Ấ
Ặ
Ề
I. Đ T V N Đ
ươ ọ ớ ủ ề ể Trong ch ố ng trình toán h c l p 12 bài toán v tính th tích c a kh i
ụ ữ ộ ệ ở ầ ấ ố chóp, kh i lăng tr gi ọ m t vai trò quan tr ng, nó xu t hi n ế h u h t các đ ề
ạ ọ ữ ề ể ẳ ầ thi tuy n sinh vào đ i h c, cao đ ng, đ thi THPT QG trong nh ng năm g n
ứ ế ầ ầ ọ ỉ đây. Đây là ph n ki n th c không khó, ch yêu c u h c sinh có trí t ưở ng
ượ ớ ọ ư ạ ị t ệ ng hình không gian, ch u khó rèn luy n. Nh ng v i h c sinh đ i trà, đây là
ứ ế ả ọ ườ ể ấ ể m ng ki n th c mà h c sinh th ng đ m t đi m trong các kì thi nói trên.
ố ớ ọ ể ượ ầ Đ i v i h c sinh khá, các em có th làm đ c ph n này. Tuy nhiên cách gi ả i
ờ ạ ế ườ ề ố ờ còn r i r c, làm bài nào bi ấ t bài đ y và th ng t n khá nhi u th i gian.
ệ ậ ả ạ Trong sách giáo khoa, sách bài t p và các tài li u tham kh o, lo i bài
ỉ ừ ở ệ ấ ậ ả ề ậ t p này khá nhi u song ch d ng vi c cung c p bài t p và cách gi ư i, ch a có
ệ ạ ộ ươ ố tài li u nào phân lo i m t cách rõ nét các ph ể ng pháp tính th tích kh i chóp,
ụ ố kh i lăng tr trong không gian.
ố ớ ượ ờ ỏ ệ ậ Đ i v i các giáo viên, thì do l ng th i gian ít ế i và vi c ti p c n các
ề ẽ ế ệ ầ ạ ộ ạ ph n m m v hình không gian còn h n ch nên vi c biên so n m t chuyên
ệ ố ấ ị ữ ề ầ ặ ề đ có tính h th ng v ph n này còn g p nh ng khó khăn nh t đ nh.
ướ ế ị ế ề ệ Tr c các lí do trên, tôi quy t đ nh vi ế t đ tài sáng ki n kinh nghi m
ụ ể ố ố ọ mang tên: “Cách tính th tích kh i chóp, kh i lăng tr trong hình h c không
ệ ố ằ ấ ọ ổ ề ộ gian” nh m cung c p cho h c sinh m t cái nhìn t ng quát và có h th ng v
ộ ệ ố ể ậ ượ bài toán tính th tích trong không gian, m t h th ng bài t p đã đ c phân
ạ ươ ố ố ả ầ ọ ợ ộ lo i m t cách t ng đ i t t, qua đó giúp h c sinh không ph i e s ph n này
ứ ọ ơ ướ ể ậ ộ ọ ượ và quan tr ng h n, đ ng tr c m t bài toán h c sinh có th b t ngay ra đ c
ả ướ ượ ướ ả ố ư cách gi ị i, đ nh h ng đ c tr c khi làm bài qua đó có cách gi i u cho i t
1
ỗ m i bài toán.
ự ề ệ ế ặ ậ ạ ạ ờ M c dù v y, vì đi u ki n th i gian còn h n ch nên s phân lo i có th ể
ư ượ ệ ể ấ ươ ỉ ố ấ ượ ch a đ c tri t đ và ch mang tính ch t t ng đ i, r t mong đ ạ c các b n
ử ể ề ệ ế ồ ỉ ượ ệ ơ bè đ ng nghi p góp ý ki n ch nh s a đ đ tài này đ c hoàn thi n h n.
ả ơ Tôi xin chân thành c m n!
Ả
Ấ
Ề Ế II.GI I QUY T V N Đ
ủ ấ ự ạ ề 1. Th c tr ng c a v n đ
ộ ố ứ ế ậ Thông qua quan sát, nghiên c u, thăm dò m t s ý ki n chúng tôi nh n
ự ể ạ ạ ấ ọ ọ ủ th y th c tr ng d y và h c cách tính th tích trong hình h c không gian c a
ậ ợ ữ ạ ọ ữ giáo viên và h c sinh bên c nh nh ng thu n l ồ i cũng còn nh ng khó khăn t n
ạ t ư i nh :
ế ả ọ ợ ọ H c sinh có c m giác “s ” hình h c không gian nên không quy t tâm
ứ ệ ế ả ọ h c và rèn luy n m ng ki n th c này.
ự ế ọ H c sinh thi u năng l c hình dung các hình không gian thông qua các
ễ ừ ự ệ ầ ẫ ọ ố ể hình bi u di n, t đó h c sinh có s nh m l n các m i quan h trong không
ư gian nh song song, vuông góc, chéo nhau…
ư ọ ế ậ ụ ệ ả ấ ậ H c sinh ch a bi ữ t v n d ng có hi u qu nh ng tính ch t, quy lu t đã
ứ ể ể ẳ ọ nghiên c u trong hình h c ph ng đ chuy n sang hình không gian.
ọ ạ ộ ự ệ H c sinh không bi ế ắ ầ ừ t b t đ u t ữ đâu, th c hi n nh ng ho t đ ng nào
ế ể ả đ gi i quy t bài toán.
ủ ế ữ ế ạ ộ ố Nh ng h n ch trên do m t s nguyên nhân ch y u sau:
ỗ ớ ự ề ề ọ ồ H c sinh m i l p đông, không đ ng đ u v năng l c nên giáo viên ch ỉ
ạ ế ứ ế ề ậ ữ quan tâm truy n đ t h t ki n th c, ch a các bài t p trong sách giáo khoa mà
ạ ờ ả ọ không có th i gian phân lo i, tìm tòi các cách gi ắ i hay, ng n g n.
ệ ố ư ậ ậ ề ộ H th ng bài t p trong sách giáo khoa ch a th t phong phú v n i
2
ứ ả ơ ọ ư ạ ứ dung, hình th c còn đ n gi n ch a t o h ng thú khám phá cho h c sinh.
ự ế ộ ưở ượ M t th c t ả là kh năng t ng t ạ ủ ọ ng không gian c a h c sinh còn h n
ế ả ưở ạ ủ ế ế ả ờ ch nên nh h ng đ n ti n trình gi ng d y c a giáo viên trong khi th i gian
ạ ổ ọ dành cho d y và h c không thay đ i.
ể ả ệ ề 2. Các bi n pháp đ gi ế ấ i quy t v n đ
ệ ườ ồ ưỡ ứ ầ ọ Tăng c ng b i d ọ ng cho h c sinh h ng thú và nhu c u h c Bi n pháp 1:
ừ ự ạ ẩ ộ ứ toán t đó t o đ ng l c thúc đ y quá trình t ự ọ ự h c, t nghiên c u.
ể ự ệ ườ ư ầ ọ Đ th c hi n giáo viên tăng c ộ ấ ng s u t m, cung c p cho h c sinh m t
ệ ớ ấ ị ậ ỗ ỗ ộ chu i bài t p có quan h v i nhau mà m i bài là m t khó khăn nh t đ nh, làm
ấ ượ ọ ứ ề ươ cho h c sinh th y đ c nhi u tri th c, ph ng pháp khác nhau.
ư ụ ể ậ ọ ị Ví d : Giáo viên cho h c sinh bài t p tính th tích mà ch a xác đ nh
ượ ề ề ẩ ặ ấ đ c chi u cao (chi u cao n trong các m t vuông góc, tính ch t các hình…)
ả ặ ẳ ọ ớ ấ ấ ủ khi đó h c sinh ph i nh các tính ch t c a hai m t ph ng vuông góc, tính ch t
ể ự ượ ề ượ ề các hình đ d ng đ c chi u cao và tính đ c chi u cao đó.
ệ ườ ạ ộ ờ ả Tăng c ng ho t đ ng phân tích, đánh giá l i gi ỉ i, ch ra Bi n pháp 2:
ữ ầ ườ ể ọ ứ ụ ặ ắ nh ng khó khăn, sai l m th ng g p đ h c sinh có ý th c kh c ph c.
ọ ườ ắ ả ưở ượ Khó khăn h c sinh th ng m c ph i là t ng t ậ ng không gian, vì v y
ư ạ ể ạ ọ khi d y bài toán tính th tích cũng nh d y hình h c không gian nói chung
ầ ừ ướ ệ ả ưở ượ ỉ giáo viên c n t ng b c rèn luy n kh năng t ng t ệ ng, ch đúng quan h ,
ỗ ườ ị cách xác đ nh trong m i tr ợ ụ ể ng h p c th .
ệ ể ư Phát tri n t ậ duy thu t toán Bi n pháp 3:
ứ ượ ậ ạ ộ ả ọ Giáo viên giúp h c sinh nh n th c đ ỗ c mình ph i ho t đ ng gì ? M i
ạ ộ ứ ự ữ ế ể ho t đ ng có nh ng thao tác gì? Th t thao tác th nào ? đ hoàn thành
ụ ệ ậ ượ ề ấ ọ ế ậ nhi m v . Giáo viên nên t p d t cho h c sinh đ xu t, thi ậ t l p các thu t
toán.
ự ụ ề ề ị Ví d : Quy trình xác đ nh chi u cao, quy trình tính chi u cao d a vào
ị ượ ự ề ệ ặ ị quan h góc, ho c tính chi u cao d a vào đ nh nghĩa giá tr l ủ ng giác c a
3
ộ m t góc trong tam giác vuông…
ệ ườ ệ ậ ạ ộ ệ ừ Tăng c ng luy n t p các ho t đ ng trí tu t đó tìm ra các Bi n pháp 4:
ả cách gi i khác nhau
ể ả ằ ự ề ậ ọ ọ Giáo viên l a ch n bài t p sao cho h c sinh có th gi i b ng nhi u cách
ướ ẫ ậ ọ ả ấ ỳ khác nhau, h ng d n h c sinh nh n xét cách gi i hay nh t. Tu theo năng
ự ọ ả ợ ự ủ l c c a cá nhân mà các em l a ch n cách gi i phù h p.
ơ ở ự ư ệ ạ Trên c s th c tr ng và các bi n pháp đã nêu trên, chúng tôi xin đ a ra
ộ ươ ụ ố ố ể m t vài ph ng pháp tính th tích kh i chóp, kh i lăng tr trong hình
ọ ở ỗ ể ọ ể ượ ẽ h c không gian, m i bài s có phân tích đ h c sinh hi u đ c ý t ưở ng
ứ ươ ợ và tri th c ph ng pháp phù h p.
Ơ Ở Ế A. C S LÍ THUY T
ơ ả ệ 1. Di n tích các hình c b n
ấ ạ ầ ứ ệ Trong ph n này giáo viên cung c p l i các công th c tính di n tích tam
ệ ọ giác, di n tích hình vuông, hình bình hành, hình thang, hình thoi cho h c sinh.
ứ ể 2. Công th c tính th tích
ể ố a) Th tích kh i chóp
= V B h . . 1 3
ố ụ
ể b) Th tích kh i lăng tr V B h= .
ủ ề ệ ặ ố ố ụ Trong đó: B là di n tích đáy; h là chi u cao c a kh i chóp ho c kh i lăng tr .
ố ố ể ụ 3. Cách tính th tích kh i chóp, kh i lăng tr
ướ ệ B c 1: Tính di n tích đáy
ủ ự ệ ề ứ D a vào đ bài cho hình gì ta tính di n tích c a hình đó theo công th c
ơ ị Chú ý: Ghi (đvdt) trong đ n v tính.
ướ ề ị B c 2: Xác đ nh chi u cao
ụ ứ ề ặ ả Đã cho chi u cao (ho c cho hình lăng tr đ ng) thì không ph i làm
4
ướ b c này.
ụ ế ớ Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình... bi ặ t SA vuông góc v i m t
ề đáy thì SA là chi u cao.
ụ ứ ụ ủ ụ ề ạ Ví d 2: Cho hình lăng tr đ ng thì chi u cao là c nh bên c a lăng tr đó.
ủ ỉ ủ ế ặ ỉ Cho hình chi u vuông góc c a đ nh S ( ho c 1 đ nh c a hình lăng
ụ ộ ể ặ ệ ề ặ ạ tr ) là m t đi m đ c bi ố t nào đó trên m t đáy thì chi u cao là đo n n i
ớ ể ặ ỉ ệ đ nh v i đi m đ c bi t đó.
ụ ủ ế Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình...,Hình chi u vuông góc c a S
ủ ẽ ể ả ẽ ọ ể là trung đi m c a AB...Khi v hình và gi ủ i ta s g i tên cho trung đi m c a
ề ẳ ạ AB là M ch ng h n thì SM là chi u cao.
ụ ụ ế Ví d 2: Cho hình lăng tr ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình...Hình chi u vuông
ủ ể ể ặ ạ ộ góc c a đi m A’ trên m t đáy là đi m M thu c đo n AB sao cho MA = kMB
ằ ạ ồ ồ ỉ ị ề Khi đó ta chia AB thành k+1 đo n b ng nhau r i xác đ nh M r i ch ra chi u
cao là A’M.
ớ ặ ề ẩ ặ ẳ Chi u cao cho n trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy
ụ ặ Ví d : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình...M t bên (SAB) là tam giác
ự ề ề ấ ớ cân (đ u) và vuông góc v i đáy. Khi đó d a vào tính ch t tam giác cân (đ u) ta
ủ ề ể ạ ẳ ọ g i trung đi m c a AB là M ch ng h n thì SM là chi u cao.
ề ề ằ ạ Đáy là đa giác đ u và các c nh bên b ng nhau thì chi u cao là
ạ ố ỉ ủ ớ ọ đo n n i đ nh v i tr ng tâm c a đáy
0,
ụ ạ ằ Ví d : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a, góc ABC b ng 60
ề ạ ằ SA = SB = SC. Khi đó tam giác ABC đ u và các c nh bên b ng nhau nên
ớ ọ ề ạ ố chi u cao là đo n n i S v i tr ng tâm tam giác ABC.
ớ ề ề ề ặ ạ Hai m t bên li n k cùng vuông góc v i đáy thì chi u cao là đo n
ế ủ ặ giao tuy n c a hai m t bên đó
ụ ớ ặ Ví d : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t
ế ủ ề ẳ ặ đáy thì giao tuy n c a hai m t ph ng này là chi u cao SA.
5
ướ ề B c 3: Tính chi u cao
ủ ề ể ố ố ụ Đ tính chi u cao c a kh i chóp, kh i lăng tr ầ chúng ta c n chú ý chân
ườ ằ ở ế ố ớ ỉ ầ ả ế đ ng cao n m đâu trong hình khi đó ch c n k t n i v i gi thi t: Bi ế t
ộ ạ ặ ợ ớ ộ ế ề ạ m t c nh h p v i đáy m t góc đã cho ho c bi t chi u dài c nh đó thì Chi uề
ớ ườ ạ ố ườ ạ cao, c nh đã cho cùng v i đ ng n i chân đ ng cao và chân c nh đã
ộ ệ ộ ườ ở Vi c tính đ dài đ ơ ng cao lúc này tr nên đ n cho là m t tam giác vuông.
gi n.ả
ướ ể B c 4: Tính th tích
ứ ề ể ụ ế ể ả Áp d ng công th c v th tích đ tính ra k t qu
ế ả Chú ý: Ghi (Đvtt) trong k t qu .
ẽ ặ ẽ ướ ề ị Khi v hình ta v m t đáy tr ọ c. Đi u quan tr ng là xác đ nh
ượ ườ ở ị ồ ự ườ đ c chân đ ng cao ặ v trí nào trên m t đáy r i d ng đ ng cao là
ườ ớ ụ đ ng song song v i tr c oy.
Ạ Ụ B. CÁC VÍ D MINH HO
ề I) Đã cho chi u cao
ụ ề Cho hình chóp S.ABCD có đáy Ví d 1.(Trích Đ thi THPT QG 2015)
ạ ặ ớ ữ ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t đáy (ABCD), góc gi a
0. Tính theo a th tích c a kh i chóp
S
ườ ẳ ằ ủ ể ố đ ng th ng SC và mp(ABCD) b ng 45
A
B
45°
D
C
6
S.ABCD.
ủ ệ ệ ạ ằ Phân tích: Di n tích đáy là di n tích c a hình vuông c nh b ng a
ề Chi u cao là SA
Góc gi a SC và m t đáy b ng 45
0 v y SA tính đ
ữ ằ ặ ậ ượ ờ c nh vào
ạ tam giác SAC vuông t i A.
2
Gi i:ả
ABCD
S a= * Ta có (Đvdt)
ề * SA là chi u cao
ữ ủ ế ặ ặ * Hình chi u vuông góc c a SC trên m t đáy là AC nên góc gi a SC và m t
045
ạ đáy là ᄋ => tam giác SAC vuông cân t i A => SA = AC SCA =
3
ạ *ABCD là hình vuông c nh a => AC = =SA 2a
S ABCD
ABCD
.
a 2 = = * (Đvtt) V S SA . 1 3 3
0
ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nhạ Ví d 2( Trích ĐH.D.2013)
ạ ớ ủ ạ a, c nh bên SA vuông góc v i đáy, ể , M là trung đi m c a c nh BC ᄋ BAD = 120
045
S
A
B
45°
M
D
C
7
ể ố và ᄋ ủ . Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD. SMA =
0 v y hình thoi này h p ợ
ạ ằ ậ Phân tích: Đáy là hình thoi c nh a, có 1 góc b ng 120
ề ạ ở b i hai tam giác đ u c nh a.
Tính SA trong tam giác vuông cân SAM vì ᄋ
ề Chi u cao là SA
045
SMA =
0
Gi i:ả
060
ạ *Vì ᄋ => ᄋ ề .Tam giác ABC đ u c nh a => AM = BAD = ABC = 120
a 3
2
ABCD
ABC
2 3 2
a = = S SD 2
ề *Chi u cao là SA
045
ạ *Tam giác SAM vuông cân t i A (Vì ) ᄋ SMA =
SA = AM =
a 3
3
2
S ABCD
ABCD
.
= = * (Đvtt) V S SA . 1 3 a 4
ủ ỉ ế II) Cho hình chi u vuông góc c a đ nh
ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là Ví d 1 ( Trích ĐH.A.A1.2014)
ủ ế ặ ạ hình vuông c nh a, SD = ẳ , hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng a 3 2
ủ ủ ể ể ạ ố (ABCD) là trung đi m c a c nh AB. Tính theo a th tích c a kh i chóp
S
3a
2
A
D
M
8
B
C
S.ABCD.
ạ Phân tích: Đáy là hình vuông c nh a
ủ ạ ố ỉ ề ạ ớ ể Đo n n i đ nh S v i trung đi m M c a c nh AB là chi u cao
ề ờ ạ Tính chi u cao nh vào tam giác SMD vuông t i M
2
Gi i:ả
ABCD
S a= * (đvdt)
ủ ủ ề ể ọ *G i M là trung đi m c a AB. Ta có SM là chi u cao c a hình chóp
*Trong tam giác MAD vuông t i ạ
2
2
2
a 5 = A ta có: MD = MA AD+ 2
3
= 2 - ạ *Trong tam giác SMD vuông t i M ta có: SM = SD MD a
S ABCD
ABCD
.
= = * (đvtt) V S SM . 1 3 a 3
ụ ụ Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác Ví d 2(Trích ĐH.B.2014)
ủ ế ể ẳ ặ ề ạ đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a đi m A’ trên m t ph ng (ABC) là trung
0. Tính
ủ ạ ữ ể ườ ẳ ằ ặ đi m c a c nh AB, góc gi a đ ng th ng A’C và m t đáy b ng 60
B'
ụ ủ ể ố theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’. C'
ề ạ Phân tích: Đáy là tam giác đ u c nh a
A'
ố ỉ ủ ề ể ạ ớ Đo n n i đ nh A’ v i trung đi m M c a AB là chi u cao
60°
C
B
9
M
A
ề ờ Tính chi u cao nh vào tam giác vuông A’MC
Gi i:ả
ABC
2 3 4
a = * (đvdt) sD
ủ ể ề ọ ụ *G i M là trung đi m AB => A’M là chi u cao c a lăng tr
ủ ế ặ ữ *Hình chi u vuông góc c a A’C lên m t đáy là MC do đó góc gi a
0
a 3 ặ ườ A’C và m t đáy là góc .CM = (Đ ng cao trong tam giác ᄋ A CM = ' 60 2
ề ạ đ u c nh a)
ạ *Trong tam giác A’Cm vuông t i M
0
3
a 3 Ta có: A’M = CM.tanC = .tan 60 a= 3 2 2
ABC
ABC A B C .
'
'
'
a 3 3 = = * (đvtt) V S . A M ' 8
ớ ặ ề ặ ẩ ẳ III) Chi u cao n trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy
ụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác Ví d 1 ( Trích ĐH.D.2014)
ạ ề ặ ằ ạ vuông cân t ặ i A, m t bên (SBC) là tam giác đ u c nh a và n m trong m t
ủ ể ẳ ớ ố ph ng vuông góc v i đáy. Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC.
ề ằ ạ Phân tích: Đáy là tam giác vuông cân có c nh huy n b ng a
ề ặ ằ ặ ớ M t bên vuông góc v i đáy nên chi u cao n m trong m t bên
10
ế ủ ặ ớ ớ (SBC) và vuông góc v i giao tuy n c a nó v i m t đáy.
S
C
B
M
A
Gi i:ả
ạ *Đáy ABC là tam giác vuông cân t i A và có BC = a nên AB = AC = = BC 2
2
a 2
ABC
= (Đvdt) SD a 4
^ ủ ể ọ ớ *G i M là trung đi m c a BC. Ta có SM vuông góc v i BC =>SM (ABC)
3
a 3 ề ậ ủ V y SM là chi u cao c a hình chóp và SM = 2
S ABC
ABC
.
a 3 = = * (Đvtt) D V S SM . 1 3 24
ụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác Ví d 2: (Trích ĐH.A.A1.2013)
030
ạ ề ạ ặ vuông t i A, , SBC là tam giác đ u c nh a và m t bên SBC vuông ᄋ ABC =
S
C
B
30°
M
A
11
ủ ớ ố ể góc v i đáy. Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC.
ế ọ t 1 góc nh n Phân tích: Đáy là tam giác vuông bi
ề ặ ặ ằ ớ M t bên vuông góc v i đáy nên chi u cao n m trong m t bên
ế ủ ặ ớ ớ (SBC) và vuông góc v i giao tuy n c a nó v i m t đáy.
Gi i: ả
2
2
a 3 = 2 - *BC = a => AC = Ta có: AB = BC AC a 2 2
ABC
a 3 = = => (Đvdt) D S AB AC . 1 2 8
^ ủ ọ ể *G i M là trung đi m c a BC => SM BC => SM ^ (ABC) (Vì (SBC) ^
3
a 3 (ABC)) và SM = 2
S ABC
ABC
.
= = * (Đvtt) V S SM . a 3 16 1 3
ề ằ ạ IV) Đáy là đa giác đ u và các c nh bên b ng nhau
060
ạ , Ví d : ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a, ᄋ ABC =
0. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD
S
A
D
O
45°
G
B
C
12
ớ ể ố ạ SA=SB=SC, SB t o v i đáy 1 góc 45
0 => đáy là hình thoi
ằ ạ Phân tích: Đáy là hình thoi c nh a và có 1 góc b ng 60
ề ở ợ h p b i 2 tam giác đ u.
ề ế Cho SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đ u nên hình chi u
ủ ặ ọ vuông góc c a S trên m t đáy là tr ng tâm tam giác ABC
Tính chi u cao d a vào tam giác vuông cân SGB
ự ề
Gi i:ả
ABCD
2 3 4
a = *Ta có: (Đvdt) S
^ ọ ọ *G i G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có SG (ABC) (vì ABC là tam giác
ề ề đ u và SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đ u)
a 3 ề ế *Vì ABC là tam giác đ u nên BG = BO = ủ . Hình chi u vuông góc c a 2 3 3
0 =>
ữ ặ ặ ằ SB trên m t đáy là GB nên góc gi a SB và m t đáy là góc SBG b ng 45
3
a 3 ạ tam giác SGB vuông cân t i G => SG = BG = 3
S ABCD
ABCD
.
= = * (Đvtt) V S SG . 1 3 a 12
ớ ề ặ ề V) Hai m t bên li n k cùng vuông góc v i đáy
ạ ặ Ví d : ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, các m t S
ằ ẳ ớ ặ bên (SAB) và (SAD) n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, SC = . 3a
a 3
ể ố Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD.
A
D
13
B
C
ạ Phân tích: Đáy là hình vuông c nh a
ế ủ ặ ớ Hai m t bên vuông góc v i đáy thì giao tuy n c a chúng là SA
ớ vuông góc v i đáy
ự Tính SA d a vào tam giác vuông SAC
2
Gi i:ả
ABCD
S a= * ( Đvdt)
ặ ặ ớ ế *Vì hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t đáy nên giao tuy n
2
ớ ủ c a chúng là SA vuông góc v i đáy.
3
= = 2 - ạ *Ta có tam giác SAC vuông t i A nên SA SC AC a
S ABCD
ABCD
.
= = * (Đvtt). V S SA . 1 3 a 3
Ề Ị Ậ C. BÀI T P Đ NGH
ử ộ ố ề Bài 1 (Trích Đ thi th THPT QG năm 2016 Thành ph Hà N i)
ạ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = 2a,
060
ạ ặ ẳ ớ , C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy và SA = . Tính 3a ᄋ BAC =
ể ố theo a th tích kh i chóp S.ABC.
Bài 2 ( Trích ĐH.B.2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nhạ
ề ặ ặ ẳ ớ ằ a, m t bên SAB là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy.
14
ể ố Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD.
Bài 3( Trích ĐH.A.A1.2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ uề
ủ ế ể ặ ẳ ộ ạ c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c
0. Tính
ặ ẳ ằ ữ ạ c nh AB sao cho HA = 2HB.Góc gi a SC và m t ph ng (ABC) b ng 60
ể ố theo a th tích kh i chóp S.ABC.
ử ố ề Cho hình Bài 4 (Trích Đ thi th s 1 năm 2016 trên website: dethithu.net)
ề ằ ặ ẳ chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đ u và n m trong m t ph ng
ặ ẳ ớ ế vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a th ể
ủ ố tích c a kh i chóp S.ABCD.
ử ố ề Cho hình Bài 5 (Trích Đ thi th s 2 năm 2016 trên website: dethithu.net)
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a, tam giác SAC vuông t iạ
ặ ẳ ằ ớ ể S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, SC = . Tính theo a th tích 3a
ố ủ c a kh i chóp S.ABCD.
ử ố ề Cho lăng Bài 6 (Trích Đ thi th s 3 năm 2016 trên website: dethithu.net)
ụ ề ề ạ ỉ tr ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, đ nh A’ cách đ u A, B,
0. Tính theo a th tích
ữ ạ ủ ặ ụ ằ ể C. Góc gi a c nh bên và m t đáy c a lăng tr b ng 60
ố ụ ủ c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’.
ả ủ ệ ệ ế 3. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m
ụ ừ ữ ệ ả ạ ầ T nh ng bi n pháp nêu trên sau khi áp d ng gi ng d y ph n tính th ể
ệ ố ươ ọ ớ ạ ớ tích kh i đa di n trong ch ng I Hình h c l p 12 t i các l p 12A2, 12A4,
ả ạ ạ ớ 12A7 và gi ng d y ôn thi THPT QG t i các l p 12A3, 12A5, 12A6 các em đã
ự ả ể ế ố ố ụ t tin khi gi i quy t bài toán tính th tích kh i chóp, kh i lăng tr trong các
15
ế ử ố ề ể đ ki m tra 1 ti t và thi th THPT Qu c gia.
Ậ
Ế
Ế
Ị
III. K T LU N VÀ KI N NGH
ủ ế ệ ả ế ượ ấ ề ữ : Sáng ki n kinh nghi m c a tôi đã gi i quy t đ c nh ng v n đ sau
ệ ố ề ọ ổ 1. Giúp h c sinh có cái nhìn t ng quát và có h th ng v bài toán tính
ụ ừ ể ố ố ả th tích kh i chóp, kh i lăng tr , t đó có kĩ năng gi ạ i thành th o các bài
ộ ố ủ ề ể ứ ụ ế ộ ơ toán thu c ch đ này và h n th có th ng d ng chúng vào m t s bài
ự ế toán th c t khác.
ả ế ộ ươ ệ ể ể ề i quy t m t cách t ố ng đ i tri t đ bài toán v tính th tích trong 2. Gi
ề ố ấ c u trúc đ thi THPT Qu c gia.
ẽ ệ ườ ố ư ng t ể i u đ tính th ể 3. Thông qua vi c v hình, tính toán, tìm con đ
ộ ậ ệ ạ ả ạ ố tích, t o cho các em kh năng làm vi c đ c l p, sáng t o, phát huy t i đa
16
ự ủ ầ ọ ươ ớ ủ tính tích c c c a h c sinh theo đúng tinh th n ph ng pháp m i c a B ộ
ụ ề ề ạ ạ ọ ắ giáo d c và đào t o. Đi u quan tr ng là t o cho các em ni m tin, kh c
ụ ượ ợ ọ ph c đ ề c tâm lí s bài toán v hình h c không gian.
ộ ố ề ấ M t s đ xu t
ỗ ườ ề ả ệ ệ ọ M i bài toán th ng là có nhi u cách gi i, vi c h c sinh phát hi n ra
ữ ả ầ ượ ữ ế nh ng cách gi i khác nhau c n đ c khuy n khích. Song trong nh ng cách
ả ế ừ ể ầ ạ ọ ượ gi ư i đó c n phân tích rõ u đi m và h n ch t đó ch n đ c cách gi ả ố i t i
ư ệ ầ ớ ữ ả ươ ặ u. Đ c bi t c n chú ý t i nh ng cách gi ả i bài b n, có ph ng pháp và có
ụ ể ươ ề ầ ớ th áp d ng ph ng pháp đó cho nhi u bài toán khác. V i tinh th n nh ư
ướ ể ầ ọ ậ v y và theo h ng này các th y cô giáo cùng các em h c sinh có th tìm ra
ượ ề ề ề ệ ẳ ạ ớ đ c nhi u kinh nghi m hay v i nhi u đ tài khác nhau. Ch ng h n, các
ố ượ ữ ề ứ ọ bài toán v tính góc gi a các đ i t ẳ ng hình h c hay ch ng minh đ ng
ề ứ ụ ủ ứ ọ ươ th c hình h c; các bài toán v ng d ng c a ph ọ ng pháp t a đ đ gi ộ ể ả i
ọ các bài toán hình h c không gian.
ả ơ ệ ả ố Cu i cùng tôi xin chân thành c m n Ban giám hi u, Ban giám kh o và
ệ ề ồ ỡ các đ ng nghi p đã giúp đ và góp ý cho tôi hoàn thành đ tài SKKN này.
ệ ả Tài li u tham kh o
1. B đ thi đ i h c, thi THPT QG, thi th THPT QG t
ạ ọ ộ ề ử ừ ế năm 2012 đ n
2016 trên Website: “thi.moet.edu.vn”; “dethithu.net”
2. Đ thi kh o sát t nh Phú Th , TP Hà N i năm h c 2015 2016
ề ả ọ ộ ọ ỉ
3. Sách giáo khoa Hình h c 12
17
ọ