I. Đ T V N Đ

ươ ọ ớ ủ ề ể Trong ch ố   ng trình toán h c l p 12 bài toán v  tính th  tích c a kh i

ụ ữ ộ ệ ở ầ ấ ố chóp, kh i lăng tr  gi ọ  m t vai trò quan tr ng, nó xu t hi n ế  h u h t các đ ề

ạ ọ ữ ề ể ẳ ầ   thi tuy n sinh vào đ i h c, cao đ ng, đ  thi THPT QG trong nh ng năm g n

ứ ế ầ ầ ọ ỉ đây. Đây là ph n ki n th c không khó, ch  yêu c u h c sinh có trí t ưở   ng

ượ ớ ọ ư ạ ị t ệ ng hình không gian, ch u khó rèn luy n. Nh ng v i h c sinh đ i trà, đây là

ứ ế ả ọ ườ ể ấ ể m ng ki n th c mà h c sinh th ng đ  m t đi m trong các kì thi nói trên.

ố ớ ọ ể ượ ầ Đ i v i h c sinh khá, các em có th  làm đ c ph n này. Tuy nhiên cách gi ả   i

ờ ạ ế ườ ề ố ờ còn r i r c, làm bài nào bi ấ t bài đ y và th ng t n khá nhi u th i gian.

ệ ậ ả ạ Trong sách giáo khoa, sách bài t p và các tài li u tham kh o, lo i bài

ỉ ừ ở ệ ấ ậ ả ề ậ t p này khá nhi u song ch  d ng vi c cung c p bài t p và cách gi ư i, ch a có

ệ ạ ộ ươ ố tài li u nào phân lo i m t cách rõ nét các ph ể ng pháp tính th  tích kh i chóp,

ụ ố kh i lăng tr  trong không gian.

ố ớ ượ ờ ỏ ệ ậ Đ i v i các giáo viên, thì do l ng th i gian ít ế i và vi c ti p c n các

ề ẽ ế ệ ầ ạ ộ ạ ph n m m v  hình không gian còn h n ch  nên vi c biên so n m t chuyên

ệ ố ấ ị ữ ề ầ ặ ề đ  có tính h  th ng v  ph n này còn g p nh ng khó khăn nh t đ nh.

ướ ế ị ế ề ệ Tr c các lí do trên, tôi quy t đ nh vi ế t đ  tài sáng ki n kinh nghi m

ụ ể ố ố ọ mang tên: “Cách tính th  tích kh i chóp, kh i lăng tr  trong hình h c không

ệ ố ằ ấ ọ ổ ề ộ gian” nh m cung c p cho h c sinh m t cái nhìn t ng quát và có h  th ng v

ộ ệ ố ể ậ ượ bài toán tính th  tích trong không gian, m t h  th ng bài t p đã đ c phân

ạ ươ ố ố ả ầ ọ ợ ộ lo i m t cách t ng đ i t t, qua đó giúp h c sinh không ph i e s  ph n này

ứ ọ ơ ướ ể ậ ộ ọ ượ và quan tr ng h n, đ ng tr c m t bài toán h c sinh có th  b t ngay ra đ c

ả ướ ượ ướ ả ố ư cách gi ị i, đ nh h ng đ c tr c khi làm bài qua đó có cách gi i  u cho i t

1

ỗ m i bài toán.

ự ề ệ ế ặ ậ ạ ạ ờ M c dù v y, vì đi u ki n th i gian còn h n ch  nên s  phân lo i có th ể

ư ượ ệ ể ấ ươ ỉ ố ấ ượ ch a đ c tri t đ  và ch  mang tính ch t t ng đ i, r t mong đ ạ   c các b n

ử ể ề ệ ế ồ ỉ ượ ệ ơ bè đ ng nghi p góp ý ki n ch nh s a đ  đ  tài này đ c hoàn thi n h n.

ả ơ Tôi xin chân thành c m  n!

Ề Ế II.GI I QUY T V N Đ

ủ ấ ự ạ ề 1. Th c tr ng c a v n đ

ộ ố ứ ế ậ   Thông qua quan sát, nghiên c u, thăm dò m t s  ý ki n chúng tôi nh n

ự ể ạ ạ ấ ọ ọ ủ   th y th c tr ng d y và h c cách tính th  tích trong hình h c không gian c a

ậ ợ ữ ạ ọ ữ giáo viên và h c sinh bên c nh nh ng thu n l ồ   i cũng còn nh ng khó khăn t n

ạ t ư i nh :

ế ả ọ ợ ọ ­H c sinh có c m giác “s ” hình h c không gian nên không quy t tâm

ứ ệ ế ả ọ h c và rèn luy n m ng ki n th c này.

ự ế ọ ­H c sinh thi u năng l c hình dung các hình không gian thông qua các

ễ ừ ự ệ ầ ẫ ọ ố ể hình bi u di n, t đó h c sinh có s  nh m l n các m i quan h  trong không

ư gian nh  song song, vuông góc, chéo nhau…

ư ọ ế ậ ụ ệ ả ấ ậ ­H c sinh ch a bi ữ t v n d ng có hi u qu  nh ng tính ch t, quy lu t đã

ứ ể ể ẳ ọ nghiên c u trong hình h c ph ng đ  chuy n sang hình không gian.

ọ ạ ộ ự ệ ­H c sinh không bi ế ắ ầ ừ t b t đ u t ữ  đâu, th c hi n nh ng ho t đ ng nào

ế ể ả đ  gi i quy t bài toán.

ủ ế ữ ế ạ ộ ố Nh ng h n ch  trên do m t s  nguyên nhân ch  y u sau:

ỗ ớ ự ề ề ọ ồ ­H c sinh m i l p đông, không đ ng đ u v  năng l c nên giáo viên ch ỉ

ạ ế ứ ế ề ậ ữ quan tâm truy n đ t h t ki n th c, ch a các bài t p trong sách giáo khoa mà

ạ ờ ả ọ không có th i gian phân lo i, tìm tòi các cách gi ắ i hay, ng n g n.

ệ ố ư ậ ậ ề ộ   ­H  th ng bài t p trong sách giáo khoa ch a th t phong phú v  n i

2

ứ ả ơ ọ ư ạ ứ dung, hình th c còn đ n gi n ch a t o h ng thú khám phá cho h c sinh.

ự ế ộ ưở ượ ­M t th c t ả  là kh  năng t ng t ạ   ủ ọ ng không gian c a h c sinh còn h n

ế ả ưở ạ ủ ế ế ả ờ ch  nên  nh h ng đ n ti n trình gi ng d y c a giáo viên trong khi th i gian

ạ ổ ọ dành cho d y và h c không thay đ i.

ể ả ệ ề 2. Các bi n pháp đ  gi ế ấ i quy t v n đ

ệ ườ ồ ưỡ ứ ầ ọ Tăng c ng b i d ọ   ng cho h c sinh h ng thú và nhu c u h c Bi n pháp 1:

ừ ự ạ ẩ ộ ứ toán t đó t o đ ng l c thúc đ y quá trình t ự ọ ự  h c, t nghiên c u.

ể ự ệ ườ ư ầ ọ Đ  th c hi n giáo viên tăng c ộ   ấ ng s u t m, cung c p cho h c sinh m t

ệ ớ ấ ị ậ ỗ ỗ ộ chu i bài t p có quan h  v i nhau mà m i bài là m t khó khăn nh t đ nh, làm

ấ ượ ọ ứ ề ươ cho h c sinh th y đ c nhi u tri th c, ph ng pháp khác nhau.

ư ụ ể ậ ọ ị Ví d : Giáo viên cho h c sinh bài t p tính th  tích mà ch a xác đ nh

ượ ề ề ẩ ặ ấ đ c chi u cao (chi u cao  n trong các m t vuông góc, tính ch t các hình…)

ả ặ ẳ ọ ớ ấ   ấ ủ khi đó h c sinh ph i nh  các tính ch t c a hai m t ph ng vuông góc, tính ch t

ể ự ượ ề ượ ề các hình đ  d ng đ c chi u cao và tính đ c chi u cao đó.

ệ ườ ạ ộ ờ ả Tăng c ng ho t  đ ng phân tích,  đánh giá l i gi ỉ i, ch  ra Bi n pháp 2:

ữ ầ ườ ể ọ ứ ụ ặ ắ nh ng khó khăn, sai l m th ng g p đ  h c sinh có ý th c kh c ph c.

ọ ườ ắ ả ưở ượ Khó khăn h c sinh th ng m c ph i là t ng t ậ   ng không gian, vì v y

ư ạ ể ạ ọ khi d y bài toán tính th  tích cũng nh  d y hình h c không gian nói chung

ầ ừ ướ ệ ả ưở ượ ỉ giáo viên c n t ng b c rèn luy n kh  năng t ng t ệ   ng, ch  đúng quan h ,

ỗ ườ ị cách xác đ nh trong m i tr ợ ụ ể ng h p c  th .

ệ ể ư Phát tri n t ậ  duy thu t toán Bi n pháp 3:

ứ ượ ậ ạ ộ ả ọ Giáo viên giúp h c sinh nh n th c đ ỗ   c mình ph i ho t đ ng gì ? M i

ạ ộ ứ ự ữ ế ể ho t đ ng có nh ng thao tác gì? Th  t thao tác th  nào ? đ  hoàn thành

ụ ệ ậ ượ ề ấ ọ ế ậ nhi m v . Giáo viên nên t p d t cho h c sinh đ  xu t, thi ậ   t l p các thu t

toán.

ự ụ ề ề ị Ví d : Quy trình xác đ nh chi u cao, quy trình tính chi u cao d a vào

ị ượ ự ề ệ ặ ị quan h  góc, ho c tính chi u cao d a vào đ nh nghĩa giá tr  l ủ   ng giác c a

3

ộ m t góc trong tam giác vuông…

ệ ườ ệ ậ ạ ộ ệ ừ Tăng c ng luy n t p các ho t đ ng trí tu  t đó tìm ra các Bi n pháp 4:

ả cách gi i khác nhau

ể ả ằ ự ề ậ ọ ọ Giáo viên l a ch n bài t p sao cho h c sinh có th  gi i b ng nhi u cách

ướ ẫ ậ ọ ả ấ ỳ khác nhau, h ng d n h c sinh nh n xét cách gi i hay nh t. Tu  theo năng

ự ọ ả ợ ự ủ l c c a cá nhân mà các em l a ch n cách gi i phù h p.

ơ ở ự ư ệ ạ Trên c  s  th c tr ng và các bi n pháp đã nêu trên, chúng tôi xin đ a ra

ộ ươ ụ ố ố ể m t vài ph ng pháp tính th  tích kh i chóp, kh i lăng tr    trong hình

ọ ở ỗ ể ọ ể ượ ẽ h c không gian, m i bài s  có phân tích đ  h c sinh hi u đ c ý t ưở   ng

ứ ươ ợ và tri th c ph ng pháp phù h p.

Ơ Ở Ế A. C  S  LÍ THUY T

ơ ả ệ 1. Di n tích các hình c  b n

ấ ạ ầ ứ ệ Trong ph n này giáo viên cung c p l i các công th c tính di n tích tam

ệ ọ giác, di n tích hình vuông, hình bình hành, hình thang, hình thoi cho h c sinh.

ứ ể 2. Công th c tính th  tích

ể ố a) Th  tích kh i chóp

= V B h . . 1 3

ố ụ

ể b) Th  tích kh i lăng tr V B h= .

ủ ề ệ ặ ố ố ụ Trong đó: B là di n tích đáy; h là chi u cao c a kh i chóp ho c kh i lăng tr .

ố ố ể ụ 3. Cách tính th  tích kh i chóp, kh i lăng tr

ướ ệ B c 1: Tính di n tích đáy

ủ ự ệ ề ứ D a vào đ  bài cho hình gì ta tính di n tích c a hình đó theo công th c

ơ ị Chú ý: Ghi (đvdt) trong đ n v  tính.

ướ ề ị B c 2: Xác đ nh chi u cao

ụ ứ ề ặ ả ­Đã cho chi u cao (ho c cho hình lăng tr  đ ng) thì không ph i làm

4

ướ b c này.

ụ ế ớ Ví d  1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình... bi ặ   t SA vuông góc v i m t

ề đáy thì SA là chi u cao.

ụ ứ ụ ủ ụ ề ạ Ví d  2: Cho hình lăng tr  đ ng thì chi u cao là c nh bên c a lăng tr  đó.

ủ ỉ ủ ế ặ ỉ ­Cho hình chi u vuông góc c a đ nh S ( ho c 1 đ nh c a hình lăng

ụ ộ ể ặ ệ ề ặ ạ tr ) là m t đi m đ c bi ố   t nào đó trên m t đáy thì chi u cao là đo n n i

ớ ể ặ ỉ ệ đ nh v i đi m đ c bi t đó.

ụ ủ ế Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình...,Hình chi u vuông góc c a S

ủ ẽ ể ả ẽ ọ ể là trung đi m c a AB...Khi v  hình và gi ủ   i ta s  g i tên cho trung đi m c a

ề ẳ ạ AB là M ch ng h n thì SM là chi u cao.

ụ ụ ế Ví d 2: Cho hình lăng tr  ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình...Hình chi u vuông

ủ ể ể ặ ạ ộ góc c a đi m A’ trên m t đáy là đi m M thu c đo n AB sao cho MA = kMB

ằ ạ ồ ồ ỉ ị ề   Khi đó ta chia AB thành k+1 đo n b ng nhau r i xác đ nh M r i ch  ra chi u

cao là A’M.

ớ ặ ề ẩ ặ ẳ ­Chi u cao cho  n trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy

ụ ặ Ví d : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình...M t bên (SAB) là tam giác

ự ề ề ấ ớ cân (đ u) và vuông góc v i đáy. Khi đó d a vào tính ch t tam giác cân (đ u) ta

ủ ề ể ạ ẳ ọ g i trung đi m c a AB là M ch ng h n thì SM là chi u cao.

ề ề ằ ạ ­Đáy là đa giác đ u và các c nh bên b ng nhau thì chi u cao là

ạ ố ỉ ủ ớ ọ đo n n i đ nh v i tr ng tâm c a đáy

0,

ụ ạ ằ Ví d : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a, góc ABC b ng 60

ề ạ ằ SA = SB = SC. Khi đó tam giác ABC đ u và các c nh bên b ng nhau nên

ớ ọ ề ạ ố chi u cao là đo n n i S v i tr ng tâm tam giác ABC.

ớ ề ề ề ặ ạ   ­Hai m t bên li n k  cùng vuông góc v i đáy thì chi u cao là đo n

ế ủ ặ giao tuy n c a hai m t bên đó

ụ ớ ặ   Ví d : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t

ế ủ ề ẳ ặ đáy thì giao tuy n c a hai m t ph ng này là chi u cao SA.

5

ướ ề B c 3: Tính chi u cao

ủ ề ể ố ố ụ Đ  tính chi u cao c a kh i chóp, kh i lăng tr ầ  chúng ta c n chú ý chân

ườ ằ ở ế ố ớ ỉ ầ ả ế đ ng cao n m đâu trong hình khi đó ch  c n k t n i v i gi thi t: Bi ế   t

ộ ạ ặ ợ ớ ộ ế ề ạ m t c nh h p v i đáy m t góc đã cho ho c bi t chi u dài c nh đó thì Chi uề

ớ ườ ạ ố ườ ạ cao, c nh đã cho cùng v i đ ng n i chân đ ng cao và chân c nh đã

ộ ệ ộ ườ ở Vi c tính đ  dài đ ơ   ng cao lúc này tr  nên đ n cho là m t tam giác vuông.

gi n.ả

ướ ể B c 4: Tính th  tích

ứ ề ể ụ ế ể ả Áp d ng công th c v  th  tích đ  tính ra k t qu

ế ả Chú ý: Ghi (Đvtt) trong k t qu .

ẽ ặ ẽ ướ ề ị Khi v  hình ta v  m t  đáy tr ọ c. Đi u quan tr ng là xác đ nh

ượ ườ ở ị ồ ự ườ đ c chân đ ng cao ặ  v  trí nào trên m t đáy r i d ng đ ng cao là

ườ ớ ụ đ ng song song v i tr c oy.

Ạ Ụ B. CÁC VÍ D  MINH HO

ề I) Đã cho chi u cao

ụ ề Cho   hình   chóp   S.ABCD   có   đáy Ví   d   1.(Trích   Đ   thi   THPT   QG   2015)

ạ ặ ớ ữ   ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t đáy (ABCD), góc gi a

0. Tính theo a th  tích c a kh i chóp

S

ườ ẳ ằ ủ ể ố đ ng th ng SC và mp(ABCD) b ng 45

A

B

45°

D

C

6

S.ABCD.

ủ ệ ệ ạ ằ Phân tích: ­ Di n tích đáy là di n tích c a hình vuông c nh b ng a

ề ­ Chi u cao là SA

­ Góc gi a SC và m t đáy b ng 45

0  v y SA tính đ

ữ ằ ặ ậ ượ ờ c nh  vào

ạ tam giác SAC vuông t i A.

2

Gi i:ả

ABCD

S a= * Ta có (Đvdt)

ề * SA là chi u cao

ữ ủ ế ặ ặ * Hình chi u vuông góc c a SC trên m t đáy là AC nên góc gi a SC và m t

045

ạ đáy là  ᄋ => tam giác SAC vuông cân t i A => SA = AC SCA =

3

ạ *ABCD là hình vuông c nh a => AC = =SA 2a

S ABCD

ABCD

.

a 2 = = * (Đvtt) V S SA . 1 3 3

0

ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nhạ Ví d  2( Trích ĐH.D.2013)

ạ ớ ủ ạ a, c nh bên SA vuông góc v i đáy, ể , M là trung đi m c a c nh BC ᄋ BAD = 120

045

S

A

B

45°

M

D

C

7

ể ố và  ᄋ ủ . Tính theo a th  tích c a kh i chóp S.ABCD. SMA =

0 v y hình thoi này h p ợ

ạ ằ ậ Phân tích: ­ Đáy là hình thoi c nh a, có 1 góc b ng 120

ề ạ ở b i hai tam giác đ u c nh a.

­ Tính SA trong tam giác vuông cân SAM vì  ᄋ

ề ­ Chi u cao là SA

045

SMA =

0

Gi i:ả

060

ạ *Vì   ᄋ =>   ᄋ ề .Tam  giác ABC  đ u c nh a => AM = BAD = ABC = 120

a 3

2

ABCD

ABC

2 3 2

a = = S SD 2

ề *Chi u cao là SA

045

ạ *Tam giác SAM vuông cân t i A (Vì ) ᄋ SMA =

 SA = AM =

a 3

3

2

S ABCD

ABCD

.

= = * (Đvtt) V S SA . 1 3 a 4

ủ ỉ ế II) Cho hình chi u vuông góc c a đ nh

ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là Ví d  1 ( Trích ĐH.A.A1.2014)

ủ ế ặ ạ hình vuông c nh a, SD = ẳ     , hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng a 3 2

ủ ủ ể ể ạ ố (ABCD)   là  trung  đi m   c a   c nh  AB.  Tính  theo   a  th   tích  c a  kh i   chóp

S

3a

2

A

D

M

8

B

C

S.ABCD.

ạ Phân tích: ­ Đáy là hình vuông c nh a

ủ ạ ố ỉ ề ạ ớ ể ­ Đo n n i đ nh S v i trung đi m M c a c nh AB là chi u cao

ề ờ ạ ­ Tính chi u cao nh  vào tam giác SMD vuông t i M

2

Gi i:ả

ABCD

S a= * (đvdt)

ủ ủ ề ể ọ *G i M là trung đi m c a AB. Ta có SM là chi u cao c a hình chóp

*Trong tam giác MAD vuông t i ạ

2

2

2

a 5 = A ta có: MD = MA AD+ 2

3

= 2 - ạ *Trong tam giác SMD vuông t i M ta có: SM = SD MD a

S ABCD

ABCD

.

= = * (đvtt) V S SM . 1 3 a 3

ụ ụ Cho hình lăng tr  ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Ví d  2(Trích ĐH.B.2014)

ủ ế ể ẳ ặ ề ạ đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a đi m A’ trên m t ph ng (ABC) là trung

0. Tính

ủ ạ ữ ể ườ ẳ ằ ặ đi m c a c nh AB, góc gi a đ ng th ng A’C và m t đáy b ng 60

B'

ụ ủ ể ố theo a th  tích c a kh i lăng tr  ABC.A’B’C’. C'

ề ạ Phân tích: ­ Đáy là tam giác đ u c nh a

A'

ố ỉ ủ ề ể ạ ớ ­ Đo n n i đ nh A’ v i trung đi m M c a AB là chi u cao

60°

C

B

9

M

A

ề ờ ­ Tính chi u cao nh  vào tam giác vuông A’MC

Gi i:ả

ABC

2 3 4

a = * (đvdt) sD

ủ ể ề ọ ụ *G i M là trung đi m AB => A’M là chi u cao c a lăng tr

ủ ế ặ ữ *Hình chi u vuông góc c a A’C lên m t đáy là MC do đó góc gi a

0

a 3 ặ ườ A’C và m t đáy là góc .CM = (Đ ng cao trong tam giác ᄋ A CM = ' 60 2

ề ạ đ u c nh a)

ạ *Trong tam giác A’Cm vuông t i M

0

3

a 3 Ta có: A’M = CM.tanC = .tan 60 a= 3 2 2

ABC

ABC A B C .

'

'

'

a 3 3 = = * (đvtt) V S . A M ' 8

ớ ặ ề ặ ẩ ẳ III) Chi u cao  n trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy

ụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác Ví d  1 ( Trích ĐH.D.2014)

ạ ề ặ ằ ạ vuông cân t ặ   i A, m t bên (SBC) là tam giác đ u c nh a và n m trong m t

ủ ể ẳ ớ ố ph ng vuông góc v i đáy. Tính theo a th  tích c a kh i chóp S.ABC.

ề ằ ạ Phân tích: ­ Đáy là tam giác vuông cân có c nh huy n b ng a

ề ặ ằ ặ ớ ­ M t bên vuông góc v i đáy nên chi u cao n m trong m t bên

10

ế ủ ặ ớ ớ (SBC) và vuông góc v i giao tuy n c a nó v i m t đáy.

S

C

B

M

A

Gi i:ả

ạ *Đáy ABC là tam giác vuông cân t i A và có BC = a nên AB = AC = = BC 2

2

a 2

ABC

= (Đvdt) SD a 4

^ ủ ể ọ ớ *G i M là trung đi m c a BC. Ta có SM vuông góc v i BC =>SM (ABC)

3

a 3 ề ậ ủ V y SM là chi u cao c a hình chóp và SM = 2

S ABC

ABC

.

a 3 = = * (Đvtt) D V S SM . 1 3 24

ụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác Ví d  2: (Trích ĐH.A.A1.2013)

030

ạ ề ạ ặ vuông t i A, , SBC là tam giác đ u c nh a và m t bên SBC vuông ᄋ ABC =

S

C

B

30°

M

A

11

ủ ớ ố ể góc v i đáy. Tính theo a th  tích c a kh i chóp S.ABC.

ế ọ t 1 góc nh n Phân tích: ­ Đáy là tam giác vuông bi

ề ặ ặ ằ ớ ­ M t bên vuông góc v i đáy nên chi u cao n m trong m t bên

ế ủ ặ ớ ớ (SBC) và vuông góc v i giao tuy n c a nó v i m t đáy.

Gi i: ả

2

2

a 3 = 2 - *BC = a => AC = Ta có: AB = BC AC a 2 2

ABC

a 3 = = => (Đvdt) D S AB AC . 1 2 8

^ ủ ọ ể *G i M là trung đi m c a BC => SM BC => SM ^ (ABC) (Vì (SBC)   ^

3

a 3 (ABC)) và SM = 2

S ABC

ABC

.

= = * (Đvtt) V S SM . a 3 16 1 3

ề ằ ạ IV) Đáy là đa giác đ u và các c nh bên b ng nhau

060

ạ , Ví   d :  ụ Cho   hình   chóp   S.ABCD   có   đáy   là   hình   thoi   c nh   a, ᄋ ABC =

0. Tính theo a th  tích kh i chóp S.ABCD

S

A

D

O

45°

G

B

C

12

ớ ể ố ạ SA=SB=SC, SB t o v i đáy 1 góc 45

0 => đáy là hình thoi

ằ ạ Phân tích: ­ Đáy là hình thoi c nh a và có 1 góc b ng 60

ề ở ợ h p b i 2 tam giác đ u.

ề ế   ­ Cho SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đ u nên hình chi u

ủ ặ ọ vuông góc c a S trên m t đáy là tr ng tâm tam giác ABC

­ Tính chi u cao d a vào tam giác vuông cân SGB

ự ề

Gi i:ả

ABCD

2 3 4

a = *Ta có: (Đvdt) S

^ ọ ọ *G i G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có SG (ABC) (vì ABC là tam giác

ề ề đ u và SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đ u)

a 3 ề ế *Vì ABC là tam giác đ u nên BG = BO = ủ    . Hình chi u vuông góc c a 2 3 3

0 =>

ữ ặ ặ ằ SB trên m t đáy là GB nên góc gi a SB và m t đáy là góc SBG b ng 45

3

a 3 ạ tam giác SGB vuông cân t i G => SG = BG = 3

S ABCD

ABCD

.

= = * (Đvtt) V S SG . 1 3 a 12

ớ ề ặ ề V) Hai m t bên li n k  cùng vuông góc v i đáy

ạ ặ   Ví d : ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, các m t S

ằ ẳ ớ ặ bên (SAB) và (SAD) n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, SC = . 3a

a 3

ể ố Tính theo a th  tích kh i chóp S.ABCD.

A

D

13

B

C

ạ Phân tích: ­ Đáy là hình vuông c nh a

ế ủ ặ ớ ­ Hai m t bên vuông góc v i đáy thì giao tuy n c a chúng là SA

ớ vuông góc v i đáy

ự ­ Tính SA d a vào tam giác vuông SAC

2

Gi i:ả

ABCD

S a= * ( Đvdt)

ặ ặ ớ ế   *Vì hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t đáy nên giao tuy n

2

ớ ủ c a chúng là SA vuông góc v i đáy.

3

= = 2 - ạ *Ta có tam giác SAC vuông t i A nên SA SC AC a

S ABCD

ABCD

.

= = * (Đvtt). V S SA . 1 3 a 3

Ề Ị Ậ C. BÀI T P Đ  NGH

ử ộ ố ề Bài 1 (Trích Đ  thi th  THPT QG năm 2016 Thành ph  Hà N i)

ạ Cho   hình   chóp   S.ABC   có   đáy   ABC   là   tam   giác   vuông   t i   B,   AB   =   2a,

060

ạ ặ ẳ ớ , C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy và SA = . Tính 3a ᄋ BAC =

ể ố theo a th  tích kh i chóp S.ABC.

Bài 2 ( Trích ĐH.B.2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nhạ

ề ặ ặ ẳ ớ ằ a, m t bên SAB là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy.

14

ể ố Tính theo a th  tích kh i chóp S.ABCD.

Bài 3( Trích ĐH.A.A1.2012)    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ uề

ủ ế ể ặ ẳ ộ   ạ c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c

0. Tính

ặ ẳ ằ ữ ạ c nh AB sao cho HA = 2HB.Góc gi a SC và m t ph ng (ABC) b ng 60

ể ố theo a th  tích kh i chóp S.ABC.

ử ố ề Cho hình Bài 4 (Trích Đ  thi th  s  1 năm 2016 trên website: dethithu.net)

ề ằ ặ ẳ   chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đ u và n m trong m t ph ng

ặ ẳ ớ ế vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a th ể

ủ ố tích c a kh i chóp S.ABCD.

ử ố ề Cho hình Bài 5 (Trích Đ  thi th  s  2 năm 2016 trên website: dethithu.net)

chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a, tam giác SAC vuông t iạ

ặ ẳ ằ ớ ể S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, SC = . Tính theo a th  tích 3a

ố ủ c a kh i chóp S.ABCD.

ử ố ề Cho lăng Bài 6 (Trích Đ  thi th  s  3 năm 2016 trên website: dethithu.net)

ụ ề ề ạ ỉ tr  ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, đ nh A’ cách đ u A, B,

0. Tính theo a th  tích

ữ ạ ủ ặ ụ ằ ể C. Góc gi a c nh bên và m t đáy c a lăng tr b ng 60

ố ụ ủ c a kh i lăng tr  ABC.A’B’C’.

ả ủ ệ ệ ế 3. Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m

ụ ừ ữ ệ ả ạ ầ T  nh ng bi n pháp nêu trên sau khi áp d ng gi ng d y ph n tính th ể

ệ ố ươ ọ ớ ạ ớ tích kh i đa di n trong ch ng I Hình h c l p 12 t i các l p 12A2, 12A4,

ả ạ ạ ớ 12A7 và gi ng d y ôn thi THPT QG t i các l p 12A3, 12A5, 12A6 các em đã

ự ả ể ế ố ố ụ t tin khi gi i quy t bài toán tính th  tích kh i chóp, kh i lăng tr trong các

15

ế ử ố ề ể đ  ki m tra 1 ti t và thi th  THPT Qu c gia.

III. K T LU N VÀ KI N NGH

ủ ế ệ ả ế ượ ấ ề ữ : Sáng ki n kinh nghi m c a tôi đã gi i quy t đ c nh ng v n đ  sau

ệ ố ề ọ ổ 1. Giúp h c sinh có cái nhìn t ng quát và có h  th ng v  bài toán tính

ụ ừ ể ố ố ả th  tích kh i chóp, kh i lăng tr , t đó có kĩ năng gi ạ i thành th o các bài

ộ ố ủ ề ể ứ ụ ế ộ ơ toán thu c ch  đ  này và h n th  có th   ng d ng chúng vào m t s  bài

ự ế toán th c t khác.

ả ế ộ ươ ệ ể ể ề i quy t m t cách t ố ng đ i tri t đ  bài toán v  tính th  tích trong 2. Gi

ề ố ấ c u trúc đ  thi THPT Qu c gia.

ẽ ệ ườ ố ư ng t ể i  u đ  tính th ể 3. Thông qua vi c v  hình, tính toán, tìm con đ

ộ ậ ệ ạ ả ạ ố tích, t o cho các em kh  năng làm vi c đ c l p, sáng t o, phát huy t i đa

16

ự ủ ầ ọ ươ ớ ủ tính tích c c c a h c sinh theo đúng tinh th n ph ng pháp m i c a B ộ

ụ ề ề ạ ạ ọ ắ   giáo d c và đào t o. Đi u quan tr ng là t o cho các em ni m tin, kh c

ụ ượ ợ ọ ph c đ ề c tâm lí s  bài toán v  hình h c không gian.

ộ ố ề ấ M t s  đ  xu t

ỗ ườ ề ả ệ ệ ọ M i bài toán th ng là có nhi u cách gi i, vi c h c sinh phát hi n ra

ữ ả ầ ượ ữ ế nh ng cách gi i khác nhau c n đ c khuy n khích. Song trong nh ng cách

ả ế ừ ể ầ ạ ọ ượ gi ư i đó c n phân tích rõ  u đi m và h n ch  t đó ch n đ c cách gi ả ố   i t i

ư ệ ầ ớ ữ ả ươ ặ u. Đ c bi t c n chú ý t i nh ng cách gi ả i bài b n, có ph ng pháp và có

ụ ể ươ ề ầ ớ th  áp d ng ph ng pháp đó cho nhi u bài toán khác. V i tinh th n nh ư

ướ ể ầ ọ ậ v y và theo h ng này các th y cô giáo cùng các em h c sinh có th  tìm ra

ượ ề ề ề ệ ẳ ạ ớ đ c nhi u kinh nghi m hay v i nhi u đ  tài khác nhau. Ch ng h n, các

ố ượ ữ ề ứ ọ bài toán v  tính góc gi a các đ i t ẳ   ng hình h c hay ch ng minh đ ng

ề ứ ụ ủ ứ ọ ươ th c hình h c; các bài toán v   ng d ng c a ph ọ ng pháp t a đ  đ  gi ộ ể ả   i

ọ các bài toán hình h c không gian.

ả ơ ệ ả ố Cu i cùng tôi xin chân thành c m  n Ban giám hi u, Ban giám kh o và

ệ ề ồ ỡ các đ ng nghi p đã giúp đ  và góp ý cho tôi hoàn thành đ  tài SKKN này.

ệ ả Tài li u tham kh o

1. B  đ  thi đ i h c, thi THPT QG, thi th  THPT QG t

ạ ọ ộ ề ử ừ ế    năm 2012 đ n

2016 trên Website: “thi.moet.edu.vn”; “dethithu.net”

2. Đ  thi kh o sát t nh Phú Th , TP Hà N i năm h c 2015 ­ 2016

ề ả ọ ộ ọ ỉ

3. Sách giáo khoa Hình h c 12

17