Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải bài toán về số phức

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm này được tác giả đi sâu vào các dạng toán về số phức cơ bản và nâng cao, đặc biệt là cách sử dụng MTCT để giải quyết các bài toán trắc nghiệm, khai thác cách giải quyết vận dụng trong dạng toán liên quan đến số phức. Nội dung được trình bày có tính sư phạm sáng tạo, tận dụng đầy đủ các thế mạnh của phương pháp giải toán, các bài tập được sắp xếp theo mức độ tăng dần... Hy vọng sẽ phù hợp các em học sinh phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải bài toán về số phức

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Số Phức là vấn đề lớn trong toán học hiện đại và được trình bày trong chương trình sách giáo khoa lớp 12. Tuy nhiên do thời lượng phân phối ít nên học sinh chỉ tiếp cận với nội dung căn bản mà chưa được mở rộng và khai thác một cách chuyên sâu, đặc biệt hơn nữa đây lại là phần chính trong các kỳ thi lớn của các em học sinh chuẩn bị thi để bước vào các trường đại học. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và đáp ứng cách thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong kì thi THPTQG, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp một số bài toán liên quan đến số phức Đề tài cung cấp cho học sinh một tài liệu chuyên sâu, bổ ích và thiết thực. Đề tài được viết dựa trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, khoa học phù hợp với sự thay đổi của Giáo dục. Trong bản sáng kiến kinh nghiệm này nội dung chính tác giả đi sâu vào các dạng toán về số phức cơ bản và nâng cao, đặc biệt là cách sử dụng MTCT để giải quyết các bài toán trắc nghiệm, khai thác cách giải quyết vận dụng trong dạng toán liên quan đến số phức. Nội dung được trình bày có tính sư phạm sáng tạo, tận dụng đầy đủ các thế mạnh của phương pháp giải toán, các bài tập được sắp xếp theo mức độ tăng dần... Hy vọng sẽ phù hợp các em học sinh phổ thông. 2. TÊN SÁNG KIẾN Đề tài được chọn là: “Phương pháp giải bài toán về số phức ”. 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Họ và tên: Nguyễn Thị Hồng Phương Địa chỉ: Trường THPT Trần Phú Số điện thoại: 0977.948.863. Email: nguyenthihongphuong.phttranphu@vinhphuc.edu.vn. 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Hồng Phương – Phó Hiệu trưởng trường THPT Trần Phú Thành phố Vĩnh Yên Tỉnh Vĩnh Phúc. 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 1
Luyện thi học sinh ôn thi THPT QG môn Toán lớp 12. 6. NGÀY BẮT ĐẦU ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tháng 3 năm 2018 áp dụng cho lớp 12 niên khóa 2015 – 2018 trường THPT Trần Phú. 7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Nội dung đề tài: Đề tài gồm hai chương CHƯƠNGI: CƠ SỞ LÝ LUẬN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Trong chương này. Tác giả trình bày lý thuyết cơ bản về số phức. Với cách phát biểu các tính chất để giúp giáo viên và học sinh có tư duy và hướng suy nghĩ để làm các bài tập vận dụng được vào các bài toán; Các ví dụ điển hình và phương pháp giải: Dạng 1: Các phép toán trên trường số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Trong chương này. Tác giả trình bày các sai lầm học sinh thường mắc phải và hướng khắc phục Các dạng bài toán trắc nghiệm khách quan có đáp án và các dạng bài tập tự luận có hướng dẫn Thông qua các bài tập được xây dựng và chọn lọc từ các đề thi thử THPTQG, với các hướng dẫn và cách trình bày chi tiết sẽ giúp giáo viên và học sinh có hướng tiếp cận với các dạng toán này trong các đề thi, có thể có những hướng giải tốt và giải được các bài toán loại này. 2
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Số phức là số có dạng z = a + bi(a, b R) , i là đơn vị ảo, tức là i 2 = −1 a gọi là phần thực của z, kí hiệu a = Re z . b gọi là phần ảo của z, kí hiệu b = imz . Tập hợp các số phức kí hiệu là C. 2. Các phép toán trên số phức: +) Cho z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i . +) z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i +) z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i +) z1.z2 = ( a1 + b1i ) . ( a2 + b2i ) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i 2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i z1 ( a1 + b1i ) ( a + b i ) ( a2 − b2i ) = a1a2 − b1b2 + (a2b1 − a1b2 )i +) = = 1 1 z2 ( a2 + b2i ) ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i ) a22 + b22 3. Mô đun của số phức, số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi . Khi đó : +) Đại lượng a 2 + b 2 gọi là môđun của z. Kí hiệu z = a 2 + b 2 +) Số phức z = a − bi gọi là số phức liên hợp của z. +) Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi Căn bậc hai của số phức z là số phức z1 = a1 + b1i thỏa mãn z12 = z II. Kiến thức mở rộng và nâng cao 1. Các tính chất �z � z +) ∀z1 , z2 �ﾣ : z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ; �1 �= 1 , ( z2 �0 ) �z2 � z2 2 +) z = z.z ; z = z ; z = 0 � z = 0 z1 z +) ∀z1 , z2 �ﾣ : z1.z2 = z1 . z2 ; = 1 , ( z2 �0 ) z2 z2 +) ∀z1 , z2 �ﾣ : z1 + z2 �z1 + z2 ; z1 − z2 �z1 − z2 3
2. Dạng lượng giác của số phức + Xét số phức dạng đại số: z = a + bi 2 � a b � Ta có z = a 2 + b � � 2 + 2 i � � � a +b a +b � 2 2 2 2 � a � � b � Nhận xét � �+ � �= 1 � 2 2 � � 2 2 � � a +b � � a +b � a b Đặt cosϕ = 2 ;sin ϕ = 2 ; a +b 2 a +b2 Khi đó z = a 2 + b (cosϕ +sinϕ )=r(cosϕ +isinϕ ) (*) r = z = a + b 2 2 ( 2 ) (*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z, ϕ gọi là một acgumen của z. Nhận xét: Nếu ϕ là một acgumen của z thì ϕ + k 2π cũng một acgumen của z. + Nhân và chia số phức dạng lượng giác. Cho z1 = r1 (cosϕ1 +isinϕ1 ); z 2 = r2 (cosϕ 2 +isinϕ 2 ) . Khi đó z1z 2 = r1r2 [cos(ϕ1 +ϕ2 )+isin(ϕ1 +ϕ2 )] z1 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ 2 )+isin(ϕ1 − ϕ2 )] z 2 r2 Đặc biệt với z = r (cosϕ +isinϕ ) z 2 = r 2 (cos2ϕ +isin2ϕ ) z 3 = r 3 (cos3ϕ +isin3ϕ )... z n = r n (cosnϕ +isinnϕ ) (**) (**) gọi là công thức moavơrơ. III. Các dạng bài tập và ví dụ điển hình 1. Dạng 1: Các phép toán trên trường số phức Ví dụ 1: (BT3 sgk trang 138) thực hiện phép tính: 2i ( 3 + i ) ( 2 + 4i ) Lời giải: 2i ( 3 + i ) ( 2 + 4i ) = ( 6i − 2 ) ( 2 + 4i ) = 12i − 24 − 4 − 8i = −28 + 4i Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay ( 570 ES plus II) 4
+ Mode 2 + Nhập biểu thức: 2i ( 3 + i ) ( 2 + 4i ) = kết quả: 28+4i Ví dụ 2. Cho z1 = 3 + i, z2 = 2 − i Tính z1 + z1 z2 Lời giải: z1 + z1z2 = 3 + i + ( 3 + i ) ( 2 − i ) = 10 = 10 + 0i � z1 + z1 z2 = 102 + 02 = 10 Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 2 + Nhập biểu thức:shift +hyp 3 + i + (3 + i)(2 − i ) = kết quả: 10 Ví dụ 3. (Bài 4.3 BT giải tích 12 nâng cao) tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 2+i −1 + 3i z= 1 − i 2+i −1 + 3i 1 − i 2 + 4i (2 + 4i )(3 − 4i ) 22 4 Lời giải: z = . = = = + i 2 + i 2 + i 3 + 4i 25 25 25 Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 2 −1 + 3i 1 − i 22 4 + Nhập biểu thức: . = kết quả: + i 2+i 2+i 25 25 Ví dụ 4. Tìm số phức z biết z + 2 z = ( 2 − i ) ( 1 − i ) (1) 3 Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ � z = a − bi (1) � a + bi + 2( a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 )(1 − i) � a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i )(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i) 13 3a = 13 a= 13 � 3a − bi = 11i − 11i + 2 − 2i = 13 + 9i � � 2 � � 3 � z = − 9i −b = 9 3 b = −9 Nhận xét: Các bài tập tìm z mà trong giả thiết có z , z, z n , n ﾣ * ... Ta giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ . Rồi xây dựng hệ 2 ẩn a,b và giải. Lúc này máy tính chỉ hỗ trợ các phép tính không chứa ẩn. Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết: z + 3 z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1) 3 Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ 5
(1) � a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i ) 15 � 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 � a = ; b = −10 . 4 Vậy phần ảo của z bằng 10 2(1 + 2i ) Ví dụ 6. (D2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i ) z + = 7 + 8i (1) . Tìm 1+ i môđun của số phức ω = z + 1 + i 2(1 + 2i) Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ . (1) � (2 + i)( a + bi) + = 7 + 8i 1+ i 2(1 + 2i )(1 − i ) � 2a + 2bi + ai + bi 2 + = 7 + 8i 1 + i2 �2a − b + 3 = 7 �a=3 � 2a + 2bi + ai − bi + 1 − i + 2i − 2i 2 = 7 + 8i � � �� 2b + a + 1 = 8 b=2 � Do đó ω = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i � ω = 16 + 9 = 5 . Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 2 � �2(1 + 2i ) � � 7 + 8i − � + Nhập biểu thức tìm z: � �:(2 + i ) = kết quả: 3 + 2i � � � 1+ i � � + Nhập biểu thức tìm modun w: shift +abs 3 + 2i + 1 + i = kết quả: 5 2 Ví dụ 7. (A2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = z + z (1) Lời giải: Giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ (1) � ( a + bi 2 ) = a 2 + b 2 + a − bi � a 2 + b 2i 2 + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi 1 1 a = − ;b = 2 2 2b 2 + a = 0 � 2b + a − bi − 2abi = 0 � � b = 0; a = 0 2 b + 2ab = 0 −1 −1 a = ;b = 2 2 −1 1 −1 1 Vậy z = 0; z = + i; z = − i 2 2 2 2 Ví dụ 8. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa mãn z 3 = 18 + 26i 6
x 3 − 3 xy 2 = 18 Lời giải: Ta có ( x + iy )3 = 18 + 26i 3 x 2 y − y 3 = 26 � 18(3 x 2 y − y 3 ) = 26( x 3 − 3 xy 2 ) 1 Giải phương trình bằng cách đặt y = tx ta được t = � x = 3, y = 1 . Vậy z=3+i. 3 2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức Xét phương trình az 2 + bz + c = 0( a, b, c ι C ; a 0) Cách giải Tính ∆ = b 2 − 4ac −b − k −b + k Gọi k là căn bậc hai của ∆ , nghiệm của phương trình là: z = ,z= 2a 2a Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính ∆ ' −b '− k ' −b '+ k ' Gọi k ' là căn bậc hai của ∆ ' , nghiệm của phương trình là: z = ,z= a a Chú ý: Cách tìm căn bậc hai của số phức (Dành cho chương trình SGK nâng cao 12) Ví dụ 9: (ví dụ SGK giải tích 12 cơ bản trang 140) Giải phương trình sau trên tập số phức : z 2 + z + 1 = 0 Lời giải: ∆ ' = 12 − 4 = −3 = 3i 2 các căn bậc hai của ∆ ' là i 3 −1 + 3i −1 − 3i Vậy nghiệm của phương trình là: z1 = , z2 = 2 2 Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai ) −1 + 3i −1 − 3i + Nhập a=1, b=1,c=1 kết quả: z1 = , z2 = 2 2 Ví dụ 10. Cho phương trình trên trường số phức: z 2 + 4 z + 7 = 0 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình tìm: w=2z1 + z2 Lời giải: ∆ ' = 22 − 7 = −3 = 3i 2 các căn bậc hai của ∆ ' là i 3 . Nghiệm của phương trình là: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i . Vậy w là: w = 2(−2 + 3i ) + ( −2 − 3i) = −6 + 3i Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai ) 7
+ Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i + Tìm w Mode 2 Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i) + (−2 − 3i) = kết quả: w − 6 + 3i Ví dụ 11. (Chương trình nâng cao) Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i Lời giải: Giả sử a+bi (a; b R) là căn bậc hai của z Ta có: (a + bi )2 = 5 + 12i � a 2 + 2abi + b 2i 2 = 5 + 12i � a 2 + 2abi − b 2 = 5 + 12i a 2 − b 2 = 5(1) a2 − b2 = 5 �� 6 . Thay (2) vào (1) ta có: 2ab = 12 a = (2) b 2 �6 � 2 � �− b = 5 � 36 − b = 5b 4 2 �b � � b 4 + 5b 2 − 36 = 0 � b 2 = 4; b 2 = −9(loai ) b=2�a =3 . Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và 32i b = −2 � a = −3 Ví dụ 12: (Chương trình nâng cao) Tìm các căn bậc hai của số phức z = −164 + 48 5i Lời giải: Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z Ta có: (m + ni ) 2 = −164 + 48 5i � m2 + 2mni − n 2 = −164 + 48 5i m 2 − n 2 = −164(1) �m − n = −164 2 2 � �� 24 5 Thay (2) vào (1) ta có: 2mn = 48 5 n= (2) m 24 5 2 m2 − ( ) = −164 � m 4 + 164m 2 − 2880 = 0 � m 2 = 16; m 2 = −180(loai ) m m=4�n=6 5 . Vậy z có hai căn bậc hai là 4 + 6 5i, − 4 − 6 5i n = −4 � m = −6 5 Ví dụ 13 (chương trình nâng cao) Giải phương trình: z 2 − (3i + 8) z + 11i + 13 = 0 Lời giải: ∆ = (3i + 8) 2 − 4(11i + 13) = 4i + 3 . Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của ∆ . Ta có: (m + ni) 2 = 5 + 12i � m 2 + 2mni + n 2i 2 = 3 + 4i � m 2 + 2mni − n 2 = 3 + 4i 8
m 2 − n 2 = 3(1) m2 − n2 = 3 �� 2 . Thay (2) vào (1) ta có: 2mn = 4 n = (2) m 2 �2 � m2 = 4 m = 2 � n =1 m − � �= 3 � m − 3m − 4 = 0 � 2 2 4 2 �m � m = −1(loai) m = −2 � n = −1 Vậy ∆ có hai căn bậc hai là 2+i và 2i. Do đó nghiệm của phương trình là 3i + 8 + i + 2 z= = 2i + 5 2 3i + 8 − i − 2 z= =i +3 2 Ví dụ 14. giải phương trình: z 3 + 4 z 2 + (4 + i) z + 3 + 3i = 0 (1) Lời giải: Dễ thấy z = i là nghiệm của (1) nên (1) � ( z + i)( z 2 + (4 − i) z + 3 − 3i) = 0 z+i = 0 z 2 + (4 − i) z + 3 − 3i = 0(2) Giải (2): ∆ = (4 − i ) 2 − 12 + 12i = 16 − 1 − 8i − 12 + 12i = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + i 2 = (2 + i) 2 Vậy ∆ có hai căn bậc hai là: 2+i và 2i. Do đó nghiệm của (2) là −4 + i + 2 + i z= = −1 + i 2 . Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, 3, 1+i. −4 + i − 2 − i − 2 z= = −3 2 Ví dụ 15. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 ( 1 + i ) z 2 − 4 ( 2 − i ) z − 5 − 3i = 0 . Tính z1 + z2 . 2 2 Lời giải: Ta có ∆ ' = 4 ( 2 − i ) + 2 ( 1 + i ) ( 5 + 3i ) = 16 . Vậy phương trình có hai 2 3 5 2 12 1 nghiệm phức z1 = − i, z2 = − − i . Do đó z1 + z2 = 9 . 2 2 2 2 3. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và b. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. Ví dụ 16. ( Bài 16b sgk giải tích 12 cơ bản trang 148) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức z −i 1 1 a 2 + ( b − 1) �1 2 Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b R) , khi đó a + bi − i �� Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm tại (0;1), bán kính 1 9
z + 2 + 3i Ví dụ 17. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u = là một z −i số thuần ảo. Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b R) , khi đó a + 2 + bi + 3i (a + 2 + (b + 3)i )(a − (b − 1)i ) u= = a + (b − 1)i a 2 + (b − 1) 2 Tử số bằng a 2 + b 2 + 2a + 2b − 3 + 2(2a − b + 1)i u là số thuần ảo khi và chỉ khi �a 2 + b 2 + 2a + 2b − 3 = 0 �(a + 1) 2 + (b + 1) 2 = 5 � � . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn �2a − b + 1 0 �( a ; b ) (0;1), ( −2; −3) số phức z là đường tròn tâm I (−1; −1) , bán kính là bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (2;3). Ví dụ 18. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z + 2 − 3i = 1(*) z −4+i Lời giải: Giả sử z = a + bi . (*) � a + 2 + (b − 3)i = x − 4 − (b − 1)i � (a + 2)2 + (b − 3) 2 = (a − 4) 2 + (b − 1) 2 � 3a − b − 1 = 0 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x y1=0. 4. Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng Ví dụ 19. Viết số phức sau dạng lương giác: z = 3 − i �3 i � � π π � � −π −π � Lời giải: z = 2 � − �= 2 �cos − sin .i �= 2 �cos − i sin � 2 2 � 6 6� � 6 6� � � � π π� Ví dụ 20. Tìm acgumen của số phức: z = 2 � sin − icos � � 5 5� Lời giải � π π π π � � 3π 3π � � −3π −3π � z = 2�cos( − ) − i sin( − ) �= 2 � cos − i sin �= 2 � cos( ) + i sin( )� � 2 5 2 5 � � 10 10 � � 10 10 � 10
−3π acgumen của z là + k 2π 10 Ví dụ 21. Cho z = 2 + 2i . Tìm dạng đại số của z 2012 �2 2 � �1 1 � � π π� Lời giải: z = 2 2 � + i �= 2 2 � + i �= 2 2 � cos + i sin � �2 2 2 2 � �2 2 � � 4 4� Áp dụng công thức moavơrơ ta có: 2012π 2012π z 2012 = (2 2) 2012 .(cos + i sin ) = (2 2) 2012 .(−1 + i.0) = −(2 2) 2012 4 4 Ví dụ 22. (B2012) Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 3iz − 4 = 0 , Viết dạng lượng giác của z1 ; z2 . Lời giải: z 2 − 2 3i.z − 4 = 0 , ∆ = 3i 2 + 4 = 4 − 3 = 1 , z1 = 3i − 1; z2 = 3i + 1 �−1 3 � � 2π 2π � �1 3 � � π π� z1 = 2 � + i �= 2 � cos + isin ; �2z = 2 � + i �= 2 � cos + isin � �2 2 � � 3 3 � �2 2 � � 3 3� CHƯƠNG II: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC I. Những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục 1. Học sinh không học các kiến thức cơ bản mà chỉ phụ thuộc vào máy tính cầm tay. Nên các bài toán số phức có lũy thừa lơn hơn bậc 3 hoặc các phép toán khai căn bậc 2... máy tính không làm được vì vậy dẫn đến việc lúng túng trong định hướng giải. Ví dụ1: Cho phương trình trên trường số phức: z 2 + 4 z + 7 = 0 12 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình tìm: w=2z1 + ( z2 ) Lời giải Hướng dẫn HS: Làm bằng máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode 5 1 ( Chọn chức năng giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i + Tìm w Mode 2 Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i ) + (−2 − 3i)12 = máy tính không cho kết quả 11
Khắc phục: Nhập biểu thức: w = 2(−2 + 3i) + ( −2 − 3i) 3 ( −2 − 3i)3 ( −2 − 3i) 3 = 2. Học sinh nhầm kí hiệu modul thành trị tuyệt đối nên không định hướng giải được Ví dụ2: Trên trường số phức tìm x để: | x+2i| = |5| x + 2i = 5 � x = 5 − 2i � Lời giải: � � x + 2i = −5 � x = −5 − 2i � Vậy x=52i, x=52i Khắc phục: Lời giải trên tưởng đúng nhưng là sai do học sinh nhầm kí hiệu Lời giải đúng: x + 2i = 5 � x 2 + 4 = 25 � x 2 = 21 � x = � 21 Vậy x = 21 3. Học sinh nhầm lẫn giữa khái niệm đường tròn và hình tròn khi kết luận bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức Phân tích Ví dụ 17.( Bài 16b sgk giải tích 12 cơ bản trang 148). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức z − i 1 1 a 2 + ( b − 1) �1 2 Lời giải: Giả sử z = a + ib ( a, b R) , khi đó a + bi − i �� Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm tại (0;1), bán kính 1( là kết luận sai) Kết luận đúng: Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm tại (0;1), bán kính 1. II. Bài tập trắc nghiệm và tự luận 1. Bài tập trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm dạng 1: 12
3 − 4i Câu1. Số phức z = bằng: 4− i 16 13 16 11 9 4 9 23 A. − i B. − i C. − i D. − i 17 17 15 15 5 5 25 25 3 + 2i 1 − i Câu 2. Thu gọn số phức z = + ta được: 1 − i 3 + 2i 21 61 23 63 15 55 2 6 A. z = + i B. z = + i C. z = + i D. z = + i 26 26 26 26 26 26 13 13 Câu 3. Cho số phức z = − 1 + 3 i số phức ( z )2 bằng: 2 2 1 3 1 3 A. − − i B. − + i C. 1 + 3i D. 3 − i 2 2 2 2 Câu 4. Cho số phức z = z = − 1 + 3 i số phức 1 + z + z2 bằng: 2 2 1 3 A. − + i . B. 2 − 3i C. 1 D. 0 2 2 1 Câu 5. Cho số phức z = a + bi . Khi đó số phức z + z là: 2 ( ) A. Một số thực B. 2 C. một số thuần thực D. i Câu 6. Phần thực của số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z là: 2 A. −6 . B. −3 . C. 2 . D. −1 . Câu 7. Mô đun của số phức z = 5 + 2i − ( 1 + i ) là: 3 A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . 2 Câu 8. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z 2 = z + z : A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Câu 9. Cho hai số phức z1 = 3 + i, z2 = 2 − i . Giá trị của biểu thức z1 + z1 z2 là: A. 0 . B. 10 . C. −10 . D. 100 . Câu 10. Phần ảo của số phức z thỏa mãn z + 2 z = ( 2 − i ) ( 1 − i ) là: 3 A. 13 . B. −13 . C. −9 . D. 9 . Câu 11. Cho hai số phức thỏa z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i . Giá trị của biểu thức z1 + 3 z2 là: A. 5 . B. 6 . C. 61 . D. 55 . Câu 12. Số phức z thỏa mãn phương trình z + 3z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) là: 2 11 19 A. z = − i. B. z = 11 − 19i . 2 2 13
11 19 C. z = + i. D. z = 11 + 19i . 2 2 Câu 13. Phần ảo của số phức z thỏa phương trình z + 3z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) là: 3 15 15 A. 10 . B. −10 . C. . D. − . 4 4 5( z + i ) Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn = 2 − i .Môđun của số phức ω = 1 + z + z 2 là: z +1 A. 4 . B. 9 . C. 13 . D. 13 . 2(1 + 2i ) Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i ) z + = 7 + 8i . Mô đun của số phức 1+ i ω = z + 1 + i là: A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 8 . Câu 16. Môđun của số phức z thỏa mãn phương trình (2 z − 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i là: 2 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Câu 17. Cho ( x + 2i) 2 = 3x + yi; x, y R Giá trị của x và y bằng: A. x = 1 và y = 2 hoặc x = 2 và y = 4 B. x = -1 vµ y = -4 hoÆc x = 4 vµ y = 16 C. x = 2 vµ y = 5 hoÆc x = 3 vµ y = -4 D. x = 6 vµ y = 1 hoÆc x = 0 vµ y = 4 Câu 18. Trong C, ph¬ng tr×nh iz + 2 i = 0 cã nghiÖm lµ: A. z = 1 2i B. z = 2 + i C. z = 1 + 2i D. z = 4 3i Câu 19. Trong C , ph¬ng tr×nh (2 + 3i)z = z - 1 cã nghiÖm lµ: 7 9 1 3 A. z = + i B. z = − + i 10 10 10 10 2 3 6 2 C. z = + i D. z = − i 5 5 5 5 Câu 20. Trong C , ph¬ng tr×nh (2 - i) z - 4 = 0 cã nghiÖm lµ: 8 4 4 8 A. z = − i B. z = − i 5 5 5 5 2 3 7 3 C. z = + i D. z = − i 5 5 5 5 Bài tập trắc nghiệm dạng 2 Câu 21. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4 z + 7 = 0 . Khi đó 2 2 z1 + z2 bằng: 14
A. 10 . B.7. C. 14 . D. 21 . Câu 22. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá 2 2 trị của biểu thức A = z1 + z2 A. 10 . B. 15 . C. 20 . D. 25 Câu 23. Trong C, phương trình z 2 + 4 = 0 có nghiệm là: z = 2i z = 1 + 2i z = 1+ i z = 5 + 2i A. B. C. D. z = −2i z = 1 − 2i z = 3 − 2i z = 3 − 5i 4 Câu 24. Trong C, phương trình = 1 − i có nghiệm là: z+1 A. z = 2 i B. z = 3 + 2i C. z = 5 3i D. z = 1 + 2i Câu 25. Trong C, phương trình z + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là: 2 z= i z = 3i z = 1+ i z = 2 − 3i A. B. C. D. z = −4i z = 4i z = −3i z = 1+ i Câu 26. Trong C, phương trình z2 z + 1 = 0 có nghiệm là: 2 + 3i 1 + 3i 1 + 5i z= z= z= 2 2 2 z = 3 + 5i A. B. C. D. 2 − 3i 1 − 3i 1 − 5i z = 3 − 5i z= z= z= 2 2 2 Câu 27. Trong C, phương trình z2 + (1 3i)z 2(1 + i) = 0 có nghiệm là: z = 3i z = 5 + 3i z = 2i z= i A. B. C. D. z = −2 + i z = 2− i z = −1 + i z = −2 + 5i Câu 28. Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 i và tích của chúng bằng 5(1 i). Đáp số của bài toán là: z = 3+ i z = 3 + 2i z = 3+ i z = 1+ i A. B. C. D. z = 1 − 2i z = 5 − 2i z = 1 − 2i z = 2 − 3i Câu 29. Trong C, phương trình ( z2 + i ) ( z2 − 2iz − 1) = 0 có nghiệm là: 2 ( 1− i ) 2 A. ( −1 + i ) , i , B. 1 i ; 1 + i ; 2i 2 2 3 3 C. ( 1 − 2i ) ; ( −2 + i ) ; 4i D. 1 2i ; 15i ; 3i 2 2 Câu 30. Trong C, phương trình z4 6z2 + 25 = 0 có nghiệm là: A. ±3 ± 4i B. ±5 ± 2i C. ±8 ± 5i D. ±2 ± i 1 Câu 31. Trong C, phương trình z + = 2i có nghiệm là: z A. ( 1 2 ) i B. ( 5 ) C. ( 1 3 ) i 2 i D. ( 2 ) 5 i Câu 32. Trong C, phương trình z3 + 1 = 0 có nghiệm là: 1 i 3 2 i 3 1 i 5 5 i 3 A. 1 ; B. 1; C. 1; D. 1; 2 2 4 4 Câu 33. Trong C, phương trình z4 + 4 = 0 có nghệm là: 15
A. ± ( 1 − i ) ; ( 1 + i ) B. ( 1 − 2i ) ; ( 1 + 2i ) C. ( 1 − 3i ) ; ( 1 + 3i ) D. ( 1 − 4i ) ; ( 1 + 4i ) Câu 34. Cho phương trình z + bz + c = 0. Nếu phương trình nhận z = 1 + i làm 2 một nghiệm thì b, c là: A. b = 3, c = 5 B. b = 1, c = 3 C. b = 4, c = 3 D. b = 2, c = 2 Câu 35. Cho phương trình z + az + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai 3 nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng: a = −4 a= 2 a= 4 a= 0 A. b = 6 B. b = 1 C. b = 5 D. b = −1 c = −4 c= 4 c=1 c=2 Bài tập trắc nghiệm dạng 3 Câu 36. Cho số phức z thỏa z − 1 + i = 2 . Chọn phát biểu đúng: A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol. C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2 . D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4 . Câu 37. Cho số phức z thỏa 2 + z = 1 − i . Chọn phát biểu đúng: A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol. C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip Câu 38. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = 1 là: A. Một đường thẳng B. Một đường tròn . C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuông Câu 39. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i = 4 là: A. Một đường thẳng B. Một đường tròn . C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuông Câu 40. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z2 là số thuần thực là A. Trục hoành (trừ gốc tọa độ O) B. trục tung (trừ gốc tọa độ O) C. Đường thẳn y = x (trừ gốc tọa độ O) D. Đường thẳn y = x (trừ gốc tọa độ O) 2. Bài tập tự luận Bài tập tự luận dạng 1 Bài 1. Thức hiện phép tính: 16
a. (3i + 4) [ (−3 + 2i) − (4 − 7i) ] b. ( 7 − 5i ) ( 1 + i ) − ( 3i + 2i ) 5 − 7i c. ( 3 + 4i ) ( 5 − 7i ) d. ( −3 + 4i ) + 2 6 + 5i Bài 2. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 3 − 2i a. z1 = (2i − 1) 2 − 3i (i + 1) + 2i 3 b. z2 = − 3i i+2 Bài 3. Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = ( 2 + i) 2 (1 2 i) . Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i)z + (4 + i) z = −(1 + 3i) 2 . Xác định phần thực và phần ảo của z. Bài 5. Tính mô đun của các số phưc sau: z1 = (2 + 3i ) + (−3 + 4i ); z2 = (3 − 2i) 3 ; z3 = (2i − 1) 2 − (3 + i ) 2 (1 − 3i)3 Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn: z = . Tìm môđun của z + iz . 1− i Bài 7. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = 9 + 14i 5( z + i ) Bài 8. (A2012) Cho số phức z thỏa mãn = 2 − i (1) . Tính môđun của số phức z +1 ω = 1 + z + z2 Bài tập tự luận dạng 2: Bài 9. Giải các phương trình sau: 1. z 2 − 7 z + 11 + i = 0 2. z 2 + 2(1 − 2i ) z − (7 + 4i) = 0 Bài 10. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 − z 3 − 2 z 2 + 6 z − 4 = 0 trên 1 1 1 1 tập số phức tính tổng: S = + + + . z12 z22 z32 z42 z2 Bài 11. Giải phương trình sau trên tập số phức C: z 4 − z 3 + + z + 1 = 0 (1) 2 Bài tập tự luận dạng 3 Bài 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn: z a. 2 + z = i − z b. =3 z −i z −i c. z = z − 3 + 4i d. =1 z +i 17
e. | z − i | = | (1 + i)z | f. | z − (3 − 4i) | = 2 Bài 13. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + 2 biết số phức z thỏa mãn: z − 1 2 (1) . Bài tập tự luận dạng 4 Bài 14. Tìm acgumen của z = 2 3 − 2i . Bài 15.Biết z = 1 − i 3 . Tìm dạng đại số của z 2012 Bài 16. Cho z1 = 1 − i ; z2 = 2 3 + 2i . Tìm dạng đại số của z 20 .z15 � π π� Bài 17.Tìm acgumen của z = 2 � sin − icos � � 7 7� � π π� Bài 18.Tìm acgumen của z = −3 � sin + icos � � 5 5� Bài 19 Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 22i III. Hướng dẫn giải 1. Bài tập trắc nghiệm 1A 2C 3B 4D 5A 6C 7A 8C 9B 10C 11C 12A 13B 14D 15C 16A 17B 18C 19B 20A 21D 22C 23A 24D 25A 26B 27C 28C 29A 30D 31A 32A 33A 34D 35A 36D 37A 38B 39B 40B 2. Bài tập tự luận Bài 1. Thức hiện phép tính: a. (3i + 4) [ (−3 + 2i) − (4 − 7i) ] = −55 + 15i b. ( 7 − 5i ) ( 1 + i ) − ( 3i + 2i ) = 12 − 3i 5 − 7i −188 177 c. ( 3 + 4i ) ( 5 − 7i ) = 133 + 169i d. ( −3 + 4i ) + 2 = + i 6 + 5i 61 61 Bài 2. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 3 − 2i 4 22 a. z1 = (2i − 1) 2 − 3i(i + 1) + 2i 3 = −9i b. z2 = − 3i = − i i+2 5 5 Bài 3. Phần ảo của số phức z là − 2 . Bài 4. Giả sử z = a + bi ( a, b �� R) z = a − bi Thay vào giả thiết ta giải được a=2; b=5 Vậy phần thực là của z là 2; phần ảo của z là 5 Bài 5. Hướng dẫn 18
z1 = −1 + 7i = 5 2 z3 = −11 − 10i = 221 Bài 6. Tìm z = −4 − 4i � z = −4 + 4i Tìm môđun của z + iz = −8 − 8i = 8 2 . Bài 7. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = 9 + 14i Hưỡng dẫn: Sử dụng khái niệm hai số phức bằng nhau 172 −3 x = 61 ; y = 61 5( z + i ) Bài 8. (A2012) Cho số phức z thỏa mãn = 2 − i (1) . Tính môđun của số phức z +1 ω = 1+ z + z2 . Lời giải: 5(a − bi + i ) Giả sử z = a + bi, ∀a, b ﾣ . (1) � = 2−i a + bi + 1 � 5a − 5i (b − 1) = 2a + 2bi + 2 − ai − bi 2 − i � 3a − 2 − b − i(5b − 5 − 2b + a + 1) = 0 3a − 2 − b = 0 � � a =1 � � �� z = 1 + i . 3b + a − 4 = 0 � � b =1 ω = 1 + 1 + i + 1 + 2i − 1 = 2 + 3i � ω = 4 + 9 = 13 Bài tập tự luận dạng 2: Bài 9. Giải các phương trình sau: 1. z 2 − 7 z + 11 + i = 0 2. z 2 + 2(1 − 2i ) z − (7 + 4i) = 0 3. z 2 − 2(2 − i) z + 6 − 8i = 0 4. z 2 − (2 + i ) z + i + 1 = 0 5. z 3 − (2 + i) z 2 + (2 + 2i ) z − 2i = 0 Bài 10. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 − z 3 − 2 z 2 + 6 z − 4 = 0 trên 1 1 1 1 tập số phức tính tổng: S = + + + . z12 z22 z32 z42 Lời giải PT: z 4 − z 3 − 2 z 2 + 6 z − 4 = 0 � ( z − 1) ( z + 2 ) ( z − 2 z + 2 ) = 0 (1) 2 19
z1 = 1 z2 = −2 Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) là z3 = 1 + i z4 = 1 − i 1 1 1 1 1 1 1 5 Thay và biểu thức ta có: S = z 2 + z 2 + z 2 + z 2 = 1 + 4 + 1 − i 2 + 1 + i 2 = 4 1 2 3 4 ( ) ( ) z2 Bài 11. Giải phương trình sau trên tập số phức C: z 4 − z 3 + + z + 1 = 0 (1) 2 Lời giải: Nhận xét z = 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0 1 1 1 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( z 2 ) (z ) 0 (2). Đặt t = z − Khi đó z2 z 2 z 1 1 5 t2 z2 2 z2 t2 2 . Phương trình (2) có dạng : t 2 − t + = 0 (3) z2 z2 2 5 1 + 3i 1 − 3i 1 + 3i 1 4. 9 9i 2 . Vậy PT (3) có 2 nghiệm t = , t = . Với t = ta có 2 2 2 2 1 1 3i z 2z 2 (1 3i ) z 2 0 (4). Có (1 3i ) 2 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i ) 2 z 2 (1 + 3i ) + (3 + i) (1 + 3i) − (3 + i ) i − 1 Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z = = 1 + i , z = = . 4 4 2 i −1 −i − 1 Do đó PT đã cho có 4 nghiệm: z=1+i; z=1i ; z = ; z = 2 2 Bài tập tự luận dạng 3 Bài 12. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn: z a. 2 + z = i − z b. =3 z −i z −i c. z = z − 3 + 4i d. =1 z +i e. | z − i | = | (1 + i)z | f. | z − (3 − 4i) | = 2 Bài 13. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + 2 biết số phức z thỏa mãn: z − 1 2 (1) . 20