Phương trình chuyển động của con quay hai bậc tự do tốc độ góc có tính đến ảnh hưởng yếu tố kết cấu và động lực

Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> <br /> Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña con quay<br /> hai bËc tù do ®o tèc ®é gãc cã tÝnh ®Õn ¶nh<br /> h­ëng yÕu tè kÕt cÊu vµ ®éng lùc<br /> BÙI NGỌC HỒI*, LÊ VĂN HOÀNG*, NGUYỄN VĂN TUYẾN**<br /> Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu thiết lập phương trình chuyển<br /> động của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc của tên lửa, trong đó có tính đến<br /> ảnh hưởng của các yếu tố kết cấu và động lực. Phương trình cho phép nghiên cứu<br /> ảnh hưởng của các thông số kết cấu và động lực tới độ chính xác đo tốc độ góc của<br /> con quay, rút ra được công thức tính sai số đo tốc độ góc của con quay khi tên lửa<br /> chuyển hướng bay do các mômen ngoại lực tác động gây ra.<br /> Từ khóa: Tên lửa, Con quay, Tốc độ góc.<br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Phần tử nhạy cảm (cảm biến) của các thiết bị con quay trong các hệ thống tự<br /> động điều khiển tên lửa, máy bay, tàu ngầm, tàu chiến, tháp pháo xe tăng… là con<br /> quay hai bậc tự do đo tốc độ góc [1,2,3,4,5]. Sai số đo tốc độ góc (độ chính xác)<br /> của con quay ảnh hưởng trực tiếp tới độ chính xác điều khiển của các loại vũ khí<br /> kể trên. Để có cơ sở đánh giá các yếu tố ảnh hưởng tới độ chính xác đo tốc độ góc<br /> của con quay và do đó tới độ chính xác điều khiển vũ khí tên lửa, máy bay... thì<br /> việc thiết lập phương trình chuyển động của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc<br /> có tính đến ảnh hưởng của các yếu tố kết cấu và động lực có ý nghĩa đặc biệt quan<br /> trọng. Nội dung bài báo sẽ giải quyết vấn đề nêu trên.<br /> <br /> 2. KẾT CẤU VÀ NGUYÊN LÝ LÀM VIỆC CỦA CON QUAY<br /> HAI BẬC TỰ DO ĐO TỐC ĐỘ GÓC<br /> 2.1. Sơ đồ kết cấu của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc<br /> Trên hình 2.1 là sơ đồ kết cấu của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2.1. Sơ đồ con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc.<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10- 2014 3<br />  Tên lửa & Thiết bị bay<br /> <br /> Trong đó: 1 - roto con quay; 2 - khung các đăng; 3- giảm chấn; 4 - biến trở<br /> (chiết áp); 5 - thanh quét; 6 - lò xo.<br /> Hệ tọa độ gắn với tên lửa là OXYZ; trong đó trục OX trùng với trục dọc thân<br /> tên lửa, trục OZ là trục ngang thân tên lửa, trục OY vuông góc với mặt phẳng OXZ<br /> tạo thành tam diện thuận.<br /> Hệ trục tọa độ gắn với con quay là Oxyz; trong đó điểm O là tâm của con quay và<br /> trùng với điểm gốc O của hệ trục tọa độ tên lửa OXYZ; trục Ox trùng với trục OX<br /> của tên lửa và hướng theo trục quay của hệ con quay (trục Ox thường gọi là trục ra<br /> của thiết bị con quay đo tốc độ góc); trục Oz hướng theo trục quay riêng của rôto<br /> con quay và trùng với hướng của vector động lượng H ; trục Oy vuông góc với<br /> mặt phẳng Oxz và tạo với chúng thành một tam diện thuận. Các trục Ox, Oy và Oz<br /> là các trục quán tính chính của rôto và khung các đăng con quay.<br /> <br /> 2.2 Nguyên lý làm việc của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc.<br /> Con quay hai bậc tự do hình 2.1 dùng để đo tốc độ góc ωY của tên lửa quanh<br /> trục OY. Bởi vậy trục OY gọi là trục nhạy hay là trục đo và còn gọi là trục vào của<br /> thiết bị [3]. Ở thời điểm ban đầu trục Oz trùng với trục OZ, trục Oy trùng với trục<br /> OY. Khi tên lửa quay quanh trục OY với tốc độ góc ωY, theo tính chất của con<br /> quay hai bậc tự do [1], quanh trục Ox xuất hiện mômen con quay, nó có xu hướng<br /> làm trùng véc tơ mômen động lượng H với véc tơ tốc độ góc Y bằng con đường<br /> ngắn nhất; hệ quả của nó là làm cho con quay (khung các đăng và rôto) quay theo<br /> hướng đã chỉ ra trên hình 2.1. Chuyển động quay của con quay quanh trục Ox bị<br /> cản bởi lò xo 6 có độ cứng là c và tạo ra mômen cản quanh trục Ox do biến dạng<br /> của lò xo là MC. Khi mômen cản MC đạt tới giá trị bằng mômen con quay Mq, con<br /> quay sẽ ngừng quay và khung các đăng sẽ ở vị trí cân bằng. Khi đó ta có:<br /> MC = Mq (1)<br /> Ký hiệu góc lệch của con quay khỏi vị trí ban đầu khi thỏa mãn đẳng thức (1)<br /> là β, khoảng cách từ đường tác dụng lực biến dạng của lò xo đến trục Ox là l2 , ta<br /> có:<br /> MC = cl22 β (2)<br /> Mômen con quay bằng [2]:<br /> M q  H Y sin  H ,Y   H Y cos (3)<br /> Từ (1), (2), (3) ta có:<br /> HωYcosβ = cl22 β (4)<br /> Từ (4) ta tính được góc lệch tĩnh của con quay khỏi vị trí ban đầu khi ở vị trí<br /> cân bằng mômen cản và mômen con quay là:<br /> H<br /> T  2Y cosT (5)<br /> cl2<br /> Với giá trị góc T nhỏ, có thể coi cosT  1 . Khi đó:<br /> H Y<br /> T  (6)<br /> cl22<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4 B. N. Hồi, L.V. Hoàng, N.V Tuyến, “Phương trình chuyển động của con quay… động lực.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> Từ (6) ta thấy rõ là góc lệch con quay hai bậc tự do T tỷ lệ thuận với tốc độ<br /> góc đo ωY và con quay hai bậc tự do ở đây dùng để đo tốc độ góc quay của tên lửa<br /> ωY quanh trục OY.<br /> Để dập tắt dao động riêng của con quay, trong kết cấu có đưa vào bộ phận<br /> giảm chấn 3 có hệ số giảm chấn là b. Để ghi giá trị đo tốc độ góc quay của tên lửa,<br /> trong kết cấu con quay hai bậc tự do thiết kế thiết bị biến đổi cơ điện gồm thanh<br /> quét 5 gắn trên trục quay Ox và biến trở 4 (hình 2.1). Thanh quét 5 trượt trên biến<br /> trở 4. Trong đó điện áp ra Ura được lấy từ thanh quét biến trở và điểm giữa của<br /> biến trở tỷ lệ thuận với góc quay T :<br />  U H Y<br /> U ra  U C T  C (7)<br /> 2  0 2 0 cl22<br /> ở đó 2β0 là góc quấn của biến trở (chiết áp), UC là hiệu điện thế cấp cho biến trở.<br /> Từ biểu thức (7) ta có:<br /> T H<br />  h (8)<br /> Y cl22<br /> Tỷ số (8) gọi là độ nhạy của thiết bị con quay đo tốc độ góc (ký hiệu là h)[3].<br /> Nếu như coi điện áp được lấy từ biến trở (chiết áp) là tín hiệu đo thì độ nhạy thiết<br /> bị đo h1 được tính bằng tỷ số:<br /> U ra UC H<br /> h1   (9)<br /> Y 2 0 cl22<br /> <br /> 3. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CON QUAY<br /> HAI BẬC TỰ DO ĐO TỐC ĐỘ GÓC<br /> Biểu thức (6) là biểu thức thường thấy trong các công trình về con quay hai<br /> bậc tự do, đo tốc độ góc . Trên thực tế β còn phụ thuộc phức tạp vào nhiều yếu tố.<br /> Để nghiên cứu đầy đủ sự phụ thuộc của β vào các yếu tố kết cấu và động lực<br /> của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc, ta thiết lập phương trình chuyển động<br /> của nó. Giả sử tên lửa quay trong hệ tọa độ quán tính Oζηξ với tốc độ góc là ω, và<br /> hình chiếu của nó trên các trục tọa độ tương ứng là ωX, ωY, ωZ.<br /> Từ hình 2.1 ta tính được hình chiếu tốc độ góc tên lửa trên các trục tọa độ của<br /> con quay khi nó lệch khỏi vị trí ban đầu một góc β là:<br /> x   X   ,<br />  y  Y cos  Z sin  , (10)<br /> z  Z cos  Y sin  .<br /> Ở đây ωx , ωy , ωz là tốc độ góc của con quay trên các trục tọa độ tương ứng của nó.<br /> Để thiết lập phương trình chuyển động của con quay đo tốc độ góc tên lửa<br /> quanh trục OY ta sử dụng phương trình Lagrange dạng 2:<br /> d  T  T<br />   Q (11)<br /> dt    <br /> Ký hiệu I, IE là mômen quán tính của rôto tính với trục quay riêng và mômen<br /> quán tính xích đạo của nó; Ix, Iy ,Iz là mômen quán tính của khung các đăng tính<br /> với các trục tương ứng. Động năng của con quay là:<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10- 2014 5<br />  Tên lửa & Thiết bị bay<br /> <br /> 1 2<br /> T I x x2  I y y2  I z z2  I  z     I E  x2  I E y2  <br /> 2  <br /> (12)<br /> 1 2<br />   I x  I E   x2   I y  I E   y2  I z z2  I  z    <br /> 2 <br /> trong đó, Ω là tốc độ góc của rôto con quay. Thay các giá trị tương ứng của tốc độ<br /> góc từ (10) vào (12) ta được:<br /> 1 2<br /> I x  I E   X      I y  I E  Y cos  Z sin  <br /> 2<br /> T <br /> 2  (13)<br /> 2 2<br />  I z Z cos  Y sin    I Z cos  Y sin     <br /> <br /> Lấy đạo hàm riêng của biểu thức (13) theo  và  ta được:<br /> T<br />   I x  I E   X    (14)<br /> <br /> T<br />   I y  I E  Y cos  Z sin   Y sin    Z cos  <br /> <br />  I z  Z cos  Y sin    Z sin   Y cos   (15)<br />  I  Z cos  Y sin      Z sin   Y cos <br /> Thay các giá trị tương ứng của (15) bằng các giá trị ở vế trái của (10) ta được:<br /> T<br />    I y  I E   z y  I z  z y <br />  (16)<br />  I z   Z sin   Y cos <br /> I z    H - mômen động lượng của con quay, nên biểu thức (16) có thể viết:<br /> T<br />    I y  I E   z y  I z z y  H Z sin   H Y cos <br />  (17)<br />   I z  I y  I E   z y  H Y cos  H Z sin <br /> Từ (14) ta tính được:<br /> d  T <br />   I x  I E   X   (18)<br /> dt   <br /> Bộ giảm chấn (3) tạo ra mômen Mcg cản chuyển động quay của con quay<br /> quanh trục Ox. Với góc β có giá trị nhỏ ta tính được:<br /> M cg  bl12  (19)<br /> trong đó, b là hệ số giảm chấn; l1 là khoảng cách từ trục Ox đến đường tác động<br /> của lực giảm chấn; l1 là tốc độ chuyển động của pittong so với xi lanh giảm chấn.<br /> Ngoài các mômen cản MC của lò xo và Mcg của giảm chấn, trên trục Ox còn<br /> chịu tác động của các mômen ngoại lực sinh ra do mômen ma sát khô trong các ổ<br /> trục, mômen do mất cân bằng tĩnh và động con quay… Ký hiệu tổng các mômen<br /> còn lại tác động vào trục Ox là M∑ . Lực suy rộng trong phương trình Lagrange của<br /> hệ con quay là:<br /> Q  bl12   cl22   M  (20)<br /> Thay các giá trị tương ứng từ (20), (18) và (17) vào (11) ta được phương trình<br /> chuyển động của con quay là:<br /> <br /> <br /> 6 B. N. Hồi, L.V. Hoàng, N.V Tuyến, “Phương trình chuyển động của con quay… động lực.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br />  I x  I E   x     I z  I y  I E z y  H Y cos  H Z sin  <br />  bl12   cl22   M <br /> Hay là:<br />  I x  I E    bl12   cl22   H Y cos  H Z sin    I x  I E   x<br /> (21)<br />   I z  I y  I E  z y  M <br /> Trong thực tế thiết kế chế tạo con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc, người ta<br /> luôn tính được để cho I y  I E  I z  0 khi đó phương trình (21) có dạng:<br />  I x  I E    bl12   cl22   H Y cos  H Z sin    I x  I E   x  M <br /> (22)<br /> Phương trình (22) là phương trình chuyển động của con quay hai bậc tự do đo<br /> tốc độ góc tên lửa trong không gian quanh trục OY, nó không chỉ cho phép nghiên<br /> cứu ảnh hưởng của các thông số kết cấu và động lực tới độ chính xác đo của con<br /> quay mà còn cho phép nghiên cứu các trường hợp chuyển động của con quay khi<br /> không có lò xo, không có giảm chấn hoặc không có cả hai cơ cấu đó (con quay vi<br /> phân, con quay tích phân, con quay tự do…).<br /> <br /> 4. ẢNH HƯỞNG CỦA MÔMEN NGOẠI LỰC TỚI ĐỘ<br /> CHÍNH XÁC ĐO TỐC ĐỘ GÓC CỦA CON QUAY<br /> <br /> Giả sử tên lửa chỉ quay quanh trục OY với tốc độ góc ωY (chỉ đổi hướng bay),<br /> ωX = ωZ = 0, khi đó phương trình (22) có dạng:<br />  I x  I E    bl12   cl22   H Y cos  M  (23)<br /> 0 0<br /> Trong thực tế, góc β không lớn, theo [3] βmax = 5 …6 . Bởi vậy có thể coi<br /> cosβ=1. Khi đó, phương trình (23) có dạng:<br />  I x  I E    bl12   cl22   H Y  M  (24)<br /> Nếu như tốc độ đo góc không thay đổi ωY = const thì sau khi dao động riêng<br /> của con quay bị dập tắt bởi giảm chấn (con quay chuyển động ổn định     0 )<br /> từ phương trình (24) ta có:<br /> cl22  *  H Y  M <br /> Từ đây ta tính được giá trị góc tĩnh T* :<br /> H Y M <br /> T*   2 (25)<br /> cl22 cl2<br /> Hay là<br /> T*  T   ` (26)<br /> H M<br /> trong đó, T  2Y ,   2 .<br /> cl2 cl2<br /> Từ biểu thức (25) và (26) ta thấy rõ là mômen ngoại lực tác động vào con quay<br /> gây ra sai số đo tốc độ góc. Tỷ số giữa tổng các mômen ngoại lực và mômen con<br /> quay HωY xác định độ chính xác đo tốc độ góc của con quay được tính bằng %:<br />  M<br /> Y  100%  100% (27)<br /> T H Y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10- 2014 7<br />  Tên lửa & Thiết bị bay<br /> <br /> Để đánh giá đầy đủ ảnh hưởng của các thông số kết cấu và động lực tới độ<br /> chính xác của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc chúng ta cần nghiên cứu các<br /> quy luật ảnh hưởng của các mômen ngoại lực tác động vào con quay, để từ đó giải<br /> phương trình (22). Đây là nội dung cần tiếp tục nghiên cứu.<br /> 5. KẾT LUẬN<br /> Phương trình chuyển động của con quay hai bậc tự do đo tốc độ góc có tính<br /> đến ảnh hưởng của các yếu tố kết cấu và động lực mà bài báo thiết lập được cho<br /> phép nghiên cứu đánh giá ảnh hưởng của các yếu tố đó tới độ chính xác đo tốc độ<br /> góc của con quay. Đồng thời phương trình đó cũng cho phép nghiên cứu các<br /> trường hợp riêng của kết cấu con quay hai bậc tự do ứng dụng trong các trường<br /> hợp khác (con quay vi phân, con quay tích phân, la bàn con quay…) sử dụng trong<br /> hệ thống điều khiển tên lửa nói riêng, các thiết bị bay nói chung.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Пельпор Д.С. “Гироскопические системы” М. : «Высшая школа», 1986.<br /> [2]. Каргу Л.И. “Гироскопические приборы и системы”. Л. : Суд.1988.<br /> [3]. Блюмина Г.Д. “Теория и конструкция гироскопических приборов и<br /> систем”. М. : «Высшая школа», 1971.<br /> [4]. Лунц Я.Л. “Введение в теорию гироскопов”. М. : «Наука», 1992.<br /> [5]. Михайлов О.И. “Авиационные приборы”. М. : «Машиностроение», 1987.<br /> <br /> ABSTRACT<br /> EQUATIONS OF MOTION OF GYROSCOPE WITH TWO DEGREES OF<br /> FREEDOM, THE MEASURED ANGULAR VELOCITY, TAKING INTO<br /> ACCOUNT THE INFLUENCE OF STRUCTURAL AND DYNAMIC FACTORS<br /> This article presents the research results establish equations of motion of<br /> gyroscope with two degrees of freedom, the measured angular velocity, taking<br /> into account the influence of structural and dynamic factors. Equation allows to<br /> research the influence of structural and dynamic factors on the accuracy of<br /> measurement of the angular velocity, to derive formula for calculating<br /> imprecision measurement of the angular velocity gyroscope as the rocket flight<br /> diverted due to the action of external moments.<br /> Keywords: Rocket, Gyroscope, Angular velocity<br /> <br /> Nhận bài ngày 15 tháng 8 năm 2013<br /> Hoàn thiện ngày 20 tháng 5 năm 2014<br /> Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 9 năm 2014<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Địa chỉ: *Viện Tên lửa, Viện Khoa học và công nghệ quân sự;<br /> ** Học Viện Kỹ thuật quân sự<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8 B. N. Hồi, L.V. Hoàng, N.V Tuyến, “Phương trình chuyển động của con quay… động lực.”<br />