TOÁN CAO CẤP 3
BÙI THANH DUY
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Trường Đại học Kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh
PHẠM MINH TRÍ
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Vĩnh Long
Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 17 tháng 10 năm 2025
Mục lục
1 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1
1.1 MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 BÀITẬP ........................................... 5
1.3 ĐƯỜNG CONG THAM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 MẶT CONG THAM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 BÀITẬP ........................................... 8
1.6 TỌA ĐỘ CỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 TỌA ĐỘ TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 TỌA ĐỘ CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 TÍCH PHÂN BỘI HAI 16
2.1 BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 TÍCH PHÂN BỘI HAI TRÊN MIỀN HÌNH CHỮ NHẬT . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 TÍCH PHÂN BỘI HAI TRÊN MIỀN BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI HAI THEO MIỀN D.................. 20
2.6 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI HAI BẰNG TỌA ĐỘ CỰC . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI HAI BẰNG ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT . . . . . . . 31
2.10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI. . . . . . . . . . . . 33
3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 36
3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 TRƯỜNG VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.10 ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11 BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 TÍCH PHÂN BỘI BA 57
4.1 BÀI TOÁN TÍNH KHỐI LƯỢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MIỀN HÌNH HỘP CHỮ NHẬT . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MIỀN BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA THEO MIỀN E................... 60
4.6 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 BÀI TẬP ĐỔI BIẾN SANG TỌA ĐỘ TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.10 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TỌA ĐỘ CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 TÍCH PHÂN MẶT 79
5.1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 BÀI TẬP TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8 ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.9 TÍNH LƯU LƯỢNG CỦA DÒNG CHẢY QUA MỘT MẶT CONG ĐỊNH HƯỚNG 85
5.10 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.11 BÀI TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.12 BÀI TẬP VỀ ĐỊNH LÝ DIVERGENCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.13 BÀI TẬP VỀ ĐỊNH LÝ STOKES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chương 1
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1.1 MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT BẬC HAI
Vết.
Vết của một mặt cong S:f(x,y,z) = 0là phần giao của Slần lượt với các mặt x=k,y=k,
z=k.
Bằng cách tìm vết của một mặt cong Skhi kthay đổi ta có thể phác họa hình ảnh của nó trong
không gian.
Ví dụ. Xét mặt sau đây z=y2−x2. Bằng cách xác định vết của nó, ta có thể phác họa được mặt
này như hình bên dưới.
Vết của mặt là các đường hyperbolic và parabol nên mặt này còn có tên hyperbolic paraboloid.
Mặt trụ.
Là tập hợp tất cả những đường thẳng song song với một đường cố định (gọi là đường sinh)
và tựa trên một đường cong phẳng.
Ví dụ. Xét mặt trụ z=x2. Phương trình z=x2không có biến ynghĩa là ytự do hay y=k. Vết
trên Oxz là (giao giữa mặt z=x2và y=0) một parabol khi kthay đổi parabol quét theo phương
1