BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ---------------------------------------
VŨ VĂN THƯỞNG
SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – Năm 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ---------------------------------------
VŨ VĂN THƯỞNG – C00458
SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG
Hà Nội – Năm 2016
1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ................................................................................................ 01
Mục lục.......................................................................................................... 02
Lời cam đoan ................................................................................................. 04
Tóm tắt luận văn............................................................................................ 05
MỞ ĐẦU....................................................................................................... 06
Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG
MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI................................................................................. 08
1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.................................................................................... 08
1.2 HÀM LỒI SHUR..................................................................................... 08
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 ................................................................................... 08
1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 ................................................................................... 08
1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm..................................... 09
1.2.3.1 Tính chất 1.......................................................................................... 09
1.2.3.2 Tính chất 2.......................................................................................... 09
1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 ................................................................................... 10
1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) ........................................10
1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội ................................................ 12
1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC ............................................................................................... 14
Kết luận Chương 1......................................................................................... 24
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
2
2.1 THÍ DỤ MINH HỌA............................................................................... 25
Nhận xét 2.1.1................................................................................................ 26
2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA
TAM GIÁC ................................................................................................... 26
Nhận xét 2.2.1................................................................................................ 26
2.2.1 Hàm sin.................................................................................................. 28
Nhận xét 2.2.2................................................................................................ 28
2.2.2 Hàm cosin.............................................................................................. 53
Nhận xét 2.2.3................................................................................................ 53
2.2.3 Hàm tan................................................................................................. 65
Nhận xét 2.2.4................................................................................................ 65
2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA
TAM GIÁC ................................................................................................... 71
Nhận xét 2.3.1................................................................................................ 71
2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC................................. 77
Kết luận Chương 2. ....................................................................................... 86
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận..................................................................................................... 87
2. Khuyến nghị............................................................................................... 87
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN ............................................................................. 88
3
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán
sơ cấp với đề tài “Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong
tam giác” là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và
nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và
phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Vũ Văn Thưởng
4
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn gồm ba phần:
PHẦN 1. Mở đầu
PHẦN 2. Nội dung
Phần này gồm hai chương.
Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG
MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI
1.2 HÀM LỒI SHUR
1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
2.1 THÍ DỤ MINH HỌA
2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA
TAM GIÁC
2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA
TAM GIÁC
2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC
PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị.
5
MỞ ĐẦU
Khái niệm trội được đưa ra nhằm mục đích so sánh hai phần tử (hai
vectơ) trong không gian Khái niệm này là cơ sở của lý thuyết trội, được
áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ [8].
Khái niệm trội được áp dụng khá thành công trong chứng minh các bất
đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác, xem, thí dụ, [7], [8]. Có
thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [3]) cũng chính là bất đẳng
thức trội. Khái niệm trội cũng khá gần với một số ý tưởng về sắp thứ tự tam
giác, xem, thí dụ, [2].
Tuy vậy, hình như chưa có một cuốn sách tiếng Việt hoặc một luận văn
cao học nào trình bày ứng dụng khái niệm trội, đặc biệt là trong chứng minh
bất đẳng thức trong tam giác.
Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam
giác có mục đích minh họa khả năng sử dụng khái niệm trội và bất đẳng thức
trội (Bổ đề trội) trong chứng minh, cải tiến và làm mới các bất đẳng thức
trong tam giác. Đây là một vấn đề còn mới mẻ nhưng có ý nghĩa khoa học và
ứng dụng thực tiễn cao trong giảng dạy toán sơ cấp, vì vậy tôi chọn đề tài này
làm đề tài luận văn cao học của mình.
Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản như khái niệm trội, hàm lồi
Shur, đặc biệt là bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) và hệ quả của nó,
đồng thời trình bày ứng dụng của bất đẳng thức trội trong việc chứng minh
một số bất đẳng thức.
Chương 2: Trình bày ứng dụng của bổ đề trội và hệ quả của nó trong
việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. Qua đây ta thấy được thế
mạnh của bất đẳng thức trội và hệ quả của nó ứng dụng vào việc chứng minh
6
nhiều bài toán liên quan đến các bất đẳng thức trong tam giác như: Bất đẳng
thức liên quan đến các góc trong của tam giác, bất đẳng thức liên quan đến
các cạnh của tam giác và một số hệ thức khác trong tam giác. Ngoài ra, trong
Chương 2 còn trình bày ứng dụng hiệu quả của bất đẳng thức trội so với một
số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường khác cho một số bất
đẳng thức trong tam giác.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện
Toán học. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ
Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên
kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long,
phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc
Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng
nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ,
góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu tương
đối phức tạp và khó, kinh nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế
nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Vũ Văn Thưởng
7
Chương 1
KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1 KHÁI NIỆM TRỘI
1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho và là hai vectơ trong
không gian hữu hạn chiều Các tọa độ và được sắp thứ
tự như sau: Nếu:
thì ta nói trội hơn ( majorizes ) và viết
Ta cũng nói bị trội bởi ( majorized by ) và viết
1.2 HÀM LỒI SHUR
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Tập được gọi là tập lồi nếu với mọi
và
Nghĩa là, tập lồi ta có chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó.
1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 Hàm được gọi là hàm lồi nếu là
tập lồi và với mọi và ta có
(1.2.1)
Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thì được gọi là lồi chặt trên .
Hàm được gọi là hàm lõm nếu là hàm lồi, hay ta có bất đẳng thức
ngược lại.
8
Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thì hàm được gọi là lõm chặt
trên
1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm
Tính chất 1.2.3.1 Nếu là hàm lồi khả vi liên tục trên
và thì
Chứng minh Thật vậy, theo tính chất của hàm lồi, với mọi và
ta có
hay
Với và ta có
Cho ta được
hay
Trường hợp chứng minh hoàn toàn tương tự.
Tính chất 1.2.3.2 Cho hàm số xác định trên tập X và có đạo hàm
cấp hai tại mọi
Nếu với mọi thì là hàm lồi trên
Nếu với mọi thì là hàm lõm trên
9
1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 Hàm được gọi là hàm lồi Shur
(Shur-convex function) nếu trên suy ra
Một bất đẳng thức cho hàm lồi được sử dụng hiệu quả trong chứng minh các
bất đẳng thức là Bất đẳng thức trội dưới đây.
1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923)
Kí hiệu trong đó
Nếu là hàm lồi trên thì với
là hàm lồi Shur, tức là với mọi ta có
hay
Nếu (1.2.2) là hàm lõm thì ta có bất đẳng thức ngược lại, tức là với
mọi ta có:
(1.2.3)
Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Bổ đề trội cho trường hợp
Không hạn chế tổng quát, coi với và
với Vì nên ta có
Như vậy,
Vì nên tồn tại sao cho
Khi đó:
Do là hàm lồi, theo (1.2.1) ta có:
10
Vậy bất đẳng thức (1.2.2) đúng trong trường hợp này.
Trong trường hợp bất kì, để đơn giản hóa chứng minh, ta giả thiết thêm
là hàm lồi hai lần khả vi trên
Áp dụng tính chất 1.2.3.1 của hàm lồi cho các cặp số ta được
Do là hàm lồi trên nên với mọi hay là
hàm đồng biến trên Vì với mọi nên
với mọi
Chú ý đến giả thiết, và ta đi đến
Vậy ta có .
Bất đẳng thức (1.2.2) được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Chứng minh tương tự cho bất đẳng thức (1.2.3).
11
Nhận xét Nhiều sách (thí dụ, [1], [3]) gọi bất đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là
bất đẳng thức Karamata (Karamata inequality). Bổ đề trội được Shur chứng
minh năm 1923 và Karamata chứng minh năm 1932. Hơn nữa, Bổ đề trội có
rất nhiều ứng dụng khác, không chỉ trong chứng minh bất đẳng thức (xem
[8]). Do đó, chúng tôi gọi (theo [8]), các đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là bất
đẳng thức trội hay bất đẳng thức Shur.
1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội
Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi trên và với
mọi ta luôn có bất đẳng thức:
(1.2.4)
Chứng minh Do tính chất đối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả
sử Khi đó, ta có
trong đó
Khi đó, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi , ta được:
12
Vậy bất đẳng thức (1.2.4) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Hệ quả 2 (Bất đẳng thức T. Popoviciu) Với mọi hàm lồi trên và với
mọi ta đều có bất đẳng thức:
(1.2.5)
Chứng minh Ta coi Khi đó sẽ xảy ra một trong hai khả năng:
hoặc
Ta chỉ cần xét trường hợp là đủ.
Khi đó dễ dàng kiểm tra
và
Khi đó, ta có
13
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi, ta được
Vậy bất đẳng thức (1.2.5) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.3 ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
Khái niệm trội, thậm chí chỉ riêng bất đẳng thức trội, đặc biệt có lợi
trong đánh giá (và tìm cực trị) các đại lượng. Các thí dụ dưới đây minh họa
điều này.
Các thí dụ minh họa
Thí dụ 1.3.1 Cho . Khi ấy
(1.3.1)
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử , suy ra
. Khi đó, ta có:
Do đó ta có:
14
Xét hàm số với .
Ta có: với nên là hàm lồi
trên khoảng
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy bất đẳng thức (1.3.1) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.2 ([7], IMO 2000, Problem 2) Cho các số dương thỏa mãn
điều kiện Khi ấy
(1.3.2)
Chứng minh Đặt với x, y, z > 0. Khi đó ta có:
Bất đẳng thức (1.3.2) trở thành
15
(1.3.2.1)
Không hạn chế tổng quát, coi Khi ấy
thì (1.3.2.1) hiển nhiên đúng. Nếu
Nếu Khi đó:
Đặt và ta có:
và ;
Do đó ta có:
với Xét hàm số
với nên là hàm lõm Ta có:
trên khoảng
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Bất đẳng thức (1.3.2.1) được chứng minh.
hay
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy bất đẳng thức (1.3.2) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.3 Cho số thực dương thỏa mãn các điều
kiện
Khi ấy
16
(1.3.3)
Chứng minh Đặt .
Với các điều kiện đã cho, ta có: và ;
Do đó ta có:
Xét hàm số với
Ta có: với mọi nên lồi trên
khoảng
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy bất đẳng thức (1.3.3) được chứng minh. Thí dụ 1.3.4 Cho là các số thực dương. Khi ấy
(1.3.4)
Chứng minh Giả sử . Đặt:
Khi đó là số lớn nhất, là số nhỏ nhất.
Ta có:
17
và
Do đó ta có:
Xét hàm số trên
Ta có: nên là hàm
lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy bất đẳng thức (1.3.4) được chứng minh.
Thí dụ 1.3.5 ([7]) Cho Giả sử
Khi ấy
(1.3.5)
Chứng minh Xét hàm số với
Ta có: với mọi nên là
hàm lõm trên
Không mất tính tổng quát, giả sử
a, Từ giả thiết bài toán, ta có:
18
Do đó, ta có
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
. (1)
b, Từ giả thiết bài toán, ta có:
Khi ấy (*). Thật vậy:
(*)
(luôn đúng với ).
Vậy
19
Tương tự, ta cũng có:
.
Do đó, ta có:
. Vậy
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra
Vậy bất đẳng thức (1.3.5) được chứng minh.
20
Thí dụ 1.3.6 ([7]) Cho là những số nguyên dương. Kí hiệu
Khi ấy
(1.3.6)
Chứng minh Xét hàm số
nên Ta có: là hàm lồi.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử
a, Từ giả thiết bài toán, ta có:
Tương tự, ta có:
Do đó ta có:
Khi đó
21
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
. (1)
b, Tương tự như Thí dụ 1.3.5, ta có:
Khi đó, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
. (2)
Từ (1) và (2), ta được:
Vậy bất đẳng thức (1.3.6) được chứng minh.
22
Thí dụ 1.3.7 (Đề thi kết thúc học phần cao học, chuyên đề bất đẳng thức, Đại
học Đà Nẵng) Cho là 3 số thực thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chứng minh Từ gải thiết bài toán, ta có: , và
Do đó ta có:
Xét hàm số với
Do nên là hàm lồi trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
Vậy đạt được khi
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ số và (1,1,1) ta được:
Vậy đạt được khi
Thí dụ 1.3.8 Cho là ba số thực thỏa mãn: và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
23
Giải Không mất tính tổng quát, giả sử . Khi đó:
Do đó ta có:
Xét hàm số trên
Ta có: với nên
làm hàm lồi trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
Vậy đạt được khi
Kết luận Chương 1 Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về khái niệm
trội, hàm lồi, hàm lõm, dấu hiệu nhận biết hàm lồi, hàm lõm, đặc biệt là khái
niệm hàm lồi Shur cho ta bất đẳng thức trội. Ngoài ra, trong Chương 1 cũng
giới thiệu một số ứng dụng của bất đẳng thức trội vào việc chứng minh một số
bất đẳng thức. Qua đó cho thấy thế mạnh của bất đẳng trội trong chứng minh
các bất đẳng thức là rất đa dạng và hiệu quả, áp dụng bất đẳng thức trội một
cách hợp lý cho ta ngay kết quả cần đạt được.
24
Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
2.1 THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 2.1.1 ([7], Asian Pacific Mathematical Competition; Olympic châu Á
– Thái Bình Dương lần thứ 8, 1996) Cho là ba cạnh của một tam giác.
Khi ấy
(2.1.1)
Chứng minh Không hạn chế tổng quát, coi Khi đó:
và
Do đó ta có
Xét hàm số trên
Ta có với mọi nên
là hàm lõm trên khoảng
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Vậy bất đẳng thức (2.1.1) được chứng minh.
25
Nhận xét 2.1.1 Kí hiệu Về mặt hình học
chính là độ dài đường tiếp tuyến tới đường tròn nội tiếp tam giác kẻ từ các
Đặt Khi đỉnh
đó
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) ta được:
Kí hiệu là nửa chu vi tam giác. Khi ấy ta có:
Tương tự,
Không hạn chế tổng quát, coi Đặt và
ta được:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) ta được:
Như vậy, phép biến đổi cho một tương
ứng giữa ba cạnh của tam giác và ba số dương Điều này cho
phép tạo các đẳng thức và bất đẳng thức mới trong tam giác từ các các đẳng
thức và bất đẳng thức giữa ba số dương.
2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG
CỦA TAM GIÁC
Nhận xét 2.2.1 Cho lần lượt là ba góc trong một tam giác
. Khi đó:
26
a, Tam giác bất kì
Giả sử nên suy ra
Suy ra
Do đó
Ta cũng có
Suy ra
Vậy với mọi tam giác.
b, Tam giác có ba góc nhọn (tam giác nhọn)
Giả sử
Theo trên ta có
Do tam giác nhọn nên
27
Suy ra
Vậy cho tam giác có ba góc nhọn.
c, Tam giác tù với góc
Giả sử
Suy ra
Do đó
Theo trên ta có
Vậy với mọi tam giác tù.
2.2.1 Hàm sin
Nhận xét 2.2.2
a, Xét hàm số trên
với mọi Ta có:
b, Xét hàm số: trên
Ta có:
với mọi
28
c, Xét hàm số trên
Ta có với mọi
d, Xét hàm số trên
Ta có với mọi
e, Xét hàm số trên
, với Ta có
Do đó:
Hàm số là những hàm lõm trên
Hàm số là hàm lồi trên
Hàm số là hàm lõm trên
Bài 2.2.1.1 Cho tam giác ABC có ba góc trong lần lượt là Khi ấy
1)
2)
3)
4)
29
5)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt là các góc
trong và a = BC, b = AC, c = AB lần lượt là ba cạnh của tam giác ABC. Ta
phải chứng minh:
(2.2.1.1.1) 1)
Cách 1 Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý).
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
Suy ra
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh.
30
Cách 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R, ta có:
(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Suy ra:
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên suy ra:
. Do đó: (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta có:
.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh.
31
Cách 3 Trước tiên ta chứng minh
Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:
Ta có: Chọn
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên , suy ra:
Do đó (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta có:
32
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh.
Cách 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Ta có:
Do đó:
với Đặt Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên:
-1
1
Căn cứ bảng biến thiên suy ra:
33
nên
Do đó:
Suy ra:
hay
(1.5)
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên suy ra
Vậy
(1.6)
Từ (1.5) và (1.6) ta có:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh.
Cách 5 Chứng minh
(1.7)
Cộng 2 vế của (1.7) cho Ta có
Ta có:
34
Mặt khác,
Suy ra
Vậy
(1.7)
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên suy
ra: Do đó:
(1.8)
Từ (1.7) và (1.8) ta có: .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
35
tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh.
(2.2.1.1.2) 2)
Cách 1 Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
36
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.2) được chứng minh.
Cách 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(Theo phần 1 ở trên ta có: ).
Suy ra:
. (2.1)
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên suy
ra: Do đó
(2.2)
Từ (2.1) và (2.2) ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.2) được chứng minh.
(2.2.1.1.3) 3)
37
Cách 1 Ta có
Hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên , suy ra
. Do đó
Từ (3.1) và (3.2) ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.3) được chứng minh.
Cách 2 Do là ba góc trong tam giác ABC nên ta có
Suy ra: . Do đó
(3.3)
Theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương , ta có:
38
(Theo Phần 1 ở trên ta có )
Từ (3.3) và (3.4) ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.3) được chứng minh.
4) (2.2.1.1.4)
Cách 1 Ta có:
Hàm số là hàm lồi trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
39
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.4) được chứng minh.
Cách 2. Chứng minh
Ta có:
Mặt khác, do là 3 góc trong tam giác ABC nên ta có:
Suy ra
Vậy:
(2.2.1.1.5) 5)
40
Ta có:
Hàm số lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Chọn , ta được:
Ta có:
Mặt khác:
nên ta có:
41
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác ABC nên ta có:
, suy ra:
(5.2)
Từ (5.1) và (5.2) ta có:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.5) được chứng minh.
Bài 2.2.1.2 Cho tam giác ABC nhọn, có ba góc trong lần lượt là .
Khi ấy
1)
2)
3)
4)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt
là các góc trong và lần lượt là ba cạnh của tam
42
giác nhọn ABC.
1) (2.2.1.2.1)
Cách 1 Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.1) được chứng minh.
Cách 2: Chứng minh
Do là 3 góc trong tam giác nhọn ABC nên ta có: ,
suy ra:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
43
(Theo Bài 2.2.1.1 ý 1, cách 3 ở trên ta có: ).
(2.2.1.2.2) 2)
Ta có:
là hàm lõm trên Hàm số
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý).
Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.2) được chứng minh.
44
3) (2.2.1.2.3)
Cách 1 Do là ba góc trong tam giác ABC nên ta có
, suy ra: (3.1)
Ta có:
Hàm số lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Chọn , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý).
Suy ra:
Theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương , ta có:
45
Từ (3.1) và (3.2) ta có:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều. Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.3) được chứng minh.
Cách 2 Do là ba góc trong tam giác ABC nên ta có
, suy ra: (3.3)
Giả sử . Ta có:
Ta thấy (luôn đúng).
46
Vậy (3.4)
Từ (3.3) và (3.4) ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hay tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.3) được chứng minh.
(2.2.1.2.4) 4)
Theo chứng minh trên (Bài 2.2.1.1, phần 5) ta có:
Ta có:
Hàm số là hàm lồi trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
47
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (vô lý).
Suy ra:
Ta có:
Ta có:
Suy ra:
(4.2)
Từ (4.1) và (4.2) ta có:
48
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.4) được chứng minh.
Bài 2.2.1.3 Cho tam giác ABC tù, có ba góc trong lần lượt là . Khi
ấy
1)
2)
3)
4)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt là các góc
lần lượt là ba cạnh của tam giác tù ABC. và
(2.2.1.3.1) 1)
Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
49
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC vuông cân (loại, do tam giác tù).
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.3.1) được chứng minh.
(2.2.1.3.2) 2)
Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC vuông cân (loại, do tam giác tù).
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.3.2) được chứng minh.
(2.2.1.3.3) 3)
Ta có:
50
Hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Do là ba góc trong tam giác ABC nên ta có:
, suy ra: (3.2)
Từ (3.1) và (3.2) ta có:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC vuông cân (loại, do tam giác tù).
Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.3.3) được chứng minh.
(2.2.1.3.4) 4)
là ba góc trong tam giác ABC nên ta có Do
, suy ra:
(4.1)
Ta có:
51
Ta có: .
a, Hàm số là hàm lồi trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
b, Hàm số lõm trên . .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Chọn , ta được:
52
Khi đó:
Từ (4.1) và (4.2) ta có:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC vuông cân (loại, do tam giác tù).
Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.1.3.4) được chứng minh.
2.2.2 Hàm cosin
Nhận xét 2.2.3
a, Xét hàm số trên
Ta có: với
53
b, Xét hàm số trên
với Ta có:
c, Xét hàm số trên
với Ta có:
d, Xét hàm số trên
với Ta có:
là các hàm lõm trên . Do đó
Hàm số là hàm lõm trên
Hàm số là hàm lõm trên
Bài 2.2.2.1 Cho tam giác ABC có ba góc trong lần lượt là Khi ấy
1)
2)
3)
4)
5)
54
Chứng minh Kí hiệu lần lượt là các góc
trong và lần lượt là ba cạnh của tam giác ABC.
(2.2.2.1.1) 1)
Ta có:
Hàm số là hàm lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.1.1) được chứng minh.
(2.2.2.1.2) 2)
Ta có:
55
Ta có hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.1.2) được chứng minh.
3) (2.2.2.1.3)
Ta có:
Ta có hàm số là hàm lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
56
Chọn , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.1.3) được chứng minh.
(2.2.2.1.4) 4)
Ta có:
Ta có hàm số là hàm lõm trên .
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
57
Chọn , ta được:
(1)
Mặt khác, do là ba góc trong tam giác nên suy ra:
. Do đó (2)
Từ (1) và (2) ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.1.4) được chứng minh.
(2.2.2.1.5) 5)
Ta có:
58
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó:
Ta có:
là hàm lõm trên Hàm số
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Suy ra:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.1.5) được chứng minh.
59
Bài 2.2.2.2 Cho tam giác ABC nhọn, có ba góc trong lần lượt là
Khi ấy
1)
2)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt
là các góc trong và lần lượt là ba cạnh của tam giác
nhọn ABC.
1) (2.2.2.2.1)
Cách 1 Ta có:
Ta có hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.2.1) được chứng minh.
60
Cách 2 Do tam giác ABC nhọn nên ta có: suy ra:
Do đó
(1)
Ta có:
Đặt Khi đó (2) trở thành
Xét hàm số trên
Ta có:
Bảng biến thiên:
t 0
1
+ 0 -
Căn cứ bảng biến thiên ta có:
61
với hay (2) luôn đúng.
Vậy (3)
Từ (1) và (3) ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.2.1) được chứng minh.
Cách 3 (Vô địch Cộng hòa dân chủ Đức, 1965)
Do tam giác ABC nhọn nên ta có: Suy ra
Do đó
(4)
Ta có:
Do đó
62
Từ (4) và (5) ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hay tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.2.1) được chứng minh.
2) (2.2.2.2.2)
Ta có:
Ta có hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
63
Chọn , ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi
(vô lý). Suy ra:
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.2.2) được chứng minh.
Bài 2.2.2.3 Cho tam giác ABC tù, có 3 góc trong lần lượt là Khi ấy
(2.2.2.3)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt là các góc
lần lượt là ba cạnh của tam giác tù ABC. trong và
Ta có:
, suy ra: (1)
Ta có:
Ta có hàm số là hàm lõm trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
64
Chọn , ta được:
Từ (1) và (2), ta có
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC vuông cân (loại, do tam giác tù).
Suy ra
Vậy bất đẳng thức (2.2.2.3) được chứng minh.
2.2.3 Hàm tan
Nhận xét 2.2.4
a, Xét hàm số trên
Ta có:
65
.
Suy ra hàm số là hàm lồi trên .
b, Xét hàm số trên .
Ta có:
Suy ra hàm số là hàm lồi trên
c, Xét hàm số trên
Ta có:
với
Suy ra hàm số là hàm lõm trên
Bài 2.2.3.1 Cho tam giác ABC không nhọn có 3 góc trong lần lượt là
, Khi ấy
66
(2.2.3.1.1)
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử Khi đó:
Suy ra
Xét hàm số với
Ta có: với nên hàm số
là hàm lồi trên khoảng
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
(Ta có: nên )
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
67
hay tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Vậy bất đẳng thức (2.2.3.1.1) được chứng minh.
Bài 2.2.3.2 Cho tam giác ABC nhọn, có ba góc trong lần lượt là
Khi ấy với mọi ta có:
1)
2)
3)
Chứng minh Kí hiệu lần lượt
là các góc trong và lần lượt là ba cạnh của tam giác
nhọn ABC.
1) (2.2.3.2.1)
Ta có:
Hàm số là hàm lồi trên
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
68
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.3.2.1) được chứng minh.
(2.2.3.2.2) 2)
Ta có:
là hàm lồi trên Hàm số
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi hay
69
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.3.2.2) được chứng minh.
3) (2.2.3.2.3)
Do là ba góc trong tam giác nhọn ABC nên ta có
Suy ra:
(3.1)
Ta có:
là hàm lõm trên Hàm số
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Từ (3.1) và (3.2) ta có
70
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay
tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy bất đẳng thức (2.2.3.2.3) được chứng minh.
Áp dụng Từ bất đẳng thức (2.2.3.2.1) và (2.2.3.2.2) ta có các bất đẳng thức
cơ bản sau. Cho tam giác ABC nhọn, có ba góc trong lần lượt là
Khi ấy:
1) 2)
3) 4)
Lời bình Để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, ta có thể dùng
các phương pháp biến đổi đại số và lượng giác, lượng giác hóa, phương pháp
hàm số,... Tuy nhiên, nhiều khi phải biến đổi tương đối phức tạp và sử dụng
nhiều phép biến đổi cồng kềnh. Sử dụng phương trình bậc ba (xem [4]) hoặc
Bổ đề trội, ta thường có ngay kết quả cần chứng minh. Bổ để trội, theo một
nghĩa nào đó, hay hơn phương trình bậc ba, ở chỗ, nó có thể áp dụng cho cả
các tam giác đặc biệt (cân, tù, vuông cân,...).
2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA
TAM GIÁC
Nhận xét 2.3.1 Cho tam giác ABC, gọi ( ) là ba cạnh của tam
giác, là nửa chu vi, là trung bình cộng
của ba cạnh. Đặt ; ;
a) Với mọi tam giác ABC ta có
71
Do đó:
Ta có:
Do đó
Vậy
b) Với mọi tam giác ABC cân :
Theo trên, ta có Ta có:
Do đó Vậy
Một số bất đẳng thức liên hệ với các cạnh trong tam giác
Cho tam giác ABC bất kì có các cạnh là Khi ấy ta có các bất đẳng
thức sau:
1) Với mọi tam giác ABC bất kì
72
a)
. b)
. c)
. d)
2) Với tam giác ABC cân, ta có: .
Chứng minh
1) Kí hiệu lần lượt là các góc trong và
lần lượt là ba cạnh của tam giác ABC.
a) (2.3.1)
Xét hàm số . Ta có:
nên là hàm lồi.
Vậy
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
73
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi hay tam giác
ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi (vô lý).
Do đó Vậy bất đẳng thức (2.3.1) được chứng minh.
b) (Học viện kỹ thuật Quân sự, 1996-1997)
(2.3.2)
Xét hàm số trên .
Ta có: với nên
là hàm lõm trên
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm , ta được:
74
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi hay tam giác
ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi (vô lý).
Do đó
Vậy bất đẳng thức (2.3.2) được chứng minh.
c) (2.3.3)
Xét hàm số trên
Ta có: với nên
là hàm số lõm trên
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.3.3) được chứng minh.
d) (2.3.4)
75
Xét hàm số với
Ta có: với nên
là hàm số lồi trên Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.3.4) được chứng minh.
2) . (2.3.5)
Hàm số là hàm số lồi.
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm , ta được:
76
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi hay tam
giác ABC là tam giác đều.
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
(vô lý).
Do đó
Vậy bất đẳng thức (2.3.5) được chứng minh.
2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC
Bài 2.4.1
1) Cho tam giác ABC. Gọi là ba góc trong
tam giác thỏa mãn Khi ấy
77
(2.4.1.1)
Chứng minh Xét hàm số trên .
Ta có với nên hàm số
là hàm lồi trên
Do nên ta có
Suy ra:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi , ta được:
78
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
hay tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Vậy bất đẳng thức (2.4.1.1) được chứng minh.
2) Cho tam giác ABC, gọi ( ) là ba cạnh của tam giác thỏa mãn
Khi ấy:
Chứng minh Xét hàm số trên
với nên Ta có:
là hàm lồi trên hàm số
nên ta có: Do
Suy ra:
Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi ta được:
Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi
Vậy bất đẳng thức (2.4.1.2) được chứng minh.
79
Bài tập 2.4.2 Gọi là ba góc trong tam giác
ABC. Ta có các bất đẳng thức sau đây (được chứng minh nhờ bất đẳng thức
Jensen – là một hệ quả của Bổ đề trội Shur):
1) .
2)
3)
4) Giả sử . Khi đó:
5) Giả sử . Khi đó:
Chứng minh
1) (2.4.2.1)
Xét hàm số với Ta có:
với nên là hàm
lõm trên
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
80
(1)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta có
(3)
Tương tự,
(4)
(5)
Từ (3), (4), (5) suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.4.2.1) được chứng minh.
2) (2.4.2.2)
Xét hàm số trên .
81
Ta có: với nên
là hàm lồi trên
Mặt khác trong tam giác ABC ta có
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.4.2.2) được chứng minh.
(2.4.2.3) 3)
Xét hàm số trên .
Ta có:
82
với nên
là hàm lồi trên
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.4.2.3) được chứng minh.
4) Giả sử Khi đó
(2.4.2.4)
Xét hàm số trên
Ta có: với nên
là hàm lồi trên
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
83
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.4.2.4) được chứng minh.
Tương tự, ta có bất đẳng thức sau:
4b) Cho tam giác ABC. Gọi là ba góc trong tam giác. Khi ấy
.
5) Giả sử . Khi đó:
(2.4.2.5)
Xét hàm số trên .
84
Ta có: với nên
là hàm lồi trên
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Vậy bất đẳng thức (2.4.2.5) được chứng minh.
85
Kết luận Chương 2
Chương 2 trình bày ứng dụng của bất đẳng thức trội (Bổ đề trội Shur,
1923) và hệ quả của nó trong việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam
giác, cụ thể là các bất đẳng thức liên quan đến các góc trong tam giác, một số
bất đẳng thức liên quan đến các cạnh và một số hệ thức khác trong tam giác.
Qua đó cho thấy thế mạnh của bổ đề trội trong việc chứng minh các bất đẳng
thức trong tam giác là rất phong phú, đa dạng và hiệu quả. Chỉ cần sử dụng
hợp lý bất đẳng thức trội và hệ quả của nó ta có thể chứng minh được rất
nhiều bất đẳng thức liên quan đến tam giác một cách đơn giản, hiệu quả và
cũng từ đây cho ta sáng tạo ra nhiều bất đẳng thức khác liên quan đến tam
giác. Ngoài ra, trong Chương 2 cũng trình bày một số cách chứng minh khác
nhau của một số bất đẳng thức quen thuộc để qua đó ta thấy, sử dụng các
phương pháp biến đổi đại số, lượng giác hóa, hàm số,... thường là phức tạp và
cồng kềnh so với áp dụng bổ đề trội một cách hợp lý.
86
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Chỉ cần MỘT bất đẳng thức trội (hay bất đẳng thức Karamata) và hệ
quả của nó, ta đã có thể chứng minh được RẤT NHIỀU bất đẳng thức trong
tam giác. Sử dụng Bổ đề trội một cách linh hoạt cho ta ngay kết quả mà
không cần biến đổi cồng kềnh, phức tạp như một số phương pháp thông
thường khác. Hy vọng rằng, nhiều bất đẳng thức mới khác nói chung, trong
tam giác nói riêng, có thể suy ra được từ bất đẳng thức trội hoặc các mở rộng
của nó.
2. Khuyến nghị
Hy vọng luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên
và sinh viên toán các trường sư phạm, trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở
trường trung học phổ thông, trong rèn luyện đội tuyển thi giỏi cấp tỉnh, quốc
gia và quốc tế.
Hy vọng đề tài này sẽ được tiếp tục nghiên cứu, mở rộng và phát triển,
được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu, học tập của học sinh trung học phổ
thông và sinh viên trong các trường Đại học, Học viện. Hy vọng rằng việc
chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác bằng phương pháp sử dụng Bất
đẳng thức trội, sẽ trở thành một trong những phương pháp quen thuộc của học
sinh, sinh viên trong chứng minh các bất đẳng thức nói chung, các bất đẳng
thức trong tam giác nói riêng.
87
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN
[1] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức.
[2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (2004), Một số chuyên đề chọn lọc bồi
dưỡng học sinh giỏi, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên.
[3] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán
học, Nhà xuất bản Tri thức.
[4] Tạ Duy Phượng (2004, 2006), Phương trình bậc ba và các hệ thức trong
tam giác, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5] Lê Hồ Quý (18, 19/4/2011), Bất đẳng thức Karamata và một vài ứng
dụng, Hội thảo Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT
tổ chức tại Phú Yên.
[6] Cao Minh Quang, http://sachsangtao.com/bvct/sach-tham-khao/414/bdt-
karamata-va-mot-so-ung-dung-cao-minh-quang.html
[7] M. S. Klamkin (2002), On a “Problem of the Month”, Crux, Vol. 28, 86-
90.
[8] A. W. Marshall, L. Olkin and B. C. Arnold (2011 (Second Edition)),
Inequalities: Theory of Majorization and Its applications, in Springer Series
in Statistics, N. Y., 909 pages.
[9] D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric, V. Volenec (1989): Recent Advances in
Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers.
88
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp chất lai chứa khung tetrahydro-β-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250807/kimphuong1001/135x160/50321754536913.jpg)
