Sai lầm thường gặp khi tính tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Ken Ken | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Tích phân và vi phân là những khái niệm cơ bản của giải tích. Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào định nghĩa độ đo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sai lầm thường gặp khi tính tích phân

VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n 1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn. π 4 VD1: tÝnh tÝch ph©n I = 1 − x 2 dx 0 Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt x = sin t suy ra dx=costdt π π π 4 4 1 + cos 2t π 1 4 I = � − sin 2 t .cos t.dt = � 2 t.dt = � 1 cos dt = + 0 0 0 2 8 4 Lêi gi¶i ®óng: ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt x = 0�t = 0 π π x = � t = arc sin 4 4 π π π arcsin arcsin arcsin 4 4 4 1 + cos 2t I= � 1 − sin t .cos t.dt = �cos t.dt = � 2 2 dt 0 0 0 2 1 π 1 � π� = arcsin + sin � arcsin � 2 2 4 4 � 4� 2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n 1 dx VD2: tÝnh I= 0 (2 x + 1)5 Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt t = 2x + 1 x =1� t = 3 x = 0 � t =1 t −4 3 3 dt 1�1 � 20 I= 5 =− = − � 4 − 1�= 1 t 4 1 4�3 � 81 Lêi gi¶i ®óng: ®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx x =1� t = 3 x = 0 � t =1 t −4 3 3 dt 1�1 � 10 I= 5 =− = − � 4 − 1�= 1 2t 8 1 8�3 � 81
3. TÝnh nguyªn hµm sai, hiÓu sai b¶n chÊt c«ng thøc 2 VD1: TÝnh I = x.e dx x 0 Gi¶i: * lêi gi¶i sai: �=x u �' =1 u ®Æt � � x �' = e �=e x v v 2 2 x � I = ( xe x ) − e dx = e 2 + 1 0 0 *Lêi gi¶i ®óng: �=x u � = dx du ®Æt � � x � =e �=e x dv v 2 2 x � I = ( xe x ) − e dx = e 2 + 1 0 0 VÊn ®Ò 2: sai lÇm khi chøng minh ®¼ng thøc tÝch ph©n 2π vÝ dô 1: cho n N ; CMR I = sin ( sin x + nx ) dx = 0 0 * Lêi gi¶i sai: xÐt f(x)=sin(sinx+nx) trªn [ 0; 2π ] ta cã: f(x) lµ hµm liªn tôc trªn [ 0; 2π ] vµ f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) vËy f(x) lµ hµm lÎ I=0 *Nguyªn nh©n sai lÇm: Häc sinh hiÓu sai ®Þnh lý. “ NÕu hµm sè f(x) lµ hµm a lÎ,liªn tôc trªn [-a;a] th× f ( x ) dx =0” −a * Lêi gi¶i ®óng: §Æt x = π + y 2π π π � ( sin x + nx ) dx = � ( sin y + ny + nπ ) dx = ( −1) sin ( ny − sin y ) dx n �I = sin sin 0 −π −π MÆt kh¸c ta cã: g(y)=sin(ny-siny) x¸c ®Þnh trªn [ −π , π ] lµ hµm liªn tôc va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) lµ hµm lÎ. VËy th× I=0 VÝ dô 2: cho hµm sè f liªn tôc trªn [ 0, π ] . H·y so s¸nh π π I = xf ( sin x ) dx vµ J = f ( sin x ) dx 0 0 *Lêi gi¶i sai: �=x u � = dx du TÝch ph©n tõng phÇn: � � � = f ( sin x ) dx dv � = − f ( cos x ) v
π π � I = − xf ( cos x ) + f ( cos x ) dx 0 0 π Do f liªn tôc /[0; π ] f ( cos π ) = f ( 0 ) = 0 � I = f ( cos x ) dx (1) 0 ππ Mµ J = f ( sin x ) dx (2) 20 Tõ (1) vµ (2) ta cã I J * Nguyªn nh©n sai lÇm: Häc sinh kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc, tÝch ph©n vµ vi ph©n. * Lêi gi¶i ®óng: §Æt x = π − t ta cã: π 0 π π I = � ( sin x ) dx = − � − t ) f ( sin ( π − t ) ) dt = π �( sin x ) dx − � ( sin x ) dx xf (π f xf 0 π 0 0 π π π � 2 I = π �( sin x ) dx � I = f ( sin x ) dx 2� f 0 0 VËy ta cã I=J vÝ dô 3: Cho hµm sè f liªn tôc trªn [a,b]. CMR tån t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm C [ a, b ] sao cho: c b � ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) � � � a f dx � � �f c �dx * Lêi gi¶i sai. Do f liªn tôc trªn [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã: c c b � ( x) − f ( c) � = � ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) � � � a f �dx � �f �dx b � �f �dx c * Nguyªn nh©n sai lÇm: Kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc lªn tÝnh tÝch ph©n sai. * Lêi gi¶i ®óng: ¸p dông ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n ∃ Ýt nhÊt mét ®iÓm b b C [ a, b ] sao cho: �( x ) dx = f ( c ) ( b − a ) = �( c ) dx f f a a b c b � � ( x) − f ( c) � = � ( x) − f ( c) � + � ( x) − f ( c) � = 0 � �f �dx � �f �dx � �f �dx a a c c b Hay ta cã: � ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) � � � a f dx � � �f c �dx (§PCM). VÊn ®Ò: Sai lÇm khi tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng b»ng tÝch ph©n I. KiÕn thøc chung - Cho hµm sè y = f ( x ) kh¶ tÝch trªn [ a; b] . Khi ®ã diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi b h¹n bëi: ox, y = f(x) , x = a, x = b lµ : S = f ( x ) dx a
II. Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp 1. Sö dông sai c«ng thøc y = 9 − x2 VD1: tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = 0; x = 1; x = 4 Lêi gi¶i sai: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: 4 � 1 � 4 S = (9 − x 2 )dx = �x − x 3 � = 7 9 1 � 3 � 1 Sai lÇm: ¸p dông sai c«ng thøctÝnh diÖn tÝch y Lêi gi¶i ®óng: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: 9 3 S = 9 − x 2 dx 1 3 4 = �− x 2 ) dx + �2 − 9 ) dx (9 (x 1 3 o 1 3 4 x � 1 � � 3 1 4 � 65 38 = �x − x3 � + � x3 − 9 x � = 9 −9 = � 3 � � 1 3 3 � 2 3 2. X¸c ®Þnh kh«ng chÝnh x¸c h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n y = 0; y = 1 VD: tÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi: y 2 = x − 1; x = 0 Lêi gi¶i sai: y 2 = x − 1 � y = � x − 1 y = 0 � x =1 y =1� x = 2 VËy diÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 2 3 2 2 S= x − 1dx = ( x − 1) 2 = 1 3 1 3 Sai lÇm: x¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh diÖn tÝch do kh«ng vÏ ®êng giíi h¹n Lêi gi¶i ®óng: VÏ h×nh giíi h¹n: VËy diÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S = S1 + S 2 víi : S1 = 12 = 1 2 ( 1− ) � 2 3 � 2 1 S2 = x − 1 dx = � − ( x − 1) 2 � = x 1 � 3 1 � 3 4 � S= 3 3. X¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n. VD: T×m diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:
y = x2 + 2x + 1 ( C1 ) y = x2 + 6x + 9 ( C2 ) y 3 5 x= ; x= 2 2 Lêi gi¶i sai: C1 IC2 = ( 2;1) 1 2 3 x VËy diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n lµ: 5 2 2 � − 1) (x � − 3) (x 2 2 S= dx + dx 3 2 2 1 2 1 5 = ( x − 1) 3 + ( x − 3) 2 3 3 3 2 3 2 � 1 � � 1 1� 7 1 =�− �� + � + − = � 24 � � 24 3 � 12 3 Sai lÇm: X¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n y=(x-1)2 y=(x-3)2 Lêi gi¶i ®óng: C1 �C2 = ( 2;1) DiÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S = S1 + S 2 1 3 x 2 S1 = �x − 3) 2 − ( x − 1) 2 � ( dx 3 � � 2 2 2 1 = ( −4 x + 8 ) dx = ( −2 x 2 + 8 x ) 3 = 3 2 2 2 5 2 S2 = �x − 1) 2 − ( x − 3) 2 � ( dx � � 2 5 2 5 1 = ( 4 x − 8 ) dx = (2 x 2 − 8 x) 2 = 2 2 2 1 1 VËy S = + =1 2 2 VÊn ®Ò: Dù kiÕn sai lÇm khi tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay b»ng tÝch ph©n. I, c«ng thøc:
y = f ( x) b Vox = π f 2 ( x ) dx � =0 y � 0 Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi � � �=a b x � = 2π xf x dx �=b Voy � ( ) x 0 x = f ( y ) = x1 x = g ( y ) = x2 d NÕu h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi � Voy = π x12 − x2 dx 2 c y d c f ( y ) .g ( y ) > 0 II, Mét sè sai lÇm thêng gÆp: 1. Sö dông c«ng thøc bá gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: vÝ dô 1:TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn g©y bëi h×nh trßn x + ( y − b) ( 0 < a < b ) quay quanh trôc 0x. 2 2 a2 * Lêi gi¶i sai: y Ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C): x 2 + ( y − b ) = a 2 cã thÓ viÕt 2 y = b + a2 − x2 ( C1 ) ( y − b) 2 =a −x 2 2 ( x a) y = b − a2 − x2 ( C2 ) VËy thÓ tÝch cña h×nh xuyÕn lµ: x ( ) ( ) a � 2 2 � Vox = π �b + a 2 − x 2 − b − a 2 − x 2 � = 2π a 2b dx −a � � * Sai lÇm: mÆc dï kÕt qu¶ ®óng nhng sai c«ng thøc thÓ tÝch: b b Vox π (y 2 1 − y ) dx mµ Vox = π 2 2 y12 − y2 dx . 2 a a ( ) ( ) a 2 2 * Lêi gi¶i ®óng: Vox = π b + a2 − x2 − b − a2 − x2 dx = 2π a 2b −a 2. Sö dông nhÇm Voy y = x2 vÝ dô: TÝnh Voy cña h×nh x = 1 x=2 x 5 2 31π 2 * Lêi gi¶i sai: Voy = π x dx = π = 4 1 5 1 5 b * Sai lÇm: §· sö dông c«ng thøc Voy = π y dx ®©y lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch 2 a Vox. Vëy lêi gi¶i bÞ sai. * Lêi gi¶i ®óng. 15π 2 Voy = 2π x.x 2 dx = 1 2 1 2