Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt P-adic: Luận văn Thạc sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN NGỌC HUY LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT P-ADIC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

LỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên, trong luận văn này, tôi xin gởi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã hướng dẫn tận tình và hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, quý thầy đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô khoa Toán – Tin, quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2007

Nguyễn Ngọc Huy

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Giải tích p-adic là chuyên ngành mới của Toán học đang phát triển và có nhiều

ứng dụng, đặc biệt, trong Lý thuyết số hiện đại.

Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic một biến đã được nghiên cứu bởi các tác giả như Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Butabaa … Năm 1988, trong [3], Hà Huy Khoái và Mỵ Vinh Quang lần đầu tiên xây dựng được công thức Poisson – Jensen cho hàm chỉnh hình p-adic và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt hàm phân hình. Sau đó, nhiều tác giả tiếp tục phát triển lý thuyết theo nhiều hướng khác nhau.

Trong [4], Hà Huy Khoái đã mở rộng vấn đề nghiên cứu cho các hàm chỉnh hình nhiều biến. Tuy nhiên, Hà Huy Khoái chỉ nêu tóm tắt các ý tưởng, kết quả dưới dạng hình học.

Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài “Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic” để tiếp tục nghiên cứu một cách đầy đủ, chi tiết hơn về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến và áp dụng nó để nghiên cứu lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng công thức đầy đủ và hoàn chỉnh với các chứng minh đầy đủ, chi tiết cho độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic và xây dựng được 2 định lí cơ bản cho Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chúng tôi sẽ nghiên cứu độ cao của hàm Chỉnh hình p-adic một biến và nhiều biến, lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic. 4. Cấu trúc luận văn Do những mục đích nói trên, toàn bộ luận văn bao gồm 3 chương. Chöông 1: Nhöõng kieán thöùc cô baûn Trong chöông ñaàu tieân naøy, chuùng toâi trình baøy moät soá kieán thöùc cô baûn chaúng haïn nhö chuẩn treân moät tröôøng, chuẩn phi Archimede ñaày ñuû, xaây döïng caùc tröôøng soá p-adic

Chöông 2: Đoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic

,(cid:95) (cid:94) và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau.

Trong chương này, chúng tôi nêu khái niệm haøm chænh hình p-adic, cũng như ñöa ra khaùi nieäm ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic. Đặc biệt, neâu leân moät soá tính chaát lí thuù veà ñoä cao cuûa haøm chỉnh hình p-adic maø seõ ñöôïc môû roäng leân cho haøm nhieàu bieán ôû chöông 3. Chương 3: Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến và lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Trong chương này, chúng tôi xây dựng công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến cũng như mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt. Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô.

Chöông 1 NHÖÕNG KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN Trong chöông ñaàu tieân naøy, chuùng toâi trình baøy moät soá kieán thöùc cô baûn chaúng haïn nhö chuẩn treân moät tröôøng, chuẩn phi Archimede ñaày ñuû, xaây döïng caùc tröôøng soá p-adic ,(cid:95) (cid:94) và một số tính chất cần thiết cho hai chương sau. Ña soá caùc

: K

chöùng minh trong chöông naøy ñeàu ñöôïc boû qua vaø ngöôøi ñoïc coù theå deã daøng tìm thaáy chuùng trong caùc taøi lieäu tham khaûo. 1.1. Moät soá khaùi nieäm cô baûn 1.1.1. Ñònh nghóa Cho K laø moät tröôøng. Chuẩn treân K laø aùnh xaï

+→ (cid:92) thoûa maõn caùc ñieàu kieän

sau: C1: x

= ⇔ =

C2 : x.y

x . y

, x, y K ∀

∈

C3 : x y

≤

, x, y K ∀

∈

Neáu e laø ñôn vò cuûa K thì theo C2:

e e = ⇔

1 e = ⇔ =

−

, đặc biệt

) ( e e 1

Cuõng töø C2 suy ra

x .x ...x 2

x . x ... x 2

Ví duï Ví duï 1 Tröôøng caùc soá höõu tæ (cid:95) vôùi giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñònh nghóa. Ví duï 2

neáu x = 0

Giả sử K laø moät tröôøng tuøy yù. AÙnh xaï

laø moät chuẩn treân K vaø

neáu x

≠

⎧ = ⎨ 1 ⎩

x, y

x y −

. Xeùt d : KxK )

+→ (cid:92) ( (cid:54) d x, y

)

ñöôïc goïi laø chuẩn taàm thöôøng. 1.1.2. Meänh ñeà Cho K laø tröôøng vôùi chuẩn (

= ⇔ = x y

ii.

iii.

∀

≤

∈ x, y, z K

Khi ñoù d laø meâtric treân K, nghóa laø d thoaû: ) ( i. 0; d x, y ) ( d y, x ∀ ( ) d x, z

( ) d x, y ≥ ) ( d x, y = ( ) d x, y

∈ x, y K ( ) d z, y

K⊂ ñöôïc goïi laø daõy Cauchy neáu

0→ khi m, n → ∞

)

(cid:96)

: m, n

1.1.3. Ñònh nghóa }nx Daõy { Töùc laø 0, n ∀ε > ∃ ∈

≥ ⇒ −

( d x , x m < ε

treân tröôøng K thoûa maõn ñieàu kieän C3/ maïnh hôn C3 laø:

x y max x , y

1.1.4. Ñònh nghóa Neáu chuẩn C3/:

thì noù ñöôïc goïi laø chuẩn phi Archimede.

+ ≤

{

}

= ≤

1.1.5. Caùc ví duï veà chuẩn phi Archimede Ví duï 1 Chuẩn taàm thöôøng treân tröôøng K laø phi Archimede. Thaät vaäy, neáu x + y = 0 thì

{ 0 max x , y x

Neáu x

0≠ hoaëc y

} { 1 max x , y = ≤

}

y y + + ≠ thì x 0 0≠ , do ñoù

Ví dụ 2 Xét K là trường số hữu hạn coù q phaàn töû vôùi phaàn töû ñôn vò laø e. Neáu x = 0 thì x

q 1 −

e = ⇒

0≠ , thì :

⇒ = 1 x

Neáu x

Vaäy

laø taàm thöôøng vaø do ñoù phi Archimede.

∈

laø moät soá nguyeân toá naøo ñoù. Vôùi moãi a

ta goïi

} 2,3,5, 7,...

Ví dụ 3 - Ñònh nghóa. { Giaû söû ( ) a laø soá muõ cuûa p trong söï phaân tích a thaønh caùc thöøa soá nguyeân toá. POrd Neáu a = 0 thì

.= ∞

( ) a

POrd

∈

- Ñònh nghóa. Giaû söû

laø moät soá nguyeân toá naøo ñoù.

{ } 2,3,5, 7,...

0, ≠(cid:93) , a ∈

(cid:95)

(cid:93)

−

thì x

;a, b

, b

∈

≠

Vôùi

Định nghĩa:

( )

(

)

( 0, a, b

)

( ) Ord x Ord a Ord b p

a b

- Treân tröôøng (cid:95) , ta xeùt aùnh xaï

pOrd x

neáu x

≠

thì

1 p

p laø moät chuẩn phi Archimede.

⎞ ⎟ ⎠

neáu x

≠

⎧⎛ ⎪⎜ = ⎨⎝ ⎪ 0 ⎩

Ord

= −

Ta deã daøng kieåm tra

(

)

log x p

1.1.6. Ñònh lyù Cho

laø chuẩn treân tröôøng K. Kí hieäu ñôn vò cuûa K laø 1 vaø n∀ ∈ (cid:96) thì ñoàng nhaát

= + + + (n laàn). Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông:

laø chuẩn phi Archimede.

n 1 1 ... 1 i.

ii. 2

1≤

iii. n

a, n

=(cid:96)

iv. Taäp hôïp

bò chaën, nghóa laø toàn taïi a ∈ (cid:92) sao cho n

≤ ∀ ∈ (cid:96)

≤ ∀ ∈ 1, n N { } 0,1, 2,...

1 1 max 1 ; 1

Chứng minh ii.⇒ i. 2 = + ≤

= 1

{

}

(cid:96)

, n

iii.⇒ n ∈

0; n > ∀ ∈

(cid:96) ì n được biểu diễn dưới dạng :

ii. Với

0, a

0 +

0 + +

0 a ≤

với

s 0

a n 1 0

n ≤ ≤

≤

−

) 1

s 0

( n 1

⇒ ≤ < +

( ... + +

−

n , a n ... a n s 0 Độ dài s hoàn toàn được xác định vì ( − − ) 1 − +

) 1 − + ( n

) 1 n ( n

( v ì a ) 1 n −

) 1 n ( n

s 0

log n s 1

⇒ ≤ < ⇒ ≤

s 1 + 0

s 0

log n n

⎤ ⎦

Áp dụng kết quả trên với

... + + ) 1 n ⎡ < + ⇒ = ⎣ 2= ta có : s

(cid:96)

1, a

≤

∈

=(cid:93) ,s

n ∀ ∈

= < ≠ ∈ (cid:93)

với

log n 2

0n a 2 ... a 2 + + 1

[

]

s 1 +

(cid:93)

1, b

, t

i 0 b ≤

= +

0 a ≤ ( ) k s 1 2 + với

2 ⇒ ≤ < ⇒ ∀ ∈ k Ta lại viết n

log n 2

(cid:96) : n k < b 2 ... b 2 + + + 1

k n ⇒ ≤

≤ = ∈ = ⎡ = ⎣ ⎤ ⎦

b 2 ... 1

b 2 t

+ + +

1 1 ... 1

do b

1, 2

(

) 1

( ) k s 1 +

= + t 1 ( ) k s 1 + 2 <

≤ + + + ≤ ≤

t ⇒ =

k Do n

) ( k s 1 +

log 2 2

⇒ + ≤

k. s 1

k n ⇒ ≤

+ ⇒ ≤

∀ ∈ (cid:96) k

= ⎡ ⎣

(

)

Cho k → ∞ ta được n

1≤

(cid:96)

: n

∈

≤

iv.⇒ iii. Với mọi n

. Vậy tập các số tự nhiên (cid:96) bị chặn.

i.⇒ x, y K

x y max x , y

iv. ∀

⎤ log n < ⎦ 2 ) ( t 1 k s 1 ) ( k s 1

{

}

M max x , y

+ ≤

Đặt

{

k i −

(cid:96)

C x y

k ∀ ∈

= ∈ , ta cần chứng minh }

( : x y +

)

i C x y k

i k

∑

i 0 =

k i −

x y

i aM M

k k 1 aM

⇒ +

≤

x y ⇒ + ≤

(

) k 1 aM

∑

i 0 =

Cho k → ∞ ta được

x y M max x , y =

+ ≤

{

}

Định lí được chứng minh. □ 1.1.7. Meänh ñeà (Nguyeân lyù tam giaùc caân) Cho

y≠

Neáu x

thì

laø moät chuẩn phi Archimede treân tröôøng K. { y max x , y

}

laø chuẩn phi Archimede treân tröôøng K.

(cid:96)

, n

∃ ∈ ∀ > ⇒ =

→∞⎯⎯⎯→ ≠ thì x

. Nghóa laø, mọi daõy hoäi

}

1.1.8. Meänh ñeà Cho Neáu daõy { tuï veà moät phaàn töû khaùc khoâng thì daõy caùc chuẩn töông öùng laø daõy döøng. 1.1.9. Ñònh lí Oxtropxki Moïi chuẩn khoâng taàm thöôøng treân (cid:95) ñeàu töông ñöông vôùi chuẩn giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng treân (cid:95) hoaëc töông ñöông vôùi chuẩn p (p laø moät soá nguyeân toá naøo

ñoù). Chöùng minh

= ≤

(cid:96)

∃ ∈

Ta xét 2 trường hợp: a. n : n

/ n

∈

Gọi

log

> { 0n min n 1> nên

α= n 0

} 1 ( α =

)

0n :

(cid:96)

... a n

0,s

+ +

∈

, 0 a ≤

≠

*Vì n n ∀ ∈ (cid:96) ta viết số nk trong hệ đếm

a n 2

2 0

a n 1 0

s o

n ;a 0

log n n

⎡ = ⎣

⎤ ⎦

Khi đó: a n ≤

... + +

a n 1

a n s

s 0

a n 1

α 0

a n s

s α 0

< ∀ nên i

1≤ (theo cách chọn

1 n

... n

k ⇒ ≤ +

+ +

... + +

α 0

s α 0

1 α n 0

⎛ ⎜ ⎝

0n ) ⎞ ⎟ ⎠

c 1

...

= +

... + +

Đặt:

thì c là hằng số ( vì c là tổng của CSN lùi vô hạn)

1 α n 0

α 0

k α

do a

0 nên n

≤

≠

≥

( c.n ≤

Khi đó:

s α n .c 0

s 0

(

)

c.n α

n ⇒ ≤

thì n

→ ∞

≤

Cho

( ) 1

≤

*Ta có:

s 0 n

s 1 n + 0 n +

−

≤

− ⇒ ≥

−

s 1 + 0

α n = ⇒ 0

s 1 + 0

( ) s 1 α + 0

Theo phần trên ta đã có:

≤

−

≤

−

(

) n ∀ ⇒

s 1 + o

s 1 + 0

)

(cid:93)

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ n −

Vì thế

( ) s 1 α + 0

s 1 + 0

( ) s 1 α + 0

s 1 + 0

s 0

( (

)

(

)

(

)

−

n ⇒ ≥

( ) s 1 α + 0

1 n

⎛ 1 −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

k α

thì: n

c.n

do n

−

≥

Đặt

( ) s 1 α + 0

s 1 + 0

(

)

1 n

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n n n n n n do n n ≥ − ≥ − − ≤

thì n

→ ∞

( ) 2

n ≥ n α

n ⇒ =

Cho k Từ ( )( ) 1 2

c.n α n ⇒ >

α= ⇒ =

Do đó:

(cid:95) (cid:93) (cid:96) ; m , n n n ∈ ∈ ta có: m m m = − = = m ∀ ∈ n mm n n m n

1, n

Vậy chuẩn đang xét tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường. b. Xét trường hợp n

≤ ∀ ∈ (cid:96)

Gọi p là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa p

• Giả sử p không là số nguyên tố thì:

1 = (do cách chọn p)

n ⇒ = 1

p ⇒ =

= (vô lý)

n n 1 Vậy p là số nguyên tố. • Ta sẽ chỉ ra rằng: q

1= với mỗi số nguyên tố q

p≠

(cid:96)

: q

p = < p n .n ; n , n 2

∃ ∈

Giả sử q

(q: nguyên tố)

Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn: p p q q = = 1 < , 2

M p , q

nq 1 < 2 mp + 1= nên có thể tìm được 2 số m, n ∈ (cid:96) sao cho = 1

Do ( ) N Khi đó: nq 1 1 mp = =

mp + ≤ +

) 1

m p n q p q = + ≤ + vì m 1, n ≤ ≤ nq (

⇒ <

)

1 < + = 1 2 1 2

( 1 1 vô lý 1=

m, p

α p .

= 1

Vậy: q

•

)

( 1; n, p

)

x ∀ ∈ =(cid:95) : x với ( m n

= 1.

Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p và chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1 nên m n

= ρ < 1

Đặt p

pord x

α = ρ = ρ

m x Ta có: = ρ n

Định lí ñöôïc chöùng minh.º 1.2. Caùc tröôøng soá p-adic 1.2.1. Xaây döïng tröôøng

p(cid:95)

Vậy chuẩn tương đương với

, hoaëc chuẩn phi Archimede

Töø ñònh lí Oxtropxki, ta thaáy moät chuẩn khoâng taàm thöôøng treân (cid:95) tương đương chuẩn giaù trò tuyeät ñoái thoâng thöôøng p . Maëc ta seõ ñöôïc tröôøng soá thöïc (cid:92) . Vaäy laøm

khaùc, ta bieát raèng laøm ñaày ñuû (cid:95) theo

ñaày ñuû (cid:95) theo

p(cid:95) .

p ta seõ ñöôïc tröôøng môùi maø ta goïi laø tröôøng soá p-adic

⇔

= 0

Cuï theå caùch xaây döïng nhö sau: - Kí hieäu S laø taäp hôïp taát caû caùc daõy Cauchy caùc soá höõu tæ theo p . - Treân S xaùc ñònh moät quan heä töông ñöông { −

{ ~ y

}

)

( lim x n →∞

- Ta goïi

p(cid:95) laø taäp hôïp taát caû caùc lôùp töông ñöông theo quan heä treân vaø trang bò

y x x = +

p(cid:95) hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân nhö sau: } { } + } { y •

} }

x = y }

cho { { { { x .y n Định nghĩa trên hoàn toàn hợp lí vì : } i. {

} { y , x y

, y

−

≤

−

→ 0

)

là dãy Cauchy theo p )

)

(

n 1 +

{ max x

}

n 1 +

x x − = − + − x y n x y n x y n x y n y n 1 n 1 + y n 1 n 1 +

)

(

)

n 1 +

, x

≤

−

→ 0

n 1 +

( { max y

}

không phụ thuộc vào cách chọn đại diện :

→

′ n

′ n p

→

y ⇔ −

ii. { { x {

x x y y x y = − + −

} { } y , x y n } x ⇔ − }

′ n

′ n p

Ta có :

, y

−

→ 0

≤

(

)

(

)

(

)

′ n

x + n } { ∼ } { ∼

)

(

} )

, x

→ 0

≤

−

′ n

{ max x ( y x n }

(cid:95)

,+ •

{ max y laø một tröôøng. Thật vậy,

P ,

) là nhóm aben :

)

- Rõ ràng ( i. ( p , +(cid:95) Phần tử trung hòa của phép cộng là

{ } 0=

x x y − = − + − + − = − x y n ′ x y n ′ n x y n ′ x y n ′ x y n ′ ′ x y n n ′ n ′ n ′ y n

là

{ − = −

{ }n

a a=

0 }n Phần tử đối của a a Hiển nhiên phép cộng là giao hoán.

là nhóm aben :

p ,•(cid:95)

)

ii. ( Phần tử đơn vị của phép nhân là

{ } 1=

, do đó ta có thể chọn một đại diện của a là dãy

Phần tử nghịch đảo của Nếu na

0 a

là phần tử nghịch đảo của a.

Cauchy không có phần tử bằng không. Khi đó

≠ = 0= ta có thể thay na bởi 1 { }n a ′ = p na

Hiển nhiên phép nhân là giao hoán. - Tröôøng (cid:95) coù theå xem laø tröôøng con cuûa

p(cid:95) nhôø aùnh xaï nhuùng

1 a 1 a ⎧ = ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

a j: →(cid:95) (cid:95) p { } a .(cid:54)

là chuẩn của α treân

- ∀

p(cid:95) . Thật vậy,

α = p

{ }na

lim a n →∞

i. Chuẩn

; α = α ∈ (cid:95) thì p

α luôn tồn tại

Neáu

p 0α = thì

n p

a α = 0 0= , do đó

0α ≠ thì M∃ ∈ (cid:96) sao cho n M∀ >

thì

0≠

Neáu

a α = p

là đại diện khác của α , khi đó

ii. Chuẩn Giả sử { }/ na

α không phụ thuộc vào phần tử đại diện

/ n

/ − → n p

a a a a a a a a a a a 0 = − + ≤ − + ⇒ − ≤

/ n

(cid:95)

≤

là một vành, được gọi là vành các số nguyên p-adic

- Ta có

} 1

{ x = ∈ (cid:95)

/ x

và

là ideal tối đại của

⇒ = lim a n →∞ lim a n →∞

p(cid:93) . Hơn nữa,

1 −

M p= (cid:93) , thật vậy:

/ x } 1 < ⇒ ∈

(cid:93) { x = ∈ p x p

px p 1 px M = ≤

M ⇒

p nên p

α < ⇒ α < ⇒ α ≤ − 1 0

−

ii. x M : x 1 x 1 ⊂(cid:93) p p pα= ∀ ∈ < mà

x p 1 x ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈ (cid:93) p p x p

Vậy

(cid:93)

x p (cid:93) p = ∈ ⇒ ⊂ M p p (cid:93) p x p

- Do đó

p(cid:95) đối với

(cid:93) là một trường, gọi là trường thặng dư của pp

theo mod

1.2.2. Xaây döïng tröôøng

Laøm ñaày ñuû (cid:95) theo

p(cid:95) ñaày ñuû nhöng khoâng ñoùng ñaïi soá. Kí

p(cid:94) p ta ñöôïc tröôøng

hieäu bao ñoùng ñaïi soá cuûa

p(cid:95) laø

p(cid:95) . Chuẩn treân

p(cid:95) ñöôïc xaây döïng nhö sau:

baát khaû quy coù caùc heä soá thuoäc

- Vôùi (

n 1 −

Irr α (cid:95) , α ∈ (cid:95) thì α laø phaàn töû ñaïi soá treân p(cid:95) . Do ñoù toàn taïi moät ña thöùc p(cid:95) , heä soá ñaàu tieân laø 1 và nhaän α , x

) laøm nghieäm:

n 1 −

)

(cid:95) , x x a x Irr , = + + + + α ... a x a 1

- Đònh nghóa

. Khi ñoù

p(cid:95) vaø

treân p(cid:95) .

( α = p

- Tröôøng

p laø moät chuẩn treân p(cid:95) ñoùng ñaïi soá nhöng noù laïi khoâng ñaày ñuû theo

tieáp tuïc laøm ñaày ñuû

p(cid:95) theo

p vöøa xaây döïng. Neáu p thì ta seõ ñöôïc tröôøng caùc soá phöùc p – adic, kí

^ ^

(cid:94) (cid:95) (cid:95) . Ñeå thuaän tieän trong trình baøy, ta duøng kí hieäu

hieäu:

^ p=

cho giaù trò tuyeät ñoái treân

p(cid:94) .

thay vì

- Taäp caùc z trong

p(cid:94) maø

p(cid:94) , kí hieäu

z 1≤ laøm thaønh moät vaønh con ñoùng cuûa

là mở rộng

là pO . - Taäp caùc z maø

pO , kí hieäu (cid:109)

pO / I p

(cid:93)

của

p(cid:94) ñoùng taïi soá ( theo mệnh đề

(cid:93) , goïi laø tröôøng caùc lôùp thaëng döï. Vì pp p(cid:94) cuõng vaäy, ñaëc bieät (cid:109) 1.2.3.1 dưới đây) neân (cid:109) w ∈ (cid:94) , kí hieäu lôùp töông ñöông cuûa noù trong (cid:109)

p(cid:94) khoâng laø tröôøng höõu haïn. Laáy p(cid:94) laø (cid:108)w .

log

= −

- Ta duøng kí hieäu

( ) v z

(

haøm mũ

) treân tröôøng

z 1< laø ideal toái ñaïi Ip trong =(cid:94) p

laø haøm muõ treân tröôøng p(cid:94) , noù laø môû roäng cuûa p(cid:95) . Neáu z = 0 thì ta quy öôùc v( )0 = ∞ .

( ) Ord a p

thay cho

laø chuẩn treân tröôøng soá phöùc p-adic

Ñeå thuaän tieän cho vieäc trình baøy, töø ñaây veà sau, neáu khoâng coù gì nhaàm laãn, trong p(cid:94) và cũng luaän vaên seõ söû duïng

dùng kí hiệu log thay cho logp . 1.2.3. Moät soá tính chaát cuûa tröôøng

p(cid:94)

Cũng như trường số phức (cid:94) , tröôøng

p(cid:94) coù caùc tính chaát cô baûn sau:

1.2.3.1. Meänh ñeà p(cid:94) ñaày ñuû 1.

= − log a p

p(cid:94) - ñoùng ñaïi soá

Chứng minh

(cid:109) p=(cid:94) (cid:95)

n 1 −

... b

1. Hiển nhiên vì p 2. Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau. 1.2.3.2. Bổ đề ( n Lấy g x +

)

b x n 1 −

[ ] x β ≤ =

Khi đó nếu β là nghiệm của

+ + ∈ (cid:95) 0 p ) ( g x thì

{

β >

c max 1, b 0 i n 1 ≤ ≤ −

Chứng minh Giả sử β là nghiệm của

( ) c *

n 1 −

n β +

Ta có:

) ( g x và = 0

n 1 −

b β

n 1 −

⇒ β = −

−

... − −

n 1 −

n 2 − β

b 0 n 1 − β

⇒ β ≤

≤

i β >

n i 1 − −

n i 1 − − i

} (

) 1

max 0 i n 1 ≤ ≤ −

{ max b 0 i n 1 ≤ ≤ −

⎧ b ⎨ β⎩

⎫ ⎬ ⎭

b 0 ⇒ β + = ... + + ... b + + b 0 n 1 − β

Vậy β ≤ c

n 1 −

Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.1 Lấy

, ta sẽ chứng minh

( f x

)

p(cid:94) .

+ + ∈ (cid:94) 0

n 1 −

[ ] x

c≤ (mâu thuẫn với (*))

) Với mỗi i

là dãy phần tử của

( f x có nghiệm trong p(cid:95) hội tụ về ai.

n 1 −

Đặt

0, j

( g x j

n 1, j −

0,1,..., n 1 a =

(

)

x ... a − ; lấy { }ij j ... a x a x + + 1, j ( ) =(cid:95) g x trong p

i 1, 2,..., n

Ta có:

)

(

j 1 +

i, j 1 +

)

) Lấy ijr là nghiệm của ( −∏ x r

i 1 =

a khi j

g x =

→

Với mọi j đặt

→ ∞ và do đó

n ij

n i

{

( ) * }n

, do a a khi j = → → ∞ nên A max 1, a 1 i n ≤ ≤

bị chặn khi

ija

j A j → ∞ ⇒ ∃ → ∞ ⇒ bị chặn khi < ∀ . A : A A, j

Theo bổ đề 1.2.3.2 ta được

{

là dãy Cauchy.

Bây giờ, với mỗi j ta xây dựng

r , 1 i ji j

}n ≤ ≤ sao cho dãy { }ji jr

1i 1r chọn tùy ý (nghiệm tùy ý của g1)

, ta chọn

● ● giả sử đã chọn

j 1

ji jr

A < max 1, r ij 1 i n ≤ ≤

● từ (*) suy ra

j 1 +

(

∏

+ + như sau : r j 1i ( )

(

)

( g r j i j j

)

)(

)

i 1 =

g g g g − = = − = − r i, j 1 + r i j j r i j j r i j j r i j j

với

j 1 +

i, j 1 +

g g − max a a A ≤ − ≤ δ δ = j r i j j

j →∞ − ⎯⎯⎯→ 0

i, j 1 +

max a a =

bé nhất

i, j 1

Gọi j 1i + là chỉ số để

, j 1 + + j 1

là dãy Cauchy

{ }ji jr⇒ r⇒ ∃ ∈ (cid:94) để

A 0 khi j − ≤ δ n → → ∞ r i r +− r ji j r i j j

p(cid:94) đầy đủ)

lim r ji j j →∞

(do

(do f là đa thức nên liên tục)

( ) f r

)

( lim f r i j j j →∞

f ⇒ = = lim r i j j j →∞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

( lim g r i j

j →∞

p(cid:94) đóng đại số.

p(cid:94) có những tính chất khác mà (cid:94) không có.

(cid:94)

(cid:96)

= 0 = ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ )j

∈

kí hiệu

( : m, p

)

m 1

1 / x = Vậy Mệnh đề được chứng minh. □ Ngoài ra 1.2.3.3. Meänh ñeà p(cid:94) khoâng Compact ñòa phöông. Chứng minh Với

} { x 1 = ∈ ξ ∈ ⇔ ξ = ⇒ ξ = ⇒ ξ = 1

(cid:96)

m 1,

1 1

1 ξ − =

Dễ dàng thấy với Để chứng minh mệnh đề 1.2.3.3 đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau. 1.2.3.4. Bổ đề Với ∈

( : m, p

)

1th 1 ξ ∈ ξ ≠

Chứng minh Ta có:

{

}

Giả sử

ξ − < . 1 1

Đặt a

1< và

ξ = + 1 a

m 1 −

1 max , 1 ξ − ≤ ξ = 1

Khi đó

m 1 −

= ξ − ≠ thì a 1 0 )m ( 1 a ξ = + 1 ma ... ma + + ⇒ +

m 1 −

m 2 −

m 1 −

⇒

m 2 −

m 1 −

m 2 −

m 1 −

1 ma ... ma a + + + = +

ma ... ma ⇒ + + ( a m ... ma + + m ... ma ⇒ + + m ... ma ⇒ + +

0 ) = 0 0 =

i 1 −

2,..., m

( ) 1 i 1 − =

< ∀ =

= ⇒ = và 1 m 1

)m, p

i C a m

m 1 −

m 2 −

a a + +

i C a m ( ) 2

= m 1 =

1 I

Mặt khác, ( nên m ... ma a + + + ( )1 và( )2 mâu thuẫn. Vậy ξ − = 1 1 Bổ đề được chứng minh. □ Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.2.3.3 Đặt

thì I là tập vô hạn.

⊂

, ta sẽ chứng minh { }i

(cid:96)

i ∈

i∈

= ∪ ( ) m,p 1 = Lấy { }i

{ }

j1,

ξ ξ ∈ ξ j

(cid:96)

i ∈

1 1 1 do ∈ − = . , giả sử ξ ∈ ta có: 1 ξ − ξ = ξ j ξ ∈ i ξ ξ ξ ξ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(cid:96)

i∈

p(cid:94) không Compact địa phương.

(cid:96) không có dãy con hội tụ. Thật vậy, với ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ Do đó, mọi dãy con của { }i cũng là dãy trên quả cầu đơn vị, do đó quả cầu đơn vị không Compact, suy ra mọi quả cầu đều không Compact. Vậy Mệnh đề được chứng minh. □ 1.3. Chuoãi luõy thöøa p-adic Trong phaàn naøy, chuùng toâi ñeà caäp ñeán caùc khaùi nieäm cô baûn veà daõy vaø chuoãi treân , ñaëc bieät laø caùc daõy vaø chuoãi moät tröôøng

p(cid:94) vôùi chuẩn phi Archimede ñaày ñủ

đều không hội tụ. Mà { }i

⇔

−

trong

= 0

soá p-adic vôùi caùc tính chaát maïnh hôn haún so vôùi tính chaát cuûa caùc daõy vaø chuoãi trong giaûi tích phöùc. 1.3.1. Boå ñeà Daõy { }na

n 1 +

p(cid:94) laø daõy Cauchy vaø do ñoù hoäi tuï

lim a n →∞

(cid:96)

sao cho n

n , k

: a

0, n ∀ε > ∃ ∈

∀ >

∀ ∈

−

< ε

là dãy Cauchy thì

n k +

−

< ε ⇒

−

Chứng minh )⇒ Dãy{ }na Nói riêng, a

0 = 0

n 1 +

lim a n →∞

)

(cid:96)

sao cho n

−

∀ >

−

< ε

= nên

n ∃ ∈ 0

n : a 0

n 1 +

⇐ ∀ε > 0 Do lim a n → Khi đó:

n , k n ∀ > ∀ ∈ (cid:96) :

n 1 +

n k +

n k 1 + −

n 1 +

n k +

n k 1 + −

{ max a

}

là dãy Cauchy trong p(cid:94) .

... a a a ,..., a a a a + + − ≤ − − < ε − =

∞

a a − { }na⇒ Bổ đề được chứng minh. □ 1.3.2. Heä quaû

Chuoãi voâ haïn

∑ vôùi

n 0 =

1.3.3. Ñònh nghóa

∞

a 0. ⇔ = Khi ñoù a ∈ (cid:94) laø hoäi tuï n ≤∑ a lim a n →∞ max a n

Chuoãi luõy thöøa p-adic laø chuoãi haøm coù daïng

( ) f z

(

) (cid:94) (1)

∑

n 0 =

ρ =

Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi ñöôïc ñònh nghóa bôûi heä thöùc

1 n

lim sup a n →∞

a = ∈ a z n

Neáu Neáu ρ = ∞ thì chuoãi hoäi tuï treân

p(cid:94) .

Neáu 0 < ρ < ∞ , chuoãi hoäi tuï khi z < ρ vaø phaân kì khi z > ρ

(cid:94)

0ρ = thì chuoãi chæ hoäi tuï taïi z = 0.

1.3.4. Ñònh nghóa Ta dùng các kí hiệu sau:

(cid:94)

D : z ≤

(cid:94)

: z

{ z = ∈ { D z = ∈ { z = ∈

} r } 1 } r =

: z ≤

(cid:94)

{ z − = ∈

} r

D : z <

⇔

1.3.5. Ñònh lí Chuoãi (1) hoäi tuï

lim a z n →∞

Chuoãi (1) hoäi tuï treân Dr thì hoäi tuï tuyeät ñoái, hoäi tuï ñeàu treân Dr Neáu chuoãi (1) hoäi tuï veà f(z) treân Dr thì f(z) laø haøm lieân tuïc treân Dr .

0 ⇔ = lim a z n →∞

Chöông 2 ÑOÄ CAO CUÛA HAØM CHÆNH HÌNH P-ADIC

(cid:94)

Trong chương này chúng tôi nêu khái niệm haøm chænh hình p-adic, cũng như ñöa ra khaùi nieäm ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic. Đặc biệt, neâu leân moät soá tính chaát lí thuù veà ñoä cao cuûa haøm chỉnh hình p-adic maø seõ ñöôïc môû roäng leân cho haøm nhieàu bieán ôû chöông 3. 2.1. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.1. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

p[[z]]

∞

Ta gọi

( ) f z

n 0 =

(cid:94)

a z n = ∑ là chuỗi lũy thừa hình thức.

Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc

p(cid:94) được kí hiệu là

p[[z]]

∞

(cid:94)

( ) f z

∑

n 0 =

(cid:94)

Trên

ta xây dựng phép cộng, phép nhân như sau :

p[[z]]

∞

(cid:94)

[[z]] a nghĩa là = = ∈ a z n ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ (cid:94) . ⎬ p ⎭

* Phép cộng:

( ) f z

( ) n a z , g z

∑

n 0 =

∞

[[z]] ∀ = = ∈ . b z n

Ta định nghĩa

( ) f z

( ) g z

) n b z n

( +∑ a

n 0 =

Dễ thấy phép cộng được định nghĩa hợp lí và có tính kết hợp, giao hoán, phần tử trung hòa

+ =

0(cid:94)

p [[z]]

∞

là chuỗi lũy thừa hình thức với mọi hệ tử là 0.

* Phép nhân:

( ) f z

( ) n a z , g z

∑

n 0 =

∞

(cid:94) [[z]] . ∀ = = ∈ b z n

Ta định nghĩa

( ) ( ) f z .g z

j k

k 0 =

i + = Dễ thấy phép nhân được định nghĩa hợp lí và có tính kết hợp, giao hoán, phần tử

∞

c = ∑ với c z k = ∑ . a b i

đơn vị

(cid:94)

[[z]]

n 1 =

là vành giao hoán, có

p[[z]]

e 0 n 1, 2... = ∀ = với a z n = + ∑ 1

→∞ ⎯⎯⎯→

0,>

ta định nghĩa

(cid:94) [[z]] / a r ∈ =

Hơn nữa phép nhân phân phối đối với phép cộng, hay (cid:94) đơn vị và được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức. 2.1.2. Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.2.1. Định nghĩa Với r

( H D

)

{ ( ) f z

} 0

[[z]](cid:94)

(

)rH D là vành con của

∞

Với

( ) f z

( ) n a z , g z

(

)

( ) f z

( ) g z

) n b z n

= = b z H D ∈ − = ta có

2.1.2.2. Định lí Với r 0,> Chứng minh ∞ ∑

( −∑ a

∑

n 0 =

→∞

−

Mà

n 0 = ⎯⎯⎯→ hay

( ) f z

( ) g z H D ∈

(

b r n

{ b r max a r ; b r

}

∞

a − ≤ nên

Với

( ) f z

( ) n a z , g z

(

)

( ) ( ) f z .g z

a b i

∑

= ∑

k 0 =

n 0 =

j k

+ =

≤

nên

→∞⎯⎯⎯→ hay

Mà

( ) ( ) f z .g z H D∈

(

k kc r =

kc r

∑

}

{ a b r max a r . b r j k + =

j k

+ =

= = b z H D ∈ ta có = ∑ với c z k

(

)rH D là vành con của Vậy Định lí đã được chứng minh. □

∞

nên

với mọi

[[z]](cid:94)

rD .

∑ hội tụ trên

lim a r n →∞

lim a n →∞

n 0 =

z D∈ hay chuỗi a z n

Từ đó ta đi đến định nghĩa hàm chỉnh hình như sau. 2.1.2.3. Ñònh nghóa Hàm

ñöôïc goïi laø haøm chænh hình (hay hàm giải tích) p-adic treân Dr neáu f(z) coù theå bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa hoäi tuï treân Dr . Nghóa laø,

f : D → (cid:94)

( ) = f z

a z ... a z + + 1

... hoäi tuï ∀ ∈ r

Neáu f bieåu diễn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa p-adic hoäi tuï treân

p(cid:94) thì f

z D .

ñöôïc goïi laø haøm nguyeân p-adic. Khi đó H(Dr) laø taäp caùc haøm chỉnh hình treân Dr Đặc biệt, do

nên

lim a r n →∞

2.1.2.4. Ñịnh nghĩa

∞

(cid:96) : a r max a r = n ∃ ∈ 0

0> ,

. Ta định nghĩa

Với r

(

)

n 0 =

f a z H D f a r max a r = = = ∈∑

2.1.2.5. Ñịnh lí 0> , Cho r

(

)rH D nghĩa là

thỏa các tính chất sau: là một chuẩn trên

r +

(

r = ⇔ = 0 f { g max f

}

f ; g 2. ≤ ∀ f , g H D ∈

. g

∀

f , g H D ∈

(

0 n

= ⇔

0 = ⇔

= ∀ ⇔ = ∀ ⇔ = 0

a r n

0 max a r n

Chứng minh 1.

; b

; g

≤

f g r a + = 2. Giả sử

{ max f

}

Ta có:

fg b + { g max a c r = 3. Giả sử

( ) 1

∑

{

}

j n

+ =

fg a r b r max a r b r = ≤ ≤ Ta có: f g r

j 0

f a r i a r th ì = i ∀ < < : a r i

j 0

g th ì = j ∀ < < j : b r 0 b r j 0 b r j 0

= Gọi 0i là chỉ số bé nhất mà Gọi 0j là chỉ số bé nhất mà Ta có: a b r + i j 0 f g r

( ) *

i = + 0

j th c r ì 0

a b r j

i a r b r j

a b r j 0

∑

j n

+ =

j n + = i i0 ≠

j n

ì:

+ = = +

Với

j th 0

a r i

kết hợp với( )* ta có:

j 0

0 j 0

b r j

b r j 0

⎡ ⎢⇒ ⎢ ⎣

⎡ i <⎢ ⎢ < j ⎣ c r n

≥

⇒ =

( ) 2

f g r

a b r j 0 { fg max c r n fg ⇒ =

(

) d : H D xH D r

f (z), g(z)

f = −

là mêtric trên H(Dr)

) +→ (cid:92) ( ) (cid:54) d f (z), g(z)

)

(

)rH D đầy đủ đối với

r .

Đặt

f g r } Từ( )( ) 1 2 f g r r Định lí được chứng minh. □ ( Hiển nhiên ( 2.1.3. Mệnh đề Với r > 0, Chứng minh

∞

a z ,i 1, 2,... =

Giả sử dãy hàm

là dãy Cauchy đối với

( ) f z i

)r ( trong H D

∑

n 0 =

0 n

−

< ε

Tức là:

là dãy Cauchy

nên{ a

∀ε > ∃ ∈ ∀ > 0

i, j n : max a 0

}in i 1

≥

∞

và đặt

với mỗi n, và do

( ) f z

p(cid:94) đầy đủ nên chúng hội tụ. Giả sử n a

= ∑ a z n

lim a i →∞

−

n thì a

−

n 0 = ≤ ε

i, j n>

< ε với

nên khi cho j → ∞ , ta được nếu

Vì

a r n

⇒

−

= . f

≤ ε ⇒ − ≤ ε do đó f

a r n

max a n

0 khi n

< ε

→

lim f i →∞ → ∞ , do đó

nên

i, n , n ∀ ∃ ∀ > i

n : a i

( i

ina ta có:

Vì f H D∈ i Cố định n

n hay a r

0 khi n

,suy ra f H D

n a r , a

< ε ∀ >

→

→ ∞

∈

−

(

)

) r n , 0 { a r max a ≤

trù mật trong

(

)rH D

(cid:96) ;

} in Mệnh đề được chứng minh. □ 2.1.4. Mệnh đề [ ] Với r > 0, p z(cid:94) Chứng minh

∞

a z H D

Lấy

và đặt

( ) f z

(

)

( ) z

= ∑ . a z k

k 0 =

n 0 = ⊂ (cid:94)

−

f→ .

hơn nữa :

Dãy

[ ] z

→ nên nf

max a r max a r ≤ k n >

trù mật trong

)rH D .

∈∑ } ( ) z [ ] p z(cid:94)

∞

a z H D

∈ (cid:94)

, toàn taïi

Với r > 0 ,

(

)

( ) g z

[ ] z

b z ... b z + + 1

{ f ( Suy ra Mệnh đề được chứng minh. □ 2.2. Định lí chuẩn bị Weierstrass Trong mục này ta sẽ chứng minh một định lí có vai trò rất quan trọng trong lí thuyết các hàm chỉnh hình p-adic, đó là định lí chuẩn bị Weierstrass. 2.2.1. Định lí chuẩn bị Weierstrass ∈∑

n 0 =

∞

ν = ν

với

và

( ) h z

(

)

{ f , r max n / a r

}

= + ∑ thoả: 1 c z n

n 1 =

( ) f z g

ii.

iii.

h 1 −

( ) ( ) g z .h z b rν ν= )r ( h H D∈ < 1

iv.

−

vi.

( ) f z có đúng ν khoâng điểm trong

(cid:94)

Chöùng minh Ñeå chöùng minh ñònh lí Weierstrass, ta cần các boå ñeà sau. 2.2.2. Boå ñeà Với r > 0, f(z), g(z) =

∈

[ ] z sao cho g

b z ... b z + + 1

b r k

Goïi Q(z), R(z) laø thöông vaø dö trong pheùp chia f(z) cho g(z): f(z) = g(z).Q(z) + R(z) ; deg R < k

Khi ñoù:

{

}

max g . Q ; R r

Chöùng minh 1.

≤

{

}

{ max gQ ; R 2. Chứng minh

≥

max g . Q ; R = r {

}

} max g . Q ; R r

≥

i. Khi r 1= ta cần chứng minh

{

}

max g . Q ; R 1

Cho

( ) g z sao cho b g

Khi đó

= ⇒

1 =

1= { 1 max g . Q ; R

}

Giả sử

1 1<

Ta có:

với

≤

k <

( ) deg R z

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g z .Q z R z f z * ( )*⇒ là phép chia trong (cid:109) [ ] p z(cid:94) 1< nên 0=

(vô lý)

Mà

0 ≠ ⇒

⇒

( ) g z

{

}

max g . Q ; R 1

Q 1 < 1 1 R <

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

( ) f z ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1,suy ra f

Vậy

( ) Q z ( ) R z ≥

≥

}

(cid:94)

max g . Q ; R 1 r

: a

1 ii. Khi r

1 = ⇒ ∃ ∈

{ = ∞

∞

Xét hàm chỉnh hình

( ) h z

( h az

)

a z i

( ) h z a

i a a z i

= ∑ , định nghĩa

= ∑

i 0 =

Ta có:

max a a max a r =

( ) z

( ) ( ) g z .Q z R z

( )

Theo i) :

≥

Từ f(z) = g(z).Q(z) + R(z) suy ra f }

{

max g . Q ; R 1

f ⇒ ≥

max g . Q ; R r

(cid:94)

p≠

iii. Khi

: a

{ nghĩa là ∃

∈

} =

(cid:92)

log

với

β =

α ∈ =(cid:92) (cid:95)

∀α ∈

(cid:95)

trù mật trong

+(cid:92)

= β ⇒

⊂

= α ⇒

{ } p

(cid:96)

n ∈

(cid:95)

t ∈

lim p n →∞ it p = ⇒

= r

α = Nên tồn tại { } Vậy có { }

r i

(cid:96)

∈ i

→∞

lim r i →∞ i

Theo ii) :

≥

r i

: lim t n →∞ it sao cho lim p { f

≥

Cho i → ∞ ta được

, đặt } max g . Q ; R r

Từ (1) và (2) suy ra

max g . Q ; R r i { {

} }

max g . Q ; R r

Boå ñeà ñöôïc chöùng minh.º 2.2.3. Boå ñeà Với r > 0, f(z)

∈ (cid:94)

, g(z) =

vôùi

b r k

[ ] z

b z ... b z + + 1

∃

0 ∈ (cid:94)

sao cho:

+ [ ] z

)rH D∈ ( ) ( Khi đó Q(z) H D , R(z) ∈ r i. f(z) = g(z).Q(z) + R(z); deg R < deg g = k ii.

{

}

max g . Q ; R r

Chöùng minh

∞

Giả sử

( ) f z

= ∑ a z i

Vì

i 0 = trù mật trong

(

)rH D theo chuẩn

[ ] p z(cid:94)

→∞

là dãy Cauchy

Nên

⎯⎯⎯→ ⇒

→∞ ⎯⎯⎯→

( ) 1

( ) z

( ) f z

f ⇒ − n

a z i

{ f

} ( ) z

+ n 1 r

∑

(cid:96)

∈ n

= i 0

deg R

max g Q ; R r

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ Do đó

−

( )

k < ( ) 2 ( ) 2

( ) R z R

( ) z

+ n 1

)

Với deg

−

( < nên theo Bổ Đề 2.2.2

+ n 1

; R

−

→∞ ⎯⎯⎯→

+ n 1

( ( ) 0 do 1

)

( ) z = ( ) ( ) f z z − ( ( ) R z R { =

}

Theo Bổ Đề 2.2.2 ta có: ( ) ( ) ( ) g z .Q z R z = } { ( ) g z Q z Q = n ) ( ) z max g . Q Q r

n 1 r +

là hai dãy Cauchy

⇒

{ } { Q , R

}

Q Q − n R R −

→∞ ⎯⎯⎯→ →∞ ⎯⎯⎯→

n 1 r +

(

Q n

0 0 ( ) (cid:94) ∈

→∞ ⎯⎯⎯→ ( ) R z

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪⎩

}

) Q z H D ∈ r [ ] z ;deg R k < { f

max g . Q ; R r

n →∞ ⎯⎯⎯→ Trong ( )2 ,cho n → ∞ ta được: Boå ñeà ñöôïc chöùng minh. º Baây giôø ta seõ chöùng minh ñònh lí Weierstrass: Giả sử

+ ...

a z ... a z + + 1

Đặt

( ) f z ( ) a g z = 1 Ta có: f

ν a r (do

)

−

g 1

{ = max n/ a r

}

>ν

0 n a z ... a zν + + 1 } { max a r i =

−

g 1 r

nên

< 1

−

g 1 r

0;1 sao cho :0

⇒ ∃δ ∈

≤ δ . Đặt

)

(

( ) 1h z

r *Bằng quy nạp ta xây dựng:

(cid:94)

1 z

∈ +

thỏa các điều kiện sau

( ) b z , h z

( ) g z i

∑

[ ] ⎡ z ⎣

⎤ ⎦

j 0 = b r ν i

ν= g

r −

≤ δ

và

h − ≤ δ i 1 r

r i

−

≤ δ

i r g h i

i r

f g , h xây dựng ở trên thoả (1)(2)(3) 1

g , h thoả (1)(2)(3). Ta sẽ đi xây dựng i

i 1

h , g+

3. (cid:138) (cid:138) giả sử ta đã xây dựng được Áp dụng Bổ để 2.2.3:

−

< ν

g h i

g Q R , deg R i

−

g h i

+ {

} ( )

max g . Q ; R r

⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ Đặt:

vì deg

g R +

(

iR < ν )

i 1, + ν

i 1 +

i 1, j +

= ∑

j 0 =

h Q +

i 1

+ =

f ≤ −

≤ δ

(do giaû thieát quy naïp)

*Kiểm tra điều kiện 1)2)3) ở trên: Từ (*) suy ra: g h a. R i

r do

(0;1)

r <

δ ∈

f ( f

f g

r < ⇒ =

≤ δμ

b. Vì −

) g i r

r f g h −

i r

neân

(do giaû thieát quy naïp)

i r

= δi < δ 1. R

i 1

+ −

f δ Q ≤ ≤ g f

r =

i 1 +

r b r i ν

i 1; + ν

⇒ =

max f g ; R −

2. (cid:138)

(do giaû thieát qui naïp vaø a)

i 1

f g R i

f g +−

1 Q

= − − ≤ ≤ δ

(cid:138)

i 1

+ −

1 ; Q r

)

(

} } r g Q R h R Q i i i i

i 1

= − + ≤ − ≤ δ

i −

i = −

−

ν r { { max h + + g h i i g Q R h R Q i i i i −

i +

−

+ = g .h + i 1 f g .h ⇒ − + + i 1 i 1

f g h

i i + ≤ δi 1

− −

( (do giaû thieát qui naïp vaø a, b)

+ i 1

)( g R g Q i f g h i ) g Q R g Q R h R Q R 1 h Q − i }

{ R .max 1 h ; Q

→∞

Ta thấy rằng: R g g

i 1

i ≤ δ ⎯⎯⎯→ 0 r i →∞ ≤ δ ⎯⎯⎯→ 0

i 1

+ − + −

g , h laø daõy Cauchy theo chuẩn i

→∞

⇒ ⎯⎯⎯→i

r laø daõy Cauchy

b (c)

i i h h Q neân { } { } suy ra với mỗi j cố ñịnh: { }ijb

Ñaët

( ) g z

( ) b z ; h z

∑ i

lim h i →∞

j 0 =

≤ δ

−

Ta chứng minh g, h thoả ñiều kiện i)ii)iii)iv)v) của ñịnh lí: i. Theo (3):

r 0

≤ ⇒ −

⇒

i r f −

Cho → ∞i

g h i ta coù:

( ) f z

( ) ( ) g z .h z

ii. Theo (1):

b rν i

ν= g

Cho → ∞i

i r ta coù:

⇒ ∈

iii.

)

(do c) (

b rν ν= ) ( h H D (do r

)rH D đầy ñuû ñoái vôùi

f g

≤ δ

lim h i →∞ iv. Do (2) −

≤ δ

Cho → ∞i

f i r r ta coù − f g

−

≤ δ <

v. Do (2)

− ≤ ⇒ −

h 1

Cho → ∞i

ta coù −

vi. Chứng minh h không có không điểm trong

z D

∀ ∈ ⇒ = ρ ≤

r ta coù:

h 1 −

∞

= + 1

( ) h z

c z n

∑

n 1 =

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

∞

max c z

max c

h 1

c z n

∑

= n 1

∞

0 = ⇒

1 = − ⇒

⇒ ≤ = ρ ≤ − <

1 1 (voâ lyù)

Giaû söû

( ) h z

c z n

∑

n 1 =

0 ≠ ∀

= ρ

z thoả

( )⇒ h z Vậy h không có không điểm trong

rD (I)

Chứng minh g có ν không điểm trong

( ) g z

∈ (cid:94) p

[ ] z , deg g = ν neân coù ν khoâng ñieåm trong (cid:94) p , suy ra:

−

z z −

−

= − =

( ) g z

)(

)

( ... z z

)

(

)(

)

( ... z z

( b z z 1

z C ∈ i

)ν

( ) g z b

⇒ = z z − − z z − 1

ν r ⇒ =

g r ⇒ = = = g b b b r ν b

{ max r, z 1

}

{ ...max r, z

}

ν r

neân

Maët khaùc

} ≥ ∀ = ν i 1,

}

{ ...max r, z

} ν ≥

Töø ñoù suy ra

= g b

rD (II)

{ max r, z 1 r ⇒ ∈i

r { max r, z { max r, z

z D hay g có ν không điểm trong r ⇒ ≤iz

r } =i Töø (I) vaø (II) suy ra f coù ν không điểm trong

Ta có:

( v a

)

( ) v z ( v a z n a

z ⇔ = ) =

. Từ đó, ta đi

Do đó

( )

)

} nt

n t 0 {

Ñònh lí ñöôïc chöùng minh. º 2.3. Ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic 2.3.1. Ñoä cao cuûa haøm chænh hình p-adic t p− Đặt ) ( v a { max a r

( ) n v z 0 }

log a ) ( kéo theo v a

( n v z min v a = đến định nghĩa độ cao của hàm chỉnh hình p – adic như sau:

⇔ − + = = +

2.3.1.1. Định nghĩa Ñoä cao cuûa haøm chænh hình f ñöôïc ñònh nghóa laø

)

( ) H t f

{

} nt

( v a

)

( n t min v a n

= −

( ) + H t f

( ) H t f

−

( ) H t f

+ ( ) H t f

⇔ = f

log

= −

Ta cuõng ñònh nghóa Deã daøng thaáy

( ) H t f

= + = +

là cạnh của đa giác.

và điểm

)

( ; H t f

k 1 −

2.3.1.2. Ý nghĩa hình học của độ cao Trong hệ trục tọa độ tOv, với mỗi n ta vẽ đồ thị Γn của hàm v(anzn) = v(an) + nt. Đồ thị này là đường thẳng với hệ số góc n. Theo định nghĩa, đồ thị Cf(t) của Hf(t) là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía dưới các đường Γn . Do đó Cf(t) là đường gấp khúc. Ta gọi Cf(t) là đa giác Newton của hàm chỉnh hình f(z). Điểm A(t; v(an) + nt) là đỉnh của đa giác khi nó là giao hai cạnh của đa giác, do đó Hf(t) đạt được tại ít nhất hai chỉ số n. Khi đó t được gọi là điểm tới hạn của hàm chỉnh hình f(z). Giả sử tk < tk – 1 là hai điểm tới hạn liên tiếp của f(z) thì đoạn thẳng nối điểm ) ( A t ; H t k

(

)

(

2.3.1.3. Định nghĩa Ta kí hieäu

+ f

( n t min n / v a ( n t max n / v a

( ) ( )

) )

− f

{ {

} ( ) nt H t } ( ) nt H t

{ min n / a r { max n / a r

} }

+ f

( ) t .t ( ) t .t ( ) t

( ) t

2.3.1.4. Ñònh nghóa Ta đònh nghóa ñoä cao traùi, ñoä cao phaûi, ñoä cao ñòa phöông cuûa haøm chænh hình ( ) p – adic f(z) taïi t = v(z) laàn löôït laø t ( ) − t f ( ) h t f

+= n f −= n f − f

+− h f

∈

và

s < <

k 1 thì

Bổ đề sau về mối liên hệ của hai điểm tới hạn liên tiếp là một kết quả giúp ta chứng minh được vài tính chất khá thú vị của độ cao. 2.3.2. Bổ đề Với r > 0, lấy )

) { } ( ( ) f z H D \ 0 r ) ( và s : t t n ∀

(

là hai điểm tới hạn liên tiếp của f(z). (

)

(

)

( ) + n s f

( ) − n s f

k 1

+ f

− f

+ f

k 1 −

t −< t −

A t

Khi đó Chứng minh

Ta sẽ chứng minh

= a là hệ số góc của đường thẳng

)

k 1

+ f

− f

A A − .

k 1 −

: v

n t qua A

Nếu

) ( thì tồn tại

( a< mà đường thẳng

(

)

1 k

n 1

( v a

)

Γ = +

(Vô lí)

Khi đó

)

1n ( H t f

k 1 −

1 k 1 −

(1)

+≠ n f ) ( v a a ⇒ =

)

+ f

: v

n t

qua A

≠

< +

a> mà đường thẳng

n t ( thì tồn tại

Nếu

)

(

− f

k 1 −

2 k 1 −

k 1 −

( v a

)

Γ = +

(Vô lí)

Khi đó

2n )

( H t f

n ) ( v a a ⇒ =

k 1 − t

n t 2 k ( n

− f ⇒

Từ (1) và (2)

− f

+ f

k 1 −

s : t

nên

= do đó ta có

( ) + n s f

( ) −= n s f

k 1

t − n

(2) ) ( ) ( t k thì ( ) s s, H (s) A A − < < ∈ ) ( ) ( t

Hiển nhiên ∀ ( ) − n s f

− f

+ f

k 1 −

fH (t )

i. Neáu

f(z)

−= p

r f(z)

0 khi v(z)

t vaø

ii. Neáu

0 thì t laø ñieåm tôùi haïn cuûa f(z). Soá caùc khoâng ñieåm cuûa f(z) taïi

( ) + n s f Bổ đề được chứng minh. □ 2.3.3. Mệnh đề ( ) ( ) { } Với r > 0, f z H D \ 0 ∈ ( ) = 0 thì ≠ ( ) ≠

fh t fh t

ñieåm tôùi haïn t = v(z) ñuùng baèng

− f

( ) t iii. Nếu t laø ñieåm tôùi haïn cuûa f(z) thì

t.{soá caùc khoâng ñieåm cuûa f(z) taïi v(z)

( ) +− t n f ( ) =

fh t

< )

− p thì trong moãi ñoaïn höõu haïn [u, v]; T < u < v < ∞ chæ coù

T log r = − r ⇔ =

= t} iv. Đặt höõu haïn caùc ñieåm tới hạn. Chứng minh i. Vì

0 nên

n t hay H t chỉ đạt tại duy nhất

( ) =

( )

( ) n t do

( ) − n t f

fh t

+= f

( ) − n t f

+ f

∞

đó

( ) f z

n a z n

∑ n a z n

n 0 =

−

Ta có :

log a z

= −

⇒

( ) ≠fH t

( ) log f z

( ) f z

≠

⇒

ii. Nếu

n t và t là điểm tới hạn.

) ( nt v a ( ) 0 khi v z ( ) − 0 thì n t = f

k 1

( ) H t = f ( ) f z ( ) h t ≠ f t −

f z khi v z

t là

t ( ) + f Giả sử là hai điểm tới hạn liên tiếp. Theo định lí chuẩn bị Weierstrass, số không điểm của ( )

)

( − n t f

( ) ≥ k

là

)

là

t −≥ k 1 ≤

)

k 1 −

( − n t f 0 nên số không điểm

≠

k 1 − t <

( ) − n t − f ( ) thì f z

( − n t f k 1 − ( ) t v z < ( ) v z <

k 1

k 1 −

f z tại

)

số không điểm của ( ) ( ) f z khi v z Do đó số không điểm của ( ) f z khi t ( ) ( ) − − Mặt khác, n t n t − = f f k ( ( ) = k của ( ) − là n t t v z f ( ) ( ) − iii. Từ ii ta có: h t h t = f f ( )

+ f

− f

−

)

f z tại

t }

( ) = v z

−

T u v 0 p p r < < < ∞ ⇒ > > >

i 1,2,...

f(z) có ít nhất một không điểm, do đó f(z) sẽ có vô hạn

k và khi ( ) +− n t f k ( ) + h t − f ( ) n t t n t t − ( ( ) ( ) − + n t t n t f f = t .{số không điểm của ( ) iv. Từ Theo định lí Weierstrass, f(z) có hữu hạn không điểm trong Dr do đó sẽ có hữu hạn v − không điểm trong hình vành khăn p . < Giả sử trong đoạn [u, v] có vô số điểm tới hạn 1 ) Theo ii, tại

(

−

p (Vô lí).

không điểm trong hình vành khăn

( lg 1 z+

)

của hàm

Vậy trong moãi ñoaïn höõu haïn [u, v]; T < u < v < ∞ chæ coù höõu haïn caùc ñieåm tới hạn. Mệnh đề được chứng minh. □ Ví dụ sau đây cho thấy ta có thể tìm các điểm tới hạn cũng như tính được ( ) ( ) h t ,H t 2.3.4. Ví dụ

−

∞

−

n 1 −

(

( lg 1 z

)

(

) 1 −

Xét hàm

∑

z n

n 1 =

n 1 −

)n 1 1 n n 1 −

(

log

log n

với

( ) nv z

) 1 − n

⎞ ⎟ = − ⎟ ⎠

−

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0> ta có : k p th n

log p

nt k

ì nt + log n

− =

p t k −

Với mỗi t * Nếu

-ord

k+1

t , t ,... 2

p th k : p ì ∃

n ≥p

* Nếu

-k p khi đó

−

0≥ .

log n ( ) t

− p t k ( ) t

lgn

kp với k k

k 1 −

(

+ lg

k i −

phải có dạng ) t

log n

) log n

< n < p n =p ≠ ⇒ k ≤ ⇒ ord n p

Do đó và Giả sử kt là điểm tới hạn và Nếu p =

(

= )

, ta sẽ chứng minh ( ) (

n )

(

)

− lg ) > thì từ i 1

(

)

(

− lg

+ lg

− lg

+ lg

k i −

k p t

k i − p t

k i

= + +

k − =

(

) − ⇒

( ) 1

k i −

(

)

i −

⇒ − − = ⇒ =

k 1 −

log n

k 1 − p t

log p

Bây giờ ta chứng minh

(

)

(

( ) 2

− lg

k 1 −

⇔

k − >

−

Thật vậy, ( ) 2

(

) k 1 −

k i −

i p

) i p

−

(

) 1

i 1 −

−

⇔

1 0 − > ⇔

) 1 p − i 1 −

1 0

+ >

)

Vì i 1, p 2 >

( ip p ( ) 3 (

) )( i 1 p 1

không đạt được tại

(vô lí)

ip ip − i i p 1 p 1 − − ( i 1p −⇔ ip i p − − ) )( ≥ nên ( i 1 p 1 − Do đó (3) đúng ⇒ (2) đúng ⇒

− − ≥ 1 0 (

)

ip i p − ≥ ⇒ − − = − ( ) H t lg

− lg

k 1 −

+ > +

, áp dụng (1) ta được

hay hàm

có các

Vậy ta có

(

)

( lg 1 z+

)

+ lg

1 k 1 p − −

k 1, 2,...

điểm tới hạn

(

)

1 k 1 p − −

= =

Khi đó :

(

)

(

)

− lg

k 1 −

= = =

(

)

(

)

+ lg

k 1 −

= = =

(

)

(

)

(

)

− lg

+ lg

1 p − 1 p − p −

p p 1 − 1 p 1 − 1 −

p 1 − p 1 −

= − = = = − p 1 p 1

k − =

)

( H t lg

k 1 −

1 p −

p p 1 −

= −

Ta sẽ chứng minh

)

) ( log p 1 t

( ) 4

( H t lg

với [ ]x là số nguyên lớn nhất

1 p 1 −

2 k −

1 k

2 k

1 k − p

= + − ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

không vượt quá x. ( ) 4

) ( log p 1 t

(

) p 1 −

k 1 −

1 p −

2 k −

1 p

1 k − p ⇔ ≤

⇔ − = − ⇔ − ≤ − < − ⇔ ≤ < ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

1 k 1 −

k 1, 2,...

≠

0= với mọi

( ) t

)

(

p lgh

Hiển nhiên Từ định nghĩa độ cao của hàm chỉnh hình, định lí 2.1.2.5 có thể phát biểu lại như sau. 2.3.5. Mệnh đề Giaû söû f, g laø caùc haøm chænh hình trong

p(cid:94) . Khi ñoù:

fH t H

ii.

0 ( )

f g +

iii.

( ) = ⇔ = 0 f { ≥ ( )

} ( ) ( ) t min H t ; H t f ( )

( ) H t H t H t f

< ⇔ ≤ < (đúng).

∈

thì

−

vaø < < 0 t

( H t H t −

( )

)

(

)

( ) t

( ) h s

2.4. Coâng thöùc Poisson – Jensen p-adic cho haøm chænh hình + Với f(z) H(D) h f

− f

+ f

+ ∑

s t > >

t < ∞0

t t t ... t > > > > >

Chứng minh Lấy

v a

s v a

, t

s ∀ ∈

và

(

)

(

)

[

]

− f

+ f

k 1 +

( ) H s f

( − n t f

+ f

k 1 +

)

(

)

− ( n t f

+ f

k 1 +

)

(

v a

−

Do đó

)

(

)

( H t f

( − n t f

+ f

k 1 +

)

(

)

− ( n t f

+ f

k 1 +

( ) f z . Ta có: t là tất cả những điểm tới hạn của ) ( )

)

(

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣ =

−

(

)

− f

k 1 +

Vậy

n )

( H t H t

+ f

−

) ( )

) t

−

− f

−

( − n t f ... + +

−

)

+ f

( − n t f

n 1 −

) t ( ( − t n t f n

)

−

+ f

−

) ( − t f k k ( ) H t − f ( ) H t f ( ) n ( ) ) t ( ) ) t ( ) ) t

( +− H t f f 0 ( H t f ( − n t f ( − h t f ( − h t f ( − h t f

+ f

( ) ( ) H t ... H t − + + f f n ) ( ) t t ... n t − + + ( ) ) ( ( ) − − n t t n t f 1 f ) ( ) ( ... h t h t + + + f 1 ( ) + ∑ h s

s t > >

Công thức đã được chứng minh. □

Chương 3 ĐỘ CAO CỦA HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN VÀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT

)

b ,..., b 1

)

i 1 +

(cid:94)

r, r

: z

≤

(cid:94)

r, r

: z

r < >

b ,..., b , b ,..., b i 1 1 − } 0 } 0 >

(cid:94)

: z

≤

D x...x D

Trong chương này, ta xây dựng công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến cũng như mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt. Chuùng ta duøng nhöõng kí hieäu sau: ( mb = ( )(cid:110) ( ( b = { z D = ∈ { z = ∈ { D z = ∈ =

(

)

r ,..., r 1 m

, r i

∈ (cid:92) +

r 1

r m

)

mr (

)

D x...x D

= } 1 vôùi ( mr

r < > m

r < > 1

)

Dx ...xD

mr ( mD

laø quaû caàu ñôn vò trong m p(cid:94)

(

)

r ,..., r 1 m

mr (

)

,...,

( (cid:96) , γ ∈ γ = γ i

...

, z

) γ z ...z , r = 1 1

γ m m

γ γ r ...r 1 m m 1

log

m = −

log r ,i 1,..., m =

toàn

taïi

γ = γ + + γ 1 log , t p Taäp caùc phaàn

töû

(

)

x ,..., x ∈ (cid:94) sao cho 1 p

r ,..., r 1 m laø truø maät trong m

+∈ (cid:92) maø +(cid:92) do ñoù khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû

r , i 1,..., m i

i söû

> ≠ . 0

)mrD

(

3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến 3.1.1. Ñònh nghóa Hàm → (cid:94) f : D

ñöôïc goïi laø haøm chænh hình (hay hàm giaûi tích) p-adic treân

mr (

)

(

)mrD .

(

γ a z , z

≤

)mrD neáu f(z) coù theå bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa hoäi tuï treân Nghóa laø,

) i 1,..., m hội tụ trên

( ) f z

(

r i

∑

)mrD .

(

γ ≥

Neáu f bieåu diễn ñöôïc döôùi daïng moät chuoãi luõy thöøa hoäi tuï treân

p(cid:94) thì f ñöôïc goïi

laø haøm nguyeân p-adic. Ta kí hieäu H(B) laø taäp caùc haøm chỉnh hình treân ⊂ (cid:94)m p

\ 0

∈

γ a z , z

≤

bieåu dieãn bôûi chuoãi hoäi tuï

vôùi i = 1,..., m .

Giả sử f

r i

∑

(

)

( mrH D

γ ≥

) { } = neân toàn taïi

Khi ñoù lim a r

γ →∞

max a r γ 0 ≤ γ <∞

treân

3.1.2. Ñònh nghóa Chuaån cuûa haøm chænh hình f

)

(

)mrD ñöôïc ñònh nghóa

(

)mz

)mr (

max a r γ 0 ≤ γ <∞

Ñaët

t 1 1

t m m

log a

log a r

− γ

= −

Ta coù:

log r 1

log r m

γ 1 1

t γ = γ ( v a

( t + γ = − sao cho a

thì

... + + γ ) ⇒ với

... − − γ ( v a

)

) γ log a r ...r m m γ } { ) ( t t min v a + γ + γ = 0 0 γ ≥

r (

)

Do ñoù

m ∃γ ∈ (cid:96) ñeå

( v a

) γ + γ toái tieåu

\ 0

∈

γ a z , z

≤

bieåu dieãn bôûi chuoãi hoäi tuï

vôùi i = 1,..., m .

r i

∑

)

(

3.1.3. Ñònh nghóa ( Giả sử f mrH D

) { }

γ ≥

t + γ

Chieàu cao cuûa haøm chỉnh hình f ñöôïc ñònh nghóa bôûi

( v a

)

(

)

(

)

( H t f

)

min 0 ≤ γ <∞

= −

Ta cuõng kí hieäu

(

)

(

)

( + H t f

)

( H t f

)

Ta coù

log a r γ γ

(

)

(

)

( H t f

min 0 ≤ γ <∞

max log a r γ 0 ≤ γ <∞

log f

= −

)

− (

= − )

)mr (

log max a r ≤ γ <∞

log f

(

)

( +⇒ H t f

)

r (

∞

Haøm chænh hình f treân

)(cid:110) k ( z z , i 1,..., m = i

i,k

(

)

∑

)mrD coù theå bieåu dieãn

(

( f z

)

k 0 =

3.1.4. Định nghĩa Ta đưa ra các kí hiệu sau m

(cid:96)

,...,

+ γ =

) γ ∈ m

( : v a

)

(

)

(

)

(

)

( t H t

{ ( = γ

} )

,...,

max

− i,f

( : γ ∃ γ i 1

) γ ∈ m

)

(

)

,...,

min

+ i,f

) γ ∈ m

(

)

(

)

( (

} ) } )

0, 0 min k : f

≠

( ( (

) ) )

i,k

i,f

−

− i,f

+ i,f

(

)

(

)

∑

( v t f

} (

)

⎡ ⎣

⎤ ⎦

i 1 =

{ { ( : γ ∃ γ i )(cid:110){ ( ) ( t ñöôïc goïi laø ñieåm tôùi haïn neáu

0≠

( ) fv t

Đặc biệt, khi f laø haøm chænh hình moät bieán, ta coù

∞

n a z , f

f(z) =

∑

max a r 0 n ≤ <∞

n 0 =

( ) H t f

)

( ( min v a 0 ≤γ<∞ (cid:96)

( : v a : I γ γ ∈

min

( ) t − = f + = f

= { = γ ∈ { max { : γ γ ∈

) t log f + γ = − } ) ( ) t H t + γ = } ( ) t } ( ) t

Để xây dựng công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến ta cần một số bổ đề sau. 3.2. Một số bổ đề 3.2.1. Nhận xét

∞

Giả sử

a z γ

= ∑ laø haøm nguyeân treân m

γ =

y max

: a

Choïn

thoûa

( ) 1,...,1

{

p(cid:94) . }

∞

( )m (cid:108) a γ

Ñaët

= ∑(cid:3) f

γ =

z a

Do f laø haøm nguyeân,

γ < tröø moät soá höõu haïn neân f(cid:3) laø ña thöùc m bieán, vôùi heä

soá trong (cid:109) a

a 1 a

= ⇒ ≠

Vì

p(cid:94) . (cid:3) a a

3.2.2. Boå ñeà

1 0≠(cid:3) (cid:3) neân f 0 a

∞

∀ =

Laáy

laø q haøm nguyeân khaùc khoâng treân

p(cid:94) . Vôùi baát

s γ a z , γ

(

)

(

)

γ =

f z s 1,..., q

∈

kyø

sao cho

m D ⊂ (cid:94) p

(

)

(

)

mrD<

(

)

)mr (

r (

( f u s

)

) > ≠ ∅ luoân

∑ (

r (

vaø

r≤ i

thì

( ) 1,...,1

)

. Nghóa laø neáu ( mr

)

s 1,..., q

u D f ,s 1,..., q u ∃ =

∀ =

∈

Chöùng minh Ta seõ chöùng minh boå ñeà cho tröôøng hôïp ( mr coù

ñeå

)

( f w s

(

)

s 1,...,1 ) (

s max a , γ 0 ≤ γ <∞

D w w =

maø

s y ,..., y 1

s m

s γ

)

(

s 1,...,1 ) (

{

}

∀ =

Ñaët

Vôùi moãi s 1,..., q = (cid:108){ M f , = s

choïn } s 1,..., q

(cid:108)q f

= Π cuõng laø ña thöùc khaùc 0, do ñoù coù

Vì (cid:108)

s 1 =

y y max : a f

∈

)

sf laø ña thöùc khaùc 0 neân maø (cid:108)( F w

)

0≠ (cid:3) , hay (cid:108)w khoâng laø nghieäm cuûa (cid:108)q Π . f s s 1 =

)

D w w =

∀ =

Ñaët

( ( f w s a

∞

s γ

(cid:108) s a γ

(cid:3) 0

≠ ⇒ ∉ ⇒ =

(

)

b ⇒ = s

(cid:108) b ⇒ = s

∑

(cid:108)( w

) (cid:108) (cid:108)( f w = s

)

γ =

)

s 1,..., q b , s

⇒

)

( f w s

( f w s a

(

)

b a 1 = ⇒

)

r ,..., r 1 m

∈ (cid:94) thoûa

)

(

m p

)

mx (

x z ,..., x z

(

)

1 1

m m

mz (

)

Baây giôø ta seõ chöùng minh boå ñeà ñuùng vôùi moïi ( mr Laáy r ,i 1,..., m i )

x ( x D x ...x x D D

Ta coù

r (

∞

γ 1

x ,..., x

Vaø

( ... x z

)

( a x z 1 1

m m

s γ

)

(

= ∑

Xeùt pheùp bieán ñoåi ϕ cuûa m p :(cid:94) ) )

( (

γ =

∞

γ a x ...x 1 1

γ m m

γ z ...z 1 1

γ m m

s γ

)(

)

(

= ∑

γ =

∞

laøm haøm nguyeân khaùc 0 treân m

p(cid:94) .

s γ

(

) γ a x z

= ∑

γ =

(cid:68) z f

∈

Theo treân, coù

thoûa

(

)

f o w ϕ s

s γ

(

)

max a x γ 0 ≤ γ <∞

D w w =

γ 1 1

γ m m

s max a x ... x γ 0 ≤ γ <∞

γ 1 1

γ s max a r ...r m m γ 0 ≤ γ <∞

s γ

s r (

max a r 0 ≤ γ <∞

s 1,..., q

∀ =

∈ ⇒ = ϕ

∈

Ñaët

, hôn nöõa vì

(

)

( w = ϕ ⇒

)

( f u s

r (

s r (

Vaø

r w i

≤ r i

x w i

s 1,..., q

w D u w D

∀ =

∈

laø q haøm chỉnh hình treân

(

)

)mrD , khi ñoù toàn taïi

(

)mr (

,s 1,..., q

)

i Boå ñeà ñöôïc chöùng minh. º 3.2.3. Boå ñeà ) ( Laáy ) ( sao cho f u s

s r (

Chöùng minh

u u D

s 1,..., q

∀ =

Ñaët

thì

laø haøm nguyeân treân

s : a r γ

P s

s γ a z , γ

∑

)

s r (

y f max 0 ≤ γ <∞

{

}m

≤ γ ≤

p(cid:94)

∈

∀ =

maø

Theo boå ñeà 3.2.2, coù

(

)

(

)

mu (

)

r (

( P u s

)

r (

( )1 vaø

( ) 2

P s

s y

r (

)

r (

)

∞

−

Ñaët

)

( R u s

( f u s

( P u s

s a u γ

= ∑

γ >

u ,..., u D , s 1,..., q P s

≥

do y

Ta coù:

)

( P u s

s y

( R u s

s : a r γ

)

max 0 ≤ γ ≤∞

)

s r (

a r P r ( s

}m

⎞ ⎟ ⎠

s a r γ y γ >

⇒

)

( ) 3

( P u s

( R u s

( sP u

⎛ ⎜ ⎝ ( vì P u s

( R u s

(

{ )

s 1,..., q

⇒

∀ =

( f u s Töø ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3

)

( f u s

s r (

laø haøm chænh hình treân

)

(

)

)mrD . Khi ñoù

(

Boå ñeà ñöôïc chöùng minh. º 3.2.4. Heä quaû ( Laáy f z

r (

( max f u u D ∈ )

r m (

Chöùng minh

≤

Vì

maø

ñeå

( f u

)

( f u

)

r (

)mr (

r (

max a r 0 ≤ γ <∞

Neân

)

( f u

)

r (

( max f u u D ∈ r m ) (

Hệ quả ñöôïc chöùng minh. º

∞

D u ∃ ∈ 0

Giả sử f laø haøm chænh hình treân

)(cid:110) k ( z z , i 1, 2,..., m = i

i,k

(

)

∑

(

( f z

)

k 0 =

≠

Ñaët

(

)

i,f

i,k

)mrD coù bieåu dieãn }

0, 0

l, k

, k

, nghóa laø coù

Coá ñònh (

(

)

i,f

− i,f

+ i,f

(

)

(

)

n 0, 0 min k : f z 0

,...,

( t

vaø

) sao cho

( γ = γ 1

) γ ∈ 2

( μ = μ 1

) μ ∈ m

( γ = i

) k , 1

μ = i

(

)

(

)

i i 1,..., m (

)(cid:110){ ( ) , ñaët )

)

(

i,l

)mrD sau: )(cid:110) ( k z z ; f f = 1 i i

i,k

)(cid:110) ( z z i

k i

k 1

i,k 1

(

)

(

)

Xeùt caùc haøm giaûi tích treân ) ( )(cid:110) ( l z z ; f f z i i l

)

(

)

∈

Ñaët

( D : f u

)

( , f u

)

(

)

(

)

k 1

(

)

r (

)

r (

)

r (

)

r (

)

r (

)

U u u f f , f u f , f u f

{

}

Vôùi i 1,..., m =

iU ≠ ∅ . Vôùi moãi

∞

u U∈ xeùt haøm moät bieán

( ) z

i,u

i,k

theo boå ñeà 3.2.3, )(cid:110) ( k u z , z i

r i

∑

k 0 =

( ) z .

laø haøm chænh hình treân

vaø moïi

Bổ đề dưới đây cho phép duøng ñònh lí chuẩn bị Wererstrass ñeå ñeám nghieäm cuûa i,uf 3.2.5. Bổ đề Giả sử

(

)

)mrD . Khi ñoù vôùi moãi i 1,..., m

(

( f z

(

)

i ,u

)

(

treân

− i,f

baèng soá nghieäm cuûa i,uf

irD

(

)

treân

baèng soá nghieäm cuûa i,uf

− i,f

+− n i,f

〉

irD〈

(

)

(

)

(

)

)m u U∈ , ta coù: ( H t f ( (

) ) )

f f z D = ∈ i

Chöùng minh Ñaët

(

)

(

)

− f

+ f

i ,u

k , k n t

Ta coù:

(

)

(

)

r (

)

f do u U ∈ n ( f u t )

(do caùch ñaët

k γ a r ...r 1 1 1 1

γ=

1k )

γ ...r m m (

)

k 1

r (

)

u f f (do u U ) ∈ i

≤

)(cid:110) ( u

)(cid:110)1 u f ≤

(

)(cid:110) ( u u i

k 1 i

k r 1 i

i,k 1

f f u f u (do u r ) i

⇒

)(cid:110) ( u )(cid:110) 1 ( k r u i

i,k 1

r (

)

f f

Chöùng minh töông töï cho

)(cid:110) ( u

)(cid:110)1 u f =

(

2k vaø ta ñöôïc

i,k

k r i

i,k 1

(

)

( f u

)

r (

)

∞

f f

vaø

hieån nhieân lôùn hôn

Maët khaùc, ta coù:

( ) z

)(cid:110) ( u

i,u

)(cid:110) k ( u z i

i,k

i,u

k r i

= ∑

r i

k 0 =

f f f max f 0 k ≤ <∞

hoaëc baèng )(cid:110) ( u

)(cid:110)2 ( u , f

k r i

i,k

k r 1 i

i,k 1

⇒

≥

i,u

i,k 1

)

r (

)

r i

f f ) f (do f r (

⇒

)(cid:110) ( u

(

i,u

k r 1

k r i

i,k

i,k 1

r (

)

r i

f f f

≤

(

)

− f

i ,u

⇒

∈

(

)

i ,u

≥

(

)

+ f

i ,u

⎧ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎩

k k k n t I t k , k 1 k k k n t

,...,

) ( ) 1 ) ( ) 2 , khi ñoù coù

η ∈ Ν vôùi

η = j

Giaû söû coù chæ soá j sao cho

)

)(cid:110) 1 ( k r u i )(cid:110)1 u f = ( ( )(cid:110) j ( r u i

i, j

i,u

( η = η 1

∞

f f r i

k i

)(cid:110) ( u u i

i,k

)(cid:110) ( z z i

k i

i,k

(

)

(

)

∑

Ta coù: ( f u

)

( do f z

)

k 0 =

⎞ ⎟ ⎠

≤

i,k

f f

max f 0 k ≤ <∞

≤

(do caùch laáy j)

⎛ ⎜ ⎝ )(cid:110) k ( u u i )(cid:110) ( u

)(cid:110) ( u

i, j

)(cid:110) j ( r u i

i,k

k r i

i,u r i

...u

≤

γ 1 1

γ m m

r i

γ i 1 − i 1 −

γ i 1 + i 1 −

a r η

r (

)

max a u ...u γ 0 ≤ γ <∞ j γ = i

max f u max f f f

⇒

(vì

)

(

)

(

)

r (

) t

f f=

( f u ⇒ η ∈

⇒ ≤ η ≤

( f u (do

vaø

)

) −= n i,f

+= n i,f

⇒ ≤ ≤ 2

(

)

(

)

(

)

k j k a r η )

AÙp duïng keát quaû treân cho

vaø

thì

≤ ≤

( ( ( ) 3 ( ) 4

) ⎧ k ⎪ ⎨ k ⎪⎩

k ⇒ = 2

j j k= k= k k k k

Töø ( ) ( ) 1 , 3 ( i. Vì t n

k ⇒ = 1 )

)

− i ,uf (

vaø töø ( ) ( ) 2 , 4 k )(cid:110) ( u

)(cid:110) ( u

+⇒ H f

i,k

k r i

k r 1 i

i ,u

i,k 1

t log f log f

⇒

)

(

i ,u

(

)

(

)

( H t f

r (

)

ii.

treân

( + H t f ( t

)

− i,f

− f

) ) baèng soá nghieäm cuûa i,uf

i ,u

irD

(

)

) (

−

iii.

baèng soá nghieäm cuûa

treân

(

)

− i,f

+ i,f

− f

i,uf

i ,u

(

)

(

)

t (

= )

k (

n )

irD< > Bổ đề ñöôïc chöùng minh. º 3.3. Coâng thöùc Poisson – Jensen p-adic cho haøm nhieàu bieán 3.3.1. Nhắc lại coâng thöùc Poisson – Jensen p-adic cho haøm một bieán Lấy

( ) f z .

−

0 Khi đó

t > ( )

)

( ) h s (*)

( ) t

)

... > > 2 ( +− H t H t f

+ f

t là tất cả những điểm tới hạn của hàm chỉnh hình ( − h t f

+ f

+ ∑

s t > >

+ f

+ +

−

( ... n t

)

⇔ ( − h t f

( ) h s f

( − n t f

− f

Với mọi số thực x > 0, kí hiệu nf(x) là số nghiệm của f(z) có trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng x. Ta có: ( ) ( ) + (*) H t H t − f ( ) ) ∑ + h t + − f

s t > >

log r

−

+ +

−

)

)(

log r 0

( − n t f

− f

log r n

r 1

)

dx ...

+ +

∫

1 ln p

)( log r 1 ( ) n x f x

( ... n t ( n x f x

1 ln p

) ( n x f x

r 0

r n

r 0

laø soá nghieäm cuûa haøm moät

Từ kết quả trên cho hàm chỉnh hình một biến, ta sẽ xem xét vấn đề trong trường hợp hàm nhiều biến. Laáy f laø haøm chænh hình treân

i,f

0, r (

)

(

)

bieán

i,uf

−= n i,f

i,f

0, r (

)

(

)

\ a

∈

)mrD . Kí hieäu ( ) ir≤ . z coù giaù trò tuyeät ñoái ( ) , ta ñònh nghóa

mr (

)

Theo bổ đề 3.2.5 thì (

, n

a, 0

i 1,..., m

∀ =

( ) { } (

)

(

) 0, 0 ,

i,f

i,f a −

0, r (

a, r (

)

f H D (

Vôùi (

log f H t

,...,

< ρ ≤ i , x, r

i 1,..., m

∀ =

Vôùi moãi x R∈ ñaët

) ,..., )

ρ 1 ( A x i

ρ vôùi m ( = ρ 1

0 a ∈ (cid:94) vaø p ) Coá ñònh caùc soá thöïc

i 1 +

i 1 −

rm k

)

k,f

( a, A x k

(

)

a, t

bôûi

Ñònh nghóa haøm ñeám nghieäm Nf

)

(

)

( N a, t

)

(

1 = ∑ ∫ ln p

k 1 p =

r i 1,..., m i ) ,..., r m

Neáu a

0= thì ñaët

)

(

,..., t

) =

Vôùi moãi t R∈ , ñaët

(

)

) ( N 0, t c ,..., c , t, t 1

i 1 −

i 1 +

( N t ( f ( ) T t i log ,i 1,..., m =

= −

Vôùi

3.3.2. Coâng thöùc Poisson – Jensen p-adic cho haøm nhieàu bieán Giả sử f laø haøm chænh hình treân

(

)

(

)

(

)

)mrD . Khi ñoù

(

( + H t f

)

( +− H c f

)

( N t f

)

∞

Vieát

)(cid:110) k ( z z 1 1

Chöùng minh = ∑

k 0 =

f f 1,k

Ñaët

(

) 0, 0 , a

1,f

)(cid:110) ( z 1

1,l

(cid:3) r 1

l n log f

−

)

1,f

(

)

≤

( ) M r

(

)

∫

( 0, A x 1 x

n l dx l.log r r r 1 1 ln p

Γ =

−

≠

≥

( ) n oT t

+ 1,f

( ( ) − : n oT t 1,f

{ ( ) T t 1

} )

0, t t

T t ∉ ∀ ≥

= −

. Neáu

thì :

( ) T t 1

0= , vôùi moïi 0 r = a

p− t r≤ , ñaët r ⇔ = 0 log r 0

( 0, A, x

)

1,fn

(

)

( iii. M r

Ñeå phaàn trình baøy ñôn giaûn, roõ raøng, ñaàu tieân ta seõ chöùng minh boå ñeà sau. 3.3.3. Boå ñeà Khi l ( ) + i. H oT t f 0 ∀ < < thì x r 0 )0 0=

Chöùng minh

r 0

ii. 0 0=

)

1,f

( 0, A , x 1

(

)

Khi l = 0 thì

(

)

1,f

)(cid:110) ( z 1

1,0

( , M r 0

∫

(cid:3) r 1

T∉ thì

treân

Neáu

( ) n oT t

( ) 1T t

− 1,f

+− 1,f

= ⇒ soá nghieäm cuûa 1,uf

n n 0, 0 0, a log f dx 1 ln p x

treân

Vì ñieàu ñoù ñuùng vôùi moïi

> baèng 0 t∀ ≥ 0 t 0

t t≥ neân soá nghieäm cuûa 1,uf

treân

= 0

)

−⇒ 1,f

1,f

⇒ soá nghieäm cuûa 1,uf

0 0 = ⇒ D −< tp > baèng ) ) ( 0, A r 1 0

i. Vì

)

(

( n oT t )(cid:110) ( u

− 1,f

0 r 1

( n T t °

− f 1,u

r 1

vaø

Maø l = 0 neân

)

( f u 0

f 1,0

0rD baèng ) )(cid:110) ( z 1

)

(

n t 0 = ⇒ D −< tp ( n )(cid:110) ( ) ( 1 u f 1,0 f 1,u f 1,0

0 r (

0 = ⇒ ) (

⇒

Töø

)(cid:110) ( u

( ) 2

f 1,0

)(cid:110) ( z 1

f 1,0

)(cid:110) ( z 1

f 1,0

)(cid:110) ( z 1

(

)

(

)

(

)

( f u 0

)

r (

)

(cid:3) r 1

r (

)

⇒

Töø ( )( ) 1 2

)(cid:110) ( z 1

r 1

(cid:3) r 1

f 1,u f 1,0

⇒

= a

( H oT t

)

(

)

+ f

1,0

)(cid:110) ( z 1

1,u

+ f 1,u

r 0

(cid:3) r 1

H t log f log f

treân

∀ < < ta coù soá nghieäm cuûa 1,uf

xD< > baèng 0 (vì soá nghieäm cuûa 1,uf

x 0 r 0

)

1,f

ii. 0rD baèng 0) ( ( 0, A x ⇒ 1

)

( 0, A, x

)

1,f

= 0 (

)

0dx

iii.

)

( M r 0

∫

1 ln p

− =

Boå ñeà ñöôïc chöùng minh. º Baây giôø ta seõ chöùng minh công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến. Tröôùc tieân ta seõ chöùng minh

)

( H oT t

)

( a M r 1

+ f

∉ Γ ∀ ≥ , theo boå ñeà 3.3.3

= vaø a

Trường hôïp 1: l = 0 ( ) i. Neáu Γ = ∅ thì T t 1

− = =

( H oT t ( H oT t

) )

0= )

+⇒ f +⇒ f

)1M r ( ( 0 M r 1

( ) 1

)

( ) 1

)

(

...

n dx 1 ln p x

≤

vôùi

1 ii. Neáu Γ ≠ ∅ thì Γ laø taäp höõu haïn. Giaû söû Γ coù n phaàn töû ) ( n n

)

( )it

,..., y y

( T t 1 <

thì

Ñaët

( T t 1 ≤ r 1

b p−=

Ñaët

)

1,f

− 1,f

1,f

( 0, A b 1

)(cid:110) ( z 1

(

)

(

< (

(cid:3) r 1

( ) 1

( ) 2

s n n t x , a ,s 1 f 1,s 0, r ( ... b < 1 ) 0 )

+ f

)(cid:110) (cid:3) ( z r 1 1

( H oT t

)

( H oT t

)

( )1

Ta seõ chöùng minh meänh ñeà baèng qui naïp theo n Khi n = 1. *Neáu

( ) (cid:68) H T t

b r 1 1 t∀ > thì t 1

+ f

a , a , a f 1,s 1

( do tính lieân tuïc cuûa

)

+ f

( ) + (cid:68) H T t f

a − =

)

+⇒ f

( ) 0 1 log x

> −

∉ ∀ ≥

= ⇔ = t t 1 ( ) T, s T s ∉ ∀ ≥ ⇒ 1 ( ( ) (cid:68) lim H T t H T t t 1 → 1 ( (cid:68) H T t r ∀ < < ⇒ = − 1

log r 1

t = ⇒ 1

( ) T s 1

0dx

⇒

= ⇒

)

( ) 2

( 0, A x 1

1,f

( 0 M r 1

(

)

∫

1 ln p

(cid:68) a ⇒ =

− =

( (cid:68) H T t

)

+⇒ f

( a M r 1

Töø ( )( ) 1 2 *Neáu

r 1

b 1

)

1,f

( 0, A x 1

1,f

(

)

(

)

( M r 1

∫

1 ln p

b 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

b 1 r< 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ , chöùng minh töông töï ôû treân ta cuõng ñöôïc

)

1,0

( 0, A x 1

(

)

0 x n 0= b 1

)

1,f

( 0, A x 1

∀ < < (

)

⇒

∫

r 1

n dx 0 x

⇒

−

)

( M r 1

( s log r 1

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

dx s.ln x log b 1 1 ln p r 1 b 1 1 s ∫ ln p x b 1

−

( ) 3

s log r 1

s log b 1

s log a r 1 1

s log a b 1 1

s r 1 s b 1

s ar 1 s ab 1

(cid:108) γ 1

max a

Ta vieát

)(cid:110) ( z 1

log log

a ⇒ = 1

f 1,s

)(cid:110) ( z 1

(cid:3) r 1

= ∑

(cid:108) 1,s a .z (cid:108) 1 γ 1

1,s (cid:108) γ 1

(cid:3) r 1

(cid:110) ≤γ <∞ 1

γ 1

f 1,s

⇒

vì

( ) 4

( (cid:68) H T t

)

1,f

− 1,f

+ f

s log r max a 1

s log a r 1 1

)

(

)

1,s (cid:3) r 1

( ) 1

(cid:68)

t ∀ >

= ⇒ =

(

( ( ) : T t 1

) ( ) ( ) + T H T t ∉ ⇒ f

+ f

( ) + (cid:68) H T t f

( ) 1

( ) ( ) lim H T t H T t t →

( )

lieân tuïc) )1 ( log a p− 1

− =

( H oT t

)

+⇒ f

( a M r 1 = − k 1

( ) s 5 log a b 1 1 Töø ( ) ( ) ( ) ) 3 , 4 , 5 Giaû söû meänh ñeà ñuùng tôùi n Ta seõ chöùng minh meänh ñeà ñuùng khi n = k *Neáu

s n n 0, t (cid:3) (cid:108) r 1 0, r (

( ) 1

(

)

r= 1

ta coù:

b 1 0 b ... b < b 1

−

k theo giaû thieát qui naïp:

... < )2 ( )

)

( 0, A x 1

1,f

= vaø r 1 ( ) M b (

1t ( += (cid:68) H T t f )

⇔

−

∫

b 1

)

1,f

( 0, A x 1

(

)

Do ñoù

)

( M b

)

( M b 1

∫

1 ln p

b 1

)

1,f

( 0, A x 1

(

)

a − +

( ) 6

∫

1 ln p

( ) 2

n dx a a x 1 ln p

∈ T

Vôùi

(cid:68)

0 = ⇒

) ( T t 1 x treân

b t t b 1 t = ⇒ 1

2 −⇒ n 1,f

soá nghieäm cuûa i,uf

xD< > baèng 0.

b < < ⇔ > 1 ) x ( T t

treân

i,uf

2bD vaø baèng

b 1

( 0, A x 1

1,f

⇒ soá nghieäm cuûa ) )

(

log b

⇒

−

)

(

log b 1

s 1

s 1 2

( s log a b 1 4 1

)

( log a b

) ( ) 7

∫

1 ln p

1bD baèng soá nghieäm cuûa s 1 x

( ) 1

( ) 2 < < ⇒ <

( ) T t

)

− 1,f

( n 0, A b 1

1,f

( 0, A b 1

(

)

(cid:68) t t b t b x n b < ⇒ 1 s 1

⇒

γ H T t max log b a r 2

s 1 t

+ f

γ ....r m m

(cid:68) t ( )

s 1 t

γ ...r m m

⎡ ⎣

⎤ ⎦

log b

s 1 t

γ log max a r 2 )(cid:110) (cid:3) ( r z 1 1

1,s 1

s 1 t

⇒

log b log f

( ) 1

1s log a b 4 1

)

(

( ) 2

log a b s 1 t

)

( a, A b 1

− 1,f

1,f

( ) 8 )

(

( ) 2

(cid:68) n (cid:68) ) = s 1

+ f

s γ max log a b r 1 2 2

γ ...r m m

s 1 2

γ log max a r 2

γ ...r m m

s log b log a = 1 t ( ) + lim H T t lim log a b f t t t → → ( +⇔ H t f ) ( T t ( (cid:68) H T t

⎡ ⎣

⎤ ⎦

log b a ⇒ = 3 n )

( ) 9

s 1 2

)(cid:110) ( z 1

1,s 1

(cid:3) r 1

− =

( (cid:68) H T t

)

+⇒ f

( a M b 1

Töø ( )( )( )( ) 6 7 8 9 *Neáu

( ) 1

(

)

log b log f log b log a log a b

Ta coù:

< vaø r 1

−

− a

( (cid:68) H T t

)

1t t < ( Theo giaû thieát qui naïp, ta coù: M b 1

... < < += f

r 1

)

1,f

( 0, A x 1

1,f

( 0, A x 1

(

)

(

)

⇒

a − +

(

)

( 10

)

) ( M r M b = 1

∫

1 ln p

b 1

( )1

r ∀ ≤ < ⇔ > 1

b 1

⇒

= s

)

1,f

t )

x (

0, r (

)

b 1 > t 1 (

r 1

)

1,f

( 0, A x 1

( 0, A x 1 (

)

⇒

−

)

( s log r 1

log b 1

∫

1 ln p

b 1

−

( ) 11

s log r 1

( s log a b 1 1

)

( ) 1

= s

vì

− 1,f

1,f

)

( s log a r 1 1 ( 0, r (

(

)

( ) 1

b 1 0 r< 1 b ... b < 1

) 1 s ∫ ln p x b 1 ) ) γ s max log a b r 1 2

γ ...r m m

s log b − 1 ) ( 0, T t 1 ( + H T t f

= )

a ⇒ = 2

s log b 1

γ log max a r 2

γ ...r m m

⎡ ⎣

⎤ ⎦ +

s log b 1

1,s

s log b 1

)(cid:110) ( z 1

(cid:3) r 1

( 12

)

s = ⇒

vì

− 1,f

γ s max log a r r 1 2

γ ...r m m

(

)

(

)

(

s log a b 1 1 ) ( + H t f

log f log a

s log r 1

1,s

)(cid:110) ( z 1

(cid:3) r 1

log a

( 13

)

− =

s log a r 1 1 )

)

) (

s log r 1 ) ( (cid:68) H T t

( a M r 1

+⇒ f

log f

l z= 1

0, 0

Vaø ta coù:

(

1,f

1,f 1

f f f= 1 2

)

1,f

( 0, A x 1

1,f

0, n ) )

(

)

1,f 1

)

) = l ( 0, A x 1 (

n n

21,f

)

(

)

++ f

l 1

(

)

(

Töø ( ) ( 10 , 11 , 12 , 13 Tröôøng hôïp 2: l 0≠ Ta vieát vôùi f 1 ( ) 0, 0 = ( ( ) ( 0, A x + 1 ( = l n 0, A x + 1 ) ( ) ( ( + + + H t H t H t f f f 1 ) ( = log r H t ( ++ l.log r H t f

)

r 1

n )

)

Áp duïng tröôøng hôïp l = 0 cho 2f ta coù ( 0, A x 1

1,f

)

(

−

(

)

( += dx H t f

)

∫

n a 1 ln p x

−

)

1,f

(

)

⇒

)

( M r 1

∫

( 0, A x 1 x

r 1

n l dx l.log r 1 1 ln p

−

)

( 0, A x 1

1,f

( 0, A x 1

(

)

(

)

1,f 1

∫

r 1

n n l dx l.log r 1 1 ln p x

)

( 0, A x 1

(

)

1,f 1

+ f

(

)

( dx l.log r H t 1

)

− =

− a

)

l.log r 1

+ f

( + a H oT t f

(

)

(

)

n a − + l.log r 1 x

)

( a H t

)

−

Chöùng minh töông töï ta ñöôïc

(

)

) ρ = 1

( (cid:68) H T c 1

+ f

Ta coù:

1 ∫ ln p ( + H t 2f

r 1

)

1,f

( 0, A , x 1

(

)

−

− −

−

( dx M r M

)

(

) ρ = 1

+ f

(

)

(

)

(

)

(

)

∫

⎡ a H ⎣

⎤ ⎦

ρ 1

n (cid:68) (cid:68) H t t a 1 ln p x

−

)

+ f

( (cid:68) H T c 1

+ f

(

)

(

)

r i

(cid:68) H t

( 0, A, x

)

1,f

(

)

2,..., m

−

vôùi i

Töông töï, ta coù:

(

)

( (cid:68) H T c

)

+ (cid:68) H T f

+ f

i 1 −

∫

ρ i

Suy ra

)

( (cid:68) H T c 1

(

)

(cid:68)

−

)

( (cid:68) H T c

)

( (cid:68) H T c 1

+ f

( (cid:68) H T c 1

+ f

m 1 −

(

)

( + H t f ( + H t f

+− f )

r 1

r m

)

1,f

( 0, A , x 1

1,f

− (

)

+ ... H T − + f (

( c )

dx ...

+ +

(

)

( dx N t =

)

∫

1 ln p

ρ 1

n c dx 1 ln p x

Ñònh lí ñöôïc chöùng minh. º 3.4. Lí thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic 3.4.1. Ñònh nghóa Haøm nguyeân g gọi laø öôùc cuûa haøm nguyeân f neáu coù haøm nguyeân h thoûa f = g.h Haøm nguyeân g được gọi laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa n haøm nguyeân 1 moïi haøm nguyeân h laø öôùc cuûa moïi if thì h cuõng laø öôùc chung cuûa g. Các haøm nguyeân

f ,..., f neáu vôùi

chung lôùn nhaát. Trong vaønh caùc haøm nguyeân treân m

p(cid:94) thì öôùc chung lôùn nhaát luoân toàn taïi.

n 1 +

(cid:94)

∈

(

)

n 1 + *

m p

f , f ,..., f 1 2

m p

n 1 +

{

3.4.2. Ñònh nghóa ( Ta kí hiệu (cid:94)

(

)

) kỳ nhân tử chung trong vành các hàm nguyên trên

m p

)

∼

⇔ ∃

f , f ,..., f được gọi là khoâng coù nhaân töû chung neáu 1 laø öôùc 1

Trên (

(

( + (cid:94)n 1 * f , f ,..., f 1 2

c : f i

n 1 +

) cg i 1,..., n = (cid:94)

(cid:94)

n P

f :

→

g ,g ,...,g 2 1 Mỗi lớp tương đương f được gọi là ánh xạ chỉnh hình

m p

(

)

P (cid:94) vôùi soá chieàu nhoû hôn n.

sao cho f1, f2, … , fn+1 không có bất }(cid:94)m ta định nghĩa quan hệ tương như sau: ) )

(

)

Để sự trình bày được đơn giản, ta đồng nhất f với f.

AÙnh xaï chænh hình f ñöôïc goïi laø khoâng suy bieán neáu aûnh cuûa noù khoâng ñöôïc chöùa trong moät khoâng gian con tuyeán tính cuûa

3.4.3. Ñònh nghóa Chieàu cao cuûa aùnh xaï chỉnh hình f ñöôïc ñònh nghóa bôûi

)

( H t f

(

)

( min H t 1 i n 1 ≤ ≤ +

= −

Ta cuõng ñònh nghóa

(

)

(

)

( + H t f

)

( H t f

)

= −

Ta coù

(

)

(

)

(

)

( + H t f

)

( min H t 1 i n 1 ≤ ≤ +

( max H t 1 i n 1 ≤ ≤ +

bieán vôùi heä soá trong

p(cid:94) ñöôïc goïi laø ña thöùc trong hoï naøy khoâng coù nghieäm

≥ + nhöõng ña thöùc ( ) n 1+ ) n 1+

3.4.4. Ñònh nghóa Q ,..., Q ( ) Hoï n 1 chaáp nhaän ñöôïc neáu baát kyø taäp ( { } chung trong \ 0

n 1 +(cid:94) p

nP ñònh nghóa bôûi phöông trình Q = 0, vôùi Q laø ña thöùc thuaàn

3.4.5. Ñònh nghóa Sieâu maët X trong nhaát baäc d, ñöôïc goïi laø sieâu maët baäc d. Laáy

trong

nP ñònh nghóa bôûi phöông

trình

iX = ∀ =

laø sieâu maët baäc di n 1 X ,..., X , q

≥ + ñöôïc goïi laø ôû vò trí toång quaùt neáu hoï

nP sao cho aûnh cuûa f khoâng chöùa trong X vaø X ñöôïc

iQ 0, laø chaáp nhaän ñöôïc. Laáy X laø sieâu maët baäc d cuûa ñònh nghóa bôûi phöông trình Q = 0. Ñaët

Qof

(

)

(

i 1,..., q Q ,..., Q q

+ Qof

(

)

(

)

(

)

+ d f i

)

(

)

(

)

) − ( m X, t

( )

t H

Qof

(

)

(

H t

= −

+ f

(cid:68) Q f

(

)

(

)

(

)

(

)

( N X, t ( m X, t ( T X, t ( H X, t ( H X, t

) ) ) = ) )

( ) ( ( max H t 1 i n 1 ≤ ≤ + ) ( N X, t + ) ( ( H X, t

)

(

)

(

)

f :

P→(cid:94)

3.4.6. Ñònh lí cơ bản thứ nhất n Laáy

laø aùnh xaï chỉnh hình.

m p

nP sao cho aûnh cuûa f khoâng chöùa trong X.

Giaû söû X laø sieâu maët baäc d trong

H t H t

Khi ñoù

vôùi

→ −∞

( ) 0 1

( )0 1 bò chaën khi

(

)

(

)

( T X, t

)

( + dH t

)

Chöùng minh Laáy

. Ta coù:

(

)

n 1

f ,...f +

)

(

)

(

)

(

( T X, t

T max t 1 i m ≤ ≤

−

) =

Q f o

+ Q f o

)

(

)

(

)

+ d f i

(

−

+ f

Q f o

+ Q f o

(

)

(

)

(

)

) ) )

1 i n 1 ≤ ≤ +

t N H t

−

( ) 1

Q f o

+ Q f o

(

)

(

)

H (

(

( ( ) )

Theo công thức Poisson – Jensen:

)

(

)

(

)

t t

−

= −

)

(

)

(

)

(

)

) ( m X, t ( ) max H t 1 i n 1 ≤ ≤ + ( ) d max H t ) ( H ) ( N t f ( + H c f

)

( H c f

)

= ( + H t f ( N t f H

Töø ñoù ta ñöôïc

= ) ( ) 0 1

( ) 2

(cid:68) Q f

Q f (cid:68)

(

)

(

)

(

)

) ( N X, t ) ( + ) ( ) ( + dH t + f ( ) +− H c f ( ) + H t f ) c =

⇒ )

⇒

Töø ( )1 vaø ( )2

( ( ) 0 1

)

(

)

(

( ( T X, t

( ( + dH t f

= )

f :

P→(cid:94)

+− H (cid:68) Q f ) Ñònh lí ñöôïc chöùng minh. º 3.4.7. Ñònh lí cơ bản thứ hai n Laáy

laø haøm chỉnh hình khaùc haøm haèng,

iX laø sieâu maët ôû vò trí toång iX ,i 1,..., q. =

(

)

m p nP sao cho aûnh cuûa f khoâng chöùa trong quaùt cuûa ( N X , t

)

−

≤

Khi ñoù (

( ) 0 1

+ f

(

)

∑

( ) q n H t

)

N )

i 1 =

i → −∞

Vôùi 0( )1 bò chaën khi

∈

Chöùng minh Ñeå chöùng minh ñònh lí 3.4.7 ta nhaéc laïi keát quaû cuûa bổ đề Hilbert’s Nullstellensatz veà tính chaát nghieäm cuûa ña thöùc. 3.4.8. Bổ đề Hilbert’s Nullstellensatz Giaû söû f, Q1, …, Qn

maø f = 0 taïi nhöõng nghieäm chung cuûa Q1, …, Qn

K x ,..., x 1

]

[

T max t 1 i n 1 ≤ ≤ +

thì ∃ρ ∈ (cid:96) ñeå

(

)

) a x ,..., x .Q x ,..., x m

= ∑

i 1 =

Baây giôø ta seõ chöùng minh ñònh lí 3.4.7

Tröôùc tieân, giaû söû

= vaø

iX laø sieâu maët bieåu dieãn bôûi phöông

trình

(

)

Q x ,..., x 1

n 1

≤

... H ≤

thoûa baát ñaúng thöùc

Q f p °

q 1 − °

Q f 1 °

)mt

(

)

(

)

+ = vôùi i 1,..., q )

(

)

) ( ) 1

Coá ñònh ( Vì

( iX laø nhöõng sieâu maët ôû vò trí toång quaùt trong

n 1

≤ ≤ + , coù soá nguyeân

Nullstellensatz, vôùi moãi soá nguyeân k, 1 k

( nP neân theo ñònh lí Hilbert’s km d≥ sao cho

n 1 +

x ,..., x

, 1 i

n 1, 1 k

n 1

d d ... d = d 1

≤ ≤ +

vôùi

≤ ≤ +

(

)

(

)

(

n 1 +

m k

n 1 +

= ∑

i 1 =

laø nhöõng ña thöùc thuaàn nhaát baäc

km d− laáy heä soá trong

p(cid:94) .

x ,..., x , x a Q x ,..., x 1

≤ ≤ + ta ñöôïc :

ix bôûi if , 1 i

Thay vai troø n 1 +

n 1

∀ =

(

)

(

)

m k

n 1 +

∑

i 1 =

≥

−

⇒

(

( ) 0 1

Q f i °

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) m d H t

)

(

)

( m H t f

mk k

min H 1 i n 1 ≤ ≤ +

−

≥

−

(

( ) 0 1

(

( ) 0 1

n 1 + °

(

)

(

)

(

)

( ) m d H t

)

(

)

⇒

( +

) ( ) 0 1

n 1 + °

(

)

n 1,..., q

= +

H ( t

⇒

≥

) +

vôùi i

(do laáy

( ) 0 1

giaûm) ( )2

Q f i °

iQ f °

(

)

(

)

) )

(

)

ÔÛ ñaây

) ( ) m d H t ( dH t ≥ f ( dH t ) f ( )0 1 bò chaën khi

) T max t 1 i m ≤ ≤

khi T

i 1,..., q

→ −∞

→ −∞ ∀ =

khoâng laø haøm haèng thì

Neáu

iQ f(cid:68)

(cid:68) iQ f

(

)

→ −∞ . (

)

−

≥

( ) 0 1

Q f i °

(

)

∑

Do ñoù, töø ( )1 vaø ( )2 ta ñöôïc )

( ) ( d q n H t

(

)

i 1 =

≤

( ) 0 1

+ f

+ Q f i

(

)

(

)

∑ (cid:68) H

( ( ) d q n H t ⇒ −

)

(

)

i 1 =

⇒

−

≤

( ) 0 1 do H

( ) 0 1 N X , t

( ) 0 1

+ f

+ Q f i °

Q f i °

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

( ) ( d q n H t

)

( N X , t

)

(

)

(

)

(

)

(

)

i 1 =

(

)

( N X , t

)

≤

( ⇒ −

( ) 0 1

( ) 3

+ f

(

)

∑

)

i 1 =

f a k 1,..., n 1 f ,..., f 1 Q f ,..., f 1

( ) q n H t Vaäy meänh ñeà ñuùng khi

= d

... d = d 1

∀ =

vaø vieát

Baây giôø ta seõ chöùng minh ñònh lí khi d1, …, dq tùy ý. Ñaët d k i

i 1,..., q d d d ...d 1

= ∀ =

ik i

iY laø sieâu maët trong

1,..., q

. Khi ñoù iQ f(cid:68) khaùc

≤

−

( ) 0 1

+ f

)

(

)

(

∑

nP ñònh nghóa bôûi phöông trình Laáy iY laø nhöõng sieâu maët baäc d ôû ví trí toång quaùt trong khoâng. AÙp duïng ( )3 ta ñöôïc ( ) ( d q n H t

( N Y , t

)

i 1 =

(

)

( dN X , t

)

( ) 0 1

(

)

∑

( k N X , t f

)

Q 0 nP , hôn nöõa

i 1 =

(

)

∑ ( N X , t

)

≤

( ⇒ −

( ) 0 1

+ f

(

)

∑

( ) q n H t

)

i 1 =

laø aùnh xaï chænh hình vaø X laø sieâu maët baäc d trong

Ñònh lí ñöôïc chöùng minh. º 3.5. Một số hệ quả của Lí thuyết Nevanlinna p-adic cho siêu mặt 3.5.1. Ñònh nghóa n Giả sử P→(cid:94) f :

m p

)

( f Xδ

nP sao cho cuûa f vôùi sieâu maët X được định

aûnh cuûa f khoâng bò chöùa trong X. Số khuyeát

(

)

(

)

nghĩa laø

(

)

( N X, t ( + dH t f

) )

⎧ ⎪ lim inf 1 −⎨ T →−∞ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

f :

P→(cid:94)

laø aùnh xaï chænh hình khaùc aùnh xaï haèng vaø

m p

id ôû . Khi ñoù

iX laø sieâu maët baäc iX ,i 1,..., q =

3.5.2. Ñònh lí (về mối quan heä của số khuyeát) Laáy vò trí toång quaùt cuûa nP sao cho aûnh cuûa f khoâng chöùa trong

≤

(

)

∑

i 1 =

Chöùng minh

= −

−

∀ =

= +∞

+ fH

Ta coù

neân

+ ⇒ → +∞

{ Khoâng maát tính toång quaùt ta xeùt

lim H+ jf T →−∞ fH

+ > 0

(

)

( N X , t

)

−

≤

( ) 0 1

+ f

Theo ñònh lyù 3.4.7 thì (

(

)

∑

( ) q n H t

)

log a min r γ j 1, 2,..., n 1 H+ f

i 1 =

)

(

≤

( ⇒ −

)

∑

i 1 =

)

(

)

(

) )

)

(

)

q n

∑

i 1 =

)

(

)

( N X , t ( + d H t f ) )

( ) 0 1 ( + H t f ( ) 0 1 ( + H t f

(

)

⇒

−

n ≤ +

∑

i 1 =

(

)

(

( N X , t ( + d H t f ( N X , t ( + d H t f

)

⎧ ⎪ 1 ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(

)

≤

⇒

−

≤

(

)

∑

q ∑ ⇒ δ i 1 =

i 1 =

(

)

) ) ( N X , t ( + d H t f

) ( ) 0 1 ( + H t f ) )

⎧ ⎪ lim inf 1 ⎨ T →−∞ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

m p

iX laø sieâu maët baäc

id ôû vò trí toång quaùt cuûa

laø aùnh xaï giaûi tích vaø

q ⇒ − n ≤ +

ta coù

Ñònh lí ñöôïc chöùng minh. º Nhö moät keát quaû tröïc tieáp cuûa ñònh lí 3.5.2 ta coù 3.5.3. Ñònh lí P→(cid:94) f : Laáy nP sao cho aûnh cuûa f không có giao với Xi , i=1, …, q thì f phaûi laø haøm haèng. Chöùng minh Giaû söû f khaùc aùnh xaï haèng. ( Vôùi moïi i 1,..., q

)m (cid:94) ∩ p

)

(

≤

⇔

−

≤

ñònh lí 3.5.2 thì

(*)

(

)

∑