Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt P-adic

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt P-adic giới thiệu tới các bạn những nội dung về những kiến thức cơ bản; độ cao của hàm chỉnh hình P-adic; độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến và lý thuyết Nevanlinna chom siêu mặt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt P-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------- NGUYỄN NGỌC HUY LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT P-ADIC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2007
LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, trong luận văn này, tôi xin gởi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã hướng dẫn tận tình và hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, quý thầy đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô khoa Toán – Tin, quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2007 Nguyễn Ngọc Huy
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích p-adic là chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều ứng dụng, đặc biệt, trong Lý thuyết số hiện đại. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic một biến đã được nghiên cứu bởi các tác giả như Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Butabaa … Năm 1988, trong [3], Hà Huy Khoái và Mỵ Vinh Quang lần đầu tiên xây dựng được công thức Poisson – Jensen cho hàm chỉnh hình p-adic và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt hàm phân hình. Sau đó, nhiều tác giả tiếp tục phát triển lý thuyết theo nhiều hướng khác nhau. Trong [4], Hà Huy Khoái đã mở rộng vấn đề nghiên cứu cho các hàm chỉnh hình nhiều biến. Tuy nhiên, Hà Huy Khoái chỉ nêu tóm tắt các ý tưởng, kết quả dưới dạng hình học. Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài “Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic” để tiếp tục nghiên cứu một cách đầy đủ, chi tiết hơn về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng công thức đầy đủ và hoàn chỉnh với các chứng minh đầy đủ, chi tiết cho độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic và xây dựng được 2 định lí cơ bản cho Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chúng tôi sẽ nghiên cứu độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic một biến và nhiều biến, lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 4. Cấu trúc luận văn Do những mục đích nói trên, toàn bộ luận văn bao gồm 3 chương. Chöông 1: Nhöõng kieán thöùc cô baûn Trong chöông ñaàu tieân naøy, chuùng toâi trình baøy moät soá kieán thöùc cô baûn chaúng haïn nhö chuẩn treân moät tröôøng, chuẩn phi Archimede ñaày ñuû, xaây döïng caùc tröôøng soá p-adic p , p và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau. Chöông 2: Đoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic 1
Trong chương này, chúng tôi nêu khái niệm haøm chænh hình p-adic, cũng như ñöa ra khaùi nieäm ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic. Đặc biệt, neâu leân moät soá tính chaát lí thuù veà ñoä cao cuûa haøm chỉnh hình p-adic maø seõ ñöôïc môû roäng leân cho haøm nhieàu bieán ôû chöông 3. Chương 3: Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Trong chương này, chúng tôi xây dựng công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến cũng như mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt. Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô. 2
Chöông 1 NHÖÕNG KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN Trong chöông ñaàu tieân naøy, chuùng toâi trình baøy moät soá kieán thöùc cô baûn chaúng haïn nhö chuẩn treân moät tröôøng, chuẩn phi Archimede ñaày ñuû, xaây döïng caùc tröôøng soá p-adic p , p và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau. Ña soá caùc chöùng minh trong chöông naøy ñeàu ñöôïc boû qua vaø ngöôøi ñoïc coù theå deã daøng tìm thaáy chuùng trong caùc taøi lieäu tham khaûo. 1.1. Moät soá khaùi nieäm cô baûn 1.1.1. Ñònh nghóa Cho K laø moät tröôøng. Chuẩn treân K laø aùnh xaï :K → + thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau: C1: x = 0 ⇔ x = 0 C2 : x.y = x . y , ∀x, y ∈ K C3 : x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K Neáu e laø ñôn vò cuûa K thì theo C2: e = ee = e e ⇔ e ( e − 1) = 0 ⇔ e = 1 Cuõng töø C2 suy ra x1.x 2 ...x m = x1 . x 2 ... x m , đặc biệt x m = x m Ví duï Ví duï 1 Tröôøng caùc soá höõu tæ vôùi giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñònh nghóa. Ví duï 2 ⎧ 0 neáu x = 0 Giả sử K laø moät tröôøng tuøy yù. AÙnh xaï x = ⎨ laø moät chuẩn treân K vaø ⎩1 neáu x ≠ 0 ñöôïc goïi laø chuẩn taàm thöôøng. 1.1.2. Meänh ñeà Cho K laø tröôøng vôùi chuẩn . Xeùt d : KxK → + ( x, y ) d ( x, y ) = x − y 3
Khi ñoù d laø meâtric treân K, nghóa laø d thoaû: i. d ( x, y ) ≥ 0; d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y ii. d ( x, y ) = d ( y, x ) ∀x, y ∈ K iii. d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) ∀x, y, z ∈ K 1.1.3. Ñònh nghóa Daõy {x n } ⊂ K ñöôïc goïi laø daõy Cauchy neáu d ( x m , x n ) → 0 khi m, n → ∞ Töùc laø ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ : m, n ≥ n 0 ⇒ x n − x m < ε 1.1.4. Ñònh nghóa Neáu chuẩn treân tröôøng K thoûa maõn ñieàu kieän C3/ maïnh hôn C3 laø: C3/: x + y ≤ max { x , y } thì noù ñöôïc goïi laø chuẩn phi Archimede. 1.1.5. Caùc ví duï veà chuẩn phi Archimede Ví duï 1 Chuẩn taàm thöôøng treân tröôøng K laø phi Archimede. Thaät vaäy, neáu x + y = 0 thì x + y = 0 ≤ max { x , y } Neáu x + y ≠ 0 thì x ≠ 0 hoaëc y ≠ 0 , do ñoù x + y = 1 ≤ max { x , y } Ví dụ 2 Xét K là trường số hữu hạn coù q phaàn töû vôùi phaàn töû ñôn vò laø e. Neáu x = 0 thì x = 0 q −1 Neáu x ≠ 0 , thì : x q −1 = e ⇒ x = x q −1 = e = 1 ⇒ x = 1 Vaäy laø taàm thöôøng vaø do ñoù phi Archimede. Ví dụ 3 - Ñònh nghóa. Giaû söû p ∈ {2,3,5, 7,...} laø moät soá nguyeân toá naøo ñoù. Vôùi moãi a ∈ , a ≠ 0, ta goïi Ord P ( a ) laø soá muõ cuûa p trong söï phaân tích a thaønh caùc thöøa soá nguyeân toá. Neáu a = 0 thì Ord P ( a ) = ∞. - Ñònh nghóa. Giaû söû p ∈ {2,3,5, 7,...} laø moät soá nguyeân toá naøo ñoù. 4
a Vôùi x ∈ thì x = ;a, b ∈ , b ≠ 0, ( a, b ) = 1. Định nghĩa: Ord p ( x ) = Ord p ( a ) − Ord p ( b ) b - Treân tröôøng , ta xeùt aùnh xaï p : ⎧ ⎛ 1 ⎞Ordp x ⎪ neáu x ≠ 0 x p = ⎨ ⎜⎝ p ⎟⎠ thì p laø moät chuẩn phi Archimede. ⎪ ⎩0 neáu x ≠ 0 Ta deã daøng kieåm tra Ord p ( x ) = − log p x p 1.1.6. Ñònh lyù Cho laø chuẩn treân tröôøng K. Kí hieäu ñôn vò cuûa K laø 1 vaø ∀n ∈ thì ñoàng nhaát n = 1 + 1 + ... + 1 (n laàn). Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông: i. laø chuẩn phi Archimede. ii. 2 ≤ 1 iii. n ≤ 1, ∀n ∈ N iv. Taäp hôïp = {0,1, 2,...} bò chaën, nghóa laø toàn taïi a ∈ sao cho n ≤ a, ∀n ∈ Chứng minh i. ⇒ ii. 2 = 1 + 1 ≤ max { 1 ; 1} = 1 ii. ⇒ iii. Với n 0 ∈ , n 0 > 0; ∀n ∈ thì n được biểu diễn dưới dạng : n = a 0 + a1n 0 + ... + a s n s0 với 0 ≤ a i < n 0 , a s ≠ 0, a i ∈ Độ dài s hoàn toàn được xác định vì n s0 ≤ n ≤ ( n 0 − 1) + ( n 0 − 1) n 0 + ... + ( n 0 − 1) n s0 ( vì ai ≤ n 0 − 1) ⇒ n s0 ≤ n < 1 + ( n 0 − 1) + ( n 0 − 1) n 0 + ... + ( n 0 − 1) n s0 ⇒ n s0 ≤ n < n s0+1 ⇒ s ≤ log n0 n < s + 1 ⇒ s = ⎡⎣ log n0 n ⎤⎦ Áp dụng kết quả trên với n 0 = 2 ta có : ∀n ∈ :n = a 0 + a1 2 + ... + a s 2s với 0 ≤ a i ≤ 1, a s = 1, a i ∈ ,s = [ log 2 n ] ⇒ 2s ≤ n < 2s +1 ⇒ ∀k ∈ * : n k < 2k (s +1) Ta lại viết n k = b0 + b1 2 + ... + b t 2t với 0 ≤ bi ≤ 1, b t = 1, bi ∈ , t = ⎡⎣log 2 n k ⎤⎦ ⇒ n k ≤ b0 + b1 2 + ... + b t 2t 5
≤ 1 + 1 + ... + 1 ( do b i ≤ 1, 2 ≤ 1) = t +1 Do n < 2k ( s+1) ⇒ t = ⎡⎣log 2 n k ⎤⎦ < log 2 2k ( s +1) = k ( s + 1) k ⇒ t + 1 ≤ k ( s + 1) ⇒ n k ≤ k ( s + 1) ⇒ n ≤ k k. k s + 1 ∀k ∈( * ) Cho k → ∞ ta được n ≤ 1 iii. ⇒ iv. Với mọi n ∈ : n ≤ 1 . Vậy tập các số tự nhiên bị chặn. iv. ⇒ i. ∀x, y ∈ K , ta cần chứng minh x + y ≤ max { x , y } Đặt M = max { x , y } k k : ( x + y) = ∑ Cik x i yk −i ≤ ∑ Cik x i yk −i k ∀k ∈ i =0 i =0 k ⇒ x + y ≤ ∑ aM i M k −i = ( k + 1) aM k ⇒ x + y ≤ k k + 1 k aM k i =0 Cho k → ∞ ta được x + y ≤ M = max { x , y } Định lí được chứng minh. □ 1.1.7. Meänh ñeà (Nguyeân lyù tam giaùc caân) Cho laø moät chuẩn phi Archimede treân tröôøng K. Neáu x ≠ y thì x + y = max { x , y } 1.1.8. Meänh ñeà Cho laø chuẩn phi Archimede treân tröôøng K. Neáu daõy {x n } ⎯⎯⎯ n →∞ → x ≠ 0 thì ∃n 0 ∈ , ∀n > n 0 ⇒ x n = x . Nghóa laø, mọi daõy hoäi tuï veà moät phaàn töû khaùc khoâng thì daõy caùc chuẩn töông öùng laø daõy döøng. 1.1.9. Ñònh lí Oxtropxki Moïi chuẩn khoâng taàm thöôøng treân ñeàu töông ñöông vôùi chuẩn giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng treân hoaëc töông ñöông vôùi chuẩn p (p laø moät soá nguyeân toá naøo ñoù). Chöùng minh 6
Ta xét 2 trường hợp: a. ∃n ∈ : n > 1 Gọi n 0 = min {n ∈ / n > 1} *Vì n 0 > 1 nên n 0 = n α0 ( α = log n0 n0 > 0 ) ∀k ∈ * , ta viết số nk trong hệ đếm n 0 : n k = a 0 + a1n 0 + a 2 n 02 + ... + a s n so a i ∈ , 0 ≤ a i < n 0 ;a s ≠ 0,s = ⎡⎣log n 0 n k ⎤⎦ Khi đó: n k ≤ a 0 + a1 n 0 + ... + a s n s0 = a 0 + a1 n α0 + ... + a s n s0α Do a i < n 0∀i nên a i ≤ 1 (theo cách chọn n 0 ) k ⎛ 1 1 ⎞ ⇒ n ≤ 1 + n 0α + ... + n s0α = n s0α ⎜1 + α + ... + αs ⎟ ⎝ n0 n0 ⎠ 1 1 Đặt: c = 1 + α + ... + + ... thì c là hằng số ( vì c là tổng của CSN lùi vô hạn) ( ) s n0 nα 0 Khi đó: n ≤ n .c ≤ c.n kα ( do a s ≠ 0 nên n k ≥ n s0 ) k sα 0 ⇒ n ≤ k c.n α Cho k → ∞ thì n ≤ n α (1) *Ta có: n s0 ≤ n k < n s0+1 n s0+1 = n k + n s0+1 − n k ≤ n k + n s0+1 − n k ⇒ n k ≥ n s0+1 − n s0+1 − n k ⎧ n 0 = n 0α ⇒ n s0+1 = n α0 ( s +1) ⎪ Theo phần trên ta đã có: ⎨ ( ) α ⎪⎩ n ≤ n α ( ∀n ) ⇒ n so+1 − n k ≤ n s0+1 − n k Vì thế n ≥ n α0 (s +1) − ( n s0+1 − n k ) ≥ n α0 ( s +1) − ( n s0+1 − n s0 ) ( do n ) k α α s 0 ≤ nk ⎡ ⎛ 1 ⎞ α ⎤ ⇒ n ≥ n α0 (s +1) ⎢1 − ⎜1 − ⎟ k ⎥ ⎢⎣ ⎝ n 0 ⎠ ⎥⎦ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ α Đặt c = ⎜1 − ⎜1 − ⎟ ⎟ thì: n ≥ n α0 ( s+1) .c > c.n kα do n k < n s0+1 ⎜ ⎝ n0 ⎠ ⎟ k ( ) ⎝ ⎠ ⇒ n > k c.n α Cho k → ∞ thì n ≥ n α ( 2) Từ (1)( 2 ) ⇒ n = n α α m m mα m α Do đó: ∀ ∈ ; m ∈ , n ∈ * ta có: − m = m = m , n = n ⇒ = = n n n n 7
Vậy chuẩn đang xét tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường. b. Xét trường hợp n ≤ 1, ∀n ∈ Gọi p là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa p < 1 • Giả sử p không là số nguyên tố thì: p = n1.n 2 ; n1 , n 2 < p ⇒ n1 = n 2 = 1 (do cách chọn p) ⇒ p = n1 n 2 = 1 (vô lý) Vậy p là số nguyên tố. • Ta sẽ chỉ ra rằng: q = 1 với mỗi số nguyên tố q ≠ p Giả sử ∃q ∈ : q < 1 (q: nguyên tố) 1 1 , qN = q < M N Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn: p M = p < 2 2 Do ( p M , q N ) = 1 nên có thể tìm được 2 số m, n ∈ sao cho mp M + nq N = 1 Khi đó: 1 = 1 = mp M + nq N ≤ mp M + nq N = m p M + n q M ≤ p M + q M ( vì m ≤ 1, n ≤ 1) 1 1 < + =1 2 2 ⇒ 1 < 1 ( vô lý ) Vậy: q = 1 m • ∀x ∈ : x = pα . với ( m, p ) = 1; ( n, p ) = 1 n Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p và chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1 nên m = n = 1. Đặt p = ρ < 1 m ord p x Ta có: x = ρα = ρα = ρ n Vậy chuẩn tương đương với p Định lí ñöôïc chöùng minh.º 1.2. Caùc tröôøng soá p-adic 1.2.1. Xaây döïng tröôøng p 8
Töø ñònh lí Oxtropxki, ta thaáy moät chuẩn khoâng taàm thöôøng treân tương đương chuẩn giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng , hoaëc chuẩn phi Archimede p . Maëc khaùc, ta bieát raèng laøm ñaày ñuû theo ta seõ ñöôïc tröôøng soá thöïc . Vaäy laøm ñaày ñuû theo p ta seõ ñöôïc tröôøng môùi maø ta goïi laø tröôøng soá p-adic p . Cuï theå caùch xaây döïng nhö sau: - Kí hieäu S laø taäp hôïp taát caû caùc daõy Cauchy caùc soá höõu tæ theo p . - Treân S xaùc ñònh moät quan heä töông ñöông {x n } ~ { y n } ⇔ lim ( x n − y n ) = 0 n →∞ - Ta goïi p laø taäp hôïp taát caû caùc lôùp töông ñöông theo quan heä treân vaø trang bò cho p hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân nhö sau: {x } + { y } = {x + y } n n n n {x } • {y } = {x .y } n n n n Định nghĩa trên hoàn toàn hợp lí vì : i. {x n + y n } , {x n y n } là dãy Cauchy theo p : x n +1 + y n +1 − ( x n + y n ) p = ( x n +1 − x n ) + ( y n +1 − y n ) p ≤ max x n +1 − x n p , y n +1 − y n { p }→0 x n +1 y n +1 − x n y n p = x n +1 y n +1 − x n y n +1 + x n y n +1 − x n y n p = y n +1 ( x n +1 − x n ) + x n ( y n +1 − y n ) p { ≤ max y n +1 p x n +1 − x n p , x n p y n +1 − y n p }→0 ii. {x n + y n }, {x n y n } không phụ thuộc vào cách chọn đại diện : {x n } ∼ {x′n } ⇔ x n − x ′n p → 0 {yn } ∼ {y′n } ⇔ y n − y′n p → 0 Ta có : x n + y n − ( x ′n + y′n ) p = ( x n − x ′n ) + ( y n − y′n ) p ≤ max x n − x ′n p , y n − y′n { p }→0 x n y n − x ′n y′n p = x n y n − x ′n y n + x ′n y n − x′n y′n p = y n ( x n − x′n ) + x′n ( y n − y′n ) p ≤ max y n { p x n − x ′n p , x ′n p y n − y′n p }→0 - Rõ ràng ( P , +, • ) laø một tröôøng. Thật vậy, i. ( p , + ) là nhóm aben : Phần tử trung hòa của phép cộng là 0 = {0} Phần tử đối của a = {a n } là −a = {−a n } Hiển nhiên phép cộng là giao hoán. 9
ii. ( * p ) ,• là nhóm aben : Phần tử đơn vị của phép nhân là 1 = {1} Phần tử nghịch đảo của 0 ≠ a = {a n } Nếu a n = 0 ta có thể thay a n bởi a ′n = p n , do đó ta có thể chọn một đại diện của a là dãy 1 ⎧1⎫ Cauchy không có phần tử bằng không. Khi đó = ⎨ ⎬ là phần tử nghịch đảo của a. a ⎩an ⎭ Hiển nhiên phép nhân là giao hoán. - Tröôøng coù theå xem laø tröôøng con cuûa p nhôø aùnh xaï nhuùng j: → p a {a}. - ∀ α∈ p thì α = {a n } ; α p = lim a n p là chuẩn của α treân p . Thật vậy, n →∞ i. Chuẩn α p luôn tồn tại Neáu α = 0 thì a n p = 0 , do đó α p = 0 Neáu α ≠ 0 thì ∃M ∈ sao cho ∀n > M thì α p = a n p ≠ 0 ii. Chuẩn α p không phụ thuộc vào phần tử đại diện Giả sử {a n/ } là đại diện khác của α , khi đó a n p = a n − a n/ + a n/ ≤ a n − a n/ + a n/ ⇒ a n p − a n/ ≤ a n − a n/ → 0 p p p p p ⇒ lim a n p = lim a n/ n →∞ n →∞ p - Ta có p = x∈{ p } / x p ≤ 1 là một vành, được gọi là vành các số nguyên p-adic và M p = x ∈ { p } / x p < 1 là ideal tối đại của p . Hơn nữa, M p = p p , thật vậy: i. px p = p p x p ≤ p −1 < 1 ⇒ px ∈ M p ⇒p p ⊂ Mp ii. ∀x ∈ M p : x p < 1 mà x p = pα nên pα < 1 ⇒ α < 0 ⇒ α ≤ −1 x x ⇒ x p ≤ p −1 ⇒ ≤1⇒ ∈ p pp p x Vậy x = p ∈ p p ⇒ Mp ⊂ p p p - Do đó p p là một trường, gọi là trường thặng dư của p đối với p theo mod p p. 10
1.2.2. Xaây döïng tröôøng p Laøm ñaày ñuû theo p ta ñöôïc tröôøng p ñaày ñuû nhöng khoâng ñoùng ñaïi soá. Kí hieäu bao ñoùng ñaïi soá cuûa p laø p . Chuẩn treân p ñöôïc xaây döïng nhö sau: - Vôùi α ∈ p thì α laø phaàn töû ñaïi soá treân p . Do ñoù toàn taïi moät ña thöùc Irr ( α, p , x ) baát khaû quy coù caùc heä soá thuoäc p , heä soá ñaàu tieân laø 1 và nhaän α laøm nghieäm: Irr ( α, p , x ) = x n + a n −1x n −1 + ... + a1x + a 0 - Đònh nghóa α p = n a 0 p . Khi ñoù p laø moät chuẩn treân p vaø p = p treân p . - Tröôøng p ñoùng ñaïi soá nhöng noù laïi khoâng ñaày ñuû theo p vöøa xaây döïng. Neáu tieáp tuïc laøm ñaày ñuû p theo p thì ta seõ ñöôïc tröôøng caùc soá phöùc p – adic, kí ^ ^ ^ hieäu: p = p = . Ñeå thuaän tieän trong trình baøy, ta duøng kí hieäu p thay vì p cho giaù trò tuyeät ñoái treân p . - Taäp caùc z trong p maø z p ≤ 1 laøm thaønh moät vaønh con ñoùng cuûa p , kí hieäu là O p . - Taäp caùc z maø z p < 1 laø ideal toái ñaïi Ip trong O p , kí hieäu p = O p / I p là mở rộng của p p , goïi laø tröôøng caùc lôùp thaëng döï. Vì p ñoùng taïi soá ( theo mệnh đề p 1.2.3.1 dưới đây) neân p cuõng vaäy, ñaëc bieät p khoâng laø tröôøng höõu haïn. Laáy w∈ p , kí hieäu lôùp töông ñöông cuûa noù trong p laø w . - Ta duøng kí hieäu v ( z ) = − log p z p laø haøm muõ treân tröôøng ( ) p , noù laø môû roäng cuûa haøm mũ Ord p ( a ) = − log p a treân tröôøng p . Neáu z = 0 thì ta quy öôùc v ( 0 ) = ∞ . p Ñeå thuaän tieän cho vieäc trình baøy, töø ñaây veà sau, neáu khoâng coù gì nhaàm laãn, trong luaän vaên seõ söû duïng thay cho p laø chuẩn treân tröôøng soá phöùc p-adic p và cũng dùng kí hiệu log thay cho logp . 1.2.3. Moät soá tính chaát cuûa tröôøng p Cũng như trường số phức , tröôøng p coù caùc tính chaát cô baûn sau: 1.2.3.1. Meänh ñeà 1. p ñaày ñuû 11
2. p - ñoùng ñaïi soá Chứng minh 1. Hiển nhiên vì p = p 2. Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau. 1.2.3.2. Bổ đề Lấy g ( x ) = x n + b n −1x n −1 + ... + b0 ∈ p [x] . Khi đó nếu β là nghiệm của g ( x ) thì β ≤ c = max {1, bi } 0≤ i ≤ n −1 Chứng minh Giả sử β là nghiệm của g ( x ) và β > c (*) Ta có: βn + b n −1βn −1 + ... + b0 = 0 b0 ⇒ β + b n −1 + ... + =0 βn −1 bn −2 b ⇒ β = −b n −1 − − ... − n0−1 β β ⎧b ⎫ ⇒ β ≤ max ⎨ n −ii −1 ⎬ ≤ max { b n −i −1 } ( do β i ) >1 0≤i ≤ n −1 ⎩ β ⎭ 0≤i≤ n −1 ≤ c (mâu thuẫn với (*)) Vậy β ≤ c Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.1 Lấy f ( x ) = x n + a n −1x n −1 + ... + a 0 ∈ p [ x ] , ta sẽ chứng minh f ( x ) có nghiệm trong p . Với mỗi i = 0,1,..., n − 1 ; lấy {a ij } j là dãy phần tử của p hội tụ về ai. Đặt g j ( x ) = x n + a n −1, j x n −1 + ... + a1, j x + a 0, j . Lấy rij là nghiệm của g j ( x ) trong p ( i = 1, 2,..., n ) n Ta có: g j+1 ( x ) = ∏ ( x − ri, j+1 ) ( *) i =1 Với mọi j đặt A j = max 1, a ij 1≤i ≤ n { n } , do a ij → a i khi j → ∞ nên a ijn → a in khi j → ∞ và do đó 12
n a ij bị chặn khi j → ∞ ⇒ A j bị chặn khi j → ∞ ⇒ ∃A : A j < A, ∀ j . Theo bổ đề 1.2.3.2 ta được max 1, rij 1≤ i ≤ n { }
Chứng minh Ta có: ξ − 1 ≤ max { ξ , 1} = 1 Giả sử ξ − 1 < 1 . Đặt a = ξ − 1 ≠ 0 thì a < 1 và ξ = 1 + a Khi đó ξm = (1 + a ) = 1 + ma + ... + ma m −1 + a m m ⇒ 1 + ma + ... + ma m −1 + a m = 1 ⇒ ma + ... + ma m −1 + a m = 0 ( ⇒ a m + ... + ma m − 2 + a m −1 = 0 ) ⇒ m + ... + ma m − 2 + a m −1 = 0 ⇒ m + ... + ma m − 2 + a m −1 = 0 (1) Mặt khác, ( m, p ) = 1 ⇒ m = 1 và Cim a i −1 = Cim a i −1 < 1 ∀i = 2,..., m nên m + ... + ma m −2 + a m −1 = m = 1 ( 2) (1) và ( 2 ) mâu thuẫn. Vậy ξ − 1 = 1 Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.3 Đặt I = ∪ m 1 thì I là tập vô hạn. ( m,p ) =1 Lấy {ξi }i∈ ⊂ I , ta sẽ chứng minh {ξi }i∈ không có dãy con hội tụ. Thật vậy, với ξi ⎛ ξ ⎞ ξi , ξ j ∈ {ξi }i∈ , giả sử ξi ∈ m 1, ξ j ∈ n 1 ta có: ξi − ξ j = ξ j − 1 = 1 ⎜ do i ∈ mn 1 ⎟ . ξj ⎜ ξj ⎟ ⎝ ⎠ Do đó, mọi dãy con của {ξi }i∈ đều không hội tụ. Mà {ξi }i∈ cũng là dãy trên quả cầu đơn vị, do đó quả cầu đơn vị không Compact, suy ra mọi quả cầu đều không Compact. Vậy p không Compact địa phương. Mệnh đề được chứng minh. □ 1.3. Chuoãi luõy thöøa p-adic Trong phaàn naøy, chuùng toâi ñeà caäp ñeán caùc khaùi nieäm cô baûn veà daõy vaø chuoãi treân moät tröôøng p vôùi chuẩn phi Archimede ñaày ñủ , ñaëc bieät laø caùc daõy vaø chuoãi 14
soá p-adic vôùi caùc tính chaát maïnh hôn haún so vôùi tính chaát cuûa caùc daõy vaø chuoãi trong giaûi tích phöùc. 1.3.1. Boå ñeà Daõy {a n } trong p laø daõy Cauchy vaø do ñoù hoäi tuï ⇔ lim a n +1 − a n = 0 n →∞ Chứng minh ⇒) Dãy {a n } là dãy Cauchy thì ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ sao cho ∀n > n 0 , ∀k ∈ : a n+k − a n < ε . Nói riêng, a n +1 − a n < ε ⇒ lim a n +1 − a n = 0 n →∞ ⇐)∀ε > 0 Do lim a n +1 − a n = 0 nên ∃n 0 ∈ sao cho ∀n > n 0 : a n +1 − a n < ε n →0 Khi đó: ∀n > n 0 , ∀k ∈ : a n + k − a n = a n + k − a n + k −1 + ... + a n +1 − a n ≤ max { a n + k − a n + k −1 ,..., a n +1 − a n } < ε ⇒ {a n } là dãy Cauchy trong p . Bổ đề được chứng minh. □ 1.3.2. Heä quaû ∞ ∞ Chuoãi voâ haïn ∑a n =0 n vôùi a n ∈ p laø hoäi tuï ⇔ lim a n = 0. Khi ñoù n →∞ ∑a n =0 n ≤ max a n n 1.3.3. Ñònh nghóa ∞ Chuoãi luõy thöøa p-adic laø chuoãi haøm coù daïng f ( z ) = ∑ a n z n ( a n ∈ p ) (1) n =0 1 Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi ñöôïc ñònh nghóa bôûi heä thöùc ρ = 1 . lim sup a n n n →∞ Neáu ρ = 0 thì chuoãi chæ hoäi tuï taïi z = 0. Neáu ρ = ∞ thì chuoãi hoäi tuï treân p . Neáu 0 < ρ < ∞ , chuoãi hoäi tuï khi z < ρ vaø phaân kì khi z > ρ 1.3.4. Ñònh nghóa Ta dùng các kí hiệu sau: D r = {z ∈ p : z ≤ r} D = {z ∈ p : z ≤ 1} D r = {z ∈ p : z = r} 15
D r − = {z ∈ p : z < r} 1.3.5. Ñònh lí n Chuoãi (1) hoäi tuï ⇔ lim a n z n = 0 ⇔ lim an z = 0 n →∞ n →∞ Chuoãi (1) hoäi tuï treân Dr thì hoäi tuï tuyeät ñoái, hoäi tuï ñeàu treân Dr Neáu chuoãi (1) hoäi tuï veà f(z) treân Dr thì f(z) laø haøm lieân tuïc treân Dr . 16
Chöông 2 ÑOÄ CAO CUÛA HAØM CHÆNH HÌNH P-ADIC Trong chương này chúng tôi nêu khái niệm haøm chænh hình p-adic, cũng như ñöa ra khaùi nieäm ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic. Đặc biệt, neâu leân moät soá tính chaát lí thuù veà ñoä cao cuûa haøm chỉnh hình p-adic maø seõ ñöôïc môû roäng leân cho haøm nhieàu bieán ôû chöông 3. 2.1. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức p [[z]] ∞ Ta gọi f ( z ) = ∑ a n z n là chuỗi lũy thừa hình thức. n =0 Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc p được kí hiệu là p [[z]] , ⎧ ∞ ⎫ nghĩa là p [[z]] = ⎨ ⎩ f ( z ) = ∑ n =0 a n zn a n ∈ p ⎬ . ⎭ Trên p [[z]] ta xây dựng phép cộng, phép nhân như sau : ∞ ∞ * Phép cộng: ∀f ( z ) = ∑ a n z , g ( z ) = ∑ b n z n ∈ n p [[z]] . n =0 n =0 ∞ Ta định nghĩa f ( z ) + g ( z ) = ∑ ( a n + b n ) z n . n =0 Dễ thấy phép cộng được định nghĩa hợp lí và có tính kết hợp, giao hoán, phần tử trung hòa 0 [[z]] là chuỗi lũy thừa hình thức với mọi hệ tử là 0. p ∞ ∞ * Phép nhân: ∀f ( z ) = ∑ a n z n , g ( z ) = ∑ b n z n ∈ p [[z]] . n =0 n =0 ∞ Ta định nghĩa f ( z ) .g ( z ) = ∑ ck z k với ck = ∑ab i j . k =0 i + j= k Dễ thấy phép nhân được định nghĩa hợp lí và có tính kết hợp, giao hoán, phần tử ∞ đơn vị e p [[z]] = 1 + ∑ a n z n với a n = 0 ∀n = 1, 2... n =1 Hơn nữa phép nhân phân phối đối với phép cộng, hay p [[z]] là vành giao hoán, có đơn vị và được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức. 2.1.2. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.2.1. Định nghĩa Với r > 0, ta định nghĩa H ( D r ) = {f ( z ) ∈ [[z]] / a n r n ⎯⎯⎯ n →∞ → 0} 17
2.1.2.2. Định lí Với r > 0, H ( D r ) là vành con của [[z]] . Chứng minh ∞ ∞ ∞ Với f ( z ) = ∑ a n z n , g ( z ) = ∑ b n z n ∈ H ( D r ) ta có f ( z ) − g ( z ) = ∑ ( a n − b n ) z n n =0 n =0 n =0 Mà a n − b n r ≤ max { a n r ; b n r n n n } nên → 0 hay f ( z ) − g ( z ) ∈ H ( D r ) a n − b n r ⎯⎯⎯ n n →∞ ∞ ∞ ∞ Với f ( z ) = ∑ a n z n , g ( z ) = ∑ b n z n ∈ H ( D r ) ta có f ( z ) .g ( z ) = ∑ ck z k với ck = ∑ab i j n =0 n =0 k =0 i + j= k Mà c k r k = ∑ab i + j= k i j { } k →∞ r k ≤ max a i r i . b j r j nên c k r k ⎯⎯⎯ i + j= k → 0 hay f ( z ) .g ( z ) ∈ H ( D r ) Vậy H ( D r ) là vành con của [[z]] . Định lí đã được chứng minh. □ ∞ ∑a n Do lim a n r n = 0 nên lim a n z = 0 với mọi z ∈ Dr hay chuỗi n z n hội tụ trên D r . n →∞ n →∞ n =0 Từ đó ta đi đến định nghĩa hàm chỉnh hình như sau. 2.1.2.3. Ñònh nghóa Hàm f : D r → p ñöôïc goïi laø haøm chænh hình (hay hàm giải tích) p-adic treân Dr neáu f(z) coù theå bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa hoäi tuï treân Dr . Nghóa laø, f ( z ) = a0 + a1z + ... + an z n + ... hoäi tuï ∀z ∈ D r . Neáu f bieåu diễn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa p-adic hoäi tuï treân p thì f ñöôïc goïi laø haøm nguyeân p-adic. Khi đó H(Dr) laø taäp caùc haøm chỉnh hình treân Dr Đặc biệt, do lim a n r n = 0 nên ∃n 0 ∈ : a n r n = max a n r n 0 n →∞ 0 n 2.1.2.4. Ñịnh nghĩa ∞ Với r > 0 , f = ∑ a n z n ∈ H ( D r ) . Ta định nghĩa f r = a n r n = max a n r n 0 0 n n =0 2.1.2.5. Ñịnh lí Cho r > 0 , r là một chuẩn trên H ( D r ) nghĩa là r thỏa các tính chất sau: 1. f r = 0 ⇔ f = 0 { 2. f + g r ≤ max f r ; g r } ∀f , g ∈ H ( D r ) 18