Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian Banach

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian Banach bao gồm những nội dung về phương trình cấp hai với điều kiện Lipschits, phương trình cấp hai với điều kiện Compact, phương trình cấp hai với nhiễu Compact.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian Banach

1 BOÄ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH F G Nguyeãn Thanh Haø BAØI TOAÙN CAUCHY CAÁP HAI TRONG THANG CAÙC KHOÂNG GIAN BANACH Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi tích Maõ soá : 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: PGS.TS. NGUYEÃN BÍCH HUY Thaønh phoá Hoà Chí Minh - Naêm 2005
2 LÔØI CAÛM ÔN Toâi xin chaân thaønh baøy toû loøng toân kính vaø bieát ôn saâu saéc ñoái vôùi PGS.TS. Nguyeãn Bích Huy, ngöôøi thaày ñaõ taän tình giaûng daïy, höôùng daãn toâi suoát quaù trình hoïc taäp vaø thöïc hieän luaän vaên. Toâi xin baøy toû loøng bieát ôn ñoái vôùi PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoaù, TS. Nguyeãn Anh Tuaán, PGS.TS. Döông Minh Ñöùc, TS. Nguyeãn Thaønh Long, quyù thaày ñaõ tröïc tieáp trang bò cho toâi kieán thöùc cô baûn laøm neàn taûng cho quaù trình nghieân cöùu. Ñoàng thôøi, thoâng qua giaûng daïy, quyù thaày ñaõ giuùp toâi quen daàn vôùi coâng vieäc nghieân cöùu. Toâi voâ cuøng caùm ôn BGH, quyù thaày coâ trong khoa Toaùn, trong phoøng KHCN Sau Ñaïi hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh; UBND cuøng vôùi Sôû Giaùo duïc Ñaøo taïo tænh Beán Tre, quyù thaày coâ tröôøng THPT Bình Ñaïi A, ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoïc taäp vaø nghieân cöùu. Toâi raát bieát ôn gia ñình, quyù ñoàng nghieäp vaø baïn beø gaàn xa ñaõ giuùp ñôõ, hoå trôï tinh thaàn cuõng nhö vaät chaát cho toâi trong thôøi gian qua. Thaønh phoá Hoà Chí Minh, thaùng 9 naêm 2005. Nguyeãn Thanh Haø.
3 CHÖÔNG 1 MÔÛ ÑAÀU Nhieàu baøi toaùn töø caùc lónh vöïc khaùc nhau cuûa khoa hoïc, daãn ñeán vieäc khaûo saùt söï toàn taïi vaø tính duy nhaát nghieäm cho phöông trình vi phaân trong khoâng gian Banach vôùi ñieàu kieän ñaàu (baøi toaùn Cauchy). Coù nhieàu lôùp phöông trình vi phaân ñöôïc khaûo saùt, moãi lôùp phöông trình laïi coù phöông phaùp nghieân cöùu rieâng. Baøi toaùn Cauchy trong thang caùc khoâng gian Banach coù nhieàu öùng duïng khi nghieân cöùu caùc baøi toaùn chöùa kyø dò. Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling vaø moät soá taùc giaû khaùc ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn Cauchy caáp moät trong thang caùc khoâng gian Banach vaø tìm ra nhieàu öùng duïng khaùc cho Phöông trình Vi phaân, Vaät lyù vaø Cô khí. Sau ñoù, Barkova vaø Zabreik ñaõ tìm ra moät keát quaû töông töï cho baøi toaùn Cauchy caáp hai thoaû ñieàu kieän Lipschitz. ÔÛ luaän vaên naøy chuùng toâi ñaëc bieät quan taâm caùc ñeán baøi toaùn Cauchy caáp hai trong thang caùc khoâng gian Banach daïng u′′ = f (t , u ) u (0) = u0 , u′(0) = u1 vaø cuøng vôùi caùc keát quaû ñoù laø moät vaøi öùng duïng ñôn giaûn. Trong suoát luaän vaên, haøm f (t , u ) ñöôïc xeùt caùc daïng khaùc nhau öùng vôùi caùc ñieàu kieän khaùc nhau, vaø ta giaû thieát ( E , . ) , λ ∈ [ a, b] ⊂ ( 0, +∞ ) λ λ laø
4 thang caùc khoâng gian Banach cho tröôùc thoaõ maõn: neáu λ < λ ' thì Eλ ' ⊂ Eλ vaø u λ ≤ u λ ' , vôùi moïi u ∈ Eλ . Trong chöông hai, chuùng toâi trình baøy baøi toaùn Cauchy caáp hai vôùi ⎛ du ⎞ f (t , u ) ñöôïc thay theá bôûi f ⎜ t , u , ⎟ thoaûñieàu kieän Lipschitz. Ñaây laø moät ⎝ dt ⎠ keát quaû töông töï vôùi baøi toaùn Cauchy caáp moät. Khi f (t , u ) laàn löôït ñöôïc thay bôûi haøm A(t )u + f (t ) roài haøm A ( Bu (t ), u ) , caùc giaû thieát cuõng ñöôïc thay ñoåi theo nhaèm ñuû cho vieäc nghieân cöùu söï toàn taïi vaø ñaùnh giaù nghieäm cuûa baøi toaùn ñoù. Keát quaû naøy ñöôïc trình baøy ôû chöông ba. ÔÛ chöông boán, ñieàu kieän nhieãu compact ñöôïc xeùt ñeán thay cho ñieàu kieän Lipschitz. Keát quaû thu ñöôïc cho baøi toaùn caáp hai töông töï vôùi keát quaû cuûa K. Deimling veà baøi toaùn Cauchy caáp moät. Keát thuùc luaän vaên laø moät vaøi öùng duïng cho phöông trình Kirchhoff.
5 CHÖÔNG 2 PHÖÔNG TRÌNH CAÁP HAI VÔÙI ÑIEÀU KIEÄN LIPSCHITZ Trong chöông naøy, ta seõ chöùng minh moät keát quaû veà söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình caáp hai, töông töï vôùi ñònh lyù Nishida-Nirenberg. Tröôùc heát, giaû söû ta coù thang ( Eλ , . λ ) , λ ∈ [ 0,1] vaø aùnh xaï f taùc duïng lieân tuïc töø [ 0, T ]× Eλ × Eλ vaøo Eλ ' vôùi moãi caëp λ < λ ' vaø thoaû ñieàu kieän f (t , u1 , v1 ) − f (t , u2 , v2 ) λ ' ≤ a(λ , λ ') u1 − u2 λ + b(λ , λ ') v1 − v2 λ ; (2.1) trong ñoù caùc haøm a (λ , λ '), b(λ , λ ') khoâng aâm, khoâng phuï thuoäc t , ui , vi . Ta xeùt baøi toaùn u′′ = f ( t , u, u′ ) (2.2) u (0) = u0 , u′(0) = u1 . (2.3) vôùi ñieàu kieän (2.3) thuoäc E1 . 2.1. Phöông trình caáp hai vôùi ñieàu kieän Lipschitz vôùi caùc haøm a(λ , λ '), b(λ , λ ') laø toång quaùt. Ta caàn moät soá xaây döïng boå trôï. Ta xeùt caùc aùnh xaï töø khoâng gian C ([ 0, T ] , ) vaøo chính noù nhö sau: c(λ , λ ') w(t ) = ∫ [ a(λ , λ ')(t − τ ) + b(λ , λ ')] w(τ )dτ ( λ ' < λ ) t (2.4) 0 n c(λ0 , λ1 ,..., λn ) w(t ) = ∏ c(λi −1 , λi )w(t ); ( λ0 > λ1 > ... > λn ) (2.5) i =1
6 (trong (2.5) , ∏ hieåu laø hôïp cuûa caùc aùnh xaï) cn (λ , λ ') w(t ) = inf c(λ1 , λ2 ,..., λn ) w(t ); (λ ' < λ ) (2.6) trong (2.6) inf ñöôïc laáy treân taäp taát caû caùc boä n + 1 soá (λ0 , λ1 ,..., λn ) thoaû ñieàu kieän λ = λ0 > λ1 > ... > λn = λ ' . Cuoái cuøng ta ñònh nghóa vôùi moãi caëp λ ' < λ taäp hôïp { } T (λ , λ ') = T ′ ∈ [ 0, T ]: lim n cn (λ , λ ')1(t ) < 1, ∀t ∈ [ 0, T ′] n →∞ trong ñoù 1( t ) ≡ 1. Ñònh lyù. t Neáu soá T ′ ∈ T (λ , λ ') vaø haøm h0 (t ) = u1 + ∫ f (τ , u0 ,0) dτ bò chaën trong 0 Eλ thì baøi toaùn (4.2)-(4.3) coù nghieäm u : [ 0, T ′] → Eλ ' Chöùng minh. Ta xeùt aùnh xaï F : Cλ = C ([ 0, T ′] , Eλ ) → Cλ ' = C ([ 0, T ′] , Eλ ' ) ñònh bôûi τ ( Fv)(t ) = u1 + ∫ f ⎡τ , u0 + ∫ v(ξ )dξ , v(τ ) ⎤ dτ t 0 ⎣⎢ 0 ⎦⎥ Ta nhaän thaáy raèng, neáu v laø ñieåm baát ñoäng cuûa F thì haøm t u (t ) = u0 + ∫ v (τ )dτ 0 laø nghieäm cuûa (4.2) – (4.3). Thaät vaäy, neáu v laø ñieåm baát ñoäng cuûa F thì ( τ v (t ) = ( Fv ) (t ) = u1 + ∫ f τ , u0 + ∫ v (ξ )dξ , v (τ ) dτ t 0 0 ) t Töø u (t ) = u0 + ∫ v (τ )dτ , ta coù: u '(t ) = v (t ), u (0) = u0 . 0
7 Neân u '(t ) = u1 + ∫ f (τ , u (τ ), v (τ ) ) dτ t 0 Do ñoù, ta coù u "(t ) = f ( t , u (t ), v (t ) ) = f ( t , u (t ), u′(t ) ) vaø u (0) = u0 , u '(0) = u1 Khaúng ñònh treân ñöôïc chöùng minh. Tieáp theo, ta seõ chöùng minh ( Fv1 ) (t ) − ( Fv2 ) (t ) λ ' ≤ c(λ , λ ') ( v1 (t ) − v2 (t ) λ ) ; ( v1 , v2 ∈ Cλ ) (2.7) Töø ñònh nghóa aùnh xaï F vaø ñieàu kieän (2.1) ta coù Fv1 (t ) − Fv2 (t ) λ ' ≤ t ( τ ) ( τ ≤ ∫ f τ , u0 + ∫ v1 (ξ )dξ , v1 (τ ) − f τ , u0 + ∫ v2 (ξ )dξ , v2 (τ ) 0 0 0 ) λ' dτ τ ≤ ∫ ⎡ a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ + b(λ , λ ') v1 (τ ) − v2 (τ ) λ ⎤ dτ t 0⎢⎣ 0 ⎥⎦ Theo coâng thöùc tích phaân töøng phaàn thì t τ ∫ 0 a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ .dτ 0 τ t = ⎡τ a (λ , λ ') ∫ v1 (ξ ) − v2 (ξ ) λ dξ ⎤ − ∫ τ a (λ , λ ′) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ t ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0 0 t = ∫ a(λ , λ ')(t − τ ) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ 0 Suy ra, Fv1 (t ) − Fv2 (t ) λ ' ≤ t t ≤ ∫ a (λ , λ ')(t − τ ) v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ + ∫ b(λ , λ ') v1 (τ ) − v2 (τ ) λ dτ 0 0 Nhö vaäy, ta coù (2.7). Vôùi moãi boä soá λ = λ0 > λ1 > λ2 > ... > λn = λ ' , ta aùp duïng (2.7) vaø coù
8 ( F n v1 (t ) − F n v2 (t ) ≤ c(λn−1 , λn ) F n−1v1 (t ) − F n−1v2 (t ) λ' λn −1 ) ≤ ... ( ... ≤ c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 )...c(λ0 , λ1 ) v1 (t ) − v2 (t ) λ ) Suy ra, vôùi moïi v1 , v2 ∈ Cλ : F nv1 (t ) − F nv2 (t ) ≤ c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 )...c(λ0 , λ1 ) v1 (t ) − v2 (t ) λ λ' Maø vôùi moïi i = 1,2,..., n , ta coù ( c(λi −1 , λi ) (v1 − v2 )(t ) λ = ∫ [ a(λi −1 , λi )(t − τ ) + b(λi −1 , λi ) ] (v1 − v2 )(τ ) λ dτ ) t 0 ∫ [ a (λ , λi )(t − τ ) + b(λi −1 , λi ) ].1dτ t ≤ v1 − v2 C i −1 λ 0 töùc laø ta coù c(λi −1 , λi ) (v1 − v2 )(t ) λ ≤ v1 − v2 C c(λi −1 , λi )1(t ), ∀i = 1,2,..., n. λ Neân F nv1 (t ) − F nv2 (t ) ≤ ( c(λn−1 , λn )c(λn−2 , λn−1 )...c(λ0 , λ1 ) )1(t ). v1 − v2 C λ' λ Do ñoù, ta coù F n v1 − F n v2 ≤ cn (λ , λ ')1(T '). v1 − v2 C (2.8) Cλ ' λ Neáu ta xaây döïng daõy laëp v0 (t ) = 0, vn+1 (t ) = Fvn (t ), (n = 0,1,...) thì do (2.8) seõ coù ñaùnh giaù vn+1 − vn C = F n v1 − F n v0 ≤ cn (λ , λ ')1(t ). v1 − v0 C (2.9) λ' Cλ ' λ t Do v1 (t ) − v0 (t ) = u1 + ∫ f (τ , u0 ,0)dτ =h0 (t ) laø haøm thuoäc Cλ neân töø (2.9) 0 vaø ñònh nghóa taäp T (λ , λ ') , daõy {vn } seõ hoäi tuï trong Cλ ' tôùi haøm v naøo ñoù laø ñieåm baát ñoäng cuûa F .
9 2.2. Phöông trình caáp hai vôùi ñieàu kieän Lipschitz vôùi caùc haøm a(λ , λ '), b(λ , λ ') trong tröôøng hôïp ñaëc bieät . Söû duïng ñònh lyù toång quaùt treân ta seõ chæ ra caùch ñaùnh giaù caùc taäp T ( λ , λ ') trong moät tröôøng hôïp rieâng quan troïng. Vôùi Jw(t ) = ∫ w(τ )dτ , ta coù: J 2 w(t ) = ∫ Jw(τ )dτ = ∫ t 0 0 0 t t ( ∫ w(ξ )dξ ) dτ τ 0 Aùp duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn, ta coù ∫ ( ∫ w(ξ )dξ ) dτ = t ∫ w(τ )dτ − ∫ τ .w(τ )dτ =∫ (t − τ ).w(τ )dτ t τ t t t 0 0 0 0 0 Do ñoù, t J 2 w(t ) = ∫ (t − τ ) w(τ )dτ 0 Keát hôïp (2.4), ta ñöôïc t c(λ , λ ') = a (λ , λ ') J 2 + b(λ , λ ') J , vôùi Jw(t ) = ∫ 0 w(τ )dτ Goïi D ⊆ {1,2,..., n} , ta thöïc hieän pheùp nhaân phaân phoái veá vôùi veá n ñaúng thöùc c(λ0 , λ1 ) w(t ) = a(λ0 , λ1 ) J 2 + b(λ0 , λ1 ) J c(λ1 , λ2 ) w(t ) = a(λ1 , λ2 ) J 2 + b(λ1 , λ2 ) J ... c(λn−1 , λn ) w(t ) = a (λn−1 , λn ) J 2 + b(λn−1 , λn ) J ta ñöôïc ñaúng thöùc môùi coù veá phaûi laø moät toång maø moãi soá haïng coù daïng ∏ a (λ j∈D j −1 , λ j ) J 2l .∏ b(λ j −1 , λ j ) J n−l , trong ñoù l laø soá phaàn töû cuûa D, vôùi j∉D 2l +(n-l)=k vaø k=n,n+1,…,2n. Ta thaáy soá phaàn töû cuûa D laø l=k-n
10 Goïi M k laø taäp caùc taäp con D ⊂ {1, 2,..., n} thì do ñònh nghóa ( 2.5), ta coùù 2n c(λ0 , λ1 ,..., λn ) = ∑ d k (λ0 , λ1 ,..., λn ) J k k =n trong ñoù d k (λ0 , λ1 ,..., λn ) = ∑ ∏ a (λ D∈M k j∈D j −1 , λ j )∏ b(λ j −1 , λ j ) j∉D tk Vì J k 1(t ) = , neân ta coù k! 2n tk c ( λ0 , λ1 ,..., λn )1( t ) = ∑ d k ( λ0 , λ1 ,..., λn ). (2.10) k =n k! Giaû söû caùc haøm a (λ , λ '), b(λ , λ ') thoõa maõn ñieàu kieän sau Ñieàu kieän (λ ) . Toàn taïi caùc haøm an (λ , λ '), bn (λ , λ '), (n = 1,2...) sao cho vôùi moãi caëp λ' λ1 > ... > λn = λ ' sao cho a(λ j −1 , λ j ) = an (λ , λ '), b(λ j −1 , λ j ) = bn (λ , λ ') ( j = 1,..., n) . Do d k laø moät toång goàm caùc soá haïng (trong tröôøng hôïp naøy) baèng nhau; toång soá caùc soá haïng ñoù baèng toång soá caùc taäp con D cuûa A = {1, 2,..., n} , töùc laø baèng Cnk −n . Neân vôùi ñieàu kieän (λ ) nhö vaäy, ta coù d k ( λ0 , λ1 ,..., λn ) = Cnk −n ank −n (λ , λ ')bn2 n−k (λ , λ '), (2.11) Ta xeùt tröôøng hôïp a (λ , λ ') = a.(λ − λ ') −2 , b(λ , λ ') = b.(λ − λ ') −1 ( a > 0, b > 0 laø caùc haèng soá), laø moät söï môû roäng töï nhieân cuûa ñieàu kieän daïng Lipshitz cho phöông trình caáp moät. Khi ñoù ñieàu kieän (λ ) ñöôïc thoûa vôùi
11 λ −λ' an (λ , λ ') = a (λ j −1 , λ j ) = a.(λ j −1 − λ j ) −2 = a.( ) −2 = an 2 (λ − λ ') −2 , n bn (λ , λ ') = bn(λ − λ ') −1 vaø vôùi caùch choïn λ j laø caùc ñieåm chia [ λ ', λ ] laøm n phaàn baèng nhau. Trong tröôøng hôïp naøy töø ( 2.10) – (2.11), ta coù 2n tk cn (λ , λ ')1(t ) = inf c (λ0 , λ1 ,..., λn )1(t ) ≤ ∑ d k (λ0 , λ1 ,..., λn ) k =n k! 2n (T ′) k ≤ ∑C k −n n a k −n (λ , λ ') b 2 n−k (λ , λ ') k =n k! 2n (T ′) k = ∑ Cnk −n a k −nb 2 n−k n k (λ − λ ')− k ; ∀t ∈ [ 0, T '] k =n k! Ta coù nk k ! nk nn n ≤ (n + 1)(n + 2)...k ⇒ n ≤ ; (k = n, n + 1,...,2n) hay k ≤ n n! k ! n! Suy ra k nn 2n ⎡ T' ⎤ cn (λ , λ ')1(t ) ≤ ∑ Cnk −n a k −n b 2 n−k ⎢ n! k = n ⎣ λ − λ ' ⎥⎦ 2( k − n ) 2 n−k n n 2 n k −n k −n ⎡ T ' ⎤ ⎡ T′ ⎤ ≤ ∑ Cn a ⎢ b 2 n−k , ∀t ∈ [ 0, T '] n! k = n ⎣ λ − λ ' ⎥⎦ ⎢⎣ λ − λ ' ⎥⎦ Nhö vaäy nn n Cn (λ , λ ')1(t ) ≤ ⎡⎣ aT '2 (λ − λ ') −2 + bT '(λ − λ ') −1 ⎤⎦ (2.12) n! nn Ta bieát lim n = e neân töø (2.12), ta coù n →∞ n!
12 ⎡ ⎛ T ′ ⎞2 T′ ⎤ lim cn (λ , λ ')1(t ) ≤ e ⎢ a ⎜ n ⎟ +b ⎥ ⎣⎢ ⎝ λ − λ ' ⎠ λ − λ ' ⎦⎥ n →∞ λ − λ'⎛ 4a ⎞ Ñaët B = lim n cn (λ , λ ')1(t ) . Vôùi T ′ thoaû 0 < T ' < ⎜ −b + b + 2 ⎟, n →∞ 2a ⎝ e ⎠ ta coù ( ) ( ) ⎞⎟⎥⎥ ⎡ ⎛ λ −λ' 2 ⎞ ⎛ λ −λ' ⎤ ⎢ ⎜ −b + b 2 + 4 a / e ⎟ ⎜ 2 a −b + b + 4 a / e 2 B ≤ e ⎢ a ⎜ 2a ⎟ + b⎜ ⎟ ⎢ ⎜ λ −λ' ⎟ ⎜ λ −λ' ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎡ ( ) ⎤ 2 ⎢ −b + b + 4a / e 2 = e ⎢a 4a 2 + b 2a ( ⎥ −b + b + 4 a / e ⎥ 2 ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 4a = e. e = 1 4a Theo ñònh nghóa cuûa taäp T ( λ , λ ' ) , ta coù: T ' ∈ T ( λ , λ ' ) . Do ñoù, ta coù ⎛ ⎡ 4a ⎤ ⎞ ⎜⎜ 0,(λ − λ ') ⎢ −b + b + ⎥ 2a ⎟⎟ ⊂ T (λ , λ ') . 2 ⎝ ⎣ e ⎦ ⎠ Vaäy ta ñaõ chöùng minh ñöôïc heä quaû sau Heä quaû. Giaû söû aùnh xaï f :[ 0, T ] × Eλ × Eλ → Eλ ' lieân tuïc vôùi moãi caëp λ < λ ' vaø thoõa maõn ñieàu kieän a b f ( t , u1 , v1 ) − f ( t , u2 , v2 ) λ ' ≤ u − u2 λ + v −v (λ − λ ') 2 1 λ −λ' 1 2 λ
13 vaø haøm h0 (t ) bò chaën trong Eλ thì baøi toaùn (2.2) vôùi ñieàu kieän (2.3) coù nghieäm u :[ 0, T ′] → Eλ ' neáu T ′ thoaõ ñieàu kieän ⎛ 4a ⎞ 0 < T ′ < (λ − λ ') ⎜ −b + b 2 + ⎟ 2a . ⎝ e ⎠
14 CHÖÔNG 3 PHÖÔNG TRÌNH CAÁP HAI VÔÙI ÑIEÀU KIEÄN COMPACT Khoù khaên chuû yeáu trong vieäc nghieân cöùu caùc baøi toaùn Cauchy laø ôû choã caùc toaùn töû ñöôïc xeùt ñi töø moät khoâng gian Eλ naøo ñoù khoâng vaøo chính noù, maø vaøo khoâng gian roäng hôn Eβ ( β < λ ) trong hoï caùc khoâng gian Banach. Ñeå khaéc phuïc khoù khaên naøy, ta aùp duïng phöông phaùp laëp thoâng thöôøng vaø laäp luaän cuûa Ovsjannikov, Nirenberg, Nishida vaø Barkova, Zabreiko. Tröôùc heát, ta nghieân cöùu söï toàn taïi vaø ñaùnh giaù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy tuyeán tính sau ñaây: u′′ = A(t )u + f (t ) (3.1) u (0) = u0 , u′(0) = u1. (3.2) Ñònh lyù 3.1. Giaû söû caùc giaûû thieát sau ñaây ñöôïc thoaõ maõn: 1) Vôùi moãi caëp (λ , β ), a ≤ λ < β ≤ b , A : I = [ 0, T ] → L ( Eβ , Eλ ) laø toaùn töû lieân tuïc vaø toàn taïi moät soá M > 0 , khoâng phuï thuoäc vaøo t , λ , β , sao cho: M A(t )u λ ≤ u , vôùi moïi u ∈ Eβ . ( β − λ )2 β 2) u0 , u1 ∈ Eb ; f ∈ C ( I , Eb ) . ⎧ b−λ⎫ Khi ñoù, vôùi moãi λ ∈ (a, b) , toàn taïi moät soá Tλ = min ⎨T , ⎬ sao cho ⎩ Me ⎭ baøi toaùn (1) coù duy nhaát nghieäm u : [ 0, Tλ ) → Eλ , thoaõ maõn
15 K (t )(b − λ ) u (t ) − u (t ) λ ≤ , (3.3) 2(b − λ − t Me ) ⎛ ⎞ 4M ⎜ c 2 K (t )(b − λ ) ⎟ u '(t ) − u1 λ ≤ Tg (t ) + + (3.4) Me ⎜⎜ b − λ − t Me ( ) 2 ⎟ b − λ − t Me ⎟ ⎝ ⎠ vôùi t ∈ [ 0, Tλ ) , trong ñoù { u (t ) = u0 + tu1 ; c = sup u (t ) b : t ∈ [ 0, T ] ; } (b − λ ) 2 (3.5) { } g (t ) = sup f ( s ) b : s ∈ [ 0, t ] ; K (t ) = c + 2 Me g (t ) Chöùng minh. Coá ñònh λ ∈ (a, b) . Ta thay baøi toaùn (3.1)-(3.2) bôûi phöông trình tích phaân töông ñöông sau ( A(r )u (r ) + f (r ) ) dr := Fu (t ) . t s u (t ) = u (t ) + ∫ ds ∫ (3.6) 0 0 Xeùt caùc pheùp xaáp xæ lieân tieáp u0 (t ) = u (t ), un (t ) = Fun −1 (t ) . Vì u , f ∈ C ( I , Eb ) , neân ta coù un ∈ C ( I , Eβ ) vôùi moïi n vaø moïi β ∈ [ λ , b ) . Ta seõ chöùng minh baèng qui naïp raèng n ⎛ Met 2 ⎞ un (t ) − un−1 (t ) β ≤ K (t ) ⎜ 2 ⎟ (3.7) ⎝ (b − β ) ⎠ Vôùi n=1 thì do giaû töø thieát 1) vaø töø β < b ⇒ f (r ) β ≤ f (r ) b ), ta coù ( A(r )u (r ) ) t s u1 (t ) − u (t ) β = Fu0 (t ) − u (t ) β ≤ ∫ ds ∫ 0 β + f (r ) β dr 0 0 t s⎛ M ⎞ ≤ ∫ ds ∫ ⎜ u (r ) b + f (r ) b ⎟ dr 0 (b − β ) 2 o ⎝ ⎠
16 Keát hôïp ñònh nghóa soá c , haøm g (t ), K (t ) vaø baèng tính toaùn cuï theå ta coù ñaùnh giaù t s⎛ M ⎞ ∫ o ∫ 0 ⎝ (b − β )2 ds ⎜ u ( r ) b + f ( r ) b⎟ ⎠ dr ⎛ Mc ⎞ t 2 ⎛ 2 Mce + g (t )(b − β ) 2 ⎞ t 2 ≤⎜ + g (t ) ⎟ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ (b − β ) (b − β ) 2 2 ⎠2 ⎝ ⎠2 ⎛ 2 Mce + g (t )(b − λ ) 2 ⎞ t 2 ≤⎜ ⎟ ⎠ (b − β ) 2 ⎝ 2 1 ⎛ g (t )(b − λ ) 2 ⎞ t 2 Me ⎛ Met 2 ⎞ = ⎜c + ⎟ = K (t ) ⎜ 2 ⎟ ⎠ (b − β ) ⎝ (b − β ) ⎠ 2 ⎝ 2 Me Vaäy (3.7) ñuùng vôùi n =1. Neáu (3.7) ñuùng vôùi n thì vôùi chuù yù raèng haøm K taêng theo t, ta coù t s un+1 (t ) − un (t ) β ≤ ∫ ds ∫ A(r )un (r ) − A( r )un −1 (r ) β dr 0 0 M t s ≤ ε2 ∫ 0 ds ∫ un ( r ) − un−1 ( r ) β +ε dr 0 n M t ⎛ Mer 2 s ⎞ ≤ 2 ∫ ds ∫ K (r ) ⎜ ⎟ dr ε 0 0 ⎝ (b − β − ε ) 2 ⎠ n 2n M t s ( Me) r ≤ 2 ∫ ds ∫ K ( s ) dr ε 0 0 (b − β − ε ) 2 n M t ( Me) n s 2 n+1 = ε2 ∫ 0 K ( s) (2n + 1)(b − β − ε ) 2 n ds M t( Me) n s 2 n+1 ≤ 2 ∫ K (t ) ds ε 0 (2n + 1)(b − β − ε ) 2 n K (t ) ( Met 2 ) n +1 ≤ ε 2 (b − β − ε ) 2 n (2n + 1)(2n + 2)e töùc laø ta coù
17 K (t ) ( Met 2 ) n +1 un+1 (t ) − un (t ) β ≤ (3.8) ε 2 (b − β − ε ) 2 n (2n + 1)(2n + 2)e b−β Choïn ε = , ta ñöôïc 2n + 1 2 2n 2n ⎛ b − β ⎞ ⎛ 2n(b − β ) ⎞ (b − β ) 2 n+ 2 ⎛ 2n ⎞ ε (b − β − ε ) = ⎜ 2 2n ⎟ ⎜ ⎟ ≥ ⎜ ⎟ ⎝ 2n + 1 ⎠ ⎝ 2n + 1 ⎠ (2n + 1)(2n + 2) ⎝ 2n + 1 ⎠ 2n ⎛ 1 ⎞ Do ⎜1 + ⎟ < e neân ⎝ 2n ⎠ (b − β ) 2 n+ 2 ε (b − β − ε ) ≥ 2 2n (3.9) (2n + 1)(2n + 2)e Keát hôïp (3.8) vaø (3.9) ta ñöôïc (3.7) ñuùng cho tröôøng hôïp n+1. Xeùt moät soá t ∈ [ 0, Tλ ) → Eλ vaø choïn β > λ thoaû Met 2 < (b − β )2 . Baát ñaúng thöùc (3.7) chöùng toû raèng daõy {un } hoäi tuï trong C ([ 0, t ] , Eβ ) veà moät haøm u . Laáy giôùi haïn theo chuaån cuûa Eλ khi n → ∞ trong ñaúng thöùc u n (t ) = Fu n −1 (t ) ta thaáy raèng haøm thu ñöôïc u : [ 0, Tλ ) → Eλ thoaõ maõn (3.6) vaø do ñoù noù chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn (3.1)-(3.2). Tieáp theo, ta kieåm tra ñaùnh giaù (3.3), (3.4). Ñeå ñôn giaûn cho vieäc kyù hieäu, ta ñaët d = Me . Töø (3.7) ta coù 2i n ⎛ td ⎞ un (t ) − u (t ) λ ≤ K (t )∑ ⎜ ⎟ i =1 ⎝ b − λ ⎠ b−λ Vaø baèng caùch cho n → ∞ , vôùi 0 ≤ t < thì d d 2t 2 K (t )(b − λ ) 2 u (t ) − u (t ) λ ≤ ≤ (b − λ ) 2 − d 2t 2 (b − λ − td )(b − λ + td )
18 a 1 Ta bieát, neáu 0 < a < b thì < , neân a+b 2 K (t )(b − λ ) 2 K (t )(b − λ ) ≤ (b − λ − td )(b − λ + td ) 2(b − λ − td ) Do ñoù, (3.3) ñöôïc thoaõ maõn. Töø kyù hieäu (3.5) vaø (3.6), ta coù M ∫ ( A(s)u (s) + f (s) ) ds λ ≤ Tg (t ) + ∫ ( λ (s) − λ ) t t u′(t ) − u1 λ = 2 u ( s ) λ ( s ) ds 0 0 (3.10) b + λ − sd trong ñoù λ ( s ) = . 2 Aùp duïng (3.3), ta ñöôïc K (s) ( b − λ (s) ) K ( s ) ( b − λ + sd ) K (s) ( b − λ ) u ( s) λ ( s ) ≤ c + =c+ ≤c+ , 2 ( b − λ ( s ) − sd ) 2 ( b − λ − sd ) ( b − λ − sd ) b−λ vôùi 0 ≤ s < . d Do ñoù, töø (3.10) suy ra t 4M ⎡ K (s) ( b − λ ) ⎤ u′(t ) − u1 λ ≤ Tg (t ) + ∫ 2 ⎢ c + ⎥ ds 0 ( b − λ − sd ) ⎣ ( b − λ − sd ) ⎦ ⎡ t ds ds ⎤ ( ) t ≤ Tg (t ) + 4 M ⎢c ∫ + K (t ) b − λ ∫0 ( b − λ − sd )3 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ( b − λ − sd ) 2 ⎦ 4M ⎡ c K (t )(b − λ ) ⎤ t = Tg (t ) + ⎢ + 2⎥ d ⎣⎢ b − λ − sd 2 ( b − λ − sd ) ⎦⎥ 0 Baèng tính toaùn cuï theå, vaø ñeå yù raèng K laø haøm taêng theo t, ta ñöôïc
19 4M ⎡ c 2 K (t )(b − λ ) ⎤ u′(t ) − u1 λ ≤ Tg (t ) + ⎢ + 2 ⎥ vôùi t ∈ [ 0, Tλ ) . d ⎣⎢ b − λ − td ( b − λ − td ) ⎦⎥ Do ñoù, (3.4) ñöôïc chöùng minh. Cuoái cuøng, ta chöùng minh tính duy nhaát nghieäm. Giaû söû v : [ 0, T '] → Eλ laø nghieäm cuûa baøi toaùn (3.1)-(3.2). Coá ñònh λ ' < λ , ta coù theå laëp laïi laäp luaän cuûa chöùng minh söï toàn taïi vôùi λ , b, un laàn löôït ñöôïc thay bôûi λ ', λ , un − v ñeå ñöôïc u − v laø nghieäm cuûa baøi toaùn w′′ = A(t ) w, ( f (t ) = 0 ) w(0) = w′(0) = 0. thoaõ ñaùnh giaù (3.3) ( ñeå yù raèng baøi toaùn naøy ñöôïc xeùt vôùi 0 ≤ t < T ' vaø ⎧ λ − λ '⎫ w(t ) = 0 ). Vì vaäy, u (t ) = v(t ) vôùi 0 ≤ t < min ⎨T ', ⎬ , vaø do ñoù, baèng ⎩ d ⎭ phöông phaùp laëp thoâng thöôøng ta suy ra u (t ) = v(t ) vôùi 0 ≤ t < T ' . Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh. Ñònh lyù 3.2. Giaû söû caùc giaû thieát sau ñöôïc thoaõ maõn 1) Vôùi moãi caëp (λ , β ) toaùn töû A: Eλ × Eβ → Eλ laø daïng tuyeán tính vaø toàn taïi moät soá M> 0 khoâng phuï thuoäc (λ , β ) sao cho M A( u,v ) λ ≤ u . v , ∀u ∈ Eλ ,∀v ∈ Eβ . ( β − λ )2 λ β 2) Toaùn töû B laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø C1 ([ 0, T ] , Ea ) vaøo C ([ 0, T ] , Eb ) ñöôïc trang bò baèng caùc chuaån thoâng thöôøng . { Hôn nöõa , sup Bu(t ) b .t ∈[ 0,T ]; u ∈C 1 ([0,T ], E )} = L < ∞ a
20 3) u0 , u1 ∈ Eb . ⎧ ⎫ Khi ñoù, vôùi baát kì λ ∈ (a, b) , toàn taïi moät soá Tλ = min ⎪⎨T , b −λ ⎪⎬ sao ⎩⎪ 4 MLe ⎭⎪ cho baøi toaùn Cauchy u′′ = A ( Bu (t ), u ) (3.11) u (0) = u0 ; u′(0) = u1 (3.12) coù moät nghieäm u : [ 0, Tλ ] → Eλ . Chöùng minh. Ñaët I = [0, T ] , tröôùc heát chuùng ta chuù yù raèng , pheùp nhuùng I :C1 ( I , Eλ ) → C1 ( I , Ea ) lieân tuïc , do I ( x) C1 ( I , Ea ) t∈I { = sup x(t ) a + x′(t ) a } ⇒ I ( x) C1 ( I , Ea ) t∈I { } ≤ sup x(t ) λ + x′(t ) λ = x C1 ( I , Eλ ) Keát hôïp giaû thieát 2) ta coù toaùn töû B cuõng hoaøn toaøn lieân tuïc töø C1 ( I , Eλ ) vaøo C ( I , Eb ) ,vôùi baát kyø λ ∈ [ a, b] . Coá ñònh vôùi λ ∈ (a, b) , moãi u ∈ C1 ( I , Eλ ) , ta xeùt baøi toaùn cauchy tuyeán tính sau v′′ = A ( Bu (t ), v ) , (3.13) v(0) = u0 ; v′(0) = u1 (3.14) Vôùi λ ≤ γ ≤ β ≤ b vaø v ∈ Eβ , do giaû thieát 1) , ta coù M A ( Bu (t ), v ) − A ( Bu ( s ), v ) γ ≤ Bu (t ) − Bu ( s ) b . v β (β − γ ) 2