intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:61

138
lượt xem
21
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ minh họạ để chỉ ra khả năng ứng dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

  1. LỜI CẢM ƠN                 Luận  văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS. Phạm Phu. Nhân dịp   này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức,  thời gian để hướng dẫn,  kiểm   tra và giúp đỡ  em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình  hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và   các thầy cô trong  Khoa Toán – Cơ – Tin học,  phòng Sau Đại Học trường Đai học   Khoa học Tự  nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về  kiến thức và những điều tốt  đẹp mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Em xin c ảm  ơn các thầy  cô, các bạn trong Xemina của tổ  giải tích  Đại học Khoa học Tự  nhiên. Cảm ơn   các bạn trong tập thể lớp Cao hoc giải tích  2008 – 2010 về những lời động viên,  những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ nhiệt tình.            Do thời gian và trình độ  còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể  tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự  chỉ  bảo tận tình của các   thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn.     Hà Nội,  tháng 3 năm 2011                                                                                                          H ọc viên                                                                                            Võ Thị Hải Yến    1
  2. Mục lục LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………4   Bảng ký hiệu …………………………………………………………… 5  Chương 1 . Nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình                      sai phân  bằng phương pháp hàm Lyapunov 1.1. Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn ……………………………………  6           1.2. Phương  trình sai phân cấp cao ....................................................................   7            1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ……………  9                           1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất…………………….....   9               1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và                    công thức biến thiên hằng số  Lagrăng ……………………………….  11         1.4.   Một   số   ví   dụ   giải   hệ   hai   phương   trình   sai   phân   tuyến   tính   thuần  nhất…..  12 1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ                phương   trình   sai   phân   autonomous   ………………………………  16 2
  3.               1.5.1.   Các   khái   niệm   về   ổn   định   …………………………………………  16        1.5.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình                   sai phân autonomous ……………………………………………             17  1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân          không autonomous …………………………………………………….          20  Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính                                         và  ứng dụng……….............................................  24 2.1. Các khái niệm cơ  bản của hệ  phương trình sai phân tuyến tính …….   24                                     2.1.1. Hệ  phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất   …………………...   24          2.1.2. Hệ  phương trình sai phân tuyến tính không  thuần nhất  …………...   25 2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất              với ma trận hệ  số  hằng ………………………………………………….   27 2.3. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần             nhất với ma trận hệ  số  hằng ……………………………………………..   31 3
  4. 2.4. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần              nhất với ma trận hệ  số  biến thiên ………………………………………  38 2.5. Sự  tương đương tiệm cận của hệ  phương trình sai phân …………….  42 2.6. Một số ví dụ về ứng dụng của hệ phương trình sai  phân ………………   46                2.6.1. Mô hình biến động giá cả  thị  trường ……………………………….   46                2.6.2.   Hiện tượng “mạng nhện ” trong kinh tế  nông nghiệp ……………   48                2.6.3. Mô hình ngoại thương  đa quốc gia ……………………………….   53 Kết   luận   ………………………………………………………………………  57 Tài   liệu   tham   khảo   …………………………………………………………..  58 LỜI NÓI ĐẦU 4
  5.             Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những   năm đầu thế  kỷ  XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học   quan tâm và nghiên cứu. Những kết quả cơ bản của nó được  ứng dụng rộng rãi   trong nhiều mô hình  ứng dụng. Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ  có sự  phát   triển của công nghệ tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết   định tính của các hệ phương trình sai phân nói riêng đã có sự  phát triển vượt bậc   đặc biệt là khả năng ứng dụng thực tiễn của nó.             Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lý   thuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất   nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và các  biểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp.              Mục tiêu cơ  bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ  thống   phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của   các hệ phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ  minh hoạ  để  chỉ  ra khả  năng ứng dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng.             Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính sai   phân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai   phân cấp cao và hệ phương trình sai phân. Phần tiếp theo của chương một là các   định lý cơ  bản của Lyapunov  để  nghiên cứu tính  ổn định nghiệm của các hệ  phương trình sai phân.             Trong chương 2 chúng tôi đã trình bày các định lý về tính ổn định của các   hệ  phương trình sai phân thuần nhất. Sau đó là một số  điều kiện đủ  về  tính  ổn   định của các hệ  phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu. Phần cuối của luận   văn là một số  mô hình kinh tế  như  mô hình biến động giá cả  thị  trường, hiện   tượng “mạng nhện” trong kinh tế nông nghiệp và mô hình ngoại thương đa quốc  gia. Nhờ có các kết quả nhận được trong viêc nghiên cứu lý thuyết định tính của   phương trình sai phân chúng ta có thể  đi đến các kết luận hữu ích trong việc  nghiên cứu các mô hình trên.    5
  6. Bảng ký hiệu ᆬ             Tập hợp các số nguyên không âm. ᆬ (a )        Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a    ᆬ )  ᆬ              Tập hợp các số nguyên mở rộng. ᆬ             Tập hợp các số thực. ᆬ +            Tập hợp các số thực dương.      ᆬ m            Không  gian m chiều. M n (ᆬ )     Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên  ᆬ  . Cki             Tổ hợp chập i của k. ∆un           Sai phân của  un . u(n) ( hoặc  un )      Hàm biến số nguyên. CHƯƠNG 1 6
  7. NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH  SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV   1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn Định nghĩa 1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u (n) = un với  n ᆬ   là hiệu                ∆un = un+1 − un .   Định nghĩa 1.2. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u (n) = un  là sai phân của   sai phân cấp 1 của un , và nói chung sai phân cấp k của hàm u n là sai phân của sai   phân cấp k – 1 của hàm số đó.       Sai phân cấp 2 của hàm un là          ∆ 2un = ∆(∆un ) = ∆un +1 − ∆un = un + 2 − un +1 − (un +1 − un ) = un + 2 − 2un +1 + un ;       Sai phân cấp 3 của hàm un là          ∆ 3un = ∆(∆ 2un ) = ∆ 2un +1 − ∆ 2un = un +3 − 3un+ 2 + 3un+1 − un  …       Sai phân cấp k của hàm un là  k k −1 k −1 k −1          ∆ un = ∆(∆ un ) = ∆ un +1 − ∆ un = (−1)i Cki un + k −i , k i =0 k! trong đó  Ck = i . i !(k − i )! Các tính chất của sai phân: Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số 7
  8. k                    ∆ un = (−1)i Cki un + k −i , k i =0 k! trong đó    Ck = i  . i !(k − i )! Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính                    ∆ k (α un + β vn ) = α∆ k un + β∆ k vn , với α , β là các số thực tuỳ ý. Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:                   * Hằng số,  nếu k = m,                   * 0,  nếu k > m,                   *  Đa thức bậc (m – k), nếu k 
  9. trong đó un coi là sai phân cấp 0 của hàm un, cấp của phương trình sai phân chính   là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k). Định nghĩa 1.4.   Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm u n là một biểu   thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau                       a0un + k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n , trong đó   a0 , a1 ,..., ak   với   a0 0 , ak 0   là các hằng số  hoặc các hàm số  của n,   được gọi là các hệ  số  của phương trình sai phân; fn là một hàm số  của n, được   gọi là vế phải; un  là giá trị cần tìm  được gọi là ẩn. * Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:        Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k a0un+ k + a1un +k −1 + ... + ak un = f n .       (1.1)       Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng a0un + k + a1u n+ k −1 + ... + ak un = 0.          (1.2)       Phương trình đặc trưng a0λ k + a1λ k −1 + ... + ak = 0.           (1.3)       Nghiệm tổng quát  un của phương trình sai phân tuyến tính (1.1) là  un = u * + u ,   với  u *  là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và  u  là nghiệm tổng quát của  phương trình thuần nhất tương ứng (1.2).       Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng         u = c1un1 + c2un2 + ... + ck unk , trong đó  un1 , un2 ,..., unk  là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và  c1 , c2 ,..., ck  là các  hằng số tuỳ ý. Nếu (1.3) có k nghiệm phân biệt  λ1 , λ2 ,..., λk thì hệ   {λ1n , λ2n ,..., λkn }  là hệ k nghiệm  độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quát của (1.2) là  9
  10.         u = c1λ1n + c2 λ2n + ... + ck λkn . Nếu (1.3) có nghiệm thực  λ j  bội s thì ngoài nghiệm  λ jn  ta bổ xung thêm các vectơ  nλ jn , n 2λ jn ,..., n s −1λ jn   cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm  tổng quát của (1.2) là  k s −1           u = �c λ + �c n λ i j =1 i i n i =0 i j i n j . Nếu (1.3) có nghiệm phức  λ j = r (cos ϕ + i sin ϕ )  bội s thì ta lấy thêm các nghiệm  r n ni cos nϕ , r n ni sin nϕ , i = 0,..., s − 1  và nghiệm tổng quát của (1.2) là k s −1        u = �c λ + �r i j =1 i i n i =0 n (ai n i cos nϕ + bi ni sin nϕ ), trong đó  ai , bi  là các hằng số tuỳ ý. 1.3. Công thức nghiệm của hệ  phương trình sai phân tuyến  tính 1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất       Xét hệ phương trình sai phân  (xem [11]) u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + ... + a1m (n)um (n), u2 (n + 1) = a21 (n)u1 (n) + a22 (n)u2 (n) + ... + a2 m ( n)um ( n),        .......................... um (n + 1) = am1 (n)u1 (n) + am 2 (n)u2 (n) + ... + amm (n)um (n). Đặt  u1 (n) � � �a11 ( n) a12 (n) K a1m (n) � � � � � u2 ( n) � a (n) a22 (n) K a2 m ( n ) �        u (n) = � ; A(n) = �21 . �M � �K K K K � � � � � � um ( n) � � �am1 (n) am 2 (n) K amm (n) � � Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng:        u (n + 1) = A(n).u (n) , n n0 ,                                         (1.4) 10
  11. ở  đây  u (n) = (u1 (n), u2 (n),..., um ( n))T ᆬ m ,  A(n) = (aij (n)) m m  là ma trận không suy  biến. Bài toán Cauchy:    u (n + 1) = A(n).u (n) , n n0 ,      u (n0 ) = u0 . Bằng phương pháp truy hồi ta thấy bài toán Cauchy luôn có nghiệm và   nghiệm của bài toán  Cauchy được cho bởi       u (n) = A(n − 1). A(n − 2)... A(n0 + 1). A( n0 ).u0  với mọi  n > n0 .  * Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5.  Với mỗi  s n0  ký hiệu        U (n, s ) = A(n − 1). A(n − 2)... A( s + 1). A( s ) , n s n0 . Khi đó  {U (n, s )}n s n0  được gọi là họ  các ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận hàm   không suy biến   A( n) ,   U (n, n0 ) được gọi là ma trận nghiệm cơ  bản chuẩn tắc   ( ma trận Cauchy )  hoặc còn được gọi là hàm Green. Nhận xét:  Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ toán tử  tiến hoá  ta thấy với   mỗi  s n0  thì :                         *  U (n0 , n0 ) = I .                      *  U (n, s) = U (n, k ).U (k , s )   với mọi  n k s.                      *  U (n, s ) = U (n, n0 ).U −1 ( s, n0 )  với mọi  n s. Nghiệm  u (n) := u (n, n0 , u0 )  của bài toán Cauchy có thể viết dưới dạng: u (n) = U (n, n0 ).u0 , n n0 ,                              u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n s n0 . Khi  A(n) = A  là ma trận hằng ta thấy  U (n, n0 ) = An − n0  với mọi  n n0 . 11
  12. 1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất        Xét hệ phương trình sai phân: (xem  [11]) u (n + 1) = A(n).u (n) + b(n) m                                     n n0 , b(n) ᆬ .           (1.5) u (n0 ) = u0 Định lý 1.1. Nghiệm  u (n) := u (n, n0 , u0 )  của hệ (1.5)  xác định bởi công thức  n                                 u (n) = U (n, n0 ).u0 + U (n, k ).b(k − 1) .                   (1.6) k = n0 +1 Chứng   minh.  Ta   tìm   nghiệm   u (n)   của   (1.5)   dưới   dạng   u (n) = U (n, n0 ).C ( n)   (1.7) sao cho  u (n0 ) = u0  bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng  . Vì   u (n0 ) = U (n0 , n0 )C (n0 ) = C (n0 ) � C (n0 ) = u0 . Từ    u (n) = U (n, n0 )C (n) � u ( n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n + 1)                                     (1.8)  Mà    u (n + 1) = A(n)u (n) + b(n) = A(n)U (n, n0 )C (n) + b(n)   = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n).                                     (1.9) Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được               U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n) suy ra   U (n + 1, n0 )∆C ( n) = b(n)  hay  ∆C (n) = U −1 (n + 1, n0 ).b(n) . n −1 n −1 Do đó  :               �∆C (k ) = �U −1 ( k + 1, n0 ).b(k )  . k = n0 k = n0 n Ta tìm được  C (n) − C ( n0 ) = U −1 (k , n0 ).b(k − 1)   .                                         k = n0 +1 (1.10) 12
  13. Vì   U (n, n0 ).U −1 (k , n0 ) = U (n, k )  nên thay (1.10) vào (1.7) ta nhận được (1.6). Hệ quả : Nếu  A(n) = A  là ma trận hằng thì   n n−n               u (n) = A 0 .u0 + An −i .b(i − 1)   với   mọi   n > n0 .  i = n0 +1 (1.11) 1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính  thuần nhất 1.4.1. Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất  x(n + 1) = px(n) + qy (n) (a)       Xét hệ                  x0 = a , y0 = b,    y (n + 1) = rx(n) + sy (n) (b) trong đó p, q, r, s  ᆬ .  Ta giải hệ này bằng cách đưa về phương trình sai phân tuyến tính thuần  nhất cấp  2. Thật vậy :  (a) � x( n + 2) = px(n + 1) + qy (n + 1)  và  qy (n) = x(n + 1) − px(n) . (b) � qy (n + 1) = rqx(n) + sqy (n) � x(n + 2) = px(n + 1) + rqx(n) + sqy (n) = px(n + 1) + rqx(n) + s ( x(n + 1) − px(n)) = ( p + s ) x(n + 1) − ( ps − rq ) x(n) . p q Chú ý  định thức của hệ  (a)­(b) là   D = = ps − rq , ta có thể  viết hệ  (a)­(b)  r s dưới dạng x(n + 2) = ( p + s ) x(n + 1) − Dx (n)                                      (c)                            x0 = a, x1 = pa + qb. Tức là đưa hệ (a)­(b) về phương trình cấp 2. Thí dụ 1.4.1. Giải hệ 13
  14. x(n + 1) = 4 x(n) − 2 y (n)                               x0 = 1 , y0 = 1. y (n + 1) = x (n) + y (n) Giải.  Hệ đã cho tương đương với                                x(n + 2) = 5 x(n + 1) − 6 x(n) , x0 = 1 , x1 = 2, Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng                         λ 2 − 5λ + 6 = 0 � λ1 = 2 , λ2 = 3 . Từ đó  x(n) = A2n + B3n.   Do  x0 = 1 = A + B , x1 = 2 = 2 A + 3B � A = 1, B = 0 � x(n) = 2 n. Từ phương trình đầu ta có                         2 y ( n) = 4 x( n) − x(n + 1) = 4.2 n − 2 n +1 = 2 n (4 − 2) = 2.2 n � y( n) = 2 n.   Vậy    x(n) = 2n ; y (n) = 2n. Thí dụ 1.4.2.  Giải hệ               x(n + 1) = 2 x(n) − y (n)                         x0 = 2, y0 = 1 . y (n + 1) = x(n) + 4 y (n) Giải. Hệ đã cho tương đương với                                                              x(n + 2) = 6 x (n + 1) − 9 x (n) , x0 = 2 , x1 = 3 . Phương trình cấp 2 trên có phương trình  đặc trưng                     λ 2 − 6λ + 9 = 0 � λ = 3 . Từ đó :            x(n) = ( A + Bn)3n . Mặt khác 14
  15. x0 = A = 2, x1 = (2 + B)3 = 3 � B = −1 � x(n) = (2 − n)3n ; y ( n) = 2 x(n) − x(n + 1) = (1 + n)3n. Vậy    x(n) = (2 − n)3n ; y (n) = (1 + n)3n. Thí dụ 1.4.3.   Giải hệ   1 3 x(n + 1) = x ( n ) − y ( n) 2 4                         x0 = 2 , y0 = 0 . 1 y (n + 1) = x(n) + y (n) 2 Giải : Hệ đã cho tương đương với                                   x(n + 2) = x(n + 1) − x(n) , x0 = 2 , x1 = 1.   Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng  1 i 3 π π                                  λ 2 − λ + 1 = 0 � λ = � λ = cos �isin . 2 3 3 Từ đó                      nπ nπ 3               x(n ) = Acos + B sin ; x0 = 2 = A ; x1 = 1 = 1 + B � B = 0.   3 3 2 nπ 3 1 nπ 4 nπ x(n) = 2cos ; y (n) = x(n) − x (n + 1) = 3 sin � y ( n) = sin . 3 4 2 3 3 3 nπ 4 nπ Vậy     x(n) = 2cos ; y ( n) = sin . 3 3 3 1.4.2. Giải phương trình phân thức                     px(n) + q                                    x( n + 1) = , x0 = a , rx( n) + s trong đó p, q, r, s  là các hằng số, a cho trước. Giả sử  y ( n) và  z (n) là nghiệm của hệ phương trình sai phân  15
  16. y (n + 1) = py ( n) + qz (n)                                    y0 = a , z0 = 1 . z (n + 1) = ry (n) + sz ( n) y ( n) Khi đó  x( n) =  là nghiệm của phương trình đã cho.   z ( n) y0 a Thậy vậy,  x0 = = = a (đúng) z0 1 y ( n) +q p y ( n + 1) py ( n) + qz ( n) z ( n) px( n) + q x(n + 1) = = = = (đúng). z ( n + 1) ry ( n) + sz ( n) y ( n) rx ( n ) + s r +s z ( n) Thí dụ 1.4.4.  Giải phương trình  x(n) − 2                        x( n + 1) = , x0 = 0. x( n ) + 4 Giải  .  Xét hệ  y (n + 1) = y (n) − 2 z ( n)                        y0 = 0 , z 0 = 1 . z (n + 1) = y (n) + 4 z ( n)                        � y (n + 2) = 5 y (n + 1) − 6 y (n) , y0 = 0 , y1 = −2 . Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng    λ 2 − 5λ + 6 = 0 � λ1 = 2 , λ2 = 3.                            � y ( n) = A.2n + B.3n ; y0 = 0 = A + B ; y1 = −2 = 2 A + 3B � A = 2, B = − 2.                        � y ( n) = 2.2n − 2.3n.                            n +1 y (n) 2.2n − 2.3n                        � 2 z (n) = y (n) − y (n + 1) = 4.3 − 2 � x( n ) = = n . z (n) −2 n + 2.3n 2.2n − 2.3n Vậy     x(n) = . −2n + 2.3n 16
  17. Thí dụ 1.4.5.  Giải phương trình sai phân x (n) − 1                         x(n + 1) = , x0 = 1. x( n ) + 3 Giải. Xét hệ y (n + 1) = y (n) − z (n)                         y0 = 1 , z0 = 1. z (n + 1) = y ( n) + 3 z ( n)                              � y ( n + 2) = 4 y (n + 1) − 4 y ( n), y0 = 1, y1 = 0. Phương trình  cấp 2 trên có phương trình đặc trưng  λ 2 − 4λ + 4 = 0 � λ1 = 2 .                                � y ( n) = ( A + Bn).2 n ; y0 = 1 = A ; y1 = 0 = (1 + B)2 � B = −1                              � y (n) = 2n − n.2n . y (n) 1 − n                              � z (n) = 2 + n 2 � x(n) = = n n . z ( n) 1 + n 1− n Vậy    x(n) = . 1+ n 1.5. Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov  cho hệ phương trình sai phân autonomous 1.5.1. Các khái niệm về ổn định        Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến  (xem [11]) u1 (n + 1) = f1 (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)), u2 (n + 1) = f 2 (n, u1 (n), u2 (n),..., um ( n)), ............................... um (n + 1) = f m (n, u1 (n), u2 (n),..., um (n)). Đặt  17
  18. u1 (n) � � �f1 (n, u1 (n), u2 (n),..., um ( n)) � � � � � u2 ( n) � � �f 2 (n, u1 (n), u2 (n),..., um (n)) �             u (n) = ; f (n, u (n)) = . �M � � M � � � � �f (n, u (n), u (n),..., u (n)) � � um ( n) � � �m 1 2 m �       Khi đó bài toán Cauchy của hệ được viết dưới dạng :                                   u (n + 1) = f (n, u (n)), u (n0 ) = u0 , n n0 ,                   (1.12) trong   đó  u  và  f  là   các   vectơ   (1 m)   thành   phần   ui   và   fi ,  1 i m .   Giả   sử  f (n,0) = 0  với mọi  n ᆬ  để hệ có nghiệm tầm thường  u (n) = u (n, n0 ,0) = 0. Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường  u (n) = 0  của hệ (1.12) được gọi là ổn định   theo Lyapunov, nếu với  ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε , n0 )  sao cho từ  bất đẳng thức  || u0 ||< δ suy ra  || u (n) ||< ε  với mọi  n n0 . Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường  u (n) = 0  của hệ (1.12) được gọi là ổn định   tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó  ổn định theo Lyapunov và   ∃ h > 0 sao cho mọi   nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện  || u0 ||< h  thì  lim || u ( n) ||= 0 . n Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường  u (n) = 0  của hệ (1.12) được gọi là ổn định   đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số   δ   được chọn không phụ thuộc vào a. Định nghĩa 1.9. Nghiệm tầm thường  u (n) = 0  của hệ (1.12) được gọi là ổn định   mũ nếu đối với mỗi nghiệm  u (n) u (n, n0 , u0 )  của hệ  thoả mãn bất đẳng thức: || u (n) || N || u0 || e −α ( n −a ) , n a, trong đó N và  α  là hai hằng số dương. 1.5.2.  Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous        Xét  bài toán Cauchy: (xem [11])                                               u (n + 1) = f (u (n)) , u (0) = u0 , n ᆬ ,      (1.13) 18
  19. giả  sử   f (0) = 0   và   f (u ) 0   với   u 0   trong lân cận của gốc sao cho (1.13) có  nghiệm tầm thường  u (n) = u (n,0,0) = 0 . Cho  Ω*  là một tập mở trong  ᆬ m  và chứa  gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô hướng xác định trên  Ω* ,  V �C[Ω* , R]  và  V (0) = 0 . Định  nghĩa   1.10.   V(u)   được   gọi  là  xác   định  dương  trên   Ω*   nếu  và   chỉ   nếu  V (u ) > 0  với  u 0  ,  u �Ω*  . Định nghĩa 1.11.  V(u) được gọi là nửa xác định dương trên  Ω* nếu  V (u ) 0 ,  với   mọi  u �Ω* , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định)  Định nghĩa 1.12.  V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên  Ω*  nếu và   chỉ nếu  −V (u )  là xác định dương ( nửa xác định dương) trên  Ω* . Định   nghĩa   1.13.  Hàm   φ (r ) được   gọi   là   thuộc   vào   lớp   K   nếu   φ   C[[0, ρ ), R+ ] , φ (0) = 0  và  φ (r )  tăng chặt theo r. Vì  V (u )  liên tục, với r đủ nhỏ,  0 < c r d  ta có   V (u ) max V (v), V (u ) ||v|| r min V (v) , r ||v|| d (1.14) trong đó   || u ||= r . Trong (1.14) bên phải là hàm đơn điệu của r và ta có thể   ước  lượng hàm này thuộc vào lớp K. Do đó tồn tại hai hàm  φ , ξ K  sao cho : φ (|| u ||) V (u ) ξ (|| u ||) . (1.15) Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau :  Định   nghĩa   1.14.    V(u)   được   gọi   là   xác   định   dương   trên   Ω* nếu   và   chỉ   nếu  V (0) = 0  và tồn tại một hàm  φ (r ) K sao cho   φ (r ) �V (u ) , || u ||= r , u �Ω* . Đặt   S ρ   là   tập   S ρ = {u Σ R m : || u || ρ }   và   u (n) = u (n,0, u0 ) là   một  nghiệm  bất   kỳ   của   (1.13)   sao   cho   || u (n) ||< ρ , ∀ n ᆬ .   Dọc   theo   nghiệm   u (n) =   u (n,0, u0 )   của   (1.13)   xét   sai   phân   của   hàm   V(u)   được   xác   định   bởi  ∆V (u (n)) = V (u (n + 1))   −V (u (n)) = V ( f (u (n))) − V (u (n)) .   Hàm   V(u)   được   gọi   là  hàm Lyapunov.  19
  20. Định lý 1.2.   Giả  sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương  V (u ) C[ S ρ , R + ]  sao   cho   ∆V (u (n,0, u0 )) 0   với nghiệm bất kỳ   u (n) = u (n,0, u0 ) của (1.13) thoả  mãn  || u (n) ||< ρ .  Khi đó nghiệm tầm thường  u (n,0,0) = 0  của (1.13) là ổn định. Chứng   minh.  Do   V(u)   là   xác   định   dương,   tồn   tại   một   hàm   φ K sao   cho  φ (|| u ||) V (u )   với   mọi   u S ρ .   Với   0 < ε < ρ cho   trước,   vì   V(u)   liên   tục   và  V (0) = 0 , ta có thể  chọn được một số   δ = δ (ε ) > 0  sao cho  || u0 ||< δ  thì  V (u0 ) <   φ (ε ) .   Nếu   nghiệm   tầm   thường   của   (1.13)   là   không   ổn   định,     khi   đó   tồn   tại   nghiệm  u (n) = u (n,0, u0 ) của (1.13) sao cho  || u0 ||< δ  thoả  mãn  ε || u (n1 ) ||< ρ với  n1   N (1) . Tuy nhiên do  ∆V (u (n)) 0  khi  || u (n) ||< ρ , ta có  V (u (n1 )) V (u0 )  và do  đó                   φ (ε ) φ (|| u ( n1 ) ||) V (u ( n1 )) V (u0 ) < φ (ε ) , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu   || u0 ||< δ   thì   || u (n) ||< ε , ∀n N . Nên nghiệm tầm  thường của (1.13) là ổn định . Định lý 1.3.   Giả  sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương  V (u ) C[ S ρ , R + ]  sao   cho   ∆V (u (n,0, u0 )) −α ( u (n,0, u0 ) )   trong   đó   α K   và   nghiệm   bất   kỳ   u (n)   = u (n,0, u0 )   của   (1.13)   thoả   mãn   || u (n) ||< ρ .   Khi   đó   nghiệm   tầm   thường  u (n,0,0) = 0  của (1.13) là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Do các giả  thiết của định lý (1.2) được thoả  mãn nên nghiệm tầm  thường  của   (1.13)  là   ổn  định.   Do  đó   với   0 < ε < ρ   cho  trước,   giả   sử   tồn   tại  δ > 0 , λ > 0  và một nghiệm  u (n) =  u (n,0, u0 )  của (1.13) thoả mãn : λ �|| u (n) ||< ε , n �ᆬ , || u0 ||< δ . (1.16) Do nghiệm này thoả  mãn   || u (n) || λ > 0 , ∀n N   nên tồn tại hằng số   d  > 0 sao  cho   α (|| u (n) ||) d , ∀ n ᆬ . Vậy ta có   ∆V (u ( n)) − d < 0 , n ᆬ . Điều này kéo  theo n −1                  V (u (n)) = V (u0 ) + ∆V (u (l )) V (u0 ) − nd . l =0 và với n đủ lớn vế phải trở thành âm,  mâu thuẫn với V(u) xác định dương. Do đó   không tồn tại  λ  thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là   20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0