Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl
- Trang | 1 -
Chương 1: Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Với chương này các bạn có thể dung máy tính cầm tay để giải nhanh
Câu 6. Tính các giới hạn sau
4
4.3
3
1
4
3
.4
4.3
3
1
4
3
.4
4
4
3
3
4
34.4
3
3
4
34.4
32
34
). limlimlimlimlim 12
1
n
n
n
x
n
n
n
n
n
x
n
n
nn
x
n
n
nn
x
nn
nn
x
a
Từ đây ta rút ra một số kết luận:
1. Khi gặp dạng vô đinh
Ta tiến hành chia tử và mẫu cho bậc cao nhất ở mẫu Rồi sử dụng giới
hạn cơ bản
0,0
1
lim
k
xk
x
2. Ta có thể sử dụng các kết luận sau để giải nhanh dạng vô định
như sau:
Bậc tử = bậc mẫu : Kết quả =
Bậc tử < bậc mẫu : Kết quả = 0
Bậc tử >bậc mẫu : Kết quả =
1
1
2
12
).
324
lim n
nn
n
n
b
x
111). 333
lim
nnnc
x
Kiến thức về lượng lien hợp (hiệp):
BA
BA
BA
,
Ta có:
1
1
1
1
1
2
11
2
11
33
33
3333 limlimlim
nn
nn
nnnn
xxx
0
2
1
11
2
1
1
12
1
). limlimlim
2
2
2
2
2
2
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
nn
n
d
Có thể giải chi tiết bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass)
0
2
sin1
). 2
2
lim
n
nn
e
x
ĐHNLGTTCCAtrangaVìDofn
x
n
x
n
x
120112012). limlimlim
11). lim
n
x
ng
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl
- Trang | 2 -
Với mọi giá trị:
1n
ta có:
nnn nnn 21
1
lim
n
x
nMà
trang 20 GT Toán CC A1 ĐHNL
Mặc khác ta có:
1;121.22 limlimlimlimlim n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
nVàDonnMà
Vậy ta có
11
lim
n
x
nMà
2
1
12)12
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
). lim
nn
h
x
12
1
12
1
...
5
1
3
1
3
1
1
12)12
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
2
1
lim
lim nnnn
x
x
2
1
12
1
1
2
1
lim
n
x
01). 33
lim
nni
x
Kiến thức về lượng liên hợp (hiệp):
22
33
BABA
BA
BA
, Ta có:
0
11
1
1
32
3
332
33
33limlim
nnnn
nn
nn
xx
1
1
...
2
1
1
1
). 222
lim
nnnn
j
x
nnnn
x222
1
...
2
1
1
1
lim
Với
1n
, Ta có:
nnnn
222
1
...
2
1
1
1
Cho nên:
1
11
22
n
n
nn
n
Mà
1
1
...
2
1
1
1
1
1
11
22222 limlimlim
nnnn
nên
nnn xxx
Để hiểu rõ hơn ta xét cụ thể:
1
11
22
nnn
2
11
22
nnn
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl
- Trang | 3 -
1
11
22
nnn
1
11
22
n
n
nn
n
Câu 8. Tính các giới hạn sau
0
!
3
). lim
n
a
n
x
Do:
!n
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
n
3
khi
n
0
3
).
3
lim
n
x
n
b
Do:
n
3
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
3
n
khi
n
0
!
2
). lim
n
c
n
x
Do:
!n
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
n
2
khi
n
Từ đây ta rút ra một số kết luận:
Với dạng Vô định
ta nên ghi nhớ danh sách ưu tiên (Sau ưu tiên hớn trước)
1:)1
0,ln:)2
n
0,:)3
n
1,:)4 bbn
!:)5 n
Giới hạn:
0
lim
n
n
xB
A
khi và chi khi thỏa mãn:
TiênUuSáchDanhTrongAduoinamB
TiênUuSáchDanhBA
nn
nn
_______
___,
Câu 11. Tính các giới hạn sau
1
3
3
32.22
12
32
1
). 2
2
2
2
2
lim
xx
x
a
x
Lưu ý: Nếu không có dạng vô định nào thì ta có thể thế giá trị vào trực tiếp
3
1
1
1
21
2
2
2
). 2
2
22
2
2
24
2
2limlimlim
xxx
x
xx
x
b
xxx
Do có dạng vô đinh
nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng
ta mới thế giá trị vào
4626422
2
8
26
).
3
2
3
2
2
3
3
2limlim xxxxx
x
x
x
c
xx
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl
- Trang | 4 -
144
1
462642
1
3
2
3
2
2
lim
xxxx
x
Câu 12. Tính các giới hạn sau
ba
x
bxax
a
x
,
tan
sinsin
). lim
0
x
bxaxbxax
x
bxax
xx tan
2
sin.
2
cos.2
tan
sinsin limlim 00
Do
2
~
2
sinvàx~tan limlim 00
bxaxbxax
x
xx
Trở thành
x
bxax
bax
x
bxaxbxax
x
bxaxbxax
xxx
2
cos
2
cos.
2
.2
tan
2
sin.
2
cos.2
limlimlim 000
1
2
cos
2
cos. limlim 00
bxax
Vìba
bxax
ba
xx
2
1
2
cos1tansintan
). 3
2
0
3
0
3
0limlimlim
x
x
x
x
xx
x
xx
b
xxx
Do
2
~cos1vàx~tan
2
x
xx
2
tan1). lim
1
x
xc
x
Đặt
1 xt
Khi
1x
thì
0t
Khi đó
trở thành
t
t
ttttttt
tttt
2
sin
2
cos
2
cot
2
cot1
2
tan limlimlimlim 0000
Do
0Khi
2
~
2
sin
ttt
2
2
0cos
2
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
cos
limlimlim 000
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
Vậy
2
2
tan1
lim
1
x
x
x
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
Truy cập : sites.google.com/site/dethidhnl
- Trang | 5 -
2
0
2
0
3cos.3coscos
2
1
1
3cos.2cos.cos1
). limlim x
xxx
x
xxx
d
xx
2
0
2
0
6cos1
4
1
4cos1
4
1
2cos1
4
1
6cos1
4
1
4cos
4
1
2cos
4
1
1limlim x
xxx
x
xxx
xx
7
7
9
2
2
1
Câu 13. Tính các giới hạn sau
32
2
1
). lim
x
xx
x
a
6
2
96
1
2
1
32
32 limlim
2
1
lim eee
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
ú Để t nh giới hạn dạng
x
ax xf
lim
(thư ng l dạng
1
trong đó
0,1 xkhixxf
ta có thể biến đổi biểu thức
x
ax xf
lim
như sau:
1lim
1
1
1
11limlim
xfx
xfx
xf
ax
x
ax
ax
exfxf
đ
1lim
xfx
ax
được t nh bằng các
hương há đ học Nếu
Axfx
ax
1lim
th
A
x
ax exf
lim
m tr m ta a
A
xfx
x
ax eexf ax
1lim
lim
x
xx
xx
b
1
1
). 2
2
lim
Áp dụng công thức như trên ta có:
ee
x
e
x
xx x
x
x
xx
x
x
x
x

1
1
1
1
2
22
2
2
2lim
lim
1
1
lim
2
/1
0
2cos). lim x
x
xc
Áp dụng công thức như trên ta có: