Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet tập trung tìm hiểu về định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet; phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet; bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất Hyperbolic trên trường không Acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên cao học khóa 23 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn. Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hòa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập cũng như tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 3 1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic ...................... 3 1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet ..................................................... 3 1.1.2. Trường số phức p-adic ........................................................................ 4 1.2. Không gian xạ ảnh  n ................................................................................ 9 1.3. Giống của đường cong ............................................................................. 10 1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet .............. 15 1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số ......................................... 24 Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET .......................................................................................................... 27 2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet......... 27 2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet............. 30 2.3. Bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet ............................................ 37 2.3.1. Trường hợp 1-dạng vi phân............................................................... 37 2.3.2. Trường hợp tổng quát........................................................................ 39 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46
1 LỜI NÓI ĐẦU Một đa tạp phức X được gọi là hyperbolic (theo nghĩa của Brody) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ giải tích) đi từ mặt phẳng phức  vào X là hằng. Theo định lý “nhỏ” Picard, một hàm nguyên mất hơn hai giá trị phải là hằng. Điều này tương đương với 1 \ {0,1,∞} là hyperbolic. Định lý Picard cũng chứng tỏ rằng một mặt Riemann có giống 1 bỏ một điểm và các mặt Riemann có giống bé nhất 2 là hyperbolic. Trường hợp với số chiều lớn hơn là một bài toán khó hơn nhiều. Một câu hỏi được đưa ra liệu rằng các đa tạp phức loại tổng quát có là hyperbolic. Kobayashi [17] và Zaidenberg [23] đã đưa ra phỏng đoán rằng phần bù của siêu mặt “tổng quát” trong  n có bậc bé nhất 2n + 1 là hyperbolic. Đã có rất nhiều kết quả liên quan đến phỏng đoán này. Phỏng đoán này đã được kiểm chứng bởi Green [15] trong trường hợp 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Tổng quát hơn, Babets [4], Eremenko-Sodin [12] và Ru [19] đã độc lập đưa ra kết luận  n \ {2n + 1 siêu mặt ở vị trí tổng quát} là hyperbolic. Khi n = 2, phỏng đoán đúng cho trường hợp bốn đường cong tổng quát (xem [10]). Đối với trường hợp ba đường cong tổng quát C1 , C2 , C3 , Dethloff, Schmacher và Wong 3 ([10], [11]) chứng tỏ  \  Ci là hyperbolic nếu deg Ci ≥ 2, i = 3 1,2,3. i =1 Cho K là một trường đóng đại số có đặc số tùy ý, đầy đủ với giá trị tuyệt đối . không Acsimet. Một đa tạp X trên K được gọi là K - hyperbolic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ K vào X là hằng. Khác với trường số phức, việc nghiên cứu các bài toán hyperbolic trên trường không Acsimet dễ hơn nhiều. Ví dụ như hàm nguyên trên trường không Acsimet không có không điểm là hằng nghĩa là 1 \ {0,∞} là hyperbolic. Định lý Picard trên trường không Acsimet khẳng định bất kỳ đường cong nào có giống bé nhất 1 là K - hyperbolic. Cherry đã chứng minh các đa tạp Abel trên K là K - hyperbolic (xem [6] và [7]). Như một hệ quả
2 đơn giản của định lý cơ bản thứ hai của Ru [20],  n \ {n + 1 siêu mặt ở vị trí tổng quát} là K - hyperbolic. Tương tự giả thuyết của Kobayashi và Zaidenberg, ta có phỏng đoán sau đây. Phỏng đoán: Cho D1 ,, Dq , q ≤ n là q siêu mặt tổng quát phân biệt trong q q  n ( K ).  n \  Di là K - hyperbolic nếu i =1 ∑ deg D ≥ 2n. i =1 i Việc nghiên cứu tính chất hyperbolic đang là vấn đề thời sự được các nhà Toán học muốn hướng đến tiếp theo. Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu “Tính chất hyperbolic trên trường không Acsimet” làm đề tài của mình. Ở đây, tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu về các đường cong chỉnh hình trên trường không Acsimet trong đa tạp xạ ảnh và giới thiệu một vài kết quả gần đây theo hướng nghiên cứu này bằng phương pháp Nevanlinna p-adic. Các thành phần chính gồm lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet, hai định lý cơ bản của Nevanlinna trên các đường cong chỉnh hình và cách xây dựng các dạng vi phân (tổng quát hơn là các dạng vi phân tia). Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày một số định nghĩa cơ sở và giới thiệu vài định lý mở đầu. Mục đích chính là giúp người đọc có cơ sở hiểu rõ cốt lõi bài luận văn ở phần sau. Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Trình bày chứng minh định lý Picard trên trường không Acsimet cho một đường cong phẳng trơn có giống bé nhất 1; chứng minh phỏng đoán của Kobayashi và Zaidenberg; chứng minh bổ đề Schwarz trên trường không Acsimet cho trường hợp tích 1-dạng đối xứng cũng như dạng vi phân tia trong  2 với các cực điểm lôgarit dọc theo một đường cong. Cuối cùng, ta sẽ kết thúc phỏng đoán của Kobayashi và Zaidenberg trên trường không Acsimet cho  2 .
3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic Ký hiệu , , ,  lần lượt là trường số phức, trường số thực, trường số hữu tỷ, vành số nguyên. Nếu T là tập con của  thì ta ký hiệu T+ ={ x ∈ T : x ≥ 0} , T + ={ x ∈ T : x > 0}. Cho K là trường. Với a, b ∈ K sao cho a ≤ b, ta ký hiệu [ a, b] = { x ∈ K : a ≤ x ≤ b}. 1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.1.1. Định nghĩa Cho K là trường, một chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên K là . : K → + thỏa mãn các điều kiện sau: ∀x, y ∈ K , (1) x = 0 ⇔ x = 0; (2) xy = x y ; (3) x + y ≤ x + y . Nếu thay (3) bởi điều kiện sau: (4) x + y ≤ max ( x , y ) thì . thỏa mãn (1), (2), (4) được gọi là chuẩn không Acsimet. Một chuẩn . trên K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định nghĩa bởi: d ( x, y ) =x − y , ∀x, y ∈ K . Nếu chuẩn . không Acsimet thì metric cảm sinh d thỏa: d ( x, y ) ≤ max {d ( x, z ), d ( z , y )} , ∀x, y, z ∈ K .
4 Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric hoặc metric không Acsimet. 1.1.1.2. Ví dụ Chuẩn tầm thường trên K xác định bởi 1 khi x ≠ 0 x = 0 khi x = 0 Chuẩn . được gọi là trù mật nếu tồn tại= K { x : x ∈ K} là tập trù mật trong  + . Giả sử trên trường K xác định một metric d cảm sinh bởi chuẩn không Acsimet. Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng trên K lần lượt như sau: { y ∈ K : d ( x, y ) < r } , K ( x; r ) = { y ∈ K : d ( x, y ) ≤ r}. K [ x; r ] = Tôpô sinh bởi họ các đĩa mở K ( x; r ) được gọi là tôpô không Acsimet trên K . 1.1.2. Trường số phức p-adic Một ví dụ cho trường không Acsimet là trường các số phức p-adic. Trong phần này ta sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p là số nguyên tố. Cho số nguyên tố p, mọi số nguyên a ≠ 0 có thể biểu diễn dạng a = p v a′, với p không chia hết a′ ∈  \ {0}. Khi đó v ∈  là duy nhất cho mỗi a và p. Đặt v p (a ) = v. Ta có hàm v p :  \ {0} → . a Mở rộng hàm v p trên  như sau: Với x= ∈ , đặt b v p (a ) − v p (b) khi x ≠ 0 v p ( x) =   +∞ khi x =0
5 Khi đó v p ( x) là một hàm trên . Do đó, ta có thể định nghĩa chuẩn p-adic, ký hiệu là . p , trên  như sau:  p − v p ( x ) khi x ≠ 0 xp =  0 khi x = 0 Hai chuẩn trên K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh cùng một tôpô trên K . Định lý (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường . trên  đều tương đương với chuẩn . p với p là số nguyên tố hoặc p = ∞ (chuẩn . ∞ là giá trị tuyệt đối thông thường). Chứng minh: Trường hợp 1: Tồn tại số nguyên dương n sao cho n > 1. Gọi n0 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn n0 > 1 thì tồn tại số thực dương α thỏa mãn n0 = n0α . Với số nguyên dương n bất kỳ được viết dưới dạng n = a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s trong đó 0 ≤ ai < n0 , i = 0,1,, s và as ≠ 0 thì n0s +1 > n ≥ n0s và n ≤ a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s = a0 + a1 n0aaa + a2 n02 +  + as n0s . 0,1,, s nên ai ≤ 1. Do đó Vì ai < n0 , i = n ≤ 1 + n0α + n02α +  + n0sα= n0sα (1 + n0−α + n0−2α +  + n0− sα ) i  1  ∞ ≤ n ∑ α  α ( do n ≥ n ). α 0 i =0  n0  i ∞  1  Đặt ∑  α  = C (hằng số) thì n ≤ C.nα . i =0  n0  Với N đủ lớn, thay n bởi n N , ta có n ≤ N C .nα . Cho N → ∞ thì n ≤ nα .
6 Do đó n0s +1 − n ≤ ( n0s +1 − n ) . α Ta có n0s +1= n0s +1 − n + n ≤ n + n0s +1 − n Suy ra n ≥ n0s +1 − n0s +1 − n ≥ n0( s +1)α + ( n0s +1 − n ) α ( do n s +1 0 =n0 s +1 ). α   1  α Vì n ≥ n0 nên n ≥ n ( s +1)α + (ns +1 ) n s α − n= ( s +1)α 1 + 1 −   . 0 0 0 0   n0     Vì n0s +1 > n ≥ n0s nên n ≥ C ′.nα . Với N đủ lớn, thay n bởi n N , ta có n ≥ N C ′.nα . Cho N → ∞ thì n ≥ nα . Vậy n = nα . a a a aa  a  a Lấy x =∈ , a, b ∈ , b ≠ 0 thì x= = =  = x=a x . b b ba  b  ∞ Do đó . tương đương . ∞ . Trường hợp 2: n ≤ 1 với mọi số nguyên dương n. Gọi n0 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn n0 < 1. n0 là số nguyên tố vì nếu n0= n1.n2 , n1 < n0 , n2 < n0 thì n1 < 1, n2 < 1 và =n0 n1 . n2 < n0 (vô lý). Đặt p = n0 . Lấy số nguyên tố q ≠ p. Giả sử q < 1. Với M , N đủ lớn ta có p M < , q N < . Vì ( p M , q N ) = 1 nên tồn tại số 1 1 2 2 1. Khi đó nguyên m, n sao cho mp M + nq N = 1=1 =mp M + nq N ≤ m p M + n q N . 1 1 Vì m < 1, n < 1 nên 1 ≤ p M + q N < + =1 (vô lý). 2 2 Vậy q = 1.
7 Với bất kỳ số nguyên dương a đều được viết dưới dạng a = p1b1 p2b2  prbr trong đó p1 , p2 , pr nguyên tố cùng nhau. Khi đó a = p1 b1 b2 br p2  pr .  p bi khi ∃i : pi =p ord a Suy ra a =  ρ . Đặt = a rr p < 1 thì = = bi = p a p.  1 khi p j ≠ p, ∀j Do đó . tương đương . p . □ Từ đó với mỗi x ∈  \ {0} , ta có ∏x p p = 1 trong đó ∏x p p được hiểu là tích x p với tất cả các số nguyên tố p ∈ , kể cả p = ∞. Đầy đủ hóa của  ứng với tôpô sinh bởi . p là một trường, ký hiệu là  p , chuẩn . p trên  được mở rộng thành chuẩn không Acsimet trên  p , vẫn ký hiệu là . p và thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tồn tại phép nhúng  vào  p và chuẩn cảm sinh bởi . p trên  qua phép nhúng là chuẩn p-adic. Do đó ta đồng nhất  với ảnh của nó qua phép nhúng  p . (ii)  trù mật trong  p . (iii)  p đầy đủ. Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn giá trị tuyệt đối chuẩn p-adic. Khi đó ta gọi  p là trường các số p-adic.  p còn có tính chất sau: (iv) Với mỗi x ∈  p \ {0} , tồn tại một số nguyên v p ( x) sao cho x p = p −vp ( x) , nghĩa là v p trong  được mở rộng lên  p . Nói cách khác, tập tất cả các giá trị của  và  p qua . p trùng nhau và đó là tập { p n : n ∈ } ∪ {0}.
8  r ( x; r ) p  x;  , x ∈ p , r ∈  + . Từ (iv) ta thấy ;;; p=  p = Do đó vành định giá p [ 0;1] ; p ;; = p ( 0; p ) vừa mở vừa đóng và được gọi là vành số nguyên p-adic, ký hiệu  p . Với mọi n ∈  + , vành  p được phủ bởi ; p  k ; p − n  = k + pn p (k = 0,1,, p n − 1) , suy ra  p compact và do đó  p compact địa phương. Do đó, ta có  p / p n p ≅  / p n p , và các lớp p n  p trong  p là các quả cầu trong tôpô p-adic. Các tập ; p =  k ; p  p  p −n n ( n ∈  ) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 ∈ p . Không gian  p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff. Ký hiệu  p là bao đóng đại số của  p . Ta mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic trên  p như sau: Lấy x ∈  p , khi đó x thuộc trường mở rộng hữu hạn  p ( x) và do đó ta có thể định nghĩa x p bằng cách sử dụng sự mở rộng duy nhất của chuẩn p-adic trên  p ( x). Do đó ta nhận được hàm . :  p →  + là một mở rộng của chuẩn p- adic trên  p . Ta chứng minh được hàm này là một chuẩn. Chuẩn . trên  p cũng gọi là chuẩn p-adic. Tuy nhiên,  p không đầy đủ với chuẩn này. Đầy đủ hóa của  p ứng với tôpô sinh bởi . p trên  p là một trường, ký hiệu là  p , chuẩn này vẫn ký hiệu là . p và thỏa mãn các tính chất sau:
9 (i) Tồn tại phép nhúng  p vào  p và chuẩn cảm sinh bởi . p trên  p qua phép nhúng là chuẩn p-adic. Do đó ta đồng nhất  p với ảnh của nó qua phép nhúng  p . (ii)  p trù mật trong  p . (iii)  p đầy đủ. Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn chuẩn p-adic. Khi đó ta gọi  p là trường số phức p-adic.  p còn có tính chất sau: (iv) Với mỗi x ∈ p \ {0} , tồn tại một số hữu tỷ v p ( x) sao cho x p = p vp ( x) , nghĩa là v p trong  p được mở rộng lên  p và ảnh của  p \ {0} qua v p là . (v)  p đóng đại số nhưng không compact địa phương. 1.2. Không gian xạ ảnh  n 1.2.1. Định nghĩa Cho K là một trường. Không gian affine n chiều trên K , được viết là  n ( K ) hoặc  n , là tập hợp các bộ gồm n phần tử trong K . Các phần tử của  n được gọi là các điểm. Đặc biệt 1 ( K ) là đường thẳng affine,  2 ( K ) là mặt phẳng affine. 1.2.2. Định nghĩa Cho K là một trường. Không gian xạ ảnh n chiều trên K , được viết là  n ( K ) hoặc  n , là tập hợp của những đường thẳng đi qua điểm ( 0;0;;0 ) trong + n+1 ( K ). kỳ điểm ( x ) Bất= ( x1; x2 ;; xn+1 ) ≠ ( 0;0;;0 ) đều xác định một đường thẳng duy nhất dạng {( λ x ; λ x ;; λ x 1 2 n +1 ) λ ∈ K }. Hai điểm ( x ) và ( y ) xác định cùng
10 một đường thẳng nếu có λ ≠ 0, λ ∈ K sao cho yi = λ x= i với i 1,2,, n + 1. Ta cũng có thể nói ( x ) và ( y ) là tương đương. Khi đó  n có thể được định nghĩa là tập các lớp tương đương gồm các điểm trong + n+1 \ {( 0;0;;0 )}. Phần tử của  n được gọi là điểm. Nếu một điểm P ∈  n được xác định như trên bởi ( x1; x2 ;; xn+1 ) ∈ + n+1 thì ta nói ( x1; x2 ;; xn+1 ) là tọa độ thuần nhất và viết P = [ x1 : x2 :  : xn+1 ]. Đặt U i = {[ x : x : : x 1 2 n +1 ]∈ :n } xi ≠ 0 . Mỗi điểm P ∈  n đều được viết duy nhất dạng P = [ x1 :  : xi −1 :1: xi +1 :  : xn+1 ]. Ta định nghĩa ϕi :  n → U i được xác định bởi ϕi ( a1; a2 ;; an ) = [ a1 :  : ai −1 :1: ai +1 :  : an+1 ]. Khi đó ϕi thiết lập một sự tương ứng 1-1 giữa các điểm của  n và các điểm của U i . n +1 Chú ý rằng  n =  U i với U i được xem như không gian affine n chiều. i =1 1.2.3. Ví dụ (0)  0 ( K ) là một điểm. :1 ( K ) (1)= {[ x :1] } x ∈ K  [1: 0] là đường thẳng xạ ảnh trên K . { } { } [ x : y :1] ( x; y ) ∈  2  [ x : y : 0] [ x : y ] ∈ :1 là mặt phẳng xạ (2) : 2 ( K ) = ảnh trên K . 1.3. Giống của đường cong 1.3.1. Định nghĩa Cho K là một trường. Gọi f ( x1 , x2 ,…, xn ) là đa thức n biến khác không với hệ số trên K . Đa thức f ( x1 , x2 ,…, xn ) được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu f ( x1 , x2 ,…, xn ) =∑ ak1k2kn x k1 x k2  x kn với ak1k2kn ∈ K . k1 ++ kn = d
11 1.3.2. Định nghĩa Gọi f ( x, y, z ) là đa thức thuần nhất khác hằng. Đường cong phẳng xạ ảnh C là một siêu mặt trong  2 ( K ) được xác định như sau: {[ x : y : z ] ∈ : 2 ( K ) : f ( x, y, z ) = C= 0} Bậc của đường cong C là bậc của đa thức f ( x, y, z ) . Đường cong C được gọi là bất khả quy nếu đa thức f ( x, y, z ) bất khả quy. Một điểm [ a : b : c ] ∈ C được gọi là điểm kì dị (hoặc điểm bội) của C nếu ∂f ∂f ∂f = (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) 0 ∂x ∂y ∂z Số bội của điểm [ a : b : c ] ∈ C là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho ∂m f (a, b, c) ≠ 0 với i, j , k ≥ 0 và i + j + k =m ∂xi ∂y j ∂z k Một điểm [ a : b : c ] ∈ C không là điểm kì dị được gọi là điểm đơn. Khi đó ∂f ∂f ∂f (a, b, c) ( x − a ) + (a, b, c) ( y − b ) + (a, b, c) ( z − c ) = 0 là tiếp tuyến của C ∂x ∂y ∂z tại điểm [ a : b : c ]. Đường cong C không có điểm kì dị được gọi là đường cong xạ ảnh không suy biến (hoặc đường cong xạ ảnh trơn). 1.3.3. Định nghĩa Cho C là đường cong xạ ảnh không suy biến, A là trường các hàm đại số xác định trên K , với điểm P ∈ C ta kí hiệu ord P là hàm thứ tự trên A. Một ước trên C có dạng hình thức là D = ∑ nP P trong đó nP ∈  và nP = 0 với hầu hết P∈C các điểm trừ một số hữu hạn các điểm P. Bậc của ước là tổng của các hệ số của ước, nghĩa là deg ( ∑ nP P ) = ∑ nP .
12 Một ước D = ∑ nP P được gọi là hữu hiệu nếu nP ≥ 0, ∀P ∈ C. Đặt L( D= ) { f ∈ A : ord P ( f ) ≥ −nP , ∀P ∈ C} và dim ( L( D) ) = l ( D). 1.3.4. Định lý (Riemann) Có giá trị g ∈  sao cho l ( D) ≥ deg( D) + 1 − g với mọi ước D. Giá trị g nhỏ nhất thỏa l ( D) ≥ deg( D) + 1 − g được gọi là giống của C. Giống là một số nguyên không âm. 1.3.5. Mệnh đề Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh có bậc d cùng với n điểm kì dị Pi (1 ≤ i ≤ n ) ứng với số bội ri . Khi đó giống của C được cho bởi công thức: ( d − 1)( d − 2 ) − n ri ( ri − 1) =g 2 ∑ i =1 2 (xem [13]). 1.3.6. Ví dụ Một đường cong C xác định bởi đa thức f ( x, y, z )= x3 yz + y 5 + z 5 bậc 5. Dễ dàng kiểm tra C có 1 điểm kì dị [1: 0 : 0] bội 2. Do đó, =g ( 5 − 1)(= 5 − 2) −1 5. 2 1.3.7. Định lý (Picard – Berkovich) Giả sử C ⊂  2 ( K ) là đường cong đại số trơn xác định trên trường K , đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường, có giống g ≥ 1. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ đường thẳng affine 1 ( K ) lên C đều là ánh xạ hằng. Nếu đường cong C trên K có giống g ≥ 1 thì C được gọi là hyperbolic trên K hay K − hyperbolic. 1.3.8. Định nghĩa Gọi R( z0 , z1 , z2 ), S ( z0 , z1 , z2 ) là các đa thức thuần nhất trên K . Đặt
13 zi zj W ( zi , z j ) = với 0 ≤ i < j ≤ 2. dzi dz j R( z0 , z1 , z2 ) Các 1-dạng W ( zi , z j ), 0 ≤ i < j ≤ 2 là các 1-dạng hữu tỷ trên  2 ( K ). S ( z0 , z1 , z2 ) R( z0 , z1 , z2 ) 1-dạng W ( zi , z j ) được gọi là xác định tốt nếu deg = S deg R + 2. S ( z0 , z1 , z2 ) Gọi C là đường cong đại số xác định bởi f ( z0 , z1 , z2 ) = 0 trên  2 ( K ) với f ( z0 , z1 , z2 ) = 0 là đa thức bậc n ≥ 2. 1-dạng ω trên C được gọi là chính quy nếu nó là hạn chế của 1-dạng hữu tỷ của  2 ( K ) sao cho không có cực điểm nào của ω thuộc C. Một 1-dạng hữu tỷ chính quy xác định tốt trên C được gọi là 1-dạng kiểu Wronskian. Tiếp theo, ta thiết lập mối liên hệ giữa số chiều của không gian các 1-dạng chính quy và giống của đường cong. 1.3.9. Định nghĩa Gọi Ω là không gian các 1-dạng chính quy ω trên C. Lấy ω ∈ Ω, ω ≠ 0, ước của ω là div(ω ) có dạng hình thức là div(ω ) = ∑ ord P (ω ) P và W = div(ω ) P∈C được gọi là ước chính tắc. 1.3.10. Định lý Cho W là ước chính tắc. Khi đó deg W = 2 g − 2 và l (W ) ≥ g (xem [13]). 1.3.11. Định lý (Riemann – Roch) Cho W là một ước chính tắc trên C. Khi đó với bất kỳ ước D ta có = l ( D) deg( D) + 1 − g + l (W − D). Ngoài ra, ta còn chỉ ra mối liên hệ giữa 1-dạng chính quy và giống của các thành phần bất khả quy bất kỳ của C thông qua bổ đề Key.
14 1.3.12. Bổ đề (Bổ đề Key) Cho C là đường cong xạ ảnh bậc n trong  2 ( K ) xác định bởi f ( z0 , z1 , z2 ) = 0. Giả sử có i, j , k ∈ {0,1,2} , 0 ≤ i < j ≤ 2, i ≠ k , j ≠ k và hai 1- R1 R2 Wronskian ω1 dạng kiểu= = W ( zi , z j ); ω2 W ( zi , z j ) thỏa mãn S1 S2 ∂f (i) S1 , S2 là nhân tử của . ∂zk (ii) ω1 , ω2 độc lập tuyến tính trên thành phần bất khả quy bất kỳ của C. (iii) Với i = 1,2 , ωi là chính quy tại điểm P ∈ ∩ i trong đó  là tập hợp các điểm kì dị của C và i là tập hợp các không điểm của Si . Khi đó mọi thành phần bất khả quy của đường cong C đều có g ≥ 2. Chứng minh: Lấy cực điểm ( z0 , z1 , z2 ) ∈  2 của ω1 sao cho S1 ( z0 , z1 , z2 ) = 0. ∂f W ( z1 , z2 ) ∂f ∂f W ( z2 , z0 ) ∂f Theo quy tắc Cramer, ta có = và = suy ra ∂z0 W ( z0 , z1 ) ∂z2 ∂z1 W ( z0 , z1 ) ∂z2 W ( z1 , z2 ) W ( z2 , z0 ) W ( z0 , z1 ) = = . ∂f ∂f ∂f ∂z0 ∂z1 ∂z2 ∂f ∂f Vì S1 là nhân tử nên ta có thể viết = S1H1. Khi đó ∂zk ∂zk R1H1 R1H1W ( zi , z j ) =ω1 = W ( zi , z j ) . S1H1 ∂f ∂zk R1H1W ( z1 , z2 ) R1H1W ( z2 , z0 ) R1H1W ( z0 , z1 ) Suy ra ω1 = = = . ∂f ∂f ∂f ∂z0 ∂z1 ∂z2
15 Do đó ω1 chỉ có một cực điểm ( z0 , z1 , z2 ) ∈ ∩ i (mâu thuẫn với (iii)). Do đó ω1 chính quy trên C. Tương tự cho ω2 , ta có ω2 chính quy trên C. Kết hợp với điều kiện (ii), ω1 , ω2 độc lập tuyến tính trên mỗi thành phần bất khả quy của C , do đó g ≥ 2. □ 1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường K đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet . không tầm thường. Các khái niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có một số tính chất riêng. 1.4.1. Định nghĩa Với U ⊂ K là tập mở, hàm f : U → K được gọi là khả vi tại z0 ∈U nếu tồn f ( z0 + h ) − f ( z0 ) tại lim := f ′( z0 ). h →0 h Hàm f ′ gọi là đạo hàm của f . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z ∈U . 1.4.2. Bổ đề Giả sử ( xn ) là một dãy trong K . Dãy ( xn ) là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim xn+1 − xn = 0. n→∞ Chứng minh: Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có điều kiện đủ. Ta chứng minh điều kiện cần. ∀n, p ∈  ta có xn+ p − xn = xn+ p − xn+ p −1 + xn+ p −1 − xn+ p −2 +  + xn+1 − xn { } ≤ max xn+ p − xn+ p −1 , xn+ p −1 − xn+ p −2 ,, xn+1 − xn . 0 nên ta có điều kiện cần. Vì lim xn+1 − xn = □ n→∞ Từ bổ đề trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có mệnh đề sau.
16 1.4.3. Mệnh đề ∞ Chuỗi ∑a , a n =0 n n ∈ K hội tụ nếu và chỉ nếu lim an = 0. Khi đó n→∞ ∞ ∑a n =0 n ≤ max an . n ∞ = Chuỗi f ( z) ∑a z n =0 n n , an ∈ K hội tụ tại z nếu và chỉ nếu lim an z n = 0. n→∞ 1 Đặt ρ = , khi đó ta có limsup n an (1) Nếu ρ = 0 thì f ( z ) hội tụ tại z = 0. (2) Nếu ρ = +∞ thì f ( z ) hội tụ tại mọi z ∈ K . (3) Nếu 0 < ρ < +∞ và an ρ n → 0 thì f ( z ) hội tụ khi và chỉ khi z ≤ ρ . (4) Nếu 0 < ρ < +∞ và an ρ n  0 thì f ( z ) hội tụ khi và chỉ khi z < ρ . 1.4.4. Định nghĩa ρ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa f ( z ). Nếu ρ = ∞ thì f ( z ) hội tụ trên K . Khi đó f ( z ) gọi là hàm nguyên trên K . Với r > 0, ký hiệu  ∞  r ( K ) =  ∑  f ( z) = n =0 an z n : an ∈ K , lim an r n = 0 ,   } ∞ (= r ( K ) =  f ( z) ∑a z n =0 n n : an ∈ K , bán kính hội tụ r ≥ r ,  ( K ) = ( ∞ ( K ) là tập các hàm nguyên trên K . Ta có r ( K ) cùng với hai phép toán cộng và nhân hai chuỗi lũy thừa lập thành một vành và r ( K ) =  s ( K ). s≤r