Quy trình Toán học hóa: Nghiên cứu phát triển năng lực thay đổi và mối quan hệ của học sinh 15 tuổi

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa .............................................................................................................. i

Lời cam đoan .............................................................................................................. ii

Lời cảm ơn ................................................................................................................. iii

Mục lục ........................................................................................................................ 1

Danh mục các chữ viết tắt ........................................................................................... 4

Chương 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 5

1. Lời giới thiệu ....................................................................................................... 5

1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 6

1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu ......................................................................... 7

2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 7

3. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................. 7

4. Định nghĩa các thuật ngữ .................................................................................... 8

5. Ý nghĩa nghiên cứu .............................................................................................. 8

6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu .................................................................. 8

6.1. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 8

6.2. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 9

6.3. Phạm vi nghiên cứu ...................................................................................... 9

6.4. Công cụ nghiên cứu ...................................................................................... 9

7. Cấu trúc luận văn ................................................................................................ 9

Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ................................. 10

1. Nền tảng lịch sử ................................................................................................. 10

1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn ................................................................ 10

1.2. Kết nối Toán với thế giới thực .................................................................... 10

1.3. Một số quy trình toán học hóa .................................................................... 13

2. Nền tảng lý thuyết .............................................................................................. 16

2.1. Toán học hóa ............................................................................................... 16

2.1.1. Khái niệm toán học hóa ....................................................................... 16

2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA ........................................................ 18

2.1.3. Bài toán tính thể tích khối tròn xoay .................................................... 19

2.2. Đánh giá Toán trong PISA ......................................................................... 21

2.2.1. Các ý tưởng bao quát ........................................................................... 21

2.2.2. Các năng lực ......................................................................................... 22

2.2.3. Các cụm năng lực ................................................................................. 24

2.2.4. Thay đổi và các mối quan hệ ............................................................... 26

Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ................................................................... 29

1. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................................... 29

2. Đối tượng tham gia............................................................................................ 29

3. Công cụ nghiên cứu ........................................................................................... 29

3.1. Bộ đề kiểm tra ............................................................................................. 31

3.2. Bảng hỏi ...................................................................................................... 46

4. Hạn chế .............................................................................................................. 48

Chương 4. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ........................................................... 50

1. Cách thức tổ chức .............................................................................................. 50

2. Kết quả thu được từ Bộ đề kiểm tra .................................................................. 50

Bài toán 1: Chiều cao của trẻ ............................................................................. 52

Bài toán 2: IQ ..................................................................................................... 54

Bài toán 3: Giá thuê môtô nước ........................................................................ 56

Bài toán 4: Số HS đậu đại học ........................................................................... 58

Bài toán 5: Giá cước taxi ................................................................................... 59

Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 ................................................................. 61

Bài toán 7: Hợp đồng lao động .......................................................................... 62

Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ ........................................................................ 63

Bài toán 9: Hồ cá ............................................................................................... 65

3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi ........................................................................... 66

Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG ................................................ 70

1. Kết luận ............................................................................................................. 70

1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất .................................................. 70

1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai .................................................... 71

1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ..................................................... 72

2. Lý giải ................................................................................................................ 73

2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất .......................... 73

2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai ............................ 76

2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba ............................. 78

3. Vận dụng ............................................................................................................ 81

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 83

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

KVNT : Khu vực nông thôn

KVTP : Khu vực thành phố

NCTM : National Council of Teachers of Mathematics

OECD : Organization for Economic Co-operation and Development

PISA : Programme for International Student Assessment

: Sau công nguyên SCN

: Trước công nguyên TCN

THPT : Trung học phổ thông

Chương 1. MỞ ĐẦU

1. Lời giới thiệu

Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được

thiết lập như là một ngành của toán học. Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về

"thay đổi và các mối quan hệ" - một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu

trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào.

PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương

trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ

chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm

một lần. PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông, làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra

khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo

chuẩn quốc tế.

Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại

tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình

huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán

xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ"

hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn

đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp

học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong

một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và

HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề

cần giải quyết.

Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các

vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người. Những nội dung đó được gọi là "các ý tưởng bao quát": đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác

biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, "các ý tưởng bao quát" bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học

trong nhà trường.

1.1. Lý do chọn đề tài

Trong một lần lướt web, tôi gặp bài viết của một người ông về cháu mình như sau:

"Tôi có đứa cháu năm nay học lớp 8, học kì I được xếp loại giỏi. Ngày tết ngồi đọc Tuổi trẻ cười, thấy có chuyện cấp cái sổ đỏ 5m2, nó ngơ ngẩn hỏi 5m2 là cỡ bao lớn. Tôi bảo nó cứ tưởng tượng đó là hình chữ nhật 6m2 xem, các cạnh của nó sẽ có kích thước như thế nào? Nó suy nghĩ một hồi rồi nói là một cạnh 2m, một cạnh 3m nhưng diễn tả ra trên nền nhà thì nó không biết. Nó lúng túng hỏi một viên gạch có

kính thước bao nhiêu. Tôi hỏi thêm: Cái giường của con chiếm diện tích bao nhiêu?

Nó không trả lời được. Tôi thiệt thấy ngán cái cách dạy và học toán hiện nay. Các

bạn thử cho ý kiến thêm xem sao. Nhất là các bạn đang đi học, thử nghĩ xem mình có thể vận dụng toán học để giải quyết được việc gì trong cuộc sống hay không?

(ngoài việc đếm tiền)" [15]. Đáng chú ý là mọi ý kiến bình luận đều đồng tình và

bày tỏ sự băn khoăn tương tự.

Không ít người cảm thấy thất vọng vì đã "uổng công" học toán. Nghe người ta nói

thì toán học là "chìa khóa" cho mọi vấn đề, nhưng trên thực tế thì HS sau khi tốt

nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức toán đã học được trong nhà trường vào việc gì

trong cuộc sống, nhất là những bài toán khó mà họ đã tốn bao công sức nhồi nhét

trong các "lò luyện" đủ loại. Đây là một thực tế, xuất phát từ việc xác định nội dung

và phương pháp dạy toán chưa hợp lý trong nhà trường hiện nay. Toán học đã bị biến thành một môn "đánh đố thuần túy", thay vì một bộ môn khoa học mang đầy

chất thực tiễn. Đã có những ý kiến nói về sự lãng phí của nguồn nhân lực đang làm

toán hiện nay và không ít người đã tưởng là sự thật.

Tôi thiết nghĩ trong 10.000 người thì chỉ có 1 người làm toán còn 9.999 người còn

lại mong muốn dùng toán như là công cụ để giải quyết các vấn đề cuộc sống như

các tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết vấn các đề tài chính cá

nhân, phán xét chính trị… Vì vậy, mong muốn toán học thực tế, gần gũi với cuộc

sống là một nhu cầu chính đáng và cấp thiết.

Việt Nam sẽ chính thức đăng ký tham gia Chương trình đánh giá HS Quốc tế PISA vào năm 2012. Ngày 25/6/2010 tại Vĩnh Phúc, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến hành Hội thảo Quốc gia lần thứ nhất về Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA). Tham

dự Hội thảo có Thứ trưởng Nguyễn Vinh Hiển - Trưởng Ban Chỉ đạo đánh giá trong nước và quốc tế HS phổ thông; PGS.TS Nguyễn Lộc, phó viện trưởng Viện KHGD

Việt Nam, giám đốc điều phối quốc gia; giám đốc văn phòng PISA Việt Nam; đại

diện Vụ; Cục thuộc Bộ và hơn 100 đại biểu đến từ các Sở Giáo dục và Đào tạo của 63 tỉnh, thành trong cả nước [16].

Với những nhu cầu cấp thiết của khuynh hướng giáo dục trong tương lai, tầm quan

trọng đặc biệt và hiệu quả của việc sử dụng quy trình toán học hóa trong sự phát triển

tư duy cho HS; với mong muốn làm sao để toán học không khô khan và có sự cuốn hút đặc biệt đối với HS. Đó là những động lực mạnh mẽ cho tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu này.

1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học

trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống và của cá nhân đó với tư cách là một

công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ảnh [10].

Trong khi đó, việc dạy toán của chúng ta hiện nay còn mang tính hàn lâm, chú trọng nhiều đến rèn luyện kỹ năng, chưa thật sự quan tâm đến phát triển năng lực toán và

hình thành những hiểu biết toán cho HS; đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tế thông qua toán học, một trong những yếu tố quan trọng giúp giáo dục

toán trở nên hiệu quả hơn. Có thể thay đổi cách nghĩ của HS từ ba không (khó, khô khan, không thích) sang ba có (thú vị, ý nghĩa, thích).

Nếu đánh giá hiệu quả giáo dục toán theo khía cạnh HS áp dụng tri thức đã học vào

giải quyết các vấn đề trong bối cảnh mới, đặc biệt là bối cảnh thực tế ra sao thì giáo dục toán của ta đem lại những kết quả khá khiêm tốn.

Trong bối cảnh đó, tôi chọn đề tài: "Quy trình toán học hóa để phát triển các năng

lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi" làm vấn đề nghiên

cứu của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

(1) Thăm dò các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán

phổ thông của HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế.

(2) Sử dụng quy trình toán học hóa của PISA để phát triển các năng lực về "thay

đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi.

3. Câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đó, đề tài này gắn liền với ba câu hỏi nghiên cứu sau:

1. Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ

thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào?

2. Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán

phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười lăm tuổi?

3. Làm thế nào để nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan

hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi?

4. Định nghĩa các thuật ngữ

 Toán học hóa: là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các

vấn đề thực tế được đề cập [10];

 Năng lực toán: là những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề, bao gồm: tư duy và suy luận; giao tiếp; mô hình

hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diển; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình

thức và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ [7, tr.40];

 Thay đổi và các mối quan hệ: thay đổi và các mối quan hệ liên quan đến các kiến thức về toán học biểu hiện của sự thay đổi, cũng như mối quan hệ chức

năng và phụ thuộc giữa các biến [13, tr.22];

 Giải quyết vấn đề: là quá trình nhận thức bậc cao đòi hỏi việc sử dụng sự điều ứng và kiểm soát nhiều hơn thói quen hay những kỹ năng cơ bản. Nó

chỉ xảy ra khi con người hay trí tuệ nhân tạo chưa biết cách nào tiến hành từ

tình trạng đã cho đến tình trạng mong muốn (Goldstein & Levin, 1987).

5. Ý nghĩa nghiên cứu

Chúng tôi mong muốn đề tài này sẽ đem đến những ý nghĩa cơ bản sau:

Thứ nhất: Nghiên cứu được xem như là một thử nghiệm cho việc sử dụng quy trình

toán học hóa của PISA trong việc phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan

hệ" của HS mười lăm tuổi trong toán phổ thông.

Thứ hai: Kết quả nghiên cứu cho thấy rõ tầm quan trọng của quy trình toán học hóa cũng như việc dạy toán thông qua giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến

"thay đổi và các mối quan hệ".

Thứ ba: Nghiên cứu đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của quy

trình toán học hóa cũng như việc đem toán học gần với cuộc sống thường ngày.

Thứ tư: Nghiên cứu này đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy cho HS về

"thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông thông qua quy trình toán học hóa PISA.

6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu có tính lịch sử: khảo sát những vấn đề liên quan đến đề tài như: mô hình toán học hóa của PISA; xu hướng kết nối toán học với thực tiễn trên thế giới cũng như trong nước; nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"…

- Nghiên cứu khảo sát: Thu thập thông tin từ HS về: suy nghĩ về toán và việc học toán; sự thể hiện các năng lực của HS trong nội dung toán "thay đổi và

các mối quan hệ" và khả năng vận dụng các năng lực đó vào đời sống thực tế

như thế nào.

6.2. Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung vào nghiên cứu các đối tượng sau:

- Quy trình toán học hóa của PISA;

- Nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ";

- Năng lực và suy nghĩ của HS mười lăm tuổi tại Huế về "thay đổi và các mối

quan hệ".

6.3. Phạm vi nghiên cứu

Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:

- Giáo viên: người nghiên cứu; - Học sinh: gồm 2 lớp trường THPT Hai Bà Trưng; 2 lớp trường THPT chuyên Quốc Học; 1 lớp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 1 lớp trường THPT Đặng

Huy Trứ. Tổng số HS tham gia thực nghiệm sư phạm là 244.

6.4. Công cụ nghiên cứu

Ngoài việc sử dụng các tài liệu phục vụ cho nghiên cứu có tính lịch sử, tôi còn sử

dụng các công cụ nghiên cứu: Bộ đề kiểm tra; Bảng hỏi.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, luận văn được

trình bày trong năm chương:

Chương 1. Mở đầu;

Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan;

Chương 3. Thiết kế nghiên cứu; Chương 4. Các kết quả nghiên cứu; Chương 5. Kết luận, lý giải và vận dụng.

Tóm tắt chương 1: Trong chương này chúng tôi đã nêu lên nhu cầu nghiên cứu của đề tài. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã trình một số vấn đề quan trọng khác như mục đích nghiên cứu, câu hỏi nghiêm cứu, ý nghĩa nghiên cứu, phương pháp và công cụ

nghiên cứu.

Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này tôi trình bày nền tảng lịch sử; quy trình toán học hóa và nội dung

toán "thay đổi và các mối quan hệ" trong khuôn khổ PISA.

1. Nền tảng lịch sử

1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn

Lịch sử đã cho thấy rằng, toán học có nguồn gốc thực tiễn; chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát

triển và hoàn thiện các lí thuyết toán học. Ví dụ các tập số được xây dựng từ nhu

cầu thực tiễn: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật; tập hợp số nguyên được

xây dựng để phép trừ luôn thực hiện được hoặc các phương trình dạng

luôn có nghiệm; trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh; hệ thống số hữu tỉ được hình thành do

nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau; hệ thống số thực

được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả

những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo. Trong lịch sử

toán học, để giải phương trình bậc ba người ta đã phải giải phương trình bậc hai như

, rõ ràng là có ba nghiệm 0, 1, một bước trung gian. Khi xét phương trình: -1 nhưng người ta nhận thấy rằng phương trình bậc hai trung gian của nó lại có biệt

số âm. Việc này phải chăng có mâu thuẫn? Vì phương trình bậc hai vô nghiệm

khi biệt số âm. Nhưng nếu thử chấp nhận một số có bình phương bằng -1 (một cách

hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi

đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên. Thực tế này gợi ra việc cần phải mở

rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương của nó là một số âm,

và như thế số phức ra đời.

Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do như cầu thực tế cuộc sống. Chúng ta không phát minh ra toán học mà phát hiện ra chúng. Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển. Với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do

chính thực tiễn đặt ra.

1.2. Kết nối toán với thế giới thực

Là GV toán, chúng ta đều muốn làm cho toán học, cái chúng ta dạy trở nên "sinh

động" hơn, "thực tế" hơn và nhiều hơn nữa tính "ứng dụng". Bằng cách làm cho nó thêm "sinh động" ta muốn thu hút HS trong việc tìm hiểu toán học. Khi đó, toán học

đơn giản bởi vì nó thú vị hơn, ngay cả khi nó không phải là một chủ đề dễ dàng. Bằng cách làm cho nó thêm "thực tế", ta muốn chỉ ra rằng toán học cần thiết trong

cuộc sống hàng ngày, dù chúng ta không thường xuyên nhận ra điều đó. Bằng cách

làm cho toán học thêm tính "ứng dụng" sẽ tạo ra các kỹ năng toán học cần thiết cho

nhiều HS cho dù mỗi HS có một nền tảng và năng lực toán học không giống nhau.

Để đưa các nguyên tắc này vào trong thực tế, ta phải cố gắng đưa các vấn đề trong thế giới thực vào trong giảng dạy. Điều quan trọng là phải nhận thức được rằng

những vấn đề này thường rất phức tạp và để giải quyết chúng luôn cần một loạt các

kiến thức và kinh nghiệm.

Ưu điểm chính của việc sử dụng vấn đề trong thế giới thực vào giảng dạy toán là vấn đề được đề cập một cách tự nhiên và các nhiệm vụ toán học được đặt trong một

bối cảnh. Cũng bằng cách thông qua các nhiệm vụ đó với HS, toán học được giảng

dạy trở nên "ứng dụng" hơn và "sống" hơn.

Hiệp hội các GV toán của Mỹ viết tắt là NCTM [9, tr.22] xác định rằng: "Chương

trình toán nên rời xa khỏi truyền thống tập trung vào những kiến thức toán không

theo bối cảnh". Lý thuyết Giáo dục toán học theo thực tế (Theory of Realistic

Mathematics Education) được phát triển ở Hà Lan đưa ra hai nguyên tắc: (1) Toán

học phải được gắn kết với thế giới thực và (2) Toán học nên được xem như là hoạt

động của con người [14].

Hiểu biết toán được PISA định nghĩa: "Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân

để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét

có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của

cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan

tâm và biết phản ánh" [10]. Định nghĩa trên gắn liền với các thuật ngữ như "toán

học trong cuộc sống"; "cuộc sống của cá nhân" đã thể hiện rõ toán học phải được

gắn liền với cuộc sống, phải "sống" trong bối cảnh.

Nhưng một khi đi xây dựng một mô hình toán học cho một vấn đề nào đó, ta phải rất cẩn thận khi sử dụng nó. Nó luôn không tầm thường, chẳng hạn như vấn đề mù màu sau đây: tỉ lệ mù màu (không phân biệt màu đỏ và xanh lá cây) ở đàn ông

khoảng 1/20, và tỷ lệ thấp hơn rất nhiều ở nữ. Khi đó, nếu các câu hỏi được đưa ra: ta đã điều tra bao nhiêu người khi phát hiện ra 20 người mù màu? Có trung bình bao nhiêu người bị mù màu khi kiểm tra 100 nữ? Rất nhiều người phạm sai lầm

bằng cách đưa ra câu trả lời 400 cho câu hỏi đầu tiên. Nhưng nếu có một cái nhìn

nghiêm túc hơn, chúng ta không thể biết chính xác là đang khảo sát nam, nữ hay cả hai. Ngay cả khi giả định rằng ta đang khảo sát là nam cũng không thể chắc chắn

rằng 400 là đủ. Tại sao? Bởi vì ngay cả khi khảo sát một triệu người, ta có thể sẽ rất không may mắn và không tìm thấy một người mù màu. Trong câu hỏi thứ hai, mặc

dù câu hỏi đã đưa vào cụm từ "trung bình" để nói rằng đang dựa vào số liệu thống

kê, nhưng chúng ta lại không cho biết chính xác tỉ lệ nữ bị mù màu là bao nhiêu. Vì

vậy, sẽ không thể có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này.

Một ví dụ khác cho thấy tính cẩn thận là rất cần thiết: mỗi người chớp mắt khoảng 17.000 lần một ngày, và như vậy trong một ngày thông qua nhấp nháy ta nhắm mắt

trong hơn 1/2 giờ. 1/2 giờ nhắm mắt trong một ngày thông qua chớp mắt là một tỷ

lệ khá dễ nhớ với HS. Do đó, để thực hành sự hiểu biết về khái niệm này GV có thể

hỏi những câu hỏi sau đây: Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê) trong một tuần? Và như vậy thông qua chớp mắt, khoảng thời gian mà họ nhắm

mắt trong một tuần? Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê)

trong một giờ? Thông qua chớp mắt khoảng thời gian mà họ nhắm mắt trong một

giờ? GV khá là an toàn với hai câu hỏi đầu tiên, nhưng hai câu hỏi sau cùng lại gây

ra rất nhiều vấn đề. Bởi vì khi GV hỏi về một khoảng thời gian ngắn hơn một ngày,

GV phải nêu chính xác giờ đang xét (ngày hay đêm). Hơn nữa GV phải thiết lập

bao nhiêu giờ trong một ngày (tức là thời gian sau khi đã trừ đi thời gian ngủ chứ

không phải theo khái niệm vật lý thông thường). Bây giờ nó không phải là một tỷ lệ

đơn giản.

GV cũng nên xem xét bối cảnh bao quanh nhiệm vụ cũng như kinh nghiệm của HS

đối với bối cảnh. Nếu HS phải giải

quyết bài toán: Có 8 lá cờ được cắm

cách đều nhau trong trường đua xe.

Hùng cần 30 giây để chạy từ điểm xuất

phát đến lá cờ thứ ba. Sử dụng thông tin

này để tìm ra khoảng thời gian cần thiết

để Hùng chạy từ điểm xuất phát tới lá cờ thứ sáu? (Quan sát hình đi kèm).

HS cần phải thiết lập mối quan hệ khi

giải quyết vấn đề, phải dựa vào bối cảnh vấn đề được nêu ra trong đề bài và trên

hình ảnh minh họa (nếu có). Thực tế cho thấy HS làm việc với những vấn đề có

hình ảnh minh họa tỏ ra hào hứng và nghiêm túc hơn so với những vấn đề không có

hình ảnh minh họa đi kèm.

Vấn đề tiếp theo là các kinh nghiệm của HS, mà kinh nghiệm đó ảnh hưởng trực

tiếp lên sự hiểu biết của vấn đề. HS phân tích các vấn đề nêu lên chủ yếu dựa trên

kinh nghiệm của bản thân mình (kinh nghiệm trong trường học và kinh nghiệm

trong cuộc sống). Do đó, sẽ cảm thấy không chắc chắn khi giải quyết vấn đề

trong những bối cảnh không quen thuộc (những chuyển động mà HS biết từ

trong thế giới thực đa số là thẳng chứ không tròn). Vì vậy, GV nên cố gắng nắm

bắt các vấn đề kết nối với kinh nghiệm trước đây của HS. GV nên tạo ra những

bối cảnh mà HS có thể đáp ứng trong chính cuộc sống của mình.

Tất nhiên, một GV kinh nghiệm có thể dự đoán được các sai lầm phổ biến trong

lĩnh vực giảng dạy toán và sử dụng nó theo ý đồ của mình. Điều này có thể giúp

HS có ý thức hơn về những sai lầm, giúp các em tránh phạm phải sai lầm khi

giải quyết một vấn đề tương tự. Nhưng nếu không dự đoán được hết các tình

huống thì có thể gây ra vấn đề cho chính bản thân GV. Điều này rất thường thấy

khi giảng dạy thông qua những vấn đề trong thế giới thực.

Chúng tôi đánh giá cao sự cần thiết phải kết nối toán học với thế giới thực trong

dạy học phổ thông, đồng hành với nó là ý thức về sự cần thiết phải làm cho HS

nhận thức các ứng dụng thực sự của toán học. Làm thế nào để điều này trở nên

hợp lý và hiệu quả, là một trong những vấn đề chính được nhiều nhà nghiên cứu

giáo dục đã và đang quan tâm.

1.3. Một số quy trình toán học hóa

Với những gì vừa đề cập, chúng tôi tin rằng người đọc sẽ cảm nhận được những

khó khăn khi giảng dạy thông qua việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực.

Nhưng để đưa toán học gần gũi với cuộc sống; để đưa việc giải quyết các vấn đề

trong thế giới thực vào trong dạy học toán và để nhiều người thấy được tính hữu

dụng thực sự của toán học, chúng tôi tin rằng đó là con đường duy nhất. Đó cũng

là cách để trả toán học về với bản chất của nó. Trong nhiều thập niên qua, các

nhà nghiên cứu giáo dục trong và ngoài nước luôn tình kiếm, xây dựng các mô

hình; các quy trình mô hình hóa toán học để hỗ trợ đắc lực cho GV trong việc

giảng dạy các vấn đề trong thế giới thực. Dưới đây là một vài quy trình toán học

hóa tiêu biểu trong những thập niên qua.

Quy trình 1: Quy trình toán học hóa của OECD/PISA được tác giả Trần Vui

trình bày [5, tr.35] như sau:

Sơ đồ 2.1. Quy trình toán học hóa 1

Trong đó:

(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học;

(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế;

(4) Giải quyết bài toán;

(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo bối cảnh thực tế.

Quy trình 2: Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum [3, tr.100] đề

(b)

xuất như sau:

(d)

Mô hình thực tế (a)

Tình huống thực tế Mô hình toán học (c) Kết quả toán học

Sơ đồ 2.2. Quy trình mô hình hoá toán học 2

Quan sát, thành lập

Hiện tượng ở thế giới thật

Mô hình toán học

Áp dụng

Phân tích

Kết luận dự đoán

Kết quả toán học

Lý giải

Quy trình 3: Quy trình mô hình hóa toán học được Frank Swetz và J. S. Hartzler [5, tr.3] đề xuất như sau:

Sơ đồ 3.3. Quy trình mô hình hoá toán học 3

Quy trình 4: Quy trình mô hình hóa toán học được trình bày trong luận văn luận

văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Văn Dũng [17, tr.170]) như sau:

Sơ đồ 2.4. Quy trình mô hình hoá toán học 4

Quy trình 5: Quy trình mô hình hóa toán học được tác giả Lê Văn Tiến [4, tr.170] đề xuất như sau:

Sơ đồ 2.5. Quy trình mô hình hoá toán học 5

Nhìn chung, các quy trình toán học hóa có thể phân chia làm năm bước: (1) là một

quá trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này thường được cấu

trúc lại (đơn giản hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa) để được một mô hình phỏng

thực tiễn; (2) mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;

(3) được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học; (4) kết

quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế ban đầu; (5)

sự phù hợp kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải không thỏa

đáng thì quá trình này phải được lặp lại.

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào phân tích làm rõ quy trình toán học hóa

1 cũng như cách thức vận dụng quy trình này vào giải quyết vấn đề trong thế giới

thực trong dạy học để phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" cho HS

mười lăm tuổi.

2. Nền tảng lý thuyết

2.1. Toán học hóa

Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là "toán học hóa".

2.1.1. Khái niệm toán học hóa

Toán học hóa là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập [10].

Để dễ hình dung khái niệm toán học hóa một cách cụ thể, ta xem xét thông qua vấn đề Đèn đường [11] sau đây: Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn

đường trong một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công

viên. Người ta nên đặt nó ở đâu?

Vấn đề mang tính xã hội này có thể được giải quyết bằng phương án chung được sử

dụng bởi các nhà toán học, mà cơ sở toán học sẽ xem như là toán học hóa.

Toán học hóa có thể được đặc trưng qua năm khía cạnh:

1. Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế;

Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên.

2. Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;

Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng từ một

cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó.

3. Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề. Tổng quát hóa và hình thức

hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thể vấn đề thức

tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống);

Vấn đề chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

4. Giải quyết bài toán;

Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực của hai

cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn.

5. Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế.

Liên hệ kết quả này với công viên thực tế. Phản ánh về lời giải và nhận ra rằng

nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nhận ra rằng vị trí, và kích thước của các cây xanh trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tính hữu ích của lời giải toán học.

Những quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng là đặc trưng cho việc các nhà toán học thường làm toán như thế nào, con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp hiện nay. Những công dân có hiểu biết và biết phản ánh

nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực tế. Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho HS.

2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA

Sơ đồ 2.1 là quy trình toán học hóa của PISA. Trong quy trình này, để giải quyết

một vấn đề thực tế, HS cần chuyển vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình

được tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về

bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết

và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn.

Mặt khác, 5 bước của quy trình toán học hóa có thể được chia làm ba giai đoạn:

Giai đoạn thứ nhất: Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ

thực tế sang toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 Xác định toán học phù hợp tương ứng với một vấn đề thực tế được đặt ra;

 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái

niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề, ngôn ngữ ký hiệu và hình

thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 Chuyển thể vấn đề thành một bài toán.

Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa. Một khi HS đã chuyển

thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán

học. HS sẽ đặt những câu hỏi như: "liệu có…không?", "nếu như vậy, thì có bao

nhiêu…?", "làm thế nào tôi có thể tìm…?", bằng cách dùng các kỹ năng và khái

niệm toán học đã biết. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối

cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, thiết lập các quy tắc, xác định các nối kết và sáng tạo

nên một lập luận toán học đúng đắn. Trong phần này, những quá trình khác với suy

diễn cũng có thể tham gia. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:

 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

 Hoàn thiện và điều chỉnh, kết hợp và tích hợp các mô hình toán;

 Lập luận;

 Tổng quát hóa.

Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quy trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, HS phải

giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quy trình.

Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quy trình, nhưng nó đặc biệt

quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công

nhận này là:

 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó.

2.1.3. Bài toán tính thể tích khối tròn xoay

Một ví dụ cho thấy cách khai thác quy trình toán học hoá của PISA để giải quyết

một vấn đề thực tế: Một người thợ thủ

công cần thổi một lọ hoa bằng thủy tinh.

Lọ hoa có đặc điểm: mặt ngoài và mặt

trong có dạng mặt nón cụt; mặt ngoài có

bán kính đáy nhỏ là 6cm; bán kính đáy

lớn là 15cm; mặt trong có bán kính đáy

nhỏ là 17/3cm; bán kính đáy lớn là

14cm; khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới phía trong là 25cm; đáy lọ hoa dày

2cm. Hỏi người thợ thủ công cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh để có thể làm được lọ hoa?

Quy trình toán học hóa 5 bước được thể

hiện trong bài toán này như sau:

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế: tính thể tích thủy tinh tối thiểu để có thể làm được lọ hoa.

Bước 2: Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định lĩnh vực toán học phù hợp. Mặt trong và mặt ngoài của lọ hoa có dạng mặt nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa có dạng khối nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa cùng với phần thủy tinh

của lọ hoa có dạng khối nón cụt.

Bước 3: Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một

bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế. Vấn đề được chuyển thành việc

xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt.

Bước 4: Giải quyết bài toán: sử dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt:

trong đó:  R, r lần lượt là bán kính của đáy lớn và đáy nhỏ của khối nón cụt;

 h là chiều cao của khối nón cụt.

Thể tích phần không gian phía trong lọ hoa là:

Thể tích phần không gian hình khối nón cụt có mặt nón cụt là mặt ngoài của lọ hoa là:

Thể tích thủy tinh tối thiểu để làm lọ hoa là:

Bước 5: Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao

gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Bề mặt phía trong và bề mặt phía

ngoài của lọ hoa ảnh hưởng đến tính thực tiễn của lời giải toán học. Nếu hai bề mặt

này không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn, hoặc sử dụng công

thức tính thể tích của nhiều khối đa diện, khối trụ, khối tròn xoay khác cùng với

nhiều bước biến đổi trung gian.

Năm bước của quy trình toán học hóa trong bài toán này có thể được chia theo 3

giai đoạn như sau:

Giai đoạn thứ nhất: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với vấn đề đặt ra trong thực tế: Tính thể tích khối thủy tinh có hình dạng các khối nón cụt. Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp. Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của

hai khối nón cụt. Bài toán chỉ giải quyết được khi bề mặt của bình thủy tinh nhẵn.

Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến: thể tích khối thủy tinh luôn bằng hiệu thể tích hai khối nón cụt.

Giai đoạn thứ hai: Tổng quát hóa, có thể tính được thể tích phần thủy tinh khi xác định được mặt ngoài của vật liệu và mặt trong của vật liệu là các mặt tròn xoay hoặc

mặt xung quanh của đa diện đặc biệt. Một cách tổng quát, nếu khối hình T nằm

trong khối hình N mà ta có thể xác định được thể tích khối hình T và khối hình N thì

ta có thể xác định được thể tích của mọi vật liệu là phần bù của khối hình T trong

khối hình N bằng cách lấy thể tích của khối hình N trừ đi thể tích của khối hình T.

Giai đoạn thứ ba: Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê

phán mô hình và các hạn chế của nó: Nếu hai bề mặt thủy tinh phía trong và bề mặt

thủy tinh phía ngoài không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn

hoặc sử dụng nhiều công thức tính thể tích với nhiều bước biến đổi trung gian. Nếu đã biết khối lượng riêng của vật liệu làm bình hoa thì ta không cần sử dụng công

thức toán học vẫn có thể xác định được thể tích vật liệu làm bình hoa bằng cách đo

khối lượng bình hoa và lấy khối lượng thực tế của bình hoa chia cho khối lượng

riêng của vật liệu. Trong bài này, ta có thể bớt đi giả thiết về một số đại lượng và

tìm lại được nó bằng các định lí của hình

học. Chẳng hạn, ta có thể bỏ qua điều kiện

"Mặt trong của lọ hoa có bán kính đáy

". Đại lượng này được tìm

nhỏ là 17/3 ra như sau:

suy ra:

Vậy bán kính đáy nhỏ của lọ hoa là:

2.2. Đánh giá toán trong PISA

2.2.1. Các ý tưởng bao quát

Trong nhiều thế kỷ, toán học nổi bật như là một khoa học về số, cùng với hình học không gian tương đối. Giai đoạn những năm 500 TCN ở Mesopotamia, Ả Rập và

Trung Quốc người ta thấy nguồn gốc về khái niệm số. Các phép toán về số và đại lượng, bao gồm các đại lượng thu được từ những đo đạc hình học đã được phát

triển. Từ năm 500 TCN đến năm 300 SCN là giai đoạn của toán học Hy Lạp, nó chú trọng chủ yếu vào việc nghiên cứu hình học như một lý thuyết tiên đề. Những người

Hy Lạp đã đảm nhận trách nhiệm xác định lại toán học như là một khoa học hợp

nhất về số và hình. Thay đổi chính kế tiếp xảy ra từ năm 500 đến 1300 trong thế

giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, nó đã thiết lập nên đại số như là một ngành của

toán học. Điều đó đã mở ra việc nghiên cứu về các mối quan hệ. Với những phát minh độc lập về phép tính vi tích phân (nghiên cứu về thay đổi, sự phát triển và giới

hạn) bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ XVII, toán học đã trở thành một nghiên cứu

được tích hợp về số, hình, thay đổi và các mối quan hệ.

Trong hai thế kỷ XIX và XX người ta thấy sự bùng nổ của tri thức toán học. Các hiện tượng và vấn đề có thể được tiếp cận bằng công cụ toán học. Những điều đó

bao gồm tính ngẫu nhiên và tính không xác định. Những phát triển này làm cho việc

trả lời câu hỏi "Toán học là gì?" ngày càng khó trả lời. Vào thời điểm của thế kỷ

mới, nhiều người thấy toán học như là một khoa học của các quy luật (theo nghĩa

tổng quát). Như vậy, một lựa chọn về các ý tưởng bao quát có thể được thực hiện

sao cho nó phản ánh những phát triển này: các quy luật về đại lượng, về không gian

và hình và về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm và chính

yếu cho bất kỳ một mô tả nào về toán học, và chúng tạo nên "trái tim" của bất kỳ

chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học. Nhưng hiểu biết toán có hàm ý rộng hơn. Việc xử lý tính không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và

toán học là chính yếu. Với lý do này, các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê

sản sinh ra ý tưởng bao quát thứ tư: tính không chắc chắn.

Với bốn ý tưởng này, nội dung toán học được tổ chức thành một số các lĩnh vực đủ

lớn để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình toán phổ thông,

nhưng đồng thời đủ nhỏ để tránh một sự phân chia quá chi tiết mà có thể đi ngược

lại trọng tâm vào các vấn đề dựa trên các bối cảnh thực.

Như vậy, danh sách các ý tưởng bao quát được sử dụng trong OECD/PISA đáp ứng được những đòi hỏi về phát triển có tính lịch sử, phủ được phạm vi và phản ánh được các mạch kiến thức toán chính yếu của chương trình ở nhà trường.

2.2.2. Các năng lực

Những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề được hiểu là các năng lực toán học. Mỗi năng lực có thể đạt được ở các mức độ

thành thạo khác nhau. Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các

năng lực khác nhau. Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã

quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông bao gồm:

1. Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng toán ("Có hay không…?", "Nếu như vậy, có bao nhiêu?", "Làm thế nào

chúng ta tìm..?"); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những

câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định

phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho.

2. Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải

quyết vấn đề bằng kinh nghiệm ("điều có thể (không thể) xảy ra, và tại

sao?"); tạo nên và trình bày các lập luận toán.

3. Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu

được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn

đề như vậy.

4. Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh được mô hình hóa; chuyển thể "thực tế" thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa "thực tế"; làm việc với một mô hình toán;

làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng

như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm

hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô

hình hóa.

5. Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: "thuần túy toán", "ứng dụng", "kết thúc mở" và "đóng"); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách.

6. Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn

tùy theo bối cảnh và mục đích.

7. Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức,

và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể ngôn

ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và

biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương

trình và thực hiện các phép tính.

8. Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến việc biết và có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công

cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn

chế của những loại công cụ đó.

2.2.3. Các cụm năng lực

Để mô tả và báo cáo một cách hiệu quả các năng lực của HS, cũng như thế mạnh và

điểm yếu theo một quan điểm quốc tế thì người ta cần đến một vài cấu trúc dễ hiểu

và quản lý được, đó là mô tả theo các cụm năng lực, dựa trên các loại nhu cầu nhận

thức cần đến để giải quyết các bài toán khác nhau.

a) Cụm năng lực tái tạo

Những năng lực trong cụm năng lực tái tạo liên quan chủ yếu đến sự tái tạo của kiến

thức đã được thực hành. Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều

nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp.

Những năng lực này là:

- Kiến thức về các sự kiện và các biểu diễn vấn đề chung;

- Sự nhận ra các tương đồng;

- Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;

- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;

- Áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn và kỹ năng có tính kỹ thuật;

- Thao tác với các biểu thức chứa ký hiệu và công thức theo dạng chuẩn;

- Tiến hành các tính toán.

Các câu hỏi thuộc cụm năng lực tái tạo có thể được mô tả với những chỉ số mô tả chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen thuộc.

b) Cụm năng lực liên kết

Năng lực thuộc cụm năng lực liên kết xây dựng trên các năng lực của cụm năng lực tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen

thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc. Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu

từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên

kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề. Các câu hỏi đánh giá các nặng lực

cụm năng lực liên kết có thể được mô tả bởi các chỉ số mô tả sau: tích hợp, liên kết

và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành.

c) Cụm năng lực phản ánh

Năng lực trong cụm năng lực phản ánh liên quan đến khả năng của HS vạch

chiến lược giải và tìm công cụ giải các vấn đề không quen thuộc. Ngoài các năng

lực được mô tả trong cụm năng lực liên kết, đối với cụm năng lực phản ánh còn bao gồm:

Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc hiểu và thao tác các khái niệm

toán học trong các tình huống mới hoặc phức tạp; tổng quát hóa kết quả.

Lập luận: Điều này liên quan đến suy luận toán đơn giản, phân biệt giữa các chứng

minh và các dạng rộng hơn của lập luận và suy luận; theo dõi được và đánh giá

chuỗi các lập luận toán học theo các dạng khác nhau, sử sụng phương pháp giải

quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (như "điều gì có thể hay không thể xảy ra, hay

trường hợp nào và tại sao?", "chúng ta biết gì và chúng ta cần thu được gì?").

Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc giải thích các vấn đề bao gồm các mối quan hệ phức tạp.

Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc chuyển thể "thực tiễn" thành các cấu

trúc toán học trong bối cảnh phức tạp và khác xa so với những gì HS thường làm

quen ở nhà trường.

Đặt vấn đề và giải quyết vấn đề: Điều này liên quan đến việc giải quyết vấn đề

bằng cách dùng các tiếp cận và quy trình tiêu chuẩn, nhưng các quá trình giải quyết

vấn đề này là không quen thuộc và đòi hỏi sự kết nối giữa các miền toán học khác nhau, các loại biểu diễn khác nhau và các giao tiếp khác nhau (giản đồ, biểu đồ, đồ thị, hình, chữ).

Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc tạo ra sự kết nối giữa các biểu diễn và phát minh ra những biểu diễn không tiêu chuẩn.

Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này liên

quan đến việc xử lý các mệnh đề và các biểu thức phức tạp bằng các ký hiệu không quen thuộc hay ngôn ngữ hình thức; và cũng liên quan đến việc hiểu và chuyển đổi giữa ngôn ngữ đó với ngôn ngữ đời thường.

Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Điều này liên quan đến việc biết và sử dụng các trợ giúp và công cụ quen thuộc hay không quen thuộc vào các tình huống khác với

những gì đã được giới thiệu và thực hành; nó cũng liên quan đến việc biết về các

hạn chế của các công cụ.

Có thể hình dung sự khác biệt giữa các cụm năng lực qua bảng tóm tắt sau:

Cụm năng lực tái tạo Cụm năng lực liên kết Cụm năng lực phản ánh

 Mô hình hóa  Đặt và giải quyết các

 Những biểu diễn và định nghĩa tiêu chuẩn vấn đề phức tạp

 Các tính toán quen  Phản ánh và sâu sắc

 Dịch chuyển và giải thích, giải quyết vấn thuộc

đề tiêu chuẩn

trình quen  Tiếp cận toán học

 Các quy thuộc  Các phương pháp được xác định tốt bội. nguyên bản

 Giải quyết vấn đề quen  Các phương pháp phức

thuộc tạp bội

 Tổng quát hóa

Hình 2.6. Biểu diễn các cụm năng lực

2.2.4. Thay đổi và các mối quan hệ

Tất cả các hiện tượng tự nhiên là một biểu hiện của sự thay đổi. Một số ví dụ như

những sinh vật thay đổi khi chúng lớn, chu kỳ của mùa, dòng chảy của thủy triều,

chu kỳ cho tỷ lệ thất nghiệp và thay đổi thời tiết. Một số của các quá trình thay đổi

có thể được mô tả hoặc mô hình hóa bởi một số kiến thức toán học khá đơn giản

(như tuyến tính, mũ, tuần hoàn hay logarit, rời rạc hay liên tục). Nhưng nhiều mối quan hệ lại rơi vào những phạm trù khác nhau, và phân tích dữ liệu thường xuyên là rất cần thiết. Việc sử dụng công nghệ máy tính đã dẫn đến các kỹ thuật xấp xỉ mạnh

hơn và tinh vi hơn trong việc thu thập dữ liệu. Các mẫu dữ liệu của sự thay đổi trong tự nhiên và trong toán học không theo nghĩa của các nội dung toán học được trình bày theo truyền thống (các trình bày theo truyền thống thường quá đẹp).

PISA có nhiều quan tâm đến các mô hình của sự thay đổi và mục đích đánh giá xem HS có thể:

 Trình bày những thay đổi theo một hình thức dễ hiểu;

 Tìm hiểu các loại cơ bản của sự thay đổi;

 Nhận dạng cụ thể của những thay đổi khi chúng xảy ra;

 Áp dụng những kỹ thuật này đến với thế giới bên ngoài;

 Kiểm soát sự thay đổi thế giới theo hướng tạo lợi thế tốt nhất.

Các mối quan hệ có thể cho ta nhiều biểu diễn khác nhau, bao gồm kí hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình. Các biểu diễn khác nhau có thể phục vụ cho những mục đích

khác nhau và có những tính chất khác nhau. Do đó, sự chuyển dịch giữa các biểu

diễn khác nhau thường là chìa khóa quan trọng trong việc xử lý các bối cảnh hay

các nhiệm vụ.

Ta sẽ hiểu rõ hơn qua bài toán Chiều cao trung bình. Năm 1998 chiều cao trung

bình của cả hai giới trẻ nữ và giới trẻ nam ở Hà Lan được thể hiện ở đồ thị sau:

Câu hỏi 1: Chiều cao

trung bình

Theo đồ thị này, giai

đoạn nào trong cuộc

đời mà chiều cao trung

bình của nữ hơn nam ở

cùng độ tuổi?

Câu hỏi 2: Chiều cao

trung bình

Giải thích đồ thị chỉ ra

như thế nào về giá trị

trung bình của tỉ lệ phát

triển chiều cao của con gái chậm lại sau 12 tuổi.

Trong thời đại bùng nổ thông tin, cách thức truyền tải thông tin là một trong những vấn đề mà người ta quan tâm. Sự xuất hiện của biểu đồ, đồ thị ngày càng phổ biến. Thông tin có thể tìm thấy ở bất kỳ đâu, trên internet, trên tivi, trên báo hay tạp chí...

Nếu gặp khó khăn trong việc đọc biểu bảng nhiều khi còn được xem là "mù số". Chiều cao trung bình là một bài toán của PISA nhằm kiểm tra khả năng đọc đồ thị

của HS với ý tưởng bao quát là "thay đổi và các mối quan hệ", tập trung vào thay

đổi chiều cao liên quan đến tuổi tác.

Câu hỏi 1 thuộc cụm năng lực tái tạo; các nội dung toán học được mô tả thuộc kiểu "dữ liệu": HS được yêu cầu so sánh đặc điểm của hai bộ dữ liệu, giải thích các bộ

dữ liệu và rút ra kết luận. HS cần phải suy nghĩ và tìm ra lý do (nơi làm hai đồ thị

có điểm chung?). Sử dụng năng lực lập luận để giải thích những điểm này nhằm tìm

kiếm câu trả lời như mong muốn. Câu hỏi này đòi hỏi HS phải:

 Giải thích và sử dụng đồ thị;  Đưa ra kết luận trực tiếp từ đồ thị;  Trình bày kết quả lập luận của mình một cách chính xác.

Câu hỏi 2 thuộc cụm năng lực liên kết. Nó yêu cầu HS giải quyết một vấn đề trong

một tình huống không bình thường, mặc dù vẫn liên quan đến những thiết lập quen thuộc. HS cần phải suy nghĩ và đưa ra lý do (các câu hỏi có ý nghĩa gì về mặt toán

học), thiết lập các biến số, và giao tiếp một cách thích hợp (không phải chỉ đơn giản

là nhớ lại các quy trình). HS cũng cần giải quyết vấn đề và giải mã các biểu đồ. Các

câu hỏi chắc chắn sẽ không quen thuộc nên đòi hỏi HS phải thông minh trong việc

liên kết các ý tưởng và thông tin khác nhau. Câu hỏi đặt ra đòi hỏi HS phải:

 Thể hiện sự hiểu biết toán học;  Phân tích các đường cong tăng trưởng khác nhau;  Đánh giá các đặc điểm của một tập hợp các dữ liệu, đại diện trên đồ thị;  Lưu ý và giải thích độ dốc khác nhau ở những điểm khác nhau của đồ thị;  Trình bày lý do và các lập luận của mình một cách rõ ràng và chính xác.

Tóm tắt chương 2: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vần đề liên

quan đến nền tảng lịch sử của đề tài. Chúng tôi cũng đã cung cấp nền tảng lý thuyết

dựa trên khuôn khổ đánh giá toán của PISA. Những kết quả này làm cơ sở để thiết

kế Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi trong chương tiếp theo.

Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Chương này mô tả phương pháp được sử dụng để tiến hành nghiên cứu. Nó được

chia thành các tiểu mục: (1) Thiết kế nghiên cứu; (2) Đối tượng tham gia; (3) Công

cụ nghiên cứu và (4) Hạn chế.

1. Thiết kế nghiên cứu

Trước hết chúng tôi sẽ sử dụng thiết kế nghiên cứu khảo cứu lịch sử. Việc lựa chọn thiết kế nghiên cứu này với mục đích tìm hiểu các kết quả nghiên cứu có liên quan

đến vấn đề toán học hóa; quy trình toán học hóa và nội dung toán "thay đổi và các

mối quan hệ" trong khuôn khổ của PISA.

Đồng thời chúng tôi sử dụng thiết kế nghiên cứu khảo sát. Khảo sát được tiến hành

trên mẫu gồm 244 HS lớp 10 ở năm trường THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế

qua hai công cụ điều tra chính là Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi. Mục đích của khảo sát

là thu thập các thông tin liên quan đến toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" như: năng lực của HS; thái độ của HS và thực trạng toán học nhà trường ảnh

hưởng đến HS.

2. Đối tượng tham gia

Đối tượng tham gia nghiên cứu này gồm 244 HS đang theo học lớp 10 ở năm

trường THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, cụ thể là:

- 40 HS lớp 101 trường THPT Quốc Học, Thành phố Huế;

- 21 HS lớp 10SĐ (10 Sử Địa) trường THPT Quốc Học, Thành phố Huế;

- 35 HS lớp 10A4 trường THPT Hai Bà Trưng, Thành phố Huế;

- 41 HS lớp 10B2 trường THPT Hai Bà Trưng, Thành phố Huế;

- 39 HS lớp 10A10 trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, huyện Phong Điền, tỉnh

Thừa Thiên Huế;

- 37 HS lớp 10B4 trường THPT Đặng Huy Trứ, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa

Thiên Huế;

- 31 HS lớp 10B5 trường THPT Đặng Huy Trứ, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa

Thiên Huế.

3. Công cụ nghiên cứu

Chúng tôi cố gắng thiết kế Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi phỏng theo công cụ điều tra

chính của PISA và việc đánh giá mức độ hiểu biết của HS cũng dựa trên khung

chuẩn của PISA. Dưới đây là mô tả các mức độ hiểu biết về "thay đổi và các mối quan hệ" của PISA:

Học sinh cần đạt được về "thay đổi và các mối quan hệ" Cụm năng lực Mức độ hiểu biết

- Làm việc với những thuật toán đơn giản, công thức, và Mức 1 các quy trình từng bước;

- Liên kết lời văn với các biểu diễn đơn giản; Tái tạo

Mức 2 - Bắt đầu lý giải và dùng suy luận sơ cấp; - Lý giải lời văn để đưa ra một mô hình toán học đơn giản

trong một tình huống áp dụng;

- Làm việc với các biểu diễn có liên quan (lời văn, đồ thị, bảng số và đại số đơn giản) bao gồm một số lý giải và

suy luận; Mức 3 - Lý giải các biểu diễn bằng đồ thị không quen thuộc của

các tình huống thực tiễn;

- Liên kết và nối liền các biểu diễn có liên quan bội. Liên kết - Hiểu và làm việc với các biểu diễn bội, bao gồm các mô

hình toán tường minh của các tình huống thực tế;

- Tiến hành một loạt các tính toán liên quan đến phần Mức 4 trăm hay tỉ lệ;

- Thể hiện sự hiểu biết sâu sắc vào các bài toán hình học

không gian.

- Sử dụng hoàn toàn tiên tiến về các biểu thức và mô hình

đại số hay những dạng toán học hình thức khác;

Mức 5 - Khả năng liên kết các biểu diễn toán học hình thức với

các tình huống thực tế phức tạp;

- Khả năng giải các bài toán phức toán và có nhiều bước.

Phản ánh

Mức 6 - Sử dụng hiểu biết sâu sắc, các kỹ năng suy luận đã phát triển hoàn hảo và kiến thức có tính kỹ thuật tường minh để giải các bài toán và bắt đầu tổng quát hóa các lời giải toán học lên các bài toán thực tế phức tạp;

- Lý giải các thông tin toán học phức tạp trong ngữ cảnh

của một bài toán.

3.1. Bộ đề kiểm tra

Bộ đề kiểm tra gồm 9 bài toán thực tế khác nhau, được đặt trong những bối cảnh

riêng biệt. Bối cảnh là vấn đề mà xã hội hay chính HS quan tâm. Những nhiệm vụ

đặt ra trong các bài toán mà HS phải giải quyết về "thay đổi và các mối quan hệ".

Dưới đây là các phân bố về "thay đổi và các mối quan hệ" trong Bộ đề kiểm tra:

Cụm năng lực Tái tạo Liên kết Phản ánh Tổng

Số lượng 6 13 8 27

Bảng 3.1. Tỉ lệ của các cụm năng lực trong "thay đổi và các mối quan hệ"

Trả lời nhiều lựa Trả lời có cấu Trả lời có cấu Loại câu hỏi Tổng chọn trúc đóng trúc mở

Số lượng 7 6 14 27

Bảng 3.2. Tỉ lệ của các loại câu hỏi trong "thay đổi và các mối quan hệ"

 Bài toán 1: Chiều cao của trẻ

Trong nhiều năm, công thức tính chiều cao trung bình của

trẻ em (từ 1 đến 16 tuổi) được tính bởi công thức:

(N là tuổi tính bằng năm).

Nghiên cứu gần đây cho thấy công thức tính chiều cao

trung bình mới là:

(N là tuổi tính bằng năm).

Câu hỏi 1: Chiều cao của trẻ

Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi theo công thức mới là:

A. 150 B. 173

C. 170 D. 167

Câu hỏi 2: Chiều cao của trẻ

Em hãy cho biết chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình, từ đó đưa ra nhận xét về chiều cao của mình so với chiều cao trung bình mà công thức mới đưa ra?

Câu hỏi 3: Chiều cao của trẻ

Một bài báo đã viết "Trong những năm gần đây, chiều cao của con người tăng lên đáng kể. Chẳng hạn, một trẻ em 10 tuổi có chiều cao trung bình tăng từ 15-20 cm". Điều này có phù hợp với nghiên cứu gần đây ở trên không? Hãy trình bày kiến giải của em?

Thang điểm: Chiều cao của trẻ

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi:

Vậy đáp án đúng là B.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Tái tạo Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (2đ)

 Code 22: Đưa ra chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình. So sánh được chiều cao của mình với chiều cao trung bình theo công thức mới ứng với tuổi của mình (tuổi không làm tròn theo năm).

 Code 12: Thực hiện được các yêu cầu ở code 22 nhưng làm tròn tuổi

của các em theo năm.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Cụm năng lực: Liên kết

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cá nhân

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (2đ)

 Code 23: Bài báo nhận xét đúng vì

(cm);

 Code 13: Đồng ý với nhận xét của bài báo nhưng không có giải thích

hoặc giải thích không chính xác.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Cụm năng lực: Phản ánh Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

 Bài toán 2: IQ (Intelligence Quotient)

Để tính toán chỉ số IQ, công

thức được lập nên là:

trong đó:

 : là điểm của bài test;



 : điểm trung bình;

: độ lệch chuẩn. Câu hỏi 1: IQ Bảng phân bố IQ

Khảo sát bằng bài kiểm tra (60 câu hỏi) trên một nhóm khoảng 2000 HS đại diện

cho các HS lớp 8 thu được điểm trung bình µ = 35,5; độ lệch chuẩn σ = 11,4. Tuấn

là HS lớp 8, làm bài kiểm tra đạt 48 điểm. Vậy IQ của Tuấn là bao nhiêu?

A. 116 B. 101

C. 117 D. 106

Câu hỏi 2: IQ

Dựa vào công thức và Bảng phân bố IQ, bạn hãy đưa ra điểm IQ trung bình của một

người và Tuấn thuộc nhóm đối tượng nào?

Câu hỏi 3: IQ

Em hãy đưa ra một điều chỉnh về giá trị của điểm trung bình và độ lệch chuẩn mà

trong trường hợp đó Tuấn xếp chỉ thuộc nhóm những người sáng dạ mà thôi?

Thang điểm: IQ

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Số IQ của Tuấn là: .

Vậy đáp án đúng là A.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Tái tạo

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cá nhân

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (2đ)

 Code 22: IQ trung bình là 100 hoặc từ 85 đến 115. Tuấn thuộc nhóm

người thông minh.

 Code 12: Trả lời được một trong hai ý của code 22.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Cụm năng lực: Liên kết Bối cảnh: Cá nhân

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (1đ)

 Code 13: Mỗi đáp án đưa ra thỏa mãn đều được điểm. Ví dụ: điểm trung

bình µ = 35,5; độ lệch chuẩn σ = 13.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cá nhận

 Bài toán 3: Giá thuê môtô lướt sóng

Trên một bãi biển ở Đà Nẵng, giá thuê

môtô lướt sóng được tính theo mỗi gói

15 phút. Giá thuê gói sau thấp hơn gói

trước là 50.000(VNĐ). Một người kinh

doanh đã treo biển báo giá thuê môtô

lướt sóng như sau:

15 phút 30 phút 60 phút Thời gian

350.000 650.000 1.100.000 Giá tiền (VNĐ)

Câu hỏi 1: Giá thuê môtô lướt sóng

Nếu thuê môtô lướt sóng trong 45 phút thì số tiền cần phải trả là:

A. 750.000 (VNĐ) C. 900.000 (VNĐ) B. 950.000 (VNĐ) D. 1.000.000 (VNĐ)

Câu hỏi 2: Giá thuê môtô lướt sóng

Từ gói thứ 5, giá thuê môtô lướt sóng không giảm mà giữ nguyên mức giá của gói

thứ 4. Nếu thuê 90 phút thì phải trả số tiền là bao nhiêu?

Câu hỏi 3: Giá thuê môtô lướt sóng

Người tiểu thương nhận thấy rằng bảng giá vẫn chưa kích thích được du khách sử

dụng môtô lướt sóng trong thời gian dài nên đã quyết định giảm giá. Em hãy giúp lập ra một bảng giá mới có thể kích thích khách sử dụng trong thời gian dài và giá

thuê 60 phút đầu không cao hơn 1 triệu?

15 phút 30 phút 45 phút 60 phút Thời gian

Giá tiền (VNĐ)

Thang điểm: Giá thuê môtô lướt sóng

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Giá thuê 45 phút là:

Vậy đáp án đúng là C.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (1đ)

 Code 12:

(VNĐ) Giá thuê của gói thứu 4 là: Vậy giá thuê 90 phút là:

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Cụm năng lực: Liên kết Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (2đ)

 Code 23: Có nhiều phương án khác nhau. Dưới đây là một ví dụ (sau mỗi

gói giảm 3/10 giá trị của gói trước):

Thời gian 15 phút 30 phút 45 phút 60 phút

Giá tiền (VNĐ) 350.000 595.000 767.000 887.000

 Code 13: Bảng giá lập ra chỉ thỏa mãn một trong hai điều kiện: không vượt qua 1 triệu hoặc mức giá có thể kích thích thời gian thuê môtô lướt sóng hơn bảng giá cũ.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ánh

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

 Bài toán 4: Số HS đậu đại học

Câu hỏi 1: Số HS đậu đại học

Trường nào có tỉ lệ HS đậu đại học cao nhất?

Câu hỏi 2: Số HS đậu đại học

Nếu số HS đậu đại học của trường E là 120. Hãy tìm số HS lớp 12A2 thi đậu đại học và số HS của trường E tham gia thi đại học?

Câu hỏi 3: Số HS đậu đại học

Dựa vào đồ thị Bình nói "Số HS đậu đại học của trường D nhiều hơn trường E". Hãy trình bày quan điểm của em về nhận xét đó?

Thang điểm: Số HS đậu đại học

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Trường A, số HS đậu ại học chiếm tỉ lệ 90%.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Tái tạo Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (2đ)

 Code 22:

 Số hoc sinh lớp 12A2 đậu đại học là :

;

 Số HS trường E tham gia thi đại học là:

.

 Code 12: Giải quyết được một trong hai yêu cầu của Code 22.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng

Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (2đ)

 Code 23: Chỉ dựa vào chiều cao của cột biểu đồ thì chưa đủ cơ sở để kết luận. Chẳng hạn số HS tham gia thi đại học của trường E là 400 HS và trường D là 240 HS, khi đó số HS đậu đại học của trường E là 200 HS, nhiều hơn số HS đậu đại học của trường D (144 HS đậu đại học);

 Code 13: Đưa ra kết luận đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích

không chính xác.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Cụm năng lực: Phản ánh

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

 Bài toán 5: Giá cước taxi

Dưới đây là bản giá cước xe taxi 4 chỗ của Hanoi Tourist Taxi (Hà Nội) và Sai- gon Air Taxi (Sài gòn)

Câu hỏi 1: Giá cước taxi

Giá thời gian chờ của Saigon Air Taxi trong một giờ là:

A. 2.000 (VNĐ)

C. 40.000 (VNĐ) B. 30.000(VNĐ) D. 20.000 (VNĐ)

Câu hỏi 2: Giá cước taxi

Em hãy điều chỉnh bảng giá của hãng Saigon Air Taxi khi giá xăng tăng lên 12%,

biết rằng giá xăng chiếm 5% giá cước taxi?

Câu hỏi 3: Giá cước taxi

Hãy đưa ra nhận xét của mình về giá taxi của hai hãng taxi và nêu ra những dẫn

chứng cho nhận xét của mình?

Thang điểm: Giá cước taxi

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Số tiền phải trả trong một giờ chờ của hãng Saigon Air Taxi là:

(VNĐ). Vậy đáp án chọn là C.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Cụm năng lực: Tái tạo Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (1đ)

 Code 12:

 Điều chỉnh giá cước taxi tăng lên

 Giá thời gian chờ tăng lên hay giữ nguyên đều được.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (2đ)

 Code 23: Hãng Hanoi Tourist Taxi có giá cước rẽ hơn. Có thể vẽ biểu đồ

hay lấy các giá trị đại diện đều chấp nhận;

 Code 23: Kết luận đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không

chính xác.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ảnh

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Cộng đồng

 Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6

Tại một ngã 6 người ta đặt ba bộ đèn báo giao thông. Tại

một thời điểm chỉ có một đèn xanh hoặc vàng.

Câu hỏi 1: Đèn giao thông tại ngã 6

Hoàn thành những ô còn trống ở bảng các thông số của ba

đèn giao thông sau, thời gian tính bằng giây (s):

Đèn giao thông Thời gian xanh (s) Thời gian vàng (s) Thời gian đỏ (s)

1 42 3 45

2 27 3

3 12 3

Câu hỏi 2: Đèn giao thông tại ngã 6

Khi đèn giao thông 1 bắt đầu xanh thì trạng thái của các đèn giao thông như thế nào

sau 88 giây?

Câu hỏi 3: Đèn giao thông tại ngã 6

Hãy lập bảng thông số của ba đèn giao thông thỏa điều kiện các đèn đều có cùng

thời gian xanh?

Bộ đèn giao thông Thời gian xanh (tính bằng giây) Thời gian vàng (tính bằng giây) Thời gian đỏ (tính bằng giây)

Thang điểm: Đèn giao thông tại ngã 6

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Điền đúng cả hai ô. HS phải nhận ra quy luật tổng thời gian xanh và vàng của 2 đèn bằng thời gian đỏ của đèn còn lại (tổng thời gian

của một chu kỳ là 90s).

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc đóng Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (1đ)

 Code 12: Đèn giao thông 1, 2 đỏ; đèn giao thông 3 vàng. Dưới đây là lời

giải thích cho câu trả lời:

1 42 43 45 46 72 73 75 76 87 88 90

Thời gian (giây) Đèn 1 Đèn 2 Đèn 3 xanh đỏ đỏ Vàng đỏ đỏ đỏ xanh đỏ đỏ vàng đỏ đỏ đỏ Xanh đỏ đỏ vàng

Nếu HS chọn đèn 3 xanh rồi đến đèn 2 xanh (đèn giao thông 1 luôn xanh đầu tiên)

thì đèn giao thông 1, 3 đỏ còn đèn giao thông 2 vàng. Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (1đ)

 Code 13: Đưa ra được một đáp án hợp lệ. Bảng lập ra ngoài việc thỏa mãn yêu cầu có cùng thời gian xanh còn phải đảm bảo quy luật tổng thời

gian xanh và vàng của 2 đèn bằng thời gian đỏ của đèn còn lại Dưới đây

là một đáp án điển hình:

Bộ đèn giao Thời gian xanh Thời gian vàng Thời gian đỏ

thông (tính bằng giây) (tính bằng giây) (tính bằng giây)

1 27 3 60

2 27 3 60

3 27 3 60

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Cụm năng lực: Liên kết Bối cảnh: Công cộng

 Bài toán 7: Hợp đồng lao động

An kí một hợp đồng lao động 5 năm, làm việc từ đầu năm 2008. Lương khởi điểm

là 4.000.000 (VNĐ) và tăng 10% mỗi năm.

Câu hỏi 1: Hợp đồng lao động

Lương của An năm 2010 đã tăng lên bao nhiêu phần trăm so với năm 2008?

A. 10% C. 20% B. 11% D. 21%

Câu hỏi 2: Hợp đồng lao động

Hãy mô tả về sự phụ thuộc về số năm ( ) với mức lương hàng tháng

của năm thứ mà An nhận?

Câu hỏi 3: Hợp đồng lao động

Ngoài phương án trả tiền lương như trên, doanh nghiệp còn đưa ra phương án trả

4.500.000 VNĐ/tháng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm lương được tăng lên 5%.

Phương án nào đem đến cho An tiền lương cao hơn? Hãy giải thích?

Thang điểm: Hợp đồng lao động

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Đáp án: D

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Liên kết Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2 Điểm tối đa (1đ)

 Code 12: HS có thể mô tả bằng hàm số hay đồ thị. Dưới đây là một mô

tả bằng hàm số:

(triệu).

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Cụm năng lực: Phản ánh

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3 Điểm tối đa (2đ)

 Code 23: Mức 4.500.000 ĐNV/tháng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm lương được tăng lên 5% đem đến cho An tiền lương cao hơn. Dưới đây là một cách giải thích:

 Code 13: Trả lời đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không

chính xác

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Phản ánh Bối cảnh: Cộng đồng

 Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ

Hình bên biểu diễn quãng đường đi

được trong một lít xăng (S/1lít) của

dòng xe Wave S thuộc hãng Honđa.

Câu hỏi 1: Lượng xăng tiêu thụ Với vận tốc nào thì xe ít tiêu hao

nhiên liệu nhất?

A. 40 km/h B. 50 km/h

C. 60 km/h D. 70 km/h

Câu hỏi 2: Lượng xăng tiêu thụ

Hà thấy mình điều khiển với vận tốc khoảng từ 25km/h đến 55km/h (giả thiết thời

gian chạy phân đều cho các vận tốc). Và đã tiến hành lập luận như sau:

Vận tố trung bình là: (km/h).

Vậy quảng đường chạy trong một lít xăng là 70km.

Bạn có đồng ý với lý luận của Hà không? Giải thích rõ ý kiến của bạn.

Câu hỏi 3: Lượng xăng tiêu thụ

Hình vẽ bên là hình ảnh về công-tơ-mét của xe Wave S. Hãng sản xuất đã sử dung các màu sắc khác nhau trên cung tốc độ với những ý nghĩa khác nhau. Em hãy cho biết ý nghĩa các màu

bằng cách đánh dấu vào các ô bên cạnh:

Màu trên cung tốc độ An toàn Không an toàn Tiết kiệm xăng

Trắng

Xanh

Đỏ

Thang điểm: Lượng xăng tiêu thụ

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code 11: Trả lời A: 40km/h.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Tái tạo Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (2đ)

 Code 22: Vận tốc lợi xăng nhất là 40km/h, lúc đó 1 lít xăng đi được 70km. Do vậy, với vận tốc khoảng từ 25km/h đến 55km/h thì quãng đường phải thấp hơn 70km. Vậy, lập luận của Hà là sai (mọi lập luận hợp lý khác đều chấp nhận);

 Code 12: Kết luận đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không

chính xác.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Cụm năng lực: Phản ánh

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (2đ)

 Code 23:  Màu trắng: an toàn;

 Màu xanh:tiết kiệm xăng (có thể chọn thêm an toàn);  Màu đỏ: không an toàn.

 Code 13: Nêu được ý nghĩa 2 trong ba màu.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Ý tưnởg bao quát: Thay đổi và các quan hệ

Cụm năng lực: Liên kết Bối cảnh: Công cộng

 Bài toán 9: Hồ cá

Tuấn nhận thấy rằng: trên một đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá Trắm thì trung bình mỗi con cá Trắm sau một vụ 6 tháng cân nặng là:

(kg)

Câu hỏi 1: Hồ cá

Nếu thu hoạch được 120 con cá với tổng khối lượng

144kg. Số con cá Trắm trên một đơn vị diện tích mà

Tuấn thả nuôi là:

B. 5 A. 4

D. 7 C. 6

Câu hỏi 2: Hồ cá

Lái buôn thu mua loại cá có khối lượng từ 0,8kg đến 1,0kg với giá cao nhất. Em hãy

đưa ra một giải pháp để có thể thu hoạch được lứa cá có khối lượng từ 0,8kg đến

1,0kg?

Câu hỏi 3: Hồ cá

Tuấn lập một bảng theo dõi tốc độ sinh trưởng của cá và ghi chép lại như sau:

Tháng thứ 1 3 6

Khối lượng trung bình (g) 100 500 1.200

Hãy lập một biểu diễn (hàm số, đồ thị…) về sự tăng trưởng của loài cá Trắm thông

qua sự ghi chép của Tuấn?

Thang điểm: Hồ cá

Thang điểm câu hỏi 1

Điểm tối đa (1đ)

 Code11: 5 con cá/1m2.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Tái tạo

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 2

Điểm tối đa (1đ)

 Code 22: Có nhiều phương án để lựa chọn:

 Tăng mật độ cá trên một đơn vị diện tích: thả nuôi 6 con/m2

 Giảm thời gian vụ nuôi: trong ba tháng cuối mỗi tháng trung bình

tăng khoảng 233(g). Do đó, nếu giảm vụ nuôi còn 5 tháng sẽ được

khối lượng mỗi con cá như ý muốn.

 Code12: Mọi giải thích hợp lý khác đều được chấp nhận.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Liên kết

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

Thang điểm câu hỏi 3

Điểm tối đa (1đ)

 Code 13: Có nhiều phương án cho HS lựa chọn:

 Biểu diễn bằng hàm số hay biểu đồ đều được.

 Xem đồ thị (hàm số) về sự tăng trưởng có thể là một phần của đồ thị

bậc 2 hay bậc 3.

Không có điểm (0đ)

 Code 02: Các trả lời khác;

 Code 09: Bỏ trống.

Loại câu hỏi: Câu trả lời có cấu trúc mở Cụm năng lực: Phản ánh

Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng

3.2. Bảng hỏi

Mục đích của Bảng hỏi là xem HS hiểu như thế nào về “thay đổi và các mối quan

hệ”; sự tự tin của HS trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến “thay đổi và các

mối quan hệ” và thời gian dành cho môn toán của các em.

Câu hỏi 1. Suy nghĩ của bạn về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán học.

Hãy cho biết bạn đồng ý với những nhận xét sau ở mức độ nào? Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: Đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Không đồng ý tí nào.

Nội dung 1 2 3 4

Toán là môn khoa học bàn về các đối tượng và mối 1 2 3 4 a) liên hệ giữa chúng.

Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng 1 2 3 4 b) trong toán học thật sự thú vị.

Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng 1 2 3 4 c) trong toán học là cần thiết cho bản thân em.

Mối quan hệ giữa các đối tượng trong toán học mà em d) 1 2 3 4 được học không có nhiều ý nghĩa trong thực tế.

Các thay đổi và mối liên hệ giữa các đối tượng trong

e) toán học mà em được học đều là những quy trình cần 1 2 3 4

ghi nhớ.

Câu hỏi 2. Khả năng của HS khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ".

Bạn cảm thấy tự tin ở mức độ nào khi thực hiện các nhiệm vụ toán học sau?

Chú ý: 1: Rất tự tin; 2: tự tin; 3: Không tự tin; 4: Rất không tự tin

Nội dung

1

2

3

4 a) Tính giá một cái áo Việt Tiến sau khi đã giảm 15%. 1 2 3 4

1 2 3 4

b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

1 2 3 4

c) Hiểu các đồ thị được trình bày trên một tờ báo.

Tính số km xe máy đi được trong một lít xăng biết rằng số km này phụ thuộc vào vận tốc của xe theo

1 2 3 4

d)

một hàm số bậc nhất: số km = x(vận tốc) +

1 2 3 4

e)

Tìm khoảng cách thực sự giữa hai vị trí trên một bản đồ có tỉ lệ 1 : 100.

f)

Tìm kiếm mối quan hệ của dãy số: 1; 2; 3; 5; 8; 13... 1 2 3 4

1 2 3 4

h)

Mức tăng tiền lương sau ba năm nếu mỗi năm tăng 10%.

Câu hỏi 3: Suy nghĩ về việc học những vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ".

Hãy cho biết bạn đồng ý với các nhận xét sau ở mức độ nào?

Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: Đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Không đồng ý tí nào

Nội dung

1

2

3

4 Em thích thú khi tìm hiểu sự thay đổi của các đối

1 2 3 4

a)

tượng và mối liên hệ giữa chúng trong toán học.

Em gặp khó khăn khi tìm hiểu sự thay đổi các đối

1 2 3 4

b)

tượng và quan hệ giữa chúng trong toán học.

Em căng thẳng khi hiểu sự thay đổi của các đối tượng

1 2 3 4

c)

và mối liên hệ giữa chúng trong toán học.

Khi em đi tìm mối quan hệ toán học nào đó, em cảm

1 2 3 4

d)

thấy giống như em đang làm một điều gì đó hữu ích.

Câu hỏi 4: Về thời gian học toán. Hãy điền vào phần gạch chân bỏ trống phía dưới

(các câu trả lời các em chú ý tính luôn cả thời gian cuối tuần).

a) Bài tập về nhà hay những nhiệm vụ học tập khác được

_______

giao về nhà bởi GV toán của bạn. giờ mỗi tuần

_______

b) Các lớp học phụ đạo về toán ở trường. giờ mỗi tuần

_______

c) Các lớp học nâng cao về toán ở trường. giờ mỗi tuần

_______

d) Làm việc với một người dạy kèm toán. giờ mỗi tuần

_______

e) Tham gia các lớp học thêm toán ngoài nhà trường. giờ mỗi tuần

f) Các hoạt động toán học khác (câu lạc bộ toán học,

_______

hoạt động ngoại khóa…). giờ mỗi tuần

4. Hạn chế

Nghiên cứu có một số hạn chế về tính đúng đắn và khả năng tổng quát của nó:

 Dù chúng tôi đã nỗ lực trong quá trình xây dựng Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi,

nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên có thể còn thiếu sót;

 Đối tượng tham gia chỉ tiến hành trên một số HS trong Thành Phố Huế và vùng ven thành phố nên các số liệu của mẫu được rút ra có thể không đại

diện cho toàn bộ HS trong tỉnh;

 Nghiên cứu giả thiết rằng đối tượng HS tham gia nghiêm túc khi tiến hành thực nghiệm; cũng có thể xảy ra trường hợp một số HS không thật sự nghiêm

túc. Như vậy có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của kết quả.

 Thông qua điều tra, chúng tôi phần nào đánh giá được suy nghĩ, thái độ của

các em về "thay đổi và các mối quan hệ". Tuy nhiên, do phải thông qua số

liệu để đánh giá, số liệu thu thập được có thể bị nhiễu…nên kết quả đôi lúc không hoàn toàn chính xác.

Tóm tắt chương 3: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày thiết kế nghiên cứu,

đối tượng tham gia trong nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập và

phân tích dữ liệu cũng như hạn chế của nghiên cứu. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình

bày các kết quả thu được từ việc thiết kế và tiến hành nghiên cứu này ở chương 4.

Chương 4. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng thiết kế được trình bày ở chương 3.

Chương này sẽ trình bày các kết quả thu được, làm cơ sở cho việc trả lời các câu hỏi

nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1.

1. Cách thức tổ chức

Từ Bộ đề kiểm tra chúng tôi chia thành 4 đề kiểm tra, mỗi đề có bài toán khác nhau và có thời gian làm bài là 45 phút. Trong đó:

 Đề 1 gồm các bài toán: Giá thuê môtô nước; Số HS đậu đại học; Lượng

xăng tiêu thụ;

 Đề 2 gồm các bài toán: Chiều cao của trẻ; IQ; Đèn giao thông tại ngã 6;

 Đề 3 gồm các bài toán: Số HS đậu đại học; Giá cước taxi; Hợp đồng lao

động;

 Đề 4 gồm các bài toán: Chiều cao của trẻ; Số HS đậu đại học; Hồ cá.

Dưới đây là bảng phân bố các đề kiểm tra đến các lớp tham gia thực nghiệm sư

phạm (Bảng hỏi được phát cho tất cả các HS tham gia thực nghiệm):

Số HS tham gia làm Tổng số

Các lớp đã tiến hành thực nghiệm HS tham Đề 1 Đề 2 Đề 3 Đề 4 gia

101 – Trường THPT Quốc Học 11 7 13 9 40

10SĐ – Trường THPT Quốc Học 6 4 7 4 21

10 12 8 5 35 10A4 – Trường THPT Hai Bà Trưng

10 9 12 10 41 10B2 – Trường THPT Hai Bà Trưng

9 11 9 10 39 10A10 – Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

9 10 9 9 37 10B4 – Trường THPT Đặng Huy Trứ

9 7 8 7 31 10B5 – Trường THPT Đặng Huy Trứ

64 60 66 54 244 Tổng cộng

2. Kết quả thu được từ Bộ đề kiểm tra

Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm theo đúng quy trình và thu thập dữ liệu một

cách nghiêm túc. Dưới đây là những thống kê cơ bản được rút ra từ kết quả của các bài làm mà HS thể hiệm khi tham gia làm các bài kiểm tra từ Bộ đề kiểm tra

á c

ồ H

g n ă x

g n ợ ư L

ụ h t u ê i t

p ợ H

g n ộ đ

o a l g n ồ đ

i ạ t

6 ã g n

o a i g n è Đ

g n ô h t

á i G

i x a t

c ớ ư c

c ọ h

u â đ h n

c ọ h ố S

i ạ đ

i s

t ớ ư

l

ê u h t

g n ó s

á i G

ô t ô m

Q

I

u ề i

a ủ c

ẻ r t

h C

o a c

Dựa vào hình 4.1 ta có thể rút ra những kết quả sau:

- Các câu hỏi 1 trong các bài toán hầu hết thuộc cụm năng lực tái tạo và số HS giải quyết được trên 50%; Có 3 bài toán mà câu hỏi 1 thuộc cụm năng lực liên kết (Giá thuê môtô lướt sóng, Đèn giao thông tại ngã 6, Hợp đồng lao động) nhưng chỉ bài toán Hợp đồng lao động có số HS giải quyết được trên 50%;

- Đa số câu hỏi 2 của các bài toán thuộc cụm năng lực liên kết (trừ bài toán Hợp đồng lao động và Lượng xăng tiêu thụ thuộc cụm năng lực phản ánh) nhưng số HS giải quyết trọn vẹn dưới 50% (trừ bài toán Số học sinh đậu đại học);

Hình 4.1. Kết quả bài làm của HS theo từng câu hỏi

- Ngoài ba bài toán IQ, Đèn giao thông tại ngã 6, Lượng xăng tiêu thụ có câu hỏi 3 thuộc cụm năng lực liên kết còn lại thuộc cụm phản ánh. Từ bảng số liệu cho thấy có 5/8 Câu hỏi thuộc cụm phản ánh có số HS giải quyết được dưới 40%.

á c

ồ H

g n ă x

g n ợ ư L

ụ h t u ê i t

o a l

p ợ H

g n ộ đ

g n ồ đ

i ạ t

6 ã g n

o a i g n è Đ

g n ô h t

á i G

i x a t

c ớ ư c

c ọ h

u â đ h n

c ọ h ố S

i ạ đ

i s

t ớ ư

l

ê u h t

g n ó s

á i G

ô t ô m

Q

I

u ề i

a ủ c

ẻ r t

h C

o a c

80%

60%

40%

20%

40%

60%

80%

Hình 4.2. Kết quả các câu hỏi theo từng khu vực

Dựa vào hình 4.2, ta thu những kết luận ban đầu như sau:

- Hầu hết các bài toán trong Bộ đề kiểm tra HS ở KVTP đạt được kết quả cao hơn so với HS ở KVNT (ngoại trừ bài toán Hồ cá);

- Những bài toán mà HS đạt được kết quả khá cao: IQ, Số học sinh đậu đại học;

- Những bài toán mà HS gặp khó khăn khi giải quyết: Giá thuê môtô lướt sóng, Đèn giao thông tại ngã 6 (đặc biệt là HS ở KVNT), và Hợp đồng lao động;

- Câu hỏi 3 bài toán Số học sinh đậu đại học; câu hỏi 2 bài toán Giá cước taxi; câu hỏi 2 và câu hỏi 3 bài toán Đèn giao thông tại ngã 6; câu hỏi 2 và câu hỏi

3 bài toán Hợp đồng lao động và câu hỏi 2 của bài toán Lượng xăng tiêu thụ là những bài toán mà không có HS nào ở KVNT giải quyết trọn vẹn.

Bài toán 1: Chiều cao của trẻ (điểm tối đa: 5đ)

Có 107 HS tham gia làm bài kiểm tra (36 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 19 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 19 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 33 HS

trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

KVTP KVNT

Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

22 33 27 24 25 24 2 điểm

95 63 79 64 31 48 9 8 9 1 điểm

5 37 21 14 36 25 67 67 67 0 điểm

Phân tích:

 Đời sống ngày một phát triển, con người không còn hướng đến "ăn no, mặc

ấm" mà hướng đến "ăn ngon, mặc đẹp". Do vậy, hình thức bên ngoài mà đặc

biệt là chiều cao ngày càng được quan tâm. Trong vài thập niên qua nhiều

thực phẩm, nhiều công cụ tập luyện ra đời với mục đích hỗ trợ phát triển

chiều cao. Đó là nguyên nhân chính mà chiều cao của người Việt Nam tăng

đáng kể trong những năm gần đây.

 Trong câu hỏi 1, số HS trả lời đúng khá cao (chiếm 79%). Chiều cao theo tuổi là hàm bậc nhất mà các em được làm quen ở lớp 7, việc tìm giá trị hàm

số tại một điểm cố định (đã có giá trị của biến số) chỉ đòi hỏi việc nhớ lại

(cách tìm giá trị của hàm số) của HS. Câu hỏi này đòi hỏi về năng lực sử

dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán ở mức tái tạo

nên HS có thể giải quyết khá dễ dàng.

 Vào lúc thực nghiệm (cuối tháng 3), tuổi phổ biến của HS từ 14 năm 7 tháng đến 15 năm 6 tháng. Tuy nhiên, khi giải quyết câu hỏi 2, nhiều HS làm tròn

tuổi của mình theo năm (chiếm 48%) rồi tính theo công thức (chỉ 7 HS không làm tròn). Với cách làm này dẫn đến sự thiếu chính xác trong việc so sánh chiều cao của HS với chiều cao theo công thức đưa ra. Những HS làm tròn tuổi theo năm rồi so sánh được xếp vào nhóm 1 điểm. Có 22 HS (chiếm

21%) sinh vào tháng 3 hoặc đầu tháng 4 nên kết quả so sánh chấp nhận là đúng mặc dù các em đã làm tròn. Vấn đề mà bài toán đưa ra không khó, nó đòi hỏi năng lực tư duy và suy luận ở mức liên kết của HS khi giải quyết một

vấn đề thực tế.

Lê Thiên Ý Anh – THPT chuyên Quốc Học

 Rất nhiều HS không giải quyết được vấn đề trong câu hỏi 3. Sai lầm chủ yếu là HS hiểu nhầm vấn đề cần giải quyết (độ chệch về chiều cao giữa hai công

thức) với chiều cao tăng trưởng trong 1 năm theo công thức mới (chiếm

21%) cho thấy thấy năng lực giao tiếp HS gặp khó khăn. Ngoài ra, có 26 HS

(chiếm 24%) bỏ trống câu hỏi này vì không biết phải bắt đầu từ đâu, nói cách khác HS còn hạn chế về năng lực đặt vấn đề và giải. Với những hạn chế về

năng lực giao tiếp và đặt vấn đề và giải làm bước 2 (của quá trình 5 bước

trong quy trình toán học hóa) phạm sai lầm. Có 9 HS (chiếm 8%) cho rằng

nhận xét của bài báo đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không hợp

lý, những HS này được xếp vào nhóm 1 điểm. Có 26 HS (chiếm 24%) giải quyết trọn vẹn vấn đề.

Nguyễn Hà Lê – THPT chuyên Quốc Học

Lê Ái – THPT Đặng Huy Trứ (lời giải sai phổ biến)

Bài toán 2: IQ (Điểm tối đa: 4đ)

Có 57 HS tham gia làm bài kiểm tra (21 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 9 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 10 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 Mức điểm

50 33 42 2 điểm

93 85 89 40 48 44 73 52 63 1 điểm

7 15 11 10 19 14 27 48 37 0 điểm

Phân tích:

 Trong cuốn sách tài năng, mồ hôi và nước mắt, tác giả John C. Maxwell, một chuyên gia hàng đầu thế giới về thuật lãnh đạo đã nói “99% thành công là do

mồ hôi nước mắt, 1% còn lại là thiên tài”. Tuy vậy, bạn sẽ thật sự khó khăn nếu như không có 1% đó. Mỗi một người chúng ta đều luôn muốn biết IQ

của mình đến ngang đâu, chính điều này khiến HS tỏ ra rất hào hứng với vấn

đề được đề cập trong bối cảnh IQ.

 Có 89% HS trả lới đúng câu hỏi 1. Với công thức và các số liệu cho sẵn, câu hỏi này không phải là vấn đề khó khăn với HS. Điều này chứng tỏ năng lực

sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán của HS là

căn bản (tốt ở mức tái tạo). Không có HS nào bỏ trống câu hỏi này, cho thấy

bối cảnh thật sự được HS quan tâm.

 Điều đáng chú ý trong câu hỏi 2 là có 25 HS (chiếm 44%) chỉ được 1 điểm (18 HS chỉ ra được Tuấn thuộc nhóm thông minh và 7 HS chỉ ra được điểm

trung bình là 100). Việc yêu cầu thực hiện hai nhiệm vụ trong cùng một câu

hỏi được xem là nguyên nhân chính làm cho các em trả lời không tốt. Câu

hỏi đòi hỏi HS về năng lực biểu diễn khi giải quyết vấn đề.

Nguyễn Diệu Hoa – THPT Hai Bà Trưng

 Có đến 63% HS trả lời được câu hỏi 3, HS nhìn thấy được mối quan hệ giữa điểm trung bình và độ lệch chuẩn với IQ khi điểm bài thi cố định. Năng lực tư duy và suy luận và lập luận, sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán ở mức liên kết của HS là khá tốt (đây là câu hỏi mà câu trả lời có cấu trúc mở nên được xem là không quen thuộc với HS).

Võ Thị Hồng Vân – THPT Đặng Huy Trứ

Bài toán 3: Giá thuê môtô lướt sóng (điểm tối đa: 4đ)

Có 61 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 15 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 18 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 Mức điểm

10 3 7 2 điểm

53 31 43 50 21 38 55 34 46 1 điểm

47 69 57 50 79 62 35 63 47 0 điểm

Phân tích:

 Môtô lướt sóng là một trong những phương tiện giải trí trên biển rất được du

khách ưa chuộng. Vài năm trở lại đây nhiều nơi bắt đầu kinh doanh loại hình

này trong đó có Đà Nẵng nhưng Huế vừa mới đem vào khai thác. Đó là lý do

mà chúng tôi tin rằng bài toán có bối cảnh không quen thuộc nhưng vẫn gây

được sự chú ý bởi tính thực tế của nó. Tất nhiên HS thiếu nhiều kinh nghiệm

trong cuộc sống về bối cảnh của vấn đề và đây cũng sẽ là trở ngại lớn khi HS

đi giải quyết các vấn đề mà chúng tôi đặt ra.

 Với câu hỏi 1, chúng tôi thống kê được có 31 HS (chiếm 43,06%) đã nhận ra

quy luật bảng giá. Sai phổ biến nhất ở đáp án D (lấy số tiền thuê 15 phút và

45 phút cộng lại với nhau) sau đó là đáp án A (lấy số tiền thuê 60 trừ đi số

tiền thuê 15 phút). Điều này cho thấy khả năng mô hình hóa và giao tiếp ở

mức liên kết (mức 3) của HS còn hạn chế.

 Chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết HS trả lời được câu hỏi 1 thì trả lời đúng câu hỏi 2 cho thấy các năng lực tư duy và suy luận; lập luận ở mức liên kết

của HS khá tốt. Thậm chí một vài HS nhầm lẫn ở câu hỏi 1 cũng có những lập

luận sắc sảo trong câu hỏi này. Rất nhiều HS đưa ra những lập luận chính xác

(mặc dù xuất phát điểm sai) mà dưới đây là một điển hình:

Trần Thị Huyền – THPT Nguyễn Đình Chiểu (lời giải sai)

Hồ Hữu Anh Linh – THPT Hai Bà Trưng

 Số HS giải quyết trọn vẹn vấn đề rất thấp (chiếm 6,94%) trong câu hỏi 3, trong khi số HS được 1 điểm câu hỏi này khá nhiều (nhiều hơn số HS làm đúng câu hỏi 2 đến 6 HS). Hầu hết những HS chỉ lập được bảng giá thỏa điều kiện "giá

thuê 60 phút không cao hơn 1 triệu" trong khi đó vẫn chưa quan tâm đến điều

kiện "kích thích được du khách sử dụng môtô nước trong thời gian dài". Thêm

một bằng chứng cho thấy năng lực giao tiếp của HS còn nhiều hạn chế.

Nguyễn Thị Ni – THPT chuyên Quốc Học (lời giải được 2 điểm)

Lê Thị Lài – THPT Vinh Lộc (lời giải được 1 điểm)

Bài toán 4: Số HS đậu đại học (điểm tối đa: 5đ)

Có 173 HS tham gia làm bài kiểm tra (55 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 42 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 25 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 51 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT

Tổng

Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 Mức điểm

72 50 63 65 25 48 2 điểm

1 điểm 100 88 94 28 26 27 2 0 1

0 12 6 0 24 10 33 75 51 0 điểm

Phân tích:

 Kỳ thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng là một kỳ thi được xã hội rất quan tâm. Thật không quá lời khi nói đây là kỳ thi mà toàn xã hội cùng đi thi, con thi ở trong phòng thi còn cha mẹ thi ở ngoài cổng trường. Do đó bối cảnh này thật sự gây chú ý mãnh liệt với HS, bằng chứng là không có một HS nào bỏ trống các câu hỏi xung quanh bối cảnh này.

 Trong câu hỏi 1, nhiệm vụ yêu cầu HS đọc trực tiếp bảng đồ và rút ra kết luận mà không cần phải phân tích. Nó đòi hỏi sử dụng năng lực ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán, mô hình hóa ở mức tái tạo. Hầu hết HS đều đáp ứng được vấn đề (100% HS thành phố và 88% HS khu vực nông thôn trả lời đúng).

 Nhiệm vụ trở nên phức tạp hơn trong câu hỏi 2, đòi hỏi nhiều về các năng lực mô hình hóa, biểu diễn và ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán của HS ở mức liên kết. HS phải biết liên kết dữ liệu giữa các biểu đồ (biểu đồ hình cột và biểu đồ hình tròn) để giải quyết vấn đề. Có 62% HS giải quyết được vấn đề và 27% HS chỉ trả lời được một trong hai yêu cầu của câu hỏi đặt ra (số HS lớp 12A2 tham gia thi Đại học và số HS trường E tham gia thi Đại học). Vấn đề tiếp tục cho thấy sự ảnh hưởng của nhiều nhiệm vụ trong một câu hỏi đối với thành tích của HS (câu hỏi 2 của bài toán IQ cũng yêu cầu thực hiện hai nhiệm vụ).

Trần Thị Thuyền – THPT Nguyễn Đình Chiểu

 Câu hỏi 3 yêu cầu các năng lực tư duy và suy luận, mô hình hóa và lập luận ở mức phản ánh. Vấn đề cho thấy tỉ số phần trăm không lột tả hết được ý

nghĩa của các con số. Số HS giải quyết được vấn đề này khá cao (47%), điều

này cho thấy tư duy và suy luận, mô hình hóa và lập luận là khá tốt. Tuy

nhiên, hầu hết HS đều suy luận hình thức (bằng lý giải) mà không đưa ra

những phản ví dụ cụ thể để minh họa.

Lê Nữ Huyền Trân – THPT chuyên Quốc Học

Bài toán 5: Giá cước taxi (điểm tối đa: 4đ)

Có 62 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 17 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

49 28 40 2 đriêm

68 87 24 0 15 27 16 23 1 điểm 100

0 32 13 76 100 85 24 56 37 0 điểm

Phân tích:

 Taxi là một trong những phương tiện đi lại khá phổ biến trong những năm trở lại đây. Việc so sánh giá hay phán xét những biến động của thị trường

ảnh hưởng đến giá taxi trong bối cảnh thị trường luôn biến động là rất cần

thiết. Trong bài này, chúng tôi đã lấy bảng giá thực của 2 hãng taxi lớn (cập nhật trong trang web chính thức của hai hãng) trên cả hai miền Bắc và Nam để làm bối cảnh của bài toán.

 Mục đích của câu hỏi 1 là yêu cầu HS tính giá thời gian chờ trong 1 giờ của hãng Saigon Air Taxi nhằm đồng nhất đơn vị thời gian với hãng taxi Hanoi

Tourist Taxi. HS cần sử dụng năng lực biểu diễn và ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán ở mức tái tạo. Có 54 HS (chiếm 87%) trả lời

đúng, đáng lưu ý là 100% HS ở KVTP giải quyết được câu này.

 Câu hỏi 2 đòi hỏi HS cần sử dụng năng lực lập luận và ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán ở mức liên kết. Vấn đề đặt ra là với vai trò là

một con người mới, HS phải phán xét được những điều chỉnh về giá của các hãng taxi từ sự biến động của thị trường (thay đổi giá xăng). Thực chất vấn đề

không khó, nhưng đặt trong bối cảnh thực nên cồng kềnh về mặt dữ liệu làm

HS e ngại khi giải quyết vấn đề. Đó là nguyên nhân có tới 22 HS (chiếm 35%)

bỏ trống và 100% HS nông thôn không giải quyết được vấn đề. Chỉ có 9 HS (chiếm 15%) giải quyết trọn vẹn vấn đề.

Tôn Nữ Phú Ngọc – THPT chuyên Quốc Học

 Nhiệm vụ của câu hỏi 3 là so sánh bảng giá giữa hai hãng taxi. Vấn đề gây được nhiều chú ý của HS hơn so với câu hỏi 2. Bằng chứng chỉ có 6 HS

(chiếm 10%) bỏ trống, giảm đi nhiều so với số HS bỏ trống ở câu hỏi 2 (22

HS); 14 HS (chiếm 23%) kết luận chính xác mà không giải thích hoặc giải

thích không rõ ràng; 25 HS (chiếm 40%) giải quyết hoàn chỉnh câu hỏi này.

Ngô Anh Vũ – THPT Hai Bà Trưng

Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 (điểm tối đa: 3đ)

Có 57 HS tham gia làm bài kiểm tra (21 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 9 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 10 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

1 điểm 50 44 47 47 0 25 53 0 28

0 điểm 50 55 53 53 100 75 47 100 72

Phân tích:

 Đèn giao thông là một phương tiện giúp phân luồng giao thông, nó đặc biệt hữu hiệu ở những nơi có lượng lưu thông xe cộ cao. Đèn giao thông hoàn

toàn không xa lạ với HS thành phố nhưng khá mới mẽ với HS ở nông thôn

(KVNT tham gia thực nghiệm chưa gắn đèn giao thông). Do vậy, bối cảnh

tạo nên thế mạnh cho HS ở KVTP (có nhiều kinh nghiệm trong cuộc sống).  Trong câu hỏi 1, vấn đề đòi hỏi HS có các năng lực tư duy và suy luận; biểu diễn; mô hình hóa ở mức liên kết. HS cần nhận ra quy luật: thời gian đỏ của

1 đèn bằng tổng thời gian xanh và vàng của hai đèn còn lại. Nếu chỉ dựa vào

kinh nghiệm trong trường học, các em sẽ mất nhiều thời gian trong việc tiếp

cận với bối cảnh và sẽ cảm thấy không chắc chắn. Sai lầm phổ biến nhất của

HS là lấy thời gian xanh cộng thời gian vàng làm thời gian đỏ. Có 27 HS

(chiếm 47%) giải quyết chính xác câu hỏi này.

 Câu hỏi 2 có 14 HS (chiếm 25%) giải quyết trọn vẹn. Cũng như câu hỏi 1, kinh nghiệm cuộc sống sẽ giúp cho HS tự tin hơn khi giải quyết vấn đề. Mặc dù có 12 HS (chiếm 44%) ở KVNT giải quyết được câu hỏi 1 nhưng không một em nào ở khu vực này giải quyết được câu hỏi này, trong khi các năng lực chính đòi hỏi để giải quyết vấn đề vẫn là: tư duy và suy luận; mô hình hóa, tư duy và suy luận ở mức liên kết.

Phạm Đình Tiến – THPT Hai Bà Trưng

 Câu hỏi 3 là câu hỏi có kết thúc mở nên có thể xem là không quen thuộc với HS (loại câu hỏi này ít xuất hiện trong các đánh giá của giáo dục nước ta).

Vấn đề đòi hỏi HS phải huy động kinh nghiệm trong trường học cũng như

trong đời sống để giải quyết. Kết quả cho thấy không có HS nào ở KVNT

đáp đúng câu hỏi này. Trong khi đó có 16 HS (chiếm 28%) ở KVTP giải

quyết được vấn đề, cao hơn cả số HS ở KVTP giải quyết được câu hỏi 2.

Trần Thị Thúy Vân – THPT Hai Bà Trưng

Bài toán 7: Hợp đồng lao động (điểm tối đa: 4đ)

Có 62 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 17 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

19 0 11 2 điểm

76 20 53 38 0 23 32 24 29 1 điểm

24 80 47 62 100 77 49 76 60 0 điểm

Phân tích:

 Với nền kinh tế thị trường, hợp đồng lao động là một trong những hình thức rất phổ biến. Người lao động mới cần có khả năng phán xét (năng lực toán đóng vai trò chủ đạo) các phương thức mà người sử dụng lao động đưa ra, từ đó lựa chọn phương án phù hợp với lợi ích cũng như mục đích làm việc của mình (làm lâu dài hay làm tạm thời).

 Trong câu hỏi 1, đòi hỏi lớn nhất về các năng lực tư duy và suy luận; biểu diễn của HS. Nếu A là số lương ban đầu thì sau 1 năm lương sẽ tăng lên 1,1A và sau 2 năm lương sẽ là 1,1 (1,1 A) = 1,21 A, tức là lương của An tăng

lên 21% sau 2 năm. Có 53% HS giải quyết được vấn đề. Sai lầm thường mắc phải là đáp án C (1 năm tăng 10% thì 2 năm tăng 20%).

 Vấn đề trong câu hỏi 2 phức tạp hơn, nó đòi hỏi đồng thời nhiều năng lực khác nhau của HS như: biểu diễn, lập luận, tư duy và suy luận ở mức phản

ánh làm cho HS lúng túng. Chỉ có 22% HS giải quyết được vấn đề nêu ra

trong khi nhiều HS bỏ trống câu hỏi này (đáng chú ý là không một HS ở

KVNT nào giải quyết được).

Trần Bảo Thuận – THPT Hai Bà trưng

 Câu hỏi 3 là vấn đề tiêu biểu của bài toán tiền lương. Người lao động cần chọn phương án để có thu nhập cao nhất còn người sử dụng lao động dựa

vào đó để hoạch định nguồn nhân lực. Vấn đề này đòi hỏi các năng lực giao

tiếp, biểu diễn và lập luận để giải quyết nhưng năng lực giao tiếp HS tỏ ra rất

yếu, đó là nguyên nhân mà chỉ có 11% trả lời đúng và 29% lựa chọn đúng

phương án nhưng giải thích sai hoặc lập luận không rõ ràng. Sai lầm chủ yếu

là HS lấy lương tháng của năm thứ 2 hoặc năm thư 5 là cơ sở để lựa chọn phương án.

Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ (điểm tối đa: 4đ)

Có 61 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 15 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 18 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể đã được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng

Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

0 0 0 2 điểm

91 50 74 68,57 48 51,43 42,31 47,54 19 1 điểm

9 50 26 31,43 52 48,57 57,69 52,46 81 0 điểm

Phân tích:

 Nhiều người tin rằng việc điều khiển xe gắn máy với vận tốc càng cao càng tiết kiệm xăng, đây là quan niệm hoàn toàn sai. Bối cảnh này đưa ra nhằm

giúp cho HS có thêm những kiến thức hữu ích về vấn đề này, từ đó giúp HS có những cái nhìn đúng đắn hơn cho bản thân và tuyên truyền cho những

người xung quanh.

 Câu hỏi 1 đòi hỏi về khả năng đọc và rút ra kết luận trực tiếp từ biểu đồ (biểu đồ đường) của HS. Hơn 74% HS giải quyết được vấn đề. Quan niệm sai (vận

tốc càng lớn càng tiết kiệm xăng) mà chúng tôi đề cập phía trên được minh chứng khi có đến 14 HS (chiếm 23%) chọn phương án 70km/h (vận tốc cao

nhất được biểu diễn trên biểu đồ).

 Câu hỏi 2 nhằm kiểm tra tư duy phê phán của HS trước một vấn đề thực tiễn. Nhiệm vụ đòi hỏi đồng thời rất nhiều năng lực khác nhau: giao tiếp, lập luận, tư duy và suy luận, đặt vấn đề và giải ở mức phản ánh. Vì thế HS tỏ ra

lúng túng và không biết bắt đầu từ đâu. Không có HS nào giải quyết trọn vẹn

vấn đề. Có 29 HS (chiếm 48%) không đồng ý với lập luận của An nhưng lời

giải thích không hợp lý. Sai lầm chủ yếu của HS: nhầm tưởng mối liên hệ

giữa vận tốc và quãng đường đi được trên một lít xăng là một đường thẳng

(trong bài toán là đường gấp khúc).

Phạm Thị Kim Liên – THPT Hai Bà Trưng (lời giải thích sai)

 Câu hỏi 3 sẽ trở nên dễ dàng nếu HS được sự hỗ trợ của kinh nghiệm trong cuộc sống thường ngày, nếu chỉ có kinh nghiệm trong trường học thì HS sẽ

gặp khó khăn. Có 48% trả lời đúng nhưng số HS bỏ trống cũng nhiều (chiếm

38%), điều này cho thấy HS không quen thuộc với những vấn đề nảy sinh

trong thế giới thực. HS hoặc có thể dựa vào kết quả của hai câu hỏi (nhưng

cũng rất khó khăn) để đi đến kết luận hoặc có thể đưa ra kết luận nhanh chóng nhờ kinh nghiệm được tích lũy trong cuộc sống.

Lê Thị Tú Anh – THPT Hai Bà Trưng

Bài toán 9: Hồ cá (điểm tối đa: 3đ)

Có 50 HS tham gia làm bài kiểm tra (15 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 10 HS

trường THPT chuyên Quốc Học; 9 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 16 HS

Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể đã được thống kê như sau:

Số phần trăm HS đạt từng mức điểm

KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP

Tổng

KVN T

Mức Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 điểm

1 điểm 72 84 78 20 76 48 36 24 30

0 điểm 28 16 22 80 24 52 64 76 70

Phân tích:

 Đây là bài toán có bối cảnh rất quen thuộc với HS ở KVNT nhưng với HS ở KVTP thì không. Tương tự như bài toán Đèn giao thông tại ngã 6, bối cảnh

là thế mạnh của HS ở KVNT trong bài toán này, chúng tôi muốn tìm kiếm sự

ảnh hưởng của bối cảnh lên HS khi HS giải quyết các vấn đề thực tiễn.

 Mối quan hệ trong câu hỏi 1 là một hàm bậc nhất, vấn đề yêu cầu HS xác định giá trị của biến thông qua giá trị của hàm. Có 84% HS ở KVNT giải

quyết được vấn đề trong khi HS ở KVTP là 72%. Bối cảnh quen thuộc đã tạo

ra sự vượt trội về thành tích của HS ở KVNT. Điểm chú ý nữa là không có

HS nào ở KVNT bỏ trống trong khi có 3 HS ở KVTP bỏ trống.

 Yếu tố bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến thành tích của HS được thể hiện rõ trong câu hỏi 2. Nó không chỉ thể hiện ở khía cạnh số HS ở KVNT trả lời

đúng nhiều hơn hẳn mà còn thể hiện ở khía cạnh phong phú của câu trả lời (ở

KVNT có 9 HS chọn giải pháp áp dụng kỹ thuật sử dụng lưới; 6 HS chọn

giải pháp theo thời gian thu hoạch; 4 HS chọn giải pháp quyết định số cá thả

nuôi trên một đơn vị diện tích. Trong khi ở KVTP toàn bộ 5 HS chọn giải pháp số cá thả nuôi trên một đơn vị diện tích).

Phan Thị Thanh Thúy – THPT Nguyễn Đình Chiểu

 Có 30% HS giải quyết được câu hỏi 3. Vấn đề đặt ra đòi hỏi nhiều về năng lực toán học, đặc biệt là các năng lực lập luận, tư duy và suy luận, đặt vấn đề

và giải. Có 6 HS dùng hàm số và 9 HS dùng đồ thị. Tuy nhiên, mối quan hệ

Nguyễn Hồng Nhung – THPT Quốc Học

Trần Thị Hoài Trâm – THPT Đặng Huy Trứ

mà HS thiết lập chỉ quan tâm đến việc thỏa mãn các điều kiện được ghi chép mà thôi (thực tế cá càng lớn thì độ tăng trưởng của nó càng nhanh).

3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi

Câu hỏi 1. Suy nghĩ của bạn về “thay đổi và các mới quan hệ” trong toán học.

Hãy cho biết bạn đồng ý với những câu sau ở mức độ nào? Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Rất không đồng ý.

Nội dung 1 (%) 2 (%) 3 (%) 4 (%)

Toán là môn khoa học bàn về các đối tượng 24,25 63,51 12,16 0,08 a) và mối liên hệ giữa chúng.

Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ 24,20 54,14 16,56 5,10 b) giữa chúng trong toán học thật sự thú vị.

Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ

c) giữa chúng trong toán học là cần thiết cho bản 37,41 48,30 12,24 2,05

thân các em.

7,75 16,28 49,61 26,36 d) Mối quan hệ giữa các đối tượng trong toán mà em học không có nhiều ý nghĩa trong thực tế.

Các thay đổi và mối liên hệ giữa các đối

e) tượng trong toán học mà em học đều là những 26,28 55,13 16,03 2,56

quy trình cần phải nhớ.

Phân tích:

Câu hỏi 1 điều tra về suy nghĩ của HS về "thay đổi và các mối quan hệ". Hầu hết

HS đều tin rằng toán học là khoa học về các đối tượng và mối liên hệ giữa chúng

(chiếm 87,76%). Điều này cho thấy "thay đổi và các mối quan hệ" đóng vai trò

quan trọng trong giáo dục phổ thông. Bên cạnh đó, các em cho rằng "thay đổi và

các mối quan hệ" là thú vị (chiếm 78,34%) và có nhiều ứng dụng trong thực tế

(chiếm 75,97%). Tuy nhiên, một điều đáng lưu ý là HS cũng cho rằng "thay đổi và

các mối quan hệ" là những quy trình cần phải nhớ (chiếm 81,41%).

Câu hỏi 2. Khả năng của HS khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và

các mối quan hệ".

Bạn cảm thấy tự tin ở mức độ nào khi thực hiện các nhiệm vụ toán học sau?

Chú ý: 1: Rất tự tin; 2: Tự tin; 3: Không tự tin; 4: Rất không tự tin.

1 2 3 4 Nội dung (%) (%) (%) (%)

a) Tính giá áo Việt Tiến sau khi đã giảm giá 15%. 37,58 46,50 10,83 5,09

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: 24,52 50,32 21,94 3,22 b)

c) Hiểu các đồ thị được trình bày trên một tờ báo. 16,13 47,74 30,32 5,81

Tính số km xe máy đi được trong một lít xăng

biết rằng số km này phụ thuộc vào vận tốc của

11,46 44,59 38,85 5,10 d) xe theo một hàm số bậc nhất:

số km = x(vận tốc) +

Tìm khoảng cách thực sự giữa hai vị trí trên 31,21 38,85 26,11 2,83 e) một bản đồ có tỉ lệ 1 : 100.

Tìm kiếm mối quan hệ của dãy số: 1; 2; 3; 5; 50,97 30,32 16,13 2,58 f) 8; 13...

Mức tăng tiền lương sau ba năm nếu mỗi năm 37,42 37,42 20,00 5,16 h) tăng 10%.

Phân tích:

Câu hỏi 2 tìm hiểu về sự tự tin của HS khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay

đổi và các mối quan hệ". Với câu hỏi này chúng ta dễ dàng thấy sự tự tin của các

em ở mức độ cao khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan

hệ". Tuy nhiên, các em vẫn còn tỏ ra thiếu tự tin hơn đối với những vấn đề gần gũi

với cuộc sống thực tế (sự tự tin ở trong các câu hỏi c, d, e, h thấp hơn so với các câu

hỏi khác được tiến hành khảo sát).

Câu hỏi 3: Suy nghĩ về việc học những vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối

quan hệ".

Hãy cho biết bạn đồng ý với các câu sau ở mức độ nào?

Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Rất không đồng ý.

1 2 3 Nội dung 4 (%) (%) (%) (%)

Em thích thú khi tìm hiểu sự thay đổi của các

a) đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong 20,92 52,94 23,53 2,61

toán học.

Em gặp khó khăn khi tìm hiểu sự thay đổi các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong b) 28,95 40,13 27,63 3,29

toán học.

Em căng thẳng khi hiểu sự thay đổi của các

c) đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong 17,22 39,74 35,76 7,,28

Toán học.

Khi em đi tìm mối quan hệ toán học nào đó,

d) em cảm thấy giống như em đang làm một 36,91 46,98 12,08 4,03

điều gì đó hữu ích.

Phân tích:

Câu hỏi 3: Tìm hiểu suy nghĩ của HS khi học những vấn đề liên quan đến "thay đổi

và các mối quan hệ". Hầu hết các HS tỏ ra thích thú (chiếm 73,86%) và cho rằng

"thay đổi và các mối quan hệ" là hữu ích (chiếm 83,89%) nhưng đồng thời cũng thú nhận là gặp nhiều khó khăn trong việc học (chiếm 69,08%).

Câu hỏi 4: Câu hỏi này tìm hiểu về thời gian học toán, bao gồm cả thời gian tham

gia các hoạt động liên quan đến toán. Trong quá trình thống kê, có hai vấn đề thật

sự đáng quan tâm: thời gian HS làm bài tập ở nhà do GV ở trường giao và thời gian

đi học thêm ở ngoài nhà trường (câu hỏi a và e). Chúng tôi đã tiến hành thống kê và

biểu diễn thông qua hình 4.3 và hình 4.4

Phân tích:

 Dựa vào hình 4.3, số HS tham gia làm bài tập ở nhà do GV yêu cầu từ 6 giờ trở lên ở KVTP cao hơn HS ở KVNT (trừ 11h). Điều này cho thấy thời gian

học bài ở nhà do GV giao của HS ở KVTP cao hơn HS ở KVNT. Cũng qua

thống kê câu b), ta thấy HS ở KVTP hầu như không tham gia học phụ đạo ở trường (chiếm 95,35%) cao hơn nhiều so với HS ở KVNT (chiếm 38,81%)

trong khi tỉ lệ tham gia học nâng cao về toán ở trường của hai khu vực là

tương đối đồng đều (KVTP có số HS tham gia là 10,59% và KVNT có số HS

tham gia là 12,70% tham gia).

 Dựa vào hình 4.4 cho thấy số HS tham gia học thêm ngoài nhà trường từ 3 giờ đến 6 giờ ở KVTP cao hơn HS ở KVNT, đồng thời tỉ lệ thuê người về kèm tại nhà cũng cao hơn (35,77% HS ở KVTP thuê thầy về dạy kèm trong

khi ở KVNT là 11,79%). Chúng tôi cũng nhận thấy rằng HS hầu như không

tham gia học thêm ở KVNT khá cao.

 Ngoài những buổi học toán chính thức, các trường hầu như không tổ chức các hoạt động toán học nào cho HS. Qua thống kê câu f) HS hoặc không trả

lời hoặc nói không tham gia các hoạt động toán học nào.

Tóm tắt chương 4: Trong chương này chúng tôi đã tiến hành phân tích các bài toán

trong Bộ đề kiểm tra và phân tích các các kết quả khảo sát từ Bảng hỏi trên cơ sở

thu được từ thực nghiệm. Những kết quả này là cơ sở để chúng tôi tiến hành trả lời và lý giải các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 trong tiếp theo.

Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG

1. Kết luận

1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất là: Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối

quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào?

Thứ nhất: Qua số liệu thống kê cho thấy rằng các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn khá hạn chế. Nền giáo dục nước ta có

nhiều cố gắng trong việc giúp HS thấy được những ứng dụng thực tiễn của toán

học, bằng chứng là cuộc cải cách sách giáo khoa gần đây đã đưa nhiều hơn các bài

toán thực tế vào chương trình. Tuy nhiên, những đánh giá trong các kỳ thi quốc gia (thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng) vẫn chưa thấy nhiều

những bài toán thực tế xuất hiện. Đây là nguyên nhân mà GV và HS không thật sự

chú trọng đến vấn đề ứng dụng thực tiễn của toán. Vì vậy, HS chỉ chú tâm vào các

năng lực phục vụ đắc lực khi tham gia các kỳ thi như: sử dụng ngôn ngữ ký hiệu,

hình thức, kỹ thuật và các phép toán; tư duy và suy luận; lập luận.

Trong bài toán Chiều cao của trẻ, phần đông HS nhầm nhận xét của bài báo (chênh

lệch giữa công thức cũ và công thức mới) với chiều cao tăng trưởng trong một năm

của công thức mới. Điều này cho thấy sự yếu kém trong các năng lực đặt vấn đề và

giải, giao tiếp, biểu diễn; Trong bài toán Lượng xăng tiêu thụ, không một HS nào giải quyết được vấn đề. Những lập luận sắc sảo nhất cũng nhầm tưởng đồ thị biểu

diễn mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường đi được trong một lít xăng là đường

thẳng (thực ra là đường gấp khúc) là minh chứng khác cho sự yếu kém về các năng

lực giao tiếp, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS.

Thứ hai: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" có nhiều chênh lệch khi giải

quyết các vấn đề có tình huống thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực

tế. Kết quả thống kê cho thấy với những vấn đề có tình huống thực tiễn HS đạt kết

quả tốt hơn nhiều so với những vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Những bài toán có tình huống thực tiễn thường là những bài toán trong nội tại toán học và được bối cảnh hóa hoặc là những vấn đề thực tế được cắt tỉa để đảm bảo tính chặt chẽ về hình thức (chẳng hạn như bài toán Số học sinh đậu đại học). Với những bài toán này,

thường thì kinh nghiệm trong trường học được đặt rất nặng trong khi hầu như không cần đến kinh nghiệm cuộc sống. Trong khi đó, những bài toán nảy sinh trong đời

sống thực tế thường phức tạp về mặt dữ liệu, vấn đề thật sự gắn chặt với bối cảnh

(chẳng hạn như câu hỏi 3 của bài toán Giá thuê môtô lướt sóng; câu hỏi 2 của bài toán Giá cước taxi). Để giải quyết vấn đề đòi hỏi HS phải có một loạt kiến thức và

kỹ năng trong nhà trường cũng như trong cuộc sống hằng ngày. Và lúc đó, việc thấu hiểu bối cảnh vấn đề là một trong những nhân tố quan trọng giúp giải quyết bài

toán. Tuy nhiên, để giải quyết những bài toán nảy sinh trong đời sống thực tế

thường cần khá nhiều thời gian, đây cũng là một vấn đề khó khăn vì thời gian làm

bài của HS có hạn trong khi nội dung kiểm tra phải trải đủ rộng.

Thứ ba: Yếu tố bối cảnh là quan trọng và tác động mạnh mẽ đến thành tích về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS. Nói đến bài toán thực tế là nói đến bối cảnh,

mỗi bài toán thực tế "sống" trong một bối cảnh nhất định. Có hai lý do khiến cho

bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến kết quả của HS là: bối cảnh đó có thu hút được sự

chú ý của HS không (nếu bối cảnh thu hút thì kích thích tính tích cực của HS) và có quen thuộc với HS không (nếu bối cảnh quen thuộc HS sẽ có nhiều kinh nghiệm

trong cuộc sống hỗ trợ cho việc giải quyết vấn đề đặt ra).

Từ kết quả thành tích vượt trội của ba bài toán IQ, Chiều cao của trẻ và Số học sinh

đậu đại học cũng như sự vượt trội của HS ở KVNT so với HS ở KVTP trong bài

toán Hồ cá cho thấy yếu tố bối cảnh là rất quan trọng đối với HS.

Thứ tư: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS ở KVNT thấp hơn HS ở

KVTP. Nhìn chung, trong tất cả các bài toán tiến hành khảo sát thì thành tích của

HS ở KVNT thấp hơn thành tích của HS ở KVTP (ngoại trừ bài toán Hồ cá). Chúng

tôi nhận sự vượt trội trong cả bảy năng lực của HS ở KVTP so với HS ở KVNT (do điều kiện nên chúng tôi không khảo sát được năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ

và công cụ).

1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai

Câu hỏi nghiên cứu thứ hai là: Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi

và các mối quan hệ" trong toán phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười

lăm tuổi?

Việc rèn luyện cho HS khả năng ứng dụng toán học nói chung và về "thay đổi và các mối quan hệ" nói riêng vào thực tiễn góp phần quan trọng trong việc thực hiện các yêu cầu khác nhau của mục tiêu giáo dục và mục tiêu môn toán.

Thứ nhất: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong

toán phổ thông góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức. Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt, rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế. Những hoạt động thực tiễn đó vừa có tác dụng nâng cao năng lực vận

dụng toán học vào thực tiễn vừa giúp HS tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức. Nếu bối cảnh thu hút được HS, nó trở thành nguyên nhân kích thích sự tích cực

giải quyết vấn đề cũng như khám phá tri thức. Từ kết quả các bài kiểm tra cho thấy: hầu hết HS đều tích cực trong các bài toán Chiều cao của trẻ, IQ, Số học sinh đậu đại

học; HS ở KVNT tỏ ra tích cực hơn nhiều so với HS ở KVTP trong việc giải quyết

bài toán Hồ cá.

Thứ hai: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong

toán phổ thông góp phần giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học trong đời sống. Cần lưu ý rằng kỹ năng tính toán trong đời sống không chỉ là kỹ năng giải

một dạng toán nào đó mà bao gồm các kỹ năng giải quyết những vấn đề nảy sinh

trong cuộc sống hằng ngày như: giúp chúng ta mua sắm một cách khôn ngoan, mua

bảo hiểm của công ty nào, sửa lại một căn nhà trong một ngân sách nhất định, hiểu được sự tăng trưởng dân số, hoặc thậm chí đặt cược vào đội bóng nào.

Công cụ Bộ đề kiểm tra có sự xuất hiện của kỹ năng phê phán sự thiếu chính xác về

lập luận trong câu hỏi 2 của bài toán Đèn giao thông tại ngã 6 (với vận tốc lợi xăng

nhất là 40 km/h cũng chỉ đi được 70km nên lập luận chắc chắn là sai mặc dù ta vẫn

chưa biết sai ở đâu); trong câu hỏi 3 của bài toán Lượng xăng tiêu thụ cũng hoàn

toàn tương tự (trong giao thông mỗi màu có các quy định về ý nghĩa khác nhau như

màu xanh là an toàn; màu đỏ là nguy hiểm…).

Thứ ba: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong

toán phổ thông giúp HS góp phần nâng cao các năng lực toán.

OECD\PISA đã phân loại các năng lực toán học thành 8 năng lực khác nhau: tư duy

và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diễn; sử

dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; sử dụng các đồ dùng

hỗ trợ và công cụ. Việc nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các cụm

năng lực" sẽ góp phần nâng cao các năng lực trên, đặc biệt là các năng lực: giao

tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diễn.

1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba

Câu hỏi nghiên cứu thứ ba là: làm thế nào để nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi?

Thứ nhất: Xây dựng một hệ thống bài tập thực tiễn theo từng chương, từng bài và

từng mục một cách thích hợp. Trong tình hình giáo dục hiện nay, các GV luôn phải thực hiện theo đúng khung chương trình đề ra. Với khối lượng kiến thức phong phú trong khi thời gian truyền thụ giới hạn. Vì thế chúng tôi tin rằng việc xây dựng hệ

thống bài tập thực tế thích hợp theo từng chương, từng bài, từng mục, từng chi tiết cụ thể được xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán thực tiễn

vào dạy học. Những bài toán thực tiễn đôi lúc đơn giản chỉ là vận dụng vào bài dạy mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng được nhiều cơ hội

liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trường hợp, ta cần sáng tạo thêm một số bài toán

khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát với đời sống thực tế địa phương hơn nhưng

không phức tạp trong việc giải quyết chúng.

Thứ hai: Cần lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy một cách thích hợp nhất. Việc lựa chọn thời điểm đưa các bài toán thực tiễn vào

giảng dạy là cả một nghệ thuật mà mỗi GV luôn phải tìm tòi và đúc rút kinh

nghiệm. Việc chọn thời điểm ở đây không chỉ để HS đã đủ cơ sở lý thuyết toán học

cần thiết để giải quyết vấn đề mà còn phải giải quyết được các câu hỏi: HS đã có nhu cầu tìm hiểu chưa? Kinh nghiệm trong bối cảnh HS đã được tích lũy? Kiến thức

toán học nào là phù hợp nhất để giải quyết vấn đề?

Thứ ba: Sử dụng linh hoạt quy trình toán học hóa của PISA đề giải quyết các bài

toán có nội dung thực tiễn. Quy trình toán học hóa của PISA là một trong những

công cụ quan trọng giúp HS để giải quyết các vấn đề trong thế giới thực. Tuy nhiên,

nó thường không cần thiết phải thực hiện tất cả các giai đoạn của quy trình, đặc biệt

là trong bối cảnh của một đánh giá. Trong mỗi bài toán chúng ta chỉ cần thực hiện

một số bước nhất định của quy trình toán học hóa để giải quyết vấn đề nhưng không

phải tất cả các bước của quy trình.

2. Lý giải

2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất

Thứ nhất: Qua số liệu thống kê cho thấy rằng các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô

hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn rất hạn chế.

Thông qua số liệu điều tra của Bảng hỏi, hầu hết HS đều cho rằng toán học thú vị

(không biết vì toán học hấp dẫn hay vì nó xuất hiện trong hầu hết các kỳ thi) và tỏ

ra tự tin khi đi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ".

Tuy nhiên, qua kết quả thu thập được từ Bộ đề kiểm tra chúng tôi nhận thấy các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn hạn chế.

Quy trình toán học hóa của PISA đòi hỏi rất nhiều về các năng lực giao tiếp, biểu

diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải. Nó giúp thực hiện bước (2), chuyển hóa một vấn đề thực tiễn thành một bài toán. Trong khi phân tích bài làm của HS chúng tôi thấy HS mắc lỗi ở bước này rất nhiều. Chẳng hạn như câu hỏi 3 của bài toán Giá thuê môtô nước có 7% HS giải quyết được vấn đề trong khi đó 46% HS chỉ lập ra được bảng giá thỏa điều kiện "giá thuê trong 60 phút không cao hơn 1 triệu" nhưng

không đáp ứng được yêu cầu "kích thích được du khách sử dụng trong thời gian

dài". Trong câu hỏi 3 của bài toán Hợp đồng lao động có 11% giải quyết được vấn đề trong khi 29% đưa ra được phương án đúng nhưng giải thích sai. Sai lầm phổ

biến là lấy tiền lương mỗi tháng của năm thứ 2 hoặc năm thứ 5 của hai phương án

chọn tiền lương để so sánh rồi đưa ra kết luận. Điều này cho thấy năng lực đặt vấn

đề và giải và năng lực giao tiếp còn rất yếu. Một ví dụ khác cho thấy năng lực đặt

vấn đề và giải của HS rất yếu là câu hỏi 2 trong bài toán Lượng xăng liêu thụ không có HS nào giải quyết được vấn đề đặt ra. Mặc dù có tới 40% HS chỉ được lập luận

của An là sai nhưng lại giải thích dựa trên cơ sở mối quan hệ giữa vận tốc và quãng

đường đi được trên một lít xăng là một hàm số bậc nhất (trong bài toán là một

đường gấp khúc).

Có hai bài toán mà thành tích của HS khá cao là Chiều cao của trẻ và Số HS đậu

đại học. Nếu chúng ta xem xét một cách kỹ lưỡng, để tính chiều cao của mình HS

làm tròn tuổi theo năm không một chút băn khoăn (câu hỏi 2 của bài toán Chiều cao

của trẻ) và như thế việc tính chiều cao theo công thức sẽ không đem lại hiệu quả

như mong muốn. Trong câu hỏi 3 của bài toán Số HS đậu đại học, HS vẫn đưa ra

được kết luận: tỉ số phần trăm trong một số trường hợp không lột tả hết ý của số

liệu dựa vào công thức tính tỉ số phần trăm những điều này khó thuyết phục người

khác hơn là đưa ra một phản ví dụ. Có thể nói những điều này là hệ quả của giáo

dục còn nặng lý thuyết. Tuy nhiên, giáo dục nước ta lại đem lại những ưu thế trong việc phát triển các năng lực: lập luận; tư duy và suy luận; sử dụng ngôn ngữ ký

hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán.

Thứ hai: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" có nhiều chênh lệch khi giải

quyết các vấn đề có tình huống thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế.

Các vấn đề thực tiễn có thể phân chia thành hai loại: các vấn đề có tình huống

thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Trong câu hỏi 3 của bài toán

Giá thuê môtô nước, hầu hết HS chỉ quan tâm đến điều kiện "giá thuê 60 phút

không vượt quá 1 triệu" (có 40% HS đáp ứng vấn đề này) mà không để ý đến điều kiện "kích thích du khách sử dụng trong thời gian dài" (chỉ có 7% HS đáp ứng được điều kiện này). Điều này cho thấy khả năng giải quyết các vấn đề thực tiễn của HS khá yếu. Một ví dụ khác là câu hỏi 3 của bài toán Hợp đồng lao động, câu hỏi yêu

cầu là phương án chọn nào lợi hơn (có thể lấy tổng lương, trung bình lương…để so sánh) nhưng rất nhiều HS tính mức lương của một năm nào đó (năm thứ 2, 3 hoặc 5) rồi đem kết quả này so sánh rồi lựa chọn phương án có lợi là không hợp lý. Với

những bằng chứng đó cho thấy HS gặp khó khăn trong việc chuyển đổi những yêu cầu cuộc sống sang vấn đề trong toán học, đây cũng là lý do chính làm cho kết quả

của những vấn đề nãy sinh từ đời sống thực tế khá thấp.

Thường thì các bài toán gắn liền với đời sống trong giáo dục phổ thông nước ta là những vấn đề có tình huống thực tiễn, nó xuất phát từ một bài toán nào đó và được

bối cảnh hóa. Ví dụ bài toán điển hình sau đây: Cho hai điểm A, B nằm cùng một

phía so với đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất? Bài

toán được bối cảnh hóa như sau: Hàng ngày bạn An phải đi từ nhà đến bờ sông

xách nước để tưới cây cho ruộng rau ở cùng một phía với bờ sông. Hỏi bạn An phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sông ở chỗ nào để quãng đường đi từ nhà

đến ruộng rau là ngắn nhất?

Thứ ba: Yếu tố bối cảnh là quan trọng và tác động mạnh mẽ đến thành tích của HS.

Dựa vào hình 4.1 chúng ta có thể thấy Số HS đậu đại học và IQ là hai bài toán mà HS đạt thành tích cao nhất. Bối cảnh là một trong những nguyên nhân chính làm

nên sự khác biệt này. Hai bối cảnh đó được sự quan tâm của xã hội nói chung và

của chính các em HS nói riêng. Vì vậy đã kích thích được tính tích cực của HS.

Dựa vào hình 4.2 cho thấy hầu hết các bài toán HS ở KVTP đều có kết quả tốt hơn

HS ở KVNT ngoại trừ bài toán Hồ cá. Bối cảnh của bài toán Hồ cá là quen thuộc

đối với HS ở KVNT nhưng không quen thuộc đối với HS ở KVTP. Nhờ thế, các

câu trả lời của HS ở KVTP cũng rất đa dạng. Ngược lại, Đèn giao thông tại ngã 6

là bài toán có bối cảnh không quen thuộc cho HS ở KVNT nên đây là toàn toán mà

HS ở KVNT giải quyết được rất ít (câu hỏi 2 và câu hỏi 3 không có HS ở KVNT nào giải quyết được) trong khi đó tỉ lệ HS ở KVTP giải quyết được vấn đề rất cao

(câu hỏi 2 chiếm 47% và câu hỏi 3 chiếm 53%).

Hai bài toán mà tỉ lệ HS giải quyết được khá thấp là Hợp đồng lao động và Giá thuê

môtô nước. Một trong những nguyên nhân chính của kết quả này là bối cảnh không

mấy quen thuộc với HS, làm HS không tự tin trong việc giải quyết vấn đề đặt ra.

Với những bằng chứng trên, chúng tôi tin rằng bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến

HS cả về khả năng giải quyết vấn đề cũng như hứng thú học tập. Vì vậy, khi dạy những bài toán thực tiễn cần phải xem xét kỹ vấn đề bối cảnh, phải cố gắng kết nối bối cảnh của bài toán với kinh nghiệm trước đây của HS.

Thứ tư: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" không đồng đều giữa khu vực

nông thôn và khu vực thành phố.

Dựa vào hình 4.2 chúng ta thấy kết quả giải quyết của HS ở KVNT thấp hơn so với HS ở KVTP (ngoại trừ bài Hồ cá). Kết quả này không phải là mới, nó là thực trạng

không chỉ nước ta mà của nhiều nước trên thế giới.

Kết quả từ hình 4.3 cho thấy khoảng thời gian học toán ở nhà do GV giao của HS ở KVTP cao hơn HS ở KVNT. Đây là một trong những nguyên nhân dẫn đến năng

lực toán học của HS ở KVTP tốt hơn nhiều so với HS ở KVNT.

Bên cạnh đó hình 4.4 cho thấy HS ở KVNT hầu như không tham gia học thêm

chiếm một tỉ lệ khá lớn (chiếm 62,32%) trong khi tỉ lệ này của HS ở KVTP chỉ

chiếm 16,67%. Đây cũng là một nguyên nhân khác dẫn đến sự chênh lệch về các năng lực toán học của HS ở hai khu vực.

2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai

Thứ nhất: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong

toán phổ thông góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức.

Ở những lớp dưới, GV thường dùng những cách như cho điểm, khen chê, thông

báo kết quả học tập cho gia đình...để tạo động cơ học tập cho HS. Càng lên lớp

cao, cùng với sự trưởng thành của HS, những cách tác động xuất phát từ nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm

đối với gia đình và xã hội...ngày càng trở nên quan trọng. Trên phương diện là

GV, hình thức xây dựng động cơ cần được quan tâm, một trong những tạo động

cơ tích cực là sự hứng thú của các em đối với vấn đề mà GV đề cập. Nếu GV chú

ý liên hệ vấn đề với thực tế xung quanh các em thì việc dạy học sẽ rất hữu hiệu.

Phải cho HS thấy điều các em đang học là gần gũi, có ý nghĩa và rất cần thiết. Từ đó kích thích tính tích cực của HS trong học tập.

Kỹ năng toán học hóa hỗ trợ đắc lực trong việc giải quyết các bài toán có tình

huống thực tiễn hoặc các bài toán nảy sinh từ đời sống thực tế. Nó góp phần tạo

điều kiện cho HS biết vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường vào

cuộc sống, gây hứng thú học tập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh

hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức. Để rèn cho HS các kỹ năng toán

học hóa các tình huống thực tiễn, GV cần chú ý lựa chọn các bài toán có nội dung thực tế trong bối cảnh khoa học, kỹ thuật gắn liền với các môn học khác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với HS. Đồng thời, nên phát biểu một số bài toán không phải thuần túy dưới dạng toán học mà dưới dạng một vấn

đề thực tế cần phải giải quyết.

Thứ hai: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học trong đời sống.

Trong thực tiễn lao động sản xuất, hoạt động xã hội, việc tính toán, đo đạc…với độ chính xác nhất định là rất cần thiết và xảy ra hằng ngày. HS phải biết vận dụng các

kỹ năng toán học như tính nhẩm, tính bằng bảng tính, thước tính, bảng đồ, đồ thị, máy tính...một cách thành thạo và đúng đắn. Ngoài ra, cần giải quyết nhiều vấn đề

trong thực tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm tư duy, thời gian, tiền

bạc và sức lao động. Việc vận dụng toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt

nghiên cứu khoa học trong đó có các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế,

mò mẫm, dùng quy nạp không hoàn toàn để dự kiến quy luật, rồi dùng quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của các quy luật dự kiến; thu thập tài liệu thống

kê trong sản xuất, quản lí kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung; ước liệu từ

mẫu thống kê đến tập hợp tổng quát về năng suất vụ mùa, năng suất lao động, bình

quân nhân khẩu, phế phẩm, số lượng cỡ hàng,...

Để thực hiện tốt vấn đề này cần cho HS tham gia những hoạt động thực tiễn, vào

các nhà máy, xí nghiệp, hợp tác xã, thu thập tư liệu (ghi chép vào sổ thực tế), nói

chuyện với công nhân, nông dân tập thể, kỹ thuật viên, với người quản lí kinh tế...để

có được những tư liệu sống, rồi trên cơ sở đó dùng kiến thức toán học mà phân tích

hoặc để tích luỹ thực tiễn, làm vốn quý cho việc tiếp tục học toán cũng như học các

môn học khác. Bằng các hoạt động đó, HS làm quen với các bước vận dụng toán

học vào thực tiễn: đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập số liệu, xử lý mô hình

để tìm lời giải bài toán, đối chiếu lời giải với thực tế, kiểm tra và điều chỉnh.

Do đó, việc nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" giúp HS vận dụng toán học vào thực tiễn, một mặt một mặt góp phần giúp HS thực hành

tốt các kỹ năng toán học (như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc biểu đồ, kỹ năng

suy diễn toán học, tính có căn cứ đầy đủ của các lập luận...). Mặt khác, giúp HS

quen dần với các tình huống thực tiễn gần gũi trong cuộc sống, góp phần tích cực

trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo HS phổ thông, đáp ứng yêu cầu của xã hội.

Thứ ba: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong

toán phổ thông giúp HS góp phần nâng cao các năng lực toán học

Để phát triển các năng lực toán học, cần thiết phải rèn luyện cho HS ứng dụng kiến thức toán học và đặc biệt là ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Chẳng hạn đối với năng lực giao tiếp, việc giao tiếp với bài toán thuần túy toán học không khó khăn bằng việc giao tiếp với bài toán thực tiễn tương ứng

(kiến thức toán học của hai bài toán về bản chất là như nhau). Điều này do các bài toán thực tiễn liên quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khác nhau của thực

tiễn, tạo nên cái vỏ bọc hình thức phong phú, đa dạng hơn. Do đó, việc rèn luyện

cho HS khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn góp phần phát triển các năng lực toán.

2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba

Thứ nhất: Xây dựng một hệ thống bài tập thực tiễn theo từng chương, từng bài và

từng mục một cách thích hợp.

Tùy thuộc vào từng chương, từng bài mà chúng ta lựa chọn hay xây dựng các bài

toán có nội dung thực tiễn một cách phù hợp. Cần phải lựa chọn thời điểm giới

thiệu bài toán với HS sao cho phát huy được tính tích cực của HS. Chúng ta có thể đưa vào bài toán thực tiễn khi mở bài (hay đặt vấn đề), khi khai thác các ví dụ hay

đơn giản chỉ là để củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc thay thế bổ

sung bài tập trong SGK một cách thích hợp. Đặc biệt, cần thực hiện những buổi

ngoại khóa ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn phù hợp với tính chất, trình độ của HS cũng như cơ sở vật chất hiện tại.

Bối cảnh của vấn đề là một điều đáng quan tâm khi xây dựng xây dựng các bài toán

thực tiễn. Thông qua số liệu thống kê của các bài toán Giá thuê môtô lướt sóng (Đà

Nẵng đã có từ lâu nhưng Huế vừa mới đưa vào khai thác nên bối cảnh này không

quen thuộc với HS); Hồ cá (bối cảnh này là quen thuộc với HS nông thôn) và Đèn

giao thông tại ngã 6 (bối cảnh này là quen thuộc với HS thành phố)…cho thấy rằng

bối cảnh bài toán ảnh hưởng rất lớn đến hứng thú và kinh nghiệm của HS. Kinh

nghiệm, ấn tượng về bối cảnh giúp HS nắm bắt bài toán nhanh chóng, một trong

những vấn đề then chốt giúp HS giải quyết nhanh và chính xác vấn đề. Như vậy, việc xây dựng các bài toán cần phải tính đến bối cảnh một cách cẩn thận.

Khi hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được lựa chọn, cân nhắc một cách thận

trọng về nội dung cũng như hình thức và số lượng theo từng chủ đề kiến thức toán

trong chương trình THPT. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả cao trong quá trình

giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trường hợp cụ thể:

 Đối với HS trung bình, yếu GV cần bổ sung những bài toán thực tiễn ở mức độ thấp hơn những bài tập trong hệ thống hoặc sử dụng những bài toán trong hệ thống nhưng có sự chỉ dẫn, gợi ý giúp các em giải quyết vấn đề;

 Đối với những HS khá, giỏi GV có thể lựa chọn vấn đề có tính phức tạp cao. Tính phức tạp không phải là sự thách thức về kiến thức mà là những vấn đề thật

sự nảy sinh từ cuộc sống. Thường những vấn đề này có dữ liệu phức tạp, đòi hỏi khả năng phân tích, suy luận, đặt giả thiết…bởi nó ít được cơ cấu hơn.

Thứ hai: Cần lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng

dạy một cách thích hợp nhất.

Để giải quyết được vấn đề, chúng ta có nhiều con đường tiếp cận, mỗi con đường tiếp cận có những ưu nhược điểm riêng. Do vậy, khi giải quyết các vấn đề thực tiễn

GV cần phải tạo điều kiện thuận lợi cho HS tiếp cận và giải quyết vấn đề (cung cấp

những công cụ toán học có thế mạnh để giải quyết vấn đề). Thông qua việc thống

kê bài toán Hợp đồng lao động chúng tôi thấy rằng kết quả giải quyết các câu hỏi 2

và câu hỏi 3 rất thấp. Một trong những nguyên nhân chính là chúng tôi đã lồng vào đây kiến thức của cấp số nhân (một nội dung toán sẽ được học ở lớp 11). Vì vậy,

HS cần huy động các năng lực tư duy và suy luận, lập luận ở mức cao (mức liên kết

ở câu hỏi 1; mức phản ánh ở các câu hỏi 2, 3) để giải quyết vấn đề nhưng đối với

HS lớp 11 (sau khi học cấp số nhân) vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Như đã trình bày, các bài toán thực tiễn gắn liền với bối cảnh. Khi đưa ra một bài

toán thực tiễn GV cần tính đến yếu tố này, cần giúp HS có sự tự tin khi giải quyết

vấn đề cũng như có đủ kinh nghiệm xung quanh vấn đề được đề cập.

Tuy nước ta đạt được nhiều thành tích trong các kỳ thi Olympic toán Quốc tế nhưng

không tham gia cuộc thi toán học mô phỏng (trong khi Trung Quốc lại có rất nhiều

đội tuyển thành công trong cuộc thi này). Điều đó cho thấy nền giáo dục nước ta

vẫn còn nặng về toán lý thuyết. Do vậy, cần điều phối thời gian cho các bài toán

thực tiễn trong chương trình toán THPT, giúp HS làm quen dần với toán học thực

tiễn. Từ đó giúp HS nhận ra rằng toán học không chỉ là công cụ tuyển chọn mà còn là con đường để khám phá thế giới. Làm được điều này là cả một nghệ thuật của

người thầy giáo.

Thứ ba: Sử dụng linh hoạt quy trình toán học hóa của PISA đề giải quyết các bài

toán có nội dung thực tiễn.

Các bài toán nảy sinh từ đời sống thực tế thường phức tạp về dữ liệu và phong

phú về cách thức giải quyết. Do đó, việc tuân thủ quy trình toán học hóa là chìa

khóa quan trọng giúp giải quyết chúng. Cần lưu ý là để giải quyết những bài toán

nãy sinh từ thực tiễn thường mất rất nhiều thời gian. Trong phạm vi một đánh giá đòi hỏi phải có độ rộng nhất định về kiến thức trong một khoảng thời gian cố đinh. Chính vì vậy, ở từng nội dung không cho phép người ta phân phối quá nhiều thời gian. Mặt khác, các bài toán mà giáo dục chúng ta đang sử dụng chủ

yếu là những bài toán có tình huống thực tiễn nên dữ liệu phần nào đã được gọt tỉa để đảm bảo tính ngắn gọn và chặt chẽ cao (không cần phải cắt tỉa vấn đề). Vì

lẽ đó, HS cần linh hoạt trong vận dụng quy trình toán học hóa của PISA, có thể

bỏ qua một số bước của quy trình trong những bài toán cụ thể. Thông thường, chìa khóa quan trọng là sự chuyển đổi từ ngôn ngữ lời văn sang ngôn ngữ ký

hiệu toán học. Khi trở thành vấn đề trong nội bộ toán học thì HS tuân thủ những quy tắc trong nội bộ toán học để giải quyết. Chẳng hạn bài toán Tưới rau sau:

Hằng ngày bạn An phải đi từ nhà đến bờ sông xách nước để tưới cây cho ruộng

rau ở cùng một phía với bờ sông. Hỏi bạn An phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ

sông ở chỗ nào để quãng đường đi từ nhà đến ruộng rau là ngắn nhất? Với bài

toán này, ta xem nhà và bờ sông lần lượt là các điểm A, B; con sông là một đường thẳng l. Khi đó, để giải quyết HS phải tiến hành theo đúng giải thuật:

bước 1 là tìm điểm A’ đối xứng với A qua l; bước 2 là tìm giao điểm M của A’B

với l. Vậy điểm M là vị trí mà An cần tìm. Rõ ràng bài toán này không cần sử

dụng tất cả các bước của quy trình toán học hóa, thậm chí cũng không cần nhiều đến kinh nghiệm cuộc sống của HS. Có một điều đáng lưu ý là hệ thống các bài

toán thực tế của giáo dục nước ta như thế khá nhiều, thực tiễn nhưng ở mức độ

đơn giản hoặc đã qua gọt tỉa. Như vậy, toán chỉ là toán với các con số khô khan.

Đôi khi người ta có ý kiến có cần thiết phải giải các bài toán thực tiễn kiểu thế

này không vì một số trường hợp kết quả không ảnh hưởng nhiều đến hiệu suất

công việc. Chẳng hạn ở bài toán Tưới rau, có cần thiết quan tâm đến quãng

đường ngắn nhất từ nhà bờ sông vườn. Bởi trong một lần tưới cây người ta

chỉ đi có một lần từ nhà bờ sông vườn còn lại thì vườn bờ sông. Vì vậy,

kết quả của bài toán không thật sự có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Tuy nhiên, nếu đi

một lần trong một ngày thì trong một năm lại có rất nhiều lần phải đi. Hơn thế

nữa, muốn HS tư duy giải quyết các bài toán thực tiễn phức tạp thì phải tạo ra những tiếp cận mang tính sư phạm. Chúng ta vẫn có thể đưa ra những bài toán

đòi hỏi cao hơn kinh nghiệm HS, chẳng hạn bài toán sau: Một người đi xe đạp dự

kiến trong buổi sáng đi hết quãng đường 60km. Khi đi được 1/2 quãng đường, anh

ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng 2/3 vận tốc dự kiến, anh ta bèn đạp nhanh hơn

vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự kiến

của người đi xe đạp là bao nhiêu? Bài toán có thể được giải quyết như sau: Gọi v

(km/h) là vận tốc dự kiến của người đi xe đạp (v > 0). Theo đề bài ta có phương trình:

Đưa vào toán về vấn đề thực tế (bước 5 trong quy trình toán học hóa của PISA), nếu vận tốc dự kiến là 5(km/h) thì vận tốc đã đi lúc đầu là 10/3(km/h). Vận tốc này quá thấp đối với người đi xe đạp. Hơn nữa, với vận tốc dự kiến là 5(km/h)

thì thời gian đi thật sự là 12 giờ 45 phút. Rõ ràng người đó không thể hoàn thành chuyến đi trong buổi sáng. Vậy nên vận tốc này không được chấp nhận.

3. Vận dụng

Nghiên cứu đã đem lại một cái nhìn khách quan về các năng lực toán mà HS mười

lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế thể hiện trong việc giải quyết các vấn đề về "thay đổi

và các mối quan hệ" theo quy trình toán học hóa của PISA, đó là: tư duy và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải (không đánh giá năng lực

sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ). Thông qua các kết quả, mong muốn các

nhà giáo dục quan tâm hơn nữa với toán thực tiễn, cho toán thực tiễn có một vị trí

xứng đáng với bản chất vốn có của nó. Giúp HS thấy toán học không chỉ là công cụ tuyển chọn mà còn là con đường để khám phá thế giới.

Bối cảnh đóng một vai trò quan trọng với các bài toán thực tiễn, nó góp phần tạo ra

sự hứng thú cho HS khi giải quyết vấn đề cũng như phát huy những kinh nghiệm

liên quan đến bối cảnh đó. Do vậy, các bài toán thực tiễn được đề cập nên là những

vấn đề xã hội quan tâm; phải làm cho HS thấy được sự gần gũi và tính thiết thực

của nó đối với bản thân các em.

Quy trình toán học hóa của PISA thật sự là một công cụ hữu ích cho việc giải các

bài toán thực tiễn, đặc biệt là các bài toán nảy sinh từ cuộc sống thực tế. Trong khi

đó, các bài toán thực tiễn trong chương trình THPT hiện nay ở nước ta chủ yếu là những bài toán có tình huống thực tiễn. Quá trình giải quyết những bài toán này

không khác mấy so với những bài toàn thuần túy toán học. GV cần có những thay

đổi nhất định trong việc xây dụng các bài toán thực tiễn trong giảng dạy của mình.

Có như vậy mới giúp HS giảm được những khó khăn khi tham gia đánh giá PISA

vào năm 2012, năm mà đánh giá toán học đóng vai trò trọng yếu.

Tóm tắt chương 5: Chương này đã trả lời và lý giải ba câu hỏi nghiên cứu được đặt

ra ở chương 1. Qua đó, chúng tôi mong muốn những kết quả này đem lại ý nghĩa cho giáo dục nước nhà. Những kết quả chung của toàn bộ luận văn được chúng tôi tóm tắt lại trong phần kết luận ở trang sau.

KẾT LUẬN

Với sự nghiêm túc và nỗ lực trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi hoàn thành đề tài với những kết luận cơ bản sau:

a) Về phương diện lý luận

 Chúng tôi đã đưa ra những bằng chứng cho thấy nhu cầu gắn kết toán học

với thực tiễn; làm rõ quy trình toán học hóa của PISA cũng như nội dung

toán "thay đổi và các mối quan hệ";

 Chúng tôi đã chỉ ra được những khó khăn chính mà GV mắc phải khi giảng

dạy những vấn đề liên quan đến thực tiễn. Từ đó GV có sự quan tâm đúng

mức để quá trình dạy học này trở nên hiệu quả hơn;

 Chúng tôi đã trình bày những nét tiêu biểu nhất của chương trình đánh giá

PISA liên quan đến toán học hóa và "thay đổi và các mối quan hệ";

 Trên cơ sở hệ thống các bài toán mà PISA dùng để đánh giá toán trong các

năm 2003, 2006 và 2009, chúng tôi phân tích và xây dựng được Bộ đề kiểm

tra gồm 9 bài toán trong phạm vi nội dung toán "thay đổi và các mối quan

hệ" để tiến hành khảo sát HS ở Thừa Thiên Huế;

 Luận văn được xem như là tài liệu tham khảo cho các độc giả quan tâm đến

chương trình đánh giá của PISA.

b) Về mặt thực tiễn

 Qua khảo sát chúng tôi thu được những kết quả đáng tin cậy về sự thể hiện

năng lực toán của HS ở Thừa Thiên Huế;

 Chúng tôi cũng đưa ra được một số biện pháp để phát triển các năng lực của

học sinh trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn về "thay đổi và các mối

quan hệ";

 Chúng tôi cũng đưa ra một số giải pháp trong việc giảng dạy những vấn đề

liên quan đến thực tiễn trong bối cảnh nước ta cũng như cách sử dụng quy

trình toán học hóa của PISA trong giải quyết các vấn đề thực tiễn;

 Dự kiến năm 2012 nước ta tham gia đánh giá PISA, mặt khác năm 2012 là năm mà toán học được chú trọng trong đánh giá của PISA. Chúng tôi hy vọng rằng đề tài này đóng góp một phần nhỏ trong việc định hướng giáo dục, giúp cho quá trình tham gia đánh giá được hiệu quả cao.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Văn Dũng (2007), Sử dụng mô hình hoá toán học trong chương trình toán phổ thông để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học, Luận

văn Thạc sĩ.

2. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Đánh giá trong giáo dục toán, Giáo trình dành

cho sinh viên năm tư trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế.

3. Nguyễn Lan Phương (2007), Đánh giá chất lượng giáo dục toán, Bài giảng cho

học viên Cao học, Viện khoa học Giáo dục, Hà Nội.

4. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (các

tình huống điển hình), NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

5. Trần Vui (2006), Những xu hướng mới trong dạy học toán, Bài giảng cho học

viên Cao học, Đại học Sư phạm-Đại học Huế.

6. Trần Vui (2008), Đánh giá hiểu biết toán của học sinh tuổi mười lăm - Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, Tài liệu cho học viên Cao học, Đại học

Sư phạm - Đại học Huế.

Tiếng Anh

7. Gabriele Kaiser (2004), “Mathematical Modelling in School – Example and Ex-

periences”.

8. Frank Swetz and J. S. Hartzler (1991), Mathematical Modeling in the Secondary

School Curriculum, NCTM, USA.

9. NCTM (2000), Principles and Standards in Mathematics, NCTM, USA.

10. OECD (2003a), The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading,

Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France, 2003.

11. OECD (2003b), PISA 2003 technical report, Paris, France, 2003.

12. OECD (2006), PISA released items mathematics, Paris, France, 2003.

13. OECD (2009), Learning Mathematics for Life: A Perspective from PISA, Paris,

France, 2009.

14. Vogel, R. & Ludwigsburg (2005), “Patterns - a fundamential idea of mathemati- cal thinking and learning”, ZDM: The International Journal on Mathematics Education, Vol. 37 (5), pp. 445-449.

Các địa chỉ Internet

15. http://diendantoanhoc.net/forum/lofiversion/- index.php?t1459.html.

16. http://dienbien.edu.vn/tin-hoat-dong/-/content/14242.

17. http://www.erzwiss.uni-hamburg.de/Personal/Gkaiser/pdf-publist/16_Kaiser.pdf.

18. http://nces.ed.gov/surveys/PISA.

19. http://www.PISA.oecd.org.

36,43,51,52,68,69 1-35,37-42,44-50,53-67,70-84