Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô đun biểu diễn được

n (cid:80) i=1

S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức risi = 0 với

ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = ... = rn = 0. Mô đun M được gọi là mô đun tự do nếu M có một hệ sinh độc lập tuyến tính.

i∈I

Mi, ta Giả sử {Mi}i∈I là họ các R-mô đun. Trong tập tích Đề các (cid:81)

định nghĩa các phép toán:

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I

r.(xi)i∈I = (rxi)i∈I

Mi trở thành R-mô đun và được gọi là tích trực tiếp của họ

(cid:27)

i∈I

Mi = Mi| hữu hạn xi (cid:54)= 0 Mi (cid:26) (xi)i∈I ∈ (cid:81) Khi đó, (cid:81) i∈I R-mô đun {Mi}i∈I. Mô đun con (cid:80) i∈I của (cid:81) i∈I

được gọi là tổng trực tiếp của của họ các mô đun {Mi}i∈I.

Tổng trực tiếp của các mô đun tự do là một mô đun tự do.

R-mô đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp

của họ nào đó các bản sao của vành R.

Mỗi mô đun M bất kì đều đẳng cấu với mô đun thương của một mô

đun tự do nào đó.

Cho M là R- mô đun, L và N là các mô đun con của M. Ta kí hiệu

(L : N ) = {x ∈ R|x.N ⊂ L}

Đây là một iđêan của R. Trong trường hợp đặc biệt khi L=0 và N=M

thì (0 : M ) được gọi là cái linh hóa của mô đun M, và được kí hiệu là

Ann(M). Với m ∈ M , Ann(m) là cái linh hóa của R-mô đun sinh bởi

phần tử m ∈ M .

Mệnh đề 1.1.1 . Cho L và N là hai R-mô đun. Khi đó,

1. Ann (L + N ) = Ann (L) ∩ Ann (N )

3

(cid:17) 2. (N : L) = Ann (cid:16)(N + L)/N

Mệnh đề 1.1.2 . Cho các R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L . Khi

đó:

(cid:16)L/N (cid:17) ∼= L/M (cid:17)(cid:46)(cid:16)M/N

Mệnh đề 1.1.3 . Cho L và N là các mô đun con của M. Khi đó:

∼= L/(N ∩ L) (L + N )/N

Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mô đun. Khi đó: M là hữu hạn sinh khi

và chỉ khi M đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do hữu

hạn sinh nào đó.

1.2

Iđêan nguyên tố liên kết

Giả sử R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không. Iđêan nguyên

tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M nếu

tồn tại phần tử x ∈ M để Ann(x)=P.

AssR (M ) là tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun

M. Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M).

Mệnh đề 1.2.1 .Cho P là phần tử tối đại của tập các iđêan (cid:8)Ann (x) |x ∈ M và x (cid:54)= 0(cid:9)

Khi đó, P ∈ Ass (M ).

Hệ quả 1.2.2 .Cho M là R-mô đun.

(1) Ass (M ) = 0 ⇔ M = 0

(2) Tập các ước của 0 của R-mô đun M là hợp các iđêan nguyên

tố liên kết của M.

Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP (cid:54)= ∅}

Định lý 1.2.3 .Cho M là R-mô đun. Khi đó, Ass (M ) ⊂ Supp (M ).

4

Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh khác 0. Khi đó, tồn

với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) tại dãy các mô đun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/Pi

Bổ đề 1.2.5 .Cho 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) là một dãy khớp các R-mô đun thì Ass (M ) ⊂ Ass (M (cid:48)) ∪ Ass (M (cid:48)(cid:48))

Từ bổ đề trên, ta thấy, nếu M = M1 ⊕ M2 thì ta có dãy khớp 0 →

M1 → M → M2 và do đó, Ass (M ) ⊂ Ass (M1) ∪ Ass (M2)

Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh . Khi đó, Ass (M )

là tập hữu hạn.

Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, các điều sau tương đương với M

là R-mô đun:

(1) M là coprimary

(2) M chỉ có một iđêan nguyên tố liên kết.

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết yếu

Cho vành giao hoán có đơn vị R.

Một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết

yếu của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M để P là tối tiểu trên Ann(x). Tập

tất cả các iđêan nguyên tố liên kết yếu của M kí hiệu là W.Ass(M).

Mệnh đề 1.3.1 . Cho M là một R-mô đun. Khi đó, ta có:

(1) Ass (M ) ⊂ W.Ass (M )

(2) Ass (M ) = W.Ass (M )nếu R là vành Nơ te.

(3) W.Ass (cid:54)= ∅ nếu M (cid:54)= 0

(4) Nếu 0 → M → N → L → 0 là dãy khớp thì

W.Ass (M ) ⊂ W.Ass (N ) ⊂ W.Ass (M ) ∪ W.Ass (L)

5

Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không của

M có phân tích nguyên sơ. Gọi 0 = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩ Nn là phân tích nguyên sơ tối tiểu của 0, trong đó Ni là mô đun con Pi-nguyên sơ của M. Khi đó, W.Ass (M ) = {P1, P2, ..., Pn}

Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mô đun hữu hạn sinh thì

mọi mô đun con của M đều có một phân tích nguyên sơ.

1.4

Iđêan nguyên sơ

Mệnh đề 1.4.1 .

n (cid:83) i=1

iđêan của R nằm trong (1) Cho Q1, ..., Qn là các iđêan nguyến tố của vành R và P là một Qi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i0 để P ⊂ Qi0.

n (cid:84) i=1

tố của R chứa (2) Cho P1, ..., Pn là các iđêan của vành R và Q là một iđêan nguyên Pi . Khi đó, tồn tại một chỉ số i để Pi ⊂ Q. Đặc biệt,

n (cid:84) i=1

nếu Q = Pi thì có i để Q = Pi.

Cho P và Q là hai iđêan của vành R thì Q ∪ P cũng là một iđêan

của R. Ta còn định nghĩa iđêan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi là iđêan

thương của Q cho P.

Cho P là iđêan của vành R. Căn của P, kí hiệu r (P ), là iđêan xác

định như sau:

r (P ) = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ P }

Mệnh đề 1.4.2 . Cho P là một iđêan của vành R. Khi đó:

(1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P là iđêan nguyên tố thì r (P n) = P với mọi số n>0.

Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và Q là iđêan của B thì P = f −1(Q) cũng là một iđêan của A và ta sẽ kí hiệu P = Qc. iđêan P

của R được gọi là nguyên sơ nếu P khác R và nếu x.y ∈ P thì x ∈ P hoặc yn ∈ P với một số nguyên dương n nào đó. Một iđêan nguyên tố

6

đương nhiên là iđêan nguyên sơ nhưng điều ngược lại không đúng. iđêan

P được gọi là Q-nguyên sơ nếu P là iđêan nguyên sơ và r(P)=Q.

Mệnh đề 1.4.3 . Nếu Q là iđêan nguyên sơ thì r(Q) là iđêan nguyên

tố tối tiểu của R chứa Q.

Mệnh đề 1.4.4 . Nếu r(P) là iđêan tối đại thì P là iđêan nguyên sơ. Đặc biệt, nếu P là iđêan tối đại của R thì với mọi n>0, P n là iđêan

P-nguyên sơ.

Một sự phân tích nguyên sơ của iđêan P trong vành R là sự biểu diễn

P như là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R. Sự phân

n (cid:84) i=1

tích nguyên sơ P = Qi của iđêan P trong vành R được gọi là tối tiểu

n (cid:84) j=1 j(cid:54)=i

nếu với mọi i, Qj (cid:54)⊂ Qi. Từ một sự phân tích nguyên sơ bất kì, ta

luôn có được một phân tích nguyên sơ tối tiểu. iđêan P của R được gọi

là phân tích được nếu P có một sự phân tích nguyên sơ trong R.

là phân tích nguyên sơ tối tiểu của P. Khi đó, với mỗi i, đặt Qi

Mệnh đề 1.4.5 . Cho P là iđêan phân tích được của vành R và P = n (cid:84) i=1 Pi = r (Qi). Khi đó, các Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ của P.

1.5 Mô đun con

Một mô đun con thực sự N của M được gọi là mô đun con nguyên tố của

M nếu, với mọi r ∈ R và m ∈ M thỏa rm ∈ N thì hoặc là m ∈ N ,hoặc

là r ∈ (N : M ). Ta thấy, nếu N là mô đun con nguyên tố của M thì

P = (N : M ) là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta còn gọi N là P-mô

đun con nguyên tố.

Cho R là vành và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử x thuộc R, ta

gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử x với

7

M. Khi đó, nilradical của M, kí hiệu (cid:60)(M ), là tập tất cả các phần tử x

thuộc R sao cho ϕx,M lũy linh. Nó là một iđêan của R, được gọi là căn lũy linh của M.

r,M/N

mỗi r thuộc R, đồng cấu ϕ Định lý 1.5.1 . N là mô đun con nguyên tố của M khi và chỉ khi với : M/N → M/N hoặc là đơn cấu, hoặc

là bằng 0.

Ta nói mô đun M là nguyên tố nếu mô đun con 0 của M là mô đun

con nguyên tố. Do đó, Mô đun con N là mô đun con nguyên tố khi và chỉ khi M/N là mô đun nguyên tố.

Một R-mô đun M được gọi là coprimary nếu M khác không và với

mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, (cid:60)(M ) = P là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta nói M là P-coprimary.

Cho M là R-mô đun và P là iđêan nguyên tố của R. Mô đun con N của M được gọi là mô đun con P-nguyên sơ nếu mô đun thương M/N là P-đối nguyên sơ. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự

biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:

(cid:17) N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn. Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con nguyên sơ Q1, Q2, ..., Qn thỏa các điều kiện : phân biệt. (cid:16)M/Qi

(1) Các iđêan nguyên tố Pi = (cid:60) (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.

Cho M là R-mô đun có mô đun 0 có sự phân tích nguyên tối tiểu

0 = Q1 ∩ ... ∩ Qn . Khi đó:

(cid:17) không phụ (cid:16)M/Qi

Mệnh đề 1.5.2 . Tập các iđêan nguyên tố Pi = (cid:60) thuộc vào sự phân tích của mô đun 0. Hơn nữa, nếu P là một iđêan

nguyên tố của R thì các điều sau tương đương :

(1) P là một trong các Pi. (2) M có một mô đun con P-đối nguyên sơ.

(3) M có một mô đun con mà nilradical của nó là P.

8

(cid:17) được kí hiệu Ass(M). (cid:16)M/Qi

Tập các iđêan Pi = (cid:60) Một tập con B của Ass(M) được gọi là cô lập nếu với mỗi P thuộc B

và mọi Q thuộc Ass(M), nếu Q ⊂ P thì Q ∈ B

Mệnh đề 1.5.3 . Nếu {Pi1, ..., Pir} là tập con cô lập của Ass(M) thì mô đun con Qii ∩ ... ∩ Qir không phụ thuộc sự phân tích đã chọn.

.

Mệnh đề 1.5.4 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M không đơn cấu là hợp của tấp cả các Pi thuộc Ass(M).

Mệnh đề 1.5.5 . Tập các phần tử x ∈ R để ϕx,M lũy linh là giao của tất cả các Pi thuộc Ass(M).

1.6 Vành Nơ te

Một vành R được gọi là vành Nơ te nếu mọi tập khác rỗng các iđêan

của R đều có phần tử tối đại.

Mệnh đề 1.6.1 . Các điều sau là tương đương đối với một vành R:

(1) R là vành Nơ te.

(2) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.

Mệnh đề 1.6.2 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó,

(1) Nếu φ : R → S là một toàn cấu thì S là vành Nơ te. (2) Nếu S là tập con đóng nhân của R thì S−1R là vành Nơ te.

(3) Nếu P là một iđêan nguyên tố của R thì RP là vành Nơ te.

Mệnh đề 1.6.3 . Cho S là một vành con của vành R. Nếu S là vành

Nơ te và R là hữu hạn sinh, xét như S-mô đun. Khi đó, R là vành Nơ

te.

Định lý 1.6.4 . Trong vành Nơ te, mọi iđêan đều có một sự phân tích

nguyên sơ.

9

Mệnh đề 1.6.5 . Cho R là vành Nơ te. Khi đó,

(1) Mọi iđêan đều chứa một lũy thừa nào đó căn radical của nó.

(2) Nếu Q là iđêan tối đại của R và P là một iđêan bất bì khác của

R thì các điều sau tương đương:

(a) P là Q-nguyên sơ.

(b) r (P ) = Q (c) tồn tại số n để Qn ⊂ P ⊂ Q

1.7 Vành Artin

Một vành R được gọi là vành Artin nếu mọi tập không rỗng các iđêan

của R đều có phần tử tối tiểu.

Mệnh đề 1.7.1 . Trong một vành Artin, ta có:

(1) Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại.

(2) Tập các iđêan tối đại là tập hữu hạn.

Định lý 1.7.2 . Cho vành R có iđêan không là tích của các iđêan tối

đại P1, ..., Pn ( không nhất thiết các iđêan tối đại khác nhau). Khi đó, R là vành Nơ te khi và chỉ khi R là vành Artin.

Ta xét dãy hữu hạn các iđêan nguyên tố của R như sau:

P0 (cid:32) P1 (cid:32) P2 (cid:32) .... (cid:32) Pn Một dãy như trên được gọi là có độ dài n. Ta định nghĩa chiều của vành

R là sup của tập các độ dài các dãy iđêan nguyên tố của R. Kí hiệu là

dimR. Hiển nhiên vành Artin có số chiều là 0.

Định lý 1.7.3 . Cho vành R. R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành

Nơ te và dimR=0.

Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan

tối đại.

Định lý 1.7.4 . Một vành Artin R bất kì luôn đẳng cấu với tích trực

tiếp của hữu hạn các vành Artin địa phương.

10

1.8 Dãy khớp

Cho M và E là hai R-mô đun, ánh xạ f : M → E được gọi là R-đồng

cấu nếu với mọi m1, m2 ∈ M và r ∈ R thì

f (m1 + m2) = f (m1) + f (m2) f (r.m1) = r.f (m1)

Ta đặt Hom(M,E) là tập tất cả các R-đồng cấu từ M vào E.

Cho f : M → N là R-đồng cấu các R-mô đun và E là một R-mô đun,

ta kí hiệu

f∗ : Hom (N, E) → Hom (M, E)

là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(N,E) thành đồng cấu gf

trong Hom(M,E). Tương tự,

f ∗ : Hom (E, M ) → Hom (E, N )

là R-đồng cấu biến mỗi đồng cấu g trong Hom(E,M) thành đồng cấu fg

trong Hom(E,N).

Một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu

fn−−→ Mn

fn+1−−−→ Mn+1 −→ ...

... −→ Mn−1

được gọi là khớp tại Mn nếu Im fn = Ker fn+1.

Một dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi Mn. Đặc biệt:

f −→ N khớp khi và chỉ khi f đơn cấu.

(1) Dãy 0 −→ M

f −→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi f toàn cấu.

(2) Dãy M

g −→ M

f −→ N −→ 0 khớp khi và chỉ khi g đơn cấu, f

(3) Dãy 0 −→ L

toàn cấu và Im g = Ker f .

g −→ M

f −→ N −→ 0 là một dãy các R-mô đun và

Mệnh đề 1.8.1 . Cho L

R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau

khớp:

f −→ Hom (M, E)

g −→ Hom (L, E)

0 −→ Hom (N, E)

g −→ M

f −→ N là một dãy các R-mô đun và

Mệnh đề 1.8.2 . Cho 0 −→ L

g −→ Hom (E, M )

f −→ Hom (E, N )

R-đồng cấu. Dãy trên khớp khi và chỉ khi với mọi R-mô đun E, dãy sau

khớp: 0 −→ Hom (E, L)

11

Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun nội xạ

nếu với mỗi đơn cấu χ : A → B, mỗi đồng cấu f : A → E, tồn tại đồng

cấu f : B → E sao cho f = f χ.

Định lý 1.8.3 . Mọi mô đun đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ

nào đó, xem như là mô đun con của mô đun nội xạ đó.

Nếu R-mô đun E là nội xạ thì với mọi dãy khớp ngắn

g −→ M

f −→ N −→ 0

0 −→ L

ta có dãy khớp sau:

f −→ Hom (M, E)

g −→ Hom (L, E) −→ 0.

0 −→ Hom (N, E)

Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun xạ ảnh

nếu với mỗi toàn cấu σ : B → C, mỗi đồng cấu f : E → C, tồn tại đồng

cấu f : E → B sao cho f = σf .

g −→ M

Nếu R-mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn f −→ N −→ 0 0 −→ L

g −→ Hom (E, M )

f −→ Hom (E, N ) −→ 0

ta có dãy khớp sau:

0 −→ Hom (E, L)

12

Chương 2

MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC

2.1 Mô đun biểu biễn được

2.1.1 Các định nghĩa

Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một R-mô đun M được gọi là thứ

cấp nếu M khác không và với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh.

Mệnh đề 2.1.1 Cho M là R-mô đun thứ cấp. Ta có (cid:60) (M ) = ρ là iđêan

nguyên tố của R.

Chứng minh:

Giả sử xy ∈ ρ và y /∈ ρ. Khi đó, với mọi n, ynM (cid:54)= 0 và tồn tại số m để (xy)m M = 0. Do đó, ϕy,M không lũy linh nên nó là toàn cấu. Do đó, yM = M . Vì thế nên 0 = (xy)m M = xmymM = xmM . Suy ra, x ∈ ρ.

Vậy, ρ là iđêan nguyên tố của R.

Do mệnh đề trên, khi M là R-mô đun thứ cấp có (cid:60) (M ) = ρ, ta gọi

M là ρ-thứ cấp.

Cho M là R-mô đun. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M

như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + ... + Nn. Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp

N1, N2, ..., Nn thỏa các điều kiện :

13

(1) Các iđêan nguyên tố (cid:60) (Ni) phân biệt. (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được.

Mệnh đề 2.1.2 . Tổng trực tiếp hữu hạn các mô đun ρ-thứ cấp là một

mô đun ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

m ⊕ i=1 Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi

r.−→ Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rniMi = 0. Đặt n = n1n2...nm. Khi đó, rnMi = 0 với mọi i . Do đó, rnM = 0, tức là M r.−→ M lũy linh. Nếu r /∈ ρ thì với mọi i, Mi

r.−→ Mi là toàn cấu. Do đó, M r.−→ M cũng

Giả sử M = Mi là tổng trực tiếp các R-mô đun ρ-thứ cấp.

là toàn cấu.

Vậy, M là R-mô đun ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.1.3 . Mô đun thương khác không của mô đun ρ-thứ cấp là

mô đun ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp và M/N là một mô đun thương khác

0 bất kì của M.

(cid:17) rnM = 0 . Do đó, rn (cid:16)M/N = rnM/N = 0 nên M/N

Nếu r /∈ ρ thì đồng cấu M r.−→ M là toàn cấu. Do đó, r

Nếu r ∈ ρ thì đồng cấu M r.−→ M là lũy linh. Khi đó, tồn tại số n để r.−→ M/N lũy linh. (cid:17) (cid:16)M/N = r.−→ M/N toàn cấu. Vậy, M/N là R-mô đun ρ-thứ

rM/N = M/N nên M/N cấp.

m ⊕ i=1

thể coi như là mô đun thương của R-mô đun M = Giả sử M1, M2, ..., Mr là các R- mô đun con của M. Ta thấy Mi có Mi. Do đó, nếu

m ⊕ i=1

M = Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp thì do mệnh đề trên, Mi cũng là

14

m ⊕ i=1

R-mô đun biểu diễn được. Do đó, ta có: M1, M2, ..., Mr là các R- mô đun ρ-thứ cấp khi và chỉ khi M = Mi là R-mô đun ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.1.4 . Cho M là R-mô đun, ρ là iđêan nguyên tố của R,

và M1, M2, ..., Mr là các mô đun con ρ-thứ cấp của M. Khi đó, N = M1 + M2 + ... + Mr là mô đun con ρ-thứ cấp của M.

Chứng minh :

r.−→ Mi là lũy linh. Do đó, có số ni để rni.Mi = 0. Đặt n = n1.n2...nm. Khi đó, rnMi = 0 với mọi i . Do đó, rn.N = 0, tức là N r.−→ N lũy linh. Nếu r /∈ ρ thì với mọi i, Mi

r.−→ Mi là toàn cấu. Do đó, N r.−→ N cũng

Nếu r ∈ ρ thì với mọi i, Mi

là toàn cấu.

Vậy, N là R-mô đun ρ-thứ cấp.

n (cid:80) i=1

Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn

thứ cấp của M. Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố

(cid:60)(Ni) = ρi là khác nhau. Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta coi biểu diễn trên là tối tiểu. Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta

luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu.

n (cid:80) i=1

Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn

thứ cấp tối tiểu của M. Các iđêan nguyên tố ρ1, ρ2, ..., ρn được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của R-mô đun biểu diễn được M, kí hiệu là

Att(M).

Tập con (cid:80) của Att(M) được gọi là cô lập nếu với bất kì Q ∈ Att(M )

thỏa điều kiện có P ∈ (cid:80) để Q ⊂ P thì Q ∈ (cid:80) .

Mệnh đề 2.1.5 . Cái linh hóa của một mô đun ρ-thứ cấp là một iđêan

ρ-nguyên sơ.

Chứng minh:

15

+ Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xnM = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M ) và xn ∈ r (Ann (M )). Ngược lại, vì Ann (M ) ⊂ ρ và ρ là iđêan nguyên tố

nên r (Ann (M )) ⊂ ρ. Do đó, r (Ann (M )) = ρ.

+ Giả sử xy ∈ Ann (M ). Khi đó, xyM = 0. Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xnM = 0. Do đó, xn ∈ Ann (M ).

Nếu x /∈ ρ thì xM = M . Do đó, yM = yxM = 0 và y ∈ Ann (M ).

Vậy, Ann (M ) là iđêan ρ-nguyên sơ.

Mệnh đề 2.1.6 . Nếu M là một R-mô đun ρ-thứ cấp và S là tập con

nhân của R thì :

a) Nếu S ∩ ρ (cid:54)= ∅ thì S−1M =0. b) Đồng cấu nhúng M vào S−1M là toàn cấu. c) S−1M hoặc là bằng 0, hoặc là một S−1R-mô đun S−1ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

a) Giả sử S ∩ ρ (cid:54)= ∅. Lấy p ∈ S ∩ ρ. Khi đó, tồn tại số n để pnM = 0 và s ∈ S−1M ,

pn ∈ S. Ta có, pn (s.0 − 1.m) = pnm = 0. Vì thế nên với mọi m m s = 0S−1M . Vậy, S−1M = 0

1 ∈ S−1M . Nếu S ∩ ρ (cid:54)= ∅ thì S−1M =0. Khi đó, đồng cấu nhúng M vào S−1M đương nhiên là toàn cấu. Nếu S ∩ ρ = ∅ thì với bất kì m s ∈ S−1M , vì sM = M nên có m1 ∈ M để sm1 = m. Khi đó, ta có s (s.m1 − 1.m) = 0 nên ψ (m1) = m1

s . Do đó, đồng cấu nhúng M vào S−1M là toàn cấu.

1 = m c) Giả sử S−1M (cid:54)= ∅. Nếu p

p

b) Ta có ψ : M → S−1M biến m ∈ M thành m

s(cid:48) ∈ S−1ρ thì do p ∈ ρ nên tồn tại số n để pnM = 0. Khi đó, với s(cid:48) ∈ S−1M , (cid:0) p s(cid:48)−→ S−1M là lũy

s(cid:48).s = 0. Do đó, S−1M

s = pn.m

s(cid:48)

(cid:1)n m bất kì m

linh.

s(cid:48) /∈ S−1ρ thì với mọi m

p

s ∈ S−1M , do p /∈ ρ nên ta tìm được s−→ S−1M là toàn

s nên S−1M

m1 1 = m

Nếu p

m1 ∈ M để p.m1 = m. Khi đó, do p s cấu.

Vậy, S−1M là S−1R -mô đun S−1ρ-thứ cấp.

16

2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được

Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không.

Mệnh đề 2.1.7 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, α = (cid:17) Ann(M ) là iđêan phân tích được của R. Và Ass ⊂ Att (M ) (cid:16)R/α

Chứng minh:

n (cid:80) i=1

Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni là ρi-thứ

n (cid:80) i=1

cấp. Đặt Qi = Ann(Ni). Từ 2.1.5, ta có Qi là ρi-nguyên sơ. Nếu r ∈ ∩Qi thì rNi = 0 với mọi chỉ số i. Do đó, rM = rNi = 0.

Suy ra, r ∈ Ann (M ).

n (cid:80) i=1

Ni

Ni. Khi đó, Ni. Chọn x0 ∈ Ni0\ là biểu diễn tối tiểu nên Ni0 (cid:54)⊂

n (cid:80) i=1 i(cid:54)=i0

Nếu r /∈ ∩Qi thì tồn tại chỉ số i0 để r /∈ ρi0. Vì biểu diễn M = n (cid:80) i=1 i(cid:54)=i0

n (cid:88)

rxi0 (cid:54)= 0 và

Ni rxi0 /∈

i = 1

i (cid:54)= i0

n (cid:88)

Vì thế cho nên

Ni (cid:54)= 0 rxio +

i = 1

i (cid:54)= i0

Do đó, rM (cid:54)= 0. Suy ra, r /∈ Ann (M ). Vậy, ta có Ann(M ) = ∩Qi. Do đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A. (cid:17) Theo mệnh đề 1.5.2, ta có Ass ⊂ Att (M ) (cid:16)R/α

Mệnh đề 2.1.8 . Cho Q là một mô đun thương khác 0 của R- mô đun

biểu diễn được M. Khi đó, Q là mô đun biểu diễn được và Att(Q) ⊂

Att(M ).

17

Chứng minh:

n (cid:80) i=1

Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni là ρi-thứ

n (cid:80) i=1

(Ni + P )/P . Ta có (Ni + P )/P

cấp. Đặt Q = M/P . Khi đó, Q = ∼= Ni/Ni ∩ P nên theo mệnh đề 2.1.3, (Ni + P )/P là một ρi-thứ cấp hoặc bằng 0. Do đó, bằng cách loại bỏ các mô đun 0, Q là mô đun biểu diễn

được. Hơn nữa, Att(Q) ⊂ Att(M ).

Định lý 2.1.9 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được có tập các iđêan

nguyên tố gắn kết Att(M)={ρ1, ρ2, ..., ρn}. Khi đó, tập các iđêan nguyên tố gắn kết Att(M) chỉ phụ thuộc vào M và không phụ thuộc vào sự biểu

diễn thứ cấp tối tiểu. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương đối với

một iđêan nguyên tố P :

(1) P là một trong các ρi. (2) M có một mô đun thương P-thứ cấp.

(3) M có một mô đun thương Q sao cho (cid:60) (Q) = P .

(4) M có một mô đun thương Q sao cho P là phần tử tối tiểu trong

tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(Q).

Chứng minh :

j(cid:54)=i

(1)=⇒(2): Giả sử P = ρi. Đặt Qi = (cid:80) Nj. Khi đó, do biểu diễn của

(cid:54)= 0. Ta có : M là tối tiểu nên M (cid:54)= Qi, M/Qi

∼= Ni/Ni ∩ Qi M/Qi = (Ni + Qi)/Qi

là ρi-thứ cấp. Vì Ni là ρi-thứ cấp nên theo tính chất 2.1.3, ta có M/Qi

(2)=⇒(3): Hiển nhiên.

(3)=⇒(4): Nếu Q là mô đun thương của M sao cho (cid:60) (Q) = P . Khi

đó, P là căn của Ann(Q). Vì căn của Ann(Q) là iđêan nguyên tố tối tiểu

của R chứa Ann(Q) nên ta có (4).

(4)=⇒(1): Giả sử Q là mô đun thương của M sao cho P là phần tử

tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(Q). Do mềnh đề 2.1.8,

18

ta có Q là biểu diễn được. Do 2.1.7, Ann(Q) là iđêan phân tích được của

R và (cid:17) Ass ⊂ Att (Q) ⊂ Att (M ) (cid:16)R/Ann(Q)

(cid:17) Vì P ∈ Ass nên P ∈ Att (M ), tức là P là một trong các ρi. (cid:16)R/Ann(Q)

Mệnh đề 2.1.10 . Giả sử vành R là Nơ te và P là một iđêan nguyên

tố của R. Khi đó, các điều kiện trong định lý 2.1.9 đối với iđêan nguyên

tố P tương đương với điều kiện sau:

(5) Tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q) = P.

Chứng minh :

(2)=⇒(5): Cho Q là mô đun thương ρ-thứ cấp của M. Khi đó, do

2.1.5 nên Ann(Q) là iđêan ρ-nguyên sơ. Vì R là vành Nơ te nên theo

(cid:17) = ρ. 1.6.5, Ann(Q) chứa một lũy thừa nào đó của ρ. Tức là có số nguyên k để ρkQ = 0. Vì Q khác 0 nên Q (cid:54)= ρQ ( nếu Q = ρQ thì Q = ρQ = ρ2Q = ... = ρkQ = 0 ). Do đó, Q/ρQ khác 0 nên là mô đun ρ-thứ cấp bởi 2.1.3 và Ann (cid:16)Q/ρQ

(5)=⇒(3): Giả sử tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q)

=ρ. Vì Ann(Q) là iđêan nguyên tố ρ nên ta có (cid:60)(Q) = r (Ann(Q)) = ρ.

Mệnh đề 2.1.11 . Cho x là phần tử bất kì của R. Khi đó, ta có :

(1) ϕx,M là toàn cấu⇔ x /∈ ρi.

n (cid:83) i=1 n (cid:84) i=1

ρi. (2) ϕx,M là lũy linh⇔ x ∈

Chứng minh :

n (cid:83) i=1

(1) Nếu x /∈ ρi thì xNi = Ni, i = 1, n. Do đó, xM=M. Tức là ϕx,M

n (cid:83) i=1

là toàn cấu. Ngược lại, nếu x ∈ ρi, tức là tồn tại chỉ số i và số nguyên

r để xrNi = 0. Do đó,

n (cid:88)

j=1

j(cid:54)=i

j(cid:54)=i

(cid:88) (cid:88) xrM = xrNj ⊂ Nj xrNj =

19

n (cid:80) j=1

n (cid:88)

Vì M = Nj là biểu diễn tối tiểu nên

j=1

j(cid:54)=i

(cid:88) xrM ⊂ Nj (cid:32) Nj = M.

n (cid:83) i=1

Tức là ϕx,M không toàn cấu. Do đó, nếu ϕx,M toàn cấu thì x /∈ ρi.

(2) Ta thấy, ϕx,M lũy linh khi và chỉ khi mọi ϕx,Ni lũy linh, và ϕx,Ni

lũy linh khi và chỉ khi x ∈ ρi. Do đó,

n (cid:84) i=1

ϕx,M là lũy linh ⇔ x ∈ ρi .

Mệnh đề 2.1.12 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được và α = Ann(M ) (cid:17) . Khi đó, Ass và Att(M) có chung các iđêan nguyên tố cô lập, và (cid:16)R/α

do đó, các iđêan nguyên tố cô lập gắn kết của M là phần tử nhỏ nhất

trong tập các iđêan nguyên tố chứa α .

Chứng minh :

Đặt φ là tập các phần tử tối tiểu của Ass(R/α) và ψ là tập các phần

tử tối tiểu của Att(M). Khi đó, do mệnh đề 2.1.11, ta có:

n (cid:84) P ∈ψ

P = r (α) = (cid:60)(M ) = P . (cid:84) P ∈φ

Từ đó, ta thấy: mỗi P ∈ φ chứa một P (cid:48) ∈ ψ và ngược lại. Do đó, φ = ψ.

Mệnh đề 2.1.13 . Cho α là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R-mô

đun biểu diễn được. Khi đó, các điều sau tương đương :

1. M = αM

2. ∃x ∈ α : M = xM

Chứng minh :

(1)=⇒(2): Giả sử α ⊂ ρi0 với một chỉ số i0 nào đó. Vì α là hữu hạn

sinh, ta tìm được số nguyên r để αrNi0 = 0 . Do đó:

20

Ni (cid:54)= M M = αM = αrM = (cid:80) i(cid:54)=i0 αrNi = (cid:80) i(cid:54)=i0

n (cid:83) i=1

Điều mâu thuẫn này chỉ ra rằng với mọi i, ta có α (cid:54)⊂ ρi . Do đó, α (cid:54)⊂ ρi.

n (cid:83) i=1

Khi đó, tồn tại x ∈ α\ ρi để ϕx,M là toàn cấu theo mềnh đề 2.1.11.

Tức là xM=M.

(2)=⇒(1): hiển nhiên.

Mệnh đề 2.1.14 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu

n (cid:80) i=1

M = Ni, S là tập con nhân của R và {ρ1, ρ2, ..., ρn} là tập các

iđêan gắn kết của R-mô đun M. Giả sử rằng S có phần tử chung với

ρr+1, ρr+2, ..., ρn và không có phần tử chung với ρ1, ρ2, ..., ρr. Khi đó, các mô đun con của M sau dây bằng nhau :

xM

b) Ni a) (cid:84) x∈S r (cid:80) i=1

c) Tổng tất cả các mô đun con ρ-thứ cấp N của M sao cho ρ ∩ S = ∅.

Chứng minh :

Đặt L1, L2, L3 lần lượt là ba mô đun con trên. Ta sẽ chỉ ra :

L1 ⊂ L2 ⊂ L3 ⊂ L1.

với i = r + 1, n. Khi đó, với số nguyên k đủ lớn thì xk

n (cid:81) i=r+1

i = r + 1, n. Đặt x = xk i ∈ S. Khi đó, L1 ⊂ xM = Vì S có phần tử chung với ρr+1; ρr+2; ...; ρn nên ta gọi xi ∈ S ∩ ρi i Ni = 0 với mọi n (cid:80) xNi = i=1

r (cid:80) i=1

xNi ⊂ L2.

Dễ thấy L2 ⊂ L3. Giả sử N là một mô đun con ρ-thứ cấp của M mà ρ ∩ S = ∅. Với

mọi x ∈ S, ta có x /∈ ρ. Vì N là ρ-thứ cấp nên ϕx,N là toàn cấu. Do đó, N = xN ⊂ xM .Vì thế, N ⊂ L1 .Vậy, tổng tất cả các mô đun con ρ-thứ cấp N của M sao cho ρ ∩ S = ∅ được chứa trong L1.

21

Mô đun con của M trong mệnh đề 2.1.14 được ký hiệu là S(M). Ta

r (cid:80) i=1

xM = Ni. có S(M ) = (cid:84) x∈S

n (cid:80) i=1

M =

Định lý 2.1.15 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu Ni với (cid:60) (Ni) = ρi và (cid:80) là một tập con cô lập của Att(M). Bằng cách đánh số lại, ta giả sử (cid:80) = {ρ1, ρ2, ..., ρr}. Khi đó, mô đun

con N1 + N2 + ... + Nr không phụ thuộc biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M.

Chứng minh :

r (cid:83) i=1 (cid:18)

Đặt S = R\ ρi. Khi đó,

(cid:19) R\ ρi S ∩ ρj = ∩ ρj = ∅ với j = 1, r

r (cid:83) i=1 r (cid:83) i=1

r (cid:83) i=1

(cid:18) (cid:19) R\ ρi S ∩ ρj = ∩ ρj = ρj\ ρi (cid:54)= ∅ với j = r + 1, n

Do đó, S thỏa mãn giả thiết của mệnh đề 2.1.14. Từ đó, N1 + N2 + ... + Nr = S(M ) . Nhưng S(M) chỉ phụ thuộc vào M và (cid:80) nên ta có kết quả của định lý.

Mệnh đề 2.1.16 . Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu

n (cid:80) i=1

Ni với (cid:60) (Ni) = ρi, α là iđêan hữu hạn sinh của R. Khi đó, dãy

i∈I

Ni với I

M = mô đun con (αrM )r≥0 dừng và với r đủ lớn và ta có αrM = (cid:80) là tập tất cả các chỉ số i sao cho α (cid:54)⊂ ρi.

Chứng minh :

Vì α hữu hạn sinh nên với r đủ lớn và mọi chỉ số i /∈ I thì αrNi = 0.

n (cid:80) i=1

i∈I

i∈I

Do đó, ta có αrM = αrNi = (cid:80) αrNi ⊂ (cid:80) Ni.

i∈I

Mặt khác, tập {ρi : i ∈ I} là tập con cô lập của Att(M) nên theo ρi . Cho r là số nguyên Ni = S(M ) với S = R\ (cid:83) 2.1.15, ta có (cid:80) i∈I

x∈S

i∈I

ρi. Do đó, tồn tại xr ∈ S ∩αr. Ta có, (cid:80) Ni = S(M ) = (cid:84) dương bất kì. Với mọi chỉ số i ∈ I , do α (cid:54)⊂ ρi nên αr (cid:54)⊂ ρi . Vì thế nên αr (cid:54)⊂ (cid:83) xM ⊂ i∈I

i∈I

xrM ⊂ αrM . Do đó, với r đủ lớn, ta có αrM = (cid:80) Ni .

22

Mệnh đề 2.1.17 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được và S là tập con

đóng nhân của R. Khi đó, S(M)=a.M với một phần tử a nào đó thuộc

S.

Chứng minh :

n (cid:81) i=r+1

Giả sử Att (M ) = {ρ1, ..., ρn}, S có phần tử chung với ρr+1, ρr+2, ..., ρn và không có phần tử chung với ρ1, ρ2, ..., ρr . Theo mệnh đề 2.1.14, ta có S (M ) = N1 + N2 + ... + Nr. Vì S có phần tử chung với ρr+1, ρr+2, ..., ρn nên ta có thể chọn các ai ∈ S ∩ ρi với i = r + 1, n. Khi đó, aki i Ni = 0. Đặt a = , ta có: aki i

n (cid:80) i=1

r (cid:80) i=1

aM = aNi = aNi

r (cid:80) i=1

r (cid:80) i=1

Vì a ∈ S nên a /∈ ρi với i

.

Mệnh đề 2.1.18 . Cho I là một iđêan của R. Nếu M là R-mô đun biểu

diễn được thì IM là R-mô đun biểu diễn được.

Chứng minh.

n (cid:80) i=1

Đặt M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Att (M ) =

n (cid:80) i=1

{ρ1, ρ2, ..., ρn}. Khi đó, ta có IM = INi.

Nếu r ∈ ρi thì rmINi = I (rmNi) = 0 với một m nào đó. Nếu r /∈ ρi thì rINi = I (rNi) = INi. Do đó, với mọi i, INi là R-mô

đun ρi-thứ cấp. Do đó, IM là R-mô đun biểu diễn được.

Mệnh đề 2.1.19 . Cho R là vành giao hoán và ρ là một iđêan nguyến

tố của R. Khi đó, R-mô đun M thỏa điều kiện sau là mô đun ρ-thứ cấp:

với mọi R-mô đun con N thực sự của M, tồn tại số h để (N : M ) ⊂ ρ và ρh ⊂ (0 : M )

23

Chứng minh:

Nếu x ∈ ρ thì xh.M = 0. Do đó, đồng cấu M x.−→ M lũy linh. Nếu x /∈ ρ, ta đặt N = ϕx,M (M ). Giả sử N (cid:32) M thì N là mô đun con thực sự của M thỏa x ∈ (N : M ) ⊂ ρ. Điều này trái giả thiết. Vì

thế, N=M và ϕx,M là toàn cấu.

Vậy, M là R-mô đun ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.1.20 . Cho R là vành Nơ te giao hoán và M là R-mô đun

ρ-thứ cấp. Khi đó, với mọi R-mô đun con N thực sự của M, tồn tại số h để (N : M ) ⊂ ρ và ρh ⊂ (0 : M )

Chứng minh:

Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp và N là mô đun con thực sự bất kì

của M.

Nếu x ∈ (N : M ) thì x.M ⊂ N (cid:32) M . Do đó, đồng cấu M x.−→ M

không là toàn cấu nên x ∈ ρ. Do đó, (N : M ) ⊂ ρ.

i M = 0 . Đặt k là số lớn nhất trong các số h1, ..., hn thì xk

Vì R là vành Nơ te nên ρ là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử tập các phần

tử sinh của ρ là {x1, ..., xn} ⊂ ρ. Với mỗi i, do xi ∈ ρ nên tồn tại số hi để xhi i .M = 0. Do đó, với h=k.n thì ρh.M = 0, tức là ρh ⊂ (0 : M ).

Với hai mệnh đề trên, khi R là vành Nơ te, R-mô đun M là mô đun

biểu diễn được khi và chỉ khi:

(1) Với mọi R-mô đun con N thực sự của M, (N : M ) ⊂ ρ. (2) Tồn tại số h để ρh ⊂ (0 : M ).

Từ đó, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.21 . Cho R là vành Nơ te và ρ là iđêan nguyên tố của R.

Khi đó, M là ρ-thứ cấp khi và chỉ khi với mọi iđêan Q của R, M = QM nếu Q (cid:54)⊂ ρ và tồn tại số h để QhM = 0 nếu Q ⊂ ρ.

24

Chứng minh:

Giả sử M là ρ-thứ cấp và Q là iđêan của R. Khi đó, do nhận xét trên, ta có số h để ρh ⊂ (0 : M ). Do đó, nếu Q ⊂ ρ thì Qh ⊂ P h ⊂ (0 : M ).

Nếu Q (cid:54)⊂ ρ thì ta tìm được x ∈ Q\ρ. Do đó, M = xM ⊂ QM .

Ngược lại, giả sử với mọi iđêan Q của R, M = QM nếu Q (cid:54)⊂ ρ và tồn tại số h để QhM = 0 nếu Q ⊂ ρ. Nếu x ∈ ρ thì với Q là iđêan sinh bởi x, ta có xhM ⊂ QhM = 0. Tức là ϕx,M là lũy linh. Nếu x /∈ ρ thì với Q là iđêan sinh bởi x, ta có Q (cid:54)⊂ ρ và M = QM = xM do mệnh đề 2.1.13.

Cho M là R-mô đun và N là mô đun con của M, P là iđêan của R.

Ta định nghĩa: (N :M P ) = {m ∈ M : P m ⊂ N }

Mệnh đề 2.1.22 . Cho R là vành Nơ te và M là R-mô đun biểu diễn

được. Khi đó, với mọi P là một iđêan của R, tồn tại số h để M = P M + (cid:0)0 :M P h(cid:1)

Chứng minh:

n (cid:80) i=1

Giả sử M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M và ρi = (cid:60) (Ni)

. Giả sử P là một iđêan của R. Do mệnh đề 2.1.21, với mọi i=1,2,..,n, Ni = P Ni hoặc Ni ⊂ (cid:0)0 :M P hi(cid:1) với một số hi nào đó. Do đó,

Ni ⊂ P Ni + (cid:0)0 :M P hi(cid:1) ⊂ P M + (cid:0)0 :M P hi(cid:1) Lấy h là số lớn nhất trong các hi. Khi đó, Ni ⊂ P M + (cid:0)0 :M P h(cid:1) với mọi i. Do đó, ta có M ⊂ P M + (cid:0)0 :M P h(cid:1).

Vì vế phải là mô đun con của M nên M = P M + (cid:0)0 :M P h(cid:1).

Mệnh đề 2.1.23 . Cho R là vành Nơ te và M là R-mô đun biểu diễn

được có M = N1 + N2 + ... + Nn = L1 + L2 + ... + Ln là hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M thỏa ρi = (cid:60) (Ni) = (cid:60) (Li). Giả sử có số k sao cho mọi 1 (cid:54) i (cid:54) k và k + 1 (cid:54) j (cid:54) n đều có ρj (cid:54)⊂ ρi . Khi đó, N1 + N2 + ... + Nk = L1 + L2 + ... + Lk

Chứng minh:

25

jNj = ρs

jLj = 0. Đặt P = n. Khi đó, với mọi 1 (cid:54) i (cid:54) k, P (cid:54)⊂ ρi. Do đó, Ni = P Ni và

k+1....ρs ρs Li = P Li. Ta có

Với các k + 1 (cid:54) j (cid:54) n, tồn tại số s để ρs

P M = P N1 +P N2 +...+P Nk +P Nk+1 +...+P Nn = N1 +N2 +...+Nk

và

P M = P L1 + P L2 + ... + P Lk + P Lk+1 + ... + P Ln = L1 + L2 + ... + Lk

Do đó, N1 + N2 + ... + Nk = L1 + L2 + ... + Lk

Mệnh đề 2.1.24 . Cho R là vành nơ te và P là một iđêan nguyên tố

của R. M là R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, P ∈ Att (M ) khi và chỉ

khi tồn tại mô đun con K để P = (K : M ).

Chứng minh:

Giả sử M = N1 + N2 + ... + Nn là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M

với ρi = (cid:60) (Ni). Khi đó, Att (M ) = {ρ1, ..., ρn}.

Giả sử P ∈ Att (M ). Không mất tính tổng quát, ta giả sử P = ρ1.

Khi đó, tồn tại số k để P kN1 = 0. Vì biểu diễn của M là tối tiểu nên M = N1 + N2 + ... + Nn và M (cid:54)= P kN1 + N2 + ... + Nn. Chọn số 1 (cid:54) j (cid:54) k sao cho M = P j−1N1 + N2 + ... + Nn và M (cid:54)= P jN1 + N2 + ... + Nn. Đặt K = P jN1 + N2 + ... + Nn. Ta thấy K là mô đun con thực sự của M và P M ⊂ K. Do đó, P ⊂ (K : M ). Nếu P (cid:54)= (K : M ) thì N1 = (K : M ) N1 và N1 ⊂ (K : M ) M ⊂ K. Vì thế, K=M. Điều vô lý này cho thấy P = (K : M ).

Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của R và có mô đun con thực sự

t ) K ⊂ K. Suy ra, (ρs

t ) .M = (ρs

1...ρs

1...ρs

Do đó, P ⊂ ρi. Mặt khác, ta tìm được số nguyên s để ρs 1 (cid:54) i (cid:54) t. Do đó, (ρs K của M để P = (K : M ). Do đó, có chỉ số i để Ni (cid:54)⊂ K. Không mất tính tổng quát, ta giả sử có số t để Ni (cid:54)⊂ K với mọi 1 (cid:54) i (cid:54) t và Ni ⊂ K với mọi t+1 (cid:54) i (cid:54) n. Do đó, M = N1 +N2 +...+Nn = N1 +N2 +...+Nt +K. Với mọi 1 (cid:54) i (cid:54) t, Ni∩K là mô đun con của Ni và P Ni ⊂ Ni∩K (cid:32) Ni. i Ni = 0 với mọi 1...ρs t ) ⊂ P .

Do đó, có chỉ số j để ρj ⊂ P .

26

Vậy, ρj = P , tức là P ∈ Att (M ).

Định nghĩa: Cho M là R-mô đun và N là mô đun con của M.

Căn của N trong M, kí hiệu radM (N ), là giao của tất cả các mô đun con nguyên tố của M chứa N. Nếu không có mô đun con nguyên tố nào

của M như thế, ta đặt radM (N ) = M .

Đặt EM (N ) = {rm : r ∈ R và tồn tại số k>0 để rkm ∈ N (cid:9). Ta thấy EM (N ) là tập con của M . Gọi REM (N ) là mô đun con của

M sinh bởi EM (N ). Ta có

N ⊂ REM (N ) ⊂ rad (N )

Một mô đun con N của M được gọi là thỏa công thức radical trong M

nếu REM (N ) = radM (N ).

Một R-mô đun M được gọi là thỏa công thức radical nếu mọi mô đun

con của M đều thỏa công thức radical trong M.

Mệnh đề 2.1.25 . Cho M là R- mô đun ρ-thứ cấp. Khi đó:

(1) (N : M ) ⊂ ρ với mọi mô đun con thực sự N của M.

(2) ρM ⊂ REM (0). (3) Với mọi mô đun con N của M thì: hoặc là REM (N ) = M ,

hoặc là (REM (N ) : M ) = ρ.

Chứng minh:

1. Lấy r ∈ (N : M ), ta có rM ⊂ N . Vì N là mô đun con thực sự của

M nên rM cũng là mô đun con thực sự của M. Do đó, phép nhân r

và M không phải là toàn cấu. Vì M là ρ-thứ cấp nên r phải thuộc

ρ.

2. Lấy p ∈ ρ và m ∈ M . Vì M là ρ-thứ cấp nên có số tự nhiên n để

pnm = 0. Do đó, pm ∈ REM (0). Vậy, ρM ⊂ REM (N ).

3. Giả sử REM (N ) (cid:54)= M . Áp dụng phần 1 bằng cách thay N bằng REM (N ), ta có (REM (N ) : M ) ⊂ ρ. Mặt khác, từ phần 2, ta có

27

ρM ⊂ REM (0) . Do đó, ta có: ρ ⊂ (REM (0) : M ). Đồng thời, ta có REM (0) ⊂ REM (N ). Vì thế, ta có ρ ⊂ (REM (0) : M ) ⊂ (REM (N ) : M )

Mệnh đề 2.1.26 . Mọi R-mô đun ρ-thứ cấp đều thỏa công thức radical.

Chứng minh:

Cho N là mô đun con thực sự của M.

Nếu REM (N ) = M , ta thấy REM (N ) = rad (N ) Nếu REM (N ) (cid:54)= M , do mệnh đề 2.1.25, ta có (REM (N ) : M ) = ρ. Lấy r ∈ R\ρ và m ∈ M để rm ∈ REM (N ). Khi đó, tồn tại k phần

r1, r2, ..., rk ∈ R và k phần tử m1, m2, ..., mk ∈ M để

rm = r1m1 + r2m2 + ... + rkmk

2, ..., m(cid:48)

1, m(cid:48)

i mi ∈ N với i=1,2,...,k. Bởi vì r ∈ R\ρ nên i = mi.

k ∈ M để rm(cid:48)

và tồn tại số tự nhiên n để rn rM=M. Khi đó, tồn tại các phần tử m(cid:48)

Đặt

1 − r2m(cid:48)

2 − ... − rkm(cid:48) k

x = m − r1m(cid:48)

Ta thấy rx=0. Mặt khác, do rM=M và x ∈ M nên ta tìm được x(cid:48) ∈ M để x = rx(cid:48) . Do đó, ta có r2x(cid:48) = 0 và x = rx(cid:48) ∈ REM (0) ⊂ REM (N ).

i ∈ M . Vì thế,

i với m(cid:48)(cid:48)

i = r.m(cid:48)(cid:48)

i r2m(cid:48)(cid:48) rn

i = rn

i r.m(cid:48)

i = rn

i mi ∈ N

Hơn nữa, với mỗi i (1 ≤ i ≤ k), ta có m(cid:48)

i = rirm(cid:48)(cid:48)

i ∈ REM (N ). Kết hợp các kết quả trên, ta có:

Do đó, rim(cid:48)

1 + r2m(cid:48)

2 + ... + rkm(cid:48)

k + x ∈ REM (N )

m = r1m(cid:48)

Điều này chỉ ra REM (N ) là ρ-mô đun con nguyên tố của M. Vì thế, radM (N ) ⊂ REM (N ). Mặt khác, vì REM (N ) ⊂ radM (N ) nên REM (N ) = radM (N ). Do đó, N là mô đun con thỏa công thức radical trong M. Vậy, M là R-mô đun thỏa công thức radical.

28

Mệnh đề 2.1.27 .Cho M là R-mô đun và N là mô đun con của M. Nếu

K là P-mô đun con nguyên tố của N và (N : M ) (cid:54)⊂ P thì tồn tại một P-mô đun con nguyên tố K’ của M để N ∩ K (cid:48) = K

Chứng minh:

Đặt K (cid:48) = {m ∈ M |∃c ∈ R\P : c.m ∈ K}. Dễ thấy K’ là mô đun con

của M.

Ta chỉ ra K (cid:48) ∩ N = K. Giả sử x ∈ K (cid:48) ∩ N . Khi đó, tồn tại c ∈ R\P

sao cho c.x ∈ K. Vì K là mô đun con nguyên tố của N nên x ∈ K hoặc

là c.N ⊂ K. Nhưng vì c /∈ P nên c /∈ (K : N ). Vì thế, c.N (cid:54)⊂ K. Do đó, x ∈ K. Vì thế nên K (cid:48) ∩ N ⊂ K. Nhưng vì 1 ∈ R\P nên K ⊂ K (cid:48) nên K ⊂ K (cid:48) ∩ N . Vậy, K = K (cid:48) ∩ N .

Bây giờ, ta chứng tỏ K’ là P-mô đun con nguyên tố của M. Nếu K’=M thì K = K (cid:48) ∩ N = N . Điều này mâu thuẫn với việc K là mô đun con

nguyên tố của N. Đông thời, do K (cid:54)= ∅ nên K’ khác rỗng. Do đó, K’ là

mô đun con thực sự của M.

Bởi vì (N : M ) (cid:54)⊂ P nên tồn tại phần tử c ∈ R\P và c ∈ (N : M ).

Do đó, ta có cM ⊂ N . Mặt khác, vì P = (K : N ) nên P N ⊂ K. Từ đó, ta có cP M ⊂ P N ⊂ K. Do cách xác định K’, ta có P M ⊂ K (cid:48) hay P ⊂ (K (cid:48) : M ). Giả sử r.m ∈ K (cid:48) với r ∈ R và m ∈ M .

Nếu r ∈ P thì do P M ⊂ K (cid:48) nên rM ⊂ K (cid:48).

Nếu r ∈ R\P thì theo cách xác định K’, tồn tại d ∈ R\P để dr.m ∈ K.

Bởi vì P là iđêan nguyên tố và d, r /∈ P nên dr /∈ P . Do đó, dr ∈ R\P .

Lại theo cách xác định K’, ta có m ∈ K. Vì thế, K’ là mô đun con

nguyên tố của M.

Mệnh đề 2.1.28 . Cho M = M1 + M2 là tổng của hai mô đun con M1 và M2, trong đó, M1 thỏa công thức radical và M2 là ρ-thứ cấp. Nếu Ann (M1) (cid:54)⊂ ρ thì M thỏa công thức radical.

Chứng minh:

29

thỏa công Bởi vì M/M2 đẳng cấu với mô đun con của M1 nên M/M2

nên thức radical. Giả sử N là một mô đun con của M và m ∈ radM (N ) . Khi đó, vì (N + M2)/M2

(cid:17)

là một mô đun con của M/M2 (cid:17) (cid:16)(N + M2)/M2 (cid:16)(N + M2)/M2 = REM/M2

m + M2 ∈ radM/M2 Do đó, tồn tại k phần tử r1, ...., rk ∈ R và k phần tử m1, ...., mk ∈ M

để

m + M2 = r1 (m1 + M2) + ... + rk (mk + M2) i (m1 + M2) ∈ (N + M2)/M2 rt

với một t nào đó.

imi = ni + ui trong đó, ni ∈ N và ui ∈ M2.

Với mỗi i, ta viết rt

i . (ni + ui) = rs

i

i M2 = 0. Khi đó, rt+s rs REM (N ).

.mi = rs Nếu ri ∈ ρ với một i nào đó, do M2 là ρ -thứ cấp, thì có số s để i .ni ∈ N . Vì thế, ri.mi ∈

Nếu ri /∈ ρ thì ri.M2 = M2. Khi đó, tồn tại u(cid:48)

i ∈ M2 để rt imi − ui = ni ∈ N và ta có ri. (mi − u(cid:48)

i) = rt

i. (mi − u(cid:48)

i.u(cid:48) i = ui. Khi i) ∈ REM (N ) Đặt J = (cid:8)i : 1 (cid:54) i (cid:54) k và ri ∈ ρ(cid:9) và I = (cid:8)i : 1 (cid:54) i (cid:54) k và ri /∈ ρ(cid:9).

đó, rt

Ta viết:

i) + x

i∈J

i∈I

i∈J

i∈I

(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88) m = ri.mi + ri.mi + x(cid:48) = rimi + ri (mi − u(cid:48)

i) ∈ REM (N ) nên ta chỉ

i∈J

i∈I

với x, x(cid:48) ∈ M2. Vì e = (cid:80) ri.mi + (cid:80) ri. (mi − u(cid:48)

cần chỉ ra x ∈ REM (N ) là hoàn thành chứng minh.

Ta thấy x = m − e ∈ radM (N ) ∩ M2. Giả sử REM2 (N ∩ M2) (cid:54)= M2, theo phần chứng minh của mệnh đề 2.1.26, REM2 (N ∩ M2) là ρ-mô đun con nguyên tố của M2. Bởi vì Ann (M1) (cid:54)⊂ ρ nên ta có (M2 : M ) (cid:54)⊂ ρ. Theo mệnh đề 2.1.27 , ta tìm được ρ-mô đun con nguyên tố K của M để

K ∩ M2 = REM2 (N ∩ M2). Khi đó, ta có K ⊃ N ∩ M2 ⊃ (M2 : N ) N . Vì K là ρ-mô đun con nguyên tố của M và (M2 : M ) (cid:54)⊂ ρ nên N ⊂ K.

30

Ta có x ∈ radM (N ) nên x ∈ K ∩ M2 = REM2 (N ∩ M2). Do đó, x ∈ REM2 (N ∩ M2) ⊂ REM (N ∩ M2) ⊂ REM (N ). Vậy, chứng minh kết thúc.

Mệnh đề 2.1.29 . Mọi mô đun biểu diễn được đều thỏa công thức rad-

ical.

Chứng minh:

Đặt M = N1 + N2 + ... + Nn là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M và (cid:60) (Ni) = ρi . Bằng cách đánh số lại nếu cần, ta giả sử rằng với mọi i

Nếu n=2 thì mệnh đề đúng do mệnh đề 2.1.28. Giả sử mệnh đề đúng

cho mọi số nhỏ hơn n. ta xét cho trường hợp bằng n.

Bởi vì ρi (cid:54)⊂ ρJ với mọi i

2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết

Mệnh đề 2.1.30 . Cho N là mô đun con biểu diễn được của M. Khi đó:

(cid:17) (cid:17) ⊂ Att (M ) ⊂ Att (N ) ∪ Att Att (cid:16)M/N (cid:16)M/N

Chứng minh :

Bao hàm đầu được suy ra từ mệnh đề 2.1.8. Lấy bất kì ρ ∈ Att (M ) . Do định lý 2.1.9, ta có thể đặt M/Q là mô

đun thương ρ-thứ cấp của M. Xét mô đun T=Q+N.

Nếu T=M thì M/Q = Q + N/Q ∼= N/N ∩ Q. Do đó, N/N ∩ Q là ρ-thứ

cấp. Vì N có mô đun thương ρ-thứ cấp nên ρ ∈ Att (N ) .

(cid:17) Nếu T (cid:54)= M thì M/T là mô đun thương của M/Q nên cũng là ρ- thứ cấp theo 2.1.2. Nhưng M/T cũng là mô đun con của M/N nên ρ ∈ Att . (cid:16)M/N

31

Att (Mi) Mệnh đề 2.1.31 . Cho M1, ..., Mr là các R-mô đun biểu diễn được. Khi đó, M1 ⊕ ... ⊕ Mr cũng biểu diễn được và Att (M1 ⊕ ... ⊕ Mr) = r (cid:83) i=1

rj(cid:80)

Chứng minh :

r ⊕ j=1

i=1 = (cid:80) i

i=1

Ni với Ni là ρi-thứ (cid:19) Vì mỗi Mj biểu diễn được nên ta có Mj = (cid:19) (cid:18) (cid:18) rj(cid:80) . Do đó, cấp. Do đó, ta có : M1 ⊕ ... ⊕ Mr = N j i N j i

M1 ⊕ ... ⊕ Mr biểu diễn được và Att (M1 ⊕ ... ⊕ Mr) = Att (Mi). ⊕ j r (cid:83) i=1

n (cid:80) i=1

Mệnh đề 2.1.32 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là

(cid:17) biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (cid:60) (Ni) = ρi. Khi đó, với mọi i=1,..,n ta có Att = Att (M ) \ {ρi} (cid:16)M/Ni

n (cid:80) j=1

n (cid:80) j(cid:54)=i

= = . (Nj + Ni)/Ni (Nj + Ni)/Ni

Chứng minh : Ta có :M/Ni Với các j khác i, vì

∼= Ni/(Nj ∩ Ni) (Nj + Ni)/Ni

(cid:17) . Do đó, Att (cid:16)M/Ni

là ρj-thứ cấp nên đấy là biểu diễn tối tiểu của M/Ni gồm các ρj trong Att (M ) ngoại trừ ρi.

Mệnh đề 2.1.33 . Cho S là tập con nhân của R và ψ là tập các iđêan

nguyên tố gắn kết của M không có giao với S. Khi đó, S(M) là mô đun (cid:17) con biểu diễn được duy nhất của M thỏa :Att = Att (M ) \ψ (cid:16)M/S(M )

và Att (S(M )) = ψ.

Chứng minh :

n (cid:80) i=1

Giả sử M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (cid:60) (Ni) = ρi.

Bằng cách đánh số lại các iđêan nguyên tố gắn kết của M, ta giả sử

ψ = {ρ1, ..., ρr}. Vì S không có giao với các iđêan trong ψ nên theo mệnh

32

i>r

= Att (M ) \ψ. Do đó, Att đề 2.1.14, ta có S(M ) = N1 + ... + Nr và Att (S(M )) = ψ . Khi đó, ta thấy M/S(M ) = (cid:80) Ni/S(M ) là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M/S(M ). (cid:17) (cid:16)M/S(M )

Giả sử N là mô đun con biểu diễn được của M thỏa hai yêu cầu

n (cid:80) i=r+1

Qi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu và

y∈S

yM ⊂ xtM ⊂ N . của mệnh đề. Ta có M/N = (cid:60)(Qi) = ρi . Với mỗi i>r, ta chọn xi ∈ S ∩ ρi và đặt x = xr+1....xn. Khi đó, x ∈ S và với số nguyên t đủ lớn thì xtQi = 0 với mọi i>r. Do đó, xtM/N = 0 và xtM ⊂ N . Vì thế, S(M ) = (cid:84)

Ngược lại, vì N biểu diễn được và Att (N ) = ψ nên ta có thể viết

r (cid:80) i=1

N = Qi là biểu diễn tối tiểu của N với (cid:60) (Qi) = ρi. Khi đó, với mỗi

r (cid:80) i=1

x∈S

r (cid:80) i=1 Vậy, N = S (M ).

xM = S(M ). x ∈ S, vì S không có giao với ρi nên ta có Qi = xQi với 1 ≤ i ≤ r. Do xQi = xN ⊂ xM . Vì thế, N ⊂ (cid:84) đó N = Qi =

Mệnh đề 2.1.34 . Cho M là một R-mô đun. Khi đó,

(1) M có dãy các mô đun con M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... ⊃ Mr = 0

là mô đun thứ cấp. sao cho mô đun thương Mi−1/Mi (cid:17) với (2) Với các dãy như trên của mô đun M, đặt Qi = (cid:60) (cid:16)Mi−1/Mi

1 ≤ i ≤ r thì Att (M ) ⊂ {Q1; ...Qr}

Chứng minh :

j>i

(1) : Đặt Mi = (cid:80) Nj với 0 ≤ i ≤ n. Khi đó, ta có M = M0 ⊃ M1 ⊃

là mô đun ∼= Ni/Ni ∩ Mi = Ni + Mi/Mi

là ρi-thứ cấp. M2 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 và Mi−1/Mi thương khác 0 của Ni. Do đó, Mi−1/Mi

r (cid:83) i=1

(2) : Lặp lại phép chứng minh của mệnh đề 2.1.19, ta có Att (M ) ⊂ (cid:17) Att = {Q1; ...Qr}. (cid:16)Mi−1/Mi

Mệnh đề 2.1.35 . Cho Φ là tập các iđêan linh hóa của một mô đun

thương của M. Khi đó, mọi phần tử tối đại của Φ đều thuộc Att(M).

Chứng minh :

33

Gọi P là phần tử tối đại của Φ. Đầu tiên, ta chứng minh P là iđêan

nguyên tố. Lấy x và y thuộc R sao cho xy ∈ P và x /∈ P . Vì P ∈ Φ nên có

(cid:17) . Mặt khác, ta thấy P ⊂ Ann (cid:16)Q/K

mô đun thương Q của M để Ann(Q)=P. Do đó, xyQ=0 và xQ (cid:54)= 0. Gọi K là hạt nhân của ϕx,Q và xét mô đun thương Q/K. Bởi vì xyQ=0 nên (cid:17) (cid:16)Q/K . yQ ⊂ K. Do đó, y ∈ Ann Do đó, iđêan sinh bởi P và y linh hóa Q/K. Vì thế iđêan này nằm trong Φ. Vì P là phần tử tối đại của Φ nên phần tử y phải nằm trong P. Do

đó, P là iđêan nguyên tố.

Vậy, P là iđêan nguyên tố và P = Ann (Q) với Q là một mô đun

thương của M. Theo định lý 2.1.9, ta có P thuộc Att(M).

Mệnh đề 2.1.36 . Cho S là tập con nhân của R. Khi đó : (1) Nếu S có giao với mọi ρi ∈ Att (M ) thì S−1M = 0 (2) S−1M là S−1R-mô đun biểu diễn được và Att (cid:0)S−1M (cid:1) ⊂ S−1 (Att(M )). (3) Đồng cấu nhúng M → S−1M là toàn cấu.

Chứng minh :

Do mệnh đề 2.1.6

Mệnh đề 2.1.37 . Cho P ∈ Supp (M ). Khi đó, P chứa một iđêan gắn

kết của M.

Chứng minh :

Giả sử P không chứa một iđêan gắn kết nào của M. Đặt S = A\P .

Khi đó, S có giao với mọi iđêan gắn kết của M. Theo mệnh đề 2.1.36, ta có MP = S−1M = 0, tức là P /∈ Supp (M ). Do đó, P chứa một iđêan gắn kết của M.

2.2 Mô đun con của mô đun biểu diễn được

Cho R là vành giao hoán . Một phần tử a của R được gọi là chính quy nếu có phần tử b thuộc R sao cho a = a2b . Vành R được gọi là chính

34

quy nếu mọi phần tử của nó đều chính quy.

Một mô đun con N của M được gọi là chia được, kí hiệu RD-mô đun

con, nếu rN = N ∩ rM với mọi r thuộc R.

Mệnh đề 2.2.1 . Cho R là vành chính quy và M là R-mô đun. Khi đó,

ta có:

(1) Nếu M là ρ-thứ cấp thì Ann (M ) = ρ.

(2) Mọi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại.

Chứng minh:

(1) Hiển nhiên Ann (M ) ⊂ ρ. Giả sử có a ∈ ρ và a /∈ Ann (M ), ta có số n>1 để an.M = 0 và a.M (cid:54)= 0. Do tính chính quy của R, tồn tại b ∈ R để a = a2b. Khi đó, 0 = anM ⊃ an−2a2b.M ⊃ an−1.M ⊃ ... ⊃ a.M (cid:54)= 0.

Vậy, không thể có a ∈ ρ mà a /∈ Ann (M ), tức là ρ ⊂ Ann (M ).

(2) Giả sử P là iđêan nguyên tố của R nhưng không phải là iđêan tối đại. Khi đó, tồn tại iđêan tối đại Q của R để P (cid:32) Q. Lấy x ∈ Q\P và xét đồng cấu ϕ : R/P → R/P biến mỗi r + P ∈ R/P thành x (r + P ) = xr + P ∈ R/P . Nếu x (r + P ) = xr + P = 0 thì x.r ∈ P . Nhưng vì x /∈ P và P là iđêan nguyên tố nên r ∈ P . Do đó, ϕ là đơn cấu.

Mặt khác, vì R chính quy nên tồn tại y ∈ R để x = x2y. Khi đó, ta

có

ϕ (1 + P ) = x + P ϕ (xy + P ) = x2y + P = x + P

Do tính đơn cấu của ϕ nên 1 + P = xy + P . Do đó, tồn tại p ∈ P để

1 = p + xy ∈ Q. Vậy, Q = R, trái giả thiết Q là iđêan tối đại của R. Do

đó, P là iđêan tối đại của R.

Mệnh đề 2.2.2 . Cho R là vành chính quy và M là R-mô đun. Khi đó,

mọi R- mô đun con của M đều là RD-mô đun con.

Chứng minh:

Lấy r bất kì thuộc R. Hiển nhiên rN ⊂ N ∩ rM . Lấy phần tử x thuộc

N ∩ rM . Vì x thuộc rM nên có phần tử m thuộc M để x=rm. Vì R chính

35

quy nên có phần tử s thuộc R để r = r2s. Khi đó, x = rm = r (rsm).

Vì x = rm ∈ N nên rsm ∈ N . Vì thế, x = r (rsm) ∈ rN . Vậy, rN =

N ∩ rM nên N là RD-mô đun con.

Bổ đề 2.2.3 . Mọi RD-mô đun con của một mô đun ρ-thứ cấp trên vành

giao hoán là ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp. Lấy r ∈ R . Nếu r ∈ ρ thì tồn tại số nguyên m để rmM = 0. Do N là RD-mô đun

con nên rmN = N ∩ rmM = 0.

Nếu r /∈ ρ thì rM = M . Vì thế nên rN = N ∩ rM = N ∩ M = N .

Vậy, N là ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.2.4 . Cho R là vành giao hoán và N khác 0 là RD-mô đun con của R-mô đun M . Khi đó, M là ρ-thứ cấp khi và chỉ khi N và M/N là ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

Giả sử M là ρ-thứ cấp thì theo mệnh đề 2.1.3, ta có M/N là ρ-thứ

cấp. Do N là RD-mô đun con nên theo bổ đề 2.2.3, N là ρ-thứ cấp.

Ngược lại, lấy r ∈ R . (cid:17) = 0 và rnN = 0. Do đó, Nếu r ∈ ρ thì tồn tại số n sao cho rn (cid:16)M/N

(cid:17) Nếu r /∈ ρ thì r rnM ⊆ N . Vì N là chia được nên 0 = rnN = rnM ∩ N = rnM . (cid:17) (cid:16)M/N = M/N và rN = N . Vì r (cid:16)M/N

= M/N nên M = rM + N . Vì N = rN = rM ∩ N nên N ⊂ rM . Do đó,

M = rM + N = rM . Vậy, với mọi r ∈ R thì đồng cấu ϕr,M : M → M là toàn cấu hoặc lũy linh. Do đó, M là ρ-thứ cấp.

Hệ quả 2.2.5 . Cho R là vành giao hoán chính quy, N khác 0 là mô

đun con của R-mô đun M. Khi đó, M là ρ-thứ cấp khi và chỉ khi N và M/N là ρ-thứ cấp.

36

Chứng minh:

Theo mệnh đề 2.2.2, ta có N là RD-mô đun con của M. Áp dụng

mệnh đề 2.2.4, ta có điều cần chứng minh.

Mệnh đề 2.2.6 . Cho R là vành chính quy và M là R-mô đun ρ-thứ

cấp. Khi đó, mọi R-mô đun con của M đều là ρ-thứ cấp.

Chứng minh:

Giả sử N là mô đun con của M. Nếu x ∈ ρ thì tồn tại số n để xnM = 0. Do đó, ta có xnN ⊂ xnM = 0

và đồng cấu ϕx,N : N → N lũy linh.

Nếu x /∈ ρ thì xM = M và xN ⊂ N . Do R chính quy nên tồn tại y ∈ R để x = x2y. Với mọi n ∈ N , tồn tại m ∈ M để xm = n ∈ N . Do đó, xyxm = xyn ∈ N và n = xm = x2ym = xxym = xyxm ∈ xN . Vậy,

xN = N và đồng cấu ϕx,N : N → N là toàn cấu.

Định lý 2.2.7 . Cho R là vành chính quy. Khi đó, mọi mô đun con khác

0 của một R-mô đun biểu diễn được là biểu diễn được.

Chứng minh:

n (cid:80) i=1

Giả sử M là R-mô đun biểu diễn được. Đặt M = Mi là biểu diễn

thứ cấp tối tiểu của M với (cid:60) (Mi) = ρi .

n (cid:83) i=2

Ta tìm được một phần tử r1 ∈ ρ1 mà r1 /∈ ρi. Thật vậy, nếu không

n (cid:83) i=2

có phần tử r1 như thế thì ρ1 ⊂ ρi. Do các ρi là iđêan nguyên tố nên

Với phần tử r1 đó, tồn tại số nguyên m1 để rm1 ρ1 ⊂ ρi với một i nào đó. Vì mọi iđêan nguyên tố trong vành giao hoán chính quy đều là iđêan tối đại nên ρ1 = ρi. Điều này không thể xảy ra. 1 ∈ Ann (M1) và mô

1 M =

n (cid:80) i=2

đun con rm1 rm1 1 Mi là biểu diễn được.

Tiếp tục quá trình này cho các iđêan ρ2, ..., ρn−1, ta tìm được các số j ∈ Ann (Mj)

j M =

n (cid:80) i=1,i(cid:54)=j

m2, ..., mn−1 và các phần tử r2 ∈ ρ2, ..., rn−1 ∈ ρn−1 để rmj và rmj rmi i Mi.

37

1 .rm2

2 ....rmn−1

n−1 ∈

n−1 (cid:84) i=1 Bằng cách tương tự, ta có các phần tử s1, ..., sn−1 để si /∈ ρi , siM = Mi. Khi đó, ta có M =

Đặt 0 (cid:54)= sn = rm1 ρi , ta có snM = Mn và sn /∈ ρn.

n (cid:80) i=1

n (cid:84) i=1,i(cid:54)=j Giả sử N là mô đun con khác 0 của M. Lấy a thuộc N khác 0. Khi

siM và sj ∈ Ann (Mi)

i ti.

đó, do a thuộc M nên a = s1b1 + ... + snbn với các bi thuộc M. Do R là vành chính quy nên tồn tại t1, ..., tn ∈ R để si = s2

Vì a khác 0 nên phải có chỉ số i nào đó để sibi (cid:54)= 0 và sibi = s2 i tibi = sitia (cid:54)= 0. Do đó, siN (cid:54)= 0. Bằng cách bỏ bớt các chỉ số i mà siN = 0 và đánh chỉ số lại nếu cần, ta giả sử rằng s1N (cid:54)= 0; ...; skN (cid:54)= 0 với k ≤ n .

n (cid:88)

k (cid:88)

k (cid:88)

n (cid:88)

n (cid:88)

Với mọi a thuộc N, ta có:

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

a = sibi = sitia = sitia ∈ siN s2 i tibi =

i bi ∈ Mi và siN là mô đun con của Mi.

Do đó, với mọi i, sia = s2

Do R chính quy và Mi là ρi-thứ cấp nên theo mệnh đề 2.2.6, siN cũng

là ρi -thứ cấp. Vậy, N là mô đun biểu diễn được.

Định lý 2.2.8 . Cho R là vành giao hoán và N là mô đun con nguyên

tố của R- mô đun thứ cấp M. Khi đó, N là (N : M ) -thứ cấp.

Chứng minh:

Giả sử M là R-mô đun ρ-thứ cấp. Lấy r ∈ R. Nếu r ∈ ρ thì có số nguyên n để rnN ⊂ rnM = 0 . Nếu r /∈ ρ thì rM = M . Khi đó, rM = M (cid:32) N và r /∈ (N : M ). Giả

sử n ∈ N thì có phần tử m ∈ M để n=rm. Vì N là mô đun con nguyên

tố và r /∈ (N : M ) nên m ∈ N . Do đó, n = rm ∈ rN và rN = N . Vậy,

N là ρ-thứ cấp.

Ta chứng minh ρ = (N : M )

Ta có (N : M ) là iđêan nguyên tố. Thật vậy, với xy ∈ (N : M ) và

x /∈ (N : M ) thì xyM ⊂ N và xM (cid:54)⊂ N . Vì xM (cid:54)⊂ N nên có phần tử

38

m ∈ M để xm /∈ N . Do yxm = xym ∈ N nên từ tính chất nguyên tố

của N, ta có yM ⊂ N . Tức là y ∈ (N : M ).

Nếu x ∈ ρ thì xnM = 0 ⊂ N với một n nào đó. Do đó, xn ∈ (N : M ).

Vì (N : M ) là iđêan nguyên tố nên x ∈ (N : M ). Do đó, ρ ⊂ (N : M ).

Nếu x /∈ ρ thì M = xM . Vì N là mô đun con thực sự của M nên N (cid:54)=

xM . Vì thế nên xM (cid:54)⊂ N . Do đó, x /∈ (N : M ). Suy ra, (N : M ) ⊂ ρ.

Vậy, (N : M ) = ρ.

Bổ đề 2.2.9 . Cho R là vành giao hoán. Đặt K và N là các mô đun con

của M sao cho N nguyên tố và K là ρ-thứ cấp. Khi đó, N ∩ K là ρ- thứ

cấp.

Chứng minh:

Lấy r ∈ R . Nếu r ∈ ρ thì có số nguyên n sao cho rn (N ∩ K) ⊂ rnK = 0.

Nếu r /∈ ρ và lấy t ∈ N ∩ K. Vì t ∈ K và K là ρ-thứ cấp nên t = rs

với s ∈ K. Vì N là nguyên tố và t ∈ N nên s ∈ N hoặc r ∈ (N : M ).

Nếu r ∈ (N : M ) thì K = rK ⊂ rM ⊂ N và s ∈ N . Tóm lại, ta có

s ∈ N và t ∈ r (N ∩ K). Do đó, N ∩ K = r (N ∩ K).

Vậy, phép nhân N ∩ K bởi r là lũy linh khi r ∈ ρ và là toàn cấu khi

r /∈ ρ nên N ∩ K là ρ- thứ cấp.

Định lý 2.2.10 . Cho M là mô đun biểu diễn được trên vành giao hoán

R và N là mô dun con nguyên tố của M với (N : M ) = P . Khi đó, N biểu diễn được và M/N là P-thứ cấp.

Chứng minh:

n (cid:80) i=1

Giả sử M = Mi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (cid:60) (Mi) = ρi

.

Với mỗi i, giả sử ρi

(cid:54)⊂ P . Khi đó, với x ∈ ρi\P , tồn tại số n để xnMi = 0 ∈ N . Do tính chất nguyên tố của N, ta có Mi ⊂ N . Ngược

39

lại, giả sử Mi (cid:54)⊂ N . Khi đó, với mọi x ∈ ρi và mi ∈ Mi\N , tồn tại số n để xmi = 0 ∈ N . Lại do tính chất nguyên tố của N nên x ∈ P , tức là ρi ⊂ P . Vậy, với mọi i, hoặc là ρi ⊂ P , hoặc là Mi ⊂ N . Vì N là mô đun con thực sự của M nên sẽ có chỉ số i nào đó để Mi (cid:54)⊂ N .

Mặt khác, nếu có hai chỉ số i và j để Mi và Mj cùng không nằm trong N thì P = ρi = ρj. Thật vậy, nếu P (cid:32) ρi thì ta có t ∈ P \ρi để Mi = tMi ⊂ tM ⊂ N . Điều mâu thuẫn này cho thấy P ⊂ ρi và P ⊂ ρj. Nhưng vì ρi ⊂ P và ρj ⊂ P nên P = ρi = ρj.

Vì thế, ta có thể giả sử M1 (cid:54)⊂ N và Mi ⊂ N với i=2,3,...,n. Do đó, ρ1 = P và ρi (cid:54)⊂ P với các i=2,3,...,n. Khi đó, ta có M2+M3+...+Mn ⊂ N và

N = N ∩M = N ∩(M1 + M2 + M3 + ... + Mn) = M2+M3+...+Mn+N ∩M1

Theo bổ đề 2.2.9 thì N ∩ M1 là ρ1-thứ cấp. Do đó, N là mô đun biểu

diễn được.

∼= M1/(N ∩ M1). Do M1

Ta có M = M1 + N nên M/N = (M1 + N )/N là mô đun ρ-thứ cấp nên M/N là mô đun ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.2.11 . Mọi R-mô đun biểu diễn được M đều thỏa điều kiện : với mọi x ∈ R, nếu ϕx,M : M x.−→ M là đơn cấu thì nó là đẳng cấu.

Chứng minh:

Giả sử M là R-mô đun biểu diễn được và ϕx,M : M → M với x ∈ R

là đơn cấu. Ta chứng minh nó là toàn cấu.

n (cid:80) i=1

Giả sử M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (cid:60)(Ni) = ρi.

n (cid:83) i=1

Do mệnh đề 2.1.11, ta có ϕx,M là toàn cấu khi và chỉ khi x /∈ ρi.

n (cid:83) i=1 n để xn.Mi = 0.

Giả sử x ∈ ρi. Khi đó, tồn tại chỉ số i để x ∈ ρi và ta tìm được số

Nếu x.Mi = 0 thì ϕx,M (Mi) = 0, trái giả thiết ϕx,M đơn cấu. Nếu x.Mi (cid:54)= 0, ta chọn số n>1 để xn.Mi = 0 và xn−1.Mi (cid:54)= 0. Khi đó, (cid:1) = 0. Điều này trái giả thiết về tính đơn cấu của ϕx,M . (cid:0)xn−1.Mi ϕx,M

40

n (cid:83) i=1

Vậy, x /∈ ρi, tức là ϕx,M toàn cấu. Do đó, ϕx,M là đẳng cấu.

Định lý 2.2.12 . Cho R là vành nơ te giao hoán. Khi đó, các điều sau

tương đương:

(1) R là vành Artin.

(2) Mọi R-mô đun khác không đều biểu diễn được.

(3) Mọi R-mô đun nơ te M đều thỏa điều kiện: với mọi x ∈ R, nếu

ϕx,M : M → M là đơn cấu thì nó là đẳng cấu.

Chứng minh:

n (cid:81) i=1

(1) =⇒(2): Giả sử R là vành Artin. Khi đó, tập các iđêan tối đại của

R, kí hiệu M ax (R), là tập hữu hạn. Đặt M ax (R) = {Q1, ...Qn}. Khi đó, R/Pi với mỗi i, tồn tại Pi là iđêan Qi-nguyên sơ của R sao cho R ∼= . Giả sử F là R- mô đun tự do. Khi đó, F ∼= ⊕ R. Với mỗi i=1,...,n, đặt j∈J

. Ta có: R/Pi

n ⊕ i=1

n (cid:81) i=1

n (cid:81) i=1

(cid:19) (cid:18) (cid:19) = ∼= Si = Si R/Pi R/Pi Si = ⊕ j∈J F ∼= ⊕ j∈J R ∼= ⊕ j∈J ⊕ j∈J (cid:18) n (cid:81) i=1

Mặt khác, ta có Si là Qi- thứ cấp. Do đó, F là mô đun biểu diễn được. Nhưng một R-mô đun bất kì luôn đẳng cấu với mô đun thương của một

mô đun tự do nào đó. Vì mô đun thương khác 0 của mô đun biểu diễn

được luôn biểu diễn được nên mọi R-mô đun khác không đều biểu diễn

được.

(2)=⇒(3) : Nếu M=0 thì hiển nhiên M x.−→ M là đẳng cấu. Nếu M (cid:54)= 0 thì do (2), ta có M là R-mô đun biểu diễn được. Áp dụng mệnh đề 2.2.11, ta

thấy M thỏa điều kiện của (3) nên ra.

(3)=⇒ (1)

Để chứng minh R là Artin, ta chứng minh mọi iđêan nguyên tố của

R đều là iđêan tối đại. Giả sử P là một iđêan nguyên tố của R nhưng

không phải là iđêan tối đại. Khi đó, tồn tại một iđêan tối đại Q của R để

41

P (cid:32) Q. Lấy x ∈ Q\P và ta có x+P ∈ R/P . Xét đồng cấu ϕ : R/P → R/P biến mỗi phần tử r + P ∈ R/P thành (x + P ) . (r + P ) = x.r + P ∈ R/P . Nếu (x + P ) (r + P ) = xr + P = 0 thì xr ∈ P . Do P nguyên tố và

x /∈ P nên r ∈ P . Do đó, ϕ là đơn cấu. Do tính chất của (3) nên ϕ là

đẳng cấu. (cid:17) Mặt khác, vì x ∈ Q nên xR ⊂ Q. Do đó, ϕ (cid:16)R/P

⊂ Q/P . Nhưng vì Q là iđêan tối đại của R nên 1 /∈ Q và Q/P (cid:32) R/P . Điều này trái với việc ϕ là toàn cấu.

Do đó, mọi iđêan nguyên tố P phải là iđêan tối đại. Nhưng vì R là

vành Nơ te nên R là vành Artin.

Ở phần tiếp theo, từ tính biểu diễn được của mô đun nội xạ, ta chỉ

ra được rằng: Mọi mô đun con của một R- mô đun biểu diễn được bất

kì là biểu diễn được khi và chỉ khi R là vành Artin. Hơn nữa, nếu M là R-mô đun sao cho R/Ann (M ) là vành Artin thì M là R-mô đun biểu diễn được.

2.3 Tính biểu diễn được của mô đun Artin

Định nghĩa : Một A-mô đun M được gọi là bất khả quy tổng nếu M

khác 0 và tổng của hai mô đun con thực sự của M luôn là một mô đun

con thực sự của M.

Mệnh đề 2.3.1 . Nếu M là R-mô đun Artin và bất khả quy tổng thì M

là mô đun thứ cấp.

Chứng minh :

Giả sử M không là mô đun thứ cấp. Khi đó, tồn tại phần tử x ∈ A để M (cid:54)= x.M và xnM (cid:54)= 0 với mọi n>0. Vì M là mô đun Artin nên dãy các mô đun con {xnM }n≥0 là dãy dừng. Do đó, có số nguyên dương r đủ lớn để xrM = xr+1M = ... Đặt M1 = Ker (ϕxr,M ) và M2 = xrM . Khi đó, M1 và M2 là hai mô đun con thực sự của M.

42

Lấy u ∈ M . Vì xru ∈ xrM = x2rM nên có v ∈ M để xru = x2rv. Do đó, xr (u − xrv) = 0 và u − xrv ∈ M1. Ta có: u = xpv + (u − xpv) ∈ M2 + M1. Vậy, M = M1 + M2 . Điều này trái với việc M là bất khả quy tổng. Vì thế, M là mô đun thứ cấp.

Định lý 2.3.2 . Mọi R-mô đun Artin đều có một biểu diễn thứ cấp.

Chứng minh :

Giả sử M là R-mô đun Artin không biểu diễn được. Xét tập các mô

đun con khác không, không biểu diễn được của M. Tập này khác rỗng

vì có chứa M. Vì M là Artin nên tập này có phần tử tối tiểu N. Vì N tối

tiểu và không biểu diễn được nên N không là mô đun thứ cấp. Do N là

Artin, không là mô đun thứ cấp và khác 0 nên theo mềnh đề 2.3.1, N là

tổng của hai mô đun con thực sự . Vì tính chất tối tiểu của N nên N1 và N2 là các mô đun biểu diễn được. Nhưng khi đó, N là tổng của N1 và N2 nên N cũng biểu diễn được. Điều này trái với cách chọn N. Vì thế, M phải là mô đun biểu diễn được.

2.4 Tính biểu diễn được của Hom(M;E)

Định nghĩa:

R-mô đun M được gọi là P-coprimary nếu M khác 0 và với mọi x ∈ R

thì đồng cấu nhân r vào M là đơn cấu hoặc lũy linh.

Cho E là R-mô đun nội xạ có tính chất W.AssR(E)=AssR(E) và M là R-mô đun có mô đun con 0 có một phân tích nguyên sơ. Ta sẽ xét tính

biểu diễn được của Hom(M;E).

Mệnh đề 2.4.1 . Cho S là vành giao hoán ( đơn vị khác 0) và φ :

R → S là đồng cấu vành. Đặt M là S-mô đun và E là R-mô đun.

Nếu HomR (M, E) (cid:54)= 0 thì tồn tại P ∈ W.AssS (M ) sao cho có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q.

43

Chứng minh:

Vì HomR (M ; E) (cid:54)= 0 nên ta có thể chọn đồng cấu f : M → E khác đồng cấu 0. Chọn Q ∈ W.AssR (f (M )). Khi đó, Q ∈ W.AssR (E). Do đó, tồn tại phần tử x ∈ M để Q = Ann (f (x)). Khi đó, ta thấy rằng Ann (x) ⊂ φ−1 (Q). Chọn P là iđêan nguyên tố tối tiểu của R thỏa điều kiện: Ann (x) ⊂ P ⊂ φ−1 (Q). Khi đó, P ∈ W.AssS (M ) thỏa điều kiện: P ⊂ φ−1 (Q). Do đó, P c ⊂ Q.

Bổ đề 2.4.2 . Cho S là vành giao hoán ( đơn vị khác 0) và φ : R → S

là đồng cấu vành. Đặt M là S-mô đun không tầm thường và E là R-mô

đun nội xạ thỏa W.AssR(E)=AssR(E). Khi đó, ta có:

1. HomR (M, E) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi tồn tại P ∈ W.AssS (M ) sao cho

có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q.

2. Nếu M là P-coprimary S-mô đun và HomR (M, E) (cid:54)= 0 thì HomR (M, E)

là một S-mô đun P-thứ cấp.

Chứng minh:

(a) Do mệnh đề 2.4.1, ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại. Lấy P ∈ W.AssS (M ) thỏa yêu cầu có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q. Khi đó, tồn tại x ∈ M để Ann(x) ⊂ P . Do đó, với toàn cấu

g : Sx → S/P (s.x) (cid:55)→ s + P

ta có Sx → S/P → 0 là một dãy khớp . Do tính nội xạ của E, ta có dãy khớp (cid:17) 0 → HomR → HomR (Sx, E) (cid:16)S/P , E

Mặt khác, vì P c ⊂ Q nên ta có toàn cấu:

φ : R/P c → R/Q (r + P c) (cid:55)→ (r + Q)

Do đó, ta có dãy khớp R/P c → R/Q → 0. Lại do tính khớp của

Hom(-,E) nên dãy sau khớp:

(cid:17) (cid:17) (2) 0 → HomR → HomR (cid:16)R/Q, E (cid:16)R/P c, E

44

Vì Q ∈ W.AssR (E) = AssR (E) nên tồn tại x thuộc E để Q=Ann(x). Do đó , đồng cấu R-mô đun

(cid:17) (cid:54)= (cid:16)R/Q, E (cid:17) f : R/Q → E (r + Q) (cid:55)→ rx là đơn cấu. Từ đó ta có dãy khớp 0 → R/Q → E. Do đó, HomR (cid:54)= 0. 0. Do tính khớp của dãy (2) trên nên HomR (cid:16)R/P c, E

Bây giờ, từ đơn cấu R-mô đun

h : R/P c → S/P (r + P c) (cid:55)→ (φ(r) + P )

(cid:17) (cid:17) ta có dãy khớp 0 → R/P c → S/P . Vì thế, ta có dãy khớp → 0 → HomR HomR (cid:16)R/P c, E

(cid:17) (cid:54)= 0. Do tính khớp của dãy (1), ta có Do đó, ta có HomR (cid:16)S/P , E (cid:16)S/P , E

HomR (Sx, E) (cid:54)= 0

Mặt khác, ta có dãy khớp 0 → Sx → M nên ta có dãy khớp

HomR (M, E) → HomR (Sx, E) → 0

Bởi vì HomR (Sx, E) (cid:54)= 0 nên HomR (M, E) (cid:54)= 0.

(b) Lấy s ∈ S. Nếu s ∈ P thì ϕs,M : M → M lũy linh, tức là tồn tại

n để sn.M = 0. Do đó, với mọi f ∈ HomR (M, E), ta có: [ϕs,M (f )]n (M ) = [ϕs,M (f )]n−1 (ϕs,M (f ) (M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (f.φ (M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (f (s.M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (s.f (M )) = s. [ϕs,M (f )]n−1 (f (M )) = s2. [ϕs,M (f )]n−2 (f (M )) = ... = snf n (M ) = 0

Suy ra, [ϕs,M ]n (f ) = 0. Vậy, ϕs,M : Hom (M, E) → Hom (M, E) lũy

linh.

Nếu s /∈ P thì ϕs,M : M → M đơn cấu. Do đó, ta có 0 → M → M là ϕs,M−−→ HomR (M, E) → 0

dãy khớp. Do đó, ta có dãy khớp HomR (M, E) với đồng cấu là cảm sinh từ ϕ. Do đó, đồng cấu này là toàn cấu.

Vậy, Hom (M, E) là S-mô đun P-thứ cấp .

Hệ quả 2.4.3 . Cho E là R-mô đun nội xạ thỏa W.AssR(E) = AssR(E) và M là R-mô đun không tầm thường. Khi đó, ta có:

45

1. HomR (M, E) (cid:54)= 0 khi và chỉ khi tồn tại P ∈ W.AssR (M ) sao cho

có Q ∈ W.AssR (N ) để P ⊂ Q

2. Nếu M là P-coprimary R-mô đun và HomR (M, E) (cid:54)= 0 thì HomR (M, E)

là một P-thứ cấp R-mô đun.

Chứng minh:

Áp dụng mệnh đề trên cho trường hợp S trùng với R, ϕ = IdR và

P c = P = Q ta sẽ có điều cần chứng minh.

Định lý 2.4.4 .Cho M là R-mô đun có mô đun con 0 có một phân tích

nguyên sơ và E là R-mô đun nội xạ thỏa W.Ass(E)=Ass(E). Khi đó,

Hom(M,E) biểu diễn được và

Att (Hom (M, E)) = {P ∈ W.Ass (M ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q}

Chứng minh:

n ∩ i=1

Đặt 0 = Mi là phân tích nguyên sơ tối tiểu của mô đun 0 của

(cid:17) . M, trong đó Mi là các mô đun con Pi-nguyên sơ. Với mỗi i = 1, ..., n, đặt ψi : M → M/Mi là đồng cấu nhúng, T = Hom (−, E) và Si = (cid:16)M/Mi T (ψi) T

→ 0 , ta có dãy khớp

(cid:17) , E → Hom (M, E) 0 → Hom Khi đó, từ dãy khớp M → M/Mi (cid:16)M/Mi

(cid:17) , E lên T (M ) nên Do đó, mỗi Si chính là ảnh đơn cấu của Hom

(cid:17) . Vì thế,

(cid:16)M/Mi (cid:16)M/Mi mỗi Si là mô đun con của T (M ) và đẳng cấu với T theo mệnh đề 2.4.3, Si hoặc là mô đun 0, hoặc là Pi-thứ cấp.

Theo mệnh đề 1.3.2, ta có W.Ass (M ) = {P1, P2, ..., Pn}. Giả sử rằng với các i=1,..,r thì tồn tại Qi ∈ Ass (E) sao cho Pi ⊂ Qi và với các i=r+1,...,n thì không như thế. Khi đó, tác động T vào dãy khớp

n ⊕ i=1

0 → M → M/Mi

ta được dãy (cid:19) , E Hom → Hom (M, E) → 0 M/Mi (cid:18) n ⊕ i=1

46

Do đó, ta có toàn cấu (cid:19) θ : Hom , E → Hom (M, E) M/Mi (cid:18) n ⊕ i=1

Vì (cid:19) (cid:26) (cid:27) Kerθ = f ∈ Hom , E : θ (f ) = 0 = 0 M/Mi (cid:18) n ⊕ i=1

n ⊕ i=1

n (cid:80) i=1

nên (cid:19) , E Hom , E ∼= (cid:17) ∼= Hom (M, E) ∼= Hom Si M/Mi (cid:16)M/Mi (cid:18) n ⊕ i=1

r (cid:88)

Áp dụng mệnh đề 2.4.3, ta có:

i=1

T (M ) = Hom (M, E) = Si

Bởi vì các Si là Pi-thứ cấp nên T (M ) là biểu diễn được.

Để chứng minh

Att (Hom (M, E)) = {P ∈ W.Ass (N ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q}

r (cid:80) i=1

ta chỉ cần chứng tỏ T (M ) = Hom (M, E) = Si là biểu diễn tối tiểu

của T (M ) = Hom (M, E). Giả sử rằng có chỉ số j thỏa 1 ≤ j ≤ r để

n ⊕ i=1 i(cid:54)=j

n (cid:84) i=1 i(cid:54)=j

n (cid:80) i=1 i(cid:54)=j

. Khi đó, ta có Hom (M, E) = Si. Đặt Kj = Mi và Yj = M/Mi

dãy khớp

0 → Ki → M → Yj → 0

Từ đó, ta có dãy sau khớp

0 → Hom (Yj, E) → Hom (M, E) → Hom (Kj, E) → 0

Ta có

r (cid:88)



n ⊕ i=1 i(cid:54)=j

n ⊕ i=1 i(cid:54)=j

i=1 i(cid:54)=j

, E Hom , E (cid:17) ∼= Hom (Yj, E) = Hom Si    ∼= M/Mi (cid:16)M/Mi

Do đó, Hom (M, E) ∼= Hom (Yj, E). Khi đó, ta có Hom (Kj, E) = 0. Nhưng

Kj ∼= Kj/Kj ∩ Mj ∼= Kj + Mj/Mj ⊂ M/Mj

47

Điều này suy ra

(cid:17) W.Ass (Kj) ⊂ W.Ass = {Pj} (cid:16)M/Mj

biến rx (cid:55)→ r + Pj và dãy sau khớp Nhưng bởi vì Kj (cid:54)= 0 nên W.Ass (Kj) (cid:54)= ∅. Vì thế cho nên W.Ass (Kj) = {Pj}. Do đó, tồn tại phần tử x ∈ Kj để Ann (x) ⊂ Pj. Ta có đơn cấu φ(cid:48) : Rx → R/Pj

→ 0 Rx → R/Pj

Tác động T lên dãy khớp trên ta được

(cid:17) 0 → Hom , E → Hom (Rx, E) (cid:16)R/Pj

(cid:17) Do mệnh đề 2.4.3, ta có Hom (cid:54)= 0. Từ đó, ta có Hom (Rx) (cid:54)= 0. (cid:16)R/Pj

Mặt khác, từ dãy khớp 0 → Rx → Kj ta có dãy khớp

Hom (Kj, E) → Hom (Rx, E) → 0

Vì thế nên ta có Hom (Kj, E) (cid:54)= 0

Hệ quả 2.4.5 . Cho R là vành Nơ te và E là R-mô đun nội xạ. Giả sử

N là là R-mô đun thỏa điều kiện : mô đun không của M có phân tích

nguyên sơ. Khi đó, Hom (M, E) biểu diễn được và

Att (Hom (M, E)) = {P ∈ Ass (M ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q}

Chứng minh:

Vì R là mô đun Nơ te nên W.Ass (M ) = Ass (M ) và W.Ass (E) =

Ass (E). Áp dụng định lý 2.4.4, ta có kết quả.

Hệ quả 2.4.6 . Cho E là R-mô đun nội xạ với W.Ass (E) = Ass (E).

Giả sử mô đun không của R có một phân tích nguyên sơ. Khi đó E biểu

diễn được và

Att (E) = {P ∈ W.Ass (R) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q}

48

Chứng minh:

Áp dụng định lý 2.4.4 cho trường hợp M = R, ta có Hom(R,E) là

R-mô đun biểu diễn được và

Att (Hom (R, E)) = {P ∈ W.Ass (R) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q}

Xét ánh xạ ψ : Hom (R, E) → E biến mỗi f ∈ Hom (R, E) thành

f (1) ∈ E. Ta thấy:

ψ (f + g) = (f + g) (1) = f (1) + g (1) = ψ (f ) + ψ (g)

ψ (rf ) = (rf ) (1) = rf (1) = r.ψ (f )

Do đó, ψ là R-đồng cấu.

Lấy f ∈ Kerf (ψ), khi đó, ψ (f ) = f (1) = 0. Suy ra, với mọi r ∈ R

f (r) = f (r.1) = rf (1) = 0

Do đó, f=0, tức là Kerf (ψ) = 0. Vậy, ψ là đơn cấu.

Với mọi x ∈ E, ta có ánh xạ f : R → E biến mỗi phần tử r của R

thành phần tử rx của E. Ta thấy f ∈ Hom (R, E) và ψ (f ) = f (1) =

1x = x. Vậy, ψ là toàn cấu. Do đó, ψ là đẳng cấu và Hom(R,E) đẳng

cấu E. Vì Hom(R,E) là R-mô đun biểu diễn được nên E biểu diễn được.

Do hệ quả 2.4.6, mọi mô đun nội xạ trên vành Nơ te đều là mô đun

biểu biễn được.

Hệ quả 2.4.7 . Cho R là vành Nơ te . Khi đó, các điều sau tương đương:

(1) R là vành Artin.

(2) Mọi mô đun con của một R- mô đun biểu diễn được bất kì

là biểu diễn được.

Chứng minh:

Do định lý 2.2.12 nên từ (1) ta luôn có (2). Giả sử mọi mô đun con

của một R- mô đun biểu diễn được bất kì là biểu diễn được. Vì mọi mô

đun nội xạ trên vành Nơ te đều biểu diễn được và mọi mô đun đều đẳng

49

cấu với mô đun con của một mô đun nội xạ nào đó nên từ tính chất (2),

ta suy ra : mọi R-mô đun khác 0 đều biểu diễn được. Do đó, theo định

lý 2.2.12, ta suy ra R là vành Artin.

Giả sử R là vành Nơ te và M là R-mô đun hữu hạn sinh. Khi đó, do

mệnh đề 1.3.3, M có mô đun không phân tích được. Do đó, với M là

R-mô đun hữu hạn sinh và E là R-mô đun nội xạ thì Hom(M,E) biểu

diễn được.

50

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tôi đã trình bày định nghĩa mô đun biểu diễn

được, các tính chất của mô đun biểu diễn được trong trường hợp vành

R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị. Sau đó, bài viết còn nêu một số ví

dụ về mô đun biểu diễn được: mô đun Artin là mô đun biểu diễn được,

Hom(M,E) là mô đun biểu diễn được trong trường hợp E là R- mô đun

nội xạ và mô đun không của M có phân tích nguyên sơ.

Dù đã có nhiều cố gắng nhưng trong luận văn còn nhiều vấn đề chưa

hoàn thành, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và

các bạn.

51

Tài liệu tham khảo

[1] I.G. Macdonald, Secondary representation of modules over commu-

tative ring, Sympos.Math.IX(1973), 23–43.

[2] Leif Melkerson, Cohomologycal properties of modules with sec-

ondary represetations, Math Scand,77(1995), 197-208.

[3] M. Maani-Shirazi and P.F. Smith, Uniqueness of Coprimary Decom-

positions, Turk J Math, 31(2007), 53-64.

[4] Ebrahimi Atani, Submodules of secondary modules, Int.J. Math.

Math. Sci 31(6)(2002), 321-327.

[5] Siamak Yassemi, Coassociated Primes of modules over a commuta-

tive ring, Math Scand, 80(1997), 175-187.

[6] H. Ansari-Toroghy, Secondary representation of some modules over

a commutative ring, Acta Math. Hungar. 100(3) (2003), 257-262.

[7] H. Matsumara, Commutative ring theory, Cambridge University

Press, Cambridge, 1986.

[8] R. Y. Sharp, Secondary representations for injective modules over

commutative Noetherian rings, Proc. Edinburgh Math. Soc.(2),

20(2) (1976), 143-151.

[9] Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên - Nguyễn Văn Thìn, Đại số đồng

điều, NXB Đại học quốc gia TP.HCM - 2003.