Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lí thuyết Nevanlinna P-adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ______________________

Lục Văn Hào

LLÍÍ TTHHUUYYẾẾTT NNEEVVAANNLLIINNNNAA pp-- AADDIICC VVÀÀ CCÁÁCC ỨỨNNGG DDỤỤNNGG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ______________________

Lục Văn Hào

LLÍÍ TTHHUUYYẾẾTT NNEEVVAANNLLIINNNNAA pp-- AADDIICC VVÀÀ CCÁÁCC ỨỨNNGG DDỤỤNNGG

: Đại số và Lí thuyết số : 60 46 05

Chuyên ngành Mã số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM ----------------------------------------------------------------------------

LLỤỤCC VVĂĂNN HHÀÀOO LLÍÍ TTHHUUYYẾẾTT NNEEVVAANNLLIINNNNAA pp--AADDIICC VVÀÀ CCÁÁCC ỨỨNNGG DDỤỤNNGG

CChhuuyyêênn nnggàànnhh :: ĐĐẠẠII SSỐỐ vvàà LLÍÍ TTHHUUYYẾẾTT SSOO MMãã ssốố :: 6600 4466 0055

LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PPGGSS.. TTSS.. MMỴỴ VVIINNHH QQUUAANNGG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận

tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi

Xuân Hải, thầy Lê Hoàn Hoá, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cô khác đã

trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học

tập.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau

Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi

học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này.

TP. Hồ Chí Minh, 08/2009

Lục Văn Hào

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC ............................ 4

1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean ........................................... 4

1.2. Trường các số p-adic

p(cid:0) và vành

p(cid:0) ......................................................... 7

1.3. Trường các số phức p-adic

p(cid:0) ...................................................................... 9

Chương 2. HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC .... 10

2.1. Các hàm đặc trưng ........................................................................................ 10

2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic ...................................... 15

2.3. Nhận xét và một số định lí mở rộng ............................................................. 23

Chương 3. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC ....... 29

3.1. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường

hàm p-adic .................................................................................................... 29

3.2. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài toán Waring cho

trường hàm p-adic ......................................................................................... 50

KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 62

PHỤ LỤC

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Giải tích p-adic là một chuyên ngành toán học mới đang được phát triển và ứng

dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, góp công lớn vào hai thành tựu nổi bật

trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat

(Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999).

Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic

đã được xây dựng, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất

của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic.

Vì lí do đó, chúng tôi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng

dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết toán học mới đang phát triển.

2. Lịch sử vấn đề

Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ

Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và

ngay sau đó lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác

giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt.

Giả thuyết abc và bài toán Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại

và hiện vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới tìm tòi hướng giải quyết trong

tập hợp các số nguyên. Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên

trong tập hợp các số nguyên là đã góp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng

của Fermat một cách đầy đủ và toàn diện.

Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lí thuyết

Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài toán

Waring cho các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic.

3. Mục đích nghiên cứu

2

Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả

thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài toán Waring trong

trường các hàm p-adic.

4. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là

căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn

đề được đặt ra.

5. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng

minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic

và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau :

Chương 1. Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic

Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm

: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic

p(cid:0) và vành các số nguyên p-adic

, xây dựng trường các số phức p-adic

p(cid:0)

p(cid:0) . Hầu hết nội dung các phần chứng

minh định lí trong chương này được bỏ qua. Các nội dung chứng minh chi tiết đều

được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối sách.

3

Chương 2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic

Chương này trình bày các hàm đặc trưng và hai định lí cơ bản của lí thuyết

Nevanlinna p-adic. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp các định lí mở rộng trong lí

thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng trong chương cuối cùng của luận văn.

Chương 3. Những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic

Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch

sử phát triển cũng như các kết quả nghiên cứu đã đạt được đối với giả thuyết abc và

bài toán Waring trong tập hợp các số nguyên, bên cạnh đó ứng dụng lí thuyết

Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và bài

toán Waring trong trường các hàm p-adic.

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các

chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic

, vành các

p(cid:0)

số nguyên p-adic

, xây dựng trường các số phức p-adic

p(cid:0)

p(cid:0) . Hầu hết các chứng

minh trong chương này được bỏ qua và có thể tìm thấy trong những tài liệu tham

khảo.

1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean

1.1.1. Chuẩn trên trường

Định nghĩa 1.1. Cho F là một trường, ánh xạ

: F  (cid:0) được gọi là

chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thoả các điều kiện sau :

x F x

,

x

0

0

i)

 

 và 0

   ; x

,

x

.

y

;

ii)



x y F xy , 



,

y

x

y

.

iii)



x y F x , 







Nếu trường F là một trong các trường (cid:0) , (cid:0) , (cid:0) thì hàm giá trị tuyệt đối

thông thường là chuẩn trên F .

được định nghĩa như sau :

Định nghĩa 1.2. Với trường F bất kì, hàm

: F  (cid:0)

x 

là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường.

Chuẩn

trên F có các tính chất cơ bản như sau :

x 0  neáu x x 0 0  neáu 1    

;

i)

ii) 1

x F , x   x  

1 với 1 là đơn vị của F ;

1 

x F x

,

0,

x

.

iii)

 





1 x

Định lí 1.3. Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm

thường.

Định nghĩa 1.4. Cho F là trường và

là chuẩn trên F . Khi đó

y

x







:d F F  (cid:0)  x y ,

 d x y ,





.

là một mêtric trên F và được gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn

1.1.2. Chuẩn tương đương

,

là hai chuẩn trên F.

Định nghĩa 1.5. Cho F là một trường và

1

2

Chuẩn

tương đương với chuẩn

(kí hiệu

) nếu tôpô cảm sinh

1

2

1 (cid:0)

2

và

trùng nhau.

bởi

1

2

Định lí 1.6. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho F là một trường và

,

là hai chuẩn trên F. Các phát biểu dưới đây là tương đương.

1

2

~

;

i)

1

2

x F x

,

1

ii)

 

   1 ; x

2

1

x F x

,

1

iii)

 

   1 ; x

2

1

x

x

, x F ;

iv) Tồn tại c  sao cho

(cid:0)

c 1

2

là dãy Cauchy đối với

là dãy Cauchy đối với

.

v)  nx

1   nx

2

1.1.3. Chuẩn phi Archimedean

Định nghĩa 1.7. Chuẩn

trên trường F được gọi là chuẩn phi

Archimedean nếu thoả điều kiện sau :

iii’)

.





Một chuẩn không phải phi Archimedean được gọi là chuẩn Archimedean.

, y max x , y  x y F x ,   

Ví dụ 1.8. Xây dựng một chuẩn phi Archimedean trên trường (cid:0) . Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng

(cid:0)

với 



1 m p m 1 m p  ,  (cid:0) . Khi đó  được gọi là số mũ của p trong m, 1,

kí hiệu

 .

(

)

Với

ord )mp (

*,

, ta định nghĩa

=

–

.

ord r ( ) p

ord m p

ord n ( ) p

r r   (cid:0) m n

Nếu biểu diễn

với

thì

 . p



,

p

ord

(0)

 

Quy ước :

.

p

Ta có các tính chất sau :

(

)

i)

;





ord rs p

ord r ( ) p

ord s ( ) p

) min

r ( ) 1  ord r  . ( ) ) 1 (  , n p , 1 m p , 1 (cid:0) m 1 n 1

ii)

p

   (cid:0) .

 ord r ord s , p

 

Với 01 

 cố định, ta xây dựng chuẩn

trên (cid:0) như sau :

p

(cid:0)

: p (cid:0)

0

0



x

x



p

x khi ord x p

0.



x khi

    

như trên là một chuẩn phi Archimedean trên

Chuẩn

. (cid:0)

p

s r s ,   ord r ( p

Định lí 1.9. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean)

là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương

Cho F là một trường và

đương :

i)

là chuẩn phi-Archimedean ;

ii) 2

1 ;

n

1,

iii)

   (cid:0) ; n

A

n

,

n

A

) .

0 :    



iv) Tập các số tự nhiên (cid:0) bị chặn (

(cid:0)

.

Nhận xét 1.10. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Archimedean

i)

x

y

max

x

,

.





y



 y nếu x

ii) Mọi tam giác đều là tam giác cân.

iii) Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn.

B a r ( , )

x F x a /

- vừa đóng vừa mở.

r

iv)





p

- vừa đóng vừa mở.

v)

p

     

 

B a r ( , ) x F x a / r  

Định lí 1.11. (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường

( p nguyên tố) hoặc tương đương

số hữu tỉ

hoặc tương đương với chuẩn

(cid:0)

p

với giá trị tuyệt đối thông thường

trên (cid:0) .

1.2. Trường các số p-adic

p(cid:0) và vành

p(cid:0)

1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic

p(cid:0) và vành

p(cid:0)

và giá trị tuyệt đối phi Archimedean

Theo định lí Ostrowsky, trên (cid:0) chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường p . Mặt khác, làm đầy đủ (cid:0) theo giá trị tuyệt

theo

ta

đối thông thường, ta nhận được trường các số thực (cid:0) , làm đầy đủ

(cid:0)

p

được trường các số p-adic

(tương tự p-adic của trường số thực

). Ta sẽ mô tả

p(cid:0)

(cid:0)

chi tiết hơn về cách xây dựng

p(cid:0) trong mục này.

. Trên S ta xác định một quan hệ

Kí hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỉ theo

p

tương đương như sau :

y

y





 . 0



   x n

n

x n

(cid:0)

n p

lim n 

Ta gọi

là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên :

p(cid:0)

S

S

.







p

(cid:0)

     x x n n





Trang bị cho

hai phép toán cộng và nhân như sau :

y

y

y



;

n

x n

n

n

. x y n

p(cid:0)    x  n

  



   . x n

  

 n .

(

) ,.

Rõ ràng

là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic

, p 

(cid:0)

p(cid:0) .

Chuẩn

p(cid:0) như sau :

trong (cid:0) được mở rộng trong

p

thì

.

x



p

x  (cid:0) ( nx

Với  n

là dãy Cauchy trong (cid:0) ), x =  nx

p

p

x lim n n 

Rõ ràng

là chuẩn phi-Archimedean.

p

m

có biểu diễn p-adic là :

Một phần tử x trong

với

x

p

p(cid:0)

p

m

n



1 m  

x

p

p





...  



...  

 ...

m

b p n

b 0

b p 1

b 

b 1 m  

.

với

m

p

,

0,









 0,

 1

m

b i

b 

(cid:0)

x

cùng với phép toán cộng và phép toán nhân

Tập hợp



p

p

(cid:0)

(cid:0)

p

 x  

1

trong

lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic.

p(cid:0)

1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành

p(cid:0) ,

p(cid:0)

Định lí 1.12. (Các tính chất cơ bản của vành

p(cid:0) ,

p(cid:0) )

m

p

i)

là vành chính, mọi ideal của

.



(m

)

p

p(cid:0)

p(cid:0) có dạng là

(cid:0)

(cid:0)

.

ii)

p(cid:0) là tập compact đối với chuẩn

p

iii)

p(cid:0) là tập compact địa phương.

1.3. Trường các số phức p-adic

p(cid:0)

Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên (cid:0) chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối

. Làm đầy đủ

theo chuẩn

thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean

(cid:0)

p

thông thường, ta được trường

(cid:0) . Trường số thực (cid:0) không đóng đại số, bao đóng

đại số của

là trường số phức

, ta được trường các số

(cid:0)

(cid:0) . Làm đầy đủ (cid:0) theo

p

p-adic

. Trường

đầy đủ nhưng không đóng đại số. Ta kí hiệu bao đóng đại

p(cid:0)

p(cid:0)

số của trường

. Chuẩn trên

được xây dựng như sau :

p(cid:0) là

p(cid:0)

p(cid:0)

thì

Với

 là phần tử đại số trên

p (cid:0)

p(cid:0) . Do đó tồn tại một đa thức

n

1 

x

nx

(

)

, x) =

...  



Irr(,

a i

a x 1

a 0

a  1 n

p(cid:0)

p(cid:0)

bất khả quy nhận  làm nghiệm.

:

x

.

trên

như sau :

Ta định nghĩa

p

a n 0

p(cid:0)

(cid:0)x  

p

p

p

là một chuẩn trên

và

trên

p(cid:0)

p(cid:0) .

p 

p

p

Trường

đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn

vừa xây dựng.

p(cid:0)

p

theo

thì sẽ nhận được trường các số phức p-

Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ

p(cid:0)

p

adic, được kí hiệu là



p

p 

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) .

Trường số phức p-adic

có các tính chất cơ bản sau :

p(cid:0)

p(cid:0) đóng đại số, đầy đủ

và có vai trò tương tự như trường số phức (cid:0) trong giải tích phức.

Chương 2

HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ

bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục

vụ cho chương 3.

2.1. Các hàm đặc trưng

2.1.1. Chuẩn trên trường



f z ( )

là vành các chuỗi luỹ thừa

Kí hiệu





p

n a z a n n

p

(cid:0)

(cid:0)

   z 

  



0

n



    

    

hình thức.



n

n

0

f z ( )

,

a

r

0

Với

, đặt

.

r 







 

A r

p

n a z a n

n

p

(cid:0)

(cid:0)





n p



n

0



    

    

.

Nhận xét 2.1.

là vành con của vành

p

A (cid:0) ) (r p

(cid:0)

  z 

 



n

)

f z ( )

(

thì

f hội tụ và

f là hàm giải tích

Với



A r

p(cid:0)

 a z n

n

0



r

z

z

r

0,

p-adic trên

.











D r

p

p

(cid:0)

(cid:0)

p

 



)

f

0

Với

và

f  , ta đặt

A

(r

p

(cid:0)

n

r f ( ,

r

.





a n p

) max n  (cid:0)

Định lí 2.2.

, nghĩa là

,.r là chuẩn phi Archimedean trên vành A



(r

p(cid:0) )

i)

f  ; 0

,r f

0

 khi và chỉ khi

 



r f g , .

r f ,

r g ,

;

ii)



 



 



 . 



.

iii) (r, f + g) 



 

  

 

max r f , , r g ,

Cho D là tập mở trong

là tập các hàm giải tích trên D,

DH 

p(cid:0) , kí hiệu

.

M D là trường các thương của



DH 

Định nghĩa 2.3. Hàm f thuộc

M D được gọi là hàm phân hình trên D .



Kí hiệu

.





p

p



(cid:0)

(cid:0)





  

  

)

M h ) , , 0 g h A  (  g h

sao cho

.

Với

(

0 

  ), tồn tại

)p

p

f M  (

g h A , ( 

(cid:0)

(cid:0)

Ta đặt

, r f

f  g h

( 0 r   ).

 



( , ) r g r h ( , )

 



Nhận xét 2.4.

.

r

,

1 f

1 r f ( ,

)



Ta cũng có một định lí tương tự như định lí 2.2. như sau :

0

       

Định lí 2.5. Với

r  , hàm (r,.) là chuẩn phi Archimedean trên

, nghĩa là

 M  (cid:0)

p

,r f

0

i)

f  ; 0

 



r f,

;

ii)



 



 



 



r f f , 1 2

r f , 1

2

f

max

,

r f ,





iii)

.

 





 

r f , 1

2

r f , 1

2

  

 

f

0

 khi và chỉ khi

Định lí 2.6. (Định lí Weierstrass) Cho

với

. Tồn tại

r 

A r

p

(cid:0)



  0 

v





...  

cấp

và một chuỗi luỹ

đa thức

v



  g z

 v r f ,



  p z

b z v

b 0

b z 1

 (cid:0)



n

thừa

với hệ số trong

p(cid:0) , thoả mãn :

n

1 

h c z n    1

i)

;

  z

    g z h z

v

f 

;

ii)

 



;

iii)

r g ,  b r v

p

(cid:0)





h A r

iv)

r h ,

1

    ; 1



v)

.

 



 



r f , g r f ,  

và f chỉ có v nghiệm trong

Đặc biệt,

không có nghiệm trong



0, r

p

.



0, r

p

h (cid:0)

(cid:0)

2.1.2. Các hàm đặc trưng



n

m

Cho

(0

và



a m

p

a  (cid:0) . Ta p

n m 

định nghĩa các đại lượng sau

f

( ) f z ) , 0, 0)      ( A (cid:0)  a z n

(cid:31)

a trên

f

a

r ;



0,

p

, 1   n r    là số các nghiệm (tính cả nghiệm bội) của 

f

(cid:0)

.

(cid:31)

a trên



0, r

p

f

a

, (cid:0) 1   n r    là số các nghiệm phân biệt của 

Với

r 0

0  , ta định nghĩa các đại lượng sau

r

a

dt

;

(cid:31)



f t

a

f

 0

, 1   n t      ,  1   N r     

r

a

dt

.

(cid:31)



f t

a

f

 0

f

(

)

Cho

,

a 

, 1   n t      ,  1   N r     

, 0 r  

   

)p và

0

f 1,

A r

p

p

f M  (

(cid:0)

(cid:0)

  , tồn tại (cid:0)

không có nhân tử chung trong vành

sao cho

. Với hàm f như

p

0

trên, ta định nghĩa các đại lượng sau

) f  ( A (cid:0) r f 1 f

,



 

a khi

 n r f ,



1 f

0

 n r  

  

,

(cid:31)

;

f

a

1 

 n r  

  

,

 

a khi

1 af 

0

f 1

 n r  

  

       

,

,



 

a khi

 N r f



1 f

0

  

,

;

(cid:31)

a

f

1 

 N r  

  

,

 

a khi

af

1 

f 1

0

 N r  

 N r     

       



,

log

r f ,

r f ,

;

(cid:31)





 m r f



 



 

 max 0,log

 

,

,

,

.

(cid:31)





 T r f



 m r f



 N r f



Các hàm n và N cũng được định nghĩa tương tự như trường hợp trên.

)

1, 2,...,

i

k

Định lí 2.7. Cho



, với 0 r  

  , ta có





p

f M  ( i

(cid:0)

k

k

k

k

,

,

,

,

,

;

i)

 N r f



 N r f



i

i

i

i

i

i

i

1 

1 

1 

i

1 

 N r   

   f    

 N r   

  f    

k

k

k

,

,

,

,

f

ii)

,

;



 m r f



 m r f



i

i

i

i



max i k 1  

i

i

1 

1 

i

1 

 m r   

   

 m r   

  f    

k

k

k

k

,

,

,

,

là

iii)

,

và

 ,T r f



 T r f



 T r f



i

i

i

i

i

i

i

1 

1 

1 

i

1 

 T r   

   f    

 T r   

  f    

một hàm tăng theo

. r

k

j

Ví dụ 2.8. Cho đa thức

. Ta sẽ tìm

,T r A .







  A z

0

j

ka 

z  a

0

j



1 k

1 k j 

a

1

j

,

Đặt

.



 r A



max 0 j k  

a k

a k

  

  

p

   

          

      

r

Nếu

, ta được



 r A



k

j

0

r

a

r

k



j  





a k

j

p

p

và do đó

k

r A ,

r



 . 1

 



a k p

,

,

log

log

r A ,

k

r

Suy ra :

.







 T r A m r A 







 



a log k

,

1, 2,...,

0

j

k

Cho

,



 . Với đa thức

 A z được xác

f a M j

a vaø k

p





định như trong ví dụ 2.8., ta định nghĩa :

k

j

.



  A f z

  a z f

j

   A z f z ,



(cid:0)

 

0

j





Định lí 2.9. Nếu

khác hàm hằng thì ta có :

f M



p

k

(cid:0)

i)

;





 kN r f



j

 N r a





j

0

j



k

, , , , N r A f O     1 a  N r                       

ii)

;





 km r f



j

 m r a





0

j



k

, , , , m r A f O    1 a k  m r              

iii)

.





 kT r f



j

 T r a





j

0



T r A f , , O ,           

2.1.3. Công thức Jensen

Cho

và



p

f 0 )      , ta có công thức Jensen như sau : r 0 A ( (cid:0)

.

 





   0

, log log , , r f f   1 f  N r     

Cho

và



p

trường hợp này, ta có :

0 )      , áp dụng công thức Jensen trong r 0 f M ( (cid:0)

 N r f



 





   0

và có thể biểu diễn lại như sau :

, , log log , , r f f    1 f  N r     

 T r f





   0

với lưu ý rằng :





log

r f ,

log

r f ,

log

,

,

.







 



 



 m r f



1 r f ,

1 f



 

 m r   

  

, , log , f   1 f  T r     

2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic

2.2.1. Định lí cơ bản thứ nhất

với

Định lí 2.10. Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên

  0, p 

0 

  . Khi đó, với mọi

(cid:0)

a  (cid:0) , ta có : p

khi r  .

 T r f



1 

, , , O    f a f a 1  1   m r       N r     

Chứng minh

Áp dụng công thức Jensen, ta có :

,

,

,





f

a

f

f

a

1 

1 

1 

 m r  

  

 N r  

 T r   a

log

,

f

a









  a   , T r f



  1



      0

Mặt khác :

T r f ( ,

a

)





,

,

,







T r a ( , )  m r a



,

log

r a ,





  

 N r a 



,

log

a





T r f ( ,  T r f  T r f  T r f

)    

  2

p

Chứng minh tương tự, ta cũng có :

T r f ( ,

)

T r f ( ,

a

)

log

a







  3

p



Từ (1), (2) và (3), ta có được điều phải chứng minh.

2.2.2. Định lí cơ bản thứ hai

Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết

Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :



n

f

Bổ đề 2.11. Cho chuỗi luỹ thừa

có bán kính hội





  z

a z n

p

   z 

 



n

0



tụ

0 và phần tử

p

z  (cid:0) .



n

1 



f

f

f

tồn tại và

(*).

Nếu

  z hội tụ thì

  z

  z

na z n

 

n

1 

f

bằng với bán kính hội tụ của f và thoả

Mặt khác bán kính hội tụ của

  z

,r f

r f ,

với mọi 0 r   .

 

  



1  r

(cid:0)

Chứng minh



n

1 

Đặt

. Theo định lí Ostrowsky, định lí về các điều kiện

  g z

na z n

 

n

1 

tương đương của chuẩn và định lí về các điều kiện tương đương của chuẩn phi-

Archimedean, ta có :

p

p

1 n

1 1 n 

1 n

n

1

.









a n

a n n

p

p

p

lim n 

lim sup n 

lim sup n 

Do đó,

g

có cùng bán kính hội tụ với

f .

n

n

f

0

Vì

 .

  z hội tụ nên

na z

0

g z hội tụ.

Nếu

thì hiển nhiên

z 

 

0

z 

Nếu

, lưu ý rằng

n



n

n

n

1 

1 

0





 .

na z n

a z n

a z n

p

p

p

1 z

p

g z hội tụ.

Qua đó cũng suy ra được

 

f

Trong trường hợp

, ta chọn R  .

  z hội tụ trên

  0, p 

, : n 1 n          (cid:0) (cid:0) 1 n 1 n

(cid:0)

f

Trong trường hợp

, ta chọn R sao cho

  z hội tụ trên

  0, p 

z



 .

R 

p

0

z 

Nếu

, ta có thể giả sử

h

z



 . R

p

p

h

0

Nếu

, ta có thể giả sử

R .

z 

p

f

max

z

,

h

hội tụ thoả :

Như vậy, ta luôn có

z h

z h 



 và R





p

p

p





n



f z ( )

(



j

n j 

1 

h

.



a z n



f z h )  h

n     j  

n

j

1 

1 

j

n

n j 

1 

1 

h

R

0





Vì R  nên ta có

a z n

a n p

n     j  

p

Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều theo h .

Qua đó, ta có thể lấy giới hạn theo từng hạng tử và thu được



f



  f z



n

1 



f

.



  z

n

  a z n

lim 0 h 

 z h  h

n

1 

Cuối cùng, nếu 0 r   thì

n

n

1 

r

r

r f ,

r f ,

. 





 

  

 



na n

a n

p

p

max n

max n

1 r

1 r

(cid:0)

, tồn tại

. Khi đó

Với

, 0

0

p



p





0

0 f f  sao cho  f f 1, f M A (cid:0) (cid:0) f 1 f

f  được xác định theo công thức sau :

.

r f ,

như sau :

Với 0 r   , ta xây dựng đại lượng





RamN

 f f 1 0 f 0 1 f    f 2 f 0

.





 N r f



 N r f



RamN

 2 , , , , r f     N r    1  f 

Định lí 2.12. (Định lí cơ bản thứ hai)

Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên

và đặt

, …,

là

  0, p 

1a

qa

các số khác nhau trong

p(cid:0) .

Đặt

A

(cid:0)

và

.



a i p

 max 1,



j p

a    a i







i

Khi đó, với 0 r   , ta có :

q

,

,

log

,

q

N

, r f











r S 



 1

 T r f



 N r f







Ram

f



f

a

1 

j

j

1 

 N r   

   

q

,

,

log







r S 

 N r f



f



f

a

1 

j

j

1 

 N r   

   

q



S

log

,

f

a

log

,

f

q

trong đó

.













 1 log



f

j

   0

   0





A 

j

1 

min 1, j i

Chứng minh

Lấy

với

'r 

 . 

0

r  (cid:0) '

p p

nên tồn tại

Vì f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên

  0, p 

f

.

không có nhân tử chung sao cho

f



0

,  f 1

A '(r

)(cid:0) p

f 1 f

0

1, 2,...,

,

. Khi đó ta được :

f





iq





F i

a f i

Đặt 0 F

0

f 1

0

f

z ( )

và



0

F z ( ) 0

p

p

max

,







f z ( ) 1

F z ( ) i

a F z ( ) 0 i

a i

p

p

p

p

p



 .max

A

,

.



F z ( ) i

F z ( ) 0

p

p

F z ( ) i 

F z ( ) 0 

f

A

,

Suy ra

.



k 

  z



0,1

 1

k

  F z 0

  F z i

p

p

p





max i

Kí hiệu

f

,

f







 W W f 



0

f 1

 f 0 1

 f f 1 0

f

0  0

f 1  f 1

là định thức Wronskian của 0f và 1f .

Khi đó ta có :

,

(

 ) .

f

(

).

.













 W W F F i

0

i

f 1

a f i

0

0

f 1

a f i

0

f W  0

z

0,

r

0,

thích hợp sao cho

Chọn







 '



p

p

0 

(cid:0)

0,1,...,

i

q



( )

.

 W z ,

  z và

iF z  với 0

1f

z ( )

j

Khi đó tồn tại

sao cho

.





 1, 2,...,

 q

F z ( ) j

F i

p

p

min 1 i q  

Mặt khác, ta có :

a

f







  z

  z

  z

a i

j

0

a f i

0

a f j

0

p

p

p













f z ( ) 1

F z ( ) i

f z ( ) 1

F z ( ) j

F z ( ) i

F z ( ) j

p

p

(cid:0) (cid:0)



  F z i

  F z j

p

f

i

.







j

  z

  z





0

F i

p

p

1 

a



j

a i p

l

1, 2,...,

q

phân



 1

Do đó ta có thể lấy các chỉ số 1 , …,

j   l

1q  với

biệt sao cho :

0 max

f

,







...  

  .

 2

  z

  z

0

  F z j

  F z  1

F  q

1 

p

p

p





p

Từ (1) và (2), ta có :

f

f

max

,







  z

  z

  z

k

0

  F z j

F

l

p

p

p

p





A 

A 

0,1

l

1, 2,...,

q

1

với

và

.

k 





Suy ra

0,...,

q

,  l

 1

f





  f z

  z

k

  F z l

p

p

p

max k

A 

f

f

:

với







0

f 1,

(cid:0) p

2 (cid:0) . p

Do

nên :

jW W

F z 0( )....

F z ( ) q

p

log



W z ( )

p

log

...

log

log

log

W









  z

  z

  F z 0

  F z j

  F z  1

F   1 q

p

p

p

p

W z ( )

log

z ( )

log

=



F z F ( )...  1

  1 q

p

p ( ). ( ) F z F z

j

0

p

=

  z

  F z  1

p

log ... log  D z ( ) j F   1 q

j p

.

với

j

j

j

p

p

Suy ra :

W F  j D    F  F 0 F 0 F F 0

  F z 0

p

.

  z

  D z j

  F z  1

p

  F z q   W z

p

Dẫn đến :

log

log

(

q

1) log



...  





... log ... log log   F   1 q

  z



 1 log

  z

  F z  1

F  q

1 

p

p

A 

log

z ( )

(

q

1) log

=





F z F ( )...  1

 q

1 

p

A 

F z ( ) q

F z 0( )....

p

log

log

(

1) log

q

.









 3

( ) D z j

( ) W z

A 

p

Hơn nữa, đặt

. Theo bổ đề 2.11., ta có :

r

z

p

p

p

max

,

.





  D z j

1 r

   F z 0   F z 0

   F z j   F z j

p

p

    

    

Suy ra

log

log

r

.

 

  jD z

Mặt khác, theo công thức Jensen, ta có :

log

log

log

r f ,





 



 



  F z 0

r F , 0

0

p

f

,

log

,







   0

0

1 f

f

,

log

,

,

   



 N r    N r f

0 



   0

0

log

log

r W ,

log

r f ,







  W z

 



 



 f 0 1

 f f 1 0

p

,

log

,

W







   0

1 W

 N r  

  



,

log

,

2log

,

f

f









   0

   0

0 ,

1 W

 N r  

  

q f 

log

log

log







 



 



  F z i

r F , i

r f , 1

a f i

0

p

,

log

,

f

log

,

f











a i

   0

   0

0

f

1 

a i

 N r  

  

i

1, 2,...,

q

với

,



log

r f ,

r f ,

,log



 

 



0

r f , 1

 max log

 

 



log

r f ,





 



0

   

 

r f , 0 r f , 1

    

r f ,

log

r f ,





 

 

0

  max 0,log     max 0,log

 

,

log

,

.







 r f

0

.

Suy ra :

r f ,

,

log

r f ,

log





 m r f



 

0

 m r f 

 

Ta có :

,

log

log

,

, r f

f





 



0

   0

0

1 f

0

 N r  

  

N r f ( ,

)

r f

)

,

log

,

f









log ( , 

 m r f



 



 0

0

N r f

,

,

log

r f ,

log

,

f







 



 m r f





   0

0

 



T r f

,

log

r f ,

log

,

f

.





 





2.1



   0

0

 



log

,

log

,

f

.

Suy ra :





  f z

 T r f





   0

0

p

Bên cạnh đó, ta có :



f

f

W f 





 f 0 1

 f f 1 0

2 0



,

2

,









 n r f ,



 n r f ,



1 W

 n r  

  

 n r  

 1  f 

N

r

f

.









Ram

 N r  

  

Từ (3) và các điều trên ta có :

, , 1 W

q

q

N











r S 



 1

 T r f



 N r f



  4

Ram

f



f

a

j

j

1 

 N r   

   

và

q

q

, , ( , r f ) log , 1 









 , n r f



 , n r f







f

a

f

a

 n r  

  

j

j

j

j

1 

1 

 n r   

   

 n r   

   

Như vậy, kết hợp lại, ta được :

q

N

, , , . 1 W 1  1 







r S 

 N r f







Ram

f



f

a

j

j

1 

 N r   

   

q

, , , r f log 1 

.







r S 

f



f

a

j

j

1 

Lưu ý rằng tập các giá trị của

r

thoả (4) là một tập dầy đặc trong



 0, r  .

Như vậy, do tính liên tục của các hàm trong bất đẳng thức, (4) sẽ đúng với mọi

r

r

được chọn tuỳ ý nên định lí được chứng minh.

   . Vì r

 0

( , N r f ) ( , N r ) log 1 

2.3. Nhận xét và một số định lí mở rộng

2.3.1. Nhận xét

Nhận xét 2.13. Kí hiệu

q

q

a







a 1

q





f

a

f

a

j

j

 n r  

  

 n r  

  

j

j

1 

1 

 n r   

   

 n r   

   

và đặt

, ; ,..., , , , 1  f 1  f 1  1 

a q

a 1

r

 n t  

  

d

t .



a q

a 1



t

 0

 N r  

  

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau :

a

, ; ,..., 1  f , ; ,..., 1  f





q

a 1

 n r  

  

 n r  

  

và bất đẳng thức trong định lí cơ bản thứ hai có thể được viết lại như sau :

0 , ; ,..., , 1  f 1  f

q

q









 1

 T r f



 N r f





f

a

j

j

1 

 N r   

   

, , , 1 





r S 

a 1

a q

f

 N r  

  

Thật vậy :

q

q

T r f

N

, ; ,..., log . 1  f











r S 

Ram

f



f

a

j

j

1 

q

N r f

( 1) ( , ) ( , N r f ) ( , N r ) ( , r f ) log 1 













r S 

f



f

a

j

j

1 

q

a

( , N r f ) ( , N r ) 2 ( , ) ( , N r f ') ( , N r ) log 1 f ' 1 











r S 

a 1

q

f



f

a

j

j

1 

q

a

( , N r f ') ( , N r f ) ( , N r ) ( , N r ; ,..., ) log 1 f ' 1 

.









r S 

a 1

q

f



f

a

j

j

1 

( , N r f ) ( , N r ) ( , N r ; ,..., ) log 1 f ' 1 

2.3.2. Một số định lí bổ sung

Định lí 2.14. Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên

. Với

Mở rộng bổ đề 2.11. với các đạo hàm bậc cao, ta được kết quả như sau :   0, p 

mọi số nguyên dương k , ta có :

k





f

.

r

,



f

1 k r

    

   

Đặc biệt, ta có :





.

,

k g lo



 kf f

1 r

 m r   

   

f

Với

, áp dụng bổ đề 2.11., ta được

A

(cid:0)

(cid:0)

Chứng minh 

p



,

,

r





f f

1 r

 , r f   r f , 

  

   

  

 0f

dẫn đến (quy ước

f ) :

k

k

  k

  i

  i

.

i

i

 1 

 1 





i

i

1 

1 

Với

f

M

p





(cid:0)  , ta có :

g   h

f r , r , r ,    f  f  f 1 k r f f                           

  hg r r r , , ,    f f  gh h . q  g g  2 h                     h  h 

.

k





f

.



Lập luận tương tự như trên, ta nhận được :

r

,



f

1 k r

    

   

max r , , r ,    g g  h h 1 r                    

s r f , f

Định lí 2.15. Cho

và đặt

. Khi đó ta có :

  0

p

 







 f A r (cid:0)

.

  0 ,





p

p





f 0, r f s  (cid:0) (cid:0)    

Dễ thấy,

. Ngược lại, lấy

 0 ,

  0 ,





p

p

p

b f  f 0, r f  (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Chứng minh 



 s và    s 

đặt hàm

  g z

  f z

b   . Định lí 2.15. trở nên tầm thường khi s  . 0

Giả sử

 v r g ,



  0

 v r f ,



f

b

s

r f ,

f

.

  



  0

  0

 



0 f s  , khi đó ta có    vì 1

Theo định lí 2.6.,

g

nhận ít nhất một nghiệm trong

và do đó

0,



p

r (cid:0)

.







p

 f  (cid:0)



b 0, r

f k

Định lí 2.16. Với

có

nghiệm trong

r

với

(tính

0,



p

p





(cid:0)

1k  A r (cid:0)

. Khi đó f

nghiệm trong

cả nghiệm bội) và





p



 f (cid:0)

b 0, r k b cũng có

(tính cả nghiệm bội).

0,



p

r (cid:0)

Chứng minh



n

Ta có

và do đó

k



 v r f ,



  z

0

n



n

k

n

k

f a n   z , áp dụng định lí 2.6., ta có

,

.









p

p

p

p

Theo giả thiết và áp dụng định lí 2.15., ta được

n

k

n n k k r r r r   a n a k a n a k

p

p

p

suy ra

b r r    a n a k a 0 sup n 1 

.

 v r f ,



 v r f ,





Áp dụng định lí 2.6., ta được điều phải chứng minh.

b  k  

f

Hệ quả 2.17. Xét hàm

  không bị chặn. Với mỗi

0 







p

, ta có :

p

A (cid:0)

b  (cid:0)

, , O r

(khi

 ).

  1

  b f 1 f 1   N r       N r     

Chứng minh

Lưu ý rằng f và f

b có ít nhất một nghiệm vì f

b cũng là hàm không

0,

r

và

bị chặn. Vậy tồn tại r   sao cho f có ít nhất một nghiệm trong





p

(cid:0)

. Theo định lí 2.16., ta có :





p



 f (cid:0)

b 0, r

.





r

Vì vậy, khi

thì :

r

, r  r b f 1 f 1   n r       n r,     

r





r

,  n t    1  b  ,  , dt   b f b f f t 1  1      N r       N r  

r





r

, 1 f  n t       , dt   f b t 1 



và qua đó ta chứng minh được hệ quả trên.

Với f là hàm nguyên khác hàm hằng trên

p(cid:0) , ta có :

 ,  , , ,    f b 1 f 1 f 1         N r    N r    N r       N r     

khi

.

 





   0

, log r f , log , f     r   1 f  N r     

r

đủ lớn, dẫn đến

Do đó

 r f



,

,

log

.





 T r f



 m r f



 r f,



Suy ra

, 1  khi

 T r f



1 . 

Hệ quả 2.17. dẫn đến : với mọi

a  (cid:0) thì p

, , O   1 f  N r     



2.2

 T r f

1 . 



, O ,   a f 1   N r  

Áp dụng 

   2.1 và công thức Jensen ta có đẳng thức sau

 T r f



 N r f N r



  1

đúng với mọi hàm phân hình f khác hàm hằng trên

p(cid:0) . Như vậy, ta chứng

minh được đẳng thức dưới đây :

, max , , , O   1 f            



2.3

 T r f



  1

, max , , , O   f a b f 1  1   N r       N r           

đ

úng với bất kì hai phần tử khác nhau

.

   

p

a b  , (cid:0)

Chương 3

NHỮNG ỨNG DỤNG

CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC

Sau khi tìm hiểu hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chúng ta

sẽ nghiên cứu về các ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic đối với giả thuyết

abc và bài toán Waring trên trường các hàm p-adic. Đây là hai vấn đề có lịch sử lâu

đời đồng thời cũng mang tính hiện đại, hiện vẫn đang được nhiều nhà toán học trên

thế giới quan tâm, đóng góp.

3.1. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna để giải quyết giả thuyết abc cho trường

hàm p-adic

3.1.1. Lịch sử vấn đề

3.1.1.1. Giới thiệu về giả thuyết abc

Giả thuyết abc được cả Oesterlé (Joseph Oesterlé) và Masser (David William

Masser) cùng phát biểu trong năm 1985. Giả thuyết của Oesterlé được phát triển

dựa trên giả thuyết của Szpiro (Lucien Szpiro) về những đường cong elliptic. Sau

đó, Masser cũng đưa ra giả thuyết tương tự dựa trên việc xem xét một trường hợp

tương tự trên trường

của giả thuyết Mason đối với các đa thức.

(cid:0)

n

Với n

có phân tích nguyên tố là

. Ta định nghĩa đại

n



e p 1 ... 1

ke p k

lượng

 (cid:0) ,   r n như sau :

r

(đặt



 ). 1

  r n

 1

p 1... k p

,

a b

c

,a b c không tầm thường thoả

và

 

Giả thuyết abc được Oesterlé đặt ra đầu tiên như sau : “Với bộ ba số nguyên dương 



nguyên tố cùng nhau, đặt

log max

,

,



,

,

.







 L L a b c



log

log

 a b c   r abc

log c  r abc



Khi đó, tập các giá trị của L bị chặn.”

Nhận xét 3.1. Trong giả thuyết abc, r là một hàm nhân và

n , với mọi

3.1.1.2. Những kết quả nghiên cứu đạt được trên tập các số nguyên   r n

n

.

L

 (cid:0) Đối với giá trị chặn trên của

, ta ghi nhận các kết quả như sau :

Giả thuyết 3.2. (Masser) Với

0 cho trước, tồn tại  (phụ thuộc ), kí hiệu

  , có tính chất sau :



“Với bộ ba số nguyên dương

, a b c

,

, nguyên tố cùng nhau đôi một thoả hệ thức

a b

c

thì :

 

max

a b c

,

,

.”

c  

  

 r abc   

1





Để thấy được tầm quan trọng của 1  trong giả thuyết 3.2., ta sẽ chỉ ra trường

c

a b c

với

,

,

thoả các điều kiện của giả thuyết

hợp không tồn tại  để

 r abc . 



a b

c

abc (nguyên dương, không tầm thường, nguyên tố cùng nhau và

).

 

n

n

23

1

n

Ví dụ 3.3. Chọn

,

với

. Áp dụng phương



na 

nb  và 1

nc 

 (cid:0)

n

n

2 2 | 3

pháp quy nạp,

ta chứng minh được

thoả

1 . Giả sử có 



23 

c n

 . r a b c  n n

n

n

n

n

2 3

2 3

2 1 .1.3

2 r .3. 3

. r 









 1





 n , khi đó ta có :   



n

n

2 3

1

2 3

1

n 2 .

.3.2.

r .3.







 n

 n

2

2

   

   

   

   

n

2 3

1



.6.

.

2  

n 

n

2 3

Cho n

, bất đẳng thức trên sẽ dẫn đến vô lí.

 

Trong ví dụ 3.3., với

, ta đặt

và kí hiệu





 ,...

L n

* L n

log

log c n  r a b c n n n

 L L  , 1 n n





* nL . Khi đó, theo giả thuyết abc, ta chứng minh được rằng

limsup  L n lim sup n 





nL  . Thật vậy, ta có :

limsup 1

1   





  r a b c n n n   r a b c n n n

  log    r a b c n n n

n

đủ lớn



 với

Cố định , đặt

 k   , ta cần có



log



k log  r a b c n n n

log







 r a b c n n n

k log 

k

.





log M e  



 r a b c n n n

,

,a b c sao cho

).

Bất đẳng thức sau cùng đúng do tính bị chặn của L theo giả thuyết abc (với 

M cố định, chỉ tồn tại hữu hạn bộ 

 bc M

 r a

Bên cạnh đó, ta cũng thấy :

n

1







,  . n

L n

n

log



c log n  r a b c n n n

n

2 log 3 2 log 3 log 3 

1  





 1 log 2





limsup

1

Từ đó suy ra



 nL  .

log        1      . L n log log log c log n  r a b c n n n

Ghi chú 3.4. Trong giả thuyết 3.2.,

  là một hàm nghịch biến theo .



Phát triển trên cơ sở thừa nhận giả thuyết 3.2., ta ghi nhận được các giả

thuyết mở rộng sau :

k

Giả thuyết 3.5. Tồn tại hằng số

sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

2

c 

c

nguyên tố cùng nhau,

và a b

  , ta có :



log

c

.



k 2  r abc 3 log log



 r abc



k

Giả thuyết 3.6. Tồn tại hằng số

sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

c

2

nguyên tố cùng nhau,

và a b

c 

  , ta có :

3

1 3

c

log

.log

.



 . k r abc



 r abc







k

sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

Giả thuyết 3.7. Tồn tại hằng số

2

c 

c

nguyên tố cùng nhau,

và a b

  , ta có :



k

.

log

c

 .

 r abc log log log *   r abc log log

 p r abc



p

max

min

,

,

,

với

,

là các

 





 r abc





 r abc *

p p p c a b

, p p b a

 p và c



 ,16

c

,a b ,

ước số nguyên tố lớn nhất của

.

3.1.1.3. Tìm hiểu thêm về các bộ ba số abc

,

,a b c thoả các điều

Người ta dựa trên L để so sánh giữa những bộ ba số 



,

kiện của giả thuyết abc với nhau, giá trị L càng cao thì bộ ba số 

 ,a b c đó

càng tốt. Giá trị L cao nhất được tìm thấy là gần 1.63 (xem phụ lục, bảng 1).

,

,a b c được gọi là bộ ba

Định nghĩa 3.8. Trong giả thuyết abc, bộ ba số 



1.4

tốt nếu

.

L 

3

7

3,5 , 2 vẫn được công nhận là bộ ba tốt có

Giả thuyết 3.9. Tồn tại hữu hạn các bộ ba tốt. Nhận xét. Đến nay, bộ ba tốt 



c

giá trị

nhỏ nhất được tìm thấy (xem phụ lục, bảng 2).

3.1.1.4. Một số kết quả đối với tập số nguyên suy ra từ giả thuyết abc

sao cho với

Giả thuyết 3.10. (Tiệm cận bài toán Fermat) Tồn tại

N  (cid:0)

n N

, phương trình

n

n

n

x

y

z





trong đó x ,

y z ,

là các số nguyên tố cùng nhau, chỉ có nghiệm tầm thường.

Định nghĩa 3.11. (Điều kiện Wieferich) Một số nguyên tố p được gọi là

2

p

p

2

1mod

thoả mãn điều kiện Wieferich khi và chỉ khi

.

1   /

Giả thuyết 3.12. (Sự vô hạn số nguyên tố thoả mãn điều kiện Wieferich) Tồn

tại vô hạn số nguyên tố thoả mãn điều kiện Wieferich.

2

m

! 1n

,n m thoả bài toán Brocard

 

Định nghĩa 3.13. Cặp số nguyên 



được gọi là cặp Brown.

Giả thuyết 3.14. Tồn tại hữu hạn cặp Brown.

n

Định nghĩa 3.15. Với n

được gọi là số mạnh nếu với mọi số nguyên

n

2p

p là ước của n thì

 (cid:0) , cũng là ước của

.

tố

Giả thuyết 3.16. Tập hợp các bộ ba số mạnh liên tiếp là hữu hạn.

Giả thuyết 3.17. Với 01   và các số nguyên khác không , ,  cho

trước. Phương trình diophante

r

s

t

y

x

z   





 0

chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên x ,

y z ,

,

r

,

s , t thoả các điều kiện sau :

, x y

, y z

, z x

0

1

và





 , 1

r s t  , ,

xyz  ,  0











Hơn nữa, ta có các hệ thức sau :

r

s

sy

1 xyz  

    .  1 r 1 1 t s

và

t    . z

   







max ax 1 y , ,  

3.1.1.5. Một số kết quả mở rộng đối với các đa thức suy ra từ giả thuyết abc

Với đa thức

trên

, đặt

.

 p t



 p là số nghiệm phân biệt của

 p t

0n

 t(cid:0)

Thừa nhận giả thuyết Masser, ta có một số định lí sau :

Định lí 3.18. (Mason) Cho

,

và

thuộc

. Giả sử

,

 a t

 b t

 c t

 a t

 t(cid:0)

và

nguyên tố cùng nhau và

. Khi đó

b





 b t

 c t

  a t

  t

  c t

max deg

,

,

.



 . 1

 

 

  n a t b t c t . 0



       a t b t c t





Chứng minh

Ta có :

f

g

1

 , ta có :

a  , c

b c

b    . Đặt c

a c

a b c  



.

    f g f g . f . g . g . f 1     0    0     f f  g g  g g f f g    f

f f  g g



Vì

,

nên c

.

 *

a f c . b g .    a b f g b    a

là hàm phân thức có

Với

 R t

i là các nghiệm rời rạc của tử thức và mẫu

thức, kí hiệu :

với

f f  g g

  R t

 iq

i với quy

iq  (cid:0) là bậc của nghiệm

i

thuộc mẫu thức.

ước

khi 

 t  i

iq  khi  0

i t 

.

Khi đó

0iq   i thuộc tử thức và t 

   R t

i

i

   R t   R t

  R t  t  i

,

Áp dụng biểu thức trên, kí hiệu

   q i t  q i  i



  a t

  b t

 im

t  j

 in

i

 

j

kr

và

, ta có :

 t  i  

  c t



k

   t  k





i

k

.



**





j

k

j  j

Mẫu chung của cả tử thức và mẫu thức của  * là :

  t t     m i   i n b a  f f  g g t t  r k   k r k   k

  D t











  .

  .

i

j

k

.

với





 n abc 0

   deg D t



t t t      i  j  k

khi b

khi a

Nhận xét rằng deg

     0 , deg 0 và f f  g g            

khi

và

đều không đồng nhất với 0 . Từ đó suy ra

 a b deg deg 1    f f  g g            

và

.



 ***





 n abc 0

 n abc 0

 deg D . 1 deg D . 1      g g f f            

. Vì 

, a b  nên 1

Theo  * , ta có :

 . D       f f  g g b a  a D .       b D .      . D f f  g g

và do đó :







 *** ).

 n abc 0

a deg   (áp dụng  1  a D | .     g  g 

Lập luận tương tự, ta cũng có

  b



 n abc 0

deg   . 1

Vì

  c





 max deg

   b nên ta được bất đẳng thức sau :

max deg

,

,

.

1



 . 

 

 

  n a t b t c t . 0



       a t b t c t





a deg ,deg 

Định lí 3.19. (Định lí Fermat đối với đa thức) Cho

,

và

là các đa

  x t

  y t

  z t

thức nguyên tố cùng nhau trên

và trong các đa thức trên có ít nhất một đa

 t(cid:0)

thức có bậc lớn hơn 0. Khi đó :

n

n

n

  t

  t

  t

không có nghiệm với

. 3n 

x y z  

Chứng minh

deg

deg

nx

n

deg

deg

deg









 . 1

  x t

  t

  x t

  y t

  z t



















Vì vai trò của

,

,

là như nhau. Lần lượt đổi chỗ

,

,

Áp dụng định lí Mason, ta có :   x t

  y t

  z t

 x t

  y t

đối với bất đẳng thức trên và lấy tổng vế theo vế, ta được :

  z t

n

deg

deg

deg





  x t

  y t











 

deg

deg







     x t

  y t

  z t

  z t 

 









 3 deg 

 3 . 

3n 



Dễ thấy điều này vô lí với

.

Ghi chú 3.20. Định lí Fermat đối với các đa thức không đúng đối với trường

0

1

các hệ số có đặc số

. Ví dụ, ta chọn

p 

x  ,

x và

  f x

  g x

  1 h x  là

0

các đa thức có hệ số trong trường có đặc số

. Khi đó ta có :

p 

p

p

p

f

g

h

.





  x

  x

  x

3.1.1.6. Nhận xét

Như vậy, nhìn chung giả thuyết abc đối với không gian các số vẫn chưa được

chứng minh một cách tổng quát và toàn diện (chưa khẳng định được chặn trên

cũng như chặn dưới của

, chỉ mới dự báo dựa trên những bộ ba abc tìm

L

được). Hiện nay, các nhà toán học trên thế giới vẫn đang tiếp tục nghiên cứu để

tìm ra các bộ ba số tốt cũng như tìm thêm các điều kiện ràng buộc cho giả

thuyết abc đối với không gian số nhằm mục đích chứng minh được một cách

tổng quát giả thuyết này.

3.1.2. Giả thuyết abc đối với trường các hàm p-adic

3.1.2.1. Đối với trường các hàm nguyên p-adic

Định lí 3.21. Cho

  a z ,

  b z và

  c z lần lượt là các hàm nguyên p-adic

trên

không có nghiệm chung và không phải hàm hằng đồng thời thoả

p(cid:0)

. Khi đó ta có :

a b

c

 

max

,

,

,

,

,

,

log

.





r O 









  1

  T r a T r b T r c

 

1 abc

 N r  

  

Chứng minh

g

f

1

không phải hàm hằng và thoả

(theo

Với

g 

f

g

 thì f và

a  , c

b c

giả thiết). Áp dụng định lí cơ bản thứ hai (định lí 2.12.) và lưu ý rằng

,

,

,





f

1 g

1 b

1

1 

 N r  

  , 

 N r  

  

 N r  

  

ta được :

,

,

log

,

,







r O 



 T r f



 N r f



  1

1

f

1 f

1 

  

,

,

,

log









r O 

  1

1 a

1 b

1 c

 N r    N r  

     

 N r    N r  

  

log

,



r O 



  1 .

   1 abc

 N r    N r  

  

Tương tự, ta cũng có :

 T r g ,



  1 .

2.3 , ta có :

Theo 

2.2 và 

,

max

,

,

,

O





 T r f



 N r f N r



  1

1 f

  

  

  

  

max

,

,

,

O





  1

  

 N r  

 N r  

  

max

,

,

   O









  1 .

1   c    T r c T r a ,

1 a  

Tương tự, ta cũng có :

max

,

,

O





 T r g ,







  1 ,

  T r c T r b ,

 



và qua đó định lí được chứng minh.

log ,   r O  1 abc  N r     

3.1.2.2. Đối với trường các hàm phân hình p-adic

1,...,

Với

, ta xây dựng

j 



 k là các hàm phân hình p-adic trong

jf

  p z

(cid:0)

như sau :

định thức Wronskian của

f 1,..., k f

...

f f

f f

...

k  k

f 1  f 1

2  2

f

f

f

f

,

,...,

,

,...,

.







k

k

 W f 1

2

f 1

2



 k

 k

 k

 1 

 1 

 1 

f

f

...

 f 1

 2

 k

1,...,

Định nghĩa 3.22. Cho

là các hàm phân hình p-adic trên

jk





jf

p(cid:0) .

1,...,

khi phương

Các hàm

j 



 k được gọi là độc lập tuyến tính trên

jf

p(cid:0)

k

trình

chỉ có nghiệm tầm thường.

ia f  i



i 1

0

1,...,

Nhận xét 3.23. Các hàm phân hình p-adic

độc lập tuyến tính





jf

jk

trên

khi



 W f 1

k

p(cid:0)

,..., f  . 0 f 2,

1,...,

Định lí 3.24. Cho

là các hàm phân hình p-adic độc lập tuyến





jf

tính trên

sao cho

p(cid:0)

jk

.

 *

1 f

k

Khi đó, ta có :

k

f 1 2 ...    với k 

 , N r W



 N r f



j

i

 T r f







i

i

i

j

1 



 1

, , ,    1 f  N r     

  1



**

 k k  2

k

j

, log   r O  1 W  N r     

với 1

.

  và W là định thức Wronskian của 1,..., k f

f

Chứng minh

là độc lập tuyến tính nên định thức Wronskian

. 0/W 

Vì 1,..., k f f

Theo  * và nhận xét rằng :

f

0

...  

 với

  i f 1

  i k

f

i 1,..., k   , 1

ta được

,

trong đó

và

g là định

g

det





j

j

j g

f

  i j f

W ...

f 1

k

j

   

   

g

thức

bỏ đi dòng thứ nhất và cột thứ

j .

f

j

,1

f

Ta viết

với

,

không có nhân tử chung. Khi đó

f



,0jf

,1j

p

j

 A (cid:0)



f

,0

j

g f j 1,..., k  

O

,

, r f

,log

, r f





  1

,0

,1

j

j

j



 T r f



 

 

 max log

 

g

O

r f ,

,log

r f ,





  1

j

j

,0

,0



 

j g

   

  

  max log   

    

log

r f ,

O







  1

,0

j

 



 r g ,   

 j  r g ,

  max 0,log   

    

,

log

,





 r g



j

 N r f



r g ,

,log

r g ,

O

.





 

  1



 ***

j

 



 max log

 

Áp dụng công thức Jensen, ta được :

k

log

r g ,

log

r W ,

log

r f ,



 

 



 



 



i

 

i

1 

,

,





1 W

  N r W N r   

  

k

,

,

O

.









 ****

  1

 N r f



i



1 f

i

  

 N r  

i

1 

  

  

**** .



Khi đó,  * được suy ra từ 

** , 

*** và  



k

,

và một số nguyên dương

tuỳ ý, ta xây

Cho

f M

a 

   

p

(cid:0)

(cid:0)



p

dựng các hàm số sau :

:a

(cid:31)

 

f   

(cid:0)

(cid:0)

m

0

a

z

:

a

,



 



  h z



 h z



0

0

;

với

z

m



    f z

a  f

0

:

,

0

a

 



 h z



0

m

z



 z    h z  z 

0

     

k

khi

  z

  z

a  f

(cid:31)

;

  z

a  f k ,

.

k

k



khi

  z

a  f

a    f   

(cid:31)

;

a   f k z ,



z

r



r

, r  n k f a 1       

.

(cid:31)



 0

, t ,  n k f a f a dt t 1  1   N r  k          

Định lí 3.25. Với các điều kiện của định lí 3.24., ta có :

k

k

 1

  1

 N r f



j

k

i

1 

 T r f







 k k  2

i

i

i

1 

1 

và

k

 1

,

N

r

,

k

,

log









r O 



 1

  1

 N r f



j

k

i

1 

 T r f







1 f

 k k  2

i

  

  

i

i

j

1 



, , , log N r r O      k 1 f      

với

đúng với mọi

k

2



khi

1 2 2

3

k

3, 4,5





khi

 k

k

2

1 2 2

k

6.

khi



k  3 k   2

        

j 1,..., k 

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp

1j  (chọn cố định 1f ).

a

và

, ta xây dựng hàm

Với

f M

a 

   

p

f như sau :

(cid:0)

(cid:0)



p

0



a  f

  z

a  f

0

khi

. 0

  z   z

a  f

 1 khi    

Trước tiên, ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức dưới đây :

k

k

u







0     W W

 f i

  0   f i

i

i

2



1 

k





 *

k

1 

0  , f k i

i

  , v



i

k    f i 1 

1 

và

k

k

u

k









**



 1

1 

 f

0  , f k i

i



 w  .

i

i

2

1 



min



Lấy bất kì

, ta sẽ chứng minh

.

  u z

p

      v z w z ,

z  (cid:0)

Trước khi tiến hành chứng minh các bất đẳng thức  * và 

** , ta có một số

nhận xét về giá trị của hàm  như sau :

(cid:31)

;



  z

  z

f

  f i

i

max i

  

;

(cid:31)

j  

j

  z

    z

  z

 0  f

0  f i

i

0  f

i

(cid:31)

.

j  

j

  z

  z

   f

  f i

i

     z  f

i

i

1,...,

k

, hiển nhiên ta sẽ

TH1 : Nếu z không phải là điểm cực của



if với mọi

có được :









j

    z

  z

  z

  z

j

,

  1 z

0  f i

0  f i

0  f i

0   , f k i

0  f

i

j

k

với mọi 1

, 1

   k 1

i  

và do đó có được

k

,





  z

  z

0  W

0   , 1 f k i

 0  f i

   z



i

1 

suy ra

k

k

.











  u z

  z

  z

  z

  v z

  w z

0  W

0  f i

0   , 1 f k i





i

i

1 

1 

z

i

1,...,

k

TH2 : Giả sử

là cực của

.



if với mọi

Đặt

là định thức Wronskian của

,

, …,

iW

kf  , ta có :

1f  , …,

1if 

1if 

W

.

  

 11 i

W i

j

k

j

Vì



j  



  , 1 k

   nên ta 1

j

  z

  z

  z với 1 i

  f

  f i

  f i

i

     z  f

i

có :

k

 1







  z

  z

  z

  W

  W 1

  f i



 k k  2

i

2



k

k





  z

  z

  f

  f i

i



i

2



k  22 i 

k

k

k

1





  z

  z ,

  f

  f i

i





 2

i

i

2



1 

suy ra

k

k

k

1

min







  u z

  z

  z

  z ,

  z

  W

  f

  f

  f i

i

i







k 2

i

i

2

1 

2



 k   2  

    

.

min



i       , v z w z

2

1

Với

, hai hàm phân hình

k 

f

 chỉ có thể hoặc đều

1f và 2f thoả 1 f

2

nhận

làm cực hoặc đều không nhận

làm cực. Do đó ta chứng minh được

0z

0z

k  . 2

** với trường hợp

các bất đẳng thức 

* và 

3

Với

, ngoài hai trường hợp trên, ta cần phải xét thêm hai trường hợp

k 

sau (chọn

1f cố định) :

i

0

để

TH3 :

 và tồn tại

 . 0

z   f 1

z   if

0

Với trường hợp 3, không mất tính tổng quát, giả sử

 với

z   if

i

1,...,

l

0

.

và



 k

 với i

l

z   if

0

Khi

 , ta có :

W z  

l

l

k

1 

k









  z

  z

  z



 i  

  z

  W

1 

  W 1

  f i

0  , f k i

 0  f i

   z







i

i

i

2



1 

1 l  

l

k

k

l

l

















  z

  z

1 

  f i

0  , if k

 0  f i

   z





 1 2 2

i

i

2



1 l  

nghĩa là

k

l

k

l













  u z

  z

0   , 1 f k i



 1 2 2

i

1 l  

k

l

l

2





  z

  z

1 

  f

0  , f k i

i





k  2

i

i

2

l 1  



k

l

k

l

l













  z

  z

1 

  f

0  , f k i

i





 1 2 l 2

i

i

l 1  

1 

min



.

      v z w z ,

Ngược lại, ta có :

l

k

l

k

l



















  z

  z

  z

  z

0  W

1 

0  W 1

0  , f k i

i

 0  f i

   z





 1 2 2

i

i

2



1 l  

min



và cũng lập luận tương tự như trên, ta được

.

  u z

      v z w z ,

0

i

 và tồn tại

để

0  .

TH4 :

z   f 1

z   if

0

Với trường hợp 4, không mất tính tổng quát, giả sử rằng

 với

z   if

i

1,...,

j

0



 k

0

 với i

. Nếu

và

j

 , ta có :

W z  

z   if

k j

j

1  

k

1 

k









  z

  z

  z



 i  

  z

  W

1 

  W k

  f i

0  , f k i

 0  f i

   z







i

i

i

1 j  

1 

1 

j

k

1 

k

k

j

j  







,









  z

  z

1 

  f i

0  , if k

 0  f i

   z





 1 2

i

i

1 j  

1 

dẫn đến :

j

k

k

j

j  











  u z

  z

0   , 1 f k i



 1 2

i

1 

j

k

1 

k

j





  z

  z

1 

  f

0  , f k i

i





 2

i

i

j

1 



1 

j

k

k

j











  z

  z

1 

  f

0  , f k i

i





 k 1 j     j k 2 

i

i

1 



1 j

min

.



      v z w z ,

Ngược lại, ta cũng có :

j

k

1 

k

k

j

j  

















  z

  z

  z

  z

0  W

1 

0  W k

0  , f k i

  f i

 0  f i

   z





 1 2

i

i

1 j  

1 

min

và

(lập luận tương tự).



  u z

      v z w z ,

Sau khi đã có được hai bất đẳng thức  * và 

** , áp dụng vào định lí 3.24.,



ta suy ra được điều phải chứng minh.

 f

3.1.2.3. Một số kết quả tựa giả thuyết abc cho trường hàm

là các hàm nguyên p-adic trên

3n 

nf 

Định lí 3.26. Xét 1f ,

2f , …,

p(cid:0)

và không có nghiệm chung trong

2f , …,

1nf  độc lập tuyến

p(cid:0) . Giả sử 1f ,

tính và

f

f



...  

 . 0

n

f 1

2

Khi đó

n

n

2

n





k

3



 1

,

n

,







r O 

  1

 N r f



j

i

 

 N r f



 

max 1 j n  

 2

 2

  



i

1 

k

f

f

f

min

0

và

trong đó

soá haøm

vôùi

laø nghieäm cuûa





  

j

j

i



 naøo ñoù

.

r  

 1O bị chặn khi



Chứng minh

f

f



n

1 

và

.

Đặt





  Q z

  P z

,..., 2 ... f

f f 1 2 , f

... f n ,...,



n

2

 W f 1

 , W f 1 f f 1 2

1 

f  1 n

f

,

,...,

0



Vì 1f , …,

1nf  độc lập tuyến tính nên

 W f 1

2

1

f   . Bên cạnh đó, n

cũng theo giả thiết, ta có phương trình sau :

f

f



...  

 0

n

f 1

2

suy ra

f

f

,...,

,

,...,

với



1  



n

 . W f  1

2

1 

 W f



, f   2

1

f  n

1 

I

.

trong đó



 1, 2,...,

 n

, 1a

2 , …,

1n  là các chỉ số khác nhau trong tập

Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :

n

k

3

,

.



 , N r Q



 N r f



i

 

 2

 n  



j

1 

Thật vậy, nếu  là nghiệm của

 Q z , khi đó  sẽ là nghiệm của

if nào đó.

nf không có nghiệm chung, tồn tại

Theo giả thiết về việc các hàm 1f ,

2f , …,

0i

(

) sao cho

 n

1n  số khác nhau trong





if   . Đặt 0

1 i 0

1 ,

2 , …,

1n  là 

0

\I

.

 0 i

Ta có

...

f

f

1

.

f







  Q z

i 0

... f n ,...,

,...,

,

f f 1 2 , f

f

f    n 2 f

f





n

n

2

2

 W f 1

 W f 1

1 

1 

,

...,

 W f



1

f 1  n

Đặt

, ta được



  R z

...

f

, f   2 f f 1 2

n

...

1 

...

1  f  1 f  1

1  f  2 f  2

1  f  n f  n

1 

.



  R z



2

2

2







1 

...

  n  f  1 f  1

  n  f  2 f  2

  n  f  n f  n

1 

Định thức

 R z có số hạng tổng quát là

n

2





f

...

f

2



 *

 i 1 f

...

 i n f

i 1

2

i n



trong đó 1

1   .

 và n

, i 1

i ..., n

2



q

f

q

. Khi đó

(theo định nghĩa). Giả sử

Đặt





k

soá



 f ñeå  j

j

 soá haøm

0

l

0

hàm

trong tất cả các số hạng trong





 * , có

jf thoả

jf   . Khi đó ta có các

bất đẳng thức sau :

n

2





2



...

f

f

f

f

 i 1

2

 i n



ord

ord

ord



...  







 n  2 n  f

f

2

i n

f  2

i 1



   

   

   

   

   

3

2

n

n

l





 



1  

2

n

m

n

 q





 



1  



 ...    3

 i 1      3

3

  q

 n  ...   k

n

q

n

q

 



 



 2

 2

  

    

  

  



trong đó

là cấp của f tại .

ord



 f

Qua đó ta có :

n

2





f

...

f

k

3

2



ord

q



...

 2

 i 1 f

 i n f

 n  

  

i 1

2

i n



   

     

suy ra

k

3

1

 

   ord R z 



 

 2

 n  

  .

0

j n 1     f  

j

Từ các bất đẳng thức ở trên, ta có :

k

3

1

 



   ord Q z 



   ord R z 



 

 2

 n  

  .

0

j n 1     f  

j

Dựa vào định nghĩa của hàm đếm, ta có

n

k

3

,

.





**

 N r Q ,



j

 

 N r f



 2

 n  



j

1 

Giờ ta sẽ chứng minh rằng :

n

2

r







 1

O

.





 N r P ,



  1

 n 2

Thật vậy, ta có :

1

...

1  1 n 

1  2

...

f f

f f

n

1 

 f 1 f 1

2

.



  P z



 n

 n

 1 

 1 

f

f

 f 1

 2

...

f

   n 1  n 1  f

n

f 1

2

1 

Định thức

 P z có số hạng tổng quát là

n

2





f

...

f

2



với



1 .



 j 1 f

...

 j n f

j n

j 1

2



và số nguyên dương

Nhận xét rằng với hàm phân hình p-adic  trên

  p z

  k





k

kr

0

,

sao cho

thì





k 0/ 

 1 . Áp dụng với mỗi hạng tử trong



 N r   

   

định thức trên, ta có :

n

2

n

2









f

...

f

f

f

2

2





,

,

,



...  

 j 1 f

 j n f

f

 j n f

...

j 1

2

j 1

2

j n

j n





 N r   

 j 1   

  N r  

   

   

r

2

2



  N r    r O 

  1

n

n

2





r   

 n  1

r O 



  1 .

max

,

Nhận xét rằng

O





 N r

 ,   

 N r

 , 

 N r

  1 , khi đó ta có :

...    2 

  , 

n

2

n







 1

.



r O 



 ***

 N r P ,



  1

 2

*** , ta suy ra được :

Biến đổi từ 

** và 



n

n

2

n





k

3



 1

n

,









r O 

 N r P ,



 N r Q ,



  1 .

 N r f



i

 

 2

 2

  



i

1 

Vậy ta có :

,

N r PQ ,











 N r P ,





 N r f



n

n

n

2

n





k

3

 N r Q , 

 1

n

,

r









  .O 1

 N r f



i

 

 2

 2

  



i

1 

Lập luận tương tự đối với 1f , 2f , …,

1nf  , ta có thể kết luận được :

n

n

2

n





k

3



 1

,

n

,

.







r O 

  1

 N r f



j

i

 

 N r f



 

max j n 1  

 2

 2

  

là các hàm nguyên p-adic không có

3n 

(cid:0)

 i 1  Định lí 3.27. Cho 1f , 2f , …, nf 

nghiệm chung trong

thoả

p(cid:0)

f

f



...  

 . 0

f 1

2

n

Khi đó, các hàm

nếu với mỗi

1f , …,

1nf  độc lập tuyến tính trên

p(cid:0)

1,...,

j

n



, mọi nghiệm của

jf có bậc tối thiểu là

jd và thoả điều kiện sau :

n

,





1 k

3

1 d

j

j

1 

n



 2

k

min

f

0

.

trong đó

soá haøm

bieát

vôùi







j

  f  j

i



 laø nghieäm cuûa f naøo ñoù

Vì

nên ta có :

j

j

j

, , 

Chứng minh   N r f

 d N r f



j

với j

j

j

 N r f  N r f

 

do đó

n

,

j

 N r f



n

j

1 

.





1 d

,

j

j

1 

j

 N r f

 

 

max j n 1  

Áp dụng định lí 3.26., ta được :

n

n

2

n





k

3



 1

,

n

,







r O 

  1

j

j

 

 N r f

 N r f





 

max j n 1  

 2

 2

  



j

1 

n

k

3

N

r f ,



j





 



max j n 1  

 2

1 d

 n  

j

   

n

n



    2 



 1



r O 

  1 .

j 1   2

Do vậy, ta có :

n

n

2

n







 1

,

.





r O 

  1

j

 N r f



 



1 k

3

max j n 1  

1 d

 2

j

j

1 

n



 2

    

    

, 1,..., n   1 d ,

n

Theo giả thiết

, vô lí khi

.





r  



3

1 k

1 d

j

j

1 

n



 2

3.2. Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna để giải quyết bài toán Waring cho trường

hàm p-adic

3.2.1. Lịch sử vấn đề

3.2.1.1. Giới thiệu về bài toán Waring

Bài toán Waring là bài toán về lí thuyết số do Edward Waring phát biểu năm

1770 với nội dung như sau :

2

N

n 

“Với mỗi số tự nhiên

, tìm số tự nhiên

r

sao cho mọi số tự nhiên

đều có thể được biểu diễn như sau :

r

N

  n a i

i

1 

với

là các số nguyên dương”.

ia

Một trường hợp điển hình của bài toán Waring được nêu trong định lí

Lagrange như sau :

Định lí 3.28. (Lagrange) Mọi số tự nhiên đều có thể được biểu diễn dưới

dạng tổng của bốn số chính phương.

3.2.1.2. Bài toán Waring trong trường số

Trong trường số, hướng nghiên cứu phổ biến của các nhà toán học hiện nay

n

4

n 

r

là tìm giá trị của

ứng với các trường hợp

cụ thể. Với

, ta có một số

kết quả cụ thể như sau :

n

n

Định nghĩa 3.29. Một số tự nhiên

được gọi là

có thể được viết

sB nếu

thành tổng của tối đa

s luỹ thừa bậc 4.

n

Định nghĩa 3.30. Với 0 a b M

, ta nói

thuộc

modun M khi dư

  

a  b

,a b

của n thuộc 

 .

14 5865530312564;2.17 10 



Định lí 3.31. Mọi số nguyên thuộc 

 , đồng dư

với 4 theo modun 80 đều là

. 5B

23

Định lí 3.32. Mọi số nguyên thuộc

, đồng dư với

12 5.87 10 ;1.36 10





 

 

theo modun 16 và đồng dư với 1 theo modun 5 là

.

4  6

7B

Định lí 3.33. Mọi số nguyên thuộc

8

5 5 2.5 10 ;5 10





 

  , đồng dư với 1

theo modun 16 đều là

. 9B

Định lí 3.34. Mọi số nguyên thuộc

.



16B

5  13793; 2.5 10 

  đều là

16

Định lí 3.35. Mọi số nguyên thuộc

 13793;10 

  , không chia hết cho 16 , đều

là

.

16B

80

Định lí 3.36. (Thomas) Mọi số nguyên trong đoạn

.

16B

 13793;10 

  đều là

12

107

Định lí 3.37. Mọi số nguyên thuộc

, đồng dư với 1 hoặc 2

5.87 10 ;10



 

 

2

.

theo modun 5 và đồng dư với 41 theo modun 16 đều là

16B

245

Định lí 3.38. (Kawada, Wooley) Mọi số nguyên trong đoạn

 13793;10 

 

đều là

.

16B

Định lí 3.39. Chỉ có 96 số dưới đây không phải là

trong

 1;13792



16B

47

62

63

77

78

79

127

143

157

142

158

159

207

222

223

237

238

287

302

239

303

317

318

319

367

382

383

398

399

397

447

462

463

477

478

479

527

543

557

542

558

559

607

622

623

687

702

754

767

703

782

783

847

862

863

927

942

943

992

1007

1008

1022

1023

1087

1102

1103

1167

1182

1183

1232

1247

1248

1327

1407

1487

1567

1647

1727

1807

2032

2272

2544

3552

3568

3727

3792

3808

4592

4832

6128

6352

6368

7152

8672

10992 13792

Ngoài ra, 96 số trên còn thoả mãn các điều kiện sau :

0,...,6

(cid:31) Các số có dạng 76 80k

,

k 



, đều không là 18B .

(cid:31) 24 số nguyên sau :

0,...,14

,

63 80k 

k 

o

0,...,6

,

78 80k 

k 

o

12,15

,

48 80k 

k 

o

đều là 18B nhưng không phải 17B .

(cid:31) 65 số nguyên sau :

0,..., 22, 46

k 

,

47 80k 

o

0,...,14

k 

,

62 80k 

o

0,...,6

,

77 80k 

k 

o

9,12,15, 25, 28, 44, 47,57,60,79,89,108,137,172

,

32 80k 

k 

o

44, 47,76,79

,

48 80k 

k 

o

31

,

64 80k 

k 

o

đều là 17B nhưng không phải 16B .

3.2.1.3. Tìm hiểu thêm về bài toán Waring

Trong bài toán Waring, đặt

g n là giá trị nhỏ nhất của số các luỹ thừa bậc

 

n

N

,

sao

r

cần để biểu diễn tất cả các số nguyên

 G n là giá trị nhỏ nhất của

N

cho với mọi số nguyên

đủ lớn đều có thể được biểu diễn thành tổng của tối

đa

luỹ thừa bậc n của các số nguyên dương (xem phụ lục, bảng 3).

r

Đối với giá trị

g n , ta có giả thuyết như sau :

 

Giả thuyết 3.40. (Dickson, Pillai, Rubugunday, Niven) Với  x là phần thập

phân của x , x là phần nguyên của x , ta có :

n

n

n

n

n

n

khi

;

2

2

2

2









  g n

3 2

3 2

3 2

  

  

  

  

  

       

         

   

   

   

n

n

n

khi

2

2









  g n

3 2

4 3

  

  

  

  

   

   

   

   

n

n

n

n

n

n

n

n

n

và

;

2

2

2









3 2

3 2

4 3

3 2

4 3

3 2

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   

       

   

   

   

   

   

       

         

   

n

n

n

khi

2

3









  g n

3 2

4 3

  

  

  

  

   

   

   

   

n

n

n

n

n

n

n

n

n

và

.

2

2

2









3 2

3 2

4 3

3 2

4 3

3 2

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

       

         

   

   

       

   

   

   

   

   

Các nhà toán học đến nay vẫn chưa tìm được nghiệm nguyên của bất phương

n

n

n

trình

2n . Kurt Mahler đã chứng minh được rằng chỉ tồn

2



3 2

3 2

  

  

  

       

         

   

tại hữu hạn số

thoả bất đẳng thức trên. Do đó, người ta giả thuyết bất đẳng

n

n

thức trên không xảy ra với mọi

và dẫn đến kết luận :

n

n

với mọi số nguyên dương ”. n

2

2







“   g n

3 2

  

  

   

   

n

6

từ

Kết luận này đã được kiểm tra và đạt kết quả đúng với các giá trị của

đến 471600000 .

Đối với giá trị

 G n , theo định nghĩa thì ta có thể nhận xét rằng

n

với mọi

. Không có một công thức cụ thể cho



  G n

  g n

 G n như đối

với

g n nhưng

 G n bị chặn với các chặn trên, chặn dưới được xác định như

 

sau :

Định lí 3.41. Chặn dưới của

 G n là giá trị lớn nhất trong các giá trị sau :

(cid:31)

1n  với mọi

1n  ;

n

2r

r

3.2r

(cid:31)

22r với

;



n 



  2 hoặc

r

n

p

p

(cid:31)

1rp  với

và p là số nguyên tố lớn hơn 2 ;







1

rp





1

n

(cid:31)

với

và p là số nguyên tố lớn hơn 2.



rp   1 1 2

p 2

Định lí 3.42. (Wooley) Chặn trên của

 G n được xác định như sau :

k

ln

k

ln ln

.





k O 

  G n

  1





3.2.1.4. Nhận xét

Như vậy, nhìn chung bài toán Waring đối với không gian các số vẫn chưa

thế giới vẫn đang tiếp tục nghiên cứu để tìm ra cách tính các giá trị

được giải quyết một cách tổng quát và toàn diện. Hiện nay, các nhà toán học trên  G n để

  g n ,

qua đó giải quyết được bài toán Waring đối với không gian các số một cách trọn

vẹn hơn.

3.2.2. Bài toán Waring trong trường các hàm phân hình p-adic

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu bài toán Waring trong trường các hàm

n

n

3n 

f

1

phân hình p-adic theo hướng chứng minh rằng phương trình

với

g



không có nghiệm trong trường các hàm phân hình p-adic.

3.2.2.1. Kết quả cụ thể của bài toán Waring trong trường các hàm phân hình

p-adic

g

, không tồn tại hai hàm phân hình p-adic

f và

Định lí 3.43. Với

3n 

(khác hàm hằng) trên

thoả mãn phương trình :

p(cid:0)

n

n

f

g

 . 1



3.1

Chứng minh

(khác hàm hằng)

Giả sử ngược lại, tồn tại hai hàm phân hình p-adic f và

g

3n 

nf

ng

. Khi đó

và

độc lập tuyến tính và thoả :

trên

thoả 

p(cid:0)

n

n

,

,

,1

g

nT r g O ,











 nT r f







  1 .

3.1 với  T r f



 T r



Theo định lí 3.25., ta có :

n

n

,

,

,

,

,

log











r O 

 nT r f



  1

 T r f



 N r g



1 n f

1 n g

 N r  

  

 N r  

  

,

,

,

log









 N r g



r O 1 



1 g

1 f

 N r  

log

T 3

r f ,

.





r O 

 N r   

   

     1

3



ều

Đi

này không thể xảy ra khi n  .

2

ng minh k

-

n  , ta có thể chứ

hông tồn tại hai hàm nguyên p

Với trường hợp

ad

ic f và g (khác hàm hằng) trên

p

(cid:0) thoả

2

2

f

g

 . 1



3.2

Thật vậy,

tồn tại ha

và

thoả

. Đặt

và

là nghiệm

nếu

i hàm f

g



3.2

1a

2a

0

của

trên

. Khi đó

2 1 0 z  

1 .

a 1

a 2

 và 1 2a a

p(cid:0)

Biến đổ  i

3.2 , ta được

f

f





 . 1







a g 1

a g 2

f

f

và

phải là hằng số và qua đó f , g là các hàm hằng

Suy ra



a g 1

a g 2

(mâu thuẫn).

3.2.2.2

. Một số kết quả tổng quát của b

ài toán tựa Waring trong trường các

hàm

phân hình p dic

-a

Định lí 3.44. (Boutabaa-Escassut)

min

2

,

max

,

ng tồn tại hai hàm ph

ân hì h p-adic

n

Nếu

m n  , khô 3



 m n  ,





f và g

(khác hàm hằ g) trên

n

p(cid:0) thoả phương trình

mf

g n

 . 1



3.3

min

2

,

max

3

,

Nếu

m n  , không tồn tại hai hàm nguyên p-adic



 m n  ,





không b

ị chặn trên

thoả 

3.3 .

  0, p 

min

max

4

,

Nếu

3 ,

m n  , không tồn tại hai hàm phân hình p-adic



 ,m n





f và g không bị chặn trên

thoả 

3.3 .

  0, p 

(cid:0)

(cid:0)

Chứng minh

Giả s ngược lại, tồn tại hai hà

ử

m p

hân hình p-adic

f và g trên

  0, p 

(hoặc

ta giả sử



3.3 . Không mất tính tổng quát,

hư p(cid:0) ) thoả p ơng trình

1,...,

j

m



1mz

là các nghiệm của

,

 trên

m n . Đặt 1a , …

, ma

p(cid:0) . Với mỗi

f

đều có b

ậc không nhỏ hơ n và do ó :

n

đ

mỗi nghiệm của

a

j

,

,

,

O







 T r f



1 

1 n

f

a

1 n

f

a

1 

1 

j

j

 N r   

   

 N r   

   

Áp dụn

g định lí 2.12., ta có :

m

,

,

,

log









r O 



3.4



 1

 T r f



 N r f



 T r f



1 , 

m n

suy ra

mn



n m 

.

,

log

 

r O 



3.5

 T r f



1 

2 n

2

mn

thì

. Bất đẳng thức

Vì vậy, nếu f không bị chặn trên



n m 

  0, p 

(cid:0)

min

3

,

max

,

4

.

nà

n với ẫ y mâu thu



 m n  ,



 m n 

m

f

Nếu

không

bị

chặn, khi đó

từ

,



3.4 ta suy ra

 n m

1  

A



p(cid:0)

min

2

,

m

3

mâu thuẫn với



 m n  ,

 ax m ,

 n  .

,

2

n

m

ược m n

.

Điều này

Nếu

f g M







3.5 ta suy ra đ

p

p

(cid:0)





n

không thể xảy ra khi n

hoặc

3 , mỗi cực

 và 2

4m  . Với

n  , m  2

3

3f

của

cũng là cực của

2g và do

đó có b c tối thiể ậ

u là

2 . Vì vậy

,

,

,

.





 N r f



 N r f



 T r f



1 2

1 2

Theo 

3.4 và dãy các bất đẳng thức trên cho ta :

,

,

log



r O 





.

 T r f 2



 T r f



1 

1 2

3 2

  

  

đ

í

Vì bất đẳng thức trên không thể xảy ra nên ịnh l được c

hứng minh.

(cid:0) (cid:0) , từ 

Định lí 3.45. Xét các số nguyên dươ

ng

l , m

và

n thoả



  .



3.6

1 3

1 1 1 l m n

Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình p-adic khác hàm hằng f , g và

h

th

oả

l

m

n

f

g

h





 . 1



3.7

Chứng minh

f , g và h (khác hàm

Giả sử ng

ược

lại, tồn t

ại

cá

c h

àm

ph

ân hình p-adic

lf

nh

,

mg và

phải độc

lập tuyến t

ín

h.

hằng) thoả 

3.7 . Khi đó

3

,

sao cho

Giả sử ngược lại, tồn tại bộ

a b c  ,







  0

p

l

m

n

af

bg

ch





0  .

0

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

a  , theo đó ta có :

m

n

1

1

g

h







 . 1

b a

c a

  

  

  

  

a

g

h không

Vì

và

phải hàm hằng nên

b và a

c . Từ đây, ta có thể chọn

,

sao cho

p

*

  (cid:0)

n

1m

   ,

   1

b a

c a

suy ra

m

n



 1

h 

 g 







đi

ều này không thể tồn tại (theo đị

nh lí 3.44.).

Áp dụng định lí 3.25., ta có :

l

,

,

,

,

,









 lT r f



 T r f



1 l f

1 m g

 N r  2 

  

 N r  2 

  

m

n

,

,

,

log









r O 

  1

 log





 N r h r O 





 ,T r f 3



 N r f  T r g , 3



  N r   2     l N r g  T r h , 3



1 n h    1 .

Tương tự, ta cũng có :

(cid:0)

,

,

,

log









r O 

 mT r g



 T r f 3



 T r g , 3



 T r h 3



  1 ,

v

à

,

,

,

log

.









r O 

 nT r h



 T r f 3



 T r g 3 ,



 T r h 3



  1

Như vậy, biến đổi vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được :

1

,

,

log

r

O













 T r f



 T r g ,



 T r h

  1





3 3 3   l m n

1 1  l m

1 n

  

  

  

  



đi

ều này cũng không

thể t

ồn tại (theo điều kiện 

3.6 ).

Hệ quả 3.46. Với n

, không

tồn tại các hàm phân hình p-adic f , g và

h

9

(kh

ác hàm hằng) trên

p(cid:0) thoả

n

n fg

n h



 . 1

ố nguyên dương

, …,

thoả

Hệ quả 3.47. Xét các s

k  , 1n 2

kn



...  



k

1 1  

1 n 1

1 n 2

1 n k

 k

với

2 k khi 

1 2 2 3 3, 4,5 k khi    k

K

hi đó,

kf khác hàm hằng trên

không tồn tại các hàm nguyên p-adic 1f , …,

p thoả

2 1 2 2 k  3 k k 6. kh k  i   2         

(cid:0)

n f 1 1

n 2 2

n k k

f f  ...    . 1

n

.4

Hệ quả 3 8. Vớ

i

, không tồn tại các hàm phân

 k k



kf khác hàm hằng trên

hình p-adic 1f , …,

p(cid:0) thoả

k  và 2  1    k

.

n k

n f 1

n 2

f f 1  ...   

3.2.2.3. Nhận xét

Như vậy, bài toán Waring đối với trường các hàm phân hình p-adic đã được

giải quyết một cách triệt để. Một vấn đề hấp dẫn của bài toán Waring đối với

cho trước,

xác định số nguyên nhỏ nhất, kí hiệu

2

trường các hàm phân hình p-adic hiện nay là với số nguyên 

 c k , sao cho với



thoả phương trình

kf khác hàm hằng trên

các hàm phân hình p-adic 1f , …,

p(cid:0)

n c k   k , không tồn tại

. Người ta đã tìm được một số kết quả cụ thể như sau :

n k

n f 1

n 2

f f 1  ...   

và

 2

 3c



c 4 7   9 .

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng được hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và các mở rộng để giải quyết được giả thuyết abc và bài toán Waring cho trường hàm p-adic. Vì khuôn khổ của luận văn còn hạn chế nên chúng tôi không thể trình bày đầy đủ tất cả chứng minh của các định lí cũng như giới thiệu thêm một số kết quả sưu tập được của các nhà Toán học trên thế giới.

Giả thuyết abc và bài toán Waring hiện vẫn đang được nghiên cứu và giải quyết cho trường các hàm tổng quát cũng như giải quyết triệt để đối với tập hợp các số tự nhiên. Hướng nghiên cứu sắp tới của đề tài này sẽ là mở rộng các kết quả nhận được trên trường hàm p-adic sang trường các hàm phân hình trên một trường k đóng đại số biệt số không, đầy đủ và được trang bị một giá trị tuyệt đối phi Archimedean không tầm thường.

Trong luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp chỉ bảo và đóng góp ý kiến để luận văn này đạt chất lượng cao hơn.

Xin chân thành cảm ơn và trân trọng.

PHỤ LỤC. BẢNG 1.

STT

L

a

b

c

Người tìm ra

E.R.

1.629912

1.

2

103 .109

523

3

B.W.

1.625991

2.

6 2 3 .5 .7

212 .23

211

19.1307

Je.B. & Ju.B.

1.623490

3.

2 8 7.29 .31

8 22 2 .3 .5

3

283

Je.B. & Ju.B., A.N.

1.580756

4.

11 2 5 .13

8 8 2 .3 .17

B.W.

1.567887

5.

1

72.3

45 .7

B.W.

1.547075

6.

37

103

112 .29

2

16

2

3

A.N.

1.544434

7.

3  2.3 .5 .953

2 3 7 .41 .311

11 .13 .79

2

5

3

H.R. & P.M.

1.536714

8.

35

9 17 2 .3 .13

11 .17.31 .137

6

A.N.

1.522699

9.

13.19

302 .5

13 2 3 .11 .31

3

8

A.N.

1.522160

10.

183 .23.2269

17 .29.31

10 2 15 2 .5 .7

Bảng 1. 10 bộ ba abc có L nằm gần chặn trên 1.63

BẢNG 2.

STT L

a

b

Người tìm ra1

c

E.R.

1. 1.629912

2

103 .109

523

3

B.W.

2. 1.625991

2 6 3 .5 .7

212 .23

211

Je.B. & Ju.B.

3. 1.623490 19.1307

2 8 7.29 .31

8 22 2 .3 .5

3

283

Je.B. & Ju.B., A.N.

4. 1.580756

11 2 5 .13

8 8 2 .3 .17

B.W.

5. 1.567887 1

72.3

45 .7

B.W.

6. 1.547075

37

103

112 .29

2

16

2

3

A.N.

7. 1.544434

3  2.3 .5 .953

2 3 7 .41 .311

11 .13 .79

2

5

3

H.R. & P.M.

8. 1.536714

35

9 17 2 .3 .13

11 .17.31 .137

6

A.N.

9. 1.522699

13.19

302 .5

13 2 3 .11 .31

3

8

A.N.

10. 1.522160

183 .23.2269

17 .29.31

10 2 15 2 .5 .7

10

5

4

26 12

T.D.

11. 1.5094

2 13 .37

7 3 .19 .71 .223

2 .5 .1873

7

8

9

2

T.S & M.H.

12. 1.5033

2 .23

2 19 .857

22 3 .13.47 .263

4

239

Je.B. & Ju.B., A.N.

13. 1.502839

8 3 5 .17

10 2 .37

2

B.W.

14. 1.497621

25 .7937

137

18 7 2 .3 .13

10

A.N.

15. 1.492432

22 .11

2 3 .13 .17.151.4423

9 6 5 .139

73

A.N.

16. 1.491590

16 2 3 .103 .127

13 7 2 2 .7 .941

3

7

A.N.

17. 1.489245

11 3 3 .5 .7 .41

2 11 .19.29

242

B.W.

18. 1.488865

11 3 2 .5

93 .13

211

1 Danh sách các nhà toán học tìm ra các bộ ba abc cùng số các bộ ba tốt tìm được :

(cid:31) A.N. : Abderrahmane Nitaj : 100 bộ (cid:31) A.R. : Andrej Rosenheinrich : 4 bộ (cid:31) B.W. : Benne M.M. de Weger : 14 bộ (cid:31) E.R. : Eric Reyssat : 1 bộ (cid:31) F.R. : Frank Rubin : 15 bộ (cid:31) G.F. : Gerhard Frey (1944-) : 1 bộ (cid:31) H.R. : Herman te Riele (1947-) : 4 bộ (cid:31) I.C. : Ismael Jimnez Calvo : 1 bộ (cid:31) Je.B. & Ju.B. : Jerzy Browkin (1934-) và Juliusz Brzezinski : 34 bộ (cid:31) J.D. : Jeroen Demeyer : 9 bộ (cid:31) J.K. : Joe Kanapka : 1 bộ (cid:31) J.W. : Jarek Wroblewski : 2 bộ (cid:31) K.V. : Kees Visser : 6 bộ (cid:31) M.H. : Mathias Hegner : 2 bộ (cid:31) N.E. : Noam Elkies (1966-) : 1 bộ (cid:31) P.M. : Peter Montgomery : 4 bộ (cid:31) T.D. : Tim Dokchitser : 41 bộ (cid:31) T.S. : Traugott Schulmeiss : 17 bộ (cid:31) X.G. : Xiao Gang (1958-) : 1 bộ

37

B.W.

19. 1.482910

83 .5

152

13

7

A.N.

20. 1.481322

145 .19

5 2 .3.7

2 11 .37 .353

3

A.N.

21. 1.474450 1

163 .7

3 2 .11.23.53

2

8

Je.B. & Ju.B., A.N.

22. 1.474137

27

10 2 .11.53

4 3 .5

3

Je.B. & Ju.B., A.N.

23. 1.471298

43 .199

7 3 2 .5 .7

811

3

2

H.R. & P.M.

24. 1.465676

417 .67

19 4 2 .137

15 3 .5 .13.89

A.N.

25. 1.465520

127

14 3 2 .67 .461

13 4 3 .11.19

10

4

4 19

8

F.R.

26. 1.4646

2 5 .23 .106531

11 3 7 .11 .193

2 .3 .17 .29

7

2

B.W.

27. 1.461924

2 .5

67 .41

613

2

K.V.

28. 1.459425

115 .31.191

8 13 2 .7 .89.859

30 4 3 .13 .277

2

2

10

2

A.N.

29. 1.457794

12 5 .17 .31 .1699

1423 .29

19 2 .3 .11.13 .47

4

A.N.

30. 1.457790

6 12 3 .5

16 2 .13.59

117 .47.113

2

5

4

T.S.

31. 1.457482

4 3.109.131

225 .89

3 2 .11 .19 .97

4

4

A.N.

32. 1.457066

2 2 3 .5

3 2 .17 .31

107 .257

15

7

A.N.

33. 1.456203

552 .19

3.5 .1033

3 2 11 .13 .47

B.W.

34. 1.455673 1

5 2 2 .3.5

47

Je.B. & Ju.B.

35. 1.455126

2 6 3 .11

519 .13883

352

25

2

2

T.S.

36. 1.455024

2 5 23 .31

3 2 .7.109

19 3 .5 .19 .29

T.S. & A.R.

37. 1.454435

87 .2707

10 10 3 2 .5 .29

18 4 3 .11 .43

4

9

A.N.

38. 1.453343

613

4 2.3 .7 .11 .23

7 4 5 .103 .2399

5

4

43

2

2

T.S. & M.H.

39. 1.4532

2 7 .23 .101

2 .359

9 6 3 .13.19 .307

B.W.

40. 1.452613

192 .13.103

117

11 3 2 3 .5 .11

10

2

12

F.R.

41. 1.4519

3 5 31 .61

17 .83 .2719.15101

3 17 2.3 .5 .7

Je.B. & Ju.B., A.N.

42. 1.451344

53 .7

65 .67

202

3

Je.B. & Ju.B.

43. 1.450858

5 3 .7

13 3 2 .23 .59

3 6 5 .19

8

28 7

4

3

4

2

I.C.

44. 1.4502

4 23 .37

2 2 3 11 19 61.127.173

18 2 5 .17 .43 .4817

233.536.31672

28.329.113992

57.74.1312.523

F.R.

45. 1.4501

A.N.

46. 1.450026 1

3 3 7 3 .5 .7 .23

13 4 2 .11 .13.41

G.F.

47. 1.449651 1

5 2 3.5 .47

182 .79

2

4

A.N.

48. 1.447977

211 .43

9 5 .7 .13 .97

3 7 2 .3.73

20

A.N.

49. 1.447743 89

8 7.11

3 2 .3 .53

21 6

2

T.S.

50. 1.447591

173

2 .5 .23.7993

5 47 .307

224.55.475.1812

1314.19.103.5712.4261

728.17.372

F.R.

51. 1.4474

4

21

5

9

T.S.

52. 1.446873

409

2 .11 .17.19.397

5 5 3 .7 .13

7

A.N.

53. 1.446246

2 7 3 .5 .79

292 .13

2 11 .19

2

4

Je.B. & Ju.B., A.N.

54. 1.445064

2.13

85

3.19

5

T.S. & A.R.

55. 1.444596

11 8 3 .5 .4229

5 3 17 .23 .31

2 32 3 2 .7 .109

5

4

7

H.R. & P.M.

56. 1.444199

192 .263

83.167

5 .29

2

A.N.

57. 1.443502

4 2 .11 .17

175 .13577

4 9 3 .23 .71

3

B.W.

58. 1.443307 1

12 2 .5

5 2 3 .7 .43

Je.B. & Ju.B., A.N.

59. 1.443284

2 3 3 .19

115

172 .373

198.434.1492

215.523.101

313.13.292.376.911

T.D.

60. 1.4428

A.N.

61. 1.442014

5 2 9 2 .11 .19

15 2 5 .37 .47

7 11 3 .7 .743

2

3

A.N.

62. 1.441814

16 3 .23

13 2 2 .29 .37

9 4 5 .11 .13

213.74.6532

318.55.181.6732

11.1313.313

J.D.

63. 1.4418

3

2

4 16

4

A.N.

64. 1.441619

5 7 .29 .151

2 .5 .97.919

27 3 .13

A.N.

65. 1.441441

331

5 2.17.41

7 5 3.5 .7

Je.B. & Ju.B., A.N.

66. 1.440969

4 2 3 .23

531

15 3 2 .5 .7

2

2

2

A.N.

67. 1.440264

35 2 .7 .17 .19

27 3 .107

15 2 5 .37 .2311

4

B.W.

68. 1.439063 1

7 2 .3 .547

8 2 5 .7

3

Je.B. & Ju.B.

69. 1.438357 1

19.509

19 4 2 .3 .59

3.56.78.53

1679

2.116.1934.20551

T.D.

70. 1.4382

226.114.7639

56.2311

3184747879

T.D.

71. 1.4381

78.13.893

313.53.114.1499

2.1912

T.D.

72. 1.4379

174.196

4110.1559

2123155.29.15672

T.D.

73. 1.4365

5

6

A.N.

74. 1.436180

2.13

2 7 .173

13 2 3 .47

8

347241

2252277

T.D.

75. 1.4358

9 5 11 2489197589

B.W.

76. 1.435006

102 .7

75

83 .13

317.809

227.119

5.74.135.59.10972

T.D.

77. 1.4349

27.892

54.76.112.714

313.193.45472

J.D.

78. 1.4342

4

6

A.N.

79. 1.433956

911 .43

2 2 .23 .47.277

14 2 4 5 .7 .13

11.1038

245.37.29.37.1997

511.710.79.3892

T.D.

80. 1.4336

A.N.

81. 1.433464

5 18 2 .3

6 10 2 5 .7 .23

911 .691.1433

2

A.N.

82. 1.433452

35 .8111

1219 .29

19 3 4 2 .3 .17 .233

711.19

512.1019.71512

228.312.113.67

T.D.

83. 1.4331

Je.B. & Ju.B., A.N.

84. 1.433043

231

5 9 3 .5

5 4 2 .23 .53

6

A.N.

85. 1.432904

2 7 .17.8209

12 2 5 .743

212

217.133

73.117.432.5801

317.176.23

T.D.

86. 1.4324

232.733

314.5311.135.557

713.232.1632

J.D.

87. 1.4323

7

3

2

T.S.

88. 1.432143

173 .67

7 .11 .227 .547

14 7 6 2 .5 .17

23

4

T.S.

89. 1.431815

461 .149

5 2 .13.29

8 4 3 .5.7 .73

4

29

2

A.N.

90. 1.431623

3 17 .79 .211

2 .23.29

195

27

5

2

6

4

A.N.

91. 1.431260

2 .7

263 .11.19.139

5 .13 .43 .179

3

3

K.V.

92. 1.431183

4 29.277

9 3 .7 .11 .19

112

7

A.N.

93. 1.431092

3 2 3 3 .5 .7 .31

9 2 2 .19

659 .73

6

2

A.N.

94. 1.430418 193

9 8 3 .13

2 2.5 .19 .1193

6

2

Je.B. & Ju.B.

95. 1.430176

11 5 .19

6 2 3 .7 .13.127

382 .61.137

A.N.

96. 1.429873

20 4 3 .17 .3323

9 5 2 .37.97

5 7 5 .7.89

6

2

A.N.

97. 1.429552

242 .13

93 .29

7 .43

2

A.N.

98. 1.429007

8 2.13 .17

213

6 7 .11 .199

34.137.86632

220.79.97

53.76.1110

T.D.

99. 1.4294

2.138.17

321

72.116.199

A.N.

100. 1.4290

217.1116.13

31076541.22031

53.296.10134

F.R.

101. 1.4289

Je.B. & Ju.B.

102. 1.428908

11 5 3 .5 .7.17

273

4 11 3 2 .11 .13

5

21

4

A.N.

103. 1.428402

145 .11

6 2 3 .7 .13 .251

2 .23

294

214.33.31.472.1993

712.41532

T.D.

104. 1.4284

3

Je.B. & Ju.B., A.N.

105. 1.428323 11

14 2.3

2 7 .167

2 10

5

5

73

Je.B. & Ju.B., A.N.

106. 1.427566

2 .3 .7

2 11 .157

20

A.N.

107. 1.427488

223 .5.19.167

461

3 2 2 .41 .83

9

2

A.N.

108. 1.427115

2 .509

103

87 .23

5

31

Je.B. & Ju.B., A.N.

109. 1.426753

5 10 2 2 .5 .19

3 2 3.7 .11 .41

B.W.

110. 1.426565 3

35

72

36.477.167

79.114.234.68473

25.515.1035

F.R.

111. 1.4257

28.176.235.149

37.76.11.293.2932

511.132

J.D.

112. 1.4252

323.36251

57.76.135

227.809

T.D.

113. 1.4246

514.233.31872

213.318.2069

133.297.2713

T.D.

114. 1.4234

3

2

29

2

Je.B. & Ju.B., A.N.

115. 1.423381

25 .11

13 .1483

2 .3

2.510.134

3157.317.45817

118.1092.36773

F.R.

116. 1.4232

317.113.4912

513.11.13.198

2.36.718.1249

T.D.

117. 1.4231

52134174141971

238.237.83

31874113894

F.R.

118. 1.4226

4

K.V.

119. 1.422083

17.19

3 10 2 3 3 .5 .7 .29

13 7 2 .13 .613

34.236.10132

247.53.192

7.1317.1373

T.D.

120. 1.4220

5

Je.B. & Ju.B., A.N.

121. 1.421828

42 .59

3 2 3 .11 .17

125 .19

5

A.N.

122. 1.421575

75

15 2 2 .7 .17

2 11 .13

3·5·136

27755362287

1133779292

T.D.

123. 1.4214

2

3

6

T.S.

124. 1.421371

3 67.263

10 2 .7 .13 .41

10 9 3 3 .5 .23

239

581512863

38.132.235

J.D.

125. 1.4210

A.N.

126. 1.421008

9 3 2 .37 .89

6103

9 9 3 .5 .31

2334.439

58.175.71

215.319

T.D.

127. 1.4208

213.712.3373

321.133.732

713.11172

T.D.

128. 1.4208

7

A.N.

129. 1.420437

87 .19

3.17

15 2 2 2 .5 .37

21 4

8

A.N.

130. 1.420320

133

2 2 .5 .199

2 7 .83 .1307

5

4

T.S.

131. 1.420232

14 10 2 .3 .43.461

2 11 .29 .83.397

265

7

3

A.N.

132. 1.420036

323

9 7 3 .5 .31

4 2 .7 .13.17

247.97

55.78.89.7392

317.116.132.23

J.D.

133. 1.4196

4

2

2

A.N.

134. 1.419292

19 .37

4 14 3 .5 .79

8 5 2 .31 .73

5917223437243.4817 3141186121734

2521961272

F.R.

135. 1.4192

2

2

Je.B. & Ju.B., A.N.

136. 1.418919

8 3 .809

17 2 .181

27

Je.B. & Ju.B.

137. 1.418233 13.3499

4 11 3 .5 .139

392

Je.B. & Ju.B.

138. 1.417633

4 1523

9 14 3 2 .3 .13

65 .1609

7

A.N.

139. 1.416793

3 6 2 .7 .23

135 .5323

9 3 3 .43

23 9

Je.B. & Ju.B.

140. 1.416438

2 .5 .29

12 7 3 .19

441 .33941

3.13747232

23159

17247573

T.D.

141. 1.4163

2

6

4

A.N.

142. 1.416078

8 27 2 .5

223 .37.204749

13 .31 .103 .113

22

Je.B. & Ju.B., A.N.

143. 1.416051

8 11.23

43.5 .599

3 2 .59

2754722

19437.474536

31411.139191.7829

T.D.

144. 1.4158

5204021

24013.1736763

3677113296

T.D.

145. 1.4158

32297872

51011.2910109

23789316721823

T.D.

146. 1.4157

5

2

A.N.

147. 1.415633

462 .23

9 7 3 .5 .11 .31 .43

1119 .59.7207

4

2

A.N.

148. 1.415561

37

135 .181

5 2 .3.11.13 .19

4

4

H.R. & P.M.

149. 1.415273

3.23

135 .31

3 2.7 .199

6

2 13

2

12

12

A.N.

150. 1.415090

2 .5 .7 .13 .463

4 3 .43

2 11 .389 .6841

3126173889

3231171513173

22356738333493

J.W.

151. 1.4150

7182333

2551873173981439

3381345233

T.D.

152. 1.4146

3

X.G.

153. 1.414503

11 4 3 .5

6 7.11 .43

17 2 .17

5

2

A.N.

154. 1.414352

7 14 2 3 .5 .7

51 2 2 .11

29 .73.419 .1039

Je.B. & Ju.B., A.N.

155. 1.413698

62 .5.137

143

613

Je.B. & Ju.B., A.N.

156. 1.413279

25

7 3 3 .13

8 2 2 .137

2

2

Je.B. & Ju.B., A.N.

157. 1.413166

1023

6 3 3 .157 .283

30 2 .5 .11 .13

5

2

5

K.V.

158. 1.412893 13.733

9 5 3 .5 .89

19 2 .7 .31 .467

7217947

2253125237·509·5712

317536672

T.S.

159. 1.4127

B.W.

160. 1.412681 5

29422132

113 3·132231289·14717

102 .173 2951611979

T.D.

161. 1.4123

2121332233

315113975409

51517942141

F.R.

162. 1.4123

5417·3493

717109

235353037

T.D.

163. 1.4123

1162334492

22631013·1722632

5374193298

F.R.

164. 1.4119

A.N.

165. 1.411682

379

6 5 3 .7.11.13

18 3 2 .43

3

6

Je.B. & Ju.B., A.N.

166. 1.411615

2 3.13 .1049

39 2 2 .29 .107

19 .139

3117237·47

2817310121914

523537

T.D.

167. 1.4114

22913

5112693

35721763307

T.D.

168. 1.4109

4

A.N.

169. 1.410830

13.29

10 4 3.7 .19

5 2 4 2 .5.43 .139

Je.B. & Ju.B.

170. 1.410683

267 .2399

13 3 3 .107

6 15 2 .5

54532594101

2411.2315

314712463.1531

T.D.

171. 1.4103

6

A.N.

172. 1.410044

13 13 3 2 .3 .11

13.29.43 .673

205 .17

2

21

3

2

2

A.N.

173. 1.409742

125

2 2 .3 .43 .52859

10 7 .13 .17 .151

21134101429221

1319

51517.530932

T.D.

174. 1.4094

35515135

71079535323

211737832197

F.R.

175. 1.4091

74

321112134138493

22657383.15792

T.D.

176. 1.4090

2 12

Je.B. & Ju.B., A.N.

177. 1.408973

27

583

2 .3 .17.109

2

2

A.N.

178. 1.408866

15 3 .19 .73 .3343

3 5 5.41 .193

122

6

T.S. & A.R.

179. 1.408577

2.7.11.13

4 4 23.43 .449

16 4 2 3 .53 .97

3

3

A.N.

180. 1.407787

22 .13

5 7 .41 .181

14 3 .5.67

7561

21313717342293

3135811353.732892103 J.W.

181. 1.4077

2

5

A.N.

182. 1.407404

23 .233

723 .293

15 2 2 .5 .13 .31

412592

38761381831

21254766513

F.R.

183. 1.4072

4

8

Je.B. & Ju.B.

184. 1.407208

241

12 6 2 .3 .5 .1181

4 11 .13

113315101.479

1078

23134567

T.D.

185. 1.4072

Je.B. & Ju.B., A.N.

186. 1.407051

93 .163

3 6 2 .11 .17

125

317894

7361.3595

2135.198191

J.D.

187. 1.4068

N.E. & J.K.

188. 1.406524

97

2 7 3 3 .5 .13

16 2 2 .19 .67

2

A.N.

189. 1.406420

19 3 2 .367

175 .197.281

6 13 .251

2211031

178235151

314524323133

T.S.

190. 1.4063

227172

71130412

3·53138232113

J.D.

191. 1.4062

2

A.N.

192. 1.406097

162 .41.71

15 3 .7

719

5

3

12

A.N.

193. 1.406080

13 .19

2.11 .1123.76081

383 .397

2

Je.B. & Ju.B., A.N.

194. 1.406079

25.7

3 13 .43

11 8 2 .3

7

A.N.

195. 1.405785

313

9 2 2 .37

2 3 .5

2

A.N.

196. 1.405443

24 5 2 .3

5 5.19 .59

107 .167

3217.4498001

5104995

228173475

F.R.

197. 1.4051

35516193

7523223341321

24843267

T.D.

198. 1.4049

572371493

31839072

25232331

T.D.

199. 1.4048

26

631

A.N.

200. 1.404484

2 2 .5.29

3 10 3 .7 .37

7

A.N.

201. 1.404264 1

9 2 3 .7 .197

7 2 .5 .19

7

5

A.N.

202. 1.403980

125 .227

8 3 2 .3.7 .23 .41

5 11.19 .67

2

2

3

A.N.

203. 1.403958

93 .103

8 5 2 .11 .13 .41 .47

14 5 .53

2

A.N.

204. 1.403482

33 .13

5 3 2 .11.19 .73

2 11 5 .7

223416331006151

4313

1192941013

T.D.

205. 1.4031

3

15

10

A.N.

206. 1.402864

2 5.67 .127 .19219

1813 .37.277

2 2.3 .7 .31

2

4

3

K.V.

207. 1.402737

4 2 3 .19.61.173

44 10 2 .7

5 .149 .503.929

211317132192

29.412838

5447253.1076

T.D.

208. 1.4024

9

A.N.

209. 1.402183

12 6 3 .5

2 7 .31

9 5 2 .11 .571

14

2

5

4

4

A.N.

210. 1.401993

3.5 .199

7 .11 .17 .41

30 2 .13

6

2

2

4

A.N.

211. 1.401979

332 .5

9 3 .7 .31 .97

3 11 .19 .127

2847.1032

5819211714

31071017.9672

F.R.

212. 1.4017

367443.16421

5124396

25941.73939

T.D.

213. 1.4017

6

29

2

T.S. & A.R.

214. 1.401419

10 4 3 .5 .401

3 13 .47

2 .31

4

2

T.S.

215. 1.401291

7 7.67 .137

5 3.5 .13 .353

222

79134

2102331734

3125.1162371

T.D.

216. 1.4013

2

21 4

2

K.V.

217. 1.401261

6 2 3 .11 .47.359

1317

2 .5 .2749

1

377513517.1831

23052127.3532

J.D.

218. 1.4012

2

4

2

A.N.

219. 1.401156

292 .7

2 3 .31 .73 .349

15 5 .53

4

2

4

2

7

A.N.

220. 1.400812

23 .71

147 .1231

2 2 .5 .11 .29

21

2

A.N.

221. 1.400588

413

617 .463

2 .73

2

9

A.N.

222. 1.400317

14 13 2 .3 .5

6 7.29 .71

2 11 .13 .53

7

A.N.

223. 1.400262

185 .6359

2 6 3 3 .47 .73

10 2 .19 .79

174

2.712293743

395613523.191

T.D.

224. 1.4000

Bảng 2. Danh sách 224 bộ ba tốt (tính đến ngày 02/05/20092).

2 Nội dung được cập nhật tại địa chỉ http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=2

BẢNG 3.

n

  g n

 G n

1

1

1

2

4

4

4



 7

  G n

3

9

16

4

19

6

17





  G n

5

37

9

21





  G n

6

73

8

33





  G n

7

143

32

42





  G n

8

279

13

50





  G n

9

548

12

59





  G n

10

1079

12

67





  G n

11

2132

16

76





  G n

12

4223

14

84





  G n

13

8384

15

92





  G n

14

16673

16

100





  G n

15

33203

64

109





  G n

16

66190

18

117





  G n

17

132055

27

125





  G n

18

263619

20

134





  G n

19

526502

25

142





  G n

20 1051899

Bảng 3. Các giá trị của

g n và  

 G n với n nhận giá trị từ 1 đến 20.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Pei-Chu Hu & Chung-Chun Yang (2000), Meromorphic Functions over Non-

Archimedean Fields, Kluwer Academic Publishers, London.

2. Boutabaa (1990), Theorie de Nevanlinna p-adique, Manuscripta Math. 67, pp.

251-269.

3. Hà Huy Khoái (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J. 50, pp.

695-711.

4. Hà Huy Khoái (1995), Théorie de Nevanlinna et problèmes Diophantines,

Vietnam J. Math. 23, pp. 57-81.

5. Hà Huy Khoái & Mỵ Vinh Quang (1988), On p-adic Nevanlinna theory,

Lecture Notes in Math. 1351, pp. 146-158, Springer-Verlag.

6. Pei-Chu Hu & Chung-Chun Yang (1997), Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, pp. 46-67, Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk Ermenii (National Academy of Sciences of Armenia).

7. Pei-Chu Hu & Chung-Chun Yang (1999), A unique range set of p-adic

meromorphic functions with 10 elements, Acta Math. Viet. 24, pp. 95-108.

8. Nguyễn Thanh Quang & Phan Đức Tuấn (2003), Analog of ‘abc’ conjecture for p-adic holomorphic functions, VNU. Journal of Science, Mathematics – Physics. T.XIX, pp. 38-45.

9. Jeffrey Paul Wheeler (2002), The abc conjecture, A thesis presented for the Master of Science degree, The University of Tennessee, Knoxville.

10. Dorian Goldfeld (2007), Modular forms, Elliptic curves and the abc-conjecture, pp. 1-5, Columbia University Department of Mathematics, New York.

11. Jean-Marc Deshouillers & Francois Hennecart & Bernard Landreau (2000), Waring’s problem for sixteen biquadrates – Numerical results, Bordeaux, France.

12. K. Subba Rao (2003), Some easier Waring’s problems, Vizianagram, India.

13. http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture

14. http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html

15. http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html

16. http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc

17. http://en.wikipedia.org/wiki/Waring's_problem

18. http://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html

19. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/635874/Warings-problem

20. Microsoft Corporation, Microsoft Encarta Encyclopedia 2009.