TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Dương Thị Thu Thuý
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC THỰC
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số :60 46 40
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Quy Nhơn, năm 2008
0
Mục lục
Lời nói đầu ................................... 1
1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20
Kết luận ..................................... 23
Tài liệu tham khảo ............................... 24
1
Lời nói đầu
Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một
nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số
thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những
kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi
là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa
vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát
khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức
biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là
định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo
hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức
P(x)∈R[x]có knghiệm thực thì đa thức P′(x)sẽ có ít nhất k−1nghiệm thực.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P(x)∈R[x]với k
nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
F1(x)=
x
Z
x1
P(t)dt (1)
có đủ k+1 nghiệm thực?
Tương tự, khi nào thì một đa thức P(x)∈R[x]với knghiệm thực cho trước sẽ
cho một nguyên hàm cấp s(s>1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
Fs(x)=
x
Z
xs
Fs−1(x)dt (2)
có đủ k+snghiệm thực?
2
Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý
đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp
đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị
của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được
thoả mãn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến
thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai
là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm
kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo,
tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ
ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa
thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm
đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12,1.14,1.15,1.16,1.17,1.18
1.19 ).
Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương
này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có
dạng đặc biệt và đưa ra cách "nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận
được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1,2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình
bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối
cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số
dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào
tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy
Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này.
3
Hệ thống các ký hiệu
sử dụng trong luận văn
-deg f(x)là bậc của đa thức f(x).
-F0(x)là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x)ứng với hằng số c=0,
tức là F0(x)thoả mãn điều kiện F0(0) = 0.
-Fc(x)là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x)ứng với hằng số c,
tức là Fc(x)=F0(x)+cvới c∈R.
-F0,k(x)là nguyên hàm cấp kcủa đa thức f(x)ứng với hằng số c=0,
tức là F0,k(x)thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0.
-Fc,k(x)là nguyên hàm cấp kcủa đa thức f(x)ứng với hằng số c,
tức là Fc,k(x)=F0,k(x)+cvới c∈R.
-Hnlà tập hợp đa thức với hệ số thực Pn(x)bậc n(n>0) với hệ số tự do bằng 1
(Pn(0) = 1) và có các nghiệm đều thực.
-Mk(f)là tập hợp các nguyên hàm cấp kcủa đa thức f(x).
-R[x]là tập hợp đa thức với hệ số thực.
- sign alà dấu của số thực a, tức là
sign a:=
+khi a>0
0khi a=0
−khi a<0.