BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
--------⋆--------
ĐỖ THẾ SƠN
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học
Mã số: 9460106
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2020
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TS. Nguyễn Văn Quảng
2. TS. Lê Hồng Sơn
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
tại Trường Đại học Vinh
Vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ...
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào
thuộc Trường Đại học Vinh
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành
khoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiên
cứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biến
ngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất không
giao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán
đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được những
kết quả nhất định.
1.2. Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vào
những năm 1952-1953 bởi Segal. Sau đó, nó tiếp tục được nghiên cứu bởi
Kunze (1958), Stinespring (1959), Nelson (1974), Yeadon (1979) ... Trên
cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý thuyết xác suất không
giao hoán đã được nghiên cứu bởi Batty (1979), Padmanabhan (1979),
Luczak (1985), Jajte (1985) và đang tiếp tục được quan tâm. Trong xác
suất không giao hoán, không có không gian xác suất cơ bản, thay vì
nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các toán tử trên đại số von
Neumann hoặc toán tử đo được. Do phép nhân các toán tử không có tính
giao hoán và chúng ta cũng không thể nói về max, min của các toán tử
nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác suất không giao hoán,
2
cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới.
1.3. Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theo
hai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái
và toán tử đo được với trạng thái vết. Khó khăn trong hướng thứ nhất là
tính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không
bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp. Các
đặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quan
tâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán.
1.4. Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng
tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc các
toán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi của
thế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay. Chính vì vậy, việc
nghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có
ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là:
“Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số định lý giới hạn
dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện
khác nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật số
lớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất không
giao hoán.
4. Phạm vi nghiên cứu
3
Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớn
của các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầu
đều hai phía, hội tụ trong LP, hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng các
khái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyết
xác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán
tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn
phổ của toán tử.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng
nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giao
hoán.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê
toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng
luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được.
Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi thiết lập một số luật
mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Sử dụng những kết quả
này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán
tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối.
Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả tích
đều đối với dãy các toán tử đo được. Dựa vào kết quả đó, chúng tôi xây
