Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 2)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn thi đh toán đại số tổ hợp_chương 5 (phần 2)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 2)

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. – Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . – Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. Chuù yù : • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k C n ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a k + x)n.. • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa k khai trieån (a + x)n. Baøi 136. Chöùng minh : a) C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : n(a + x)n-1 = C1 an −1 + 2C2 an −2 x + 3C3 an −3 x 2 + ... + nCn x n −1 n n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + … + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 = C100 2100 − C100 2 99.x + ... + C100 2100 − k (−x)k + ... + C100 x100 0 1 k 100 a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. Vaäy a97 = C100 23 (−1)97 97 100 ! −8 × 100 × 99 × 98 = –8. = = – 1 293 600 3!97! 6 b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Choïn x = 1 ta ñöôïc S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1. c) Ta coù : f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 ⇒ f ′(x) = 100(x – 2)99 Vaäy 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Choïn x = 1 ta ñöôïc M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100. Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2. a) Tính f // (1)
b) Chöùng minh 2.1.C2 + 3.2.C3 + 4.3.C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n −2 . n n n n Ñaïi hoïc An ninh 1998 Giaûi a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n – 1 ⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2 Vaäy f // (1) = n(n – 1)2n – 2 . b) Do khai trieån nhò thöùc Newton f(x) = (1 + x)n = Cn + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n 0 n n n 4 n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n - 1 = C1 + 2xC2 + 3x 2 C3 + 4x 3C4 + ... + nx n −1Cn n n n n n ⇒ f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - 2 = 2C2 + 6xC3 + 12x 2 C4 + ... + n(n − 1)x n −2 Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n(n – 1)2n – 2 = 2C2 + 6C3 + 12C n + ... + n(n − 1)C n . n n 4 n Baøi 139. Chöùng minh 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 C4 + ... + nCn = n3n −1 . n n n n n Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000 Giaûi Ta coù : (2 + x)n = C0 2 n + C1 2 n −1 x + C2 2 n −2 x 2 + C3 2 n −3 x 3 + ... + C n x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(2 + x)n – 1 = C1 2 n −1 + 2xC2 2 n −2 + 3x 2 C3 2 n −3 + ... + nx n −1Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n3n – 1 = 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3C3 2 n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 140. Chöùng minh C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn = n4 n −1 . n n n n Ñaïi hoïc Luaät 2001
Giaûi Ta coù : (3 + x)n = C0 3n + C1 3n −1 x + C2 3n −2 x 2 + C3 3n −3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(3 + x)n – 1 = C1 3n −1 + 2xC2 3n −2 + 3x 2 C3 3n −3 + ... + nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ⇒ n4n – 1 = C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 141. Tính A = C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + ... + (−1)n −1 nCn n n n n n Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999 Giaûi Ta coù : (1 – x )n = C0 − C1 x + C2 x 2 − C3 x 3 + ... + (−1)n Cn x n n n n n n Laáy ñaïo haøm hai veá ta ñöôïc –n(1 – x)n – 1 = −C1 + 2xC2 − 3x 2 C3 + ... + (−1)n nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ta coù : 0 = −C1 + 2C2 − 3C3 + ... + (−1)n nCn n n n n ⇒ A = C1 − 2C2 + 3C3 + ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n Baøi 142. Chöùng minh vôùi n ∈ N vaø n > 2 1 1 (Cn + 2C2 + 3C3 + ... + nCn ) < n! n n n (*) n Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + xC1 + x 2 C2 + ... + x n Cn n n n n Laáy ñaïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc : n(1 + x)n – 1 = C1 + 2xC2 + ... + nx n −1Cn n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n2n – 1 = C1 + 2C2 + ... + nCn n n n
1 Vaäy (*) ⇔ (n.2 n −1 ) < n! ⇔ 2n – 1 < n! (**) n Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp (**) ñuùng khi n = 3. Thaät vaäy 4 = 22 < 3! = 6 Giaû söû (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1 Vaäy (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1 ⇔ (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 ) Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1. Keát luaän : 2n – 1 < n! ñuùng vôùi ∀ n ∈ N vaø n > 2. Baøi 143. Chöùng minh a) 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n−2 n n n b) 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C n + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n 4 n d) 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 Cn − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . n n 4 n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : n(n – 1)(a + x)n – 2 = 1.2C2 an −2 + 2.3C3 an −3 x + ... + (n − 1)nCn x n −2 n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : 1.2.2 n −2 C2 + 2.3.2 n −3 C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n ⇔ 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n n d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
1.2.2 n −2 C2 − 2.3.2 n −3 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nCn = n(n − 1) n n n n ⇔ 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . n n n n Baøi 144. Chöùng minh : a) 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n n n n n Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc : x3(a + x)n = C0 an x 3 + C1 an −1x 4 + C2 an −2 x 5 + ... + Cn x n +3 . n n n n Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 3C0 an x 2 + 4C1 an −1x 3 + ... + (n + 3)Cn x n + 2 . n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 3.2 n + n2 n −1 = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc : 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n ----------------------------------------- Daïng 3: TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Chuù yù : Cn k • Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá k +1 trong khai trieån cuûa (a + x)n.
1 • Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa C n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp k k + m +1 hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n. Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2. 1 a) Tính I = ∫ x (1 + x ) dx 2 3 n 0 1 0 1 1 1 2 1 2 n +1 − 1 b) Chöùng minh : Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n . 3 6 9 3(n + 1) 3(n + 1) Ñaïi hoïc Môû 1999 Giaûi 1 1 1 a) Ta coù : I = ∫ x (1 + x ) dx = ∫ (1 + x ) d(x + 1) 2 3 n 3 n 3 0 3 0 1 1 (1 + x 3 )n +1 ⎤ 1 I= . ⎥ = 3(n + 1) ⎡2 − 1⎤ . ⎣ n +1 ⎦ 3 n + 1 ⎦0 b) Ta coù : (1 + x3)n = C0 + C1 x 3 + C2 x 6 + ... + Cn x 3n n n n n ⇒ x2(1 + x3)n = x 2 C0 + x 5C1 + x 8C2 + ... + x 3 n + 2 Cn n n n n Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 1 ⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤ I = ⎢ C0 + C1 + C2 + ... + 3n + 3 ⎥ 0 n n n ⎣3 6 9 ⎦ 2 n +1 − 1 1 0 1 1 1 2 1 Vaäy : = C n + Cn + Cn + ... + Cn n 3(n + 1) 3 6 9 3n + 3 n Cn k 2 n +1 − 1 Baøi 146. Chöùng minh ∑ k +1 n +1 k =0 = Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n n n n n ∫ (1 + x) dx = ∫ ( C + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n ) dx 1 1 Vaäy n 0 n n n n 0 0 1 1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x n +1 ⎤ ⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C2 + ... + Cn n + 1⎥0 n n n n ⎣ ⎦0 ⎣ 2 3 ⎦
2 n +1 − 1 1 1 1 ⇔ = C0 + C1 + C2 + ... + n n n Cn n n +1 2 3 n +1 2 n +1 − 1 n Cn k ⇔ n +1 = ∑ k +1 k =0 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 n +1 − 1 n Baøi 147. Tính : C0 + n Cn + Cn + ... + Cn . 2 3 n +1 Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n ∫ (C + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C n x n ) dx 2 2 Vaäy ∫ (1 + x)n dx = 0 1 1 n n n n n 2 2 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x4 x n +1 ⎤ ⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C 2 + C3 + ... + Cn n + 1 ⎥1 n n n n n ⎣ ⎦1 ⎣ 2 3 4 ⎦ 3n +1 2 n +1 1 2 1 2 1 2 ⇔ − = C0 [x]1 + C1 ⎡ x 2 ⎤ + C2 ⎡ x 3 ⎤ + ... + n 2 n ⎣ ⎦1 3 n ⎣ ⎦1 Cn ⎡ x n +1 ⎤ n ⎣ ⎦1 n +1 n +1 2 n +1 3n +1 − 2 n +1 1 2 −1 2 2 2 −1 3 n 2 n +1 −1 ⇔ = Cn + Cn 0 + Cn + ... + Cn n +1 2 3 n +1 Baøi 148. Chöùng minh : 1 1 (−1)n n +1 n 1 + (−1)n 2C0 − 22.C1 + 23.C2 + ... + n n n 2 Cn = 2 3 n +1 n +1 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996 Giaûi Ta coù : (1 – x)n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n Cn x n n n n n ∫ (C − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n C n x n ) dx 2 2 Vaäy ∫ (1 − x)n dx = 0 0 0 n n n n 2 2 ⎡ (1 − x)n +1 ⎤ ⎡ 1 x3 (−1)n x n +1 n ⎤ ⇔ ⎢ − = ⎢C0 x − x 2 C1 + C2 + ... + Cn ⎥ n + 1 ⎥0 ⎣ n n n ⎣ ⎦ 2 3 n +1 ⎦0 (−1)n +1 − 1 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n ⇔ − = 2Cn − Cn + Cn + ... + 0 Cn n +1 2 3 n +1 1 + (−1)n 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n ⇔ = 2Cn − Cn + Cn + ... + 0 Cn n +1 2 3 n +1
Baøi 149. Chöùng minh : 1 1 1 (−1)n a) (−1) C + (−1) n 0 n n −1 Cn + ... + Cn = n 2 n +1 n +1 1 1 1 b) C0 − C1 + ... + (−1)n n n Cn = n . 2 n +1 n +1 Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (a + x) dx = ∫ ( C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx 1 1 Vaäy : n 0 n n n n 0 0 1 1 (a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + n n Cn x n +1 ⎟ n n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0 (a + 1)n +1 − an +1 1 1 ⇔ = C0 an + C1 an −1 + ... + n n Cn . n n +1 2 n +1 a) Vôùi a = –1 , ta ñöôïc : 1 1 −(−1)n +1 (−1)n (−1)n C0 + (−1)n −1 C1 + ... + n n Cn = n = 2 n +1 n +1 n +1 b) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx −1 −1 Vaäy ∫ (a + x)n dx = 0 n 0 0 n n n −1 −1 (a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + n n Cn x n +1 ⎟ n n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0 (a − 1)n +1 − an +1 1 1 ⇔ = −C0 an + C1 an −1 − ... + (−1)n +1 n n Cn . n n +1 2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 1 1 −1 −C0 + C1 − ... + (−1)n +1 n n Cn = n . 2 n +1 n +1 1 1 1 ⇔ C0 − C1 + ... + (−1)n n n Cn = n . 2 n +1 n +1
1 Baøi 150. Tính ∫ 0 x(1 − x)19 dx 1 0 1 1 1 2 1 1 Ruùt goïn S = C19 − C19 + C19 + ... + C18 − C19 19 19 2 3 4 20 21 Ñaïi hoïc Noâng nghieäp Haø Noäi 1999 Giaûi • Ñaët t=1–x ⇒ dt = –dx Ñoåi caän x 0 1 t 1 0 1 0 Vaäy I= ∫0 x(1 − x)19 dx = ∫ 1 (1 − t)t19 (−dt) 1 1 1 20 1 21 ⎤ 1 1 1 ⇔ I = ∫ (t − t )dt =19 t − t ⎥ = 20 − = 0 20 21 ⎦ 0 20 21 420 • Ta coù : (1 – x)19 = C19 − C1 x + C19 x 2 + ... + C18 x18 − C19 x19 0 19 2 19 19 ⇒ x(1 – x)19 = xC19 − C1 x 2 + C19 x 3 + ... + C19 x19 − C19 x 20 0 19 2 18 19 1 1 ⎡ x 2 0 x3 1 x 20 18 x 21 19 ⎤ Vaäy I = ∫ x(1 − x) dx = ⎢ C19 − C19 + ... + 19 C19 − C19 ⎥ 0 ⎣2 3 20 21 ⎦0 1 1 0 1 1 1 1 ⇔ = C19 − C19 + ... + C18 − C19 19 19 420 2 3 20 21 1 Vaäy S= . 420 Baøi 151. 1 a) Tính ∫ 0 x(1− x 2 )n dx 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 b) Chöùng minh C n − C n + C n − C n + ... + Cn = 2 4 6 8 2n + 2 2(n + 1) Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1997 Giaûi
1 1 1 a) Ta coù : I = ∫ x(1 − x 2 )n dx = − ∫0 (1 − x ) d(1 − x ) 2 n 2 0 2 1 1 ⎡ (1 − x 2 )n +1 ⎤ 1 ⇔ I= − ⎢ ⎥ = − 2(n + 1) ⎡ 0 − 1 ⎤ ⎣ n +1 ⎦ 2 ⎣ n + 1 ⎦0 1 ⇔ I= . 2(n + 1) b) Ta coù : (1 – x2)n = C0 − C1 x 2 + C2 x 4 − C3 x 6 + ... + (−1)n Cn x 2n n n n n n ⇒ x(1 – x2)n = xC0 − C1 x 3 + C2 x 5 − C3 x 7 + ... + (−1)n Cn x 2n +1 n n n n n 1 1 ⎡ x2 x4 x6 x8 (−1)n 2n + 2 n ⎤ Vaäy I = ∫ x(1 − x ) dx = ⎢ C0 − C1 + C2 − C3 + ... + 2 n n n n n x Cn ⎥ 0 ⎣2 4 6 8 2n + 2 ⎦0 1 1 1 1 1 (−1)n n ⇔ = C0 − C1 + C2 − C3 + ... + n n n n Cn 2(n + 1) 2 4 6 8 2n + 2 Baøi 152* .Chöùng minh : 1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 Cn + C n + ... + Cn = n . 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) Giaûi a) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + ... + C n x n n n n Suy ra : x2(a + x)n = C0 an x 2 + C1 an −1x 3 + ... + Cn x n + 2 n n n ∫ (C a x + C1 an −1x 3 + ... + C n x n + 2 )dx 1 1 Vaäy ∫ x 2 (a + x)n dx = 0 n 2 n 0 0 n n 1 0 n 1 1 n −1 1 = Cn a + Cn a + ... + Cn n 3 4 n+3 Ñeå tính tích phaân ôû veá traùi, ñaët t=a+x ⇒ dt = dx Ñoåi caän : x 0 1 t a a+1
Suy ra : 1 a +1 ∫ 0 x 2 (a + x)n dx = ∫a (t − a)2 t n dt a +1 a +1 ⎛ t n +3 2at n + 2 a2 t n +1 ⎞ = ∫ (t − 2at + a t )dt = ⎜ n +2 n +1 2 n − + ⎟ a ⎝ n+3 n+2 n +1 ⎠ a (a + 1)n +3 − an +3 2a ⎡(a + 1) − a ⎤ a2 ⎡(a + 1)n +1 − a n +1 ⎤ n+2 n +2 = − ⎣ ⎦+ ⎣ ⎦ n+3 n+2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 1 2 n +3 − 1 2(2 n + 2 − 1) 2 n +1 − 1 ∫ 0 x 2 (a + x)n dx = n+3 − n+2 + n +1 ⎛ 4 4 1 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞ = 2 n +1 ⎜ − + ⎟+⎜ − − ⎟ ⎝ n + 3 n + 2 n +1⎠ ⎝ n + 2 n + 3 n +1⎠ n2 + n + 2 2 = 2 n +1 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 Suy ra : Cn + Cn + ... + Cn = n . 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)