Tuần 6
PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC
Mã học phần: CH3454
TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất
Numerical Methods in Chemical Engineering
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Phương pháp Newton có thể tổng quát hóa để giải hệ phương trình phi tuyến có dạng:
Dạng ma trận:
Trong đó:
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Công thức Newton với phương trình 1 biến:
Hay:
Với:
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Đối với hệ phương trình phi tuyến, công thức Newton tổng quát:
Trong đó J(Xi) là ma trận (toán tử) Jacobi. Nó là ma trận cấp n có dạng:
Và:
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình đã cho thành một hệ phương trình tuyến tính mà biến số của hệ là D X.
Như vậy ở mỗi bước lặp (bước thứ i), cần phải giải một hệ phương trình tuyến tính với biến số là D Xi cho đến khi được nghiệm gần đúng.
Vì vậy: việc giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton là lặp lại việc giải hệ phương trình tuyến tính:
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Do đó việc giải một hệ phi tuyến bằng phương pháp Newton, chính là việc giải hệ phương trình tuyến tình với:
¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230)
...
(cid:247) (cid:231)
2
n
) )
...
=
=
=
X
)
)
xF ( i
( xJ i
... ...
xf ( 1 i xf ( 2 i ... ... x (
f
)
x 1 x 2 ... ... nx
n
n
...
f 1 x f 2 x 2 ... ... f n x
f 1 x f 2 x n ... ... f n x
f 1 x 1 f 2 x 1 ... ... f n x 1
2
n
¶ ¶ ¶ D (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) D (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) D (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) D ł Ł ł Ł ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ł Ł
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton Gi ế ằ ươ
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ
...
¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) Thuật toán: 1 Chọn giá trị đầu X0: (cid:247) (cid:231)
) )
...
0
=
=
)
=
xJ (
)
0 xF ( i
X
0 x 1 0 x 2 ...
i
0
... ...
)
0 xf ( i 1 0 ( xf 2 i ... ... 0 xf ( i n
... 0 nx
...
f 1 0 x 1 f 2 0 x 1 ... ... f n 0 x 1
f 1 0 x 2 f 2 0 x 2 ... ... f n 0 x 2
f 1 0 x n f 2 0 x n ... ... f n 0 x n
¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ł Ł
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton Gi ế ằ ươ
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ
Thuật toán:
2 Giải hệ phương trình tuyến tính (Gauss hoặc GaussJordan):
(cid:246) (cid:230) D (cid:247) (cid:231)
D (cid:247) (cid:231)
=
D+
X
X
X
=
1
0
0
X
0
(cid:247) (cid:231) D (cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231)
0 x 1 0 x 2 ... ... 0 nx
e
D ł Ł
?
ix
max
£ D 3 Kiểm tra sai số:
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Thuật toán: Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX); Begin F[1]:=…; F[2]:=…; … F[nF]:=…; End;
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Thuật toán: Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA); Begin A[1,1]:=…; A[1,2]:=…; … A[1,nF]:=…; … A[nF,1]:=…; A[nF,2]:=…; … A[nF,nF]:=…; End;
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton Gi ế ằ ươ
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ
x
2
Ví dụ: (cid:236)
=
=
- (cid:239)
,
(
)
2
x 1
x 1
Giải hệ phương trình phi tuyến (cid:237) - (cid:239)
=
e +
0 =
,
)
e
5
x
0
(cid:238)
xxf 1 1 2 xxf ( 2 1
2
2
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton Gi ế ằ ươ
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ
Ví dụ: Program HFT1; uses crt; Type mX = …; mA = …; Var X0,X,dX,B,F:mX; A:mA; nF,i,j,k:integer; dXmax,eps:real; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Ví dụ: Program HFT1; … Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX); Begin F[1]:=-2*x[1]+exp(x[2]); F[2]:=-exp(-x[1])-5*x[2]; End; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
ươ ng trình chính}
Ví dụ: Program HFT1; … Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA); Begin A[1,1]:=2; A[1,2]:=-exp(x[2]); A[2,1]:=-exp(-x[1]); A[2,2]:=5; End; Procedure GAUSS(A:mA;B:mX; Var X:mX;nF:integer); {Ch …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
ị ầ ậ
Ví dụ: Program HFT1; … BEGIN clrscr; writeln (‘Nh p các giá tr đ u X0:’); For i:=1 to nF do readln(x0[i]); For j:=1 to nF do x[j]:=x0[j]; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton Gi ế ằ ươ
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ
Ví dụ: Program HFT1; … k:=0; Repeat HAM(X,nF,F); For j:=1 to nF do B[j]:=F[j]; DHAM(X,A); GAUSS(A,B,dX,nF); …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
Ví dụ: Program HFT1; … k:=0; Repeat … For j:=1 to nF do X[j]:=X[j]+dX[j]; For j:=1 to nF do if dX[j]>=dXmax then dXmax:=dX[j]; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
Gi ng trình phi tuy n b ng ph ng pháp Newton
phi tuyến i h ph ươ
ả ệ ế ằ ươ
ế ả
Ví dụ: Program HFT1; … Repeat … k:=k+1; Until dXmax<=eps; {In k t qu } For i:=1 to nF do writeln (‘X[’,i,‘] = ’,X[i]); readln; END.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Dung dịch sau gia nhiệt
Hơi nước bão hòa
Nước ngưng
Dung dịch cần gia nhiệt
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Cơ chế trao đổi nhiệt
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
.
D Phương trình trao đổi nhiệt cơ bản: = . tbtFKQ
t
t 1
2
=
D - D
ttb
D
ln
D
=
K
1
1
i
+
D
+
t 1 t 2 1 d l
a
a
1
2
i
(cid:229) Biến thiên nhiệt độ trong thiết bị TĐN
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
=
Xác định diện tích bề mặt trao đổi nhiệt và số ống của chùm ống:
.
. tbtFKQ
=
D
tCGQ . (
t
)
p
c
đ
-
t
)
đ
=
F
-
. tCG ( p c . tK
tb
D
Biến thiên nhiệt độ trong thiết bị TĐN
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
=
=
Để thuận tiện trong tính toán thiết bị trao đổi nhiệt, sử dụng đại lượng mật độ dòng nhiệt:
q
. tbtK
Q F
=
=
D
q
q
q 1
2
d
Giả thiết trao đổi nhiệt ổn định: = q
Cơ chế trao đổi nhiệt
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
=
=
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
q
q
q 1
2
d
= a
Giả thiết trao đổi nhiệt ổn định: = q
)
q 1
1
Tt
1
i
=
-
q
)
d
t ( T
1
t T
2
t ( 1 l d
i
= a
- (cid:229)
q
t
)
2
t ( T
2
2
2
-
Cơ chế trao đổi nhiệt
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Phương pháp tính:
Chọn sơ bộ kích thước ống chùm:
Chiều dài , đường kính
Chọn sơ bộ chế độ chuyển động:
Thường chọn trước Re ở chể độ chảy rối (xoáy)
Cơ chế trao đổi nhiệt Xác định các hệ số cấp nhiệt trên hai bề mặt của ống.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Phương pháp tính:
Chọn sơ bộ kích thước ống chùm:
Chiều dài , đường kính
Chọn sơ bộ chế độ chuyển động:
Thường chọn trước Re ở chể độ chảy rối (xoáy)
Cơ chế trao đổi nhiệt Xác định các hệ số cấp nhiệt trên hai bề mặt của ống.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.3 Ứng dụng
Tính toán thi t b trao đ i nhi ế ị ổ t ệ
Phương pháp tính:
)
1Tt t ( 1
1
Tt
1
Chọn giá trị đầu: = a - Xác định:
i
q 1 2Tt =
=
Xác định:
q
)
d
q 1
t ( T
1
t T
2
i
- (cid:229)
q
t
)
2
2
2
2
theo: l d = a - Xác định:
t ( T
q
q 1
q 1
2
£ - Cơ chế trao đổi nhiệt / ?%5 Kiểm tra sai số:
