Trang chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Bài tập cơ bản và nâng cao

5 trang

479 lượt xem

Lượng giác: Định lý De Moivre

Abraham de Moivre (1667-1754) được sinh ra ở Pháp, nhưng đã trốn sang Anh năm 1688, sau khi bị cầm tù vì niềm tin tôn giáo

ng Toán trang

Ken c a Ph ủ

ườ

L

ng giác: Đ nh lý De Moivre

ượ

ị

c sinh ra ở ượ

ủ ị ầ

ộ

i Pháp) ỏ ượ ậ ạ

ấ ắ ạ ỉ ư o r thoát kh i cu c s ng c a ông v đói nghèo, đ t thu nh p ít ộ ủ ớ

ấ

ứ ủ Jacques Bernoulli, ông không bao gi ộ

t ươ ặ ờ

ề

cho x p x th a đã đ c quy cho nh ng ng ữ t đ n tr c bi ế ế i khác (Ví c đó c a De ủ ượ ỉ ừ ườ ướ ứ ủ ượ ấ

Abraham de Moivre (1667-1754) đ Pháp, nh ng đã tr n sang Anh ư ố năm 1688, sau khi b c m tù vì ni m tin tôn giáo c a mình. ọ M t nhà toán h c ề ộ xu t s c, ông đã không th đ t đ c m t cu c h n đ i h c (vì ông đ c sinh ộ ẹ ạ ọ ể ạ ượ ra t ỏ i ộ ố ề ư Ông là b n bè v i Sir Isaac Newton và Edmund Halley ch nh là m t gia s . ạ c b u vào H i Hoàng gia (1656 - 1742), đ Anh, và đ các Vi n Hàn lâm ệ ể ở ộ ượ ầ Paris và Berlin, nh ng b t ch p s h tr c a Leibniz l n (1646 - ớ ấ ự ỗ ợ ủ ư ộ c m t cu c đ t đ 1716), m tộ th c a ờ ạ ượ h n đ i h c và qua đ i trong ệ ố nghèo. M c dù v y, ông đã phát hi n ng đ i ậ ẹ ạ ọ nhi u trong toán h c, m t s trong đó đ ộ ố ọ d :ụ Công th c c a Stirling Moivre).

ớ ồ ằ ề

ề ứ ể ị ữ ư ầ

ạ ố ể ả

c m r ng sau đó b t đ u v i các ắ ầ ượ ớ

ự ế

ứ ượ ư ộ ố ộ

Đi u này đ ng trang v i các b ng ch ng v Moivre Đ nh lý De, vv Nó có công ứ th c đ tính toán các cô sin và sin tr c ti p, nh ng nh ng yêu c u thêm thao ự ế tác đ i s , đ gi m sin trong công th c cô sin, và các cosines trong công th c ứ ứ cô sin , n i mà các sin.Công trình này đ ơ ế ự công th c cũng xu t phát đ tính toán tr c ti p các h s c a m t th l c ộ ấ ệ ố ủ đ c đó, m t s ộ ỗ Tr i. i l ướ ng pháp Chebyshev. trang, đ c p d c đ a ra trong m t m r ng cho cho cos nx nx và t i đây, đ i phó v i các ph ở ộ ể ở ộ ố ề ậ ướ ươ ớ

Xem thêm

ng pháp c a Chebyshev ủ ươ

ế

• Ph • Multiple Angles Cosines • Multiple Angles Sines • Multiple Angles ti p tuy n ế • Đ nh lý de Moivre m r ng ở ộ ị

N i dung l ng giác ộ ượ

N i dung trang

ộ

ứ ủ

1. De Moivre c a Công th c cho Angles Nhi u ề ả 2. Gi 3. B ng ch ng c a c m ng ủ ả ứ ằ a. Không âm n b. Tiêu c c nự

i thích ứ

De Moivre c a Công th c cho Angles Nhi u

ứ

ủ

ề

c g i là công th c De Moivre, rõ ràng bi ế

rõ ràng th hi n trong bi u m u này b i anh ta. Sau đây là ngày nay đ ượ ọ Moivre, nh ng không bao gi ờ ư ể ẫ t là De ở ứ ể ệ

[1,1]

n i mà tôi = √ (-1) ơ

ng đ ng h , cho cô sin, ọ ự ủ ả ươ ươ ọ

Ch n ra nh ng ph n th c c a c hai bên và t chúng tôi nh n đ c: ữ ầ ậ ượ

ng h p k, m t s nguyên không âm, là 2 ° p, nhi m kỳ PTH, p = 0, 1, 2 ..., ộ ố ệ ợ

[1.2] Tr ườ và k ≤ n

Đ i v i sin, chúng ta th y: ố ớ ấ

ng h p k, m t s nguyên không âm, là 1 +2 · p, nhi m kỳ PTH, p = 0, 1, ợ ộ ố ệ

[1,3] Tr ườ 2 ..., và k ≤ n

ề

ằ ể ử ụ ế ộ

ng t Chúng ộ ủ ở ộ ớ ậ ưở ả ượ ộ

Chúng tôi có th s d ng công th c này đ tìm nhi u góc đ c a cô sin và sin ể ứ b ng cách liên k t các b ph n th c s c a tay bên ph i, m r ng v i ớ ự ự ủ ng v i sin này. các đ nh lý nh th c tôi đ a ra ví d v ậ ị ứ , v i cosin và các b ph n t ớ . ụ ề m t trang sau ị ư ộ

ộ ườ

ệ t c các s nguyên n.Trên th c t ng h n ch , mà công ế ạ ồ ầ ộ ố nó là s th t trong m t b i ự ậ ự ế

Trên trang này, chúng tôi th c hi n m t yêu c u b i th ự th c đúng cho t ố ấ ả ứ c nh r ng h n, cho các s ph c t p. ố ứ ạ ộ ả ơ

Gi

i thích

ả

c l y c m h ng t De Moivre, đ xây d ng: ượ ấ ả ứ ừ ự ể

Leonhard Euler (1707-1783), đ [2,1]

Vì

[2,2]

-1 ) Chúng tôi có th thay th ix cho x (n i mà tôi = √ ế ể ơ

[2,3]

4 b i 1, vv: Thay th iế 2 c a -1, và tôi ủ ở

[2,4]

Phân nhóm các ph n th c và ph n o: ầ ầ ả ự

[2,5]

ự ở ộ ủ ứ ầ

i, vì v y: Chúng tôi l u ý các dòng đ u tiên là s m r ng c a cos x, và các i th hai x · i l t ộ ỗ ư ậ

(Đó là nh ng gì Euler tuyên b ) ố ữ

ằ ứ ệ

B ng cách nâng cao e ix cho n đi n, chúng tôi l u ý, trong hai hình th c tùy ư thu c vào cách th c chúng tôi nhóm các ch s : ỉ ố ứ ộ

đ nh m r ng trên đây cho e ị ở ộ ủ ứ ị

ix , sin x, cos x, vv (trong tính toán Trong đó, gi ả ị s d ng ch ng minh c a Đ nh lý Maclaurin), chúng tôi đã ch ng minh Đ nh ử ụ ứ lu t De Moivre: ậ

■

B ng ch ng c a c m ng

ủ ả ứ

ứ

ằ

Không âm n

Chúng tôi mu n th hi n b ng quy n p toán h c ọ ể ệ ằ ạ ố

[1.1, l p đi l p l i] ặ ạ ặ

Tr ng h p n là m t s t nhiên ườ ộ ố ự ợ

i l ː ộ ỗ

Khi n = 1, thì: cos x + i sin x = (x cos + i t Đó là s th t, do đó, đ nh lý đúng v i n = 1. ị ː ự ậ i x) ớ

ố ớ ứ

ằ k [3,1]. i x) Đ i v i n = k, v i k là m t s nguyên không âm, b ng công th c, chúng ta có i l cos kx + i t ː ộ ỗ ớ ộ ố i kx = (cos x + i t i l ː ộ ỗ

ớ ả ử ằ

i x) s r ng đó là đúng v i k = n, sau đó khi n = k +1: Gi cos (k +1) x + i t i l i (k +1) x = ː ộ ỗ i x) [3,2] i l i kx) (cos x + i t i l (Cos kx + i t ː ộ ỗ ː ộ ỗ ng trình 3,1 c a (cos x + i t b ng cách nhân ph ủ ươ i l ː ộ ỗ ằ

ấ

ng trình 3,2 chúng tôi tìm th y: i l i x + i t i l i kx · cos x + i cos kx x · i t ộ ỗ ộ ỗ i l ː ộ ỗ ː

i · kx x + i t i kx · cos x + i cos kx x · t i l i l i l ː ộ ỗ ː ộ ỗ i l i i t ộ ỗ ộ ỗ

i l ː ộ ỗ

Nhân ra ph ươ = Cos kx · cos x + i 2 kx · · t t i i l ộ ỗ = Cos kx · cos x-t [vì i 2 =- 1] = Cos (k +1) x + i t b i các ứ ợ i (k +1) . công th c h p ch t góc ấ ở

Vì nó đúng ậ ứ ế ớ

Vì v y, n u công th c đúng cho k = n, nó cũng đúng v i k = n +1. v i n = 1, sau đó nó cũng đúng v i n t ớ t c ấ ả ớ

■