Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:
)
)
)
=++ + +
( + ac )
=
+ cb 2 + + ac 2 ) + cba ( ++ cba 2 + ba 2 ( = + ba
abc
2
2
( + cb ( cba , , , )
2 cba
ab ( = ab
bc )( bc
ca )( ca
+
+
‡ 0 Phép nhân:
++ cba
‡
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
bc a
ca b
ab c
Hướng dẫn giải:
+ + = + + + + + 1 2 1 2 1 2 Ta có: bc ca a b ab c bc a ca b ca b ab c ab c bc a
abc
1=
.
+
+
+
+
+ + ++= ‡ . . . cba bc a ca b ca b ab c ab c bc a
Chứng minh rằng
b
a
c
3+
‡
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn + ac b
+ ba c
+ cb a
Hướng dẫn giải:
2
2
2
+
+
+
+
=
+
+
bc a
ca b
ab c
+ cb a
+ ac b
+ ba c
ca b
ab c
bc a
+
+
+
+
=
+
ca b
ab c
ab c
bc a
ca b
bc a
‡ 2
+
+
2
2
ca b
ab c
2 )
‡
(
(
)
)
(
=
+
+
ab c +
bc a +
+
ca b +
bc a +
=
c
a
b
c
a
c
b
b
a
2
+
+
=
+
+
+
+
b
c
cba
a
b
c
3 3
3
+
+
+
+
‡
Vậy
a
b
c
3+
a + ba c
+ cb a
+ ac b
=
=
=
=
‡
ABC
AB
,
, BCc
, CAa
, pb
. Chứng minh rằng
D
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho
++ cba 2
)(
)
)(
cpbpap
abc
a) (
1£ 8
- - -
b)
+ + ‡ - - - 2 1 ap 1 bp 1 cp 1 a 1 ++ b 1 c
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a) Ta có:
)(
)(
)
)
)
(
)
= - - - - - - - - - cpbpap
(
)
(
)
)( bpap ( +
)( cpbp ) +
+ - - - - - - ap ap bp bp cp cp £
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 )( ( ( apcp ) ( ( ) .
( ) ( .
)
2 )
)
- - - 2 2 2 p p p = £ . . abc 2 ( + ba 2
( + cb 2
( + ac 2
b) Ta có:
2 1 8
+ + + + = + - - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 1 ap 1 bp 1 cp 1 ap 1 bp 1 bp 1 cp 1 ap 1 cp + +
+ + ‡
)
(
)
(
)
(
- - - - - - 1 )( apcp 1 )( bpap 1 )( cpbp
+ + ‡
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
(
(
1 + 1 + 1 + - - - - - - bp bp cp cp ap ap
2 2
‡ 2 2 1 ++ b 1 c 1 a
DẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
=
=
=
ABC
,
AB
BCc ,
b .
+
+
Chứng minh rằng
3‡
(1)
D
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho a -+ acb
b -+ bac
CAa , c -+ cba
Hướng dẫn giải:
+
y
z
=
a
0
2 +
z
x
=
Đặt:
0 0
>= x >= y >= z
-+ acb -+ bac -+ cba
2 +
x
y
=
b c
2
+
+
+
z
x
y
+
+
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành
y 2
z 2
2
x
x y
z
Ta có:
(cid:219)
+ + + z x x y + + = + + + y 2 x z 2 y 2 z 1 2 y x 1 2 + z x x z 1 2 z y x y y z +
+ + = ‡ . . . 3 y x x y 2 2 z x x z 2 2 2 2 z y y z
2
+ + Hay 3‡ (đpcm) a -+ acb = = D c -+ cba = AB , BCc , b . b -+ bac Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ABC 2 CAa , 2 + + ‡ Chứng minh rằng ++ cba (1) a -+ acb b -+ bac c -+ cba
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
z
y
=
a
0
2 +
z
x
=
Đặt:
>= x >= y >= z
0 0
-+ acb -+ bac -+ cba
2 +
y
x
=
2
2
2
(cid:219)
(
(
)
(
)
+
+
+
y
x
z
+
+
x
++ y
z
b c Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ) 2 z x
y z
x y
4
4
4
2
2
+
+
Ta có: ) ( 2 +
(
)
(
)
y
z
x
+
+
‡
z x
4
4
x y
y z
4
yz + x
zx + y
xy = z
1 2
yz + x
zx y
1 2
zx + y
xy z
1 2
xy + z
yz x
+
+
‡
= + + x z
y
yz zx + . y x
zx xy + . z y
xy yz . x z
2
2
2
+
+
‡
Hay
++ cba
(đpcm)
a -+ acb
b -+ bac
c -+ cba
=
=
=
=
‡
ABC
,
AB
BCc ,
CAa ,
pb ,
.
D
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho
1
1
1
+
+
(1)
2
2
2
‡
)(
)(
(
Chứng minh rằng (
- - -
(
)
(
)
++ cba 2 p )cpbpap
ap
bp
cp
- - -
) Hướng dẫn giải:
=
>
Ta có:
ap
0
-+ acb 2
- > p b
0;
- > p c
0
Tương tự:
-
0
ap
-
Đặt:
++=⇒ x
p
y
z
-
bp cp
>= x >= y >= z
0 0
-
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau
x z + + ‡ ++ y xyz 1 2 x 1 2 y 1 2 z
+ + = + + + 1 2 1 2 1 2 Ta có 1 2 x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 1 2 y 1 2 y 1 2 z 1 2 z 1 2 x + +
x z + + = = + + ‡ . . 1 xy 1 zx ++ y xyz 1 yz 1 2 y 1 2 y 1 2 z 11 2 2 z x
1
1
+
+
2
2
2
1 2 x 1 ‡ (đpcm)
)(
)(
(
- - -
(
)
(
)
)
p )cpbpap
ap
bp
cp
- - -
x
x
x
Hay (
x (ĐH khôi A-2005)
+ x + x + + ‡ 3 4 5
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi x ˛ ℝ thì
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 12 5
a
+ + =
+
+
+ a
15 4 20 3
a b c
0
c
‡
Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả
. Chứng minh 8
b 8
c 8
2
+ b 2
2
Bài 3: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c .
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2 a
2 b
2 c
+
+
+ + a b c ( )
Chứng minh rằng
2
1 5
+
+
+
+
+
+
2 a 3
2 b 3
2 c 8
14
14
ab
bc
a 8
14
ca
+
+
‡
2 b 8 Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab bc ca 1
2 3 c = .
a
b
c
+
+
Chứng minh rằng
2
2
2
3 2
+
+
+
a
b
c
1
1
1
2
2
2
+
+
=
£
Bài 5: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn:
.
a
b
c
3
2
2
2
=
+
+
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
b
bc
a
ac
a
ab
c b
a c
b c
2
2
2
+
+
=
Bài 6: [ĐVH]. Cho ba số x, y, z > 0 thoả
x
y
z
xyz .
=
+
+
.
Tìm GTLN của biểu thức
A
2
2
2
x +
z +
y +
x
yz
y
xz
z
xy
Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c >0, abc = 1.
+
=
+
P
Tìm GTLN của biểu thức
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
a
3
b
3
c
3
1 a 2
1 b 2
1 c 2
Bài 8: [ĐVH]. Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1.
1
+
+
Chứng minh rằng
1 2
2
1 2
+
+
+
+
+
+
+
+
1 ab bc ac
ab
c 2
c 2
cb
a 2
2
ac
b 2
b 2
+
+
‡
‡
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn
2
1 +
1 +
1 +
1
a
1
b
1
c
abc
.
Chứng minh rằng
1 8
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
£
