Một số bài toán điều khiển tối ưu và tối ưu hóa: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:141

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Các bài toán cơ bản của tối ưu hóa và điều khiển tối ưu" phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Khái niệm về các bài toán tối ưu hóa; Quy hoạch tuyến tính; Quy hoạch lồi; Quy hoạch phi tuyến không bị ràng buộc; Quy hoạch phi tuyến bị ràng buộc; Phân tích và hồi quy số liệu;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán điều khiển tối ưu và tối ưu hóa: Phần 1

PGS.TS. NGUYỄN NHẬT LỆ CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA TỐI ƯU HÓA VÀ ĐIÊU KHIỂN TÔÌ ưu NHÀ XUẤT BÁN KHOA HỌC VÀ KỶ THUẬT HÀ NÔI - 2009 https://tieulun.hopto.org
https://tieulun.hopto.org
https://tieulun.hopto.org
MỤC LỤC T rang LỜI NÓI Đ Ẩ U ...................................................................................................................... 3 MỤC LỤC .............................................................................................................................5 CẮC KÝ HIỆU VÀ ĐƠN VỊ ANH ................................................................................ 8 Chương I. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN TỐI ư u HOÁ 1. Bài toán tôi ưu hóa tổng q u á t............................................................................... 9 2. Phân loại các bài toán tối U I cơ b ả n ....................................................................9 X Chương 2. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. Một số thí dụ về bài toán quy hoạch tuyến tính (Q H T T )............................. 17 2. Phát biểu bài toán Q H I T ......................................................................................19 3. Phương pháp đồ t h ị .............................................................................................. 22 4. Bài toán đối ngẫu và định lý cơ bản của Q H T Ĩ ............................................. 25 5. Cơ sở cứa phươnơ pháp đơn h ì n h ...................................................................... 26 6. Thuật toán đơn hình giải bài toán Q H T l’ tổng q u á t ...................................... 38 Chương 3. QUY HOẠCH LỚI 1. Các khái n i ệ m ....................................................................................................... 47 2. Bài toán quy hoạch lồi tổng q u á t....................................................................... 51 3. Cực tiểu hàm lồi m ột biến ................................................................................. 53 4. Quy hoạch lồi với rànơ buộc tuyến tín h .......................................................... 55 5. Quy hoạch lồi với ràno buộc phi tuyến .......................................................... 59 6. Khái niệm vể qui hoạch l õ m ............... .............................................................. 64 7. Khái niệm về quy hoạch toàn phương ............................................................ 64 8. Các phương pháp giái bài toán quy hoạch l ồ i ................................................67 https://tieulun.hopto.org
CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VẢ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu Chương 4. QUY HOACH FHI TUVẾN KHỔNG BI RÀN(Ỉ BL'ỎC 1. M ở đầu về quy hoạch phi tuyến {Q}1P1')........................................................ 71 2. Điều kiện tối ưu của Q H P r không bịràng b u ộ c .............................................72 3. Các phươno pháp dùns đạo h à m ....................................................................... 77 4. Các phương pháp không dùng đạo hàm ......................................................... 83 Chương 5. QUY HOẠCH PHI TUYÊN BỊ RÀNG BUỘC 1. M ở đ ầ u .................................................................................................................... 99 2. Phươno pháp Gradient .......................................................................................105 3. Phương pháp hàm p h ạ t.......................................................................................109 4. Phươns pháp sai lệch linh h o ạ t.........................................................................1IV Chương 6. P H Â N T ÍC H VẢ H ổ l Q U Y s ố LIỆ U 1. Phân tích số l iệ u .................................................................................................. 125 2. Phân tích hồi q u y ................................................................................................130 Chương 7. KHẢI NIỆM VỂ c ự c TRỊ PHIẾM HÀM 1. Cực tiếu phiếm hàm không bị ràng b u ộ c ................................................... 143 2. Cực tiểu phiếm hàm bị ràn° buộc ............................................................... 148 Chương 8. ĐIỂU KHIỂN T ố l ƯIJ (ĐK ru) 1. Một số thí dụ m ở đ ầ u ......................................................................................... 1í 3 2. Bài toán Đ K TƯ tổng q u á t...............................................................................159 3. Phân tích hệ điều k h iể n .................................................................................. 165 4. Giải bài tOcín Đ K TƯ theo phương pháp biến p h â n ...................................... 175 5. Giải bài toán Đ K TƯ theo nguyên lý cực đại Pontryagin........................... 185 Chương 9. MỘT s ố BÀI TOÁN T ố N G HỢP TỐI Lll CÚA HÊ ĐlỂU KHIỂN 1. Bài toán tối ưu về thời « i a n .........................................................................207 2. Đ K TƯ hệ tuyến tính, tiêu chuẩn tối ưu có dạng loàn phươ ng............. 220 3. Đ K T Ư hệ phi luyến với thời 2,ian cho trư ớ c ........................................... 234 https://tieulun.hopto.org
MỤC LỤC 7 Chưưng 10. M Ồ Ĩ s ố BÀI TOÁN I HIỂT KẾ T ố l ư u TRONG c ơ HỌC 1. Quy hoạch phi tu y ế n ...................................................................................... 245 2. 'íoi ưu hóa tham s ố ..........................................................................................259 Phụ lục A: Giải bài toán Tối ưii hóa và Điều khiển tối ưu bằng phần mém M ATLAB 1. Giới thiệu tổno quát về M A T L A B ..............................................................267 2. Một số thí dụ giải bằng M A TL A B .............................................................. 268 Phụ lục B: Giải bài toán Tòi ưu hóa và Điều khiển tối ưu bằng phần mém MAPLE 1. Giới thiệu tổng quát về M A P L E ................................................................. 297 2. Một số thí dụ ơiải bằng M A P L E ................................................................. 298 TẢI LIÊU THAM KHẢO............................................................................................33 ỉ https://tieulun.hopto.org
CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu ❖ CÁC KÝ HIỆU : A - Ma trận A - Ma trận A chuvển vị X = [ X|,...,XJ^ - V e c tơ c ộ tx X= ( ) - Các thành phần giá trị của X X,, - Véctơ xác định vị trí đ iểm 0 trons khôn^ gian x"‘’ - Véctơ X ở bước lặp k < a,b > = a^b -Tích vô hướng của 2 véctơ cột a và b Vf(x) - Véctơ gradient của hàm f Thí dụ : Vf(x''") = (2; 8) = ( l ; l ) - ( l ; 4 ) = (0;-3)
ChươNq I KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN Tốl ■ ưu HOÁ 1. BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ TỔNG QUÁT 1.1 Phát biểu Tim trạng thái tối ưu của một hệ thông bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu m ong muốn về chất lượng theo một nghĩa nào đó. 1.2 Ba yêu tố của một bài toán tối ưu hoá * Trạng thái : Mô phỏng một hệ thốna kỹ thuật, kinh tế,...bởi những quan hệ số liệu, hàm số hoặc những phương trình chứa một số biến. * Mục tiêu ; Đặc trưn? cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả m ong muốn (Chi phí ít nhất, lợi nhuận nhiều nhất, trọng lượng nhỏ nhất, công suất lớn nhất, thời oian ngắn nhất, sai số nhỏ nhất,...)- * Ràng buộc : Thể hiện các điều kiện kỹ thuật, kinh tế,... mà hệ thống phải Ihoả mãn. Như vậy, bài toán tối ưu hoá ứng dụng được áp dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh t ế . .. Các yếu tố cúa bài toán được đặt ra luỳ thuộc vào người sứ dụng. 2. PHÀN LOẠI C Á C BÀI TOÁN Tốl ưu cơ BẢN 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Hệ thốno ở trạng thái tĩnh (khôno phụ thuộc thời gian) có các biến trạng thái là: x = [ x , , x , ..... x j ' (1) Mục tiêu được diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính: f = c ^ x =< c .x >; c = [C..C-,..... c j ' (2) https://tieulun.hopto.org
10 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu Các ràng buộc (giới hạn) được diẻn đạl bởi nhiìna phươns trình, hất phươno trình tuyến tính: A.x = b; y\.x < b (3) A = [a,J; i = 1.....m; j = 1.n: b = [ b | . b , ................ b j ' Bài toán; Tim trạng thái tối ưu X* =[x ’ ,x* ]' của trạna thái (1) với các ràng buộc (3) sao cho hàm mục tiêu (2) đạt giá trị nhỏ nhất (min) hoặc siá trị lớn nhất (m a x ). T h í dụ 1.2.1 Hàm mục tiêu có dạng ; f = 50x, + 2 0 X3 + 2 8 x , max Các ràno buòc; o é gj = 3X| + 5 X2 - 4 x , < 200 g, = 8X| + x , + l,3 x , < 180 g , = 5X| + 8 x , + 2 , 5 x , < 2 0 0 g , = X, < 50 X, > 0 ; i = l , 2 , 3 Hãy tìm trạng ihái tối UII X* = [ x ỉ , x 3, x j ] ' và siá trị tươna ứng của mục tiêu trong các trường h(ifp: a) Nghiệm có giá trị không âm. b) Nghiệm có giá trị níỊuyên. không âm. c) Nghiệm có giá trị 1 hoặc 0. Sau khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính (xcm phụ lục) ta nhận dirợc các íĩiá trị tối lai: a) x; = 14,32; x; = 0 .4 2 ; x; = 50; r = 2 1 2 4 ,5 7 b )x | = 1 4 ;x ’ = 0 ;x ! =50; , f* = 2 1 0 0 c ) x ; = l;x ; = l;x : = l ; f = 9 8 2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến Hệ thống ở trạng thái tĩnh. 71m trạng Ihái tối ưu X khi hàm mục tièu được * diễn đạt bởi một hàm phi tuyến f(x) hoác có ítnhất, một ràns buộc phi tuyên ; https://tieulun.hopto.org
Chươnịỉ I. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ 1I g j ( x ) < 0 ; J = 1,2..... m h , ( x ) = 0 ; k = 1.2..... p Một số bài toán riêns C U quy hoạch phi tuyên là: quy hoach lối, quy L) hoạch lõm, quy hoạch toàn phưtrng. Thí dụ 1.2.2 ỉ ỉ à m m ụ c tiêu c ó dạnsỉ: f = 1 0 0 ( .\ , - X, )■ + (1 - X | )" - > m in Các ràng buộc; g, = x ; ^ + x ;
12 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu SỐ lẩn thực n g h iệm V ( \ | ,xỌ 1 0 0 -25 2 0 1 -16 3 0 2 -9 4 0 3 -4 5 ; 1 1 3 6 1 2 10 7 1 3 15 8 2 2 27 Sau khi giải bài toán, ta nhận được quan hệ gần đúng: >’ = - 2 3 , 4 7 + 1 8 ,8 2 .r,+ 6 ,7 6 .t, 2.4 Bài toán cực trị phiếm hàm Hệ thống ở trạng thái tĩnh (không phụ thuộc thời gian) hoặc trạno thái động (phụ thuộc thời gian). Biến trạng thái là y(x) với X là biến độc lập. Mục tiêu được diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu: J(y)= F ( y , y ' , x ) d x m i n (max) với : y = [y,(x), y2(x).....y „ ( x ) f ; y' = [y ',( x ) ,y U x ) ,...,y '„ ( x ) ] ' ; y ;(x ) = d y , / d x Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phương trình đại số hoặc các phương trình vi phân. T hí dụ 1.2.5 Khi cho đường cong y(x) quay xung quanh trục X. ta nhận được một mặt tròn xoay. Xác định y(x) sao cho diện tích của hình là nhỏ nhất. Diện tích của hình là: J(y ) = 27i y [ l + ( y ' ) ' ] ' ‘ dx t r o n g đó: y'= — dx https://tieulun.hopto.org
Chương I. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ 13 S a u k h i g iả i b à i to á n , ta t ì m được: y ( x ) = a.cosh(^-4-b) a trong đó: a và b là các hằrm số được xác định từ điểm đầu và điểm cuối của đưừnơ cong y(x). Thí dụ 1.2.6 Tiền lãi thu được do bán một loại sán phẩm trong một thời gian là: 1 1 - . 1 1 - J(y) = J , - J , - íc,(y„-y)d t Jl+ay tron,iĩ dó: J, và J. - tiền bán sản phám và chi phí bảo quản, y,, - số lượng sản phẩm cần bán hết trong thời gian t| , V- s ố lượng sản phẩm bán ra íại thời đ i ể m t, dy ỳ = — - tốc độ bán sán phàm, dí Cị - đơn giá bảo quản một dơn vị sản phẩm. (X C| - cấc hệ số. tlãy xác định phương ihức bán hàn« y(t) sao cho bán hết sản phẩm y,, trong thời «ian t| , đồng thời tiền lãi là nhiều nhất. Sau khi giải bài toán , la ĩihận được: y (t) = ^ [ ( A + c,l)‘ = - A ' = ' ‘ ac, (X irorm đó, hằns số A được xác định từ đíéu kiện : y„ = ^ ^ [ ( A + c,t,0' ■ - A ' ■ cxc a Bài toán này được 2Ìai chi tiết ở chươníỉ 7. https://tieulun.hopto.org
14 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu 2.5 Bài toán điểu khiển tối ưu llệ thốna ở trạníỉ thái động, trạng thái dược mô lá bởi hệ phương trình vi phân cấp một: x = f ( t , x .u ) ; t-Ihời 2Ìan dx VI' trạng thái: dt điều khiển: ư = [ Uị , u , ..... ư_^j' Mục tiêu có dạna phiếm hàm: 'r J(u) = g (x (t|-))+ [ f „ ( t ,x ,x ,u ) d t -> m in (max) « 0 Cần phải lìm điều khiển tối ưu u" và trạng thái tối ưu x" để hệ thống chuyển lừ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sao cho mục tiêu J(u) đạt min hoặc max. Khi = 1: J( u) = ^ min , ta có bài toán tối ưu về thời ơian. T h í dụ L 2 J \ Điều khiển tối ưu hệ m ở Một phản ứno hóa học được m ô tả bởi phương trình vị phân: Xj = -X |.u X, ^ x,.u - b . x , ; b = p . u ^ p = const x ,(0 ) = x j,,;x .(0 ) = x.,, Hãy xác định điều khiển tối lai u(t) sao cho sán phàm x . ( t , . ) max Sau khi giải bài toán theo phươns; pháp số trên m áy tính (xcm nhận được đồ thị Li(t) và lượnơ sản phẩm tối đa x, ( t , ^) . T h í dụ 1.2.8: Điều khiển tối ưu về thời gian Con lắc là một thanh đổns chất, khối lượng m, dài L, quav quanh trục cố định dưới tác dụiìs của nơảu lực có m ỏm en M^( t ) < Mf , . 'lìm m òmen tối ưu để đưa con lắc từ trạriR thái đầu vể trans thái cân bằri2 tronu thời eian nhanh nhất. Phươns trình vi phân chuyên dộnsỉ cúa con lắc khi 2ÓC quay 9 nhỏ: https://tieulun.hopto.org
C h ư n n ỊỊ Ị. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ 15 ,.2,. ,, M j l ) 0) 1 . M Đặt X = — cp; X. = - ( p ; u = — , ‘ k ' - k '■ M„ ỉ^hương trình vi phân trở thành; Xj = 0)X, x_. - u -o.)X, x ,( 0 ) = - ^ ( p „ ; \ , ( 0 ) = f cp„; x, ( t r ) = x , ( t f ) = 0 k ^ k Sau khi «iải bài toán vứi (0 = 2; k = 2; (p„ = 1; (ị)(, = 2 , (xem [13]) ta nhận dược luật diều khiển có dạno: -1 t
16 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu Các bài toán tối lai có trạng thái tĩnh được oọi là bài toán tối ưu hoá tĩnh, các bài toán có trạng thái phụ thuộc thời ơian được gọi là bài toán tối ưu hoá động. Trạng thái của hệ ihốnơ có thể ở dạng liên tục hoặc gián đoạn. Trong bài toán tối ưu có thể đặt ra một mục tiêu hoặc nhiều mục tiêu. Sau đây chúng ta chỉ xét các bài toán tối ưu hoá tĩnh và bài toán tối ưu hoá động của hệ liên tục có một mục tiêu. https://tieulun.hopto.org
ChươNq II QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Linear programming) 1. MỘT SỐ THÍ DỤ VẼ' BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán thực đơn Châ't dinh dưdng Nhu cầu tối thiểu Loại thứ c ăn hàng ngày Pi P2 N. b, an N, b, ^21 022 N3 b3 ^31 332 N4 ^4 ^41 342 G iá tiền đđn vị thức ăn Ci C2 Tiền thức ăn hànsỊ ngày : f = C|X|+ c,x, Bài toán : 7'im lưcĩng X|, X. cùa từng loại thức ăn sao cho f -> min với các ràng buộc: a,, X| + ạ , ^ x , >b | a^iX, +a_,,X3 > b, X > 0 : Các bài toán cùng loại : pha chế các thành phẩn của một hỗn hcĩp, sản xuất các loại sản phẩm, phươns thức bán hùns. gieo trổns các loại cây,... 1.2 Bài toán phân phối kế hoạch sản xuất Có n xí nghiệp sản xuất m loại chi tiết. Gọi íiị: số chi tiết loại i, x,j: số chi tiết loại i của xí nơhiệp j. https://tieulun.hopto.org
^ 8 ___________ CÁC BẢI TOÁN Cơ BẢN CỦA TÒI ưu HỎA VẢ ĐlỄU KHIỂN TỐI ưu Ầ|J: thời gian sản xuất 1 chi tiết loại i ở xí n sh iệ p j, bji q u ĩ thời ơian sià nli c h o sản xuất ở xí n g h i ệ p j , c, : chi phí cho chi tiết i ở xí nghiệp j. Tim Xịj sao cho hoàn thành khối lượng trong quỹ thời gian cho phép với chi phí ít nhất, nghĩa là : Tim: i = 1^m ; j = 1 n sao c h o : f = ^ ^ C ; . X : ; -> min i=i J=1 n n ới VỚI các ràng buộc: = a.; ^ b^; Xịj > 0 J=i J=1 1.3 Bài toán sử dụng vật tư Một xí nghiệp dùng m loại vật tư p,; (i = 1-í- m) để sản xuất n mật hàng Tj;0’= H n ) bi! lượng vật tư thứ i, 3ịj. sổ đcfn vị vật tư thứ i để sản xuất 1 đcfn vị mặt hàng Tj , Cj: lãi từ 1 đơn vị Tj, X : lượng sản phẩm của mặt hàng Tj. j T im : X = [X|....XJ^ sao cho : f = X ^ ■ J=| n với ràng buộc : z ai j Xj < bi ; i= 1 m . j=i 1.4 Bài toán vận tải Có m điểm sản xuất cùn° 1 loại sàn phẩm a và n điểm tiêu thụ b. Cho rằng m n tronơ 1 đơn vi thời gian lươĩi2, cunơ và cầu bằng nhau; Z a j = z bj i:=i , p i X > 0 : lượng sản phẩm cần chuyển từ điểm i đến j , ,J C : chi phí vận c h u y ể n lừ i đ ến j. ,J Tim phương án chuyên chở X,, sao cho chi phí chuyên chớ là nhỏ nhất https://tieulun.hopto.org
Chươnỉỉ II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 19 m II f = - >mi n i= i J -I 2. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Q H H ) 2.1 Định nghĩa Quy hoạch tuyến tính là một môn toán học nghiên cứu phưcíng pháp tìm giá trị nhỏ nhất (min) hoặc giá trị lớn nhất (max) của một hàm tuyến tính theo một số biến, thoả m ãn m ột số hữu hạn ràng buộc được biểu diễn bằng hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính. 2.2 Hai dạng cơ bản của quy hoạch tuyến tính 1/ D ạ n g c h ín h tắc ịcano nica l fo r m ) : ràng buộc ở dạng đẳng thức. Gọi A - m a trận hệ số của các ràng buộc: a A = a ml các vectơ: x = [x,,x,,....x„]';x, > 0 c = [c,,c,,...,cj' b = [ b , . b 3 ......b j ' Tirn các giá trị tối ưii x" = [ x"|, x \y sao cho hàm mục tiêu : f = c - . x = X c^x -> max với các ràng buộc : A.x - b; X > 0 2/ D ạ n g c h u ẩ n (Standard f o r m ) : ràng buộc ờ clạns bất đ ẳns thức Tvm \ sao cho f = c*.x -> max với các ràng buộc : A.x < b; X > 0 2.3 Đưa bài toán QHTT vể dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc 1) Thêm vào các biến bù X = ,. https://tieulun.hopto.org
20____ CÁC BẢI TOÁN Cơ BẢN CÙA Tối ưu HỎA VÀ ĐIỂU KHlỂN T ỗl ưu khi đó: A .x < b - > A .x + E.Xh = b ; E: M a trận đơn vị Thí dụ: Các ràng buộc và mục tiêu có dạng: X1+ X 3 0;j = U 6 f = 4x, + 6 x, + 0 . X3 H-------- hO.X(, - > m i n 2) Nếu ràng buộc ở dạng : A.x > b thì nhân hai vế với (-1): n -Z a ịjX j< -b i khi đ ó ta c ó : A | . x < bi H 3) Ràng buộc bất đẳng thức: ràng buộc A.x = b có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức A.x < b và “A.x < - b. 4) Ràng buộc tổng quát: Xj > 0 ; n Đối với ^ 2 i-ịX ị = 2 , t l ỉ êm biến hù x ^ > 0 : H ^ J a , j X j + x, =bị J=l n Đối với > b p i = m, + + m_,: hớĩ đi hiến bù > 0 và thêm j=i biến giả tạo >0: https://tieulun.hopto.org
Chươnĩĩ //. QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH 21 1 1 =b, J1 = II Đối với ^ j - b,; i m, + m, + 1 , m : ĩììêrn biến gia tạo > 0: .11 = n ^ ^ a „ x , + x^ =b, j- i Trong hàm mục tiêu: ứng với các biến bù, hệ số Cj = 0; ứng với biến giả tạo, hệ số Cj = -M, M là một số dương rất lớn tùy chọn, ta thường chọn M là số lớn nhất có mặt trong bài toán. T h í dụ: Các ràng buộc và mục tiêu có dạng: 2X| + 4 X t - X, < 1 0 3X| + X, + X, > 4 X, - X 3 + X j =2 >0;j = U 3 f = 3 X | - X, + 2 X3 max Sau khi thêm các bià, biến ^iả tạo, các ràng buộc và mục tiêu trở thành: 2 X | + 4 x , - X , + x_, =10 3x,+2x, + x , - X-+X(, =4 X, - X, + X, + X- X, > 0 ; j = l - 7 f = 3X| - x_, + 2 x , +0x_, + 0 x - - 1 0 X ( , - l O x , max 2.4 Quan hệ giữa bài toán min và bài toán max Bài toán min : f = c^.x -> rnin . Đặt; f| = - f = - c ‘.x Ta có quan hệ giữa 2 bài toán; niax (f) = - m in (f |) https://tieulun.hopto.org