CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA
1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Sơ đồ khảo sát hàm số
( )y f x
:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm
y
. Tìm các điểm tại đó
y
bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Xét dấu
y
để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao
điểm của đồ thị với các trục toạ độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý
đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 4 y x x
.
Giải
1. Tập xác định của hàm số:
.
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
2
3 6
y x x
. Vậy
0
y
khi
0x
hoặc
2x
.
- Trên khoảng
(0;2), 0
y
nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng
( ;0)
và
(2; )
,
0
y
nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
- Hàm số đạt cực tiểu tại
0x
, giá trị cực tiểu
4
CT
y
. Hàm số đạt cực đại tại
2x
, giá trị
cực đại
0
CĐ
y
.
- Giới hạn tại vô cực:
3 3
3 3
3 4 3 4
lim lim 1 ; lim lim 1
   
 
x x x x
y x y x
x x x x .
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
(0; 4)
.
- Ta có
3 2 2
0 3 4 0 ( 2) ( 1) 0 1 y x x x x x
hoặc
2x
. Do đó giao
điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm
( 1;0)
và
(2;0)
.
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm
(1; 2)
.
CHUYÊN ĐỀ 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA
• Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chú ý. Đồ thị của hàm số bậc ba
3 2
( 0) y ax bx cx d a
:
- Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn
0

y
, hay
3
b
xa
.
- Không có tiệm cận.
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
2 2 1 y x x x
.
Giải
1. Tập xác định của hàm số:
.
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
2
3 4 2
y x x
. Vậy
0
y
với mọi
x
.
- Hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
.
- Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực:
3
2 3
2 2 1
lim lim 1
 

x x
y x x x x ;
3
2 3
2 2 1
lim lim 1
 

x x
y x x x x
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
(0; 1)
.
- Ta có
3 2
0 2 2 1 0 y x x x
2
( 1) 1 0 1. x x x x
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm
(1;0)
.
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm 2 7
;
3 27
.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trong trường hợp tổng quát, để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
- Tính đạo hàm
y
và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0.
Lập bảng biến thiên; xác định chiều biến thiên, cực trị của hàm số (nếu có).
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong
trường hợp đơn giản),...
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
- Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).
Chú ý: Đồ thị hàm số
( )y f x
giao với trục hoành tại những điểm có hoành độ là nghiệm của
phương trình
( ) 0f x
, giao với trục tung tại điểm có tung độ là
(0)f
nếu 0 thuộc tập xác định
của hàm số đó.
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 4y x x
.
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 4 2y x x x
.
Câu 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2 y x x
.
Câu 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 3
2 2
y x x x
.
Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x
.
Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
( ) 3 4 2y f x x x x
.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC
BA
Câu 7. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số
3 2
, , , y ax bx cx d a b c d
có đồ thị là đường
cong trong hình bên.
Xác định dấu của các hệ số
, , ,a b c d
?
Câu 8. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ thị như hình vẽ bên
dưới:
Xác định dấu các hệ số của hàm số.
Câu 9. (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ thị như hình
vẽ. Xác định dấu của các hệ số
, ,a b c
và
d
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 10. Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
có đồ thị ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
3;1 .
A
Câu 11. Cho hàm số
3 2
3x 4
y x mx
, trong đó m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với
0
m
;
2. Với giá trị nào của
m
thì hàm số nghịch biến trên khoảng
; 0

.
Câu 12. Cho hàm số
3 2
y x x x
có đồ thị
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
32
2 9 12
x x x m
Câu 13. Cho hàm số
3 2
2
y x mx
có đồ thị là
,
m
C m
là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
khi
3
m
2. Tùy theo
k
giải và biện luận phương trình:
32
3 0
x x k
3. Gọi
A
và
B
là hai điểm cực trị của
C
, tìm điểm
M
trên
C
sao cho tam giác
MAB
cân
tại
M
4. Tìm
m
để đồ thị hàm số
m
C
cắt trục hoành tại điểm duy nhất.
Câu 14. Cho hàm số
3 2
3 9 1y x x x
có đồ thị là.
C
1. Tìm
m
để đường thẳng
: 2 1 1
m
d y m x
cắt đồ thị
m
C
tại ba điểm phân biệt
0; 1 , ,A B C
sao cho
82
BC
.
2. Tìm những điểm nằm trên
C
mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến
C
.
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị
m
C
của hàm số
3 2 2
3 4 1 2 3
y x x m x m
cắt
Ox
tại ba điểm
, ,A B C
sao cho
AB BC
.
Câu 16. Tìm
m
để đồ thị
m
C
:
3 2
3 1 3 1
y x m x mx m
cắt
Ox
tại ba điểm phân biệt trong
đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm.
Câu 17. Tìm
m
để đồ thị
3 2
: 2 3 1 3
m
C y x x m x m
cắt đường thẳng
d y m x m
tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
1
x x x
.
Câu 18. Cho hàm số
C
3 2
5 6 3y x x x
.
1. Tìm trên đồ thị
2
C
những cặp điểm đối xứng qua
O
2. Tìm
m
để trên
O
tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua
Oy
Câu 19. Cho hàm số
2
:C y
x
có đồ thị
C
. Trên đồ thị
C
có bao nhiêu bộ bốn điểm
, , ,A B C D
sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm
1; 1
I
.
Câu 20. Trên mp
Oxy
cho đồ thị
C
:3
2 2y x x
. Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất
cả các đỉnh đều nằm trên
C
thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ
O
.
Câu 21. Biết đồ thị hàm số
3 2
y x ax bx c
cắt
Ox
tại ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng
3
3 2
27 2 9 2 3c a ab a b
.
Câu 22. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình
1f f x
Câu 23. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số
3 2
f x x bx cx d
có đồ thị là đường cong trong hình
bên dưới.
Tìm số nghiệm của phương trình
4 1f f x f x
Câu 24. (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho hàm số
3 2
2 3 1y f x x x
. Tìm tập hợp
các giá trị
m
để phương trình
2sin 1
2
x
f f f m
có nghiệm.
Câu 25. (Mã 104 2019) Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số nghiệm thực của phương trình
3
2
33
f x x
Câu 26. (Chuyên Thái Bình - 2021) Cho hàm số
3 2
y f x ax bx cx d
có bảng biến thiên như
sau:
Tìm
m
để phương trình
1 2f x m
có
4
nghiệm thỏa mãn
1 2 3 4
1x x x x
.