Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là ứng dụng những kết quả ở (1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Code: 9460102 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Phản biện 1:.................................................................... Phản biện 2:.................................................................... Phản biện 3:.................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Vào hồi ..... giờ ..... ngày ..... tháng ..... năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên - Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên
1 Mở đầu Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các ngành khoa học, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại? Tồn tại như thế nào? Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với sự tồn tại hay không tồn tại nghiệm của phương trình, bài toán được phát biểu như sau: Tìm x ∈ D sao cho F (x) = 0, (1) trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử. Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D, (2) với D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian các số thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu. Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây dựng những lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f 0 , bài toán (2) tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x = PD (x − f 0 (x)), với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x − f 0 (x)) − x. Tức là, bài toán (1) tương đương với bài toán (2). Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc tính hàm số f và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không gian Euclid n chiều Rn , bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947, G. B. Danzig, nhà toán học Mỹ đã tìm ra thuật toán đơn hình để giải bài toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian Rn và
2 f là hàm lồi thì (2) được gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, T. Rockaffelar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải tích lồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz địa phương và D là tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau những năm 1970, nhà toán học Mỹ, F. H. Clarke đã xây dựng dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quy hoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toán quy hoạch liên tục. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, D. T. Lục và V. Jeyakumar đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục. Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia đã đưa ra bài toán bất đẳng thức biến phân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian Rn , T : D → Rn . Tìm x ∈ D sao cho hT (x), x − xi ≥ 0, với mọi x ∈ D. (3) Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìm x ∈ D sao cho hT (x), x − xi + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D, (4) trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối ngẫu của X, G : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực. Năm 1994, Blum và Oettli đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D. (5) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng Định lý về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất động Browder. Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ. Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các tác giả N. X. Tan, D. T. Luc, P. N. Tinh, P. H. Sach, P. Q. Khanh, L. J. Lin, T. T. T. Duong, B. T. Hung, N. T. Q. Anh, ... đã phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là những ánh xạ đa trị. Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ, ánh xạ đa trị
3 đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho 0 ∈ F (x), (6) trong đó, X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là một tập con của X. Bài toán (6) được gọi là bài toán cân bằng tổng quát hay còn được gọi là phương trình đa trị. Trong thực tế, nhiều khi miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc bởi một ánh xạ, P : D → 2D . Khi đó, ta cần xét bài toán: Tìm x ∈ D sao cho 1) x ∈ P (x); (7) 2) 0 ∈ F (x). Bài toán (7) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact và F là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact. Trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát qua việc giảm nhẹ tính liên tục của các ánh xạ P, F . Tức là, cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z, các ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y . Ta xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y); (8) 2) 0 ∈ F (x, y). Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu. Ta thấy, nếu đặt D0 = D × K, P 0 = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán (7). Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà ta đã biết như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến phân,... Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được rất nhiều các tác giả nghiên cứu như L. J. Lin và S. Park, M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park, S. Park, Jian Wen Peng và Dao Li Zhu, ... Đặc biệt, các tác giả N. X. Tan và D. T. Luc, N. X. Tan và L. J. Lin, N. X. Tan và T. T. T. Duong, N. X. Tan và B. T. Hung, N. X. Tan và N. T. Q. Anh xét trong trường hợp P là ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu dạng là dạng tổng của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y); 2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y),
4 với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những bài toán dạng Blum - Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng của hai ánh xạ như N. X. Tan và P. N. Tinh, T. Y. Fu, G. Kassay và M. Miholca, G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh, ... Mục tiêu của luận án là: (1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiêm của Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát với hàm mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc đều là hàm và ánh xạ đa trị trong các trường hợp: - hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng; - hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng. (2) Ứng dụng những kết quả ở (1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp. Xuất phát từ mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án, nghiên cứu sinh đã lựa chọn tên luận án là “Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng”. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày thành ba chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, của nón và các ánh xạ đa trị. Đồng thời, trong chương này, ta nhắc lại một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên,... Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mở rộng nối định lý Ky Fan và định lý Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8, ...). Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2. Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh mục công trình nghiên cứu.
5 Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết một vấn đề nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán đưa ra phải được đặt trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải được xác định trong một không gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể tính được nghiệm theo thuật toán. Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán được nêu trong luận án, ta cần nhắc lại những kiến thức cơ bản về các không gian thường dùng và các khái niệm liên quan đến các bài toán ta cần nghiên cứu. Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản vận dụng trong việc chứng minh các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 của luận án. Chương này gồm hai mục: Mục 1.1 trình bày một số kiến thức liên quan đến không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Mục 1.2 trình bày kiến thức cơ bản về nón, các ánh xạ đa trị và nhắc lại một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục.
6 Chương 2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát Như trong mục Mở đầu ta đã chỉ ra rằng hầu hết các bài toán trong lý thuyết tối ưu đều đưa được về bài toán điểm cân bằng tổng quát: Tìm x¯ ∈ D sao cho 0 ∈ F (¯ x), với D là tập con của không gian X và F là ánh xạ đa trị từ D vào không gian Y . Bài toán hai cấp có thể đưa về dạng: Tìm x¯ ∈ D sao cho 1) x¯ ∈ P (¯ x); 2) 0 ∈ F (¯ x), với P : D → 2D . Sự tồn tại nghiệm của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact, F là ánh xạ u.s.c. Trong chương này, ta luôn giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y . Xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) 0 ∈ F (x, y). Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát đã được nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt, các tác giả T. T. T. Duong và N. X. Tan đã nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c và tất cả các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng và trường hợp P là ánh xạ có lát cắt mở, Q là ánh xạ nửa liên tục dưới và F là ánh xạ nửa liên tục trên. Trong chương này, ta xét trường hợp đặc biệt của bài toán tựa cân bằng tổng quát trên khi: i) hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng. ii) hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng;
7 2.1 Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát Trong mục này, ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát. Đây chính là toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu là tổng của hai ánh xạ. Cụ thể, ta xét bài toán này với hàm mục tiêu F = G + H trong các trường hợp: 1) G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X (xem [4] trong Danh mục công trình nghiên cứu). 2) G : D × K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z. Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G + H với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X. Bổ đề 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) φ : K × D × D → R là hàm liên tục; với mọi (y, x) ∈ K × D, φ(y, x, .) : D → R là hàm tựa lồi và φ(y, x, x) = 0. Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) φ(y, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y). Ta có định lý. Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; và Q : D×K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; iv) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = 6 G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
8 2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y). Hệ quả 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = 6 (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) x ∈ G(x, y) + H(x, y). Hệ quả 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng; vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) + H(x, y) và ∅ = 6 (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) + H(x, y) = ∅. Hệ quả 2.1.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập con khác rỗng, lồi, compact; ii) G0 : D → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; iii) H0 : D → 2X là các ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) (G0 (x) − x) + (H0 (x) ∩ TD (x)) ⊂ TD (x), với mọi x ∈ D. Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G0 (x) + H0 (x).
9 Cho đến nay, đã có rất nhiều nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Nhưng trong các kết quả đã công bố, có rất ít kết quả liên quan đến tính nửa liên tục dưới của hàm mục tiêu của bài toán này. Dựa trên Định lý 2.1.1, ta thu được một kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng. Đó chính là trường hợp riêng của bài toán tựa cân bằng Blum - Oettli tổng quát khi H = 0. Ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.1.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) F : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) 0 ∈ F (x, y). Hệ quả 2.1.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng; v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), G(x, y) 6= ∅, G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) x ∈ G(x, y). Hệ quả 2.1.6. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng;
10 v) Với mỗi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) và G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) = ∅. Hệ quả 2.1.7. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) F : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng và với (x, y) ∈ D × K, y ∈ Q(x, y) nào đó, F (x, y) 6= ∅; Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) y ∈ Q(x, y); 2) x ∈ F (x, y). Hệ quả 2.1.8. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact; ii) F : D → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng. Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ F (x). Chú ý 2.1.1. Ta thấy, Hệ quả 2.1.8 chính là sự mở rộng định lý điểm bất động của X. Wu. Trong kết quả này, ánh xạ F đã bỏ được điều kiện lồi, đóng và chỉ cần thỏa mãn là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng. Hệ quả này cũng mở rộng định lý điểm bất động của Fan - Browder. Tiếp theo, ta xét trường hợp bài toán tựa cân bằng tổng quát có hàm mục tiêu dạng F = G+H với G : D×K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D×K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z. Bổ đề 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D và Q : D × K → 2K là các ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng; iv) φ : K × K × D × D → R là hàm u.s.c thỏa mãn với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định, φ(y, ., x, .) : K × D → R là hàm lồi; v) φ(y, y, x, x) = 0, với mọi (y, x) ∈ K × D .
11 Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1. (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2. φ(y, z, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y). Ta có định lý. Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K là các ánh xạ đa trị l.s.c với giá trị khác rỗng và tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng; iii) G : D × K → 2X×Z là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; iv) H : D × K → 2X×Z là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; v) Với mọi (x, y) ∈ B, ∅= 6 G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y)) ⊂ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y). Tương tự các hệ quả của Định lý 2.1.1, ta có các hệ quả của Định lý 2.1.2. 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu là tích Đề các của hai ánh xạ Trong mục này, ta xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu có dạng tích Đề các của hai ánh xạ: F = G × H trong các trường hợp: 1. G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × X. 2. G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2Z là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z (xem [3] trong Danh mục các công trình nghiên cứu). Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G × H với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng Y = X × X. Bổ đề 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
12 ii) P : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) φ : K × K × D × D → R là hàm u.s.c thỏa mãn với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định, φ(y, ., x, .) : K × D → R là hàm lồi; v) φ(y, y, x, x) = 0, với mọi (y, x) ∈ K × D . Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) φ(y, z, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y). Ta có định lý sau: Định lý 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TP (x,y) (y)) 6= ∅. Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) 0 ∈ G(x, y) × H(x, y). Hệ quả 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), (G(x, y) − x) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (y)) 6= ∅.
13 Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho (x, y) ∈ (P (x, y) × Q(x, y)) ∩ (G(x, y) × H(x, y)). Hệ quả 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng; v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / G(x, y) và G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) G(x, y) = ∅. Hệ quả 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, compact; v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈ / H(x, y) và (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (x) 6= ∅. Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) H(x, y) = ∅. Hệ quả 2.2.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng giá trị khác rỗng và H(x, y) − x ⊆ TD (x), với mọi x ∈ D, y ∈ Q(x, y). Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho (x, y) ∈ H(x, y) × Q(x, y). Hệ quả 2.2.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
14 ii) P : D → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) G : D → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng sao cho G(x) ⊂ TP (x) (x), với mọi x ∈ P (x). Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G(x) ∩ P (x). Hệ quả 2.2.6. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) H : D → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng và H(x) ⊂ TP (x) (x), với mọi x ∈ P (x). Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ H(x) ∩ P (x). Tương tự, ta xét bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu có dạng F = G × H với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2Z là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z. Trong trường hợp này, P chỉ cần là ánh xạ l.s.c, còn Q là ánh xạ l.s.c. Định lý 2.2.2. Ta giả sử: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng; iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng và tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng; iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; v) H : D × K → 2Z là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; vi) Với mọi (x, y) ∈ B, G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TQ(x,y) (y)) 6= ∅. Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho: 1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y); 2) 0 ∈ G(x, y) × H(x, y). Các hệ quả của Định lý 2.2.2 hoàn toàn tương tự với các hệ quả của Định lý 2.2.1.
15 Chương 3 Các bài toán liên quan Trong chương này, ta trình bày một số bài toán liên quan tới bài toán tựa cân bằng tổng quát. Đồng thời, ta sẽ thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán liên quan qua việc áp dụng các kết quả có được ở Chương 2. 3.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I 3.1.1 Đặt bài toán Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập khác rỗng. Các ánh xạ đa trị S : D×D → 2D , T : D×K → 2K và F1 : K ×D×D×D → 2Y . Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y). Đây là bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, viết tắt là (GEP)I . Các ánh xạ S, T được gọi là ánh xạ ràng buộc, F1 được gọi là hàm mục tiêu. Ánh xạ S, T có thể là các đẳng thức, bất đẳng thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị. Bài toán (GEP)I là dạng tương đương của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Thật vậy, ta định nghĩa ánh xạ F : D × K → 2X : F (x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), ∀t ∈ S(x, y)} Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) và x ∈ F (x, y) thì 0 ∈ x − F (x, y). Đặt Fe(x, y) = x − F (x, y). Khi đó, dễ thấy nghiệm của bài toán (GEP)I là nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát và ngược lại.
16 3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm Trong kết quả nghiên cứu của mình, các tác giả N. X. Tan và T. T. T. Duong đã sử dụng Định lý điểm bất động S. Park hay Bổ đề KKM để đưa ra sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I. Trong mục này, ta sẽ vận dụng các kết quả mới thu được ở chương 2 để xét một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I. Ta luôn giả thiết X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập khác rỗng. Các ánh xạ S, T và F1 được định nghĩa như ở Mục 3.1.1. Khi đó, áp dụng Hệ quả 2.1.1, ta có định lý sau: Định lý 3.1.1. Bài toán (GEP)I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iii) T : D × K → 2K là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng; v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)} là tập khác rỗng. Trong phần tiếp theo, ta áp dụng Hệ quả 2.1.1 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP)I . Trước hết, ta có bổ đề. Bổ đề 3.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng; iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng; v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)} là tập lồi, khác rỗng. Khi đó, ánh xạ H : D × K → 2D : H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)} là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng trên D × K.
17 Định lý 3.1.2. Bài toán (GEP )I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng; iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng; iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng; v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định, B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)} là tập khác rỗng, lồi. 3.2 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II 3.2.1 Đặt bài toán Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, các ánh xạ đa trị P1 : D → 2D , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2K và F : K × D × D → 2Y . Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho 1) x ∈ P1 (x); 2) 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t). Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và được ký hiệu bởi (GEP)II . Các ánh xạ P1 , P2 , Q được gọi là ánh xạ ràng buộc và F được gọi là hàm mục tiêu. Mở rộng điều kiện ràng buộc của bài toán (GEP)II ở trên với các ánh xạ S, P0 : D × K → 2D , T : D × K → 2K , Q0 : K × D × D → 2K và F2 : K × K × D × D → 2Y . Khi đó, ta có bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y); 2) 0 ∈ F2 (y, v, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y) và v ∈ Q0 (y, x, t). Bài toán này được gọi là bài toán (GEP)II tổng quát. Bài toán (GEP)II tổng quát và bài toán tựa cân bằng tổng quát là hai bài toán tương đương. Thật vậy, ta định nghĩa ánh xạ H : D × K → 2X : H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F2 (y, v, x, t), ∀t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (y, x, t)}. Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) và x ∈ H(x, y) thì 0 ∈ x − H(x, y). Đặt Fe(x, y) = x − H(x, y). Khi đó, ta thấy nghiệm của bài toán (GEP)II tổng quát là nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát và ngược lại.
18 3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II đã được các tác giả T. T. T. Duong, N. X. Tan, N. T. Q. Anh, ... nghiên cứu. Trong mục này ta sẽ đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán, (GEP)II dựa trên các kết quả mới ở Chương 2. Trước hết, áp dụng định lý và các hệ quả về điểm bất động của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới ánh xạ l.s.c yếu vô hướng, ta có định lý: Định lý 3.2.1. Bài toán (GEP)II có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P1 : D → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với mỗi tập các điểm bất động B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x}); iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng và có nghịch ảnh mở và P2 (x) ⊆ P1 (x) với mỗi x ∈ D; iv) Với mỗi t ∈ D cố định, A = {x ∈ D|0 ∈ / F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t) nào đó} là tập mở trong D; v) 0 ∈ F (y, x, x), với mọi (x, y) ∈ D × K. Hệ quả 3.2.1. Bài toán (GEP)II có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact; ii) P1 : D → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng mỗi tập các điểm bất động B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x}); iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng và có nghịch ảnh mở, P2 (x)) ⊆ P1 (x) với mỗi x ∈ D; iv) Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ Q(., t) : D → 2D là l.s.c và F (., ., t) : D × K → 2X là ánh xạ đóng; v) 0 ∈ F (y, x, x), với mọi (x, y) ∈ D × K. Tiếp theo, ta xét điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP)II tổng quát, trước hết ta có bổ đề: Bổ đề 3.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) D là tập khác rỗng, lồi, compact; ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập các điểm bất động B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)};