Tính chất Neutrino thuận thang điện yếu: Luận án Tiến sĩ Vật lý

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN NHƯ LÊ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NEUTRINO THUẬN THANG ĐIỆN YẾU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 62 44 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS. Phạm Quang Hưng, Đại học Virginia, Hoa Kỳ 2. TS. Võ Tình, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm,

Đại học Huế

HUẾ - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên

cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả, đồ

thị... được nêu trong luận án là trung thực

và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ

công trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Như Lê

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến

Giáo sư Phạm Quang Hưng, Tiến sĩ Võ Tình, những người thầy

mà với tấm lòng nhiệt thành và chu đáo, với sự quan tâm thường

xuyên và tận tụy, đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và

hướng dẫn tôi hoàn thành luận án này.

Tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến

quý báu của các đồng nghiệp trong Khoa Vật lý, Trường Đại học

Sư phạm Huế. Để hoàn thành luận án này, tôi đã nhận được sự

động viên, khuyến khích và tạo điều kiện của lãnh đạo Đại học

Huế, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, của bạn bè đồng

nghiệp. Tự đáy lòng mình tôi xin gửi lòng tri ân đến tất cả.

Huế, tháng 2-2016

Nguyễn Như Lê

iii

MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Danh mục các từ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Bảng đối chiếu thuật ngữ Anh-Việt . . . . . . . . . . . . . . . ix

Danh mục các hình vẽ, đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . 11

1.1 Lý thuyết gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Nguyên lý gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.3 Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 SM của tương tác điện yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.1 Nguyên lý chung thiết lập lý thuyết gauge . . . . 27

1.2.2 Các fermion nghịch và thuận . . . . . . . . . . . . 28

1.2.3 Chọn nhóm gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.4 Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2.5 Khối lượng fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.6 Tham số ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2.7 Lagrangian của SM cho tương tác điện yếu . . . . 39

1.3 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

43 Chương 2. MÔ HÌNH EWνR . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Hạt neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Sơ lược về hạt neutrino . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 Sự dao động neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Khối lượng neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Khối lượng Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Khối lượng Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Cơ chế see-saw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 Cơ chế see-saw loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 Cơ chế see-saw loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.3 Cơ chế see-saw loại III . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Mô hình đối xứng thuận-nghịch . . . . . . . . . . . . . . 53

55 2.5 Mô hình EWνR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Thành phần fermion . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5.2 Thành phần Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.3 Tương tác giữa trường fermion và trường Higgs . 60

2.5.4 Điều kiện ràng buộc chính xác điện yếu trong mô

60 hình EWνR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 3. TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ TRONG MÔ HÌNH

66 EWνR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 Lý thuyết phi tương đối tính cho trạng thái ngưng tụ

trong tương tác Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.1 Thế Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.2 Trạng thái ngưng tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Phương pháp sử dụng phương trình SD cho các trạng thái

. . . . . 70 ngưng tụ của fermion trong mô hình EWνR [77]

3.2.1 Nghiệm của phương trình SD cho năng lượng riêng

của neutrino thuận và quark gương [77] . . . . . . 72

3.2.2 Thang năng lượng của trạng thái ngưng tụ . . . 75

3.2.3 Thang năng lượng cắt . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Hàm β một vòng của các hằng số liên kết Yukawa của

77 fermion trong mô hình EWνR [83] . . . . . . . . . . . . .

77 3.3.1 Khái niệm hàm β của hằng số liên kết . . . . . .

3.3.2 Hàm βgM một vòng của hằng số liên kết Yukawa gM giữa neutrino thuận và tam tuyến Higgs (cid:101)χ . . 3.3.3 Hàm βgqM một vòng của hằng số liên kết Yukawa gqM giữa quark gương và lưỡng tuyến Higgs Φ2M . 3.3.4 Hàm βgeM một vòng của hằng số liên kết Yukawa geM giữa lepton điện gương và lưỡng tuyến Higgs

84 Φ2M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 3.3.5 Kết quả tính số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 3.4 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 4. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG ĐIỆN YẾU ĐỘNG LỰC

91 HỌC TRONG MÔ HÌNH EWνR . . . . . . . . . . . . .

91 4.1 Phá vỡ đối xứng điện yếu động lực học . . . . . . . . . .

91 4.1.1 Lý do nghiên cứu DEWSB . . . . . . . . . . . . .

93 4.1.2 Thang năng lượng của EWSB . . . . . . . . . . .

4.2 Phá vỡ đối xứng điện yếu động lực học trong mô hình

95 EWνR [84] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Khối lượng của hạt Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.1 Phổ khối lượng của các vô hướng . . . . . . . . . 100

4.3.2 Boson Higgs 125-GeV và hạt Higgs trong mô hình

EWνR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Khối lượng của neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.1 Cơ chế see-saw trong mô hình EWνR . . . . . . . 104

4.4.2 VEV của đơn tuyến Higgs φS [84] . . . . . . . . . 107

4.5 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÔNG BỐ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN VĂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

PHẦN PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

vii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Tiếng Việt

Mô hình chuẩn SM

Pontecorno-Maki-Nakagawa-Sakata PMNS

Thí nghiệm phản ứng của dao động neutrino RENO

Điện yếu EW

Lý thuyết thống nhất lớn GUT

Máy gia tốc hadron lớn LHC

Giá trị kỳ vọng chân không VEV

Máy gia tốc tuyến tính quốc tế ILC

DEWSB Phá vỡ đối xứng điện yếu động lực

EWSB Phá vỡ đối xứng điện yếu

SUSY Siêu đối xứng

Higgs nhỏ LH

Higgs song sinh TH

Chiều thêm vào lớn LED

Phim màu TC

Mở rộng phim màu ETC

Nambu-Jona-Lassinio NJL

Schwinger-Dyson SD

Phá vỡ đối xứng tự phát SSB

Điện động lực học lượng tử QED

Sắc động lực học lượng tử QCD

DONUT Thí nghiệm quan sát trực tiếp neutrino tau

Phân bậc thông thường NH

Phân bậc nghịch IH

viii

Viết tắt Tiếng Việt

LSND Máy dò neutrino sử dụng chất lỏng đặc biệt

KARMEN Thí nghiệm neutrino với năng lượng trung bình

Rutherford ở Karlsruhe

CHOOZ Một thành phố của Pháp

NOMAD Máy dò dao động neutrino bằng từ

Nghịch thuận LR

Một trạm thí nghiệm trong hệ thống máy LHC CMS

Fermion gương MF

Tổng cộng tot

Khối tâm cm

Phương trình nhóm tái chuẩn hóa RGE

Bardeen-Cooper-Schrieffer BCS

Phá vỡ đối xứng chéo tự phát SχSB

ATLAS Một trạm thí nghiệm trong hệ thống máy LHC

Ngưng tụ cond

Vô hướng vh

Đối xứng sym

Phá vỡ đối xứng sb

Tỉ lệ của kênh phân rã BR

BẢNG ĐỐI CHIẾU THUẬT NGỮ ANH-VIỆT

Tiếng Anh Tiếng Việt

Standard model Mô hình chuẩn

Electroweak Điện yếu

Vacuum expectation value Giá trị kỳ vọng chân không

General unified theory Lý thuyết thống nhất lớn

Dynamical electroweak Phá vỡ đối xứng điện yếu

symmetry breaking động lực học

Electroweak symmetry breaking Phá vỡ đối xứng điện yếu

Spontaneous symmetry breaking Phá vỡ đối xứng tự phát

Left-right Nghịch-thuận

Renormalization group equation Phương trình nhóm tái chuẩn hóa

Right-handed Thuận

Left-handed Nghịch

Sterile Trơ

Condensate Ngưng tụ

Scale invariance Bất biến thang

Charge current Dòng mang điện

Neutral current Dòng trung hòa

Gauge invariance Bất biến gauge

Quantum electrodynamics Điện động lực học lượng tử

Quantum chromodynamics Sắc động lực học lượng tử

Tiếng Anh Tiếng Việt

Branching ratio Tỉ lệ của kênh phân rã

Momentum cutoff Xung lượng cắt

Energy cutoff Năng lượng cắt

Normal hierarchy Phân bậc thông thường

Inverted hierarchy Phân bậc nghịch

Hierarchy Phân bậc

Danh sách hình vẽ

1.1 Sự định hướng của spin trong (a) pha thuận từ và (b) pha

sắt từ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Thế vô hướng được cho bởi phương trình (1.35) với hai

trường hợp: (a) µ2 > 0 và (b) µ2 < 0. . . . . . . . . . . . 20

2.3 Quá trình phân rã beta theo lý thuyết của E. Fermi. . . 44

2.4 63 (cid:101)SS và (cid:101)SM F trong hai điều kiện ràng buộc 1σ và 2σ [18]. .

3.5 Giản đồ Feynman đóng góp vào vế phải của phương trình

73 SD cho năng lượng riêng của neutrino thuận ΣνR [77]. . .

3.6 Giản đồ Feynman đóng góp vào vế phải của phương trình

. . . 74 SD cho năng lượng riêng của quark gương ΣνR [77].

3.7 Ví dụ điển hình cho hàm β trong phương trình Callan-

Symanzik có điểm cố định bền tử ngoại là λ1 và điểm cố

định bền hồng ngoại là gốc tọa độ và λ2. Chiều của mũi

tên biểu diễn xu hướng biến đổi của hằng số liên kết khi

xung lượng tăng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.8 Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgM một vòng của

80 hằng số liên kết gM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgM một

. . . . . . . . . . . . . . . 81 vòng của hằng số liên kết gM .

3.10 Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgM

82 một vòng của gM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

3.11 Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgqM một vòng của . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 hằng số liên kết gqM .

3.12 Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgqM một . . . . . . . . . . . . . . . 83 vòng của hằng số liên kết gqM .

3.13 Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgqM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 một vòng của gqM .

3.14 Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgeM một vòng của hằng số liên kết geM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgeM một . . . . . . . . . . . . . . . 85 vòng của hằng số liên kết geM .

3.16 Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgeM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 một vòng của geM .

3.17 Sự biến thiên của các hằng số liên kết Yukawa với các giá

trị khối lượng naive ban đầu của νR, eM và qM lần lượt

bằng 200 GeV, 102 GeV và 202 GeV. Mũi tên màu xanh

da trời và màu xanh lục chỉ các giá trị năng lượng tại đó

tam tuyến Higgs χ và lưỡng tuyến Higgs Φ2M tương ứng

nhận VeV [84]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.18 Giản đồ tán xạ WLWL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 Giản đồ tạo khối lượng cho (a) χ0, (b) φ0 . . . . 97

2M [84]. 2 [84].

1 với cường

4.20 Giản đồ tạo khối lượng cho (a) ξ0, (b) φ0 . . . . . . (cid:16) 98 (cid:17) (cid:101)H → γγ, W +W −, ZZ, b¯b, τ ¯τ 4.21 So sánh cường độ tín hiệu µEW νR

của mô hình EWνR trong trường hợp (cid:101)H ∼ H 0 độ tín hiệu được đo bởi CMS [19]. . . . . . . . . . . . . . 103

4.22 Giản đồ tạo VEV cho φS: (a) từ năng lượng riêng của

neutrino thuận, (b) từ năng lượng riêng của quark gương

[84]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

xiii

23 Hàm truyền và đỉnh tương tác trong lý thuyết λφ4. . . . P.4

24 Hàm truyền là tổng của các hàm năng lượng riêng 1PI. . P.5

25 Giản đồ năng lượng riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . P.6

26 Một số giản đồ 1PI phân kỳ một vòng trong thuyết λφ4. P.6

27 Một số giản đồ 1PI phân kỳ một vòng trong thuyết λφ4. P.12

28 Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm β một vòng của

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.23 hằng số liên kết hi.

29 Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgM một

. . . . . . . . . . . . . . . P.24 vòng của hằng số liên kết gM .

30 Đóng góp năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgM một

. . . . . . . . . . . . . . . P.25 vòng của hằng số liên kết gM .

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vật lý hạt cơ bản nghiên cứu các hạt sơ cấp chứa trong vật chất

và bức xạ cùng với những tương tác giữa chúng. Vật lý hạt cơ bản còn

được gọi là vật lý năng lượng cao vì rất nhiều hạt trong số đó không

xuất hiện ở điều kiện môi trường tự nhiên mà chỉ được tạo ra trong các

tia vũ trụ, các phản ứng hạt nhân và trong các máy gia tốc. Vật lý hạt

cơ bản hiện nay là mũi nhọn của vật lý học hiện đại. Những ứng dụng

của nó không chỉ thể hiện trong công nghệ cao ngày nay hay trong đời

sống hằng ngày mà còn có vai trò rất lớn trong vật lý thiên văn, là lời

giải cho nhiều bài toán về bản chất của vũ trụ, không gian và thời gian.

Ý tưởng vật chất được tạo bởi các hạt cơ bản đã xuất hiện từ thế

kỷ thứ 6 trước công nguyên. Thuyết nguyên tử đã được truyền bá bởi

những triết gia người Hy Lạp. Mặc dù từ thế kỷ thứ 17, I. Newton đã

chỉ ra rằng vật chất được tạo bởi các hạt, song mãi đến năm 1802, J.

Dalton mới chứng minh được mọi vật chất đều được cấu tạo bởi các

hạt cực nhỏ, được gọi là các nguyên tử. Năm 1869, bảng tuần hoàn các

nguyên tố hóa học của D. I. Mendeleev đã được xây dựng và củng cố lý

thuyết trên. Vài thập niên sau, khi J. J. Thomson (1897) phát hiện ra

hạt electron, E. Rutherford đặt tên hạt nhân của nguyên tử nhỏ nhất

là proton và hạt neutron được phát hiện bởi J. Chadwick (1932) thì lý

thuyết về cấu tạo của nguyên tử lần đầu tiên được hình thành. Các hạt

cấu trúc của lý thuyết này bao gồm electron, proton và neutron. Thế kỷ

20 chứng kiến sự bùng nổ của vật lý hạt, đỉnh điểm là trong những năm

1950 và 1960, một số lượng lớn các hạt được tìm ra bởi các thí nghiệm

phân rã hạt. Năm 1984, nhà vật lý người Ý, C. Rubia với việc tìm ra

quark đã chứng minh lý thuyết đối xứng Unita trong hạt cơ bản là đúng

đắn. Nghĩa là, vũ trụ được cấu tạo từ sáu hạt quark (u, d, c, s, t, b) và

sáu hạt lepton (e, νe, µ, νµ, τ, ντ ), được chia đều thành ba thế hệ [1]. Các

fermion này liên kết với nhau nhờ bốn tương tác cơ bản bao gồm tương

tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh. Bốn

tương tác này được thực hiện thông qua hạt truyền tương tác là các

boson, graviton cho hấp dẫn, photon ảo cho điện từ, ba boson trung

gian cho tương tác yếu và tám gluon cho tương tác mạnh. Các hạt cấu

trúc và hạt truyền tương tác này đã được tìm thấy trong máy gia tốc,

trừ graviton. Việc tìm hiểu bản chất của vũ trụ qui về tìm hiểu các đặc

trưng vật lý của các hạt cấu trúc và các hạt truyền tương tác thông qua

mô hình chuẩn (SM)[2]. SM cho tương tác điện yếu là lý thuyết trường

tái chuẩn hóa gần như phù hợp với các số liệu thực nghiệm, tiên đoán

đúng sự tồn tại và dạng của dòng trung hòa yếu [3, 4], sự tồn tại và

khối lượng của các boson truyền tương tác yếu W và Z [5, 6] và các hạt

quark, trong đó thành công mới nhất là sự phát hiện ra hạt quark đỉnh

[7]. Mặc dù SM được công nhận là đúng thông qua những thí nghiệm

kiểm chứng hiện đại nhất ngày nay, tuy nhiên nó vẫn chưa hoàn chỉnh

để có thể mô tả tự nhiên một cách trọn vẹn. SM còn bộc lộ nhiều thiếu

sót cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Đặc biệt, hiện tượng dao động

neutrino được phát hiện bởi phòng thí nghiệm Super-Kamiokande [8]

là một trong những bằng chứng thực nghiệm tiêu biểu chứng tỏ sự cần

thiết phải mở rộng SM. Nguyên nhân tại sao neutrino có khối lượng và

rất bé là vấn đề các mô hình mở rộng SM cần nghiên cứu.

Trên thực tế, vật lý neutrino đã có những thành công nhất định

từ phép đo chính xác các góc trộn trong ma trận UP M N S của neutrino.

Cụ thể, giá trị của góc θ13 được xác định tương đối lớn tại thí nghiệm

Daya Bay [9] và thí nghiệm RENO [10] đã xác nhận kết quả này. Tuy

nhiên, những thành tựu trong vật lý neutrino này chưa thể xác định được

neutrino là hạt Majorana hay hạt Dirac cùng với nguồn gốc khối lượng

bé của nó. Neutrino có khối lượng rất bé so với các fermion khác, có bậc

vào cỡ O(eV). Cách đơn giản để tạo khối lượng cho neutrino là thêm

vào SM một neutrino thuận đơn tuyến, tạo cho nó khối lượng Dirac [11].

Tuy nhiên, để giải thích khối lượng của neutrino, giá trị của hằng số liên

kết Yukawa trong mô hình này rất bé, vào bậc 10−11. Tiếp theo, cơ chế

see-saw được đề xuất [12], trong đó neutrino thuận (hay còn được gọi là

Rσ2νR và số hạng khối lượng Dirac mD ¯νLνR + h.c.. Khi MR (cid:29) mD, ma trận khối lượng

neutrino phân cực phải) là đơn tuyến của SU (2)L × U (1)Y . Lagrangian của neutrino chứa số hạng khối lượng Majorana MRνT

của neutrino có hai trị riêng tương ứng là và MR. Trong phiên bản m2 D MR

đơn giản nhất của chế see-saw, νR là các đơn tuyến của SM nên chúng

trơ và mD ∝ (ΛEW ), MR ∝ O(ΛGU T ). Như vậy, mặc dù cơ chế see-saw

giải thích được tại sao neutrino có khối lượng bé nhưng dễ thấy rằng,

νR trong mô hình này trơ và không thể dò tìm được trong thực nghiệm.

Để khắc phục những nhược điểm này, Phạm Quang Hưng đã đề xuất

mô hình khối lượng neutrino thuận thang điện yếu (EWνR) với nhóm

gauge tương ứng là SU (3)C × SU (2)W × U (1)Y [13], trong đó νR nằm

trong lưỡng tuyến SU (2)W và hạt song hành với nó là lepton mang điện

gương. Với đặc trưng này, mô hình EWνR có hai ưu điểm nổi bật. Thứ

nhất, νR không trơ và có thể tương tác với các boson W và Z. Thứ hai,

vì νR là thành viên của lưỡng tuyến nên có thể thu được số hạng khối

lượng Majorana của neutrino khi tam tuyến Higgs nhận giá trị kỳ vọng

chân không (VEV), phá vỡ đối xứng SU (2)W × U (1)Y . Theo đó, khối

lượng MR có bậc vào cỡ thang điện yếu, MR ∝ O(ΛEW ). Với đặc tính

này νR và bản chất Majorana của neutrino có thể được dò tìm và kiểm

chứng trong máy gia tốc hadron lớn (LHC) hoặc máy gia tốc tuyến tính

quốc tế (ILC) trong tương lai.

Phiên bản đầu tiên của mô hình EWνR [13] đã được đề xuất vào

năm 2007, trong đó chú trọng đến việc giải thích khối lượng nhỏ của

neutrino với neutrino thuận có khối lượng vào bậc của thang điện yếu.

Những năm tiếp theo, một số vấn đề quan trọng của mô hình như các

quá trình vi phạm hương, hệ quả của sự thống nhất của Pati-Salam của

neutrino hoạt động, thành phần Higgs của mô hình đã được nghiên cứu

chi tiết [14–16]. Thông qua dữ liệu điện yếu chính xác và việc khám phá

ra hạt boson Higgs khối lượng 125 GeV [17], mô hình này được cộng

đồng các nhà vật lý hạt đánh giá rất cao và khẳng định sự tồn tại của nó

trong hệ thống lý thuyết của vật lý hạt hiện đại. Cụ thể, kết quả nghiên

cứu được trình bày chi tiết trong [18] đã chứng tỏ mô hình EWνR thỏa

mãn số liệu thực nghiệm điện yếu chính xác dựa trên sự tồn tại của

các tam tuyến Higgs. Phần đóng góp dương vào thông số S và T từ các

fermion gương và neutrino thuận triệt tiêu với phần đóng góp đến từ các

tam tuyến Higgs. Thêm vào đó, phiên bản mở rộng mô hình EWνR chứa

lưỡng tuyến Higgs thứ hai [19] thể hiện sự phù hợp của lý thuyết với dữ

liệu thực nghiệm của hạt boson Higgs 125-GeV. Những nghiên cứu liên

quan đến phiên bản mở rộng của mô hình EWνR tiếp tục được xuất bản

như khối lượng neutrino và ma trận UP M N S, các quá trình phân rã vi

phạm hương lepton và sự dò tìm quark gương tại LHC [20–22].

Như vậy, việc xây dựng một lý thuyết đầy đủ cho mô hình EWνR

đóng vai trò cấp thiết và quan trọng, góp phần giải thích các hiện tượng

trong lĩnh vực vật lý năng lượng cao. Trong phiên bản đầu tiên của mô

hình EWνR, cơ chế see-saw được đưa ra để giải thích khối lượng bé của

neutrino. Tuy nhiên, lý thuyết về sự phá vỡ đối xứng điện yếu động lực

(DEWSB) để các trường Higgs nhận VEV chưa được đề cập đến. Các

tính chất của neutrino thuận và vai trò của nó trong cơ chế tạo khối

lượng này chưa được làm rõ. Với các vấn đề còn bỏ ngỏ ở trên, tôi chọn

tài nghiên cứu “Một số tính chất của neutrino thuận thang điện

yếu” làm đề tài luận án tiến sĩ của mình.

2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề

Trên thực tế, việc không giải thích được bản chất của phá vỡ đối

xứng điện yếu (EWSB) mà hạt Higgs với khối lượng chưa biết đóng vai

trò trung tâm là một trong những hạn chế của SM. Đối xứng của SM

bị phá vỡ một cách tự phát bởi thế Higgs có dạng V (Φ+Φ) = µ2Φ+Φ + λ (Φ+Φ)2, trong đó Φ là một trường vô hướng cơ sở. Điều này đã dẫn đến nhiều vấn đề chưa được giải đáp như tại sao µ2 phải có giá trị âm

hay vấn đề về phân bậc, tại sao thang điện yếu v ∝ O(GeV) lại bé hơn

rất nhiều lần so với thang Planck, MP ∝ O(1019 GeV). Cách phổ biến

giải quyết vấn đề này là sử dụng sự triệt tiêu giữa các đóng góp phân

kỳ bậc bốn của fermion và của boson đã được đề xuất trong một số mô

hình như mô hình Siêu đối xứng (SUSY), Higgs nhỏ (LH), Higgs song

sinh (TH), ... [23]. Một ý tưởng khác có thể được tìm thấy trong các

mô hình Chiều thêm vào lớn (LED), mô hình phi Higgs [23], trong đó

các chiều thêm vào đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết vấn

đề phân bậc. Ngoài ra, cơ chế DEWSB, trong đó các trạng thái ngưng

tụ của fermion sẽ thay thế cho trường Higgs cơ bản được rất nhiều nhà

vật lý hạt quan tâm và sử dụng để giải quyết vấn đề này. Nhiều mô

hình chẳng hạn như mô hình Higgs đa hợp, phim màu (TC), mở rộng

phim màu (ETC), top-color [23], ..., trong đó có mô hình EWνR đã chọn

hướng giải quyết này.

Tiên phong trong hướng nghiên cứu này là các mô hình xem trạng

thái ngưng tụ của quark đỉnh là tác nhân của DEWSB [24] và mô hình

Nambu-Jona-Lassinio (NJL) [25] khi được tổng quát hóa. Tuy nhiên, để

hình thành trạng thái ngưng tụ cần fermion có khối lượng lớn hơn mt.

Bên cạnh đó, các mô hình ngưng tụ quark (hay các mô hình NJL, trong

đó các fermion ngưng tụ có khối lượng vào bậc của O(mt)) và thang cắt

của các tương tác mạnh mới có bậc lớn hơn nhiều so với mt, nghĩa là vào cỡ O(1017 GeV), theo đó, dẫn đến sự hiệu chỉnh bé trong cơ chế

DEWSB. Những khó khăn này của các mô hình ngưng tụ quark đỉnh là

động lực cho việc tìm hiểu mô hình mới phù hợp hơn [26–34].

Công trình nghiên cứu [32] đề xuất mô hình, trong đó các trạng

thái ngưng tụ của fermion nặng thế hệ thứ tư là tác nhân của DEWSB.

Thế hệ fermion thứ tư sẽ ngưng tụ khi tương tác với một lưỡng tuyến

Higgs cơ sở được giả thiết không khối lượng và không có VEV ở mức cây,

nghĩa là, không chứa số hạng µ2φ+φ. Năng lượng riêng của fermion được

xác định thông qua phương trình Schwinger-Dyson (SD). Công trình [32]

≥ , nghiệm của phương trình SD thỏa mãn g2 Y 4π π 2

Lt(cid:48)

R(cid:105) có thể được viết dưới dạng của năng lượng riêng của fermion thế hệ thứ tư t(cid:48). Trong mô hình

đã chỉ ra rằng khi αY = điều kiện ngưng tụ. Trạng thái ngưng tụ (cid:104)¯t(cid:48)

này, thang xung lượng cắt TeV của hệ vật lý được đưa ra một cách “tự

nhiên” nhất.

DEWSB trong mô hình EWνR sẽ dựa trên cơ chế đã được trình

bày trong [32], trong đó neutrino thuận và fermion gương trong mô hình

sẽ ngưng tụ khi tương tác lần lượt với tam tuyến Higgs và lưỡng tuyến

Higgs cơ sở khi năng lượng đủ lớn. Đối xứng của mô hình EWνR sẽ bị

phá vỡ do sự xuất hiện của các trạng thái ngưng tụ. Theo đó, các trường

Higgs nhận VEV và vai trò, đặc trưng của neutrino sẽ thể hiện rõ trong

chơ chế see-saw tạo khối lượng cho neutrino của mô hình EWνR.

3. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài luận án bao gồm các mục tiêu sau

- Tìm điều kiện để neutrino thuận và quark gương trong mô hình

EWνR ngưng tụ.

- Tìm thang năng lượng để hình thành trạng thái ngưng tụ của

neutrino thuận và quark gương.

- Xây dựng cơ chế DEWSB cho mô hình EWνR.

- Thông qua cơ chế DEWSB, giải thích khối lượng bé của neutrino.

- Trong mỗi phần làm rõ các đặc trưng, vai trò của neutrino thuận.

4. Nội dung nghiên cứu

Các nội dung cụ thể cần nghiên cứu bao gồm

- Sử dụng phương trình SD cho năng lượng riêng của neutrino

thuận và quark gương tìm điều kiện của các hằng số liên kết Yukawa để

các trạng thái ngưng tụ tương ứng hình thành.

- Sử dụng lý thuyết nhóm tái chuẩn hóa tìm hàm β một vòng của

các hằng số liên kết Yukawa của neutrino thuận và fermion gương.

- Thực hiện giải số các phương trình nhóm tái chuẩn hóa để tìm

thang năng lượng tại đó hình thành các trạng thái ngưng tụ của neutrino

thuận và fermion gương.

- Xây dựng lý thuyết về DEWSB, tạo VEV cho các trường Higgs

cơ sở trong mô hình EWνR.

- Mô tả sự hình thành khối lượng của neutrino theo cơ chế see-saw

trong mô hình EWνR.

5. Phạm vi nghiên cứu

Luận án chỉ giới hạn trong phạm vi nghiên cứu tương tác điện yếu

trong mô hình EWνR.

6. Phương pháp nghiên cứu

Khi xây dựng mô hình DEWSB luận án dựa trên lý thuyết gauge

cho tương tác yếu. Các đặc trưng của trạng thái ngưng tụ fermion trong

mô hình EWνR được làm rõ thông qua phương pháp hàm Green trong

lý thuyết trường lượng tử, cụ thể là phương trình SD cho năng lượng

riêng của các fermion tương ứng. Bên cạnh đó, phương trình nhóm tái

chuẩn hóa và phương pháp số dựa trên phần mềm Mathematica đã được

sử dụng để tính hàm β của các hằng số Yukawa của fermion gương và

neutrino thuận. Ngoài ra, phương pháp giản đồ Feynman đã được áp

dụng khi tính các biểu thức giải tích của hàm β hay các tham số trong

thế hiệu dụng Higgs.

7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần quan trọng

vào nỗ lực tìm hiểu bản chất của cơ chế Higgs, nguồn gốc tạo khối lượng

cho vật chất. Đề xuất được mô hình DEWSB phù hợp và giải thích khối

lượng bé của neutrino. Bản chất của vũ trụ, vật chất tối, năng lượng

tối theo đó sẽ dần được làm rõ một khi lý thuyết về hạt cơ bản được

hoàn chỉnh. Ngoài ra, kết quả của đề tài còn có vai trò định hướng, cung

cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm trong việc dò tìm các hạt fermion

trong mô hình EWνR.

8. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các tài liệu tham khảo và

phần phụ lục, nội dung luận án gồm 4 chương, 18 mục với 19 hình vẽ, 3

đồ thị, 3 biểu bảng, được bố trí như sau

- Chương 1 gồm hai phần chính. Phần thứ nhất trình bày nguyên

lý gauge và các khái niệm về phá vỡ đối xứng tự phát (SSB) cùng cơ chế

Higgs. Phần thứ hai trình bày quy trình xây dựng mô hình SM dựa trên

các nguyên lý cơ bản thiết lập lý thuyết gauge. Để có cái nhìn tổng quan

về SM, Lagrangian của mô hình này được tổng hợp trong mục cuối của

phần 2.

- Chương 2 gồm năm phần chính. Phần thứ nhất sơ lược về hạt

neutrino và bằng chứng thực nghiệm chứng minh neutrino có khối lượng.

Các phần tiếp theo trình bày lý thuyết về khối lượng neutrino trong SM,

cơ chế see-saw và mô hình đối xứng thuận-nghịch (LR) tạo khối lượng

cho neutrino. Phần cuối cùng của chương sẽ trình bày tổng quan về mô

hình EWνR.

- Chương 3 gồm ba phần chính. Phần đầu sơ lược về sự hình thành

trạng thái ngưng tụ trong giới hạn phi tương đối tính. Theo đó, điều kiện

tối thiểu để một fermion ngưng tụ được đề cập đến. Phương pháp sử

dụng phương trình SD để tìm điều kiện hình thành và khảo sát các đặc

trưng của trạng thái ngưng tụ của neutrino thuận và quark gương sẽ

được trình bày ở phần tiếp theo. Hàm β một vòng của các hằng số liên

kết Yukawa của neutrino thuận và fermion gương sẽ được tính giải tích

và thang năng lượng để các các trạng thái ngưng tụ hình thành sẽ được

xác định thông qua nghiệm số của các phương trình nhóm tái chuẩn hóa

tương ứng.

- Chương 4 gồm bốn phần chính. Phần đầu đưa ra những lý do

nghiên cứu DEWSB và trình bày phương pháp xác định thang năng

lượng của EWSB. Phần thứ hai xây dựng cơ chế DEWSB trong mô hình

EWνR, trong đó trình bày quá trình động lực học tạo khối lượng cho

các Higgs cơ sở và mô tả sự phá vỡ đối xứng của mô hình EWνR khi các

Higgs cơ sở nhận VEV. Phần tiếp theo đề cập đến phổ khối lượng của

các vô hướng và đối chiếu kết quả này với số liệu thực nghiệm của boson

Higgs-125 GeV. Các đặc trưng của neutrino thuận sẽ được làm rõ thông

qua cơ chế see-saw trong mô hình EWνR và được trình bày trong phần

cuối của chương.

Bên cạnh nội dung chính, mỗi chương đều có phần kết luận chung.

Ngoài ra, trong chương 2, 3 và 4 có thêm phần kết luận về đặc trưng và

vai trò của neutrino thuận tương ứng. Phần phụ lục trình bày khái quát

về lý thuyết tái chuẩn hóa và nhóm tái chuẩn hóa.

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 3 công trình

dưới dạng 1 bài báo đăng ở tạp chí trong nước và 2 bài báo đăng ở tạp

chí nước ngoài.

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Nội dung của chương 1 gồm hai phần chính. Phần thứ nhất trình

bày nguyên lý gauge và các khái niệm về SSB cùng cơ chế Higgs. Phần

thứ hai trình bày quy trình xây dựng mô hình SM dựa trên các nguyên

lý cơ bản thiết lập lý thuyết gauge. Cụ thể, cơ chế Higgs tạo khối lượng

cho boson gauge và fermion được xây dựng dựa trên nhóm gauge của

SM. Tiếp theo, tham số ρ liên quan đến EWSB được trình bày ở mục

1.2.6. Để có cái nhìn tổng quan về SM, Lagrangian của mô hình này

được tổng hợp trong mục cuối của phần 2.

1.1.1 Nguyên lý gauge

1.1 Lý thuyết gauge

Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lý

học. Từ đối xứng không thời gian của lý thuyết tương đối đặc biệt đến

bất biến gauge, chúng đã và đang vạch ra lộ trình phát triển của các lý

thuyết vật lý. Đối với lý thuyết trường và vật lý hạt, tính đối xứng được

thể hiện thông qua định lý Noether [1]: điều kiện Lagrangian bất biến với

phép biến đổi liên tục bất kỳ nào đó cho phép suy ra tính chất bảo toàn

của một đại lượng động lực đối với thời gian. Nghĩa là, định lý Noether

thiết lập toàn bộ các định luật bảo toàn. Theo đó, khi Lagrangian bất

biến đối với phép biến đổi đối xứng bất kỳ sẽ xác định dạng của tương

tác giữa các hạt. Hay nói cách khác, đối xứng bao hàm động lực học.

Trên thực tế, đặc tính này đã xuất hiện trong điện động lực học lượng

tử (QED). Trong QED, sự tồn tại và một vài tính chất của trường gauge

photon được suy ra từ nguyên lý của sự bất biến dưới các phép biến đổi

gauge cục bộ của nhóm U (1). Theo A. Salam và J. C. Ward, nguyên lý

này được tổng quát hoá cho các tương tác khác [35]: “Có thể tạo ra các

số hạng tương tác mạnh, yếu và điện từ bằng việc thực hiện phép biến

đổi gauge cục bộ lên các số hạng động năng trong Lagrangian tự do của

các hạt”. Trên thực tế, ý tưởng này chỉ được thực hiện được khi đã có

lý thuyết hoàn chỉnh mô tả các tương tác trên. Đối với tương tác yếu,

sự có mặt của các boson mang khối lượng dẫn đến sự cần thiết đưa vào

khái niệm về SSB của đối xứng gauge và cơ chế Higgs [36–38]. Đối với

tương tác mạnh [39, 40], lý thuyết gauge tương ứng là sắc động lực học

lượng tử (QCD).

a) Bất biến gauge trong cơ học lượng tử

Nguyên lý gauge và khái niệm về bất biến gauge đã được đề cập

trong bài toán hạt trong điện từ trường của cơ học lượng tử [41]. Khảo

sát Hamiltonian cổ điển

(cid:16) (cid:17)2 H = (cid:126)p − q (cid:126)A + qφ, (1.1) 1 2m

trong đó các trường điện và từ được biểu diễn thông qua thế bốn chiều Aµ = (φ, (cid:126)A),

(cid:126)E = −(cid:126)∇φ − , (cid:126)B = (cid:126)∇ × (cid:126)A. (1.2) ∂ (cid:126)A ∂t

Các trường này không thay đổi khi thực hiện phép biến đổi gauge cho

các thế

(cid:126)A → (cid:126)A(cid:48) = (cid:126)A + (cid:126)∇χ. (1.3) , φ → φ(cid:48) = φ − ∂(cid:126)χ ∂t

Khi lượng tử hóa Hamiltionian (1.1) bằng việc thay (cid:126)p → −i(cid:126)∇,

phương trình Schrodinger cho hạt nằm trong điện từ trường có dạng

(cid:21) (cid:16) (cid:17)2 −i(cid:126)∇ − q (cid:126)A , (1.4) + qφ ψ(x, t) = i (cid:20) 1 2m ∂ψ(x, t) ∂t

và có thể được viết dưới dạng sau

(cid:16) (cid:17)2 −i (cid:126)D (1.5) ψ = iD0ψ, 1 2m

trong đó phép thế đã được thực hiện như sau

+ iqφ. (1.6) (cid:126)D = (cid:126)∇ − iq (cid:126)A, → D0 = ∂ ∂t ∂ ∂t

0ψ(cid:48),

(cid:16) Nếu thực hiện phép biến đổi gauge được cho bởi phương trình (1.3), (φ, (cid:126)A) → (φ(cid:48), (cid:126)A(cid:48)) thì trường mới ψ(cid:48) là nghiệm của phương trình −i (cid:126)D(cid:48)(cid:17)2 ψ(cid:48) = iD(cid:48) (1.7) 1 2m

không mô tả hệ vật lý ban đầu. Như thế, để đảm bảo tính bất biến, phép

biến đổi pha cho trường vật chất tại cùng thời điểm t phải được đưa vào

dưới dạng

ψ(cid:48) = exp(iqχ)ψ, (1.8)

với χ = χ(x, t) là hàm đã được sử dụng trong phương trình (1.3). Đạo

hàm của ψ(cid:48) có dạng

(cid:126)D(cid:48)ψ(cid:48) = (cid:105) (cid:104)(cid:126)∇ − iq(cid:0) (cid:126)A + (cid:126)∇χ) exp(iqχ)ψ = exp(iqχ) (cid:126)Dψ,

0ψ(cid:48) = exp(iqχ)D0ψ.

D(cid:48) (1.9)

Theo đó, phương trình Schrodinger (1.5) cho ψ(cid:48) trở thành

(cid:16) ψ(cid:48) = exp(iqχ) −i (cid:126)D(cid:48)(cid:17)2 (−i (cid:126)D)2ψ 1 2m

0ψ(cid:48).

(1.10) 1 2m = exp(iqχ)(iD0)ψ = iD(cid:48)

Các phương trình (1.5) và (1.10) chứng tỏ cả ψ và ψ(cid:48) đều mô tả cùng

một hệ vật lý, vì |ψ|2 = |ψ(cid:48)|2.

Từ bất biến gauge trong cơ học lượng tử, cụ thể là bài toán hạt

nằm trong điện từ trường, lý thuyết bất biến của một trường bất kỳ dưới

phép biến đổi pha phụ thuộc không thời gian sẽ suy ra một dạng tương

tác tương ứng với trường gauge. Hay nói các khác, đối xứng có thể bao

hàm động lực học. Khảo sát Lagrangian Dirac tự do

(1.11) Lψ = ¯ψ(i/∂ − m)ψ.

Lagrangian này không bất biến dưới phép biến đổi gauge cục bộ,

(1.12) ψ → ψ(cid:48) = exp(cid:2) − iα(x)(cid:3)ψ,

vì

ψ = Lψ + ¯ψγµψ(∂µα).

(1.13) Lψ → L(cid:48)

Tuy nhiên, nếu trường gauge Aµ được đưa vào thông qua tương tác bé

(1.14) Dµ ≡ ∂µ + ieAµ

và tại cùng thời điểm đó đảm bảo Aµ biến đổi dưới dạng

µ = Aµ +

(1.15) ∂µα, Aµ → A(cid:48) 1 e

thì Lagrangian biến đổi như sau

ψ = ¯ψ(cid:48)(cid:2)i/∂ − e /A(cid:48) − m(cid:3)ψ(cid:48) (cid:16)

Lψ → L(cid:48) (cid:21) (cid:17) /∂α − m exp(−iα)ψ (cid:20) = ¯ψexp(+iα) i/∂ − e /A + 1 e

(1.16) = Lψ − e ¯ψγµψAµ.

Tương tác giữa ψ (nghĩa là các electron) và trường gauge Aµ (photon)

tất yếu sẽ xuất hiện khi bất biến dưới phép biến đổi gauge cục bộ của

các số hạng động năng trong Lagrangian fermion tự do được đảm bảo.

Mặt khác, vì ten-xơ cường độ trường

(1.17) Fµν = ∂µAν − ∂νAµ,

bất biến dưới phép biến đổi gauge (1.15), nên Lagrangian cho trường

gauge tự do có dạng

(1.18) LA = − FµνF µν. 1 4

Lagrangian trong các phương trình (1.16) và (1.18) mô tả QED. Ngoài

ra, vì số hạng khối lượng của trường gauge

A = −

(1.19) Lm AµAµ, 1 2

không bất biến dưới phép biến đổi gauge (1.15). Vì thế, để đảm bảo tính

tái chuẩn hoá của lý thuyết, các boson vector mang khối lượng phải được

mô tả theo phương pháp bất biến gauge.

b) Bất biến gauge cho các nhóm phi abel

Năm 1932, W. Heisenberg [42] đã đưa ra giả thuyết rằng, trong

tương tác hạt nhân, các proton và neutron bị suy biến vì khối lượng của

chúng gần giống nhau và tương tác điện từ không đáng kể. Vì thế, tổ

hợp bất kỳ hàm sóng nào của chúng có thể tương đương với

(cid:19) (cid:18)ψp → ψ(cid:48) = U ψ, (1.20) ψ ≡

ψn

trong đó phép biến đổi unitary U (U +U = U U + = 1) được đưa vào

để đảm bảo tính chuẩn hóa. Ngoài ra, nếu định thức của U bằng 1,

det|U | = 1 thì U biểu diễn nhóm Lie SU (2)

(cid:16) U = exp − i αa(cid:1) (cid:39) 1 − i αa, (1.21) σa 2 σa 2

trong đó σa(a = 1, 2, 3) là các ma trận Pauli.

Năm 1954, C. N. Yang và R. L. Mills [43] đưa ra ý tưởng về bất

biến đồng vị gauge cục bộ: “Sự khác nhau giữa proton và neutron thể

hiện tại mỗi thời điểm của một quá trình hoàn toàn bất kỳ. Tuy nhiên,

tính bất kỳ này bị giới hạn: một khi tại một điểm không thời gian nào

đó, nếu hạt proton và neutron ban đầu được chọn thì tại điểm không

thời gian tiếp theo việc chọn lựa không còn tùy ý được”. Từ luận điểm

này cho thấy có thể chọn tự do hạt nào là proton và neutron tại mọi

điểm không thời gian miễn là các tham số gauge phụ thuộc vào các điểm

không thời gian đó, nghĩa là, αa → αa(x).

Năm 1956, ý tưởng này được tổng quát hóa bởi R. Utiyama [44]

cho bất kỳ nhóm phi abel nào với các phần tử sinh ta thỏa mãn đại số

Lie [45]

(1.22) [ta, tb] = iCabctc,

trong đó Cabc là hằng số cấu trúc của nhóm. Lagrangian Lψ sẽ bất biến

dưới phép biến đổi trường vật chất

ψ → ψ(cid:48) = Ωψ, (1.23)

với

Ω ≡ exp(cid:2) − iT aαa(x)(cid:3), (1.24)

trong đó T a là biểu diễn thuận tiện (nghĩa là phụ thuộc vào các trường

ψ) của các phần tử sinh ta.

Một trường gauge được gán tương ứng với một phần tử sinh. Đạo

hàm hiệp biến được định nghĩa như sau

(1.25) Dµ ≡ ∂µ − igT aAa µ.

Vì đạo hàm hiệp biến biến đổi giống trường vật chất, nghĩa là Dµψ →

Ω(Dµψ), nên tính bất biến dưới phép biến đổi gauge phi abel cục bộ cho

các số hạng chứa các trường và gra-đi-iên của nó được đảm bảo khi phép

biến đổi trường gauge dưới dạng

µ → Ω

µ +

(cid:17) (cid:16) Ω−1. (1.26) T aAa T aAa ∂µ i g

Dưới dạng vi phân, khi Ω (cid:39) 1 − iT aαa(x) dẫn đến

µ −

µ = Aa

(1.27) Aa(cid:48) ∂µαa + CabcαbAc µ. 1 g

Như vậy, ten-xơ cường độ trường (1.17) cho nhóm Lie phi abel

được tổng quát hóa như sau

µν ≡ ∂µAa F a

ν − ∂νAa

µ + gCabcAb

µAc ν.

(1.28)

µν → F a

µν + CabcαbF c

µν. Số hạng

Các ten-xơ này biến đổi dưới dạng: F a(cid:48)

động năng bất biến cho các boson gauge được viết dưới dạng sau

µνF aµν. F a

(1.29) LA = − 1 4

Đại lượng này bất biến dưới phép biến đổi gauge cục bộ. Tuy nhiên, số

hạng khối lượng cho các boson gauge

µAaµ →

µ − (cid:18)

(cid:19) (cid:18) Aa Aa ∂µαa + CabcαbAc µ 1 g (cid:19) (1.30) × Aaµ − ∂µαa + CabcαdAeµ 1 g

không bất biến gauge.

Lưu ý rằng, trường hợp

F ∝ (∂A − ∂A) + gAA, (1.31)

không giống với nhóm abel nên sẽ có đặc trưng mới: các trường gauge

sẽ có các số hạng tự tương tác bậc ba và bốn

1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát

(1.32) LA ∝ (∂A − ∂A)2 + g(∂A − ∂A)AA + g2AAAA.

Các đối xứng chính xác nói chung sẽ dẫn đến các định luật bảo

toàn chính xác. Trong trường hợp này, cả Lagrangian và trạng thái chân

không (trạng thái cơ bản của thuyết) đều bất biến. Tuy nhiên, trên thực

tế có một vài định luật bảo toàn không hoàn toàn chính xác, ví dụ, định

luật bảo toàn spin đồng vị, số lạ, ... Khi đó, để mô tả hệ, Lagrangian

bất biến (Lsym) được thêm vào một số hạng nhỏ, phá vỡ tính đối xứng

này (Lsb)

(1.33) L = Lsym + Lsb.

Trường hợp khác, nếu hệ có Lagrangian bất biến nhưng trạng thái chân

Hình 1.1: Sự định hướng của spin trong (a) pha thuận từ và (b) pha sắt

không không bất biến thì hệ đó cũng xảy ra hiện tượng SSB. Chất sắt

từ.

từ là ví dụ điển hình cho trường hợp này, với Lagrangian mô tả tương

tác spin-spin bất biến dưới các phép quay ba chiều. Khi nhiệt độ lớn

hơn nhiệt độ chuyển sắt từ (TC), spin của hệ hoàn toàn hỗn độn (pha

thuận từ), vì thế, trạng thái chân không cũng bất biến dưới phép biến

đổi SO(3). Tuy nhiên, khi nhiệt độ thấp hơn TC (pha sắt từ), sự từ hóa

tự phát của hệ xuất hiện, sắp xếp các spin theo một hướng nhất định.

Pha sắt từ lúc này chỉ bất biến dưới phép biến đổi SO(2), là nhóm quay

hai chiều có trục là phương của spin. Như thế, đối xứng SO(3) của chất

sắt từ bị phá vỡ tự phát thành SO(2).

a) Phá vỡ đối xứng tự phát trong trường vô hướng thực tự

tương tác

Trong lý thuyết trường lượng tử, trường vô hướng thực tự tương

tác là ví dụ điển hình nhất cho sự SSB. Lagrangian của trường này có

dạng sau

L = (1.34) ∂µφ∂µφ − V (φ), 1 2

trong đó

V (φ) = µ2φ2 + λφ4. (1.35) 1 2 1 4

Trong lý thuyết về chuyển pha của sắt từ, mật độ năng lượng tự do

Gibbs tương tự như thế V (φ), với φ đóng vai trò là sự từ hóa tự phát

trung bình M . Lagrangian (1.34) bất biến dưới phép biến đổi

φ → −φ. (1.36)

Xét tính bất biến của trạng thái chân không dưới phép biến đổi trên.

Trạng thái chân không (φ0) có thể thu được từ Hamiltonian

(cid:104) H = + V (φ). (1.37) (∂0φ)2 + (∇φ)2(cid:105) 1 2

Giá trị φ0 là hằng số tương ứng với giá trị cực tiểu của thế năng và năng

lượng

0) = 0.

(1.38) φ0(µ2 + λφ2

Để đảm bảo tính liên kết của Hamilton, λ có giá trị dương. Theo đó, giá

trị cực tiểu phụ thuộc vào dấu của µ2. Khi µ2 > 0, chỉ tồn tại một trạng

các giá trị φ±

thái chân không tại φ0 = 0 và nó bất biến dưới phép biến đổi (1.36). Tuy nhiên, khi µ2 < 0 có hai trạng thái chân không xuất hiện, tương ứng với 0 = ±(cid:112)−µ2/λ. Đây là trường hợp số hạng khối lượng φ bị sai dấu. Do Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi (1.36), nên việc

0 hay φ−

0 đều không ảnh hưởng đến tính bất biến đó. Tuy nhiên, một khi đã chọn một trong hai giá trị này thì đối xứng sẽ bị

lựa chọn giữa φ+

phá vỡ tự phát vì Lagrangian bất biến nhưng trạng thái chân không thì

Hình 1.2: Thế vô hướng được cho bởi phương trình (1.35) với hai trường

không.

hợp: (a) µ2 > 0 và (b) µ2 < 0.

Xây dựng một trường mới φ(cid:48) bằng việc thay đổi trường cũ một

lượng v = (cid:112)−µ2/λ

φ(cid:48) ≡ φ − v. (1.39)

0 = 0 bất biến và xung quanh trạng thái chân không thế năng có dạng dao động nhỏ. Đồng thời, La-

Trạng thái chân không của trường mới φ(cid:48)

grangian trở thành

(cid:17)2 (cid:16)(cid:112) L = −2µ2 λφ(cid:48)4. (1.40) φ(cid:48)2 − λvφ(cid:48)3 − ∂µφ(cid:48)∂µφ(cid:48) − 1 2 1 2 1 4

Lagrangian này mô tả trường vô hướng φ(cid:48) có khối lượng dương và thực, Mφ(cid:48) = (cid:112)−2µ2, và nó mất tính đối xứng ban đầu do xuất hiện số hạng chứa φ(cid:48)3.

b) Phá vỡ đối xứng tự phát trong trường vô hướng phức tự

tương tác

Lagrangian của trường vô hướng phức tự tương tác có dạng sau

(1.41) L = ∂µφ∗∂µφ − V (φ∗φ),

trong đó

(1.42) V (φ∗φ) = µ2(φ∗φ) + λ(φ∗φ)2.

Lagrangian (1.41) bất biến dưới phép biến đổi pha toàn cục

(1.43) φ → exp(−iθ)φ.

Khi biểu diễn trường phức thông qua hai trường thực

φ = (1.44) , (φ1 + iφ2) √ 2

Lagrangian (1.41) trở thành

(1.45) L = (cid:0)∂µφ1∂µφ1 + ∂µφ2∂µφ2 (cid:1) − V (φ1, φ2). 1 2

Lagrangian này bất biến dưới phép quay SO(2)

(cid:19) (cid:18)cosθ −sinθ (cid:18)φ1 (cid:19)(cid:18)φ1 (1.46) → (cid:19) . sinθ cosθ φ2 φ2

Khi µ2 > 0, φ1 = φ2 = 0, hệ ở trạng thái chân không. Đối với các dao

2 (cid:88)

động bé Lagrangian có dạng

i=1

L = (cid:1). (1.47) (cid:0)∂µφi∂µφi − µ2φ2 1 2

Như thế, trường hợp này có hai trường vô hướng φ1 và φ2 có khối lượng m2 = µ2 > 0.

Khi µ2 < 0,

(cid:104)|φ|2(cid:105) = = ≡ . (1.48) (cid:0)(cid:104)φ1(cid:105)2 + (cid:104)φ2(cid:105)2(cid:1) 2 −µ2 2λ v2 2

Phương trình (1.48) chứng tỏ trạng thái chân không bất biến dưới nhóm

SO(2). Tuy nhiên, đối xứng này bị phá vỡ tự phát khi một trạng thái

chân không nhất định nào đó được chọn. Chẳng hạn, khi chọn các giá

trị của φ1 và φ2 thỏa

φ1 = v, φ2 = 0,

thì trường mới được xác lập lại để phù hợp với dao động bé như sau

φ(cid:48) 1 = φ1 − v, φ(cid:48) 2 = φ2,

và Lagrangian (1.45) trở thành

1∂µφ(cid:48)

1 −

1 +

2∂µφ(cid:48)

2 + các số hạng tương tác.

(−2µ2)φ(cid:48)2 L = ∂µφ(cid:48) ∂µφ(cid:48) 1 2 1 2 1 2

(1.49)

1 là trường vô hướng có khối lượng dương và thực, và φ(cid:48) 2 là trường boson vô hướng không khối lượng thì ma trận khối lượng được viết dưới dạng

Khi đồng nhất φ(cid:48)

ij =

M 2 (1.50) . ∂2V (φ(cid:48) ∂φ(cid:48) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)φ(cid:48)=φ(cid:48)

1, φ(cid:48) 2) i∂φ(cid:48) j 2) theo φ(cid:48)

1, φ(cid:48)

Đạo hàm bậc hai của V (φ(cid:48)

2 tương ứng với trị riêng của ma 1 tương ứng

trận khối lượng bằng không, trong khi đó đạo hàm đó theo φ(cid:48)

trị riêng có giá trị dương.

Trên đây là ví dụ điển hình của thuyết Nambu-Goldstone [46], nó

chỉ ra rằng khi một đối xứng toàn cục liên tục chính xác bị phá vỡ tự

phát, trong lý thuyết sẽ chứa một hạt vô hướng không khối lượng cho

mỗi phần tử sinh bị phá vỡ của nhóm đối xứng ban đầu.

Lý thuyết Nambu-Goldstone có thể được chứng minh trong trường

hợp tổng quát. Cụ thể, khảo sát Lagrangian của NG trường vô hướng

thực φi, tương ứng với vector NG chiều Φ

L = (1.51) (∂µΦ)(∂µΦ) − V (Φ). 1 2

Giả sử Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi của nhóm liên tục G

δΦ = −iαaT aΦ. (1.52)

Vì thế năng bất biến dưới phép biến đổi G nên

δV (Φ) = (1.53) δφi = −i αa(T a)ijφj, ∂V (Φ) ∂φi ∂V (Φ) ∂φi

trong đó các tham số gauge αa là tùy ý và có NG phương trình

(1.54) (T a)ijφj = 0, ∂V (Φ) ∂φi

với a = 1, ..., NG. Đạo hàm phương trình (1.54) cho kết quả

(1.55) (T a)ijφj + (T a)ik = 0. ∂2V (Φ) ∂φk∂φi ∂V (Φ) ∂φi

Các phần tử của ma trận khối lượng triệt tiêu tại trạng thái chân không

Φ = Φ0 vì

j = 0,

(1.56) (T a)ijφ0 ∂2V (Φ) ∂φk∂φi (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Φ=Φ0

hay

ki(T a)ijφ0

j = 0.

M 2 (1.57)

Khi một trạng thái cơ bản được chọn là nhóm con g của G với số

chiều là ng và giữ nguyên tính đối xứng của chân không thì mỗi phần tử

sinh của g thỏa

j = 0,

(1.58) (T a)ijφ0 với a = 1, .., ng ≤ NG,

và (NG − ng) phần tử sinh còn lại phá vỡ đối xứng

j (cid:54)= 0,

(1.59) (T a)ijφ0 với a = ng + 1, ..., NG.

Như thế, phương trình (1.57) chứng tỏ ma trận khối lượng có (NG − ng)

trị riêng bằng không và các phần tử của nhóm đó được gọi là các boson

Nambu-Goldstone không khối lượng.

1.1.3 Cơ chế Higgs

a) Cơ chế Higgs cho nhóm abel

Thuyết Nambu-Goldstone [46] đề xuất sự tồn tại của các hạt vô

hướng không khối lượng. Tuy nhiên, trên thực tế chưa có bằng chứng thí

nghiệm nào chứng minh sự tồn tại các hạt này. Năm 1964, một vài nhà

vật lý [36–38] độc lập đưa ra giải pháp nhằm khắc phục thuyết Nambu-

Goldstone, đó là cơ chế Higgs, lý thuyết trường tồn tại SSB nhưng không

có các boson Nambu-Goldstone không khối lượng. Cơ chế Higgs chứa các

boson gauge mang khối lượng phù hợp với lý thuyết gauge của các tương

tác điện yếu, trong đó biên độ tác dụng ngắn của tương tác yêu cầu các

hạt truyền mang khối lượng lớn. Như thế, Lagrangian phải bất biến dưới

phép biến đổi gauge cục bộ.

Khảo sát Lagrangian (1.41) với thế năng được cho bởi phương

trình (1.42) và phép biến đổi gauge cục bộ

φ → exp(cid:2)iqα(x)(cid:3)φ. (1.60)

Để Lagrangian bất biến, boson gauge Aµ và đạo hàm hiệp biến Dµ được

đưa vào tương tự như đã trình bày ở mục 1.1.

(1.61) ∂µ → Dµ = ∂µ + iqAµ,

µ = Aµ − ∂µα(x).

(1.62) Aµ → A(cid:48)

Hiện tượng SSB xuất hiện khi µ2 < 0, với trạng thái chân không (cid:104)|φ|2(cid:105)

được cho bởi phương trình (1.48). Trường φ(cid:48) được tham số hóa như sau

1 + v + iφ(cid:48)

2) = φ(cid:48) +

1 + v) √ 2

(cid:16) (cid:17)(φ(cid:48) (cid:39) (φ(cid:48) (1.63) . φ = exp i φ(cid:48) 2 v 1 √ 2 v √ 2

2 +

Theo đó, Lagrangian (1.41) trở thành

1∂µφ(cid:48)

1 −

2∂µφ(cid:48)

2 + tương tác

L = ∂µφ(cid:48) ∂µφ(cid:48) (−2µ2)φ(cid:48) 1 1 2 1 2

− (1.64) FµνF µν + AµAµ + qvAµ∂µφ(cid:48) 2. 1 4 1 2 q2v2 2

Lagrangian này chứa trường vô hướng φ(cid:48) = (cid:112)−2µ2,

1 với khối lượng Mφ(cid:48) 2 và boson vector mang khối lượng Aµ, với MA = qv. Tuy nhiên, sự có mặt của số hạng cuối cùng trong phương

boson Nambu-Goldstone φ(cid:48)

2. Để loại bỏ số hạng này tham số gauge trong phương

trình (1.64) không thuận tiện vì nó là tích của các hàm truyền của các

hạt Aµ và φ(cid:48) trình(1.60) được chọn tỉ lệ với φ(cid:48)

2, cụ thể 1 qv

α(x) = − (1.65) φ(cid:48) 2(x).

Theo cách này, trường φ trong phương trình (1.63) trở thành

1 + v).

1 + v) √ 2

(cid:17)(cid:105) (cid:16) (cid:16) (cid:17)(φ(cid:48) exp i = (φ(cid:48) (cid:104) φ = exp iq − (1.66) φ(cid:48) 2 qv φ(cid:48) 2 v 1 √ 2

Như vậy, khi tham số gauge được chọn theo phương trình (1.65) thì

boson Nambu-Goldstone không còn nữa và Lagrangian bây giờ như sau

2 −

1 −

1∂µφ(cid:48)

µA(cid:48)µ A(cid:48)

L = FµνF µν + (−2µ2)φ(cid:48) 1 1 2 q2v2 2

3(φ1 + 4v).

1A(cid:48)

µA(cid:48)µ −

+ (1.67) 1 2 q2(φ1 + 2v)φ(cid:48) 1 4 φ(cid:48) 1 ∂µφ(cid:48) 1 2 λ 4

Việc không còn tồn tại boson Goldstone được biết thông qua khảo sát số

bậc tự do của Lagrangian ban đầu (1.41) và Lagrangian cuối (1.67). Cụ

thể, bảng 1.1 chỉ ra rằng số bậc tự do tương ứng của boson Goldstone

bị hấp thu bởi boson vector để nó mang khối lượng.

b) Cơ chế Higgs cho nhóm phi abel

Xét nhóm phi abel G có số chiều là NG và các phần tử sinh tương ứng T a. Trong trường hợp này, NG boson gauge được đưa vào thông qua

Bảng 1.1: Số bậc tự do của Lagrangian ban đầu (1.41) và Lagrangian sau

(1.67).

Lagrangian ban đầu (1.41) Vô hướng phức φ(∗) : 2 Lagrangian sau (1.67) Vô hướng thực: 1

Vector không khối lượng Aµ : 2 Vector mang khối lượng: 3

đạo hàm hiệp biến

(1.68) ∂µ → Dµ = ∂µ − igT aBa µ.

Sau khi đối xứng bị phá vỡ tự phát, nhóm con g với số chiều là ng thoả

mãn

ijφ0 T a

j = 0,

(1.69) với a = 1, ..., ng,

giữ nguyên tính đối xứng của chân không. Theo đó, hệ sẽ có (NG − ng)

boson gauge không khối lượng. Tương tự phương trình (1.63), trường vô

hướng ban đầu được tham số hóa

GBT a φa v

(cid:17) (cid:16) , (1.70) i φ = ((cid:101)φ + v)exp

GB, NG − ng boson gauge mang khối lượng sẽ xuất hiện. Số bậc tự do của Lagrangian trước và sau khi

trong đó T a là (NG − ng) phần tử sinh phá vỡ đối xứng. Khi tham số gauge αa(x) được chọn để triệt tiêu φa

SSB đều bằng Nφ + 2NG. Số bậc tự do của hệ vật lý trước và sau SSB

cùng với sự hấp thụ các boson Nambu-Goldstone được thể hiện chi tiết

trong bảng 1.2.

1.2 SM của tương tác điện yếu

Sự thống nhất giữa tương tác điện từ và tương tác yếu là một

trong những thành công lớn trong khoa học vật lý của thế kỷ 20. SM

của các tương tác này được đề xuất bởi S. L. Glashow, A. Salam và S.

Bảng 1.2: Số bậc tự do của hệ vật lý trước và sau SSB.

Sau SSB (có khối lượng) Vô hướng (cid:101)φ : Nφ − (NG − ng)

µ : 3(NG − ng) µ : 2ng

Vector (cid:101)Ba Trước SSB (không khối lượng) Vô hướng: Nφ Vector Ba µ : 2NG Vector Ba

Weinberg trong những năm 60 đã được kiểm chứng sau hơn 30 năm. Sự

phát hiện ra các tương tác dòng trung hòa và sự tạo thành các boson

vector trung gian W ± và Z cùng với các tính chất của chúng đã khẳng

định khả năng tiên đoán đúng của mô hình. Không có kết quả thực

nghiệm nào đối lập với các tiên đoán của SM khi các phép đo chính xác

gần đây của các tham số điện yếu trong sự va chạm electron-positron

tại cực Z 0 được thực hiện hay việc phát hiện boson Higgs vào năm 2012

[17]. Tương tác điện yếu được mô tả thông qua lý thuyết gauge dựa trên

nhóm SU (2)L × U (1)Y , nhóm này sẽ bị SSB bởi cơ chế Higgs. Ba thế hệ

fermion (lepton và quark) là trường vật chất của mô hình. Các fermion

nghịch (hay còn được gọi là fermion phân cực trái) thuộc lưỡng tuyến

yếu và các fermion thuận biến đổi dưới dạng đơn tuyến yếu. Các boson

vector W ±, Z 0 và γ truyền tương tác điện yếu xuất hiện thông qua liên

kết cực tiểu với các trường vật chất. Ngoài ra, thành phần không thể

thiếu trong mô hình này là thế vô hướng Higgs. Thế này được thêm

vào Lagrangian để tạo các khối lượng cho boson vector và fermion theo

1.2.1 Nguyên lý chung thiết lập lý thuyết gauge

hướng bất biến gauge, thông qua cơ chế Higgs.

Các bước để thiết lập lý thuyết gauge

• Chọn nhóm gauge G với NG phần tử sinh.

• Gán NG trường vector (các boson gauge) vào biểu diễn đặc trưng

của nhóm gauge.

• Chọn biểu diễn cho trường vật chất.

• Thêm vào các trường vô hướng để tạo khối lượng cho các boson

vector.

• Xác định đạo hàm hiệp biến và viết Lagrange tái chuẩn hoá, bất

biến dưới biến đổi gauge và có thể liên kết với tất cả các trường.

• Dịch chuyển các trường vô hướng sao cho thế tương tác đạt cực tiểu

và bằng không.

• Áp dụng các phép tính trong lý thuyết trường lượng tử để kiểm tra

tính tái chuẩn hóa và đưa ra các tiên đoán trong mô hình.

• Đối chiếu các kết quả tính toán của mô hình với thực nghiệm, nếu

1.2.2 Các fermion nghịch và thuận

không phù hợp, chọn nhóm gauge khác, xây dựng lại mô hình.

sẽ Các tính chất của trạng thái xoắn của fermion có spin bằng 1 2

được trình bày trong mục này. Trạng thái xoắn của fermion là trạng thái

có spin bị lượng tử dọc theo hướng chuyển động của hạt. Nếu chọn chiều

dương theo chiều của xung lượng thì hình chiếu của spin lên phương

hoặc − . Các trạng thái này theo thứ này có thể có hai giá trị + 1 2 1 2

tự được gọi là trạng thái thuận (R) và nghịch (L). Đối với fermion là

neutrino, trong SM chỉ tồn tại ở các trạng thái neutrino nghịch νL và

phản neutrino thuận ¯νR.

Ở năng lượng cao (E (cid:29) m), các spin-nơ Dirac

(1.71) us(p), và vs(p, s) ≡ C ¯uT (p, s) = iγ2u∗(p, s),

và nghịch là trạng thái riêng của ma trận γ5. Các trạng thái thuận + 1 2

− thỏa mãn 1 2

uR = = (1.72) (1 ± γ5)u và vR (1 ∓ γ5)v. 1 2 1 2

Để thuận tiện trong việc biểu diễn các spin-nơ, toán tử chiếu xoắn được

đưa vào như sau

(1.73) L ≡ (1 − γ5) , R ≡ (1 + γ5). 1 2 1 2

Các toán tử (1.73) thỏa mãn các tính chất của toán tử chiếu [2], cụ thể

L + R = 1,

RL = LR = 0,

L2 = L,

R2 = R.

Các spin-nơ liên hiệp phức có tính chất

(1.74)

(1.75) ¯ψL = (Lψ)+γ0 = ψ+Lγ0 = ψ+γ0R = ¯ψR, ¯ψR = ¯ψL.

Số hạng khối lượng fermion là tổ hợp của các thành phần fermion thuận

và nghịch

(1.76) ¯ψψ = ¯ψRψL + ¯ψLψR.

Vector dòng điện từ không phải là tổ hợp của các thành phần fermion

thuận và nghịch, nghĩa là

(1.77) ¯ψγµψ = ¯ψRγµψR + ¯ψLγµψL.

Dòng yếu fermion có thể được viết theo các trạng thái xoắn

(1.78) ¯ψγµ(1 − γ5)ψ. ¯ψLγµψL = ¯ψRγµLψ = ¯ψγµLψ = 1 2

Từ những tính chất trên chứng tỏ các fermion nghịch đóng vai trò quan

1.2.3 Chọn nhóm gauge

trọng trong các tương tác yếu.

Trong phần này nhóm gauge sẽ được chọn thích hợp để thống nhất

các tương tác yếu và điện từ. Việc chọn nhóm này xuất phát từ dòng

điện yếu của các lepton. Vì các số lepton loại e, µ và τ được bảo toàn

trong quá trình tương tác nên chúng tạo nên các biểu diễn riêng biệt

của nhóm gauge. Vì thế, sau này kí hiệu e được sử dụng làm đại diện

cho các loại lepton (e, µ, τ ) và Lagrangian cuối cùng bằng tổng của các

Lagrangian của các loại lepton đó.

Dòng điện yếu của lepton loại e được viết dưới dạng

(1.79) J + µ = ¯eγµ(1 − γ5)ν = 2¯eLγµνL.

(cid:19) (cid:18) được cho bởi Lưỡng tuyến spin đồng vị nghịch T = 1 2

(cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18)ν (cid:18)Lν (cid:18)νL = = , (1.80) lL ≡ e Le eL

trong đó hình chiếu spin đồng vị nghịch của neutrino và của lepton mang

. Vì không tồn tại điện theo thứ tự là T3L(νL) = + và T3L(eL) = − 1 2 1 2

neutrino thuận nên phần thuận của lepton mang điện được đặt trong

đơn tuyến spin đồng vị yếu (T = 0)

(1.81) lR ≡ Re = eR.

Dòng điện yếu (1.79) có thể được viết theo các thành phần là dòng spin

đồng vị lepton

µ = ¯lLγµ J i

(1.82) lL, σi 2

vì thế, dòng điện yếu (1.79) có thể được viết theo các số hạng J 1 và J 2

µ = 2(J 1 J +

µ − iJ 2

µ).

(1.83)

Dòng siêu tích được định nghĩa như sau

µ ≡ −(¯lLγµlL + 2¯lRγµlR) = −(¯νLγµνL + ¯eLγµeL + 2¯eRγµeR). J Y

(1.84)

Như thế, dòng điện từ có dạng

µ = −¯eγµe = −(¯eLγµeL + ¯eRγµeR) = J 3 J em

µ +

(1.85) J Y µ . 1 2

Tuy cả T3L và Q đều không giao hoán với T1,2L, nhưng các phần điện tích lại có mối liên hệ với J i và J Y ,

0, và Y =

(cid:90) (cid:90) T i = d3xJ i (1.86) d3xJ Y 0 ,

thỏa mãn các tính chất đại số của nhóm SU (2)L × U (1)Y ,

(cid:2)T i, T j(cid:3) = i(cid:15)ijkT k và (cid:2)T i, Y (cid:3) = 0, (1.87)

và mối liên hệ Gell-Mann-Nishijima giữa Q và T3L [47],

Y. (1.88) Q = T3L + 1 2

Từ phương trình (1.88), siêu tích của lưỡng tuyến và đơn tuyến fermion

có thể được xác định, cụ thể YlL = −1 và YlR = −2. Như vậy, nhóm

gauge thích hợp để thống nhất tương tác điện yếu là

(1.89) SU (2)L × U (1)Y .

Tiếp theo, các trường gauge tương ứng với mỗi phần tử sinh được

đưa vào, cụ thể

µ, W 2

µ, W 3 µ,

SU (2)L → W 1

U (1)Y → Bµ.

Từ phương trình (1.17) và (1.28), các ten-xơ cường độ trường được định

nghĩa như sau

µν ≡ ∂µW i

ν − ∂νW i

µ + g(cid:15)ijkW j

µW k ν ,

W i

Bµν ≡ ∂µBν − ∂νBµ.

Theo đó, từ phương trình (1.18) và (1.29) Lagrangian không tương tác

của các trường gauge có dạng

µνW i µν −

W i (1.90) BµνBµν. Lgauge = − 1 4 1 4

Đối với các lepton, Lagrangian không tương tác có dạng

Llepton = ¯lRi/∂lR + ¯lLi/∂lL

= ¯eRi/∂eR + ¯eLi/∂eL + ¯νLi/∂νL

= ¯ei/∂e + ¯νi/∂ν. (1.91)

Số hạng khối lượng của fermion là hỗn hợp các thành phần fermion

thuận và nghịch và vì thế sẽ phá vỡ bất biến gauge của lý thuyết.

Tiếp theo, tương tác giữa boson gauge và fermion được xác định

thông qua đạo hàm hiệp biến cho lL và lR, cụ thể

µ + i

W i (1.92) Y Bµ, g(cid:48) 2

(1.93) lR : ∂µ + i Y Bµ, σi lL : ∂µ + ig 2 g(cid:48) 2

trong đó g và g(cid:48) theo thứ tự là các hằng số liên kết với các nhóm SU (2)L

và U (1)Y , và

(1.94) YeL = −1, YeR = −2.

Như thế, Lagrangian của fermion trong phương trình (1.91) trở thành

µ + i

(cid:17) ig W i Llepton → Llepton + ¯lLiγµ(cid:16) Y Bµ lL σi 2 g(cid:48) 2 (cid:17) i (1.95) +¯lRiγµ(cid:16) Y Bµ lR. g(cid:48) 2

µ +

(cid:17) W 1 W 2 µ lLW 3 µ Xét các số hạng “nghịch” của phương trình (1.95), lL − g¯lLγµ σ3 2 σ2 2

lepton = −g¯lLγµ(cid:16)σ1 LlL g(cid:48) 2

(1.96) − 2 Y ¯lLγµlLBµ.

Số hạng đầu tiên chứa điện tích và có thể được viết dưới dạng

lL(±) lepton = −

µ − iW 2 µ 0

µ + iW 2 µ

(cid:18) (cid:19) 0 W 1 L ¯lLγµ lL. g 2 W 1

Nếu boson mang điện được định nghĩa

µ =

µ ∓ iW 2 µ

W ± (cid:0)W 1 (cid:1), (1.97) 1 √ 2

thì Lagrangian

µ + ¯eγµ(1 − γ5)νW − µ

lL(±) lepton = −

(cid:104) (cid:105) g √ L (1.98) , ¯νγµ(1 − γ5)eW + 2 2

thiết lập lại chính xác cấu trúc (V − A) của dòng mang điện trong tương

tác yếu. Trong các quá trình tương tác năng lượng thấp, nếu đối chiếu

Lagrangian (1.98) với Lagrangian lepton do Fermi đề xuất [2], thì mối

(cid:19)1/2 (cid:18)M 2 g √ = . (1.99) liên hệ giữa g và GF được viết dưới dạng W GF√ 2 2 2

Phần trung hòa của Llepton trong phương trình (1.95) chứa cả hai

thành phần fermion thuận và nghịch

µ −

(lL+lR)(0) lepton

(cid:18) (cid:19) L (cid:0)¯lLγµY lL + ¯lRγµY lR (cid:1) Bµ, = −g¯lL lLW 3 g(cid:48) 2 γµ σ3 2

µ −

3 W 3

= −gJ µ (1.100) J µ Y Bµ, g(cid:48) 2

trong đó các dòng J3 và JY được định nghĩa như sau

(¯νLγµνL − ¯eLγµeL), 1 2

J µ 3 = J µ Y = −(¯νLγµνL + ¯eLγµeL + 2¯eRγµeR).

Các dòng trung hòa này thỏa mãn đẳng thức

(1.101) JY . Jem = J3 + 1 2

Để thu được dạng chuẩn của tương tác giữa các trường với dòng điện từ,

phép quay O(2) lên các trường trung hoà sẽ được thực hiện, đồng thời

trường mới A và Z được định nghĩa như sau

(cid:19) (cid:18)Aµ (cid:18) cosθW sinθW (cid:19) , (1.102) =

Zµ −sinθW cosθW (cid:19)(cid:18) Bµ W 3 µ

hay

µ = sinθW Aµ + cosθW Zµ,

W 3

(1.103) Bµ = cosθW Aµ − sinθW Zµ,

với θW được gọi là góc Weinberg. Biểu thức liên hệ của θW với các hằng

số liên kết SU (2) và U (1) được viết dưới dạng sau

. (1.104) sinθW = , cosθW = (cid:112) (cid:112) g(cid:48) g2 + g(cid:48)2 g g2 + g(cid:48)2

Theo đó, phần trung hoà của Lagrangian fermion có thể được viết theo

các hàm lượng giác của góc Weinberg [2].

Như vậy, sau khi nhóm gauge được chọn, lý thuyết bây giờ bao

gồm các thành phần sau

µ và Bµ hay W ±

µ , Zµ và Aµ.

• Bốn trường gauge không khối lượng W i

• Hai fermion không khối lượng: ν và e.

Lý thuyết sẽ được bổ sung thêm trường vô hướng để gây ra SSB. Theo

đó, cơ chế Higgs sẽ được thực hiện để tạo khối lượng cho ba boson vector

truyền tương tác yếu và vẫn đảm bảo khối lượng của photon bằng không.

1.2.4 Cơ chế Higgs

Để các hạt W ± và Z 0 thu được khối lượng, một lưỡng tuyến vô

hướng Φ được đưa vào cơ chế Higgs

(cid:18)φ+ Φ ≡ (cid:19) . (1.105) φ0

Phương trình (1.88) cho phép xác định siêu tích của lưỡng tuyến Higgs

(1.105), Y = 1. Lagrangian của Φ có dạng

(1.106) LHiggs = ∂µΦ+∂µΦ − V (Φ+Φ),

trong đó thế năng được cho bởi

V (Φ+Φ) = µ2Φ+Φ + λ(Φ+Φ)2. (1.107)

Để có được bất biến gauge dưới tác dụng của nhóm SU (2)L×U (1)Y ,

đạo hàm hiệp biến được định nghĩa như sau

µ + i

W i (1.108) Y Bµ. ∂µ → Dµ = ∂µ + ig σi 2 g(cid:48) 2

VEV của trường Higgs có thể được chọn theo biểu thức

(cid:19) (cid:104)Φ(cid:105) = , (1.109) (cid:18) 0 √ v/ 2

trong đó (cid:114)

(1.110) . − v =

µ2 λ Để đảm bảo đối xứng điện từ chính xác, dẫn đến điện tích được

bảo toàn, nhóm đối xứng ban đầu bị phá vỡ thành U (1)EM , cụ thể

(1.111) SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM .

Như thế, sau khi đối xứng bị phá vỡ tự phát, nhóm con U (1)EM với số

chiều bằng 1 giữ nguyên tính đối xứng của chân không. Từ kết quả của

mục 1.1.4b, boson gauge không mang khối lượng trong trường hợp này

là photon.

= 2T3 − Q sẽ mang khối lượng. Từ phương trình (1.63), lưỡng T3 − Các boson khác tương ứng với phần tử sinh “phá vỡ” T1, T2 và Y 2

tuyến Higgs được tham số hoá như sau

(cid:19)(cid:18) (cid:19) 0 Φ = exp (cid:18) i √ σi 2 χi v (v + H)/ 2

√ (cid:19) 2ω+ (cid:18) i (cid:18) χ2 + iχ1 (cid:19) , (1.112) = (cid:39) (cid:104)Φ(cid:105)0 + 1 √ 2 2 1 √ 2 v + H − iz0 2H − iχ3

trong đó ω± và z0 là các boson Goldstone.

lên Φ, dẫn đến Thực hiện phép biến đổi gauge SU (2)L với αi = χi v

(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18)0 Φ → Φ(cid:48) = exp − i Φ = . (1.113) σi 2 χi v (v + H) √ 2 1

Theo đó, Lagrangian vô hướng có thể được viết theo các số hạng của

trường mới

µ + i

(cid:18) (cid:18)0 (cid:19)(v + H) √ W i ∂µ + ig Y Bµ Lvh = g(cid:48) 2 (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 1

(cid:12) σi (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) −µ2 (v + H)2 − λ . (1.114) 2 (v + H)4 4

Sử dụng các phương trình (1.97) và (1.102), số hạng đầu tiên của phương

trình (1.114) chứa các boson vector được viết lại dưới dạng sau

(cid:19) (cid:18) (cid:18) 0 + i (v + H) W + µ √ √ g 2 (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 2cW )Zµ ∂µH/

µ W −µ +

= (−1/ (v + H)2(cid:16) W + , (1.115) ZµZ µ(cid:17) ∂µH∂µH + 1 2 g2 4 1 2c2 W

trong đó cW = cosθW . So sánh các số hạng trong phương trình (1.115)

µ W −µ +

W + (1.116) ZµZ µ, g2v2 4 g2v2 8cos2θW

với các số hạng khối lượng thông thường của các boson vector trung hoà

và mang điện

ZZµZ µ,

W W +

µ W −µ +

M 2 (1.117) M 2 1 2

cho phép suy ra khối lượng của các boson này như sau

, = . (1.118) MW = MZ = gv 2 gv 2cW MW cW

Không có số hạng bậc hai của Aµ xuất hiện trong phương trình (1.115)

chứng tỏ photon không mang khối lượng. Đây chính là hệ quả của việc

U (1)EM là phép đối xứng của lý thuyết.

Khi xét các quá trình tương tác với năng lượng thấp, từ phương

trình (1.99), VEV được xác định như sau

(cid:16)√ (cid:17)1/2 v = (cid:39) 246 GeV. (1.119) 2GF

Ngoài ra, khối lượng của các boson trong SM theo đó được suy ra

W =

(cid:17)2 GeV ∼ (80 GeV)2, (1.120) M 2 v2 = v2 (cid:39) (cid:16)37.2 sW e2 4s2 W πα s2 W

Z (cid:39)

(cid:17)2 M 2 GeV ∼ 90 GeV, (1.121) (cid:16) 37.2 sW cW

W = sin2θW (cid:39) 0.22, giá trị tiên đoán này của SM sẽ được đo trong

với s2

thực nghiệm.

Các số hạng chứa H của phương trình (1.114) như sau

− (−2µ2)H 2 + µ2v2(cid:16) 4 . (1.122) 1 2 1 4 v3 H 3 + (cid:17) 1 v4 H 4 − 1

Khối lượng của boson Higgs và các số hạng tự tương tác của trường

Higgs được cho bởi phương trình (1.122), trong đó

(cid:112) −2µ2. (1.123) MH =

Khối lượng của hạt Higgs trong SM không xác định được vì giá trị của

1.2.5 Khối lượng fermion

µ2 là một trong những tham số tự do của SM.

Ngoài nhiệm vụ tạo khối lượng cho các boson gauge, cơ chế Higgs

còn có vai trò tạo khối lượng cho các fermion thông qua tương tác

Yukawa. Đối với lepton, Lagrangian Yukawa có dạng

(cid:3) Le (cid:1) + (cid:0)¯lLΦ(cid:1) lR (cid:2)¯lR

y = −ge gev √ 2

= − ¯ee − ¯eeH + h.c.. (1.124) (cid:0)Φ+lL ge√ 2

Theo đó, khi lưỡng tuyến Higgs Φ đạt VEV được cho trong phương trình

(1.109), khối lượng của lepton mang điện được viết dưới dạng

. (1.125) Me = gev √ 2

Giá trị của các hằng số Yukawa ge là các tham số tự do trong SM và

được xác định trong thực nghiệm. Trong phần trình bày của luận án về

SM, chỉ có một thế hệ fermion được kể đến. Nếu xét đến ba thế hệ của

lepton và quark, khối lượng của fermion được viết đưới dạng ma trận.

Cụ thể, đối với các lepton mang điện, ma trận khối lượng có dạng   gee geµ geτ

, (1.126) ml = gµe gµµ gµτ v √ 2         gτ e gτ µ gτ τ

Các yếu tố ma trận trong phương trình (1.126) là các tham số phức độc

lập. Các trạng thái khối lượng của lepton có thể thu được khi ma trận

ml được chéo hóa.

1.2.6 Tham số ρ

Tham số ρ được định nghĩa như sau

. (1.127) ρ = M 2 W cos2 θW M 2 Z

Tham số này thể hiện mối liên hệ giữa cường độ của Lagrangian hiệu

dụng trung hòa và mang điện . J 0µJ 0 µ J +µJ − µ

ρ = . (1.128) g2 8 cos2 θW M 2 Z (cid:30) g2 8M 2 W

Trong SM, tại mức cây, tham số ρ luôn bằng một. Điều này không phải

là hệ quả tổng quát của bất biến gauge trong mô hình nhưng trên thực

tế nó là sự tiên đoán thành công của SM.

Trong mô hình có số đa tuyến Higgs bất kỳ φi với siêu spin Ti,

i và VEV là vi, thì tham số ρ được

tương ứng với thành phần thứ ba T 3

cho bởi biểu thức

(cid:80)

ρ = (1.129) 2 (cid:80) (cid:2)Ti(Ti + 1) − (T3i)2(cid:3) v2 i(T3i)2v2 i

và bằng một khi mô hình chứa số lưỡng tuyến Higgs bất kỳ. Như thế,

tham số ρ là một trong những đại lượng được dùng để kiểm chứng các

1.2.7 Lagrangian của SM cho tương tác điện yếu

mô hình mở rộng SM.

Trong mục này Lagrangian của SM cho tương tác điện yếu sẽ được

viết dưới dạng tổng quát nhất. Theo đó, tính chất của trường vật chất,

boson gauge, boson Higgs và tương tác giữa chúng sẽ được thể hiện đầy

đủ.

a) Boson gauge và vô hướng

Lagrangian tự do cho photon W, Z và boson Higgs có thể được suy

ra từ Lagrangian viết cho boson gauge và vô hướng trong các phương

trình (1.90) và (1.114). Ngoài ra, các tương tác bậc 3 và bậc 4 có thể

được viết thông qua hai phương trình này.

µνW −µν + M 2

W W +

µ W −µ

W + FµνF µν − Lgauge + Lvh = − 1 2

ZZ +

µ Z −µ +

− ZµνZ µν + M 2 ∂µH∂µH 1 2

HH 2 + W +W −A + W +W −Z + W +W −AA + W +W −ZZ + W +W −AZ

− M 2 1 4 1 4 1 2

+ W +W −W +W − + HHH + HHHH

+ W +W −H + W +W −HH + ZZH

+ ZZHH , (1.130)

trong đó các biểu thức đóng khung chỉ cho biết các trường tham gia

tương tác mà không quan tâm đến hằng số tương tác tương ứng. Các số

hạng tự tương tác của boson vector trong phương trình (1.130) bị ràng

buộc chặt chẽ bởi tính bất biến gauge SU (2)L × U (1)Y . Theo đó, các

mô hình mở rộng SM cho kết quả nghiên cứu liên quan đến quá trình tự

tương tác của boson vector sai khác với tiên đoán của SM đều không có

giá trị.

b) Lepton và tương tác Yukawa

Lagrangian tự do cho lepton và tương tác của nó với boson gauge:

photon, W và Z được viết dựa trên Lagrangian lepton (1.95) và Yukawa

(1.124). Các số hạng khối lượng được tạo thành từ tương tác Yukawa

cũng chứa số hạng tương tác giữa lepton mang khối lượng và boson Higgs

y =

νe

e + ¯eeA + ¯νeeW + + ¯eνeW −

(cid:88) (cid:88) (cid:1) e + ¯νe(i/∂)νe ¯e (cid:0)i/∂ − me Llepton + Le

(1.131) + ¯eeZ + ¯νeνeZ + ¯eeH .

Trong SM, neutrino không có khối lượng. Tuy nhiên, việc xây dựng cơ

chế see-saw giải thích khối lượng cho neutrino dựa trên SM không gặp

khó khăn đáng kể và sẽ được trình bày cụ thể trong mục 2.3.

c) Quark và tương tác Yukawa

Trong mục 1.2 trình bày về SM, các hạt quark tham gia tương tác

điện yếu đã không được đề cập đến. Việc xây dựng Lagrangian cho hạt

quark và Lagrangian Yukawa tương ứng tương tự như trường hợp lepton bằng việc giới thiệu thêm trường (cid:101)Φ = iσ2Φ∗, cụ thể

q=u,...,t

(cid:88) ¯q(i/∂)q, (1.132) Lquark =

3 (cid:88)

ij ¯uRi

Y = −

i,j=1

(cid:16) (cid:17) (cid:1)(cid:105) Lq + gd , (1.133) (cid:0)Φ+qLj (cid:101)Φ+qLj (cid:104) gu ij ¯uRi

trong đó u, d là các hạt quark loại lên, xuống và q ký hiệu cho các hạt

quark nói chung. Theo đó, Lagrangian tự do và tương tác của quark

trong SM có thể được viết dựa trên các Lagrangian (1.132) và (1.133)

như sau

Y =

q=u,...,t + ¯d(cid:48)uW − + ¯qqZ + ¯qqH .

(cid:88) Lquark + Lq ¯q(i/∂ − mq)q + ¯qqA + ¯ud(cid:48)W +

(1.134)

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương này tôi đã trình bày các bước tiến hành xây dựng

SM cho tương tác điện yếu. SM đóng vai trò quan trọng trong lịch sử

phát triển của vật lý, nó giải thích hầu như các hiện tượng quan sát được

trong tự nhiên. Tuy nhiên, trong SM tối giản chứa 20 tham số tự do khi

neutrino không khối lượng và thêm 7(9) tham số cho các hạt neutrino

Dirac (Majorana). Với số tham số ngẫu nhiên lớn như vậy, SM không

được xem là lý thuyết cơ bản mô tả các đặc trưng của vật chất. Ngoài

ra, SM còn bộc lộ một số vấn đề lý thuyết chưa giải quyết được như

phép đối xứng gauge, khối lượng fermion, hiện tượng phân bậc, EWSB

và SM cho vật lý hạt bộc lộ nhiều mâu thuẫn với vũ trụ học. Thêm

vào đó, các dữ liệu thực nghiệm, tiêu biểu nhất là hiện tượng dao động

neutrino được công bố bởi phòng thí nghiệm Super-Kamiokande [8] là

bằng chứng chứng tỏ sự cần thiết phải mở rộng SM.

Chương 2

MÔ HÌNH EWνR

Nội dung của chương 2 gồm năm phần chính. Phần thứ nhất sơ

lược về hạt neutrino và bằng chứng thực nghiệm chứng minh neutrino

có khối lượng. Phần thứ hai trình bày lý thuyết về khối lượng neutrino

trong SM. Phần thứ ba và thứ tư lần lượt đề cập đến cơ chế see-saw và

mô hình đối xứng LR tạo khối lượng cho neutrino. Phần cuối cùng của

chương sẽ trình bày tổng quan về mô hình EWνR.

2.1.1 Sơ lược về hạt neutrino

2.1 Hạt neutrino

Hạt neutrino lần đầu tiên được đề xuất bởi W. Pauli trong hội

nghị vật lý tại Tubinge, ngày 4 tháng 12 năm 1930. Nguồn gốc đề xuất

hạt này xuất phát từ định luật bảo toàn năng lượng trong các quá trình

phân rã beta

M (A, Z) → D(A, Z + 1) + e−. (2.1)

Các thí nghiệm được thực hiện bởi Meitner, Hahn và J. Chadwick đã

chỉ ra rằng phổ năng lượng của quá trình phân rã beta phải liên tục

thay vì gián đoạn như trường hợp phân rã hai hạt. Hơn thế nữa, nếu

sản phẩm phân rã chỉ có hai hạt, thì định luật bảo toàn spin bị vi phạm.

Trong bối cảnh đó, W. Pauli đã đề xuất tồn tại một hạt trung hòa điện

để giải quyết hai vấn đề trên. Trong mới, hạt “neutron”, có spin bằng 1 2

cùng năm đó, J. Chadwick đã khám phá ra hạt neutron có khối lượng

lớn hơn nhiều so với hạt của W. Pauli. Theo đó, vào năm 1933, E. Fermi

đã đặt tên lại là “neutrino” với ý nghĩa hạt trung hòa và có khối lượng

rất nhỏ. Một năm sau, E. Fermi đề xuất lý thuyết phân rã hạt beta,

một trong những nền tảng để xây dựng lý thuyết vật lý hạt hiện đại.

Trong lý thuyết này, neutron phân rã thành proton, electron và phản

Hình 2.3: Quá trình phân rã beta theo lý thuyết của E. Fermi.

hạt neutrino, được minh họa ở hình 2.3.

Sự có mặt của neutrino được biết đến thông qua hiện tượng bắt

giữ điện tử của đồng vị 37Ar. Thí nghiệm này được thực hiện bởi G. W.

Rodeback và J. S. Allen vào năm 1952

37Ar + e− → 37Cl + νe + Q.

(2.2)

Tiếp theo vào năm 1956, C. L. Cowan và F. Reines đã phát hiện hạt

neutrino electron bằng cách dùng nguồn neutrino từ các phản ứng hạt

nhân. Quá trình cơ bản của phản ứng này là

¯ν + p → n + e+. (2.3)

Như vậy, phải mất 26 năm để khẳng định sự tồn tại của hạt neutrino và

gần 70 năm sau hạt neutrino nặng nhất (trong SM) được dò tìm trong

phòng thí nghiệm. Cụ thể, vào năm 1960, loại thứ hai của neutrino, νµ

được dò tìm tại phòng vật lý quốc gia Brookhaven. Cuối cùng, vào năm

2000, thế hệ thứ ba của neutrino, ντ được tìm thấy bởi DONUT [48].

2.1.2 Sự dao động neutrino

Năm 1998, hiện tượng dao động neutrino đã được phát hiện bởi

phòng thí nghiệm Super-Kamiokande [8]. Phòng thí nghiệm này được

xây dựng để dò tìm sự phân rã proton. Trước đó, các công trình công

bố bởi LSND, KARMEN, CHOOZ, NOMAD [49] đã đưa ra bằng chứng

về sự dao động hương của neutrino. Tuy nhiên, kết quả của phòng thí

nghiệm Super-Kamiokande được xem là bằng chứng đầu tiên chứng tỏ

sự biến mất của neutrino νe sau khi chuyển động được một đoạn đường

nhất định từ nguồn neutrino.

a) Trạng thái riêng khối lượng và hương của neutrino

Để tìm hiểu hiện tượng dao động neutrino, mục này sẽ trình bày

khái niệm về các trạng thái riêng khối lượng và hương.

• Trạng thái riêng khối lượng

(2.4) lL = (eL, µL, τL) ,

(2.5) νL = (ν1L, ν2L, ν3L) .

• Trạng thái riêng hương

(cid:1) , (2.6)

L = (cid:0)e0 l0 L = (cid:0)ν0 ν0

L, µ0 eL, ν0

L, τ 0 L µL, ν0 τ L

(cid:1) . (2.7)

Hai biểu diễn này có mối liên hệ với nhau thông qua các ma trận trộn

Ul, Uν tương ứng cho lepton và neutrino

(2.8)

(2.9) l0 L = UllL, ν0 L = UννL.

Khảo sát tương tác dòng mang điện

Lγµν0

LW −µ + h.c..

(2.10) Lc = gl0

Trong biểu diễn trạng thái riêng khối lượng, phương trình (2.10) trở

thành

l UννLW −µ + h.c..

(2.11) Lc = g¯lLγµU −1

Nếu đặt

(2.12) (νeL, νµL, ντ L) = U lνL,

l Uν, thì tương tác dòng mang điện có thể được viết lại dưới

với U l = U −1

dạng   νeL

W −µ + h.c.. (2.13) Lc = g (¯eL, ¯µL, ¯τL) γν νµL         ντ L

b) Dao động neutrino trong chân không

Dao động lượng tử được định nghĩa là hiện tượng, trong đó một

hạt đi ra trong một phản ứng nào đó không đồng nhất với hạt được

sinh ra trước đó. Dao động neutrino lần đầu tiên được nghiên cứu bởi

B. Pontecorno, Z. Maki, M. Nakagawa và S. Sakata [50]. Neutrino với

hương α được giả thiết sinh ra tại thời điểm t = 0 có dạng

αi|νi(0)(cid:105).

(cid:88) U l (2.14) |να(0)(cid:105) =

Xác suất để να → νβ sau khi chuyển động được một đoạn L như sau

Pνα→νβ = |(cid:104)να|νβ(cid:105)|2

i −m2 j 2E L,

βiU ∗

αjUβje−i

i,j

(cid:88) (2.15) = UαiU ∗

với Uab là các yếu tố ma trận UP M N S của lepton, tương ứng với tên của

các nhà khoa học Pontecorno, Maki, Nakagawa và Sakata. Biểu thức ma

trận UP M N S tổng quát phụ thuộc vào sự trộn giữa ba thế hệ của lepton

và một tham số liên quan đến tính bất đối xứng CP , δCP và được tham

số hóa, cụ thể

  s13e−iδCP

, UP M N S = c13s23         c12c13 s12c13 −s12c23 − c12s13s23eiδCP c12c23 − s12s13s23eiδCP s12s23 − c12s13c23eiδCP −c12s23 − s12s13c23eiδCP c13c23

(2.16) (cid:104) (cid:105) . Xác suất (2.15) có thể 0, trong đó cij = cos θij, sij = sin θij và θij = π 2

được viết trong hệ đơn vị SI như sau

βiU ∗

αjUβj

(cid:88) (cid:3) sin2 (Xij) Re (cid:2)UαiU ∗ Pνα→νβ = δαβ − 4

βiU ∗

αjUβj

(cid:88) +2 (2.17) Im (cid:2)UαiU ∗ (cid:3) sin (Xij) ,

L(Km), E là năng lượng của nguồn neu- trong đó Xij = 1.27

trino, L là khoảng cách từ điểm dao động đến nguồn. Cụ thể, trong

trường hợp dao động giữa hai hương νe và νµ, xác suất có dạng

21(eV)2 ∆m2 4E(GeV)

(cid:20) (cid:21) 1.27 L(Km) . (2.18) Pνµ→νe = sin2 2θ sin2

Như vậy, hiện tượng dao động neutrino xuất hiện chứng tỏ có sự khác

nhau về khối lượng của hai trạng thái riêng tương ứng. Hay nói cách

khác, sự dao động neutrino chứng tỏ hai trong ba hương neutrino có

khối lượng khác không.

c) Kết quả thực nghiệm

Hiện tượng dao động neutrino chứng tỏ hai trong ba hương của

neutrino có khối lượng và khác nhau. Tuy nhiên, hiện tượng này không

Bảng 2.3: Các tham số trong dao động neutrino [51].

Tham số

|∆m2 |∆m2

(cid:2)10−5eV2(cid:3) ∆m2 21 31| (cid:2)10−3eV2(cid:3) (NH) 31| (cid:2)10−3eV2(cid:3) (IH) sin2 θ12/10−1 θ12/0 sin2 θ23/10−1 (NH) θ23/0 sin2 θ23/10−1 (IH) θ23/0 sin2 θ13/10−2 (NH) θ13/0 sin2 θ13/10−2 (IH) θ13/0 δ/π (NH) δ/π (IH) Sai số ±1σ 7.60+0.19 −0.18 2.48+0.05 −0.07 2.38+0.05 −0.06 3.23 ± 0.16 34.6 ± 01.0 5.67+0.32 −1.28 48.9+1.9 −7.4 5.73+0.25 −0.43 49.2+1.5 −2.5 2.34 ± 0.20 8.8 ± 0.4 2.40 ± 0.20 Large8.9 ± 0.4 1.34+0.64 −0.38 1.48+0.34 −0.32

cho biết độ lớn khối lượng của các neutrino vì xác suất Pνµ→νe chỉ phụ

thuộc vào sự khác nhau về khối lượng của hai trạng thái riêng tương

21. Theo đó, về mặt tổng quát, phổ khối lượng của neutrino có

ứng ∆m2

thể được chia thành hai dạng

• Phân bậc thông thường (NH): m1 < m2 < m3.

• Phân bậc nghịch (IH): m3 < m2 < m1.

Kết quả thực nghiệm của dao động neutrino được cho ở bảng 2.3 [51].

Trên thực tế, có nhiều vấn đề liên quan đến dao động neutrino như ảnh

hưởng của môi trường xung quanh lên kết quả dao dộng hay sự dao động

của neutrino mặt trời, ... Tuy nhiên, luận án này chỉ trình bày dao động

neutrino trong chân không nhằm nhấn mạnh sự cần thiết của việc xây

dựng mô hình giải thích tại sao neutrino có khối lượng.

2.2 Khối lượng neutrino

Trong SM, khối lượng của neutrino bằng không do không tồn tại

neutrino thuận. Theo đó, để tạo khối lượng cho neutrino, khái niệm về

neutrino thuận được đưa vào SM. Khác với các fermion thông thường,

neutrino có thể có hai dạng khối lượng: khối lượng Dirac và khối lượng

2.2.1 Khối lượng Dirac

Majorana [2].

Khối lượng Dirac của neutrino được suy ra từ Lagrangian

(2.19) ¯leL (cid:101)ΦνeR + h.c.. LD = gνe

v√ 2 0

Khi (cid:101)Φ nhận VEV,   (cid:68) (cid:69) = (2.20) (cid:101)Φ   ,

Lagrangian (2.19) sẽ chứa số hạng

(2.21) ¯νeLνeR + h.c.. gνe v √ 2

, với v = 246 GeV. Theo các kết quả từ vệ = gνe Theo đó, mD νe v √ 2

tinh nhân tạo Planck [52], khối lượng của neutrino nằm trong giới hạn

2.2.2 Khối lượng Majorana

mν < 0.23 eV. Nếu neutrino là hạt Dirac thì hằng số Yukawa theo đó có độ lớn vào cỡ gνe ∼ O(10−11). Như thế, SM gặp thêm khó khăn khi giải thích giá trị rất bé của gνe.

Khác với các lepton mang điện, neutrino là hạt trung hòa nên có

phản hạt là chính nó. Theo đó, khối lượng của neutrino có thể được viết

Rσ2νR.

L σ2νL hoặc νT

theo số hạng Majorana: νT

L σ2νL bắt nguồn từ biểu thức lT

Lσ2lL có Y = −1. Để đảm bảo tính bất biến gauge, lT Lσ2lL phải kết hợp với trường Higgs có Y = +1, cụ thể là tam tuyến Higgs (cid:126)∆ = (cid:0)∆++, ∆+, ∆0(cid:1). Như vậy,

• Số hạng νT

số hạng khối lượng Majorana của neutrino có được từ Lagrangian

Lσ2(cid:126)τ · (cid:126)∆lL,

(2.22) LM = ig∆lT

với √   ∆+/ 2 ∆++ (cid:126)τ · (cid:126)∆ = (2.23) √   . ∆0 −∆+/ 2

Lagiangian (2.22) có thể được viết lại

Lσ2

L σ2∆0νL − eT

Lσ2∆++eL − νT

L σ2

(cid:18) (cid:19) −eT . LM = g∆ νL + νT eL ∆+ √ 2 ∆+ √ 2 (2.24)

ν = g∆v∆. Dễ dàng thấy rằng, khối lượng rất nhỏ của neutrino kéo theo v∆ phải có giá trị rất nhỏ. Đây

Khi tam tuyến Higgs nhận VEV, (cid:104)∆(cid:105) = (0, 0, v∆), khối lượng Ma- jorana của neutrino có dạng mM

được gọi là vấn đề Majoron của SM khi xây dựng số hạng khối lượng

Majorana cho neutrino.

Rσ2νR là đơn tuyến dưới phép biến đổi của nhóm gauge trong SM nên trường Higgs gây tương tác Yukawa tương ứng là

• Số hạng νT

trường đơn tuyến φS.

2.3 Cơ chế see-saw

Có nhiều lý thuyết mở rộng SM giải thích tại sao neutrino mang

khối lượng và phổ biến nhất là cơ chế see-saw [12]. Cơ chế này được chia

thành ba loại: Loại I, II, và III.

2.3.1 Cơ chế see-saw loại I

Cơ chế see-saw loại I giả thiết tồn tại neutrino thuận có tính chất

trơ và là các đơn tuyến của nhóm gauge SM. Theo đó, thành phần lepton

như sau   νL (2.25) lL =   , eR, νR. eL

Lagrangian của cơ chế này được viết dưới dạng

(2.26) LI = gD ¯lLσ2Φ∗νR + νT RCνR + h.c.. MR 2

Nếu các spin-nơ Majorana được cho dưới dạng

(2.27)

(2.28) νM = νL + C ¯νT L , NM = νR + C ¯νT R,

Lagrangian (2.26) được viết lại dưới dạng

(cid:1) + (2.29) mD (cid:0)¯νM NM + ¯NM νM ¯NM NM , LI = MR 2 1 2

với mD = gDv và v = (cid:10)φ0(cid:11) là VEV của thành phần trung hòa trong lưỡng tuyến Higgs Φ. Từ Lagrangian (2.29) cho phép suy ra ma trận

khối lượng của neutrino có dạng   νM 0 mD (2.30)   . NM mD MR

Trong trường hợp MR (cid:29) mD [12], ma trận (2.30) có các trạng thái

riêng

, (2.31) mν ≈

(2.32) m2 D MR mN ≈ MR,

tương ứng với các trị riêng như sau

(2.33) ν ≈ νM + NM , mD MR

(2.34) N ≈ NM − νM . mD MR

Vì mD tỉ lệ thuận với thang điện yếu và trạng thái neutrino nhẹ có

khối lượng vào bậc O(< 1eV) nên khối lượng MR phải có bậc vào cỡ O(∼ 1016 GeV). Như vậy, việc dò tìm neutrino thuận cũng như bản chất

Majorana của nó trong cơ chế see-saw loại I không thể được kiểm chứng

2.3.2 Cơ chế see-saw loại II

trong thực nghiệm.

Cơ chế see-saw loại II mở rộng SM bằng cách cộng thêm thành phần vô hướng tam tuyến phức ∆L = (cid:126)σ · (cid:126)∆L (Y = 2) [12]. Theo đó, khối lượng của neutrino nhẹ được suy ra thông qua tương tác Yukawa

i Cσ2∆Llj + h.c.,

∆lT

(2.35) L∆ = gij

trong đó i, j = 1, .., N ký hiệu cho các thế hệ fermion. Khi ∆L nhận

VEV: v∆, khối lượng neutrino được viết dưới dạng sau

(2.36) mν = g∆v∆.

VEV của ∆L có thể được xác định thông qua tương tác

Lφ + M 2

∆T r (cid:0)∆+(cid:1)

L ∆L + ...,

(2.37) V = µφT σ2∆∗

theo đó

, (2.38) v∆ =

µv2 M 2 ∆ v = (cid:104)φ(cid:105) . (2.39)

Khối lượng của neutrino có thể được viết lại

. (2.40) mν = g∆ µv2 M 2 ∆

2.3.3 Cơ chế see-saw loại III

Nếu g∆ ≈ O(1), để đảm bảo khối lượng bé của neutrino: mν ≈ O(eV), thì µ ≈ M∆ ≈ 1014−15 GeV. Điều này có nghĩa là VEV của tam tuyến vô hướng v∆ phải có bậc vào cỡ O(10−10 GeV).

Cơ chế see-saw loại III mở rộng SM bằng cách thêm các thành phần tam tuyến fermion (cid:126)TF (Y = 0) [12]. Tương tác Yukawa của một thế hệ lepton được xác định thông qua Lagrangian

F C (cid:126)TF .

(2.41) LT = gT lT Cσ2(cid:126)σ (cid:126)TF φ + MT (cid:126)T T

Ma trận khối lượng cho neutrino được suy ra từ Lagrangian (2.41) như

sau √  0 gT v/ (2.42) √  2  .  2 MT gT T v/

Tương tự như cơ chế see-saw loại I, khối lượng của neutrino có dạng

(2.43) gT . mν = gT T v2 MT

Nếu gT ≈ O(1), để đảm bảo khối lượng neutrino nhẹ vào bậc của O(eV) thì MT ≈ O(1014−15 GeV). Như vậy, cơ chế see-saw loại III cũng gặp khó

khăn tương tự như cơ chế see-saw loại I và II.

2.4 Mô hình đối xứng thuận-nghịch

Sự mở rộng đối xứng LR của SM xem tính chẵn lẻ là đối xứng cơ

bản. Để gây ra SSB, nhóm gauge của SM được mở rộng [53]. Cụ thể,

nhóm gauge trong mô hình đối xứng LR được định nghĩa như sau

(2.44) GLR = SU (2)L × SU (2)R × U (1)B−L,

trong đó để đơn giản, mô hình chỉ quan tâm đến tương tác điện yếu, bỏ

qua tương tác mạnh (SU (3)C). Biểu thức điện tích được xác định dưới

dạng biểu thức

. (2.45) Q = T3L + T3R + B − L 2

Mỗi hạt quark và lepton thuận, nghịch đều tương ứng có các hạt đối xứng

nghịch, thuận. Các fermion nghịch là lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L, đơn

   tuyến của nhóm SU (2)R và ngược lại  u u (2, 1, 1/3), (2.46) (2, 1, 1/3) ↔ qR = qL =     d

  d   ν ν (2, 1, −1). (2.47) lL = (2, 1, −1) ↔ lR =     e e

Như vậy neutrino thuận xuất hiện một cách tự nhiện trong mô hình đối

xứng LR. Trong trường hợp này, νR thuộc lưỡng tuyến thay vì đơn tuyến

như trong cơ chế see-saw I. Tương tự với thành phần fermion, thành phần

gauge WR, ZR cũng có phiên bản đối xứng tương ứng WL, ZL. Để tạo

khối lượng cho neutrino, mô hình đối xứng LR cần thêm hai tam tuyến

vô hướng

(2.48) ∆L(3, 1, 2), ∆R(1, 3, 2).

√  Các tam tuyến (2.48) được viết lại theo biểu diễn mới  ∆+/ 2 ∆++ . (2.49) ∆L,R = (cid:126)∆LR(cid:126)τ = √   2 ∆0 −∆+/

Tương tác Yukawa được cho bởi

LCiτ2∆LlL + L ↔ R(cid:1) + h.c.. (cid:0)lT

(2.50) L∆ = g∆L 2

Khi ∆LR nhận VEV

(2.51) (cid:104)∆L(cid:105) = 0,

  0 0 (2.52) (cid:104)∆R(cid:105) =  ,  vR 0

neutrino thuận sẽ thu được khối lượng MR = g∆RvR. Thang của khối

lượng này sẽ phá vỡ đối xứng của tính chẵn lẻ. Đồng thời, đối xứng gauge

LR bị phá vỡ thành đối xứng của nhóm gauge trong SM, cụ thể

(2.53) SU (2)L × SU (2)R × U (1)B−L → SU (2)L × U (1)Y .

Rv2

R, M 2 ZR

= g2 Theo đó, các boson gauge LR có khối lượng M 2 = 3MWR.

Khối lượng nhẹ của neutrino có thể thu được thông qua cơ chế see-saw

loại I và II.

Mô hình đối xứng LR có thể được kiểm chứng trong các máy gia

tốc hadron thông qua quá trình phân rã cùng dấu của lepton: d¯u →

R → l1l2q ¯q như đã đề cập ở [53]. Tuy nhiên, trong công bố gần đây của phòng thí nghiệm CMS [54], không có dấu hiệu nào

WR → l1NR → l1l2W ∗

của neutrino nặng và boson gauge WR do giới hạn dưới của khối lượng

WR là MWR ≥ 3 TeV.

Liệu có thể xây dựng một mô hình, trong đó bản chất khối lượng

của neutrino được giải thích thông qua cơ chế see-saw và khối lượng của

trạng thái nặng cũng như bản chất Majorana của neutrino có thể được

kiểm chứng trong các máy gia tốc hiện tại như LHC (hay tương lai là

máy ILC)? Câu trả lời có thể được tìm thấy trong mô hình EWνR.

2.5 Mô hình EWνR

Phạm Quang Hưng đã đề xuất mô hình EWνR có nhóm gauge

tương ứng là SU (3)C × SU (2)W × U (1)Y [13], với neutrino thuận có khối

lượng vào bậc thang điện yếu và có thể được dò tìm trong các máy gia

tốc ngày nay.

Với mục tiêu xây dựng mô hình EWνR, trong đó νR có tính chất

không trơ và khối lượng có bậc của thang điện yếu O(ΛEW ), mô hình

EWνR thỏa mãn hai điều kiện sau

• Neutrino thuận νR hoạt động và có thể tương tác với boson Z.

Rσ2νR biến đổi không tầm thường dưới nhóm SU (2)W × U (1)Y . Theo đó, trường Higgs liên kết với song tuyến

• Song tuyến tính νT

tính này tuân theo một số điều kiện (sẽ được làm rõ trong mục này)

và tại VEV phải đảm bảo mối liên hệ MW = MZ cos θW .

Trong mục này, những yếu tố chính xây dựng nên mô hình bao

gồm: thành phần fermion, thành phần Higgs và tương tác Yukawa giữa

fermion và trường Higgs sẽ được trình bày. Ngoài ra, để nhấn mạnh khả

năng tồn tại của mô hình EWνR trong hệ thống lý thuyết vật lý hạt

hiện đại, phần cuối của mục này sẽ đề cập đến các ràng buộc chính xác

điện yếu trong mô hình EWνR tối giản. DEWSB cùng với bản chất khối

lượng của neutrino trong mô hình EWνR sẽ được làm rõ trong chương 4

2.5.1 Thành phần fermion

của luận án.

Trong mô hình EWνR, neutrino thuận νR được đặt trong lưỡng

tuyến thuận SU (2)W và hạt song hành của nó được gọi là lepton mang

điện gương   νR (2.54) lM R =  ,  eM R

trong đó M được ký hiệu cho các fermion gương. Tương tự như trong

L (là hạt phản chiếu của eR).

SM, eR là đơn tuyến SU (2)W , mô hình EWνR giả thiết tồn tại một lepton đơn tuyến gương nghịch SU (2)W , eM

Như thế, thành phần fermion trong mô hình này bao gồm

R =

• Các lepton lưỡng tuyến SU (2)W : lepton lưỡng tuyến nghịch trong    νL SM, lL = .     và lepton lưỡng tuyến gương thuận lM eL νM R eM R

• Các lepton đơn tuyến SU (2)W : lepton đơn tuyến thuận trong SM,

eR và lepton đơn tuyến gương nghịch eM L .

R =

• Các quark lưỡng tuyến SU (2)W : Quark lưỡng tuyến nghịch trong    uR uL SM qL = .     và quark lưỡng tuyến gương thuận qM dL dM R

• Các quark đơn tuyến SU (2)W : quark đơn tuyến thuận trong SM,

L , dM L .

uR, dR và quark đơn tuyến gương nghịch uM

Thành phần fermion trong mô hình EWνR như trên chứng tỏ chỉ số

lượng tử SU (2)W × U (1)Y của các fermion gương và fermion trong SM

hoàn toàn giống nhau.

Tương tự như SM, tương tác giữa các lepton gương với boson

gauge SU (2)W × U (1)Y được xác định thông qua các số hạng

R ; ¯eM

L /DeM L ,

(2.55) ¯lM R /DlM

trong đó đạo hàm hiệp biến /D có dạng tương tự như đạo hàm hiệp biến

cho lepton trong SM. Thành phần fermion trong mô hình EWνR có thể

2.5.2 Thành phần Higgs

được liệt kê trong bảng 2.4

Trong cơ chế see-saw điện yếu, sự tồn tại số hạng khối lượng

Rσ2νR làm phá vỡ đối xứng gauge điện yếu.

Majorana có dạng MRνT

Bảng 2.4: Thành phần fermion trong mô hình EWνR.

SU (2)W × U (1)Y SU (2)W × U (1)Y

 Fermion gương  Fermion trong SM   (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) νL 2, − 2, − lL =     lM R = 1 2 1 2 eL νR eM R

 eM L  eR   (1, −1) (cid:18) (cid:19) (1, −1) (cid:18) (cid:19) uL 2, 2, qL =     qM R = 1 6 1 6 dL uM R dM R (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) 1, 1, uR uM L

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1, − 1, − dR dM L 2 3 1 3 2 3 1 3

Rσ2νR và biến đổi theo nhóm (cid:18) . Theo đó, = −1

R chứa số hạng νT R σ2lM SU (2)W × U (1)Y với các chỉ số lượng tử

Song tuyến tính lM,T (cid:19) 1 + 3, Y 2

trường Higgs liên kết với song tuyến này không thể là đơn tuyến SU (2)W (cid:19) (cid:18) = +1 vì vô hướng mang điện đơn tuyến này với số lượng tử 1, Y 2

R thì mô hình EWνR phải chứa trường tam tuyến Higgs (cid:101)χ

không thể có VEV. Như thế, để có thể liên kết được với song tuyến tính lM,T R σ2lM

1√ 2 χ0 − 1√ 2

  χ++ χ+ (2.56) (cid:126)τ · (cid:126)χ =  .  (cid:101)χ = 1 √ 2 χ+

Tuy nhiên, nếu mô hình chỉ có một tam tuyến thì từ phương trình (1.129)

cho giá trị ρ = . Điều này dẫn đến tại mức cây, điều kiện ρ ≈ 1 không 1 2

được thỏa mãn. Để đảm bảo tính đối xứng custodial [55] thì mô hình (cid:19) (cid:18) cần có thêm một tam tuyến Higgs, ξ = = 0 . Bên cạnh đó, hai Y 2 (cid:18) 3, (cid:19) 2, = − , lần lượt tương tác với các lưỡng tuyến Higgs Φ2 và Φ2M , 1 2

Y 2 fermion SM và fermion gương cũng được thêm vào mô hình để thõa mãn

các dữ liệu thực nghiệm đã được LHC công bố vào năm 2012 [17]. Ngoài

ra, để tạo số hạng khối lượng cho neutrino, mô hình EWνR đề xuất thêm

trường vô hướng đơn tuyến φS. Như vậy, thành phần Higgs trong mô

hình này bao gồm

• Các tam tuyến Higgs

1√ 2 χ0 − 1√ 2

  (cid:18) (cid:19) χ++ χ+ (cid:126)τ · (cid:126)χ = 1, 3, = 1 , (2.57)   = (cid:101)χ = Y 2 1 √ 2 χ+

  ξ+ (cid:18) (cid:19) = 1, 3, ξ = = 0 . (2.58) ξ0 Y 2         ξ−

Hai tam tuyến này có thể được kết hợp trong biểu diễn (3, 3) như

sau [19]   ξ+ χ++ χ0

χ = . (2.59) χ− ξ0 χ+         χ−− ξ− χ0∗

• Các lưỡng tuyến Higgs

  (cid:19) (cid:18) , = (2.60) 1, 2, Φ2 =  =  Y 2 1 2 φ+ 1 φ0 1

  (cid:19) (cid:18) = . 1, 2, (2.61) Φ2M =  =  Y 2 1 2 φ+ 2 φ0 2

• Đơn tuyến Higgs

(2.62) = 0). φS = (1, 1, Y 2

2.5.3 Tương tác giữa trường fermion và trường Higgs

Tương tác Yukawa giữa trường Higgs được cho bởi các phương

trình (2.57), (2.60), (2.61) và (2.62) với trường fermion trong mô hình

EWνR như sau

• Tương tác với fermion SM

(2.63) LY SM = −gij ¯ΨLiΦ2ΨRj + h.c..

• Tương tác với fermion gương

Trường hợp lưỡng tuyến Higgs

L + h.c.,

(2.64) LeM = −gM e ¯lM R Φ2M eM

d ¯qM

R Φ2M dL − gM

d ¯qM

R (cid:101)Φ2M dM

L + h.c..

(2.65) LdM = −gM

Trường hợp tam tuyến Higgs

R σ2τ2 (cid:101)χlM R .

(2.66) LνR = gM lM,T

Trường hợp đơn tuyến Higgs

(2.67) LSe = −gSe ¯lLlM

R φS + h.c., R qLφS − g(cid:48)

Sq ¯qM

L qRφS + h.c..

2.5.4 Điều kiện ràng buộc chính xác điện yếu trong mô hình

(2.68) LSq = −gSq ¯qM

EWνR

Trong nhiều thập kỷ qua, các kết quả đo chính xác điện yếu của

SM trong vật lý hạt đã có những bước phát triển vượt bậc. Đặc biệt,

cực Z, khối lượng W và các số liệu năng lượng thấp là các dữ liệu thực

nghiệm quan trọng trong việc xem xét khả năng tồn tại của các mô hình

mở rộng SM. Thỏa mãn các phép đo chính xác điện yếu là một trong

những điều kiện bắt buộc để mô hình mở rộng SM có thể tồn tại. Trong

mục này các tham số chéo trong mô hình EWνR sẽ được trình bày.

a) Các tham số chéo

Trên thực tế có nhiều phương pháp để ràng buộc các ảnh hưởng

của vật lý mới lên SM. Tuy nhiên, các tham số chéo S, T và U phổ biến

nhất trong tất cả các đại lượng vật lý quan sát được [56]. Các tham số

này chứa các đóng góp của hạt mới vào hàm hai điểm năng lượng riêng

của các boson vector trong SM trong gần đúng một vòng.

• S tính toán sự phụ thuộc xung lượng của phân cực chân không

33(0) − Π(cid:48)

3Q(0)(cid:3) .

αS ≡ 4e2 (cid:2)Π(cid:48) (2.69)

• T tính toán sự vi phạm đối xứng isospin cus-to-di-al

(2.70) αT ≡ [Π11(0) − Π33(0)] . e2 s2 W c2 W M 2 Z

Tham số T liên quan đến tham số đối xứng ρ, được xác định cụ thể

như sau

ρ ≈ 1 + αT. (2.71)

• Tham số U ít quan trọng hơn hai tham số trước và thông thường

nhỏ hơn nhiều so với S và T

11(0) − Π(cid:48)

33(0)] ,

αU ≡ 4e2 [Π(cid:48) (2.72)

với sW = sin θW , cW = cos θW là các hàm của góc trộn yếu θW . Các hàm

Π11, Π33 là các phân cực chân không của các dòng isospin và Π3Q là hàm phân cực chân không của isospin thứ ba và dòng điện từ. Hàm Π(cid:48) được

định nghĩa

, (2.73) Π(cid:48)(0) ≡ Π(q2) − Π(0) q

trong đó các hàm này được xác định tổng quát tại q2 = M 2 Z.

b) Các tham số chéo của mô hình EWνR

Vì tham số U rất bé so với S và T nên nhóm tác giả trong [18] đã

tính toán các đóng góp vật lý mới lên các tham số (cid:101)S, (cid:101)T , cụ thể

(2.74)

(2.75) (cid:101)S = SEW νR − SSM , (cid:101)T = T EW νR − T SM ,

trong đó

(2.76) (cid:101)S = (cid:101)Svh + (cid:101)Sf ermion,

(2.77) (cid:101)T = (cid:101)Tvh + (cid:101)Tf ermion.

Như thế, các đóng góp của vô hướng và fermion trong mô hình EWνR

vào các tham số (cid:101)S và (cid:101)T như sau

(2.78)

f ermion,

(2.79)

(2.80)

f ermion.

(2.81) (cid:101)Svh = SEW νR (cid:101)Sf ermion = SEW νR (cid:101)Tvh = T EW νR (cid:101)Tf ermion = T EW νR − SSM vh , f ermion − SSM − T SM vh , f ermion − T SM

Trong trường hợp tổng quát, sự thêm vào mô hình mới các lưỡng tuyến

chéo nặng và các đa tuyến không suy biến theo thứ tự sẽ cho đóng góp

dương vào tham số S và T . Như thế, trong mô hình EWνR, sự có mặt

của các fermion gương mới cùng với các hạt neutrino thuận có khối lượng

vào cỡ thang điện yếu sẽ cho đóng góp dương vào tham số S và T . Theo

đó, các thông số S và T của mô hình EWνR có thể sẽ sai khác rất nhiều

so với giới hạn cho phép của S và T [57]

S = −0.02 ± 0.14, (2.82)

T = 0.06 ± 0.14. (2.83)

Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì các vô hướng tam tuyến sẽ cho đóng

góp âm vào tham số S và T nên các đóng góp này triệt tiêu nhau [18].

Như thế, việc thêm thành phần fermion và Higgs vẫn đảm bảo khả năng

Hình 2.4: (cid:101)SS và (cid:101)SM F trong hai điều kiện ràng buộc 1σ và 2σ [18].

tồn tại của mô hình EWνR. Cụ thể, hình 2.4 minh họa sự đóng góp của

thành phần vô hướng và fermion gương vào thông số (cid:101)S được tính toán

cho hai giới hạn 1σ và 2σ. Hình 2.4 chứng tỏ phần đóng góp dương của

fermion gương vào (cid:101)SM F đã bị triệt tiêu với phần đóng góp âm của vô

hướng vào (cid:101)SS. Theo đó, (cid:101)S tổng cộng của mô hình EWνR thỏa mãn điều

kiện ràng buộc 1σ và 2σ.

2.6 Kết luận chương 2

Hiện tượng dao động neutrino được công bố bởi phòng thí nghiệm

Super-Kamiokande [8] là một trong những bằng chứng thực nghiệm

chứng tỏ sự cần thiết phải mở rộng SM. Cơ chế see-saw được xem là

mô hình tiêu biểu giải thích tại sao neutrino có khối lượng và rất bé.

Tuy nhiên, trong cả ba cơ chế see-saw loại I, II và III, trạng thái nặng

của neutrino hoặc các trường Higgs thêm vào có khối lượng rất lớn nên

không thể dò tìm trong các máy gia tốc hiện đại nhất ngày nay. Để

khắc phục tồn tại này, mô hình đối xứng LR [53] đã được xây dựng. Tuy

nhiên, theo kết quả công bố gần đây của trung tâm thí nghiệm CMS [54],

boson gauge WR trong mô hình LR không thể được kiểm chứng trong

thực nghiệm vì khối lượng của WR rất lớn, MWR ≥ 3 TeV. Để giải quyết

khó khăn này, Phạm Quang Hưng đã xây dựng mô hình EWνR với nhóm

gauge tương tự như trong SM nhưng thêm các thành phần fermion và

Higgs để thỏa mãn điều kiện: trạng thái nặng của neutrino có khối lượng

bé, vào cỡ thang điện yếu ΛEW , theo đó có thể được dò tìm và bản chất

Majorana của neutrino được kiểm chứng trong thực nghiệm. Khả năng

tồn tại của mô hình EWνR trong lĩnh vực lý thuyết của vật lý hạt rất

cao do mô hình EWνR thỏa mãn các điều kiện ràng buộc chính xác điện

yếu.

Lý do mô hình EWνR được các nhà vật lý hạt đánh giá cao và

có khả năng tồn tại trong hệ thống lý thuyết vật lý hạt cơ bản lớn một

phần từ đặc trưng của neutrino thuận. Neutrino thuận trong mô hình

EWνR khác biệt so với các cơ chế see-saw hay các mô hình giải thích

khối lượng bé của neutrino khác, cụ thể

• Neutrino thuận là lưỡng tuyến của SU (2)W và hạt song hành với nó

là lepton mang điện gương.

• Neutrino thuận trong mô hình EWνR là không trơ và có thể tương

tác với các boson truyền tương tác yếu W và Z.

• Trong cơ chế see-saw của mô hình EWνR, neutrino thuận là hạt

Majorana và khối lượng có bậc của thang điện yếu ΛEW nên có thể

được tạo thành trong các máy gia tốc LHC hay ILC.

Chương 3

TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ TRONG MÔ HÌNH EWνR

Nội dung của chương 3 gồm ba phần chính. Phần đầu sơ lược sự

hình thành trạng thái ngưng tụ trong giới hạn phi tương đối tính. Theo

đó, điều kiện tối thiểu để một fermion ngưng tụ được đề cập đến. Phần

tiếp theo trình bày phương pháp sử dụng phương trình SD để tìm điều

kiện hình thành và khảo sát các đặc trưng của trạng thái ngưng tụ của

neutrino thuận và quark gương. Phần cuối của chương tính giải tích

hàm β một vòng của các hằng số liên kết Yukawa của neutrino thuận và

fermion gương. Theo đó, thang năng lượng để các các trạng thái ngưng

tụ hình thành sẽ được xác định thông qua nghiệm số của các phương

trình tái chuẩn hóa tương ứng.

3.1 Lý thuyết phi tương đối tính cho trạng thái ngưng tụ

3.1.1 Thế Yukawa

trong tương tác Yukawa

Thế tương tác Yukawa lần đầu tiên được sử dụng trong lý thuyết

meson của H. Yukawa khi ông mô tả tương tác giữa các nucleon [58],

biểu thức được viết dưới dạng sau

, (3.1) V (r) = −λ exp (−αr) r

với λ và lần lượt là cường độ và phạm vi tác dụng của lực nucleon. 1 α

Một vài thập niên sau, thế Yukawa được nghiên cứu sâu và rộng hơn

bằng các phương pháp giải tích và phương pháp số [59–66]. Ngày nay, mô

hình này đã và đang là mối quan tâm không chỉ trong vật lý hạt mà còn

trong các lĩnh vực khác của vật lý [67–69]. Trong lĩnh vực vật lý plasma

thế này được gọi là thế Debye-Huckel và trong vật lý chất rắn, vật lý

nguyên tử, nó được gọi là thế Coulomb chắn hay thế Thomas-Fermi.

Các hiện tượng tới hạn không chỉ xuất hiện trong QCD tại thế

nhiệt hóa hữu hạn [70–72] mà còn xảy ra trong thế Yukawa của cơ học

lượng tử [63–66, 73]. Hệ vật lý sẽ có các đặc trưng khác nhau tùy thuộc

vào giá trị của α. Khi α = 0, thế Yukawa trở thành thế Coulomb. Khi

α = ∞, không tồn tại tương tác và hệ trở về trạng thái tự do. Khi α (cid:54)= 0,

thế Yukawa có một số đặc tính hoàn toàn khác so với thế Coulomb. Trong

trường hợp này, tồn tại một số hữu hạn các trạng thái ngưng tụ vì các

tương tác đã bị chắn và các trạng thái này sẽ không còn khi α đủ lớn.

Trong luận án này chúng tôi đề cập đến thế tương tác Yukawa

giữa hai hạt fermion với hạt trung gian là hạt Higgs [74]. Thế Yukawa

trong trường hợp này được gọi là thế trao đổi Higgs phi tương đối tính

và có dạng sau

, (3.2) V (r) = −αY (r) emH (r)r r

trong đó mH là khối lượng hạt Higgs và αY =

m1m2 4πv2 , với v = 246 GeV. Khối lượng của các fermion lần lượt là m1 và m2 và khối lượng rút gọn

3.1.2 Trạng thái ngưng tụ

của hệ là M = . m1m2 m1 + m2

Trạng thái ngưng tụ của hệ được xác định thông qua nghiệm của

phương trình Schrodinger với thế Yukawa được cho bởi phương trình

(3.2) [75]. Trong mục này, trạng thái đơn giản nhất khi l = 0 sẽ được

2 e−yr,

khảo sát. Hàm sóng thử có dạng

(3.3) u(y, r) = 2y

với y là biến vi phân [75]. Năng lượng tương đối được xác định thông

qua năng lượng tổng cộng Etot và năng lượng khối tâm Ecm của hệ:

E = Etot − Ecm, cụ thể

(cid:126)2 (3.4) E = y2 − 2M 4αY y3 (2y + mH)2 .

Khi các biến được định nghĩa lại

(3.5) z = ,

(3.6) Kf = 2y mH 2M αY mH(cid:126)2 ,

phương trình

(3.7) = 0, dE dz

cho phép suy ra

(3.8) . Kf = (1 + z)3 z(z + 3)

Theo đó, năng lượng của hệ được viết lại ((cid:126) = 1)

(3.9) E = −αY mH z3(z − 1) 4 (z + 1)3 .

Điều kiện để tồn tại trạng thái ngưng tụ khi z > 1 tương ứng với

(3.10) Kf > 2.

. Kf Xét trường hợp đơn giản nhất khi m1 = m2 = mf và Kf ≡ αY mf mH có thể được viết theo hằng số liên kết Yukawa và hằng số liên kết bậc

bốn, cụ thể

(3.11) . Kf = λ

g3 f √ 16π Trong trường hợp này, Kf không phụ thuộc vào thang điện yếu ΛEW .

Khi năng lượng thay đổi, biểu thức (3.11) chứng tỏ trạng thái ngưng tụ

sẽ xuất hiện khi các hằng số liên kết Yukawa và hằng số liên kết bậc

bốn đạt đến giá trị nhất định thỏa mãn điều kiện ngưng tụ. Các kết quả

nghiên cứu trong [74] đã chỉ ra rằng, nếu các giá trị tại điểm cố định

(được định nghĩa trong phần 3.3.1) của hạt quark, lepton thế hệ thứ 4 và

hạt quark đỉnh lần lượng bằng αY ≈ 2.09, 2.16, 1.22 và mH ≈ 1.446 TeV,

thì giá trị Kf tương ứng là Kq = 1.82, Kl = 1.92 và Kt = 0.82. So sánh

các kết quả này với điều kiện (3.10) thu được từ phương pháp biến phân,

dễ dàng thấy rằng các hạt quark và lepton thế hệ thứ 4 có thể hình thành

trạng thái ngưng tụ, trong khi đó quark đỉnh thì không thể.

Kết quả giải số phương trình Schrodinger cho thế Yukawa (3.2)

[76] suy ra điều kiện ngưng tụ như sau

(3.12) Kf > 1.68.

nmax(cid:88)

Năng lượng liên kết có thể được tính số thông qua biểu thức [76]

n=0

(3.13) (−Kf )2 ϕn (nmax + 1 − n, ν) = 0,

với ν = và nmax là giá trị cực đại của n khi dãy số hội tụ. 2(cid:112)−mf E mH

Hàm ϕn(ω, ν) được suy ra từ phép khai triển hàm sóng và thỏa mãn mối

liên hệ truy hồi

(3.14) ϕ0(ω, ν) = 1,

(cid:90) ω dx ϕn(ω, ν) = ϕn−1(x, ν), [(x + n − 1) (x + n − 1 + ν)]l [(x + n)(x + n + ν)]l+1

(3.15)

với n = 1, 2, ... Khi Kq = 1.82, giải phương trình (3.13) cho ta ν = 0.108.

Theo đó, năng lượng liên kết là Eq ≈ −4.9 GeV. Đối với lepton thế hệ

thứ 4, các giá trị này như sau

(3.16) Kl = 1.92, ν = 0.196, El = −15.7 GeV.

Mặc dù phương trình (3.13) có tham số khai triển Kf ≈ 2 nhưng rất

nhanh hội tụ [76], do đó có thể thu kết quả chính xác khi n bé. Như

vậy, trong giới hạn phi tương đối tính, các hạt quark và lepton thế hệ

thứ 4 thỏa mãn điều kiện hình thành trạng thái ngưng tụ khi các hằng

số Yukawa đủ lớn. Điều này xảy ra do các fermion thế hệ thứ 4 có khối

lượng lớn, có bậc vào cỡ thang điện yếu ΛEW .

Các fermion gương và neutrino thuận có khối lượng cùng bậc với

fermion thế hệ thứ 4. Theo đó, điều kiện ngưng tụ trong giới hạn phi

tương đối tính cho các fermion trong mô hình EWνR có thể được thực

hiện tương tự như trường hợp của các lepton và quark thế hệ thứ 4. Tuy

nhiên, vì đối tượng là các hạt tương đối tính nên sự ngưng tụ của các

fermion trong mô hình EWνR sẽ được nghiên cứu bằng cách sử dụng

phương trình SD.

3.2 Phương pháp sử dụng phương trình SD cho các trạng thái

ngưng tụ của fermion trong mô hình EWνR [77]

Phương trình SD, được lấy tên từ hai nhà khoa học J. Schwinger

và F. Dyson, là phương trình nêu lên mối liên hệ tổng quát giữa các hàm

Green trong lý thuyết trường lượng tử. Phương trình SD cũng được xem

là phương trình Euler–Lagrange vì đây là phương trình chuyển động của

các hàm Green tương ứng.

Việc sử dụng phương trình SD để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ

đã được thực hiện trong các mô hình TC, ETC [23] và gần đây là mô

hình DEWSB của fermion thế hệ thứ 4 [32]. Công trình nghiên cứu [32]

đã đề xuất mô hình, trong đó trạng thái ngưng tụ của fermion thế hệ

thứ 4 được xem là tác nhân của DEWSB. Mô hình này đã nghiên cứu

phương trình SD cho năng lượng riêng của fermion của thế hệ thứ 4 và

Y =

, nghiệm của chỉ ra rằng, nếu các hằng số Yukawa đủ lớn, αY > αc π 2

Lt(cid:48)

R(cid:105) có thể được viết theo năng lượng riêng của t(cid:48). Sự hình thành trạng thái ngưng tụ của các fermion

phương trình SD có dạng của trạng thái ngưng tụ. Trạng thái ngưng tụ của quark đỉnh thế hệ thứ 4 dưới dạng (cid:104)¯t(cid:48)

trong mô hình EWνR sẽ được nghiên cứu trong mục này dựa trên mô

hình [32]. Theo đó, vai trò của sự ngưng tụ của các fermion trong mô

hình EWνR đối với DEWSB sẽ được đề cập chi tiết trong chương 4.

Vì quark đỉnh không thể có trạng thái ngưng tụ nên phương trình

SD cho năng lượng riêng của fermion trong SM sẽ được bỏ qua trong

mục này. Ngoài ra, theo kết quả nghiên cứu quá trình vi phạm số lepton

Sq thì các phương trình (2.67) và (2.68) sẽ không được xem xét. Theo đó, việc nghiên cứu sự ngưng tụ fermion trong mô hình

gần đây, µ → eγ [21], gSe có giá trị ràng buộc bé hơn 10−3 và nếu giả sử gSe ∼ gSq ∼ g(cid:48)

EWνR sử dụng các giả thiết sau

• Khi nghiên cứu sự hình thành các trạng thái ngưng tụ, các trường

Higgs cơ sở trong mô hình EWνR được giả thiết không khối lượng.

Theo đó, các trường này không có VEV tại mức cây.

• Để đảm bảo đối xứng cus-to-di-al SU (2)D (sẽ được trình bày chi tiết

L U M R

L DM R

trong chương 4), VEV của các song tuyến quark phải thỏa mãn điều (cid:11). Điều này được thỏa mãn khi giả thiết kiện: (cid:10) ¯U M (cid:11) = (cid:10) ¯DM

guM = gdM = gqM .

• Các hằng số liên kết Yukawa của lepton gương không đủ lớn để trạng

thái ngưng tụ tương ứng được hình thành.

Như vậy, hai loại của trạng thái ngưng tụ sẽ được khảo sát trong mục

này là trạng thái ngưng tụ từ sự trao đổi giữa lưỡng tuyến Higgs cơ sở

Φ2M với hai quark gương và từ sự trao đổi giữa tam tuyến Higgs cơ sở

(cid:101)χ với hai neutrino thuận. Các điều kiện hình thành và biểu thức của trạng thái ngưng tụ sẽ được tìm bằng phương pháp giải tích, thông qua

nghiệm của phương trình SD. Thang năng lượng của trạng thái ngưng

tụ theo đó sẽ được xác định và có mối liên hệ với VEV của các trường

3.2.1 Nghiệm của phương trình SD cho năng lượng riêng của

Higgs Φ2M và (cid:101)χ. Cuối cùng, năng lượng cắt của hệ được xác định và đảm bảo không tồn tại sự hiệu chỉnh bé.

neutrino thuận và quark gương [77]

Đối với neutrino thuận, Lagrangian Yukawa trong phương trình

(2.66) được viết cụ thể như sau

LνR = gM lM,T

R χ++

R σ2eM

= −

R σ2τ2 (cid:101)χlM 1 gM eM,T √ 2 +gM νT

Rσ2eM

R χ+.

Rσ2νRχ0 −

R σ2νRχ+ + gM eM,T 1 √ 2

(3.17) gM νT

Phương trình SD cho năng lượng riêng của neutrino thuận có thể được

xác định thông qua số hạng thứ ba của Lagrangian LνR

(cid:90) ΣνR(q) d4q . (3.18) ΣνR(p) = g2 M (2π)4 1 (p − q)2 (q) q2 + Σ2 νR

Giản đồ Feynman tương ứng với phương trình (3.18) được cho ở hình

3.5. Phương trình tích phân (3.18) tương đương với phương trình vi phân

, (3.19) (cid:50)ΣνR(p) = − (p) (cid:18)ανR αc νR (cid:19) ΣνR(p) p2 + Σ2 νR

kết hợp với các điều kiện biên sau

= 0, (3.20) lim p→0

(cid:20) p2 dΣνR(p) = 0, (3.21) lim p→Λ p4 dΣνR(p) dp2 (cid:21) dp2 + ΣνR(p)

Hình 3.5: Giản đồ Feynman đóng góp vào vế phải của phương trình SD

cho năng lượng riêng của neutrino thuận ΣνR [77].

được xác định dưới dạng với ανR = và hằng số tương tác ngưỡng αc νR

g2 M 4π biểu thức sau

= π. (3.22) αc νR

Nếu đặt

p = et, (3.23)

(3.24) ΣνR(p) = etu(t − t0),

(cid:19) u + 3u + (3.25) thì phương trình (3.19) được viết lại d2u dt2 + 4 du dt 1 + u2 = 0. (cid:18)ανR αc νR

Các điều kiện biên trở thành

(u(cid:48) + 3u) = 0,

(u(cid:48) + u) = 0, (3.26) lim t→tΛ lim t→−∞

trong đó tΛ = log Λ. Tham số t0 được định nghĩa t0 = ln Σ(0) (khi t → −∞, thì etu(t) → 1). Khi xung lượng đủ lớn, u(t) → 0 nên số hạng

u2 có thể được bỏ qua. Theo đó, phương trình (3.25) trở thành

(cid:20) (cid:19)(cid:21) + 3 + u ≈ 0, khi t lớn. (3.27) d2u dt2 + 4 du dt (cid:18)ανR αc νR

được gọi là điểm ngưỡng, vì theo [78] khi xung lượng đủ lớn

ανR = αc νR phương trình (3.27) có hai họ nghiệm tương ứng với các khoảng giá trị

(cid:114)

1−

−1+

khác nhau của ανR

ανR αc νR , (cid:20)(cid:114)ανR αc νR

, (3.28) ΣνR(p) ∼ p khi ανR ≤ αc νR (cid:21) − 1(ln p + δ) , (3.29) ΣνR(p) ∼ p−1 sin , khi ανR > αc νR

trong đó δ là hằng số pha. Điều kiện biên cho nghiệm của phương trình

αc

−1+δ , n = 1, 2, ....

SD trong trường hợp (3.29) như sau √ α (3.30) ΣνR(0) = Λe1−nπ/

Khi n = 1 giá trị năng lượng riêng của fermion sẽ đạt cực đại, tương ứng

với trạng thái chân không. Phương trình (3.30) có thể được viết lại cho

n = 1 (cid:19) (cid:18) Λ + − 1, (3.31) δ0 = ln ΣνR(0) − 1 π (cid:113) α αc

với δ0 là hằng số pha trong trường hợp chân không.

Tương tự đối với trường hợp quark gương, từ Lagrangian (2.65),

Hình 3.6: Giản đồ Feynman đóng góp vào vế phải của phương trình SD

phương trình SD cho năng lượng riêng của quark gương có dạng

cho năng lượng riêng của quark gương ΣνR [77].

qM (q)

(cid:90) ΣqM (q) . (3.32) d4q ΣqM (p) = 2 × g2 qM (2π)4 1 (p − q)2 q2 + Σ2

Giản đồ Feynman cho trường hợp tương ứng với phương trình (3.32)

được cho bởi hình 3.6. Với điều kiện ΣqM (p) = ΣdM (p) = ΣuM (p), hằng

số liên kết ngưỡng của quark gương được xác định bởi

qM =

. (3.33) αc π 2

Khi αqM lớn hơn giá trị gưỡng, nghiệm của phương trình (3.32) sẽ có

3.2.2 Thang năng lượng của trạng thái ngưng tụ

dạng của trạng thái ngưng tụ.

Đại lượng liên hệ mật thiết với DEWSB trong mô hình EWνR là

trạng thái ngưng tụ của neutrino thuận và quark gương. Các trạng thái

ngưng tụ fermion này được viết theo năng lượng riêng tương ứng. Cụ

thể, đối với quark gương

L qM

R (cid:105) = −

qM (q)

(cid:90) ΣqM (q) (cid:104)¯qM d4q 3 4π4 q2 + Σ2

(cid:19) = e3tΛ [u(cid:48)(tΛ − t0)]

(cid:19) = − (3.34) e3tΛu(tΛ − t0). 3 2π2 3 π2 (cid:18)αc qM αqM (cid:18)αc qM αqM

Sử dụng nghiệm tiệm cận khi t lớn, phương trình (3.34) trở thành

L qM

R (cid:105) ≈ −

qM (0)

(cid:19) (cid:104)¯qM ΛΣ2 3 π2



qM (cid:19)

× sin − 1 (tΛ − t0 + δ0)  (cid:18)αc qM αqM  (cid:115)αqM  αc

qM (0)

≈ − ΛΣ2 3 π2

 (cid:18) (cid:19) − 1 ln × sin + δ0  (cid:18)αc qM αqM  (cid:115)αqM  αc

qM (0) sin

Λ ΣqM (0)   (cid:19) ≈ − ΛΣ2 − 1 π −  3 π2 (cid:115)αqM αc (cid:18)αc qM αqM

qM (0) sin

 (cid:19) ΛΣ2 − 1 (3.35) ≈ −  . 3 π2  (cid:115)αqM  αc (cid:18)αc qM αqM

Rσ2νR(cid:105) ≈ −

(cid:19) (cid:21) (cid:104)νT (0) sin − 1 . (3.36) ΛΣ2 νR 1 π2 Tương tự, trạng thái ngưng tụ của neutrino thuận có dạng (cid:18)αc νR ανR (cid:20)(cid:114)ανR αc νR

Vì các trạng thái ngưng tụ trong các phương trình (3.35) và (3.36) mang

các số lượng tử điện yếu (SU (2)W ) nên sẽ gây ra EWSB. Theo đó, thang

năng lượng của các trạng thái ngưng tụ này có mối liên hệ với vχ và vΦ2M

χ),

(cid:104)νT (3.37)

Rσ2νR(cid:105) ∼ O(−v3 R (cid:105) ∼ O(−v3 L qM (cid:104)¯qM

φ2M

), (3.38)

trong đó vχ và vΦ2M (sẽ được làm rõ ở chương 4) là VEV của χ và Φ2M .

Hai đại lượng được cho bởi phương trình (3.37) và (3.38) sẽ là tác nhân

gây ra DEWSB và tạo khối lượng cho trường Higgs và fermion trong mô

3.2.3 Thang năng lượng cắt

hình EWνR.

Trên thực tế, có nhiều cách để xác định thang năng lượng của

tương tác mạnh thông qua tính Unita. Những tính toán chi tiết có thể

tìm thấy trong các tài liệu [79–81]. Kết quả của [79–81] đã chỉ ra rằng,

thang năng lượng mới gây ra EWSB được xác định gần đúng vào bậc

của O(TeV). Điều này rất quan trọng đối với các nhà vật lý khi xây dựng

mô hình EWSB vì cơ chế này có thể được kiểm chứng tại các máy gia

tốc, trong đó năng lượng có thể được nâng lên thang TeV như LHC hay

tương lai là ILC. Trong mục này, xung lượng cắt Λ của mô hình ngưng

tụ fermion sẽ được xác định và đối chiếu với điều kiện đã chứng minh

trong [79–81].

Khi năng lượng tăng, hằng số tương tác Yukawa ανR, αqM đủ lớn

qM =

, thì = π, αc

(cid:21) sin − 1 ∼ − 1. (3.39) và đạt đến giá trị ngưỡng, αc νR (cid:20)(cid:114)ανR αc νR π 2 (cid:114)ανR αc νR

Để có mối liên hệ trong các phương trình (3.37) và (3.38), điều kiện sau

đây phải được thỏa mãn

Λ (3.40) − 1 ∼ ΛEW ,

(3.41) Λ − 1 ∼ ΛEW . (cid:114)ανR αc νR (cid:115)αqM αc

≈ = 1 + 10−28. Điều Nếu xung lượng cắt Λ ∼ O(1016 GeV), thì αqM αc ανR αc νR

này sẽ dẫn đến sự hiệu chỉnh bé. Nếu xung lượng cắt Λ ∼ O(TeV), sự

hiệu chỉnh bé sẽ không còn tồn tại. Như vậy, dễ dàng nhận thấy rằng, cơ

chế DEWSB thang TeV là hệ quả tất yếu khi mô hình EWνR sử dụng

trạng thái ngưng tụ fermion và các hằng số liên kết Yukawa của các

fermion tương ứng thỏa mãn điều kiện ngưng tụ tại thang này. Làm thế

nào để xác định độ lớn của hằng số Yukawa khi năng lượng thay đổi?

Nội dung này sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.

3.3 Hàm β một vòng của các hằng số liên kết Yukawa của

3.3.1 Khái niệm hàm β của hằng số liên kết

fermion trong mô hình EWνR [83]

Hàm β của hằng số liên kết xuất hiện trong phương trình Callan-

Symanzik. S. Coleman đã giải phương trình Callan-Symanzik theo phương

pháp đặc trưng [82]. Theo đó, hàm β được viết lại thông qua hằng số

liên kết hiệu dụng ¯λ

, (3.42) β(¯λ) = d¯λ(t, λ) dt

(cid:19) trong đó t = ln (cid:18) µ µ0

, với µ0 là năng lượng ban đầu và điều kiện biên tương ứng ¯λ(t = 0, λ) = λ. Phương trình (3.42) còn được gọi là phương

trình nhóm tái chuẩn hóa (RGE). Hàm β nhóm tái chuẩn hóa xác định quy luật biến thiên của hằng số liên kết hiệu dụng ¯λ theo năng lượng. Tính chất tiệm cận của ¯λ được làm rõ khi giả thiết hàm β(λ) có

Hình 3.7: Ví dụ điển hình cho hàm β trong phương trình Callan-Symanzik

dạng như hình (3.7). Hàm β triệt tiêu tại các điểm 0, λ1, λ2, được gọi là

có điểm cố định bền tử ngoại là λ1 và điểm cố định bền hồng ngoại là gốc

tọa độ và λ2. Chiều của mũi tên biểu diễn xu hướng biến đổi của hằng

số liên kết khi xung lượng tăng.

các điểm cố định và được chia làm hai loại: điểm cố định bền hồng ngoại

và điểm cố định bền tử ngoại. Khảo sát vùng lân cận λ1, vì β(λ) > 0 khi 0 < λ < λ1, hằng số liên kết hiệu dụng ¯λ trong phương trình (3.42) tăng khi xung lượng tăng và đạt đến λ1 khi t → ∞. Khi β(λ) < 0 trong khoảng λ1 < λ < λ2, ¯λ giảm khi xung lượng tăng và giảm đến λ1 khi xung lượng tiến đến vô cùng. Như thế, trong khoảng 0 < λ < λ2 hằng

số liên kết luôn tiến đến λ1 khi xung lượng lớn và λ1 được gọi là điểm cố

định bền tử ngoại. Tương tự λ2 và gốc tọa độ được gọi là điểm cố định

bền hồng ngoại.

Sự biến đổi của hằng số liên kết Yukawa theo năng lượng thường

được xác định thông qua hàm β tương ứng. Trong giới hạn tìm thang

năng lượng xuất hiện cực Landau, hàm β của các hằng số liên kết Yukawa

trong mô hình EWνR được tính trong gần đúng một vòng. Như đã đề

cập trong phần 3.2.3, để hình thành các trạng thái ngưng tụ không tồn

tại sự hiệu chỉnh bé, thang năng lượng cắt Λ của tương tác mạnh mới

phải có bậc vào cỡ O(1 TeV). Như thế, trong phần này, hàm β một vòng

của hằng số liên kết Yukawa của fermion gương và neutrino thuận sẽ

được tính toán để tìm các giá trị ban đầu, theo đó, trạng thái ngưng tụ

3.3.2 Hàm βgM một vòng của hằng số liên kết Yukawa gM giữa

hình thành và cực Landau xuất hiện tại thang TeV.

neutrino thuận và tam tuyến Higgs (cid:101)χ

Trong mô hình EWνR, tương tác Yukawa giữa neutrino thuận với tam tuyến Higgs (cid:101)χ được cho bởi phương trình (2.66). Các đóng góp một vòng vào hàm βgM của hằng số liên kết gM bao gồm: hiệu chỉnh đỉnh,

năng lượng riêng fermion, năng lượng riêng vô hướng và các tương tác

gauge. Tuy nhiên, tại thang năng lượng cao, các hằng số liên kết gauge

trở nên rất nhỏ so với các liên kết Yukawa nên các đóng góp của chúng

vào hàm βgM một vòng có thể được bỏ qua. Theo đó, ba số hạng đầu sẽ

được tính toán.

Khảo sát sự hiệu chỉnh đỉnh với giản đồ Feynman tương ứng được

cho bởi hình 3.8

(cid:18) (cid:18) i (3.43) 1 + ΓgM = −(i)3g3 M (cid:19) (cid:90) d4k (2π)4 1 2 (cid:19)2 i k2 . /p − /k

Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh từ phương trình (A.101) vào hàm βgM như

Hình 3.8: Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgM một vòng của hằng

số liên kết gM .

(3.44) βgM 1 = 3 × g3 M 16π2 .

(cid:35) Hình 3.9 mô tả số hạng năng lượng riêng fermion (cid:19)2 (cid:18) i √ − (cid:34) 2(−igM )2 + 2 gM + (−igeM )2 ΣgM f (p) = 2

× (3.45) (cid:90) d4k (2π)4 i k2 i(/p/k) (p − k)2 ,

và đóng góp của nó vào hàm βgM được cho bởi

(3.46) βgM 2 = g3 M + g2 eM gM . 3 32 1 32

Giản đồ Feynman cho năng lượng riêng vô hướng được cho bởi hình 3.10

và đóng góp của

(cid:19) (cid:18) i (cid:90) d4k (3.47) ΣgM s(p) = (−igM )2(−) (2π)4 T r γµkµ i /p − /k

vào hàm βgM có dạng

(3.48) βgM 3 = 2 × g3 M 16π2 .

Như thế, hàm βgM một vòng từ ba đóng góp trên như sau [83]

(3.49) βgM = = βgM 1 + βgM 2 + βgM 3 = dgM dt 13g3 M 32π2 + g2 eM gM 32π2 .

Hình 3.9: Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgM một vòng

3.3.3 Hàm βgqM một vòng của hằng số liên kết Yukawa gqM giữa

của hằng số liên kết gM .

quark gương và lưỡng tuyến Higgs Φ2M

Trong mô hình EWνR, tương tác Yukawa giữa quark gương với

lưỡng tuyến Higgs Φ2M được cho bởi phương trình (2.65). Giản đồ Feyn-

man mô tả sự hiệu chỉnh đỉnh được cho bởi hình 3.11 và

(cid:18) i (3.50) ΓgqM = −(i)3g3 qM (cid:90) d4k (2π)4 (cid:19)2 i k2 . /p − /k

Đóng góp của sự hiệu chỉnh này vào hàm βgqM được cho bởi

Hình 3.10: Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgM một

Hình 3.11: Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgqM một vòng của hằng số liên kết gqM .

vòng của gM .

(3.51) βgqM 1 = g3 qM 8π2 .

Số hạng năng lượng riêng fermion với giản đồ Feynman tương ứng được

cho bởi hình 3.12 như sau

(cid:1)2(cid:105) ΣgqM f (p) =

(3.52) × (cid:104) 2(−igqM )2 + 2 (cid:0)−igqM (cid:90) d4k i k2 (2π)4 i(/p/k) (p − k)2 .

Đóng góp của phương trình (3.52) vào hàm βgqM được cho bởi

(3.53) βgqM 2 = g3 qM 8π2 .

Giản đồ Feynman cho năng lượng riêng vô hướng được cho bởi hình 3.13

và đóng góp của

(cid:19) (cid:18) i (cid:90) d4k (3.54) ΣgqM s(p) = (−igqM )2(−) (2π)4 T r γµkµ i /p − /k

Hình 3.12: Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgqM một vòng của hằng số liên kết gqM .

vào hàm βgqM có dạng

(3.55) βgqM 3 = g3 qM 8π2 .

Như thế, hàm βgqM một vòng từ ba đóng góp trên như sau [83]

(3.56) βgqM = = βgqM 1 + βgqM 2 + βgqM 3 = dgqM dt 3g3 qM 8π2 .

Hình 3.13: Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgqM một vòng của gqM .

3.3.4 Hàm βgeM một vòng của hằng số liên kết Yukawa geM giữa

lepton điện gương và lưỡng tuyến Higgs Φ2M

Trong mô hình EWνR, tương tác Yukawa giữa lepton gương với

lưỡng tuyến Higgs Φ2M được cho bởi phương trình (2.64). Khảo sát sự

Hình 3.14: Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm βgeM một vòng của hằng số liên kết geM .

hiệu chỉnh đỉnh với giản đồ tương ứng được cho bởi hình 3.14

(cid:18) i (3.57) ΓgeM = −(i)3g3 eM (cid:90) d4k (2π)4 (cid:19)2 i k2 . /p − /k

Hình 3.15: Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgeM một vòng của hằng số liên kết geM .

Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh từ phương trình (3.57) vào hàm βgeM như sau

(3.58) βgeM 1 = g3 eM 8π2 .

Hình 3.15 mô tả số hạng năng lượng riêng fermion

(cid:34) (cid:35) (cid:18) (cid:19)2 i √ − gM + (−igM )2 3(−igeM )2 + ΣgeM f (p) = 2

(3.59) × (cid:90) d4k (2π)4 i k2 i(/p/k) (p − k)2 ,

và đóng góp của nó vào hàm βgM được cho bởi

eM gM 64π2

3g2 (3.60) . βgeM 2 =

3g3 eM 32π2 + Giản đồ Feynman cho năng lượng riêng vô hướng được cho bởi hình 3.16

và đóng góp của

(cid:19) (cid:90) d4k (cid:18) i , (3.61) ΣgeM s(p) = (−igeM )2(−) (2π)4 T r γµkµ i /p − /k

vào hàm βgeM có dạng

(3.62) βgeM 3 = g3 eM 8π2 .

Hình 3.16: Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgeM một vòng của geM .

Như thế, hàm βgeM một vòng từ ba đóng góp trên như sau [83]

M geM 64π2

3.3.5 Kết quả tính số

3g2 . (3.63) βgeM = = βgeM 1 + βgeM 2 + βgeM 3 = dgeM dt 11g3 eM 32π2 +

Các phương trình vi phân (3.49), (3.56) và (3.63) có thể được tính

số theo phương pháp Runge Kutta [83] và kết quả thu được phụ thuộc

vào giá trị ban đầu của các hằng số liên kết Yukawa. Tuy nhiên, ý nghĩa

vật lý của các hằng số liên kết Yukawa ban đầu là gì? Tại sao các đại

lượng ban đầu không phải là các đại lượng vật lý quan sát được như khối

lượng? Câu trả lời có thể được tìm thấy thông qua giả thiết của cơ chế

ngưng tụ fermion: vật chất không mang khối lượng khi DEWSB chưa

xảy ra. Như vậy, các giá trị ban đầu của hằng số liên kết Yukawa chỉ

mang ý nghĩa của các đại lượng vật lý quan sát được dựa trên quan điểm

EWSB đã xuất hiện, nghĩa là khối lượng naive [32]. Theo đó, nghiệm

của các RGE có thể được tìm thấy khi sử dụng giá trị khối lượng naive

Hình 3.17: Sự biến thiên của các hằng số liên kết Yukawa với các giá trị khối lượng naive ban đầu của νR, eM và qM lần lượt bằng 200 GeV, 102 GeV và 202 GeV. Mũi tên màu xanh da trời và màu xanh lục chỉ các giá trị năng lượng tại đó tam tuyến Higgs χ

và lưỡng tuyến Higgs Φ2M tương ứng nhận VeV [84].

ban đầu của fermion gương và neutrino thuận trong mô hình EWνR.

Các giới hạn khối lượng của fermion trong mô hình EWνR đã được

xác định trong [19] thông qua các đặc trưng của hạt Higss-125 GeV được

khám phá bởi phòng thí nghiệm LHC vào năm 2012. Hạt boson này được

giả thiết có thể tồn tại một trong hai trạng thái: Bác sĩ Jekyll hoặc Ông

Hyde tùy thuộc vào ảnh hưởng của hạt Higgs trung hòa H 0

thái Bác sĩ Jekyll, trong đó H 0

1 . Các trạng 1 đóng vai trò chủ yếu, có xu hướng giống 1 đóng vai trò thứ yếu, có tính chất hoàn toàn khác với hạt Higgs trong SM. Giới hạn trên khối

hạt Higgs trong SM và trạng thái còn lại, H 0

lượng của các fermion trong mô hình EWνR cho trường hợp Bác sĩ Jekyll

và Ông Hyde lần lượt là 120 GeV và 700 GeV.

Nghiệm của RGE có thể được xác định khi sử dụng các giá trị

khối lượng naive ban đầu của fermion gương và neutrino thuận nằm

trong giới hạn như đề cập trên. Các giá trị này thỏa mãn điều kiện để

quark gương và neutrino thuận ngưng tụ thông qua tương tác Yukawa

với lưỡng tuyến Higgs Φ2M và tam tuyến Higgs (cid:101)χ. Cụ thể, hình 3.17 minh họa cho trường hợp khối lượng naive ban đầu của νR, eM và qM

lần lượt là 200 GeV, 102 GeV và 202 GeV. Hình 3.17 chỉ ra rằng, hằng số

liên kết Yukawa tăng đáng kể khi năng lượng tăng và điểm kỳ dị Landau

xuất hiện tại t = 1.50 (E = 2.89 TeV). Đối chiếu các giá trị của hằng số

liên kết Yukawa ngưỡng đã được tìm ở mục 3.2.1, dễ dàng thấy rằng giá

trị của t tại đó neutrino thuận và quark gương ngưng tụ theo thứ tự là

1.19 và 1.09, nghĩa là, tại thang O(1 TeV). Theo đó, các trường Higgs

(cid:101)χ, Φ2M sẽ nhận VEV khi các fermion tương ứng ngưng tụ.

3.4 Kết luận chương 3

Trong chương 3 chúng tôi đã trình bày các đặc trưng của trạng

thái ngưng tụ fermion trong mô hình EWνR. Lý thuyết phi tương đối

tính và phương pháp SD đã chỉ ra rằng khi các fermion có khối lượng đủ

lớn, các trạng thái ngưng tụ tương ứng sẽ được hình thành thông qua

tương tác Yukawa với vô hướng trung gian. Các tính chất của trạng thái

ngưng tụ của neutrino thuận và quark gương đã được xác định thông

qua nghiệm giải tích của phương trình SD cho năng lượng riêng của các

qM =

, các neutrino thuận và fermion tương ứng. Cụ thể, khi các hằng số liên kết Yukawa đủ lớn và = π và αc đạt đến các giá trị ngưỡng: αc νR π 2

quark gương sẽ ngưng tụ khi tương tác lần lượt với các trường tam tuyến

L qM R

Rσ2νR

(cid:11) và (cid:10)¯qM

Higgs cơ sở (cid:101)χ và lưỡng tuyến Higgs cơ sở Φ2M . Dạng của các trạng thái (cid:11) có thể được viết theo năng lượng riêng ngưng tụ (cid:10)νT tương ứng của νR và qM . Vì các trạng thái ngưng tụ mang các số lượng

tử điện yếu (SU (2)W ) nên có thang liên quan đến VEV của χ và Φ2M .

Bên cạnh đó, chương 3 đã tính giải tích hàm β một vòng của các hằng

số liên kết Yukawa gM , gqM và geM và đã giải số các phương trình tái

chuẩn hóa này. Kết quả đã chỉ ra rằng, neutrino thuận và quark gương

sẽ ngưng tụ tại thang năng lương O(TeV). Với thang năng lượng này, cơ

chế DEWSB sẽ được trình bày trong chương 4 tránh khỏi sự hiệu chỉnh

bé của thang năng lượng cắt.

Khi nghiên cứu các trạng thái ngưng tụ fermion trong mô hình

EWνR, đặc trưng, vai trò của neutrino thuận được thể hiện như sau

• Phương trình SD cho năng lượng riêng của neutrino thuận chỉ ra

= π thì hệ tương rằng, khi giá trị của hằng số Yukawa ngưỡng αc νR

tác Yukawa giữa (cid:101)χ và neutrino thuận trở thành trạng thái ngưng tụ.

• Vì neutrino thuận nằm trong lưỡng tuyến SU (2)W nên hàm βgM

trong phương trình (3.49) trong phụ thuộc vào hằng số liên kết

Yukawa của lepton điện gương geM và ngược lại, βeM được cho bởi

phương trình (3.63) cũng phụ thuộc vào gM . Theo đó, thang năng

lượng để hai hạt fermion này hình thành trạng thái ngưng tụ phụ

thuộc nhau và có bậc vào cỡ O(1 TeV).

• Vì neutrino thuận tương tác Yukawa với trường tam tuyến Higgs (cid:101)χ

nên trạng thái ngưng tụ của hạt này liên quan trực tiếp với VEV

của χ0 và là một trong những tác nhân chính gây ra DEWSB trong

mô hình EWνR.

Chương 4

SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG ĐIỆN YẾU ĐỘNG LỰC HỌC

TRONG MÔ HÌNH EWνR

Nội dung của chương 4 gồm bốn phần chính. Phần đầu đưa ra

những lý do nghiên cứu DEWSB và trình bày phương pháp xác định

thang năng lượng của EWSB. Phần thứ hai xây dựng cơ chế DEWSB

trong mô hình EWνR, trong đó trình bày quá trình động lực học tạo

khối lượng cho các Higgs cơ sở và mô tả sự phá vỡ đối xứng của mô hình

EWνR khi các Higgs cơ sở nhận VEV. Phần tiếp theo đề cập đến phổ

khối lượng của các vô hướng và đối chiếu kết quả này với số liệu thực

nghiệm của boson Higgs-125 GeV. Các đặc trưng của neutrino thuận

sẽ được làm rõ thông qua cơ chế see-saw trong mô hình EWνR sẽ được

trình bày trong phần cuối của chương.

4.1.1 Lý do nghiên cứu DEWSB

4.1 Phá vỡ đối xứng điện yếu động lực học

Lý do chính nghiên cứu DEWSB có thể được liệt kê như sau

• Trong cơ chế Higgs của SM, EWSB mang tính áp đặt. SM không giải

thích tại sao µ2 trong thế năng được cho bởi phương trình (1.107)

phải có giá trị âm, trong khi đó nó có thể dương. Ngoài ra, EWSB

trong SM sinh ra vấn đề phân bậc: tồn tại chênh lệch lớn (17 bậc)

giữa thang điện yếu ΛEW và thang Planck ΛP . Vấn đề này xuất phát

từ hạt Higgs. Trường Higgs cơ sở được đề xuất trong SM dùng để

tạo khối lượng cho W, Z và các fermion. Đối với mô hình phù hợp,

khối lượng Higgs phải không khác nhiều so với khối lượng hạt W ,

theo đó, giả thiết lý thuyết đề xuất khối lượng của hạt này nằm trong khoảng MH (cid:46) 700 GeV. Tuy nhiên, trên thực tế khối lượng

boson Higgs có hiệu chỉnh lượng tử

H ∝ Λ2,

δM 2 (4.1)

với Λ là thang cắt của lý thuyết. Đối với SM, thang cắt rất lớn,

có giá trị vào cỡ thang thống nhất tương tác lớn (GUT) ΛGU T hay

thang Planck ΛP , theo đó hiệu chỉnh khối lượng của hạt Higgs rất

lớn, không tự nhiên so với khối lượng của boson Higgs và thang điện

yếu. Đây chính là hệ quả của việc boson Higgs là vô hướng cơ sở nên

không có nhóm đối xứng nào bảo toàn khối lượng từ các hiệu chỉnh

thêm vào.

• Lý thuyết tương tác Yukawa tạo khối lượng cho fermion trong SM,

, không đưa ra lý do tại sao giá trị hằng số Yukawa với mf = yDv √ 2

khác nhau cho mỗi fermion và tồn tại giá trị rất bé 10−11 [2].

• Sự phá vỡ đối xứng động lực học là hiện tượng phổ biến trong nhiều

lĩnh vực vật lý như: siêu dẫn, sự kết cặp nucleon, hay động lực

học chéo của các hadron. Chẳng hạn, trong lý thuyết siêu dẫn BCS

[85], phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau [86] là hàm của

trường vô hướng phức có dạng

(4.2) V = c2 |φ|2 + c4 |φ|4 ,

với c2 ∝ (T − Tc). Như vậy, khi T < Tc thì c2 < 0 và giá trị kỳ vọng

của φ khác không, (cid:104)φ(cid:105) (cid:54)= 0. Bản chất vật lý của quá trình này là sự

hình thành động lực học của trạng thái ngưng tụ của cặp Cooper

(cid:104)ee(cid:105) trong lý thuyết BCS. Vì chúng mang điện nên gây ra hiệu ứng

Meissner trong siêu dẫn, |B(z)| ∼ exp (−mγz). Ngoài ra, theo mô

hình Gell-Mann Levy [87] về phá vỡ đối xứng chéo tự phát (SχSB)

trong vật lý hadron, thế năng tương tác được cho bởi

(cid:126)φ2 + (cid:126)φ4, (4.3) V = µ2 2 λ 4

trong đó (cid:126)φ = (σ, (cid:126)π). Trong mô hình này, SχSB xảy ra khi giá trị của µ2 âm, µ2 < 0. Theo đó, (cid:104)σ(cid:105) = fπ (cid:54)= 0. Một lần nữa, bản chất vật lý

của quá trình này liên quan đến sự hình thành cặp quark ngưng tụ,

(cid:104)¯qq(cid:105).

Như vậy, DEWSB là vấn đề đang dần được sáng tỏ trong hệ thống lý

thuyết của vật lý hạt hiện đại. Bản chất của quá trình này có thể từ

tương tác cặp của fermion thông qua một vô hướng trung gian nào đó

4.1.2 Thang năng lượng của EWSB

và mô hình EWνR xây dựng cơ chế DEWSB từ những động lực này.

Thang năng lượng trong lý thuyết vật lý mới có thể được xác định

bằng nhiều phương pháp, thông qua tính chất unita và sử dụng lý thuyết

tương đương [88]. Cơ chế Higgs biến đổi các boson Goldstone Π± và Π0

L và ZL. Điều này xảy ra khi phép biến đổi gauge thành gauge unita được thực hiện. Dưới dạng biểu thức,

(xuất hiện thông qua quá trình EWSB: SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM ) thành các mode boson gauge dọc W ±

L và ZL với

nó là mối liên hệ giữa các biên độ ma trận vật lý S chứa W ±

các biên độ chứa Π± và Π0

L (p1), W ±

L (p1), ...(cid:1) = M (cid:0)Π±(p1), Π±(p2), ...(cid:1)

Rξ

(cid:19) M (cid:0)W ± + O , (cid:18)MW E

(4.4)

trong đó E là năng lượng khối tâm và vế phải của phương trình (4.4)

được viết trong nhóm gauge Rξ tổng quát, phụ thuộc vào tham số gauge

ξ theo bậc của . Tương tự với trường hợp tán xạ pion MW E

M (cid:0)π+π− → π0π0(cid:1) = , (4.5) s F 2 π

trong các lý thuyết năng lượng thấp, biên độ tán xạ của các boson

Goldstone có thể được viết dưới dạng [89]

(4.6) M (cid:0)Π+Π− → Π0Π0(cid:1) = s ρv2 ,

trong đó để đảm bảo các trường Higgs có tính đối xứng cus-to-di-al ở mức

L →

L W −

cây thì ρ = 1. Sử dụng phương trình (4.4), biên độ tán xạ M(W +

ZLZL) có dạng

L W −

L → ZLZL

M (cid:0)W + (cid:1) = (4.7) s ρv2 .

Bằng việc khảo sát hình chiếu sóng thành phần J = 0 của biên độ ở

phương trình (4.7), biên độ sóng thành phần có dạng

L W −

L → ZLZL

(4.8) , (cid:0)W + (cid:12) (cid:12)a0 (cid:1)(cid:12) (cid:12) = s 16πv2 = sGF √ 2π 8

với GF là hằng số Fermi. Từ điều kiện của tính unita sóng thành phần

(4.9) |aJ (s)| ≤ 1,

SB ≤

dẫn đến thang năng lượng phá vỡ unita có giá trị √ 8 2π Λ2 ≈ (1.7 TeV)2. (4.10) GF

Kết quả này được B. W. Lee, C. Quigg và H. B. Thacker [90] tính toán

L W − L ,

kênh bao gồm W + HH và HZL. Thang năng lượng ZLZL, chi tiết hơn, trong đó tính unita sóng thành phần được xét trong hệ bốn 1 √ 2 1 √ 2

của EWSB nằm trong giới hạn mới √

SB ≤

Λ2 ≈ (1.0 TeV)2. (4.11) 8 2π 3GF

Đặc trưng của các thành phần phá vỡ đối xứng sẽ được xác định thông

Hình 4.18: Giản đồ tán xạ WLWL.

qua quá trình tán xạ WLWL, được minh họa bởi hình 4.18, vì các mode

dọc của boson gauge chứa đựng một phần của vật lý mới gây ra EWSB.

Như thế, tính chất của EWSB cùng với thang năng lượng mới của thuyết

sẽ là nền tảng cho các nhà vật lý lý thuyết xây dựng lý thuyết mới phù

hợp và là động lực cho các nhà vật lý thực nghiệm triển khai nghiên cứu

và xây dựng các máy gia tốc LHC và ILC khi năng lượng tăng đến thang

TeV.

4.2 Phá vỡ đối xứng điện yếu động lực học trong mô hình

EWνR [84]

Khi nghiên cứu DEWSB, các trường vô hướng cơ sở trong mô hình

EWνR được giả thiết không có VEV tại mức cây [32]. Thế bất biến thang

của các Higgs cơ sở có dạng như sau

(cid:3)2

(cid:2)TrΦ+ (cid:2)TrΦ+ +λ3

2 Φ2

(cid:3)2 + λ2 2 Φ2 2 Φ2 + TrΦ+ (cid:18) (cid:21) (cid:0)Trχ+T aχT b(cid:1) +λ5 Φ2

2 Φ2

(cid:1)(cid:3) (cid:1) (cid:0)Trχ+χ(cid:1) − 2 (cid:1) (cid:0)TrΦ+ +λ7

2M Φ2M (cid:1) (cid:0)Trχ+χ(cid:1) − 2 (cid:104)

Φ2M

Vf = Vf (Φ2, Φ2M , χ) = λ1 (cid:2)Trχ+χ(cid:3)2 + λ4 (cid:20) (cid:0)TrΦ+ (cid:2)(cid:0)TrΦ+ (cid:104) (cid:0)TrΦ+ 2M Φ2M +λ6 × (cid:0)Trχ+T aχT b(cid:1) (cid:105) (cid:2)TrΦ+ 2M Φ2M 2M Φ2M + Trχ+χ(cid:3)2 (cid:19) τ a τ b TrΦ+ 2 2 2 (cid:1) (cid:0)TrΦ+ (cid:1) − (cid:0)TrΦ+ 2M Φ2 2 Φ2M (cid:19) (cid:18) τ b τ a TrΦ+ 2M 2 2 3Trχ+χχ+χ − (cid:0)Trχ+χ(cid:1)2(cid:105) , (4.12) + λ8

theo đó, các trường Higgs không có khối lượng. Tuy nhiên, khi năng

lượng đạt đến thang của trạng thái ngưng tụ, các trường Higgs cơ sở

trở thành các trường Higgs đa hợp nên thế (4.12) sẽ không còn bất biến

thang và trường Higgs sẽ mang khối lượng. Đây là nội dung chủ yếu của

cơ chế DEWSB dựa trên sự ngưng tụ fermion.

Khi năng lượng đạt đến giá trị tại đó các hằng số liên kết Yukawa

αR và αqM thỏa mãn điều kiện ngưng tụ, các tam tuyến Higgs (cid:101)χ và lưỡng tuyến Higgs Φ2M trở thành các trường Higgs đa hợp. Thế hiệu dụng Higgs có thể được viết theo dạng của các Higgs cơ sở (cid:101)χ, ξ, Φ2, Φ2M và Higgs đa hợp Φ2M c,(cid:101)χc như sau

(4.13) Vef f = Vef f (Φ2, Φ2M , (cid:101)χ, ξ, Φ2M c, (cid:101)χc).

Dạng của thế hiệu dụng Higgs trong phương trình (4.13) sẽ không được

xác định cụ thể trong phần này, thay vào đó vấn đề tạo khối lượng cho

vật chất sẽ được tập trung nghiên cứu. Dễ dàng thấy rằng, thế năng được

cho bởi phương trình (4.13) không có tính bất biến thang và các trường

Higgs thu được khối lượng bởi sự có mặt của các trạng thái ngưng tụ

của neutrino thuận và quark gương. Cụ thể, các đóng góp vào số hạng

2M vào thế hiệu dụng Higgs đến từ các toán tử chứa các

µ2 của χ0 và φ0

2M được viết dưới dạng sau (cid:27)

vô hướng cơ sở trung hòa χ0 và φ0

2 ,

Rσ2νR

2 ,

L uM

R + ¯dM

L dM R

(cid:1) (cid:0)νT (4.14) (cid:12)χ0(cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 2 (cid:26) g2 M ΣνR(0) (cid:41) (cid:1) (4.15) (cid:0)¯uM (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)φ0 1 2 (cid:40) g2 qM ΣqM (0)

trong đó ΣνR(0) và ΣqM (0) tương ứng là khối lượng động lực của neutrino

thuận và quark gương. Khi các trạng thái ngưng tụ hình thành, các số

hạng này sẽ sinh ra các số hạng bình phương khối lượng hiệu dụng âm

2M , cụ thể

2 ,

cho χ0 và φ0

Rσ2νR(cid:105) (cid:12)

(4.16) (cid:104)νT (cid:12)χ0(cid:12) (cid:12) 1 2

2 .

L uM

R (cid:105) (cid:12)

(cid:104)¯uM (4.17) (cid:12)φ0 (cid:12) (cid:12) g2 M ΣνR(0) g2 qM ΣqM (0)

Hình 4.19: Giản đồ tạo khối lượng cho (a) χ0, (b) φ0

2M [84].

Giản đồ Feynman tương ứng với phương trình (4.16) và (4.17) được

minh họa ở hình 4.19.

Đối với trường Higgs cơ sở ξ, do không có tương tác Yukawa giữa

ξ và fermion, nên số hạng khối lượng cho ξ0 chỉ có thể thu được thông

2M . Giản đồ Feynman tương ứng cho quá trình này được cho ở hình 4.20a. Các đóng góp của số hạng µ2 của ξ0

qua tương tác bậc 4 với χ0 và φ0

vào thế hiệu dụng Higgs chứa vô hướng cơ sở trung hòa ξ0 như sau

(cid:40) (cid:41)

2 ,

L uM

Rσ2νR(cid:105)I (1)

χ +

R (cid:105)I (1) φ2M

(cid:104)¯uM (cid:104)νT (4.18) (cid:12)ξ0(cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 2 2g2 qM ΣqM (0) g2 M ΣνR(0)

χ và I (1) φ2M

trong đó các tích phân I (1) được cho bởi

(cid:19) , ln (4.19) I (1) χ =

(cid:18) Λ2 m2 (cid:19) ln , (4.20) = I (1) φ2M 4λ3 + λ4 − λ8 16π2 4λ4 + 2λ6 16π2 (cid:18) Λ2 m2

với Λ là xung lượng cắt, tỉ lệ với thang của trạng thái ngưng tụ và m

là thang tái chuẩn hóa. Tương tự, các giản đồ Feynman tạo khối lượng

Hình 4.20: Giản đồ tạo khối lượng cho (a) ξ0, (b) φ0

2 [84].

2 được cho bởi

2 được cho bởi hình 4.20b và dạng của số hạng (cid:12) (cid:12)φ0 2 (cid:41)

cho φ0 (cid:12) (cid:12)

(cid:40)

2 ,

Rσ2νR(cid:105)I (2)

χ +

L uM

R (cid:105)I (2) φ2M

(cid:104)νT (cid:104)¯uM (4.21) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)φ0 2 1 2 2g2 qM ΣqM (0) g2 M ΣνR(0)

χ và I (2) φ2M

với các tích phân I (2) được cho bởi

(cid:19) ln , (4.22) I (2) χ =

(cid:19) ln . (4.23) = I (2) φ2M 8λ4 − 4λ5 16π2 8λ4 + 2λ7 16π2 (cid:18) Λ2 m2 (cid:18) Λ2 m2

Dễ dàng thấy rằng, các VEV sẽ triệt tiêu khi các trạng thái ngưng tụ

không tồn tại. Sự có mặt của các số hạng trong các phương trình (4.16),

(4.17), (4.18) và (4.21) là tác nhân làm cho các trường cơ sở Higgs nhận

các khác trị VEV khác không. Các VEV của χ, ξ, Φ2 và Φ2M tương ứng

được giả thiết là vχ, vξ, vΦ2 và vΦ2M . Khi χ, Φ2 và Φ2M nhận các VEV

  0 vχ 0

, (4.24) (cid:104)χ(cid:105) = 0 0 vξ         0

0 vχ √   2 vΦ2/ (4.25) (cid:104)Φ2(cid:105) = 0 √  ,  0 2 vΦ2/

và √   2 0 vΦ2M / (4.26) (cid:104)Φ2M (cid:105) = √   , 2 0 vΦ2M /

thì đối xứng toàn cục SU (2)L × SU (2)R sẽ bị phá vỡ động lực học thành

đối xứng cus-to-di-al SU (2)D. Việc nghiên cứu, tìm giá trị cực tiểu của

thế năng hiệu dụng Higgs đang được triển khai.

Tại mức cây, các boson gauge thu được khối lượng thông qua số

hạng động năng trong Lagrangian của trường Higgs

Lkin = T r (cid:2)(DµΦ2M )+ (DµΦ2M )(cid:3) + T r (cid:2)(DµΦ2)+ (DµΦ2)(cid:3) 1 2 1 2

(4.27) + 1 2 T r (cid:2)(Dµχ)+ (Dµχ)(cid:3) , |∂µφS|2 + 1 2

trong đó

(4.28) DµΦ2 ≡ ∂µΦ2 + i (W · τ ) Φ2 − i g 2 g(cid:48) 2

(4.29) (W · τ ) Φ2M − i DµΦ2M ≡ ∂µΦ2M + i Φ2M Bτ3,

(4.30) Φ2Bτ3, g(cid:48) g 2 2 Dµχ ≡ ∂µχ + ig (W · T ) χ − ig(cid:48)χBT 3

và , T i lần lượt là các ma trận biểu diễn 2 × 2 và 3 × 3 của nhóm τi 2

SU (2). Khối lượng của các boson gauge như sau

W =

ξ + 4v2 χ

Φ2M

M 2 = + v2 + 4v2 (cid:1) , (4.31) (cid:0)v2 Φ2 g2v2 4 g2 4

100

Z =

ξ + 4v2 χ

Φ2M

M 2 + v2 + 4v2 (cid:1) . (4.32) (cid:0)v2 Φ2 g2 4 cos2 θW

Tại mức cây, để đảm bảo tính đối xứng cus-to-di-al của thuyết: ρ = 1,

hai VEV của χ và ξ phải thỏa mãn điều kiện

(4.33) vξ = vχ.

Để thỏa mãn phương trình (4.33), sẽ có điều kiện ràng buộc vào các

tham số trong biểu thức (4.18). Trong trường hợp này,

Φ2M

+ v2 (4.34) + 8v2 χ. v2 = v2 Φ2

4.3.1 Phổ khối lượng của các vô hướng

4.3 Khối lượng của hạt Higgs

Sau khi đối xứng SU (2)W × U (1)Y bị phá vỡ thành nhóm U (1)EM

[19], ngoài ba boson Nambu-Goldstone bị hấp thụ bởi các boson gauge W

và Z, mô hình EWνR có mười hai vô hướng được nhóm thành 5+3+3+1

nhóm con của nhóm cus-to-di-al SU (2)D với ba đơn tuyến cus-to-di-al.

Để thuận tiện trong biểu diễn các boson Nambu-Goldstone và các vô

hướng khác, mô hình EWνR định nghĩa các đại lượng sau

Φ2M

χ, cM = (cid:113)

(cid:113) + vΦ2 v2 Φ2 (cid:113) v = + v2 + 8v2 , v2 Φ2

(cid:113) + 8v2 χ v + 8v2 χ , c2 = , c2M = v2 Φ2M v

2 . (4.35) s2 = , s2M = , sM = vΦ2 v v2 Φ2 v √ 2vχ v vΦ2M v

Theo đó,

2 + c2 s2

2M = s2

2M + c2

M + c2

M = 1.

(4.36)

2 = s2 Trong giới hạn s2M → 0, nghĩa là EWνU (1)SM ×U (1)M F và cM → cH, các trường mang điện và vô hướng được định nghĩa như

→ EWνR, sM → sH

101

2 + iφ0i 2

(4.37) (cid:1) , (cid:0)vΦ2 + φ0r φ0 2 ≡

2M + iφ0i 2M

(4.38) (cid:1) , (cid:0)vΦ2M + φ0r φ0 2M ≡

(4.39) (cid:0)χ0r + iχ0r(cid:1) , 1 √ 2 1 √ 2 χ0 ≡ vχ +

(4.40) ψ± ≡ 1 √ 2 (χ± + ξ±),

(4.41) ζ ± ≡ (cid:0)χ± − ξ±(cid:1) . 1 √ 2 1 √ 2

Với các trường này, các boson Nambu-Goldstone có dạng

2 + s2M φ±

2M + sM ψ±,

(4.42) G±

3 = s2φ± 3 = i (cid:0)−s2φ0i G0

2 − s2M φ0i

2M + sM χ0i(cid:1) .

(4.43)

Dựa trên tính chất biến đổi dưới nhóm SU (2)D, các vô hướng có thể

được nhóm lại, cụ thể

5 , H 0 5 .

• Một ngũ tuyến Higgs: H ±± , H ±

3 và H ±

3 , H 0

3M .

3M , H 0

• Hai tam tuyến Higgs: H ±

1 , H 0

1M , H 0(cid:48) 1 .

• Ba đơn tuyến Higgs: H 0

Các trường Higgs này được định nghĩa như sau

5 =

√ (cid:16) = χ++, H + 2χ0r(cid:17) , 2ξ0 − H ±± 5

3 = −

H + φ+ 2 − 1 √ 6 2M + cM ψ+, φ+

2M + cM χ0i φ0i

3 = i

(cid:19) , H 0

5 = ζ +, H 0 s2M sM cM s2M sM cM φ+ 2M ,

3M = − (cid:18)

3M = i

H + φ+ 2 + φ0i 2 + s2 cM s2sM cM (cid:18)s2sM cM s2M cM (cid:19) − , H 0 φ0i 2 + φ0i 2M s2M cM s2 cM

102

1 = φ0r

2M , H 0(cid:48)

2 , H 0

(cid:16)√ H 0 2χ0r + ξ0(cid:17) , (4.44)

5 = (cid:0)H ++

3M = − (cid:0)H +

với H −− (cid:1)∗ , H − 1 √ 1 = 3 3 = − (cid:0)H +

3 = − (cid:0)H 0

1M = φ0r 5 = − (cid:0)H + 3M = − (cid:0)H 0

(cid:1)∗, (cid:1)∗, H − (cid:1)∗, H − (cid:1)∗. Khối lượng của các hạt Higgs này H 0 (cid:1)∗ và H 0

có thể thu được thông qua thế hiệu dụng được cho bởi phương trình

4.3.2 Boson Higgs 125-GeV và hạt Higgs trong mô hình EWνR

(4.13).

Việc khám phá ra hạt boson Higgs tại LHC [17] đã đề ra yêu cầu

cấp thiết đối với bất kỳ mô hình mở rộng SM nào đều phải thỏa mãn.

Đó là phổ vô hướng sau khi phá vỡ đối xứng điện yếu chứa ít nhất một

hạt Higgs có tính chất giống hạt Higgs 125-GeV vừa được phát hiện.

Các dữ liệu thực nghiệm từ CMS và ATLAS chỉ công bố cường độ tín

hiệu tương thích với boson Higgs trong SM. Cường độ tín hiệu được xác

định thông qua các đại lượng sau [19]

σ (cid:0)H-phân rã(cid:1) = σ (cid:0)H-tạo thành(cid:1) × BR (cid:0)H-phân rã(cid:1) , (4.45)

trong đó σ (cid:0)H-tạo thành(cid:1) là tổng tiết diện ngang tạo thành hạt Higgs H, σ (cid:0)H-phân rã(cid:1) là tiết diện tán xạ của một kênh phân rã đang khảo sát của hạt Higgs và BR (cid:0)H-phân rã(cid:1) là tỉ lệ tiết diện tán xạ hay bề

rộng của kênh phân rã đang khảo sát và tổng cộng các kênh phân rã. BR (cid:0)H-phân rã(cid:1) có dạng sau

, (4.46) BR (cid:0)H-phân rã(cid:1) = Γ (cid:0)H-phân rã(cid:1) ΓH

với Γ (cid:0)H-phân rã(cid:1) và ΓH lần lượt là độ rộng riêng phần và tổng cộng của của kênh phân rã H. Theo đó, cường độ tín hiệu µ được định nghĩa

như sau

(cid:0)H-phân rã(cid:1) = (4.47) µdata (cid:0)H-phân rã(cid:1) (cid:0)H-phân rã(cid:1) . σdata σSM

103

Như vậy, để so sánh cường độ tín hiệu phân rã trong mô hình EWνR với

dữ liệu thực nghiệm, nhóm tác giả trong [19] đã tính cường độ tín hiệu

µEW νR

(cid:16)

của mô

(cid:17) (cid:101)H → γγ, W +W −, ZZ, b¯b, τ ¯τ

Hình 4.21: So sánh cường độ tín hiệu µEW νR hình EWνR trong trường hợp (cid:101)H ∼ H 0

1 với cường độ tín hiệu được đo bởi CMS [19].

(4.48) (cid:0)H-phân rã(cid:1) = µEW νR (cid:0)H-phân rã(cid:1) (cid:0)H-phân rã(cid:1) . σEW νR σSM

Ba đơn tuyến cus-to-di-al trong mô hình EWνR là các trạng thái

CP chẵn, một trong ba trạng thái đó có thể là hạt Higgs 125-GeV. Các

104

trạng thái này trộn thông qua ma trận khối lượng được suy ra từ thế năng và các trạng thái riêng có khối lượng tăng dần tương ứng: (cid:101)H, (cid:101)H (cid:48) và (cid:101)H (cid:48)(cid:48). Cường độ tín hiệu µEW νR theo đó được tính thông qua các quá trình phân rã (cid:101)H → ZZ, W +W −, γγ, b¯b, τ ¯τ và tiết diện ngang của quá trình gg → (cid:101)H. Hình 4.21 chứng tỏ rằng cả hai trường hợp Bác sỹ Jekyll và

Ông Hyde đều thỏa mãn các dữ liệu thực nghiệm của boson Higgs-125

GeV.

4.4.1 Cơ chế see-saw trong mô hình EWνR

4.4 Khối lượng của neutrino

Khối lượng Dirac

Số hạng khối lượng Dirac của neutrino được cho bởi phương trình

(2.67) như sau

LSe = −gSe

(4.49) = −gSe ¯lLlM R φS + h.c. (cid:0)¯νLνR + ¯eLeM (cid:1) φS + h.c.,

với φS có VEV khác không (cid:104)φS(cid:105) = vS. Theo đó, khối lượng Dirac có

dạng

ν = gSevS.

mD (4.50)

Trong mô hình này, khối lượng Dirac không có mối liên hệ với thang

điện yếu. Việc thay đổi khối lượng của neutrino Dirac quy về việc thay

đổi giá trị của vS. Tuy nhiên, việc chọn giá trị của vS bị giới hạn bởi tốc

độ phân rã boson Z do sự tham gia tương tác của neutrino thuận thang

của neutrino thuận phải lớn hơn . Thang giá trị của vS sẽ được tính điện yếu làm tăng gấp đôi đóng góp của neutrino. Như thế, khối lượng MZ 2

toán ở phần sau.

105

Ma trận khối lượng Dirac của các lepton điện gương và lepton

trong SM được xác định thông qua các phương trình (2.63), (2.64) cùng

với VEV của các trường Φ2, Φ2M và φS, cụ thể

ν meM

(cid:17) , (4.51) Me = (cid:16) me mD ν mD

với

. (4.52) me = , meM = gevΦ2√ 2 geM vΦ2M√ 2

Trị riêng khối lượng của các lepton điện và lepton điện gương tương ứng

được xác định thông qua việc chéo hoá ma trận (4.51), cụ thể

, (4.53) (cid:101)me = me −

ν )2 (mD meM − me ν )2 (mD meM − me

. (4.54) (cid:101)meM = meM +

Giả sử meM (cid:29) me, và vì mD ν (cid:28) meM nên sự trộn khối lượng được cho bởi phương trình (4.51) có thể được bỏ qua, theo đó, (cid:101)me ≈ me và (cid:101)meM ≈ meM .

Tương tự đối với trường hợp các hạt quark, trị riêng của ma trận

khối lượng của các quark trong SM và quark điện gương được cho bởi

các phương trình

(cid:0)mD , (4.55) (cid:101)mq = mq −

(cid:0)mD . (4.56) (cid:101)mqM = mq + (cid:1)2 (gSq/gSe)2 ν mqM − mq (cid:1)2 (gSq/gSe)2 ν mqM − mq

Với giả thiết mqM (cid:28) mq dẫn đến tính chất (cid:101)mq ≈ mq và (cid:101)mqM ≈ mqM . Tính chất này có thể tổng quát hóa cho các fermion ở các thế hệ khác

nhau.

106

Khối lượng Majorana

Khối lượng Majorana được suy ra từ tương tác Yukawa được cho

bởi phương trình (2.66) khi χ nhận VEV

(4.57) MR = gM vχ.

Khi chưa tính đến các điều kiện đối xứng cus-to-di-al, về nguyên tắc,

Lσ2τ2χlL vẫn tồn tại để tạo khối lượng Majorana gLvχ cho neutrino nghịch. Khi gL có giá trị lớn, sự có mặt của

số hạng tương tác Yukawa gLlT

số hạng này gây khó khăn trong việc phát triển tiếp cơ chế see-saw. Để

số hạng này không xuất hiện ở giản đồ hình cây, phép đối xứng toàn cục

U (1)M được đưa vào, theo đó

R , eM L

(cid:0)lM (cid:1) → eiθM (cid:0)lM (4.58) (cid:1) , (cid:101)χ → e−2iθM (cid:101)χ, φS → e−iθM φS.

Như thế, đối xứng này sẽ cho phép tồn tại tương tác Yukawa ở các

phương trình (2.63), (2.64), (2.65), (2.66), (2.67) và (2.68). Tương tác giữa tam tuyến (cid:101)χ với song tuyến fermion ¯lLlM R sẽ không xuất hiện do sự có mặt của đối xứng U (1)M . Vậy khối lượng Dirac của neutrino chỉ xuất

hiện từ VEV của φS ở phương trình (4.49). Mặc dù đối xứng U (1)M

không cho phép neutrino nghịch có khối lượng Majorana ở giản đồ hình

cây nhưng khối lượng này vẫn xuất hiện ở giản đồ vòng với giá trị

(cid:1)2

ln , (4.59) ML = λ 1 16π2 (cid:0)mD ν MR MR MφS

trong đó λ là hằng số liên kết bậc bốn của φS, MφS là khối lượng của φS, và mD ν và MR theo thứ tự được cho bởi các phương trình (4.50), (4.57). Khối lượng của neutrino nghịch ML trong phương trình (4.59) có

thể được bỏ qua do có bậc bé hơn hai lần khối lượng nhẹ trong cơ chế

107

(cid:1)2

, với λ < 1. Ma trận khối lượng Majorana như sau see-saw: (cid:0)mD ν MR

ν MR

(cid:18)ML mD ν (cid:19) . (4.60) M = mD

Khi giá trị của gSe chưa được xác định cụ thể, cơ chế see-saw có thể có

các giả thiết sau

• Nếu gSe ∼ O(gM ) và vχ (cid:29) vS thì hai trị riêng của ma trận khối

lượng(4.60) là

(cid:1)2

= − (4.61) ML − vS(1 − (cid:15)), (cid:0)mD ν MR g2 Se gM vS vχ

và MR, với (cid:15) < 10−2.

Se/gM ∼ O(1) và vχ ∼ ΛEW thì từ điều kiện mν ≤ 1 eV dẫn

• Nếu g2

đến vS có bậc vào cỡ

(4.62) vS ≈ (cid:112)vχ × 1 eV ∼ O(105 eV).

Hai giả thiết này đều đưa đến hệ quả: để đảm bảo khối lượng bé của

vS ΛEW

∼ neutrino, VEV của φS có bậc bé hơn nhiều so với thang điện yếu 10−6. Với sự chênh lệch thang như vậy, liệu mô hình EWνR có gặp khó

khăn như các cơ chế see-saw trước? Câu hỏi này sẽ được giải đáp trong

4.4.2 VEV của đơn tuyến Higgs φS [84]

phần tiếp theo.

Khối lượng bé của neutrino suy ra từ cơ chế see-saw trong mô hình

EWνR (cid:1)2

Sev2 g2 S MR

= . (4.63) mν = (cid:0)mD ν MR

108

Khi các trạng thái ngưng tụ hình thành, đơn tuyến Higgs cơ sở φS cũng

đồng thời nhận VEV. VEV này sẽ tạo khối lượng Dirac của neutrino. Vì

khối lượng neutrino nhẹ mν có bậc vào cỡ < O(eV) và MR ∼ O(ΛEW ), ν = gSevS < O(105 eV). Theo kết quả nghiên cứu gần đây về quá nên mD trình vi phạm số lepton µ → eγ [21], gSe bị giới hạn bởi cận trên 10−3.

Điều này dẫn đến vS < 100 MeV < ΛEW . Sự chênh lệch thang lớn giữa

vS và ΛEW có thể được giải thích thông qua cơ chế DEWSB dựa trên

Hình 4.22: Giản đồ tạo VEV cho φS: (a) từ năng lượng riêng của neutrino

trạng thái ngưng tụ fermion trong mô hình EWνR.

thuận, (b) từ năng lượng riêng của quark gương [84].

Sau khi DEWSB xuất hiện, do có tương tác Yukawa giữa φS với νR và qM được cho bởi các phương trình (2.67) và (2.68) nên VEV của

φS có thể được xác định thông qua các năng lượng riêng tương ứng. Các

các giản đồ Feynman tạo VEV cho φS được minh họa ở hình 4.22. Khảo

sát hình 4.22a, năng lượng riêng của neutrino thuận ΣνR tỉ lệ với thang của trạng thái ngưng tụ Λcond, ΣνR ∼ Λcond. Theo đó, số hạng |φS|2 có dạng như sau

cond |φS|2 ,

(4.64) g2 16π2 ΛΛcond |φS|2 ∼ Se g2 16π2 Λ2 Se

trong đó xung lượng cắt được xác định: Λ ∼ Λcond. Theo nghiên cứu sự

109

phân rã gần đây µ → eγ [21], gSe ≤ 10−3 và gSe có thể bằng 10−5, nên

cond |φS|2 ∼ 10−12Λ2

cond |φS|2 .

(4.65) g2 16π2 Λ2 Se

Thang VEV của φS theo đó sẽ được xác định gần đúng tỉ lệ với 10−6Λcond.

Như vậy, VEV của φS rất nhỏ là hệ quả tất yếu của việc gSe nhỏ.

Sq ∼ gSe. Tóm lại, vS Sq ≤ 10−3. Theo đó, khối lượng bé của neutrino và sự chênh lệch về bậc của vS và ΛEW có thể được giải

Tương tự, thang VEV của φS từ hình 4.22b có thể được xác định cùng bậc với kết quả từ hình 4.22a nếu giả sử gSq ∼ g(cid:48) nhỏ là hệ quả tất yếu của gSe ∼ gSq ∼ g(cid:48)

thích một cách động lực học thông qua cơ chế DEWSB trong mô hình

EWνR.

4.5 Kết luận chương 4

Trong chương 4 chúng tôi đã trình bày mô hình DEWSB và tìm

hiểu được bản chất của cơ chế Higgs, nguồn gốc tạo khối lượng cho vật

chất. Các trường Higgs cơ sở χ, Φ2, Φ2M và φS trong mô hình EWνR

được giả thiết không khối lượng và không có VEV ở mức cây, nghĩa là,

thế Higgs không chứa số hạng µ2 và có tính bất biến thang. Tuy nhiên,

khi năng lượng đạt đến thang O(TeV), neutrino thuận và quark gương

sẽ ngưng tụ. Điều này dẫn đến thế Higgs ban đầu thay đổi, trở thành

thế hiệu dụng Higgs chứa các số hạng µ2 của các trường Higgs trung hòa

2M .

tương ứng χ0 và φ0

2 (fermion trong SM không ngưng tụ) nhận khối lượng thông qua tương tác bậc 4

Các trường Higgs ξ0 (không tương tác với fermion) và φ0

2M . Phổ khối lượng của hạt Higgs sau EWSB phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm của boson Higgs 125-GeV. Sau khi các trường lưỡng

với χ0 và φ0

tuyến Higgs và tam tuyến Higgs nhận VEV, đối xứng SU (2)L × SU (2)R

110

của mô hình EWνR bị phá vỡ thành SU (2)D. Theo đó, các boson truyền

tương tác yếu W, Z và các fermion khác trong mô hình sẽ mang khối

lượng.

Thông qua cơ chế DEWSB, chương 4 đã giải thích được bản chất

vật lý khối lượng bé của neutrino. Khối lượng nhẹ của neutrino trong (cid:1)2

Sev2 g2 S MR

= . Vì cơ chế see-saw của mô hình EWνR có dạng mν = (cid:0)mD ν MR

MR ∼ ΛEW nên để đảm bảo neutrino có khối lượng bé, có bậc của O(eV), ν < O(105 eV). Kết quả của chương 4 khối lượng Dirac phải thỏa mãn mD đã chứng tỏ rằng trường Higgs đơn tuyến φS nhận VEV bé là hệ quả tất

yếu khi hằng số Yukawa của φS bé. Như vậy, việc giải thích khối lượng

của neutrino trong mô hình EWνR đã khắc phục được những khó khăn

của mô hình see-saw và các mô hình trước đó.

Neutrino thuận đóng góp vai trò quan trọng trong cơ chế DEWSB

và cơ chế see-saw của mô hình EWνR. Cụ thể,

• Trạng thái ngưng tụ của neutrino thuận là một trong những tác

nhân gây ra DEWSB. VEV của trường Higgs cơ sở χ0 có thể thu

Rσ2νR(cid:105) của thế hiệu

được thông qua số hạng µ2 chứa đại lượng (cid:104)νT

dụng Higgs.

• Thông qua tương tác bậc bốn, trạng thái ngưng tụ của neutrino

2 (tương

thuận và quark gương tạo khối lượng cho trường Higgs φ0

tác với fermion trong SM) và ξ0 (không tương tác với fermion).

• Trạng thái ngưng tụ của neutrino thuận liên quan đến sự tạo thành

VEV của trường Higgs đơn tuyến φS thông qua cơ chế DEWSB của

mô hình EWνR, trong đó vS bé là hệ quả tất yếu khi giá trị của các

hằng số liên kết Yukawa của φS bé. Điều này được giải thích động

lực học thông qua giản đồ Feynman tạo VEV cho φS.

111

• Neutrino thuận đóng vai trò quan trọng trong việc giải thích khối

lượng bé của neutrino do khối lượng của nó vào bậc của ΛEW và liên

quan gián tiếp đến khối lượng Dirac của neutrino.

112

KẾT LUẬN CHUNG

Sử dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử, phương

pháp hàm Green và phương pháp sử dụng phần mềm Mathematica để

tính số, luận án đã đạt được những mục tiêu đã đề ra. Các kết quả chính

thu được có thể tóm tắt như sau

1. Giải được phương trình SD cho năng lượng riêng của quark

gương và neutrino thuận. Tìm được các hằng số liên kết Yukawa ngưỡng

tương ứng tại đó, các trạng thái ngưng tụ hình thành. Cụ thể, khi các

= π

qM =

, nghiệm của phương trình SD thỏa mãn điều kiện ngưng tụ. hằng số liên kết Yukawa đủ lớn và đạt đến các giá trị ngưỡng: αc νR và αc π 2

2. Thu được biểu thức giải tích các hàm β của các hằng số liên

kết Yukawa của fermion gương và neutrino thuận. Giải số các phương

trình nhóm tái chuẩn hóa. Kết quả đã chứng tỏ rằng, fermion trong mô

hình EWνR, cụ thể là neutrino thuận và quark gương thỏa mãn điều

kiện ngưng tụ tại thang năng lượng O(TeV). Với thang này, mô hình đã

tránh khỏi được sự hiệu chỉnh bé của thang xung lượng cắt.

3. Đề xuất được mô hình DEWSB và tìm hiểu được bản chất của

cơ chế Higgs, nguồn gốc tạo khối lượng cho vật chất. Cụ thể, khối lượng

của các trường Higgs χ, Φ2, Φ2M , φS có thể thu được khi neutrino thuận

và quark gương ngưng tụ tại thang O(TeV). Đối xứng SU (2)L × SU (2)R

của mô hình EWνR theo đó bị phá vỡ thành SU (2)D. Từ đây, các boson

truyền tương tác yếu W, Z và các fermion khác trong mô hình sẽ mang

khối lượng.

4. Giải thích được bản chất vật lý sâu xa tại sao neutrino có khối

lượng và rất bé thông qua cơ chế see-saw của mô hình EWνR. Trường

Higgs đơn tuyến φS nhận VEV bé từ DEWSB là hệ quả tất yếu của

113

Sq bé. Theo đó, việc giải thích khối lượng bé của neutrino và sự chênh lệch thang giữa VEV của φS và thang

hằng số liên kết Yukawa gSe, gSq và g(cid:48)

điện yếu ΛEW trong mô hình EWνR đã khắc phục được những khó khăn

của các mô hình trước. Kết quả này có ý nghĩa cực kỳ quan trọng trong

hệ thống lý thuyết của vật lý hạt hiện đại.

5. Các đặc trưng và vai trò của neutrino thuận trong mô hình

EWνR đã được phân tích rõ trong từng chương của luận án. Cụ thể,

neutrino thuận là thành viên của lưỡng tuyến SU (2)W ; là các hạt không

trơ và tham gia tương tác với boson truyền tương tác yếu W và Z; có

thể được tạo thành và dò tìm trong các máy gia tốc LHC và ILC thông

= π; trạng thái ngưng

qua sản phẩm phân rã chứa hai lepton cùng dấu trong SM; neutrino thuận ngưng tụ tại thang O(TeV) khi ανR = αC νR tụ của neutrino thuận là một trong những tác nhân gây ra DEWSB, có

liên quan trực tiếp đến việc tạo khối lượng cho trường Higgs cơ sở χ0 và

gián tiếp đến sự hình thành khối lượng các hạt Higgs khác, boson gauge

W, Z và các fermion khác trong mô hình EWνR; đặc biệt, neutrino thuận

đóng vai trò quan trọng trong việc giải thích khối lượng bé của neutrino

do có liên quan trực tiếp đến khối lượng Majorana của neutrino và gián

tiếp đến sự hình thành khối lượng Dirac của neutrino.

Ngoài những đóng góp về mặt nội dung, luận án khẳng định khả

năng, sự đúng đắn của hướng nghiên cứu sử dụng các trạng thái ngưng

tụ fermion để xây dựng mô hình DEWSB. Cụ thể, các trường Higgs sử

dụng trong DEWSB của mô hình EWνR là các trường Higgs đa hợp.

Hướng nghiên cứu này càng được khẳng định hơn khi gần đây khả năng

boson Higgs là trạng thái đa hợp với các hạt neutrino đã được công

nhận [91].

114

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÔNG BỐ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN

1. Nguyen Nhu Le, Pham Quang Hung (2014), “One-Loop β Functions

for Yukawa Couplings in the Electroweak-Scale Right-Handed Neu-

trino Model”, J. Phys.: Conf. Ser. 537 012016.

2. Nguyen Nhu Le, Pham Quang Hung (2016), “Schwinger-Dyson equa-

tions for fermions self-energy in the electroweak-scale right-handed

neutrino model”, Hue University’s Journal of Natural Science 116

02.

3. Pham Quang Hung, Nguyen Nhu Le (2016), “Dynamical Electroweak

Symmetry Breaking in the model of electroweak-scale right-handed

neutrinos”, Int. J. Mod. Phys. A 31 1650065.

115

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Mark Thomson (2013), Modern Particle Physics, Cambridge.

[2] Paul Langacker (2010), The Standard Model and Beyond, CRC

Press.

[3] F. J. Hasertetal (1973a), “Search for elastic muon-neutrino electron

scattering”, Phys. Lett. B 46 121.

[4] F. J. Hasertetal (1973b), “Observation of neutrino-like interactions

without muon or electron in the Gargamelle neutrino experiment”,

Phys. Lett. B 46 138.

[5] G. Arnison et al. [UA1 Collaboration] (1983), “Experimental obser-

vation of isolated large transverse energy electrons with associated

missing energy at s ∗ ∗(1/2) = 540 − GeV”, Phys. Lett. B 122 103.

[6] P. Bagnaia et al. [UA2 Collaboration] (1983), “Evidence for Z 0 →

e+e− at the CERN anti-p p Collider”, Phys. Lett. B 129 130.

[7] F. Abe et al. [CDF Collaboration] (1995), “Observation of top

quark production in ¯pp collisions with the Collider Detector at

Fermilab”, Phys. Rev. Lett. 74 2626.

[8] Y. Fukuda et al. [Super-Kamiokande Collaboration] (1998), “Evi-

dence for oscillation of atmospheric neutrinos”, Phys. Rev. Lett. 81

1562.

116

[9] F. P. An et al. [Daya Bay Collaboration] (2012), “Observation of

electron-antineutrino disappearance at Daya Bay”, Phys. Rev. Lett.

108 171803.

[10] J. K. Ahn et al. [RENO Collaboration] (2012), “Observation of

reactor electron antineutrinos disappearance in the RENO experi-

ment”, Phys. Rev. Lett. 108 18.

[11] V. D. Barger and R. J. N. Phillips (1988), Collider Physics, Wesley.

[12] P. Minkowski (1977), “µ → eγ at a rate of one out of 109 muon

decays?”, Phys. Lett. B 67 421; M. Gell-Mann, P. Ramond and

R. Slansky (1979), Supergravity, Stony Brook; T. Yanagida (1979),

Proc. Workshop on Unified Theory and Baryon Number in the Uni-

verse, KEK; S. L. Glashow (1980), Proc. The 1979 Cargese Summer

Institute on quarks and leptons, Plenum Press; R. N. Mohapatra

and G. Senjanovic (1980), “Neutrino mass and spontaneous parity

nonconservation”, Phys. Rev. Lett. 44 912; J. Schechter and J. W.

F. Valle (1980), “Neutrino masses in SU (2) ⊗ U (1) theories”, Phys.

Rev. D 22 2227; V. Barger, D. Marfatia and K. Whisnant (2003),

“Progress in the physics of massive neutrinos”, Int. J. Mod. Phys.

E12 569 [arXiv: 0308123[hep-ph]]; R. N. Mohapatra et al. [arXiv:

0510213[hep-ph]]; G. Altarelli [arXiv: 0611117[hep-ph]].

[13] P. Q. Hung (2007), “A model of electroweak-scale right-handed

neutrino mass”, Phys. Lett. B 649 275 [arXiv:0612004[hep-ph]].

[14] P. Q. Hung (2008), “Electroweak-scale mirror fermions, µ → eγ

and τ → µγ”, Phys. Lett. B 659 585 [arXiv:0711.0733 [hep-ph]].

[15] P. Q. Hung (2008), “Consequences of a Pati-Salam unification of

117

the electroweak-scale active νR model”, Nucl. Phys. B 805 326

[arXiv:0805.3486 [hep-ph]].

[16] A. Aranda, J. Hernandez-Sanchez and P. Q. Hung (2008), “Implica-

tions of the discovery of a Higgs triplet on electroweak right-handed

neutrinos”, JHEP 0811 092 [arXiv:0809.2791 [hep-ph]].

[17] S. Chatrchyan et al. [CMS Collaboration] (2012), “Observation of a

new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the

LHC”, Phys. Lett. B 716 30; G. Aad et al. [ATLAS Collaboration]

(2012), “Observation of a new particle in the search for the Stan-

dard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC”,

Phys. Lett. B 716 1.

[18] V. Hoang, P. Q. Hung and A. S. Kamat (2013), “Electroweak pre-

cision constraints on the electroweak-scale right-handed neutrino

model”, Nucl. Phys. B 877 190 [arXiv:1303.0428 [hep-ph]].

[19] V. Hoang, P. Q. Hung and A. S. Kamat (2015), “Non-sterile

electroweak-scale right-handed neutrinos and the dual nature of

the 125-GeV scalar”, Nucl. Phys. B 896 611 [arXiv:1412.0343 [hep-

ph]].

[20] P. Q. Hung and T. Le (2015), “On neutrino and charged lep-

ton masses and mixings: A view from the electroweak-scale right-

handed neutrino model”, JHEP 1509 001 [arXiv:1501.02538 [hep-

ph]].

[21] P. Q. Hung, Trinh Le, Van Que Tran and Tzu-Chiang Yuan (2015),

“Lepton flavor violating radiative decays in EW-scale νR model: An

update”, JHEP 1512 169 [arXiv:1508.07016 [hep-ph]].

[22] S. Chakdar, K. Ghosh, V. Hoang, P. Q. Hung and S. Nand (2016),

118

“The search for mirror quarks at the LHC”, Phys. Rev. D 93 035007

[arXiv:1508.07318 [hep-ph]].

[23] Danh sách tài liệu tham khảo liên quan đến vấn đề này rất dài nên

không thể liệt kê trong luận án này.

[24] W. A. Bardeen, C. T. Hill and M. Lindner (1990), “Minimal dy-

namical symmetry breaking of the standard model”, Phys. Rev. D

41 1647.

[25] Y. Nambu and G. Jona-Lasinio (1961), “Dynamical model of el-

ementary particles based on an analogy with superconductivity”,

Phys. Rev. 122 345.

[26] C. T. Hill (1995), “Topcolor assisted technicolor”, Phys. Lett. B

345 483.

[27] A. Smetana [arXiv:1301.1554 [hep-ph]].

[28] B. Holdom (1986), “Heavy quarks and electroweak symmetry

breaking”, Phys. Rev. Lett. 57 2496; S. F. King (1990), “Is elec-

troweak symmetry broken by a fourth family of quarks”, Phys. Lett.

B 234 108; P. Q. Hung and G. Isidori (1997), “Anatomy of the

Higgs mass spectrum”, Phys. Lett. B 402 122; B. Holdom (2006),

“t-prime at the LHC: The physics of discovery”, JHEP 0608 76; Y.

Mimura, W. S. Hou and H. Kohyama [arXiv:1206.6063 [hep-ph]].

[29] M. A. Luty (1990), “Dynamical electroweak symmetry breaking

with two composite Higgs doublets”, Phys. Rev. D 41 2893.

[30] C. T. Hill, M. Luty and E. A. Paschos (1991), “Electroweak sym-

metry breaking by fourth-generation condensates and the neutrino

spectrum”, Phys. Rev. D 43 3011.

119

[31] G. Burdman and L. Da Rold (2007), “Electroweak symmetry break-

ing from a holographic fourth generation”, JHEP 0712 86.

[32] P. Q. Hung and C. Xiong (2011), “Dynamical electroweak symme-

try breaking with a heavy fourth generation”, Nucl. Phys. B 848

288.

[33] G. Burdman, L. Da Rold, O. Eboli and R. D. Matheus (2009),

“A strongly coupled fourth generation at the LHC”, Phys. Rev. D

79 075026; M. Hashimoto and V. A. Miransky (2010), “Dynam-

ical electroweak symmetry breaking with superheavy quarks and

2 + 1 composite Higgs model”, Phys. Rev. D 81 055014; A. E.

C. Hernandez, C. O. Dib, H. N. Neill and A. R. Zerwekh (2012),

“Quark masses and mixings in the RS1 model with a condensing

4th generation”, JHEP 1202 132; P. Q. Hung and C. Xiong (2011),

“Implication of a quasi fixed point with a heavy fourth generation:

The emergence of a TeV-scale physical cutoff”, Phys. Lett. B 694

430; C. M. Ho, P. Q. Hung and T. W. Kephart (2012), “Conformal

completion of the standard model with a fourth generation”, JHEP

1206 45; G. Burdman, L. De Lima and R. D. Matheus (2011), “New

strongly coupled sector at the Tevatron and the LHC”, Phys. Rev.

D 83 035012.

[34] G. Burdman and C. E. F. Haluch (2011), “Two Higgs dou-

blets from fermion condensation”, JHEP 1112 038; B. Holdom

[arXiv:1301.0329 [hep-ph]].

[35] A. Salam, J. C. Ward and C. Nuovo (1961), “On a gauge theory of

elementary interactions”, 19 165.

120

[36] P. W. Higgs (1964), “Broken symmetries, massless particles and

gauge fields”, Phys. Lett. 12 132.

[37] F. Englert and R. Brout (1964), “Broken symmetry and the mass

of gauge vector mesons”, Phys. Rev. Lett. 13 321.

[38] G. S. Guralnik, C. R. Hagen and T. W. B. Kibble (1964), “Global

conservation laws and massless particles”, Phys. Rev. Lett. 13 585.

[39] D. J. Gross and F. Wilczeck (1973), “Ultraviolet behavior of non-

abelian gauge theories”, Phys. Rev. Lett. 30 1343.

[40] H. D. Politzer (1973), “Reliable perturbative results for strong in-

teractions?”, Phys. Rev. Lett. 30 1346.

[41] I. J. R. Aitchison and A. J. G. Hey (1990), Gauge Theories in

Particle Physics: A Practical Introduction, Bristol.

[42] W. Heisenberg (1932), “Uber den bau der atomkerne”, Z. Phys. 77

[43] C. N. Yang and R. L. Mills (1954), “Conservation of isotopic spin

and isotopic gauge invariance”, Phys. Rev. 96 191.

[44] R. Utiyama (1956), “Invariant theoretical interpretation of interac-

tion”, Phys. Rev. 101 1597.

[45] E. S. Abers and B. W. Lee (1973), “Gauge theories”, Phys. Rep. 9

[46] J. Goldstone and C. Nuovo (1961), “Field theories with supercon-

ductor solutions”, 19 154; Y. Nambu (1962), “Axial vector current

conservation in weak interactions”, Phys. Rev. Lett. 4 380.

[47] R. Feynman and M. Gell-Man (1958), “Theory of the Fermi inter-

action”, Phys. Rev. Lett. 109 193.

121

[48] K. Kodama et al. [DONUT Collaboration] (2001), “Observation of

tau neutrino interactions”, Phys. Lett. B 504 3.

[49] C. Athanassopoulos et al. [LSND Collaboration] (1997), “The liquid

scintillator neutrino detector and LAMPF neutrino source”, Nucl.

Instrum. Methods A 388 149; K. Eitel et al. [KARMEN Collabora-

tion] (1997), Proc. The 32nd Rencontres de Moriond, Electroweak

Interactions and Unified Theories, Les Arcs; M. Apollonio et al.

[CHOOZ Collaboration] (1998), “Initial results from the CHOOZ

long baseline reactor neutrino oscillation experiment”, Phys. Lett.

B 338 383; J. Altegoer et al. [NOMAD Collaboration] (1998),

“A search for νµ → ντ oscillations using the NOMAD detector”,

Phys.Lett. B 431 219.

[50] Z. Maki, M. Nakagawa and S. Sakata (1962), “Remarks on the

unified model of elementary particles ”, Prog. Theor. Phys. 28 870.

[51] K. A. Olive et al. [Particle Data Group] (2014), “2014 Review of

Particle Physics”, Chin. Phys. C 38 090001.

[52] P. A. R. Ade et al. [Planck Collaboration] (2014), “Planck 2013 re-

sults. XVI. Cosmological parameters”, Astronomy and Astrophysics

571 A16.

[53] J. C. Pati and A. Salam (1974), “Lepton number as the fourth

color”, Phys. Rev. D 10 275; R. N. Mohapatra and J. C. Pati

(1975), “Left-right gauge symmetry and an isoconjugate model of

CP violation”, Phys. Rev. D 11 566; R. N. Mohapatra and J. C.

Pati (1975), “Natural left-right symmetry”, Phys. Rev. D 11 2558;

G. Senjanovic and R. N. Mohapatra (1975), “Exact left-right sym-

metry and spontaneous violation of parity”, Phys. Rev. D 12 1502;

122

G. Senjanovic (1979), “Spontaneous breakdown of parity in a class

of gauge theories”, Nucl. Phys. B 153 334.

[54] S. Chatrchyan et al. [CMS Collaboration] (2012), “Search for heavy

neutrinos and WR bosons with right-handed couplings in a Left- √ Right symmetric model in pp collisions at s = 7 TeV”, Phys. Rev.

Lett. 109 261802.

[55] M. Veltman (1977), “Limit on mass differences in the Weinberg

model”, Nucl. Phys. 123 89; P. Sikivie et. al. (1980), “Isospin break-

ing in technicolor models ”, Nucl. Phys. B 173 189.

[56] M. E. Peskin and T. Takeuchi (1992), “Estimation of oblique elec-

troweak corrections”, Phys. Rev. D 46 381.

[57] M. Baak et al. [The Gfitter Group] (2014), “The global electroweak

fit at NNLO and prospects for the LHC and ILC”, Eur. Phys. J.

C 74 3046.

[58] H. Yukawa (1935), “On the interaction of elementary particles”,

Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17 48.

[59] R. Sachs and M. Goeppert-Mayer (1938), “Calculations on a new

neutron-proton interaction potential”, Phys. Rev. 53 991.

[60] J. McEnnan, L. Kissel and R. Pratt (1976), “Analytic perturba-

tion theory for screened Coulomb potentials: Nonrelativistic case”,

Phys. Rev. A 13 532.

[61] C. Gerry (1984), “Estimates of the ground states of the Yukawa

potential from the Bogoliubov inequality”, J. Phys. A 17 L313.

[62] H. Kroger, R. Girard and G. Dufour (1988), “Direct calculation of

the S matrix in coordinate space”, Phys. Rev. C 37 486.

123

[63] S. Garavelli and F. Oliveira (1991), “Analytical solution for a

Yukawa-type potential”, Phys. Rev. Lett. 66 1310.

[64] O. Gomes, H. Chacham and J. Mohallem (1994), “Variational cal-

culations for the bound-unbound transition of the Yukawa poten-

tial”, Phys. Rev. A 50 228.

[65] V. I. Yukalov, E. P. Yukalova and F. A. Oliveira (1998),

“Renormalization-group solutions for Yukawa potential”, J. Phys.

A 31 4337.

[66] F. Brau (2003), “Critical strength of attractive central potentials”,

J. Phys. A 36 9907.

[67] L. Bertini, M. Mella, D. Bressanini and G. Morosi (2004), “Bor-

romean binding in H2 with Yukawa potential: A nonadiabatic quan-

tum Monte Carlo study”, Phys. Rev. A 69 042504.

[68] D. Dean, I. Drummond and R. Horgan (2004), “Renormalization

of drift and diffusivity in random gradient flows”, J. Phys. A 37

2039.

[69] S. Khrapak, A. Ivlev, G. Morfill and S. Zhdanov (2003), “Scattering

in the attractive Yukawa potential in the limit of strong interac-

tion”, Phys. Rev. Lett. 90 225002.

[70] E. B. Gregory, S. H. Guo, H. Kroger and X. Q. Luo (2000), “Hamil-

tonian lattice QCD at finite chemical potential”, Phys. Rev. D 62

054508.

[71] X. Q. Luo, E. B. Gregory, S. H. Guo and H. Kroger (2001), Proc.

Non perturbative methods and lattice QCD, Singapore.

[72] X. Q. Luo (2004), “Tricritical point of lattice QCD with Wilson

quarks at finite temperature and density”, Phys. Rev. D 70 091504.

124

[73] H. Schey and J. Schwartz (1965), “Counting the bound states in

short-range central potentials”, Phys. Rev. B 139 1428.

[74] P. Q. Hung and C. Xiong (2011), “Renormalization group fixed

point with a fourth generation: Higgs-induced bound states and

condensates”, Nucl. Phys. B 847 160.

[75] S. Fl¨ugge (1974), Practical Quantum Mechanics, Springer; C.

Quigg and J. L. Rosner (1979), “Quantum mechanics with applica-

tions to quarkonium”, Phys. Rep. 56 167; P. Q. Hung (1992), “Can

the ρ parameter allow for the existence of a nondegenerate fourth

family?”, Phys. Rev. Lett. 69 3143; P. Q. Hung, R. McCoy and D.

Singleton (1994), “Negative δρ with four families in the standard

model”, Phys. Rev. D 50 2082.

[76] N. Poliatzky (1992), “A method for solving the Schrodinger equa-

tion”, J. Phys. A 25 3649.

[77] Nguyen Nhu Le and Pham Quang Hung (2016), “Schwinger-Dyson

equations for fermions self-energy in the electroweak-scale right-

handed neutrino model”, Hue University’s Journal of Natural Sci-

ence 116 2.

[78] C. N. Leung, S. T. Love and W. A. Bardeen (1986), “Spontaneous

symmetry breaking in scale invariant quantum eletrodynamics”,

Nucl. Phys. B 273 649; C. N. Leung, S. T. Love and W. A. Bardeen

(1986), “Dilaton and chiral-symmetry breaking”, Phys. Rev. Lett.

56 1230.

[79] M. S. Chanowitz and M. K. Gaillard (1985), “The TeV physics of

strongly interacting W’s and Z’s”, Nucl. Phys. B 261 379.

[80] M. C. John, N. L. David and T. George (1974), “Derivation of gauge

125

invariance from high-energy unitarity bounds on the S matrix”,

Phys. Rev. D 10 1145.

[81] G. J. Gounaris, R. Kogerler and H. Neufeld (1986), “Relationship

between longitudinally polarized vector bosons and their unphysi-

cal scalar partners”, Phys. Rev. D 34 3257.

[82] Sidney Coleman (1985), Aspects of Symmetry, Cambridge.

[83] N. N. Le and P. Q. Hung (2014), “One-loop functions for Yukawa

couplings in the electroweak-scale right-handed neutrino model”, J.

Phys.: Conf. Ser. 537 012016.

[84] Pham Quang Hung and Nguyen Nhu Le (2016), “Dynamical elec-

troweak symmetry breaking in the model of electroweak-scale right-

handed neutrinos”, Int. J. Mod. Phys. A, 31 1650065.

[85] J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer (1957), “Microscopic

theory of superconductivity”, Phys. Rev. 106 162.

[86] V. L. Ginzburg and L. D. Landau (1950), “On the theory of super-

conductivity”, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 1064.

[87] T. P. Cheng and L. F. Li (1984), Gauge theory of elementary par-

ticle physics, Oxford.

[88] G. J. Gounaris, R. Kogerler and H. Neufeld (1986), “Relationship

between longitudinally polarized vector bosons and their unphysi-

cal scalar partners”, Phys. Rev. D 34 3257.

[89] S. L. Glashow (1961), “Partial symmetries of weak interactions”,

Nucl. Phys. 22 579.

[90] W. L. Benjamin, C. Quigg and H. B. Thacker (1977), “Weak inter-

actions at very high energies: The role of the Higgs-boson mass”,

Phys. Rev. D 16 1519.

126

[91] J. Krog and C. T. Hill (2015), “Is the Higgs boson composed of

neutrinos?”, Phys. Rev. D 92 9 [arXiv:1506.02843 [hep-ph]].

P.1

PHẦN PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Lý thuyết tái chuẩn hóa

Lý thuyết của các trường lượng tử tương tác luôn tồn tại các

chuyển dời ảo liên quan đến các hạt ảo. Chẳng hạn, photon lan truyền

trong chân không cổ điển chịu tác động của sự chuyển dời ảo, sinh

cặp electron-positron và thông thường cặp hạt-phản hạt này chuyển dời

ngược lại, hủy cặp thành photon. Sự biến đổi liên liếp của hai hiện tượng

này được gọi là quá trình phân cực chân không. Theo đó, chân không

trong trường lượng tử không phải là không gian trống rỗng mà được điền

đầy bởi các cặp hạt-phản hạt ảo.

Các tính toán trong lý thuyết trường lượng tử (QFT) luôn cho kết

quả gồm dãy các số hạng, mỗi số hạng biểu diễn cho sự đóng góp của

các cơ chế phân cực chân không khác nhau. Tuy nhiên, hầu hết các số

hạng này đều phân kỳ. Để giải quyết vấn đề này, vào cuối thập niên 40

của thế kỷ 20, các nhà khoa học Bethe, Feynman, Schwinger và Dyson

đã thiết lập lý thuyết tái chuẩn hóa. Khi các phân kỳ trong lý thuyết

trường lượng tử được loại bỏ thông qua lý thuyết tái chuẩn hóa, các

tham số hữu hạn tổng hợp có tính tùy ý, nghĩa là, nó tương ứng với khả

năng có thể có nhiều các phép đo thực nghiệm khác nhau phụ thuộc vào

thang năng lượng đang khảo sát. Theo đó, để mô tả hệ vật lý khi thang

năng lượng thay đổi lý thuyết về nhóm tái chuẩn hóa ra đời. Lý thuyết

này đã được thực nghiệm công nhận 40 năm sau tại các thí nghiệm máy

gia tốc LEP. Cụ thể, điện tích của điện tử được đo tại khối lượng của

boson Z trong máy gia tốc electron-positron LEP của CERN dẫn đến

hằng số cấu trúc là 1/128.9 (giá trị được sử dụng trong các phân tích

lý thuyết của các sự kiện LEP) thay vì giá trị Millikan thường được sử

P.2

dụng 1/137.

Như vậy, việc xác định sự thay đổi của các đại lượng vật lý theo

thang đo, đặc biệt là hằng số liên kết đóng vai trò quan trọng trong bất

kỳ mô hình lý thuyết trường nào. Sự biến thiên vi phân của các hằng

số liên kết g(µ) theo sự thay đổi của thang năng lượng µ được biểu diễn

thông qua phương trình vi phân hay phương trình nhóm tái chuẩn hóa

và được gọi là hàm β chứa trong phương trình vi phân mô tả sự biến

thiên của các hàm tương quan n điểm dưới sự biến đổi của thang năng

lượng do C. Callan và K. Symanzik đưa ra vào những năm 1970.

Đối với bất kỳ lý thuyết trường nào, các quy tắc Feynman để tính

các hàm Green và các yếu tố ma trận tán xạ S trong lý thuyết nhiễu

loạn đều có thể được thiết lập. Tuy nhiên, trong lý thuyết trường tương

đối tính, các giá trị vô hạn sẽ xuất hiện trong tính toán các giản đồ chứa

nhiều vòng. Các giá trị này tồn tại do biến xung lượng trong tích phân

vòng biến thiên từ không đến vô cùng. Hay nói cách khác, đối với lý

thuyết tương đối sẽ không có thang cắt bên trong cho xung lượng. Các

phân kỳ này sẽ làm cho tính toán trở nên vô nghĩa. Lý thuyết tái chuẩn

hóa tách và loại bỏ các giá trị vô hạn này thông qua các đại lượng vật lý

đo được, nó đã và đang đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết trường

lượng tử tương đối tính.

Tuy nhiên, sự cần thiết của việc tái chuẩn hóa tồn tại trong mọi lý

thuyết vật lý nói chung không chỉ dành riêng cho lý thuyết trường tương

đối tính. Chẳng hạn, trong lý thuyết hoàn toàn hữu hạn vẫn tồn tại các

đại lượng vật lý tái chuẩn hóa. Cụ thể, khảo sát một điện tử chuyển

động bên trong chất rắn. Do tương tác của điện tử với mạng tinh thể,

khối lượng hiệu dụng m∗ của điện tử, xác định sự tác động trở lại của

nó với trường ngoài, rõ ràng khác với khối lượng m của điện tử đo bên

P.3

ngoài chất rắn. Khối lượng của điện tử đã biến đổi từ m thành m∗ do

tương tác của điện tử với mạng tinh thể trong chất rắn. Trong trường

hợp này, về nguyên tắc hai giá trị m và m∗ hoàn toàn có thể xác định

được bằng việc tắt và bật tương tác (nghĩa là, đặt điện tử ở bên ngoài

và bên trong chất rắn). Sự khác biệt này là hữu hạn vì cả m và m∗ hoàn

toàn có thể đo được. Trường hợp của lý thuyết trường tương đối tính

cũng tương tự chỉ khác hai điểm quan trọng sau: (1) Sự tái chuẩn hóa

do tương tác thông thường là vô hạn (tương ứng với giản đồ vòng phân

kỳ); (2) Tương tác không thể được loại bỏ. Theo đó, các đại lượng đo

được khi không có tương tác được gọi là các đại lượng trần hay các đại

lượng không được tái chuẩn hóa. Chẳng hạn, trong điện động lực tương

đối tính, sự khác biệt giữa khối lượng điện tử trần m và khối lượng tái

chuẩn hóa m∗ là vô hạn và khối lượng điện tử trần không thể đo được

do điện tử luôn tương tác với trường photon ảo và không thể nào loại

bỏ tương tác này.

Quy trình loại bỏ các giá trị vô hạn từ các đại lượng vật lý đo

được trong lý thuyết tương đối tính, quy trình tái chuẩn hóa, bao gồm

việc nhóm các giá trị phân kỳ vào trong các đại lượng trần. Hay nói cách

khác, các đại lượng không tái chuẩn hóa ban đầu được giả thiết là phân

kỳ và sự tái chuẩn hóa vô hạn do các tương tác theo đó sẽ triệt tiêu các

giá trị phân kỳ để thiết lập các đại lượng tái chuẩn hóa hữu hạn. Như

thế, trong lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, các đại lượng tái

chuẩn hóa là các đại lượng vật lý đo được trong khi đó các đại lượng trần

thì không thể. Quy trình tái chuẩn hóa cho lý thuyết λφ4 được xem xét

sau đây là ví dụ đơn giản nhất cho quy trình tái chuẩn hóa nói chung.

P.4

Sự tái chuẩn hóa trong lý thuyết λφ4

Mật độ Lagrangian trong lý thuyết λφ4 được chia thành hai thành

phần: thành phần tự do và thành phần tương tác

(A.1) L = L0 + LI,

với

0φ2 0

(cid:105) (cid:104) , (A.2) (∂µφ0)2 − µ2 L0 = 1 2

và

(A.3) LI = − φ4 0.

Hình 23: Hàm truyền và đỉnh tương tác trong lý thuyết λφ4.

λ0 4! Hàm truyền và đỉnh của lý thuyết này được mô tả ở hình 23. Các giản

đồ một hạt tối giản (1PI) sẽ được nghiên cứu trong mục này. Chúng là

các giản đồ Feynman không thể phân tách ra bằng việc cắt bất kỳ đường

ngoài nào. Theo đó, các hàm Green 1PI tương ứng Γ(n)(p1 . . . pn) được

định nghĩa là các hàm được đóng góp từ các giản đồ 1PI. Khi các tính

toán liên quan đến giản đồ 1PI hoàn thành thì các giản đồ không tối

giản có thể được xác định vì bất kỳ giản đồ không tối giản nào đều có

thể được phân tích thành các giản đồ 1PI không chứa tích phân vòng

với số vòng lớn hơn. Chẳng hạn, hàm Green hai điểm hay hàm truyền

(cid:90) ı∆(p) = (A.4) d4xe−ıp·x(cid:104)0 |T (φ0(x)φ0(0))| 0(cid:105),

có thể được phân tích thành các thành phần năng lượng riêng 1PI, Σ(p),

như đã cho ở hình 24. Theo đó, hàm truyền có thể được viết dưới dạng

0 + ıε

(cid:0)−ıΣ(p2)(cid:1) ı∆(p) = + + . . . ı p2 − µ2 ı p2 − µ2 ı p2 − µ2

P.5

(cid:34) (cid:35)

ı p2−µ2 0+ıε

0 + ıε ı

= 1 1 + ıΣ(p2) ı p2 − µ2

0 − Σ(p2) + ıε

= . (A.5) p2 − µ2

Hình 24: Hàm truyền là tổng của các hàm năng lượng riêng 1PI.

Như thế, nếu thành phần năng lượng riêng Σ(p2) hữu hạn thì hàm

truyền cũng hữu hạn.

Vì không có phân kỳ trong các giản đồ cây (không vòng) nên các

giản đồ một vòng 1PI được xét đến. Hình 25 và 26 minh họa một số

giản đồ 1PI phân kỳ một vòng trong thuyết λφ4. Khảo sát số hạng năng

lượng riêng với giản đồ tương ứng được cho bởi hình 25 là giản đồ năng

lượng riêng

(cid:90) −ıΣ(p2) = − . (A.6) ıλ0 2 d4l (2π)4 ı l2 − µ2 0 + ıε

Hệ số 1/2 là thừa số đối xứng. Tích phân trong phương trình (A.6) chứa

phân kỳ bậc bốn. Các hiệu chỉnh đỉnh được trong hình 26 cho đóng góp

như sau

0 + ıε

(cid:90) ı , (A.7) = Γa = Γ(p2) = Γ(s) (−ıλ0)2 2 d4l (2π)4 (l − p)2 − µ2 ı l2 − µ2 0 + ıε

(A.8) Γb = Γ(t), Γc = Γ(u),

trong đó

(A.9) s = p2 = (p1 + p2)2 , t = (p1 − p3)2 , u = (p1 − p4)2 ,

là các biến Mandelstam. Các đóng góp trong các phương trình (A.7) và

(A.8) phân kỳ theo hàm số loga. Trong bất kỳ giản đồ phân kỳ nào,

P.6

Hình 25: Giản đồ năng lượng riêng.

Hình 26: Một số giản đồ 1PI phân kỳ một vòng trong thuyết λφ4.

phần phân kỳ và phần hữu hạn luôn được tách riêng, sau đó phần phân

kỳ sẽ được nhóm vào trong các định nghĩa lại của khối lượng, hằng số liên

kết và các toán tử trường tương ứng. Để phân tách các đại lượng, tính

chất quan trọng của các tích phân Feynman được cho bởi các phương

trình (A.6) và (A.7) được sử dụng: khi lấy đạo hàm các tích phân phân

kỳ theo moment xung lượng ngoài tương ứng, số mũ của xung lượng

ngoài ở tử số sẽ tăng lên, theo đó, tích phân bớt phân kỳ hơn. Như thế,

khi số lần đạo hàm đạt đến một giá trị nhất định kết quả sẽ hoàn toàn

hội tụ. Chẳng hạn, việc lấy đạo hàm Γ(p2) theo p2 dẫn đến

Γ(p2) ∂ ∂p2 =

0 + ıε]2

= , (A.10) 1 2p2 pµ (cid:90) λ2 0 p2 ∂ ∂pµ d4l (2π)4 (l − p) · p [(l − p)2 − µ2 1 l2 − µ2 0 + ıε

đại lượng này hữu hạn. Điều này có nghĩa là các phân kỳ chỉ tồn ở

các số hạn đầu của khai triển Taylor trong xung lượng của các giản

đồ Feynman. Chẳng hạn, khai triển Taylor của Γ(p2) xung quanh điểm

P.7

p2 = 0 có dạng

(cid:0)p2(cid:1)n , (A.11) an Γ(p2) = a0 + a1p2 + . . . + 1 n!

trong đó

(A.12) . an =

∂n (cid:12) ∂np2 Γ(p2) (cid:12) (cid:12)p2=0 Các an là hữu hạn khi n ≥ 1 và chỉ a0 chứa phân kỳ loga. Các số hạng

hữu hạn được nhóm lại cho kết quả

(A.13) Γ(s) = Γ(0) + (cid:101)Γ(s),

trong đó Γ(0) = a0 phân kỳ, (cid:101)Γ(s) hữu hạn và có tính chất

(A.14) (cid:101)Γ(0) = 0.

Các hàm Γ(0) và (cid:101)Γ(s) sẽ được tính toán chi tiết thông qua sự điều chỉnh

[87], trong đó phần hữu hạn (cid:101)Γ(s) bằng Γ(s) tại s = 0. Theo đó, quy

trình này còn được gọi là sự trừ.

Tiếp theo khai triển Taylor trong phương trình (A.6) và (A.7) được

sử dụng để phân chia các phần hữu hạn và vô hạn và nhóm các phần

Sự tái chuẩn hóa khối lượng và hàm sóng

phân kỳ vào trong các định nghĩa lại của các đại lượng trần.

Đóng góp năng lượng riêng được cho bởi phương trình (A.6) có

dạng phân kỳ bậc bốn. Tuy nhiên, đóng góp một vòng này có đặc điểm

không phụ thuộc vào xung lượng ngoài p nên khai triển Taylor là tầm

thường, nghĩa là, Σ(p2) = Σ(0). Điều này chỉ đúng cho phép gần đúng

một vòng trong lý thuyết λφ4. Vì thế, trong khai triển Taylor tổng quát

theo xung lượng ngoài xung quanh giá trị bất kỳ µ sẽ có hai số hạng

phân kỳ

(A.15) Σ(p2) = Σ(µ2) + (cid:0)p2 − µ2(cid:1) Σ(cid:48)(µ2) + (cid:101)Σ(p2),

P.8

trong đó Σ(µ2) và Σ(cid:48)(µ2) lần lượt là phân kỳ bậc bốn và phân kỳ

loga. Tại mỗi phép lấy đạo hàm theo xung lượng ngoài ∂/∂pµ làm giảm bậc của phân kỳ đi một và Σ(cid:48)(µ2) có thể được viết dưới dạng 8 (∂/∂pµ) (∂/∂pµ) Σ(p2)(cid:12) (cid:12)p2=µ2. Trong các giản đồ phân kỳ bậc bốn tổng quát sẽ có ba số hạng phân kỳ bậc bốn, tuyến tính và loga. Tuy nhiên

trong Σ(p2) sẽ không có số hạng phân kỳ tuyến tính vì số hạng tỉ lệ với

pµ không có tính chất bất biến Lorentz. Số hạng cuối cùng trong phương

trình (A.15) là hữu hạn và có tính chất

(A.16)

(A.17) (cid:101)Σ(µ2) = 0, (cid:101)Σ(cid:48)(µ2) = 0.

Mọi giá trị của p2 trong phép gần đúng một vòng luôn thỏa mãn biểu thức Σ(cid:48)(p2) = (cid:101)Σ(p2) = 0 . Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, các năng lượng riêng không triệt tiêu. Thế phương trình (A.15) vào phương

trình (A.5), biểu thức đầy đủ của hàm truyền có dạng sau

0 − Σ(µ2) − (p2 − µ2) Σ(cid:48)(µ2) − (cid:101)Σ(p2) + ıε

ı ı∆(p) = . (A.18) p2 − µ2

Khối lượng vật lý được định nghĩa tại điểm cực của hàm truyền. Vì µ2

là bất kỳ nên nó có thể được chọn để thỏa mãn phương trình

0 + Σ(µ2) = µ2. µ2

(A.19)

Theo đó,

ı∆(p2) = (A.20) . ı (p2 − µ2) [1 − Σ(cid:48)(µ2)] − (cid:101)Σ(p2) + ıε

Phương trình (A.16) chứng tỏ ∆(p2) có điểm cực tại p2 = µ2. Vì thế,

µ2 là khối lượng vật lý và có mối liên hệ với khối lượng trần thông qua

phương trình (A.19). Đây là sự tái chuẩn hóa khối lượng. Vì Σ(µ2) phân

0 phải phân kỳ để khối lượng vật lý đạt giá trị

kỳ nên khối lượng trần µ2

P.9

hữu hạn. Ngoài ra, do Σ(cid:48)(µ2) và (cid:101)Σ(µ2) đều theo bậc của λ0 nên số hạng phân kỳ Σ(cid:48)(µ2) được loại bỏ, cụ thể

(A.21) (cid:101)Σ(p2) (cid:39) (cid:2)1 − Σ(cid:48)(µ2)(cid:3) (cid:101)Σ(p2),

và hàm truyền có thể được viết dưới dạng

ı∆(p2) = , (A.22) ıZφ p2 − µ2 − (cid:101)Σ(p2) + ıε

trong đó

(cid:1) . (A.23) Zφ = (cid:2)1 − Σ(cid:48)(µ2)(cid:3)−1 = 1 + Σ(cid:48)(µ2) + 0 (cid:0)λ2

Trong trường hợp này, tính phân kỳ có dạng thừa số nhân và có thể được

loại bỏ bởi việc thay đổi lại toán tử trường φ0. Nếu trường tái chuẩn hóa

φ được định nghĩa như sau

φ = Z −1/2 (A.24) φ0,

thì hàm truyền tái chuẩn hóa

(cid:90) d4xe−ıp·x(cid:104)0 |T (φ(x)φ(0))| 0(cid:105) ı∆R(p) =

(cid:90)

d4xe−ıp·x(cid:104)0 |T (φ0(x)φ0(0))| 0(cid:105) = Z −1 φ

φ ∆(p),

= = ıZ −1 (A.25) ı p2 − µ2 − (cid:101)Σ(p2) + ıε

hoàn toàn hữu hạn. Zφ được gọi là hằng số tái chuẩn hóa hàm sóng.

Bằng cách này các số hạng phân kỳ trong năng lượng riêng được loại bỏ

bởi sự tái chuẩn hóa khối lượng và sự tái chuẩn hóa hàm sóng lần lượt

R được định nghĩa thông qua trường tái chuẩn hóa φ trong phương trình (A.24) và có mối liên hệ với hàm

được cho bởi phương trình (A.19) và (A.24). Hàm Green tái chuẩn hóa G(n)

Green chưa chuẩn hóa

R (x1 . . . xn) = (cid:104)0 |T (φ(x1) . . . φ(xn))| 0(cid:105)

G(n)

P.10

(cid:104)0 |T (φ0(x1) . . . φ0(xn))| 0(cid:105)

0 (x1 . . . xn).

φ G(n)

(A.26) = Z −n/2 φ = Z −n/2

Trong không gian xung lượng phương trình (A.26) được viết lại

0 (p1 . . . pn),

R (p1 . . . pn) = Z −n/2

φ G(n)

(A.27) G(n)

trong đó

R (p1 . . . pn) =

(cid:33) (cid:90) (cid:32) n (cid:89) (2π)4 δ4(p1 + . . . + pn)G(n) dxie−ıpi·xi

i=1 ×G(n) R (x1 . . . xn), (cid:90) (cid:32) n (cid:89)

(A.28) (cid:33)

0 (p1 . . . pn) =

(2π)4 δ4(p1 + . . . + pn)G(n) dxie−ıpi·xi

i=1 0 (x1 . . . xn).

×G(n) (A.29)

Để có được biểu thức hàm Green 1PI từ hàm Green liên kết được cho

0 (p1 . . . pn). Vì ∆R(p)

R (p1 . . . pn) và G(n)

bởi phương trình (A.27), các giản đồ 1PI và các hàm truyền cho các

đường ngoài trong các hàm Green 1PI được loại bỏ, nghĩa là ∆R(pi) và ∆(pi) lần lượt được loại bỏ từ G(n) và ∆(p) có mối liên hệ

φ ∆(pi),

(A.30) ∆R(pi) = Z −1

nên các hàm Green 1PI tái chuẩn hóa và chưa chuẩn hóa có mối liên hệ

0 (p1 . . . pn).

R (p1 . . . pn) = Z n/2 Γ(n)

φ Γ(n)

Sự tái chuẩn hóa hằng số liên kết

(A.31)

Trong mục này hàm bốn điểm 1PI trong hình 26 sẽ được tái chuẩn

hóa. Từ các phương trình (A.7) và (A.8), hàm Green chưa chuẩn hóa

0 như sau

theo bậc của λ2

(A.32) Γ(4) 0 = (s, t, u) = −ıλ0 + Γ(s) + Γ(t) + Γ(u),

P.11

trong đó số hạng đầu tiên ở vế phải là đóng góp của giản đồ cây và ba

số hạng cuối cùng là đóng góp một vòng phân kỳ. Các số hạng phân kỳ

này được nhóm lại bằng việc định nghĩa lại hằng số liên kết.

Tương tác đỉnh được dùng để đo hằng số liên kết. Vì đỉnh thông

thường chứa bốn hạt, hằng số liên kết có thể được đo dưới dạng của biên

độ tán xạ hai hạt. Tuy nhiên, khi khảo sát sự tái chuẩn hóa trong thuyết

R (p1, . . . , p4). Vì Γ(4)

R là hàm của các biến động học s, t và u (nghĩa là nó không phải là hằng số), một số điểm đặc biệt trong vùng động học

λφ4, hằng số liên kết gần giống với dạng của hàm bốn điểm 1PI tái chuẩn hóa Γ(4)

lớp p2 phải được chọn để định nghĩa hằng số liên kết vật lý. Đối với các hạt tại i = µ2 các biến này thỏa mãn mối liên hệ s + t + u = 4µ2, để thuận

tiện điểm đối xứng có thể được chọn

, (A.33) s0 = t0 = u0 = 4µ2 3

để định nghĩa hằng số liên kết. Theo đó,

(A.34) Γ(4) R = (s0, t0, u0) = −ıλ,

trong đó λ là hằng số liên kết vật lý.

Tiếp theo, các phần hữu hạn và phân kỳ trong hàm đỉnh chưa tái

chuẩn hóa ở phương trình (A.32) sẽ được tách riêng bằng việc khai triển

chuỗi Taylor xung quanh điểm đối xứng theo phương trình (A.33)

(A.35) Γ(4) 0 (s, t, u) = −ıλ0 + 3Γ(s0) + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u),

trong đó (cid:101)Γ(s) = Γ(s) − Γ(s0) hữu hạn và có tính chất

(A.36) (cid:101)Γ(s0) = 0.

Hằng số tái chuẩn hóa đỉnh Zλ được định nghĩa như sau

λ λ0 = −ıλ0 + 3Γ(s0).

(A.37) −ıZ −1

P.12

Phương trình (A.35) trở thành

λ λ0 + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u),

(A.38) Γ(4) 0 (s, t, u) = −ıZ −1

tại điểm đối xứng phương trình (A.38) được viết lại

λ λ0.

(A.39) Γ(4) 0 (s0, t0, u0) = −ıZ −1

Theo đó, từ mối liên hệ trong phương trình (A.31) dẫn đến

φΓ(4)

0 (s, t, u).

(A.40) Γ(4) R (s, t, u) = Z 2

Sử dụng các phương trình (A.34), (A.39) và (A.40) dẫn đến hằng số liên

kết vật lý λ được định nghĩa trong phương trình (A.34) có mối liên hệ

với hằng số liên kết chưa chuẩn hóa λ0 như sau

φZ −1

λ λ0.

λ = Z 2 (A.41)

Hình 27: Một số giản đồ 1PI phân kỳ một vòng trong thuyết λφ4.

Đối với sự tái chuẩn hóa của hàm Green bốn điểm liên kết đến một

vòng, giản đồ một vòng chưa tối giản một hạt (hình 27) được thêm vào

0 (p1 . . . pn) như sau

và đính kèm các hàm truyền cho các đường ngoài. Theo đó, hàm Green chưa tái chuẩn hóa G(4)

0 (p1 . . . p4) =

j=1 (cid:110)

(cid:35) (cid:34) 4 (cid:89) G(4) 1 j − µ2 p2 0 + ıε

4 (cid:88)

× − ıλ0 + 3Γ(s0) + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u)

k)(cid:3)

0 + ıε

k=1

(cid:111) . (A.42) (cid:2)−ıΣ(p2 +(−ıλ0) ı k − µ2 p2

P.13

Số hạng đầu tiên và cuối cùng trong phương trình (A.42) có thể được

4 (cid:88)

j=1

k=1

(cid:35) (cid:34) (cid:35) nhóm lại thành (cid:34) 4 (cid:89) 1 + −ıλ0 Σ(p2 k)

0).

j) + ıε

j − µ2 p2

j=1

0), (cid:101)Γ ∼ O(λ2

0) nên (cid:35)

1 k − µ2 p2 0 + ıε (cid:35) 1 j − µ2 p2 0 + ıε (cid:34) 4 (cid:89) + O(λ3 (A.43) = −ıλ0 1 0 − Σ(p2

j=1

Vì Γ ∼ O(λ2 (cid:34) 4 (cid:89) (cid:105) (cid:104) 3Γ(s0) + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u)

j − µ2 p2

j=1

(cid:35) 1 j − µ2 p2 0 + ıε (cid:34) 4 (cid:89) = 1 0 − Σ(p2

j) + ıε (cid:105) 3Γ(s0) + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u)

0).

(cid:104) × + O(λ3 (A.44)

Sử dụng các phương trình (A.5), (A.32) (A.43) và (A.44) phương trình

(A.42) được viết lại

4 (cid:89)

(cid:34) (cid:35)

0 (p1 . . . p4) =

j − µ2 p2

j=1 (cid:104)

G(4) 1 0 − Σ(p2 j)

(cid:105) −ıλ0 + 3Γ(s0) + (cid:101)Γ(s) + (cid:101)Γ(t) + (cid:101)Γ(u)

j=1

(cid:35) × (cid:34) 4 (cid:89) = (A.45) ı∆(pj) Γ(4) 0 (p1 . . . p4).

Hàm Green bốn điểm tái chuẩn hóa được định nghĩa theo phương trình

(A.27) như sau

0 (p1 . . . p4).

φ G(4)

R (p1 . . . p4) = Z −2

G(4) (A.46)

Theo đó từ phương trình (A.45) và mối liên hệ giữa các đại lượng tái

chuẩn hóa và chưa tái chuẩn hóa trong các phương trình (A.30) và (A.40),

P.14

hàm Green tái chuẩn hóa có dạng

4 (cid:89)

(cid:34) (cid:35)

φ Γ(4) Z −2

R (p1 . . . p4) = Z −2

R (p1 . . . p4)

j=1

4 (cid:89)

G(4) ı∆R(pj) Z 4 φ

R (p1 . . . p4).

j=1

= (A.47) [ı∆R(pj)] Γ(4)

Giá trị hàm Green ở phương trình (A.47) là hữu hạn vì ∆R(p) và Γ(4) R (p1 . . . p4) đều hữu hạn.

Như vậy, các phân kỳ trong các hàm Green hai điểm và bốn điểm

đã được loại bỏ hoàn toàn nhờ sự tái chuẩn hóa khối lượng, hàm sóng

và đỉnh trong phép gần đúng một vòng. Ngoài ra, trong các giản đồ 1PI

còn lại cũng không có sự phân kỳ. Tuy nhiên, dễ dàng thấy rằng các

phân kỳ này là hệ quả của sự phân kỳ bởi các hàm đỉnh bốn điểm và nó

được loại bỏ khi hàm đỉnh bốn điểm được tái chuẩn hóa .

Tóm lại, hàm Green sẽ hữu hạn nếu các đại lượng trần được biểu

diễn dưới dạng của các đại lượng tái chuẩn hóa thông qua mối liên hệ

(A.19), (A.24) và (A.41).

φ λ = Z −1

(A.48) φ = Z −1/2 φ0,

(A.49)

λ Z 2 φλ0, 0 + δµ2,

µ2 = µ2 (A.50)

trong đó δµ2 = Σ(µ2). Đặc biệt, đối với hàm Green n điểm, khi khối

lượng trần µ0 và hằng số liên kết trần λ0 được viết theo dạng của khối lượng và hằng số liên kết tái chuẩn hóa µ và λ và nhân với Z −1/2 cho

mỗi trường ngoài như đã cho ở phương trình (A.27), cho kết quả (hàm

Green n điểm tái chuẩn hóa) hoàn toàn hữu hạn

0 (p1, . . . , pn; λ0, µ0, Λ),

R (p1, . . . , pn; λ, µ) = Z −n/2

φ G(n)

(A.51) G(n)

trong đó Λ là thang cắt cần thiết để định nghĩa các tích phân phân kỳ.

P.15

trong Đặc tính này, trong đó các phân kỳ sau khi viết lại λ0 và µ0 dưới dạng của λ và µ được nhóm lại vào trong một số hằng số nhân (Z −n/2

phương trình (A.51)), được gọi là khả năng tái chuẩn hóa multiplicative.

Tương tự, các hàm Green 1PI trở nên hữu hạn như đã cho ở phương trình (A.31) bằng việc nhân thêm Z n/2 và biểu diễn các đại lượng trần

λ0 và µ0 theo dạng của các đại lượng vật lý λ và µ,

0 (p1, . . . , pn; λ0, µ0, Λ).

R (p1, . . . , pn; λ, µ) = Z n/2 Γ(n)

φ Γ(n)

(A.52)

Trong quy trình tái chuẩn hóa, một số quy trình điều chỉnh sẽ được đưa

vào để các tích phân phân kỳ trở nên hữu hạn [87].

Phụ lục 2: Nhóm tái chuẩn hóa

Lý thuyết tái chuẩn hóa đề cập ở phần trước tồn tại tính ngẫu

nhiên liên quan đến việc chọn các điểm động học trong định nghĩa các

tham số vật lý chẳng hạn khối lượng và các hằng số liên kết. Tuy nhiên,

các điểm quy chiếu trong khai triển này là bất kỳ. Việc chọn lựa các điểm

quy chiếu hay các điểm trừ khác nhau dẫn đến các định nghĩa khác nhau

của các tham số vật lý của thuyết. Trên thực tế, nội dung vật lý của lý

thuyết phải bất biến dưới các phép biến đổi làm thay đổi đơn thuần các

điều kiện tái chuẩn hóa. Tính chất này được gọi là nhóm tái chuẩn hóa.

Trong các hệ vật lý với số bật tự do vô hạn (chẳng hạn như lý thuyết

trường lượng tử), sự tái chuẩn hóa có thể được thực hiện thông qua việc

định nghĩa lại các đại lượng vật lý phù hợp với thang năng lượng. Trong

đó, các đại lượng vật lý đã được định nghĩa có mối liên hệ với nhau và

phương trình nhóm tái chuẩn hóa mô tả sự ảnh hưởng của sự thay đổi

thang trong thuyết hay nó mô tả mối liên hệ của tính tái chuẩn hóa vào

các phép biến đổi thang.

P.16

Nhóm tái chuẩn hóa được phát minh đầu tiên bởi Stueckelberg và

Peterman vào năm 1953. Theo đó, năm 1954 Gell-Mann và Low là các

nhà khoa học đầu tiên sử dụng tính toán nhóm tái chuẩn hóa để nghiên

cứu tính chất tiệm cận của các hàm Green trong QED. Có rất nhiều

cách để thiết lập phương trình nhóm tái chuẩn hóa (RGE). Trong luận

án này chúng tôi trình bày theo những luận điểm của Coleman. Theo

đó, dạng của phương trình Callan-Symanzik liên quan đến quy trình trừ

xung lượng thiết lập. Ngoài ra, sự tái chuẩn hóa khối lượng độc lập hay

quy trình từ cực tiểu và RGE tương ứng được viết dưới dạng của các

hằng số liên kết hiệu dụng sẽ được đề cập đến.

Sự tồn tại của RG liên quan đến tính ngẫu nhiên của việc chọn các

điểm quy chiếu cho các khai triển Taylor dẫn đến các định nghĩa khác

nhau của các tham số vật lý của thuyết. Các chọn lựa này có thể được

xem là các điều kiện tái chuẩn hóa khác nhau lên các biên độ 1PI xác

định. Các tham số vật lý theo đó có thể được xem là sự phụ thuộc vào

các chọn lựa của các điều kiện tái chuẩn hóa. Hai ví dụ đặc trưng của

các điều kiện tái chuẩn hóa khối lượng phụ thuộc (hay quy trình xung

Tái chuẩn hóa trung gian

lượng trừ) của thuyết λφ4 sẽ minh họa cho mục này.

Việc này tương ứng với khai triển Taylor tại điểm xung lượng ngoài

bằng không. Biểu thức cho năng lượng riêng được viết như sau

(A.53) Σ(p2) = Σ(0) + Σ(cid:48)(0)p2 + (cid:101)Σ(p2).

Phần hữu hạn (cid:101)Σ(p2) có các tính chất

(A.54) (cid:101)Σ(0) = 0,

(A.55) |p2=0 = 0. ∂ (cid:101)Σ(p2) ∂p2

P.17

Hàm truyền đầy đủ ∆R(p2) có mối liên hệ với năng lượng riêng (cid:101)Σ(p2) như sau

, (A.56) ı∆R(p2) = ı p2 − µ2 − (cid:101)Σ(p2)

R (p2) được cho bởi

với hàm hai điểm 1PI Γ(2)

R (p2) = ı∆R(p2) (cid:2)ı∆R(p2)[(cid:3)−2 = −ı (cid:2)ı∆R(p2)(cid:3)−1

ıΓ(2)

(cid:104) = −ı . (A.57) (cid:105) p2 − µ2 − (cid:101)Σ(p2)

R (p2) như sau

Các điều kiện tái chuẩn hóa đặt lên (cid:101)Σ(p2) (các phương trình (A.54) và (A.55)) có thể được viết dưới dạng của Γ(2)

(A.58)

(A.59) |p2=0 = −1. Γ(2) R (0) = µ2, ∂Γ(2) R (p2) ∂p2

Đối với hàm bốn điểm, phần hữu hạn của đóng góp bậc cao được định

nghĩa như sau

(A.60) ¯Γ(4) R (p1, p2, p3) = ¯Γ(4)(p1, p2, p3) − ¯Γ(4)(0, 0, 0).

Theo đó

(A.61) ¯Γ(4) R (p1, p2, p3) = 0 tại p1 = p2 = p3 = 0.

Nếu kể đến đóng góp mức cây

R (p1, p2, p3) = −ıλ + ¯Γ(4) Γ(4)

R (p1, p2, p3),

(A.62)

thì điều kiện tái chuẩn hóa đặt lên hàm bốn điểm tổng cộng như dẫn

đến

(A.63) Γ(4) R (p1, p2, p3) = −ıλ tại p1 = p2 = p3 = 0.

Lưu ý rằng µ2 trong quy trình trừ này không phải là khối lượng vật lý và

theo đó λ không phải là hằng số liên kết vật lý vì các điểm pi = 0 không

P.18

nằm trong vùng cho phép vật lý. Tuy nhiên, các đại lượng đo được vật

Tái chuẩn hóa on-shell

lý có thể được viết theo dạng của hàm tham số này.

quanh điểm mass shell, nghĩa là, p2 Điều này tương ứng với khai triển Taylor cho xung lượng xung i = µ2. Đối với năng lượng riêng, khai

triển này như sau

(A.64) Σ(p2) = Σ(µ2) + (cid:0)p2 − µ2(cid:1) Σ(cid:48)(µ2) + (cid:101)Σ(p2).

Như thế

(A.65) (cid:101)Σ(µ2) = 0,

(A.66) |p2=µ2 = 0. ∂ (cid:101)Σ(p2) ∂p2

R (p2) được cho bởi phương trình (A.57) như

Hay viết theo dạng của Γ(2)

(A.67)

(A.68) |p2=µ2 = −1. Γ(2) R (µ2) = 0, ∂Γ(2) R (p2) ∂p2

Đối với hàm bốn điểm, lựa chọn thuậ lợi nhất cho điểm quy chiếu của

khai triển Taylor là điểm xung lượng đối xứng

i = µ2; s = t = u =

(A.69) , Γ(4) R (p1, p2, p3) = −ıλ tại p2 4µ2 3

trong đó s, t và u là các biến Mandelstam. Trong trường hợp này, các

tham số µ2 và λ tương ứng là khối lượng vật lý và, theo một vài thừa số

. động học, cross-section vi phân vật lý tại s = t = u = 4µ2 3

Hai ví dụ trên đây là các mối liên hệ đặc biệt của quy trình tái

chuẩn hóa tổng quát, trong đó các điều kiện tái chuẩn hóa trong trong

R có thể là hàm của một số “xung lượng quy chiếu” cố định, ξ1, ξ2, ...

P.19

chẳng hạn

1) = µ2

(A.70)

= −1. (A.71) |p2=ξ2

Nhóm tái chuẩn hóa

(A.72) Γ(2) R (ξ2 ∂Γ(2) R (p2) ∂p2 Γ(4) R (ξ3, ξ4, ξ5) = −iλ.

Khảo sát hai quy trình (thủ tục) tái chuẩn hóa R và R(cid:48). Và cả hai

đều bắt đầu từ cùng một Lagrangian trần

L = LR(các đại lượng R)

(A.73) = LR(cid:48)(các đại lượng R(cid:48)),

được viết dưới dạng của các trường không chuẩn hóa (xem phương trình

2.23), theo đó

(A.74) φR = Z −1/2 (R)φ0; φR(cid:48) = Z −1/2 (R(cid:48))φ0.

Như vậy

(A.75) φR(cid:48) = Z −1/2 (R(cid:48), R)φR,

với

. (A.76) Zφ(R(cid:48), R) = Zφ(R(cid:48)) Zφ(R)

Điều này có nghĩa là các trường tái chuẩn hóa trong các quy trình trừ

khác nhau có mối liên hệ thông qua hằng số multiplicative. Và cả hai

hàm φR và φR(cid:48) đều hữu hạn nên Zφ(R(cid:48), R) phải hữu hạn ngay cả khi nó

là tỉ số của hai đại lượng phân kỳ. Các mối liên hệ giữa các hằng số liên

kết, khối lượng và hàm Green có thể được viết dưới dạng tương tự như

φ(R(cid:48), R)λR,

λ (R(cid:48), R)Z 2

(A.77) λR(cid:48) = Z −1

P.20

R(cid:48) = µ2 µ2

R + δµ2(R(cid:48), R),

(A.78)

trong đó

(A.79) Zλ(R(cid:48), R) = Zλ(R(cid:48)) Zλ(R)

δµ2(R(cid:48), R) = δµ2(R(cid:48)) − δµ2(R). (A.80)

đều hữu hạn.

Quá trình chuyển các đại lượng trong quy trình tái chuẩn hóa R

sang các đại lượng của quy trình tái chuẩn hóa R(cid:48) có thể được xem là

phép biến đổi từ R sang R(cid:48). Tập hợp các phép biến đổi này được gọi

là nhóm tái chuẩn hóa và được biểu diễn dưới dạng giải tích thông qua

Phương trình Callan-Symanzik

phương trình Callan-Symanzik.

Đạo hàm của hàm Green không tái chuẩn hóa theo khối lượng

tương đương với sự thêm vào toán tử đa hợp Ω0 = φ2 0 mang xung lượng 1 2

bằng không

φ2 (0; pi),

= −ıΓ(n) (A.81) ∂Γ(n)(pi) ∂µ2 0

0 thông qua hàm truyền trần

và Γ(n)(pi) chỉ phụ thuộc vào µ2

0 + ıε

, (A.82) ı∆0(p) = ı p2 − µ2

trong đó

0 + ıε

(cid:18) (cid:19) = (−ı) . (A.83) ı p2 − µ2 ı p2 − µ2 ı p2 − µ2 ∂ ∂µ2 0

Dưới dạng của các hàm Green tái chuẩn hóa (1PI), ta có thể viết

(A.84)

φ Γ(n)(pi; λ0, µ0), φ Γ(n) φ2 Z n/2

R (pi; λ, µ) = Z n/2 Γ(n) Γ(n) φ2R(p, pi; λ, µ) = Z −1

φ2 (p, pi; λ0, µ0).

(A.85)

P.21

Sau khi thế phương trình (A.84) và (A.85) vào phương trình (A.81) và

sử dụng mối liên hệ

(cid:21) (A.86) Γ(n) R (pi; λ, µ) = Γ(n) R (pi; λ, µ), ∂ ∂µ2 + ∂ ∂λ ∂ ∂µ2 0 (cid:20)∂µ2 ∂µ2 0 ∂λ ∂µ2 0

phương trình Callan-Symanzik trong lý thuyết λφ4 có dạng

R (pi; λ, µ) = −ıµ2αΓ(n) Γ(n)

φ2R(0, pi; λ, µ),

(cid:20) (cid:21) + β − nγ (A.87) µ ∂ ∂µ ∂ ∂λ

trong đó α, β và γ là các hàm không thứ nguyên

, (A.88)

, (A.89) β = 2µ2 ∂λ/∂µ2 0 ∂µ2/∂µ2 0 γ = µ2 ∂ ln Zφ/∂µ2 ∂µ2/∂µ2 0

. (A.90) α = ∂Zφ2/∂µ2 0 ∂µ2/∂µ2 0

Trong các tính toán cụ thể cho các hàm α, β và γ, việc sử dụng sự phụ

thuộc thang cắt (Λ) của các hằng số Zλ, Zφ rất thuận lợi.

Trong lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa với các đại lượng không

tái chuẩn hóa λ0 và µ0, các tham số tái chuẩn hóa µ và λ được định

nghĩa trong các phương trình (A.50) và (A.49),

0 + δµ2,

(A.91) µ2 = µ2

và

(A.92) λ = ¯Zλ0,

với

λ Z 2 φ,

(A.93) ¯Z = Z −1

là các hàm của λ0 µ0 và Λ. Xét trên phương diện thứ nguyên, λ và Zis

chỉ có thể phụ thuộc vào các đại lượng không thứ nguyên như λ0 và

Λ/µ0. Nếu µ0 được thay bằng µ = µ(λ0, µ0, Λ), thì λ = λ(λ0, Λ/µ) và

P.22

Zi = Zi(λ0, Λ/µ). Sử dụng quy tắc dây chuyền (chain) của đạo hàm

(A.94) λ(λ0, Λ/µ)|Λ,λ = ∂ ∂µ2 λ(λ0, Λ/µ)|Λ,λ, ∂ ∂µ2 0 ∂µ2 ∂µ2 0

dẫn đến

β = −λ (A.95) (cid:2)ln ¯Z(λ0, Λ/µ)(cid:3) , ∂ ∂ ln Λ

và

(A.96) γ = − [ln Zφ(λ0, Λ/µ)] . 1 2 ∂ ∂ ln Λ

Như vậy, khi số hạng ln Λ trong các biểu thức Zis được thiết lập, hàm

R và Γ(n)

φ2R đều không phụ thuộc thang cắt vào mọi bậc của λ nên các hàm α, β và γ đều không phụ thuộc thang cắt. Vì các

β và γ của phương trình Callan-Symanzik sẽ được xác định. Vì các đại lượng tái chuẩn hóa Γ(n)

hàm α, β và γ đều không thứ nguyên nên sự không phụ thuộc vào thang

cắt chứng tỏ rằng chúng chỉ là các hàm của hằng sồ liên kết không thứ

nguyên, nghĩa là, α = α(λ), β = β(λ) và γ = γ(λ).

Phương trình Callan-Symanzik tổng quát cho các hàm Green chứa

một số toán tử đa hợp (composite) A, B, C... như sau

(cid:20) (cid:111) (cid:21) (cid:110) (cid:110) (cid:111) = −ıµ2α + β , (A.97) µ − nγ + γAB... Γ(n) AB... Γ(n) φ2AB... ∂ ∂µ ∂ ∂λ

trong đó

A Z −1

(cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111) = Z −1 , (A.98) G(n)

AB... (cid:111)

0 ,

AB... Γ(n) AB...

G(n) (cid:110) (cid:111) = Z −1 (A.99) Γ(n) AB...

B · · · Z −n/2 (cid:110) B · · · Z n/2 A Z −1 ∂ 1 ∂ ln Λ 2

(A.100) γAB... = − ln [ZAZB...] .

P.23

Hiệu chỉnh đỉnh

Phụ lục 3: Hàm β Callan-Symanzik một vòng cho hằng số liên kết hi

Khảo sát sự hiệu chỉnh đỉnh với giản đồ Feynman tương ứng được

Hình 28: Đóng góp của hiệu chỉnh đỉnh vào hàm β một vòng của hằng số liên kết hi.

cho bởi hình 28

(cid:18) i (A.101) Γ1 = −ihjihiihj (cid:90) d4k (2π)4 (cid:19)2 i k2 . /p − /k

Sử dụng tham số Feynman a2 = −α(1−α)p2 và đặt biến mới k → k +αp

thì hệ số đỉnh trở thành

(cid:90) (A.102) Γ1 = ihjhihj (cid:90) d4k (2π)4 dα (k2 − a2)2 .

Thành phần phân kỳ có dạng

(cid:18) ln . (A.103) (cid:90) d4k (2π)4 1 (k2 − a2)2 = 1 16π2 (cid:19) Λ2 a2 + ...

Theo đó,

(cid:18) ln , (A.104) Γ1 = ihjhihj 16π2 (cid:19) Λ2 a2 + ...

và hằng số tái chuẩn hóa đỉnh như sau

(cid:0)ln Λ2 + ...(cid:1) . (A.105) Zhi = 1 + h2 j 16π2

P.24

Hàm β cho hằng số liên kết hi được xác định dưới dạng

(A.106) βhi = −hi ZφZ 2 ψ, ¯Zhi, ¯Zhi = Z −1 hi ∂ ∂(ln Λ)

trong đó Zφ và Zψ lần lượt là các hằng số tái chuẩn hóa hàm sóng của

các trường vô hướng và fermion. Đóng góp vào hàm β của Zhi như sau

Đóng góp của năng lượng riêng fermion

(A.107) β1 = hjhihj 16π2 × 2.

Khảo sát đóng góp của năng lượng riêng fermion với giản đồ Feyn-

Hình 29: Đóng góp năng lượng riêng của fermion vào hàm βgM một vòng của hằng số liên kết gM .

man tương ứng được cho bởi hình 29

(A.108) Σψ(p) = (−ihj)2 (cid:90) d4k (2π)4 i k2 i (cid:0) /p − /k(cid:1) (p − k)2 .

Ta có

(A.109) 1 k2 1 (p − k)2 =

(cid:90) dα Λ2 , Λ = (k − αp)2 − a2, (A.110)

a2 = −α(1 − α)p2. (A.111)

P.25

Đặt biến mới k → k + αp, tử số của phương trình (A.108) trở thành

(1 − α)/p − /k và phương trình (A.108) có dạng

(cid:90) 1 (A.112) dα Σψ(p) = h2 j (cid:90) d4k (2π)4

(cid:90) 1 ln . (A.113) dα(1 − α)/p = h2 j (1 − α)/p − /k (k2 − a2)2 (cid:19) (cid:18) Λ2 i a2 + ... 16π2

Theo đó, hằng số tái chuẩn hóa hàm sóng fermion như sau

(A.114) Zψ = 1 − h2 j 32π2 ln Λ2 + ...,

và đóng góp của Zψ vào hàm β dưới dạng

Đóng góp của năng lượng riêng vô hướng

(A.115) Zψ = β2 = −hi ∂ ∂(ln Λ) hih2 j 32π2 .

Khảo sát đóng góp của năng lượng riêng vô hướng với giản đồ

Hình 30: Đóng góp năng lượng riêng vô hướng vào hàm βgM một vòng của hằng số liên kết gM .

Feynman tương ứng được cho bởi hình 30

Ta có

(cid:19) (cid:90) d4k (A.116) Σφ(p) = (−ihj)2(−) 1 /p − /k

(A.117) = −h2 j (cid:18) 1 (2π)4 Tr /k Tr (cid:2)/k(/p − /k)(cid:3) k2(p − k)2 (cid:90) d4k (2π)4

P.26

(A.118) = −h2 j (cid:90) d4k (2π)4 4(p · k − k2) k2(p − k)2 .

Với

(A.119) 1 k2 1 (p − k)2 =

(cid:90) dα Λ2 , a2 = −α(1 − α)p2, (A.120)

và đặt biến mới k → k + αp, đóng góp của năng lượng riêng vô hướng

như sau

(cid:90) 1 (A.121) dα Σφ(p) = −h2 j d4k (2π)4

0 4a2i (4π)2 Γ

4(k2 + a2) (k2 − a2)2 (cid:19) (cid:18) (cid:90) 1 dα 2 − . (A.122) = h2 j 4 2

4−d khi d → 4 nên (cid:18)

Vì Γ (cid:0)2 − 4 (cid:1) → 2

(cid:19) 2 − → (A.123) Σφ(p) = ip2h2 j 16π2 2 4 2 ip2h2 j 16π2 2 ln Λ2 µ2 .

Theo đó, hằng số tái chuẩn hóa hàm sóng vô hướng có dạng

(A.124) Zφ = 1 + h2 j 16π2 2 ln Λ2 µ2 ,

và đóng góp của Zφ vào hàm β như sau

(A.125) β3 = hih2 j 8π2 .

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Một số tính chất của Neutrino thuận thang điện yếu

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN NHƯ LÊ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NEUTRINO THUẬN THANG ĐIỆN YẾU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 62 44 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS. Phạm Quang Hưng, Đại học Virginia, Hoa Kỳ 2. TS. Võ Tình, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm,

Đại học Huế

HUẾ - NĂM 2016

MỤC LỤC

Danh sách hình vẽ

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi