BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET
Chuyên ngành Mã số
: Hình Học và Tôpô : 60 46 01 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA
Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên cao học khóa 23
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu luận văn.
Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Tiến sĩ
Nguyễn Trọng Hòa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập cũng
như tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 3
1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic ...................... 3
1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet ..................................................... 3
1.1.2. Trường số phức p-adic ........................................................................ 4
n
1.2. Không gian xạ ảnh
................................................................................ 9 1.3. Giống của đường cong ............................................................................. 10
1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet .............. 15
1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số ......................................... 24
Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG
ACSIMET .......................................................................................................... 27
2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet......... 27
2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet ............. 30
2.3. Bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet ............................................ 37
2.3.1. Trường hợp 1-dạng vi phân ............................................................... 37
2.3.2. Trường hợp tổng quát ........................................................................ 39
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46
1
LỜI NÓI ĐẦU
Một đa tạp phức X được gọi là hyperbolic (theo nghĩa của Brody) nếu mọi
Điều này tương đương với
là hyperbolic. Định lý Picard cũng
ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ giải tích) đi từ mặt phẳng phức vào X là hằng. Theo định lý “nhỏ” Picard, một hàm nguyên mất hơn hai giá trị phải là hằng. { } 1 \ 0,1,∞
chứng tỏ rằng một mặt Riemann có giống 1 bỏ một điểm và các mặt Riemann có
giống bé nhất 2 là hyperbolic. Trường hợp với số chiều lớn hơn là một bài toán
khó hơn nhiều. Một câu hỏi được đưa ra liệu rằng các đa tạp phức loại tổng quát
có là hyperbolic. Kobayashi [17] và Zaidenberg [23] đã đưa ra phỏng đoán rằng
n
phần bù của siêu mặt “tổng quát” trong
1n + là hyperbolic.
có bậc bé nhất 2
Đã có rất nhiều kết quả liên quan đến phỏng đoán này. Phỏng đoán này đã được
kiểm chứng bởi Green [15] trong trường hợp 2
quát. Tổng quát hơn, Babets [4], Eremenko-Sodin [12] và Ru [19] đã độc lập
n
đưa ra kết luận
siêu mặt ở vị trí tổng quát} là hyperbolic. Khi
n +
1
1n + siêu phẳng ở vị trí tổng
{\ 2
n = 2,
phỏng đoán đúng cho trường hợp bốn đường cong tổng quát (xem [10]). Đối với
trường hợp ba đường cong tổng quát
1
2
3
3
3
≥
=
([10], [11]) chứng tỏ
là hyperbolic nếu deg
2,
i
1,2,3.
iC
C C C Dethloff, Schmacher và Wong , , ,
i
= 1
Cho K là một trường đóng đại số có đặc số tùy ý, đầy đủ với giá trị tuyệt đối
C i \
-K hyperbolic nếu mọi
ánh xạ chỉnh hình từ K vào X là hằng. Khác với trường số phức, việc nghiên
cứu các bài toán hyperbolic trên trường không Acsimet dễ hơn nhiều. Ví dụ như
hàm nguyên trên trường không Acsimet không có không điểm là hằng nghĩa là
là hyperbolic. Định lý Picard trên trường không Acsimet khẳng định
} { 1 \ 0,∞
. không Acsimet. Một đa tạp X trên K được gọi là
bất kỳ đường cong nào có giống bé nhất 1 là
-K hyperbolic. Cherry đã chứng
-K hyperbolic (xem [6] và [7]). Như một hệ quả
minh các đa tạp Abel trên K là
2
n
1
n +
đơn giản của định lý cơ bản thứ hai của Ru [20],
siêu mặt ở vị trí tổng
{\
quát} là
-K hyperbolic. Tương tự giả thuyết của Kobayashi và Zaidenberg, ta có
phỏng đoán sau đây.
Phỏng đoán: Cho
là q siêu mặt tổng quát phân biệt trong
q
q
n
, D q n≤ ,q D 1,
là
-K hyperbolic nếu
D i
n K (
\
∑
i
= 1
i
= 1
Việc nghiên cứu tính chất hyperbolic đang là vấn đề thời sự được các nhà
Toán học muốn hướng đến tiếp theo. Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu
“Tính chất hyperbolic trên trường không Acsimet” làm đề tài của mình. Ở đây,
tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu về các đường cong chỉnh hình trên trường
không Acsimet trong đa tạp xạ ảnh và giới thiệu một vài kết quả gần đây theo
hướng nghiên cứu này bằng phương pháp Nevanlinna p-adic. Các thành phần
chính gồm lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna trên các đường cong chỉnh hình và cách xây dựng các dạng vi
phân (tổng quát hơn là các dạng vi phân tia). Luận văn được chia làm 2 chương.
≥ deg n 2 . ). D i
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trình bày một số định nghĩa cơ sở và giới thiệu vài định lý mở đầu. Mục
đích chính là giúp người đọc có cơ sở hiểu rõ cốt lõi bài luận văn ở phần sau.
Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG
ACSIMET
Trình bày chứng minh định lý Picard trên trường không Acsimet cho một
đường cong phẳng trơn có giống bé nhất 1; chứng minh phỏng đoán của
Kobayashi và Zaidenberg; chứng minh bổ đề Schwarz trên trường không
Acsimet cho trường hợp tích 1-dạng đối xứng cũng như dạng vi phân tia trong
2
với các cực điểm lôgarit dọc theo một đường cong. Cuối cùng, ta sẽ kết thúc phỏng đoán của Kobayashi và Zaidenberg trên trường không Acsimet cho
2.
3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic
Ký hiệu
hữu tỷ, vành số nguyên.
Nếu T là tập con của thì ta ký hiệu
+
≥
>
x T x
:
T
x T x
:
} 0 ,
{ = ∈
} 0 .
{ + = ∈ T
Cho K là trường. Với
a b≤ ta ký hiệu
,
, , , lần lượt là trường số phức, trường số thực, trường số
} x b
,a b K∈ sao cho ] { [ = ∈
≤ ≤ x K a b , : a .
1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho K là trường, một chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên K là
+→
. : K
thỏa mãn các điều kiện sau:
∀ x y K , ∈ ,
(1)
x 0 = ⇔ = x 0;
(2)
= xy x y ;
(3)
≤
+
(4)
x y ,
max
y
x
Nếu thay (3) bởi điều kiện sau: (
)
thì . thỏa mãn (1), (2), (4) được gọi là chuẩn không Acsimet. Một chuẩn .
+ ≤ + x y x y .
trên K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định nghĩa bởi: ( d x y ,
)
Nếu chuẩn . không Acsimet thì metric cảm sinh d thỏa:
∀ x y K , ∈ . = − x y ,
} ) ,
{
≤ ∀ d x y ( , ) max d x z d z y ( , ), ( , x y z K , , ∈ .
4
Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric hoặc metric
không Acsimet.
1.1.1.2. Ví dụ
Chuẩn tầm thường trên K xác định bởi
x
≠ =
khi khi
x x
0 0
1 = 0
=
Chuẩn
là tập trù mật
K
∈ x x K
:
{
}
trong
.+
Giả sử trên trường K xác định một metric d cảm sinh bởi chuẩn không
. được gọi là trù mật nếu tồn tại
Acsimet. Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng trên K lần lượt như sau: )
( K x r ;
(
)
≤
y K d x y :
,
r
(
)
[ K x r ;
]
{ = ∈ { = ∈
} } .
Tôpô sinh bởi họ các đĩa mở
< y K d x y : r , ,
);K x r được gọi là tôpô không Acsimet trên
(
.K
1.1.2. Trường số phức p-adic
Một ví dụ cho trường không Acsimet là trường các số phức p-adic. Trong
phần này ta sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic
p với p là số
nguyên tố.
Cho số nguyên tố
,p mọi số nguyên a ≠ có thể biểu diễn dạng 0
với p không chia hết
v p a′ ,
{ } \ 0 .
= a a′∈
Khi đó v ∈ là duy nhất cho mỗi a và
→
Đặt
.p
:
{ } \ 0
pv a ( )
pv
v= Ta có hàm .
.
Mở rộng hàm
pv trên như sau: Với
x = ∈ đặt , a b
− ≠ khi x 0 v a ( ) p v b ( ) p v x ( ) p + ∞ = khi x 0 =
5
Khi đó
pv x là một hàm trên
. Do đó, ta có thể định nghĩa chuẩn p-adic,
ký hiệu là .
( )
x ( )
pv
,p trên như sau:
p
− p =
Hai chuẩn trên K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh cùng một
tôpô trên
khi 0 x ≠ = khi x x 0 0
.K
Định lý (Ostrowski)
Mọi chuẩn không tầm thường
trên đều tương đương với chuẩn . p
với p là số nguyên tố hoặc p = ∞ (chuẩn . ∞ là giá trị tuyệt đối thông thường).
Chứng minh:
.
Trường hợp 1: Tồn tại số nguyên dương n sao cho
0n là số
nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
n > Gọi 1.
Với số nguyên dương n bất kỳ được viết dưới dạng
1 n > thì tồn tại số thực dương α thỏa mãn 0
n 0 nα= 0 .
≤
<
trong đó
0
0,1,
s
= và ,
sa ≠ 0
, n i 0
ia
2 a n 2 0
s a n s 0
+ > ≥ 1
thì
và
s n 0
s n n 0
≤
+
+
+
+
=
+
+
+
+
n
a 0
a n 1 0
2 a n 2 0
a 0
α a n 0 1
α 2 a n 2 0
α s 0 .
s a n 0 s
a n s
<
Vì
0,1,
s
= nên ,
ia
n i 0,
α s
+
+
+
+
+
+
=
+
≤ + 1
n
α n 0
α 2 n 0
− α n 0
− α 2 n 0
− n 0
α s n 0
α s n 0
)
ia ≤ Do đó 1. ( 1
i
∞
≤
do
.
α n
α ≥ n n 0
(
)
∑
=
0
i
1 α n 0
i
∞
=
(hằng số) thì
Đặt
+ + + + = n a 0 a n 1 0
C
∑
=
1 nα
0
i
0
N
≤
ta có
n
C nα . .
n
nα≤ .
Cho N → ∞ thì
Với N đủ lớn, thay n bởi
,Nn
n C nα ≤ . .
6
α
+ 1
+ 1
−
≤
−
Do đó
.
n
n
s n 0
s n 0
(
)
+ 1
+ 1
+ 1
=
− +
≤
+
−
Ta có
n n
n
n
s n 0
s n 0
s n 0
α
+
s
α
s
+ 1
+ 1
+ 1)
+ 1
+ 1
Suy ra
s n 0
s n 0
( n 0
s n 0
s n 0
(
)
(
)1
α
α
α
s
s
+ 1)
+ 1
+ 1)
≥ − − ≥ + − = do n n n . n 0
Vì
nên
( n 0
s n 0
s n 0
( n 0
0
(
)
α
+ > ≥ 1
Vì
nên
n C nα′≥ .
.
s n 0
s n n 0
N
≥
ta có
n
C nα′ . .
Với N đủ lớn, thay n bởi
≥ + − = + n 1 . n nα≥ 1 n 0 − 1
Cho N → ∞ thì
,Nn
Vậy
n
nα= .
α
=
=
=
=
=
n nα≥ .
thì
Lấy
x
α x
x
.
∞
a b
α a α b
a b
α
Do đó
∈ ≠ x a b , , b 0 , a = ∈ b
tương đương .
. .∞
Trường hợp 2:
0n là số nguyên
dương nhỏ nhất thỏa mãn
1 n ≤ với mọi số nguyên dương .n Gọi
n < 1. 0
=
<
<
thì
.
,
n 0
n n n 1 2 1
n n , 0 2
n 0
0n là số nguyên tố vì nếu
< 1, < và 1 n 1 n 2
(vô lý). Đặt
0.
Giả sử
Lấy số nguyên tố
= < . p n= n 0 n 1 n 2 n 0
q
p≠ .
M
N
M
N
<
<
,
.
p
q
Với
= nên tồn tại số
q < 1.
p
,
q
1
Vì (
)
1 2
1 2
M
N
nguyên
,M N đủ lớn ta có
M
N
M
N
= Khi đó ,m n sao cho mp nq+ 1.
M
N
≤
+
= = + ≤ + 1 1 mp nq m p n q .
1
p
q
Vì
< + = (vô lý). 1
1 2
1 2
Vậy
< m 1, n 1 < nên
q = 1.
7
Với bất kỳ số nguyên dương a đều được viết dưới dạng
b p r r
b b p p 1 2 1 2
b 1
b 2
= a
trong đó
b .r
p nguyên tố cùng nhau. Khi đó ,
p p , 1 2
r
ib
∃
=
khi
p
p
a
ord p
b i
=
= ρ ρ
=
a
a
.
= a p r p 1 p 2
Đặt
Suy ra
a
.
p
khi
p
1
i p : i ≠ ∀ j p ,
j
=
Do đó
□
pρ= < thì 1
tương đương .
ta có
trong đó
Từ đó với mỗi
{ } \ 0 ,
. .p
p
p
p
x ∈ x =∏ 1p x∏ được hiểu là tích
px với tất cả các số nguyên tố
p = ∞ . p ∈ kể cả ,
Đầy đủ hóa của ứng với tôpô sinh bởi . p là một trường, ký hiệu là
,p
chuẩn . p trên được mở rộng thành chuẩn không Acsimet trên
hiệu là . p và thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Tồn tại phép nhúng vào
p và chuẩn cảm sinh bởi . p trên qua
phép nhúng là chuẩn p-adic. Do đó ta đồng nhất với ảnh của nó qua phép nhúng
,p vẫn ký
.p
(ii) trù mật trong
(iii)
p đầy đủ.
Trường
p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn giá
trị tuyệt đối chuẩn p-adic. Khi đó ta gọi
p là trường các số p-adic.
p còn có
tính chất sau:
x
pv
−= p
( ),
tồn tại một số nguyên
(iv) Với mỗi
.p
{ } \ 0 ,
p
pv x sao cho
px
nghĩa là
( ) x ∈
pv trong được mở rộng lên
np
.p Nói cách khác, tập tất cả các
{ } 0 .
giá trị của và
} n ∈ ∪
p qua . p trùng nhau và đó là tập {
:
8
+
=
∈
∈
Từ (iv) ta thấy
,
.
; x
x
r
(
); x r
p
p
, p
r p
=
0;
p
Do đó vành định giá
vừa mở vừa đóng và được
(
)
[
] 0;1
p
p
p
=
gọi là vành số nguyên p-adic, ký hiệu
n
p được phủ
+∈ vành ,
bởi
−
n
n
n
=
−
p
k
p
k p ;
0,1,
,
p
(
) 1 ,
.p Với mọi
p
= + k
suy ra
p compact và do đó
p compact địa phương. Do đó, ta có
n
n
p
p
p
n
và các lớp
p
p trong
p là các quả cầu trong tôpô p-adic.
−
n
n
∈
; k p
p
n
Các tập
(
)
p
p
≅ / p / p ,
tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của
=
0
.p∈
Không gian
p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff.
Ký hiệu
p là bao đóng đại số của
Ta mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic trên
p như sau:
và do đó ta có
Lấy
,p
x ∈ khi đó x thuộc trường mở rộng hữu hạn
.p
thể định nghĩa
px bằng cách sử dụng sự mở rộng duy nhất của chuẩn p-adic
Do đó ta nhận được hàm . :
trên
p
+→
( ) p x
là một mở rộng của chuẩn p-
p x ( ).
adic trên
p
cũng gọi là chuẩn p-adic. Tuy nhiên,
p không đầy đủ với chuẩn này.
Đầy đủ hóa của
p là một trường, ký
p ứng với tôpô sinh bởi . p trên
hiệu là
.p Ta chứng minh được hàm này là một chuẩn. Chuẩn . trên
,p chuẩn này vẫn ký hiệu là . p và thỏa mãn các tính chất sau:
9
(i) Tồn tại phép nhúng
p qua
p vào
p và chuẩn cảm sinh bởi . p trên
phép nhúng là chuẩn p-adic. Do đó ta đồng nhất
p với ảnh của nó qua
phép nhúng
(ii)
p trù mật trong
.p
(iii)
p đầy đủ.
Trường
p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn
chuẩn p-adic. Khi đó ta gọi
p là trường số phức p-adic.
p còn có tính chất
sau:
x
pv
p=
( ),
tồn tại một số hữu tỷ
(iv) Với mỗi
.p
{ } \ 0 ,
p
pv x sao cho
px
nghĩa là
qua
pv trong
pv là
p được mở rộng lên
p và ảnh của
{ } \ 0p
.
(v)
p đóng đại số nhưng không compact địa phương.
n
( ) x ∈
1.2. Không gian xạ ảnh
1.2.1. Định nghĩa
Cho K là một trường. Không gian affine n chiều trên
hoặc
,K được viết là
n K (
n
) .K Các phần tử của ,n là tập hợp các bộ gồm n phần tử trong
được gọi là các điểm.
Đặc biệt
là đường thẳng affine,
là mặt phẳng affine.
2( )K
1( )K
1.2.2. Định nghĩa
Cho K là một trường. Không gian xạ ảnh n chiều trên
,K được viết là
hoặc
) ;0
n K (
trong
n K+ 1(
0;0; ) là tập hợp của những đường thẳng đi qua điểm ( ,n
).
(
)
Bất kỳ điểm ( ) x
(
)
= ≠ ; ;0 ; đều xác định một đường thẳng x x ; 1 2 x + 1 n
Hai điểm ( )x và (
)y xác định cùng
) λ+
1
{ duy nhất dạng (
∈ K . ; λ λ x x ; 1 2 λ ; x n 0;0; }
10
=
một đường thẳng nếu có
với
Ta
i
1,2,
1.
+ , n
y i
xλ= i
)y là tương đương.
cũng có thể nói ( )x và (
n
Khi đó
n+
trong
λ ∈ sao cho λ≠ 0, K
có thể được định nghĩa là tập các lớp tương đương gồm các điểm { ( 1 \ 0;0;
} ) ;0 .
n
n
Phần tử của
+ 1
n
;
trên bởi (
;
) + ∈
x x ; 1 2
x n
1
P ∈ được xác định như ) là tọa độ thuần nhất và x + ; ; n 1 x x ; 1 2 được gọi là điểm. Nếu một điểm thì ta nói (
viết
[
]
n
n
= P : : . x + 1 n
Đặt
Mỗi điểm
]
i
+ 1
n
nhất dạng
Ta định nghĩa
được xác
= ∈ ≠ U : : x n x i x x : 1 2 P ∈ đều được viết duy x x : 1 2 { [
} 0 . ]
[
− 1
+ 1
+ 1
i
iU
định bởi
Khi đó
. P : :1: : : : = : x 1 x i x i x n ϕ →
(
)
[
]
iϕ thiết lập một
− 1
+ 1
+ 1
n
sự tương ứng 1-1 giữa các điểm của
.iU
: : :1: : : . ϕ i a a ; 1 2 = ; a ; n a 1 a i a i a n
và các điểm của
n
n
với
Chú ý rằng
+ 1 U
i
iU được xem như không gian affine n chiều.
i
= 1
=
1.2.3. Ví dụ
(0)
0( )K
là đường thẳng xạ ảnh trên
(1)
1(
]
] :1
} [
là một điểm. { [
2
1
= .K 1: 0 K ) ∈ x K x
là mặt phẳng xạ
(2)
]
] [
]
{ [
{ [
}
= ∈ ∈ ( K ) x y : x y :1 ( ; ) x y : : 0 x y :
} 2
ảnh trên
.K
1.3. Giống của đường cong
1.3.1. Định nghĩa
Cho K là một trường. Gọi
)
( f x x 1 2
n
hệ số trên
, , , x… là đa thức n biến khác không với
)
n
( f x x 1 2
k
n
2
.K Đa thức , x… được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu , ,
k x x 1
k với
( f x x 1 2
k
k
n
n
) … = ∑
k
d
+ + =
n
k 1
, , , x . x n K∈ a k k 1 2 a k k 1 2
11
1.3.2. Định nghĩa
Gọi
( f x y z là đa thức thuần nhất khác hằng. Đường cong phẳng xạ ảnh C
)
được xác định như sau:
là một siêu mặt trong
2
=
∈
=
C
x y z
:
:
) :
,
,
(
( K f x y z
)
]
2( )K { [
} 0
, ,
Bậc của đường cong C là bậc của đa thức
( f x y z ,
)
, .
Đường cong C được gọi là bất khả quy nếu đa thức
( f x y z bất khả quy.
)
, ,
Một điểm [
]
: : a b c C∈ được gọi là điểm kì dị (hoặc điểm bội) của C nếu
= = a b c ( , , ) a b c ( , , ) a b c ( , = , ) 0 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z
Số bội của điểm [
]
m
≠ , ) 0
( , a b c
với , i
: : a b c C∈ là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho
k
j k ≥ và i , 0 + + = k m j
Một điểm [
∂ f i j ∂ ∂ ∂ x y z ]
+
+
−
=
− x a
− y b
z
c
a b c ( , , )
a b c ( , , )
a b c ( , , )
0
là tiếp tuyến của C
)
(
(
)
)
(
∂ f ∂ z
∂ f ∂ y
∂ f ∂ x
: : a b c C∈ không là điểm kì dị được gọi là điểm đơn. Khi đó
] a b c . :
tại điểm [
Đường cong C không có điểm kì dị được gọi là đường cong xạ ảnh không
suy biến (hoặc đường cong xạ ảnh trơn).
:
1.3.3. Định nghĩa
Cho C là đường cong xạ ảnh không suy biến, A là trường các hàm đại số
xác định trên
,K với điểm P C∈ ta kí hiệu ord P là hàm thứ tự trên
D
trên C có dạng hình thức là
0
n P P
Pn = với hầu hết
= ∑ trong đó Pn ∈ và
∈ P C
các điểm trừ một số hữu hạn các điểm
.A Một ước
=
Bậc của ước là tổng của các hệ số của ước, nghĩa là
deg
n P P
P
(
)
∑
∑ n .
.P
12
Một ước
P C
≥ ∀ ∈ .
0,
D
Pn
n P P
Đặt
= ∑ được gọi là hữu hiệu nếu { = ∈ f
}
( dim (
)
≥ − ∀ ∈ và P C A f L D ( ) ) , L D ) l D= ( ). : ord ( P n P
≥ l D ) deg( D + − với mọi ước ) 1 g .D Giá trị g nhỏ
1.3.4. Định lý (Riemann) Có giá trị g ∈ sao cho ( ≥
nhất thỏa
nguyên không âm.
.C Giống là một số ) deg( l D ( D + − được gọi là giống của ) 1 g
1.3.5. Mệnh đề
Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh có bậc d cùng với n điểm kì dị
ứng với số bội
)
( 1iP
.ir Khi đó giống của C được cho bởi công thức:
n
−
−
−
2
d
d
) 1
(
)
=
g
(xem [13]).
− ∑
)( 1 2
( r r i i 2
= 1
i
≤ ≤ i n
1.3.6. Ví dụ
5
5
=
+
+ bậc 5. Dễ
,
3 x yz
y
z
Một đường cong C xác định bởi đa thức
( f x y z ,
)
dàng kiểm tra C có 1 điểm kì dị [
]
−
−
(
)
=
− = 1 5.
g
)( 5 1 5 2 2
1: 0 : 0 bội 2. Do đó,
1.3.7. Định lý (Picard – Berkovich)
là đường cong đại số trơn xác định trên trường
Giả sử
2(
với chuẩn không Acsimet không tầm thường, có giống
C K ) ,K đầy đủ ⊂
xạ chỉnh hình từ đường thẳng affine
lên C đều là ánh xạ hằng.
1( )K
g ≥ Khi đó, mọi ánh 1.
Nếu đường cong C trên K có giống
K hay K − hyperbolic.
1g ≥ thì C được gọi là hyperbolic trên
1.3.8. Định nghĩa
là các đa thức thuần nhất trên
Gọi
(
,
),
(
,
)
R z z z , 0
1
2
S z z z , 0
1
2
.K Đặt
13
với 0
j
j
1
2
Các 1-dạng
= , ) ≤ < ≤ j 2. i W z z ( i z j dz z i dz i
j
2( ).K
1
2
1
2
≤ < ≤ là các 1-dạng hữu tỷ trên j i , ), 0 2 W z z ( i ( ( , , ) ) R z z z , 0 S z z z , 0
1-dạng
được gọi là xác định tốt nếu deg
j
1
2
với
= S deg R + 2. , ) W z z ( i ( ( , , ) ) R z z z , 0 S z z z , 0
Gọi C là đường cong đại số xác định bởi
) ( f z z z = trên 2
1
0
2( )K
0 , ,
( f z z z = là đa thức bậc
)
0
1
2
sao cho không có cực điểm nào
nếu nó là hạn chế của 1-dạng hữu tỷ của
2( )K
của ω thuộc
0 , , 2. n ≥ 1-dạng ω trên C được gọi là chính quy
Một 1-dạng hữu tỷ chính quy xác định tốt trên C được gọi là 1-dạng kiểu
Wronskian.
Tiếp theo, ta thiết lập mối liên hệ giữa số chiều của không gian các 1-dạng
chính quy và giống của đường cong.
.C
1.3.9. Định nghĩa
Gọi Ω là không gian các 1-dạng chính quy ω trên
div
ω ω∈ Ω ≠ ước .C Lấy 0, ,
và
của ω là
P
ω ( )
ω ( )
ord P
= ∑
∈ P C
được gọi là ước chính tắc.
div ω có dạng hình thức là ) ( ω= div ) ( W
1.3.10. Định lý
Cho W là ước chính tắc. Khi đó deg
W g= 2 2 − và ( l W ≥ (xem [13]). ) g
1.3.11. Định lý (Riemann – Roch)
Cho W là một ước chính tắc trên
.C Khi đó với bất kỳ ước D ta có
Ngoài ra, ta còn chỉ ra mối liên hệ giữa 1-dạng chính quy và giống của các
thành phần bất khả quy bất kỳ của C thông qua bổ đề Key.
= + − + − l D ( ) deg( D ) 1 g l W D ( ).
14
1.3.12. Bổ đề (Bổ đề Key)
xác định bởi
Cho C là đường cong xạ ảnh bậc n trong
2( )K
( f z z z = Giả sử có 0.
)
{ } 0,1,2 , 0
0
1
2
∈ ≤ < ≤ ≠ , , i j k , , i j 2, i k j , k ≠ và hai 1-
dạng kiểu Wronskian
thỏa mãn
j
j
2
(i)
= = , ); , ) ω 1 ω 2 W z z ( i W z z ( i R 2 S R 1 S 1
,S S là nhân tử của 1
2
k
(ii)
. ∂ f ∂ z
,ω ω độc lập tuyến tính trên thành phần bất khả quy bất kỳ của
1
2
,
(iii) Với
1,2
i =
iω là chính quy tại điểm
i
P ∈ ∩
trong đó là tập hợp
các điểm kì dị của C và
.iS
i là tập hợp các không điểm của
Khi đó mọi thành phần bất khả quy của đường cong C đều có
.C
2
g ≥ 2.
,
,
)
(
Chứng minh: Lấy cực điểm (
2
0
1
2
0
1ω sao cho
) z z z ∈ của
1
2
, S z z z = 0. , 1 1
Theo quy tắc Cramer, ta có
và
suy ra
0
2
0
2
= = ( ( ) ) ∂ f ∂ z ∂ f ∂ z , , ) ) ∂ f W z z , 2 ∂ z W z z , 0 1 ∂ z f W z ( 0 ∂ z W z z ( 1 1
2
0
) , z ) ) , = = .
0
2
, W z z ( 1 ∂ f ∂ z W z z ( 0 1 ∂ f ∂ z W z ( 2 ∂ f ∂ z 1
Vì
nên ta có thể viết
Khi đó
1S là nhân tử
1.
k
k
= S H 1 ∂ f ∂ z ∂ f ∂ z
j
i
1
1
1
j
1
) , = , ) . ω = 1 W z z ( i R H 1 S H 1
k
)
,
,
z
)
)
,
2
1
1
1
1
0
2
0
1
1
=
=
.
Suy ra
ω = 1
R H W z z ( ∂ f ∂ z
R H W z z ( 1 ∂ f ∂ z
0
( R H W z 1 ∂ f ∂ z 1
2
( R H W z z ∂ f ∂ z
15
Do đó
2
0
1
i
1ω chỉ có một cực điểm (
) z z z ∈ ∩
đó
, , (mâu thuẫn với (iii)). Do
1ω chính quy trên
2,ω ta có
2ω chính quy trên
Kết hợp với điều kiện (ii),
.C Tương tự cho .C
1
2
□
khả quy của
,ω ω độc lập tuyến tính trên mỗi thành phần bất
,C do đó
g ≥ 2.
1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet
Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường K
đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet . không tầm thường. Các khái
niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trường định chuẩn
Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có một số tính chất riêng.
1.4.1. Định nghĩa
Với U K⊂ là tập mở, hàm
0z U∈ nếu tồn
K→ được gọi là khả vi tại :f U
0
0
tại
0
+ − f z ( f z ( ) ′= : f ( z ). lim → 0 h ) h h
Hàm f ′ gọi là đạo hàm của
tại mọi
.f Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi
là một dãy trong
là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu
z U∈ .
)nx
.K Dãy (
1.4.2. Bổ đề )nx Giả sử (
−
= 0.
x n
+ 1
x n
lim →∞ n
Chứng minh: Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có điều kiện đủ.
Ta chứng minh điều kiện cần.
−
=
+
−
+
+
−
+ −
+ − 1
+ − 1
2
+ 1
x + n p
x n
x + n p
x n p
x n p
x n p
x n
x n
≤
−
−
−
max
,
,
.
,
+ −
x + n p
x n p
+ − 1
x n p
+ − 1
x n p
2
x n
+ 1
x n
− {
}
,n p∀ ∈ ta có
□
Vì
+ 1
Từ bổ đề trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có
mệnh đề sau.
− = nên ta có điều kiện cần. 0 x n x n lim →∞ n
16
1.4.3. Mệnh đề
∞
Chuỗi
∑
hội tụ nếu và chỉ nếu lim →∞
n
=
n
0
∞
.
a n
≤∑ a n
max n
=
n
0
∞
n
∈ = Khi đó K 0. a a ,n n a n
Chuỗi
∑
hội tụ tại z nếu và chỉ nếu lim →∞
n
=
n
0
= ∈ K f z ( ) = 0. ,n a z a n n a z n
khi đó ta có
Đặt
na
(1) Nếu
1 ρ= , limsup n
0ρ= thì
(2) Nếu ρ= +∞ thì
f z hội tụ tại ( ) z = 0.
n
f z hội tụ tại mọi ( ) z K∈ .
0
(3) Nếu 0 ρ< < +∞ và
na ρ → thì
n
z ρ≤ . f z hội tụ khi và chỉ khi ( )
0
(4) Nếu 0 ρ< < +∞ và
na ρ thì
z ρ< . f z hội tụ khi và chỉ khi ( )
1.4.4. Định nghĩa
ρ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
hội tụ trên
f z Nếu ρ= ∞ thì ( ). f z ( )
Với
r > ký hiệu
0,
∞
n
n
=
=
∈
=
(
K
)
f z ( )
:
K
, lim
r
a z n
a n
a r n
∑
=
0
n
0 ,
∞
n
=
=
∈
bán kính hội tụ
(
K
)
f z ( )
:
K
,
a z n
a n
r
(
∑
f z gọi là hàm nguyên trên ( ) .K Khi đó .K
},rρ≥
=
0
n
=
(
)
)
K
là tập các hàm nguyên trên
( K∞
(
cùng với hai phép toán cộng và nhân hai chuỗi lũy thừa lập
Ta có
)
r K (
thành một vành và
K
K
(
)
(
).
r
s
=
≤ s r
.K
17
1.4.5. Định nghĩa
∞
n
Cho
r
=
n
0
Số hạng lớn nhất của
= K f z ( ) ( ). ( ∈∑ a z n
f
.n
a r n
r
≥
= : max n 0
n
f z là ( )
Chỉ số tâm của
n
{ n a r
}
r
≥
= = n f z là ( ) f r f ( , : . ) : max n 0
Khi
r = ta quy ước
0,
+
+
r
0
0
= = n f f f r f , (0, ) ). n lim ( , → r lim → r 0
1.4.6. Định lý (Công thức Poisson-Jensen)
Chỉ số tâm
tăng khi r ρ→ và thỏa công thức
r
n
t ( ,
f
)
(0,
f
)
=
+
+
n
ρ
log
f
log
dt
(0,
f
)log
r
0
< < r
(
) ( ) ∗ .
a n
(0,
f
)
r
n ∫
− t
0
Chứng minh:
1
n n=
Lấy
ta có
),
n<
0 r 1
< < < và đặt 1
r ρ 2
r f 1( ,
n na r 2
a rn 2 .
1
Thật vậy, với
,
)
n n< ta có 1
fn r ( 2
n≥ khi 1
na = 0.
1
+
≤
thì
Nếu
log
n
log
log
log
a rn
+ n n a
n≤
na ≠ và 0
na
r 1
1
r 1
n na r 1
1
1
1
r fn ( , )
Ta có điều cần chứng minh.
Suy ra
na n 1
Không mất tính tổng quát, ta chứng minh ( )∗ trong trường hợp
− log log a n 1 ≤ < log r 1 r log . 2 − n
f (0) = 1. a= 0
=
<
= < <
Giả sử
0
)
[
] (
k
1
− 1
< n n 0 1
; 0 r 0
r 1
k
− 1
=
Ta có
a rn
;
k
1,2,
= Vì tính liên tục của hàm
theo kr nên
k
n r k k
n a r k n k k
a n k
− 1
n k
=
với
Khi đó
≤ < r
f
a rn .n
r n
r n
1, +
n n
r
r
r
r k
n
n
n
f
f
f
)
)
)
=
+
=
+
dt
dt
dt
log
log
− 1
n n
∑
n ∫
∫
n ∫
=
t ( , t
t ( , t
t ( , t
= 1
∑ n k 2
k
k
− 1
r k r k
r r n
0
r k
r n
− 1
n ∈ t ( , f ) , t , k 1,2, = … và = n − r k r k
18
− 1
n
− 1
n a r n n n
r
∏
)
(
=
k
2
n r k k n r − k 1 − k 1
n a r n n n n a r n n n n
a n k = = = f log log log
− 1
□
a n k
1.4.7. Mệnh đề
∀
thỏa mãn:
Với
f g ,
(
K
),
r
r
∈ (
+→
r
≥
(1)
0;
0
f
= ⇔ = 0; f
f
r
r
=
=
λ
λ
và
(2)
g
fg
f
λ f
f
,
∀ ∈ .
K
r
r
r
r
r
+
≤
(3)
f
g
max
f
,
g
.
{
}
r
r
r
và
)
r K (
Khi đó . r là chuẩn không Acsimet trên
(4)
)
đầy đủ với chuẩn .
r K (
. : ( K ) r > hàm 0, (
(5) Vành đa thức
)
theo chuẩn .
[ ]K z trù mật trong
r K (
;r
.r
1.4.8. Định nghĩa
Điểm
Cho
K∈ và
[ ]. f K z∈
0z
0z được gọi là không điểm của hàm f nếu
và chỉ nếu
f z = 0( ) 0.
> = + +
tồn tại đa thức
với
Với
0, K r ( f ( )g z b zn
1.4.9. Định lý (Định lý chuẩn bị Weierstrass) { } ) \ 0 ,
n
+ ∈ r b 0 b z 1
và chuỗi lũy thừa
∞
n
n n= r f ( , )
∑
n
= 1
thỏa mãn
= + ∈ h z K ( ) 1 , , c z n c n
(i)
(ii)
b rn
;
n=
rg
(iii)
h
(
K
);
∈ r
−
<
(iv)
h −
1
f
g
f
.
< và 1r
r
r
= f z ( ) h z g z ( ) ( );
19
Đặc biệt,
]0;K [
điểm trong
tính cả bội.
( )h z không có không điểm trong r và f có đúng n không
[
]0; r
Chứng minh:
∞
n
n
n
K ,
Xét
∑
∑ và chọn δ +∈ thỏa mãn
=
=
0
0
n
n
= = f z ( ) , g z ( ) 1 a z n a z n
r
r
h z = Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh rằng có đa thức
Lấy 1( ) 1.
n
j
− f g 1 δ ≤ 0 < < 1. f
=
j
0
và
ih thỏa mãn
(1)
g z ( ) i = ∑ b z ij
n=
i
i
rg
−
≤
(2)
≤ và δ
f
g
fδ
;
− h 1i
i
r
r
r
−
≤
(3)
.
f
i fδ
g h i i
r
r
Điều này được chứng minh đúng trong trường hợp
b rn ;
đúng trong trường hợp
và một đa
i = Nếu (1), (2), (3) 1.
(
K
)
Q i
∈ r
sao cho
thức
[ ] iR K z∈
−
=
+
< R n
f z ( )
( )
( ), deg
i
i
i
i
R z i
i
1i ≥ thì có một chuỗi lũy thừa
thỏa mãn
i
+ g z Q z ( ) }
g z h z ( ) ( ) {
r
r
r
r
n
j
=
+
=
=
Khi đó
g
z
z ( )
;
z ( )
( )
+ 1
+ 1,
+ 1
g z ( ) i
R z ( ) i
i
b i
j
h i
+ h z Q z ( ) i
i
∑
=
0
j
Do đó,
Từ (2) suy ra
− = max . , f g Q R i i g h i i
i
r
r
−
−
f
f
g h i i
g h i i
r
r
≤
=
≤
i δ
≤
−
≤
Q
và
f
i fδ
.
R i
g h i i
i r
r
r
r
g
f
i
r
r
Khi đó
g
g
.
+ =
1
i
i
r
r
f g= .
20
<
Vì vậy, (1) đúng với
< Khi đó (2) cũng đúng
deg
g n . i
−
≤ và δ
với
1i + suy ra deg
h i
h i
Q i
{
R i }
≤ + − 1 1 max r
1 , r
r
−
≤
f
f
g
fδ
,
.
+− g
i
i
R i
{
}
r
≤ 1 max r
r
r
1i + suy ra
Chú ý rằng
Khi đó
( 1
− 1
i
1
−
≤
−
≤
f
fδ +
max
.
R i
h i
Q i
g h + i i 1
+ 1
}
) − − h Q i i {
r
r
r
1 , r
r
Do đó, (3) đúng cho trường hợp
− = f . R i g h + i i 1
−
=
≤
i δ
−
=
≤
i δ
Chú ý rằng
g
g
f
,
.
i
i
R i
h i
h i
Q i
+ 1
+ 1
r
r
r
r
r
Do
i + 1.
j
1δ< nên { }ig và { }ih đều là dãy Cauchy theo chuẩn . .r
i δn
Khi đó
là
(
) 1 ,
b ij
+ 1
i
+ 1
i
r
r
≥
nghĩa là { } 1
i
dãy Cauchy với mỗi j nên hội tụ.
n
j
− ≤ − ≤ ≥ g g f 0 ≤ ≤ j , i b i b r ij
Giả sử
đặt
g z ( )
g→ và
b rn .
n=
ig
j
= ∑ thì b z j
rg
=
j
0
Do
)
đầy đủ nên { }ih hội tụ.
r K (
Khi đó tồn tại
sao cho
(
)
h→ Suy ra g và h thỏa mãn các điều
.
h
K
ih
∈ r
kiện của định lý chuẩn bị Weierstrass.
= b b lim , ij →∞ i
Cho
Từ (iv) suy ra
≤ ≤ do đó ,
r
t
1
h −
[
]0; r
< với 0 1t
∈ z K . h z = với ( ) 1
,
)
( ) − z
( b z n
zn là các không điểm của
z 1,
Từ (ii) ta có
suy ra
g b
rn
r
= − g z ( ) . .g Khi đó z n z 1
≤
với
r j ,
= … n , .
1,
}
{ max ,
{ r z max , n
}
jz
n = )
(
(
)
tương tự với
□
= zn r z 1
Do đó, g có đúng n không điểm trong
[
]0; r
K , .f
1.4.10. Định nghĩa
Điểm
Cho
K∈ và
[ ]. f K z∈
0z
0z được gọi là cực điểm của hàm f nếu và
chỉ nếu
= ∞ .
f z lim ( ) → z
z
0
21
1.4.11. Định nghĩa
Giả sử D là tập vô hạn trong
.K Đặt )R D là tập các hàm hữu tỷ không có (
=
cực điểm trong
đặt
h
D
sup ( ) . h z ∈ z D
Ký hiệu
là đầy đủ hóa của
∀ ∈ .D Khi đó h R D ( ),
được gọi là hàm giải tích (hàm chỉnh hình) trên
trên
)R D theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều ( )DH (
.D Mỗi phần tử của )DH (
là một K − không gian vectơ và mỗi hàm giải tích trên D là
giới hạn của một dãy các hàm hữu tỷ thuộc
.D Khi đó, )DH (
R D ). (
1.4.12. Định nghĩa
Cho
phương) tại điểm a X∈ nếu f giải tích tại mọi lân cận của điểm a trong
X K⊂ Hàm . :f X K→ gọi là giải tích địa phương (chỉnh hình địa
.X
1.4.13. Định lý
Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Khi đó hàm
r
phương (chỉnh hình địa phương) trên D nếu với mỗi
a D∈ tồn tại ,
+∈ dãy ,
∞
n
:f D K→ là giải tích địa
(
)
[
]
)na
( a z a n
∑
=
n
0
Ký hiệu
= − ∀ ∈ ∩ f z ( ) , z D K a r ; . K⊂ sao cho
Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên ( ) .D
1.4.14. Định lý
Cho tập mở
D K⊂ Hàm . :f D K→ là giải tích tại điểm a D∈ nếu tồn tại
và dãy (
( K a
) ρ
( D K a ;
)
)na
⊂ ′ ρ ′ ≠ ∀ > ρ ρ K⊂ sao cho ; , \ D 0,
{ } ρ +∈ ∪ ∞
∞
n
và thỏa mãn
)
) ( z K a ρ
( a z a n
∑
=
n
0
= − ∀ ∈ f z ( ) ; . ,
Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f giải tích trên
là tập các hàm giải tích trên
.D Ký hiệu )D (
Với
.D
r
(
)
K r [0; ] ( K ). H = r
1.4.15. Mệnh đề +∈ ta có ,
22
Chứng minh:
Vì vành
nên suy ra
)
) [0; ] .
(
[ ]K z trù mật trong
r K (
+
∈
⊂ K r ) H
\
0;
,
a K K
r
r
Lấy
Ta cần chứng minh
r K ( )
(
[
]
∈ ta có
k
k
n
k
n
∞
∞
với
nb
b n
+∈ .
∑
∑
=
=
1 a
z a
1 a
z a
1 − z a
= −
n
0
n
0
= −
n
k
n
n
( K ). K r [0; ] H ⊂ r
→∞ →
Suy ra
Vì a
r K (
Do đó
≤ ∈ r 0. ). r> nên b n n a r a 1 − z a
(
)
R K r [0; ] ( K ). ⊂ r
r ρ≤ ≤ ,
Mặt khác, lấy r sao cho 0
vì . r liên tục tại r nên sup ( ) f z
≤
z
r
=
Do đó
f
f
f
K
,
(
).
∈ r
r
[ ]0; K r
cũng đầy đủ với chuẩn
Vì
)
)
.
.
r K (
r K (
đầy đủ với chuẩn . r nên
[ ]0; K r
= f .r
Vì
nên
□
)
(
(
)
K K R K r [0; ] ( ) K r [0; ] ( ). H ⊂ r ⊂ r
1.4.16. Định nghĩa
Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm
{ }
phân hình trên D nếu tồn tại một tập không quá đếm được
S D⊂ S không có
,
:f D K→ ∪ ∞ được gọi là hàm
điểm giới hạn trong D và
Ký hiệu
f ( D S \ ). ∈H
.D ( )D là tập các hàm phân hình trên
1.4.17. Định nghĩa
Cho
nếu f phân hình tại mọi lân cận của điểm a trong
X K⊂ Hàm . :f X K→ gọi là phân hình địa phương tại điểm a X∈
.X
1.4.18. Định lý
Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm
{ }
:f D K→ ∪ ∞ gọi là phân hình
địa phương trên D nếu với mỗi
a D∈ tồn tại ,
+
)na
∞
n
=
−
∀ ∈ ∩
sao cho
f z ( )
,
z D K a r ;
.
)
[
]
( a z a n
∑
=−
n
q
∈ ∈ K⊂ r q+ , và dãy (
23
Đĩa
(
)
;K a ρ gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại .a Các hàm giải tích trong
D đều có thể có đĩa giải tích cực đại trên
là trường các phân thức của
Người ta chứng minh
Ký hiệu
⊂ .D Ta có ( D ) ( Hol D ( ). ⊂ D ) H
các phân thức của
được rằng trường
).D ( )DM (
hình
( )D chính là tập các hàm phân )DM (
( .D )D trên
1.4.19. Định nghĩa
Một hàm
được gọi là hàm chỉnh hình trên D nếu f không có
cực điểm trên
f ( D ) ∈ M
Khi đó tồn tại
không có không điểm chung sao
Lấy
.D
g h ,
)
K∈ (
f ( K ). ∈ M
cho
Với 0
r ρ≤ ≤ ,
ta có thể mở rộng chuẩn . r cho các hàm phân hình
= f . g h
Đặc biệt,
như sau:
r
r
r
Lấy
g = = f . h 1 f 1 f .r r
thì đĩa giải tích cực đại của f tại mỗi
(
)
ρ +∈ Nếu .
f K ρ (0; ) ∈
điểm
chính là
nên
) ρ = )
(
∈ K (0; ) K ρ Ta có ). (0; a K ρ ) (0; Kρ ( (
)
(
ρ
Khi đó
= ∈ ≠ K (0; ρ ) : g h , ( K h ), M ( g h 0 .
) [0; ] .
)
(
(
<
ρ
r
được gọi là hàm phân
Đặc biệt, mỗi phần tử thuộc
K K r (0; ρ ) M =
(
) ∞ = )
K (0; ( K ) M M
không có không
hình trên
)
(
ρ
= ∈ K (0; ρ ) : g h , ( K g h ), , .K Như vậy, M ( g h
điểm
chung
và
chứa tập các hàm hữu tỷ
⊂ ( K ) ( K ) ( ).K z M )KM (
},
1.4.20. Định lý
hàm
thỏa mãn
Với 0
.
:
K ρ (0; )
(
) ) ,
(
)
∀ f g , K ρ (0; r ρ< < , ∈ M
M
+→
r
(i)
= ⇔ = f 0;
0
rf
24
=
λ
λ
=
(ii)
λ f
f
,
∀ ∈ .
K
fg
f
g
r
r
r
r
r
+
≤
(ii)
f
g
g
f
max
,
.
}
và {
r
r
r
1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số
Ta sẽ trình bày lý thuyết Nevanlinna và hai định lý cơ bản của Nevanlinna
trên các đường cong chỉnh hình thuộc trường không Acsimet.
n
là đường cong chỉnh hình trên trường không Acsimet.
Cho
f
f
,
f
,
Gọi ( f
f K : ) (
= là biểu diễn rút gọn của f với
f là các hàm nguyên
0,
n
0,
n
trên K không có không điểm chung.
K→ )
1.5.1. Định nghĩa
Hàm đặc trưng Nevanlinna
fT r được xác định bởi
=
=
với
f
max
f
,
f
.
log
f
,
n
0
T r ( ) f
{
}
r
r
r
r
Cho Q là một đa thức (dạng) thuần nhất
( )
Ta xét hàm nguyên
1n + biến bậc d với hệ số trong .K
( = Q f Q f
) trên n
0,
f , .K
trong
tính cả bội. Nếu
Gọi
[
]0; r
fn r Q là số các không điểm của Q f
thì đặt
K , ( , )
d
r
0 Q f ≠
f
f
f
=
m r Q ( ,
)
log
.
f
f
f
∫
r Q f
0
r
− n t Q n Q ( , ) (0, ) = + dt n Q N r Q ( , ) (0, r )log ; t
Định lý chuẩn bị Weierstrass chứng tỏ
fn r Q ( ,
n= ) r Q f ( , ).
Theo công thức Poisson-Jensen ta có
f
(0,
)
Q f
r
= − N r Q ( , ) log log . Q f an
1.5.2. Định lý (Định lý cơ bản thứ nhất)
n
Cho
thì với mỗi số thực
.d Nếu f K → là ánh xạ chỉnh hình và Q là đa thức thuần nhất bậc :
r > 0,
0 Q f ≠
f
f
f
trong đó
= + + m r Q N r Q dT r O ( , ( ) ( , ) ) (1)
(1)O là đại lượng bị chặn.
25
1.5.3. Định nghĩa
được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có tập
Các dạng
n+
, n> , Q q , q Q 1,
{ } 1 \ 0 .
1n + dạng nào lấy từ các dạng này có các không điểm chung trong
1.5.4. Định lý (Định lý cơ bản thứ hai)
n
Cho
là đường cong chỉnh hình và
là các đa
với
thức
( ) : f K , n> , Q 1, Q q , q K→
jQ f ≠
q
,
j
)
≤
+
1n + biến với hệ số trong K ở vị trí tổng quát. Nếu 0
(1).
( ) nT r O
r ≥ 1,
f
∑
( m r Q f deg
Q
= 1
j
j
Chứng minh:
Bằng cách thay
Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của
≤ ≤ thì với bất kỳ số thực 1 q j
/deg
deg ,deg Q , ,deg .q Q 1 Q 2
Q ,i
d iQ
iQ bởi
ta có thể giả sử deg iQ d= với 1
Cho trước số thực
≤ ≤ . i q
≤
≤
≤
(1).
Vì
0, r > bằng cách sắp xếp lại các chỉ số, ta có thể giả sử
Q f 1
Q f 2
Q f q
q
r
r
r
, Q ở vị trí tổng quát nên theo Q 1,
Nullstellensatz của Hilbert với bất kỳ số nguyên
+ 1
n
≤ ≤ có số nguyên k , 0 n k ,
km d≥ thỏa
ikb là các đa thức thuần nhất
m x k k
i
= 1
bậc
, ( , , ( b x 0 ik ) x Q x 0 n i với , ) x n = ∑
km d− với hệ số trong
m k
− m d k
≤
Do đó,
f
C f
f
max
,
,
trong đó C là hằng số
k
Q n
Q f 1
+ 1
{
}
r
r
r
r
dương chỉ phụ thuộc vào hệ số của
≤ ≤ Do đó C chỉ phụ
, 1
1, 0
≤ ≤ + i n
. n
k
ikb
thuộc vào hệ số của
.K
iQ
d
≤
Bất đẳng thức trên cho ta
f
C
f
max
,
,
.
Q f 1
Q n
+ 1
{
}
r
r
r
d
d
q
n
, 1 ≤ ≤ + 1. i n
Kết hợp với (1) ta có
∏
∏
j
= 1
j
= 1
r Q f j
r Q f j
r
r
f f ≤ . 1 − q n C
26
q
n
≤
+
Do đó
m r Q ( ,
)
m r Q ( ,
)
O
(1).
f
j
f
j
∑
∑
= 1
= 1
j
j
n
≤
+
Theo định lý cơ bản thứ nhất,
m r Q ( ,
)
ndT r O ( )
(1).
f
j
f
∑
= 1
j
q
Suy ra
Hoàn thành chứng minh.
□
f
j
f
∑
j
= 1
Định lý cơ bản thứ hai suy ra định lý tiếp theo sau đây.
≤ + m r Q ( , ) ndT r O ( ) (1).
1.5.5. Định lý
Cho
1, Q
q
1n + biến trên .K Giả sử , Q là tập hợp các đa thức thuần nhất
q
n
q n≥ + và 1 , Q ở vị trí tổng quát. Khi đó ánh xạ chỉnh hình bất kỳ trên Q 1,
phải là hằng. Nói cách khác,
trường không Acsimet
j
} 0
{ Q
q = j 1
n
→ = K f K : ( ) \
là K − hyperbolic.
j
{ Q
} 0
q = j 1
Chứng minh:
n
= K ( ) \
là ánh xạ chỉnh hình thì
Giả sử
j
{ Q
} 0
q = 1 j
→ = f K : ( K ) \
f
j
≤ ≤ q . j N r Q = với mọi 1 ) 0 ( ,
Theo định lý cơ bản thứ nhất ta có
f
j
j
)
(
= + m r Q ( , ) deg (1). Q T r O ( ) f
Theo định lý cơ bản thứ hai suy ra
f
□
Vì
≤ + nT r O ( ) (1). qT r ( ) f
Do đó f là hằng.
fT r O≤ ( )
q n≥ + nên 1 (1).
27
Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG
KHÔNG ACSIMET
2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet
Trong phần này, ta sẽ bàn luận về các định lý tương tự trên trường không
Acsimet của định lý Picard cho các ánh xạ chỉnh hình thuộc trường không
Acsimet đến các đường cong đại số. Đầu những năm 90, Berkovich [5] đã phát
triển một lý thuyết mới về không gian chỉnh hình trên trường không Acsimet. Lý
thuyết của Berkovich dựa trên ý tưởng của lý thuyết quang phổ. Bằng cách dùng
lý thuyết này và một phần cần đến lý thuyết đơn trị hóa các đường cong đại số
trên trường cơ sở thuộc trường không Acsimet, Berkovich đã chứng minh trên
trường không Acsimet một định lý tương tự định lý Picard. Sau đây, một chứng
minh sơ cấp hơn dựa vào công trình của Green [14] được cho trong [8] đã sử
dụng các công cụ của lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Chúng
ta sẽ chỉ đưa ra chứng minh cho các đường cong phẳng không suy biến, nên
người đọc có thể nắm bắt ý tưởng dễ dàng.
2.1.1. Bổ đề (Bổ đề về đạo hàm lôgarit)
Cho h là hàm chỉnh hình thuộc trường không Acsimet trên đĩa mở
) K ρ . 0;
(
( ) n
≤
Ở đây
( )nh là đạo hàm thứ n của
.
Khi đó, với 0
r ρ< ≤ ,
h h
1 n r
r
Chứng minh:
∞
.h
Giả sử h xác định bởi chuỗi lũy thừa
=
0
k
∞
n
− k n
h z ( ) = ∑ .k a z k
Khi đó
( ) ( ) z
]
]
Vì [
[ ( a k k k
∑
= k n
k
= − − ≤ 1) ( 1) . h k − + n z k k ( 1) ( k − + n 1) 1
( ) n
− k n
□
nên
[
]
n
r
a r k sup k = − ≤ = h k k ( 1) ( k − + n 1) r . a k h r n sup k r r
28
Ý tưởng chính của Green là so sánh hai hàm đặc trưng của hai ánh xạ chỉnh
n
hình. Cho
f K → là ánh xạ chỉnh hình, ta đã định nghĩa hàm đặc trưng của :
f trong phần trước bằng cách lấy một biểu diễn rút gọn. Khi ta lấy một biểu
diễn xạ ảnh (
)
0,
n
cần thực hiện một số thay đổi trên các hàm đặc trưng. Ký hiệu
fZ là tập các
không điểm chung của
f
,
f tính cả bội.
,n
0,
=
Định
Khi đó hàm đặc trưng được xác định bởi
( ) :
log
log
.
f
T r f
− ∑
r
r z
∈ z Z
f
nghĩa này là mở rộng của định nghĩa trước và ta có mệnh đề sau đây.
Cho
f , f khác của f (không nhất thiết là biểu diễn rút gọn), ta sẽ
f f f g g g ,
2.1.2. Mệnh đề (
)
)
(
0,
n
0,
n
−
≤
(xem [8]).
= và , = đều là ánh xạ chỉnh hình đi từ K đến
(1)
O
( ) T r g
( ) T r f
.n Khi đó
2.1.3. Định lý (Định lý Picard)
Nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ K đến đường cong đại số xạ ảnh có giống
Chứng minh:
Ta sẽ chỉ chứng minh trường hợp đường cong là phẳng trơn. Cách chứng
minh đầy đủ trong trường hợp tổng quát có thể được tìm thấy trong [8].
điểm của một đa thức thuần nhất
1g ≥ thì f là hằng.
Giả sử C là một đường cong phẳng bất khả quy trơn, C là tập hợp các không (
)
0
1
2
P X X X với hệ số trong .K Gọi , ,
:f K C→ là ánh xạ chỉnh hình trên trường không Acsimet khác hằng. Khi đó
và
có một biểu diễn rút gọn
(
)
( P f
)
( P f
)
0
2
0
2
= = = Theo công f f , , f , , f 0. f 1 f 1
thức Euler, ta có
)
)
)
(
( ) P P f
)
( f P f 0 0
( f P f 1 1
( f P f 2 2
i
+ + = = deg 0 = với . P i ∂ P ∂ X
Bằng cách lấy đạo hàm của
( P f
)
( P f
)
0
2
= = ta có được , , f 0, f 1
29
+
+
=
= 0.
)
)
)
( P f
)
(
′ )
( ′ f P f 0 0
( ′ f P f 1 1
( ′ f P f 2 2
=
=
Khi đó theo quy tắc Cramer cho ta
(3).
f 2 ′ f 2 )
f 0 ′ f 0 )
f 1 ′ f 1 )
f 1 ′ f 1 P f ( 0
f 2 ′ f 2 P f ( 1
f 0 ′ f 0 P f ( 2
Kí hiệu
và
(
) ) .
f
2
2 ′ 2
0 ′ 0
0 ′ 0
2 ′ 2
Khi đó (3) suy ra
đều là ánh xạ chỉnh hình đi tử K vào
W , , ∂ P f ), ), ( = P f P f P f ( ( 0 1 f f f f f f f f f 1 ′ f 1 f 1 ′ f 1 =
fW và P f
2. C ⊂
Theo mệnh đề 2.1.2,
∂
∂= T
P f
Vì C không suy biến nên
r ( ) + r O ( ) (1) (4). T fW
,
,
P P P không có không điểm chung dọc theo 0
2
1
=
−
+
Do đó
r ( )
deg
P
T r O ( )
(1)
(5).
(
) 1
f
T ∂ P f
′
f
i
′ j
i
=
−
Mặt khác, ta viết lại định thức
và áp dụng bổ đề
f f i
j
′
f f
f f
f
f f
i
j ′ j
j
i
≤
−
2.1.1, ta có
r
log
(6).
T r r ( ) 2 ( ) f
T fW
−
≤ −
Nhưng điều
deg
P
3
log
+ r O
(1).
Từ (4), (5), (6) ta nhận được (
)
T r ( ) f
này không thể xảy ra vì deg
.C
Tổng quát, một đường cong xạ ảnh là song hữu tỷ đến một đường cong
phẳng bất khả quy với các điểm kép trong trường hợp xấu nhất là kì dị. Để hoàn
để
thành chứng minh, ta cần điều chỉnh phép tính của
,
,
P ≥ Vậy f phải là hằng. 3.
P P P có thể 0 2
1
P fT ∂
có các không điểm chung. Ta tham khảo chứng minh trong [8] và [14].
□
Tiếp theo, một kết quả được sử dụng trong suốt quá trình chứng minh tính
chất hyperbolic trên trường không Acsimet.
r ( )
2.1.4. Bổ đề
điểm phân biệt} là
Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy. Khi đó
{\ 2C
K − hyperbolic.
30
Chứng minh:
Theo định lý Picard, C là K − hyperbolic nếu giống của C bé nhất 1. Do đó
ta xét trường hợp giống của C là 0. Gọi
,ξ ξ là hai điểm phân biệt trong
0
1
1
Khi đó tồn tại một cấu xạ toàn ánh song hữu tỷ
.C
Cho trước một ánh xạ chỉnh hình
thì f cảm sinh ánh xạ
1
− 1
− 1
chỉnh hình
với
Không mất tính tổng
→ f K : π → : .C } { C ξ ξ , \ 0 1
0
{ π ξ π ξ ), 1
} )
− 1
− 1
∈
(
(
).
Khi đó f có thể được đồng nhất như
)
quát, giả sử (
) ( 0,1 , 1,0
∪ π ξ π ξ ) 1
0
là một hàm chỉnh hình không có không điểm và chỉ có thể là hàm hằng. Do đó,
□
f K : ( ( \ f . fπ= →
f là hằng. Hoàn thành chứng minh.
2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet
n
1
n +
Theo định lý 1.5.5,
siêu mặt ở vị trí tổng quát} là K – hyperbolic.
{\
Bây giờ ta xét trường hợp bỏ đi ít hơn
này đã được trình bày trong [3].
1n + siêu mặt. Lưu ý, kết quả trong phần
2.2.1. Định nghĩa
là các đa thức thuần nhất khác hằng
Cho 1, P
=
là
1n + biến trên .K , , P q n≤ , q
} 0
P i
(1) 1, P
q
q P ở vị trí tổng quát nếu số đối chiều của { = i 1
nếu
,
.q ,
P là dãy chính quy của
[ K X
]
0,
n
iP không là ước
P 1,
q
(2) (
)
X ,
không của
với mỗi 1
)
[ K X
] ( /
n
0
0
n
k 1
Một đa thức thuần nhất
X , , ≤ ≤ . i q , , P 1 P− i 1
k X X
(
)
k bậc
1
n
k
n
k
k
d
+ + =
n
0
được gọi là ước không của
nếu có
X X , … , , P X X 0 a k k 0 1 = ∑
[ K X
]
0,
n
k
n
sao cho
d với b K b∈ , ≠ 0 X , K∈ a k k 0 1
k
n
k k 0 1
Như vậy, điều kiện
,
ba 0. =
P 1,
q
) P là q
dãy chính quy của
, P ở vị trí tổng quát tương đương với ( 1, P
[ K X
0,
] .n
X ,
31
2.2.2. Định lý
là các đa thức thuần nhất bất khả quy khác hằng với
Cho
1, P
≤ ≤ , , 2 , q n P q
q
q
n
n
1n + biến. Giả sử , P ở vị trí tổng quát. Khi đó ảnh của ánh xạ chỉnh hình P 1,
chứa trong một phân thứ của
{
} 0
i
= 1
Chứng minh:
Ký hiệu
và gọi l là bội số chung nhỏ nhất của
= : deg
,
d
i
P i
d 1,
d Thay .i
iP
l d
→ = n q− + 1. : f K P i có số chiều \
bởi
,i
)
Gọi (
n
0,
iP ta có thể giả sử
q
của f nghĩa là
,
f
f là các hàm K − chỉnh hình không có không điểm chung
n
và
= = = f , d d . f là biểu diễn rút gọn d 1
[
0, ] .n
q
n
f : f = 0 : f
Khi đó
kéo theo
là hàm
) ( 1
)
{
} 0
( P f i
0,
n
i
= 1
chỉnh hình không có không điểm. Theo định lý Picard trên trường không
≤ ≤ → = , f i q : f K P i \
Acsimet,
)
( P f i
n
0,
−
tại các hằng số khác không
≡ với 2
, ≤ ≤ Do đó, tồn i q . f là một hằng số khác không với mỗi 1
)
) 0
P f ( i
c P f ( 1 i
=
Tiếp theo, ta sẽ
Nói cách khác, ảnh của f được chứa trong
} 0 .
{
i
− P c P i 1
q = i 2
là dãy chính quy của
và số
≤ ≤ i q . c sao cho c 2, , q
− , ,
[ K X
]
0,
n
− P c P 2 2 1
P c P q 1
q
chứng minh (
)
=
chiều của
là
X ,
} 0
{
− P c P i 1
i
q = i 2
là dãy chính quy của
n q− + 1.
− , ,
[ K X
0,
] ,n
− P c P 2 2 1
P c P 1 q
q
Để chứng minh (
)
là dãy chính quy.
,
− , ,
− P P c P 1 2 2 1
P c P q 1
q
ta cần chứng minh (
)
X ,
không là dãy chính quy thì
,
− , ,
q
− P P c P 1 2 2 1
P c P q 1
Giả sử (
)
≤ ≤ i∃ (2 i q )
thỏa mãn
là ước không của
)
[ K X
] ( /
P c P− i 1
i
0
n
− 1
− , X , , . , , − P P c P 1 2 2 1 P i c P − 1 1 i
32
Do đó tồn tại
không thuộc ideal (
)
[
]
0,
n
− 1
∈ G K X , X , − P P c P 1 2 2 1 − , P , i c P − 1 1 i
của
nhưng (
là một phần tử thuộc ideal (
)
)1
− 1
Suy ra
của
)
− , P c P G i i − P P c P 1 2 2 1 − , , P i c P − 1 1 i
[ K X
[ K X
0,
] .n
0,
] .n
iGP thuộc ideal (
X , X , P 1 P− , , i 1
nên
Vì (
)
(
)
)
− 1
− 1
( ∉ G P , 1
− = , , , , . , , − P P c P 1 2 2 1 P i c P − 1 1 i P 1 P i P− i 1
Do đó
)
[ K X
] ( /
0
n
□
,
, X , . , , P 1 P− 1 i
P là dãy chính quy của
[ K X
0,
] .n
P 1,
q
iP là ước không của )
Mâu thuẫn với (
n
Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu trường hợp
, X
bỏ đi n siêu mặt. Chắc chắn, việc giả sử ở vị trí tổng quát không đủ trong trường hợp này. Ta đưa ra ví dụ sau đây:
Cho
với
{ X=
}0
) ,1
(
i
i
n
n
n
n
hình khác hằng trong
Do đó,
không là K − hyperbolic.
= H f z ( ) ,1, i 1, , z= là ánh xạ K − chỉnh = Khi đó n .
i
i
i
i
= 1
= 1
Ta sẽ tận dụng điều kiện phát biểu trong định nghĩa sau đây trong trường hợp
n
H . H \ \
n thành phần để bỏ đi n siêu mặt là K − hyperbolic.
2.2.3. Định nghĩa
cắt ngang nhau nếu với
Các siêu mặt không suy biến
,
D 1,
D trong n
n K (
)
với
là không gian tiếp xúc của
mỗi điểm
{ } x
,i xDΘ
iD tại
i x ,
n = i 1
n = i 1
Chú ý rằng trong
∈ Θ = x D , .x D i
=
+
−
=
và
X
X
X
2, ta có thể chọn } 0
{ X=
0
D 2
2 0
2 1
2 2
{
} 0 .
2
= D 1
Đặt
\
thì f chỉnh hình khác hằng vào trong
( 1,
)
{
D D∪ 2
1
= f z ( ) z z ,
=
+
+
+
=
và
với
Đối với
X
,n
{ X=
} 0
0
D i
a X in
2 n
2 0
a X i 1
2 1
{
} . } 0
= D 1
ta chọn
+
+
=
≤ ≤
Các siêu mặt này cắt ngang nhau ứng với
0 (2
i n
).
a i 1
a in
1n − ma
n − 2 1,
trận con của ma trận (
≤ ≤ i n , 1 ≤ ≤ j n . )ija có hạng
Đặt
≤ ≤ i n
( 1,
)
, 1iD
nào.
f z ( ) z z , f z không giao với bất kỳ siêu mặt ( ) = thì ,
33
2.2.4. Định lý
Cho
cắt ngang nhau.
n
n K (
n
n
Khi đó
) , D là các siêu mặt không suy biến trong D 1,
2
là K − hyperbolic nếu deg
iD ≥ với mỗi 1
i
= 1
Chứng minh:
n
n
Giả sử tồn tại ánh xạ chỉnh hình
Theo định lý 2.2.2, ảnh
≤ ≤ i n . D i \
= 1
i
của f chứa trong một đường cong bất khả quy
\ . : f K D i →
n
.C Khi đó f là ánh xạ chỉnh
Nếu
có ít nhất hai điểm thì theo bổ đề
hình đi từ K vào
i
= 1
n = i 1
C C \ . ∩ D i D i
{
}
n
có đúng một điểm
2.1.4, f là hằng. Ta chỉ còn phải xét
i
= 1
C .x ∩ D i
{
}
+
Vì dim
dim
− ≥ nên 0
,
C
∩ ≠ ∅ ∀ . i
D n i
C D i
n
Điều này chỉ xảy ra khi
{ }, x
i
= 1
=
≥
C deg .deg
deg
≥ ∀ 2, i .
Theo định lý Bezout, ta có (
)
C D , i
D i
D i
x
Θ ∩ Θ
Do đó,
Vì
nên C phải có ít nhất hai
,
∀ i .
{ } x
{ } x
C x ,
∀ . i x ∩ = C D i ∈ và D i
D x , i
n = i 1
đường tiếp tuyến phân biệt tại điểm
C
Θ = D x , i
1
.x Gọi .C
thì phép nâng của
là
Khi đó
: C π → là phép chuẩn hóa của { } C x \
1
→
có chứa ít nhất hai điểm. Vì vậy, f là hằng và do đó
f K :
} xπ− ( )
{ C \
là hằng.
□
f
fπ=
2
Tiếp theo, ta xét điều kiện để
→ f K : ≥ Nếu xπ− # ( ) 2. f
bỏ đi 2 đường cong xạ ảnh không suy biến
2
là K − hyperbolic. Nhưng trước hết ta đưa ra vài trường hợp mà
đường cong xạ ảnh không suy biến không là K − hyperbolic.
bỏ đi 2
34
2.2.5. Định nghĩa
Cho D là đường cong bậc
2. Một điểm x không là điểm kì dị của D được gọi là điểm uốn cực đại nếu tồn tại một đường thẳng giao với D tại
d ≥ trong 3
x bội .d
2.2.6. Bổ đề
Cho
1D và
2D là các đường cong xạ ảnh không suy biến trong
1D
2. Giả sử
2
≤
và
Khi đó
không là
deg
deg
.
}
{ \ D D∪ 1 2
2D cắt ngang nhau và
D 1
D 2
K − hyperbolic nếu
=
(i)
≤ hoặc
deg
1, deg
2
D 1
D 2
=
(ii)
deg
deg
= và 2
,D D tiếp xúc nhau.
D 1
D 2
1
2
Chứng minh:
2
→
khác hằng nghĩa
Ta cần xây dựng ánh xạ chỉnh hình
f K :
\
{
}
∪ D D 2
1
2
là
không là K − hyperbolic.
}
{ \ D D∪ 1 2
=
(i) Xét
= Sau khi biến đổi tuyến tính hệ tọa độ, ta giả sử
deg
deg
1.
D 1
D 2
=
và
Đặt
thì
= Nói
)
) 1.
{ X=
} 0
{ X=
} 0 .
( 1,1,
)
D f ( 1
D f ( 2
0
1
2
= = = f z ( ) z D 1 D 2
là ánh xạ chỉnh hình khác hằng.
cách khác,
{
}
1
→ f K : \ ∪ D D 2
Xét
2D chứa nhiều nhất 2
1D và
điểm phân biệt. Nếu nó chứa 1 điểm thì
2D tại điểm đó. Sau khi đổi
= = Khi đó giao điểm của deg 1, deg 2. D 1 D 2
và
Khi đó
hệ tọa độ, ta giả sử
{ X=
} 0
) 0,0,1 .
1D tiếp xúc (
2
1
0
2D xác định
+
+
+
=
Vì
2D không suy biến nên
2D bất
a X 0
2 0
a X 1
2 1
a X X 2 0
1
a X X 3 0
2
dạng {
} 0 .
a ≠ và 0
khả quy. Do đó, ta có thể giả sử 1
a ≠ 0. 3
=
−
−
thì
Không mất tính tổng quát, cho
f z ( )
z
,1
a = Đặt 3 1.
a 0
− a z a z 2 1
( 1,
)2
2
= D D∩ = D 1
=
= hay
là ánh xạ chỉnh hình khác hằng.
)
) 1
{
}
D f ( 1
D f ( 2
1
→ f K : \ ∪ D D 2
35
Nếu
2D tại 2 điểm thì
1D không là tiếp tuyến của
2.D Ta có thể giả
là đường tiếp
} 0
sử (
1D cắt )
1D và
2,D {
tuyến của
0,0,1 là một trong số các giao điểm của X = 0
)
2D tại (
2D là
0,0,1 . Các lập luận trước xác định phương trình của
a ≠ Vì ( 0.
)
1
1D có phương
2 0
2 1
1
2
của
b X
= Vì 0.
b ≠ 0.
} 0
+ + + 0,0,1 D∈ nên 0 = với 1 a X 0 a X 1 a X X 2 0 X X 0
1D không là tiếp tuyến {
trình là 0
0
b X+ 1
1
2D nên 1
X = 0
thì
D f = và ) 1
)
≠ 0.
b = Đặt
(
)
Giả sử 1 1.
1(
D f ( 2
a= 1
=
=
(ii) Giả sử
= f z ( ) 0,1, z
và
deg
deg
2;
,D D tiếp xúc nhau tại
(
) 0,0,1
1
2
D 1
D 2
x =
là đường tiếp tuyến chung của
{ X=
} 0
0
1D và
= L .x Khi đó
và
2 0
2 1
1
2
+ + + = = a X 1 a X X 2 0 X X 0 D 1
2 0
2 1
1
2
với 1 a
{ a X 0 { b X 0
2D tại } 0 } 0
= + + + = ≠ ≠ 0. D 2 b X 1 b X X 2 0 X X 0 b 10,
Lấy
thì
□
(
)
= f z ( ) 0,1, z ) ≠ và 0 ) ≠ 0. D f ( 1 a= 1 D f ( 2 b= 1
2.2.7. Định lý
Cho
2D là các đường cong xạ ảnh không suy biến trong
1D và
1D
2. Giả sử
≤
và
deg
deg
.
2D cắt ngang nhau và
D 1
D 2
2
Khi đó
là K − hyperbolic khi và chỉ khi
}
{ \ D D∪ 1 2
=
hoặc
deg
,deg
D ≥ hoặc 2
deg
1, deg
≥ và 3
D 1
2
D 1
D 2
1D không giao với
2D tại
bất kỳ điểm uốn cực đại nào.
Chứng minh:
Phần thuận. Nếu
deg
, deg
D ≥ thì theo định lý 2.2.4, ta có
2
D 1
2
2
là K − hyperbolic.
}
{ \ D D∪ 1 2
=
Ta chỉ còn xét trường hợp
deg
1, deg
≥ và 3
D 1
D 2
1D không giao với
2D tại
2
→
là ánh xạ
bất kỳ điểm uốn cực đại nào của
f K :
\
{
}
∪ D D 2
1
2.D Gọi
chỉnh hình. Nếu f khác hằng thì theo định lý 2.2.2, ảnh của f được chứa trong
một đường cong phẳng bất khả quy
.C Nói cách khác, ta có ánh xạ chỉnh hình
36
n
Theo bổ đề 2.1.4, hoặc
có đúng 1 điểm hoặc
{
}
i
= 1
→ ∪ C f K : \ . ∩ D i C D D 1 2
{
}
n
f phải là hằng.
Giả sử
có đúng 1 điểm. Nếu deg
i
= 1
C 2C ≥ thì theo định lý Bezout, ta ∩ D i
{
}
=
=
≥
≥
=
Khi đó các lập luận trong
deg
2,
1,2.
deg .deg C
C
i
có (
)
, C D i
. C D i
D i
x
chứng minh định lý 2.2.4 chứng tỏ f phải là hằng.
=
và
Suy ra x là điểm uốn
Nếu deg
C D ,
deg
∈ ∩ x D D 2. 1
)2
D 2
x
cực đại của
2D và
1D cắt
2D tại x (trái với giả thiết). Do đó f phải là hằng.
2
Phần đảo. Theo bổ đề 2.2.6,
không là K − hyperbolic nếu
}
{ \ D D∪ 1 2
1C = thì (
2
1D
1
giao với
2D tại điểm uốn cực đại của
2.D Không mất tính tổng quát, ta lấy
= deg 1, deg ≥ và 3 deg D ≤ Do đó ta còn trường hợp 2. deg 1D = và D 1 D 2
là tiếp tuyến của
{ X=
} 0
(
)
0
2D và
2D tại
= L 0,0,1 là điểm uốn cực đại của
deg
.D Theo
Khi đó số bội giao nhau của L và
(
) 0,0,1 .
2D tại x bằng
2
định lý Bezout, ta có
Mặt khác, vì
x =
{ } x
1D và
2D cắt ngang nhau nên
Theo các lập luận trong bổ đề 2.2.6 thì
bX
X+
1D được xác định bởi
0
1.
D L≠ . 1
2
. ∩ = L D 2
Gọi
) 1
D f = và L chứa ảnh của
(
) z K :
1(
= f 0,1, .f
Vì
và
{ } x
) 0,0,1
2
□
nên
không là K − hyperbolic.
}
{ \ D D∪ 1 2
= ∉ x f K f K ), ( ( ) → thì ( ∩ = ∅ D 2 ∩ = L D 2
Chú ý rằng đường cong tổng quát
2D bậc thấp nhất là 4 không có điểm uốn
cực đại. Nếu đường cong
2D có bậc 3 thì nó có nhiều nhất 9 điểm uốn, khi đó ta
có thể chọn đường cong tổng quát
1D bậc thấp nhất là 1 sao cho
1D không cắt
2D tại bất kỳ điểm uốn cực đại nào. Do đó, điều kiện của định lý trên thỏa mãn
tất cả các đường cong tổng quát.
37
2.2.8. Hệ quả
Cho
1D và
2D là các đường cong tổng quát phân biệt trong
2. Nếu
2
+
deg
deg
≥ thì 4
}
là K − hyperbolic.
D 1
D 2
{ \ D D∪ 1 2
2.3. Bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet
2.3.1. Trường hợp 1-dạng vi phân
Bổ đề Schwartz là một trong những bước tiêu chuẩn để chứng minh một đa
tạp là hyperbolic. Bổ đề là một công cụ rất mạnh trong trường hợp trường không
Acsimet. Nghĩa là các đường cong với 1-dạng chính quy và đa tạp Abel đều là
hyperbolic trên trường không Acsimet. Trước hết, ta sẽ đưa ra cách chứng minh
cho trường hợp 1-dạng vi phân.
Cho X là đường cong xạ ảnh trơn compact và giả sử có 1-dạng chính quy
toàn cục không tầm thường ω trên
,X với tính chất địa phương trên một lân cận
trong đó
affine đủ nhỏ U của một điểm trơn x thỏa mãn
hàm chính quy trên
ω= ( )a x là ( )a x dx
n
Vì X xạ ảnh nên X chứa trong không gian xạ ảnh
,n
.U
ta có
nào đó. Với
thể phủ mỗi lân cận tọa độ
=
≠
=
∈
≠
U
Z
z
,
,1,
,
z
|
z
K j ,
{
} 0
)
,
,
i
i
0
z i
− 1
z i
+ 1
n
j
{ (
} i
bằng quả cầu đóng dạng z a
r a U∈ với tọa độ trong ,
iZ bằng 1.
i
Mỗi quả cầu đóng được gọi là afinoit. Khi đó tồn tại một phủ con hữu hạn
r − ≤ trong đó
.
Hơn nữa
{ U X U
}
X
Nếu X
, .
.
K
= ∩ ∈ | .X tạo thành một phủ afinoit của
2.3.1.1. Định lý (Bổ đề Schwarz) Cho X là đường cong xạ ảnh không suy biến xác định trên (
)
nhận 1-dạng chính quy toàn cục không tầm thường ω thì
fω ′ ≡ với mọi ) 0
(
f
,
ánh xạ chỉnh hình
f K : X→ .
38
Chứng minh:
Cho ω là 1 dạng vi phân chính quy trên
hạn phủ X sao cho với mỗi điểm P X∈ có một tập mở V ∈ thỏa
trong đó
,
),
nghĩa là các hàm hữu tỷ của X chính quy
dω θ φ=
θ φ∈
X V (
V
trên
.X Chọn một phủ mở affine hữu
U ∈ sao cho
X
trên
.V Chọn một afinoit U V∩ ≠ ∅ Khi đó θ và φ chính quy .
U V∩ Với một ánh xạ chỉnh hình . f K : X→ ta có với , f z U V ∈ ∩ , ( )
(
)
)
)
( θφ
) f z d ( )
( φ
( θ
( ω
)
(
= = f z ( ), f ′ ( ) z f z ( ) f z ( ) f z ( ) dz ′ )
(
)
( θφ
)
( ( φ ( φ
Vì
f z ( ) = dz f z ( ) f z ( ) . ′ ) ) ) f z ( )
với mọi
,θ φ chính quy trên U V∩ và U là afinoit nên θ và φ bị chặn trên
f z ( )
f z ( )
,
,z
( θφ
)
(
)
∩≤ c U V
. U V∩ Khi đó tồn tại hằng số U Vc ∩ thỏa
∩ ≤ c
f z ( )
≤
với mọi U và
f z U V ( ) . ∈ ∩ Vì chỉ có hữu hạn U và V nên tồn tại hằng số c thỏa U Vc
.
1 z
( ( φ ( φ
′ ) ) ) ( ) f z
Khi đó
Vì f là ánh xạ chỉnh hình xác định trên
.V Mặt khác, theo bổ đề lôgarit ta có
( θφ
)
(
)
(
K nên bằng cách cho z → ∞ ta được
f z ( )
f z ( )
(
)
( θφ
)
(
′ ≡ ) 0.
□
Do đó,
f ′ ≡ Vậy f là hằng.
0.
fω ′ ≡ và
) 0
(
f
,
Các lập luận trước có thể được thiết lập cho bất kỳ đa tạp xạ ảnh không suy
biến nhận tích 1-dạng đối xứng bội m chính quy toàn cục không tầm thường,
m
*
nghĩa là
Ta có kết quả tương tự sau đây.
,
0.
( 0 H X
) T X ≠
Nếu X nhận
K
,
.
f z ( ) f z ( ) c . ′ ≤ ) 1 z
2.3.1.2. Định lý Cho X là đa tạp xạ ảnh không suy biến xác định trên (
)
tích 1-dạng đối xứng bội m chính quy toàn cục không tầm thường ω thì ta có
39
fω ′ ≡ với mọi ánh xạ chỉnh hình
) 0
(
f
,
f K : X→ .
2.3.1.3. Định nghĩa
Một bó vectơ chính quy trên đa tạp xạ ảnh X có số chiều n được gọi là
được nối nếu các tiết diện chính quy toàn cục là phân thớ
x với mỗi điểm
x X∈ .
2.3.1.4. Định lý
Cho X là đa tạp xạ ảnh không suy biến và ánh xạ chỉnh hình
Nếu
*mT X
được nối với số nguyên dương m nào đó thì f là hằng.
f K : X→ .
Chứng minh:
được nối,
*mT X
Cho 1, x
n
với số nguyên dương m nào đó nên tồn tại tích 1-dạng đối xứng bội m chính
s
=
quy toàn cục
, P X∈ Vì . x là hệ tọa độ địa phương của điểm
với V là lân cận mở affine của
ω ≤ ≤ sao cho i n
, 1i
ω i
⊗ dx i
V
.P
The định lý 2.3.1.2, ta có
với 1 i n
ix
i
= với mọi
thỏa
= ≤ ≤ và z f z′ ) ( ) 0 fω ( f , ′ ≡ suy ra ( ) 0
,
f
z′ ( ) 0
x là hệ tọa độ địa phương nên
Vì 1, x
n
□
đó, f là hằng.
f z ( ) P= . .z Do
2.3.1.5. Hệ quả
Một đa tạp Abel A xác định trên trường K thuộc trường không Acsimet là
K − hyperbolic.
2.3.2. Trường hợp tổng quát
kJ X là phân thớ tia thứ k của
Cho X là đa tạp trơn n chiều. Ký hiệu
Các phân thớ này được xác định như sau: Cho
là bó phôi của các
.X
,x x X∈
chỉnh hình với
đường cong chỉnh hình,
→ = X r > nào đó và 0
trong đó
là đĩa bán kính r trong
} x=
p
{ : ( )B f r }
định nghĩa một quan hệ tương đương bằng cách gọi 2 phần tử
f g ∈ là thuộc , x
= < f (0) ( )B r z r .p Với k ∈ ta , x {
40
p
)
p
)
với mọi 1
f
g ) nếu
f
(0)
g=
(0)
lớp k − tương đương (kí hiệu ~ k
( j
( j
≤ ≤ p k
trong đó
j
j
n
)
p
p
= ∂
∂ là đạo hàm cấp p theo biến
f
( j
f ζ / j
= f z f ; z , là các tọa độ chỉnh hình địa phương gần x và , z 1
được xác định bởi:
k J X
.p ζ∈ Bó k − tia đã tham số hóa
x
∈ x X
k
(
k
)
=
Các phần tử của
kJ X được kí hiệu bởi
j
f
(0)
f
(0),
f
′ (0),
,
f
(
) (0) .
0
và tổng quát
Đặt
1J X TX=
kJ X không tự do địa phương với
= / ~ . k
J X = ,X
*K − tác động tự nhiên trên
kJ X xác định thông qua sự
tham số hóa. Với
f ∈ một ánh xạ
fλ∈ được xác định bởi
,x
x
*λ∈ và
t ( )
λ= ( t f
).
f λ
k
)
(
k
)
k ≥ Hơn nữa, có một 2.
k λ
Khi đó
( k f λ
) (0) .
)
(
(
Vì vậy,
*K − tác động được cho bởi
k
k
(
)
=
k λ
j
f
f
λ f
f
λ .
(0)
(0),
′ (0),
,
(
) (0) .
Chú ý là ngay cả khi
kJ X không là phân thớ vectơ thì tiết diện không vẫn có
nghĩa (nghĩa là ( ) (0) 0,
if
= = j (0) (0), (0), , (0) f (0), λ f ′ (0), , f f λ f λ ′ f λ
*
Với phân thớ tiếp xúc TX ta có đối ngẫu
k i , = ∀ = ). 1,
1 X
=
λ
:
1 j f
1 j f
,
1 U
p
( λω
)
)
( ω λ .
→ chỉnh hình
{ UTXωΩ =
T X = Ω là bó kết hợp với sơ bó
} ∈ .p
Tương tự, ta định nghĩa với các số nguyên dương
là bó kết hợp với sơ bó
phân trọng số
,m k bó phôi k − tia vi ,
k m X
k
k
k
=
λ
chỉnh hình
j
f
j
f
,
k U m
p
p
( ω λ .
)
( m λ ω
)
→
,m ký hiệu { : J Xω=
,
} ∈ .
U
*
Chú ý là
Ta cũng đặt
1 = Ω .X
1 1
m 0
X
log
D
Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của
trong đó X là đa tạp xạ ảnh
(
)
k m X
không suy biến và D là ước hữu hiệu. Ký hiệu
là bó k − tia vi phân
)
( k m X lD
X T X= X = .m với mọi
41
log
D
là bó con của
trọng số m với cực điểm cấp cao nhất là l dọc
(
)
k m X
có tính chất địa phương trong một lân cận mở U với φ là hàm xác
)
( X lD
k m
∞ = l 0
log
.
D
định của D trên
,U ta có φω và dφ ω chính quy trên
,U
ω∀ ∈
(
)
k m X
Trong ứng dụng, ta thường yêu cầu D là đường giao chuẩn tắc đơn nghĩa là nếu
D chia thành tổng của q thành phần bất khả quy không suy biến
.D
và tại mỗi điểm x thuộc giá của D thì hàm xác định địa
phương cho các thành phần của D giao với X có thể được coi như một phần
n
của hệ tọa độ địa phương tại
+ + = D D 1 D q
X = và D là tổng của
siêu mặt trơn bất khả quy ở vị trí tổng quát thì D là ước giao chuẩn tắc đơn.
Bổ đề Schwarz trên trường không Acsimet cho
có thể được kết
D
log
(
)
k m X
luận tương tự như trường hợp tích 1-dạng đối xứng. Ta dựa vào [2] để có chứng
minh đầy đủ.
.x Ví dụ, nếu q ( n≤ )
2.3.2.1. Bổ đề (Bổ đề Schwarz trên trường không Acsimet)
Cho X là đa tạp xạ ảnh và
ω∈
ω∈
hoặc
trong
,
X
log
D
,
,
X
(
)
k m
k m
( 0 H X
( 0 H X
)
X→ là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó
( kj fω
) 0 ≡ với mọi
đó D là ước hữu hiệu với các đường giao chuẩn tắc đơn.
:f K )
2.3.2.2. Hệ quả
tương
,
X ≠
Cho X là đa tạp xạ ảnh và với m và k nào đó,
k m
( 0 H X
) { } 0 (
Khi đó ảnh của mọi ánh xạ chỉnh hình
ứng
(
) D ≠
k m
( 0 H X
) { }) 0 .
, X log
) được chứa trong một đa tạp con Y của
X có số chiều dưới ngặt.
:f K X→ (tương ứng : f K X D→ \
2.3.2.3. Hệ quả
n
Cho V là siêu mặt bất khả quy của
có bậc thấp nhất là 2 .n Khi đó ảnh
suy biến thật sự.
của mọi ánh xạ chỉnh hình
f K : \n V→
42
n
Chứng minh: Giả sử (
)
0,
n
=
Z , Z là hệ tọa độ xạ ảnh trong không gian xạ ảnh và
, 1
≤ ≤ Gọi i n .
( P Z
)
n
0,
x i
Z Z / i
0
, .D Đặt Z là phương trình xác định của
ω=
thì ω không có cực điểm trên tập mở
{ Z=
} 0 .
0
0
)
dx 1 ( 11, P x
dx n , , x n
≠ U
thì
Nếu
j
j
j
{ Z=
}0
= ≠ , j 0, n , , , ˆ j U = là hệ tọa độ trên y i Z Z / i
j
dẫn đến
j
j
Do đó,
− 1
+ 1
P
dx = − ≠ = − = ≠ = i j , ; . , i j x ; x i x dy 0 y 0 dy 0 y 0 dx i x i dy i y i 1 y 0 y i y 0
deg y 0
( P x 1, 1
j
− 1
+ 1
j
n
)
không có cực điểm trên
− . x 1 x n ∏ ≠ i j y 1 y 0 y j y 0 dy i y i dy 0 y 0 = − = ω , , y ,1, , y dx n x n ) dx 1 x 1 , 1 y 0 , y dy n 0 y y 0 0 y , x n y j y 0 ( P y 0
Do đó, ta có thể kết luận
không tầm thường kết hợp
X
D
,
log
(
)
k m
jU nếu deg ( 0 H X
)
□
với hệ quả 2.3.2.2 suy ra f suy biến thật sự.
P n≥ 2 .
2.3.2.4. Hệ quả
là
Cho D là đường cong phẳng tổng quát bậc thấp nhất là 4. Khi đó
2 \ D
K − hyperbolic.
Chứng minh:
2
là ánh
Cho D là đường cong phẳng tổng quát bậc
xạ chỉnh hình. Khi đó ảnh của f chứa trong một đường cong bất khả quy
f K : \ d ≥ và 4 D→
Theo kết quả của Xu [22], C D∩ có ít nhất
.C
của f chứa trong C bỏ đi ít nhất 2 điểm. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi f là
hằng.
□
d − điểm phân biệt. Do đó, ảnh 2
43
2
Chú ý rằng theo hệ quả 2.2.8,
là K − hyperbolic nếu
1D và
1
q
2
+
≥ Theo [1] thì
là
deg
deg
4.
2D là các đường cong tổng quát và
D 1
D 2
D i
\
i
= 1
\ ( ) D D∪ 2
K − hyperbolic nếu
q
q
2
2.3.2.4, ta có điều sau đây:
là K − hyperbolic nếu
3q ≥ và , D ở vị trí tổng quát. Kết hợp với hệ quả D 1,
D i
q
\
i
= 1
, D là các D 1,
đường cong tổng quát và
+ + ≥ deg deg 4. D 1 D q
44
KẾT LUẬN
Phần chính của luận văn là nghiên cứu tính chất hyperbolic trên trường
không Acsimet nhằm hướng đến giải quyết phỏng đoán của Kobayashi và
n
n
Zaidenberg, cụ thể xem xét điều kiện để
là K − hyperbolic, đặc biệt là
i
= 1
khi
D i \
trường hợp tích 1-dạng đối xứng cũng như dạng vi phân tia.
Thông qua việc nghiên cứu tính chất hyperbolic đã giúp cải thiện một số kết
quả liên quan đã được trình bày trước đây.
2n = và tính chất hyperbolic của đường cong xạ ảnh không suy biến cho
1. Kết quả nghiên cứu đề tài
Qua việc nghiên cứu đề tài, ta đã nhận được các kết quả sau đây:
n
n
là K − hyperbolic. Cụ thể,
• Điều kiện cần để
i
= 1
n
n
2
là K − hyperbolic nếu deg
D i \
i
= 1
cắt ngang nhau.
với
≤ ≤ iD ≥ với mỗi 1 i n D i \
,
D là các siêu mặt khác hằng trong
1, D
n
n K (
• Khi
2
deg
,deg
D ≥ 2
là K − hyperbolic nếu
)
{ \ D D∪ 1 2
D 1
2
2n = thì với kết quả trên cho ta }
Ngoài ra, nếu
deg
1D = thì ta còn nhận được
1
2
=
deg
1, deg
≥ và 3
là K − hyperbolic ⇔
}
{ \ D D∪ 1 2
D 1
D 2
1D không giao
2D
tại bất kỳ điểm uốn cực đại nào
nhận 1-
• X là đường cong xạ ảnh không suy biến xác định trên (
)
dạng chính quy toàn cục không tầm thường ω thì X là K − hyperbolic. Từ đó,
ta có đa tạp Abel A xác định trên trường K thuộc trường không Acsimet là
K − hyperbolic.
• Cải thiện được kết quả liên quan của [1], cụ thể là
, .K
45
q
2
là K − hyperbolic nếu
D i
q
\
i
= 1
q
2
Ta đã chứng minh với
3q ≥ và , D ở vị trí tổng quát. D 1,
là K − hyperbolic nếu
D i
1, D
\
i
= 1
0q > tùy ý, , D là q
các đường cong tổng quát và
+ + ≥ deg deg 4. D 1 D q
2. Hạn chế của đề tài
Do thời gian nghiên cứu và năng lực của bản thân nên đề tài còn một số hạn
chế sau:
• Chưa thực sự nghiên cứu chứng minh các định lý liên quan đến lý thuyết
Nevanlinna trên trường không Acsimet.
• Chưa phân tích một cách chi tiết một số chứng minh của các định lý và hệ
quả đã được trình bày.
3. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Qua luận văn này, ta đã thiết lập được một số kết quả liên quan đến phỏng
đoán của Kobayashi và Zaidenberg cho trường hợp
Như vậy, một vài câu hỏi có thể được hướng đến như sau:
q
q
3
2
có tương tự như
?
• Liệu rằng tính chất hyperbolic của
q n= .
i
= 1
i
= 1
q
n
ta có nhận xét gì về tính hyperbolic của
?
D i D i \ \
• Với
D i
\
= 1
i
3n ≥ và q n< ,
46
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. An T. T. H., A defect relation for non-Archimedean analytic curves in
arbitrary projective varieties, to appear by Proceeding A.M.S.
2. An T. T. H., J. T.-Y. Wang and P.-M. Wong, On p-adic hyperbolicity,
preprint.
3. An T. T. H., J. T.-Y. Wang and P.-M. Wong, Non-archimedean analytic
curves in the complements of divisors, preprint.
4. Babets V. A. (1984), Picard-type theorems for holomorphic mappings,
Siberian Math. J. 25, 195–200.
5. Berkovich V. (1990), Spectral theory and analytic geometry over non-
archimedean fields, AMS survey and monographs 33, Amer. Math. Soc.
6. Cherry W. (1994), Non-archimedean analytic curves in abelian varieties.
Math. Ann. 300, 393–404.
7. Cherry W. and Ru M. (2004), Rigid Analytic Picard Theorems, Amer. J.
Math. 126, 873-889.
8. Cherry W. and Wang J. T.-Y. (2002), Non-archimedean analytic maps to
algebraic curves, Comtemp. Math. 303, Amer. Math. Soc., Providence, RI,
7-36.
9. Cherry W. and Ye Z. (1997), Non-Archimedean Nevanllina theory in several
variables and non-Archimedean Nevanllina inverse problem, Trans. Amer.
Math. Soc. 349, 5037-5071.
10. Dethloff G., Schumacher G. and Wong P.-M. (1995), Hyperbolicity of the
complements of plane algebraic curves. Amer. J. Math. 117, no. 3, 573-599.
11. Dethloff G., Schumacher G. and Wong P.-M. (1995), On the hyperbolicity of
the complements of curves in algebraic surfaces: the three-component case.
Duke Math. J. 78, no. 1, 193–212.
47
12. Eremenko A. E. and Sodin M. L. (1992), The value distribution of
meromorphic functions and meromorphic curves from the point of view of
potential theory. St. Petersburg Math. J. 3, 109–136.
13. Fulton W. (2008), Algebraic curves. An Introduction to Algebraic
Geometry. January 28.
14. Green M.L. (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to
algebraic varieties. Amer. J. Math 97, 43–75.
15. Green M.L. (1977), The hyperbolicity of the complement of 2
n
hyperplanes in general position in
1n +
and related results. Proc. Amer.
Math. Soc. 66, no. 1, 109–113.
16. Hu P.-C. and Yang C.-C. (2000), Meromorphic functions over non-
Archimedean fields. Mathematics and
its applications 522, Kluwer
Academic Publishers.
17. Kobayashi S. (2002), Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings.
Pure and Applied Mathematics, 2 Marcel Dekker, Inc., New York 1970
ix+148 pp.
18. Noguchi J. and Winkelmann J., Holomorphic curves and integral points o
divisors. Math. Z. 239, no. 3, 593–610.
ff
19. Ru M. (1993), Integral points and hyperbolicity of the complement of
hypersurfaces. J. Reine Angew. Math. 442, 163–176.
20. Ru M. (2001), A note on p-adic Nevanlinna theory. Proc. Amer. Math. Soc.
129, 1263-1269.
21. Siu Y.T. and Yeung S.K. (1996), A generalized Bloch’s theorem and the
hyperbolicity of the complement of an ample divisor in an abelian variety.
Math. Ann. 306, 743–758.
22. Xu G. (1996), On the complement of a generic curve in the projective plane.
Amer. J. Math. 118, no. 3, 611–620.
(1989), Stability of hyperbolic embeddedness and
23. Zaidenberg M.
construction of examples. Math. USSR-Sb. 63, 351–361.
![Đề án Thạc sĩ: Tổ chức hoạt động văn hóa cho sinh viên Trường Cao đẳng Du lịch Hà Nội [Chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251202/kimphuong1001/135x160/91661764646353.jpg)
