Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án này là thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện khác nhau. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của Luận án này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH --------F-------- ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số: 9460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TS. Nguyễn Văn Quảng 2. TS. Lê Hồng Sơn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Vinh Vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiên cứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất không giao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được những kết quả nhất định. 1.2. Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vào những năm 1952-1953 bởi Segal. Sau đó, nó tiếp tục được nghiên cứu bởi Kunze (1958), Stinespring (1959), Nelson (1974), Yeadon (1979) ... Trên cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý thuyết xác suất không giao hoán đã được nghiên cứu bởi Batty (1979), Padmanabhan (1979), Luczak (1985), Jajte (1985) và đang tiếp tục được quan tâm. Trong xác suất không giao hoán, không có không gian xác suất cơ bản, thay vì nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các toán tử trên đại số von Neumann hoặc toán tử đo được. Do phép nhân các toán tử không có tính giao hoán và chúng ta cũng không thể nói về max, min của các toán tử nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác suất không giao hoán,
2 cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới. 1.3. Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theo hai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái và toán tử đo được với trạng thái vết. Khó khăn trong hướng thứ nhất là tính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp. Các đặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quan tâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán. 1.4. Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc các toán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay. Chính vì vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán” . 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện khác nhau. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật số lớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất không giao hoán. 4. Phạm vi nghiên cứu
3 Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớn của các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầu đều hai phía, hội tụ trong LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng các khái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyết xác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn phổ của toán tử. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giao hoán. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được. Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Sử dụng những kết quả này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối. Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được. Dựa vào kết quả đó, chúng tôi xây
4 dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trong xác suất không giao hoán. Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôi nghiên cứu. Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lập đôi một hoặc m-phụ thuộc. Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm: khả tích đều theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số {ani } và h-khả tích với mũ r của mảng các toán tử đo được. Cuối cùng, chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớn cho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho những nghiên cứu của luận án. Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được. Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được.
5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất không giao hoán. 1.1 Toán tử trên không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1. Giả sử D là không gian con của H, toán tử tuyến tính T : D → H được gọi là toán tử xác định bộ phận trên H. Nếu miền xác định D(T ) của toán tử T trù mật trong H thì T được gọi là toán tử xác định trù mật trên H. Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể bị chặn hoặc không bị chặn. Toán tử xác định trù mật trên H được gọi là toán tử đóng nếu đồ thị của nó là một không gian con đóng của H × H. Định lý 1.1.2. Nếu T là toán tử tự liên hợp xác định bộ phận trên H thì tồn tại duy nhất khai triển đơn vị E xác định trên các tập con Borel B của tập số thực R sao cho Z+∞ T (x), y = λdEx,y (λ) (x ∈ D(T ), y ∈ H). (1.1) −∞ Hơn nữa, E tập trung trên σ(T ) ⊂ (−∞, +∞), tức là E σ(T ) = 1.
6 Công thức (1.1) được gọi là biểu diễn phổ của toán tử T và thường Z+∞ Z+∞ được viết dưới dạng: T = λdE(λ) hoặc T = λedλ (T ). −∞ −∞ Khai triển đơn vị E trong Định lý 1.1.2 được gọi là phép phân tích phổ của toán tử T và E(B) được gọi là phép chiếu phổ của toán tử T tương ứng với tập con Borel B của tập số thực R, ta viết E(B) = eB (T ). 1.2 Đại số von Neumann Định nghĩa 1.2.1. Một đại số con A của L(H) được gọi là đại số von Neumann nếu: i) A đóng đối với phép liên hợp, nghĩa là nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A; ii) A chứa toán tử đồng nhất 1; iii) A đóng yếu, nghĩa là nếu dãy suy rộng {Ti } ⊂ A và Ti → T theo tôpô toán tử yếu thì T ∈ A. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann. Ký hiệu A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} và τ : A → C là phiếm hàm tuyến tính. Khi đó i) τ được gọi là dương nếu τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+ . ii) τ được gọi là chính xác nếu τ (X) = 0 suy ra X = 0 với mọi X ∈ A+ . iii) τ được gọi là trạng thái nếu τ dương và τ (1) = 1. iv) Trạng thái τ được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy suy rộng {Xi } ⊂ A+ , Xi ↑ X (theo tôpô toán tử mạnh) đều có τ (Xi ) ↑ τ (X). v) Trạng thái τ được gọi là trạng thái vết nếu τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A;
7 τ (p ∨ q) 6 τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA. 1.3 Toán tử đo được Định nghĩa 1.3.1. Giả sử toán tử đóng xác định trù mật X trên H có phân tích cực X = U |X|. Khi đó, toán tử X được gọi là liên kết với đại số von Neumann A nếu U thuộc A và mọi phép chiếu phổ của toán tử |X| cũng thuộc A. Ký hiệu Ae là tập các toán tử liên kết với đại số von Neumann A. Mỗi phần tử X ∈ Ae được gọi là một toán tử đo được. Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann với trạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ . Với P ≥ 1, ta gọi không gian Banach các phần tử trong Ae, ký hiệu LP (A, τ ), là tập các phần tử thuộc Ae thỏa mãn 1 ||X||P = [τ (|X|P )] P < ∞. Để thống nhất, Ae sẽ được ký hiệu là L0 (A, τ ). Khi đó, với 1 ≤ P ≤ Q < ∞, chúng ta có bao hàm thức A ≡ L∞ (A, τ ) ⊂ LQ (A, τ ) ⊂ LP (A, τ ) ⊂ ... ⊂ L0 (A, τ ) = A. e 1.4 Các dạng hội tụ và sự độc lập Trong mục này, chúng tôi gọi A ⊂ B(H) là đại số von Neumann với trạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ và L0 (A, τ ) là đại số các toán tử đo được tương ứng. Định nghĩa 1.4.1. Dãy {Xn , n ≥ 1}) ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ τ theo độ đo đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn → − X , nếu với mọi ε > 0, τ e(ε,∞) (|Xn − X|) −→ 0 khi n −→ ∞.
8 Định nghĩa 1.4.2. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ trong LP LP đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −→ X , nếu τ |Xn − X|P −→ 0 khi n −→ ∞. Định nghĩa 1.4.3. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ hầu a.u. đều đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−→ X , nếu với mọi ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho τ (p⊥ ) < ε, (Xn − X)p ∈ A và lim k(Xn − X)pk∞ = 0. n→∞ Định nghĩa 1.4.4. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ hầu b.a.u. đều hai phía đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−−→ X , nếu với mọi ε > 0, tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho τ (p⊥ ) < ε, p(Xn − X)p ∈ A và lim kp(Xn − X)pk∞ = 0. n→∞ Kết luận của chương 1 Trong chương này, luận án đã giải quyết những vấn đề sau: - Trình bày tóm tắt một số khái niệm và tính chất cơ bản của các toán tử trên không gian Hilbert; - Chứng minh một số tính chất của toán tử đo được; - Hệ thống một số dạng hội tụ trong xác suất không giao hoán và mối quan hệ giữa chúng; - Trình bày một số khái niệm độc lập của dãy và mảng các toán tử đo được.
9 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn (với sự hội tụ hầu đều hai phía) đối với dãy các toán tử đo được. 2.1 Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương Mục này được dành để trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương. Định lý sau đây là mở rộng từ Định lý 1 của Chandra và Goswami (1992) sang xác suất không giao hoán. Định lý 2.1.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử dương thỏa mãn các điều kiện sau: τ (Sn ) (i) sup < ∞, (2.1) n≥1 f (n) (ii) tồn tại dãy (kép) các số thực không âm {ρij } sao cho n X X n 2 τ |Sn − τ (Sn )| ≤ ρij với mọi n ≥ 1, (2.2) i=1 j=1 ∞ X ∞ X ρij (iii) < ∞, i ∨ j = max(i, j). (2.3) i=1 j=1 (f (i ∨ j))2
10 Khi đó Sn − τ (Sn ) b.a.u. −−−→ 0 khi n → ∞. f (n) Định lý 2.1.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử dương sao cho tồn tại dãy {Bn , n ≥ 1} các tập con Borel của R thỏa mãn các điều kiện sau: ∞ X (i) τ eBnc (Xn ) < ∞, (2.4) n=1 n X (ii) τ Xk eBkc (Xk ) = o (f (n)) , (2.5) k=1 τ (Sen ) (iii) sup < ∞, (2.6) n≥1 f (n) (iv) tồn tại dãy (kép) {ρij } của các số thực không âm sao cho n X X n 2 τ |Sn − τ (Sn )| ≤ e e ρij với mọi n ≥ 1 i=1 j=1 ∞ X ∞ X ρij và < ∞, (2.7) i=1 j=1 (f (i ∨ j))2 n Bnc P ở đây là phần bù của Bn , i ∨ j = max(i, j) và Sn = e Xk eBk (Xk ). k=1 Khi đó Sn − τ (Sn ) b.a.u. −−−→ 0 khi n → ∞. f (n) Korchevsky (2015) đã sử dụng các phương pháp được phát triển bởi Petrov (2008), Cso¨rg˝o, Tandori, Totik (1983) và Chandra, Goswami (1992, 1993) để đạt được một định lý tổng quát của luật mạnh số lớn Petrov (1969). Sau đây chúng tôi giới thiệu mở rộng của định lý này (Định lý 1 của Korchevsky (2015)). Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt, khi f (n) = n, p = 2, một kết quả tương tự cho dãy các toán tử đo được độc
11 lập liên tiếp với sự hội tụ hầu đều cũng được chứng minh bởi Klimczak (2012). Định lý 2.1.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ LP (A, τ ) (P ≥ 1) là dãy các toán tử dương. Nếu τ (Sn ) (i) sup
12 Khi đó Sn − τ (Sn ) b.a.u. −−−→ 0 khi n → ∞. f (n) Định lý tiếp theo là mở rộng kết quả chính trong bài báo của Klimczak (2012). Định lý 2.2.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một. Đặt G(x) = sup τ e[x,∞) (|Xn |) , với x ≥ 0. n≥1 Nếu Z∞ G(x)dx < ∞ 0 thì n 1X b.a.u. ck Xk − τ (Xk ) −−−→ 0 khi n → ∞, n k=1 với mọi dãy bị chặn {cn }. Trong trường hợp đặc biệt, khi {Xn , n ≥ 1} ⊂ L1 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối, ta có hệ quả sau đây Hệ quả 2.2.3. [Định lý 2.1, Klimczak (2012)] Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L1 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối. Khi đó n 1X b.a.u. Xk −−−→ τ (X1 ) khi n → ∞. n k=1 Tiếp theo chúng tôi sẽ chứng minh một phiên bản không giao hoán của Định lý 3 trong Chandra và Goswami (1992). Chú ý rằng trong trường hợp dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập liên tiếp chúng ta sẽ nhận được sự hội tụ hầu đều [Định lý 4.7.3, Jajte (1985)].
13 Định lý 2.2.4. Giả sử gn : (0, ∞) → (0, ∞) là dãy các hàm không giảm x gn (x) sao cho và không tăng đối với biến x, với mọi n ≥ 1. Giả gn (x) x2 an sử {an , n ≥ 1} là dãy số dương tăng với an ↑ ∞ và bị chặn. Nếu f (n) {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một thỏa mãn ∞ X τ (gn (|Xn |))
14 với mọi dãy các phép chiếu giảm {pn }n≥1 thuộc A với pn ↓ 0 (theo tôpô toán tử mạnh). Bây giờ chúng ta chứng minh một số tính chất tương đương của điều kiện khả tích đều. Lưu ý rằng nếu X là toán tử tự liên hợp thì X có thể giao hoán với mọi phép chiếu phổ eB (X) của nó, ở đây B là tập con Borel của tập số thực R, từ đó suy ra eB (X)XeB (X) = XeB (X). Điều này là rất hữu ích để thiết lập định lý sau đây. Định lý 2.3.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được. Các khẳng định sau đây là tương đương: (i) Dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích đều. (ii) Tồn tại hàm lồi φ ∈ Φ sao cho sup τ [φ(|Xn |)] < ∞. (2.12) n≥1 (iii) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi phép chiếu p ∈ A, nếu τ (p) < δ thì sup τ (|Xn |p) < ε (2.13) n≥1 và sup τ (|Xn |) < ∞. (2.14) n≥1 (iv) lim sup τ |Xn |e(a,∞) (|Xn |) = 0. a→∞ n≥1 Định nghĩa 2.3.3. Dãy các toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là khả tích đều Cesa`ro, ký hiệu CUI, nếu ( n ) 1X lim sup τ |Xk |e(c,∞) (|Xk |) = 0. (2.15) c→∞ n≥1 n k=1
15 Dựa vào Định lý 2.3.2, ta dễ dàng thấy rằng nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện UI thì nó cũng thỏa mãn điều kiện CUI. Mệnh đề sau đây là phiên bản không giao hoán của tiêu chuẩn khả tích đều Cesa `ro trong Chandra và Goswami (1992). Mệnh đề 2.3.4 (Dạng không giao hoán của tiêu chuẩn khả tích đều `ro). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được. Các khẳng định Cesa sau đây là tương đương: (i) {Xn , n ≥ 1} là CUI. (ii) Tồn tại một hàm lồi* φ ∈ Φ, sao cho n n1 X o sup τ [φ(|Xk |)] = M < ∞. (2.16) n≥1 n k=1 * Tính chất này không sử dụng trong trường hợp (ii) ⇒ (i). Định nghĩa 2.3.5. Giả sử α là số thực dương. Khi đó, dãy các toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là: (i) Khả tích Cesa `ro mức α, ký hiệu CI(α), nếu n h1 X i sup τ |Xi | < ∞ n≥1 n i=1 và n n1 X o lim τ |Xi |e(iα ,∞) (|Xi |) = 0. n→∞ n i=1 (ii) Khả tích mạnh Cesa `ro mức α, ký hiệu SCI(α), nếu n h1 X i sup τ |Xi | < ∞ n≥1 n i=1 và ∞ X 1 τ |Xn |e(nα ,∞) (|Xn |) < ∞. n=1 n
16 Hiển nhiên, nếu 0 < α < β thì CI(α) suy ra CI(β) và SCI(α) suy ra SCI(β). Hơn nữa, từ bổ đề Kronecker suy ra rằng SCI(α) kéo theo CI(α), với mọi α > 0. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng với mọi α > 0, CUI =⇒ CI(α) và SCUI =⇒ SCI(α). Bổ đề 2.3.6. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được và α là số thực dương. Khi đó (i) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện CUI thì nó cũng thỏa mãn điều kiện CI(α). (ii) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI thì nó cũng thỏa mãn điều kiện SCI(α). Định nghĩa 2.3.7. Giả sử α là số thực dương. Khi đó, dãy các toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là: (i) Khả tích Cesa `ro dư mức α, ký hiệu RCI(α), nếu n h1 X i sup τ |Xi | < ∞ n≥1 n i=1 và n n1 X o α lim τ |Xi | − i e(iα ,∞) (|Xi |) = 0. n→∞ n i=1 (ii) Khả tích mạnh Cesa `ro dư mức α, ký hiệu SRCI(α), nếu n h1 X i sup τ |Xi | < ∞ n≥1 n i=1 và ∞ X 1 τ |Xn | − nα e(nα ,∞) (|Xn |) < ∞. n=1 n Rõ ràng với mọi α > 0, SRCI(α) =⇒ RCI(α) bởi bổ đề Kronecker. Mặt khác, từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu 0 < α < β thì RCI(α) =⇒
17 RCI(β) và SRCI(α) =⇒ SRCI(β). Hơn nữa, CI(α) =⇒ RCI(α) và SCI(α) =⇒ SRCI(α), với mọi α > 0. Định lý 2.3.8. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCI(α) 1 với α ∈ (0, ) thì 2 Sn − τ (Sn ) b.a.u. −−−→ 0 khi n → ∞. n Bổ đề 2.3.6 cho thấy rằng với mọi α > 0, điều kiện SCI(α) yếu hơn điều kiện SCUI. Vì vậy, ta được hệ quả sau đây là mở rộng của Định lý 6 trong Chandra (1992). Hệ quả 2.3.9. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI thì Sn − τ (Sn ) b.a.u. −−−→ 0 khi n → ∞. n Kết luận của chương 2 Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau: - Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương; - Chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối và không cùng phân phối; - Thiết lập các điều kiện tương đương của dãy các toán tử đo được khả tích đều; - Xây dựng một số khái niệm khả tích trong xác suất không giao hoán và mối quan hệ giữa chúng; - Chứng minh luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôi một thoả mãn điều kiện khả tích mạnh mức α.
18 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY VÀ MẢNG CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được. 3.1 Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được Trong mục này chúng tôi sẽ thiết lập một số định lý hội tụ trong L1 . Chúng ta biết rằng hội tụ trong L1 kéo theo hội tụ theo độ đo. Vì vậy, từ các định lý trong mục này chúng ta có thể nhận được kết quả dạng luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được. Định lý 3.1.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện RCI(α) với α ∈ (0, 1) thì Sn − τ (Sn ) L1 −→ 0 khi n → ∞. n Áp dụng Định lý 3.1.1, ta dễ dàng nhận được hệ quả sau đây. Hệ quả 3.1.2. [Định lý 4.1(b), Lindsay và Pata (1997)] Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một. Với n ≥ 1, Pn đặt Sn = e Xi e[0,n] (|Xi |). i=1