Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu vật chất tối trong một số mô hình Vật lý mới

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TUẤN DUY

NGHIÊN CỨU VẬT CHẤT TỐI TRONG MỘT SỐ

MÔ HÌNH VẬT LÝ MỚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà nội, 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TUẤN DUY

NGHIÊN CỨU VẬT CHẤT TỐI TRONG MỘT SỐ

MÔ HÌNH VẬT LÝ MỚI

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã : 8440130.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN

PGS.TS. ĐỖ THỊ HƯƠNG

Hà nội, 2018

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH.Nguyễn Xuân

Hãn và PGS.TS. Đỗ Thị Hương đã tận tình hướng dẫn tôi học tập, nghiên cứu,

chia sẻ những kinh nghiệm quý báu trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn

thành luận văn này.

Tôi chân thành cảm ơn PGS.TS. Phùng Văn Đồng, chị Nguyễn Thị

Nhuần và anh Lê Đức Thiện đã giúp đỡ chỉ bảo ân cần tận tình cho tôi. Thầy

cô và các anh chị đã giúp tôi trang bị những kiến thức chuyên môn quan trọng,

chỉ bảo tôi những điều cần thiết cho một người nghiên cứu. Những điều mà tôi

học được từ các thầy cô và các anh chị sẽ là hành trang vô cùng quan trọng trên

con đường học tập và nghiên cứu sau này.

Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ đã nhận

xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong luận văn của tôi.

Chân thành cảm ơn các anh,chị và bạn bè ở lớp Cao học Vật lí lý thuyết

và vật lí toán khoá QH.2016.T.CH, trường đại học khoa học tự nhiên đã cùng

tôi trao đổi những kiến thức đã học và các vấn đề khác trong cuộc sống.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ

động viên để hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 8 tháng 8 năm 2018

NGUYỄN TUẤN DUY

Mục lục

1

MỞ ĐẦU

6

Chương 1: TỔNG QUAN

6

1.1 Các bằng chức thực nghiệm cho vật chất tối

. . . . . . . . . . . .

1.2 Điều kiện cho vật chất tối

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Các ứng viên cho vật chất tối

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Axion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Neutrino trơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3

Sneutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4 WIMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Tìm kiếm vật chất tối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Tìm kiếm trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Tìm kiếm gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Tìm kiếm trong máy gia tốc LHC . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2: VẬT CHẤT TỐI TRONG MÔ HÌNH LƯỠNG TUYẾN HIGGS TRƠ

18

2.1 Tổng quan mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Phổ hạt và thành phần Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Điều kiện cực tiểu thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Phổ khối lượng và đồng nhất vật chất tối

. . . . . . . . . . 21

2.2 Mật độ tàn dư và tìm kiếm vật chất tối

. . . . . . . . . . . . . . . 22

. . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Mật độ tàn dư vật chất tối H 0

2.2.2 Tìm kiếm vật chất tối

Chương 3: VẬT CHẤT TỐI TRONG MÔ HÌNH 3-3-3-1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 28

3.1 Tổng quan mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Phổ hạt và các trường Higgs

. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Tương tác Yukawa và ma trận trộn khối lượng các fermion 31

3.1.3 Phổ khối lượng các hạt HIggs

. . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.4 Khối lượng các gauge boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Tương tác fermion và gauge boson

. . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Đồng nhất vật chất tối

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Mật độ tàn dư của vật chất tối và tím kiếm chúng . . . . . . . . . 44

3.3.1 Vật chất tối là fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2 Vật chất tối là vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.3 Vật chất tối là hạt vector

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Tìm kiếm vật chất tối

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 51

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

53 58

A

Các ma trận trộn khối lượng Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

B

Chéo hoá ma trận trộn khối lượng của các gauge boson bằng

phương pháp gần đúng seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Danh sách thuật ngữ viết tắt

bottom b charm c European Organization for Nuclear Research CERN Cosmological Microwave Background CMB Dark Matter DM down d electron e electron neutrino νe General Relativity GR Glashow-Weinberg-Salam GWS Inert Doublet Model IDM Large Hadron Collider LHC muon µ muon neutrino νµ Quantum ChromoDynamics QCD Standard Model SM Supersymmetry SUSY strange s up u top t tau τ tau neutrino ντ Vector-Axial V-A Vacuum Expectation Value VEV WMIP Weakly Interacting Massive Particle WMAP Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

Danh sách bảng

. 22

2.1 Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và 4 của các hạt trơ với Higgs. 2.2 Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và 4 của DM với Higgs và boson

chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Danh sách hình vẽ

1.1 Đồ thị giữa vận tốc quay và khoảng cách đến tâm thiên hà của một số thiên hà xoắn ốc. Ta thấy mỗi thiên hà đều có xu hướng chung là vận tốc đều tiến tới những giá trị không đổi khi khoảng cách đến tâm thiên ha càng xa [49] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Đồ thị so sánh sự phụ thuộc giữa vận tốc quay và khoảng cách đến tâm thiên hà của vật chất tối, vành, đĩa và khí của cụm thiên hà NGC 6503 [21]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Ba dạng tín hiệu detector thu nhận trong thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp vật chất tối cùng với một vài tên thí nghiệm tương ứng [38]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Minh hoạ ba phương pháp cho tìm kiếm vật chất tối: từ trái sang phải lần lượt là tìm kiếm trực tiếp, gián tiếp và tìm kiếm tại collider [11]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Giản đồ Feynman cho đóng góp chính vào kênh huỷ H0 thành các

hạt mô hình chuẩn qua cổng Higgs (Higgs portal)

. . . . . . . . . 23 . . . . 24

. . . . . . . 25

2.2 Mật đồ tàn dư như là hàm của khối lượng vật chất tối H0. 2.3 Đồ thị mối liên hệ số sự kiện thu được trong ngày với 1 kg Xe khi hạt vật chất tối H 0 tán xạ hạt nhân Xenon trong detector với khối lượng mH 0 trong thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp.

2.4 Đồ thị mối liên hệ tiết diện tán xạ độc lập spin giữa vật chất tối H 0 với hạt nhân Xe của detector vào khối lượng mH 0 trong tìm kiếm trực tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Đồ thị mối liên hệ tiết diện huỷ (cid:104)σv(cid:105) của hai hạt vật chất tối H 0

. . . . . . . . . . . . 26

với khối lượng mH 0 trong tìm kiếm gián tiếp.

3.1 Giản đồ Feynman cho quá trình huỷ hai hạt N, N c ra các hạt

trong mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Danh sách hình vẽ

3.2 Đồ thị thể hiện vùng không gian tham số cho mật độ tàn dư đúng 45 3.3 Các giản đồ cho đóng góp chính vào kênh huỷ X1 . . . . . . . . . 48 3.4 Đồ thị thể hiện kết quả phân tích từ LHC cho thấy khả năng vật

chất tối là majorana fermion bị loại trừ [5]

. . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Vùng khối lượng mZ (cid:48) − mDM mà các thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp hiện nay đã khảo sát được: từ trái sang phải lần lượt là thí nghiệm XENON1T-34d [7] , XENON1T-2y [8] và LZ [39].

. . . . 50

MỞ ĐẦU

Từ buổi bình minh đầu tiên của văn minh nhân loại, nhu cầu tìm hiểm về thế giới tự nhiên đã xuất hiện. Trải qua hàng nghìn năm lịch sử, nhân loại dần dần lĩnh hội được các quy luật của thiên nhiên như quy luật ngày và đêm, chuyển động của mặt trăng, mặt trời... xuất phát ban đầu từ những quan sát lý luận thô sơ còn mang nặng quan điểm của tôn giáo, triết học duy tâm cho đến những hình thức luận chặt chẽ, khoa học chính xác duy vật. Mặc dù đã trả lời được

một phần những câu hỏi đó, nhưng sự hiểu biết về nguồn gốc, bản chất, quy luật chi phối hoạt động của vũ trụ vẫn là một trong những vấn đề khó khăn nhất mà nhân loại vẫn đang trên con đường tìm lời giải đáp.

Bằng những phép tính chính xác và bằng chứng thực nghiệm ngày nay [17], đã chỉ ra rằng vật chất trong vũ trụ được cấu tạo bởi ba thành phần: vật chất thông thường (ordinary matter) chúng ta quan sát được chiếm 5%, gần 70% là năng lượng tối (dark energy) , thứ mà được coi là nguyên nhân cho hiện tượng giãn nở gia tốc của vụ trụ, và phần còn lại là vật chất tối (dark matter). Vật chất tối và năng lượng tối đều không quan sát được. Điều này thật lạ vì theo đó mọi thứ chúng ta trải nghiệm chỉ là một phần rất nhỏ của thực tế. Nhưng

tệ hơn nữa là chúng ta không có manh mối nào về vật chất tối hay năng lượng tối, hay chúng hoạt động ra sao, chúng ta chỉ biết chúng thật sự tồn tại. Lý do vật chất này được gọi là "tối" vì chúng trung hoà điện, không hấp thụ hay bức xạ điện từ, "tàng hình" đối với dụng cu quan trắc thiên văn. Chúng đổ đầy các thiên hà và mở rộng ra vỏ ngoài thiên hà ở một khoảng cách vô cùng lớn. Chúng ta chỉ có thể nhận biết sự tồn tại của chúng một cách gián tiếp qua các hiệu ứng thiên văn như sự phân bố vận tốc hầu như không đổi của các sao quanh tâm

thiên hà, hiện tượng lăng kính hấp dẫn, bức xạ phông nền vũ trụ (CMB)..

Các phân tích quá trình phát triển vũ trụ chỉ ra rằng, từ thời điểm đầu lúc

1

Mở đầu

hình thành các thiên hà, hầu hết vật chất tối ở dạng phi tương đối tính, hay gọi là vật chất tối lạnh (cold dark matter) [17]. Hiện nay có hai quan niệm về vật chất tối, đó là vật chất tối có nguồn gốc từ vật chất thông thường (baryonic) và

vật chất dị thường (non-baryonic DM). Ứng viên cho vật chất tổi kiểu baryonic là các sao neutron hay hố đen, là đối tượng nghiên cứu của vật lý thiên văn. Tuy nhiên, có nhiều bằng chứng thực nghiệm gần đây cho rằng có thể vật chất tối không được cấu tạo bởi vật chất này. Dạng thứ hai của vật chất tối được quan tâm hơn và là đối tượng nghiên cứu của vật lý hạt cơ bản. Chúng thường là các hạt không có tương tác yếu như axion, neutrino trơ (sterlie neutrino), sneutrino trong lý thuyết siêu đối xứng; hoặc có thể là hạt nặng tương tác yếu

(weakly interacting massive particles-WIMPs) hay hạt nặng tương tác hấp dẫn (grativationally-interacting massvie particles, GIMPs)... Bên cạnh đó, vật chất dạng non-baryonic còn phải thoã mãn các điều kiện sau: chúng phải bền theo thời gian, tương tác điện từ rất yếu và có mật độ tàn dư phù hợp với thực nghiệm. Ở đây ta cần một đối xứng nào đó để đảm bảo vật chất tối là bền.

Về mặt lý thuyết, có hai cách để làm cho vật chất tối là bền. Cách đầu tiên mở rộng phổ hạt trong mô hình chuẩn và đưa vào bằng tay đối xứng Z2 như mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ [20, 32] hay mở rộng đối xứng chuẩn như lớp mô hình 3-3-1 [44, 45, 46] với đối xứng gián đoán Z2. Cách này có nhược điểm việc đưa một đối xứng bằng tay vào một mô hình mang lại cảm quan là tính không

tự nhiên của lý thuyết, thêm nữa là cấm một số tương tác mới xuất hiện do sự bảo toàn của đối xứng Z2, do đó không thu được các tiên đoán thực nghiệm của vật lý mới. Cách thứ hai là tính bền của vật chất tối được đảm bảo cũng bởi một đối xứng gián đoạn tương tự Z2, được gọi là đối xứng chẵn lẻ tự nhiên (parity). Nó xuất hiện tự nhiên là hệ quả của phá vỡ một đối xứng chuẩn như trong lý thuyết siêu đối xứng có đối xứng R-parity [29], mô hình "Litte Higgs Model" với đối xứng T-parity [31], lớp mô hình 3-3-1-1 [42], mô hình 3-2-3-1 [27] với đối xứng WP . Nhờ đối xứng này, phổ hạt của mô hình được khảo sát được chia thành hai lớp: lớp các hạt mang tích R chẵn là các hạt thường, lớp các hạt mang tích R lẻ là hạt lạ và hạt có khối lượng nhẹ nhất trong các hạt này được đồng nhất là vật chất tối.

Mô hình chuẩn (Standard Model-SM) đã thành công trong việc dự đoán chính xác nhiều kết quả mà được thực nghiệm kiểm chứng, như việc tiên đoán boson

2

Mở đầu

1. Trong SM, neutrino không có khối lượng, số lepton thế hệ bảo toàn. Bằng chứng thực nghiệm cho thấy neutrino có khối lượng nhỏ khác không và có

sự trộn lẫn, số lepton thế hệ không bảo toàn.

2. SM mới chỉ thống nhất được ba trong bốn tương tác cơ bản.

3. SM không cho câu trả lời vì sao chỉ có 3 thế hệ fermion (trong SM, số thế

hệ có thể bất kỳ).

4. Tại sao lại có sự lượng tử hóa điện tích, các điện tích quan sát thấy chỉ bằng bội số nguyên lần một điện tích nguyên tố (Trong SM các điện tích có giá trị bất kỳ).

5. SM không trả lời được câu hỏi tại sao chỉ có ba thế hệ các fermion, sự phân bậc khối lượng, tại sao top quarrk có khối lượng lớn, mà neutrino có khối lượng bé. Mặt khác, top quark được dự đoán trong SM có khối lượng

khoảng 10 GeV nhưng thực nghiệm xác định trên máy Tevatron ở Fermilab vào năm 1995 cho ta khối lượng của top quark khoảng 175 GeV.

6. SM chưa thể giải thích được vấn đề bất đối xứng vật chất, phản vật chất. Thực tế chúng ta chỉ quan sát được vật chất cấu thành từ các hạt, không tìm thấy bằng chứng cho thấy sự tồn tại của phản vật chất, vi phạm các nguyên lý cơ sở của SM.

7. Sự vi phạm CP mạnh trong lý thuyết sắc động học lượng tử (QCD). Đối với thực nghiệm, tương tác mạnh hoàn toàn bảo toàn CP, về lý thuyết thì bất kỳ, có thể vi phạm và lớn bất kỳ.

Quan trong hơn nữa đó là việc mô hình chuẩn không thể dự đoán, giải thích được vật chất tối cũng như năng lượng tối. Do đó, mở rộng mô hình chuẩn là vấn đề tất yếu. Có nhiều hướng khác nhau để mở rộng mô hình chuẩn, như mở rộng số chiều không gian, mở rộng phổ hạt, mở rộng đối xứng chuẩn. Trong luận văn, chúng tôi tập trung vào hai phiên bản mở rộng của SM mà chúng chứa đựng vật chất tối: mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ (inert doublet model-IDM)

3

W và Z, quark c, t, b trước khi chúng được thực nhiệm tìm thấy. Đặc biệt việc phát hiện được hạt Higgs được tiên đoán bởi SM mà đã được máy gia tốc LHC xác nhận vào năm 2012. Tuy nhiên bên cạnh đó, SM còn tồn tại một số hạn chế

Mở đầu

[20] và mô hình 3-3-3-1 [43]. Mô hình thứ nhất dựa trên mở rộng phổ Higgs bằng cách đưa thêm một lưỡng tuyến Higgs mới và một đối xứng gián đoạn Z2, mà qua đối xứng này chia được phổ hạt trong mô hình thành hai lớp : lớp hạt thường chẵn Z2 và lớp hạt lẻ Z2, và hạt nhẹ nhất trong lớp hạt lẻ này được đồng nhất với vật chất tối. Với mô hình thứ hai là sự mở rộng từ nhóm chuẩn SM SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y thành nhóm chuẩn SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)X. Trong mô hình đầu tiên, đối xứng Z2 được đưa vào bằng tay nhằm đảm bảo tính bền của vật chất tối, ngược lại, trong mô hình thứ hai, đối xứng chẵn lẻ WP giống như Z2 xuất hiện tự nhiên là hệ quả của phá vỡ nhóm chuẩn, phổ hạt cũng được chia thành hai lớp như mô hình trên và hạt nhẹ nhất trong các hạt

lẻ được coi là vật chất tối. Đây là hai ví dụ tiêu biểu của hai cách tiếp cận khác nhau trong việc tìm cơ chế bền cho vật chất tối.

Hy vọng với việc xác định loại hạt nào là ứng cử viên của vật chất tối sẽ giúp ta giới hạn các đặc điểm cũng như khối lượng của các phổ hạt trong mô hình mới và giúp ta đưa ra những dự đoán về khả năng tìm kiếm và phát hiện các hạt này trong thí nghiệm.

Luận văn được triển khai theo bố cục sau: mở đầu, ba chương , kết luận, tài

liệu tham khảo và phụ luc.

1. Chương 1. Tổng quan về vật chất tối. Trong chương này, các bằng chứng thực nghiệm của vật chất tối được thảo luận, cũng như các tính chất của vật chất tối, các điều kiện đảm bảo tính bền vật chất tối trong mục 1.1 và

1.2. Mục 1.3 điểm qua một số ứng viên cho vật chất tối đang được quan tâm. Mục cuối tập trung vào trình bày ba kiểu thí nghiệm khác nhau cho tìm kiếm vật chất tối là tìm kiếm trực tiếp, gián tiếp và bằng máy gia tốc tại LHC.

2. Chương 2. Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ. Trong chương này, cấu trúc phổ hạt, các Lagrangian của mô hình được giới thiệu, sau đó

thực hiện việc đồng nhất vật chất tối từ các hạt ứng viên. Cuối cùng, thực hiện tính toán số để thu được vùng không gian tham số cho mật độ tàn dư của vật chất tối đúng cũng như tìm kiếm trực tiếp và gián tiếp.

3. Chương 3. Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1. Chúng tôi sẽ tham khảo các công bố về mô hình này và trình bày những điểm hấp dẫn của mô hình

4

Mở đầu

về vật chất tối. Các công việc trong chương này cũng được tiến hành như trong chương 2. Tuy nhiên mô hình 3-3-3-1 có tồn tại một đối xứng tàn dư là hệ quả của phá vỡ đối xứng chuẩn, chính đối xứng này đảm bảo tính bền

của vật chất tối. Đây là điều khác biệt so với mô hình với lưỡng tuyến Higgs trơ trong chương 2 do mô hình trên đưa đối xứng gián đoạn bằng tay.

Cuối cùng, các kết quả quan trọng trong luận văn này được liệt kê và được

thảo luận trong trong phần kết luận.

Trong luận văn này, hệ đơn vị tự nhiên ((cid:126) = c = 1) được sử dụng

5

Chương 1

TỔNG QUAN

Trong chương này, chúng tôi sẽ lần lượt liệt kê và trình bày các bằng chứng thực nghiệm mà cho thấy sự tồn tại của vật chất tối , sau đó rút ra được những đặc điểm, tính chất đặc biệt của vật chất tối. Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một

số ứng viên cho vật chất tối và phương pháp tìm kiếm chúng theo ba phương pháp là tìm kiếm trực tiếp, tìm kiếm gián tiếp và tìm kiếm trong các máy gia tốc.

1.1 Các bằng chức thực nghiệm cho vật chất tối

Bằng chứng đầu tiên cho vật chất tối xuất phát từ một quan sát của nhà thiên văn học người Hà Lan năm 1932, Jan Oort, người đã quan sát sự chuyển động của các sao trong nhóm địa phương và tìm thấy tổng khối lượng của các sao phát sáng trong nhóm này không bằng khối lượng của cả nhóm. J.Oort đã giải

thích sự thiếu hụt khối lượng này bằng việc dùng khái niệm sao ẩn (dim stars) [40].

F.Wicky, một năm sau đó, với việc quan sát chuyển động của các thiên hà

trong cụm thiên hà Coma vào năm 1933, kết hợp với dữ liệu tốt hơn, cũng cho kết quả tương tự J.Oort [53]. Wicky thấy rằng các thiên hà trong cụm chuyển động nhanh hơn bình thường và lực hấp dẫn là không đủ để giữ được cấu trúc của cụm nếu chỉ tính đóng góp lực hấp dẫn của vật chất nhìn thấy được. Bằng việc áp dùng định lý virial, Wicky tìm thấy rằng toàn bộ khối lượng trong cụm Coma lớn hơn gấp trăm lần nếu so với tổng khối lượng của các ngôi sao trong

6

Tổng quan

từng thiên hà của cụm.

Đến những năm 60 của thế kỷ trước, với sự phát triển của công nghệ tại thời điểm đó, người ta lần đầu đo được vận tốc quay của các thiên hà xoắn ốc. Kết quả cho thấy rằng hầu hết các vật thể phát sáng trong vũ trụ như sao, thiên hà, chuyển động nhanh hơn so với dự đoán của chúng ta , nếu như chúng chỉ chịu tác dụng của lực hấp dẫn của những vật thể quan sát đươc. Theo lý thuyết hấp

dẫn của Newton, vận tốc quay của một sao trên một quỹ đạo Keple với bán kính r quay một thiên hà hà có dạng v ∼ (cid:112) M (r)/r với M (r) = 4π (cid:82) ρ(r)r2dr là khối √ r. lượng và ρ(r) là mật độ khối lượng và thường tuân theo quy luật ρ(r) ∼ 1/ Theo quy luật này thì khi đo tại bán kính càng lớn thì v sẽ giảm , tuy nhiên quan sát trong nhiều thiên hà, giá trị của v trở thành hằng số tại các điểm này và được minh hoạ ở đồ thị (1.1) và (1.2) :

Hình 1.1: Đồ thị giữa vận tốc quay và khoảng cách đến tâm thiên hà của một số thiên hà xoắn ốc. Ta thấy mỗi thiên hà đều có xu hướng chung là vận tốc đều tiến tới những giá trị không đổi khi khoảng cách đến tâm thiên ha càng xa [49]

7

Tổng quan

Hình 1.2: Đồ thị so sánh sự phụ thuộc giữa vận tốc quay và khoảng cách đến tâm thiên hà của vật chất tối, vành, đĩa và khí của cụm thiên hà NGC 6503 [21]

Các vận tốc bất thường này không thể giải thích nếu như chỉ xét đóng góp của vật chất quan sát thấy. Thay vào đó, phải tồn tại một thứ nào đó, không quan sát được, có khối lượng rất lớn , M (r) ∝ r . Nó phân bố đều trong ngân hà , có mật độ khối lượng ρ(r) ∝ 1/r2 . Tuy nhiên tại một số điểm ρ sẽ giảm nhanh theo bán kính r để đảm bảo khối lượng là hữu hạn.

Sự tồn tại của vật chất tối còn được thể hiện qua hiệu ứng thấu kính hấp dẫn. Hiệu ứng thấu kính hấp dẫn là hiện tượng xảy ra khi một vật có khối lượng vô cùng nặng như các cụm thiên hà nằm giữa nguồn phát (thường là quasar hay chuẩn tinh) và điểm quan sát, đóng vai trò như là một thấu kính bẻ cong đường

truyền tia sáng dưới tác dụng của lực hấp dẫn. Vật càng nặng thì ánh sáng càng bị bẻ cong . Sự phân bố khối lượng trong các cụm thiên hà cũng được xác định bởi hiện tượng này. Tuy nhiên, giá trị đo được qua hiệu ứng lăng kính hấp dẫn lại không giống với kết quả của các phương pháp khác nếu như chỉ tính đến vật chất nhìn thấy đươc. Đó là bằng chứng rõ ràng nữa cho vật chất tối và người ta

8

Tổng quan

ước tính được trong các cụm thiên hà thì lượng vật chất tối gấp năm lần lượng vật chất thông thường qua hiện tượng này.

Một bằng chứng vô cùng thuyết phục cho vật chất tối đến từ sự kiện hai cụm thiên hà va chạm nhau, Theo đó, hai cụm thiên hà dưới tác động của lực hấp dẫn đã va chạm và đi xuyên qua nhau tại một thời điểm trong quá khứ. Khí baryonic trong hai cụm thiên hà này tham gia tương tác Coulomb, bị đốt nóng

và bức xạ tia X cường độ rất mạnh mà chúng ta quan sát thấy ngày nay. Phân tích bức xạ này cho thấy tại vùng va chạm chỉ có mặt của vật chất baryonic, trong khi đó hiện tượng lăng kính hấp dẫn chỉ ra rằng phần khối lượng vật chất còn lại bao gồm cả vật chất tối nằm trong từng thiên hà riêng biệt. Điều này chứng tỏ vật chất tối trong hai cụm thiên hà này khi đi xuyên qua nhau không bị va chạm mà chỉ di chuyển từ thiên hà này sang thiên hà kia.

Trên thực tế, bên cạnh việc đưa ra khái niệm vật chất tối để giải thích các quan sát thiên văn, còn có một cách tiếp cận khác là hiệu chỉnh lại lý thuyết hấp dẫn nhằm giải thích các quan sát mà trong đó không cần đưa vật chất tối vào, mà ví dụ tiêu biểu cho cách này là phương pháp động lực học newton cải

biến (Modified Newtonian Dynamics-MOND), đề xuất bởi M.Milgrom vào năm 1983, một lý thuyết phi tuyến [35]. Theo đó, MOND cho rằng, dưới một mức nhất định của gia tốc hấp dẫn a0 (cid:39) 2 × 10−10m/s2, thì lực hấp dẫn sẽ tỷ lệ với bình phương gia tốc chứ không còn tỷ lệ tuyến tính với gia tốc. Phương pháp tuy có thể giải thích được nhiều quan sát mà không cần đưa thêm vật chất tối, nhưng lại tồn tại một số nhược điểm. Thứ nhất do bản thân MOND là một lý

thuyết phi tương đối tính, muốn dùng được trong lý thuyết tương đối tính để miêu tả vũ trụ thì phải cần thêm các trường bổ trợ như trường vector hay một metric khác, và do đó làm tăng thêm đáng kể các tham số cho mô hình [36]. Thứ hai, các kiểm chứng từ thực nghiệm mà gần đây nhất là việc lần đầu phát hiện được tín hiệu của sóng hấp dẫn đã củng cố thêm tính chính xác của lý thuyết hấp dẫn của Einstein, việc sử dụng lý thuyết hấp dẫn được tuỳ biến chỉ để không đưa vật chất tối vào là không cần thiết.

9

Tổng quan

1.2 Điều kiện cho vật chất tối

Theo lý thuyết vụ nổ lớn BigBang, quá trình tổng hơp hạt nhân (bigbang-

nucleosynthesis) là quá trình tổng hợp hạt nhân nhẹ từ proton, neutron khi nhiệt độ vũ trụ cỡ T ∼ 100 keV. Proton và neutron kết hợp với nhau tạo nên deutrium 2H với hai đồng vị của Helium là 3He và 4He. Do 4He rất bền nên trong khoảng ba phút đầu tiên sau vụ nổ lớn, chúng chiếm khoảng 25% khối lượng của vũ trụ. Ngược lại, deutrium được sinh ra ngay lập tức tham gia các phản ứng khác tạo nên các nguyên tố khác nặng hơn. Các phân tích chính xác từ bức xạ vi ba phông nền vũ trụ (Cosmic Microwave Backgroud-CMB) cho thấy vật

chất thông thường chỉ có đóng góp cỡ 4-5 % tổng vật chất trong vũ trụ [17]. Nếu vật chất tối có dạng baryonic,thì qua quá trình tổng hơp hạt nhân, vũ trụ có nhiều vật chất baryonic hơn, vượt quá con số 4-5 % của CMB [52], [47]. Do đó vật chất tối không thuộc dạng baryonic. Hệ quả của tính non-baryonic là chúng không mang màu, tức không tham gia tương tác mạnh.

Vật chất tối dạng non-baryonic còn được chia thành ba loại: nóng (hot) , ấm (warm) và lạnh (cold). Khái niệm "nóng, ấm, lạnh" thực tế không phản ánh nhiệt độ của vật chất tối mà thể hiện tính chất tương đối tính hay không tương đối tính của chúng, tức là vận tốc của vật chất tối v ∼ c (nóng), v < c (ấm) và v (cid:28) c (lạnh). Các phân tích sự tiến hoá của vũ trụ cho thấy vật chất tối ở dạng "lạnh", tức dạng phi tương đối tính tại thời điểm các thiên hà bắt đầu hình thành.

Thêm nữa, chúng ta không có cách nào để quan sát, phát hiện được vật chất tối bằng bức xạ điện từ, nên chúng không có tương tác điện từ, tức chúng phải trung hoà điện tích. Vật chất tối có thể tham gia tương tác yếu, nhưng với cường độ phải rất nhỏ, nếu không chúng ta đã phát hiện ra chúng. Như vậy, vật chất tối có tham gia tương tác hấp dẫn, nhưng không tham gia tương tác mạnh và tương tác điện từ, có tương tác yếu cực kỳ bé.

Trong thời kỳ vũ trụ sớm vật chất tối cũng như toàn bộ các hạt khác tồn tại trong bể nhiệt và nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Trong bể nhiệt xảy ra đồng thời hai quá trình thuận nghịch: Hủy hạt hạt vật chất tối sinh ra hai hạt trong mô hình chuẩn và ngược lại hai hạt mô hình chuẩn tuy nhẹ hơn

nhưng nằm trong bể nhiệt của vũ trụ nên sẽ có đủ năng lượng để tán xạ ngược

10

Tổng quan

và sinh ra hai hạt vật chất tối.

Khi vũ trụ mở rộng và nguội đi cho đến khi nhiệt độ vũ trụ cỡ khối lượng mDM quá trình hủy hạt vật chất tối sẽ dần chiếm ưu thế, vì năng lượng do có trong bể nhiệt sẽ giảm và hai hạt trong mô hình chuẩn khó tán xạ để sinh ra hạt vật chất tối trở lại. Sau khi nhiệt độ vũ trụ nhỏ hơn khối lượng mDM, mật độ vật chất tối sẽ giảm rất nhanh theo hàm số mũ, do quá trình ngược bị chặn.

Tuy nhiên, do vũ trụ vẫn tiếp tục giãn nở làm cho các hạt vật chất tối sẽ có ít cơ hội tương tác với nhau. Đến khi tốc độ hủy hai hạt vật chất tối cân bằng với tốc độ giãn nở của vũ trụ (Chính là tham số Hubble, nhiệt độ vũ trụ ở đây

gọi là freeze-out), vật chất tối không hủy được nữa, trạng thái cân bằng nhiệt kết thúc. Tổng số hạt vật chất tối từ sau thời điểm freeze-out hầu như không thay đổi, nhưng sự phân bố chúng trong không gian thay đổi rất lớn gây nên bởi giãn nở của vũ trụ và sự hình thành các cấu trúc (structure formation).

Những hạt vật chất tối còn sống sót và tồn tại cho đến ngày nay với mật độ

tàn dư được xác định bởi phương trình Boltzmann

(1.1)

eq)

với nghiệm [17]:

(1.2)

+ 3Hn = −(cid:104)σv(cid:105)(n2 − n2 dn dt

với h là tham số Hubble rút gọn. (cid:104)σvrel(cid:105) là trung bình nhiệt của tích tiết diện hủy hạt vật chất tối thành hai hạt mô hình chuẩn với vận tốc tương đối giữa hai hạt vật chất tối trong hệ quy chiếu khối tâm vrel, neq là mật độ vật chất tối tại điểm cân bằng nhiệt động.

Bằng những phân tích bức xạ phông nền vũ trụ (Cosmic Microwave Background-

CMB) và được hai thí nghiệm WMAP và PLANK kiểm chứng [33], mật độ tàn dư của vật chất tối có con số sau:

(1.3)

ΩDMh2 (cid:39) 0.1pb < σvrel >

Bên cạnh đó, một cách tổng quát, vật chất tối có thể mang spin bất kỳ, có thể thuộc kiểu fermion, vô hướng hay vector. Thực nghiệm ngày nay đã đưa ra

11

ΩDMh2 = 0.1186 ± 0.0020

Tổng quan

được giới hạn dưới cho khối lượng vật chất tối là mDM > 10 keV và giới hạn trên cỡ khối lượng Plank MPl = 1.22 × 1019 GeV.

Tóm lại để môt hạt là vật chất tối cần thoả mãn những điều kiện sau : chúng phải bền, trung hoà điện tích ,màu tích, có thể tham gia tương tác yếu nhưng với cường độ yếu hơn cả tương tác yếu, có thể mang spin bất kỳ, khối lượng nằm trong khoảng 10 keV < mDM < 1.22 × 1019 GeV.

1.3 Các ứng viên cho vật chất tối

Trong mô hình chuẩn không có bất kỳ hạt nào thoả mãn những điều kiện như trên cho vật chất tối do toàn bổ các hạt trong mô hình chuẩn đều là vật chất dạng baryonic. Ở đây chúng tôi sẽ liệt kê một số ứng viên tiềm tàng cho vật

chất tối đang được cộng đồng khoa học quan tâm :

Axion là hạt được đề xuất nhằm giải thích vấn đề vi phạm đối xứng CP trong tương tác manh . Chúng là giả hạt boson Nambu-Goldstone tương ứng với sự phá vỡ tự phát của nhóm đối xứng Peccei- Quinn U (1)P Q tại thăng năng lượng fa. Chúng có tương tác vô cùng yếu với các hạt thường, điều nay cho thấy rằng axion không nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động tại thời kỳ vũ trụ sớm.

Tại nhiệt độ trên nhiệt độ chuyển pha QCD, khối lượng axion bằng không, trường axion có giá trị bất kỳ, được đặc trưng bởi góc θi. Khi nhiệt độ cỡ 1 GeV, thông qua hiệu ứng instanton, axion nhận khối lượng ma ∼ fπmπ/fa. Mật độ tàn dư của axion [17] :

(cid:19)1.175

(cid:18) fa

(1.4)

1.3.1 Axion

với κa cỡ đơn vị. Nếu θi cỡ bậc 1, để axion là vật chất tối thì nó phải có mật độ tàn dư đúng như (1.3), do đó thăng năng lượng fa ∼ 1011 GeV, vượt quá khả năng tìm kiếm của các máy gia tốc [17].

12

Ωaxionsh2 = κa θ2 i 1012 GeV

Tổng quan

Neutrino trơ (sterlie neutrino) giống với neutrino trong mô hình chuẩn, đưa thêm vào mô hình chuẩn nhằm giải thích khối lượng bé của neutrino bằng cơ

chế seasaw, nhưng khác với neutrino ở chỗ chúng không có tương tác yếu và không có sự trộn giữa các thế hệ, khối lượng cỡ keV. Nếu chúng được sinh ra không cân bằng nhiệt qua trộn lẫn với các neutrino mô hình chuẩn, chúng sẽ rã thành một neutrino mô hình chuẩn và một photon hay ra ba neutrino mô hình chuẩn, trái với yêu cầu tính bền của vật chất tối [17].

1.3.2 Neutrino trơ

Sneutrino là siêu hạt đồng hành của neutrino (super-partner) trong lý thuyết siêu đối xứng cũng được coi là một trong những ứng viên cho vật chất tối. Nếu khối lượng của chúng trong khoảng 0.5 đến 2.3 TeV, sneutrino sẽ cho mật độ tàn dư đúng như ở (1.3). Tuy nhiên, các tính toán cho tiết diện tán xạ của sneutrino với hạt nhân cho kết quả lớn hơn rất nhiều so với giới hạn hiện nay của thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp [28]. Trong lý thuyết siêu đối xứng còn có các hạt như neutralino, gravino(siêu hạt của graviton) hay axino (siêu hạt của axion)

cũng được coi là ứng viên vật chất tối [17].

1.3.3 Sneutrino

Hạt nặng có tương tác yếu bé hay còn gọi được WIMP (Weakly Interacting Massive Partice-WMIP) [17], là những hạt có khối lượng ở thang điện yếu, trong khoảng vài chục GeV đến thang TeV, và tương tác với các hạt mô hình chuẩn với hằng số tương tác điện yếu. Hạt WIMP được sinh ra từ thời kỳ vũ

trụ sớm trong trạng thái cân bằng nhiệt động theo cơ chế freeze-out được đề cập trong mục 1.2. Ví dụ tiêu biểu cho loại hạt WIMP là hạt siêu đối xứng nhẹ nhất trong SUSY: neutralino [29], và hạt nhẹ nhất mang tích T lẻ trong mô hình "litte higgs" [31], hay hạt nhẹ nhất trong lớp hạt mang tích WP lẻ trong các mô hình 3-2-3-1, 3-3-1-1 [27, 42]. Trong khoá luận này, vật chất tối được khảo sát đều thuộc kiểu hạt này.

13

1.3.4 WIMP

Tổng quan

1.4 Tìm kiếm vật chất tối

Ở mục này, chúng tôi sẽ trình bày ba cách khác nhau để tìm kiếm vật chất

tối có tính chất của WMIP là : tìm kiếm trực tiếp (direct detection), tìm kiếm gián tiếp (indirect detection) và tìm kiếm trong máy gia tốc (collider search). Từng kiểu thí nghiệm cho các giới hạn khác nhau cho vật chất tối, vì vậy để có thể khẳng định chính xác đã tìm kiếm được vật chất tối, ta cần có sự kết hợp chặt chẽ từ cả ba kiểu thí nghiệm này.

Ý tưởng cơ bản của tìm kiếm trực tiếp vật chất tối như sau: do vật chất tối đổ đầy khắp thiên hà, thì sẽ có xác suất để một trong số chúng đi qua trái đất và tán xạ với hạt nhân của vật chất trong detector, và bằng cách đo được năng lượng giật lùi khi vật chất tối tán xạ với hạt nhân, ta sẽ có được bằng chứng về vật chất tối. Giá trị năng lượng giật lùi Erecoil phụ thuộc vào khối lượng vật chất tối mDM và kiểu hạt nhân trong detector. Tuỳ theo công nghệ detector mà sẽ có nhiều cách khác nhau để thu nhận được năng lượng giật lùi này như hình

1.3 thể hiện.

Tương tác giữa vật chất tối và hạt nhân trong detector được chia làm hai loại: tương tác có phụ thuộc spin (spin-dependent) và tương tác không phụ thuộc vào

spin (spin-independent). Tương tác phụ thuộc spin khi hạt truyền tương tác giữa vật chất tối và hạt nhân trong detector là hạt vector như các boson chuẩn, trong khi đó tương tác độc lập spin khi hạt truyền tương tác là hạt vô hướng. Đối với các hạt nhận nặng như Ge và Xe, tương tác độc lập spin tỷ lệ với bình phương số khối của hạt nhân A2 , cho cường độ mạnh hơn so với tương tác phụ thuộc spin.

Do tiết diện tán xạ vật chất tối và hạt nhân là rất bé, dẫn đến những số sự kiện tán xạ gây nên bởi vật chất tối và hạt nhân trong detector cũng rất thấp. Do đó, cần phải hạn chế các ảnh hưởng của tác nhân bên ngoài lên hệ đo như tia vũ trụ hay phóng xạ tự nhiên từ đất đá. Với mục đích như vậy, các thí nghiệm

tìm kiếm trực tiếp thường được lắp đặt sâu dưới lòng đất và được trang bị nhiều lớp bảo vệ cũng như các detector siêu nhạy khác để nhận biết được nếu có tia

14

1.4.1 Tìm kiếm trực tiếp

Tổng quan

muon hay sản phẩm của rã β đi qua. Điểm cốt yếu của thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp vật chất tối là làm sao để phân biệt được sự kiện gây nên bởi vật chất tối với các sự kiện khác có cùng cường độ tín hiệu. Ví dụ như tương tác của neutron và hạt α có thể sinh ra tín hiệu có dạng giống với tín hiệu gây nên bởi vật chất tối..Một vài thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp đang hoạt động là DAMA (DArk MAtter) [22], CoGeNT (Coherent Germanium Neutrino Technology) [9].

Hình 1.3: Ba dạng tín hiệu detector thu nhận trong thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp vật chất tối cùng với một vài tên thí nghiệm tương ứng [38]

.

Thí nghiệm tìm kiếm gián tiếp dựa trên ý tưởng ngược với tìm kiếm trực tiếp. Đó là quan sát được các sản phẩm được sinh ra khi hai hạt vật chất tối huỷ lẫn nhau trong vũ trụ như tia gamma, neutrinos, positron, anti-proton... Thông lượng của những bức xạ này tỷ lệ với bình phương mật độ vật chất tối, do đó cơ hội để có thể quan sát được những sự kiện như này là những vùng có mật độ vất chất tối ρDM đậm đặc như tâm thiên hà. Quan sát và thu nhập dữ liệu từ những vùng này, nếu thấy có sự vượt quá mức so với phông nền thì đó có thể là tín hiệu do hai vật chất tối huỷ nhau tạo thành. Tuy nhiên cũng cần lưu ý có những sự kiện trong vũ trụ cho tín hiệu có thể giống với vật chất tối gây ra. Một số thí nghiệm tìm kiếm gián tiếp đang hoạt động hiện này là EGRET(Energetic Gamma Ray Experiment Telescope) [6], PAMELA (Payload

15

1.4.2 Tìm kiếm gián tiếp

Tổng quan

for Antimatter Matter Exploration and Light-nuclei Astro- physics) [10], ATIC (Advanced Thin Ionization Calorimeter) [25].

1.4.3 Tìm kiếm trong máy gia tốc LHC

Trong những năm gần đây, tìm kiếm vật chất tối trong máy gia tốc LHC đang trở thành chủ đề mang tính thời sự. Hai chùm tia proton được gia tốc và cho va s = 13 TeV, kết quả sinh ra chạm trực diện với nhau tai năng lượng khối tâm hàng tỷ các sự kiện trong một thời gian rất ngắn được thu nhận bởi hàng nghìn detector, mà một trong số đó có chứa sự kiện cho thông tin về vật chất tối. Cần nhắc lại rằng do vật chất tối có tính non-baryonic, không có tương tác điện từ,

mạnh và tương tác yếu cực kỳ bé, nên vật chất tối nếu được sinh ra trong máy gia tốc cũng sẽ nhanh chóng thoát ra khỏi detector và không thu được tín hiệu nào, tương tự như neutrino. Khi đó ta chỉ có thể đo được thành phần phân cực ngang của năng lượng thất thoát (missing transerve energy-MET) ET = (cid:112)m2 + p2 T như là dấu hiệu nhận biết chúng sự hiện diện của vật chất tối. Bởi vì vậy, tìm kiếm vật chất tối trong máy gia tốc tương đương quan sát của những sản phẩm đi kèm khi hai chùm tia proton va chạm nhau như jet, các lepton mang điện, photon,

hay được gọi là tìm kiếm mono-jet hay di-jet.

Hình 1.4: Minh hoạ ba phương pháp cho tìm kiếm vật chất tối: từ trái sang phải lần lượt là tìm kiếm trực tiếp, gián tiếp và tìm kiếm tại collider [11]

Lựa chọn những sự kiện có MET lớn, ta có thể làm giảm phông nền do các hạt mô hình chuẩn gây nên và phân loại được tín hiệu của vật chất tối. Tuy nhiên, cần chú ý rằng kể cả khi xác định được một sự kiện khả dĩ thì ta vẫn chưa chắc chắn đó là có phải là do vật chất tối gây nên không, vì bất kỳ một hạt trung hoà nào mà detector không thu nhận được đều có thể coi là năng lượng thất thoát. Chỉ với sự bổ sung thông tin từ các thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp

16

√

Tổng quan

và gián tiếp mới có thể kết luận chính xác hạt trung hoà đó có phải thực sự là vật chất tối không.

17

Chương 2

VẬT CHẤT TỐI TRONG MÔ

HÌNH LƯỠNG TUYẾN HIGGS

TRƠ

Sau khi đã trình bày các đặc điểm, tính chất của vật chất tối trong chương 1, chúng ta sẽ đi sâu vào khảo sát vật chất tối trong hai mô hình cụ thể , mà trước hết là mô hình với lưỡng tuyến Higgs trơ [20], một trong phiên bản mở rộng mô hình chuẩn đơn giản nhất bằng việc đưa thêm một lưỡng tuyến Higgs khác cùng với một đối xứng Z2. Lưỡng tuyến Higgs mới có đặc điểm là nó là lẻ dưới phép đối xứng gián đoạn Z2, có trị trung bình chân không (Vacuum Expectation Value-VEV) bằng 0, và không có tương tác trực tiếp với quark và lepton.

2.1 Tổng quan mô hình

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày vấn tắt cấu trúc của mô hình như phổ hạt, thế Higgs của mô hình. Điều kiện cực tiểu thế Higgs giúp thu được rằng buộc cho các tham số mô hình. Tiếp theo, dựa theo đối xứng Z2, chia được lớp hạt mô hình thành hai kiểu chẵn Z2 và lẻ Z2. Hạt nhẹ nhất, trung hoà điện tích và thuộc kiểu lẻ Z2 sẽ được đồng nhất là vật chất tối.

18

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Phổ hạt của mô hình này tương tự với mô hình chuẩn, với bổ sung thêm một lưỡng tuyến Higgs H2 lẻ Z2, tức là H2 → −H2, và các trường khác là chẵn dưới Z2 , SM → SM, H1 → H1, trong đó H1 là lưỡng tuyến Higgs của mô hình chuẩn:

(cid:32)

(cid:33)

(cid:32)

(cid:33)

(cid:16)

(cid:17)

2.1.1 Phổ hạt và thành phần Higgs

(2.1)

(2.2)

νaL uaL ∼ 3, 2, , ψaL = ∼ (1, 2, −1) , QaL = 1 3 eaL daL

(cid:32)

(cid:33)

(cid:32)

(cid:33)

(2.3)

eaR ∼ (1, 1, −2), uaR ∼ (3, 1, 4/3), daR ∼ (3, 1, −2/3)

Hai lưỡng tuyến này có VEV như sau :

(cid:32)

(cid:33)

(cid:33)

(cid:32)

(2.4)

∼ (1, 2, 0) , H1 = ∼ (1, 2, 1) , H2 = φ+ v+h+iχ√ 2 H + v(cid:48)+S+iA√ 2

Thế Higgs có dạng :

(2.5)

, (cid:104)H1(cid:105) = ∼ (1, 2, −1/2), (cid:104)H2(cid:105) = 0 v(cid:48) 2 0 v√ 2

(cid:104)

V = µ2

1|H1|2 + µ2 +λ4|H †

2|H2|2 + λ1|H1|4 + λ2|H2|4 + λ3|H1|2|H2|2 (cid:105) 1H2)2 + H.c

1|H2|2 + (λ5/2)

(H †

với λ1,2,3,4,5 là các tham số tự do.

= Vlinear + Vmass + Vmin + Vinteraction

Thay (2.4) vào biểu thức thế Higgs, ta có Vmin:

(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

2.1.2 Điều kiện cực tiểu thế

(cid:48)∗v

(cid:48)∗v

(cid:48)∗v

(cid:48)

+ )2 + v∗v + v (v (v∗v)2 + v v∗v Vmin = µ2 1 2 λ1 4 λ3 4

(2.6)

19

+ + v µ2 2 2 (cid:48)∗vv∗v λ2 4 (cid:48)∗v)2 + Hc]. [(v λ4 4 λ5 8

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Điều kiện cực tiểu thế là :

(2.7)

(cid:48)∗v(cid:48))] +

(cid:48)2v∗ = 0.

(cid:48)

+ (v∗v) + (v v µ2 1 2 λ1 2 λ3 + λ4 4 λ5 4 ∂Vmin ∂v∗ = v[

(2.8)

(cid:48)∗v

(cid:48)∗v2 = 0,

Điều kiện cần:

1. Thế bị chặn từ bên dưới: λ1 > 0, λ2 > 0.

2. Có phá vỡ đối xứng tự phát với Z2 được bảo toàn: µ2

1 < 0

Ta có (2.8) có thể viết dưới dạng:

(2.9)

+ ) + (v (v∗v)] + v µ2 2 2 λ2 2 λ3 + λ4 4 λ5 4 ∂Vmin ∂v(cid:48)∗ = v(cid:48)[

(cid:48)∗B = 0 ⇔ |v(cid:48)|(eiϕA + e−iϕB) = 0

2

(cid:48)∗v(cid:48)) + λ3+λ4

v(cid:48)A + v

Trong đó: A = µ2

2 + λ2

2 (v

4 v2.

4

Phương trình trên có nghiệm duy nhất v(cid:48) = 0 khi và chỉ khi (A ± B) (cid:54)= 0. Vậy:

(v∗v) và B = λ5

(2.10)

(cid:48)∗v(cid:48)) +

(cid:21) (v∗v)

(cid:20)µ2 2 2

hay tương đương với

(2.11)

+ (cid:54)= 0 (v λ2 2 λ3 + λ4 ± λ5 4

Tóm lại các tham số của mô hình phải thoả mãn các điều kiện:

(cid:112)

(2.12)

µ2 2 > 0, λ2 > 0, (λ3 + λ4 ± λ5) > 0

1 < 0, µ2 µ2

2 > 0, λ1,2 > 0, λ3 + λ4 ± λ5 > 0, −2

để v (cid:54)= 0 và v(cid:48) = 0, thế bị chặn từ bên dưới, các khối lượng Higgs dương. Bên cạnh đó ta đã áp đặt v(cid:48) = 0 sao cho Z2 được bảo toàn. Đây là điều kiện để vật chất tối bền.

20

λ1λ2 < λ3, λ3 + λ4 ± λ5

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Khai triển thế Higgs ta thu được các số hạng sau :

(cid:18)

(cid:19)

2.1.3 Phổ khối lượng và đồng nhất vật chất tối

1|H1|2 = µ2 1

(cid:18)

φ+φ− + . SH1 = µ2

2|H2|2 = µ2 2

(cid:21)

H +H − + . SH2 = µ2 h2 + χ2 + v2 + 2hv 2 (cid:19) S2 + A2 2

(cid:20) v2φ+φ− +

+ + hv3 + SH3 = λ1|H1|4 = λ1 + Vinteraction v4 4 v2(h2 + χ2) 2 3h2v2 2

(cid:21)

SH4 = Vinteraction

(cid:20)v2(2H +H − + S2 + A2) 4 (cid:21)

SH5 = λ3|H1|2|H2|2 = λ3

1H2|2 = λ4

(cid:20)v2 4

(2.13)

(S2 + A2) SH6 = λ4|H †

1H2)2 =

Tổng tất cả các số hạng trên cho Vmass. Phần trơ có phổ khối lượng như sau:

(2.14)

(v2S2 − v2A2). SH7 = λ5(H † λ5 4

2 +

H ± = µ2

(2.15)

, m2 λ3v2 2

2 +

H 0 = µ2

(2.16)

m2 ,

2 +

A0 = µ2

Hạt Higgs mô hình chuẩn thuộc lớp hạt thường có khối lượng

(2.17)

m2 . (λ3 + λ4 + λ5)v2 2 (λ3 + λ4 − λ5)v2 2

h = λ1v2

Các trường φ±, χ là các goldstone boson không mang khối lượng, sau khi phá vỡ đối xứng tự phát sẽ mang khối lượng là mW ± = gv/2 và mZ = gv/(2cW ), chính là các boson chuẩn W ± và Z, thuộc lớp hạt chẵn Z2.

Vậy đối xứng Z2 chia phổ hạt thành hai lớp

1. Lớp chẵn Z2: νe,µ,τ , e, µ, τ, u, d, c, s, t, b, W ±, Z, h, γ, g

2. Lớp lẻ Z2 : H ±, H 0, A0

Do yêu cầu vật chất tối là hạt trung hoà điện tích, lẻ Z2 nên chỉ có hai hạt H0

21

m2

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

và A0 là ứng viên. Tuỳ theo điều kiện tham số mà một trong hai hạt ấy sẽ là vật chất tối. H0 là vật chất tối nếu mH0 < mA0, mH ± hoặc A0 là vật chất tối nếu mA0 < mH0, mH ±. Sau đây, không mất tính tổng quát ta xét H0 là hạt trơ nhẹ nhất, tức là ứng viên của vật chất tối.

2.2 Mật độ tàn dư và tìm kiếm vật chất tối

Để khảo sát các tính chất của vật chất tối như mật độ và các thực nghiệm tìm kiếm, ta phải tính các tương tác của hạt trơ với hạt thông thường. Khai

triển các số hạng trong biểu thức thế năng toàn phần với các thành phần và sử dụng phương pháp bóc vỏ, ta thu được các đỉnh tương tác được liệt kê trong hai bảng 2.1 và 2.2.

STT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tương tác H 0H 0h− A0A0h H +H −h hhH 0H 0 hhA0A0 H +H +H −H − H +H +H 0H 0 H +H +A0A0 H 0H 0H 0H 0 H 0H 0A0A0 A0A0A0A0 hhH +H −

Hệ số đỉnh tương tác −iv(λ3 + λ4 − λ5) −iv(λ3 + λ4 + λ5). −2λ3. −i(λ3 + λ4 + λ5) −i(λ3 + λ4 − λ5) −4iλ2 −2iλ2 −2iλ2 −6iλ2 −2iλ2 −6iλ2 −iλ3

Bảng 2.1: Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và 4 của các hạt trơ với Higgs.

22

2.2.1 Mật độ tàn dư vật chất tối H 0

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

−

STT 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11

12

Hệ số đỉnh tương tác g 2 (pH 0 − pH +)µ ig 2 (pA0 − pH +)µ − igc2W (pH− − pH +)µ 2cW g (pH 0 − pA0)µ 2cW 2g2s2 W gµν g2sW gµν 2 ig2sW gµν − 2 ig2c2W sW gµν 2cW ig2 2 gµν ig2 2 gµν ig2 2 gµν gµν

13

W +

gµν

2W

14

15

16

Tương tác W −µ H +H 0 W −µ H +A0 ZµH +H − ZµA0H 0 AµAνH +H − AµW + ν H −H 0 ν H −A0 AµW + AµZνH +H − µ W −ν H +H − W + µ W −ν H 0H 0 W + µ W −ν A0A0 W + µ ZνH −H 0 W + µ ZνH −A0 ZµZνH +H − ZµZνH 0H 0 ZµZνA0A0

gµν gµν gµν

g2s2 W 2c2 W ig2s2 W 2c2 W ig2c2 2c2 W ig2 2c2 W ig2 2c2 W

Bảng 2.2: Bảng hệ số đỉnh tương tác bậc 3 và 4 của DM với Higgs và boson chuẩn.

Các giản đồ feynman cho đóng góp vào kênh huỷ hai hạt H 0 :

Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho đóng góp chính vào kênh huỷ H0 thành các hạt mô hình chuẩn qua cổng Higgs (Higgs portal)

Tiếp theo, chúng tôi sẽ khảo sát sự phụ thuộc của mật độ tàn dư vào khối lượng của vật chất tối mH 0. Các tham số được chọn ở đây là λL = (λ3 +λ4 +λ5)/2 = 0.01, mh = 125 GeV, mA0 = mH 0 + 50, mH ± = mH 0 + 50 GeV, v = 246 GeV. Bằng cách nhập các đỉnh tương tác ở hai bảng 2.1, 2.2 vào chương trình micrOMEGAs

23

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

[12, 14, 15], ta thu được đồ thị cho mối liên hệ giữa vật chất tối H 0 và mật độ tàn dư của nó Ωh2:

Hình 2.2: Mật đồ tàn dư như là hàm của khối lượng vật chất tối H0.

Ta có thể chia đồ thị trên thành ba miền khác nhau, mỗi miền với từng giá

trị khác nhau của mH 0

1. Vùng đầu tiên với mH 0 < 54 GeV, H 0 huỷ chủ yếu về các quark hay lepton

thông qua kênh s H 0, H 0 → b, ¯b, H 0, H 0 → τ, ¯τ .

h − 4m2

2. Vùng thứ hai là vùng cộng hưởng. Lúc này kênh huỷ H 0, H 0 → W +, W − dần chiếm ưu thế và mật độ giảm rất nhanh. Đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị tại những điểm mà cho mật độ tàn dư đúng với thực nghiệm vào khoảng 55 < mH 0 < 65 GeV. Ở đây, ta thấy có một điểm cộng hưởng tại mH 0 (cid:39) mh/2 (cid:39) 62 GeV. Điều này được giải thích như sau: do mật độ tàn dư tỷ lệ nghịch với tiết diện huỷ (cid:104)σv(cid:105), mà tiết diện huỷ này lại tỷ lệ nghịch với bình phương hàm truyền (cid:104)σv(cid:105) ∼ 1/(m2 H 0)2, do đó mật độ tàn dư h − m2 Ωh2 ∼ 1/(cid:104)σv(cid:105) ∼ (4m2

H 0)2. Vì vậy ta có cộng hưởng khi mH 0 ∼ mh/2.

3. Vùng thứ ba với mH 0 > 65 GeV. Khi khối lượng hạt vật chất tối H 0 đủ lớn so với khối lượng boson chuẩn W ±, Z, kênh huỷ H 0, H 0 → W +, W − và H 0, H 0 → Z, Z là chủ đạo làm cho mật độ lúc này giảm dần dần. Chú ý do thiết lập điều kiện mH 0 = mH ±,A0 + 50 GeV nên H 0 không thể huỷ về được hai hạt lẻ H ±, A0 cũng như không có sự đồng huỷ với chúng.

24

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Trong mục này, chúng tôi sẽ khảo sát tìm kiếm vật chất tối bằng phương pháp tìm kiếm trực tiếp. Sử dụng micrOMEGAs và các tham số như trên, ta thu được đồ thị sự phụ thuộc vào số sự kiện tán xạ thu được trong một ngày với 1 kg chất Xenon trong detector vào khối lượng vật chất tối mH 0.

Hình 2.3: Đồ thị mối liên hệ số sự kiện thu được trong ngày với 1 kg Xe khi hạt vật chất tối H 0 tán xạ hạt nhân Xenon trong detector với khối lượng mH 0 trong thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp.

Ta nhận thấy rằng số sự kiện thu được giảm dần theo khối lượng mH 0. Từ đồ thị (2.2) cho mật độ tàn dư đúng khi khối lượng nằm trong khoảng từ 54 đến 65 GeV, sẽ cho số sự kiện tán xạ cỡ 10−3 sự kiện/ngày/kg.

Tiếp theo sẽ khảo sát sự phụ thuộc tiết diện tán xạ độc lập spin giữa vật chất

tối H 0 và hạt nhân Xe σSI

H 0−N vào khối lượng mH 0 trong đồ thị (2.4)

25

2.2.2 Tìm kiếm vật chất tối

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Hình 2.4: Đồ thị mối liên hệ tiết diện tán xạ độc lập spin giữa vật chất tối H 0 với hạt nhân Xe của detector vào khối lượng mH 0 trong tìm kiếm trực tiếp.

Với khối lượng cho mật độ tàn dư đúng con số 0.11 là từ 55 đến 65 GeV, σSI H 0−N cho giá trị cỡ 5 × 10−9 pb hay ∼ 5 × 10−45cm2. Các giá trị nằm trong miền khảo sát của thí nghiệm [39].

Với khối lượng mH 0 nằm trong thang vài chục GeV, ta có thể khảo sát tìm kiếm gián tiếp. Vẫn với các tham số đã chọn ở trên, và sử dụng micrOMEGAs, ta có được đồ thị mối liên hệ giữa tiết diện huỷ hai hạt vật chất tối H 0 vào khối lượng của nó.

Hình 2.5: Đồ thị mối liên hệ tiết diện huỷ (cid:104)σv(cid:105) của hai hạt vật chất tối H 0 với khối lượng mH 0 trong tìm kiếm gián tiếp.

26

Vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ

Dễ thấy có một cộng hưởng cho (cid:104)σv(cid:105) ∼ 10−19 cm3s−1 tại mH 0 ∼ mh/2 ∼ 62 GeV, tương ứng với điểm mật độ tàn dư bé nhất do mật độ tàn dư Ωh2 ∼ 1 (cid:104)σv(cid:105). Với miền khối lượng cho mật độ tàn dư đúng từ 55 đến 65 GeV, tiết diện huỷ (cid:104)σv(cid:105) cỡ 10−26 cm2s−1.

27

Chương 3

VẬT CHẤT TỐI TRONG MÔ

HÌNH 3-3-3-1

Chúng ta sẽ tiếp tục khảo sát vật chất tối trong một mô hình có cấu trúc phổ hạt, Higgs phức tạp hơn so với mô hình ở chương 2, tuy nhiên lại có ưu điểm là ta không phải đưa một đối xứng gián đoạn vào để đảm bảo vật chất tối là bền, mà mô hình sẽ tự động cung cấp. Đó là mô hình dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)X hay còn được gọi tắt là mô hình 3-3-3-1 [30, 48].

3.1 Tổng quan mô hình

Mô hình 3-3-3-1 là sự kế thừa từ những ưu điểm của hai mô hình đối xứng trái phải với nhóm chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ SU (2)R ⊗ U (1)B−L (left-right symmetry model) [37] và mô hình 3-3-1 với nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (3)L⊗U (1)X [44, 45, 46] như giải thích được vấn đề khối lượng neutrino trước khi được thực nghiệm kiểm tra, giải thích được tại sao điện tích bị lượng tử hoá, vấn đề số thệ hệ fermion

như hệ quả khử dị thường và tiềm cận tự do trong QCD, sự nặng bất thường của top quark... Không những vậy, mô hình 3-3-3-1 còn khắc phục được nhược điểm của hai mô hình này là không cung cấp vật chất tối như trong mô hình đối xứng trái phải và tính không tự nhiên của mô hình 3-3-1 khi đưa đối xứng Z2 bằng tay vào để làm vật chất tối bền. Mô hình 3-3-3-1 sẽ tự động cung cấp nhiều kiểu ứng viên vật chất tối nhờ sự có mặt của đối xứng vật chất WP là hệ

28

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

quả của phá vỡ đối xứng chuẩn mô hình. Ở đây, các kết quả trong [43] được tìm hiểu và được trình bày lại những điểm chính.

Toán tử điện tích được định nghĩa như sau:

(3.1)

3.1.1 Phổ hạt và các trường Higgs

Q = T3L + T3R + β(T8L + T8R) + X = T3L + T3R + B − L 2

trong đó TiL,R, (ni = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), X là các vi tử của nhóm SU (3)L, SU (3)R 3 với q là tham số điện tích. Tích B − L được định và U (1)X, β = −(2q + 1)/ nghĩa :

(3.2)

√

Phổ hạt được sắp xếp như sau:









B − L = 2[β(T8L + T8R) + X]

(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:17)

(3.3)

νaL νaR

  ∼

  ∼

 

 

1, 3, 1, 1, 1, 3, , ψaL = , ψaR = q − 1 3 q − 1 3









(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

eaL N q aL eaR N q aR

 

 

  ∼

  ∼









3, 3∗, 1, − 3, 1, 3∗, − , (3.4) QαL = , QαR = q 3 q 3 J J dαL −uαL −q− 1 3 αL dαR −uαR −q− 1 3 αR

(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:17)

(3.5)

u3L u3R

 

  ∼

  ∼

 

với a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Các lepton và quark ngoại lai Na, Ja được bổ sung thêm vào bên cạnh các hạt SM, để hoàn thành các biểu diễn, đồng thời đảm bảo điều kiện khử dị thường.

Để phá vỡ đối xứng tự phát và sinh khối lượng chính xác cho các hạt, mô

hình 3-3-3-1 cần những đa tuyến Higgs sau :

29

3, 3, 1, 3, 1, 3, , Q3L = , Q3R = q + 1 3 q + 1 3 J J d3L q+ 2 3 3L d3R q+ 2 3 3R

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1



(3.6)

 

  ∼ (1, 3, 3∗, 0), 

φ =



(cid:17)

(cid:16)

φ−q 13 φ−1−q 23 φ0 33

(3.7)

 

 



L 

(cid:17)

(cid:16)

∼ , 1, 3, 1, − χL = 2q + 1 3

(3.8)

 

 

∼ 1, 1, 3, − , χR = 2q + 1 3

R





(cid:18)

(cid:19)

φ+ φ0 11 12 φ− φ0 22 21 φq 31 φ1+q 32  χ−q 1 χ−q−1 2 χ0 3 χ−q 1 χ−q−1 2 χ0 3

(3.9)

  

  

L





(cid:19)

(cid:18)

∼ 1, 6, 1, , σL = 2(q − 1) 3

(3.10)

  

  

σq 13√ 2 σq−1 23√ 2 σ2q 33 σq 13√ 2 σq−1 23√ 2 σ2q 33

∼ , 1, 1, 6, σR = 2(q − 1) 3

σ− 12√ 2 σ−− 22 σq−1 23√ 2 σ− 12√ 2 σ−− 22 σq−1 23√ 2

R

với các trị trung bình chân không VEVs là













σ0 11 σ− 12√ 2 σq 13√ 2 σ0 11 σ− 12√ 2 σq 13√ 2

0 0 0

 

  , (cid:104)χR(cid:105) =

 

  , (cid:104)χL(cid:105) =

 

  ,(3.11)

(cid:104)φ(cid:105) = 0 0 0 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 u 0 0 u(cid:48) 0 wR wL







0 w 

 

  , (cid:104)σL(cid:105) =

 

  .

Chú ý rằng các đa tuyến χL, σL có VEV wL, ΛL (cid:28) ΛR, wR, u, u(cid:48), w, chúng chỉ cho đóng góp vào khối lượng rất bé của neutrino. Vì vậy để giảm bớt khối lượng tính toán, những VEV này sẽ được bỏ qua, và ta ký hiệu lại ΛR ≡ Λ, wR ≡ w(cid:48).

Lagrangian toàn phần của mô hình :

(3.12)

ΛR 0 0 0 0 0 ΛL 0 0 0 0 0 (cid:104)σR(cid:105) = 1 √ 2 1 √ 2 0 0 0 0 0 0

30

L = Lgauge + LYukawa − V,

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Tương tác Yukawa có lagrangian như sau :

3.1.2 Tương tác Yukawa và ma trận trộn khối lượng các fermion

ab

(3.13)

¯ψaLφψbR + z33 ¯Q3LφQ3R LYukawa = xab

aLσ† aRσ† ¯ψc ¯ψc RψbR + x(cid:48) LψbL + yab ¯QαLφ∗QβR + Lef f Yukawa + H.c.,

Yukawa là Langrangian Yukawa hiệu dụng đóng vai trò là sinh đầy đủ

trong đó Lef f khối lượng cho ma trận CKM.

+zαβ

(3.14)

Yukawa =

Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, các fermion nhận khối lượng như sau. Các

lepton mang điện thông thường có ma trận trộn khối lượng nằm trong thang điện yếu u(cid:48) là:





(3.15)

Lef f ¯Q3Lφχ∗QαR + ¯QαLφ∗χQ3R t3α M tα3 M

 

 

Đối với lepton mới Na, có khối lượng nằm ở thang vật lý mới w là :





Me = − 1 √ 2 y11u(cid:48) y12u(cid:48) y13u(cid:48) y21u(cid:48) y22u(cid:48) y23u(cid:48) y31u(cid:48) y32u(cid:48) y33u(cid:48)

(3.16)

y11w y12w y13w

 

 

Với các quark up và down, khối lượng của chúng được trộn qua hai ma trận sau









√

√

MN = − y21w y22w y23w 1 √ 2 y31w y32w y33w

√

√

z11u

  

  

  

 .(3.17)  

Mu = − , Md = − 1 √ 2 1 √ 2

Các quark mới Ja có khối lượng thang w. Chú ý rằng hai thế hệ đầu J1, J2

trộn lẫn nhau qua ma trận khối lượng

(cid:33)

(cid:32)

z11u(cid:48) z21u(cid:48) t31uw(cid:48) √ 2M z12u(cid:48) − t13u(cid:48)w(cid:48) 2M z22u(cid:48) − t23u(cid:48)w(cid:48) 2M t32uw(cid:48) z33u √ 2M z21u t31u(cid:48)w(cid:48) √ 2M z12u − t13uw(cid:48) 2M z22u − t23uw(cid:48) 2M t32u(cid:48)w(cid:48) z33u(cid:48) √ 2M

(3.18)

31

z11w z12w , MJα = − 1 √ 2 z21w z22w

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Còn thế hệ quak mới thứ 3, J3 , không trộn và có khối lượng:

(3.19)

Neutrino trong mô hình này nhận khối lượng qua cơ chế seasaw. Ma trận trộn khối lượng neutrino :

(cid:33)

(cid:32)

(3.20)

mJ3 = − z33w √ 2

trong đó ML, MD, MR là ma trận 3×3 khối lượng Dirac và Majorana của neutrino:

, Mν = ML MD M T D MR

(3.21)

abvL, [MR]ab = −

√ √ 2x(cid:48) [MD]ab = − yabu, [ML]ab = − 2xabΛ, 1 √ 2

Thế vô hướng được xây dựng như sau : V = Vφ + Vχ + Vσ + Vmix,

(3.22)

(3.23)

(3.24)

3.1.3 Phổ khối lượng các hạt HIggs

φTr(φ†φ) + λ1[Tr(φ†φ)]2 + λ2Tr[(φ†φ)2], χχ†χ + λ(χ†χ)2, σTr(σ†σ) + κ1[Tr(σ†σ)]2 + κ2Tr[(σ†σ)2],

Vφ = µ2 Vχ = µ2 Vσ = µ2

(3.25)

Vmix = ζ1χ†χTr(φ†φ) + ζ2Tr(φ†φ)Tr(σ†σ) + ζ3Tr(φ†φσσ†) + ζ4χ†χTr(σ†σ)

i φβ

j φγ

k + H.c.).

Khai triển các trường Higgs (3.11) theo các trị trung bình chân không tương

ứng :









+ζ5χ†σσ†χ + ζ6χ†φ†φχ + (f (cid:15)ijk(cid:15)αβγφα

  

  

  

  

u+S2+iA2 √ 2 φ− 21 φq 31

, φ = , σ = φ−q 13 −(q+1) 23

σq 13√ 2 σq−1 23√ 2 σ2q 33



σ− 12√ 2 σ−− 22 σq−1 23√ 2 

(3.26)

φ+ 12 u(cid:48)+S3+iA3 √ 2 φq+1 32 φ w+S4+iA4 √ 2

  

  

Λ+S1+iA1 √ 2 σ− 12√ 2 σq 13√ 2 χ−q 1 −(q+1) χ 2 w(cid:48)+S5+iA5 √ 2

32

χ =

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

vào thế vào V ta thu được :

(3.27)

V = Vmin + Vlinear + Vmass + Vinteraction

Vmin là cực tiểu thế , không phụ thuộc vào các trường và chỉ cho đóng góp vào năng lượng chân không. Thành phần thứ hai chứa đựng các số hạng tuyến tính với các trường, điều kiện bất biến chuẩn Vlinear = 0 cho hệ phương trình sau :

σ + (u(cid:48)2 + w2)ζ2 + u(cid:48)2(ζ2 + ζ3) + w(cid:48)2ζ4 + 2(κ1 + κ2)Λ2 = 0,

φ + 6

φ + 6

2µ2 √ 2f 2µ2 √ 2µ2 2f

(3.28)

φ + 6 χ + 2λw(cid:48)2 + ζ1(u2 + u(cid:48)2 + w2) + ζ6w2 + ζ4Λ2 = 0.

Thành phần Vmass chứa các số hạng tỷ lệ với bình phương các trường , thực

hiện chéo hoá thu được các trường và khối lượng vật lý. Cụ thể :

√ 2f + 2λ1(u2 + u(cid:48)2) + 2(λ1 + λ2)w2 + (ζ1 + ζ6)w(cid:48)2 + ζ2Λ2 = 0, u(cid:48) w + 2λ1(u2 + u(cid:48)2 + w2) + (2λ2u2 + ζ1w(cid:48)2 + (ζ2 + ζ3)Λ2) = 0, u u u(cid:48) w + 2(λ1 + λ2)u(cid:48)2 + (2λ1(u(cid:48)2 + w2) + ζ1w(cid:48)2 + ζ2Λ2) = 0, uu(cid:48) w 2µ2 2µ2

±(q−1) mass + V ±2q

±(q+1) mass + V

mass + V S

mass + V ±

mass + V ±±

mass + V ±q

mass, (3.29)

mass + V

Ta sẽ lần lượt tính các thành phần trong (3.29). V S mass bao gồm các trường vô hướng S1, S2, S3, S4, S5 được trộn lẫn nhau qua ma trận M 2 S (xem phụ lục A.4). Dùng điều kiện gần đúng u, u(cid:48) (cid:28) w, w(cid:48), Λ , ta thu được lần lượt các trường và khối lượng vật lý sau :

Vmass = V A

(3.30)

(cid:1) ,

(cid:0)uS2 + u(cid:48)S3

(cid:1) , H2 =

(cid:0)u(cid:48)S2 − uS3

(3.31)

√ √ H1 = 1 u2 + u(cid:48)2 1 u2 + u(cid:48)2

33

H3 = S1, H4 = cθ1S4 − sθ1S5, H5 = sθ1S4 + cθ1S5,

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

(3.32)

4 w(cid:48)2)

2 w2 + ζ 2 4(κ1 + κ2)

(cid:19)2

H4 = cH S4 − sH S5, (cid:26) (ζ 2 = (λ1 + λ2)w2 + λw(cid:48)2 − m2 H4

(cid:21)2

 

4 w(cid:48)2 − ζ 2 ζ 2 2 w2 4(κ1 + κ2)

(cid:18) ζ2ζ4 κ1 + κ2



(3.33)

1 2 (cid:115)(cid:20) + + , w2w(cid:48)2 (λ1 + λ2)w2 − λw(cid:48)2 + − 2(ζ1 + ζ6) 1 4

4 w(cid:48)2)

2 w2 + ζ 2 4(κ1 + κ2)

(cid:19)2

H5 = sH S4 + cH S5, (cid:26) (ζ 2 = (λ1 + λ2)w2 + λw(cid:48)2 − m2 H5

(cid:21)2

 

4 w(cid:48)2 − ζ 2 ζ 2 2 w2 4(κ1 + κ2)

(cid:18) ζ2ζ4 κ1 + κ2



Thành phần VA bao gồm năm trường giả vô hướng trộn lẫn nhau A1, A2, A3, A4, A5

qua một ma trận 5 × 5 (phụ lục A.2). Ở đây, hai trường A1, A5 không có khối lượng và được đồng nhất với hai boson Goldstone ZR, Z (cid:48) R. Ba trường còn lại A2, A3, A4 vẫn trộn lẫn nhau, chéo hoá thu được một trường A mang khối lượng nặng trong thang w, w(cid:48), hai trường còn lại không có khối lượng, trực giao chuẩn hoá với A :

1 2 (cid:115)(cid:20) − + , w2w(cid:48)2 (λ1 + λ2)w2 − λw(cid:48)2 + − 2(ζ1 + ζ6) 1 4

(cid:3) ,

(cid:2)u(cid:48)wA2 + uwA3 + u(cid:48)uA4

(3.34)

√ A = 1 u2w2 + u(cid:48)2w2 + u2u(cid:48)2

A =

(cid:114)

(cid:26)

(cid:27)

, m2 [u(cid:48)2w2 + u2(u(cid:48)2 + w2)][2λ2(u(cid:48)2 − w2) − ζ6w(cid:48)2] 2u2(w2 − u(cid:48)2)

, −A2 + A3 + A4 GZL = u(cid:48)w2 u(w2 + u(cid:48)2) u(cid:48)2w u(w2 + u(cid:48)2)

(3.35)

L

L

Hai trường GZL, GZ (cid:48) được đồng nhất với hai trường boson Goldstone tương ứng bị ăn bởi hai boson chuẩn sau khi phá vỡ đối xứng tự phát. Chú ý rằng ZL chính là Z boson trong SM.

34

√ √ = A3 − A4, GZ (cid:48) u2(w2 + u(cid:48)2) w2u(cid:48)2 + u2(w2 + u(cid:48)2) w w2 + u(cid:48)2 u(cid:48) w2 + u(cid:48)2

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Khảo sát thành phần V ±

mass có ba trường φ±

12, φ±

21σ±

12 trộn lẫn nhau qua ma trận ở phụ lục A.16. Chéo hoá ma trận trên thu được hai trạng thái vật lý không có khối lượng:

(cid:8)u(cid:48)φ±

(cid:9) , 12 − uφ± 21 (cid:26)√

(cid:27)

√ = G± WL 1 u2 + u(cid:48)2

12 +

(cid:113)

u2 + 2(u2+u(cid:48)2)2Λ2

u2(u2−u(cid:48)2)2

và hai trường mang điện tích đơn có khối lượng nặng :

1 = , (3.36) σ± 12 + φ± φ± 21 G± WR 2(u2 + u(cid:48)2)Λ u(u2 − u(cid:48)2) u(cid:48) u 1 + u(cid:48)2

(cid:27)

√

12 +

(cid:26)u(cid:48)2 − u2 √ 2uΛ

H ± = , σ± 12 + φ± φ± 21 u(cid:48) u

H ± =

Xét V ±q

mass bao gồm các trường φ±q

13 , χ±q

31 , σ±q

13 , φ±q 1 , qua ma trận 4 × 4 (phụ lục A.11). Chéo hoá ma trận này thu được các hai vector riêng có khối lượng bằng

0:

m2 .(3.37) 2uΛ (cid:112)(u2 − u(cid:48)2)2 + 2Λ2(u2 + u(cid:48)2) {2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2}{(u2 − u(cid:48)2)2 + 2(u2 + u(cid:48)2)Λ2} 4u2(u(cid:48)2 − w2)Λ2

(3.38)

(cid:9) ,

13 + uw(cid:48)χ±q

1

13 −

31

√ 2uΛσ±q = α (cid:8)(w2 − u2)φ±q G±q XL

(3.39)

13 + (cid:0)−u4 − w4 + u2(2w2 − 2Λ2 − w(cid:48)2)(cid:1) φ±q (cid:9) . 13 + (u2 − w2)w(cid:48)wχ±q

1

với α là

(3.40)

G±q XR √ + = α(cid:48) (cid:8)uw(w(cid:48)2 + 2Λ2)φ±q 2wΛ(w2 − u2)σ±q

(cid:112)

và α(cid:48)

(3.41)

α = , 1 u4 + w4 + u2(w(cid:48)2 + 2Λ2 − 2w2)

35

, α(cid:48) = α (cid:112)(u4 + u2(w(cid:48)2 + 2Λ2 − 2w2) + w2(w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2))

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Hai trường còn lại có trạng thái và khối lượng riêng như sau :

(cid:9)

(cid:8)(w(cid:48)2 + 2Λ2)φ±q

31 +

13 − ww(cid:48)χ±q

1 (cid:39) −

1

√ H±q 2wΛσ±q

(cid:9)

(3.42)

13 +

(cid:9)

(cid:8)(w(cid:48)2 + 2Λ2)φ±q

2 (cid:39)

31 +

13 − ww(cid:48)χ±q

1

√ + cθq w(cid:48)2 + 2Λ2 √ H±q 2wΛσ±q

(cid:9)

(3.43)

(cid:8)w(cid:48)σ±q

13 +

trong đó khối lượng là :

√ sθq (cid:112)(w2 + 2Λ2)(w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2) (cid:8)w(cid:48)σ±q 2Λχ±q √ 1 cθq (cid:112)(w2 + 2Λ2)(w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2) √ + 2Λχ±q 1 sθq w(cid:48)2 + 2Λ2

(3.44)

H2

với

(cid:113)

= = m2 H1 1 4Λ2 (A + B), m2 1 4Λ2 (A − B),

u − 1)(2λ2w2 + ζ6w(cid:48)2) − 2ζ6Λ2]2 + (cid:15)H ±q

2w2w(cid:48)2(w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2) [(t2 , B =

uw(cid:48)2 − 2Λ2)

(3.45)

A = w(cid:48)2(ζ5 − 2t2 2Λ(w(cid:48)2 + 2Λ2) uζ6)Λ2 + 2ζ5Λ4 + ζ6w2(w(cid:48)2 − t2

u − 1)w2(w2 + 2Λ2),

−2λ2(t2

góc trộn tθq được định nghĩa bởi : √ 2

(cid:0)(t2

u − 1)w2 + ζ6

u − 1)w(cid:48)2 − 2Λ2(cid:1)(cid:9)

và

√ 2ww(cid:48)Λ(w(cid:48)2 + 2Λ2) w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2 (cid:8)2λ2(t2 , (cid:15)H ±q

uζ6) + 2ζ5Λ2(cid:1)

u) + 2t2

uw(cid:48)2Λ2 − 4Λ4)

(cid:15)H ±q = (w(cid:48)2 + 2Λ2) (cid:2)Λ2(w(cid:48)2 + 2Λ2) (cid:0)w(cid:48)2(ζ5 + 2t2

u − 1)w2 (cid:0)w2w(cid:48)2 − 2(w2 + w(cid:48)2)Λ2 − 4Λ4(cid:1)(cid:3) , tu = u(cid:48)/u (3.46)

bao gồm ba trường φ

+ζ6w2(w(cid:48)4(1 − t2 − 2λ2(t2

±(q+1) , χ 2

±(q+1) 32

±(q+1) 23

±(q+1) mass q+1 (phụ lục A.9). Chéo hoá thu được hai trường

Tương tự cho thành phần V trộn lẫn nhau qua ma trận M 2 vật lý không khối lượng:

(cid:111)

, φ

±(q+1) 23

±(q+1) 32

±(q+1) 2

±(q+1) YL

36

G = α(cid:48)(cid:48) (cid:110)(cid:2)−(u(cid:48)2 − w2)2 − w2w(cid:48)2(cid:3) φ + u(cid:48)ww(cid:48)2φ + u(cid:48)w(cid:48)(u(cid:48)2 − w2)χ

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

(cid:111)

(cid:110)

(3.47)

±(q+1) 32

±(q+1) + ww(cid:48)χ 2

±(q+1) YR

với

(3.48)

= G (w2 − u(cid:48)2)φ 1 (cid:112)(u(cid:48)2 − w2)2 + w2w(cid:48)2

(cid:112)

(cid:111)

α(cid:48)(cid:48) = 1 u(cid:48)2w2w(cid:48)4 + (u(cid:48)2 − w2)4 + (u(cid:48)6 − 3u(cid:48)2w4 + 2w6)w(cid:48)2 + w4w(cid:48)4

±(q+1) 23

±(q+1) 32

±(q+1) + (u(cid:48)2 − w2)χ 2

, w(cid:48)u(cid:48)φ + ww(cid:48)φ H±(q+1) Y

(3.49)

(cid:8)u(cid:48)4 + u(cid:48)2(w(cid:48)2 − 2w2) + w2(w2 + w(cid:48)2)(cid:9) .

và 1 trường có khối lượng : = α(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:110) ζ6 2(u(cid:48)2 − w2)

ở đây ký hiệu

(3.50)

= m2 HY

(cid:112)

Các trường vô hướng còn lại σ

,σ±2q

±(q−1) 23

33 và σ±±

22 không trộn , có khối lượng

tương ứng là :

α(cid:48)(cid:48)(cid:48) = 1 w(cid:48)2(w2 + u(cid:48)2) + (u(cid:48)2 − w2)2

σ22 =

m2 (u2 − u(cid:48)2)(2u2 − u(cid:48)2 − w2) (cid:2)2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2(cid:3) 4u2Λ2(u(cid:48)2 − w2)

(3.51)

+ ζ5w(cid:48)2 − 4κ2Λ2 4

σ33 =

m2 (u2 − u(cid:48)2)(u2 − w2) (cid:2)2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2(cid:3) u2(u(cid:48)2 − w2)Λ2

(3.52)

(3.53)

+ . ζ5w(cid:48)2 − 2κ2Λ2 2

σ22 =

m2 (u2 − u(cid:48)2)2 (cid:2)2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2(cid:3) + 2κ2u2(w2 − u(cid:48)2)Λ4 2u2Λ2(2u(cid:48)2 − w2)

Khối lượng gauge boson nhận được từ Lagrange sau :

(3.54)

3.1.4 Khối lượng các gauge boson

37

Lgauge = (Dµχ)†(Dµχ) + T r[(Dµφ)†(Dµφ) + (Dµσ)†(Dµσ)],

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

trong đó các đạo hàm hiệp biến được định nghĩa là :

(3.55)

(3.56)

AaLµφ − igRφ Dµφ = ∂µφ + igL AiRµ + igX XφBµφ,

(3.57)

Dµσ = ∂µσ + igR AiRµσ + igRχ AiRµ + igX XσBµχ, λi 2 λ∗ i 2

trong đó λi, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là các ma trận Gell-Mann, gL, gR và gX là các hệ số tương tác chuẩn của các nhóm SU (3)L, SU (3)R, và U (1)X. Xφ,σ,χ là tích của nhóm U (1)X cho lần lượt các đa tuyến φ, σ, χ.

AiRµχ + igX XχBµχ. Dµχ = ∂µχ + igR λi 2 λi 2 λi 2

Thay lần lượt các đa tuyến này vào, ta thu được lần lượt hai trường sau : L = 1√ (A1R ∓ iA2R), được trộn lẫn nhau qua ma trận 2

R = 1√ 2

(A1L ∓ iA2L) và W ±

(cid:32)

(cid:33)

(3.58)

W ± sau :

Chéo hoá nó, thu được vector riêng và khối lượng riêng trong gần đúng Λ (cid:29) u, u(cid:48)

(3.59)

. g2 L 4 u2 + u(cid:48)2 −2tRuu(cid:48) −2tRuu(cid:48) R(u2 + u(cid:48)2 + 2Λ2) t2

(cid:26)

(cid:27)

W1 = cξWL − sξWR,

(3.60)

W1

Ru2u(cid:48)2 R − 1)(u2 + u(cid:48)2) + 2t2

RΛ2

(3.61)

4t2 (cid:39) u2 + u(cid:48)2 − , m2 g2 L 4 (t2

(cid:26)

(cid:27)

W2 = sξWL + cξWR,

(3.62)

W2

Ru2u(cid:48)2 R − 1)(u2 + u(cid:48)2) + 2t2

RΛ2

góc trộn t2ξ :

(3.63)

4t2 (cid:39) u2 + u(cid:48)2 + 2Λ2 + m2 g2 R 4 (t2

RΛ2 + (t2

Dễ thấy W1 chính là W boson của SM với điều kiện u2 + u(cid:48)2 (cid:39) (246 GeV)2. W2 là gauge boson mới có khối lượng nằm trong thang Λ.

Tiếp theo, hai trường X ±q

, tR = t2ξ = 2t2 gR gL −4tRuu(cid:48) R − 1)(u2 + u(cid:48)2)

L = 1√ 2

R = 1√ 2

qua ma trận sau :

(cid:32)

(cid:33)

(3.64)

(A4L ∓ iA5L) and X ±q (A4R ∓ iA5R) trộn

38

, g2 L 4 u2 + w2 −2tRuw t2 −2tRuw R(u2 + w(cid:48)2 + w2 + 2Λ2)

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

và chéo hoá nó ta có:

(3.65)

(cid:27)

X ±q

Ru2w2

(3.66)

L − sξ1X ±q 1 (cid:39) cξ1X ± R , (cid:26) u2 + w2 +

R(u2 + w(cid:48)2 + w2 + 2Λ2)

4t2 (cid:39) , m2 X1 g2 L 4 u2 + w2 − t2

X ±q

(3.67) (cid:27) ,(3.68)

L + cξ1X ±q 2 (cid:39) sξ1X ± R , (cid:26) u2 + w2 + w(cid:48)2 + 2Λ2 −

R(u2 + w(cid:48)2 + w2 + 2Λ2)

với

4u2w2 (cid:39) m2 X2 g2 R 4 u2 + w2 − t2

(3.69)

R(u2 + w(cid:48)2 + w2 + 2Λ2)

4tRuw t2ξ1 = u2 + w2 − t2

±(1+q) R

±(1+q) Hai trường sau Y L trận trộn khối lượng :

(cid:32)

(cid:33)

(3.70)

(A6L ± iA7L) và Y (A6R ± iA7R) có ma = 1√ 2 = 1√ 2

Chéo hoá và thu được :

(3.71)

, g2 L 4 u(cid:48)2 + w2 −2tRu(cid:48)w t2 −2tRu(cid:48)w R(u(cid:48)2 + w(cid:48)2 + w2)

±(1+q) 1

±(1+q) R

(cid:27)

, Y − sξ2Y

(3.72)

±(1+q) = cξ2Y L (cid:26) g2 L 4

Ru(cid:48)2w2 R(u(cid:48)2 + w(cid:48)2 + w2)

(3.73)

(cid:39) u(cid:48)2 + w2 + , m2 Y1 4t2 u(cid:48)2 + w2 − t2

±(1+q) 2

±(1+q) R

(cid:27)

, Y + cξ2Y

(3.74)

±(1+q) = sξ2Y L (cid:26) g2 R 4

với góc trộn ξ2 có biểu thức :

(3.75)

(cid:39) u(cid:48)2 + w(cid:48)2 + w2 − , m2 Y2 u(cid:48)2 + w2 − t2 4u(cid:48)2w2 R(u(cid:48)2 + w(cid:48)2 + w2)

Tiếp theo, ta tính phần gauge boson trung hoà. Khối lượng của các hạt này thu được bởi chéo hoá một ma trận trộn 5×5 của các trường sau A3L, A3R, A8L, A8R, B

39

t2ξ2 = u(cid:48)2 + w2 − t2 4tRu(cid:48)w R(u(cid:48)2 + w(cid:48)2 + w2)

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

(phụ lục B). Chéo hoá ma trận này, ta thu được 5 vector riêng sau

(cid:27)

(3.76)

(cid:27)

, B A = sW A3L + cW A3R + βtW A8L + β A8R +

(cid:26)tW tR (cid:26) tW tR

B , A8R + A3R + βtW A8L + β ZL = cW A3L − sW tW tX tW tX

Z(cid:48) tW tR tW tR A8L + ς1tX tW β2A8R + ς1tRtW βB,

L = ς1tX tW βA3R − ς1 ς

(3.77)

A3R + ςς1t2 tW ς1tX tR X βA8R + ςς1tX tRB,

R = ς(tRA8R − tX βB),

ở đây ta sử dụng ký hiệu sau :

(3.78)

ZR = − Z(cid:48)

(cid:112)t2

(cid:112)t2

, ς = , ς1 = tX = gX gL 1 R + β2t2 X 1 R + (1 + β2)t2 X

(3.79)

(cid:112)t2

X (1 + β2) + t2

R(1 + t2

X (1 + β2))

Gauge boson A này không khối lượng và được đồng nhất với photon trong SM.

Các trường còn lại vẫn trộn lẫn nhau bởi ma trận 4 × 4. Về mặt toán học, không thể chéo hoá được một ma trận 4 × 4 tổng quát, ở đây ta áp dụng điều kiện phân bậc giữa các thang năng lượng như sau Λ (cid:29) w, w(cid:48), u, u(cid:48) (tính toán chi tiết trong phụ lục B), ma trận sau khi chéo hoá cho các trị riêng và vector riêng như sau:

tX tR sW =

(3.80)

(cid:0)u2 + u(cid:48)2(cid:1) ,

(cid:39) m2 ZL g2 L 4c2 W

W w2

(3.81)

L (cid:39) Z(cid:48)

L, m2 Z (cid:48) L

Rt2 1 t2 1 t2 ς 2

(1 + ς 2 (cid:39) Z (cid:48) ,

(3.82) 3β + β2)(cid:3)

X (3 + 2

Rt2 X (3 + 3β + β2)(t2

(3.83)

(cid:8)4t2

X β2)2t2 g2 L Rt2 3 X R, Z (cid:48) ZR (cid:39) cξ3ZR − sξ3Z(cid:48) R (cid:39) sξ3ZR + cξ3Z(cid:48) R, X (1 + β2)]2 + w2 (cid:2)3t4 R + 2t2 R + t2 √ ς −2 1 [4 + (3 + 2 3β + β2)(cid:9) Λ2,

X (3 + 2

R + t2

40

√ √ w(cid:48)2[t2 , (cid:39) g2 L m2 ZR 3β) + t4 X /t2 R)] √ (cid:39) m2 Z (cid:48) R g2 L 3

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

góc trộn giữa hai boson ZR-Z(cid:48)

R là :

(cid:2)√

(cid:3) (cid:112)t2

R + β(3 +

√

(3.84)

Rt2

Boson ZL được đồng nhất vỡi Z boson trong SM. Ba gauge boson còn lại là những hạt mới, khối lượng nằm trong thang vật lý mới λ.w, w(cid:48).

√ . t2ξ3 = 2t4 3t2 X (3 − 2 2tR R + t2 3β)t2 R + t2 X (1 + β2) X √ 3β + β2)t4 3β + β2) − β2(3 + 2 X

Lagrangian tương tác giữa fermion và gauge boson có biểu thức :

(3.85)

3.1.5 Tương tác fermion và gauge boson

L = ¯Ψiγµ(∂µ + igLTaLAaLµ + igRTiRAiRµ + igX XBµ)Ψ

Lµ + P N C

Lµ )ΨL − gR ¯ΨRγµ(P CC

Rµ + P N C

Rµ )ΨR

với ΨL,R là các đa tuyến fermion phân cực trái và phải, và

(cid:88)

= ¯Ψiγµ∂µΨ − gL ¯ΨLγµ(P CC

L = T3LA3L + T8LA8L + tX XΨLB,

i=1,2,4,5,6,7 (cid:88)

= TiLAiL P N C P CC L

R = T3RA3R + T8RA8R +

i=1,2,4,5,6,7

Dùng hai ma trận PCC và PN C, Lagrangian (3.87) được tách thành hai thành phần :

= TiRAiR, P N C XΨRB. P CC R tX tR

2µ + J −qµ

1µ + J −qµ

2µ + J

1X X q

2X X q

−(q+1)µ 1Y

(3.86)

1W W + +J

1µ + J −µ 2W W + Y q+1 2µ + H.c

−(q+1)µ 2Y

LCC = J −µ Y q+1 1µ

LN C = −gL ¯ΨLγµP N C

Rµ ΨR V (f ) − gZL

A (f )γ5]f ZLµ

L

L

¯f γµ[gZL = −eQ(f ) ¯f γµf Aµ −

Lµ −

V (f ) − gZR

A (f )γ5]f Z (cid:48)

A (f )γ5]f ZRµ

R

R

− ¯f γµ[gZR gL 2cW

(3.87)

Rµ,

Lµ ΨL − gR ¯ΨRγµP N C gL 2cW (f ) − gZ (cid:48) V (f ) − gZ (cid:48)

A (f )γ5]f Z (cid:48)

41

− ¯f γµ[gZ (cid:48) V ¯f γµ[gZ (cid:48) gL 2cW gL 2cW

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

trong đó các dòng mang điện Ji có dạng như sau :

(¯νaLγµeaL + ¯uaLγµdaL) + (¯νaRγµeaR + ¯uaRγµdaR), J −µ 1W = −

(¯νaLγµeaL + ¯uaLγµdaL) − (¯νaRγµeaR + ¯uaRγµdaR),(3.88) J −µ 2W = − gLcξ√ 2 gLsξ√ 2 gRsξ√ 2 gRcξ√ 2

( ¯NaLγµνaL − ¯dαLγµJαL + ¯J3Lγµu3L) J −qµ 1X = −

(3.89)

+ ( ¯NaRγµνaR − ¯dαRγµJαR + ¯J3Rγµu3R), gLcξ1√ 2 gRsξ1√ 2

( ¯NaLγµνaL − ¯dαLγµJαL + ¯J3Lγµu3L) J −qµ 2X = −

(3.90)

− ( ¯NaRγµνaR − ¯dαRγµJαR + ¯J3Rγµu3R), gLsξ1√ 2 gRcξ1√ 2

−(q+1)µ 1Y

= − J ( ¯NaLγµeaL + ¯uαLγµJαL + ¯J3Lγµd3L)

(3.91)

+ ( ¯NaRγµeaR + ¯uαRγµJαR + ¯J3Rγµd3R), gLcξ2√ 2 gRsξ2√ 2

−(q+1)µ 2Y

= − J ( ¯NaLγµeaL + ¯uαLγµJαL + ¯J3Lγµd3L)

(3.92)

với f là ký hiệu cho các trường fermion,và e = gLsW . Tại thang năng lượng cao, ở đó đối xứng trái phải chưa bị phá vỡ thì gL = gR, hay tX = tR. Sau khi phá vỡ thì những điều kiện này không còn đúng nữa.

3.2 Đồng nhất vật chất tối

Sự phá vỡ đối xứng tự phát của mô hình có thể được thực hiện qua ba cơ chế

khác nhau, tuỳ theo điều kiện phân bậc giữa các VEV của trường Higgs, tuy nhiên cả ba cách phá vỡ này đều dẫn đến một đối xứng tàn dư WP [43]. Sau đây sẽ xét một trường hợp phá vỡ đối xứng tự phát với giả thiết các VEV có sự phân bậc : w, w(cid:48) (cid:29) Λ (cid:29) u, u(cid:48) :

42

− ( ¯NaRγµeaR + ¯uαRγµJαR + ¯J3Rγµd3R). gLsξ2√ 2 gRcξ2√ 2

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)X ↓ w, w(cid:48) SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ SU (2)R ⊗ U (1)B−L ↓ Λ

Đầu tiên, w, w(cid:48) sẽ phá vỡ nhóm đối xứng SU (3)L ⊗SU (3)R ⊗U (1)X → SU (2)L ⊗ SU (2)R ⊗ U (1)B−L . Tiếp theo, Λ phá vỡ nhóm SU (2)R ⊗ U (1)B−L xuống U (1)Y , đi kèm là sự xuất hiện một đối xứng rời rạc WP , là đối xứng tàn dư của nhóm U (1)B−L.

SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y ⊗ WP ↓ u, u(cid:48) SU (3)C ⊗ U (1)Q ⊗ WP .

Điều này được giải thích chi tiết như sau : trị trung bình chân không (cid:104)σ0 √

11(cid:105) = Λ

11(cid:105) = (cid:104)σ0

11(cid:105) = ei2ω(cid:104)σ0

11(cid:105) → eiω(B−L)(cid:104)σ0

11(cid:105) = 2 (cid:54)= 0, phá vỡ Λ/ vi tử B − L. Mặt khác, (cid:104)σ0 11(cid:105) bảo toàn dưới phép biến đổi của nhóm U (1)B−L có (cid:104)σ0 11(cid:105) nếu w = kπ với k ∈ Z (do w là tham số biến đổi nhóm U (1)B−L nên nó có thể nhận giá trị bất kỳ). Do đó đối xứng tàn dư có biểu thức eikπ(B−L) = (−1)k(B−L). Kết hợp với chẵn lẻ spin do đối xứng Lorentz luôn được bảo toàn , (−1)2s, ta thu được WP = (−1)k(B−L)+2s. Ở đây, ta chọn k = 3, thì WP = (−1)3(B−L)+2s, đối xứng này được gọi là đối xứng vật chất (matter parity), hoàn toàn giống với đối xứng R (R-parity) trong lý thuyết siêu đối xứng.

Nhờ đối xứng này, các hạt trong mô hình được chia thành hai lớp hạt: lớp thứ nhất với WP = 1 là những hạt thông thường, và lớp thứ hai với WP (cid:54)= 1 là những hạt lạ, còn được gọi là hạt W (wrong-particle):

√ 2 , có tích B − L theo (3.2) bằng 2, do đó [B − L](cid:104)σ0

11, φ±

22, φ0

33, χ0

3, σ0

11, σ±

12, φ±

21, φ0

12, σ±±

22 , σ±2q 33 ,

• Hạt thường với WP = 1: νa, ea, ua, da, φ0

,

A, ZL,R, Z(cid:48)

13 , φ

±(1+q) 23

31 , φ

±(1+q) 32

1 , χ

±(q+1) 2

±(q−1) 23

, φ±q , χ±q σ±q 13 , σ

L,R, g. • Hạt lạ WP (cid:54)= 1: Na, Ja, φ±q .

±(q+1) L,R

L,R, Y

Điều lưu ý là các hạt lạ luôn tương tác kết cặp gây nên bởi sự bảo toàn đối

xứng của WP , tương tư như lý thuyết siêu đối xứng.

Chú ý ở đây là tham số điện tích q không phải có giá trị bất kỳ , mà nó phụ

43

X ±q

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

thuộc vào các hằng số tương tác gL, gR, gX. Theo (3.79), từ góc trộn Weinberg sW , ta có :

(3.93)

(cid:112)t2

R − s2

(cid:113) 1 t2 W

W > (1 + β2)/t2

= = tX = gX gL sW tR W (1 + β2 + t2 R) 1 − 1+β2 t2 R

Để tX > 0, ta cần điều kiện 1/t2 R. Do đối xứng trái phải nên đặt gL = gR hay tR = 1, góc trộn Weinberg có giá trị s2 W (cid:39) 0.231, tham số 3, ta thu được −1.822 < q < 0.822. Trên thực tế, q có thể nhận β = −(2q + 1)/ là số thực bất kỳ nằm trong khoảng trên, tuy nhiên để phù hợp với mô hình 3-3-3-1, nó chỉ có thể nhận các giá trị nguyên, là q = 0, ±1.

1, và gauge boson X 0 Y và một gauge boson Y 0

Ta thấy các hạt là có các điện tích là ±q, ±(q + 1) với tham số điện tích q có các giá trị q = 0, −1, tương ứng với ba kiểu hạt cho DM là fermion, vô hướng và vector. Mô hình với q = 0 cung cấp ba ứng viên DM, bao gồm lepton nhẹ nhất a , hoặc vô hướng H0 trong các lepton mới N 0 1 . Mô hình với q = −1 có hai ứng viên DM : vô hướng H0 1 . Mô hình q = 1 cho ứng viên là hạt vô hướng σ0

23.

3.3 Mật độ tàn dư của vật chất tối và tím kiếm chúng

Trong mô hình này, trường hợp q = 0 sẽ được tập trung nghiên cứu. Chúng ta sẽ khảo sát lần lượt các ứng viên vật chất tối bằng việc khảo sát không gian tham

số của lớp mô hình này .

√

Xét trường hợp đầu tiên vật chất tối thuộc dạng fermion Na, mà hạt nhẹ nhất trong các fermion này được đồng nhất với vật chất tối và được ký hiệu là N (mN < mJ,W,X,Y,ZL,ZR,Z (cid:48) R,H). Kênh huỷ chủ yếu của hai hạt N là kênh huỷ về cặp fermion trong mô hình chuẩn qua qua kênh s (s-channel) với hạt truyền tương tác là hạt boson mới Z(cid:48) hoặc X, Y . Tuy nhiên với điều kiện phân bậc u, u(cid:48) (cid:28) w, w(cid:48) (cid:28) Λ, sự trộn giữa boson Z(cid:48) với các boson mới khác là rất bé nên đóng góp chủ yếu sẽ là do Z(cid:48). Kênh huỷ này được thể hiện ở qua giản đồ Feynman phía dưới.

44

3.3.1 Vật chất tối là fermion

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Hình 3.1: Giản đồ Feynman cho quá trình huỷ hai hạt N, N c ra các hạt trong mô hình chuẩn

Khảo sát số vùng không gian tham số cho mật độ tàn dư đúng như sau [43]

Hình 3.2: Đồ thị thể hiện vùng không gian tham số cho mật độ tàn dư đúng

Đường màu xanh thể hiện mối liên hệ giữa khối lượng vật chất tối fermion N

và boson Z(cid:48) cho mật độ tàn dư đúng Ωh2

N (cid:39) 0.11.

2

2

Với vùng không gian tham số khác, ứng viên vật chất tối là hạt vô hướng < mN,J,X1,X2,Y1,Y2,W1,W2,H1,HY ,σ33. Mật độ tàn dư của nó là nghiệm của phương h2 (cid:39) 0.11pb/(cid:104)σvrel(cid:105) trong đó (cid:104)σvrel(cid:105) là trung bình nhiệt của 2. Trong mục này,

3.3.2 Vật chất tối là vô hướng

45

mH0 trình Bolztmann ΩH0 tích tiết diện huỷ σ và vận tốc tương đối vrel giữa hai hạt H0 các tính toán được thực hiện bằng phương pháp giải tích

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Do hạt H0

1 . Hệ số đỉnh tương tác của H0

2H0

2 có khối lượng nặng nằm trong thang vật lý mới Λ, nên đóng 2 sẽ là kênh huỷ trực tiếp về những hạt 2H1H1 trong giới hạn w, w(cid:48) (cid:28) Λ là

. Biên độ tán xạ cho kênh H0

góp chính cho (cid:104)σvrel(cid:105) của hai hạt H0 Higgs H 0 [λ2u2+λ1(u2+u(cid:48)2)]c2 θq u2+u(cid:48)2

(cid:35)

θq

(3.94)

2 → H1H1) = i

2H0∗

2H0∗ 2 → H1H1 là (cid:34)(cid:2)λ2u2 + λ1(u2 + u(cid:48)2)(cid:3) c2 u2 + u(cid:48)2

Tiết diện tán xạ vi phân trong hệ quy chiếu khối tâm là :

iM (H0 = iλ∗

2H0∗

(3.95)

2 → H1H1)|2|(cid:126)k| 64π2s|(cid:126)p|

Ở đây (cid:126)p, (cid:126)k là xung lượng của H0 2 và H1, s = 4E2 là năng lượng khối tâm. Chỉ số 1/2 xuất hiện do tính chất không phân biệt được hai hạt đồng nhất. Từ các quan sát thiên văn, vật chất tối là phi tương đối tính , nên vDM (cid:28) c , ta có các gần đúng sau :

(cid:18)

(cid:19)

|M (H0 = × 1 2 dσ dΩ

(3.96)

(cid:19)

(cid:18)

mH2√ 1 + , (cid:39) mH2 EH2 = v2 2 1 − v2

(3.97)

(cid:0)1 + v2(cid:1) , |(cid:126)p| =

(cid:19)

(cid:18)

(cid:113)

(cid:113)

1 + (cid:39) mH2v (cid:39) mH2v s = 4E2 (cid:39) 4m2 H2 v2 2 mH2v √ 1 − v2

(3.98)

Thay vào ta có được tiết diện tán xạ vi phân được viết lại là :

(cid:16)

(cid:17)

(cid:39) − 1 + (cid:126)k = (cid:39) mH2 E2 − m2 H1 m2 H2 (1 + v2) − m2 H1 v2 2 m2 H1 2m2 H2

2 −

m2 H1 2m2

H2

(3.99)

Lấy tích phân theo góc khối dΩ = sin θdθdφ ta được :

(cid:16)

(cid:17)

1 + v2 = × 1 2 dσ dΩ (1 + v2) mH2v λ∗2mH2 64π24m2 H2

2 −

m2 H1 2m2

H2

(3.100)

(cid:90) dσ dΩ

Vận tốc tương đối giữa hai hạt vật chất tối H0

2 trong hệ quy chiếu khối tâm

46

1 + v2 × dΩ = 4π σ = 1 2 (1 + v2) mH2v λ∗2mH2 64π24m2 H2

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:17)

vrel = 2v. Ta có

2 −

m2 H1 2m2

m2 H1 2m2

H2

H2

(3.101)

2 − 16πm2 H2

Lấy trung bình nhiệt và chú ý λ∗ = 2

1 + v2 1 − v2 λ∗2 (cid:16) × 2v = σvrel = 4π 1 2 (1 + v2) mH2v λ∗2mH2 64π24m2 H2

(cid:19)

(cid:41)2 (cid:18)

θq

[λ2u2+λ1(u2+u(cid:48)2)]c2 θq u2+u(cid:48)2

(3.102)

(cid:40)(cid:2)λ2u2 + λ1(u2 + u(cid:48)2)(cid:3) c2 u2 + u(cid:48)2

, ta có sự xấp xỉ sau :

trong đó (cid:104)v2(cid:105) = 1.5xF với xF = mH2/TF ∼ 20 tại nhiệt độ freeze-out. Do khối lượng m2 H2

− 1 − , (cid:104)σvrel(cid:105) = (cid:104)v2(cid:105) 2 1 16πm2 H2 m2 H1 m2 H2

(cid:27)2

(cid:110)

(cid:111)2 (cid:40)(cid:2)λ2u2 + λ1(u2 + u(cid:48)2)(cid:3) c2

(cid:41)2 (cid:26)2.656 TeV

θq

(cid:29) m2 H1

. (3.103) (cid:104)σvrel(cid:105) = α 150 GeV u2 + u(cid:48)2 mH2

2

Để có mật độ tàn dư đúng với thực nghiệm, ΩH0 thêm vào đó do (cid:0)

2(cid:1) (cid:39) 1 pb, ta thu được :

α 150 GeV

(cid:27)2

(cid:41)2 (cid:26)2.656 TeV

θq

h2 (cid:39) 0.11, thì (cid:104)σvrel(cid:105) (cid:39) 1 pb,

(3.104)

(cid:40)(cid:2)λ2u2 + λ1(u2 + u(cid:48)2)(cid:3) c2 u2 + u(cid:48)2

hay

θq

(3.105)

(cid:39) 1 mH2

(cid:2)λ2u2 + λ1(u2 + u(cid:48)2)(cid:3) c2 u2 + u(cid:48)2

2 với khối lượng cỡ 2.5 TeV như

trong đó các tham số λ1, λ2 (cid:39) O(1). Vậy hạt H0 trên sẽ là ứng viên cho vật chất tối.

× 2.656 TeV ∼ 2.5 TeV, mH2 (cid:39)

1 W −

Trong vùng không gian tham số mà mX1 < mN,J,X2,Y1,Y2,W1,W2,H1,H2,HY , ứng viên vật chất tối sẽ là hạt gauge boson mới X 0 1 . Các kênh huỷ đóng góp vào tiết diện huỷ bao gồm các kênh huỷ hai hạt X 0 1 về hai hạt mô hình chuẩn : W + 1 , ZLZL, H1H1, ννc, llc, qqc, trong đó ν ký hiệu cho các thế hệ neutrino ν = νe, νµ, ντ và l là các thế hệ lepton l = e, µ, τ , q = u, d, c, s, t, b là các quark.

47

3.3.3 Vật chất tối là hạt vector

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

1 X 0∗

1 → W +

1 W −

1 , ZLZL là cho đóng góp

Trong các kênh huỷ trên, chỉ có kênh X 0 chủ đạo. Kênh huỷ này được mô tả bởi các giản đồ feynamn sau :

Hình 3.3: Các giản đồ cho đóng góp chính vào kênh huỷ X1

1 X 0∗

1 → W +

1 W −

1 ,. Tính toán giản đồ Feynman theo [16] cho (cid:104)σvrel(cid:105)

Xét kênh X 0 tại bậc một là :

(3.106)

(cid:104)σvrel(cid:105) (cid:39) 5α2m2 X1 W m2 8s4 W1

W1

, tiết diện huỷ quá lớn, dẫn đến mật độ tàn dư ΩX1h2 (cid:39) 10−3 m2 Vì m2 W X1 m2 X1 trở nên rất bé để so với con số mà thí nghiệm WMAP đưa ra ΩDMh2 (cid:39) 0.11. Do đó X1 không thể là vật chất tối.

>> m2

Trong mục này sẽ trình bày hai thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp và tím kiếm trong

collider. Tìm kiếm gián tiếp sẽ không được đề cập ở đây với lý do là khối lượng của các ứng viên vật chất tối được khảo sát trong mô hình này nằm trong thang TeV, không nằm trong phạm vi tìm kiếm của các thực nghiệm tìm kiếm trực tiếp.

Thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp dựa trên việc đo năng lượng giật lùi (recoil energy) gây bởi sự tán xạ giữa vật chất tối với hạt nhân trong một hệ detector, hay là sự tán xạ giữa vật chất tối với các quark, do quark bị giam cầm trong hạt nhân. Xét vật chất tối fermion N, biên độ tán xạ N −quark có đóng góp chủ yếu từ kênh có sự tráo đổi Z (cid:48) L (t-channel). Vùng khối lượng mZ (cid:48) − mN mà các thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp hiện nay đã khảo sát được: thí nghiệm XENON1T-34d

48

3.3.4 Tìm kiếm vật chất tối

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

[7] , XENON1T-2y [8] và LZ [39] được thể hiện trong đồ thị 3.5).

L

Cần chú ý rằng ta đang xét fermion N là Dirac fermion, khả năng vật chất tối là Majorana fermion thì đã bị loại bỏ. Cụ thể, phân tích công hưởng của dilepton nặng tại LHC với luminosity đạt 13.3 fb−1, đã kết luận rằng khối lượng boson Z (cid:48) L phải lớn hơn 3.8 TeV. Tuy nhiên, để vật chất tối là majorana fermion có mật độ tàn dư là con số 0.11 thì mZ (cid:48) < 3.8 TeV, vi phạm kết quả thu được từ LHC. Điều này cũng được thể hiện rõ ràng qua đồ thị (3.4) :

Hình 3.4: Đồ thị thể hiện kết quả phân tích từ LHC cho thấy khả năng vật chất tối là majorana fermion bị loại trừ [5]

.

L

L

Đối với tìm kiếm tại colider, sử dụng công cụ collidertool 1. áp dụng cho mô hình đang xét, ta có thể thu được giới hạn dưới của mZ (cid:48) > 5.7 TeV với các luminosity tương ứng là 36.1 fb−1 và 1000 fb−1. Các kết quả này được thể hiện qua đồ thị 3.5

1http://collider-reach.web.cern.ch/?rts1=13&lumi1=3.2&rts2=13&lumi2=13.3&pdf=MSTW2008nnlo68cl.LHgrid

49

> 4.2 và mZ (cid:48)

Vật chất tối trong mô hình 3-3-3-1

Hình 3.5: Vùng khối lượng mZ(cid:48) − mDM mà các thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp hiện nay đã khảo sát được: từ trái sang phải lần lượt là thí nghiệm XENON1T-34d [7] , XENON1T-2y [8] và LZ [39].

2, biên độ tán xạ H0

L và Higgs mới nặng H1

Với vật chất tối vô hướng H0 2-quark có đóng góp từ kênh tráo đổi một hạt gauge boson mới Z (cid:48) 0 (t-channel). Trường hợp vật chất tối vô hướng này có khối lượng thang TeV, giống với ứng viên vô hướng được nghiên cứu trong [26] , do đó có thể sử dụng kết quả thu được từ thí nghiệm tìm kiếm trực tiếp XENON1T-2y [8].

50

Kết luận

Nghiên cứu về vấn đề vật chất tối trong hai mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ và mô hình 3-3-3-1, luận văn đã thu được những kết quả sau:

1. Đã khái quát về tình hình nghiên cứu vật chất tối trong và ngoài nước, các lý do dẫn đến sự cần thiết phải có vật chất trong vũ trụ cũng như cách nghiên cứu vật chất tối dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản.

2. Dựa trên các kiến thức chung về vật chất tối, đã chứng mình hai mô hình là mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ và mô hình 3-3-3-1 đều có chứa ứng viên

vật chất tối bằng hai cách khác nhau. Mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ với đối xứng gián đoạn Z2 đảm bảo tính bền của vật chất tối, tuy nhiên do đối xứng Z2 luôn được bảo toàn nên sẽ cấm các tương tác mới xuất hiện, ngược lại với mô hình 3-3-3-1, đối xừng bền cho vật chất tối không những xuất hiện tự nhiên là hệ quả của phá vỡ đối xứng chuẩn mà còn không cấm các tương tác mới xuất hiện. Các đặc trưng này của mô hình 3-3-3-1 là ưu điểm so với mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ, không những giải quyết được vấn đề

vật chất tối mà hứa hẹn sẽ mang lại những giải đáp cho những hiện tượng luận và và dị thường vật lý hiện nay tại máy gia tốc LHC.

3. Thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị cho việc khảo sát mật dộ tàn dư cũng như tìm kiếm vật chất tối trong mô hình lưỡng tuyến Higgs trơ cho một ứng viên là hạt vô hướng trung hoà H 0 , với khối lượng nằm trong khoảng 55 đến 65 GeV sẽ cho mật độ tàn dư đúng và thoả mãn các điều kiện thực

nghiệm hiện nay ở tìm kiếm trực tiếp vật chất tối cho khối lượng nằm thang vài chục GeV.

4. Trong mô hình 3-3-3-1, đã tìm hiểu các công bố và cho thấy mô hình cho hai ứng viên là fermion mới N và vô hướng trung hoà H2, với khối lượng

51

Kết luận

nặng hơn ứng viên H 0 trong mô hình trước, cỡ vài TeV thì sẽ cho mật độ tàn dư đúng cũng như thoả mãn các giới hạn thực nghiệm. Các kết quả này sẽ cung cấp thêm các rằng buộc và tham số cho các thí nghiệm tìm kiếm

trực tiếp vật chất tối.

52

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Mâụ Chung, (2015), "Vật lý hạt cơ bản", NXB Đại học quốc gia

Hà nội

[2] Hoàng Ngọc Long, (2000). " Cơ sở vật lý hạt cơ bản", NXB Thống kê.

[3] Hoàng Ngọc Long, (2003). " Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống

nhất tương tác điện yếu", NXB khoa học kỹ thuật.

[4] Đặng Văn Soa , (2005), " Đối xứng chuẩn và mô hình thống nhất điện yếu",

NXB đại học sư phạm.

Tiếng Anh

[5] Alves.A, Arcadi.G, Dong.V.P, Duarte.L, Queiroz.F.S and Valle.J.W.F (2017), "Matter-parity as a residual gauge symmetry: Probing a theory of cosmological dark matter", Phys. Lett. B, pp.772

[6] Abdoetal.A.A (The FermiLAT Collaboration) (2009),”Measurement of the Cosmic Ray spectrum from 20 GeV to 1 TeV with the Fermi Large Area Telescope”, Phys. Rev. Lett, 181101, pp.102.

[7] Aprile.E, et al (2017), XENON, J. Cosmol. Astropart. Phys, 1604.

[8] Aprile.E, et al (2017), XENON , J. Cosmol. Astropart. Phys, 1604 ,pp.027.

[9] Aalseth.C.E et al. (The CoGeNT Collaboration) (2018), ”Results from a Search for Light- Mass Dark Matter with a P-type Point Contact Germa- nium Detector”.

53

Tài liệu tham khảo

[10] Adriani.0 et al. (The PAMELA Collaboration) (2009), ”Observation of an anomalous positron abundance in the cosmic radiation”, Nature, 458, pp.607-609.

[11] Arcadi.G, Dutra.M, Ghosh.P, Lindner.M, Mambrini.Y, Pierre.M, Pro- fumo.S, Queiroz.F.S (2018), "The waning of the WIMP ? A review of mod- els, searches, and constraints"

[12] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "micrOMEGAs3.1 : a

program for calculating dark matter oservables”

[13] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "micrOMEGAs : a

tool for dark matter studies”

[14] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A, "Dark matter direct

detection rate in a generic model with micrOMEGAs2.1”

[15] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A and Semenov.A (2007),

"mi- crOMEGAs2.0: A program to calculate the relic density of dark matter in a generic model”, Comput. Phys.Commu, 176 ,pp.367

[16] Bertone.G, Hooper.D, and Silk.J (2005), Phys. Rep,405, pp.279

[17] Bertone.G, Hooper.D, Silk.J (2005) , " Particle dark matter: evidence, can-

didates and constraints", Phys.Rept, 405 ,pp.279-390

[18] Belanger.G, Boudjema.F, Pukhov.A, Semenov.A (2009), " Dark matter direct detection rate in a generic model with micrOMEGAs-2.2", Com- put.Phys.Commun, 180, pp.747.

[19] Beringer.J et al, (2012), "Particle Data Group Collaboration", Phys. Rev

D, 010001, pp.86.

[20] Barbieri, Riccardo and Hall, Lawrence J. and Rychkov, Vyacheslav.S

N(2006), "Improved naturalness with a heavy Higgs: An Alternative road to LHC physics", Phys.Rev.D , 015007, pp.74.

[21] Begeman.K.G, Broeils.A.H and Sanders.R.H (1991), MNRAS, pp.249-523.

[22] Bernabei.R et al. (The DAMA Collaboration) (2008), ”First results from DAMA/LIBRA and the combined results with DAMA/NaI”, Eur. Phys. J. C, 56, pp.333-355.

54

Tài liệu tham khảo

[23] Cheung.K, Tsai.Y.L.S, Tseng.P.Y (2012), " Global Study of the Simmplest

Scalar phantom Dark Matter Model",JCAP, 1210, pp.042

[24] Cheng.T.P and Li.L.F (1984), " Gauge theory of elementary particle physics", Oxford, Uk: Clarendon , Clarendon Press -Oxford, pp.536.

[25] Chang.J et al. (2008), ”An excess of cosmic ray electrons at energies of

300–800 GeV”, Nature, 456, pp.362-365.

[26] Cogollo.D, Gonzalez-Morales.A.X, Queiroz.F.S and Teles.P.R (2014), "Ex-

cluding the Light Dark Matter Window of a 331 Model Using LHC and Direct Dark Matter Detection Data", JCAP, 002, pp.11.

[27] D. T. Huong, P. V. Dong, N. T. Duy, N. T. Nhuan and L. D. Thien (2018), "Investigation of dark matter in the 3-2-3-1 model", Phys.Rev.D, 055033, pp.98.

[28] Falk.T, Olive.K.A and Srednicki.M (1994), "Phys. Lett. B", 339, pp.248 .

[29] Jungman.G, Kamionkowski.M, and Griest.K (1996), Phys. Reports, 267,

pp.195

[30] Hati.C, Patra.S, Reig.M, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A (2017), "To- wards gauge coupling unification in left-right symmetric SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)X theories", Phys. Rev. D , 015004 ,pp.96.

[31] Hooper.D and Profumo.S (2007), Phys.Rept, 453, pp.29

[32] Honorez.L, Emmanuel (2007), " The inert Doublet Model: an Archetype for

Dark Matter", JCAP, 0702, pp.028 .

[33] Lahav.O and Liddle.A.R (2017), "Cosmological parameters".

[34] LUX, LZ collaborations, Szydagis.M (2016), "The Present and Future of Searching for Dark Matter with LUX and LZ", PoS(ICHEP), pp.220.

[35] Milgrom.M (1983), ApJ, 270, pp365–370.

[36] Milgrom.M (2015), Can. J. Phys, 93, pp.107.

[37] Mohapatra.R.N and Pati.J.C (1975), "Left-Right Gauge Symmetry and an

Isoconjugate Model of CP-violation", Phys. Rev. D, p.11.

55

Tài liệu tham khảo

[38] Mijakowski.P (2011), "Direcr and Indirect Search for Dark Matter ", PhD

Thesis, Andrzej So(cid:32)ltan Institute for Nuclear Studies

[39] McKinsey.D.N, LZ (2015), " Proceedings, 14th International Conference on Topics in Astroparticle and Underground Physics", TAUP, Torino, Italy, September , pp.7–11

[40] Oort.J.H (1932), BAIN.,6 ,pp. 249.

[41] Peskin.M.E and Schroeder.D.V (1982), " An Introduction to Quantum

Field Theory",Reading, USA: Addison-Wesley, Addison-Wesley Publishing, pp.842

[42] P.V. Dong, T. D. Tham, H. T. Hung (2013), "3-3-1-1 modek for dark mat-

ter", Phys.Rev.D, 115003, pp.87

[43] P.V. Dong, D.T. Huong, Queiroz.F.S, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A,

"The dark side of flipped trinification", Journal of high energy physics, 04, pp.143

[44] P.V.Dong, T.Phong Nguyen, D.V.Soa (2013), "3-3-1 model with inert scalar

triplet" Phys.Rev. D,095014, pp.88.

[45] P.V.Dong, N.T.K.Ngan, D.V.Soa (2014), "Simple 3-3-1 model and implica-

tion for dark matter", Phys.Rev. D, 075019, pp.90.

[46] P.V.Dong, C.S.Kim, N.T.Thuy, D.V.Soa (2015), "Investigation of dark mat-

ter in the minimal 3-3-1 models", Phys.Rev. D, 115019, pp.91.

[47] Raine.D,Thomas.T (2001), "An Introduction to the Science of Cosmology",

IOP Publishing. pp. 30. ISBN 978-0-7503-0405-4. OCLC 864166846

[48] Reig.M, Valle.J.W.F and Vaquera-Araujo.C.A (2017), "Unifying left-right

symmetry and 331 electroweak theories", Phys. Lett. B, 766, pp.35

[49] Rubin.V.C, Thonnard.N, Ford.W.K (1978), Jr. ApJ, 225 , pp.L107–L111.

[50] Ryder.L.H, (1998)." Quantum field theory", Cambridge University Press,

2nd edition.

[51] Weiberg.S (1995), "The quantum theory of fields", Cambridge, UK: Univ.

Pr , Cambridge University Press, pp.609.

56

Tài liệu tham khảo

[52] Weiss.A (2006), "Big Bang Nucleosynthesis: Cooking up the first light ele-

ments" , Einstein Online Vol. 2, p.1017

[53] Zwicky.F (1937), ApJ, 86, pp.217.

57

Phụ lục

PHỤ LỤC

A Các ma trận trộn khối lượng Higgs

Thành phần VA bao gồm năm trường giả vô hướng trộn lẫn nhau A1, A2, A3, A4, A5 qua một ma trận 5 × 5 như sau:

(cid:16)

(cid:17)T

(cid:16)

(cid:17)

(A.1)

trong đó M 2 A:





, A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 S4 S5 V S mass = M 2 A 1 2

0 0

2u2(u(cid:48)2−w2)

0

0 .(A.2)

       

       

0

Thành phần VS bao gồm năm trường giả vô hướng trộn lẫn nhau S2, S3, S1, S4, S5

qua một ma trận 5 × 5 như sau:

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)T

(A.3)

0 0 w2u(cid:48)2(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 0 w2u(cid:48)(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2u(u(cid:48)2−w2) wu(cid:48)2(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 0 2u(u(cid:48)2−w2) 0 0 0 w2u(cid:48)(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2u(u(cid:48)2−w2) w2(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2(u(cid:48)2−w2) wu(cid:48)(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2(u(cid:48)2−w2) 0 0 wu(cid:48)2(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2u(u(cid:48)2−w2) wu(cid:48)(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 2(u(cid:48)2−w2) u(cid:48)2(2λ2(w2−u(cid:48)2)+ζ6w(cid:48)2) 4(u(cid:48)2−w2) 0 0

trong đó M 2 S





w2−u(cid:48)2 )]

, S2 S2 S1 S4 S5 S2 S3 S1 S4 S5 V S mass = M 2 S 1 2

       

       

.(A.4)

u(cid:48)[4λ1u2+w2(2λ2+ ζ6w(cid:48)2 2u m2 22 ζ2u(cid:48)Λ m2 24 ζ1u(cid:48)w(cid:48)

(A.5)

ζ1uw(cid:48) ζ1u(cid:48)w(cid:48) ζ4w(cid:48)Λ (ζ1 + ζ6)ww(cid:48) 2λw(cid:48)2 m2 11 m2 12 m2 13 m3 14 ζ1uw(cid:48) m2 13 ζ2u(cid:48)Λ 2(κ1 + κ2)Λ2 ζ2wΛ ζ4w(cid:48)Λ m14 m2 24 ζ2wΛ m2 44 (ζ1 + ζ6)ww(cid:48)

11 =

58

m2 , 2(u(cid:48)2 − w2)[2(λ1 + λ2u4 − λ2u(cid:48)2w2)] + ζ6u(cid:48)2w2w(cid:48)2 2u2(u(cid:48)2 − w2)

Phụ lục

(cid:20)

(cid:21)

w2−u(cid:48)2 )]

(A.6)

14 =

24 =

(cid:21)

m2 , m2 4λ1 + 2λ2 + wu(cid:48) 2 w[4λ1u2 + u(cid:48)2(2λ2 + ζ6w(cid:48)2 2u ζ6w(cid:48)2 w2 − u(cid:48)2

(cid:20) λ1u2 + λ2(u(cid:48)2 − w2/2) −

22 = 2

(cid:20)

(cid:21)

m2 ,

44 = 2

(A.7)

m2 λ1w2 + λ2(−u(cid:48)2/2 + w2) − ζ6w2w(cid:48)2 4(w2 − u(cid:48)2) ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2 4(w2 − u(cid:48)2)

13 =

Thành phần Vq+1 :

(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)T

(cid:17)

(A.8)

m2 (u(cid:48)2 − u2)[2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2] u(u(cid:48)2 − w2)Λ

q+1

−(q+1) 23

−(q+1) 32

−(q+1) χ 2

với





(A.9)

, M 2 φ φ V q+1 mass = φq+1 23 φq+1 32 χq+1 2 1 2

q+1 =

  

  

ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2 2(u(cid:48)2−w2) ζ6u(cid:48)ww(cid:48)2 w(u(cid:48)2−w2) ζ6u(cid:48)w(cid:48) 2

ζ6u(cid:48)ww(cid:48)2 2(u(cid:48)2−w2) ζ6w(cid:48)2w(cid:48)2 2(u(cid:48)2−w2) ζ6ww(cid:48) 2

ζ6u(cid:48)w(cid:48) 2 ζ6ww(cid:48) 2 ζ6(u(cid:48)2−w2) 2

Thành phần Vq :

(cid:17)T

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(A.10)

. M 2

1

13 χ−q

31 σ−q

1

13 φ−q φ−q

13 χq

31 σq

13 φq φq

với M 2

q là :





, M 2 q V q mass = 1 2

λ2w(u2−u(cid:48)2) u λ2w2(u2−u(cid:48)2) u2

ζ6uw(cid:48) 2 ζ6ww(cid:48) 2 ζ5w(cid:48)Λ √ 2 2

    

  .(A.11)   

+ ζ6u(cid:48)2ww(cid:48)2 + ζ6u(cid:48)2w2w(cid:48)2 λ2(u2 − u(cid:48)2) + ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2 2(u(cid:48)2−w2) λ2w(u2−u(cid:48)2) + ζ6u(cid:48)2ww(cid:48)2 u 2u(u(cid:48)2−w2)

ζ6(u2−w2)+ζ5Λ2 2

2u(u(cid:48)2−w2) m2 q13 2u2(u(cid:48)2−w2) m2 q23 m2 q33 ζ5w(cid:48)Λ √ 2 2

trong đó

m2 q23 ζ6ww(cid:48) 2 m2 q13 ζ6uw(cid:48) 2

(A.12)

q13 =

59

(u(cid:48)2 − u2)(2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2) m2 √ 2 2u(u(cid:48)2 − w2)Λ

Phụ lục

(A.13)

q33 =

(A.14)

(u(cid:48)2 − u2)w(2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2) m2 √ 2 2u2(u(cid:48)2 − w2)Λ

q33 =

Thành phần V ±

mass:

(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:17)T

(A.15)

m2 (u2 − u(cid:48)2)(u2 − w2)[2λ2(u2 − w2)(u(cid:48)2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2 + ζ5(u(cid:48)2 − w2)u2w(cid:48)2w2] 4u2Λ2(u(cid:48)2 − w2)

12 φ+ σ+

12 φ+ 21

12 φ− σ−

12 φ− 21

trong đó M 2

± là





(u2−u(cid:48)2)[2λ2(u2−w2)(u(cid:48)2−w2)+ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2]

√

2

2u(u(cid:48)2−w2)Λ

(u2−u(cid:48)2)2[2λ2(u(cid:48)2−w2)2+ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2] 4u2(u(cid:48)2−w2)Λ2 (u2−u(cid:48)2)[2λ2(u2−w2)(u(cid:48)2−w2)+ζ6u(cid:48)2w(cid:48)2]

√

2

  

 .(A.16)  

, V ± mass = M 2 ± 1 2

u(cid:48) u m2 12 m2 23 m2 33

2u(u(cid:48)2−w2)Λ u(cid:48) u m2 12

với m2

23 = λ2u(cid:48)2(u2−w2)

u2

λ2(u2 − w2) + ζ6w2w(cid:48)2 2(u(cid:48)2−w2) m2 23

B Chéo hoá ma trận trộn khối lượng của các gauge boson

bằng phương pháp gần đúng seesaw

Năm trường A3L, A3R, A8L, A8R, B trộn lẫn nhau qua một ma trận 5 × 5 như sau





+ ζ6u(cid:48)2w2w(cid:48)2 2u2(u(cid:48)2−w2)

0

R

m25 −tR

u2−u(cid:48)2 √ 3 tR(u(cid:48)2−u2) √ 3 m33

tR(u(cid:48)2−u2) √ 3 R(u2−u(cid:48)2+4Λ2) t2 √ 3 tR(u2+u(cid:48)2+4w2) 3

− 0

(cid:0)u2 + u(cid:48)2 + 4w2(cid:1)

3 tR

        

        

− 1 m44 m45

(cid:0)u2 + u(cid:48)2(cid:1) −tR (cid:0)u2 + u(cid:48)2 + 4Λ2(cid:1) tR(u(cid:48)2−u2) √ 3 R(u2−u(cid:48)2+4Λ2) t2 √ 3 m25

với

u2 + u(cid:48)2 (cid:0)u2 + u(cid:48)2(cid:1) t2 u2−u(cid:48)2 √ 3 tR(u(cid:48)2−u2) √ 3 0 0 m45 m55

(B.1)

√ √ 3β)Λ2 3 + β)Λ2) 4tRtX (w(cid:48)2β2 + ( , , m45 = m25 = − 4tRtX (3 + 3 3

(B.2)

X (β2w(cid:48)2 + ( 3

60

√ 4t2 3 + β)2Λ2) m55 =

Phụ lục

(B.3)

Ma trận này có định thức bằng 0, tức là có một trị riêng bằng 0, hay khối lượng photon mγ = 0. Vector riêng của photon là :

(cid:18)

m33 = , m44 = u2 + u(cid:48)2 + 4w2 3 u2 + u(cid:48)2 + 4(w2 + w(cid:48)2 + Λ2) 3

(cid:19) ,(B.4)

(cid:112)t2

X (1 + β2))

R(1 + t2

X (1 + β2) + t2

Từ đó, đồng nhất với mô hình chuẩn, ta có thể xác định được góc trộn Weinberg (θW ) là :

tX tR + Aµ = A3Lµ + + βA8L + A3Rµ tR βA8Rµ tR Bµ tX

(B.5)

(cid:112)t2

X (1 + β2))

R(1 + t2

X (1 + β2) + t2

Trường photon được viết lại như sau :

(cid:27)

(B.6)

tX tR , sW =

(cid:26)tW tR

Do tính chất các vector riêng trực giao chuẩn hoá lẫn nhau từng đôi một, ta có thể dễ dàng tính được vector riêng của trường tiếp theo

(cid:27)

(B.7)

B , A = sW A3L + cW A3R + βtW A8L + β A8R + tW tR tW tX

(cid:26)tW tR

Tương tự cho ba trường còn lại, ta thu được :

B , ZL = cW A3L − sW A3R + βtW A8L + β A8R + tW tR tW tX

Z(cid:48) A8L + ς1tX tW β2A8R + ς1tRtW βB,

L = ς1tX tW βA3R − ς1 ς

(B.8)

A3R + ςς1t2 tW ς1tX tR X βA8R + ςς1tX tRB,

R = ς(tRA8R − tX βB),

Tiếp theo, ta sẽ chuyển sang cơ sở mới mà tại đó ma trận trộn khối lượng Lµ, ZRµ, và Z(cid:48) có dạng đường chéo Aµ, ZLµ, Z(cid:48) Rµ , bởi phép chuyển cơ sở sau

61

ZR = − Z(cid:48)

Phụ lục

Rµ ZRµ)T , với ma trận U :





(A3Lµ A3Rµ A8Lµ A8Rµ Bµ)T = U (Aµ Zµ ZLµ Z(cid:48)

X β2 X (1+β2)

0 0 √ √ 0 − sW sW tR cW − sW tW tR 0 R+t2 t2 R+t2 t2

X β2

√ 0 0

βsW tR

(t2

X ]

X (1+β2)

X β2

tW tX β √ R+t2 t2 X (1+β2) √ R+t2 t2 X (1+β2) R+t2 X (1+β2)+t2 Rt2 t2 tW tX β2 √ R+t2 t2

R+β2t2

     (B.9)     

         

tW tRβ

√

sW tX

(t2

R+t2 t2

X (1+β2)

tR√ R+t2 t2 − tX β√ R+t2 t2

X β2

βt2 X R+(1+β2)t2 X )[t2 tX tR X )[t2

R+(1+β2)t2

X ]

R+β2t2

Ma trận trộn ban đầu trong cơ sở mới có dạng sau :

(cid:32)

(cid:33)

(B.10)

√ √ sW β −sW tW β − − βsW tW tR − sW tW tX

0 U =

0 = U T M 2

Lµ, Z(cid:48)

Rµ, ZRµ)

Ta thấy rằng chỉ có trường photonlà là vật lý, 4 trường còn lại (ZLµ, Z(cid:48) vẫn trộn qua một ma trận 4 × 4 M (cid:48)2 là :

√

3(u2+u(cid:48)2)]ζ1





X βζ 2+ √

. M (cid:48)2 0 0 0 M (cid:48)2

√

3cW ζ

√ − [(u(cid:48)2−u2)t2

√

R(u(cid:48)2−u2) t2 R+β2t2 t2 3cW X M (cid:48) 23 M (cid:48) 33

     

     

3(u2+u(cid:48)2)]ζ1

u2+u(cid:48)2 c2 W M (cid:48) 12 R(u(cid:48)2−u2) t2 √ R+β2t2 t2 3cW √ X X βζ 2+ − [(u(cid:48)2−u2)t2 √

, M (cid:48) 12 M (cid:48) 22 M (cid:48) 23 M (cid:48) 24 M (cid:48) 34

3cW ζ

62

M (cid:48) 24 M (cid:48) 34 M (cid:48) 44

Phụ lục

ở đây ta ký hiệu :

12 = −

X (1 + β2)

X (1 + β2) √

− , M (cid:48) √ (u2 − u(cid:48)2)tRtX (cid:112)t2 R + t2

14 =

(u2 + u(cid:48)2)tRtX sW (cid:112)t2 R + t2 c2 W 3(u2 + u(cid:48)2)]ζ1 3sW tR[(u(cid:48)2 − u2)t2 M (cid:48)

1 t2

X βζ 2 + √ 3cW ζ W w2

Rt2

23 (cid:39)

22 (cid:39)

X β2)tW tRςw2 ς1tX

(1 + ς 2 (1 + ς 2 , M (cid:48) M (cid:48) 4 3

24 (cid:39)

X β2)2t2 Rt2 1 t2 Rt2 1 t2 ς 2 X X β2)tW tX ςβw2 Rt2 1 t2 3

4 3 4(1 + ς 2 M (cid:48)

34 (cid:39)

W w2β2ς 2 +

R(−t2

X ς 2) + t2

X ς 2))(cid:1)

√ √ , M (cid:48) 3β)Λ2(1 + t2 3Λ2(1 + t2

X ς 2)2Λ2(cid:3)

44 =

(cid:0)t2 X β(3 + (cid:2)t4 X w2β2ς 4 + 3(1 + t2 3ς 2 R + β2t2

Rw2 + (t2

R + β(

33 =

X )2w(cid:48)2 + (t2 3

(B.11)

LµZ (cid:48)

Rµ ZRµ)T = U(ZLµ Z (cid:48)

Lµ Z (cid:48)

Với điều kiện sau, u, u(cid:48) (cid:28) w, w(cid:48), Λ, các phần tử ma trận ở hàng và cột đầu tiên của ma trận M (cid:48)2 bé hơn nhiều so với các phần tử ma trận còn lại. Do đó, ta có thể chéo hoá ma trận M (cid:48)2 bằng việc sự dụng phương pháp seasaw. Chúng ta sẽ chuyển sang cơ sở mới (ZLµ, Z (cid:48) Rµ, ZRµ) sao cho tách được boson nhẹ Zµ LµZ (cid:48) ra khỏi ba boson nặng Z (cid:48) Rµ, ZRµ. Cơ sở mới này liên hệ với cơ sở trước qua phép biến đổi unitary (ZLµ Z(cid:48) Rµ ZRµ)T . Ma trận Lµ Z(cid:48) M (cid:48)2, trong cơ sở mới là:

(cid:32)

(cid:33)

(B.12)

4 3 4t2 tRς1 Rς 2 1 M (cid:48) √ 4ς 2 (cid:2)t4 3 + β))2Λ2(cid:3) M (cid:48)

3×3

với





M(cid:48)2 = U T M (cid:48)2U = . m2 0 ZL 0 M2

1 (cid:15)1 (cid:15)2 (cid:15)3

(B.13)

    

    

1 0 0 U (cid:39) , 0 1 0

63

0 0 1 −(cid:15)1 −(cid:15)2 −(cid:15)3

Phụ lục

ta thu được

X t2

X t2

Rζ12)(u2 − u(cid:48)2)](cid:15)1

(cid:27)

R(u2 + u(cid:48)2)ζ12 + 3c2 W tRtX ζ1 X )(u2 + u(cid:48)2) +

R + β2t2

(cid:26)u2 + u(cid:48)2 g2 L c2 4 W 2tR(u2 − u(cid:48)2)ζ(cid:15)2 3cW





4(1+ς 2

4(1+ς 2

4(1+ς 2

1 t2

1 t2

W w2

Rt2

X β2)tW tX βw2ς

4(1+ς 2

1 t2

√ 3(1 + β2t2 2sW [3βt2 + = m2 ZL √ 2tR(−3(t2 3βtX (u2 − u(cid:48)2))ζζ1(cid:15)3 √ + + 3cW

3×3 (cid:39)

  

  

4t2

4(1+ς 2

1 t2

X β2)2t2 Rt2 1 t2 3ς 2 Rt2 1 t2 X X β2)tW tRw2ς Rt2 3ς 2 1 tX X β2)tW tX βw2ς

Rt2

X β2)tW tRw2ς Rt2 3ς 2 1 tX M2 22 M2 23

3

3 M2 23 R(3Λ2+t4 X β2ς 4w2)ς 2 1 3ς 2

M2 , g2 L 4

là khối lượng boson ZL được đồng nhất với boson Z

L(u2+u(cid:48)2) Trong đó m2 ZL 4c2 W của mô hình chuẩn và

(cid:39) g2

RΛ2 + t4

X (3 +

Rt2

X (−w2β + β(3 + 2

23 = −

√ √ √ 3t4 3β)Λ2)] 4tRς 2ς1[ M2 , 3β)(β + β3)Λ2 + t2 3

(B.14)

22 =

X ς 2)2Λ2],

và (cid:15)1,2,3 được định ngĩa

√ 4 M2 + + (1 + β 3t2 4ς 2t4 Rw2 3 3ς 2 [w(cid:48)2

(cid:27)

(cid:26)[t2

R) + t2 R]

R + t2

X β(β +

√ √

1 [β(β + Rt2

X (1 + t2 3)t2 X β2ζ 2 1 )

(cid:15)3 (cid:39) −

(cid:26)(c2

X β2ζ 2)ζ 3 1

(B.15)

W + s2 4c3

W t2 W tRζ 3

3))ζζ 3 4tRcW (1 + t2 (cid:27) + (u2 + u(cid:48)2) w(cid:48)2 (u2 + u(cid:48)2) Λ2

(cid:27)

(cid:26)[β(β +

R]ζζ 2 1

(B.16)

√

X (1 + t2 Rt2

R) + t2 X β2ζ 2 1 )

(cid:15)2 (cid:39) (u2 + u(cid:48)2)) w(cid:48)2 3)t2 4cW (1 + t2

W + s2

W t2

X ζ 2β)ζ 3 1

√ (u2 + u(cid:48)2)sW tX β(c2 − − (cid:15)1 (cid:39) 3s3 4c4 4c4

X + t2

Rt2

R(1 − 2t2 √

√ −

W tRζ 2Λ2 X β2ζ 2ζ 2 1 )] √ Rt2 3t2 X βζ 2 1 )] √ 3)(cid:9)

(B.17)

1 ) + β(β + 1 + t4

W (u(cid:48)2 + u2) W tRtX ζ1w2 X [ζ 2β2t2 3 + β)2t4 X β2ζ 2 Rt2 Rβ2ζ 2 X t2

Rζ 2] + t4

64

+ 3sW (u(cid:48)2 − u2) 4c2 W tRtX ζ1w2 (u2 + u(cid:48)2) (cid:8)β( w(cid:48)2 √ X ζ 2[(β + + t2 Rt4 √ √ 3β(β + 3)t2 3)2(1 + 2t2 X [1 + t2 Rt2 3)(1 + X ζ 2(β + Rt2

Phụ lục

(cid:17)

(cid:16) u2,u(cid:48)2

hay (cid:15)1,2,3 (cid:39) O

Λ2,w(cid:48)2,w2

Ở đây M2

Rµ, ZRµ. Tiếp

LµZ (cid:48)

3×3 là ma trận trộn khối lượng ba boson nặng Z (cid:48) tục dùng phương pháp gần đúng seasaw với điều kiện phân bậc Λ (cid:29) w, w(cid:48) :

(cid:33)

(cid:32)

(cid:28) 1.

(B.18)

trong đó





M(cid:48)(cid:48)2 = U (cid:48)T M(cid:48)2U (cid:48) = . m2 0 Z (cid:48) 0 M(cid:48)(cid:48)2 2×2

(B.19)

 

  ,

U (cid:48) (cid:39) (cid:15)(cid:48) 1 1 (cid:15)(cid:48) 2 0

(cid:17)

(1+ς 2

W w2

. Ma

, và (cid:15)(cid:48)

1,2 ∼ O

Z (cid:48) (cid:39) g2

L 3

(cid:16) w2,w(cid:48)2 Λ2

X β2)2t2 Rt2 1 t2 Rt2 1 t2 ς 2 X

Boson Z(cid:48) có khối lượng là m2 trận M(cid:48)(cid:48)2

2×2 có dạng sau:

√

0 1 1 −(cid:15)(cid:48) 1 −(cid:15)(cid:48) 2





(cid:104)

(cid:105)

3+β))Λ2ς 3

R+t2

xβ( √

4ς 2 3

2×2 (cid:39)

 ,



4t2

X ( R+t2

R + βt2 − 4tR(t2

3ς1

3ς1 RΛ2ς 2 ς 2 1

R và ZR. Chéo hoá ma trận này

Ma trận này là sự trộn lẫn giữa hai trạng thái Z (cid:48) cho ta vector riêng sau :

(B.20)

R, Z (cid:48) R + t2 √

√ − 4tR(t2 (t2 M(cid:48)(cid:48)2 g2 L 4 3 + β))2Λ2 + w(cid:48)2 ς 4 √ 3+β))Λ2ς 3 xβ( √

(B.21)

R (cid:39) sξ3ZR + cξ3Z(cid:48) R, X (1 + β2)]2 3β + β2)(t2 √

(cid:39) , m2 ZR

(B.22)

X /t2 R)] 3β + β2)(cid:9) Λ2,

R + t2

X (3 + 2

Góc trộn Z (cid:48)

R-ZR, (cid:15) là:

(cid:39) m2 Z (cid:48) R ZR (cid:39) cξ3ZR − sξ3Z(cid:48) 3w(cid:48)2[t2 g2 L ς −2 3 1 [4 + (3 + 2 g2 (cid:8)4t2 L 3

(cid:2)√

(cid:3) (cid:112)t2

R + β(3 +

√

(B.23)

Rt2

Tóm lại, các boson chuẩn vật lý liên hệ với các trạng thái boson không vật lý bởi ma trận chuyển cơ sở V = U UU(cid:15) (cid:39) U U(cid:15) như sau

(B.24)

√ . t2ξ3 = 2t4 2tR R + t2 3β)t2 R + t2 X (1 + β2) X √ 3β + β2)t4 3β + β2) − β2(3 + 2 X 3t2 X (3 − 2

L ZR Z (cid:48)

R)T

65

(A3L A3R A8L A8R B)T = V (A ZL Z (cid:48)

Phụ lục

trong đó





0

   ,(B.25)    

      

V = 0 − c(cid:15)3 ς1 0

và U (cid:39) 1 do các góc (cid:15)(cid:48)

1,2 (cid:28) 1, và





tW tX βς1 − tW tRtX ς1 tW tX β2 tRβς1 0 − s(cid:15)3 ς1 0 ς(tRc(cid:15)3 + t2 X βs(cid:15)3ς1) ςtX (tRs(cid:15)3ς1 − βc(cid:15)3) ς(−tRs(cid:15)3 + t2 X βc(cid:15)3ς1) tX ς(tRc(cid:15)3ς1 + βs(cid:15)3) cW sW − s2 sW W tRcW tR βsW − βs2 W cW − s2 W β sW β tR cW tR − s2 sW W tX cW tX

1 0 0 0 0

(B.26)

0 1 0 0 0

. 0 0 1 0 0 U(cid:15) =

      

      

0 0 0 s(cid:15)3

66

c(cid:15)3 0 0 0 −s(cid:15)3 c(cid:15)3