TR NG ĐI H C QUY NH NƯỜ Ạ Ọ Ơ
KHOA TOÁN
L P S PH M TOÁN K29Ớ Ư Ạ
Ng i th c hi n :ườ ự ệ Lê Nguy n Minh Trungễ
Vũ Th H ngị ươ
Đ TÀI:Ề
Ph ng pháp ch ng minh và sáng t o b tươ ứ ạ ấ
đng b ng s d ng các tính ch t đi s vàẳ ằ ử ụ ấ ạ ố
hình h c c a tích phânọ ủ
Giáo viên h ng d n : D ng Thanh Vướ ẫ ươ ỹ
Quy Nh n, tháng 10 năm ơ
2009
L I NÓI ĐUỜ Ầ
B t đng th c là m t trong nh ng n i dung quan tr ng trong ch ng trìnhấ ẳ ứ ộ ữ ộ ọ ươ
toán ph thông, nó v a là đi t ng đ nghiên c u mà cũng v a là m tổ ừ ố ượ ể ứ ừ ộ
công c đc l c, v i nh ng ng d ng trong nhi u lĩnh v c khác nhau c aụ ắ ự ớ ữ ứ ụ ề ự ủ
toán h c. Trong các đ thi ch n h c sinh gi i các c p nh ng bài toánọ ề ọ ọ ỏ ở ấ ữ
ch ng minh b t đng th c th ng xu t hi n nh m t d ng toán khá quenứ ấ ẳ ứ ườ ấ ệ ư ộ ạ
thu c, nh ng đ tìm ra l i gi i không ph i là m t vi c d dàng.ộ ư ể ờ ả ả ộ ệ ễ
Các ph ng pháp ch ng minh b t đng th c khá phong phú, đa d ng vàươ ứ ấ ẳ ứ ạ
đã đc khá nhi u tài li u đ c p đn. M t trong nh ng ph ng phápượ ề ệ ề ậ ế ộ ữ ươ
ch ng minh b t đng th c ho c sáng t o ra b t đng th c là vi c sứ ấ ẳ ứ ặ ạ ấ ẳ ứ ệ ử
d ng các tính ch t đi s và hình h c c a tích phân.ụ ấ ạ ố ọ ủ
Trên tinh th n đó ti u lu n g m các ph n: m c l c, m đu, 7 v n đ,ầ ể ậ ồ ầ ụ ụ ở ầ ấ ề
ph l c, k t lu n và tài li u tham kh o.ụ ụ ế ậ ệ ả
V n đ 1: B t đng th c c a hàm s gi i n i và l i.ấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ớ ộ ồ
V n đ 2: B t đng th c c a hàm s liên t c.ấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ụ
V n đ 3: B t đng th c c a hàm s liên t c và đn đi u.ấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ụ ơ ệ
V n đ 4: B t đng th c c a hàm s kh vi.ấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ả
V n đ 5: B t đng th c c a hàm s kh tích.ấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ả
V n đ 6: S d ng công th c tính đ dài cung ph ng đ ch ng ấ ề ử ụ ứ ộ ẳ ể ứ
minh b t đng th c .ấ ẳ ứ
V n đ 7: S d ng công th c tính di n tích hình ph ng đ ch ng ấ ề ử ụ ứ ệ ẳ ể ứ
minh b t đng th c .ấ ẳ ứ
N i dung trong 5 v n đ đu đ c p đn vi c s d ng các tính ch t đi sộ ấ ề ầ ề ậ ế ệ ử ụ ấ ạ ố
đn gi n c a tích phân đ ch ng minh m t s bài toán liên quan, trên c sơ ả ủ ể ứ ộ ố ơ ở
đó đa ra nh ng ví d áp d ng đ sáng t o ra b t đng th c, 2 v n đ cònư ữ ụ ụ ể ạ ấ ẳ ứ ấ ề
l i đ c p đn vi c thông qua nh ng c l ng tr c quan t hình h c đạ ề ậ ế ệ ữ ướ ượ ự ừ ọ ể
ch ng minh b t đng th c kèm theo nh ng ví d minh ho c th .ứ ấ ẳ ứ ữ ụ ạ ụ ể
Đ hoàn thành ti u lu n này, chúng tôi đã c g ng t p trung nghiên c u,ể ể ậ ố ắ ậ ứ
xong do ít nhi u h n ch v th i gian cũng nh v năng l c nên ti u lu nề ạ ế ề ờ ư ề ự ể ậ
ch c ch n còn nhi u v n đ ch a đ c p đn ho c có đ c p nh ng ch aắ ắ ề ấ ề ư ề ậ ế ặ ề ậ ư ư
đi sâu vào khai thác ý t ng v n đ. Vì v y ti u lu n khó tránh kh i nh ngưở ấ ề ậ ể ậ ỏ ữ
thi u xót nh t đnh. Chúng tôi r t mong đc s ch b o c a quý th y cô vàế ấ ị ấ ượ ự ỉ ả ủ ầ
các b n đc v ti u lu n này.ạ ọ ề ể ậ
Quy Nh n, ngày 11 tháng 11 năm 2009.ơ
V n đ 1. B t Đng Th c C a Hàm S Gi i N i Và L iấ ề ấ ẳ ứ ủ ố ớ ộ ồ
Bài toán. Gi s r ng trên [a,b] hàm f(x) gi i n i và l i. Ch ng minhả ử ằ ớ ộ ồ ứ
r ng ằ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
b
f a f b a b
b a f x dx b a f
a
+ +
� �
− −
� �
� �
Ch ng minhứ
Vì f(x) l i trên [a,b] nên v i b t k xồ ớ ấ ỳ 1,x2 [a,b] ta có b t đng th c soấ ẳ ứ
sánh f(1x1 + 2x2) 1f(x1) + 2f(x2) n u ế1 0 , 2 0 , 1 + 2 = 1
(theo đnh nghĩa)ị
Vì hàm l i trên m t đo n nên nó liên t c. Nh v y, f(x) kh tích trênồ ộ ạ ụ ư ậ ả
[a,b]. S d ng tính ch t l i c a f(x) ta có ử ụ ấ ồ ủ
[ ]
1
( ) ( ) ( ) ,
2 2 2 2
a b a b
f f f a f b a b a
ξ ξ ξ ξ ξ
+ + −
� �
= + > + + − −
� �
� �
Tích phân theo
ξ
tròg kho ng [0,b-a] ta nh n đc ả ậ ượ
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0 0
b a b a b
a b
b a f f a d f b d f x dx
a
ξ ξ ξ ξ
− −
� �
+
− + + − =
� � �
� �
� �
(1)
trong tích phân đu ta thay a +ầ
ξ
= t , còn tích phân th hai thay b-ứ
ξ
= z.
Chia [a,b] thành n ph n b ng nhau ầ ằ
b a
xin
−
� �
∆ =
� �
� �
và l p t ng tích phânậ ổ
v i ớ
x
k k
ξ
=
( )
1 1 1
0 0
n n
k b a
b a b a k k
S f a f a b
nn n n n n
k k
− −
−� �
− − ��
� �
= + = − +
� �
� � � �
� �
� �
= = � �
� �
Do f(x) l i , ta có ồ
k
1 > 1- ( ) ( )
n
k k k
f a b f a f b
n n n
� �
� � � �
− + +
� � � �
� �
� � � �
� �
B i v y ở ậ
(2).
Chuy n qua gi i h n b t đng th c (2) khi ể ớ ạ ấ ẳ ứ
n
(do f(x) kh tích ) taả
nh n đcậ ượ
( )
( ) ( ) ( )
2
bb a
f x dx f a f b
a
−
+
K t h p (1) và (2) ta có ế ợ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
b
f a f b a b
b a f x dx b a f
a
+ +
� �
− −
� �
� �
.
Ví d 1.1.ụ Cho 0 < a < b, p > 2. Ch ng minh r ngứ ằ
( )
()
( )
()
1 1 1 1
1 1
p p p b
p a b ab p a b
+ + − −
− − + −
L i gi i ờ ả
Xét hàm s y = f(x) = xốp trên [a,b], v i a > 0, p > 2. ớ
Ta có
2
'' ( 1) 0
p
y p p x −
= − − <
.
V y hàm s y = f(x) b ch n và l i trên [a,b]. Khi đóậ ố ị ặ ồ
( )
( ) ( ) ( )
2
b
f a f b
b a f x dx
a
+
−
( )
( )
( )
()
( )
()
( )
()
2
1 1
2
1
1 1 1 1
1 1
p p b
a b p
b a x dx
a
p p
a b
p p
a b a b p
p p p b
p a b ab p a b
− −
− −� �
+ +
−
− +� � +
+ + − −
− − + −� �
Ví d 1.2ụ V i 0 < a < b Ch ng minh ớ ứ
()
2 2 2 2
ln lnab a b a b− −
L i gi i ờ ả
Xét y = - xlnx trên (0,+) .
Ta có
1
'' 0, 0y x
x
= − < ∀ >
. Khi đó
( )
( )
ln ln ln
2
2
12
ln ln ln
2 2 2
b
b a a a b b x xdx
a
b
b a x
a a b b x x
a
−− − −
� �
−� �
− − − −� � � �
� �
()
2 2 2 2
ln lnab a b a b− −
Ví d 1.3.ụ 0 < a < b < 1. Ch ng minh ứ
2 2
1 1 arcsinb-arcsinab a a b− − −
L i gi iờ ả
Xét f(x) =
2
1x−
trên [a,b] v i 0 < a < b < 1.ớ
Ta có f’(x) =
2
1
x
x
−−
,
()
1
''( ) 2 2
1 1
f x
x x
= − − −
< 0 , x [a,b]
f(x) b ch n và l i trên [a,b] . Khi đó ị ặ ồ
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
12 2 2
1 1 1
2
1 1
2 2 2
1 1 1 arcsinx
2 2
2 2
1 1 arcsinb -arcsina
b
b a f a f b f x dx
a
b
b a a b x dx
a
b
b a a b x x
a
b a a b
− +
� �
− − + − −� �
� �
� �
� � � �
− − + − − +� �
� � � �
� � � �
− + −� �
Ví d 1.4. ụV i 0 < a < b. Ch ng minh ớ ứ
21
2 2
1 1 ln 21
b b
b a a b
a a
+ +
− − − + +
.
L i gi i ờ ả
Xét
()
1
2 ''
1, 0, [a,b]
2 2
1 1
y x y x
x x
= − + = − < ∀
− +
.
Ta có y = f(x) la hàm b ch n và l i trên [a,b]. Khi đóị ặ ồ
( )
( ) ( ) ( )
2
b
f a f b
b a f x dx
a
+
−
1
2 2 2 2
1 1 1 ln 1
2 2
2
1
2 2
1 1 ln 2
1
b
a b a b x x x x
a
b b
b a a b
a a
−� �
� �
+ + + − + + + +� �
� � � �
� � � �
+ +
+ − +� �
+ +
Ví d 1.5.ụ V i ớ
04
x y
π
< < <
. Ch ng minhứ
( ) ( ) ( ) ( )
sin 2 2 os2x-cos2y 2 y-x siny x x y c x y− + +
.
L i gi i ờ ả
Xét f(t) = sin2t trên [x,y] [0,
4
π
].
Ta có
''( ) 4sin 2 0 [x,y]f t t x= − < ∀
. Khi đó
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
y
f x f y x y
y x f x dx y x f
x
+ +
� �
− −
� �
� �
( ) ( ) ( )
sin 2 sin 2 sin 2 sin
2
y
x y
y x tdt y x x y
x
+
− − +� � �
( ) ( ) ( ) ( )
sin 2 2 os2x-cos2y 2 y-x siny x x y c x y− + +
.