ươ ộ ố ứ ơ ộ ố ụ ả ế ạ ể ng trình sai phân cho m t s mô hình kinh t

ự ễ ủ ụ ứ ạ Ph n cu i cùng c a lu n văn chúng tôi trình bày m t s ng d ng c a lý ế thuy t ph d ng đ n gi n đ minh ả ho kh năng ng d ng c a nó trong th c ti n.

Ả

Ệ

TÀI LI U THAM KH O

ế ổ ề ọ ị ị ừ ậ t p

ế ọ ơ ả [1] B.P. Đêmiđôvich (1967), Bài gi ng v lý thuy t n đ nh toán h c (d ch t ti ng Nga), NXB Khoa h c Maxc va.

ạ ị ươ ng

ặ ộ ố ứ ị ụ ụ [2] Lê Đình Th nh, Đ ng Đình Châu, Lê Đình Đ nh, Phan Văn H p(2001), Ph trình sai phân và m t s ng d ng, NXB Giáo d c.

[3] Billur Kaymakcalan (1992), Lyapunov stability theory for Dynamic systems on the time scales J. Appl.Math and Stochastic Analysis 275282.

[4] G.Eleutheriadis, M.Boudourides (1998) On the problem of asymptotic equivalence of ordinary differential equation, Ital, J.Puer Appl Math 4, 6172.

[5] J.K. Hale and S.M.V. Lunel, (1993) Introduction to Functional Differential Equations, SpringerVerlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest

[6] J.Kato (1996), The asymptotic equivalence of functional differential equations, J. differential Equat.1,3, 306332.

[7] K.L. Coppel (1965) Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations , D.C Heath and Company Boston Publisher.

[8] K.L. Cooke (1967), Asymptotic theory for the delaydifferential equations J.Math.Analysis and Appl 160173.

ễ ế

[9] Nguy n Th Hoàn (1975) Asymptotic equivalence of systems of differential equations, IZV Acad Nauk ASSR Number 2, 3540 (Russian).

[10] N.Levinson, The asymptotic behavior of systems of linear differental equations Amer.J.Math, 63 (1946), 16.

[11] R.P. Agarwal (1992), difference equations and inequalities, Marcel Dekker Inc , New York.

[12] V.Lakshmikantham (1965), Stability Analysis of nonlinear systems, Marcol Dekker, INC, New York and Basel.

ề ể ế ậ ọ ọ

ố ộ ạ [13] Vũ Ng c Phát (2001), Nh p môn lý thuy t đi u khi n toán h c, NXB Đ i ọ h c Qu c gia Hà N i.