intTypePromotion=1
ADSENSE

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

Chia sẻ: Nguyễn Biên | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

244
lượt xem
34
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THPT "Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất" được nghiên cứu với các nội dung: Kiến thức cơ bản về số phức, một số kiến thức áp dụng, tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp, các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

  1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ  TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM    MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ  PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. Người thực hiện: Nguyễn Lạnh Đông Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán                                         1
  2. BỐ CỤC ĐỀ TÀI     A. Đặt vấn đề I. Lời nói đầu. II. Thực trạng của vấn đề nghiên  cứu.   B. Giải quyết vấn đề I. Kiến thức cơ bản về số phức. II.Một số kiến thức áp dụng. 1. Bất đẳng thức: Bun­nhi­a­cốp­xki với 4 số thực  2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai. 3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên. 4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn. 5. Tính chất của hàm số lượng giác. III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp. 1.Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0. 2.Phương trình đường tròn:  x a 2 y b 2 R2 . x2 y2 3.Phương trình đường Elíp:  2 1. a b2 IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. 2
  3. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (5 cách  giải)                                   Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng(4cách  giải) Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp (3 cách  giải) A.ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI NÓI ĐẦU Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên  thế  giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở  Việt   Nam, và thực sự gây không ít  khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế.   Bên cạnh đó các bài toán về  số  phức trong những năm gần đây không thể  thiếu trong các đề  thi tốt nghiệp trung học phổ thông và Đại học, Cao đẳng.  Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn   số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm   được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần  ảo, môđun của số phức,   các phép toán về  số  phức kết hợp với kiến thức  về  phương  trình đường   thẳng,   đường   tròn,   đường   Elíp,...   thì   các   em   sẽ   giải   quyết   tốt   bài   toán  trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản  của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về  bất đẳng thức, đạo hàm,   lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài toán  “Tìm   số   phức   có   môđun   lớn   nhất,   nhỏ   nhất   thoả   mãn   điều   kiện   cho   trước”. Trên cơ  sở   ấy các em có thể  phát huy được sức sáng tạo và tư  duy  logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở  tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để  tác động tới từng đối tượng   3
  4. học sinh, và tìm mọi cách để  xoá bỏ  việc tiếp thu kiến thức một cách thụ  động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính   vì vậy mà tôi chọn đề  tài “Một số  phương pháp giải bài toán tím số  phức   có môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm.  II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng: Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học   phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít   tài liệu về  số  phức để  học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng   bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều  hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học  sinh gặp không ít những khó khăn. Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt   phẳng biểu diễn số phức z  và bài toán tìm số  phức z có môđun lớn nhất,   nhỏ nhất có quan hệ mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội   dung này tôi nhận thấy vẫn còn một số  học sinh chưa giải quyết được bài  toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số  phức mặc dù tập hợp các điểm cần   tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol,  đường Parabol,...Nhiều học sinh  lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài  toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât. Để  làm tốt được bài toán này   trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó  áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong   mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, ...để  tù đó tìm ra được môđun số  phức lớn nhất, nhỏ nhất. 4
  5. 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng:   Kết quả  bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số  phức thông thường là:   đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol,.. nên  khi giảng dạy cho học sinh bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất  nếu giáo viên biết khai thác kết hợp với kiến thức về bất đẳng thưc, đạo hàm,  lượng giác, hình học giải tich trong mặt phẳng,..thì sẽ tạo ra được nhiều cách  giải khác nhau cho một bài toán. Cụ thể trong đề tài này tôi đã hướng dẫn học  sinh tư duy giải quyết bài toán trên theo nhiều cách giải khác nhau:  Tập hợp  các điểm biểu diễn số  phức z là đường tròn sẽ  có 5 cách giải; tập hợp các   điểm biểu diễn z là đường thẳng có 4 cách giải; tập hợp các điểm bểu diễn   số phức z là Elíp có 3 cách giải. B.   GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Kiến thức cơ bản về số phức: 1. Một số phức là một biểu thức có dạng  x yi , trong đó x, y là các số  thực   và số i thoả  mãn  i 1 1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết  z x yi  . i được gọi là đơn vị ảo x được gọi là phần thực.  y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi  Tập hợp các số phức ký hiệu là C. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i. x x' z = z’    y y' 3. Biểu diễn hình học của số phức. 5
  6. Mỗi số  phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ  độ  Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:   zz ' = aa '−bb '+( ab '−a ' b)i 6. Số phức liên hợp.  Cho số phức z = a + bi. Số phức  z  = a – bi gọi là số phức liên hợp với  số phức trên. Vậy  z  =  a + bi = a ­ bi  *) Tính chất của số phức liên hợp: (1):  z = z (2):  z + z ' = z + z ' (3):  z.z ' = z.z ' (4): z. z =  a 2 + b2 (z = a + bi )  7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu  z  là môđun của số phư z, đó là số  thực không âm được xác định như sau: uuuuuv ­ Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì  z  =  OM = a 2 + b 2 ­ Nếu z = a + bi, thì  z  =  z.z = a 2 + b 2 8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi  ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo  z­1 của số phức z ≠ 0 là số 6
  7. 1 1 z­1=  a 2 + b2 z = z 2 z z' Thương  của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: z z' z '.z = z.z −1 = 2 z z Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số  phức nói trên nó cũng có đầy  đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia   số thực thông thường. II.Một số kiến thức áp dụng. 1. Bất đẳng thức: Bun­nhi­a­cốp­xki với 4 số thực  Với 4 số thực a, b, c, d ta có:  ab cd 2 a2 c2 b2 d2 Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc 2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn. 5. Tính chất của hàm số lượng giác III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp. 1. Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0. 2. Phương trình đường tròn:  x a 2 y b 2 R2 . x2 y2 3. Phương trình đường Elíp:  1. a2 b2 IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm số  phức z có môđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều   kiện cho trước. 7
  8. Phương pháp chung:  Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số  phức z thoả  mãn điều   kiện. Bước 2.Tìm số  phức z tương  ứng với điểm biểu diễn M  (G )  sao cho  khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất). Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  ( 5 cách giải) Ví dụ  1: Trong các số  phức z thoả  mãn điều kiên sau .Tìm số  phức z có   môđun lớn nhất, nhỏ nhất. 1.  z − 2 − 4i = 5 2. z 2 2i 1 z 2 i z 3 5i 3. 2 4. 2 z 1 i z 1 3i Lời giải Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó: z − 2 − 4i = 5 � ( x − 2) + ( y − 4)i = 5 � ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 � ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 (1) Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số  phức z là đường tròn tâm I(2;4),  bán kính  R = 5 z = OM 2 = x 2 + y 2 = ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 + 4 x + 8 y − 20 = 4 x + 8 y − 15 = 4 [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 (2) 2 Áp dụng Bất  đẳng thức Bu­nhi­a­cốp­xki ta có: ( x − 2) + 2( y − 4) � (12 + 22 ) � �= 5 � −5 �( x − 2) + 4( y − 4) �5   (3) ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 � � Từ (2), (3) ta suy ra:          5 z 3 5    .Vậy: 8
  9. x =1 z min = 5 �� z = 1 + 2i y=2 x=3 z max = 3 5 �� z = 3 + 6i y=6 Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2) Đặt  t x2 y 2 . Do  x 2 2 y 4 2 5 x2 y 2 15 4( x 2 y ) Ta có  x 2 y 5 x2 y2 5.t ,  Suy ra  t 2 15 4 5t 5 t 3 5 x =1 z min = 5 �� z = 1 + 2i y=2 Vậy  x=3 z max = 3 5 �� z = 3 + 6i y=6 Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa) Đặt  x 2 5 sin t , y 4 5 cos t   2 2 Tacó :  x 2 y2 2 5. sin t 4 5. cos t 25 4 5 sin t 2 cos t Do  5 sin t 2. cos t 5 5 x2 y2 45 5 z 3 5 x =1 z min = 5 �� z = 1 + 2i y=2 Vậy  x=3 z max = 3 5 �� z = 3 + 6i y=6 Cách giải 4. (Phương pháp hình học)  Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. khi đó  z min OM min , z max OM max Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x y 0 . 9
  10. Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ  độ  là nghiệm  của hệ phương trình:  2 2 x 2 y 4 5 x 3, x 1 A(1;2), B (3;6) 2x y 0 y 6, y 2 Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì  OA OM OB Hay  5 z 3 5 Vậy: x =1 z min = 5 �� z = 1 + 2i y=2 x=3 z max = 3 5 �� z = 3 + 6i y=6 Cách giải 5. (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ. Ta có  z min OM min  M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất Ta có  OI 4 16 2 5                                                                 y Kẻ  AH Ox  theo định lý ta lét ta có:  B AH OA 2 5 5 1 4 OI 2 5 2   AH 2 OH 1 z 1 2i 4       I z max OM max                                                                                A x M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.                                                                    Kẻ  BK Ox , theo định lý ta lét ta có:                                     K O H 4 OI 2 5 2 A BK OB 2 5 5 3 BK 6 OK 3 z 3 6i Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên 10
  11. Đáp số:  4 2 4 2 4 2 4 2 2.  z i, z i 2 2 2 2 3. z 3 10 i, z 3 10 i 10 5 2 5 10 5 2 5 4. z 5 1 i, z 5 1 i, 13 13 13 13 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng  ( 4 cách giải) Ví dụ2:  Tìm z sao cho  z  đạt giá trị nhỏ  nhất.Biết số phức z thỏa mãn  điều kiện sau: 1.  u z 3 i z 1 3i  là số thực. 2. u z 1 z 2i  là số thực. z 2 3i 3. 1 z 4 i 4. z i z 2 3i Lời giải Cách giải 1: Giả sử  z x yi ( x, y R) u x 3 y 1i x 1 3 yi x2 y2 4x 4 y 6 2 x y 4i Ta có  u R x y 4 0 .  tập hợp các điểm biểu diễn số  phức z là dường thẳng (d):  x y 4 0 . Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì  z min OM min OM (d )  Ta được  M(­2;2) z 2 2i . 11
  12. Cách giải 2. Ta có  z x2 y2 x2 4 x 2 2x 2 2 8 2 2. Vậy  z min 2 2 x 2 y 2 z 2 2i Cách giải 3.  z x2 y2 x2 4 x 2 2x 2 8 x 16 2x 4 Xét hàm số  f ( x) 2x 2 8 x 16 , f ' ( x ) 2x 2 8 x 16 f ' ( x) 0 x 2 z min f ( x) min x 2 y 2 z 2 2i Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi. 2 M (d ) x y 4 0 x y 4 16 x y 2 x2 y2 x2 y2 8 z x2 y2 2 2 z min 2 2 x y 2 z 2 2i . Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên 4 2 Đáp số:   2. z i .  5 5 3 1 3. z i 10 10 3 6 4.  z i 5 5 Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp  (3 cách giải) Ví dụ  3:  Tìm số phức z  sao cho môđun của z đạt giá trị  nhỏ  nhất, lớn   nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện: 1. z + 1 + z − 1 = 4 . 2. z 4i z 4i 10 3. z 2 z 2 6 Lời giải 12
  13.          Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M,  F1 , F2  lần lượt biểu số phức  z, ­1, 1. Suy ra:      uuuur uuuur    F1M biểu diễn số phức z­(­1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z­1.Với  F1 , F2  nằm  trên trục thực Ox ­Khi đó điều kiện:   z + 1 + z − 1 = 4 � MF1 + MF2 = 4  và  F1F2 = 2 Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng  2 3 x2 y 2 Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: + =1 4 3  Tìm z sao cho  z min , z max x2 Cách giải 1: Ta có  z OM x2 y2 3 4 x2 y 2 x2 Do  + =1 0 1 3 z 2 4 3 4 z min 3 z 3i Vậy :  z max 2 z 2 x2 y2 Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z  1 4 3 2 2 2 x2 y2 x2 y2 Khi đó:  OM x y 4 4 4 OM 2 4 4 4 3 2 2 2 x2 y2 x2 y2 OM x y 3 3 3 OM 3 3 3 4 3 Từ đó ta được  3 z 2 z min 3 z 3i Vậy:  z max 2 z 2 13
  14. Cách giải 3: Đặt  x 2. sin t , y 3 cos t  ,  t 0;2 Ta có:  OM 2 x2 y2 4 sin 2 t 3 cos 2 t 3 sin 2 t Do  0 sin 2 t 1, t 3 OM 2 4 3 z 2. z min 3 z 3i Vậy:   z max 2 z 2 Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên 2. z min 3 z 3, z max 4 z 4i Đáp số:  3. z min 5 z 5i, z max 3 z 3i V. Kiểm chứng­ so sánh.  Năm học 2011 ­2012 , khi ôn luyện thi  Đại học chuyên đề bài tập tìm   tập hợp các điểm biểu diễn số  phức, số  phức có môđun lớn nhất, nhỏ  nhất,   tôi có chia lớp thành 2 nhóm , 1 nhóm thực nghiệm , 1 nhóm đối chứng cho đề  tài của mình với 3 dạng bài tập ,tôi đã thu được kết quả sau :  Dạng 1(%) Dạng 2(%) Dạng 3(%) G K TB
  15. chứng lớp  thực  20 31 40 9 60 21 16 3 40 33 16 11 nghiệ m C.   KẾT LUẬN 1.Kết quả thực hiện. Qua 3 năm liên tục giảng dạy chương trình toán học 12 (2009 – 2010) , (2010   ­2011) , (2011 – 2012), luyện thi Đại học cũng như  bồi dưỡng học sinh giỏi   tại  trường  THPT  Dương   Đình  Nghệ,  khả   năng  tiếp  thu  và  vận  dụng  các  phương pháp trên để  giải các bài tập tìm số  phức có môđun lớn nhất, nhỏ  nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng . + Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện   ở  số  lượng cũng như  chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại  học , cao đẳng tăng . + Đa số  học sinh tỏ  ra tự  tin khi giải quyết các bài tập về  tìm số  phức có   môđun lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các  phương pháp giải được  nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. + Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải  nêu trong sáng kiến kinh nghiệm.   2 . Bài học kinh nghiệm          Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp  giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó  15
  16. sẽ  thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt  nghiệp THPT, cũng như luyện thi Đại Học có tính thu hút cao .            Đề  tài của tôi trên đây có thể  còn mang màu sắc chủ  quan, chưa hoàn  thiện, do nhiều hạn chế. Vì vậy tôi rất mong được sự  đóng góp ý kiến quý  báu của các Thầy Cô, các bạn đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn .                 Xin chân thành cám ơn! Thiệu Hoá, ngày 17 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,  không sao chép nội dung của người khác                                                         Xác nhận của Hiệu trưởng                                       Người viết đề tài                                                                                                                                                                                    Nguyễn Lạnh Đông                                                                                                      16
  17. 17
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2