Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: Bùi Tường Trí

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2

LỜI CẢM ƠN



Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PSG.TS Bùi Tường

Trí, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học cao học

và làm luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí

Minh và quý thầy cô bộ môn Toán học đã tạo điều kiện học tập và nhiệt tình

giảng dạy tôi trong thời gian học cao học, qua đó tôi đã có được những kiến thức

rất bổ ích để làm đề tài luận văn.

Xin cảm ơn tập thể lớp Đại số khóa 21 đã động viên giúp đỡ tôi trong thời

gian thực hiện luận văn.

Cuối cùng tôi xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân đã luôn ở

bên cạnh động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Học viên thực hiện

Nguyễn Quế Thanh

3

MỤC LỤC

  

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 2

MỤC LỤC ............................................................................................................. 3

BẢNG KÝ HIỆU .................................................................................................. 4

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5

Chương 1 : KIẾN THỨC CƠ BẢN ...................................................................... 6

1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN ..................................................................... 6

1.2. CĂN NGUYÊN TỐ .................................................................................. 14

1.3.CĂN JACOBSON ..................................................................................... 17

Chương 2 : MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER

KHÔNG GIAO HOÁN ....................................................................................... 22

2.1. MA TRẬN ................................................................................................ 23

2.2. VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ............................................... 32

2.3. ĐẠI SỐ WEYL ......................................................................................... 38

2.4. CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT

.......................................................................................................................... 45

2.5. VÀNH NHÓM .......................................................................................... 47

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 54

4

BẢNG KÝ HIỆU



M là R – môđun phải MR

End(MR) vành các tự đồng cấu của MR

vành các ma trận n x n trên vành R Mn(R)

căn nguyên tố của vành R N(R)

Spec(R) tập tất cả các iđêan nguyên tố của R

căn Jacobson của vành R J(R)

SMR

M là song môđun, M là S – môđun trái và R – môđun phải

L(R) tập các môđun con của R

II(A) vành iđêan hóa của A với A là iđêan phải của R

đại số Weyl thứ n trên K An(K)

5

MỞ ĐẦU



Trong học phần Đại số giao hoán của chương trình Cao học chúng ta đã

được làm quen với những hình ảnh và ví dụ về lớp các vành Noether giao hoán.

Như vậy lớp các vành Noether không giao hoán có hình ảnh như thế nào? Trong

luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về một số vành Noether không giao

hoán bắt nguồn trong những hoàn cảnh đặc biệt đồng thời hệ thống hóa các

trường hợp và nêu ra ví dụ về một số hình ảnh cụ thể.

Nội dung luận văn gồm các phần sau:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề

dùng trong luận văn.

Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán

Trong chương 2 này chúng ta sẽ xây dựng lớp các vành Noether không

giao hoán dựa trên các vật liệu chính:

1. Ma trận

2. Vành đa thức không đối xứng

3. Đại số Weyl

4. Chuỗi lũy thừa không đối xứng và đa thức Laurent

5. Vành nhóm

Vẫn còn một số trường hợp để xây dựng lớp các vành Noether không giao

hoán, trong luận văn này chúng ta chỉ khai thác một số trường hợp như trên ở

một mức độ cơ bản nhất định.

6

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nội dung của chương là nhắc lại một số vấn đề và kết quả cơ bản làm nền

tảng vững chắc cho những phần trong chương sau. Chương này gồm 3 bài: Điều

kiện dây chuyền, Căn nguyên tố và Căn Jacobson.

1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN

1.1.1 Định nghĩa:

Cho R là vành có đơn vị.

 M được gọi là R - môđun đơn (hay còn gọi là R - môđun bất khả quy) nếu

MR ≠ 0 và M có duy nhất hai môđun con là M và 0.

 Môđun là tổng trực tiếp của các môđun đơn được gọi là môđun nửa đơn.

Trong đó, nếu các môđun đơn đẳng cấu từng đôi một với nhau thì môđun đó

được gọi là môđun isotypic.

 Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay còn gọi

là điều kiện cực tiểu) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn:

i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối tiểu.

ii) Bất kỳ một dây chuyền giảm:

M1 > M2 > … > Mn > …

với Mi là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.

 Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay còn

gọi là điều kiện cực đại) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn:

i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối đại.

ii) Bất kỳ một dây chuyền tăng:

M1 < M2 < … < Mn < …

với Mi là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.

7

 Nếu tập các môđun con của môđun MR với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa

mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói MR là môđun Noether (Artin).

 Nếu tập các iđêan phải (trái) của vành A với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa

mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói A là vành Noether (Artin) phải

(trái).

1.1.2 Chú ý:

Nếu N M thì M là Noether hay Artin khi và chỉ khi cả N và M/N đều là

:i N M→ và đồng cấu chiếu

Noether hay Artin.

p M M N→

:

/

Do N  M nên ta có đồng cấu nhúng

→ → →

0

N M M N

/

→ 0

tạo thành dãy khớp ngắn:

Suy ra M là Noether (Artin) khi và chỉ khi N và M/N đều là Noether (Artin).

1.1.3 Định lý Jordan – Holder:

a) Môđun MR thỏa hai điều kiện dây chuyền tăng và dây chuyền giảm nếu

và chỉ nếu chiều dài của dãy các môđun con của M giới hạn bởi cận trên n.

b) Nếu (a) thỏa mãn thì mọi dãy các môđun con của M có thể được làm

mịn đến dãy có độ dài n:

M = M0 ⊃ M1 ⊃ … ⊃ Mn = 0 (*)

 Với i = 0,1,…, n – 1, Mi+1 là môđun con tầm thường của Mi , khi đó

môđun thương Mi /Mi+1 là đơn.

 Các môđun thương:

M0 /M1 , M1 /M2 , …, Mn-1 /Mn

được gọi là môđun thương hợp thành của M và dãy (*) được gọi là dãy hợp

thành của M.

 Cho:

M = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = 0

M = K0 ⊃ K1 ⊃ … ⊃ Kt = 0

8

là hai dãy hợp thành của M thì s = t và các môđun thương hợp thành tương ứng

K

j

i

≅

K

H H

j

+ 1

i

+ 1

đẳng cấu với nhau, tức là:

1.1.4 Mệnh đề:

Các điều kiện sau trên môđun nửa đơn MR là tương đương:

i) MR thỏa điều kiện dây chuyền tăng.

ii) MR thỏa điều kiện dây chuyền giảm.

iii) MR có độ dài hữu hạn.

1.1.5 Mệnh đề:

Các điều kiện sau trên môđun MR là tương đương:

i) MR là Noether (Artin).

ii) Mỗi môđun con của MR là hữu hạn sinh.

iii) Mọi tập khác rỗng của các môđun con của MR có phần tử tối đại (tối tiểu).

1.1.6 Định nghĩa:

 Nếu RR là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) phải.

 Nếu RR là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) trái.

 Nếu R vừa là vành Noether (Artin) phải vừa là vành Noether (Artin) trái

thì R là vành Noether (Artin).

1.1.7 Hệ quả:

Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:

i) R là vành Noether phải.

ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan phải.

iii) Mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.

iv) Mỗi tập khác rỗng của các iđêan phải của R có phần tử tối đại.

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) Do định nghĩa.

(ii) ⇒ (iii) R thỏa điều kiện (ii) suy ra R là vành Noether phải (do định

nghĩa). Do mệnh đề 1.1.5 suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.

9

(iii) ⇒ (iv) Do mệnh đề 1.1.5.

(iv) ⇒ (i) Do mệnh đề 1.1.5.

1.1.8 Định nghĩa:

 Khi mọi iđêan phải (trái) của R là iđêan chính (hay cyclic) thì R được

gọi là vành iđêan chính bên phải (trái) hay còn gọi là pri-ring (pli-ring).

 Khi R vừa là pri-ring vừa là pli-ring thì R được gọi là vành iđêan chính.

1.1.9 Bổ đề Schur:

Nếu MR là đơn thì End(MR) là một vành chia. (End(MR): vành các tự đồng

cấu của MR).

Chứng minh:

Ta cần chứng minh End(MR) là vành có đơn vị khác 0 và mọi phần tử

≠ . 0

khác 0 của End(MR) đều khả nghịch trong End(MR).

RMId

 Ta có: End(MR) là vành (do định nghĩa) và có đơn vị

 ∀θ∈ End(MR).

θ :

→ M M θ

=

a

a ( )

θ a



 Ta chứng minh nhận xét: MR = MRθ thì θ là toàn ánh. Thật vậy:

Khi đó: ∀b ∈ M, do MR = MRθ nên ∃b1 ∈ M: b = b1θ = θ(b1) hay θ là toàn ánh.

∀ ∈

=

=

⊂

=

:

M

W

(

) θ

r R Wr M r M r R

θ R

θ R

 Đặt W = MRθ. Do θ ≠ 0 nên W ≠ 0.

Suy ra W là môđun con khác 0 của MR. Do đó W = MR (do MR là môđun đơn).

Vậy MR = MRθ hay θ là toàn ánh. (1)

 Kerθ là môđun con của MR mà θ ≠ 0 nên Kerθ ≠ MR ⇒ Kerθ = 0 (do

MR là môđun đơn). Suy ra θ là đơn ánh. (2)

Từ (1) và (2) suy ra θ là song ánh. Do θ là tự đồng cấu của MR nên θ là tự đẳng cấu. Suy ra θ-1 ∈ End(MR).

Vậy mọi phần tử khác 0 của End(MR) đều khả nghịch trong End(MR).

Kết luận: End(MR) là vành chia.

10

1.1.10 Định nghĩa:

 R là vành đơn nếu vành R ≠ (0) và R có duy nhất hai iđêan là 0 và R.

 Điều này tương đương với khẳng định: 0 là iđêan tối đại duy nhất của R.

Nhắc lại:

M là iđêan tối đại của vành X nếu:

X

⊂ ⊂ thì N = X.

i) M ≠ X.

≠

ii) N là iđêan của X và M N

Chứng minh:

 Sự tồn tại:

Ta có: 0 ≠ R.

⊂ ⊂ . Suy ra N = R (do R là vành đơn).

≠

Giả sử N là iđêan của R và 0 N R

 Sự duy nhất:

Giả sử ∃M là iđêan tối đại của R ⇒ M ≠ R và R là vành đơn ⇒ M = 0

Vậy 0 là iđêan tối đại duy nhất của R.

1.1.11 Định lý:

Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:

i) R là vành Artin phải đơn.

ii) R ≅ Mn(D) là vành các ma trận n x n trên vành chia D, với n xác định duy

nhất và với vành chia D duy nhất sai khác phép đẳng cấu.

iii) R ≅ End(MS), với M là một S - môđun isotypic độ dài n trên vành S bất kỳ.

Chứng minh:

(i) ⇒(ii) Định lý Wedderburn – Artin.

(ii) ⇒(iii) Từ (ii) ta được R là vành Artin phải đơn.

Ta có: R ≅ Mn(D) với mọi vành chia D.

M là S-môđun isotypic nửa đơn độ dài n trên vành S. Suy ra M là không gian

vectơ hữu hạn chiều. Khi đó ∃n : Mn(D) = EndMS.

Vậy R ≅ EndMS.

Định lý cũng đúng với phía bên trái nên R là vành Artin.

11

1.1.12 Định nghĩa: Với R là vành Artin, iđêan A của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu An = 0,

∀n.

1.1.13 Định lý:

Các điều kiện sau trên R là tương đương:

i) R là tổng trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn.

ii) RR là nửa đơn.

iii) Mọi R môđun phải là nửa đơn.

iv) R là Artin phải và không có iđêan lũy linh.

v) R là Artin phải và giao của các iđêan tối đại của R là 0.

Chứng minh:

(i)⇒(ii) Hiển nhiên do định nghĩa.

ii)⇒i) Giả sử RR là vành nửa đơn. Gọi A là iđêan tối tiểu của vành R.

 Ta chứng minh A là vành đơn.

Giả sử B là iđêan của vành A, B ≠ 0. Suy ra ABA là iđêan của R và ABA ⊆ B và

ABA ≠ 0.

⊆ ⊆

A

⇒

= ⇒ =

ABA A

B A

Ta có:

 ≠ 0 ABA B  ABA R    A R   min

.

Vậy A là vành đơn.

 Ta chứng minh R = A ⊕ R1.

 Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên ∃e là phần tử lũy đẳng:

A = eR = Re.

=

+

− ∈ +

− ⇒ =

+

−

= +

−

x

xe

x

Re

e

R

R

e

Re

R

e

A R

.

e

( 1

)

( 1

)

( 1

)

( 1

)

 ∀x ∈ R, ta có:

 ∀x ∈ A ∩ R(1 – e), ta có:

=

⇒

−

= ⇒ ∩

−

=

⇒ = x

xe

xe

A R

0

e

0

12

( 1

)

=

−

x x

e

= − x

xe

∈ = x A ( ∈ x R 1

Re ) − e

xe ( x 1

)

  

  

.

Đặt R1 = R(1 – e) ta được R = A ⊕ R1, R1 là vành Artin nửa đơn.

Vậy nếu R là vành Artin nửa đơn thì R = Ao ⊕ R1 với Ao là vành Artin đơn, R1

là vành Artin nửa đơn.

 Do R1 là vành Artin nửa đơn nên R1 = A1 ⊕ R2 với A1 là vành Artin

đơn, R2 là vành Artin nửa đơn. Suy ra R = Ao ⊕ A1 ⊕ R2.

∞

R

, ...

Tương tự ta được R = ⊕ Ai với Ai là vành Artin đơn.

B 0

A B , i 1

A i

= ⊕ , đặt A i

=

∞ = ⊕ = 0 i

∞ = ⊕ = 1 i

i

0

Giả sử ta được dãy giảm vô hạn các iđêan của

n

*

∃ ∈

n N R

:

R (vô lý do R là vành Artin).

= ⊕ với Ai là các vành Artin đơn.

A i

=

i

0

Vậy

1.1.14 Định nghĩa:

 Căn của vành Artin phải R là giao của các iđêan tối đại của R. Ký hiệu:

N(R).

Ta có: N(R) = ∩ρ với ρ là các iđêan tối đại của R.

 R được gọi là nửa đơn nếu N(R) = 0.

Suy ra: ∩ρ = 0 với ρ là các iđêan phải tối đại của R. Từ đó ta chứng minh

được (ii) ⇒ (v) của định lý 1.11 như sau:

Ta có N(R) = ∩ρ , ρ là các iđêan phải tối đại của R.

R là nửa đơn nếu N(R) = 0.

1.1.15 Định lý:

Nếu R là vành Artin phải thì N(R) là lũy linh và là iđêan lũy linh lớn nhất của

R. Khi đó R/N(R) là vành nửa đơn.

Chứng minh:

 Ta chứng minh: N(R) là lũy linh.

Đặt N = N(R), xét dãy giảm các iđêan phải:

N ⊃ N 2 ⊃ … ⊃ N n ⊃ …

13

Do R là vành Artin nên ∃n sao cho: J n = J n+1 = … = J 2n = … Do đó nếu: x.N 2n = 0 thì x.N n = 0. Ta chứng minh: N n = 0. Giả sử N n ≠ 0, đặt W = { x ∈ N / x.N n = 0 } là iđêan của R.

R R W=

/

 Nếu N n ⊂ W thì N nN n = 0. Suy ra 0 = N 2n = N n.

nN ≠ . 0

n

0

xN = thì xN n ⊂ W. Suy ra 0 = x.N nN n = xN 2n = xN n .

là  Nếu M n ⊄ W thì ảnh của N n trong

0

Nếu

x = . (*)

nNρ∃ ∈

nN ≠ ⇒ 0

Ta được x ∈ W ⇒

0ρ≠ . Khi đó ρ là R -

n

n

⊂ ⊂

.

N

N N R

(

)

là iđêan phải tối tiểu và Vì

Nρ = nên 0

0ρ= (do (*)) (mâu thuẫn).

. Suy ra môđun đơn và

Vậy N n = 0 hay N(R) là lũy linh.

=

: R

R

R R N R /

(

)

 Ta chứng minh: N(R/N(R)) = 0.

π → là toàn cấu.

Đặt và

= ρ ρ

=

/

N R (

)

π ρ ) (

Lấy ρ là iđêan tối đại chính quy của R, ta được N(R) ⊂ ρ .

, do ρ tối đại trong R nên ρ là tối đại trong R . Ta có:

∀ ∈

r R r ar ρ

:

− ∈ hay ρ là iđêan tối đại chính quy của R .

Do ρ chính quy nên ∃a ∈ R để ∀r ∈ R: r – ar ∈ ρ .

)N R (

Suy ra

ρ⊂ ∩ với ρ chạy khắp các iđêan tối đại chính quy của R.

⊂ ∩

N R (

)

N Rρ

(

/

)

= ∩ ρ ρ ( /

∩ = ) 0

Ta có

(

)

Suy ra

Vậy N(R/N(R)) = 0 hay R/N(R) là vành nửa đơn.

1.1.16 Hệ quả:

Nếu R là Artin phải thì R là Noether phải.

Chứng minh:

Giả sử R là Artin phải.

Do hệ quả 1.1.7(iii) suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.

Do hệ quả 1.1.7(i) suy ra R là Noether phải.

Vậy nếu R là Artin phải thì R là Noether phải.

14

1.2. CĂN NGUYÊN TỐ

1.2.1 Cho vành R tùy ý và không là vành Artin thì ta có căn nguyên tố và căn

Jacobson. Khi R là vành Artin phải thì căn nguyên tố và căn Jacobson trùng

nhau, ký hiệu: J(R).

Căn nguyên tố là một khái niệm ít được biết đến. Hơn nữa, các kết quả bài

này sẽ được áp dụng vào vành không có phần tử đơn vị 1. Trong bài này, các

vành liên quan không được đề cập đến vấn đề có phần tử đơn vị 1.

1.2.2 Định nghĩa:

 Vành R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác 0 luôn

0

∀

∈ a b R ab

,

,

0

khác 0.

0

= a = ⇔  = b

.

 Iđêan A của vành R là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/A là miền

nguyên.

1.2.3 Mệnh đề:

Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:

i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0.

ii) Nếu 0 ≠ A, B  RR thì AB ≠ 0.

iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0.

Chứng minh:

i) ⇒ii) Chọn 0 ≠ a ∈ A, 0 ≠ b ∈ B  RR .

Do i) ta được aRb ≠ 0, suy ra AB ≠ 0.

ii)⇒iii) Do 0 ≠ A, B  RR nên 0 ≠ A, B  R. Suy ra AB ≠ 0 (do (ii)).

iii)⇒i) Xét tập C = { c ∈ R / RcR = 0 }.

Khi đó: C  R và RCR = 0, do đó: C = 0.

Nếu A = RaR và B = RbR thì do A, B  R và A, B ≠ 0 theo (iii) ta có AB ≠ 0

Suy ra (RaR)(RbR) ≠ 0 ⇔ R(aRb)R ≠ 0 ⇔ aRb ≠ 0.

15

Khi đó vành R được gọi là vành nguyên tố.

1.2.4 Định nghĩa:

0

∀

∈

a b R aRb

,

,

0

0

= a = ⇒  = b

 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu:

 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/A là vành nguyên

tố.

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu: Spec(R).

1.2.5 Định nghĩa:

 Căn nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R.

Ký hiệu: N(R).

 Nếu R là Artin thì căn nguyên tố trùng với căn Jacobson. Ký hiệu

chung: N(R).

1.2.6 Tính chất:

 Phần tử a của vành R là lũy linh nếu ∃n ∈ N: an = 0.

 Nếu mỗi phần tử của tập con A của R là tập con lũy linh thì tập con A

gọi là nil.

 Phần tử a được gọi là lũy linh mạnh nếu với mọi dãy a = a0, a1, a2,…

+ ∈

a 1i

a Ra i i

sao cho thì tồn tại n với an = 0.

 Mọi phần tử lũy linh mạnh là lũy linh và mỗi phần tử trong iđêan phải

lũy linh là lũy linh mạnh.

1.2.7 Định lý:

Căn nguyên tố N(R) là tập hợp các phần tử lũy linh mạnh của R. Trong

trường hợp đặc biệt N(R) là nil.

Chứng minh:

⇒) Giả sử a ∈ R và a không là lũy linh mạnh.

Ta có dãy vô hạn S gồm các phần tử ai ≠ 0 với: ao = a, ai = ai-1rai-1.

Do bổ đề Zorn, chọn P là iđêan lớn nhất của R với P ∩ S = ∅.

Giả sử B, C  R với B ⊃ P, C ⊃ P.

16

Suy ra: B ∩ S ≠ ∅ và C ∩ S ≠ ∅.

Với ai ∈ B, aj ∈ C ∀i,j . Đặt k = max{i , j}, ta có:

ak+1 ∈ BC và ak+1 ∉ P.

∉

a N R

(

)

Suy ra P là nguyên tố và a ∉ N(R).

=  . P

∈

P Spec R

(

)

⇐) Giả sử a ∈ R và

Ta có a ∉ P, ∀P ∈ SpecR. Suy ra aRa ⊄ P nên ara ∉ P, ∀r ∈ R.

Cho ao = a, a1 = ara, a2 = a1ra1, … ∉ P. Ta được ai ≠ 0 ∀i ∈ {0,1,2,…}.

Vậy a không là lũy linh mạnh.

1.2.8 Hệ quả:

Các điều kiện sau trên vành R là tương đương:

i) R không có iđêan phải lũy linh khác 0.

ii) R không có iđêan lũy linh khác 0.

iii) N(R) = 0.

Chứng minh:

(iii)⇒(ii) Do tính chất N(R) chứa tất cả iđêan lũy linh và N(R) = 0.

(ii)⇒(i) Hiển nhiên.

ii)⇒iii) Ta có iđêan C = { c ∈ R / RcR = 0 } là lũy linh, nên C = 0 (do (ii)).

Với 0 ≠ a ∈ R thì RaR ≠ 0 và không là lũy linh. Do đó aRa ≠ 0, suy ra ara ≠ 0,

∀r ∈ R. Đặt ao = a, a1 = ara, …, phần tử a không là lũy linh mạnh, ta được J(R)

= 0.

 Các tính chất này là đặc điểm của vành nửa nguyên tố.

 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu R/A là vành

nửa nguyên tố.

1.2.9 Định nghĩa:

 Căn nguyên tố của iđêan A là giao của các iđêan nguyên tố chứa A. Ký

hiệu: N(A).

 N(R/A) = N(A)/A và N(A) là iđêan nửa nguyên tố.

Ta có A = J(A) khi và chỉ khi A là nửa nguyên tố.

17

1.3.CĂN JACOBSON

1.3.1 Định nghĩa:

 MR là môđun trung thành nếu Mr = 0 suy ra r = 0 với r ∈ R.

 Nếu vành R có môđun đơn trung thành MR thì R được gọi là vành

nguyên thủy (bên phải).

 Một vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu R có môđun đơn trung

thành M.

1.3.2 Bổ đề:

i) Vành đơn là vành nguyên thủy.

ii) Vành nguyên thủy là vành nguyên tố.

Chứng minh:

(i) Giả sử R là vành đơn. Ta chứng minh R có M là môđun đơn trung thành.

Do R là vành đơn nên R có hai iđêan là 0 và R.

Xét M = R nên M là môđun đơn.

Ta có Mr = Rr = 0, suy ra r = 0 với r ∈ R (do R ≠ 0). Nên M là môđun đơn trung

thành. Vậy R là vành nguyên thủy.

(ii) Giả sử R là vành nguyên thủy. Suy ra ∃M là R - môđun đơn trung thành.

Giả sử aRb = 0, ta chứng minh a = 0 hoặc b = 0.

Giả sử a ≠ 0, có 2 khả năng xảy ra:

1) aR ≠ 0:

Đặt ρ = aR ta có Mρ là môđun con của M. Suy ra Mρ = 0 hoặc Mρ = M (do

M là môđun đơn).

 Nếu Mρ = 0 thì ρ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).

 Nếu Mρ = M, ta có:

Mb = (Mρ)b = M(aR)b = M(aRb) = M.0 = 0.

Suy ra b = 0 (do M ≠ 0). (1)

2) aR = 0:

18

Đặt ζ = { r ∈ R : rR = 0 }. Ta có: 0 ≠ a ∈ ζ nên ζ ≠ 0 , và b ∈ R nên ζb = 0.

Mζ là môđun con của M suy ra Mζ = 0 hoặc Mζ = M.

 Nếu Mζ = 0 thì ζ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).

 Nếu Mζ = M, ta có: Mb = (Mζ)b = M(ζb) = 0 suy ra b = 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra aRb = 0, nghĩa là a = 0 hoặc b = 0.

Vậy R là vành nguyên tố.

1.3.3 Định nghĩa:

 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu R/A là vành

nguyên thủy.

 Iđêan tối đại là iđêan nguyên thủy và iđêan nguyên thủy là iđêan nguyên

tố.

Chứng minh:

 Giả sử A là iđêan tối đại. Khi đó R/A là trường và R/A có duy nhất hai iđêan là

0 và R/A. Suy ra R/A là vành đơn hay R/A là vành nguyên thủy (do bổ đề 1.3.2).

Vậy A là iđêan nguyên thủy.

 Giả sử A là iđêan nguyên thủy. Khi đó R/A là vành nguyên thủy.

Suy ra R/A là vành nguyên tố (do bổ đề 1.3.2).

Vậy A là iđêan nguyên tố.

1.3.4 Định nghĩa:

 Cho E = End(DV) là vành các phép biến đổi D - tuyến tính của V và cho

R là vành con của E. R là trù mật trên E nếu:

∀α ∈ E , ∃r ∈ R : W(α - r) = 0 ⇒ r ≡ α.

với W là không gian con hữu hạn chiều của V.

 Nếu V hữu hạn chiều thì R = E.

1.3.5 Định lý trù mật:

Cho R là vành nguyên thủy, MR là môđun đơn trung thành và D =

EndMR. Khi đó M là không gian D – vectơ trái và R là trù mật trên E =

EndDM.

Chứng minh:

19

 Chứng minh bổ đề: Với V là không gian con hữu hạn chiều của M trên

D và m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.

Chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V.

 dimV = 0: hiển nhiên.

Giả sử đúng với dimV = n. Ta chứng minh đúng với dimV = n + 1.

Đặt V = Vo + WD với dimVo = n và W ∉ Vo.

Do dimVo = n nên y ∉ Vo . Khi đó ∃r ∈ R : Vor = 0 và yr ≠ 0 hay y ∉ Vo . Suy ra

∃r ∈ A(Vo) : yr ≠ 0 với A(Vo) = {x ∈ R / Vox = 0}.

Nghĩa là mA(Vo) = 0 thì m ∈ Vo.

Với W ∉ Vo ta có WA(Vo) ≠ 0, trong đó WA(Vo) là R – môđun con của M

và M là môđun đơn. Ta được WA(Vo) = M.

Với m ∈ M và m ∉ M, ta chứng minh: ∃r ∈ R, Vr = (0) và mr ≠ 0.

Giả sử ∀r ∈ R: Vr = 0. Ta được mr = 0.Xét quy tắc

τ : M → M

x  ma

(Trong đó, x ∈ M = WA(Vo) = { wa / a ∈ A(Vo) }⇒ x = wa. Ta đặt xτ = ma).

 Ta chứng minh τ là ánh xạ. Giả sử x = wa1 = wa2, với a1, a2 ∈ A(Vo)

Ta được w(a1 – a2) = 0, suy ra (a1 – a2) linh hóa Vo và W. Vì vậy (a1 – a2) linh

hóa V. Do đó a1 – a2 ∈ A(V) hay m(a1 – a2) = 0 nên ma1 = ma2.

 τ là đồng cấu.

 τ ∈ ∆, tức là ∀r ∈ R, Tr  τ = τ  Tr. Thật vậy:

∀x ∈ M, ∀r ∈ R, ta có x ∈ M = WA(Vo) ⇒ x = wa , a ∈ A(Vo),

xTr  τ = (war)τ = mar = (ma)r = (xτ)Tr.

Khi đó: ∀a ∈ A(Vo), ma = (wa)τ = (wτ)a.

Suy ra (m - wτ)a = 0,∀a∈A(Vo) hay m - wτ ∈ Vo.

Do đó m ∈ wτ + Vo ∈ W∆ +Vo = V (trái với m ∉ V).

Vậy nếu m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.

 Trở lại với định lý trù mật.

20

∀n, v1, …, vn ∈ M, độc lập tuyến tính trên ∆ và w1, …, wn ∈ M là các

phần tử bất kỳ. Gọi Vi là không gian con của M sinh bởi các phần tử vj , j = 1, n , j

≠ i. Khi đó vi ∉ Vi nên ∃ti ∈ R : vi.ti = 0 và vi.ti = wi.

Do đó nếu đặt t = t1 + t2 + … + tn thì ta có vi.t = wi , ∀i = 1, n .

Vậy R là dày đặc trên M.

1.3.6 Hệ quả:

Nếu R là vành nguyên thủy và D = EndMR với MR là môđun đơn trung

thành thì R ≅ Mn(D), hoặc với mỗi số tự nhiên t, tồn tại vành con Rt của R và

toàn cấu vành Rt → Mt(D).

Chứng minh:

Do R là vành nguyên thủy nên tồn tại M là môđun đơn trung thành.

ψ → : R

EndM

R

r



T r

Xét đồng cấu:

→

:

T M M r

m

= mT mr

.



r

với

,

Theo bổ đề Schur thì D = EndMR là vành chia. Khi đó M là không gian vectơ

)

(

DHom M M chính là không

trên D. Theo định lý trù mật thì R là trù mật trong

gian các D - ánh xạ tuyến tính từ M vào M.

TH1: Nếu M là D - không gian vectơ hữu hạn chiều thì theo định lý trù

≅

=

R Hom M M M D ,

mật ta có:

(

)

(

)

n

D

.

TH2: M không là D - không gian vectơ hữu hạn chiều. Gọi v1,v2,…,vt,…

=

=

=

M

,...,

+ + ...

Hom M M M D

,

là tập vô hạn độc lập tuyến tính trong M.

(

)

(

)

t

v v , 1 2

v t

+ v D v D 1

2

v D t

t

D

⊂

x R M x M

/

. Khi đó: . Đặt

{ = ∈

}

R t

t

t

Đặt thì Rt là vành con của R. Xét:

ϕ

→

:

→

R t x

) ( M D t ϕ x M :

M



t vx

t v



21

Khi đó ϕ là đồng cấu vành và ϕ là toàn cấu.

1.3.7 Định nghĩa:

Căn Jacobson của R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan trái

(hoặc phải) nguyên thủy.

1.3.8 Định lý:

Các điều kiện sau trên iđêan A của R là tương đương:

i) A = J(R).

ii) A là giao của các iđêan phải tối đại của R.

iii) A là iđêan lớn nhất sao cho 1 – a là khả nghịch trong A, ∀a ∈ A.

1.3.9 Định nghĩa:

 Nếu J(R) = 0 thì R là vành nửa nguyên thủy.

 Iđêan A của R là iđêan nửa nguyên thủy nếu R/A là vành nửa nguyên

thủy.

1.3.10 Bổ đề Nakayama:

Nếu MR là R - môđun phải hữu hạn sinh và MR ≠ 0 thì M ≠ MJ(R).

Chứng minh:

Ta có MR là R - môđun phải hữu hạn sinh và MR ≠ 0. Giả sử M = MJ(R).

Với J(R) = ∩ρ trong đó ρ là các iđêan tối đại của R. Ta được M ⊂ Mρ.

=

+ + ...

Cho a1,…,an là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của M.

a n

ρ a 1 1

a n

ρ n

−

=

+ + ...

Ta có an ∈ M suy ra an ∈ Mρ . Do đó với ρi ∈ ρ .

( 1

)

ρ−

a n

ρ n

ρ a 1 1

a n

1

n

− 1

Nên .

( J R

)

ρ ∈ n

nρ−

nên 1 Do khả nghịch trong R. Suy ra an là môđun con của M sinh

bởi a1,…,an-1 , mâu thuẫn.

Vậy M ≠ MJ(R).

22

Chương 2:

MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA

CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN   

Lớp các vành Noether giao hoán là lớp các vành rất quen thuộc mà chúng

ta đã được làm quen trong chương trình đại số giao hoán. Trong đó, ta có định lý

cơ bản của Hilbert: “ Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A[x] là Noether ”,

đã giúp xây dựng nên các hình ảnh và ví dụ về vành Noether giao hoán. Nhưng

đối với vành Noether không giao hoán thì những hình ảnh và ví dụ cụ thể không

được phong phú.

Mục đích của chương này là đi tìm những hình ảnh cụ thể, những ví dụ cụ

thể về lớp các vành Noether không giao hoán. Vật liệu chính dùng để xây dựng

nên lớp các vành Noether không giao hoán là: ma trận, đa thức một biến và

nhiều biến không giao hoán, vành nhóm.

Sau đây chúng ta sẽ đi và xây dựng lớp các vành Noether không giao

hoán bằng vật liệu thứ nhất là ma trận.

23

2.1. MA TRẬN

n

=

R

,...,

/

∈ với hai phép toán cộng và nhân trên Rn như sau:

)

{ (

} R

a a , 1 2

a n

a i

n

α

=

β

=

,...,

,

,...,

R

∈ , ta có:

2.1.1  Trong đại số tuyến tính, nếu R là vành có đơn vị 1 và

(

)

(

)

a 1

a n

b 1

b n

+

+

a 1

b 1

=

a b n n ∀ ∈

α k .

,...,

) k R .

,

= + α β (

,..., )

( a k 1

a k n

Với

Khi đó Rn là R – môđun phải tự do cấp n.

)

n

r



a ij

→ R M R (

( )

 Ta có phép nhúng:

=

,

a ii

=

∀ i ≠

r 0 ,

i

j

a ij

  

( )

(

)

với:

I R thì

n

n

M I M R  r

r

 Nếu .

Chứng minh:

→

( ) I M I

n

0

a



a

0

    a



    

    

∈

α β∀ ,

Phép nhúng:

( ) nM I

0

0

a

b





α

β

=

=

,

   0 a

   0 b





    

    

    

    

0



α β +

=

∈

.

I

,a b

 , ta có:

I∈ và

+ ∈ .

I R nên a b

( ) M I n

r

   0



+ a b    

   + a b 

α

∀ ∈ ∀ ∈ ,

r R

Khi đó Do

( ) M I n

, khi đó: 

a

0

a r .

0





=

=

∈

α r .

.

r

.

( ) M I n

   0 a

   0 a r .





    

    

    

    

∈

.a r

a

I r R ,

24

∈ và

I∈ .

I R nên

r

( )

(

)

Do

n

n

M I M R  r

Vậy .

2.1.2 Mệnh đề:

Mn(R) là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải.

2

n

R≅

)

Chứng minh:

2nR là Noether phải.

nM R (

(⇒) Ta có và Mn(R) là Noether phải nên

Vậy R là Noether phải.

(⇐) Giả sử R là Noether phải.

Nếu { Ij / j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R

thì {Mn(Ij) / j = 1,2,… } cũng là dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của Mn(R).

Vậy Mn(R) là Noether phải.

2.1.3 Bổ đề:

Nếu R là vành con của S, với SR hữu hạn sinh và R là Noether phải thì S là

Noether phải (S là vành R – môđun).

Chứng minh:

 Ta có R ⊂ S và SR là hữu hạn sinh nên R là hữu hạn sinh. Do R là Noether phải

ϕ

S

nên{ Ij / j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của R.

( ) I

) ( ϕ ⊆ R

I R thì

 r

r

.  Do R ⊂ S nên ta có phép nhúng ϕ: R → S suy ra nếu

Ta được {ϕ( Ij )/ j = 1,2,… } là một dãy tăng nghiêm ngặt các iđêan phải của S.

Vậy S là Noether phải.

2.1.4 Ví dụ:

Vành các ma trận n×n trên R là Mn(R) có vành con là vành:

Tn(R) = { (aij) / aij ∈ R, aij = 0 với i > j }.

Tn(R) là vành của tất cả các ma trận tam giác trên.

2.1.5 Hệ quả:

25

Nếu R ⊆ S ⊆ Mn(R) là các vành thì S là Noether phải nếu và chỉ nếu R là

Noether phải.

Chứng minh:

(⇒) Giả sử S là Noether phải. Do S ⊆ Mn(R) nên Mn(R) là Noether phải (bổ đề

2.1.3). Suy ra R là Noether phải (do mệnh đề 2.1.2).

(⇐) Giả sử R là Noether phải. Ta được Mn(R) là Noether phải (mệnh đề 2.1.2).

Suy ra S là hữu hạn sinh (do mệnh đề 1.1.5) và R là vành con của S.

Vậy S là Noether phải (do bổ đề 2.1.3).

2.1.6 Ví dụ:

 R là vành và M là R – môđun phải. Nếu đặt: M* = Hom(M,R) là tập các

S là các song môđun.  ∀m ∈ M và α ∈ M*, ta có:

đồng cấu từ M đến R, và S = EndMR là tập các tự đồng cấu của MR. Khi đó SMR và RM*

α

m

m

→ :M R ( α

)



 Ánh xạ:

Do đó α.m = α.(m) ∈ R nên M*M ⊆ R.

 m.α là ánh xạ n  mα(n), ∀n ∈ M.

→

α

:m M M

m

( ) α m n



Do α(n) ∈ R và M là R – môđun phải nên mα(n) ∈ M. Ta có:

Suy ra mα ∈ S = EndMR hay MM* ⊆ S.

*

r

R M

*

=

∈

∈

∈

/

r R s

,

∈ S m M

,

α ,

M

 Ma trận:

m s

M S

  

α   

  

  

  

  

T =

là vành với các phép toán của ma trận 2×2.

2.1.7 Định nghĩa:

Giả sử R, S là các vành; RVS, SWR là các song môđun và các đồng cấu

song môđun:

:

θ ⊗ → V W R

S

S

:

ψ ⊗ → .

W V R

26

R V

T

 =  W S 

  

Ma trận:

với các phép toán của ma trận 2×2. Nếu θ và ψ thỏa điều kiện kết hợp để T là

vành thì tập hợp (R,S,V,W,θ,ψ) được gọi là Morita context, và T là vành Morita

context.

S là các song môđun.

*

*

θ

ϕ

:M M R

:MM

S

→ và

→ là các đồng cấu song môđun.

Trở lại ví dụ 2.1.6 ta có:

 R, S là vành.  SMR và RM* 

*

R M

T

 θ và ψ thỏa điều kiện kết hợp để T là vành

M S

 =  

  

Suy ra (R,S,M*,M,θ,ψ) là Morita context và là vành Morita

context.

2.1.8 Mệnh đề:

Vành T là vành Noether phải nếu và chỉ nếu RR, SS, VS và WR là các vành

Noether phải.

Chứng minh:

R V

R V

0

0

=

=

⊕

= ⊕

T

A B

0

0

  W S 

  

  

  

  W S 

  

(⇐) Ta có:

R V

R

0

0

V

=

=

⊕

A

0

0

0

0

0

0

  

  

  

  

  

  

TT là Noether phải nếu và chỉ nếu AT và BT là Noether phải.

Hay A là R⊕S – môđun. Suy ra T – môđun con của A cũng là R⊕S – môđun con.

Ký hiệu L là tập các môđun con, ta có phép nhúng:

27

L(AT) → L(AR⊕S)

Nếu RR và VS là Noether thì L(AR⊕S) là Noether phải. Suy ra L(AT) là

Noether phải (mệnh đề 2.1.2). Vậy AT là Noether phải.

Tương tự, nếu SS và WR là Noether phải thì BT cũng là Noether phải.

I R V

,

'

Vậy nếu RR, SS, VS, WR là Noether phải thì T là Noether phải.



R

 : V S

(⇒) Ta có các phép nhúng với

I

IV

I



0

0

  

  

L(RR) → L(AT)

'

V

'



' 0

 V W V  0 

  

L(VS) → L(AT)

T là Noether phải nên AT là Noether phải. Suy ra L(AT) là Noether phải.

J W S

,

'

S

Do đó L(RR) và L(VS) là Noether phải. Vậy RR, VS là Noether phải.





R

S

Tương tự ta có với :

0

0

J



J

JS

  

  

L(WR) → L(BT)

0

0

S

'



'

'

S W S

  

  

L(SS) → L(BT)

T là Noether phải nên BT là Noether phải. Suy ra L(BT) là Noether phải.

Vậy SS, WR là Noether phải.

Vậy nếu T là Noether phải thì RR, SS, VS và WR là Noether phải.

0

0

2.1.9 Chú ý:

V W⊗ = và

W V⊗ = .

S

R

 Trường hợp đặc biệt là W = 0. Khi đó

R V

T

0

S

 =  

  

Suy ra θ = 0 và ψ = 0. Khi đó θ, ψ không có tính kết hợp, ta có vành:

28

T thường được sử dụng cho các phản ví dụ.

0

V

 Ta có iđêan:

0

0

  

  

I =

Do I 2 = I.I = 0 nên I là lũy linh bậc 2.

2.1.10 Ví dụ:

Z Q

T

0

Q

 =  

  

Nếu R = Z và V = S = Q thì ta được:

với song môđun ZQQ.

 Do ZZ và QQ là các Noether phải nên T là Noether phải (do mệnh đề 2.1.8)

 Ta có ZZ là Noether trái, nhưng ZQ không là Noether trái, do ZQ không là hữu

hạn sinh nên T không là Noether trái.

 Căn lũy linh của T là tập tất cả các phần tử lũy linh của T (hay còn gọi là căn

0

Q

∈

( N T

)

0

0

  

  

nguyên tố). Ta có:

và không là Noether trái do Q không là Z – môđun trái. Vì vậy N(T) không là

Noether.

2.1.11 Ví dụ:

Q R R 0

  

  

Vành:

là Artin phải nhưng không là Artin trái do QR không là Artin trái.

2.1.12 Định nghĩa:

II A ( )

A

 Với A là iđêan phải của vành R, ta có:

R

R

  

  

T =

cùng với các phép toán của ma trận 2×2 và II(A) = { r ∈ R / rA ⊆ A} là vành

Morita context.

29

 Vành II(A) được gọi là iđêan hóa của A và là vành con lớn nhất của R

chứa A. A là iđêan hai chiều của II(A).

 Vành II(A)/A được gọi là vành riêng của A.

≅ II A A End R A )

) /

(

(

/

 Với phép nhân trái trên môđun R/A, ta có:

Chứng minh:

→

φ :

II A ( )

/

)

=

a

a

( End R A )

( φ



T a

Xét ánh xạ:

→

/

:

T R A a

+

=

=

+ r A

+ ar A

∈ a R ) ( ) ( + a r A

)



R A / ( T r A a

Với:

(do A là iđêan của R)

∀

∈

a b ,

II A (

) :

( ) b

ab

( φ ( φ

+ a b )

( ) ) + = φ φ a ( ) ) ( = φ φ b a

 Ta có:

Vậy φ là đồng cấu vành.

+

=

ar A

0

+ = (do ar A A

+ ∈ ).

)

 Ta chứng minh Kerφ = A(M).

( aT r A

0

∀a ∈ A ta có φ(a) = Ta với

aT = và a ∈ Kerφ.

ar A

ar A

0

+ = ⇒ ∈ với r ∈ R hay

Suy ra

∀a ∈ Kerφ , ta có φ(a) = Ta = 0. Do đó

a ∈ A(M).

Vậy Kerφ = A(M).

/

,

∀ ∈ T r

+

=

=

+ ∈

rr

rA R A

/

( ) End R A ) ( T r A

∃ ∈ r ( + r r A

II A ( ) : )

r

 Ta chứng minh Imφ = End(R/A).

Trong đó Tr là một đồng cấu, do đó Imφ = End(R/A).

≅ II A A End R A )

) /

(

(

/

30

Vậy .

2.1.13 Định lý:

Nếu A là một iđêan phải tối đại của R thì:

i) R là II(A) – môđun phải hữu hạn sinh.

ii) R/A là II(A) – môđun phải, có chuỗi hợp thành độ dài 1 nếu RA = A, và có

chuỗi hợp thành độ dài 2 nếu RA ≠ A.

iii) II(A) là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải.

iv) II(A) là Artin phải nếu và chỉ nếu R là Artin phải.

Chứng minh:

 Nếu RA = A thì (i) – (iv) đều thỏa mãn.

n

1

 Nếu RA ≠ A thì RA = R (do A là iđêan phải tối đại của R).

r a i i

= ∑ , ∀ri ∈ R, ai ∈ A.

= 1

i

n

n

∀ ∈

=

∈

r R r

A

:

,

,

R

i) Do RA = R nên 1 ∈ RA. Ta được

(

)

( r II A i

) rr a i i

∀ ∈ r R a i i

∑

= ∑

= 1

= 1

i

i

R∈ . Vậy R là II(A) – môđun phải hữu hạn sinh.

r 1,... n r

Suy ra .Vì A ⊆ II(A) nên với

ii) Cho B/A là II(A) – môđun con của R/A. Ta được (BA + A)/A ⊆ B/A và là R

– môđun con của R/A. Do A là một iđêan phải tối đại của R nên R/A là trường.

Suy ra (BA + A)/A = 0 (do (BA + A)/A ≠ R/A) hay BA ⊆ A .

≅ II A A End R A )

) /

(

(

/

Vì vậy B ⊆ II(A) (do định nghĩa II(A)) ⇒ B/A ⊆ II(A)/A

với R/A là II(A) – môđun phải nên II(A)/A là đơn Mặc khác

(do định lý 1.1.11). Nên B/A = II(A)/A hoặc B/A = 0.

iii) (⇒) Giả sử II(A) là vành Noether phải. Suy ra R là II(A) – môđun

Noether phải (do(i)). Do đó R là R – môđun Noether phải hay R là vành Noether

phải.

(⇐) Giả sử R là vành Noether phải, B là iđêan phải bất kỳ của II(A). Ta

có: BA ⊆ B ⊆ BR. Do R là vành Noether phải và BA, BR là các iđêan phải của R

nên BR và BA là hữu hạn sinh. Ta được BR và BA đều là II(A) – môđun phải.

Suy ra BR/BA có chuỗi hợp thành hữu hạn trên II(A) (do (ii)).

31

Do đó B/BA cũng có chuỗi hợp thành hữu hạn trên II(A) và B là hữu hạn sinh

Vậy II(A) là Noether phải (do hệ quả 1.1.7).

(iv) (⇒) Giả sử II(A) là vành Artin phải, ta có R là II(A) – môđun Artin phải

(do(i)). Suy ra R là R – môđun Artin phải hay R là vành Artin phải.

(⇐) Giả sử R là vành Artin phải, ta có R là vành Noether phải (hệ quả

1.1.16). Suy ra II(A) là vành Artin phải (do (iii)).

2.1.14 Chú ý:

II A ( )

A

T

R

R

 =  

  

 Nếu A là iđêan phải tối đại của vành Noether phải R, ta có:

Trong đó II(A)II(A), RR, AR là các vành Noether phải. Do R là Noether phải nên

II(A) là Noether phải (do 1.1.13(iii)). Vậy T là Noether phải (do 2.1.7).

A A

 T là iđêan hóa của iđêan phải tối đại:

R R

  

  

của M2(R).

32

2.2. VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG

2.2.1 Định nghĩa:

 Cho R là vành không giao hoán.

=

+

+

+ + ...

( ) f x

n x a n

− 1 n x a n

− 1

xa 1

a 0

n

=

R

i x a i

∀ ∈ a i

∑

=

i

0

Đa thức f(x) của ẩn x trên vành R có sự biểu diễn duy nhất dưới dạng:

( ) deg f x . Khi

Vành R[x] gọi là vành đa thức trên R.

 Nếu an ≠ 0 thì bậc của f(x) được định nghĩa là n, ký hiệu:

đó an được gọi là hệ tử cao nhất của đa thức f (x).

∀

∈

Quy ước: đa thức không có bậc - ∞ và hệ tử cao nhất là 0.

( ) ( ) f x g x ,

[ ] R x

+

≤

deg

, deg

( ) f x

( ) g x

( ) f x

, ta có: 

(

)

{ max deg

} ( ) g x

≠

deg

deg

1)

( ) f x

( ) g x

≤

+

deg

deg

deg

( ) ( ) f x g x

( ) f x

( ) g x

Đẳng thức xảy ra nếu .

(

)

=

ax

,

a R

∀ ∈ thì:

2)

( ) f x

=

=

+

ax

 Nếu

R∈ duy nhất

⇒ ∈ + ax xR R

( ) f x

xa 1

a 0

1,a a 0

=

=

a

, với

( σ

( δ

)

a 1

) a a , 0

Đặt ta được:

ax = xσ (a) + δ (a)

Khi đó σ, δ là các tự đồng cấu của nhóm cộng R+ của R.

 Ta có:

(ab)x = xσ (ab) + δ (ab)

=

+

=

+

+

a

δ a

( a bx

)

( ) b

( σ x

)

) δ σ a

(

( ) b

( ) b

 

 

( ) b +

=

δ a

( ) σ  a x b  ( ) σ σ a x

+ δ ( ) b

( ) =  b  ( ) δ σ + a

σ ax ( ) b

δ a ( ) b

=

= xσ (a)σ (b) + δ (ab) (do σ là tự đồng cấu vành của R)

) ab x

( a bx

)

nên: Do (

33

δ (ab) = δ (a)σ (b) + aδ (b)

Đây là định nghĩa tính chất σ - đạo hàm.

 Chú ý:

σ (1) = 1 và δ (1) = 0.

2.2.2 Ví dụ:

Cho K là trường, R = K[x] là vành đa thức giao hoán của ẩn x và σ là tự

đồng cấu vành của R. Khi đó σ là ánh xạ đồng nhất trên K. ∀f ∈ R, σ - đạo hàm

δ định nghĩa:

δ (x) = f.

2.2.3 Định nghĩa:

 Cho vành R, tự đồng cấu σ và σ - đạo hàm δ , ta xây dựng được vành đa thức. Xét vành E các tự đồng cấu nhóm Abel của RN. Với RN là tập hợp các dãy

=

,...,

,...

,

(

)

(

)

r i

r n

∀ ∈ r R i

r r 1, 0

số:

Khi đó RN gọi là lũy thừa đềcác.

→

R

E

r



T r

Ta có phép nhúng:

N

N

→

=

T R : r (

R (

)

(



r i

) r T i r

) r x . i

với

Với x ∈ E , ta định nghĩa:

(ri)x = (σ (ri-1) + δ (ri)) , với r– 1 = 0.

 S là vành con của E sinh bởi R và x. Với a ∈ R, ta có:

ax = xσ (a) + δ (a)

Mọi phần tử của S có thể được viết dưới dạng:

1, 0, 0,... là phần tử đơn vị của RN.

∑ x iai

) 1, 0, 0,... .

)

)

i

( a=∑ i x a i

Vì: ( là duy nhất với (

34

Vành S được gọi là vành đa thức không đối xứng.

Ký hiệu: S = R[ x;σ,δ ].

Nếu δ = 0 thì S = R[ x ;σ ].

Nếu σ = 1 thì S = R[ x ;δ ].

2.2.4 Chú ý:

 Vành T tự do trên R, sinh bởi phần tử x với hệ thức:

ax = xσ (a) + δ (a) , ∀a ∈ R.

Khi đó mọi phần tử của T có thể được viết dưới dạng: ∑ x iai .

 Ta có toàn ánh:

T → R[ x;σ,δ ]

với xi là R - độc lập trong R[x;σ,δ]. Suy ra xi là R - độc lập trong T.

Vậy T ≅ R[ x;σ,δ ]. Đây là cách mô tả khác của vành R[ x;σ,δ ].

2.2.5 Tính chất:

Nếu ψ : R → S là đồng cấu vành và y ∈ S có tính chất:

ψ (a) y = yψ (σ(a)) + ψ (δ (a)) , ∀ a ∈ R.

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành:

χ : R[ x;σ,δ ] → S

x  χ (x) = y

và sơ đồ sau giao hoán:

R R[ x;σ,δ ]

ψ χ

S

2.2.6 Chú ý:

 Vành đa thức không đối xứng với các phần tử được viết dưới dạng: ∑ ai xi , ∀ai ∈ R

Hệ thức khi đó là:

xa = σ(a)x + δ(a) , ∀a ∈ R.

 Trong trường hợp σ là tự đẳng cấu, ta thu được vành R[x;σ -1,-δ σ-1].

35

2.2.7 Ví dụ:

 Do R[ x;σ,δ ] là tự do nên ta có:

R[ x;σ,δ ] / xR[ x;σ,δ ] ≅ R.

Khi đó R[ x;σ,δ ] / xR[ x;σ,δ ] là vành R – môđun phải. R[ x;σ,δ ] có sự biểu diễn trong EndR+ với các phần tử của R tác động bởi phép nhân phải và hệ thức:

ax = xσ (a) + δ (a) ≡ δ (a) (do xσ (a) ∈ xR[ x;σ,δ ]).

Nên x tác động bởi δ.

 Tương tự, ta có:

R[ x;σ,δ ] / (x – 1)R[ x;σ,δ ] ≅ R

Khi đó R[ x;σ,δ ] / (x – 1)R[ x;σ,δ ] là vành R – môđun phải. R[ x;σ,δ ] có sự biểu diễn trong EndR+ với các phần tử của R tác động bởi phép nhân phải và hệ

=

−

+

+

ax

x

a

a

a

)

( σ

)

( δ

)

=

x

−

≡

a

a

.

( ( ) + δ σ a a x ) ) ( ( − σ a 1 ( ) )( + σ δ

) ( σ 1 )( ) a ) ( σ 1

)

( ∈ − x

) 1

] [ σ δ R x , ;

) ( = ( + + σ δ ( ( do x

)

thức:

Nên x tác động bởi σ + δ.

2.2.8 Chú ý:

+

n

n

=

+

ax

x

a

x

a

+ + ...

a

,

EndR

 Với a ∈ R, ta có:

(

)

(

)

(

)

n α n

− 1 α n

− 1

α 0

∀ ∈ α i

.

Nếu αn (a) ≠ 0 thì axn có bậc n và hệ tử cao nhất là αn(a).

δ − n i

 Với R[ x;σ ] ta có: αn = σ n và αi = 0 với i ≠ n.

α i

  n =   i  

Với R[ x;δ ] ta có: .

2.2.9 Định lý:

Cho S = R[ x;σ,δ ], ta có:

i) Nếu σ là đơn ánh và R là miền nguyên thì S là miền nguyên.

ii) Nếu σ là đơn ánh và R là vành chia thì S là miền iđêan chính bên phải.

iii) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành nguyên tố thì S là vành nguyên tố.

36

iv) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải (hay trái) thì S là vành

Noether phải (hay trái).

Chứng minh:

n

f

i x a i

= ∑ có bậc n , với an ≠ 0, ai ∈ R.

=

0

i

m

g

j x b

j

= ∑ có bậc m , với bm ≠0, bi ∈ R.

=

0

j

k

n m

=

fg

+ + ...

+ + ...

+ + ...

a b x +

(i) ∀ f , g ∈ S = R[x;σ,δ] và f, g ≠ 0. Ta có:

(

a b 0 0

a b 0 k

) a b x 0 k

n m

có bậc m + n và hệ tử cao Suy ra

nhất là anbm. Do an ≠ 0 và bm ≠0 nên anbm ≠ 0 (R là miền nguyên).

Suy ra fg ≠ 0 ∀f, g ∈ S và f, g ≠ 0. Vậy S là miền nguyên.

n

(ii) Giả sử I là iđêan phải của S, I ≠ 0. Khi đó ∃f ∈ I và f ≠ 0 với degf = n.

i x b i

∑ thì f là đa thức lõi khi

=

0

i

Suy ra I chứa đa thức lõi bậc n. (Ví dụ: nếu f =

bn = 1). Với thuật toán chia chứng tỏ I được sinh bởi phần tử lõi có bậc nhỏ nhất

thuộc I. Do đó I là iđêan chính ,∀I ∈ S.

Vậy S là miền iđêan chính bên phải.

m

n

g

j x b

f

j

= ∑ , an, bm ≠ 0.

= ∑ , i x a i

=

=

0

j

0

i

(iii) Với f , g ∈ S = R[ x;σ,δ ], ta có:

Do σ là đơn ánh nên σm(an) ≠ 0. Suy ra σm(an)Rbm ≠0 (do R là vành nguyên tố). Do σ là toàn ánh nên mỗi phần tử của σm(an)Rbm là hệ tử cao nhất của các đa

thức trong fRg. Suy ra fRg ≠ 0 hay fSg ≠ 0. Vậy S là vành nguyên tố.

n

i

,

(iv) Giả sử R là Noether phải. Do σ là tự đẳng cấu nên mỗi phần tử của S

b x i

∈ b R i

∑

=

0

i

có thể viết dưới dạng .

I S , cho In là tập hợp các hệ tử cao nhất và các phần tử trong I có

r

 Nếu

bậc ≤ n. Ta có: In là iđêan phải của R, In gọi là iđêan phải cao nhất thứ n của I.

Do R là vành Noether phải nên In ⊆ In+1.

I

'

37

S với I ⊆ I’ và In = I’n , ∀n ≥ 0. Ta chứng minh: I = I’.

r

 Nếu

Giả sử I ≠ I’, khi đó ∃m ∈ I’\I và m có bậc nhỏ nhất. Suy ra Im ≠ I’m (vô lý).

 Giả sử Lo ⊆ L1 ⊆ … là dãy tăng các iđêan phải của S.

Ký hiệu Lin là iđêan phải lớn nhất thứ n của Li. Xét dãy { Lin / i,n ≥ 0 }.

Ta có: Lij ⊆ Lkm , ∀i ≤ k và j ≤ m. Dãy tăng { Lii / i ≥ 0} các iđêan phải của R

là dừng. Giả sử dãy dừng tại Ljj, ta có:

∀n : 0 ≤ n ≤ j – 1, dãy { Lin / i ≥ 0 } dừng tại kn.

Chọn m = max { j , ko , k1 , … , kj-1 } ta được ∀i ≥ m và n ≥ 0 ta có Lin = Lmn.

Suy ra Li = Lm . Vậy S là Noether phải.

Kết luận: Vậy nếu σ là tự đẳng cấu và R là Noether phải (hay trái) thì S là

Noether phải (hay trái).

2.2.10 Định lý:

R là vành Noether phải, S là vành sinh bởi R và phần tử x sao cho:

Rx + R = xR + R

Khi đó S là vành Noether phải.

Chứng minh:

Do Rx + R = xR + R nên σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải.

Suy ra S là vành Noether phải (do định lý 2.2.9(iv)).

2.2.11 Ví dụ:

1/ Cho K là trường, R = K[y] và σ (f (y)) = f (0).

 Với x ≠ 0 và y ≠ 0, ta có: yx = xσ (y) = x.0 = 0.

Suy ra vành S = R[ x;σ ] không là miền nguyên.

 Với x, y ≠ 0, ta có: ySx ⊆ yxS = 0,

(Sxy)2 = SxySxy = 0.

Suy ra S không là vành nguyên tố, và cũng không là vành nửa nguyên tố.

 Các tổng ∑Sxyi và ∑xiyS là các tổng trực tiếp, suy ra S không là Noether

phải và trái.

2/ Cho K là trường, R = K(y) là trường đa thức hữu tỷ, và hệ thức:

38

σ (f (y)/g (y)) = f (y2)/g (y2), với f, g ∈ K[y].

 Do σ là đơn ánh và K(y) là vành chia nên S = R[ x;σ ] là miền iđêan

phải chính (do 2.2.9(ii)).

∞

n

i

Sxyx

 Cho deg(f/g) = degf – degg. Khi đó, mỗi phần tử của Sx, được viết dưới

i x a i

∑ và hệ tử ai luôn có bậc. Suy ra Sxy ∩ Sx = 0. Vậy tổng

∑

=

=

0

i

0

i

là dạng

m

n

+ + ...

0

trực tiếp. Thật vậy, giả sử ngược lại, ta có:

= với sm,sn ≠ 0.

s xyx m

s xyx n

− n m

∈

= −

∈

Sxy

Sx

xyx

Sxy

Sx

+ + ...

∩ = ⇒ 0

∩ = (mâu 0

∃m < n và si ∈ S:

ms xy

+ 1

s xy m

s m

s xyx n

)

(

Suy ra

thuẫn). Vậy S không là Noether trái.

3/ Cho K là trường, R = K(y) và σ (f (y)) = f (y2). Ta có S = R[ x;σ ] là

n

1n

x

i x yS

vành con của ví dụ 2. Chứng minh trên cho thấy ∑Sxyxi là tổng trực tiếp. Cho

+ ∉ ta được dãy các iđêan phải {An} là tăng nghiêm ngặt.

y A n

A n

= ∑

=

0

i

và

Vậy S không là Noether phải và trái.

2.2.12 Chú ý:

⊂

σ

⊂

2 σ

0

Ker

Ker

...

⊂ mâu thuẫn với R là

Nếu 2.2.9(iv) thỏa mãn với σ là toàn ánh thì σ là tự đẳng cấu. Thật vậy:

Nếu Kerσ ≠ 0 thì ta có dãy vô hạn

Noether phải hoặc trái.

2.3. ĐẠI SỐ WEYL

2.3.1 Định nghĩa:

 K là trường, K - đại số với 2n phần tử sinh x1,…,xn,y1,…,yn và các hệ

thức:

xiyj – yjxi = δij (delta kronecker),

xixj – xjxi = yiyj – yjyi = 0,

được gọi là đại số Weyl thứ n trên K. Ký hiệu: An(K).

Với delta kronecker:

=

1 ,

i

j

39

δ ij

≠

0 ,

i

j

 =  

.

= + 1

= + 1

 Ta có:

x y j

j

y x j

j

x y i i

y x i i

=

hoặc ,

x y i

j

y x j i

, với i ≠ j .

xy

= + 1

yx

 Khi n = 1, A1(K) có hai phần tử sinh là x, y (thay cho x1, y1). Ta có hệ

thức: . Vậy A1(K) không giao hoán.

2.3.2 Chú ý:

→

∂ ∂ /

x K x [ ]

:

K x [ ]

∂

=

f

f

.

(

)



∂ f ∂ x

 Nếu R = K[x] thì ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính:

→

∂ ∂ /

:

,...,

,...,

]

]

[ x K x i 1

x n

x n

f

.



[ K x 1 ∂ f ∂ x i

Nếu R = K[x1,…xn] thì ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính:

 Cho R = K[x1,…xn] là vành đa thức giao hoán. Ta có dãy các vành với

điều kiện:

Ro = R , Ri+1 = Ri[ yi+1; ∂/∂xi+1 ].

Khi đó K - đại số Rn có các phần tử sinh thỏa các hệ thức được định nghĩa trong

đại số Weyl An(K).

 Mặc khác, An(K) có các phần tử sinh thỏa các hệ thức được định nghĩa

trong Rn .

2.3.3 Định lý:

An(K) ≅ Rn .

Chứng minh:

Từ chú ý trên, ta có Rn có các phần tử sinh thỏa hệ thức nên là đại số Weyl

thứ n trên K. Ngược lại, An(K) cũng có các phần tử sinh thỏa hệ thức của Rn.

Vậy An(K) ≅ Rn.

2.3.4 Định nghĩa:

40

a y xα β

K

 Từ chú ý 2.3.2 và định nghĩa 2.2.3, các phần tử của Rn cũng là các phần

αβ ∈ duy nhất,

y

với a tử của An , có thể được viết dưới dạng chuẩn tắc sau: αβ∑

nm n

m y y 1 1

m 2 ... 2

b x yβ α

. với α = (m1,…,mn) , β = (p1,…,pn) và yα ký hiệu

βα ∈ , K

với b  Các phần tử trong 2.2.6 có thể viết dưới dạng: αβ∑

np x . n

p x x 1 1

p 2 ... 2

với α = (m1,…,mn) , β = (p1,…,pn) và xβ ký hiệu

2.3.6 Định lý:

Nếu K là trường có đặc số 0 thì An(K) là miền nguyên Noether đơn.

Chứng minh:

 Ta chứng minh An(K) là miền nguyên Noether.

Ta có: An(K) ≅ Rn (do 2.3.2) và Rn = Rn-1[yn; ∂/∂xn]

R là miền nguyên và do 2.2.9(i) nên R1 là miền nguyên. Suy ra Rn là miền

nguyên (quy nạp theo n). Mặc khác, R là Noether và do 2.2.9(iv) nên R1 là

Noether. Suy ra Rn là Noether (quy nạp theo n).

Vậy An(K) là miền nguyên Noether. (1)

I A K

(

)

 Ta chứng minh An(K) đơn.



n

∀ = i

1,

n

Giả sử và I ≠ 0 ta chứng minh I = An(K). Với c ∈ I và c ≠ 0, ta có:

α β

=

∈

c

,

K

I A K

(

)

(do 2.3.4). ∂c/∂xi ∈ I và ∂c/∂yi ∈ I ,



a y x αβ

a αβ

n

∑

Mặc khác (do c ∈ và 2.3.3).

Theo quy nạp ∂c/∂xi và ∂c/∂yi có hệ số là qaαβ , với q ≠ 0 là số nguyên (do

a y xα β

αβ

charK = 0) nên qaαβ ∈ I. Suy ra aαβ ∈ I.

=∑

Do 1 ∈ An(K) nên 1 . Suy ra 1 ∈ I (do aαβ ∈ I) hay I = An(K).

Vậy An(K) là đơn. (2)

Từ (1) và (2) suy ra An(K) là miền nguyên Noether đơn.

2.3.7 Ví dụ:

 R = K[x1,…,xn] là vành đa thức giao hoán.

41

Từ 2.2.7, ta có K[x1,…,xn] là An(K) – môđun phải với x1,…,xn ∈ R tác

động bởi phép nhân phải và yi tác động bởi ∂/∂xi.

Từ phép lấy vi phân như trong chứng minh của 2.3.5, ta có K[x1,…,xn] là

An(K) – môđun đơn.

 Đây là phép biểu diễn tương ứng của An(K) trên vành của các phép tính

i

n= 1,

đạo hàm trên K[x1,…,xn]. Vành sinh bởi K[x1,…,xn] và phép toán ∂/∂xi với

được gọi là “vành của các phép tính đạo hàm với các hệ tử đa thức”. Đặt

là L.

ϕ :

→ . L

)

( nA K

ϕ=

Ker

Ker

0

 Xét ánh xạ:

Kerϕ= .

)

)

ϕ

( A K n

( A K n

0

nên hoặc Do An(K) là đơn và

Kerϕ= . Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu và An(K) ≅ L.

Do ϕ ≠ 0 nên

2.3.8 Chú ý:

α β

=

∈

c

,

K

a y x αβ

a αβ

∑

∃ ∈

0

= (do charK =

q N qaαβ :

Nếu K là trường, charK = m ≠ 0. Với c ∈ An(K):

≠

Khi đó, ∂c/∂xi và ∂c/∂yi có hệ số là qaαβ . Do đó

( )0

m ix

ix sinh ra iđêan (

)

m). Suy ra m là ước của q và m . Vậy An(K) không là

đơn.

2.3.9 Định nghĩa:

 Nếu R là vành với ánh xạ đồng nhất thì An(R) là vành sinh bởi R và

x1,…,xn,y1,…,yn với các hệ thức:

xir – rxi = yjr – ryj = 0 ∀r ∈ R ,

xiyj – yjxi = δij ,

xixj – xjxi = yiyj – yjyi = 0.

 Từ 2.3.2, ta có An(R) có thể được mô tả qua dãy các vành đa thức không

đối xứng.

2.3.10 Định lý:

42

(i) Nếu R là Noether phải hay miền nguyên thì An(R) cũng là Noether phải

hay miền nguyên.

(ii) Nếu R là vành chia có đặc số 0 thì An(R) là đơn.

Chứng minh:

(i) Ta có An(K) ≅ Rn (do 2.3.2) với Ro = R , Ri+1 = Ri[ yi+1; ∂/∂xi+1 ].

 Nếu R là miền nguyên thì R1 là miền nguyên (do 2.2.9(i)). Suy ra Rn là miền

nguyên (quy nạp theo n). Vậy An(K) là miền nguyên.

 Nếu R là Noether phải thì R1 là Noether phải (do 2.2.9(iv)). Suy ra Rn là

(

)

Noether (quy nạp theo n). Vậy An(K) là Noether phải.



I A R n

∀ = i

1,

n

(ii) Giả sử và I ≠ 0. Ta chứng minh I = An(R).

=

∈

c

,

K

I A K

(

)

(do 2.3.4). Với c ∈ I và c ≠ 0 ta có ∂c/∂xi ∈ I và ∂c/∂yi ∈ I,



α β a y x a αβ

αβ

n

∑

a y xα β

(do c ∈ và 2.3.3). Suy ra qaαβ ∈ I hay Trong đó

αβ

=∑

. Suy ra 1 ∈ I (do aαβ ∈ I) hay I = aαβ ∈ I. Do 1 ∈ An(K) nên 1

An(K). Vậy An(K) là đơn.

2.3.11 Định nghĩa:

→

∂ ∂ /

:

,...,

,...,

)

)

( x K x i 1

x n

x n

.

f



( K x 1 ∂ f ∂ x i

 R = K(x1,…xn) là trường đa thức hữu tỷ, ∂/∂xi là ánh xạ tuyến tính:

Ta có dãy các vành với điều kiện:

Ro = R , Ri+1 = Ri[ yi+1; ∂/∂xi+1 ].

Khi đó vành Rn thu được là Bn(K).

 Do K[x1,…,xn] ⊂ K(x1,…xn) nên ta có phép nhúng:

An(K) → Bn(K).

2.3.12 Định lý:

(i) Bn(K) là miền nguyên Noether, nếu K có đặc số 0 thì Bn(K) là đơn.

(ii) B1(K) là miền iđêan chính phải và trái.

Chứng minh:

43

(i) Bn(K) là miền nguyên Noether nên An(K) là miền nguyên Noether

(

)



I B K n

Giả sử và I ≠ 0. Ta chứng minh I = Bn(K).

(

)



I B K n

α β

=

∈

c

,

K

a y x αβ

a αβ

∑

a y xα β

αβ

Tương tự 2.3.5 ta được c ∈ nên:

=∑

Trong đó ∂c/∂xi , ∂c/∂yi có hệ số là qaαβ ∈ I. Do đó aαβ ∈ I, suy ra 1

∈ I hay I = Bn(K). Vậy Bn(K) là đơn.

(ii) Ta có Ro = K(x1,…,xn), R1 = Ro[y1;∂/∂x1] suy ra B1(K) ≅ R1 (do định lý

2.3.2). Do Ro = K(x1,…,xn) là vành chia nên R1 là miền iđêan chính bên phải

(trái) (do 2.2.9(iii)). Suy ra R1 là miền iđêan chính phải và trái.

Vậy B1(K) là miền iđêan chính phải và trái.

2.3.13 Ví dụ:

Nếu K là trường có đặc số 0 thì vành: S = K + xA1(K) là miền nguyên

Noether có ba iđêan là 0, xA1(K) và S.

Chứng minh:

 ∀r ∈ A1(K), ta có r = p + xs với s ∈ A1, p ∈ K[y], và xp – px = dp/dy

+

⊆

 Giả sử p + xs ∈ II(xA1), với II(xA1)={ r ∈ A1 / rxA1 ⊆ xA1 } và xA1 là

) p xs xA 1

xA 1

pxA 1

xA⊆ 1

nên . iđêan phải của vành A1. Khi đó (

Suy ra px = xp hay dp / dy = 0. Vậy p ∈ K.

Giả sử p ∈ K , ta được dp / dy = 0. Suy ra p + xs ∈ II(xA1).

Vậy p + xs ∈ II(xA1) nếu và chỉ nếu p ∈ K. Suy ra II(xA1) = K + xA1(K) = S.

 Ta có xA1 là iđêan phải tối đại của A1. Do K là trường có đặc số 0 nên

A1(K) là miền nguyên Noether phải (do 2.3.5). Suy ra II(xA1) là miền nguyên

Noether phải (do 2.1.13).

Vậy S là miền nguyên Noether phải (do cmt) . (1)

 Ta có A1x là iđêan trái tối đại của A1 .

Tương tự ta có II(A1x) = K + A1x nên II(A1x) là miền nguyên Noether trái (do

2.3.5 và 2.1.13). Suy ra K + A1x là miền nguyên Noether trái.

44

→

)

)

( B K 1

1

b

( B K 1 x bx−



 Ta có tự đẳng cấu:

Suy ra đẳng cấu: K + xA1 → K + A1x .

Hay K + xA1 ≅ K + A1x. Do đó K + xA1 là miền nguyên Noether trái.

Vậy S là miền nguyên Noether trái. (2)

Từ (1) và (2) suy ra S là miền nguyên Noether.

A và

S và I ≠ 0. Ta có I ⊇ xA1IxA1 . Do A1 là đơn,

A IxA 1 1

1

 Giả sử I

A1IxA1 ≠ 0 nên A1IxA1 = A1 . Vậy I ⊇ xA1 .

Ta có xA1 ⊂ I ⊂ S. Do S = K + xA1(K) nên S/xA1 ≅ K . Suy ra S/xA1 là

trường và xA1 là iđêan tối đại của S. Do đó I = xA1 hoặc S (do xA1 ⊂ I ⊂ S).

Vậy S có ba iđêan là 0, xA1(K) và S.

2.3.14 Chú ý:

Trái lại, xét vành đa thức giao hoán K[x,y]. Vành con R = K + xK[x,y] tương tự không là Noether, với R tác động K trên xK[x,y]/x2K[x,y] là vô hạn

chiều trên K.

45

2.4. CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT

2.4.1 Định nghĩa:

Cho vành R và tự đồng cấu σ : R → R. S là vành sinh bởi R và x. Mọi

∞

∈

,

R

phần tử của S là các chuỗi lũy thừa có dạng:

i x a i

a i

∑

=

0

i

,

và thỏa hệ thức: ax = xσ(a).

Khi đó S được gọi là vành các chuỗi lũy thừa không đối xứng.

Ký hiệu: S = R[[x;σ]].

2.4.2 Chú ý

∞

∞

∈

,

,

Cho vành R, tự đồng cấu σ và σ - đạo hàm δ, ta có chuỗi lũy thừa:

i x b i

a b R i i

∑

∑ và i x a i

=

=

0

0

i

i

.

Khi đó phép nhân hai chuỗi lũy thừa thu được tổng vô hạn các phần tử của R là các hệ số của xi.

2.4.3 Định nghĩa:

 Cho vành R và tự đẳng cấu σ. S là vành sinh bởi R, x và x-1. Mọi phần tử

∈

,

R

của S là các đa thức có dạng:

i x a i

a i

∑

∈ i Z

.

Trong đó có hữu hạn hệ số ai = 0 và thỏa hệ thức:

ax = xσ(a).

1

;

Khi đó S được gọi là vành đa thức Laurent không đối xứng.

S R x x σ−    . =  ,

Ký hiệu:

2.4.4 Định nghĩa:

Cho vành R và tự đẳng cấu σ. S là vành sinh bởi R, x và x-1. Mọi phần tử

của S có dạng:

∑ . i x a i

∈ i Z

46

Với hữu hạn n ∈ N: a-n = 0 và thỏa hệ thức:

ax = xσ(a).

Khi đó S được gọi là vành các chuỗi lũy thừa Laurent không đối xứng.

Ký hiệu: S = R[[ x, x -1; σ ]].

2.4.5 Định lý:

Cho R là vành với tự đẳng cấu σ , cho S = R[x,x-1,σ] hoặc R[[x;σ]] hoặc

R[[x,x-1;σ]] ta có:

i) Nếu σ là đơn ánh và R là miền nguyên thì S là miền nguyên.

ii) Nếu σ là đơn ánh và R là vành chia thì S là miền iđêan chính bên phải.

iii) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành nguyên tố thì S là vành nguyên tố.

iv) Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải (trái) thì S là vành

Noether phải (trái).

Chứng minh:

Định lý này được suy ra từ định lý 2.2.9 và đây là một định lý quan trọng.

47

2.5. VÀNH NHÓM

2.5.1 Định nghĩa:

 Cho vành R và nhóm G. Vành nhóm RG được định nghĩa là R – môđun

phải tự do với cơ sở là các phần tử của G, có hai phép toán cộng và nhân trong

đó phép nhân được định nghĩa:

(g1r1)(g2r2) = (g1g2)(r1r2) , gi ∈ G, ri ∈ R,

+

=

+

∀

r

,

,

,

,

(

)

)

)

g r 1 1

g r 2 2

( g r r 1 1

( g r r 2

2

∈ ∈ ∀ . , g g G r r r R 1

2

2

1

n

=

=

∈

∈

RG

x

,

g G r R ,

và tính chất song tuyến tính:

g r i i

i

i

∑

=

0

i

  

  

m

n

=

∈

=

y

RG

x

RG

 Ta có:

' g r j

' j

∑

∈∑ g r i i

=

= 1

j

0

i

n

m

=

=

xy

g r i i

' g r j

' j

g g i

' j

r r i

' j

(

)(

)

∑

∑

∑

= 1

= 1

i

j

, i j

  

    

  

và , ta có: Với

2.5.2 Tính chất:

 Tồn tại phép nhúng:

G → RG và R → RG.

 RG có tính chất phổ dụng sau: Cho vành S, ta có đồng cấu vành:

ψ : R → S.

Gọi L là nhóm chứa phần tử đơn vị của S, ta có đồng cấu nhóm:

χ : G → L,

sao cho:

ψ(r)χ(g) = χ(g)ψ(r) , r ∈ R, g ∈ G.

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành:

ξ : RG → S,

sao cho:

ξ(r) = ψ(r) và ξ(g) = χ(g).

48

=

G

x y z , ,

2.5.3 Ví dụ:

với hệ thức: (i) Cho G là nhóm Hensenberg rời rạc:

xyx-1y-1 = z và z là tâm.

− 1

− 1

,

z z ,

;

 ≅  RG R y y

   

   

− 1   , x x σ ,

Khi đó:

=

G

x y ,

với σ(y) = z-1y và σ(z) = z.

với hệ thức: (ii) Cho G là nhóm nhị diện vô hạn:

x2 = 1 = (xy)2.

− 1

2

≅

−

RG R y y

,

Khi đó:

[

] ( xσ x ; /

) 1

 

 

,

với σ(y) = y -1 (vì x 2 – 1 là iđêan sinh bởi phần tử tâm x 2 – 1).

2.5.4 Định nghĩa:

 Cho vành R, nhóm G và AutR là nhóm các tự đẳng cấu vành của R.

→

ϕ :

G

AutR ϕ

g ( )

g



Đồng cấu:

→

R

( ϕ

) g R :

g

=

r

r

( ϕ

)( ) g r



Với:

 R - môđun phải tự do có cơ sở là các phần tử của G và phép nhân được

định nghĩa:

(hr)(gs) = (hg)(rgs) với g, h ∈ G và r, s ∈ R ,

được gọi là vành nhóm không đối xứng. Ký hiệu: S = R # G.

gr g

∑ với rg = 0, ∀g ∈ G hữu hạn.

∈ g G

 Mỗi phần tử của R # G có dạng:

s g g

∑ với sg = 0, ∀g ∈ G hữu hạn.

∈ g G

Ngoài ra các phần tử của R # G còn được biểu diễn ở dạng:

49

 G là nhóm con của nhóm có phần tử đơn vị của R # G. R là vành con

của R # G. Vành nhóm thông thường thu được khi ϕ (g) = 1, ∀g.

2.5.5 Ví dụ:

(i) Nếu G = {xn / n ∈ Z} ≅ Z và ϕ(x) = σ. Khi đó:

R # G = R[ x,x-1;σ ],

với R[ x,x-1;σ ] là vành đa thức Laurent không đối xứng.

(ii) Cho trường k, K là trường con của k. Nhóm các K – tự đẳng cấu được

gọi là nhóm Galois của k trên K, ký hiệu là G. Khi đó ta có K # G là vành nhóm

không đối xứng.

2.5.6 Tính chất:

 R # G có tính chất phổ dụng: Cho vành S, ta có đồng cấu vành:

ψ : R → S.

Gọi L là nhóm chứa phần tử đơn vị của S, ta có đồng cấu nhóm:

χ : G → L ,

sao cho:

ψ(r)χ(g) = χ(g)ψ(rg) , ∀r ∈ R, g ∈ G.

Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành:

ξ : RG → S ,

sao cho:

ξ(r) = ψ(rg) và ξ(g) = χ(g).

 Nếu S = EndR+ , ta có:

ξ : R # G → S = EndR+ ,

sao cho:

ξ(g) = ϕ (g) và ξ(r) = Tr .

+

T R : r

x

xr

.

+→ R = xT r

Trong đó:

50

 ξ là đơn ánh khi bị thu hẹp đến R. R # G được xem là vành các phép

toán tự đẳng cấu.

2.5.7 Chú ý:

ϕ

→

: H

h

AutN ( ) ϕ h



 Cho N, H là các nhóm. Ta có đồng cấu nhóm:

ϕ

→

N

( ) h N :

ϕ

=

n

n

.h

( )( ) h n



với:

Tích nửa trực tiếp G là HxN với phép nhân:

(f,n)(h,m) = ( fh , nhm ) ,∀f, h ∈ H, n, m ∈ N.

H

G

N

1

 G là tích trực tiếp của N và H khi và chỉ khi tồn tại dãy khớp ngắn là

→ → → → . Khi đó, ϕ được mở rộng:

chẻ: 1

ϕ : H → AutRN .

Vành nhóm RG có thể được đồng nhất với RN # H.

=

/

G

2.5.8 Định nghĩa:

∈ đẳng cấu với tập G sao cho:

vị  Cho vành R và nhóm G. Vành S chứa R và chứa tập hợp có phần tử đơn {

} g g G

S= 1

G

(i) S là R - môđun phải tự do với G là cơ sở và 1 .

g R Rg= 1 1

(ii) ∀g1, g2 ∈ G, ta có:

= g g R g g R 1

2

2

1

.

Khi đó S được gọi là tích chéo của R và G. Ký hiệu: R*G.

 Từ (ii) ta có: S là R - môđun trái tự do. Nếu trong phép cộng có tính

g r 1

r g= 1

,∀r ∈ R, g ∈ G . Khi đó S được gọi là vành nhóm xoắn. chất:

 Nếu N là nhóm con của G thì R*N là nhóm con của R*G.

51

2.5.9 Bổ đề:

(i) Cho X ⊆ G là tập các lớp đại diện của G - môđun N. Khi đó R*G là R*N -

môđun tự do sinh bởi X .

(ii) Nếu N là nhóm con tầm thường của G và H = G/N thì R*G ≅ (R*N)*H.

=

X

∈ x x X

/

Chứng minh:

. Vành R*G chứa (i) R là vành, G là nhóm và X ⊆ G. Ta có

{

}

R*N và X . Từ định nghĩa suy ra R*G là R*N - môđun tự do sinh bởi X .

1

G

H

N

1

→ → → → . Khi đó ϕ được mở rộng:

ϕ → : H

AutRN

(ii) Ta có H = G/N và (R*N)*G/N = R*G (hiển nhiên). Dãy khớp ngắn là chẻ:

.

Suy ra RG ≅ RN*H (do (ii)). Do đó R*G ≅ (R*N)*H.

Hơn nữa, ta được:

R # G ≅ (R # N)*H.

=

G

x y z , ,

2.5.10 Ví dụ:

(i) Cho G là nhóm Heisenberg rời rạc: với hệ thức:

z=

xyx-1y-1 = z và z là tâm.

Nếu N thì H = G/N ≅ Z 2.

≅ KG K z

2* Z

Từ bổ đề 2.5.9 suy ra:

.

Khi đó: xmyn ∈ KG với (m,n) ∈ Z 2.

n    2  

=

=

1,

(ii) Cho số nguyên dương n, chọn các phần tử λij ∈ K và λij ≠ 0.

λ λ λ− 1 ij

ii

ji

=

,...,

. Với 1 ≤ i < j ≤ n, ta có:

− 1 x x ,n n

1

− 1  S K x x 1, 

  với hệ thức:

Xét K - đại số

xi xj = λij xj xi .

x ∈ S với (m1,…,mn) ∈ Zn. Ngoài ra, S còn được xem

m x 1 ... 1

nm n

Khi đó S = K*Zn và

là vành đa thức Laurent không đối xứng lặp n lần trên K:

=

,

...

− 1 x x , n n

σ ; n

1

− 1 x x , 2 2

σ ; 2

− 1  S K x x  1

   

 

 

  .

52

2.5.11 Bổ đề:

Cho vành R, nhóm G và nhóm con N có chỉ số hữu hạn. Nếu R*N là vành

Noether phải thì R*G cũng là vành Noether phải.

Chứng minh:

Từ 2.5.9 suy ra R*G là R*N - môđun tự do. Do N là nhóm con của G nên

R*N là vành con của R*G. Do N có chỉ số hữu hạn nên R*G là hữu hạn sinh.

Ngoài ra R*N là vành Noether phải nên R*G là vành Noether phải (do 2.1.3).

2.5.12 Mệnh đề:

Cho R là vành, G là nhóm và nhóm con N sao cho G/N là cyclic vô hạn.

Khi đó:

(i) R*G ≅ (R*N)[x,x-1;σ] với mọi tự đẳng cấu σ của R*N.

(ii) Nếu R*N là vành Noether phải thì R*G là vành Noether phải.

=

G

/

Chứng minh:

(i) Chọn x ∈ G sao cho xN sinh G/N. R*G có cơ sở là

{

} ∈ . g g G

→

G

R G *

x

x

.



n

n

n = x R x R

n

,

x

/

Ta có:

n Z∈ sinh R*G và R*G là

∀ . Do 2.5.9(i) nên {

Do 2.5.8(ii) nên

}

=

*

( x R N *

)

(

) R N x

. R*N - môđun tự do. Vì xN = Nx nên từ 2.5.8(ii) suy ra

→

σ

:

R N *

R N *

−

=

σ

y

y ( )

y x

.



Đặt tự đẳng cấu:

( ) 1 x

−

≅

R G *

*

;

(

)

. Khi đó:

( ) 1

 R N x x σ ,  

  

−

−

≅

*

;

R G *

*

;

(ii) Do 2.4.5(iv) nên σ là tự đẳng cấu và R*N là vành Noether phải. Suy ra

(

)

(

)

là vành Noether phải. Ngoài ra .

( ) 1

( ) 1

 R N x x σ ,  

  

 R N x x σ ,  

  

53

Vậy R*G là vành Noether phải.

2.5.13 Định nghĩa:

=

1

= G G

 Nhóm đa cyclic hữu hạn là nhóm G với dãy hữu hạn:

...  

G G  1

o

n

.

Trong đó Gi là nhóm con của Gi+1 và Gi+1/Gi là cyclic vô hạn (phần tử cuối cùng

là Gn/Gn-1).

2.5.14 Định lý:

Nếu R là vành Noether phải và G là nhóm đa cyclic hữu hạn thì R*G là

vành Noether phải.

Chứng minh:

=

1

= G G

 Do G là nhóm đa cylic hữu hạn nên G có dãy hữu hạn:

...  

G G  1

o

n

.

Do Go là nhóm con của G1 nên R*Go là nhóm con của R*G1.

Ta có G1/Go là cylic vô hạn (do định nghĩa) suy ra R*G1 là vành Noether

phải (do R*Go = R là vành Noether phải) (mệnh đề 2.5.12(ii)).

 Thực hiện quy nạp ta được:

R*Gn-1 là nhóm con của R*Gn , Gn/Gn-1 là cylic vô hạn , và R*Gn-1 là vành

Noether phải. Vậy R*Gn = R*G là vành Noether phải (mệnh đề 2.5.12(ii)).

Chú ý:

Trong trường hợp đặc biệt ZG là Noether suy ra G là đa cyclic hữu hạn.

54

KẾT LUẬN 

Bằng các vật liệu chính là: ma trận, đa thức một biến và nhiều biến, vành

nhóm chúng ta đã xây dựng được một số hình ảnh và ví dụ cụ thể vể lớp các

vành Noether không giao hoán, và chúng ta có được một số kết quả như sau:

- Vành các ma trận cấp n x n trên R, Mn(R) là Noether phải nếu và chỉ nếu

R là vành Noether phải.

- Nếu R là vành con của S, với SR là vành R – mô đun, SR hữu hạn sinh và

R là vành Noether phải thì S là vành Noether phải.

- R là vành Noether phải, S là vành sinh bởi R và phần tử x sao cho:

Rx + R = xR + R .

Khi đó S là vành Noether phải.

- K là trường có đặc số 0 thì đại số Weyl An(K) là miền nguyên Noether

đơn.

- Nếu K là trường có đặc số 0 thì vành S = K + xA1(K) là miền nguyên

Noether có ba iđêan là 0, xA1(K) và S.

1;σ] hoặc R[[x;σ]] hoặc R[[x,x-1;σ]] ta có:

- Cho R là vành với tự đẳng cấu σ và cho S = R[ x;σ,δ ] hoặc S = R[x, x-

i)Nếu σ là đơn ánh và R là miền nguyên thì S là miền nguyên.

ii)Nếu σ là đơn ánh và R là vành chia thì S là miền iđêan chính bên phải.

iii)Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành nguyên tố thì S là vành nguyên tố.

iv)Nếu σ là tự đẳng cấu và R là vành Noether phải (trái) thì S là vành

Noether phải (trái).

- Cho vành R, nhóm G và nhóm con N có chỉ số hữu hạn. Nếu R*N là

vành Noether phải thì R*G cũng là vành Noether phải.

55

- Cho R là vành, G là nhóm và nhóm con N sao cho G/N là cyclic vô hạn.

Khi đó:

i)R*G ≅ (R*N)[x,x-1;σ] với mọi tự đẳng cấu σ của R*N.

ii) Nếu R*N là vành Noether phải thì R*G là vành Noether phải.

Các kết quả của lớp các vành Noether không giao hoán trong luận văn chỉ

mới là các kết quả ban đầu. Do đó còn khá nhiều vấn đề về lớp các vành

Noether không giao hoán còn chưa được khai phá, nghiên cứu. Tôi hy vọng sẽ

được tiếp tục nghiên cứu theo hướng này trong thời gian tới.

56

TÀI LIỆU THAM KHẢO



Tiếng việt:

[1] Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà

Nội.

[2] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng đều, Nhà xuất bản Đại

học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh.

[3] Đậu Thế Cấp (2003), Cấu trúc đại số, Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội.

Tiếng anh:

[4] J.C.McConnell and J.C.Robson (2000), Noncommutative Noether Rings,

American Mathmatical Society, Providence,Rhode Island.

[5] I.N.Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association

of America, United States of America.

[6] I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Perseus

Books, Cambridge, Massachusetts.

[7] David Cock (2004), The Weyl Algebras, School of Mathematics, The

University of New South Wales.