Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải toán ứng dụng củ tích phân

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của sáng kiến này là nhằm giúp cho học sinh 12 biết cách giải quyết các bài toán tính diện tích hình phẳng, thể tích vật trong xoay được đưa ra trong chương trình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải toán ứng dụng củ tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN TRƢỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Phƣơng Đơn vị công tác: Tổ Toán –Tin 1
Điện Biên, tháng 4 năm 2015 MỤC LỤC Trang S thi t ụ h ủ vi th hi s g i 3 Ph vi tri h i th hi 4 C Nội du g 4 1 Tì h tr g giải ph p ã bi t 4 2 Nội du g giải ph p 5 3 Khả ă g p dụ g ủ giải ph p 5 4 Hi u quả lợi h thu ượ do p dụ g giải ph p 5 5 Ph vi ả h hưở g ủ giải ph p 6 6 Ki ghị ề xuất 6 7 Nội du g ụ th 6 7.1 C sở l lu 6 7.2 V dụ g 7 7.2.1 Ứ g dụ g t h phâ t h di t h ủ hì h phẳ g 7 7.2.2 Ứ g dụ g t h phâ t h th t h ủ v t th trò xo y 24 Tài li u th hảo 31 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Phƣơng Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn A S c n thi t, mục ch của việc th c hiện sáng i n: Qu th t giả g d y tôi thấy vấ ề di t h ủ các hì h phẳ g vấ ề th t h ủ v t th trò xo y ở hư g trì h giải t h 12 họ si h gặp rất hiều hó hă . Do bài to ứ g dụ g ủ t h phâ là bài to liê qu th t ặ bi t giải quy t ượ bài to ày họ si h ượ tr g bị hiều i thứ hư t h t h phâ hảo s t và vẽ ồ thị bài to tư g gi o hì h họ phẳ g hì h họ hô g gi Nên hiều họ si h thườ g ó ả gi “sợ” bài to t h di t h hì h phẳ g ũ g hư bài toán tính th t h ủ v t th trò xo y Khi họ vấ ề ày hì hu g e thườ g v dụ g ô g thứ ột h y ó hư ó s phân tích thi u tư duy th t và tr quan ê e h y bị h lẫ họ hô g giải ượ ặ bi t là hữ g bài to phải ó hì h vẽ “ hi hỏ” di t h ới t h ượ Thê vào ó tro g s h gi o ho ũ g hư s h th hảo ó rất t v dụ i h ho ột h hi ti t giúp họ si h họ t p và hắ phụ “ hữ g s i l ó” Cà g hó hă h ho hữ g họ si h ó ỹ ă g t h t h phâ ò y u và ỹ ă g “ ọ ồ thị” ò h h S g i i h ghi “PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG CỦ TÍCH PHÂN” hằ giúp ho họ si h 12 bi t h giải quy t bài to t h di t h hì h phẳ g th t h v t trò xo y ượ ư r tro g hư g trì h họ Rè ỹ ă g t h t h phâ ặ bi t là t h phâ ó hứ dấu gi trị tuy t ối, rè ỹ ă g ọ ồ thị ủ hà số từ ó hắ phụ hữ g hó hă , s il hi gặp bài to t h di t h hì h phẳ g ũ g hư t h th t h ủ v t th trò xoay. Giúp họ si h ph t huy tốt i thứ về di t h và th t h à họ si h ã họ ở lớp dưới thấy ượ t h th t và s liê h ội t i ủ vấ ề ày tro g hư g từ ó họ si h sẽ ả thấy hứ g thú thi t th và họ tốt vấ ề ứ g dụ g ủ t h phâ Đây là ột tài li u th hảo rất tốt ho họ 3
si h ũ g hư gi o viê luy thi và ô t p thi tốt ghi p tru g họ phổ thô g ô thi i họ và o ẳ g. B Ph m vi tri n hai th c hiện: +) Đối tượ g ghiê ứu - Mụ tiêu ội du g hư g trì h â g o và bả THPT. - Sách giáo khoa và s h bài t p i số và giải t h 12. - Các bài toán tro g hư g trì h thi i họ . - Mứ ộ h thứ ủ họ si h trườ g THPT huyê Lê Quý Đô Ph vi ghiê ứu - Chư g trì h bả và nâng cao toán THPT. -C huyê ề thi i họ và o ẳ g. - Họ si h trườ g THPT huyê Lê Quý Đô +) Ti hà h th ghi trê lớp 12C8. C. Nội dung 1. Tình tr ng giải pháp ã bi t Chủ ề ứ g dụ g ủ t h phâ là ột tro g hữ g i thứ bả ở hư g trì h to giải t h lớp 12 Vi d y và họ vấ ề ày họ si h giúp họ si h hi u rõ ý ghĩ hì h họ ủ t h phâ ặ bi t là t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số t h th t h ủ v t th trò xo y ượ t o bởi hi qu y ột hì h phẳ g qu h trụ hoà h hoặ trụ tu g Đây ũ g là ột ội du g thườ g gặp tro g ề thi ị h ỳ ề thi tốt ghi p tru g họ phổ thô g ề thi o ẳ g và i họ . Nhìn chung khi họ vấ ề ày i số họ sinh ( ả họ si h h thườ g gặp hữ g hó hă s i l s u: - N u hô g ó hì h vẽ thi họ si h thườ g hô g hì h du g ượ hì h phẳ g (h y v t th trò xo y Do dó họ si h ó ả gi “x l ” h so với hi họ về di t h ủ hì h phẳ g ã họ trướ ây (di t h gi , th t h hối di … Họ si h hô g t dụ g ượ i u “tư duy liê h ũ với ới” vố ó ủ ì h hi ghiê ứu vấ ề ày. - Hì h vẽ i h họ ở s h gi o ho ũ g hư s h bài t p ò t “ hư ủ” giúp họ si h rè luy tư duy từ tr qu trừu tượ g Từ ó họ si h 4
hư thấy s g gũi và thấy t h th t ủ hì h phẳ g v t trò xo y g họ . - Họ si h hư th s hứ g thú và ó ả gi hẹ hà g hi họ vấ ề này, trái l i họ si h ó ả gi ặ g ề, hó hi u. - Họ si h thườ g hỉ hớ ô g thứ t h di t h hì h phẳ g th t h v t tròn xoay ột h y ó hó ph t huy t h li h ho t s g t o ặ bi t là ỹ ă g ọ ồ thị xét dấu bi u thứ ỹ ă g “ hi hỏ” hì h phẳ g t h, ỹ ă g ộ g trừ di t h; ộ g trừ th t h Đây là ột hó hă rất lớ à họ si h thườ g gặp phải. - Họ si h thườ g găp s i sót tro g vi t h t h phâ ó hứ dấu gi trị tuy t ối. 2. Nội dung giải pháp: - Dù g ột h thố g v dụ i h họ ó phân tích kèm lời giải hi ti t với h h h u từ ó rè luy ho họ si h s v dụ g li h ho t tro g qu trì h giải to ph t huy t h s g t o giúp họ ó hì h ả h tr qu về hì h phẳ g Từ ó họ si h ó ả gi hẹ hà g g gũi th t h hứ g thú h tro g họ t p. Họ si h h d g và giải thà h th o bài to t h di t h ủ hì h phẳ g th t h ủ v t th trò xo y theo yêu u. - Giúp họ thà h th o ỹ ă g hử dấu gi trị tuy t ối ột h li h ho t tùy thuộ vào từ g tì h huố g ụ th - Đư r h thố g bài t p tư gt ó hì h vẽ è theo hoặ hô g ó hì h vẽ họ si h luy t p từ dễ tới hó 3. Khả năng áp dụng của giải pháp Đề tài ượ tri h i â g o hất lượ g họ t p ủ họ si h lớp 12 tro g qu trì h họ tro g ô thi tốt ghi p và ô thi i họ o ẳ g. 4 Hiệu quả, lợi ch thu ƣợc do áp dụng giải pháp Qu th t p dụ g tôi h thấy e họ si h ã t ti và bi t v dụ g ột h li h ho t hi giải bài to ứ g dụ g ủ t h phâ và tỏ r hứ g thú hi họ về d g to ày .Họ si h hắ phụ ượ hữ g “s i l ” và hó hă hi gặp bài to t h di t h ủ hì h phẳ g ũ g hư t h th 5
t h ủ v t th trò xo y ở hư g trì h giải t h 12 Thu lợi ho vi tă g ườ g t h tr qu ũ g ẩy h ứ g dụ g ô g gh thô g ti và d y họ 5. Ph m vi ảnh hƣởng của giải pháp - Đề tài là tài li u giả g d y hữu h ho th y ô g giả g d y to lớp 12 - Đề tài là tài li u giúp họ si h họ tốt ph ứ g dụ g t h ủ t h phâ từ ó họ si h ó phư g ph p t ghiê ứu huyê ề h 6. Ki n nghị, ề xuất: Đề tài ê ượ hâ rộ g tro g trườ g THPT tro g tỉ h góp ph â g o hất lượ g d y và họ bộ ô To 7 Nội dung cụ th 7.1 Cơ sở l lu n 1. Diện t ch hình phẳng giới h n bởi 4 ƣờng trong ó có một ƣờng y=f(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g y y=f(x)  y  f ( x)  y  0 (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) O a b x b  S   f ( x) dx a 2. Diện t ch hình phẳng giới h n bởi 4 ƣờng trong ó có hai ƣờng y=f(x) y=g(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g y y=f(x)  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a y=g(x)  x  b (a  b) b O a b x  S   f ( x)  g ( x) dx a 6
3. Th t ch v t th tròn xoay t o bởi hình phẳng giới h n bởi 4 ƣờng trong ó có một ƣờng y=f(x) quay xung quanh trục Ox. Hì h phẳ g (H ượ giới h bởi 4 ườ g y y=f(x)  y  f ( x)  y  0 (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) O a b x Khối trò xo y si h bởi H hi qu y qu h trụ Ox là: b 2 VOx     f ( x) dx a 7.2 V n dụng 7.2.1 Ứng dụng t ch phân t nh diện t ch của hình phẳng 1) Hình phẳng giới h n bởi 4 ƣờng trong ó có một ƣờng y=f(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g y y=f(x)  y  f ( x)  y  0 (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) O a b x b  S   f ( x) dx a Chú ý: 1. C phải x ị h hì h phẳ g với y ủ 4 ườ g hư trê rồi ới p dụ g ô g thứ di t h b 2. Vi t h t h phâ S   f ( x) dx (1) ó dấu gtt t sử dụ g ột tro g 3 a cách t h s u ây Cách 1: Xét dấu f(x và sử dụ g ị h ghĩ  f ( x) khi f ( x)  0 f ( x)    f ( x) khi f ( x)  0 b b  N u f ( x)  0 , x a ; b thì S   f ( x) dx   f ( x)dx a a b b  N u f ( x)  0 , x a ; b thì S   f ( x) dx    f ( x) dx a a Từ ó t h t h phâ trê ỗi o à f(x hô g ò dấu gi trị tuy t ối Khi xét dấu f(x t thườ g dù g ị h l “dấu ủ hị thứ b t hất” ị h l “dấu ủ t thứ b h i” 7
Cách 2: D vào ồ thị ủ hà số y =f(x trê o a ; b suy r dấu ủ f(x) y  N u trê o [ ; b] ồ thị hà số y = f(x ằ ph “trê ” trụ hoà h thì f ( x)  0 , x a ; b y=f(x ) O a b x y  N u trê o [ ; b] ồ thị hà số y = f(x ằ ph “dưới” trụ hoà h thì O a b x f ( x)  0 , x a ; b y=f(x ) Cách 3: Chuy dấu gi trị tuy t ối r goài dấu t h phâ b b N u f(x hô g ổi dấu trê [ ; b] thì t ó S   f ( x) dx   f ( x)dx (*) a a Vấ ề là t i tì hoả g à trê ó f(x hô g ổi dấu T ó h xét s u ây N u phư g trì h f(x = 0 ó ghi phâ bi t x1 , x2 … xk thuộ ( ; b thì trê ỗi hoả g ( ; x1 ) , (x1 ; x2 … (xk ; b) bi u thứ f(x ó dấu hô g ổi b Khi ó t h t h phâ S   f ( x) dx t ó th t h hư s u a b x1 x2 b S   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  ...   f ( x) dx a a x1 xk x1 x2 b   a f ( x)dx   x1 f ( x)dx  ...   f ( x)dx xk b C bướ t h S   f ( x) dx a Giải phư g trì h f(x =0 Tì các nghiệm thuộc o n t nh t ch phân + Chi o t h t h t h phâ u trê o t h t h phâ ó hứ ghi V dụ g (* th hi ư dấu gi trị tuy t ối (gtt ra ngoài và tính t h phâ bì h thườ g  y   x 2  2 x  2 (C )  y  0 V dụ 1: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g  x  0  x  3 8
ài giải Cách 1: (Xét dấu hử dấu gi trị tuy t ối 3 T ó di t h S ủ hì h phẳ g trê là S    x 2  2 x  2 dx 0 Giải phư g trì h  x  2 x  2  0 vô ghi 2   x2  2 x  2  0 x 3 3 x3 3  S    x 2  2 x  2 dx   ( x 2  2 x  2)dx  (  x 2  2 x) 0 0 3 0 33  03  27   32  2.3    0 2  2.0   9  6  0  6 ( vdt 3  3  3 C h 2 (Dù g ồ thị Di t h S ủ hì h phẳ g trên là 3 y S    x 2  2 x  2 dx 0 A 1 2 3 x Từ ồ thị t ó trê [0 ;3] ồ thị (C ằ dưới -2 -1 O B trụ hoà h ê  x 2  2 x  2  0 , x  0;3 3 3 x3 3 f x =  -x2+2x -2 S    x  2 x  2 dx   ( x 2  2 x  2)dx  ( 2  x 2  2 x) 0 0 3 0 -4 33  03  27   32  2.3    0 2  2.0  960  6 (C) 3 3  3 ( vdt Cách 3: ( ư dấu gtt r goài dấu tích phân) 3 T ó di t h S ủ hì h phẳ g trê là S    x 2  2 x  2 dx 0 Giải phư g trì h  x  2 x  2  0 vô ghi 2 trên o (0;3 3 3 3 x 3  S    x 2  2 x  2 dx   ( x 2  2 x  2)dx  (  x 2  2 x) 0 0 3 0 3 3 0 3  27   32  2.3    02  2.0    9  6  0  6 ( vdt 3 3  3  y  x 3  3x 2  2 (C )  y0 V dụ 2: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g  x  0  x  2 ài giải C h 1 (Xét dấu hử dấu gi trị tuy t ối 2 T ó di t h hì h phẳ g S   x3  3x 2  2 dx 0 Dấu ủ y  x3  3x 2  2 là + + - - 3 -1 1 9
Ta có x3 -3x2 2 ≥ 0  x  [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 2 ≤ 0 x [ 1 ; 2 ] 2 1 2 Do ó S   x 3  3x 2  2 dx   ( x 3  3x 2  2)dx   ( x 3  3x 2  2)dx 0 0 1 x4 1 x 4 2 1  24 1  (  x3  2 x)  (  x3  2 x)   1  2  0    23  2.2  (  1  2)  4 0 4 1 4 4 4  1 1 5  1 4  8  4  1 2  ( vdt 4 4 2 C h 2 (dù g ồ thị Từ ồ thị ủ hà số ã ho trê o y từ [0;2] ta có trê [0;1] (C ằ trê 4 trụ hoà h trê [1 ;2] (C ằ dưới f x =  x3-3x2 +2 trụ hoà h 2 S   x3  3x 2  2 dx 0 1 2 A 2 x   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx 3 2 3 2 -2 -1 O1 B 3 0 1 1 1 5 (C)  1 4  8  4  1 2  4 4 2 ( vdt Cách 3: ( ư dấu gtt r goài dấu tích phân) 2 S   x3  3x 2  2 dx 0  x  1 (0; 2) (t / m) Giải phư g trì h x3 -3x2 + 2 =0    x  2  (0; 2) ( Loai) Khi ó 2 1 2 1 2 S   x3  3x 2  2 dx   ( x3  3x 2  2) dx   ( x3  3x 2  2) dx   ( x3  3x 2  2)dx   ( x3  3x 2  2)dx 0 0 1 0 1 4 x 1 x 4 2 5 5 5 5 5 (  x 3  2 x)  (  x 3  2 x)      ( vdt 4 0 4 1 4 4 4 4 2 Chú ý: Vi hi o t h t h phâ ượ th hi hi phư g trì h hoà h ộ gi o i ó ghi thuộ hoả g lấy t h phâ  x  2  y  x 1  V dụ 3: Tính di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g y  0 x  0   x  1 ài giải C h 1 (Xét dấu hử dấu gi trị tuy t ối x2 0 Có S   dx 1 x 1 10
x  2 - + - Dấu ủ y là x 1 -2 1 x2 Suy ra  0 , x  - 1;0  x 1 Di t h S ủ hì h phẳ g trê là x2 x2  ( x  1)  3 0 0 0 0 x2 0 3 S dx = S   x  1 dx   ( x  1 )dx   x  1 )dx   (1  x  1)dx 1 x 1 1 1 1 1 0  ( x  3ln x  1 )  ( 0  3ln1)  (1  3ln 2) 1  0  3.ln1  1  3ln 2  3ln 2 1 Cách 2: (Dù g ồ thị x2 0 Di t h S ủ hì h phẳ g trê là S   dx 1 x  1 y Từ ồ thị ủ hà số suy ra -x-2 x2  0 , x  - 1;0  f x  = x-1 x 1 B x x2 x2  ( x  1)  3 -2 -1 A O 0 0 0 0 1 2 3 3 S  1 x 1 dx   ( 1 x 1 )dx   1 x 1 )dx   (1  1 x 1 )dx 0  ( x  3ln x  1 )  (0  3ln1)  (1  3ln 2) -4 1  0  3.ln1  1  3ln 2  3ln 2  1 Cách 3: ( ư dấu gtt r goài dấu tích phân) x  2 0 S  1 x 1 dx x  2 Giải phư g trì h hoà h ộ gi o i  0  x  2  (  1;0)(loai) x 1 T ó di t h S ủ hì h phẳ g trê là x  2 x  2 0 0 S dx   dx  3ln 2  1  3ln 2  1 1 x 1 1 x 1 Nh n xét: Khi t h di t h t th hi li h ho t N u vi xét dấu ủ hà số giả thì t dù g phư g ph p xét dấu N u hà số ã ó ồ thị thì t dù g phư g ph p ồ thị N u xét dấu hó hă và hà số hư ượ vẽ ồ thị thì t dù g phư ng pháp ư dấu gi trị tuy t ối r goài dấu tích phân V dụ 4: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y = x 3 trụ hoà h và ườ g thẳ g x = -1 , x = 3 . 2 11
Bài giải : Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân 3 2 Di t h S ủ hì h phẳ g trê là S   x 3 dx 1 3 Giải phư g trì h x  0  x  0  (-1; ) 3 2 3 3 3 0 0 3 2 2 2 x4 0 x4 S x dx  x dx   x dx    x dx   x dx  ( ( )2 3 3 3 3 3 ) 1 1 1 4 1 4 0 0 0 3 ( )4 0 (1) 2 4 04 4 1 81 1 81 97  (  )   ( 0  )   0    ( vdt 4 4 4 4 4 64 4 64 64 Chú ý: Đối với hì h phẳ g ho ở d g  y  f ( x)   y  f ( x)  y  0 (truc Ox) hoặ  hư ủ 4 ườ g thì t phảixác x  a  y  0 (truc Ox)  ị h ườ g ò l i bằ g h giải phư g trì h hoà h ộ gi o i f ( x)  0 với ghi ượ lấy từ bé hất lớ hất V dụ 5: T h di t h hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y  x3  x2  2 x và trụ hoà h ài giải Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân  x  2 T tì ườ g ò thi u bằ g h giải phư g trì h x  x  2 x  0   x  0 3 2  x  1 V y di t h hì h phẳ g 1 S x  x 2  2 x dx (lấy từ bé hất lớ hất 3 2 0 1 S  2 x3  x 2  2 x dx   x3  x 2  2 x dx 0 8 5 37 S   3 12 12 V dụ 6: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y = xlnx , trụ hoà h và ườ g thẳ g x = e . ài giải Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân  x  0 (loai) T tì ườ g ò thi u bằ g h giải phư g trì h x ln x  0   x  1 e e Di t hS tì là S   x ln x dx   x ln xdx 1 1  1  du  dx u  ln x x Đặt   dv  xdx 2 v  x  2 12
e2 x2 e e2  1 e x2 e e x2 1 x2 e e Do ó S   x ln xdx  ln x   . d x  ln x   xdx    ( xdt 1 2 1 1 2 x 2 1 1 2 4 1 4 V dụ 7: T h di t h hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y  x3  4 x trụ hoà h ườ g thẳ gx= -2 và ườ g thẳ g x=4 Bài giải Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân x  0 T giải phư g trì h x  4 x  0   x  2 3  x  2 C ghi x=0 x=2 thuộ (-2;4 do v y di t h hì h phẳ g 4 0 2 4 S x  4 x dx  x  4 x dx   x3  4 x dx   x 3  4 x dx 3 3 2 2 0 2 0 2 4 S   (x  4 x)dx   ( x3  4 x)dx   ( x3  4 x)dx  44 ( vdt 3 2 0 2 V dụ 8: y Cho hà số y = x4 - 3x2 2 ó ồ thị (C f x  =  x 4-3 x 2 +2 4 (Hình bên) (C) Hãy t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị (C trụ hoà h và h i ườ g thẳ g B 2 x -2 -1 A O 1 x = -1, x = 1. 3 ài giải Dù g phư g ph p ồ thị Di t h S ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị (C trụ hoà h và h i ườ g thẳ g x = -1và x = 1 ượ t h bởi ô g thứ 1 S x  3x 2  2 dx 4 1 D vào ồ thị t thấy (C ằ trê trụ hoà h trê [-1;1] suy ra x4 -3x2 2 ≥ 0  x  [ -1 ; 1 ] 1 1 x5 1 12 Do ó S   x  3x  2 dx   ( x  3x  2)dx  (  x 3  2 x)  4 2 4 ( vdt 2 1 1 5 1 5 V dụ 9: Cho hà số y = -x4 + 5x2 - 4 y ó ồ thị (C (Hì h bê T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị (C và trụ hoà h -2 -1 O 1 2 x A B 3 f x  =  -x 4+5x 2 -4 (C) -4 13
Bài giải D vào ồ thị t ó ồ thị (C ắt trụ hoà h t i bố i ó to ộ l lượt là (-2;0) , ( -1 ; 0) , ( 1 ; 0) , (2 ; 0) . Suy ra hì h phẳ g ã ho ượ giới h bởi ồ thị (C trụ hoà h và h i ườ g thẳ g x = - 2 và x = 2. V y di t h S ủ hì h phẳ g là 2 S x  3x 2  2 dx 4 2 D vào ồ thị t thấy (C ằ trê trụ hoà h với x [ -2 ; -1][ 1; 2], (C) ằ dưới trụ hoà h với  x  [ -1 ; 1 ] Do ó -x4 +5x2 - 4 ≥ 0  x  [ -2 ; -1] [ 1; 2] - x4 + 5x2 – 4 ≤ 0  x  [ -1 ; 1 ] 2 1 1 2  S    x  5x  4 dx   ( x  5x  4)dx   ( x  5x  4)dx   ( x 4  5x 2  4)dx 4 2 4 2 4 2 2 2 1 1 22 76 22 S   8 ( vdt 15 15 15 V dụ 10: y x2  x  2 Cho hà số y  ó ồ thị (C ). 4  x2+x -2 x 1 f x  = x+1 T h di t h ủ hì h phẳ g giới h Gi aoDiem bởi ồ thị (C và ườ g thẳ g y =0 x = 0 và x = 3 . x -2 -1 O 1 3 ài giải T ó ồ thị (C ắt trụ hoà h t i h i i ó to ộl lượt là (- 2;0) và (1;0) Di t h S tì là x2  x  2 x2  x  2 x2  x  2 3 1 3 S dx  0 x  1 dx  1 x  1 dx 0 x 1 1 3 2 2 x2 1 x2 3   (x  )dx   ( x  )dx  (  2 ln x  1 )  (  2 ln x  1 ) 0 x 1 1 x 1 2 0 2 1 1 9 1 9   2 ln 2   2 ln 4   2 ln 2   4 ln 2 ( vdt) 2 2 2 2 14
V dụ 11: y T h di t h ph hì h phẳ g ượ tô àu ở hì h bê i t ồ thị (C là f x = e2 x ồ thị ủ hà số y = e2x . (C) x -2 -1 O 1 Bài giải : (Dù g phư g ph p ồ thị Hì h phẳ g trê ượ giới h bởi ồ thị hà số y = e2x trụ hoà h y = 0 trụ tu g x = 0 và ườ g thằ g x = -1 . Trê o [-1;0] ồ thị ằ trê trụ hoà h nên e2x > 0 x   1;0 V y di t h S ủ hì h phẳ g ã ho là 0 1 2x 0 1 1 1 S   e 2 x dx  e  (e 0 e 1 )  (1  ) ( vdt 1 2 1 2 2 e V dụ 12 y 4 (C) T h di t h ph hì h phẳ g ượ tô àu bi t rằ g ồ thị (C là ồ thị ủ hà số y  5x  4 f x = 5x+4 x -2 -1 O 1B Bài giải Hì h phẳ g trê ượ giới h bởi ồ thị hà số y  5x  4 trụ hoà h và h i ườ g thẳ g x = 0 x = 1 Vì trê [0;1] ồ thị ằ trê trụ hoà h ê y  5x  4 ≥ 0 với ọi x  0;1 1 1 V y di t h hì h phẳ g S   5 x  4 dx   5 x  4dx . 0 0 Đặt u = 5x 4 => du = 5dx Khi x = 0 => u = 4 Khi x =1 => u = 9 3 9 9 1 Do ó 1 1 1 u2 9 2 S   u du   u 2  .  9 2 2 u 3  ( 9 3  4 3 )  (27  8)  38 ( vdt 54 54 5 3 4 15 4 15 15 15 2 V dụ 13: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y  x 2  3x  2 , trụ hoà h trụ tu g và ườ g thẳ g x = 3 Bài giải 15
3 Ta có S   x 2  3x  2 dx 0 x  1 T giải phư g trì h x 2  3x  2  0   x  2 3 1 2 3 S   x 2  3x  2 dx   ( x 2  3x  2) dx   ( x 2  3x  2) dx   ( x 2  3x  2) dx 0 0 1 2 1 2 3 S   ( x 2  3x  2)dx   ( x 2  3x  2)dx   ( x 2  3x  2)dx 0 1 2 5 1 5 11     ( vdt 6 6 6 6 x2 V dụ 14: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y  , x 1 trụ hoà h và h i ườ g thẳ g x = - 4 , x = 0. Bài giải : 0 x2 Di t h S tì là S   4 x 1 dx x2 T giải phư g trì h  0  x  2 x 1 0 x2 2 x2 x2 0 2 x2 0 x2 S  4 x 1 dx  4 x  1 dx  2 x  1 dx  4 x  1 dx   x  1 dx  2 AB 2 x2 2  ( x  1)  3 2 3 2 Mà A 4 x  1 dx  4 x  1 dx  4(1  x  1)dx  ( x  3 ln x  1 )  4  (2  3 ln 3)  (4  3 ln 5)  3 ln 5  3 ln 3  2  3(ln 5  ln 3)  2 x2 x 1 3 0 0 0 3 0 B 2 x  1 2 x  1 dx  dx  2(1  x  1)dx  ( x  3 ln x  1 )  2  0  (2  3 ln 3)  2  3 ln 3 S  A  B  2  3(ln 5  ln 3)  2  3 ln 3  4  3 ln 5 Bài t p tƣơng t : 1. T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ườ gs u 2 a) y = x trụ hoà h và h i ườ g thẳ g x = -2 , x=1 b) y = -x2 + 2 , y = 0 và h i ườ g thẳ g x = - 1 ;x=1 c) y = ex y = 0 và h i ườ g thẳ g x = 0 , x = 2 d) y = x2 – 4 và trụ hoà h e) y = x2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3 f) y = x3 - 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1 g) y = x3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1 h) y = x3 – x2 – 4x + 4 , y =0 i) y = x4 – 5x2 + 4 , y = 0 trụ tu g và ườ g thẳ g x=2 2 .T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi ườ gs u a) y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e b) y = ln(2x + 1) , y = 0 , x = 0 , x = e c) y =2x , y =1 16
 d) y = sinx , y = 0 , x =  , x  2 2) Hình phẳng giới h n bởi 4 ƣờng trong ó có hai ƣờng y=f(x) và y=g(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g y y=f(x)  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a y=g(x)  x  b (a  b) b O a b x  S   f ( x)  g ( x) dx a Chú ý: 1. C phải x ị h hì h phẳ g với y ủ 4 ườ g hư trê rồi ới p dụ g ô g thứ di t h N u g(x = 0 bài to trở về d g 1 b 2.Vi t h t h phâ S   f ( x)  g ( x) dx sử dụ g ột tro g 3 h t h ở trê a Chú ý ở cách 2 khi d vào ồ thị ủ hà số y =f(x và y=g(x) trê o a ; b suy r dấu ủ f(x -g(x) ta có y=f(x)  N u trê o [ ; b] ồ thị hà số y = f(x ằ ph “trê ” ồ thị hà số y=g(x) thì f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b y=g(x) O a b x y=g(x)  N u trê o [ ; b] ồ thị hà số y = f(x ằ ph “dưới” ồ thị hà số y=g(x) thì f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b y=f(x) O a b x V dụ 1: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi 4 ườ g 17
 f ( x)  x 3  3x 2  x  3   g ( x)   x 3  4 x 2  x  4  x  0 x  2  Bài giải Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân 2 S   f ( x)  g ( x) dx 0 Hoà h ộ gi o i ủ h i ồ thị trê là ghi ủ phư g trì h f ( x)  g ( x)  x3  3x 2  x  3   x3  4 x 2  x  4  2 x3  x 2  2 x  1  0  x 2 (2 x  1)  (2 x  1)  0  1  x  2  0;2 2 x  1  0   (2 x  1)( x 2  1)  0   2   x  1  0;2 x 1  0  x  1  0;2   2 S   f ( x)  g ( x) dx 0 7 35 1 2   (2 x  1)( x  1)dx   (2 x  1)( x 2  1)dx 2   7 0 1 6 6 Chú ý: Đối với hì h phẳ g ho ở d g  y  f ( x)   y  f ( x)  y  g ( x) hoặ  hư ủ 4 ườ g thì t phải x ị h x  a  y  g ( x)  ườ g ò l i bằ g h giải phư g trì h hoà h ộ gi o i . Trong  y  f ( x) trườ g hợp t h di t h hì h phẳ g giới h bởi  à hi giải  y  g ( x) f ( x)  g ( x) ho hiều ghi thì ta tính tích tích phân với là ghi ượ lấy từ bé hất lớ hất  y  x 2  3x  2 V dụ 2: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h bới h i ườ g   y  x 1 Bài giải: Cách 1: Dù g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân Giải phư g trì h hoà h ộ gi o i tì ườ g ò thi u x 2  3x  2  x  1 x  1  x2  4 x  3  0   x  3 Suy r di t h ủ hì h phẳ g trê là 18
3 S   x 2  4 x  3 dx 1 4 4 3 x3 3   ( x  4 x  3)dx  (  2 x 2  3x) 2   1 3 1 3 3 Cách 2 D vào ồ thị T ó trê o [1;3] ồ thị hà số (C) y y=x-1 ằ trê ồ thị hà số y= x2 – 3 4 x+2 3 3 2 S   [x  1  ( x  3x  2)]dx 2 1 1 ( vdt 1 2 3 4 x 4 4 3 -3 -2 -1 O x 3  (  2 x 2  3 x)    -1 3 1 3 3 -2 d -3 Cách 3 : Dù g phư g ph p Xét dấu t thứ x2 - 4x + 3 ta có : -∞ 1 3 x ∞ 2 x – 4x + 3 + 0 - 0 + Do ó x – 4x 3 ≤ 0  x  [1 ; 3] 2 3 S   x 2  4 x  3 dx 1 4 4 3 x3 3 S    ( x 2  4 x  3)dx  (  2 x 2  3x)    1 3 1 3 3 V dụ 3: y Cho hì h phẳ g ở hì h bê (C) 4 a) Vi t phư g trì h ủ ườ g thẳ g d 3 b) T h di t h ủ hì h phẳ g ó bi t 2 rằ g ồ thị (C ó phư g trì h 1 x y = x3 – 3x + 2 . -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 d -2 -3 Bài giải a) Phư g trì h ủ ườ g thẳ g d ó d g y = x b. Vì ườ g thẳ g d i qu h i i (- 2;0) và (0;2) nên ta có : 0  2a  b a  1   2  2.0  b b  2 V y ườ g thẳ g d y = x 2 19
 y  x3  3x  2  y  x  2 b Từ ồ thị t ó hì h phẳ g ượ giới h bởi 4 ườ g   x  2  x  2 C h 1 Dù g ồ thị Phư g trì h hoà h ộ gi o i ủ ồ thị (C và ườ g thẳ g d là  x  0  [  2; 2] x3  3x  2  x  2  x3  4 x  0  x( x 2  4)  0    x  2 Di t h ủ hì h phẳ g trê là 0 2 S   [x  3x  2  ( x  2)]dx   [x+2-(x3  3x  2)]dx =8 3 2 0 Cách 2: Đư dấu gtt r goài dấu tích phân 2 2 S x  3x  2  ( x  2) dx  x  4 x dx 3 3 2 2 0 2 S  2 x3  4 x dx   x3  4 x dx 0 0 2 S  (x  4 x)dx   ( x 3  4 x)dx  4   4  8 ( vdt 3 2 0 V dụ 4: Cho hà số y = x3 – 3x 2 ó ồ thị (C . T h di t h ủ hình phẳ g giới h bởi ồ thị (C ) ườ g thẳ g x = 1 và ti p tuy  ủ ồ thị (C t i i ó hoà h ộ bằ g 2. Bài giải Trướ tiê t vi t phư g trì h ti p tuy t i (2;4 S u óx ị h hì h phẳ g t h di t h Tính tí h phâ sử dụ g phư g ph p ư dấu gtt r goài dấu tích phân + y = x3 – 3x + 2 Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4 y’ = 3x2 - 3; y’(2 = 12 – 3 = 9 Phư g trì h ti p tuy ủ (C t i i (2;4) là y= 9(x-2)+4 hay y = 9x -14 y  x 3 – 3x  2  y  9x  14 Hình phẳ g t h di t h ượ giới h bởi ườ g  x  1  x  2 + Giải phư g trì h hoà h ộ gi o i  x  4 (loai ) x3 – 3x + 2 = 9x - 14    x  2 (t / m) Di t h ủ hì h phẳ g tì là 2 2 2 7 S   x  3x  2  (9 x  14) dx   x  12 x  16 dx   ( x 3  12 x  16)dx  3 3 1 1 1 4 V dụ 5: T h di t h hì h phẳ g giới h bởi ồ thị hà số y = xl x, y = x và h i ườ g thẳ g x = 1, x = e 20