Bài toán tựa cân bằng tổng quát: Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Phản biện 1: ........................................................

Phản biện 2: ........................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Đại

học họp tại: Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Thái Nguyên

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2015

Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia

Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

Thư viện Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NCS

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Nguyen Thi Quynh Anh (2009), “Quasi optimization problem of type I and quasi optimization problem of type II “, Tạp chí Khoa Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 56 (8), 45-50.

2. Nguyen Buong and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), “An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, Hindawi Publish Coporation, Fixed point thoery applications, volume 2011, article ID 276859.

3. Nguyen Xuan Tan and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), “Generalized quasi-equilibrium problems of type 2 and their applications”, VietNam journal of mathematics, volume 39, 1-25. 4. Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), “On the existence of solutions to mixed Pareto quasivariational inclusion problems”, Advances in Nonlinear variational Inequalities, volume 16, Number 2, 1-22.

5. Nguyen Thi Quynh Anh

(2014), “Modified viscosity approximation methods with weak contraction mapping for an infinite family of nonexpansive mappings”, East - West journal of mathematics, volume 16, No 1, 1-13.

1

M— (cid:30)(cid:134)U

L(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) (cid:31)(cid:247)æc h…nh th(cid:160)nh tł (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng v• c¥n b‹ng kinh t‚, l(cid:254) thuy‚t gi¡ tr(cid:224) cıa Edgeworth n«m 1881 v(cid:160) Pareto n«m 1909. Nh(cid:247)ng tł nhœng n«m 1950 tr(cid:240) l⁄i (cid:31)¥y, sau nhœng c(cid:230)ng tr…nh cıa Kuhn - Tucker n«m 1951, v• gi¡ tr(cid:224) c¥n b‹ng v(cid:160) tŁi (cid:247)u Pareto cıa Debreu n«m 1954, l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) m(cid:238)i th(cid:252)c s(cid:252) (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:160)o (cid:31)(cid:226)n nh(cid:247) mºt ng(cid:160)nh m(cid:238)i cıa to¡n h(cid:229)c hi»n (cid:31)⁄i v(cid:160) c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng trong th(cid:252)c t‚.

Cho D l(cid:160) mºt t“p con kh¡c rØng trong kh(cid:230)ng gian X, f : D → R l(cid:160) mºt h(cid:160)m th(cid:252)c. B(cid:160)i to¡n t…m c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m f tr¶n D c(cid:226) th” coi l(cid:160) b(cid:160)i to¡n tr(cid:229)ng t¥m trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u: T…m ¯x ∈ D sao cho

f (¯x) ≤ f (x) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D. (0.1)

Li¶n quan t(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u ta cÆn th§y b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n do Stampacchia (cid:31)(cid:247)a ra v(cid:160) t…m (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n c(cid:226) nghi»m. B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nguy¶n thıy nh(cid:247) sau: Cho D l(cid:160) t“p con trong kh(cid:230)ng gian Euclid hœu h⁄n chi•u Rn, G : D → Rn l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). T…m ¯x ∈ D sao cho

(0.2) (cid:104)G(x), x − x(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D.

C(cid:242)ng v(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n tr¶n, ta cÆn c(cid:226) b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng: Cho T : D → X l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). T…m ¯x ∈ D sao cho

¯x = T (¯x). (0.4)

N‚u T l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c v(cid:160) ¡nh x⁄ G := I − T , v(cid:238)i I l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:231)ng nh§t tr¶n D, th… b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng (0.4) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (0.2).

N«m 1994, Blum E. v(cid:160) Oettli W. (cid:31)¢ ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m c¥n b‹ng: Cho D l(cid:160) t“p con cıa kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X, ϕ : D × D → R. T…m ¯x ∈ D sao cho

(0.5) ϕ(t, ¯x) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ D.

B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y chøa c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng, b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n, b(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng Nash,... nh(cid:247) nhœng tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t.

N«m 2002, Nguy„n Xu¥n T§n v(cid:160) Guerraggio A. (cid:31)¢ ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a tŁi (cid:247)u tŒng qu¡t hay cÆn g(cid:229)i l(cid:160)

2

b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a tŁi (cid:247)u ph(cid:246) thuºc tham sŁ: Cho X, Z l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z l(cid:160) nhœng t“p con kh¡c rØng. Cho S : D × K → 2D, T : D × K → 2K l(cid:160) nhœng ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224), F : K × D × D → R l(cid:160) h(cid:160)m sŁ. T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

t∈S(x,y)

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), (0.6) F (¯y, ¯x, t). 1) 2) F (¯y, ¯x, ¯x) = min

B(cid:160)i to¡n (0.6) tŒng qu¡t h(cid:236)n b(cid:160)i to¡n (0.5). Khi F kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o y, F (x, x) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D, ta ch¿ vi»c (cid:31)(cid:176)t S(x, y) ≡ D v(cid:160) ϕ(t, x) = F (x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i x, t ∈ D. Tł (0.6), ta c(cid:226) ngay 0 = F (¯x, ¯x) ≤ F (¯x, t)v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ D, tøc l(cid:160) ϕ(t, ¯x) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ D v(cid:160) (0.5) (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n.

B(cid:160)i to¡n (0.1) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp v†ct(cid:236): Cho D l(cid:160) t“p con trong kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng X. Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i n(cid:226)n C. N(cid:226)n C sinh ra quan h» thø t(cid:252) tłng phƒn tr¶n Y : x (cid:23) y khi v(cid:160) ch¿ khi x − y ∈ C. Tł quan h» thø t(cid:252) n(cid:160)y, ng(cid:247)(cid:237)i ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a t“p c¡c (cid:31)i”m hœu hi»u l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, th(cid:252)c s(cid:252), Pareto, y‚u cıa t“p A ⊆ Y,. Ta k‰ hi»u αM in(A/C) l(cid:160) t“p c¡c (cid:31)i”m hœu hi»u α cıa t“p A (cid:31)Łi v(cid:238)i n(cid:226)n C, (α l(cid:160) l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, th(cid:252)c s(cid:252), Pareto, y‚u). B(cid:160)i to¡n: T…m ¯x ∈ D sao cho

F (¯x) ∈ αMin(F (D)/C), (0.7)

trong (cid:31)(cid:226) F : D → Y , (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a tŁi (cid:247)u α v†ct(cid:236). (cid:30)i”m ¯x (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nghi»m v(cid:160) F (¯x) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) tŁi (cid:247)u α cıa (0.7).

N«m 1985, Nguy„n Xu¥n T§n (cid:31)¢ m(cid:240) rºng b(cid:160)i to¡n (0.2) cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp mi•n r(cid:160)ng buºc D lu(cid:230)n thay (cid:31)Œi b(cid:240)i ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S. C(cid:246) th” h(cid:236)n, cho D l(cid:160) t“p con cıa kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X v(cid:238)i (cid:31)Łi ng¤u X ∗, S : D → 2D, P : D → 2X ∗ l(cid:160) nhœng ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:160) ϕ : D → R l(cid:160) h(cid:160)m sŁ. B(cid:160)i to¡n: T…m ¯x ∈ D, ¯x ∈ S(¯x) v(cid:160) ¯y ∈ P (¯x) sao cho

(0.8) (cid:104)y, x − x(cid:105) + ϕ(x) − ϕ(x) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ S(x),

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n (cid:31)a tr(cid:224).

N«m 1998, Nguy„n Xu¥n T§n v(cid:160) Phan Nh“t T(cid:190)nh (cid:31)¢ m(cid:240) rºng b(cid:160)i to¡n (0.3) cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp v†ct(cid:236). N«m 2000, Nguy„n Xu¥n T§n v(cid:160) Nguy„n B¡ Minh m(cid:240) rºng ti‚p cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:160) chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa Blum-Oettli cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y.

3

N«m 2007, Lin J. L. v(cid:160) Nguy„n Xu¥n T§n ph¡t bi”u c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n lo⁄i 1 (v(cid:238)i nghi»m l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, Pareto, th(cid:252)c s(cid:252) v(cid:160) y‚u). N«m 2004, (cid:30)inh Th‚ L(cid:246)c v(cid:160) Nguy„n Xu¥n T§n (cid:31)(cid:247)a ra c¡c lo⁄i b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n lo⁄i 2. N«m 2012, B(cid:242)i Th‚ H(cid:242)ng v(cid:160) Nguy„n Xu¥n T§n ch¿ ra s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto lo⁄i 1 v(cid:160) lo⁄i 2. C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y suy ra nhi•u k‚t qu£ tŁt h(cid:236)n cho c¡c b(cid:160)i to¡n kh¡c c(cid:226) li¶n quan.

Ti‚p sau c¡c nghi¶n cøu cıa Tr(cid:247)(cid:236)ng Th(cid:224) Th(cid:242)y D(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) Nguy„n Xu¥n T§n v• b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 1, N«m 2011, ch(cid:243)ng t(cid:230)i ph¡t bi”u b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2: T…m ¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ P1(¯x) v(cid:160)

0 ∈ F (y, ¯x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

C¡c lo⁄i b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t n(cid:160)y chøa c¡c lo⁄i b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n, t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:160) c¡c lo⁄i b(cid:160)i to¡n quan h» bi‚n ph¥n lo⁄i 1 v(cid:160) lo⁄i 2 nh(cid:247) nhœng tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng.

Trong lu“n ¡n cıa m…nh, Tr(cid:247)(cid:236)ng Th(cid:224) Th(cid:242)y D(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)¢ chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t hØn hæp: T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), 0 ∈ F (¯y, ¯y, ¯x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ S(¯x, ¯y),

1) 2) 3) 0 ∈ G(y, ¯x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x), y ∈ Q(¯x, t),

v(cid:238)i X, Y1, Y2, Z l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff, ¡nh x⁄ F : K × K × D × D → 2Y , G : K × D × D → 2Y v(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ P, Q, S, T nh(cid:247) tr¶n. T¡c gi£ (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t v(cid:238)i gi£ thi‚t iv) kh¡ ch(cid:176)t, nh(cid:247) d⁄ng mºt b(cid:160)i to¡n kh¡c ch(cid:247)a bi‚t khi n(cid:160)o t(cid:231)n t⁄i nghi»m.

M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa lu“n ¡n n(cid:160)y l(cid:160) ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2, t…m mŁi li¶n quan t(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n kh¡c trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) (cid:31)a tr(cid:224), nghi¶n cøu c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp v(cid:238)i nhœng gi£ thi‚t d„ ki”m tra, v(cid:160) cuŁi c(cid:242)ng, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x¥y d(cid:252)ng mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa mºt h(cid:229) hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y l(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t v(cid:160) b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto

4

hØn hæp.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n cıa gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224) (cid:31)(cid:247)æc sß

d(cid:246)ng trong c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng ch‰nh cıa lu“n ¡n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 d(cid:160)nh cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2, H» qu£ 2.4.1 cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a quan h» bi‚n ph¥n, H» qu£ 2.4.2 cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng, c¡c H» qu£ 2.4.3 v(cid:160) 2.4.4 cho c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, c¡c H» qu£ 2.4.5 v(cid:160) 2.4.6 cho c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng. (cid:30)(cid:176)c bi»t, ta ch¿ ra mºt sŁ k‚t qu£ v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto (y‚u) tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) lo⁄i 1 v(cid:160) 2 li¶n quan t(cid:238)i ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (xem c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4, 2.4.5).

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 d(cid:160)nh cho 4 b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp. C¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 ch¿ ra (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa tłng lo⁄i. H» qu£ cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y l(cid:160) s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan nh(cid:247): b(cid:160)i to¡n h» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto, c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a tŁi (cid:247)u Pareto, t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto hØn hæp.

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng 4, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x¥y d(cid:252)ng mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n (cid:31)” t…m nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n, mºt d⁄ng (cid:31)(cid:176)c bi»t cıa c¡c b(cid:160)i to¡n n¶u tr¶n (xem c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3).

5

Ch(cid:247)(cid:236)ng1. M¸T S¨ KI(cid:152)N TH(cid:217)C C(cid:204) B(cid:131)N

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y v• kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Haus-

dorff v(cid:160) mºt sŁ kh¡i ni»m, t‰nh ch§t cıa n(cid:226)n v(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224).

6

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. B(cid:128)I TO(cid:129)N T(cid:220)A C(cid:133)N B(cid:140)NG T˚NG QU(cid:129)T

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, M(cid:246)c 2.1, ch(cid:243)ng t(cid:230)i gi(cid:238)i thi»u c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t li¶n quan t(cid:238)i c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224). M(cid:246)c 2.3, ta s‡ t…m nhœng (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y c(cid:226) nghi»m. M(cid:246)c 2.2 v(cid:160) 2.4 ch¿ ra r‹ng, phƒn l(cid:238)n c¡c b(cid:160)i to¡n trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u (cid:31)a tr(cid:224) nh(cid:247) c¡c b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) (cid:31)a tr(cid:224), bao h(cid:160)m thøc bi‚n ph¥n (cid:31)a tr(cid:224), c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng (cid:31)a tr(cid:224) lo⁄i 1 v(cid:160) lo⁄i 2, (cid:31)•u c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a (cid:31)(cid:247)æc v• mºt trong c¡c d⁄ng cıa c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t. M(cid:246)c 2.5 nghi¶n cøu t‰nh Œn (cid:31)(cid:224)nh nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b(cid:160)i to¡n ph(cid:246) thuºc tham sŁ. Nh(cid:247) v“y, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y s‡ cho ta c¡ch nh…n c¡c b(cid:160)i to¡n trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) mºt c¡ch nh§t qu¡n.

2.1. (cid:30)(cid:176)t b(cid:160)i to¡n

Cho X, Z v(cid:160) Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng. Cho c¡c ¡nh x⁄ S : D × K → 2D, T : D × K → 2K, P1 : D → 2D, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2K v(cid:160) F1 : K × D × D × D → 2Y , F : K × D × D → 2Y , ta x†t c¡c b(cid:160)i to¡n sau:

1. T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1) ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

2) 0 ∈ F1(¯y, ¯x, ¯x, z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y).

B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 1.

2. T…m ¯x ∈ D sao cho

1) ¯x ∈ P1(¯x),

2) 0 ∈ F (y, ¯x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2.

3. T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1) ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

2) 0 ∈ F1(¯y, ¯x, ¯x, z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y),

3) 0 ∈ F (y, ¯x, t) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

7

B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t hØn hæp.

Trong c¡c b(cid:160)i to¡n tr¶n, ta g(cid:229)i c¡c ¡nh x⁄ S, T, P1, P2 v(cid:160) Q l(cid:160) c¡c r(cid:160)ng buºc, F1 v(cid:160) F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ m(cid:246)c ti¶u, ch(cid:243)ng c(cid:226) th” l(cid:160) c¡c (cid:31)ﬂng thøc, b§t (cid:31)ﬂng thøc, c¡c bao h(cid:160)m thøc, b§t bao h(cid:160)m thøc, t(cid:247)(cid:236)ng giao cıa c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224), ho(cid:176)c c¡c quan h» trong c¡c kh(cid:230)ng gian t‰ch. B(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 1, lo⁄i hØn hæp (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu chi ti‚t trong lu“n ¡n cıa TS. Tr(cid:247)(cid:236)ng Th(cid:224) Th(cid:242)y D(cid:247)(cid:236)ng. Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chı y‚u nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2.

2.2. C¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan

M(cid:246)c n(cid:160)y minh h(cid:229)a s(cid:252) tŒng qu¡t cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 (cid:31)Łi v(cid:238)i mºt sŁ b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) li¶n quan, chﬂng h⁄n: b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng, b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n Minty, bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng, t(cid:252)a quan h» bi‚n ph¥n tŒng qu¡t, bao h(cid:160)m thøc vi ph¥n, b(cid:160)i to¡n (cid:31)i•u khi”n tŁi (cid:247)u, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Nash trong trÆ ch(cid:236)i kh(cid:230)ng hæp t¡c,...

2.3. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y, v“n d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Fan-Browder ho(cid:176)c d⁄ng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng cıa n(cid:226), ch(cid:243)ng t(cid:230)i chøng minh (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2, tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:244)ng thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t qu£ cho c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1. C¡c (cid:31)i•u ki»n sau l(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 c(cid:226) nghi»m:

i) D l(cid:160) t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c;

ii) (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) P1 : D → 2D c(cid:226) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng D0 = {x ∈ D| x ∈

P1(x)} (cid:31)(cid:226)ng, kh(cid:230)ng rØng trong D;

(x) m(cid:240) v(cid:160) bao l(cid:231)i coP2(x)

iii) (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) P2 : D → 2D c(cid:226) P (x) (cid:54)= ∅, P −1 2 cıa P2(x) chøa trong P1(x) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D;

iv) V(cid:238)i mØi t ∈ D cŁ (cid:31)(cid:224)nh, t“p

B = {x ∈ D| 0 /∈ F (y, x, t) v(cid:238)i y ∈ Q(x, t) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)}

m(cid:240) trong D;

8

v) F : K × D × D → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Q − KKM .

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.2 khﬂng (cid:31)(cid:224)nh, khi gi£m nh(cid:181) (cid:31)i•u ki»n cho ¡nh x⁄ P2, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 v¤n c(cid:226) nghi»m. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.3 x†t (cid:31)i•u ki»n t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t khi ¡nh x⁄ P1 = P2 = P .

2.4. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan

(cid:129)p d(cid:246)ng c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chøng minh (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan: M(cid:246)c 2.4.1 v• b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a quan h» bi‚n ph¥n; M(cid:246)c 2.4.2 v• b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng; M(cid:246)c 2.4.3 v• b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng; M(cid:246)c 2.4.4 v• b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng; M(cid:246)c 2.4.5 minh h(cid:229)a øng d(cid:246)ng v(cid:160)o c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u.

2.4.1. B(cid:160)i to¡n t(cid:252)a quan h» bi‚n ph¥n

H» qu£ d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y tr…nh b(cid:160)y mºt c¡ch chøng minh kh¡c k‚t qu£ cıa (cid:30)inh

Th‚ L(cid:246)c c(cid:230)ng bŁ n«m 2008. H» qu£ 2.4.1.Cho D, K, P1, P2 nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1, ¡nh x⁄ Q(., t) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i mØi t ∈ D. Cho R l(cid:160) mºt quan h» giœa c¡c phƒn tß y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D. Gi£ sß:

i) V(cid:238)i t ∈ D, quan h» R(., ., t) giœa c¡c phƒn tß y ∈ K, x ∈ D l(cid:160) quan

h» (cid:31)(cid:226)ng;

ii) R l(cid:160) quan h» Q- KKM.

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ P1(¯x) v(cid:160)

R(y, ¯x, t) x£y ra v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

2.4.2. B(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng

K‚t qu£ d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc chøng minh tr(cid:252)c ti‚p tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 v(cid:160) n(cid:226) c(cid:244)ng ch‰nh l(cid:160) k‚t qu£ cıa Nguy„n Xu¥n T§n v(cid:160) (cid:30)inh Th‚ L(cid:246)c (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ n«m 2004.

H» qu£ 2.4.2. Cho D, K, P1, P2 nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1, ¡nh x⁄ Q(., t) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i mØi t ∈ D. Cho ¡nh x⁄ Φ : K × D × D → R l(cid:160) h(cid:160)m th(cid:252)c (Q, R+)− giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø ba v(cid:160) Φ(y, x, x) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ K, x ∈ D. H(cid:236)n nœa, gi£ thi‚t r‹ng, v(cid:238)i t ∈ D,

9

Φ(., ., t) : K × D → R l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n. Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D (cid:31)” ¯x ∈ P1(¯x) v(cid:160)

Φ(y, ¯x, t) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

Trong c¡c h» qu£ ti‚p theo cıa c¡c M(cid:246)c 2.4.3 v(cid:160) 2.4.4, ta gi£ thi‚t C l(cid:160)

n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong Y .

2.4.3. B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng

Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1, ta thu (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ k‚t qu£ v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c lo⁄i bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng tr¶n, d(cid:247)(cid:238)i. K‚t qu£ n(cid:160)y suy ra c¡c k‚t qu£ cıa (cid:30)inh Th‚ L(cid:246)c v(cid:160) Nguy„n Xu¥n T§n (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ n«m 2004. H» qu£ 2.4.3.Cho D, K, P1, P2 nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 v(cid:160) ¡nh x⁄ Q : D × D → 2K th(cid:228)a m¢n v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ D cŁ (cid:31)(cid:224)nh, ¡nh x⁄ Q(., t) : D → 2K l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i. Cho G, H : K × D × D → 2Y l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) comp›c v(cid:160) G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C v(cid:238)i m(cid:229)i (y, x) ∈ K × D. H(cid:236)n nœa, gi£ sß:

i) V(cid:238)i mØi t ∈ D cŁ (cid:31)(cid:224)nh, ¡nh x⁄ G(., ., t) : K × D → 2Y l(cid:160) (−C)(cid:21) li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) N : K × D → 2Y , (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i N (y, x) = H(y, x, x), l(cid:160) C(cid:21)li¶n t(cid:246)c tr¶n;

ii) (cid:129)nh x⁄ G l(cid:160) (Q, C)(cid:21)giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n

thø ba.

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D (cid:31)” ¯x ∈ P1(¯x) v(cid:160)

G(y, ¯x, t) ⊆ H(y, ¯x, ¯x) + C v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x) v(cid:160) y ∈ Q(¯x, t).

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta chøng minh (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ cho b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng d(cid:247)(cid:238)i. M(cid:246)c 2.4.4 tr…nh b(cid:160)y c¡c k‚t qu£ t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng.

2.4.5. C¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u

M(cid:246)c n(cid:160)y nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u (x†t cho c£ hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp C-l(cid:231)i v(cid:160) C(cid:21)giŁng nh(cid:247) t(cid:252)a l(cid:231)i), c¡c BŒ (cid:31)• 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4 (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng trong chøng minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh.

10

BŒ (cid:31)• 2.4.1. Cho F : K × D × D → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng v(cid:160) C : K × D → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ n(cid:226)n v(cid:238)i F (y, x, x) ∩ C(y, x) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D v(cid:160) y ∈ K. H(cid:236)n nœa, gi£ sß r‹ng:

i) V(cid:238)i x ∈ D, y ∈ K, F (y, ., x) : D → 2Y l(cid:160) C(y, .)-hemi li¶n t(cid:246)c l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng

d(cid:247)(cid:238)i;

ii) V(cid:238)i y ∈ K, F (y, ., .) l(cid:160) C(y, .)-gi£ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh tr¶n;

iii) V(cid:238)i y ∈ K, F (y, ., .) l(cid:160) C(y, .)-l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (ho(cid:176)c, C(y, .)-

giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o) (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai.

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i t ∈ D, y ∈ K, c¡c m»nh (cid:31)• sau t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

1) F (y, t, x) (cid:54)⊆ −(C(y, t)\{0}) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D;

2) F (y, x, t) ⊆ −C(y, x) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D.

Ph¡t bi”u t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i.

2.4.5.1. C¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u lo⁄i 1

Cho S : D × K → 2D, T : D × K → 2K v(cid:160) G : K × D × D → 2Y l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng. C l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong Y . C¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) v(cid:160) y‚u tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) lo⁄i 1 lƒn l(cid:247)æt (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau:

1. T…m ¯x, ¯y ∈ D × K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), G(¯y, ¯x, z) (cid:54)⊆ (−C \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y).

2. T…m ¯x, ¯y ∈ D × K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), G(¯y, ¯x, z) ∩ (−C \ {0}) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y).

3. T…m ¯x, ¯y ∈ D × K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), G(¯y, ¯x, z) (cid:54)⊆ (−intC) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y).

11

4. T…m ¯x, ¯y ∈ D × K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), G(¯y, ¯x, z) ∩ (−intC) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y).

C¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ti‚p theo chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a

c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u lo⁄i 1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.2.(B(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto d(cid:247)(cid:238)i lo⁄i 1). Gi£ sß D, K t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c cıa kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X, Z, G : K × D × D → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng v(cid:160) G(y, x, x) ⊆ C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D, y ∈ K th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:

i) S l(cid:160) ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng; T l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa

li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng;

ii) V(cid:238)i (x, y) ∈ D × K, ¡nh x⁄ G(y, ., x) : D → 2Y l(cid:160) C(cid:21) hemi li¶n t(cid:246)c

l(cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng tr¶n;

iii) V(cid:238)i y ∈ K, G(y, ., .) l(cid:160) C-gi£ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh d(cid:247)(cid:238)i;

iv) V(cid:238)i (x, y) ∈ K, G(y, x, .) l(cid:160) C(cid:21)l(cid:231)i tr¶n (ho(cid:176)c, C(cid:21)giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n);

v) G l(cid:160) ¡nh x⁄ C(cid:21) li¶n t(cid:246)c tr¶n.

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D, ¯y ∈ K sao cho

¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), G(¯y, ¯x, z) ∩ (−C \ {0}) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S(¯x, ¯y),

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ta c(cid:226) c¡c k‚t qu£ t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c b(cid:160)i to¡n cÆn l⁄i (xem c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.3, 2.4.4, 2.4.5).

2.4.5.2. C¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u lo⁄i 2

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta x†t ¡nh x⁄ G : D × D → 2Y , ¡nh x⁄ n(cid:226)n C : D → 2Y

c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng.

C¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) v(cid:160) y‚u tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) lo⁄i 2 lƒn

l(cid:247)æt (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau:

12

1) T…m ¯x ∈ D sao cho

¯x ∈ P (¯x) v(cid:160) G(¯x, x) (cid:54)⊆ −(C(¯x) \ {0}), v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ P (¯x);

2) T…m ¯x ∈ D sao cho

¯x ∈ P (¯x) v(cid:160) G(¯x, x) ∩ −(C(¯x) \ {0}) = ∅, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ P (¯x);

3) T…m ¯x ∈ D sao cho

¯x ∈ P (¯x) v(cid:160) G(¯x, x) (cid:54)⊆ −intC(¯x), v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ P (¯x);

4) T…m ¯x ∈ D sao cho

¯x ∈ P (¯x) v(cid:160) G(¯x, x) ∩ −intC(¯x) = ∅, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ P (¯x).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.9. (B(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto d(cid:247)(cid:238)i lo⁄i 2) Gi£ sß D, K l(cid:160) c¡c t“p kh(cid:230)ng rØng, l(cid:231)i v(cid:160) comp›c, P l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng. V(cid:160) gi£ sß ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) G : D × D → 2Y c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng, C : D → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ n(cid:226)n v(cid:238)i G(x, x) ⊆ C(x) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ D, th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:

i) V(cid:238)i t ∈ D, G(., t) : D → 2Y l(cid:160) C-hemi li¶n t(cid:246)c m⁄nh d(cid:247)(cid:238)i;

ii) V(cid:238)i x ∈ D, y ∈ K, t“p

A = {t ∈ D| G(x, t) ∩ −C(x) (cid:54)= ∅} (cid:31)(cid:226)ng trong D;

iii) G l(cid:160) C-gi£ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh d(cid:247)(cid:238)i;

iv) G l(cid:160) C-l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (ho(cid:176)c, C-giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

ch†o) (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai.

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ P (¯x) v(cid:160)

G(¯x, t) ∩ (−C(¯x)\{0}) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x).

C¡c k‚t qu£ t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c b(cid:160)i to¡n cÆn l⁄i (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.7, 2.4.8, 2.4.9. (cid:30)(cid:176)c bi»t, trong c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:226), khi thay ¡nh x⁄ G b(cid:240)i ¡nh x⁄ F : D × D → 2Y , F (x, t) = (cid:104)G(x), θ(x, t)(cid:105), (x, t) ∈ D × D, (cid:240) (cid:31)¥y G : D → 2L(X,Y ) ta c(cid:226) c¡c k‚t qu£ t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n v†ct(cid:236) (xem c¡c H» qu£ 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11, 2.4.12).

Ch(cid:243) (cid:254). N‚u Y = R, C(¯x) ≡ R+ v(cid:160) G : D → X ∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ hemi li¶n t(cid:246)c v(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u; P (x) ≡ D, θ(x, t) = t − x, v(cid:238)i m(cid:229)i x, t ∈ D, th… H» qu£ 2.4.9 tr(cid:240)

13

th(cid:160)nh: T(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ D sao cho

(cid:104)G(¯x), t − ¯x(cid:105) ≥ 0, (2.9) ((cid:31)i•u n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i (cid:104)G(t), ¯x − t(cid:105) ≥ 0), v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ D.

(cid:30)¥y ch‰nh l(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n Stampacchia (c(cid:244)ng l(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n Minty) cŒ (cid:31)i”n m(cid:160) ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ x†t (cid:31)‚n trong ch(cid:247)(cid:236)ng cuŁi cıa lu“n ¡n.

2.5. S(cid:252) Œn (cid:31)(cid:224)nh cıa c¡c t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t

Cho X, Z, D, K, Y, C nh(cid:247) (cid:240) c¡c m(cid:246)c tr(cid:247)(cid:238)c. Cho Λ, Γ, Σ l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Hausdorff. Cho Pi : D × Λ → 2D, i = 1, 2, Q : D × D × Γ → 2K v(cid:160) F : K × D × D × Σ → 2Y . Ta x†t b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t ph(cid:246) thuºc tham sŁ: T…m ¯x ∈ P1(¯x, λ) sao cho 0 ∈ F (y, ¯x, t, µ) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x, λ), y ∈ Q(¯x, t, γ).

V(cid:238)i mØi λ ∈ Λ, µ ∈ Γ, γ ∈ Σ, ta (cid:31)(cid:176)t E(λ) = {x ∈ P1(x, λ)}; M (λ, γ, µ) = {x ∈ D | x ∈ E(λ) v(cid:160) 0 ∈ F (y, x, t, µ) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P1(x, λ), y ∈ Q(x, t, γ)}. Trong M(cid:246)c 2.3, ta (cid:31)¢ t…m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” M (λ, γ, µ) (cid:54)= ∅. D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y, ta s‡ t…m (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” ¡nh x⁄ nghi»m c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t Œn (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247): T‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n, t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i theo ngh(cid:190)a cıa Berge (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (λ, γ, µ). (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.1.Cho (λ0, γ0, µ0) ∈ Λ × Γ × Σ, v(cid:160) gi£ sß:

i) P1 l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n, c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) comp›c; P2 l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa

li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i;

ii) Q l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i £nh comp›c;

iii) T“p A = {(y, x, λ, γ, µ) | x ∈ E(λ), 0 ∈ F (y, x, t, γ) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈

P2(x, λ), y ∈ Q(x, t, µ)} l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng.

Khi (cid:31)(cid:226), ¡nh x⁄ M l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng t⁄i (λ0, γ0, µ0). (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.2.(cid:129)nh x⁄ M nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i (λ0, γ0, µ0) n‚u c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:

i) E l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i λ0;

ii) (cid:129)nh x⁄ Q nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) nh“n gi¡ tr(cid:224) comp›c;

14

iii) P2 l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226)ng;

iv) T“p A = {(y, x, t, λ, γ, µ) ∈ D × D × D × Λ × Γ × Σ | x ∈ P1(x, λ), 0 /∈

F (y, x, t, λ, γ, µ), t ∈ P2(x, λ), y ∈ Q(x, t, µ)} l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng.

K(cid:152)T LU(cid:138)N CH(cid:215)(cid:204)NG 2

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, (cid:240) c¡c M(cid:246)c 2.3 v(cid:160) 2.4 ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)i•u ki»n t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 v(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan nh(cid:247): b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng, bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a quan h» bi‚n ph¥n v(cid:160) (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto v(cid:160) y‚u, c¡c b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n v†ct(cid:236). Trong M(cid:246)c 2.5, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chøng minh t‰nh Œn (cid:31)(cid:224)nh cıa t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t. K‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong [3].

15

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3. B(cid:128)I TO(cid:129)N BAO H(cid:128)M TH(cid:217)C T(cid:220)A BI(cid:152)N PH(cid:133)N PARETO H(cid:201)N H(cid:209)P

3.1. Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n

Cho X, Y, Y1, Y2, Z l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Haus- dorff. Gi£ sß D ⊂ X, K ⊂ Z l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng v(cid:160) Ci ⊆ Yi, i = 1, 2, l(cid:160) c¡c n(cid:226)n l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng. K‰ hi»u 2A l(cid:160) t“p hæp c¡c t“p con cıa t“p hæp A. C¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S : D × K → 2D, T : D × K → 2K, P : D → 2D, Q : K × D → 2K v(cid:160) F1 : K × K × D → 2Y1, F2 : K × D × D → 2Y2, ta c(cid:226) c¡c b(cid:160)i to¡n sau:

1) B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp tr¶n-

tr¶n

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, v, ¯x) (cid:54)⊆ F1(¯y, ¯y, ¯x) − (C1 \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, t) (cid:54)⊆ F2(y, ¯x, ¯x) − (C2 \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

2) B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp tr¶n-

d(cid:247)(cid:238)i

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, v, ¯x) (cid:54)⊆ (F1(¯y, ¯y, ¯x) − (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, ¯x) (cid:54)⊆ F2(y, ¯x, t) + (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

3) B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp d(cid:247)(cid:238)i-

tr¶n

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, ¯y, ¯x) (cid:54)⊆ F1(¯y, v, ¯x) + (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, t) (cid:54)⊆ (F2(y, ¯x, ¯x) − (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

4) B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp d(cid:247)(cid:238)i-

d(cid:247)(cid:238)i

16

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, ¯y, ¯x) (cid:54)⊆ F1(¯y, v, ¯x) + (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, ¯x) (cid:54)⊆ F2(y, ¯x, t) + (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

C¡c b(cid:160)i to¡n tr¶n cho ta mºt c(cid:230)ng c(cid:246) tŁt (cid:31)” nghi¶n cøu l(cid:238)p c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng, t(cid:252)a bi‚n ph¥n, t(cid:252)a tŁi (cid:247)u. Mºt sŁ b(cid:160)i b¡o (cid:31)¢ nghi¶n cøu b(cid:160)i to¡n hØn hæp giœa c¡c b(cid:160)i to¡n tr¶n, tuy nhi¶n, h(cid:229) h(cid:160)u h‚t ch¿ quan t¥m (cid:31)‚n b(cid:160)i to¡n lo⁄i 1 ho(cid:176)c lo⁄i 2. M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 cıa lu“n ¡n n(cid:160)y l(cid:160) nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp. Nhi•u b(cid:160)i to¡n trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u li¶n quan (cid:31)‚n ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) nh(cid:247): c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto hØn hæp, h» c¡c b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u Pareto, b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a tŁi (cid:247)u Pareto hØn hæp, b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto lo⁄i 1 (lo⁄i 2),... c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a (cid:31)(cid:247)æc v• c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc hØn hæp n(cid:226)i tr¶n. Balaj v(cid:160) (cid:30)inh Th‚ L(cid:246)c c(cid:244)ng (cid:31)¢ x†t b(cid:160)i to¡n quan h» bi‚n ph¥n hØn hæp, tuy nhi¶n (cid:240) (cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng c(cid:226) ¡nh x⁄ r(cid:160)ng buºc S, nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc t…m tr¶n c£ t“p D.

3.2. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m

Cho c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S, T, P, Q v(cid:160) Fi, i = 1, 2 v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng nh(cid:247)

trong phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu.

3.2.1. B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp tr¶n-tr¶n

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1.Gi£ thi‚t c¡c (cid:31)i•u ki»n sau th(cid:228)a m¢n:

i) D, K l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c;

ii) S l(cid:160) ¡nh x⁄ c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i v(cid:160) c(cid:226) ngh(cid:224)ch £nh m(cid:240). T l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i c¡c gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) t“p A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng;

iii) P c(cid:226) ngh(cid:224)ch £nh m(cid:240) v(cid:160) P (x) ⊆ S(x, y) v(cid:238)i m(cid:229)i (x, y) ∈ A. V(cid:238)i t ∈ D, Q(., t) : D → 2K l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) comp›c;

iv) (cid:129)nh x⁄ F1, F2 c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng, comp›c y‚u. (cid:129)nh x⁄ F1 l(cid:160) (−C1)− li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) C1− li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i. V(cid:238)i t ∈ D, ¡nh x⁄ F2(., ., t) l(cid:160)

17

(−C2)- li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) N2 : K × D → 2Y2 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i N2(y, x) = F2(y, x, x) l(cid:160) C2−li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i;

v) V(cid:238)i (x, y) ∈ D×K, ¡nh x⁄ F1(y, ., x) : K → 2Y1 l(cid:160) C1− l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i (ho(cid:176)c, C1−giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i) v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ F2(y, ., .) : D × D → 2Y2 l(cid:160) C2-l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (ho(cid:176)c, C2-giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o) (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai;

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y)¯y ∈ T (¯x, ¯y) v(cid:160)

F1(¯y, v, ¯x) (cid:54)⊆ (F1(¯y, ¯y, ¯x) − (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, t) (cid:54)⊆ (F2(y, ¯x, ¯x) − (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

3.2.2. B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp tr¶n-d(cid:247)(cid:238)i

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.2.Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:

i) D, K l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c;

ii) S l(cid:160) ¡nh x⁄ c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i kh(cid:230)ng rØng v(cid:160) c(cid:226) ngh(cid:224)ch £nh m(cid:240); T l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i c¡c gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng, l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) t“p A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} (cid:31)(cid:226)ng;

iv) (cid:129)nh x⁄ F1 l(cid:160) (−C1)− li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) C1− li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng, comp›c y‚u. V(cid:238)i mØi t ∈ D cŁ (cid:31)(cid:224)nh, ¡nh x⁄ F2(., ., t) l(cid:160) (−C2)- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈ K cŁ (cid:31)(cid:224)nh, ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) N2 : K × D → 2Y2 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i N2(y, x) = F2(y, x, x) l(cid:160) C2−li¶n t(cid:246)c tr¶n;

v) V(cid:238)i (x, y) ∈ D×K, ¡nh x⁄ F1(y, ., x) : K → 2Y1 l(cid:160) C1− l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i (ho(cid:176)c, C1−giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i) v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ F2(y, ., .) : D × D → 2Y2 l(cid:160) C2-l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai (ho(cid:176)c, C2-giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai).

18

Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, ¯y, ¯x) (cid:54)⊆ (F1(¯y, v, ¯x) + (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, t) (cid:54)⊆ (F2(y, ¯x, ¯x) − (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

3.2.3. B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp d(cid:247)(cid:238)i-tr¶n

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.3.Cho c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S, T, P, Q v(cid:160) Fi, i = 1, 2 v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng nh(cid:247) trong phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu.

Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:

i) D, K l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c;

ii) S l(cid:160) ¡nh x⁄ c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i kh(cid:230)ng rØng v(cid:160) c(cid:226) ngh(cid:224)ch £nh m(cid:240). T l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i c¡c gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) t“p A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} (cid:31)(cid:226)ng;

iv) (cid:129)nh x⁄ F1, F2 c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng comp›c y‚u. (cid:129)nh x⁄ F1 l(cid:160) C1− li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) (−C1)− li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i. V(cid:238)i t ∈ D, ¡nh x⁄ F2(., ., t) l(cid:160) (−C2)- li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈ K, ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) N2 : K ×D → 2Y2 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i N2(y, x) = F2(y, x, x) l(cid:160) C2−li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i;

v) V(cid:238)i (x, y) ∈ D ×K, ¡nh x⁄ F1(y, ., x) : K → 2Y1 l(cid:160) C1− l(cid:231)i tr¶n (ho(cid:176)c, C1−giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n) v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ F2(y, ., .) : D × D → 2Y2 l(cid:160) C2-l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai (ho(cid:176)c, C2-giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i d(cid:247)(cid:238)i theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai).

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

y ∈ Q(¯x, t).

3.2.4. B(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp d(cid:247)(cid:238)i-d(cid:247)(cid:238)i

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.4.Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau th(cid:228)a m¢n:

19

i) D, K l(cid:160) c¡c t“p con kh(cid:230)ng rØng l(cid:231)i comp›c;

iii) P c(cid:226) ngh(cid:224)ch £nh m(cid:240) v(cid:160) P (x) ⊆ S(x, y), v(cid:238)i m(cid:229)i (x, y) ∈ A. V(cid:238)i t ∈ D, Q(., t) : D → 2K l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) comp›c;

iv) (cid:129)nh x⁄ F1, F2 c(cid:226) c¡c gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng comp›c y‚u. (cid:129)nh x⁄ F1 l(cid:160) C1− li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) (−C1)− li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i. V(cid:238)i t ∈ D, ¡nh x⁄ F2(., ., t) l(cid:160) (−C2)- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) N2 : K × D → 2Y2 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i N2(y, x) = F2(y, x, x) l(cid:160) C2−li¶n t(cid:246)c tr¶n;

v) V(cid:238)i (x, y) ∈ D ×K, ¡nh x⁄ F1(y, ., x) : K → 2Y1 l(cid:160) C1− l(cid:231)i tr¶n (ho(cid:176)c, C1−giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n) v(cid:160) v(cid:238)i y ∈ K, ¡nh x⁄ F2(y, ., .) : D × D → 2Y2 l(cid:160) C2-l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai (ho(cid:176)c, C2-giŁng t(cid:252)a l(cid:231)i tr¶n theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n thø hai).

Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, ¯y, ¯x) (cid:54)⊆ (F1(¯y, v, ¯x) + (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(y, ¯x, ¯x) (cid:54)⊆ (F2(y, ¯x, t) + (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P (¯x),

y ∈ Q(¯x, t).

N‚u c¡c gi£ thi‚t cıa c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1-3.2.4 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n, trł i) v(cid:160) iii)

(t(cid:247)(cid:236)ng øng) (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i:

i’) S l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng, l(cid:231)i;

iii’) P l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) P (x) ⊆ S(x, y) v(cid:238)i x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) v(cid:160) t“p con A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} (cid:31)(cid:226)ng,

th… k‚t lu“n cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n v¤n (cid:31)(cid:243)ng.

3.3. Mºt sŁ b(cid:160)i to¡n li¶n quan

Cho c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S, T v(cid:160) Fi, i = 1, 2 v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng rØng nh(cid:247) trong phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, ta x†t c¡c b(cid:160)i to¡n h» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto nh(cid:247) sau:

20

3.3.1. H» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto

1) H» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto tr¶n

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K th(cid:228)a m¢n: ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, v, ¯x) (cid:54)⊆ F1(¯y, ¯y, ¯x) − (C1 \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(¯y, ¯x, t) (cid:54)⊆ F2(¯y, ¯x, ¯x) − (C2 \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ S(¯x, ¯y).

2) H» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto tr¶n v(cid:160) d(cid:247)(cid:238)i

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K th(cid:228)a m¢n: ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, v, ¯x) (cid:54)⊆ F1(¯y, ¯y, ¯x) − (C1 \ {0}) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y); F2(¯y, ¯x, ¯x) (cid:54)⊆ (F2(¯y, ¯x, t) + (C2 \ {0}))v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ S(¯x, ¯y).

3) H» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto d(cid:247)(cid:238)i

T…m (¯x, ¯y) ∈ D × K th(cid:228)a m¢n: ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y),

F1(¯y, ¯y, ¯x) (cid:54)⊆ (F1(¯y, v, ¯x) + (C1 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i v ∈ T (¯x, ¯y), F2(¯y, ¯x, ¯x) (cid:54)⊆ (F2(¯y, ¯x, t) + (C2 \ {0})) v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ S(¯x, ¯y).

Tł c¡c k‚t qu£ trong M(cid:246)c 3.2, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chøng minh (cid:31)i•u ki»n t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c h» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto lo⁄i 1 (c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3), cho b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto hØn hæp bŒ sung th¶m (cid:31)i•u ki»n F1(y, y, x) ⊆ C1 v(cid:160) F2(y, x, x) ⊆ C2 v(cid:238)i m(cid:229)i (x, y) ∈ D × K (c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 3.3.4, 3.3.5).

K(cid:152)T LU(cid:138)N CH(cid:215)(cid:204)NG 3

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:176)t ra c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp giœa lo⁄i 1 v(cid:160) lo⁄i 2. — c¡c M(cid:246)c 3.2 v(cid:160) 3.3, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chøng minh (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i nghi»m v(cid:160) øng d(cid:246)ng v(cid:160)o c¡c b(cid:160)i to¡n h» bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto lo⁄i 1 v(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto hØn hæp. C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong t(cid:160)i li»u [3] n«m 2013.

21

Ch(cid:247)(cid:236)ng 4. PH(cid:215)(cid:204)NG PH(cid:129)P L(cid:144)P T(cid:156)M NGHI(cid:155)M C(cid:213)A B(cid:128)I

TO(cid:129)N B(cid:135)T (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C BI(cid:152)N PH(cid:133)N

4.1. Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t…m nghi»m cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (0.2), trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t“p ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc D l(cid:160) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa mºt h(cid:229) hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert. B(cid:160)i to¡n c(cid:226) th” ph¡t bi”u nh(cid:247) sau: T…m x ∈ D sao cho

n ∩ i=1

(cid:104)G(x), x − x(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ D, (4.1) D = Fix(Ti),

v(cid:238)i N ∈ N, Ti : X → X, i = 1, 2, ..., N, l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n. Tøc l(cid:160), b(cid:160)i to¡n t…m nghi»m cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n giao cıa t“p c¡c (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa h(cid:229) c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n Ti, i = 1, 2, ..., N. N‚u ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) P1, P2 : D → D nh(cid:247) sau:

P1(x) = {t ∈ D : (cid:104)Ti(x) − t, x − y(cid:105) ≥ 0, v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, ..., n, y ∈ D},

P2(x) = {t ∈ D : (cid:104)Ti(x) − t, x − y(cid:105) > 0, v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, ..., n, y ∈ D}, v(cid:160) F (y, x, t) = (cid:104)G(x), y − t(cid:105) − R+, y, x, t ∈ D. (cid:30)(cid:176)t K = D, Q(x, t) = D. Ta x†t b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2: T…m ¯x ∈ D, ¯x ∈ P1(¯x), 0 ∈ F (y, ¯x, t), v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t). N‚u b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y c(cid:226) nghi»m ¯x th… ta (cid:31)(cid:247)æc ¯x ∈ P1(¯x). Tøc l(cid:160)

(cid:104)Ti(¯x) − ¯x, ¯x − y(cid:105) ≥ 0, v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ D, i = 1, 2, ..., n.

L§y y = Ti(¯x), i = 1, 2, ..., n, ta suy ra (cid:104)Ti(¯x)−¯x, ¯x−Ti(¯x)(cid:105) ≥ 0, hay (cid:107) Ti(¯x)− ¯x (cid:107)≤ 0. Ta k‚t lu“n Ti(¯x) = ¯x, i = 1, 2, ..., n. Tł 0 ∈ F (y, ¯x, t), v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t), ta suy ra (cid:104)G(¯x), y − ¯x(cid:105) ≥ 0, v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ D. Tøc l(cid:160), ¯x l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (4.1).

Ng(cid:247)æc l⁄i, n‚u ¯x l(cid:160) nghi»m cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n giao cıa t“p t§t c£ c¡c (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa c¡c ¡nh x⁄ Ti, i = 1, 2, ..., N, th… hi”n nhi¶n ¯x c(cid:244)ng l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 n(cid:226)i tr¶n.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.1.1 gi(cid:238)i thi»u ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p cıa Xu v(cid:160) Ori n«m 2001 (cid:31)” t…m (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa h(cid:229) ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.1.2 cıa Zheng L.C. v(cid:160) Yao J.C n«m 2006 t…m nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (4.1), (cid:31)•u cho k‚t qu£ hºi t(cid:246)

22

y‚u. C£i ti‚n c¡c k‚t qu£ tr¶n, gi£m nh(cid:181) (cid:31)i•u ki»n cho tham sŁ λk (thay (cid:31)i•u ki»n (cid:80)∞ k=1 λk < ∞ b(cid:240)i (cid:31)i•u ki»n λk → 0 khi k → ∞), ch(cid:243)ng t(cid:230)i x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc d¢y l(cid:176)p hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (4.1). (cid:30)¥y ch‰nh l(cid:160) nºi dung cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.1.

4.2. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa h(cid:229) hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert.

Cho kh(cid:230)ng gian Hilbert X v(cid:160) ¡nh x⁄ G : X → X, c¡c tham sŁ µ ∈

t} ⊂ (0, 1), sao cho

(0, 2η/L2) v(cid:160) t ∈ (0, 1), {λt}, {βi

(4.5) i = 1, 2, · · ·, N. βi t < 1, 2, λt → 0, khi 0 < lim inf t→0 t → 0 v(cid:160) βi t ≤ lim sup t→0

D¢y l(cid:176)p {xt} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

0T t

N ...T t 1,

(4.6) t ∈ (0, 1), xt = T txt, T t := T t

i : X → X,

v(cid:238)i ¡nh x⁄ T t

tTix,

t)x + βi i x = (1 − βi T t T t 0y = (I − λtµG)y, x, y ∈ X.

i = 1, 2, · · ·, N, (4.7)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.1.Gi£ thi‚t r‹ng ¡nh x⁄ G l(cid:160) L-Lipschitz li¶n t(cid:246)c v(cid:160) η-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, v(cid:238)i c¡c h‹ng sŁ L, η > 0 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226); {Ti}N i=1 l(cid:160) N ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n tr¶n X sao cho D = ∩N i=1F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Khi (cid:31)(cid:226), d¢y suy rºng {xt} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (4.5)-(4.7) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i nghi»m duy nh§t ¯x cıa (4.2) (v(cid:238)i D = X).

i=1F ix(Si).

i=1 l(cid:160) N ¡nh x⁄ γi-gi£ co ch(cid:176)t tr¶n X. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.2 m(cid:240) rºng k‚t qu£ cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.1 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp D = ∩N (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.2.Cho G : X → X l(cid:160) ¡nh x⁄ L-Lipschitz li¶n t(cid:246)c v(cid:160) η- (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, v(cid:238)i L, η l(cid:160) nhœng sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng. Cho γi ∈ [0, 1), i = 1, N , h(cid:229) ¡nh x⁄ {Si}N i=1 g(cid:231)m N ¡nh x⁄ γi-gi£ co ch(cid:176)t tr¶n X sao cho i=1F ix(Si) (cid:54)= ∅. Cho αi ∈ [γi, 1), µ ∈ (0, 2η/L2) v(cid:160) cho t ∈ D = ∩N (0, 1), {λt}, {βi t} ⊂ (0, 1), nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4.2.1. Khi (cid:31)(cid:226), d¢y {xt} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

Ti‚p theo, cho αi ∈ [γi, 1) l(cid:160) c¡c sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh, {Si}N

N ... ˜T t ˜T t 1,

t ∈ (0, 1), xt = ˜T txt, ˜T t := T t 0

23

0x = (I − λtµG)x, hºi

(cid:240) (cid:31)¥y ˜Tiy = αiy + (1 − αi)Siy, v(cid:238)i i = 1, · · ·, N v(cid:160) T t t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i nghi»m duy nh§t ¯x cıa (4.2).

Ngo(cid:160)i ra, ch(cid:243)ng t(cid:230)i c(cid:244)ng x†t b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa h(cid:229) v(cid:230) h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Banach. K‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong [5].

K(cid:152)T LU(cid:138)N CH(cid:215)(cid:204)NG 4

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, (cid:240) M(cid:246)c 4.2, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p 'n t…m nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa mºt h(cid:229) hœu h⁄n c¡c ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert v(cid:160) m(cid:240) rºng k‚t qu£ v(cid:238)i h(cid:229) c¡c ¡nh x⁄ gi£ co ch(cid:176)t. Ngo(cid:160)i ra, (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n trong kh(cid:230)ng gian Banach, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p x§p x¿ m•m c£i bi¶n v(cid:238)i ¡nh x⁄ co y‚u cho mºt h(cid:229) v(cid:230) h⁄n ¡nh x⁄ kh(cid:230)ng gi¢n. Trong c¡c k‚t qu£ cıa m…nh, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa c¡c d¢y l(cid:176)p v(cid:238)i mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:236)n gi£n h(cid:236)n so v(cid:238)i k‚t qu£ tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)(cid:226) cıa c¡c t¡c gi£ kh¡c. C¡c k‚t qu£ cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong hai b(cid:160)i b¡o [2] v(cid:160) [5].

24

K(cid:152)T LU(cid:138)N C(cid:213)A LU(cid:138)N (cid:129)N V(cid:128) NH(cid:218)NG V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) M—

K‚t qu£ chı y‚u

1) Lu“n ¡n gi(cid:238)i thi»u v• c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t. Thi‚t l“p mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t, (cid:31)(cid:176)c bi»t, chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cho c¡c b(cid:160)i to¡n lo⁄i 2.

2) Ch¿ ra c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y bao h(cid:160)m nhi•u b(cid:160)i to¡n trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) nh(cid:247) nhœng tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i thu (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ k‚t qu£ m(cid:238)i cho nhœng b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. (cid:30)(cid:176)c bi»t, lu“n ¡n nghi¶n cøu v• c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng Pareto, t(cid:252)a c¥n b‹ng y‚u tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) lo⁄i 1 v(cid:160) lo⁄i 2, nghi¶n cøu t‰nh Œn (cid:31)(cid:224)nh nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2.

3) Ph¡t bi”u c¡c b(cid:160)i to¡n bao h(cid:160)m thøc t(cid:252)a bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp v(cid:160)

thi‚t l“p (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y c(cid:226) nghi»m.

4) X¥y d(cid:252)ng d¢y l(cid:176)p 'n t…m nghi»m cho b(cid:160)i to¡n b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n

v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng.

Mºt sŁ v§n (cid:31)• cƒn ti‚p t(cid:246)c nghi¶n cøu

1) T…m hi”u th¶m v• nhœng øng d(cid:246)ng cıa c¡c k‚t qu£ v(cid:160)o mºt sŁ b(cid:160)i to¡n

trong kinh t‚ v(cid:160) mºt sŁ l(cid:190)nh v(cid:252)c kh¡c.

2) Ti‚p t(cid:246)c nghi¶n cøu t‰nh ph(cid:246) thuºc tham sŁ cıa nghi»m cıa nhœng lo⁄i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y nh(cid:247) t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n, t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) t‰nh li¶n t(cid:246)c Holder cıa ¡nh x⁄ nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t.

3) T…m mºt sŁ thu“t to¡n gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t trong

nhœng tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t.

4) Nghi¶n cøu b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng tŒng qu¡t trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c t“p

D, K kh(cid:230)ng comp›c, ch¿ l(cid:231)i v(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng.