Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 12
download

Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

A. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.1 ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn (ổn định BIBO – Bounded Input Bounded Output). Ta đã biết hệ thống điều khiển liên tục ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do quan hệ giữa biến z và biến s là z = eTs nên s nằm bên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

276 CHÖÔNG 7 8 Chöông PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC A. PHAÂN TÍCH HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 8.1 ÑIEÀU KIEÄN OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ RÔØI RAÏC Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh neáu tín hieäu vaøo bò chaën thì tín hieäu ra bò chaën (oån ñònh BIBO – Bounded Input Bounded Output). Ta ñaõ bieát heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc oån ñònh neáu taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc. Do quan heä giöõa bieán z vaø bieán s laø z = eTs neân s naèm beân traùi maët phaúng phöùc töông ñöông vôùi z naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. Do ñoù heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc oån ñònh neáu taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng ñeàu naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. Heä thoáng rôøi raïc oån ñònh ⇔ z < 1 (8.1) Mieàn oån ñònh Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng lieân tuïc cuûa heä thoáng rôøi raïc
277 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Caàn nhôù - Heä thoáng rôøi raïc cho bôûi sô ñoà khoái Phöông trình ñaëc tính laø: 1 + GH ( z ) = 0 (8.2) - Heä thoáng rôøi raïc cho heä phöông trình bieán traïng thaùi  x( k + 1) = Ad x( k) + Bd r( k)   c( k) = Cd x( k) Phöông trình ñaëc tính laø det ( zI − Ad ) = 0 (8.3) 8.2 TIEÂU CHUAÅN ROUTH - HURWITZ MÔÛ ROÄNG - Tieâu chuaån Routh–Hurwitz cho pheùp ñaùnh giaù phöông trình ñaïi soá ao xn + a1 xn−1 + L + an−1 x + an = 0 coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc hay khoâng. - Ta ñaõ söû duïng keát quaû naøy ñeå ñaùnh giaù nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính cuûa heä lieân tuïc ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an = 0 . Neáu phöông trình treân coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc thì heä lieân tuïc khoâng oån ñònh. - Khoâng theå söû duïng tröïc tieáp tieâu chuaån Routh–Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc vì mieàn oån ñònh cuûa heä rôøi raïc naèm beân trong ñöôøng troøn ñôn vò. - Muoán duøng tieâu chuaån Routh-Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc ta phaûi thöïc hieän pheùp ñoåi bieán w+1 z +1 ⇔ z= w= w −1 z −1 Vôùi caùch ñoåi bieán nhö treân, mieàn naèm trong voøng trong ñôn vò cuûa maët phaúng z töông öùng vôùi nöûa traùi cuûa maët phaúng w. AÙp duïng tieâu chuaån Routh-Hurwitz ñoái vôùi phöông trình ñaëc tính theo bieán w: neáu khoâng toàn taïi nghieäm w naèm beân phaûi maët
278 CHÖÔNG 7 phaúng phöùc thì khoâng toàn taïi nghieäm z naèm ngoaøi voøng troøn ñôn vò ⇒ heä rôøi raïc oån ñònh. Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng rôøi Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng rôøi raïc theo bieán z raïc theo bieán w Ví duï 8.1. Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính 5 z3 + 2 z2 + 3 z + 1 = 0 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân. 1+w Giaûi. Ñoåi bieán z = , phöông trình ñaëc tính trôû thaønh 1−w 3 2  w +1  w +1  w+1 5  + 2  + 3  +1 = 0  w−1  w−1  w−1 3 2 ( w − 1) + 3 ( w + 1)( w − 1)2 + ( w − 1)3 = 0 ⇔ 5 ( w + 1 ) + 2 ( w + 1) ( )( ) ⇔ 5 w3 + 3w2 + 3w + 1 + 2 w3 + w2 − w − 1 + 3(w − w + 1) + ( w − 3w ) 3 − w2 3 2 + 3w − 1 = 0 ⇔ 11w3 + 11w2 + 13w + 5 = 0 Baûng Routh w3 11 13 2 11 5 w 1 8 0 w w0 5 Do taát caùc heä soá ôû coät 1 baûng Routh ñeàu döông neân heä oån ñònh.
279 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Hoaëc Ma traän Hurwitz 0  11 5 0  a1 a3 a a  0  = 11 13 0 2 o    0 a1 a3   0 11 5     ∆1 = 11 > 0 ∆ 2 = 11 × 13 − 5 × 11 > 0 ∆ 3 = 5∆ 2 > 0 Do caùc ñònh thöùc con ñeàu döông neân heä oån ñònh. g 8.3 TIEÂU CHUAÅN JURY Xeùt oån ñònh heä rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính: ao zn + a1 zn−1 + L + an−1 z + an = 0 Baûng Jury 1- Haøng 1 laø caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tính theo thöù töï chæ soá taêng daàn. 2- Haøng chaün (baát kyø) goàm caùc heä soá cuûa haøng leû tröôùc ñoù vieát theo thöù töï ngöôïc laïi. 3- Haøng leû thöù i = 2k + 1 ( k ≥ 1 ) goàm coù ( n − k ) phaàn töû, phaàn töû cij xaùc ñònh bôûi coâng thöùc ci−2,1 ci−2,n− j − k+ 3 1 cij = (8.5) ci−2,1 ci−1,1 ci−1,n− j − k+3 Phaùt bieåu tieâu chuaån Jury Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá ôû haøng leû, coät 1 cuûa baûng Jury ñeàu döông. Ví duï 8.2. Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính 5 z3 + 2 z2 + 3 z + 1 = 0 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân.
280 CHÖÔNG 7 Giaûi Baûng Jury Haøng 1 5 2 3 1 Haøng 2 1 3 2 5 51 53 52 1 1 1 Haøng 3 = 4, 8 = 1, 4 = 2, 6 51 5 51 2 51 3 Haøng 4 2,6 1.4 4,8 1 4, 8 2, 6 1 4, 8 1, 4 Haøng 5 = 3, 39 = 0, 61 4, 8 2, 6 4, 8 4, 8 2, 6 1, 4 Haøng 6 0,61 3,39 1 3, 39 0, 61 Haøng 7 = 3, 28 3, 39 0, 61 3, 39 Do caùc heä soá ôû haøng leû coät 1 baûng Jury ñeàu döông neân heä thoáng oån ñònh. g 8.4 QUYÕ ÑAÏO NGHIEÄM SOÁ Quyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä thay ñoåi töø 0 → ∞. Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính laø N ( z) 1+ K =0 (8.6) D( z) N ( z) Ñaët Go ( z) = K D( z) Goïi n laø soá cöïc cuûa Go(z), m laø soá zero cuûa G0(z) (8.6) 1 + Go ( z) = 0 ⇔  Go ( z) = 1 Ñieàu kieän bieân ñoä  (8.7) ⇔  ∠Go ( z) = ( 2l + 1)π Ñieàu kieän pha  Chuù yù: Neáu phöông trình ñaëc tính cuûa heä khoâng coù daïng (8.6) thì ta phaûi bieán ñoåi töông ñöông veà daïng (8.6) tröôùc khi aùp duïng caùc qui taéc veõ QÑNS. Vì daïng phöông trình ñaëc tính cuûa heä lieân tuïc ñaõ hoïc ôû chöông 4 vaø phöông trình ñaëc tính (8.6) laø nhö nhau (chæ thay
281 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC bieán s baèng bieán z) neân qui taéc veõ QÑNS laø nhö nhau, chæ khaùc ôû qui taéc 8, thay vì ñoái vôùi heä lieân tuïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo thì ñoái vôùi heä rôøi raïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò. Sau ñaây laø 11 qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính coù daïng (8.6) Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông trình ñaëc tính = soá cöïc cuûa Go(z) = n. Qui taéc 2: Khi K = 0: Caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát phaùt töø caùc cöïc cuûa Go(z). Khi K tieán ñeán +∞ : m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán ñeán m zero cuûa Go(z), n-m nhaùnh coøn laïi tieán ñeán ∞ theo caùc tieäm caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø 6. Qui taéc 3: Quyõ ñaïo nghieäm soá ñoái xöùng qua truïc thöïc. Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm soá neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa Go(z) beân phaûi noù laø moät soá leû. Qui taéc 5: Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi ( 2l + 1)π ( l = 0, ±1, ±2,K ) (8.8) α= n−m Qui taéc 6: Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm A coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi n m ∑ cöïc − ∑ zero = ∑ ∑ zi pi − i=1 i=1 (8.9) OA = n−m n−m (pi vaø zi laø caùc cöïc vaø caùc zero cuûa G0(z)). Qui taéc 7: Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá dK naèm treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình: = 0 (8.10) dz Qui taéc 8: Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi ñöôøng troøn ñôn vò coù theå xaùc ñònh baèng moät trong hai caùch sau ñaây - AÙp duïng tieâu chuaån Routh - Hurwitz môû roäng hoaëc tieâu chuaån Jury.
282 CHÖÔNG 7 - Thay z = a + jb (ñieàu kieän: a2 + b2 = 1) vaøo phöông trình ñaëc tính (8.6), caân baèng phaàn thöïc vaø phaàn aûo seõ tìm ñöôïc giao ñieåm vôùi ñöôøng troøn ñôn vò vaø giaù trò Kgh. Qui taéc 9: Goùc xuaát phaùt cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá taïi cöïc phöùc pj ñöôïc xaùc ñònh bôûi m n ∑ ∑ a r g( p j − pi ) θ j = 180° + (8.11) a r g( p j − zi ) − i=1 i=1 i≠ j Daïng hình hoïc cuûa coâng thöùc treân laø θj = 180o + (∑goùc töø caùc zero ñeán cöïc pj ) – (∑goùc töø caùc cöïc coøn laïi ñeán cöïc pj) (8.12) Qui taéc 10. Toång caùc nghieäm laø haèng soá khi K thay ñoåi töø 0 → +∞ Qui taéc 11: Heä soá khueách ñaïi doïc theo quyõ ñaïo nghieäm soá coù theå xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân ñoä N ( z) (8.13) =1 K D ( z) Ví duï 8.3. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ, trong ñoù 5K - Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc G( s) = s( s + 5) - Chu kyø laáy maãu T = 0, 1 sec Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng treân khi K thay ñoåi töø 0 ñeán +∞. Tính Kgh. Giaûi. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä coù sô ñoà khoái nhö treân laø 1 + G( z) = 0
283 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC trong ñoù  1 − e−Ts 5 K    G( z) = Z {GZOH ( s)G( s)} = Z  s( s + 5)  s     5     = K (1 − z−1 )Z  2   s ( s + 5)    −0. 5 ) z + (1 − e−0,5 − 0, 5e−0,5 )]   z − 1   z[( 0, 5 − 1 + e =K     z   5( z − 1)2 ( z − e−0,5 )   0, 021z + 0, 018 ⇒ G( z) = K ( z − 1)( z − 0, 607) ⇒ Phöông trình ñaëc tính laø 0, 021 z + 0, 018 1+ K =0 (8.14) ( z − 1)( z − 0, 607 ) - Caùc cöïc: p1 = 1 , p2 = 0, 607 (n = 2) - Caùc zero: z1 = −0, 857 (m = 1) - Goùc taïo bôûi tieäm caän vaø truïc thöïc ( 2l + 1)π ( 2l + 1)π = π (l = 0) α= = 2−1 n−m - Giao ñieåm giöõa tieäm caän vôùi truïc thöïc ∑ cöïc − ∑ zero = (1 + 0, 607) − (−0, 857) = 2, 464 OA = 2 −1 n−m dK - Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình =0. dz Ta coù z2 − 1, 607 z + 0, 607 ( z − 1)( z − 0, 607) (8.14) ⇒ K = − =− 0, 021 z + 0, 018 0, 021 z + 0, 018 z2 − 1, 607 z + 0, 607 dK =− ⇒ 0, 021z + 0, 018 dz ( 2 z − 1, 607 )( 0, 021 z + 0, 018) − ( z2 − 1, 607 z + 0, 607 )( 0, 021) =− ( 0, 021z + 0, 018)2 0, 021z2 + 0, 036 z − 0, 042 =− ( 0, 021 z + 0, 018)2
284 CHÖÔNG 7  z = −2, 506 dK =0 ⇔  1 ⇒  z2 = 0, 792 dz Caû hai nghieäm treân ñeàu thuoäc QÑNS ⇒ coù hai ñieåm taùch nhaäp. - Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò (8.14) ( z − 1)( z − 0, 607) + K ( 0, 021 z + 0, 018) = 0 ⇔ z2 + ( 0, 021K − 1, 607) z + ( 0, 018K + 0, 607) = 0 ⇔ Caùch 1: Duøng tieâu chuaån Routh-Hurwitz môû roäng w+1 Ñoåi bieán z = , ta ñöôïc w−1 2  w+1  w+1  + ( 0, 021K − 1, 607 )   + ( 0, 018K + 0, 607 ) = 0   w−1  w−1 ⇔ 0, 039Kw2 + ( 0, 786 − 0, 036K )w + ( 3, 214 − 0, 003K ) = 0 Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh laø K > 0 K > 0   0, 786 − 0, 036K > 0  K < 21, 83 ⇒ K gh = 21, 83 ⇔ 3, 214 − 0, 003K > 0  K < 1071   Thay K gh = 21, 83 vaøo phöông trình ñaëc tính, ta ñöôïc z2 − 1, 1485 z + 1 = 0 z = 0, 5742 ± j 0, 8187 ⇔ Vaäy giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi voøng troøn ñôn vò laø z = 0, 5742 ± j 0, 8187 Caùch 2: Thay z = a + jb vaøo phöông trình treân, ta ñöôïc ( a + jb)2 + ( 0, 021K − 1, 607 )( a + jb) + ( 0, 018K + 0, 607) = 0 ⇔ a2 + j 2ab − b2 + ( 0, 021K − 1, 607 )a + j( 0, 021K − 1, 607)b + + ( 0, 018 K + 0, 607 ) = 0  a2 − b2 + ( 0, 021K − 1, 607 )a + ( 0, 018K + 0, 607) = 0  ⇔  j 2ab + j( 0, 021K − 1, 607)b = 0  Keát hôïp vôùi ñieàu kieän a2 + b2 = 1 ta ñöôïc heä phöông trình  a2 − b2 + ( 0, 021K − 1, 607 )a + ( 0, 018K + 0, 607) = 0   j 2ab + j( 0, 021K − 1, 607)b = 0 2 2 a + b = 1
285 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Giaûi heä phöông trình treân, ta ñöôïc boán giao ñieåm laø z =1, töông öùng vôùi K =0 z = −1 , töông öùng vôùi K = 1071 z = 0, 5742 ± j 0, 8187 , töông öùng vôùi K = 21, 8381 Vaäy K gh = 21, 83 8.5 CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC 1- Ñaùp öùng quaù ñoä: coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñaùp öùng cuûa heä thoáng rôøi raïc baèng moät trong hai caùch sau ñaây: - Caùch 1: tính C( z) , sau ñoù duøng pheùp bieán ñoåi Z ngöôïc ñeå tìm c( k) . - Caùch 2: tính nghieäm x( k) cuûa phöông trình traïng thaùi cuûa heä rôøi raïc, töø ñoù suy ra c( k) . Caëp cöïc quyeát ñònh: heä baäc cao coù theå xaáp xæ gaàn ñuùng veà heä baäc hai vôùi hai cöïc laø caëp cöïc quyeát ñònh. Ñoái vôùi heä lieân tuïc, caëp cöïc quyeát ñònh laø caëp cöïc naèm gaàn truïc aûo nhaát. Do z = eTs , neân ñoái vôùi heä rôøi raïc, caëp cöïc quyeát ñònh laø caëp cöïc naèm gaàn voøng troøn ñôn vò nhaát. 2- Ñoä voït loá: ñoái vôùi heä rôøi raïc, caùch thöôøng söû duïng ñeå tính ñoä voït loá laø duøng bieåu thöùc ñònh nghóa: cm a x − cxl (8.15) 100% POT = cxl trong ñoù: cmax laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa c(k); cxl laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa
286 CHÖÔNG 7 c(k). Caùch thöù hai cuõng ñöôïc söû duïng khi bieát caëp cöïc quyeát ñònh z* = re± jϕ cuûa heä rôøi raïc laø döïa vaøo quan heä z = eTs ñeå suy ra nghieäm s* , töø ñoù tính ñöôïc ξ vaø ωn . − ln r (8.16) ξ= (ln r )2 + ϕ2 1 (ln r )2 + ϕ2 (8.17) ωn = T Sau ñoù aùp duïng caùc coâng thöùc ñaõ trình baøy trong chöông 4 ñeå tính POT, txl,.. 3- Sai soá xaùc laäp Theo ñònh lyù giaù trò cuoái: exl = lim e( k) = lim(1 − z−1 ) E( z) (8.18) z→1 k→∞ Caùc coâng thöùc tính sai soá xaùc laäp Sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà nhö treân laø: R( z) exl = lim (1 − z−1 ) E( z) = lim (1 − z−1 ) (8.19) 1 + GH ( z) z→1 z→1 1 Neáu tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò R( z) = 1 − z−1 1 1 (8.20) ⇒ exl = lim = z→1 1 + GH ( z) 1 + lim GH ( z) z→1 Ñaët K P = lim GH ( z) : Heä soá vò trí z→1 1 (8.21) ⇒ exl = 1 + KP
287 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC Tz−1 Neáu tín hieäu vaøo laø haøm doác ñôn vò: R( z) = (1 − z−1 )2 Tz−1 1 T (8.22) ⇒ exl = lim = −1 1 + GH ( z) lim (1 − z−1 )GH ( z ) z→1 1 − z z→1 1 lim (1 − z−1 )GH ( z ) : Heä soá vaän toác Ñaët K V = T z→1 1 (8.23) ⇒ exl = KV Ví duï 8.4. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ, trong ñoù K - Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc G( s) = ( s + a )( s + b) ( K = 10 , a = 2 , b= 3) - Chu kyø laáy maãu: T = 0, 1 sec 1- Tìm haøm truyeàn kín Gk ( z) 2- Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò, ñoä voït loá, sai soá xaùc laäp. Giaûi. 1- Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc: G( z ) Gk ( z ) = 1 + G( z ) 1 − e−Ts  K trong ñoù: G( z ) = Z {GZOH ( s)G( s)} = Z   s ( s + a )( s + b)   1   = K (1 − z−1 )Z    s( s + a )( s + b)   z −1  z( Az + B)  = K   ( z − 1)( z − e− aT )( z − e−bT )    z   b(1 − e− aT ) − a(1 − e− bT ) vôùi A= ab( b − a )
288 CHÖÔNG 7 ae− aT (1 − e−bT ) − be− bT (1 − e− aT ) B= ab( b − a ) Thay K = 10 , a = 2 , b = 3 , T = 0, 1 ta ñöôïc 0, 042 z + 0, 036 G( z ) = ⇒ ( z − 0, 819)( z − 0, 741) 0, 042 z + 0, 036 ( z − 0, 819)( z − 0, 741) Do ñoù Gk ( z) = 0, 042 z + 0, 036 1+ ( z − 0, 819)( z − 0, 741) 0, 042 z + 0, 036 Gk ( z) = 2 z − 1, 518 z + 0, 643 2- Ñaùp öùng cuûa heä C( z) = Gk ( z) R( z) 0, 042 z−1 + 0, 036 z−2 0, 042 z + 0, 036 R( z) = R( z) = z2 − 1, 518 z + 0, 643 1 − 1, 518 z−1 + 0, 643 z−2 ⇒ (1 − 1, 518 z−1 + 0, 643 z−2 )C( z) = ( 0, 042 z−1 + 0, 036 z−2 ) R( z) ⇒ c( k) − 1, 518c( k − 1) + 0, 643c( k − 2) = 0, 042r( k − 1) + 0, 036r( k − 2) ⇒ c( k) = 1, 518c( k − 1) − 0, 643c( k − 2) + 0, 042r( k − 1) + 0, 036r( k − 2) Vôùi ñieàu kieän ñaàu c( −1) = c( −2) = 0 r( −1) = r( −2) = 0 Thay vaøo coâng thöùc ñeä qui treân, ta tính ñöôïc c( k) = {0; 0, 042; 0, 106; 0, 212; 0, 332; 0, 446; 0, 542; 0, 614; ... 0, 662; 0, 706; 0, 743; 0, 772; 0, 94; 0, 809; 0, 819; 0, 825;... 0, 828; 0, 828; 0, 827; 0, 825;...} Giaù trò xaùc laäp cuûa ñaùp öùng quaù ñoä laø 0, 042 z + 0, 036 cxl = lim (1 − z−1 ) R( z) 2 z − 1, 518 z + 0, 643 z→1  0, 042 z + 0, 036   1  = lim(1 − z−1 )  2  −1   z − 1, 518 z + 0, 643   1 − z  z→1  0, 042 z + 0, 036  = lim  2  z→1  z − 1, 518 z + 0, 643 
289 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC cxl = 0, 624 ⇒
290 CHÖÔNG 7 - Ñoä voït loá cm a x − cxl 0, 828 − 0, 624 100% = 100% POT = 0, 624 cxl POT = 32, 69% ⇒ - Sai soá xaùc laäp exl = rxl − cxl = 1 − 0, 624 exl = 0, 376 ⇒ g Ví duï 8.5. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ, trong ñoù K - Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc G( s) = ( s + a )( s + b) ( K = 10 , a = 2, b = 3 ) - Chu kyø laáy maãu T = 0, 1 sec 1- Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân. 2- Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò (ñieàu kieän ñaàu baèng 0). Giaûi. 1- Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng Böôùc 1: Heä phöông trình traïng thaùi cuûa khaâu lieân tuïc 10 Ta coù C( s) = G( s) ER ( s) = ER ( s ) ( s + 2)( s + 3) ⇒ ( s + 2)( s + 3)C( s) = 10 ER ( s) ⇒ ( s2 + 5s + 6)C( s) = 10 ER ( s) ⇒ &&( t ) + 5c( t ) + 6 = 10eR ( t ) c Ñaët x1 ( t ) = c( t ) ; x2 ( t ) = x1 ( t ) & Heä phöông trình traïng thaùi moâ taû khoái lieân tuïc laø
291 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC  x( t ) = Ax( t ) + BeR ( t ) &   c( t ) = Cx( t ) 0 1 0 B =   C = [1 0] trong ñoù A =    −6 −5 10 Böôùc 2: Tính ma traän quaù ñoä −1 −1  1 0  0 1     s −1   −1 Φ( s ) = ( s I − A ) =  s   −  −6 −5  =  6 s + 5   0 1      s+5 1    s + 5 1  ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)  1 = =  s( s + 5) − 6  −6 s  −6 s     ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)    s+5 1     ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)     Φ( t ) = L −1[ Φ( s)] = L −1    6 s    ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)      −1  3 2 1 1   L −1   L  s + 2 − s + 3 −    s + 2 s + 3    = 6 6 L −1  − 2 + 3    −1   L  − +     s + 2 s + 3  s + 2 s + 3      ( 3e−2t − 2e−3t ) ( e −2 t − e −3t )  ⇒ Φ( t ) =   ( −6e−2t + 6e−3t ) ( −2e−2t + 3e−3t )   Böôùc 3: Rôøi raïc hoùa caùc phöông trình traïng thaùi cuûa heä lieân tuïc, ta ñöôïc  x[( k + 1)T ] = Ad x( kT ) + Bd eR ( kT )   c( kT ) = Cd x( kT ) trong ñoù  ( 3e−2t − 2e−3t ) ( e−2t − e−3t )  Ad = Φ( T ) =   ( −6e−2t + 6e−3t ) ( −2e−2t + 3e−3t ) t=T =0,1    0, 975 0, 078 ⇒ Ad =    −0, 468 0, 585
292 CHÖÔNG 7 T T  −2 τ −3τ ( e−2τ − e−3τ )   0    ( 3e − 2e )  ∫ ∫ Bd = Φ( τ )Bdτ =   dτ   −3τ 10 −2 τ −3τ −2 τ 0  ( −6e + 6e ) ( −2e + 3e )       0 0,1 e−2τ e−3τ   T  −2 τ −3τ  10( e − e )   10( − +  ) ∫  dτ  =  2 3 =  −2 τ + 3e−3τ )   0  10( −2e   −2 τ −3τ  10( e − e )  0   0, 042 ⇒ Bd =    0, 779  Cd = C = [1 0] Böôùc 4: Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng rôøi raïc vôùi tín hieäu vaøo r( kT) laø  x[( k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x( kT ) + Bd r( kT )    c( kT ) = Cd x( kT )   0, 975 0, 078 0, 042 [ Ad − BdCd ] = −0, 468 [1 0] trong ñoù − 0, 585   0, 779      0, 933 0, 078 ⇒ [ Ad − Bd Cd ] =    −1, 247 0, 585 Vaäy phöông trình traïng thaùi caàn tìm laø  x1 ( k + 1)   0, 933 0, 078  x1 ( k)  0, 042  r( kT ) = +    x2 ( k + 1)  −1, 247 0, 585  x2 ( k)  0, 779   x ( k)  c( k) = [1 0]  1   x2 ( k) 2- Ñaùp öùng cuûa heä thoáng Vôùi ñieàu kieän ñaàu x1 (−1) = x2 (−1) = 0 , thay vaøo phöông trình traïng thaùi ta tính ñöôïc x1 ( k) = {0; 0, 042; 0, 142; 0, 268; 0, 392; 0, 502; 0, 587; 0, 648; 0, 682; 0, 699 ...} x2 ( k) = {0; 0, 779; 1, 182; 1, 293; 1, 203; 0, 994; 0, 735; 0, 476; 0. 294 ; 0, 072...} Ñaùp öùng cuûa heä thoáng:  x ( k)  c( k) = [1 0]  1  = x1 ( k)  x2 ( k) ⇒ c( k) = {0; 0, 042; 0, 142; 0, 268; 0, 392; 0, 502; 0, 587; 0, 648; 0, 682; 0, 699 ...} g
293 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC B. THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 8.6 KHAÙI NIEÄM Coù nhieàu sô ñoà ñieàu khieån khaùc nhau coù theå aùp duïng cho heä rôøi raïc, trong ñoù sô ñoà ñieàu khieån thoâng duïng nhaát laø hieäu chænh noái tieáp vôùi boä ñieàu khieån GC ( z) laø boä ñieàu khieån sôùm treã pha soá, PID soá,... Moät sô ñoà ñieàu khieån khaùc cuõng ñöôïc söû duïng raát phoå bieán laø ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi - Thieát keá boä ñieàu khieån soá laø xaùc ñònh haøm truyeàn GC ( z) hoaëc ñoä lôïi hoài tieáp traïng thaùi K ñeå heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà ñoä oån ñònh, chaát löôïng quaù ñoä, sai soá xaùc laäp. - Thöïc teá trong ña soá tröôøng hôïp boä ñieàu khieån soá laø caùc thuaät toaùn phaàn meàm chaïy treân maùy tính PC hoaëc vi xöû lyù. Töø haøm truyeàn GC ( z) hoaëc giaù trò ñoä lôïi K ta suy ra ñöôïc phöông trình sai phaân moâ taû quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra cuûa boä ñieàu khieån. Quan heä naøy ñöôïc söû duïng ñeå laäp trình phaàn meàm ñieàu khieån chaïy treân maùy tính hoaëc vi xöû lyù. - Coù nhieàu phöông phaùp ñöôïc söû duïng ñeå thieát keá boä ñieàu khieån soá, trong noäi dung quyeån saùch naøy chæ ñeà caäp phöông phaùp thieát keá duøng quyõ ñaïo nghieäm soá, phöông phaùp thieát keá boä ñieàu khieån PID, phöông phaùp thieát keá boä ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi (phöông phaùp phaân boá cöïc) vaø phöông phaùp giaûi tích.
294 CHÖÔNG 7 8.7 HAØM TRUYEÀN CUÛA CAÙC KHAÂU HIEÄU CHÆNH RÔØI RAÏC 1- Khaâu tæ leä GP ( z) = K P 2- Khaâu vi phaân de( t ) Khaâu vi phaân lieân tuïc u( t ) = K D dt Khaâu vi phaân rôøi raïc: ñöôïc tính baèng caùc coâng thöùc sai phaân, coù ba caùch tính - Sai phaân tôùi e( k + 1) − e( k) u( k) = K D T zE( z) − E( z) U ( z) K D ( z − 1) ⇒ U ( z) = K D GD ( z) = = ⇒ T E( z ) T - Sai phaân luøi e( k) − e( k − 1) u( k) = K D T E( z) − z−1 E( z) K z −1 U ( z) K D (1 − z−1 ) = D ⇒ U ( z) = K D ⇒ GD ( z) = = T E( z) T T z - Sai phaân giöõa zE( z) − z−1 E( z) e( k + 1) − e( k − 1) u( k) = K D ⇒ U ( z) = K D 2T 2T K z2 − 1 U ( z) K D ( z − z−1 ) = D ⇒ GD ( z) = = E ( z) 2T 2T z Coâng thöùc sai phaân tôùi vaø sai phaân giöõa caàn tín hieäu e(k+1) laø tín hieäu sai soá trong töông lai, maø trong caùc baøi toaùn ñieàu khieån thôøi gian thöïc ta khoâng theå coù ñöôïc tín hieäu trong töông lai (tröø khi söû duïng boä döï baùo) neân thöïc teá chæ coù coâng thöùc sai phaân luøi ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát, do ñoù KD z − 1 (8.25) GD ( z) = T z
295 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 3- Khaâu tích phaân t Khaâu tích phaân lieân tuïc ∫ u( t ) = K I e( t )dt 0 Khaâu tích phaân rôøi raïc ( k−1 )T kT kT ∫ ∫ ∫ u( kT ) = K I e( t )dt = K I e( t )dt +K I e( t )dt 0 0 ( k−1 )T kT ⇒ u( kT ) = u[( k − 1)T ] + K I ∫ e( t )dt ( k−1)T kT Xeùt tích phaân ∫ e( t )dt : coù ba caùch tính ( k−1)T - Tích phaân hình chöõ nhaät tôùi kT ∫ e( t )dt ≈ Te( kT ) ( k−1)T ⇒ u( kT ) = u[( k − 1)T ] + K I Te( kT ) U ( z) = z−1U ( z) + K I TE( z) ⇒ 1 U ( z) ⇒ GI ( z) = = KIT 1 − z −1 E( z ) - Tích phaân hình chöõ nhaät luøi kT ∫ e( t )dt ≈ Te[( k − 1)T ] ( k−1)T ⇒ u( kT ) = u[( k − 1)T ] + K I Te[( k − 1)]T U ( z) = z−1U ( z) + K I Tz−1 E( z) ⇒ z −1 U ( z) ⇒ GI ( z) = = KIT 1 − z −1 E( z ) - Tích phaân hình thang T ( e[( k − 1)T ] + e( kT )) kT ∫ e( t )dt ≈ 2 ( k−1)T